สมดล 1 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

สมดล (Equilibrium) กฎการเคลอนทของ Newton 1. ∑F

v = 0 , av = 0 1. vuvv

= = 0 (สมดลสถต) 2. vu

vv= = คาคงท (สมดลจลน)

2. ∑Fv ≠ 0 , ∴ ∑F

v = ma∑ r (ไมสมดล) 3. ∑F

v = 0 หรอ ∑Fv≠ 0 ∴ Action = Reaction

เงอนไขของการสมดล 1. ∑F

v = 0 X∑Fr = 0

Y∑Fr = 0

2. M∑ = 0 รอบจดหมนใดๆ Moment คอ ผลการกระทาของแรงกระทาตอวตถ ทาใหวตถเกดการหมนหรอพยายามทจะหมนรอบจด หมนใดๆ M = SF

vv⋅ = θcosSF

vv (เปนปรมาณ Scalar) หลกในการเลอก จดหมน จดหมนทดควรมลกษณะ

1. เปนจดทมแรงผานมากๆ เพราะ แรงผานจดหมนทาใหโมเมนตของแรงนนเปนศนย หรอ 2. เปนจดทมแรงไมทราบคาผาน (ในกรณ ทมแรงไมทราบคา เพยงแรงเดยวไมเหมาะสม) หรอ 3. จดปลายวตถ

ทฤษฎเสรม สาหรบการสมดล ดวยแรง 3 แรง 1. Lami’s Theorem “เมอแรงสามแรงมากระทารวมกนบนวตถ อนเดยวกนแลว ทาให

วตถนนอยในสภาวะสมดล จะไดแรง ตอ Sine ของมมตรงมคาคงท”

∴ sinγF

sinβF

sinαF 321 == = คาคงท

2. ทฤษฎสามเหลยมของแรง 2.1 เมอแรงสามแรงกระทารวมกนบนวตถ เดยวกนแลวทาใหวตถนนสมดล และแรงทงสาม ขนาน

กบดานสามดานของสามเหลยมใดๆ แลวแรงตอดานทมนขนาน จะมคาคงท 1 2 3, ,F AB F BC F AC⊥ ⊥ ⊥r r r จะได

ACF

BCF

ABF 321

rrr

== = คาคงท

α γβ

2Fr

1Fr

3Fr

A

B C

3Fr

2Fr

1Fr

สมดล 2 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

2.2 เมอแรงสามแรงกระทารวมกนบนวตถเดยวกนแลวทาใหวตถนนสมดลและแรงทงสามตงฉากกบดาน

ของสามเหลยมใดๆ แรงตานทมนตงฉากยอมมคาคงท 1F

v⊥ AB , 2F

v⊥ AC, 3F

v⊥ BC

∴ BCF

ACF

ABF 321 == = คาคงท

แรงเสยดทาน (Friction Force) เปนแรงทตอตานการเคลอนทของวตถ แบงได 2 ประเภท คอ

1. แรงเสยดทานสถต (Static Frictional Force = sf ) เกดขนในขณะทวตถยงไมเคลอนท ( sf = F ไมมสตรคานวณ) ในกรณท maxsf = F = s Nµ โดยปรกตแลว 0 < µs ≤ 1 2. แรงเสยดทานจลน (Kinetic Frictional Force = kf ) เกดขนในขณะทวตถกาลงเคลอนท

( kf = k Nµ = คาคงท) ถา kf < F วตถเคลอนทดวยความเรง kf = F วตถเคลอนทดวยความเรวคงท kf > F วตถเคลอนทดวยความหนวง สาหรบแรงเสยดทานจลนของวตถ ยงจาแนกตามลกษณะของการเคลอนทคอ

2.1 เคลอนทแบบลนไถล = kf 2.2 เคลอนทแบบหมน จะเปนแรงตานทานทกระทาทจดสมผสของวตถทหมนและมทศตาน

ตอการหมนนน ๆ การหาคา ส.ป.ส.แรงเสยดทานจลนและสถต

ในกรณทวตถกาลงจะเสยสมดลจะได maxs sf Nµ= = mg sinθ ∴ µs (mg cosθ) = mg sinθ µs =

cosθ mgsinθ mg = tanθ

เรยก θs วา มมแหง ส.ป.ส. แรงเสยดทานสถตย เมอวตถเคลอนแลวปรบความชนใหม เพอใหวตถ เคลอนทลงดวย ความเรวคงทจะได µk = tanθk ∴ θk < θs เสมอ

