UNIVERSITATEA DE NORD BAIA-MARE

FACULTATEA DE ŞTIINŢE

PATRULATERE

INSCRIPTIBILE ŞI CIRCUMSCRIPTIBILE

REFERAT

DIDACTICA MATEMATICII,

2009-2010, SEM I

PROF. IONELA POP

- 2 -

1.Definiţii

2.Teoremele de caracterizare a poligoanelor inscriptibile şi a celor circumscriptibile

3.Patrulatere inscriptibile

4.Aplicaţii remarcabile

5.Patrulatere circumscriptibile

6.Patrulatere inscriptibile circumscriptibile

7.Probleme rezolvate

8.Bibliografie

- 3 -

1.Definiţii Def.1.1.

Un poligon se numeşte înscris într-un cerc dacă vârfurile poligonului aparţin cercului. În acest caz

cercul se numeşte circumscris poligonului.

Def.1.2.

Un poligon se numeşte circumscris unui cerc dacă laturile sale sunt tangente la cerc. În acest caz,

cercul se numeşte înscris în poligon.

Obs.

Admitem intuitiv că dacă un poligon este înscris într-un cerc sau este circumscris unui cerc atunci el

este convex.

Def.1.3.

Un poligon care poate fi înscris într-un cerc se numeşte poligon inscriptibil.

Def.1.4.

Un poligon care poate fi circumscris unui cer se numeşte poligon circumscriptibil.

2.Teoreme de caracterizare a poligoanelor inscriptibile şi a celor circumscriptibile Teorema 2.1.

Un poligon convex este inscriptibil dacă şi numai dacă mediatoarele laturilor sale sunt concurente

(punctul lor de intersecţie reprezintă centrul cercului).

Dem:

a)Dacă poligonul A1A2…An are vârfurile pe cercul

de centru O şi rază r (fig.1) atunci OA1 =OA2

=….=OAn =r , deci O se află pe mediatoarele

segmentelor (A1A2) , (A2A3), …(AnA1).

b)Dacă presupunem că mediatoarele laturilor

poligonului au un punct comun O atunci folosind

proprietatea mediatoarei unui segment avem că

OA1=OA2=….=OAn , deci vârfurile aparţin unui

cerc de centru O şi rază r=OA1.

Teorema 2.2.

Un poligon convex este circumscriptibil dacă şi numai dacă bisectoarele unghiurilor sale sunt

concurente (punctul lor de intersecţie reprezintă centrul cercului).

Dem:

a)Dacă poligonul A1A2…An are laturile tangente cercului de centru O şi rază r atunci

d(O, A1A2)=d(O,A2A3)=…=d(O,AnA1)=r , deci O se află pe bisectoarele unghiurilor poligonului.

Fig.1

- 4 -

b)Fie poligonul A1A2…An şi O punctul de

concurenţă al bisectoarelor unghiurilor sale;

folosind proprietatea bisectoarei avem că

d(O,A1A2)=d(O,A2A3)=…=d(O,AnA1). Cercul de

centru O şi raza egală cu d(O,A1A2) este tangent

fiecărei laturi a poligonului.

Obs.

Pentru patrulaterele convexe pot fi stabilite

condiţii de inscriptibilitate şi circumscriptibilitate

caracteristice.

3.Patrulatere inscriptibile Procedee pentru a demonstra că un patrulater este inscriptibil.

3.1.Teoremă

Un patrulater este inscriptibil dacă şi numai dacă orice unghi format de o diagonală şi o latură este

congruent cu unghiul determinat de cealaltă diagonală cu latura opusă primeia.

Dem:

a) ABCD patrulater inscriptibil implică :

)(21)^()^( CDmDBCmCADm

b)Fie patrulaterul convex ABCD având unghiurile

ABD şi ACD congruente. Ţnând seama că punctele

B şi C se află în acelaşi semiplan determinat de AD

din proprietatea arcului capabil de unghi dat, rezultă

că punctele B şi C aparţin unui cerc în care AD

trebuie să fie coardă, deci A, B, C, D conciclice.

3.2.Teoremă

Un patrulater este inscriptibil dacă şi numai dacă suma măsurilor a două unghiuri opuse este de

180.

Dem.

a)ABCD patrulater inscriptibil implică :

1802

3602

)()()^()^( DABmDCBmCmAm

3.3.

Un patrulater ABCD este inscriptibil dacă şi numai dacă există un punct în plan , O astfel încât

OA=OB=OC=OD.

Fig.2

Fig.3

- 5 -

3.4.

