การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 1

การเคลือ่นท่ีเปนวงกลม (Circular Motion)

1.การเคลือ่นท่ีเปนวงกลม (Circular Motion) เปนการเคลื่อนที่บนระนาบใด ๆ โดยแบงการเคลื่อนที่เปน ระนาบราบหรือระนาบดิ่ง เชน การเคลื่อนที่ของรถยนตเขาวงเวียน หรือการเลี้ยวรถตอนเขาโคงธรรมดา หรือโคงยกระดับก็ได การเคลื่อนที่เปนวงกลมมีหลกัการคิดคํานวณดังนี้ 1. อัตราเร็วของวัตถุคงที่ (Speed คงที่ = vr )แตความเรว็ไมคงที่ เพราะเปลีย่นทิศทางตลอดเวลา 2. วัตถจุะเคลื่อนที่เปนวงกลมไดจะตองมีความเรงที่เรยีกกนัวา ความเรงเขาสูศูนยกลาง(Centripetal Acceleration = car ) คืออัตราการเปลี่ยนความเร็วตอหนึ่งหนวยเวลา 3. เม่ือมีความเรงเขาสูศูนยกลางยอมแสดงวา ตองมีแรงภายนอกมากระทําตอวตัถุ ซ่ึงเปนไปตามกฎ การเคลื่อนที่ของนิวตัน ขอ 2. แรงน้ีจึงเรียกวา แรงเขาสูศูนยกลาง (Centripetal Force = cF

r)

cFr

= แรงเขาสูศนูยกลางของวตัถุที่เคลื่อนที่เขาวงกลมได แบงไดเปน 6 ลักษณะคือ 1. วัตถเุคลื่อนที่เขาวงกลมแนวระดบั โดยไมมีเชือกหรือวัตถุภายนอกดึง ∴ cF

r = f (friction force)

2. วัตถเุคลื่อนที่เขาวงกลมในแนวระดับ โดยมีเชือกดึงอยู ∴ cF

r = T (Tension force)

3. วัตถเุคลื่อนที่เขาวงกลมในแนวระดับ แตมีเชือกกระทําตอวัตถุเปนรูปกรวย cF

r = T sinθ θ = มุมที่เรียกเอียงตอแนวดิ่ง

mg = T cosθ

∴ tan θ = Rgv2

4. การเคลื่อนที่เปนวงกลม บนระนาบเอียง โดยไมมีเชือก cF

r = N sinθ

mg = N cosθ 5. การเคลื่อนที่เปนวงกลมของเครื่องบิน หรือเครือ่งรอน หรือการเลี้ยวของเครื่องบิน ซ่ึงเปน สวนหนึ่งของการเคลื่อนท่ีเปนวงกลม ( N = แรงปฏกิริิยาต้ังฉากกับเครื่องบิน ) cF

r = N sinθ

mg = N cos θ 6. การเคลื่อนท่ีของดาวเทียม หรือยานอวกาศท่ีโคจรรอบโลกหรอืดาวเคราะหเปนวงกลม

mg

θ

θ

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 2

cFr

= mgh ( gh = ความเรงเนื่องจากแรงดึงดดูของโลก ณ ท่ีสูง h )

อัตราเรว็ (Speed) ของวัตถุท่ีเคลื่อนที่เปนวงกลมจะคงที่ โดยแบงออกเปน 2 แบบคือ 1. อัตราเร็วเชิงเสน (Linear Speed) เปนอัตราเรว็ของวัตถุ วัดโดยพิจารณาขนาดของ ความเรว็ในทิศ สัมผัสวงกลม ณ จุดน้ัน ๆ เปนหลกั = vr vr = ระยะทาง ใหเวลาครบ 1 รอบ = T วินาที = คาบของการเคลื่อนที ่ เวลา ∴

Trv π2

=v

ให f = ความถี่ของการเคลื่อนที่หรือจํานวนรอบในเวลา 1 วินาที f

T=

1 ∴vr

Trf= =

22

ππ

2. อัตราเร็วเชิงมุม (Angular Speed = ω) เปนอัตราเรว็ของวัตถุอีกแบบ วัดโดยการ พิจารณามุม ท่ีจุดศูนยกลางของวงกลมท่ีเปลี่ยนแปลงไปใน 1 หนวยเวลา มีหนวยเปน rad/sec