A 1Fr

C B

2Fr

3Fr

fs

mg cosθ mg

sinmg θ

θ

สมดล 3 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

โมเมนตของแรงคควบ (Moment of Couple) คอ โมเมนตของแรงคขนาน (แรงขนานตางพวก) เมอมแรง 2 แรงขนาดเทากน ทศทางตรงขาม และไดอยในแนวเสนตรงเดยวกน และถาจะทาใหวตถสมดล ตองใชโมเมนตของแรงคควบใหมทมขนาดเทาเดม ทศทางตรงขามมากระทาจงจะสมดล

กรณท 1 วตถกาลงลนไถล ∴ Fลน = maxs sf mgµ= ________ * F]h, = mg

2hd *

ถา h คงทและ h ≥ 2H

ถา µs > 2hd วตถจะลมกอนลน

ถา µs < 2hd วตถลนกอนลม

ในกรณวตถ ตงอยบนพนเอยง ถา θs < θลม = ลนกอนลม ถา θs > θลม = ลมกอนลน

โดยท tan θs = µs และ tanθลม = สงกวาง =

HD

เครองกลอยางงายทใชหลกของโมเมนต คอ 1. คาน 2. รอก 3. ลอและเพลา

การไดเปรยบเชงกลปฏบต = M.A. = FW

การไดเปรยบเชงกลเชงทฤษฎ = IMA = WระยะทางของF ระยะทางของ

ประสทธภาพของเครองกล Eff = IMAMA x 100%

ความเคน (Stress) คออตราสวนระหวางแรงทงหมดทกระทาตอของแขงกบพนทหนาตดของของแขงนน σ

AF

= (N/m2)

ความเครยด (Strain) คออตราสวนเปรยบเทยบความยาวทเปลยนไปตอความยาวเดมของของแขง ความเครยดเชงเสน = ε =

0LL∆

ความยดหยน (Elasticity) เปนคณสมบตเฉพาะของของแขงแตละชนด ซงจะมคาแตกตางกนเปน คณสมบตกลบคนสสภาพเดมของของแขง หลงจากถกความเคนมากระตนใหเกดการเปลยนแปลง แตง

บนพน

d

mg H

fs N

F h

สมดล 4 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

ของแขงจะมขดจากดอยขนหนง ถาถกความเคน มากระตนไมเกน กจะกลบสสภาพเดมได แตถาเกน ขนนไป แลวจะไมกลบสสภาพเดม เราเรยกคาจากดนวา ขดจากดของความ ยดหยน มอดลสของความยดหยน (Modulus of Elasticity) หมายถง อตราสวนของความเคนตอความ เครยดของ ของแขงนน ∴ Modulus of Elasticity =

StrianStress

Young’s Modulus เปน Modulus ตามแนวเสนตรง (ตามเสน) ∴Y =

llAF

StrianStress

//

∆=

สมดล 1. ทอนไมมวล 100 กโลกรม วางพาดกาแพงลนดงรป แรงทกาแพงทาตอปลายไมเทากบ 140 N

แรงลพธทพนระดบทาตอปลายไมเปนกนวตน (กาหนดให g = 9.8 m/s2) 1. 840 2. 980 3. 990 4. 1120 2. กลองสองใบมมวล m1 และ m2 ตามลาดบวางซอนกนบนพนราบลนไรความฝด มแรง F กระทาตอ กลอง m1 ทาใหกลองทงสองเคลอนไปทางขวาดวยความเรง a ถา f เปนแรงเสยดทานสงสดทมได

ระหวางผวสมผสของกลองทงสอง F มคาไดมากทสดเทาใด มวล m2 จงไมไถลไปบน m1

1. fmm

1

2 2. fmm

m

21

2

+

3. fmm

2

1 4. fmmm

2

21 +

3. หบสมภาระหนก W นวตน ถกยกขนดวยแรง F (ดงรป) ปรากฏวาหบนเคลอนทขนดวย อตราเรว สมาเสมอ 5 m/s ถา OA และ OB เปนเชอกทยาวเทากนแสดงวาแรงดงในเชอก OA มคาเทาใด 1.

2sin2

Wθ 2. 2

cos2

Wθ

3. 2

sin2

Wθ 4.

