Pc ep14 2012_2_exponencial e logaritmo

1 de 16

EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo

CEDERJ

EP 14

Pré-Cálculo __________________________________________________________________________

Meus caros alunos.

As funções de hoje são muito importantes: exponencial e logaritmo.

Os logaritmos foram introduzidos no século XVII, e deram aos cientistas da época um poder de cálculo até

aquele momento inimaginável. A função exponencial tem uma grande importância nas aplicações da

ciência, da engenharia, da sociedade. Questões como crescimento populacional, crescimento bacteriano,

decaimento radiativo, rendimento de dinheiro envolvem essas funções.

Podemos dizer ainda mais, a exponencial é consequência dos logaritmos. O aparecimento do logaritmo

ocorreu no começo do século XVII onde as grandes navegações, comércios, empréstimos de dinheiros

exigiam cálculos muito laboriosos, portanto, havia uma necessidade na época para que esses cansativos

cálculos fossem simplificados. A essência era substituir complicados cálculos de multiplicação e divisão,

por operações mais simples como a soma e a subtração respectivamente.

Os dois matemáticos que desenvolveram os logaritmos foram o suíço Jobst Bürgi (1552-1632) e o escocês

John Napier (1550-1617) cujos trabalhos foram desenvolvidos independentemente.

É muito importante que vocês leiam o Caderno de Coordenação da Disciplina – Semana 15 – Duas

notáveis funções e a Aula 31 – Funções exponencial e logaritmo do Módulo 4, Volume II que trata com

detalhe essas funções.

Vamos apresentar aqui apenas um resumo das principais características dessas funções.

Como orientação de estudo, chamamos a atenção que esse conteúdo está previsto para ser trabalhado

em duas semanas, portanto, na próxima semana não será disponibilizado novo EP.

Função exponencial

Em geral, uma função exponencial é uma função da forma:

( )

Essa função é dita função exponencial de base

O que significa ?

Se , um inteiro positivo, então ⏟


2 de 16

Se ,

Se , um inteiro positivo, então

Se

, um número racional, onde e são números inteiros e , então

√ (√

)

Essas propriedades nós já conhecemos, agora, nos perguntamos: o que significa √ ?

O que significa , quando é um número irracional?

Nesse momento, vocês terão que acreditar que esses números existem! Explicar o significado de

√ exige conceitos que serão abordados nas disciplinas de Cálculo: infinito, limite, limites de

sequência. Mas não se preocupem, isso não nos impedirá de estudar a função exponencial e a função

logaritmo.

Temos que;

( ) ( ) ( )

função crescente, injetora função decrescente, injetora função constante ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Observe nos gráficos que:

quando ( ) , quanto mais decresce, tornando-se cada vez mais negativo, mais o

valor da ordenada aproxima-se de zero.

quando ( ) , quanto mais cresce, mais o valor da ordenada aproxima-

se de zero.

foi colocada aqui a função ( ) apenas para compararmos os gráficos, ela não é

considerada função exponencial, lembre que na definição de ( ) , a base deve ser

positiva e diferente de 1.

As principais propriedades da função exponencial:


3 de 16

Se as constantes e são números reais positivos e diferentes de 1, e números reais quaisquer,

então

1. 2. para todo

3.

4. 5.

6. ( ) 7. ( )

8. e

9. e Isto significa que ( ) é uma função crescente

10. e . Isto significa que ( ) é uma função decrescente

Vamos esboçar alguns gráficos da “família”


4 de 16

A propriedade 8 acima diz que e

Do gráfico podemos observar que para

(

)

(

)

(

)

(

)

e

(

)

(

)

(

)

(

)

Lembre que

É importante não confundir ( ) (função exponencial de base constante ) com ( )

(função potência de expoente constante ).

Como exemplo vamos comparar graficamente as funções ( ) e ( ) .

A função ( ) é uma exponencial de base e a função ( ) é uma função polinomial de

grau

Para , ( ) ( ) e para , ( ) ( ) .

Portanto, os pontos ( ) ( ) são pontos dos gráficos das funções e


5 de 16

Dos gráficos dessas funções, observamos que essas funções têm um outro ponto em comum, cuja

abscissa é tal que . Não é possível determinar essa abscissa , mas existem resultados

que garantem a existência desse ponto de interseção e formas de dar uma boa aproximação desse valor.

