PDF AEP Morular Matematica Apostola PedroEvaristo

8/12/2019 PDF AEP Morular Matematica Apostola PedroEvaristo

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Modulares

Matemtica

Apostila

Pedro Evaristo


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CAPTULO 01

CONJUNTO DOS NMEROS

NATURAIS

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

N* = N{0}

INTEIROS

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Z*= Z{0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros no nulos)

Z+= (0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros no negativos)

Z -= {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros no positivos)

MLTIPLOS NATURAIS

RReais

I

Irracionais

QRacionais

ZInteiros

NNaturais

R

NZ

Q I


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Denominamos mltiplo de um nmero o produto desse nmero por um nmeronatural qualquer. Dessa forma, para obter todos os mltiplos naturais de um nmeroN, basta multiplicar N por todos os naturais.

EXEMPLOS:Como os mltiplos de um nmero so calculados multiplicando-se esse nmeropelos nmeros naturais, ento os mltiplos de 7 so:

7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

EXEMPLOS: M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}

LINK:

Importante!

Um nmero tem infinitos mltiplos. Zero mltiplo de qualquer nmero natural. Existem tambm os mltiplos negativos (no naturais)


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PRIMOS ENTRE SI

Dois nmeros inteiros A e B so ditos primos entre si quando seu maior divisor comum o nmero 1, ou ainda, o m.d.c.(A, B) = 1 e o m.m.c.(A, B) = A.B. Sendo assim, A/B sempre uma frao irredutvel.

EXEMPLO:Os nmeros 14 e 45 so primos entre si, pois o maior divisor comum entre eles 1,uma vez que o 14 divisvel pelos primos 2 e 7, enquanto o que o 45 s divisvelpelos primos 3 e 5. Dessa forma, a frao 14/45 ser irredutvel.

Dois nmeros consecutivos N e N+1, sempre sero primos

entre si.

LINK:


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REGRAS DE DIVISIBILIDADE

2

3

4

5

6

8

9

10

11

12

15

25

Basta que o nmero seja par

A soma dos algarismos um nodivisvel por 3

Os dois ltimos algarismos formam um nodivisvel por 4

Termina em 0 ou 5

O nmero satisfaz a regra do 2 e do 3

Os trs ltimos algarismos formam um nodivisvel por 8

A soma dos algarismos um nodivisvel por 9

Termina em 0

A diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par (ou somar e

subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um nodiv. por 11.



Termina sempre em 00, 25, 50 e 75

7 Separa-se o algarismo das unidades do restante, ento a diferena entre esse nmero eo dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisvel por 7.

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD

N = ABCD


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EXEMPLO:Verifique se o nmero N = 27720 divisvel pelos naturais de 2 a 12.

SOLUO:

Como 27720 par, ento ele divisvel por 2; A soma dos algarismos 2+7+7+2+0 = 18. Como 18 divisvel por 3, N tambm divisvel por 3;

Os dois ltimos algarismos formam o nmero 20, que divisvel por 4, logo Ntambm divisvel por 4;

Como N termina em 0 ele divisvel por 5; Como N mltiplo de 2 e 3, ele ser divisvel por 6; Aplicando a regra do 7, temos 2772 2.0 = 2772, 277 2.2 = 273 e 27 2.3 = 21,

que divisvel por 7; Os trs ltimos algarismos formam o nmero 720, que divisvel por 8, logo N

tambm divisvel por 8; A soma dos algarismos 18. Como 18 divisvel por 9, N tambm divisvel por9;

Como N termina em 0 ele divisvel por 10; Somando os algarismos alternando o sinal temos 27+72+0 = 0, que divisvel

por 11; Como N mltiplo de 3 e 4, ele ser divisvel por 12.


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Considerando os nmeros 4 e 15, ques so primos entre si. O m.m.c.(4,15) igual a 60,que o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

MXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Dois nmeros naturais sempre tm divisores comuns.

Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 so 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 o maior.Ento chamamos o 6 de mximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18)= 6.

Dados dois nmeros primos entre si, o m.m.c. deles o

roduto desses nmeros.

O maior divisor comum de dois ou mais nmeros

chamado de mximo divisor comum desses nmeros.

Usamos a abreviao m.d.c.


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EXEMPLOS:Vamos achar os divisores comuns de 30 e 24.

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Divisores comuns de 30 e 24 = {1, 2, 3, 6}

Dentre os divisores desses nmeros, percebe-se que o 6 maior natural positivo que divisor comum.Dessa forma, podemos chamar o 6 de mximo mltiplo comum de 30 e 24, ou seja,mdc(30, 24) = 6.

CLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais nmeros utilizar adecomposio desses nmeros em fatores primos.

1) decompomos os nmeros em fatores primos;2) o m.d.c. o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o clculo do m.d.c. entre 36 e 90:36 = 2 x 2 x 3 x 390 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatorao do nmero na forma de potncia temos:36 = 22x 3290 = 2 x 32x5Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32= 18.

PROCESSO DA DECOMPOSIO SIMULTNEA

Esse processo de decomposio funciona de forma semelhante aom.m.c., onde todos os nmeros so decompostos ao mesmo tempo,num dispositivo como mostra a figura ao lado. Mas nesse caso, adiviso s poder ser feita se todos os nmeros ferem divisveis aomesmo tempo por cada um dos nmeros primos. O produto dos fatores primos comunsque obtemos nessa decomposio o m.d.c. desses nmeros. Ao lado vemos o

clculo do m.d.c.(15,24,60).Portanto, m.d.c.(24,30,60) = 2 x 3 = 6

24, 30, 60 2

12, 15, 30 3

O m.d.c. de dois ou mais nmeros, quando fatorados,

o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado

ao menor expoente.


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LINK:

EM UMA QUEST O, COMO DIFERENCIAR MMC E MDC? Quando a questo remeter a uma situao cclica, pense

em MMC. Quando a questo quiser dividir em partes iguais demaior tamanho possvel, pense em MDC.


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999

125....125125125,0125,0

9999

5526....265526552655,05526,0

DEMONSTRAO

Sejax = 0,222...

ento10x = 2,222...10x = 2 + 0,222...10x = 2 + x9x = 2

Logox = 29

Seja

x = 0,212121...ento

100x = 21,212121...100x = 21 +

0,212121...100x = 21 + x99x = 21

Logox = 2199

Seja

x = 0,218218218...ento

1000x =218,218218218...

1000x = 218 +0,218218218...

1000x = 218 + x999x = 218

Logo

x = 218999


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DZIMA PERIDICA COMPOSTAS

No caso das compostas, elas possuem um parte no peridica (que no se repete)e outra parte peridica (que se repete). Para transformar em uma fraoequivalente voc pode escrever a parte no peridica seguida da parteperidica, menos a parte no peridica, tudo sobre tantos noves quantos forem os

algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismosque esto aps a vrgula.

EXEMPLO:

90

221

90

24245...4555,254,2

900

4846

900

5385384...38444,5438,5

990

804

990

8812...8121212,0128,0

990

5331

990

535384...3848484,5843,5

9

20

9

222...222,22,2

999

5379

999

55384...384384384,5384,5

IRRACIONAIS

Como o prprio nome j sugere so aqueles nmeros que no racionais, ou seja,que no podem ser escritos na forma de frao, tais como as dzimas noperidicas.

I = {x q

p / p Z e q Z*} ou I = RQ

EXEMPLOS: DZIMAS NO PERIDICASObserve que a raiz de um inteiro que no quadrado perfeito sempre ser umadzima no peridica.2 = 1,414213562...3 = 1,732050807...5 = 2,236067977...

= 3,141592658...

REAIS

o conjunto formado pela reunio de todos os conjuntos racionais e irracionais.Dessa forma, temos:

R = Q I


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EXERCCIOS

01.Dois fiscais, Pedro e Diego, visitamuma mesma empresa a cada 30 e 40dias, respectivamente. Em uma segunda-feira ambos estavam nessa empresadesempenhando seus trabalhos. Em quedia da semana eles voltaro a seencontrar?a) sexta-feirab) quinta-feirac) quarta-feirad) tera-feira

02.Trs rolos de tecido: um Azul com 30m,um Vermelho com 24m e outro Brancocom 18m, devem ser cortados em peasiguais, com o maior tamanho possvel.Determine o menor nmero de peasaps o corte.a) 24 peas com 3m cadab) 18 peas com 4m cadac) 15 peas com 5m cadad) 12 peas com 6m cada

03.Belarmino leu 3/5 de um livro e aindafaltam 48 pginas para ele terminar deler o livro todo. Qual o nmero mnimode folhas que tem esse livro?a) 120

b) 80

c) 60

d) 45

04.Sabendo que aps Rodolfo gastar 1/3do seu salrio com aluguel, 1/4 do salriocom alimentao e 1/5 do salrio comlazer e transporte, ainda lhe sobrou R$260,00. Qual o salrio de Rodolfo?

a) R$ 1200

ANOTAES:


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b) R$ 1400

c) R$ 1600

d) R$ 1800

05.Ao entrar em uma loja, Sophia gasta 1/3 do que tem na bolsa, ao entrar em umasegunda loja gasta 1/4 do que lhe restou e finalmente na terceira loja gasta 1/5 doque ainda tinha, ficando ainda com R$48,00 na bolsa. Determine a quantia que elatinha antes de entrar na primeira loja.a) 120

b) 130

c) 140d) 150

06.Quantos algarismos um datilgrafo digita para numerar cada uma das 250 pginasde um livro?a) 151

b) 250

c) 453

d) 642


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07.Um estudante terminou um trabalhoque tinha n pginas. Para numerar todasessas pginas, iniciando com a pgina 1,ele escreveu 270 algarismos. Entodetermine o valor de n.a) 108

b) 126

c) 158

d) 194

08.Em um livro com 380 pginas, quantasvezes em sua numerao aparece odgito 2?a) 178

b) 138

c) 98

d) 78

09.Em um domingo, Sophia, Lia eMariana encontraram-se no shopping.Sabendo que Sophia vai sempre aomesmo shopping de 12 em 12 dias, Liavai de 10 em 10 dias e Mariana de 20 em20 dias, determine em que dia dasemana poder ocorrer o prximoencontro.a) segunda-feirab) tera-feirac) quarta-feirad) quinta-feira

10.Geovane deseja embalar 60 apostilasde matemtica e 24 apostilas de fsica,em pacotes com igual quantidade emcada um e sem misturar as disciplinas.Determine o maior nmero de apostilasque ele pode colocar em cada pacote.a) 24b) 16

ANOTAES:


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c) 12d) 8

11.(FUNRIO) Num saco de bolinhas de gude, Fernando notou que elas poderiam serdivididas em grupos de 2, ou em grupos de 3, ou em grupos de 4, ou, ainda, em

grupos de 5, sem que houvesse sobras em nenhum desses tipos de diviso. Esse sacopode conter um nmero de bolinhas igual aa) 180

b) 170

c) 160

d) 150

e) 140

12.Um bilogo, estudando espcies migratrias que cruzavam o estado do Cear,observava um grupo de centenas de aves que estavam prestes a pousar nos galhosde uma grande rvore de galhos secos.


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Curiosamente, percebeu que se todas as aves pousassem nos galhos da rvore emgrupos de 3, ou de 4, ou de 5, ou de 6, ou de 7 aves em cada galho, sobrariamsempre uma ave sozinha em um galho.Dessa forma, determine o nmeromnimo de aves desse bando, de forma

a satisfazer a curiosa condio.

a) 420

b) 421

c) 840

d) 841

e) 842

13.Um estudante de direito que gostavamuito de matemtica percebeu quepara numerar todas as pginas de seuvolumoso livro a partir do nmero 1,seriam necessrios 4893 dgitos.Determine quantas pginas tm o livro.a) 1500

b) 1850

c) 2520

d) 2889

14.Nair tem em seu cofre apenasmoedas de 1 centavo, 5 centavos, 10centavos, 25 centavos e 50 centavos,

todas em quantidades iguais, totalizandoR$15,47. Nessas condies, qualimportncia que ela tem em moedas de25 centavos?a) 5,75

b) 5,25

c) 4,75

d) 4,25

ANOTAES:


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15.No tempo em que os animais falavam, um gavio sobrevoando um bando depombinhas, cumprimentou-as:

- Bom dia, minhas cem pombinhas!

E uma das pombinhas respondeu:

- Cem pombinhas no somos ns, mas com outro tanto de ns, mais a metade dens, mais a quarta parte de ns, mais vs, senhor gavio, cem pombinhas seramosns.

Quantas pombinhas havia no bando?

a) 28

b) 32

c) 36

d) 40

GABARITO

01. D 02. D 03. C 04. A 05. A

06. D 07. B 08. A 09. D 10. C

11. A 12. B 13. A 14. D 15. C


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DESAFIO

01. Pedro saiu de casa e fez compras emquatro lojas, cada uma num bairrodiferente. Em cada uma, gastou ametade do que possua e, ao sair decada uma das lojas pagou R$2,00 deestacionamento. Se, no final, ainda tinhaR$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair

de casa?

a) 188

b) 178

c) 168

d) 158

02. (FCC) Certo dia, um tcnico judiciriofoi incumbido de digitar um certonmero de pginas de um texto. Eleexecutou essa tarefa em 45 minutos,adotando o seguinte procedimento:

nos primeiros 15 minutos, digitou ametade do total das pginas e maismeia pgina;

nos 15 minutos seguintes, a metadedo nmero de pginas restantes emais meia pgina;

nos ltimos 15 minutos, a metade donmero de pginas restantes e maismeia pgina.

Se, dessa forma, ele completou a tarefa,o total de pginas do texto era umnmero compreendido entre

a) 5 e 8

b) 8 e 11

ANOTAES:


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c) 11 e 14

d) 14 e 17

e) 17 e 20

03. A mercearia do Seu Z tinha certa quantidade de ovos em uma cesta. Anaentrou na mercearia e comprou a metade dos ovos que tinham na cesta e mais meioovo. Em seguida, Bruna comprou a metade dos ovos que restaram na cesta e maismeio ovo. Por fim, Carine comprou a metade dos ovos restantes na cesta e mais meioovo. Se ao final restou apenas um ovo na cesta, ento podemos afirmar que Anacomprou:

a) 15 ovos

b) 8 ovos

c) 7 ovos

d) 3 ovos


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CAPTULO 02

UNIDADES DE MEDIDAS

INTRODUO

O mundo como conhecemos certamente no existiria sem que o homem tivesseinventado uma maneira de medir,pois isso o ajudou a contabilizar,

mensurar, comparar, construir e atmesmo guardar

O SISTEMA MTRICO DECIMAL parte integrante do Sistema deMedidas. adotado no Brasil tendocomo unidade fundamental demedida o metro. Apenas trs das 203naes no adotaram oficialmente esse sistema como seu sistema principal ou nico

de medio: Mianmar, Libria e Estados Unidos.

O Sistema de Medidas um conjunto de medidas usado em quase todo omundo, visando padronizar as formas de medio.

Deste os tempos passados os povos criavam seu mtodo prprio de unidades demedidas. Cada um, desta forma, tinha seus prprios mtodos de medio.

Com o comrcio crescente e em expanso na poca, ficava cada vez maiscomplicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de

informaes entre os povos era confusa.

Assim foi necessrio que se adotasse um sistema padro de medidas em suas

respectivas grandezas.

Ento no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos pases reuniu-separa discutir a forma de adotar um sistema de medidas nico que facilitasse a trocade informaes entre os povos. Aps isso foi desenvolvido o sistema mtrico decimal.

AS PRIMEIRAS MEDIES


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No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentosque permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porm nemsempre foi desta forma, h 3.000 anos, quando no se existia osrecursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas decomprimentos?

Esta necessidade de medir espaos to antiga quanto necessidade de contar. Quando o homem comeou a construir suashabitaes e desenvolver sua agricultura e outros meios desobrevivncia e desenvolvimento econmico, que se fazia necessrio medir espaos,ento houve ai a necessidade de se medir espaos.

Desta forma, para medir espaos o homem antigo, tinha como base seu prpriocorpo, por isto que surgiram: polegadas, a braa, o passo, o palmo. Algumas destas

medidas ainda so usadas at hoje, como o caso da polegada.H algum tempo, o povo egpcio usava como padro para comprimento, o

cbito, que a distncia do cotovelo a ponta do dedo mdio.

Como as pessoas, claro, tem tamanhos diferentes, o cbito variava de uma

pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergncia nos resultados finaisde medidas.

Ento, vendo este problema de variao de medidas, o povo egpcio resolveu

adotar uma outra forma de medir o cbito, passaram ento ao invs de usar seuprprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assimdeu-se origem ento o cbito padro.

Como era impossvel realizar medies em extenses grandes, o povo egpcioento comeou a usar cordas, para medir grandes reas. Tinham ns que eramigualmente colocados em espaos iguais, e o intervalo entre estes ns, poderia medirx cbitos fixos. Desta forma de medio com cordas, originou-se o que chamamoshoje de trena.


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Inicialmente a medida do metro foi definida como a dcima milionsima

parte da distncia entre o Plo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passapela cidade francesa de Paris. O metro padro foi criado no de 1799 e hoje baseado no espao percorrido pela luz no vcuo Atualmente o metro definidocomo sendo "o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vcuo, durante um

intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo".


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SISTEMA MTRICO DECIMAL

O Sistema Mtrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental docomprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seusmltiplos e submltiplos. Os nomes prefixos destes mltiplos e submltiplos so: quilo (k),hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m).

Os mltiplos do metro so usados para realizar medio em grandesreas/distncias, enquanto os submltiplos para realizar medio em pequenasdistncias.

Outras unidades foram criadas de forma direta ou indireta a partir de relao

com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade especfica de volume foi definidoque um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm 3, seria denominadode litro (L). Para definir uma unidade especfica para medidas de massa, foi usada agua como referncia, onde exatamente um litro de gua pura pesaria o que seconhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram.

LINK:

NOMES E FUNES DE ALGUMAS MEDIDAS


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COMPRIMENTO

O metro uma das unidades bsicas do Sistema Internacional de Unidades. Apartir dele so denominadas outras unidades de medida apenas com o uso deprefixos, pois nem sempre ele prtico

Se queremos medir grandes extenses ela muito pequena. Por outro lado, sequeremos medir extenses muito "pequenas", a unidade metro muito "grande", da anecessidade do uso de mltiplos e submltiplos do metro, que so chamados deunidades secundrias de comprimento.

