เปดประตูสูมหาวิทยาลัย 1 อ.สุรสิงห นิรชร

ph-2007-08-20

การเคล่ือนที่ใน 2 มิติ การเคลื่อนทีแ่บบ PROJECTILE เปนการเคล่ือนที่ของวัตถ ุ2 มิติ คือมีทั้งการเคล่ือนที่แนวราบและแนวด่ิง

โดยมีขอกําหนดวา

1. อากาศไมมีแรงตานทานตออนุภาค 0,X X Xa u v∴ = =r r r

2. ระนาบด่ิง เปนการเคล่ือนที่ในสนามความเรง g คงที่ (~ + 10 m/s2 )

การเคลื่อนทีแ่บบ Projectile แบงได 4 ลักษณะดังนี ้

1. แบบที่ 1 เรียกวา "ยิงจากพื้นสูพื้น"

1. θcos0vux =v = xvr

2. θsin0vuy =v

3. tข้ึน = tลง = g

vgu y θsin0=

4. tตลอดการเดินทาง = 2tข้ึน = g

v θsin2 0

5. ( )g

vg

uh y

2sin

2

20

2 θ==

6. g

vtuS xx

θ2sin20== ,

gv

Sx

20

max =− θ = 450

7. tanθ = xSh4

2. แบบที่ 2 เรียกวา "เครื่องบินทิ้งระเบิด" เปนคร่ึงหลังของแบบที่ 1

1. 0vux = คงที่

2. 0=yu

3. gay =

4. ght 2

=

5. ghvtvSx

200 ==

6. α= มุมเล็กเปา ∴ tan α = 02v

gtSh

x

=

tanα = 02

2vgh

αθ tan22

tan0

===vgh

vv

x

y

7. θ = มุมที่ลูกปนตกกระทาํตอพื้น

0v

X

Y

xS

h

θ

0v

α

h

เปดประตูสูมหาวิทยาลัย 2 อ.สุรสิงห นิรชร

ph-2007-08-20

3. แบบที่ 3 เรียกวา "ยิงนกตกปลา" เปน Projectile ผสมระหวางแบบที่ 1 กับแบบที่ 2

วิธีคํานวณที่งายที่สุด ใชทั้ง 2 ระบบชวยกนัคือ

1. θcos0vux = คงที ่

2. θsin0vuy =

3. 10 hhH +=

0h = โจทยมักกําหนดให

1h = g

v2sin 22

0 θ

4. tvtuS xx .cos0 θ==

tY =เวลาทัง้หมดจากการเคล่ือนที่แนวด่ิง = tX = t

4. แบบที่ 4 เรียกวา "เมื่อโลกเอียง" เปนการเคล่ือนที ่Projectile บนพืน้เอียง วิธคิีดใหงายใหใชหลัก

ของการยงิจากพืน้สูพืน้ แบบที่ 1) เขาชวย เมื่อมุม

ยิง = θ ความเร็วตน 0v พื้นเอียงทาํมุม α

วัตถุทาํมุม β กับพืน้เอียง

∴ θ = α + β

จากรูป αcosSx = αsinSy =

1. θcos0vux = คงที ่

2. θsin0vuy = ไมคงที่

3. tด่ิง = tราบ = tpro.

* tราบ หาไดจาก xu

x หรือ θα

coscos

0vS tด่ิง หาไดจากสูตร 2

0 21.sin gttvy += θ

ตัวอยางขอสอบ

1. นาย ก. สามารถขวางลูกบอลไดไกล 100 เมตร โดยลูกบอลมีความเร็วตน 0v ขณะที่หลุดจากมือนาย ก.