Também não é possível provarmos aqui, mas é verdade e podemos observar nos gráficos que:

para ( )

para ( )

para ( )

para ( )

Vamos nos concentrar na função exponencial com uma base especial. A função ( ) , onde é

chamada de "constante de Napier", é o número irracional, cuja aproximação com 9 casas decimais é:

2,718281828. A função ( ) , por várias razões não explicáveis aqui, é a mais importante para a

modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Vocês verão nas próximas disciplinas de Cálculo

que as fórmulas de Cálculo ficam muito mais simplificadas quando usamos a base " ".

Vamos lembrar aqui as características mais importantes dessa função

A função ( ) :

( )

( ) ( ) ( )

Você pode encontrar a notação: ( ) ( ).

Importante:

ou em outra notação ( ) ( ) ( )


6 de 16

Assim, fica mais claro que a função exponencial nos transporta do mundo da adição para o mundo da

multiplicação.

Como então

O gráfico de ( ) e suas importantes reflexões:

( ) Reflexão em torno do eixo .

( ) Reflexão em torno do eixo .

( ) Reflexão em torno do eixo

seguida de uma reflexão em torno do eixo

( ) ( )


7 de 16

( )

A função ( ) é um a um, basta observar o seu gráfico e ver que ele atende o “Teste da Reta

Horizontal”. Portanto, a função exponencial é inversível.

( ) ( )

função crescente, injetora função decrescente, injetora

Vamos ver alguns exemplos

Exemplo 1: Resolva em , a equação ( )

Solução:

( ) ( )

O conjunto solução é {

}

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


8 de 16

Exemplo 2: Resolva em , a inequação ( )

Solução:

( ) ( ) ( ) . Como a base é tal que então a exponencial é

decrescente e portanto, Logo, .

Assim, o conjunto solução é ( )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 3: Resolva em , a equação

Solução:

( )

O conjunto solução é

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 4: Esboce o gráfico de ( )

. Use transformações em gráficos para esboçar o

gráfico da função e esboce a sequência de gráficos que você usou até encontrar esse gráfico. Descreva

em palavras as transformações ocorridas.

Solução:

Uma possível sequência de transformações é:

→

→

→

( )

→

→


9 de 16

→

Função logaritmo

Como vimos acima a função ( ) com é inversível.

Portanto, existe uma função inversa , chamada função logaritmo na base denotada por .

Como ( ) e ( ) ( ) então

( ) ( ) e ( ) ou seja,

( ) ( ) e ( )

Como ( ) ( ) então

( ) ( )

Por exemplo,

( )


10 de 16

Assim,

( ) já que

Sabemos que: ( ( ) ( )

( ( )) ( )

Portanto,

( )

( )

Gráficos de ( ) com vários valores da

base .

As principais propriedades da função logaritmo:

Seja Se e .forem números positivos, então

1. ( ) ( ) ( )

A função logaritmo nos transporta do mundo da multiplicação para o mundo da adição.

2. (

) ( ) ( )

3. ( ) ( ) (onde é qualquer número real)

4. ( ) ( ) Isto significa que ( ) ( )

é uma função crescente.

5. ( ) ( ) Isto significa que ( ) ( )

é uma função decrescente.


11 de 16

Mudança de base:

Para e diferentes de 1 e se , vale a seguinte fórmula de mudança de base:

Vamos falar agora do Logaritmo Natural

Logaritmo na base é chamado de logaritmo natural

ou logaritmo neperiano e têm uma notação especial :

( ) ( ).

Vamos reunir aqui, importantes informações sobre o Logaritmo Natural

1. A função logaritmo está definida para os números reais positivos.

2. pode ser um número positivo, negativo ou nulo.

3. ( )

4. ( )

5. ( )

6. e .

7. e

8. e

9. Se 0x e 0y , então: ( ) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

( ) ( ) (onde é qualquer número real)

10. Se e se então

(mudança de base)


12 de 16

O gráfico de ( ) ( ) e suas importantes reflexões:

( ) ( ) Reflexão em torno do eixo yO

( ) ( ) Reflexão em torno do eixo xO

( ) ( ) Reflexão em torno do eixo yO , seguida de uma reflexão em torno do eixo xO .