OBSERVE A TABELA ABAIXO:

km hm dam m dm cm mm

quilmetro

hectmetro

decmetro

metro

decmetro

centmetro

milmetro

Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula

anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos

para direita, a vrgula anda uma casa para direita.

EXEMPLOS:

4,58 m = 45,8 dm 4,58 m = 458 cm 4,58 m = 4580 mm

LINK:

10

x10 x10 x10 x10 x10 x10

10 10 10 10 10


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LINK:

MLTIPLOS E SUBMTIPLOS DO METRO


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REA

As unidades de rea representam ao mesmo tempo duas dimenses e por issotem um tratamento particular. rea um conceito matemtico que pode ser definidacomo quantidade de superfcie.

Existem vrias unidades de medida de rea, sendo a mais utilizada o metroquadrado (m) e os seus mltiplos e sub-mltiplos. So tambm muito usadas asmedidas agrrias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu mltiplo hectare,que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de rea so oacre e o alqueire.

OBSERVE A TABELA ABAIXO:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

quilmetro

quadrado

hectmetro

quadrado

decmetro

quadrado

metro

quadrado

decmetro

quadrado

centmetro

quadrado

milmetro

quadrado

100

x100 x100 x100 x100 x100 x100

100 100 100 100 100

Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula

anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos

para direita, a vrgula desloca duas casas para direita.

EXEMPLOS:

4,58 m2= 458 dm2 4,58 m2= 45800 cm2 4,58 m2= 4580000 mm2

LINK:


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LINK:

POR QUE A VRGULA DESLOCA DUAS CASAS?

Para unidades de rea ocorrem duas transformaes, nas

duas dimenses: largura e comprimento. Por isso, 1 m2

equivale a 100 dm2.

LINK:

SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRO PADRO?

O quarteiro padro

um quadrado de

QUARTEIRO:

100m x100m

10000m2

1hm x1hm


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POR QUE A VRGULA DESLOCA TRS CASAS?

Para unidades de volume ocorrem trs transformaes, nas

trs dimenses: largura, comprimento e altura.

LINK:


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PREFIXOS

As abreviaes das unidades derivadas do metro esto expressas na Tabela 1,bem como a medida equivalente:

Nome Smbolo Fator de multiplicao da unidade

yotta Y 1024= 1 000 000 000 000 000 000 000 000

zetta Z 1021= 1 000 000 000 000 000 000 000

exa E 1018= 1 000 000 000 000 000 000

peta P 1015= 1 000 000 000 000 000

tera T 1012= 1 000 000 000 000

giga G 109= 1 000 000 000

mega M 106= 1 000 000

quilo k 10 = 1 000

hecto h 10 = 100

deca da 10

deci d 10-1= 0,1

centi c 10-2= 0,01

mili m 10-3= 0,001

micro 10-6= 0,000 001

nano n 10-9= 0,000 000 001

pico p 10-12= 0,000 000 000 001

femto f 10-15= 0,000 000 000 000 001

atto a 10-18= 0,000 000 000 000 000 001

zepto z 10-21= 0,000 000 000 000 000 000 001

yocto y 10-24= 0,000 000 000 000 000 000 000 001


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velocidade metro por segundo m/s

acelerao metro por segundo quadrado m/s2

nmero de onda metro recproco m-1

densidade quilograma por metro cbico kg/m3

UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL

Grandeza Unidade Smbolo Converso

tempominutohoradia

mimhd

1 min = 60s1h = 60 min = 3600s1d = 24h = 86400 s

volume litro(a) l, L 1 L = 1 dm3= 10-3m3

massa tonelada(b) t 1 t = 103 kg


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TEMPO

Este um item que muito pedido em grande parte de concursos que exigemmatemtica, e justamente onde muitas pessoas que estudam este tema temcomprometido seus resultados.

POR QUE DIVIDIRAM A HORA E O

MINUTO EM 60 PARTES?

O nmero 60 interessante porque

LINK:

1/2 hora

1/3 hora

1/4 hora

1/5 hora

1/6 hora


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Matemtica

Prof. Pedro Evaristo 41

RESOLVIDOS

01.Determine a equivalncia dos temposa seguir.

a) 47/2 de hora

h2

47

2

1

2

46 = 23h 30min

b) 47/3 de hora

h347

32

345 = 15h 40min

c) 47/4 de hora

h4

47

4

3

4

44 = 11h 45min

d) 47/5 de hora

h547 5

2545 = 9h 24min

e) 47/6 de hora

h6

47

6

5

6

42 = 7h 50min

f) 47/10 de hora

h10

47

10

7

10

40

= 4h 42min

g) 21/5 de hora

h5

21

5

1

5

02 = 4h 12min

h) 63/10 de hora

h10

63

10

3

10

60

= 6h 18min

x 60

x 60

x 60

x 60

x 60

x 60

x 60

x 60

ANOTAES:


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Matemtica


i) 16/3 de minuto

min3

16

3

1

3

15 = 5min 20s

j) 35/4 de minuto

min4

35 min4

3

4

32

= 8min 45s

f) 35/8 de um dia

dia8

35

8

3

8

32 = 4d 9h

g) 3/10 do dia

dia10

3 = h5

36

5

1

5

35 = 7h 12min

x 60

X24

x 60

X60X24


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Matemtica


h) 17/36 do dia

dia36

17 = h3

34

3

1

3

33 = 11h 20min

i) 5,85 horas0,85h = 51min 5,85h = 5h51min

j) 8,43 horas0,43h = 25,8min 0,8min =

48s

8,43h = 8h 25min 48sk) 14,76 horas

0,76h = 45,6min 0,6min =36s

14,76h = 14h 45min 36s

02.Qual a diferena de tempo entre 24he 19h14min20s?

24h19h 14min 20s

23h 59min 60s19h 14min 20s

4h 45min 40s

X60X24

X60

X60 X60

X60 X60

23h60mi

n23h59min60s

ANOTAES:


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Matemtica


EXERCCIOS

01.Qual a rea de um terreno retangularque mede 3 hm de largura por 500 m decomprimento?a) 0,15 ha

b) 1,5 ha

c) 15 ha

d) 150 ha

e) 1500 ha

02.Podemos afirma que 0,3 semanacorresponde a:a) 2 dias e 1 hora;

b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos;

c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos;

d) 2 dias e 12 horas;

e) 3 dias.

03.(FCC)Durante todo o ms de maro,o relgio de um tcnico estavaadiantando 5 segundos por hora. Se eles foi acertado s 7h do dia 2 de maro,

ento s 7h do dia 5 de maro elemarcavaa) 7h05min

b) 7h06min

c) 7h15min

d) 7h30min

e) 6h54min

ANOTAES:


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Matemtica


CAPTULO 03

RAZO

A razo entre duas grandezas o quociente estabelecido entre elas, oumelhor, o resultado da diviso entre as grandezas.

Assim, dados dois nmeros reais ae b, com b 0, calcula-se a razo entre aebatravs do quociente da diviso de apor b.

Para indicarmos a razo entre ae busamos:b

a ou a : b (a est para b).

Na razo de apor b, o nmero a chamado de antecedentee o nmero

b chamadode conseqente.

RAZES INVERSAS

Duas razes so inversas quando o antecedente de uma igual ao

conseqente da outra e vice-versa

a

beb

a

. Note que, o produto de duas razes

inversas sempre igual a 1.

RAZES ESPECIAIS

CONCORRNCIA DE UM CONCURSO a razo entre o nmero de candidatos inscritos no concurso e o nmero de

vagas oferecidas por ele.

VELOCIDADE MDIA

a razo entre a distncia percorrida por um mvel e o tempo gasto parapercorr-la.

Razo entre ae b=b

a

1. a

b

b

a

Concorrncia =oferecidasvagasden

inscritoscandden

.


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Matemtica


DENSIDADE DE UM CORPO a razo entre a massa do corpo e ovolume por ele ocupado.

DENSIDADE DEMOGRFICA DE UMA REGIO a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio.

Velocidade mdia =t

SVm

gastotempo

apercorriaddistncia

Densidade =V

md

volume

massa

Densidade demogrfica =regiodessa

regioumadehabitantesderea

no


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Matemtica


0km 200km 400km 600km 800km

cm

cm

km

cm

000.000.20

1

200

1

ESCALA NUMRICA a razo entre um comprimento no desenho e o seu correspondente

comprimento no tamanho real, medidos na mesma unidade.

Tamanhos de escalaEscala grande: aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, aquela

destinada a pequenos comprimentos reais (reas urbanas). rica em detalhes. usada em cartas ou plantas.

Escala pequena: aquela que possui um grande denominador, ou seja, aqueladestinada a grandes comprimentos reais (reas continentais). pobre emdetalhes grficos. usada em mapas e globos.Obs.: H ainda um outro tipo de escala, chamada escala grfica, que se

apresenta sob a forma de um segmento de reta graduado. Nele, cadagraduao representa 1cm de comprimento no desenho. Exemplo:

Escala = ou 1: 20.000.000.

EXEMPLONuma prova com 50 questes, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais.

Responda os itens seguir.

a) Qual a razo entre o n de questes certas e erradas?b) Qual a razo entre o n de questes erradas sobre o total de questes daprova?c) Qual a razo entre o n de questes em branco sobre o n de questes certas?