พอด ี ถามีกําแพงแข็งแนวดิ่งมากั้นเบ้ืองหนาหางจาก นาย ก. 10 เมตรจงหาวา ลูกบอลจะตกถึงพื้นหาง จากจดุท่ีนาย ก. ยื่นอยูอยางใกลท่ีสุดเทาไร

1. 60 เมตร 2. 70 เมตร 3. 80 เมตร 4. 90 เมตร

2. กอนหินมวล 3 กิโลกรัม ตกจากหนาผาสูง โดยมีลมพัดในทิศเฉียงลงทํามุม 300 กับแนวระดับ ถาลมมีแรง กระทําตอวตัถุ (กอนหนิ) 30 นิวตัน สมการการเคล่ือนท่ีของกอนหินซ่ึงแสดงความสัมพันธของระยะทาง ขนานกับแนวระดับ (X) และระยะทางตามแนวดิ่ง (y) นับจากจดุท่ีตกเปนไปตามขอใด

1. 3y x= 2. 13

y x= 3. 232

y x= 4. 2 32

y x=

θ

XS

0v

0h

1h

Sx

x

y θ α

0v

เปดประตูสูมหาวิทยาลัย 3 อ.สุรสิงห นิรชร

ph-2007-08-20

3. ทหารคนหน่ึงถือปนยิงกราดไปในระนาบระดับดวยอัตราเร็วเชิงมุม 10 องศา/วินาที และอัตรายิง 1 นัดตอ

วินาที ถาปากกระบอกปนสูงจากพื้นดิน 1 เมตร และอัตราเร็วของกระสุน ขณะออกจากปนเทากับ

200√5 เมตร/วินาที ถามวา กระสุนปนแตละนัดตกถึงพื้นดินหางจากตําแหนง ตกของกระสุนขางเคียง เปนระยะหางกี่เมตร

1. 9

5200 π 2. 9

5100 π 3. 9

200π 4. 9

100π

4. เคร่ืองบินกําลังบินข้ึนในแนวทํามุม tan-1 (3/4) กับแนวระดับดวยอัตราเร็วคงท่ี 50 เมตร/วินาทีขณะท่ีบิน

สูง 200 เมตร จากพื้นดิน นักบินท้ิงวตัถุกลองหน่ึงลงมา ถามวา เม่ือวตัถุตกถึงพื้นดนิ เคร่ืองบินอยูสูงจาก

พื้นดิน เทาใด ถาเคร่ืองบินไมเปล่ียนทิศทาง 1. 300 เมตร 2. 400 เมตร 3. 500 เมตร 4. 600 เมตร

5. นักรักบ้ีคนหน่ึงเตะลูกบอลข้ึนดวยความเร็ว 20 เมตร/วินาที เปนมุม 60 องศา กับ แนวระดับ เขาจะตอง วิ่งดวยความเร็วอยางนอยท่ีสุดเทาไรจึงจะไปรับลูกท่ีเขาเตะออกไปเองได พอดีกอนตกถึงพื้นดิน

1. 25 เมตร/วินาที 2. 20 เมตร/วินาที 3. 17 เมตร/วินาที 4. 10 เมตร/วินาที

6. นักข่ีจักรยานยนตผาดโผน ตองการจะข่ีขามคลองซ่ึง กวาง 5 เมตร

ไปยังฝงตรงขาม ถาเขาขับรถดวยอัตราเร็ว 10 m/sกอนพนฝงแรก

เขาจะขามไดโดย ไมชนฝงตรงขาม h จะมีคาไดมากท่ีสุดกี่เมตร

1. 1.8 2. 2.0

3. 2.5 4. 2.8

7. โปรเจกไตลมีความเร็วตน 0v ในทิศทํามุม θ กับแนวราบ และข้ึนไดถึงตําแหนงสูงสุด ท่ีจุด P ในเวลา T วินาที ถาไมคิดแรงตานทานของอากาศ พิจารณาดูท่ีตําแหนง P ซ่ึงเปนจุดสูงสุดของการเคล่ือนท่ี

