Rotace v roviněRotace v rovině

Pavel Jež, Ctirad Martinec, Jaroslav Nejdl

Fyzikální seminář 2003 – zimní semestr

1. Trocha historie

2. Rotační kinematika

3. Rotační dynamika• Moment síly

• Moment setrvačnosti

• Zákon síly pro rovinnou rotaci

• Moment hybnosti

• Zákon zachování momentu hybnosti

4. Pár příkladů z praxe

Obsah

Něco málo z dějin…Christian Huygens (1629-1695)• 1673 – Horologium oscillatorium (Kyvadlové hodiny)

– Popis matematického i fyzického kyvadla – výpočty momentů setrvačnosti, první použití Steinerovy věty

Leonhard Euler (1707-1782)• Popis rotace matematickými metodami• Analytická teorie pohybu tuhého tělesa

Rotační kinematika3 základní veličiny popisující posuvný pohyb:

• dráha s

• rychlost

• zrychlení

v=dtds

asv == 2

2

dtd

dtd

Rotační kinematikaDráha: rozdíl polohových vektorů

r1 r2

Os

ϕ r1

r2

Stejný směr, různá velikost:

Stejná velikost, různý směr:

… úhlová dráha

Rotační kinematika

Úhlová rychlost ω ω ω ω :::: Úhlové zrychlení ε ε ε ε ::::

dtdϕ=ω

2

2

dtd

dtd ϕ== vε

Rotační dynamika – Moment sílySíla: uvádí těleso do pohybu (posuvného, otáčivého)

F

α F’

Rotační dynamika – Moment sílyPootočení o úhel ∆ϑ:

αsinFFt =

ϑϑαϑ ∆⋅=⋅∆=⋅∆= 00sin rrW Fr

FrFr

Rotační dynamika – Moment síly

αα sinsin0 ⋅⋅=== rFN FrFr

FrN ×=

Rotační dynamika -Moment setrvačnosti

K roztočení tělesa je potřebná práce ⇒ rotující těleso má ENERGII

Jaká je rychlost otáčejícího se tělesa?

Rotační dynamika -Moment setrvačnosti

Obvodová rychlost hmotného bodu:

ωωωωrdtdr

dtds =⋅== ϕv

Jeho kinetická energie: 221 mv

Rotační dynamika -Moment setrvačnosti

Celková kinetická energie tuhého tělesa složeného z n hmotných bodů:

( ) ( ) 2

1

2

1

2

1

2

21

21

21 ωω

484 76 I

rmrmvmEn

iii

n

iii

n

iiik

=== ∑∑∑

===

Moment setrvačnostiExperimentální určení

Závaží působí silou F = maPoloměr osičky: r0

Moment síly, který roztáčí disk: N = Tr0 =m(g-a) r0

Moment setrvačnostiExperimentální určení

Určení zrychlení závaží a:Pohyb rovnoměrně zrychlený z klidu

2

22tha

aht =⇔=

Určení momentu setrvačnosti I:

εIIN N=⇔= ε

Moment setrvačnostiExperimentální určení

Vzorec pro určení momentu setrvačnosti v tomto experimentu:

ε

−

=20

2thgmr

I

Moment setrvačnostiPorovnání experimentální a teoretické

hodnoty

Moment setrvačnosti homogenního disku: I = 9,46.10-3 kg.m2

N = 7,1 .10-3 N.m

2rad.s 0,751 −==I

Mε

Rotační dynamika -zákon síly

N = IεεεεPokud M = konst.

1

2

2

12211 ε

εεε =⇔=IIII

Rotační dynamika -zákon síly

DISK PRSTENEC

( )22

212

1 RRMI +=

I = 9,46.10-3 kg.m2 I = 4,93.10-3 kg.m2

66,02

1 =&II

2

21MRI =

Rotační dynamika -Moment hybnosti

hybnost: p = mv

moment hybnosti: L = Iωωωω

rprvmrIL ⋅=== 2ω

Rotační dynamika -Moment hybnosti

Obecnější situace:

αsin..rpL = prL ×=

Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti

∑==== iNIdtdI

dtId

dtdL εωω)(

Víme, žei

Fdtdp ∑=

Platí analogie?

Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti

„Pokud je součet všech momentů sil působících na těleso nulový, jeho moment hybnosti se nemění.“

.0 konstdtd =⇔= LL

Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti

II. Keplerův zákon

..2 konstrdrkonstdtdmrI =⋅⇒== ϕϕω

Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti

Experiment

1

2

2

12211 ω

ωωω =⇒=IIII

I1= 45,0.10-3 kg.m2

I2= 20,3.10-3 kg.m2 22,22

1 =II

Pár zajímavostí z praxe…Skokan do vody Raketa

Shrnutí

Moment hybnostiHybnost p

Moment setrvačnostiHmotnost m

Moment síly Síla FÚhlové zrychleníZrychlení

Úhlová rychlost Rychlost Úhlová dráha ϕDráha s

Rotační veličinaPosuvná veličina

dtdsv =

dtdϕω =

dtdva = dt

dωε =

FrN ×=

∑=

n

iiirm

1

2

prL ×=

ShrnutíII. Newtonův zákon pro rotační pohyb:

LN &&&==∑=

ϕIn

ii

1

Zákon zachování momentu hybnosti:

0. =∆⇔= LL konst

LiteraturaR.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky.FRAGMENT.2002.

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker:Fyzika - Mechanika: rotační pohyb.VUTIUM a PROMETHEUS.2000.

I.Štoll: Mechanika.ČVUT.2003.

I.Štoll: Svět očima fyziky.Prometheus.1996.

WWWEastern Illionois University: http://oldsci.eiu.edu/

University of Texas: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/lectures.html

How Stuff Works: http://www.howstuffworks.com/

Fyzikální portál: http://fyzika.fjfi.cvut.cz/