SOLUO:

O importante dividir seguindo a ordem dada, logo

a) 27

10

35

ERRADAS

CERTAS

= 7 : 2 (proporo de 7 certas para cada 2 questeserradas)

b)5

1

50

10

TOTAL

ERRADAS = 1 : 5 (proporo de 1 errada para cada 5 questes da

prova)

Escala =real

desenhono

ocompriment

ocompriment

D

dE


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Matemtica


c)7

1

35

5

CERTAS

BRANCO = 1 : 7 (proporo de 1 em branco para cada 5 questes

certas)

VAZO (FLUXO)A vazo de um lquido o volume desse fluido que passa por uma determinadaseo de um conduto por uma unidade de tempo. Geralmente a unidadeadotada litros por segundo (l/s), embora existam outras unidades.

tempo

VolumeVazo

SOMA DAS VAZES

Por exemplo, quando temos duas ou mais torneiras enchendo um mesmo balde,devemos somar as vazes dessas torneiras para encontrar a vazoequivalente, ou seja,

BA VVVazo O volume do recipiente pode ser representado por uma unidadequalquer. Podemos ento dizer que a vazo da torneira A de 1balde em tAminutos, da torneira B de 1 balde a cada tBminutos e avazo equivalente de 1 balde em tEminutos, ou seja

BAe ttt

111

O conceito de fluxo pode ser aplicado a outras situaes diferentes dos lquidos,dessa forma podemos ter fluxo de carros, de pessoas, de dinheiro, de trabalho,etc.

EXEMPLOUma torneira enche um tanque em 3 horas, uma outra em 4 horas e uma terceirapode esvazilo em 2 horas. Se forem abertas as trs torneiras ao mesmo tempo,em quantas horas o tanque ficar completamente cheio?

A B


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Matemtica


SOLUO:

Observe que quanto mais torneiras, menor o tempo, portanto o tempoequivalente ser dado por

ne tttt

1...

111

21

Nesse caso duas torneiras enchem e uma das torneiras esvazia, logo

2

1

3

1

4

11

et

12

6431

et

12

11

et te= 12 horas

PROPORO

A grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcional.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas x e y so diretamente proporcionais quando a razoentre elas constante. Alm disso, quando o valor absoluto de x cresce, o valorabsoluto de y cresce na mesma proporo.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas x e y so inversamente proporcionais quando o produtoentre elas constante. Pode-se afirmar tambm que quando o valor absoluto dex cresce,o valor absoluto de y decresce em proporo inversa.

SRIE DE RAZES IGUAIS

Uma srie de razes iguais uma igualdade de duas ou mais razes.Tambm, pode ser chamada de proporo mltipla. Em smbolos, temos:

kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n ...3

3

2

2

1

1

A principal propriedade a ser utilizada :

n

n

n

n

bbbb

aaaa

b

a

b

a

b

a

b

a

...

......

321

321

3

3

2

2

1

1 = k


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Matemtica


DIRETAMENTE PROPORCIONAL

Os nmeros de uma sucesso numrica A = (x, y, z) so ditos diretamenteproporcionais aos nmeros da sucesso numrica B = (a, b, c), quando as razesde cada termo de Apelo seu correspondente em Bforem iguais , isto :

Este valor k chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente deproporcionalidade, que pode corresponder a razo entre a soma dos termos de Aem relao a soma dos elementos de B.

kc

z

b

y

a

x

cba

zyx

c

z

b

y

a

x


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Matemtica


EXEMPLOVerificar se os nmeros da sucesso (20, 16, 12) so ou no diretamenteproporcionais aos nmeros da sucesso (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine ocoeficiente de proporcionalidade k.

SOLUO:

Note que:

.43

124

4

16;4

5

20 e

Ento as sucesses so diretamente proporcionais e o coeficiente deproporcionalidade k = 4.

EXEMPLOEncontrar x e y sabendo que os nmeros da sucesso (20, x, y) so diretamente

proporcionais aos nmeros da sucesso (4, 2, 1)

SOLUO:

Pela definio de nmeros diretamente proporcionais, temos:

5

10

125

124

20

y

xyxyx

EXEMPLO(FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar

judicirio observou que o nmero de pessoas atendidas no perodo da tardeexcedera o das atendidas pela manh em 30 unidades. Se a razo entre aquantidade de pessoas atendidas no perodo da manh e a quantidade depessoas atendida no perodo da tarde era 3/5, ento correto afirmar que, nessedia, foram atendidas

a) 130 pessoas.

b) 48 pessoas pela manh.

c) 78 pessoas tarde.

d) 46 pessoas pela manh.

e) 75 pessoas tarde.

SOLUO:

Seja

Tnmero de pessoas atendidas no perodo da tarde;


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Matemtica


Mnmero de pessoas atendidas no perodo da manh;

Do enunciado, temos:

5

3

T

M

30MT

5

T

3

M

30MT

Ento

35

MT

3

M

5

T

logo

2

30

5

T T = 75 e

2

30

3

M T = 45


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Matemtica


03.(FCC) No quadro abaixo, tm-se as idades e os tempos de servio de doistcnicos judicirios do TRF de uma certa circunscrio judiciria.

IDADE TEMPO DESERVIO

JOO 36ANOS

8 ANOS

MARIA 30ANOS

12 ANOS

Esses funcionrios foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiramo total de laudas entre si, na razo direta de suas idades e inversa de seus temposde servio no Tribunal. Se Joo digitou 27 laudas, determine o total de laudas doprocesso.

SOLUO:

Sejam

Laudas de Joo: x

Laudas de Maria: y

Ento

8

36

x =

12

30

y =

12

30

8

36

yx

Como x = 27, temos

8

36

27 =

12

30

8

36

yx

ou seja

36

8.27 =

2

5

2

9

yx

6 =7

yx

entox+y = 42


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Matemtica


DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Grandeza diretamente proporcional a dois valores ao mesmo tempo:

Grandeza diretamente proporcional a um valor e inversamente a outro:

Grandeza diretamente proporcional a dois valores e inversamente a umterceiro valor:

nmba

yx

nm

y

ba

x

....

nmba

yx

nm

y

ba

x

////

p

nm

c

ba

yx

p

nm

y

c

ba

x

....


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Matemtica


(FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 e 50centavos. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razo direta de suasrespectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as moedas de 25centavos, o nmero de moedas de 50 centavos era

a) 28

b) 32

c) 36

d) 48

e) 56

SOLUO:

Do enunciado temos:

97

BA

9

B

7

A

Sabendo que A+B = 32, ento

16

32

9

B

B = 18 reais

Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velhoficou com todas as de 50 centavos, portanto o nmero de moedas dele ser:

nB= 18/0,50 = 36 moedas

REGRA DE SOCIEDADE

O fato que: para ser justo em uma sociedade os lucros e os prejuzos devemser distribudos entre os vrios scios proporcionalmente aos capitais empregados(C) e ao tempo (T) durante o qual estiveram empregados na constituio dessasociedade.

uma aplicao prtica da diviso em partes diretamente proporcionais,portanto:

332211332211 T.CT.CT.C

dividido)seralucro(zyx

T.C

z

T.C

y

T.C

x

EXEMPLO:


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Matemtica


Trs scios lucraram juntamente R$20.200,00. Para tanto, o primeiro entrou com umcapital de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.000,00 durante 8 meses eo terceiro com R$9.000,00 durante 1 semestre. Quanto lucrou cada um?

SOLUO:

Sejam:Lucro Investimento Tempo

1 Scio x R$ 7 mil 12 meses2 Scio y R$ 8 mil 8 meses1 Scio x R$ 9 mil 6 meses

Como

332211332211 T.CT.CT.C

dividido)seralucro(zyx

T.C

z

T.C

y

T.C

x

Ento

6.98.812.720200

6.9z

8.8y

12.7x

546484

20200

54

z

64

y

84

x

Ou seja

202

20200

84

x x = 8400

202

20200

64

y y = 6400

202

20200

54

z y = 5400

PROPORO

Dados quatro nmeros reais a, b, ce d, todos diferentes de zero, dizemos queeles formam, nesta ordem, uma proporo, quando a razo entre o primeiro e osegundo (a:b) igual razo entre o terceiro e o quarto (c:d). Representamos istopor:

d

c

b

a ou a : b = c : d

E lemos: a est para b assim como c est para d.Na proporo

d

c

b

a , destacamos que os termos a e d so chamados

extremose os termos be cso chamados meios.

a : b = c : d oud

c

b

a

MEIOS

EXTREMOS

MEIOS

EXTREMOS


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Matemtica


PROPRIEDADES DE UMA PROPORO

PROPRIEDADE FUNDAMENTALEm toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

cbdad

c

b

a ..

SOMA DOS TERMOSEm toda proporo, temos:

d

dc

b

ba

ou

c

dc

a

ba

d

c

b

a

DIFERENA DOS TERMOS

Em toda proporo, temos:

d

dc

b

ba

ou

c

dc

a

ba

d

c

b

a

SOMA DOS ANTECEDENTES E CONSEQENTESEm toda proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos

conseqentes, assim como qualquer antecedente est para seu conseqente.

db

ca

d

c

b

a


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Matemtica


QUARTA PROPORCIONAL

Dados trs nmeros reais, a, b e c, no-nulos, chama-se de quartaproporcionaldesses nmeros dados o nmero xtal que:

x

c

b

a

Note que, a quarta proporcional forma uma proporo com os nmeros a, b

e c, nessa ordem.