Mais exemplos envolvendo logaritmo e exponencial.

Exemplo 5: Encontre sendo que ( ) .

Solução:

Sabemos que ( ) . Logo, .

Uma outra forma de resolver essa questão é:

( ) ( )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 6: Resolva em √

Solução:

Para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que ou seja .

√ ( √ ) ( ) √ ( ) ( )

( ) . Sabemos que ( ) ( ) , logo ( ) é solução.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


13 de 16

Exemplo 7: Resolva em (

)

Solução:

(

)

(

)

(

)

(

)

Como a base é menor que , então a exponencial é

decrescente e portanto, O conjunto solução é ( )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 8: Resolva em ( )

Solução:

Para que ( ) possa ser calculado é preciso que

Mas, √ | |

Agora, ( ) ( )

√ √

É preciso saber se esses valores satisfazem a condição inicial.

Como então , donde √ √ , portanto √ e √ .

Isto mostra que √ √ são soluções da equação dada.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Exemplo 9: Estude o sinal da função ( ) ( )

Solução:

Para que ( ) possa ser calculado é preciso que

Mas, √ √ | | √ √ √

Logo, ( ) ( √ √ )

Sabemos que, ( ) logo

( )

Levando em consideração que, ( ) ( √ √ ) concluímos que,

( ) ( √ ) ( √ ).

e

( ) .

Exemplo 10: Resolva as equações:

a) ( ) ( ) ( ) b)

Solução:


14 de 16

a)Para que ( ) ( ) possa ser calculado é preciso que e .

Resolvendo a equação,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒ ( ( ))

( ) ⇒ ( )

Verificando se as possíveis soluções satisfazem a condição inicial,

, logo não é solução.

, logo é solução.

Portanto, a única solução é .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

b) ⇔ ( )

( ) ⇔ ( )

.

Única solução:

.

E agora, aos exercícios: __________________________________________________________________________

Exercício 1: Resolva em as seguintes equações:

a) Resolva em a seguinte equação

b) Se encontre o valor de

______________________________________________________________________________________

Exercício 2: Resolva em as seguintes inequações:

a) (

)

b)

______________________________________________________________________________________


15 de 16

Exercício 3: Resolva em as seguintes equações:

a) ( ) b) ( ( )) c) ( ) ( )

______________________________________________________________________________________

Exercício 4: Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:

a) 352 2

)( xx

x

exf b) )4(ln)( 2 xxg c) )1(ln

1)(

xxh

d) 1)(ln

1)(

xxj e)

xexk

32)(

f) )5(ln)( xxl

g) 1)(ln)( xxm h) xe

xxn

1)( i)

2

12ln)(

x

xxg

j)

162

3

)(x

x

exh .

______________________________________________________________________________________

Exercício 5: Resolva em as seguintes inequações:

a) ( ) b) ( ) c) (

) d) ( ) ( )

______________________________________________________________________________________

Exercício 6: Estude o sinal da função ( ) ( | |) Para isso encontre os valores reais de tais

que ( ) ( ) ( ) .

______________________________________________________________________________________

Exercício 7: Use as propriedades das funções exponencial e logaritmo para simplificar as seguintes

expressões:

a) )1(ln2

1)(ln xx b)

x

x

e

e 12

ln c) 2323

4

xx

x

ee

e

d) )2(ln)2(ln1

ln 3

x

x e) )3(ln)9(ln 2 xx .

______________________________________________________________________________________


16 de 16

Exercício 8: Resolva as seguintes equações:

a) 42 xe b) 1)

4(

xx

e c) 132

2 xx

e

d) 1)1(ln 2 ex e) 0)(ln)2(ln 2 xx f) 0)32(12

xexx

g) 32 xx ee h) 1)34(

xxe i) 0)32(ln x .

______________________________________________________________________________________

Exercício 9 Esboce o gráfico das seguintes funções:

a) x

exf )( b) 1

)(

x

exg c) 24)(

xexj

d) 11)(

xexh e) xxk ln)( f) 1ln)( xxl

g) )1(ln)( xxm h) )1(ln)( xxn i) 1ln)( xxr

j) 3 2ln6)( xxs .

______________________________________________________________________________________

Bom trabalho!

Documents

Pc ep14 2012_2_exponencial e logaritmo