1

Peatu

kk

4

Pid

eva

kesk

konna

kin

em

aatik

a

Kin

emaatika

onm

ehaan

ikaosa,

mis

uurib

liikum

isegeom

eetrilisisead

usp

arasusi.

Pidev

keskkond.

Eeld

ame,

etuuritavad

materjalid

taidavad

ruum

ipid

evalt,st.

igakah

em

ateriaalsepunkti

vahel

leidub

vah

emalt

uks

materiaaln

epunkt1.

Igam

ateriaalne

punkt

omab

massi.

1Analo

ogiliseltreaalarv

ude

pid

evusega

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

2

4.1

Defo

rmatsio

onid

eliig

idja

moodud

Lihtdeform

atsioonid

Joon

is4.1:

Lih

tdeform

atsioon

id:

(a)–

pik

ideform

atsioon

(pike),

(b)

–pain

e,(c)

–vaan

e,(d

)–

nih

e.

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

3

4.1

.11D

defo

rmatsio

onim

oodud

Meen

utam

etu

gevusop

etuse

kursu

sesteh

tud

tombekatset,

mille

korralkatseke-

ha

algpik

kusega

l0piken

ebsu

uru

seδ

vorra,

omad

esseega

katselop

ul

pik

kust

l=

l0+

δ.Toim

unud

deform

atsioon

iiselo

omustam

iseks

voib

kasutad

aerin

evaiddeform

atsioonim

oote2:

•piken

emiskoefi

tsentehk

pikenem

ine

3

λ=

ll0(4.1)

•in

senerideform

atsioon(ka

Cau

chy

deform

atsioon

)4

εe=

l−l0

l0=

δl0=

λ−

1(4.2)

2I.k.stra

inm

easu

res3I.

k.stretch

,stretch

ratio

,4I.

k.en

gineerin

gstra

in,C

auch

ystra

in

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

4

•logaritm

iline

deformatsioon

(kategelik

deform

atsioon

voi

Hen

cky

deform

at-sio

on)5

εlog

=

∫l

l0

dll

=ln

ll0=

...≈δl0 −

12

δ2

l 20

(4.3)

•Lagran

ge’ideform

atsioon(ka

Green

ideform

atsioon

)6

εL

=l 2−

l 20

2l 20

=...

=δl0

+12

δ2

l 20

ehk

εL

=12

(λ2−

1)

(4.4)

•Euleri-A

lman

sideform

atsioon7

εE

A=

l 2−l 20

2l 2=

...=

δl+

12

δ2

l 2eh

kεE

A=

12

(

1−1λ2

)

(4.5)

Mark

us:

Isikute

nim

edesse,

mis

onuhe

voi

teisedeform

atsioon

im

ooduga

seotud,

tuleb

suhtu

da

teatavaettevaatu

sega:)

5I.k.loga

rithm

icstra

in,also

called

natu

ralstra

in,tru

estra

inor

Hen

ckystra

in6I.

k.Lagra

nge

strain

,G

reenstra

in7I.

k.Euler-A

lmansi

strain

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

5

00.05

0.10.15

0.20.25

0.30.35

0.40.45

0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

δ/l0

deformatsioon

insenerideformatsioon

Lagrange’i deform

atsioonlogaritm

iline deformatsioon

Joon

is4.2:

Erin

evatedeform

atsioon

imootu

de

vord

lus

Joon

ise4.2

poh

jalon

selge,et

kuiδ/l0

<0,1,siis

langevad

in-

seneri,

Lagran

ge’ija

logaritmi-

line

deform

atsioon

prak

tiliseltkok

ku.Suurte

deform

atsioon

i-de

korralaga

erinevad

vaa-deld

avadkolm

deform

atsioo-

nim

ootuolu

liselt.K

oigesage-

dam

ini

kasutatak

sesu

urte

de-

formatsio

onid

ekirjeld

amisek

sLagran

ge’ideform

atsioon

i.

Euleri-A

lman

sideform

atsioo-

ni

korralvorreld

akse

pik

kuse

muutu

δdeform

eerunud

kat-sekeh

apik

kusega

lja

seetottuon

selledeform

atsioon

im

oodu

otsene

vord

lemin

evaad

eldud

kolmik

uga

komplitseeritu

d.

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

6

4.1

.2D

efo

rmatsio

onim

oodud

—tu

gevuso

petu

sest

parit

lahenem

ine

Kaesolevas

alajaotu

seseeld

ame,

etdeform

atsioon

idon

lopm

atavaikesed

.M

a-tem

aatiliselttah

endab

see,et

vastavadsu

uru

sedon

uhega

vorreld

esvaikesed

(naitek

sεx ≪

1).

Norm

aaldeformatsioon

(norm

aalmoon

e)

Joon

is4.3:

Norm

aaldeform

atsioon

:σ

>0

(Joon

ison

parit

prof.

A.K

lauson

iTeh

nilise

meh

aanika

loen

gukon

spek

tist.)

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

7

Joon

is4.4:

Norm

aaldeform

atsioon

:σ

<0

(Joon

ison

parit

prof.

A.K

lauson

iTeh

nilise

meh

aanika

loen

gukon

spek

tist.)

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

8

Nihkedeform

atsiooneh

knih

eeh

knih

kemoon

e

Joon

is4.5:

Nih

kedeform

atsioon

(Joon

ison

parit

prof.

A.K

lauson

iTeh

nilise

meh

aanika

loen

gukon

spek

tist.)