ก. การขจัดในแนวราบเทากับ 0v T.cos θ

ข. ความเรงมีคาเปนศูนย ค. อัตราเร็วเทากับ 0v cos θ

ง. การขจัดในแนวดิ่งเทากบั 0v Tsin θ

ขอใดถูกตอง 1. ก, ข และ ค 2. ก และ ค 3. ง เทานั้น 4. คําตอบเปนอยางอ่ืน

8. ยิงกระสุนมวล 50 กรัม ดวยความเร็วตน 100 เมตร/วินาที ทํามุม 600 กับแนวระดับ หลังจากนัน้ 5 วินาที

กระสุนตกกระทบเปาบนหนาผา เปานั้นอยูสูงจากพืน้ระดับท่ียิงเทาไร

1. 228.5 เมตร 2. 308 เมตร 3. 375 เมตร 4. 433 เมตร

P 0v

T

45 5m

เปดประตูสูมหาวิทยาลัย 4 อ.สุรสิงห นิรชร

ph-2007-08-20

9. ชายคนหนึ่งโยนลูกบอลจากยอดพื้นเอียงดวยความเร็ว 20 m/s เอียงทํามุม 300 กับแนวระดับ ถาพื้น

เอียง นั้นเอียงลง 300 จากแนวระดับเชนกนั จะใชเวลาเทาใดลูกบอล จึงจะตกกระทบพ้ืนเอียงนบัจาก

เร่ิมโยน

1. 2.0 วินาที 2. 2.6 วินาที 3. 3.5 วินาที 4. 4.0 วินาที

10. เม่ือขวางหนิกอนหนึ่งดวยความเร็วตน 20 m/s พบวาหนิกอนนี้ตกถึงพื้นราบดวย ความเร็วท่ีทํามุม

60องศา กับแนวดิ่ง หินกอนนี้จะข้ึนไปไดสูงสุดเทาใด

1. 5 เมตร 2. 10 เมตร 3. 15 เมตร 4. 20 เมตร

11. ชายคนหนึ่งยนืบนพื้นสนามราบ เขาขวางลูกบอลข้ึนไปในอากาศ ลูกบอลลอยอยูในอากาศ นาน

4.0 วินาที โดย ไมคิดแรงตานทานของอากาศ ถาลูกบอลไปไดไกลในแนวระดับ 60.0 เมตร ความเร็วท่ี

ใชขวางลูกบอลมี คาเทาใด 1. 15.0 m/s 2. 20.0 m/s 3. 25.0 m/s 4. 30.0 m/s

12. นักกฬีาบาสเกตบอลคนหนึ่งโยนลูกจากจุด A ไปยงัหวงท่ีจุด B

ขณะท่ีลูกบาสมาถึงท่ีจุด B ลูกบาส กําลังเคล่ือนท่ีดวยความเร็ว 0v

โดยมีทิศทางทํามุม กับแนวดิ่ง ตามรูป เวลาท่ีใชในการ เคล่ือนท่ี

ของลูกบาส จาก A มา B คือเทาใด

1. 0 cos

Sv α

2. 0 sin

Sv α

3. 0 sin

hv α

4. 0 cos

hv α

13. ลูกบอลชนิดเดียวกัน 2 ลูก A และ B ลูกบอล A ถูกขวางออกไปในแนวราบและ ลูกบอล B ถูกปลอย

ใหตกลงในแนวด่ิงพรอมกนั จากระดับสูงเดียวกัน จงพิจารณาขอความตอไปนี ้แลวเลือกขอท่ีถูกท่ีสุด

ก. ลูกบอล A ตกถึงพื้นกอน B ข. ลูกบอลท้ังสองตกถึงพื้นพรอมกัน

ค. ลูกบอล A จะมีอัตราเร็วสูงกวาขณะท่ีตกถึงพื้น ง. ลูกบอล B จะมีอัตราเร็วสูงกวาขณะท่ีตกถึงพื้น คําตอบท่ีถูกตองคือ