2 22v rf ft r r Tθ π πω π= = = = =

ความเรงเขาสูศูนยกลาง (Centripetal Acceleration = car )

∴ ( )22 22 2 2

22 44c

rfv v ra r rft r r T

π πω π= = = = = =r

แรงเขาสูศูนยกลาง (Centripetal Force = cF

r)

∴ 2 22 2 2

244

c c

c

F ma

mv m rF m r m rfr T

πω π

=

= = = =

r r

r

3. กฎแรงดึงดูดระหวางมวลของนิวตัน นิวตันเช่ือวา วัตถุท้ังหลายจะมีแรงดึงดูดซ่ึงกันและกันเสมอ เชนเดียวกับแรงดึงดูดระหวางดาวเคราะห กับดวงอาทิตย หรือแรงดึงดดูระหวางดวงจันทรและโลก กรณี 1 วัตถุ 2 กอน มีมวล m1, m2 อยูหางกันเปนระยะ R จะมีแรงดึงดูดกันและกัน = F

r

1 22

Gm mFR

=r

G = 6.67x10-11 N-m2/Kg2

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 3

กรณี 2 การเคลื่อนที่ของดาวเคราะหรอบดวงอาทิตย ดวงจันทรโคจรรอบโลก หรือดาวเทยีมโคจรรอบโลก ก็แสดงวามีแรงผลักเขาสูจุดศูนยกลางใหเลี้ยวโคงได กําหนดให Em = มวลของโลก Mm = มวลดวงจันทร ER = รัศมีโลก MR = รัศมีดวงจันทร ถาดวงจันทร อยูหางจากโลกเปนระยะ X (วัดจากผิวถึงผิว)

แรงผลักดวงจันทรใหโคจรรอบโลก =( )

FGm m

R R x

m vR R xc

E M

E M

M

E M=

+ +=

+ +2

2

กรณีท่ี 3 ดาวเทียมโคจรรอบโลก mE = มวลโลก m = มวลดาวเทียม R = ระยะระหวางโลกและดาวเทียม (วัดถึงจุดศูนยกลางแลว) g = ความเรงเนื่องจากแรงโนมถวงของโลกที่ ตําแหนง ดาวเทียม h = ระยะสูงจากพื้นโลก R = h + r

mgR

mvR

GMmF ===2

2

R r h= +

r

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 4

ตัวอยางแบบทดสอบ 1. มวล m =100 g และ M = 500 g ผูกโยงกันดวยเชือก เสนเล็ก ๆ โดยเชือกผานรูตรงกลางโตะ mอยูบนโตะ M หอยอยูใตโตะดังรูป พื้นโตะปราศจากความเสียดทาน จงหาอัตราเร็วของมวล m ที่จะเคลื่อนเปนวงกลมบนโตะ โดยมีรัศมี r = 25 cm. แลวมวล M จะอยูนิง่ ๆ ได 1. 2.5 m/s 2. 3.5 m/s 3. 4.5 m/s 4. 5.5 m/s 2 มวล m เทากับ 200 กรัม ผูกดวยเชือกยาว l = 20 ซม. แขวน

ไวที่ปลายคานยาว a = 10 ซม . ซ่ึงติดกับเสาดิ่งจงหาวา จะตอง หมุนเสากี่รอบตอนาที เชือก l จึงจะเอียง 450 กับ แนวดิ่ง 1. 62 รอบ/นาที 2. 65 รอบ/นาที 3. 68 รอบ/นาที 4. 72 รอบ/นาที 3. จากโจทยขอ 2 ขณะนัน้เชือกมีความตึงเทาใด 1. 2 N 2. 2 2 N 3. 3 2 N 4. 4 2 N 4. แผนเสียงหมุนดวยอัตราเรว็เชิงมุม 78 รอบตอนาที แมลงตัวหนึ่งตกลงบนแผนเสียงน้ี ณ ตําแหนงหาง จาก ศูนยกลางแผนเสียง 9.8 ซม. แมลงก็ยังคงเกาะติดแผนเสียงได แตถาอยูไกลกวาน้ี มันจะลื่นไถลได จงหา ส.ป.ส. ความเสียดทานระหวางเทาแมลงและแผนเสียง 1. 0.65 2. 0.72 3. 0.78 4. 0.82