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

9

Joon

is4.6:

Nih

kedeform

atsioon

(Joon

ison

parit

prof.

A.K

lauson

iTeh

nilise

meh

aanika

loen

gukon

spek

tist.)

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

10

4.1

.3Siire

jadefo

rmatsio

on

—lin

eaarse

stela

stsuste

ooria

stparit

lahenem

ine

Siire

Vaatlem

edeform

eeruva

keha

meelevald

setpunkti

A.A

lgolekus

ontem

ako

ordi-

naad

idx,y

,z.V

alisjoudude

toimel

liigub

taasen

disse

A′ko

ordin

aatidega

x′,y ′,z ′.

Vek

toritA

A′nim

etatakse

punkti

Asiirdeks

ehksiirdevektoriks. 8

Eristam

ekah

teliik

isiird

ed:

•keh

akui

tervik

usiird

ed(toim

uvad

ilma

deform

atsioon

ideta)

—jaiga

keha

meh

aanika

9

•siird

ed,m

ison

seotud

keha

deform

atsioon

iga—

kaesolevas

kursu

sesvaad

el-dak

sevaid

selliseidsiird

eid.

Siird

evektori

koord

inaattelged

ex,y

,zsih

ilisikom

pon

ente

tahistatak

seu,v

,w,st.,

u=

x′−

x,

v=

y ′−y,

w=

z ′−z.

(4.6)

8Siird

esu

non

uum

onpaigu

tis.9M

itmed

pid

evakesk

kon

na

meh

aanika

opik

ud

nim

etavadselliseid

siirdeid

jaiga

ksdefo

rmatsioo

niks.

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

11

Cauch

yse

ose

d10

Kuikeh

adeform

eerub,siis

peavad

erinevate

punktid

esiird

edolem

aerin

evad,st.,

u=

u(x

,y,z

),v

=v(x

,y,z

),w

=w

(x,y

,z).

(4.7)

Vaatlem

elop

mata

vaikese

risttahuka

kahe

servakaitu

mist

x,y

tasandil

(joon

.4.7).

Enne

deform

atsioon

i:

•A

B=

dx‖

xja

AC

=dy‖

y;

•P

unktid

eko

ordin

aadid

:A

:(x

,y);

B:(x

+dx,y

);C

:(x

,y+

dy).

Peale

deform

atsioon

i:A

→A

′;B

→B

′ja

C→

C′.

Vastavad

siirded

:

•P

unkt

A:u

jav;

•P

unkt

B:u

+∂u

∂x d

xja

v+

∂v

∂x d

x;

•P

unkt

C:u

+∂u

∂y d

yja

v+

∂v

∂y d

y;

10K

akaesolevas

alajaotu

seseeld

ame,

etdeform

atsioon

idon

lopm

atavaik

esed(n

aiteks

εx≪

1).Sam

aeeld

us

onkasu

tusel

kaparagrah

vid

es4.2

ja4.3.

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

12

Joon

is4.7:

Norm

aal-ja

nih

kedeform

atsioon

.

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

13

Kuna

lineaarses

elastsusteo

oriason

koik

muutu

sedvaikesed

,siis

onvaikesed

kaservad

eA

Bja

AC

poord

enurgad

,st.,

cosβ∼

1,sin

β∼

βja

tanβ∼

β.

Seetottu

loikude

AB

jaA

Csu

htelised

piken

emised

(koord

inaatid

ex

jay

sihilised

norm

aaldeform

atsioon

id)

εx

=A

′B′−

AB

AB

≈A

′B′′−

AB

AB

=(d

x+

u+

∂u

∂x d

x−

u)−

dx

dx

=∂u

∂x d

x

dx

=∂u

∂x,

εy

=A

′C′−

AC

AC

≈A

′C′′−

AC

AC

=(d

y+

v+

∂v

∂y d

y−v)−

dy

dy

=

∂v

∂y d

y

dy

=∂v

∂y(4.8)

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

14

japoord

ed

β1 ≈

tanβ

1=

B′B

′′

A′B

′′=

∂v

∂x d

x

dx

+∂u

∂x d

x=

∂v

∂x d

x

(1+

∂u

∂x

︸︷︷︸

=εx ≪

1 )dx

=∂v

∂x d

x

dx

=∂v

∂x

β2 ≈

tanβ

2=

C′C

′′

A′C

′′=

∂u

∂y d

y

dy

+∂u

∂y d

y=

...=

∂u

∂y

(4.9)

Nihe

ehknihkedeform

atsioonon

defineeritu

dku

ialgse

taisnurga

muutu

s,st.

nih

exy

tasandil

γxy

=β

1+

β2

=∂u

∂y

+∂v

∂x.

(4.10)

4.1

.D

eform

atsioo

nid

eliigid

jam

oodud

4-

15

Analo

ogiliseltsaab

leida

suhtelised

piken

emised

(norm

aaideform

atsioon

id)ja

nih

-ked

teistelko

ordin

aattasanditel.

Kok

ku

saame

kuus

seostdeform

atsioon

ikompo-

nen

tide

εx ,ε

y ,εz ,γ

xy ,γ

yz ,γ

xz

jasiird

ekompon

entid

eu,v

,wvah

el:

εx

=∂u

∂x,

εy

=∂v

∂y,

εz

=∂w∂z

,

γxy

=∂u

∂y

+∂v

∂x,

γyz

=∂v

∂z

+∂w∂y

,γ

xz

=∂u

∂z

+∂w∂x

.