TERCEIRA PROPORCIONAL

Dados dois nmeros reais ae b, no-nulos, chama-se de terceira proporcionaldesses nmeros o nmero xtal que:

x

b

b

a

REGRA DE TRS SIMPLES

uma regra prtica que nos permite comparar duas grandezasproporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nosproblemas, haver um desses quatro valores que ser desconhecido e dever sercalculado com base nos trs valores dados. Da o nome regra de trs.

Dependendo das grandezas A e B, podemos ter:Regra de trs direta A e B so grandezas diretamente proporcionais.

2

1

2

1

B

B

A

A

Regra de trs inversaA e B so grandezas inversamente proporcionais.A1.B1= A2.B2

EXEMPLO:Se uma dzia de ovos custa R$1,40, ento quanto deve custar uma bandeja com

30 ovos?

SOLUO:

Faa uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preo, e por meio de

setas verifique se estas grandezas so diretamente ou inversamenteproporcionais.

Quantidade de ovos Preo (R$)12 1,4030 xxx

As setas tm o mesmo sentido porque as grandezas so diretamenteproporcionais, ou seja, quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se temque gastar. Logo:

50,3

12

40,1.3040,1

30

12 xx

x

Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50.


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Matemtica


REGRA DE TRS COMPOSTA

uma regra prtica utilizada na resoluo de problemas que envolvem vriasgrandezas proporcionais. A regra de trs composta realizada da seguintemaneira.

1 Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, osvalores de cada grandeza.

2 Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referncia.3 Passo: Comparamos esta grandeza de referncia a cada uma das outras

grandezas, isoladamente, identificando se h proporcionalidade direta(seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).

4 Passo: Colocamos a razo da grandeza de referncia isolada no 1 membro

e, no 2 membro, colocamos o produto das razes das outrasgrandezas, lembrando que se h proporcionalidade inversa em relao auma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e

escrever a razo inversa no produto.

EXEMPLO:Dezoito operrios, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizarum determinado servio. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operrios faro o mesmoservio em quantos dias?

1 SOLUO:

Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referncia, temos:

Operrios Horas por dia Dias18 7 1212 9 x

Logo:

79.

181212

x18.7 = 9.x x = 14 dias

Resposta: So necessrios 14 dias.

2 SOLUO:

Montando a tabela e tomando o node operrios como referncia, temos:

Operrios Horas por dia Dias18 7 12

12 9 x


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Matemtica


Logo:

12.

7

9

12

18 x 18.7 = 9.x x = 14 dias

Resposta: So necessrios 14 dias.


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Matemtica


EXERCCIOS

01.Um balde de 5 litros pode ser cheio

por uma torneira A em 3 min ou em 6 minpor uma torneira B. Caso sejam ligadasas duas torneira concomitantemente, emquanto tempo o balde estar cheio?a) 2 minb) 2 min e 30 segc) 4 min e 30 segd) 9 min

02.Antnio demora 6 horas para pintar

uma parede, enquanto seu auxiliarBaltazar demoraria mais tempo paraexecutar o mesmo servio. Sabendo quejuntos eles pintariam essa parede em 4horas, determine em quantas horas oauxiliar pintaria sozinho.a) 7b) 9c) 12d) 16

03.Sophia tenta encher sua piscina deplstico usando duas mangueiras dojardim, sem perceber que o plsticoestava com um pequeno furo na parteinferior e que poderia esvaziarcompletamente a piscina em 60 min.Uma das mangueiras encheria toda apiscina em 10 min e a outra mangueira,tambm sozinha e sem furo, enche apiscina em 20 min. Dessa forma, mesmocom o furo, em quanto tempo as duasmangueiras enchem completamente apiscina?a) 6 min e 40 segb) 7 min e 10 segc) 7 min e 30 segd) 8 min e 20 seg

04.No Banco Dimdim ser dividido umprmio de R$2.400,00 entre os trs

ANOTAES:


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Matemtica


funcionrios que mais se destacaram no ltimo ano. A parte que caber a cadafuncionrio diretamente proporcional ao tempo de servio prestado a empresa.Sabendo que Aurisvanderson tem 3 anos de empresa, Belarmino 4 anos eCleosvaldo 5 anos, determine quanto coube ao funcionrio que ficou com amaior quantia.

a) R$ 1.200,00b) R$ 1.000,00c) R$ 800,00d) R$ 600,00

05.O dono de uma empresa resolveudistribuir uma gratificao de R$2.100,00entre seus dois gerentes, de formainversamente proporcional s faltas decada um num determinado ms. Quanto

caber ao mais assduo, se os gerentesfaltaram 5 e 2 vezes?a) 600b) 900c) 1200d) 1500

06.(FCC) Curiosamente, dois tcnicosbancrios observaram que, durante oexpediente de certo dia os nmeros declientes que haviam atendido eraminversamente proporcionais s suasrespectivas idades: 36 e 48 anos. Se umdeles atendeu 4 clientes a mais que ooutro, ento o total de pessoasatendidas pelo mais velho foi:a) 20b) 18c) 16

d) 14e) 12

07.Uma empresa ir dividir R$ 24.000,00entre quatro funcionrios de formadiretamente proporcional ao tempo deempresa e inversamente proporcional aonmero de faltas mais um. Determine omaior valor recebido por um dos quatro,

sabendo que Andr trabalha a 6 anos efaltou 2 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e

ANOTAES:


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Matemtica


nunca faltou, Clber trabalha a 12 anos e faltou 3 vezes e Daniel trabalha a 10anos e faltou apenas uma vez.a) R$ 2.000,00b) R$ 4.000,00d) R$ 6.000,00

d) R$ 10.000,00e) R$ 12.000,00

08.O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, ser dividido entre seus dois scios.Wendel aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles?a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00

09. (FCC) Um tcnico bancrio foi incumbido de digitar as 48 pginas de um texto.Na tabela abaixo, tm-se os tempos que ele leva, em mdia, para digitar taispginas.

NMERODE

PGINAS

TEMPO

(MINUTOS)

1 12

2 24

3 36

4 48

Nessas condies, mantida a regularidade mostrada na tabela, aps 9 horas de

digitao desse texto, o esperado que:a) ainda devam ser digitadas 3 pginas.b) Todas as pginas tenham sido digitadas.c) Ainda devam ser digitadas 9 pginas.d) Ainda devam ser digitadas 8 pginas.e) Ainda devam ser digitadas 5 pginas.


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10.Desenvolvendo uma velocidademdia de 18km por hora, um pedestrecorreu durante 1h 20min. Se tivessedesenvolvido a velocidade mdia de

15km por hora, teria feito o mesmopercurso em quanto tempo?a) 1h 16minb) 1h 26minc) 1h 36mind) 1h 46min

11.Quinze teares trabalhando 6 horaspor dia, durante 20 dias, produzem 600mde pano. Quantos teares so necessrios

para fazer 1200m do mesmo pano, em30 dias, com 8 horas de trabalho pordia?a) 15b) 16c) 18d) 20

12.No Banco Dimdim, em dias normais,na agncia central, 10 caixas atendem

900 pessoas trabalhando 6 horas dirias.Em uma segunda-feira chuvosa doiscaixas faltaram por conta de uma virosee o gerente quer uma previso dequantas pessoas podero ser atendidasnas 2 horas iniciais desse dia atpico,quando o nvel de dificuldade duasvezes maior. Podemos afirmar que onmero de pessoas atendidas nesseintervalo de aproximadamente:

a) 240

b) 150

c) 120

d) 90

ANOTAES:


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CAPTULO 04

PORCENTAGEM

INTRODUO

A expresso por cento vem do latim per centume quer dizerpor um cento.Assim, quando voc l ou escuta uma afirmao como "Grande liquidao: 20por cento de desconto em todos os artigos", significa que voc ter 20 reais de

desconto para cada 100 reais do preo do artigo que comprar.

Estabelecemos, ento, a

razo100

20 e podemos

afirmar que:

Assim,100

20 o mesmo que 20 por cento. A expresso por cento pode ser

substituda pelo smbolo %. Dessa forma, temos:

10020 = 20 %

Veja os exemplos:

8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a10

8 ou100

80 ou 80% do grupo.

Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a300

21 ou100

7 ou 7% do

total.EXEMPLO:

OBSERVAO:


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Se uma barra de chocolate dividida em 5 pedaos e uma pessoa come 3 deles,ela ter comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teriacomido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustrao.

FRAO x PORCENTAGEM

%60100

60

10

6

5

3


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AUMENTOS E DESCONTOS

AUMENTO DE 20%

Valor inicial x Valor do aumento 20% de x Valor aps o aumento 120% de x

DESCONTO DE 20%

Valor inicial x Valor do desconto 20% de x

Valor aps o desconto 80% de x

Para ganhar tempo (o que fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta

20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o desenvolvimento:

x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x

Observe os aumentos e descontos a seguir:

LINK:

x+20%

120%x

x +50% 150%x

x+84%

184%x

x+136%

236%x

x20%

80%x

x 50% 50%x

x84%

16%x

x+100%

200%x

x+100%

2x = 200%x

x +200% 3x = 300%x

x+400%

5x = 500%x

x+800%

9x = 900%x


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LINK:


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PORCENTAGEM DE CABEA

O segredo para calcular porcentagem de cabea perceber como fcilcalcular 10% e 1%.

Para fazer porcentagem de cabea, basta entender a relao de todas as

porcentagens com 10%.