Patru puncte A, B, C, D determină un patrulater inscriptibil dacă OAOD=OBOC , unde

O=BCAD şi O(BC), O(AD)(fig.4) sau O(BC) şi O(AD)(fig.5).

Dem:

Pentru ambele cazuri avem ODOB

OCOA

şi m(AOB)=m(COD) de unde obţinem OABOCD şi

deci OABOCD.

o Pentru cazul 1 (fig.4) , deoarece OABOCD avem că unghiurile opuse cu vârfurile în A

şi C sunt suplementare, deci ABCD inscriptibil

o Pentru cazul 2 (fig.5), deoarece OABOCD , avem conform procedeului 3.1. că ABDC

este un patrulater inscriptibil.

3.5.Teorema reciprocă a teoremei lui Ptolemeu

Teorema lui Ptolemeu:

În patrulaterul inscriptibil ABCD are loc relaţia: ABDC+BCAD=ACBD.

Dem:

Fie M(BD) astfel încât m(DAM)=m(BAC).(fig.6)

Notăm m(DAM)=m(BAC)=m(CDB)=x şi m(ADB)=m(ACB)=y.

Obţinem că DAMCAB (U.U) de unde:

Fig.4 Fig.5

- 6 -

ACADCBDM

ACAD

CBDM

(1)

ABMACD (U.U) de unde :

ACDCABMB

ACAB

DCMB

(2)

Folosind relaţiile (1) şi (2) putem scrie:

BD=MD+MB=AC

DCABADBC de unde

avem :

ABDC+BCAD=ACBD.

Reciproca teoremei lui Ptolemeu:

Fie ABCD un patrulater. Dacă ABDC+BCAD=ACBD atunci ABCD este patrulater inscriptibil.

Dem:

Presupunem prin reducere la absurd că ABCD nu este inscriptibil , atunci avem relaţia lui Ptolemeu

pentru patrulatere neinscriptibile: ACBD ABDC+BCAD , dar din ipoteză avem că : ACBD

=ABDC+BCAD de unde rezultă contradicţia!

Exemple

Expl.3.1(fig.7)

Fie un triunghi echilateral ABC de latură a şi punctele M şi Nastfel încât C(AM), N(BC), şi

AMAN=a2. Fie P=ANAM. Să se arate că punctele ABCP este patrulater inscriptibil.

Dem:

Relaţia din ipoteză se poate scrie BNAB

ABAM

şi

cum MABABN , rezultă că

MABABN şi deci BANAMB.

MABAPB deoarece AMBPAB şi

ABM este comun; de aici avem că

MABAPB şi deci APBACB adică

patrulaterul ABCP inscriptibil.

Expl.3.2(fig.8)

Fie un patrulater convex ABCD şi cercurile tangente câte unei laturi şi prelungirilor laturilor

vecine.Să se arate că centrele acestor cercuri sunt vârfurile unui patrulater inscriptibil.

Fig.6

Fig.7

- 7 -

Dem:

Fie M, N, P, Q centrele acestor cercuri.

Deoarece M şi Q se găsesc pe bisectoarea

unghiului A avem că M, A, Q coliuniare;

similar M, B, N coliniare, N, C, P coliniare, P,

Q, D coliniare.

Se arată că m(QMN)+m(QPN)=180, de

unde MNPQ patrulater inscriptibil.

Expl.3.3 (fig.9)

Fie un pătrat ABCD şi punctele M, N, P, şi Q aparţinând laturilor AB, BC, CD, DA astfel încât

AM=BN=CP=AQ. Să se arate că MNPQ este patrulater inscriptibil.

Dem:

Fie O centrul pătratului

OAMOAQ şi deci OM=OQ=r

OBMONCOPD , de aici: OM=ON=OP=r.

De aici avem că punctele M, N, P, Q se găsesc pe

cercul de centru O şi rază r.

Expl.3.4 (fig.10)

Fie un triunghi ABC şi M mijlocul lui AG. Să se

arate că M se află pe cercul lui Euler (vezi 4.3.)

dacă şi numai dacă 2a2=b2+c2.

Dem:

Fie A’, B’, C’ mijlocele laturilor triunghiuluişi N

intersecţiua segmentelor AA’ şi B’C’.

Avem:NB’=NC’=a/4 , NA’=ma/2, NM=ma/6.

Punctele M, B’, A’, C’ sunt conciclice dacă şi

numai dacă :

NB’NC’=NMNA’ , relaţie care devine în baza

relaţiilor de mai sus:

3a2=4ma2 adică 3a2=2(b2+c2)-a2 ceea ce are loc

Fig.8

Fig.9

Fig.10

- 8 -

dacă şi numai dacă b2+c2=2a2.