(4.11)

Saad

ud

seoseidnim

etatakse

tihti

Cau

chyvorran

diteksvoi

Cau

chyseosteks

.

Marg

ireeglid

:

•piken

emisele

vastavnorm

aaldeform

atsioon

onpositiiv

ne;

•ko

ordin

aattelgede

positiiv

setesu

undad

evah

eliseletaisn

urga

vah

enem

iselevastav

nih

eon

positiiv

ne.

Jare

ldus:

Positiiv

sedpin

gedpoh

justavad

positiiv

seiddeform

atsioon

e.

4.2

.D

eform

atsioo

niten

sor

4-

16

4.2

Defo

rmatsio

onite

nso

r

Norm

aaldeform

atsioon

idest

(suhtelistest

piken

emistest)

janih

etestsaab

moodus-

tada

deform

atsioon

itensori

E=

εx

12 γxy

12 γxz

12 γyx

εy

12 γyz

12 γzx

12 γzy

εz

.(4.12)

Erin

evaltpin

getensorist

onsiin

nih

etekord

ajak

s0,5.

Ilma

sellistekord

ajateta

eiallu

ks

deform

atsioon

itensor

tensorarv

utu

stereeglitele.

Analo

ogiliseltpin

getensoriga

saabka

deform

atsioon

itensorile

leida

peav

aartused

japeasu

unad

(ehk

peavek

torid)

nin

gin

variandid

—tu

leblih

tsaltraken

dad

aan

a-lo

ogilisivalem

eidja

arvutu

seeskirju

.

4.3

.Ruum

defo

rmatsioo

neh

ksu

htelin

em

ahum

uutu

s4

-17

4.3

Ruum

defo

rmatsio

on

ehk

suhte

line

mahum

uutu

s

Uld

juhulm

uutu

bkeh

aru

um

ala(m

aht)

deform

atsioon

ikaigu

s.V

aatleme

lopm

atavaikest

risttahukat,

mille

ruum

alaen

ne

deform

atsioon

ioli

dV

=dxdydz.

Serva

AB

pik

kus

enne

deform

atsioon

i(v

t.jo

on.

4.7)on

dx

japeale

deform

atsioon

idx

1=

dx(1

+εx ).

Analo

ogiliseltdy→

dy

1=

dy(1

+εy )

jadz→

dz1

=dz(1

+εz ).

Keh

aru

um

alapeale

deform

atsioon

ileiam

elah

tudes

eeldusest,

etnorm

aalde-

formatsio

onid

janih

kedon

vaikesed

.P

arastm

onin

gaidteisen

dusi,

mille

kaigu

shuljatak

seteist

jakolm

andat

jarku

vakesed

liikm

ed,

saame

deform

eerunud

ele-m

entaarristk

ulik

um

ahuks

dV

1=

dx

1 dy

1 dz1

=dV

(1+

εx

+εy+

εz ).

Ruum

defor-√

matsioon

ehk

suhtelin

em

ahum

uutu

s11

avaldub

seegakuju

l

θ=

dV

1 −dV

dV

=εx

+εy+

εz .

(4.13)

Seega

onru

um

deform

atsioon

vord

ne

deform

atsioon

itensori

esimese

invarian

diga.

Teisest

kuljest,

arvestades

deform

atsioon

ide

εx ,

εy

jaεz

defi

nitsio

one

(4.11)on

ruum

deform

atsioon

siirde

divergen

ts12:

θ=

div

u≡

∇·u

.11I.

k.dila

tatio

n12∇

=(

∂∂x,

∂∂y,

∂∂z),

div

u=

∂u

∂x

+∂

v∂

y+

∂w

∂z

4.4

.Euleri

jaLagra

nge’i

koord

inaadid

4-

18

4.4

Eule

rija

Lagra

nge’i

koord

inaadid

On

selge,et

biom

ehaan

ikaprob

leemid

ekorral

eiole

deform

atsioon

idalati

lopm

a-ta

vaikesed

,vaid

omavad

nn.

loplik

kevaartu

si.E

tsellist

olukord

aad

ekvaatselt

kirjeld

ada

onotstarb

ekaskasu

tada

liikum

isekirjeld

amisel

kahte

liikiko

ordin

aate:Euleri

–ja

Lagran

ge’ikoordin

aate.E

smalt

defi

neerim

enad

uld

istekoverjo

oneliste

koord

inaatid

ena.

Joon

is4.8:

Euleri

koord

inaa-

did

Eule

rikoord

inaadid

Toom

esisse

ajas

muutu

matu

koverjo

onelise

koord

i-naatsu

steemix

1,x2,x

3,m

illesu

htes

vaadeld

akse

kesk-

konna

materiaalsete

punktid

eliik

um

ist.Sellist

koord

i-naatsu

steeminim

etatakse

Euleri

koordinaatsu

steemiks

ehkru

um

ilisekskoordin

aatsusteem

iksnin

gvastavaid

punkti

koord

inaate

x1,x

2,x3

—Euleri

koordinaatideks

(EK

)ehk

ruum

ilistekskoordin

aatideks .Uhe

punktm

assiliik

um

istE

uleri

koord

inaatsu

steemis

kirjeld

avadkolm

vorran

dit

xi=

fi(t),

i=

1,2,3.(4.14)

4.4

.Euleri

jaLagra

nge’i

koord

inaadid

4-

19

Joon

is4.9:

Lagran

ge’iko

ordin

aadid

Lagra

nge’i

koord

inaadid

Fik

seerime

ajah

etkelt

=t0

keskkon

na

materiaalsete

punktid

easen

di

jaseom

enen

dega

koverjo

onelise

koord

i-naatsu

steemi

X1,X

2,X3.