10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12)

20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24)

30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 =

36)

5% de 120 = 6 (5% a metade de 10%, logo a metade de 12 6)

1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20)

21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2)

35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6

= 42)

52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 =

62,4)

90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo)10%, ou seja 12012 = 108)

95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo)5%, ou seja 1206 = 114)

LINK:LINK:


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99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo)1%, ou seja 1201,2 = 118,8)

125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30

= 150)

151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja

120 + 60 + 1,2 = 181,2)


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EXERCCIOS RESOLVIDOS

01.Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens?

SOLUO:

Lembre-se que porcentagem frao, mas uma frao cujo denominador 100.

Ento, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50alunos, basta escrever a frao que isso representa, procurando a fraoequivalente cujo denominador seja 100. Observe:

02.Em uma viagem de 200km, j foram percorridos 126km, qual o percentual jpercorridos?

SOLUO:

A frao do que j foi percorrido, em relao ao total da viagem, pode ser escritoda seguinte forma:

03.Se Joo gastou 18/25 do seu salrio, qual o percentual que ainda resta?

SOLUO:

Quem gasta 18 partes de 25 por que ainda restam 7 partes de 25, logo essafrao equivale a:


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04.Sabendo que 7/20 dos vereadores de um municpio votaram contra umadeterminada obra, qual o percentual que votou a favor?

SOLUO:

Se 7 entre 20 vereadores votaram contra por que os 13 restantes entre 20votaram a favor, logo:

05.Aps uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual dedeferidos?

SOLUO:

Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, ento foram deferidos 3 dentre 8.

Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para emseguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe:

06.Em uma festa, o DJ tocou 8 msicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qualo percentual de nacionais nesse repertrio?

SOLUO:


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07.Dois aumentos sucessivos de 30%e 20%so equivalentes a um nico aumentode quanto?

SOLUO:

Podemos empregar nessa questo um artifcio aritmtico que costumo chamar detruque do 100.

A idia consiste em escrever o nmero 100 e seguir os comandos, ou seja,aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novovalor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe:

Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-sefacilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos noincio, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%.

Um fato interessante que a ordem dos aumentos no altera o resultado final,observe:

Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 equando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto

x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%).

08.Descontos sucessivos de 30%e 20%so equivalentes a um nico desconto dequanto?

SOLUO:

Da mesma forma que na questo anterior podemos aplicar o truque dos 100,

veja:


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Portanto, reduo de 44 para cada 100, ou seja, diminuio de 44%.

09.Uma loja, realizando uma promoo, oferece um desconto de 20% nos preosdos seus produtos. Pra voltar aos preos iniciais, os preos promocionais devemsofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A.

SOLUO:

Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao originaldeve aumentar 20 em relao a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%.

Observe:

Portanto, para retornar aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofreracrscimo de 25%.

10.Aps um desconto de 30%, Maria pagou por um sof o valor de R$350,00.Quanto era o valor original do sof, sem o desconto de 30%?

SOLUO:

Do enunciado, temos:

Dessa forma, podemos afirmar que os 350 reais correspondem a 70% do valororiginal do sof, ou seja

70%.x = 350

Logo

70/100.x = 350


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Portanto

x = 500


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EXERCCIOS

01.Na loja de Bosco, os produtos soanunciados por 80% a mais que seucusto. Quando vendidos a vista, ele dum desconto de 20% sobre o valormarcado na etiqueta. Dessa forma, apso desconto, qual o percentual de lucroque ele obtm sobre o custo?a) 20%

b) 24%

c) 36%

d) 44%

e) 60%

02.Um comerciante resolve aumentarem 40% o preo de todos os produtos de

sua loja, para em seguida, anunciar umaliquidao com desconto de 40% emtodos eles. Podemos afirmar que, aps odesconto, o valor do produto:a) aumentou 16% em relao ao valorantes do aumento.

b) reduziu 16% em relao ao valor antesdo aumento.

c) no pode ser definido, pois dependedo valor marcado na etiqueta.

d) no sofreu alterao em relao aovalor antes do aumento.

03.No semestre passado, sabe-se que30% dos alunos matriculados no curso de

idiomas Spanglish estudavam espanhole os outros 70% estudavam ingls, mas

ANOTAES:


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nenhum deles estava matriculado nos dois idiomas. No semestre seguinte, a turmade espanhol teve aumento de 50% no nmero de matrculas, enquanto que aturma de ingls reduziu em 10% o nmero de alunos matriculados. Com basenessas informaes, podemos afirmar que, em relao ao nmero de alunos dosemestre passado, o total de alunos matriculados no semestre:

a) aumentou 8%b) diminuiu 8%

c) aumentou 18%

d) diminuiu 18%

04.Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante

comprando Dlar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dlar caiu20% ao final do mesmo perodo, determine o que aconteceu com o investimentoque ela fez.a) rendeu 10%

b) reduziu 10%

c) rendeu 14%

d) reduziu 14%


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05.A massa crua com que fabricadoum certo tipo de po composta de40% de gua, 58% de farinha e 2% de sal

e fermento. Enquanto assada, 75% dagua contida na massa crua evapora,sendo esta a nica substncia perdidanesse processo. Nessas condies,calcule a massa crua de po necessriapara obter-se um po assado de 42g.a) 65g

b) 60g

c) 55g

d) 50g

06.Que nmero deve ser somado aonumerador e ao denominador da frao23 para que ela tenha um aumento de20%?a) 1

b) 2c) 3

d) 4

07.(FUNRIO) A rede Lojas BBB, numapromoo relmpago, estavaoferecendo um desconto de 20% em

todas as suas mercadorias. Maria seinteressou por um sof e pagou pelomesmo o valor de R$400,00. O valororiginal do sof, sem o desconto de 20%,era dea) R$480,00

b) R$500,00

c) R$520,00

d) R$540,00

ANOTAES:


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e) R$560,00

08.(FUNRIO) Um reservatrio para gua tem a seguinte propriedade: quando est40% vazio, o volume da gua excede em 40 litros o volume do reservatrio quandoeste est 40% cheio. Dessa forma, podemos concluir que a capacidade doreservatrio a) 240 litros

b) 220 litros

c) 200 litros

d) 180 litros

e) 160 litros

09.Uma sala de aula, com 50 alunos, tem 60% de mulheres e o restante dehomens. Entram mais N mulheres e o percentual de homens passa a ser de 25%.Determine o valor de N.a) 15

b) 20

c) 25

d) 30

10.Uma pessoa gasta 15% do seu salrio com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% eo salrio 5%, que percentagem do salrio esta pessoa passar a gastar comaluguel?a) 15%

b) 16%

c) 18%

d) 20%


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11.Dois aumentos sucessivos de 40% e10% so equivalentes a um nicoaumento de:

a) 58%b) 54%

c) 50%

d) 44%

12.Descontos sucessivos de 30% e 10%

so equivalentes a um nico descontode:a) 40%

b) 37%

c) 33%

d) 20%

13.Um produto alimentcio sofreu doisaumentos mensais seguidos de 20% e30% e no terceiro ms sofreu umareduo de 50%em seu valor. Podemosento afirmar que, ao final desses 3meses, o valor do produto, em relaoao valor inicial, sofreu:a) aumento de 10%

b) reduo de 22%

c) reduo de 15%

d) nem aumento, nem reduo

14.Uma loja, realizando uma promoo,oferece um desconto de 50% nos preosdos seus produtos. Pra voltar aos preos

iniciais, os preos promocionais devem

ANOTAES:


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sofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A.a) 25

b) 50

c) 80

d) 100

15.(CESGRANRIO) Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestaes deR$ 150,00 ou vista com 10% de desconto. Quanto ser pago, em reais, se acompra for feita vista?a) 480,00

b) 500,00c) 520,00

d) 540,00

e) 560,00

16.Um refrigerador sofre dois aumentos anuais sucessivos: o primeiro de 25% em um

ano e outro de 35% no ano seguinte. Se ele custava R$1.200,00, determine quantopassou a custar depois desses aumentos.a) R$ 1.250,00

b) R$ 2.025,00

c) R$ 1.750,00

d) R$ 2.250,00

17.O salrio de Rafaela sofreu um aumento de 32% e passou a valer R$ 2.640,00.Quanto era seu salrio antes desse aumento?a) R$ 2.000,00

b) R$ 2.100,00

c) R$ 2.200,00

d) R$ 2.400,00


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18.Em uma sala de aula de 80 alunos, onmero de mulheres o triplo do nmerode homens. A seguir, aponte a nica

alternativa ERRADA.a) as mulheres representam mais 70% dasala.

b) os homens representam 25% do totalde alunos.

c) o nmero de mulheres 200% maiorque o nmero de homens.

d) o nmero de homens 300% donmero de mulheres.