5. เด็กข่ีจักรยานดวยอัตราเร็ว 6 m/s จะเลีย้วดวยรัศมีความโคงนอยทีสุ่ดเทาใด ถา μs ระหวางยาง และพ้ืนถนนเปน 0.3 1. 8 เมตร 2. 10 เมตร 3. 12 เมตร 4. 16 เมตร 6. จากโจทยขอ 5. เด็กควรเอียงรถเปนมุมเทาใดกับถนน

1. 1 1tan8

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2. 1 3tan10

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3. 1 1tan12

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

4. 1 1tan16

− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7. รถยนตมวล 1000 กโิลกรัม แลนดวยอัตราเร็ว 108 กม./ชม. เขาสูทางโคงรัศมี 100 เมตร จงหาส.ป.ส.ความ เสียดทานระหวางยางรถและพื้นถนนท่ีมีคานอยท่ีสุด ที่จะทําใหรถไมลื่นไถลออกนอกทางโคง 1. 0.9 2. 0.8 3. 0.7 4. 0.6

500M g=

100m g=

r

l

a

ω

θ

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 5

8. จากโจทย ขอ 7. ถาสมมติวาพ้ืนถนนลื่น จะตองยกพื้นถนนใหเอียงเปนมุมเทาใด รถจึงจะเล้ียวโคงบนถนนนี ้ ได อยางปลอดภัย 1. ( )1tan 0.9− 2. ( )1tan 0.8− 3. ( )1tan 0.7− 4. ( )1tan 0.6− 9. วัตถุ A และ B เคลื่อนที่เปนวงกลม ในแนวระดับ ดวยอัตราเร็วสมํ่าเสมอ รัศมีของทางเดินของ A. เปน 16 เทา

ของ B. เม่ือวัตถ ุA. เคลื่อนที่ได 1 รอบ Bจะเคลื่อนที่ได 8 รอบเสมอ ถาวัตถ ุA.มีมวล 40 เทาของวัตถ ุB. จงหา อัตราสวนระหวางแรงเหว่ียงท่ีกระทําตอวัตถ ุA. ตอ วัตถุ B. 1. 4:1 2. 10:1 3. 1:10 4. 1:4

10. รถยนตคันหนึ่งวิ่งเลี้ยวโคงรัศมีความโคง 100 เมตร กําหนดใหวาในขณะฝนตก แรงเสียดทานระหวางลอกับ พ้ืนถนนเปนหนึ่งในส่ีของในขณะฝนไมตก ถาในขณะฝนตก รถสามารถว่ิงได ดวยอัตราเรว็สูงสุด 25 กม./ชม. อยางปลอดภัย ถามวาในขณะฝนไมตกจะวิ่งดวยอัตราเร็วสูงสุด เทาใด (ตอบเปน กม./ชม.) 1. 12.5 2. 25 3. 50 4. 75 11. ผูกมวล 1 กก. กับเชือกแลวแกวงใหเคลื่อนที่เปนวงกลมในแนวด่ิงโดยมีรัศมี วงกลม 1 เมตรในขณะท่ีเชือก อยูในแนวราบ มวลมีอัตราเรว็ 10 m/s ถามวาความเรง ของมวล ในขณะนีเ้ปนเทาใด

1. 10 m/s2 2. 14 m/s2

3. 20 m/s2 4. 28 m/s2 12. ลูกกลม A และ B ผูกกบัปลายเชือกเบา 2 เสนยาวไมเทากัน ขมวดปลายเชือก อีกขางหนึ่งไวทีจุ่ดเดยีวกัน จับปลายรวมไวใหแกวง เปนวงกลมในระนาบระดับดังรูป เวลาในการแกวง ครบรอบของลูกตุมทั้งสองเทากันอัตรา

สวนของ ความเรงเขาสูศูนยกลางของ A และ B เปน เทาไร 1. 1:2 2. 1:3 3. 1:4 4. 1:8

13. นักกีฬาผูหน่ึงหนัก W นิวตัน กําลังโหนเชือกยาว l เมตร ซ่ึงปลายขางหน่ึงผูกติด กบัเพดาน ถาเขาแกวง