Kui

nuud

ajah

etkelt>

t0kesk

kond

liigub

jam

uudab

kuju

,siis

liigub

jam

uudab

kuju

kako

or-din

aatsusteem

X1,X

2,X3.

Sellist

koord

inaatsu

steemi

nim

etatakse

Lagran

ge’ikoor-

dinaatsu

steemiks

ehkm

ate-riaalseks

koordinaatsu

steemiks

nin

gvastavaid

punkti

koord

inaate

X1,X

2,X3

—Lagran

ge’ikoordin

aatideks(L

K)

ehkm

ateriaalsetekskoordin

aatideks.

Lagran

ge’iko

ordin

aadid

deform

eeruvad

koos

kehaga

(vt.

joon

.4.1).

4.4

.Euleri

jaLagra

nge’i

koord

inaadid

4-

20

Desca

rtes’i

ristkoord

inaadid

(DR

K)13

Kaesolevas

kursu

sesesitam

ekoik

PK

Mvorran

did

DR

Ks

jaseega

pole

vaja

eris-tad

aalu

misi

jaulem

isiin

dek

seid.Seetottu

tahistam

eD

RK

korralE

Kx

1 ,x2 ,x

3

nin

gvastavaid

baasivek

toreidi1 ,

i2ja

i3 .K

ui

vaja,

siistap

sustam

e,et

meil

onE

uleri

Descartes’i

ristkoord

inaad

id(E

DR

K).

Mon

ednaited

tahistu

stest:

•ru

um

ipunkt:

p;tem

akoh

avektor:

p≡

x=

(x1 ,x

2 ,x3 )

•punkti

kiiru

sE

Ks:

v=

p≡

x=

(v1 ,v

2 ,v3 )

•punkti

kiiren

dus

EK

s:a

=v

=p≡

x=

(a1 ,a

2 ,a3 )

•pin

getensori

kompon

endid

:tij ;

Euleri

deform

atsioon

itensori

kompon

endid

:eij

•x

i ,v

i ,a

i ,f

i ,cij

...

•K

oikisu

uru

si,m

ison

esitatud

EK

stah

istame

vaikeste

tahted

ega

13D

RK

pole

EK

jaLK

korval

kolm

askoord

inaatid

etu

up,vaid

annab

uhe

voim

aluse

esitada

EK

jaLK

.

4.4

.Euleri

jaLagra

nge’i

koord

inaadid

4-

21

Lagran

ge’iko

ordin

aatetah

istame

DR

Kkorral

X1 ,X

2 ,X3

nin

gvastavaid

baasi-

vektoreid

I1 ,

I2

jaI3 .

Mon

ednaited

tahistu

stest:

•m

ateriaalne

punkt:

P;tem

akoh

avektor:

P≡

X=

(X1 ,X

2 ,X3 )

•punkti

kiiru

sE

Ks:

V=

P≡

X=

(V1 ,V

2 ,V3 )

•punkti

kiiren

dus

EK

s:A

=V

=P

≡X

=(A

1 ,A2 ,A

3 )

•pin

getensori

kompon

endid

:T

IJ ;

Lagran

ge’ideform

atsioon

itensori

kompo-

nen

did

:E

IJ

•X

I ,V

I ,A

I ,F

I ,C

IJ

...

•K

oikisu

uru

si,m

ison

esitatud

LK

stah

istame

suurte

tahted

ega

4.5

.Liiku

mise

kirjeldam

ine

4-

22

4.5

Liik

um

isekirje

ldam

ine

Joon

is4.10:

Deform

atsioon

,algolek

jadeform

ee-ru

nud

olek.

Uld

juhul

eeldatak

se,et

keha

(kesk-

kond)

onalgh

etkelt=

t0

defor-

meeru

mata

olekus14,

nn.

algolekus.

Valism

ojude

toimel

hak

kabkeh

ade-

formeeru

ma

jakui

vaadeld

am

ingit

hetke

t>

t0siis

onkeh

adeform

eerunud

olekus

15(jo

on.

4.10).T

ihti

oeldak

se,et

alghetkel

holvab

keha

(materiaaln

em

aht16V

,m

ida

um

britseb

materiaaln

epin

d17

S)

ruum

ipiirkon

na

B.

Defor-

meeru

nud

olekus

holm

abvaad

eldav

keha

ruum

ipiirkon

na

b((ru

um

i)mah

tuυ,m

ida

um

britseb

(ruum

i)pin

ds).

14I.

k.referen

ceco

nfigu

ratio

n15I.

k.defo

rmed

configu

ratio

n,actu

alco

nfigu

ratio

n16I.

k.m

ateria

lvo

lum

e17I.

k.m

ateria

lsu

rface

4.5

.Liiku

mise

kirjeldam

ine

4-

23

Materiaalse

punkti

Pkoh

avektor

18

P≡

X=

XKIK

,(4.15)

ruum

ipunkti

kohavek

torp≡

x=

xk ik

(4.16)

jasiird

evektor

u=

uk ik

=U

KIK

.(4.17)

Liiku

misseadu

seksnim

etatakse

uhep

arameetrilist

koord

inaatid

eteisen

dust

x=

x(X

,t)eh

kx

k=

xk (X

1 ,X2 ,X

3 ,t)(4.18)

voi

tema

poord

teisendust

X=

X(x

,t)eh

kX

K=

XK

(x1 ,x

2 ,x3 ,t),

(4.19)

mis

siirdab

materiaalse

punkti

Pru

um

ipunkti

p.Param

eetriks

onsiin

aegt.