Expl.3.5(fig.11)

Fie un triunghi echilateral ABC şi un punct M în planul său astfel încât MA=MB+MC. Să se arate

că ABCM este un patrulater inscriptibil.

Dem:

Fie a lungimea laturii triughiului echilateral.

Prin înmulţire cu a a relaţiei din enunţ obţinem:

aMA= aMB+ aMC ceea ce poate fi scris:

BCMA= ACMB+ ABMC,

de unde folosind reciproca teoremei lui Ptolemeu avem

că ABMC patrulater inscriptibil.

Exemple de patrulatere inscriptibile: dreptunghiul, pătratul , trapezul isoscel

Exemple de patrulatere neinscriptibile: paralelogramul oarecare, rombul, trapezul neisoscel

4.Aplicaţii remarcabile 4.1.A doua teoremă a lui Ptolemeu

Fie ABCD un patrulater inscriptibil .Atunci are loc relaţia:DCDABCBACDCBADAB

BDAC

.

4.2.Dreapta lui Simson (fig.12)

Fie un triunghi XYZ , cercul circumscris acestuia şi un punct M aparţinând cercului. Fie P ,

Q , R proiecţiile punctului M respectiv pe laturile YZ , XZ şi XY ale triunghiului. Punctele P ,

Q , R sunt coliniare .(dreapta determinată de ele se numeşte „dreapta lui Simson”).

Dem:

Patrulaterul XRMQ este inscriptibil deoarece

are două unghiuri opuse suplementare

( QşiR ^^ ) XMRRQX ^^ (1)

Patrulaterul QMZP este inscriptibil deoarece

ZPMZQM ^^ (unghiuri drepte)

ZMPZQP ^^ (2)

Patrulaterul XMZY este inscriptibil (din

ipoteză) (3)

180)^()^( YZMmYXMm (din relaţia (3))

Fig.11

Fig.12

- 9 -

180)^()^( RAMmYXMm (adiacente suplementare)

Din cele două egalităţi de mai sus avem : RXMYZM ^^ şi cum PMZşiYZM ^^ sunt

complementare (ca unghiuri ascuţite ale triunghiului dreptunghic RMX) iar de asemenea

XMRşiRXM ^^ sunt complementare (ca unghiuri ascuţite ale triunghiului dreptunghic MPZ)

avem că ZMPXMR ^^ (4)

Din relaţiile (1) , (2) şi (4) avem că : ZQPRQX ^^ (au poziţie de unghiuri opuse la vârf) şi A

, Q , C coliniare P , Q , R coliniare.

4.3.Cercul lui Euler

Fie un triunghi ABC , D,E,F picioarele înălţimilor , A’,B’,C’mijlocacele laturilor , H ortocentrul iar

A1,B1,C1 mijlocele segmentelor (AH), (BH), (CH). Punctele D,E,F,A’,B’,C’,A1,B1,C1 sunt

conciclice (cercul determinat de ele se numeşte „cercul lui Euler”)

4.4.Triunghiul ortic

Fie un triunghi ABC şi D, E, F picioarele înălţimilor; să se arate că bisectoarele triunghiului DEF

coincid cu înălţimile triunghiului ABC.

5.Patrulatere circumscriptibile

Proprietăţi

5.1. Teorema lui Pithot. (fig.13) Un patrulaterul convex este circumscriptibil, dacă şi numai dacă este adevărată oricare dintre

propoziţiile:

a) bisectoarele unghiurilor patrulaterului sunt concurente; b)suma lungimilor a două laturi opuse

este egală cu suma celorlalte două..

Dem:

b)Fie patrulaterul circumscriptibil CDEF unde

punctele de tangenţă cu cercul înscris sunt notate

M, N, P, Q. Folosind proprietatea tangenmtelor

dintr-un punct exterior la cerc putem scrie:

CQ=CM=x, DQ=DP=t, EP=EN=z, FN=FM=y.

Folosind aceste notaţii avem:

CF+DE=x+y+z+t şi EF+CD=x+y+z+t , de

unde:CF+DE=EF+CD.

Fig.13

- 10 -

5.2.Orice deltoid este circumscriptibil. (Deltoidul este patrulaterul având două perechi de laturi

alăturate congruente) (demonstraţia este imediată folosind 5.1.b)

5.3.Dacă un trapez isoscel este circumscriptibil atunci :

a)diametrul cercului este medie proporţională între bazele trapezului

b)aria trapezului este produsul dintre media aritmetică şi media geometrică a bazelor.