ตัวไป-มา โดยในการแกวงแตละครั้ง เชือกจะทํามุม θ กับแนวดิ่ง จงหา อัตราเร็วขณะที่ตัวเขาแกวงผานจุด ตํ่าสุด 1. 2gl 2. 2 cosgl θ 3. ( )2 1 cosgl θ− 4. ( )2 1 singl θ−

14. รถยนตมีมวล 1,200 Kg ถาวิ่งเลีย้วโคงบนถนนซ่ึงมีรัศมีความโคง 100 mดวยอัตราเร็ว 72 กโิลเมตรตอ ช่ัวโมง จะตองการแรงสูศูนยกลางขนาดเทียบเทากับน้าํหนัก ของมวลกี่กโิลกรัม 1. 200 2. 240 3. 480 4. 1200

0.1 m

B A

0.2 m

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 6

15. ผูกวัตถุท่ีปลายลางของเชือกเสนหนึ่งยาว l เมตร ตรึงปลายบนไวแลวแกวง วัตถใุหเปนวงกลมในระนาบ

ระดับ ถาเชือกทํามุม θ กับแนวดิ่ง วัตถุจะแกวงครบรอบในเวลา T วินาที ความเรงสูศูนยกลางของวัตถุมีคา

1. 2 sinlT

π θ 2. 2 coslT

π θ 3. 2

24 sinl

Tπ θ 4.

2

24 cosl

Tπ θ

16. รถยนตมวล 900 กโิลกรัม วิ่งมาตามถนนตรงในแนวระดับดวยอัตราเร็ว 72 km/hrไดชะลอความเร็วลงอยาง สมํ่าเสมอ กอนถึงทางโคงราบเปนเวลา 3 วินาที จึงวิ่งไดอยางปลอดภัย อยากทราบวาระยะทางต้ังแตเริ่มลด ความเร็วจนถึงทางโคงนั้นเปนเทาไร ถาทางโคงราบนั้นมีรศัมีความโคง 150 เมตร และแรง เสียดทาน ระหวาง ยางรถยนตกับถนน ใน แนวรัศมีความโคงเปน 600 นิวตัน 1. 15 เมตร 2. 30 เมตร 3. 45 เมตร 4. 60 เมตร 17. มวล A และ B มีคา 0.4 และ 0.5 กิโลกรัมตามลําดับ ผูกดวยเชือกยาวไมเทากัน แกวงเปนวงกลมในแนวระดับ เดียวกัน ถารัศมีการ เคลื่อนที่เปนวงกลมของมวล B เปน 2 เทาของ มวล A จงหาอัตราสวนของอัตราเร็ว เชิงมุมของ มวล B ตอมวล A 1. 1:1 2. 4:5 3. 5:8 4. 1:2 18. วัตถุมวล m ผกูดวยเสนดายซ่ึงมี มวลนอยมาก แลวแกวง ใหมวล m เคลือ่นท่ีเปนวงกลม ในระนาบระดับเสนดาย

ทํามุม θ กับแนวดิ่งดังรูป ความตึงเสนดาย (T) มีคาเทาใด

1. cosmg θ 2. cosmgθ

3. sinmg θ 4. mg/sin θ 19. รถจักรยานยนตวิ่งดวยความเร็ว 108 กโิลเมตร/ช่ัวโมง วิ่งตามทางโคงซ่ึงมี รัศมีความโคง 100 เมตร ผิวถนนอยูในแนวระดับ รถจักรยานยนตจะเอียงทํามุมกับแนวดิ่งเทาใด จึงจะไมลม

1. θ = tan-1 0.90 2. θ = tan-1 0.75

3. θ = tan-1 0.50 4. θ = tan-1 0.45 20. ดาวเทยีมดวงหน่ึงโคจรรอบโลกใชเวลาประมาณ 8 วัน สวนดวงจันทรโคจรรอบ โลกใชเวลาประมาณ 27 วนั ดวงจนัทรอยูหางจากศูนยกลางโลกเทากับ 60 เทาของรัศมีโลก ถามวา ดาวเทียมอยูหางจาก ศูนยกลางโลก เทากับกี่เทาของรัศมีโลก 1. 17.8 เทา 2. 26.7 เทา 3. 30.0 เทา 4. 40.0 เทา