Alg-

hetkel

t=

t0

kuju

tavadteisen

dused

(4.18)ja

(4.19)(p

arameetrist

soltum

atuid

)ko

ordin

aatteisendusi.

18S

iinja

edasp

idikasu

tatakse

sum

meerim

iskok

kulep

et,st.

kord

uva

indek

sijargi

sum

meeritak

se,eeld

ades,

etta

omab

vaartu

si1,2

,3.V

t.poh

jalikum

altm

inu

pid

evakesk

kon

na

meh

aanika

loen

gukon

spek

ti3.

peatu

kist§

2.2.4.

4.5

.Liiku

mise

kirjeldam

ine

4-

24

Tih

tion

kasulik

kuit=

t0

puhulteljestik

ud

xk

jaX

Kuhtik

sid,st.,

hetkel

t=

t0

xk

=X

Kkuik

=K

.Sel

juhul

onm

ateriaalsepunkti

asukoh

talgh

etkelt

=t0

autom

aatselttead

anin

gasu

koha

muutu

salgasen

disu

htes

onhetkel

t>

t0lih

tsaltleitav

(vt.

joon

.4.10).

Mark

use

d:

•O

nilm

ne,

etkuna

LK

liiguvad

(deform

eeruvad

)ko

oskeh

aga,siis

onnad

DR

Kvaid

alghetkel.

•V

agasageli

esitatakse

liikum

isseadus

(4.18)kuju

lx

=χ

(X).

Teisen

dused

(4.18)ja

(4.19)peavad

olema

teineteise

uhesed

poord

teisendused

.⋆

Eeld

ame,

etnii

funktsio

on(4.18)

kui(4.19)

kuulu

vadklass

Cr,r

≥1.

Vastavalt

matem

aatilisestan

aluusist

tuntu

dteoreem

ileilm

utam

atafu

nktsio

onist

onsee

tingim

us

taidetu

dru

um

ipunkti

pum

bru

sesδ

para

jastisiis,

kuijakob

iaan

j=

∣∣∣∣

∂x

k

∂X

L

∣∣∣∣ 6=0

∣∣xk −

x0k

∣∣<

δ.(4.20)

Siin

x0k ,

k=

1,2,3on

ruum

ipunkti

pko

ordin

aadid

ja

4.5

.Liiku

mise

kirjeldam

ine

4-

25

∣∣∣∣

∂x

k

∂X

L

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

∂x

1 /∂X

1∂x

1 /∂X

2∂x

1 /∂X

3

∂x

2 /∂X

1∂x

2 /∂X

2∂x

2 /∂X

3

∂x

3 /∂X

1∂x

3 /∂X

2∂x

3 /∂X

3

∣∣∣∣∣∣

.(4.21)

Jakob

iaan(4.20)

valjen

dab

tegelikult

pid

evuse

aksio

omi,

mille

poh

jalpositiiv

ne†

loplik

aine

mah

tei

saadeform

eeruda

nullm

ahuks

egalop

mata

suurek

sm

ahuks19

nin

guksk

iain

ehulk

eitu

ngi

teiseain

ehulga

sisse20.

Teisison

u,jo

ondeform

eerub

alatijo

onek

s,pin

dpin

nak

sja

mah

tm

ahuks.

Kuikesk

konnas

esineb

katkevusi

(nait.

kih

iline

materjal

voi

prao

d),

pole

eeltoodu

otseseltkasu

tatavja

tuleb

sissetu

ua

lisatingim

usi.

Sam

uti

tuleb

erilisttah

elepan

upoorata

voim

alikelesin

gulaarsetele

punktid

ele,jo

ontele

voi/ja

pin

dad

ele,kus

tin-

gimus

(4.20)pole

taidetu

d.

Funktsioon

ide(4.18)

ja(4.19),

st.,liiku

misseadu

steleidm

ine

ongi

uks

pidevakesk-

konna

mehaan

ikapohiu

lesandeid.

19ik

.in

destru

ctibilityofm

atter

20ik

.im

penetra

bilityofm

atter

4.5

.Liiku

mise

kirjeldam

ine

4-

26

Kui

liikum

ine

onkirjeld

atud

avaldistega

(4.18),siis

oeldak

se,et

onan

tud

lii-ku

mise

Lagran

ge’ikirjeldu

s—

antu

dju

hul

saame

teada,

millises

ruum

ipunktis

xk

asub

materiaaln

epunkt

XK

hetkel

t.K

ui

t=

t0

puhul

EK

jaLK

uhtisid

,siis

saame

liikum

isseadusest

(4.18)tead

a,m

illisesru

um

ipunktis

asub

hetkel

tsee

materiaaln

epunkt,

mis

alghetkel

oliru

um

ipunktis

xk

=X

K(k

=K

).Lagran

ge’ikirjeld

ust

onotstarb

ekaskasu

tada

deform

eeruva

tahke

keha

ulesan

nete

puhul,

sestsiin

keha

peaasjalik

ult

vaiddeform

eerub

valisjou

dude

toimel

nin

gtem

am

a-teriaalsed

punktid

eipaigu

turu

um

isolu

liseltum

ber.

Kuifikseerim

em

ateriaalsepunkti

XK

,siis

avaldistest

(4.18)saam

etem

aliik

um

isseaduse

kuju

l

xk

=f

k (t),k

=1,2,3.