2cos2

Wθ

พนระดบมความฝด

กาแพงลน

140 N

Fr

a

2m

1m

f

W

v F

θ A B

o

สมดล 5 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

4. วตถมวล 5 กโลกรม วางอยบนโตะทไมมความเสยดทาน ปลายทงสองขางผกเชอกเบาแลวคลองผานรอกทไมมความฝด นาวตถมวล 3 กโลกรม และ 2 กโลกรมผกตดกบปลายเชอกทงสองดานดงรป เมอปลอยใหมวลทงหมดเคลอนท แรงท เชอกดงมวล 3 กโลกรม และ 2 กโลกรมเปนเทาใด (ตอบตามลาดบ) 1. 30 N. และ 20 N. 2. 27 N. และ 22 N. 3. 25 N. และ 20 N. 4. 20 N. และ 15 N. 5. คานสมาเสมอมวล 2 กโลกรม ความยาว 1 เมตร มไมหมอนหนนไวทกงกลางคานคอจด P และมมวลแขวนไวดงรป ถา ตองการใหคานอยในแนวระดบจะตองแขวนมวลทางขวามอของจด P ตามขอใด ก. 2 กโลกรมทตาแหนงหางจาก P 40 เซนตเมตร ข. 4 กโลกรมทตาแหนงหางจาก P 30 เซนตเมตร ค. 6 กโลกรมทตาแหนงหางจาก P 20 เซนตเมตร ง. 8 กโลกรมทตาแหนงหางจาก P 10 เซนตเมตร คาตอบทถกคอขอใด 1. ก,ข และ ค 2. ข และ ค 3. ข เทานน 4. คาตอบเปนอยางอน 6. ลงตวหนงหนก 24 นวตน ปนขนบนไดสมาเสมอยาว L หนก 30 นวตนวางพงกาแพงเกลยง และพนลนปลายลาง บนไดผกเชอกเสนหนงทาใหบนไดเอยงทามม 53 องศา กบพนดงรป จงหาระยะทางทลงปนบนได ขนไปไดมาก สด กอนทเชอกจะขาด ถาเชอกทนแรงตง 25 นวตน 1. 0.40 L 2. 0.55 L 3. 0.71 L 4. 1.00 L 7. มแรง 3 แรง ขนาด 50 นวตน 70 นวตน และ F กระทาตออนภาคหนงทจด P ดงรป โดยท แรง F มทศทามม θ กบแนวของแรง 70 นวตน ถาตองการใหอนภาคอยในสภาวะสมดลตอการ เลอนตาแหนง จะตองกระทาอยางไร

1. ปรบมม θ เทากบ 53 องศา และปรบขนาดของ F เทากบ 30 นวตน 2. ปรบมม θ เทากบ 53 องศา และปรบขนาดของ F เทากบ 30 2 นวตน 3. ปรบมม θ เทากบ 45 องศา และปรบขนาดของ F เทากบ 30 นวตน 4. ปรบมม θ เทากบ 45 องศา และปรบขนาดของ F เทากบ 30 2 นวตน

P 70N 370

θ

F

50N

5kg

3kg 2kg

P

40cm 50cm

4kg 8kg

8kg

สมดล 6 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

8. ลวดโตสมาเสมอโคงเปนแนววงกลมรศม R และยาว 2.Rπ วางพงผนงหอง ดงรป กาหนดใหผนง

หองลน แตพนหองฝดจงหาวา ส.ป.ส. ความเสยดทานตอ พนหองจะตองม คาอยางนอยเทาไรลวดจงจะไมไถล แต อยไดตามรป 1.

21 2.

22

3. 22

1 4. 22

9. ขณะทรถเลยวโคงบนถนนราบดวยรศมความโคง 245 m ลกตมซงแขวนในรถเอยงทามม 45 องศา กบแนวดง ขณะนนรถวงดวยอตราเรวกกโลเมตรตอชวโมง

1. 49 2. 98 3. 176 4. 245

10. คานสมาเสมอ มวล 3 กโลกรม ยาว 100 เซนตเมตร มไมหมอนหนนอยทจด P และมกอนมวล 9 กโลกรม กบ 5 กโลกรม แขวนไวทปลาย แตละขางดงรป ถาตองการใหคานวางตวตาม แนวระดบ เราตองแขวนมวล 2 กโลกรม เพม ทางขวาของจด P ทระยะ x ตามขอใด 1. 30 cm 2. 25 cm 3. 15 cm 4. 10 cm

11. คนโยก กขคง ซงมความยาวของแขน กข ขค และ คง เทากนและหกเปนมมฉากดงรปถาออกแรง F กระทาตงฉากกบแขน กข ทจด ก โดยให ข เปนจดหมน แรงทนอยทสดทกระทาตอปลาย ง โดยไมทาใหคนโยกหมนรอบจด ข จะมขนาดเทาใด

1. F 2. 2F

3. 2F 4.