θ

B A

AR

BR

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 7

21. ยานอวกาศมวล m ถามวา ขณะท่ีอยูหางจากผิวดวงจันทรเปน 2 เทาของรัศมีดวงจันทร จะถูก ดวงจนัทรดึง ดูดดวยแรงคิดเปนกี่เทาของน้ําหนักของยานอวกาศบนผวิโลก ถานํ้าหนักของมวลบนผวิ ดวงจันทรเปนหน่ึง ในหกของนํ้าหนักท่ีผวิโลก 1. 1

54 เทา 2. 1

24 เทา 3. 1

18 เทา 4. 1

12 เทา

22. ดาวเคราะหดวงหนึ่งมีเสนผาศูนยกลางประมาณครึ่งหนึ่งของเสนผาศูนยกลาง ของโลก และมีมวล 110

ของ

มวลโลก ชายคนหนึ่งหนัก 600 นิวตันบนผวิโลก เขาจะหนักเทาใด เม่ือข้ึนไปอยูบนดาวเคราะหดวงน้ัน 1. 320 N 2. 280 N 3. 240 N 4. 200 N 23. โลกหมุนรอบตัวเองตามปกติ ทําใหวตัถุที่อยูทีผ่วิโลก ณ ตําแหนงศูนยสูตร มีความ เรงสูศูนยกลาง

a เมตร/วนิาที2 ถาโลกหมุนรอบตัวเองชาลงเปนรอบละ 36 ช่ัวโมง ความเรง สูศูนยกลางของวัตถุทีผ่วิโลก ตรงตําแหนงเดิมเปนเทาไร 1. 22 /

3a m s 2. 23 /

2a m s 3. 25 /

9a m s 4. 24 /

9a m s

24. ถามวลดวงจนัทรเปน 180

ของโลก และรัศมีเปน 14

ของรัศมีโลกใหมวลของโลก เปน M และรัศมีของโลกเปน R, G เปนคานิจโนมถวงสากล วัตถุที่ตกอิสระบนดวงจันทรจะมีความเรง เทาใด (g คือความเรงที่ผิวโลก)

1. 4g 2.

5g 3.

6g 4.

20g

25. ถาวงโคจรของดวงจันทรรอบโลกเปนวงกลม และถารัศมีของวงโคจรเพิ่มข้ึนเปน 2 เทา อยากทราบวา คาบของวงโคจรจะเพ่ิมเปนกี่เทาของเดิม 1. 2 เทา 2. 2 เทา 3. 2√2 เทา 4. 4 เทา 26. จงหาอัตราสวนของแรงโนมถวงทีก่ระทําตอยานอวกาศเม่ืออยูที่ผวิโลกตอ แรงโนมถวงท่ีกระทําตอยาน อวกาศ เม่ืออยูที่ระดับเหนือผวิโลกเปนระยะทางเทากบัครึ่งหน่ึงของ รัศมีโลก 1. 1

2 2. 3

2 3. 2 4. 9

4

27. ดาวเทยีมเคลื่อนท่ีเปนวงกลมรอบโลก โดยมีระยะหางจากผวิโลกเทากับรัศมีของโลก อัตราเรว็ของดาวเทยีมมี

คากี่เมตรตอวินาที (กําหนดรัศมีของโลก = 6.4 x 106 เมตร)

1. 1.6 x 104 m/s 2. 4.0 x 103 m/s 3. 5.7 x 103 m/s 4. 11.3 x 103 m/s

การเคลื่อนท่ีเปนวงกลม อ. สุรสงิห นิรชร

ph-2007-08-27 8

เฉลย ขอ1 = 2 ขอ2 = 1 ขอ3 = 2 ขอ4 = 1 ขอ5 = 3 ขอ6 = 2 ขอ7 = 1 ขอ8 = 1 ขอ9 = 2 ขอ10 = 3 ขอ11 = 2 ขอ12 = 1 ขอ13 = 3 ขอ14 = 3 ขอ15 = 3 ขอ16 = 3 ขอ17 = 1 ขอ18 = 2 ขอ19 = 1 ขอ20 = 2 ขอ21 = 1 ขอ22 = 3 ขอ23 = 4 ขอ24 = 2 ขอ25 = 3 ขอ26 = 4 ขอ27 = 3