(4.22)

Avald

ised(4.19)

esitavadliiku

mise

Euleri

kirjelduse

—nen

de

poh

jalsaab

maarata

materiaalse

punkti

XK

,m

ishetkel

tasu

bru

um

ipunktis

xk .

Sed

am

oo-

dust

onm

oistlikkasu

tada

naitek

shudro

dunaam

ikaulesan

nete

puhul,

sestved

e-lik

u“osakesed

”(m

ateriaalsedpunktid

)paigu

tuvad

ruum

isolu

liseltum

ber.

Kui

fikseerim

eru

um

ipunkti

xk ,

siissaab

liikum

isseadus

(4.19)kuju

•†X

K=

FK

(t),K

=1,2,3

(4.23)

jaesitab

materiaalseid

punkte,

mis

liiguvad

labiselle

fikseeritu

dru

um

ipunkti.

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-27

4.6

Siird

evali

jadefo

rmatsio

onig

radie

nt

4.6

.1Siire

Vastavalt

joon

isele4.10

onpu

nkti

Psiire

u=

p−

P≡

x−

X.

(4.24)

Siirdevektor

onliik

um

isseaduste

(4.18)ja

(4.19)ab

ilavald

atavnii

LK

skuiE

Ks:

u(X

,t)=

x(X

,t)−X

=U

KIK

,U

K=

xk (X

1 ,X2 ,X

3 ,t)−X

K,

kus

k=

K

(4.25)jau

(x,t)

=x−

X(x

,t)=

uk ik ,

uk

=x

k −X

K(x

1 ,x2 ,x

3 ,t),kus

k=

K.

(4.26)

Valem

(4.25)esitab

siiret,m

illeon

hetkek

st

saanud

materiaaln

epunkt

Xja

valem(4.26)

maarab

siirde,

mille

onsaan

ud

materiaaln

epunkt,

mis

hetkel

tasu

bru

um

ipunktis

x.

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-28

Joon

is4.11:

Vaatlem

ejo

onist

4.11.M

ateriaalsepunkti

Pkoh

avektori

Xdiferen

t-siaal

dX

viib

materiaalsest

punktist

Ppunkti

Q.

Ruum

ipunkti

pko-

havek

torix

diferen

tsiaaldx

viib

ruum

ipunktist

ppunkti

q.D

efor-m

atsioon

ikaigu

ssiird

ub

materiaaln

epunkt

Pru

um

ipunkti

p,m

ateriaalne

punkt

Qru

um

ipunkti

qja

vektor

dX

deform

eerub

vektorik

sdx.P

unktist

P

viib

punkti

pvek

toru

japunktist

Q

punkti

qvek

toru

+du.

Diferen

tsiaaliddX

jadx

onvaad

eldavad

kuilop

mata

vaikese

pik

kusega

joon

ele-m

endid

,m

illepik

kuste

ruudud

dS

2=

dX

·dX

=dX

KdX

K(4.27)

jads2

=dx·d

x=

dx

k dx

k(4.28)

man

givaded

aspid

itah

tsatrolli.

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-29

4.6

.2D

efo

rmatsio

onig

radie

nt

Jargn

evaltto

ome

sissedeform

atsioon

igradien

dim

oisteja

defi

neerim

eviim

aseab

ildeform

atsioon

itensorid

.D

iferentsiaalid

dX

jadx

onom

avahel

seotud

jargmiselt:

dx

=F·dX

(4.29)

kus

tensorit

F=

∂x

∂X

≡∇

0 x(4.30)

nim

etatakse

deformatsioon

igradiendiks

ja∇0on

gradien

toperaator

Xsu

htes.

Seo-

se(4.29)

poord

teisendus

avaldub

kuju

l

dX

=F

−1·

dx

(4.31)

kus

F−

1=

∂X∂x

≡∇

X,

(4.32)

ja∇

ongrad

ientop

eraatorx

suhtes.

Deform

atsioon

igradien

did

Fja

F−

1kuju

tavaden

dast

nn.

kahepunktilisi

ten-

sorvalju,st.

nad

teisenevad

kuiten

soridnii

xkuiX

suhtes.

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-30

Indek

skirjav

iisissaam

eten

soridF

jaF

−1

esitada

kuju

l

FkK

=x

k,K

≡∂x

k (X1 ,X

2 ,X3 ,t)

∂X

K

jaF

−1

Kk

=X

K,k ≡

∂X

K(x

1 ,x2 ,x

3 ,t)

∂x

k

,

(4.33)kus

indeksis

esinev

koma

tahistabosatu

letisevotm

istvastavalt

avaldisele(4.33).

Indek

skuju

lsaavad

avaldised

(4.29)ja

(4.31)kuju

dx

k=

xk,K

dX

Kja

dX

K=

XK

,k dx

k .(4.34)

Valem

ite(4.20)

ja(4.21)

poh

jalsaam

eoeld

a,et

jakobiaan

j=

|F|.M

aatriksk

uju

l

[F]=

[xk,K

]=

......

...

......

...

......

...

[F−

1]

=[X

K,k ]

=

......

...

......

...

......

...

(4.35)

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-31

Osatu

letiseleid

mise

ahelreegli

poh

jal:

xk,K

XK

,l=

δkl

jaX

K,k x

k,L

=δK

L.