3F

ง ค

ข ก

40 cm. 60 cm.

9kg 2kg 5kg

x P

F

R

สมดล 7 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

12. วตถไถลลงไปตามแนวพนเอยงดวยความเรงคงท a โดยพนเอยงนทามม 45 องศากบแนวราบ จงหาคาสมประสทธความเสยดทาน

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ga2

1 2. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ag2

1

3. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ga2

1 4. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ag2

1

13. ทรงกระบอกตนนาหนก W วางอยทซอกผนงดงรป ถาหากวาสมประสทธความเสยดทานของพน เปน 1

3 สมประสทธความเสยดทานของผนงมคาเปนศนยแรง P มคาเปนสองเทาของนาหนก

ของทรงกระบอกนแสดงวาแรงปฏกรยาทตาแหนง A มคาเปนเทาใด 1. 0.3 W 2. 0.4 W 3. 0.5 W 4. W

14. กลองมวล m ไถลลงพนเอยงซงทามม θ กบแนวระดบดวยความเรง a ตอมาเพมมวลใหกลอง เปน 2m คราวนความเรงจะเปนเทาใด สมประสทธของความเสยดทานระหวางกลองกบพนเอยง มคาคงท 1. 0.5a 2. a 3. 1.5a 4. 2a 15. รถบรรทกมวล 5,000 กโลกรม เคลอนทบนพนราบในแนวเสนตรงดวยความเรว 20 เมตร/วนาท

ถาตองการใหรถนหยดสนทในระยะทาง 50 เมตร จะตองใชแรงตานเทาใด 1. 5,000 N 2. 10,000 N 3. 20,000 N 4. 40,000 N

16. แทงไม W1 หนก 4N, W2 หนก 8 N วางซอนกนดงรป ทกผวสมผส มสมประสทธแรงเสยดทาน 0.25 จงหาแรง F ทพอดทาให W2 เคลอนท ดวยความเรวคงท 1. 3N 2. 4N 3. 5N 4. 7N

2W 1W

Fr

d

r A

P

W

สมดล 8 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc

17. แผนโลหะกลมแบนสมาเสมอมเสนผานศนยกลาง 2 เซนตเมตร หนา 1.2 มลลเมตร วางซอน กนอยาง มระเบยบบนพนเอยงททามม 45 องศากบแนวระดบ ดงรป ถาแรงเสยดทานระหวางแผนโลหะ และพน เอยงมคามาก จงหาวาจะซอนแผนโลหะเหลานไดมากทสดเทาไรโดยไมมการลมเกดขน 1. 7 แผน 2. 8 แผน 3. 16 แผน 4. 18 แผน 18. กลองใบหนงมมวล 2 กโลกรม ไถลบนพนราบดวยความเรวตน 2 m/s เมอไถลไปได 1 m กหยดนง สมประสทธความเสยดทานระหวางกลองและพนเปนเทาใด

1. 0.4 2. 0.3 3. 0.2 4. 0.1 19. ทอนายาว 2 ทอ แตละทอหนก 40 กโลกรม วางชดกนตามยาวบนพนเกลยง ถานาทอลกษณะ

เหมอนกนวางซอนสองทอแรกดงในรป แรง H ในแนวราบจะตองมคาอยางนอยเทาไร ทจะทาใหทอไมแยกจากกน

1. 115 N 2. 240 N 3. 350 N 4. 460 N

20. มวล m แขวนไวดงรป และถกดงไวดวยแรง Fv ในแนวระดบ เมอ θ = 600 ความตงของเสน เชอกจะ เปนเทาใด 1. mg

21

2. mg23

3. mg3 4. mg2

21. จากโจทยขอท 15. ความเรงของมวล m ทนทหลงจากตดแรง Fv ออก จะเปนเทาใด

1. 0.50 g 2. 0.71 g 3. 0.87 g 4. 1.00 g

เฉลย ขอ1 = 3 ขอ2 = 4 ขอ3 = 4 ขอ4 = 2 ขอ5 = 4 ขอ6 = 3 ขอ7 = 4 ขอ8 = 4 ขอ9 = 3 ขอ10 = 1 ขอ11 = 3 ขอ12 = 1 ขอ13 = 4 ขอ14 = 2 ขอ15 = 3 ขอ16 = 3 ขอ17 = 3 ขอ18 = 3 ขอ19 = 1 ขอ20 = 4 ขอ21 = 3

H H

600

Fr

สมดล 9 อ.สรสงห นรชร

ph-2007-06-11.doc