19.Joo recebeu um aumento salarial de15% no incio do ms de maro e, noltimo dia do mesmo ms, recebeu umoutro aumento de 20% sobre seu novosalrio. Qual o percentual total deaumento que Joo recebeu em maro?

a) 32%

b) 35%

c) 38 %

d) 135%

20.Joozinho gastou a metade do

dinheiro que tinha com um presente quecomprou para a sua me. Em seguida,gastou 30% do que lhe restou, nacompra de um jogo, e ainda ficou comR$ 63,00. Quantos reais tinha Joozinhoantes das compras?a) 120

b) 150

c) 180

ANOTAES:


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d) 200

e) 420

21.Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Aps dois aumentos consecutivosde 10%, foi colocado em promoo com 20% de desconto. Qual o novo preo doproduto (em R$)?a)176,00b)192,00c)193,60d)200,00

22.Srgio vendeu um relgio por 150% a mais do que lhe custou. Determine o

percentual de lucro que ele obteve em relao ao preo de venda.a) 40%b) 50%c) 60%d) 75%

23.Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre opreo de venda (margem de lucro). Dessa forma, qual seria o percentual de lucroem relao ao preo de custo?

a) 50%b) 75%

c) 100%

d) 150%

24.Um comerciante obtm lucro de 75% sobre o preo de venda. Determine o

percentual do lucro calculado sobre o preo de custo.a) 25%

b) 100%

c) 300%

d) 400%


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25.O preo de certo produto alimentciodobrou trs vezes seguidas, ou seja,durante o perodo da entressafra, quedurou trs meses, o produto dobrava depreo em relao ao ms passado. Esses

aumentos consecutivos podem serrepresentados por um nico aumentotrimestral de:a) 300%

b) 500%

c) 600%

d) 700%

e) 800%

26.(CESGRANRIO) Trs aumentos mensaissucessivos de 30%, correspondem a umnico aumento trimestral de:a) 0,9%

b) 90%

c) 190%

d) 219,7%

e) 119,7%

27.(FUNRIO) Constatou-se num vilarejoque, em determinado ano, 120 pessoasforam vitimadas pela dengue. No anoseguinte, esse nmero caiu para 90pessoas. Podemos dizer, ento, quehouve uma reduo no nmero devitimados da ordem dea) 20%

b) 25%

c) 30%

d) 35%

ANOTAES:


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e) 40 %

28.(FUNRIO) Lus investiu uma determinada quantia comprando aes de umaindstria. No final do primeiro ano ele verificou que as aes tinham valorizado25%. No final do ano seguinte, ele afirmou: puxa, eu tenho hoje o dobro dodinheiro que investi. Dessa forma, a valorizao das aes no segundo ano foi de a) 45%

b) 50%

c) 55%

d) 60%

e) 65%

29.(FUNRIO) Uma jarra tem 800 ml de refresco, em que 60% dessa quantidadecorresponde a gua e 40% corresponde ao concentrado de suco de uva. Paraque o concentrado corresponda a 25% da mistura final, a quantidade de guaque deve ser acrescido ao refresco dea) 320 ml

b) 400 ml

c) 480 ml

d) 560 ml

e) 640 ml


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CAPTULO 05

JUROS SIMPLES

INTRODUO

A matemtica financeira est presente em nosso cotidiano de forma diretaou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores sero os benefciosque teremos, tanto para ganhar dinheiro comopara evitar perde-lo. Como por exemplo, naescolha do melhor financiamento de um bem ouonde fazer aplicaes financeiras.

O estudo da Matemtica Financeira todofeito em funo do crescimento do capital (C)aplicado com o tempo. Definiremos capital comoqualquer quantidade de moeda ou dinheiro.

O montante (M), ou seja, o valor final docapital aplicado dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que uma frao do capital inicial, qual damos o nome de juro. Juro(J), portanto,a compensao financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempoou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa ocapital de outra.

O juro cobrado em funo de um coeficiente, chamado taxa de

juro(i), que dado geralmente em percentagem e sempre se refere a umintervalo de tempo (ano, semestre, ms, etc), tomado como unidade,denominado perodo financeiro ou, abreviadamente perodo (t ou n).

Existem duas formas de serem calculados os juros a cada perodo: calculandosobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeirocaso esse crescimento se comporta como um progresso aritmtica (P.A.) e nosegundo caso o montante aumenta segundo uma progresso geometrica (P.G.).


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Matemtica


De outra forma temos:

Quando os juros so acrescentados, ao capital inicialmente aplicado,somente aps o trmino da aplicao, podemos dizer que estamoscalculandojuros simples.

Quando os juros so incorporados ao capital aps cada perodode tempo, criando assim um novo capital a cada perodo, dizemosque estamos fazendo uma capitalizao ou calculando juroscompostos.

Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas daesquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedaspor vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rpido, poisseu aumento exponencial (juros compostos).

CAPITAL (C):Aplicao, investimento, saldo

inicial, valor inicial, valor atual, valor presente

MONTANTE (M):Resgate, valor amontoado,

saldo devedor, saldo credor, valor futuro e

JUROS (J):Ganho, rendimento, excedente e

compessao financeira.

TAXA (i):Taxa de juros, indice da taxa de

juros e percentual de juros.

TEMPO (t):Prazo, perodo, nmero de

perodos e unidades de tempo.


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Ento, temos

Aps o 1 perodo, o total de juros ser: C.i;

Aps o 2 perodo, o total de juros ser: C.i+C.i;

Aps o 3 perodo, o total ser: C.i+C.i+C.i;

Aps o t-simo perodo, o total de juros ser:

C.i + C.i + C.i + .... + C.i.

Assim, a frmula que fornece o total de juros simples :

O montante final de:

Vamos resolver novamente nosso problema, utilizando as frmulas citadas.Calculando os juros simples, temos:

J = 600.0,06.3 = 108

O montante ser de:

M = C + J = 600 + 108 = 708

t parcelas

M = C + J

J = C.i.t


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TAXAS PROPORCIONAIS

Duas ou mais taxas so ditas proporcionais,quando ao serem aplicadas a um mesmo capital,durante um mesmo perodo de tempo, produzemum mesmo montante no final do prazo, em regimesde juros simples.

126321ASTBM iiiii ou

3601809060301ASTBMD iiiiii

EXEMPLO:

1%a.m. = 2%a.b. = 3%a.t. = 6%a.s. = 12%a.a. 2% a.d. = 60% a.m. = 720% a.a. 24%a.a. = 12%a.s. = 6%a.t. = 4%a.b. = 2%a.m.

LINK:


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SIMPLES x COMPOSTO

O capital inicial (principal) pode crescer, como j sabemos, devido aos juros,segundo duas modalidades a saber: Juros Simples ou Composto.

Vamos ilustrar a diferena entre os crescimentos de um capital atravs jurossimples e juros compostos, com um exemplo:

Suponha que $100,00 so empregados a uma taxa de 10% a.m. Teremos:

JUROS SIMPLES ao longo do tempo, somente o principal rende juros.

PRINCIPAL = 100

NODE MESES MONTANTE SIMPLES

1 100 + 10%.100 = 110,00

2 110 + 10%.100 = 120,00

3 120 + 10%.100 = 130,00

4 130 + 10%.100 = 140,00

5 140 + 10%.100 = 150,00

As taxas equivalentes para cada perodo so proporcionais ao tempo.

100+10%

110+10

120+10

130+10

140

+20%+30%

+40%

Juros calculado em cimado principal.

No pode aplicar jurosem cima dos juros.

Cresce como uma P.A.. Taxa equivalente

LINK:


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x+20%

120%x

x+50%

150%x

x+84%

184%x

x+136%

236%x

x20%

80%x

x50%

50%x

x84%

16%x

x+100%

200%x

x+100%

2x

x+200%

3x

x+400%

5x

x+800%

9x

LINK:

Para ganhar tempo em muitas questes, o que fundamental em concursos, observe que

se um capital x aumenta 20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer odesenvolvimento:

x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x

Observe os aumentos e descontos a seguir:


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EXEMPLOS

01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros simples, comtaxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao.

1 SOLUO:

Sem usar frmula, temos que:

5% de R$ 800,00 = R$ 40,00 (juros em 1 ms)

Logo, para 1 ano, ou seja, 12 meses, temos:12 x R$ 40,00 = R$ 480,00 (rendimento em juros simples ao fim de 12 meses)

Portanto, o resgate (montante) ser

R$ 800,00 + R$ 480,00 = R$ 1280,00

2 SOLUO:

Dados:

C = 800

i = 5% a.m.

t = 1 ano = 12 meses (a unidade da taxa deve coincidir com a unidade dotempo)

Aplicando na frmula J = C.i.t, temos

J = 800.5%.12

J = 800.100

5 .12

J = 480 (rendimento)

Como M = C + J, ento

M = 800 + 480

Portanto o resgate (montante) de 1280 reais.


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EXERCCIOS

01.(CESGRANRIO) Aplicaes financeiraspodem ser feitas em perodosfracionrios e inteiros em relao taxaapresentada, tanto em regimes decapitalizao simples quantocompostos. A partir de um mesmocapital inicial, possvel afirmar que omontante final obtido pelo regime

composto em relao ao montanteobtido pelo regime simples:a) sempre maior

b) sempre menor

c) nunca igual

d) nunca menor

e) pode ser menor

02.Foi feita uma aplicao de R$4.000,00 a uma taxa de 20% a.q., em umregime de juros simples, durante trstrimestres. Determine o valor do resgateaps esse perodo.a) R$ 6.200,00

b) R$ 5.800,00c) R$ 4.500,00

d) R$ 2.400,00

e) R$ 1.800,00

03.Diego atrasou o pagamento de um

boleto bancrio de R$120,00, quevenceu dia 12 de maro. Em caso de

ANOTAES:


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atraso ser cobrada multa de 4% e juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o totalpago por ele no dia 19 de agosto do mesmo ano?a) 139,20

b) 144,00

c) 153,00

d) 162,40

04.(FCC) Em um regime de capitalizao simples, um capital de R$ 12 800,00 foiaplicado taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ 14 400,00, essecapital deve ficar aplicado por um perodo dea) 8 meses.

b) 10 meses.

c) 1 ano e 2 meses.

d) 1 ano e 5 meses.

e) 1 ano e 8 meses.