(4.36)

Seega,

xk,K

jaX

K,k

ontein

eteisepoordten

soridja

analo

ogiliseltpoord

maatrik

sileid

mise

eeskirjaleX

K,k

=cofactor

xk,K

j=

12jeK

LM

eklm

xl,L

xm

,M(4.37)

nin

g

xk,K

=cofactor

XK

,k

j=

12jeklm

eK

LM

XL

,l XM

,m,

(4.38)

kus

jakobiaan

j=

|xk,K |

=16eK

LM

eklm

xk,K

xl,L

xm

,M.

(4.39)

Viim

astdiferen

tseerides

saadak

seJacobi

samasu

s

∂j

∂x

k,K

=cofactor

xk,K

=jX

K,k .

(4.40)

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-32

4.6

.3Eule

rija

Lagra

nge’i

defo

rmatsio

onite

nso

rid

DR

Kkorral

onkoh

avektorite

Xja

xdiferen

tsiaalidavald

atavadkuju

l

dX

=dX

KIK

jadx

=dx

k ik(4.41)

Arvestad

eskoh

avektorite

diferen

tsiaalide

avaldisi

(4.34)saam

eavald

ada

suuru

seddS

2ja

ds2

jargmiselt:

dS

2=

dX

·dX

=δK

LdX

KdX

Lja

ds2

=dx·dx

=δkl d

xk d

xl

(4.42)

Nen

de

vahe

ds2−

dS

2iselo

omustab

kahe

materiaalse

punkti

vahelise

kaugu

sem

uutu

deform

atsioon

ikaigu

sja

seda

saabavald

ada

nii

Lagran

gekuiE

uleri

koor-

din

aatides:

ds2−

dS

2=

2EK

L(X

,t)dX

KdX

L=

2ekl (x

,t)dx

k dx

l ,(4.43)

kus

2EK

L=

xk,K

xk,L −

δK

Lja

2ekl=

δkl −

XK

,k XK

,l(4.44)

nim

etatakse

vastavaltLagran

ge’ija

Euleri

deformatsioon

itensoriteks.

Vord

use

(4.43)poh

jalnaem

e,et

EK

L=

ekl x

k,K

xl,L

jaekl=

EK

LX

K,k X

L,l .

(4.45)

4.6

.Siird

evali

jadefo

rmatsioo

nigra

dien

t4

-33

Mark

use

d:

•Siin

segavorreld

esseostatak

seFungi

biom

ehaan

ikaop

ikus

tensoreid

EK

Lja

eklteiste

isikute

nim

edega

(vt.

Fungi

opik

lk.32).

•O

nselge,

etkui

suvalise

joon

elemen

di

korralvah

eds2−

dS

2=

0,siis

ontegu

jaigakeh

aliik

um

isegaja

EK

L=

ekl=

0.

•Lop

mata

vaikeste

deform

atsioon

ide

korralkasu

tatakse

tavaliseltnn.lop

mata

vaikeste

deform

atsioon

ide

tensorit

εkl=

12(u

k,l +

ul,k )

.(4.46)

Sam

adeform

atsioon

itensor

olisisse

toodud

alajaotu

ses4.2

jaoli

sealtah

istatud

E.

Min

uteistes

pid

evakesk

konna

meh

aanika

loen

gukon

spek

ti-des

onsam

aten

sortah

istatud

∼ekl .

•D

eformatsio

oniten

soritediagon

aalelemen

did

(k=

lvoi

K=

L)

iseloom

us-

tavadnorm

aaldeform

atsioon

eja

elemen

did

,m

illein

dek

sidpole

vord

sednih

-ked

eformatsio

one

(vrd

.tu

gevusop

etusest

tuntu

dsu

uru

stegaεx

jaγ

xy ).

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

34

4.7

Kiiru

sja

kiire

ndus

4.7

.1M

ate

riaaln

etu

letis

Pid

evakesk

konna

meh

aanikas

ondunaam

ilisteprotsessid

ekirjeld

amise

puhulva

jaleid

am

ateriaalsetepunktid

egaseotu

dfu

usikaliste

suuru

ste(skalaarid

e,vek

toriteja

tensorite)

muutu

mise

kiiru

st21,

st.,tu

lebleid

atu

letisiaja

jargiskalaarid

est,vek

toritestja

tensoritest

(mis

onfu

nktsio

onid

kasm

ateriaalsetestvoi

ruum

ilistestko

ordin

aatidest)

min

gisfikseeritu

dm

ateriaalsespunktis.

Siin

juures

tuleb

arvessevotta

nii

muutu

s,m

ison

seotud

fikseeritu

dru

um

ipunktiga

(lokaalne

muutu

s),kuim

ateriaalsepunkti

liikum

isestpoh

justatu

dm

uutu

s(kon

vektiiv

ne

muutu

s).

Mate

riaaln

etu

letis

vekto

rist.M

ateriaalsekstu

letiseksvektorist

(ajajargi)

nim

etatakse

operatsio

oni

fdef=

dfdt

∣∣∣∣X

=co

nst .

(4.47)

21I.k

.tim

era

te

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

35

Kuivek

torfunktsio

onif

argum

entid

eks

onLK

,s.t.

f=

f(X,t)

=F

K(X

,t)IK

,(4.48)

siislan

gevadm

ateriaalne

tuletis

jaosatu

letisaja

jargikok

ku:

f(X,t)≡

∂f(X

,t)

∂t

=∂F

K

∂t

IK

.(4.49)

Naid

e:N

iileitak

sem

ateriaalsettu

letistliik

um

isseadusest.

√

Keeru

kamon

lugu

siis,kuif

onavald

atud

EK

-s.V

aatleme

vektorfu

nktsio

oni

f=

f(x,t)

=f

k (x,t)ik .