1. ขอ ก 2. ขอ ก และ ค 3. ขอ ข และ ค 4. ขอ ข และ ง 14. นักกรีฑาขวางคอน มีความสามารถเหวีย่งคอนไดในอัตราเร็วสูงสุด 5 เมตร/วนิาที เขาจะสามารถขวาง คอนไปไดไกลท่ีสุดหางจากจุดท่ีเขายนือยูกี่เมตร ถาไมคิดแรงเสียดทานอากาศ และความสูงของนักกรีฑา 1. 2.75 2. 2.50 3. 1.50 4. 1.25

h

S

α

B

A

เปดประตูสูมหาวิทยาลัย 5 อ.สุรสิงห นิรชร

ph-2007-08-20

15. เคร่ืองบินท้ิงระเบิดลําหนึ่ง บินขนานกับพืน้ราบและอยูสูงจากพื้นราบนี้เปนระยะ 144 เมตรนักบินคอยๆ

ปลอยลูกระเบิดทีละลูกในระยะเวลาท่ีหางเทา ๆ กัน ถาหากในขณะท่ีระเบิด ลูกแรกตกถึงพื้นราบปรากฏวาลูกระเบิดลูก ท่ี สองตกลงบนหลังคาตึก และลูกระเบิดลูกท่ี 7 กําลังถูก ปลอยออกจากเคร่ืองบินพอดี จงหาวา หลังคาตึกอยูสูงจาก พื้นราบกี่เมตร

1. 44 2. 54 3. 65 4. 100

16. ลูกกอลฟ 2 ลูก ถูกตีใหเคล่ือนท่ีข้ึนไปดวยอัตราเร็วตนเทากับ 0v เทากันโดยท่ี ลูกท่ี 1 ทํามุม θ และลูก

ท่ี 2 ทํามุม (90-θ) กับแนวราบ ถา h1 และ h2 เปนความสูงท่ีสุด ของการเคล่ือนท่ีข้ึนไปของลูกกอลฟลูก

ท่ี 1 และ 2 ตามลําดับ อัตราสวนของ h1 : h2 เทากับ

1. tan θ 2. tan2 θ 3. g

v θθ cossin2 20 4.

gv2

20

17. กระสุนปนใหญพุงออกจากปากกระบอกปนดวยอัตราเร็วตน 49 เมตร/วินาที ข้ึนไป เหนือพื้นเอียงและตกกระทบพื้นเอียงเปนมุมฉาก ถาพื้นเอียงทํามุม 30 องศากับแนวระดับ จงหาระยะบนพ้ืนเอียงท่ีกระทบกระสุนตกจากปากกระบอกปน

1. 140 เมตร 2. 490 เมตร 3. 980 เมตร 4. 1044 เมตร

18. วัตถุเคล่ือนท่ีแบบโพเจกไทล ดวย อัตราเร็ว 4u ท่ีตําแหนงสูงสุดและขณะนั้นวตัถุไดแตกออก เปน 2 สวน

ท่ีมีมวลเทากัน สวนหน่ึงตกลงในแนวดิ่ง จงหาอัตราเร็วของสวนท่ีสอง 1. 2u 2. 4u 3. 6u 4. 8u

19. ยิงวัตถุข้ึน จากพื้นดนิทํามุม θ กับแนวระดับ ดวยอัตราเร็วตน u ถา ตอง การ ยิงวัตถุอีก กอนหน่ึงจากพื้น

ดิน เพื่อใหไปตกไกลเทากอนแรก วัตถุกอนหลังนี้ตองมีมุมยิงทําแนวระดับ และอัตราเร็วตนเทาใด

1. θ2

และ 2u. 2. 2θ และ u 3. ( )θ−90 และ u. 4. 2θ และ u2

20. ในการทดลองโยนวัตถุ A ข้ึนในแนวดิ่ง และตกกลับท่ีเดมิไดในเวลา t1 และ วัตถุ A ข้ึนไปได สูง h เมตร

กับยิงวัตถุ B ทํามุม θ กับแนวราบ วัตถุไปไดไกล S ตามแนวราบ ภายในเวลา t2 ขอใด สรุป ไดถูกตอง ก. ถา t1 = t2 แสดงวาความเร็วตนของวัตถุ A และ B เทากัน

ข. ถา h = S แสดง วา t1 = t2

ค. ถา t1 = t2 , h ของวัตถุ A สูงเทากับความสูงในแนวดิง่ของวัตถุ B

คําตอบท่ีถูกตองคือ

1. ขอ ก. เทานั้น 2. ขอ ข. เทานั้น 3. ขอ ค. เทานั้น 4. ขอ ก., ข. และ ค.