05.(CESGRANRIO) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 a vista ou por50% deste valor a vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 aps 4meses. Qual a taxa de juros simples mensal cobrada?a) 0,025% ao ms

b) 0,150% ao ms

c) 1,500% ao ms

d) 2,500% ao ms

e) 5,000% ao ms


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06.(ESAF) O preo vista de umamercadoria de $1.000,00. O compradorpode, entretanto, pagar 20% de entrada

no ato e o restante em uma nicaparcela de $922,60 vencvel em 90 dias.Admitindo-se o regime de juros simples, ataxa de juros anuais cobrada na venda aprazo de:a) 98,4%

b) 122,6%

c) 22,6%

d) 49,04%

e) 61,3%

07.(NCE) Antnio tomou um emprstimode R$5.000,00 a uma taxa de juros mensalde 4% sobre o saldo devedor, ou seja, acada ms cobrado um juro de 4%sobre o que resta a pagar. Antniopagou R$700,00 ao final do primeiro mse R$1.680,00 ao final do segundo; seAntnio decidir quitar a dvida ao final doterceiro ms, ter de pagar a seguintequantia:a) R$3.500,00

b) R$3.721,00

c) R$3.898,00

d) R$3.972,00

e) R$3.120,00

08.(CESPE) Se o capital for igual a 2/3 domontante e o prazo de aplicao for de2 anos, qual ser a taxa de juros simplesconsiderada?

a) 1,04% a.m.

ANOTAES:


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b) 16,67% a.m.

c) 25% a.m.

d) 16,67% a.a.

e) 25% a.a.

09.(CESPE) Um consumidor desejava comprar um computador em determinadaloja, mas no dispunha da quantia necessria ao pagamento do preo vista,que era de R$ 1.400. Por isso, o vendedor aceitou que o consumidor desse umvalor qualquer de entrada, no momento da compra, e pagasse o restante emuma nica parcela, no prazo mximo de seis meses, a contar da data da compra,com juros mensais iguais a 4% ao ms, sob o regime de juros simples. Exatamente

cinco meses aps a compra, o consumidor pagou a parcela restante, no valor deR$ 660,00. Nessa situao, correto concluir que o valor da entrada paga peloconsumidor foi igual aa)R$ 280.b)R$ 475.c)R$ 740.d)R$ 850.e)R$ 1.120.


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b) R$ 20.800,00

c) R$ 15.200,00

d) R$ 12.500,00

e) R$ 10.400,00

GABARITO

01. E 02. B 03. B 04. B 05. D

06. E 07. E 08. E 09. D 10. A

11. A 12. E


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CAPTULO 06

JUROS COMPOSTOS

INTRODUO

Na capitalizao composta, o juro produzido no final de cada perodofinanceiro somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais

juros a render juros no perodo seguinte.Quando estudamos juros simples, calculamos o montante produzido por R$

600,00, aplicados a 6% a.m., depois de 3 meses. Obtivemos um montante final deR$ 708,00.

No entanto muito mais comum as aplicaes serem feitas a juroscompostos, ou seja, aps cada perodo de tempo, os juros so integrados aocapital, passando tambm a render juros, como, por exemplo, nas cadernetas depoupana.

Vamos refazer aquele problema, utilizando juros compostos:

Aps o 1 perodo (ms), o montante ser:

1,06 . R$ 600,00 = R$ 636,00


1,06 . R$ 636,00 = R$ 674,16


1,06 . R$ 674,16 = R$ 714, 61

Esse o montante final, representado por M. Observe que esse montante maiordo que o achado anteriormente, quando utilizamos juros simples.

Assim, como fizemos para juros simples, vamos encontrar uma frmula para oclculo de juros compostos.


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Sejam:

finaltemonM

tempodeperodosdenmerot

tempodeperodoportaxai

inicialcapitalC

tan

%

Ento:

aps o 1 perodo (ms), o montante ser:

M1= C + i.C M1= C.(1 + i);


M2= M1+ i.M1 M2= M1.(1 + i)

M2= C(1 + i).(1 + i) M2= C.(1 + i)2.


M3= M2+ i.M2 M3= M2.(1 + i)M3= C(1 + i)2.(1 + i) M3= C.(1 + i)3.

Procedendo de modo anlogo, fcil concluir que, aps t perodos detempo, o valor Mt, que indicaremos simplesmente por M, ser:

Assim, resolvendo novamente o problema dado, temos:

M = 600.(1+6%)3

Olhando na tabela 1, temos (1+6%)3= 1,1910, logo

M = C.(1 + i)t


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LEITURA NA TABELA

extremamente importante saber ler e interpretar as tabelas contidas nos

anexos. A tabela 1, por exemplo, diz respeito capitalizao composta, dando ofator de acumulao (1+i)n.

Portanto, voc no precisa calcular o valor de (1+6%)9, basta olhar nessatabela o resultado na linha 9 (perodo) associada coluna 6% (taxa), paraencontrar 1,6895 (como visto na figura).

TABELA 1FATOR DE ACUMULAO DE CAPITAL NICO

1,6895


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EXEMPLOS

01. Um capital de R$800 aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos,com taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicao

SOLUO:

Dado:

meses12ano1t

.m.a%5i

00,800$RC

?M

Sendo

M = C.(1 + i)t

ento

M = 800.(1+5%)12

Pela tabela 1, temos:M = 800.1,796 = 1436,8

Portanto o montante final ser de R$ 1.436,80.

MESMA UNIDADE DE TEMPO


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EXERCCIOS

01.(ACEP) Ftima aplicou R$ 1.000,00 auma taxa de juros compostos de 10% aoms e por um prazo de 1 trimestre. Tendosido as capitalizaes mensais, qual sero valor do resgate?a)R$ 1.331,00b)R$ 1.300,00c)R$ 331,00d)R$ 300,00e)R$ 1.000,00

02.(FCC) Um capital de R$ 2.000,00 foiaplicado taxa de 3% ao ms durante 3meses. Os montantes correspondentesobtidos segundo capitalizao simples ecomposta, respectivamente, valema) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45.

b) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00.

c) R$ 2.185,45 e R$ 2.485,45.

d) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00.

03.(CESGRANRIO) Milena tem doispagamentos a realizar. O primeiro deR$ 1.100,00 daqui a dois meses e osegundo de R$ 1.210,00 daqui a trs

meses. Milena pretende juntar essas duasdvidas em uma s, com vencimentodaqui a quatro meses. A taxa de juroscorrente de 10% ao ms. Qual o valor aser pago?a) R$ 2.310,00

b) R$ 2.600,00

c) R$ 3.074,61

d) R$ 3.003,00

ANOTAES:


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e) R$ 2.662,00

04.(FCC)Um capital de R$ 400,00 foi aplicado a juros simples por 3 meses, taxade 36% ao ano. O montante obtido nessa aplicao foi aplicado a juroscompostos, taxa de 3% ao ms, por um bimestre. O total de juros obtido nessasduas aplicaes foia) R$ 149, 09

b) R$ 125,10

c) R$ 65,24

d) R$ 62,55

e) R$ 62,16

05.A caixa beneficente de uma entidade rende, a cada ms, 10% sobre o saldodo ms anterior. Se, no incio de um ms, o saldo erax, e considerando-se que nohaja retiradas, depois de 4 meses o saldo ser de:a) (11/10)4.xb) (11/10)3.xc)x + (11/10)4.xd)x + (11/10).x

e)x + 40%.x


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06.Carol investiu R$3.000,00 em umfundo de longo prazo, que rendecumulativamente 4% a.m. Quanto ela irresgatar dois anos depois? Dado:(26/25)24= 2,563a) 9.760,00

b) 8.310,00

c) 7.689,00

d) 6.970,00

07.Determine o valor mais prximo daaplicao que 14 meses mais tarde geraum montante de R$2.000,00, quandosubmetido a uma taxa mensal compostade 5%. (Use 1,05-14= 0,505)a) R$ 1.010,00

b) R$ 1.100,00

c) R$ 1.210,00

d) R$ 1.320,00

08.(FCC) O capital que quadruplica em2 meses, ao se utilizar de capitalizaocomposta, deve estar vinculado a umataxa mensal dea) 50%

b) 100%

c) 150%

d) 200%

09.Quantos meses so necessrios paraque um capital triplique, se for submetidoa uma taxa de juros compostos de13%a.m.?

ANOTAES:


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a) 9

b) 8

c) 7

d) 6

10.Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$5.000,00, em regime dejuros compostos e taxa de 6%a.t., para gerar um montante de R$7.518,00?a) 7 anos

b) 2 anos e 1 ms

c) 1 ano e 9 meses

d) 1 ano e 3 meses

11. (ESAF) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de9% ao trimestre aumenta 100%.a) 14

b) 12

c) 10

d) 8

e) 6

12.Uma aplicao de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxamensal composta de juros dessa operao?

a) 2%b) 4%

c) 6%

d) 8%

GABARITO

01. A 02. A 03. E 04. D 05. A 06. C


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07. A 08. B 09. A 10. C 11. D 12. C


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CAPTULO 07

PROGRESSO ARITMTICA

INTRODUO

Todo conjunto de elementos, numric

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