6.Patrulatere inscriptibile circumscriptibile Într-un cerc construim două coarde perpendiculare. Tangentele la cerc în punctele E, F, G şi H se

intersectează două câte două în punctele A, B, C, D. Demonstraţi că patrulaterul circumscriptibil

ABCD este şi inscriptibil .

Dem:

În fig. 14 unghiurile AEF şi DFE subîntind

acelaşi arc; notăm măsura lor cu x; similar notăm

cu y măsura unghiurilor AHG şi BGH.

În patrulaterul AEIH avem:

m(A)=360-90-x-y=270-x-y.(1)

În patrulaterul CFIG obţinem similar

m(C)=360-(180-x)-90-(180-y)=x+y-90(2)

Folosind (1)şi (2) avem că a şi C sunt

suplementare , deci ABCD este inscriptibil.

7.Probleme rezolvate 7.1.Demonstraţi că în orice trapez cele patru bisectoare

formează un patrulater inscriptibil.

Sol:

Notăm intersecţiile bisectoarelor unghiurilor ca în fig.

15.Unghiurile A şi D ale trapezului sunt suplementare,

la fel B şi C.

De aici avem : m(DAF)+m(ADF)=

= 21 ( m(DAB)+m(ADC))=90 ; în triunghiul AFD

obţinem folosind relaţia anterioară că unghiul F este

drept.

Fig.14

Fig.15

- 11 -

Similar avem că în triunghiul BHC, unghiul H este drept, prin urmare în patrulaterul GFEH două

unghiuri opuse sunt suplementare, deci , cf. 3.2. GFEH este patrulater inscriptibil.

7.2.Demonstraţi că bisectoarele unui patrulater convex formează un patrulater inscriptibil.

Sol:

Notăm intersecţiile bisectoarelor ca în fig. 16.

În triunghiul AFB avem:

m(AFB)=180- 21 m(BAD)-

21 m(ABC)

În triunghiul DHC avem:

m(DHG)=180- 21 m(ADC)-

21 m(BCD).

Din acestea obţinem: m(AFB)+ m(DHG)=

180 - 21 m(BAD) -

21 m(ABC) + 180-

21 m(BAD)-

21 m(ABC)= 180, de unde cf.

3.2 avem că patrulaterul EFGH este inscriptibil.

7.3.Demonstraţi că un deltoid inscriptibil este dreptunghic. În ce condiţii un deltoid dreptunghic este

inscriptibil?

Sol:

Fie deltoidul din fig. 17 în care AB=BC şi

AD=DC.Cum ABCD inscriptibil avem că

unghiurile A şi C sunt suplementare.

Triunghiurile ABC şi ADC sunt isoscele şi cum

unghiurile A şi C sunt suplementare avem :

A1 C1 şi A2 C2 de unde avem că

AC şi cum sunt suplementare obţinem că

sunt unghiuri drepte deci, deltoidul ABCD este

dreptunghic.

Reciproc, un deltoid cu două unghiuri drepte

este inscriptibil; un deltoid cu un singur ungi drept nu este inscriptibil.

7.4.În triunghiul ABC avem relaţia:b2+c2=5a2. Să se arate că vârfurile B şi C, centrul de greutate şi

picioarele înălţimilor din B şi C sunt conciclice.

Fig.16

Fig.17

- 12 -

Sol:

Fie M mijlocul laturii BC iar B’ şi C’ picioarele

înălţimilor (fig.18).

MC’ şi MB’ sunt mediane în triunghiurile

dreptunghice BCC’ şi BCB’, deci ,

MC’=MB’=MB=MC=2a .

2225

31

4231

31

22

222

aaa

acbAMMG

Obţinem deci, MG= MC’=MB’=MB=MC=2a ,

de unde avem că punctele B, C, B’, C’, G sunt conciclice , ele aflându-se pe cercul cu centrul în M

şi de rază 2a .

8.Bibliografie o C.Titus Grigorovici, Mariana Grigorovici – „De la cercul lui Thales la moneda lui Ţiţeica”, ed.

Humanitas Educaţional, Bucureşti, 2006

o M.E. Panaitopol, L.Panaitopol - „Probleme calitative de geometrie plană”- ed. Gil, Zalău, 1996

o A.Coţa, M.Răduţiu, M.Rado, F.Vornicescu – „Manual pentru clasa a IX-a”- EDP, Bucureşti

1994

o www.didactic.ro

o www.fmatem.moldnet.md

Fig.18