21. จงหามุมของปนใหญ ซ่ึงระยะยิงในแนวระดับเปน 4 3 เทาของความสูงโปรเจกไตล 1. 30 ํ 2. 37 ํ 3. 45 ํ 4. 53 ํ

เปดประตูสูมหาวิทยาลัย 6 อ.สุรสิงห นิรชร

ph-2007-08-20

22. ในการแขงขันบาสเกตบอลคร้ังหนึ่ง นาย ก. โยนลูกไปใหนาย ข. โดยลูกบาสเกตบอลลอยอยูในอากาศเปน

เวลา 1 วินาที อยากทราบวาลูกบาสเกตบอลจะอยูสูงจากพื้นไดมากท่ีสุดเทาใด (โดยไมคิดความสูงของ นักบาสเกตบอลท่ีโยน)

1. 5 เมตร 2. 4 เมตร 3. 3 เมตร 4. 2 เมตร

23. รถคันหนึ่งกําลังแลนดวยความเร็ว u ชายคนหนึ่งยิงปนบนรถคันนี้ ในทิศทํามุม θ กับแนวราบ(เม่ือ สังเกต

จากรถ) ถาตองการใหลูกกระสุนตกลงมาบนรถ คนขับรถตองเรงรถดวยความเรงเทาใด

1. g sinθ 2. g tanθ 3. g cosθ 4. θcotg

24. จากรูป ชายคนหนึ่งขวางบอลจากจุด A โดยเล็งไปยังยอดตึก B ดวยความเร็ว 20 เมตร/วินาที ถาตึก BC สูง 24 เมตร และจุด A หางจากตึก 32 เมตร อยากทราบวาลูกบอลตกกระทบตึก ณ จุดสูงจากพืน้เทาใด

1. 10 เมตร 2. 6 เมตร

3. 4 เมตร 4. 3 เมตร

25. จากโจทยขอ 24 เม่ือลูกบอลกระทบกําแพงแลวกระดอนตกมาท่ีพืน้ หางจากจุด A เทาใด

1. 28.4 เมตร 2. 25.6 เมตร 3. 12.8 เมตร 4. 6.4 เมตร

26. กอนหินกอนหน่ึงถูกขวางไปในแนวระดับดวยความเร็ว 2gh จากยอดหอคอย ซ่ึง สูง h อยากทราบ

วา กอนหนิจะไปตกถึงพื้นหางจากเชิงหอคอยเทาใด 1. 2gh 2. 3.h 3. 2.h 4. 2 2.h

27. ลูกหินถูกยิงข้ึนจากพืน้ราบดวยความเร็วตน 40 เมตร/วินาที ในแนวทํามุม 30 องศากับแนวดิ่ง จงหาวาลูกหนิจะตกถึงพื้นท่ีระยะหางจากจุดเร่ิมตนเทาใด

1. m3160 2. m3140 3. m3100 4. m380

เฉลย ขอ1 = ขอ2 = ขอ3 = ขอ4 = ขอ5 = ขอ6 = ขอ7 = ขอ8 = ขอ9 = ขอ10 = ขอ11 = ขอ12 = ขอ13 = ขอ14 = ขอ15 = ขอ16 = ขอ17 = ขอ18 = ขอ19 = ขอ20 = ขอ21 = ขอ22 = ขอ23 = ขอ24 = ขอ25 = ขอ26 = ขอ27 = ขอ28 =

A

B

C 32 m

24 m