(4.50)

Nuud

(kuna

ikon

konstan

tsed)

f=

(∂f

k

∂t

+∂f

k

∂x

i ∂x

i

∂t

)

ik ,(4.51)

sestx

onlab

iliik

um

isseaduse

LK

Xfu

nktsio

on.

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

36

Sageli

esitatakse

materiaaln

etu

letisvek

toristkuju

l

f=

fk ik ≡

Df

k

Dtik ,

(4.52)

kus

suuru

stD

fk

Dt

=∂f

k

∂t

+∂f

k

∂x

i︸︷︷︸

fk,i

∂x

i

∂t

︸︷︷︸

xi

=∂f

k

∂t

+f

k,i x

i(4.53)

nim

etatakse

materiaalsek

stu

letiseksvek

torif

kompon

endist

fk .

Esim

estliiget

va-lem

ites(4.51)

ja(4.53)

nim

etatakse

lokaalsekstu

letiseks(m

onikord

katu

letiseksaja

jargi),teist

liigetaga

konvektiivseks

tuletiseks.

Lokaaln

etu

letisiselo

omustab

muutu

si,m

istoim

uvad

vaadeld

avasru

um

ipunktis

nin

gkon

vektiiv

ne

tuletis

muu-

tusi,

mis

onpoh

justatu

dm

ateriaalsepunkti

liikum

isest(vaad

eldava

ruum

ipunkti

um

bru

ses).

Mate

riaaln

etu

letis

skala

arist.

Vaatlem

eskalaarfu

nktsio

oniΦ

=Φ

(x,t).

Ma-

teriaalne

tuletis

skalaariston

defi

neeritu

dkuju

l

Φ=

DΦ

Dt

=∂Φ∂t

+∂Φ

∂x

l︸︷︷︸

Φ,l

xl=

∂Φ∂t

+Φ

,l xl .

(4.54)

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

37

Naid

e:

Tah

istaguskalaar

Φm

ateriaalsepunkti

temperatu

uri.

Tem

peratu

uri

muutu

misel

voib

ollakak

spoh

just:

1)an

tud

ruum

ipunkti

temperatu

ur

muutu

bja

2)liik

udes

satub

materiaaln

epunkt

teiseru

um

ipunkti,

kus

onerin

evtem

pera-

tuur

(vorreld

esru

um

ipunktiga,

kus

taoli).

Viim

astnah

tust

nim

etatakse

fuusikas

konvek

tsioon

iks.

4.7

.2M

ate

riaalse

punkti

kiiru

sja

kiire

ndus

Kiiru

s

Kiiru

son

teatavastikoh

avektori

esimen

etu

letisaja

jargi.K

uim

ateriaalsepunkti

kohavek

toron

p≡

x=

xk (X

,t)ik ,siis

tema

kiiru

son

defi

neeritu

dkuju

l

v=

p.

(4.55)

Kuna

baasivek

toridik

eisoltu

ajast,

siis

v=

p=

xk (X

,t)ik .(4.56)

Kuitah

istada

v=

vk ik ,

siis

vk ≡

xk ≡

∂x

k

∂t

≡D

xk

Dt

.(4.57)

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

38

Kuna

kohavek

torp

=P

+u

(4.58)

jaP

eisoltu

ajast

(sagelitah

istabP

≡X

punkti

kohavek

toritalgh

etkel),siis

v=

p=

u.

(4.59)

Lagra

nge’i

koord

inaadid

.O

lgusiird

evektor

esitatud

labiLK

kuju

lu

=U

KIK

,kus

UK

=U

K(X

,t).N

uud

v=

u=

∂U

K

∂t

IK

,

ehk

v=

VKIK

,kus

VK

=∂U

K

∂t

.

(4.60)

Viim

asedavald

isedesitavad

kikiiru

se(kiiru

svektori)Lagran

ge’ikoordin

aatides.

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

39

Eule

rikoord

inaadid

.K

uisiird

evektor

onesitatu

dlab

iE

uleri

koord

inaatid

e,siis

u=

uk ik ,

kus

uk

=u

k (x,t).

Nuud

saame

kiiruse

avaldisedEuleri

koordinaatides:

v=

u|X

=co

nst=

Du

k

Dtik ≡

[∂u

k

∂t

+u

k,l v

l ]

ik ,

ehk

v=

vk ik ,

kus

vk

=D

uk

Dt

≡∂u

k

∂t

+u

k,l v

l .

(4.61)

Seega,

ulalto

odud

lahen

emist

kasutad

essaam

ekiiru

se-ja

siirdekom

pon

entid

eva-

helised

seosedE

uleri

koord

inaatid

epuhulilm

utam

atakuju

l.

Teiselt

poolt,

kuion

teada

materiaalse

punkti

kiiru

sLK

s,siis

kasutad

esliik

um

is-sead

ust

X=

X(x

,t),saam

ev=

v(X

(x,t),t)

=v(x

,t).(4.62)

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

40

Kiire

ndus

Materiaalse

punkti

kiirendu

son

defi

neeritu

dkuitem

akiiru

svektoriesim

ene

tuletis

aja

jargi—

a=

v.

(4.63)

Lagran

ge’ikoordin

aatidepuhul

a=

AKIK

,A

K=

∂V

K

∂t

=∂

2UK

∂t2

(4.64)

nin

gEuleri

koordinaatide

puhul

a=

ak ik ,

ak

=D

vk

Dt

=∂v

k

∂t

+v

k,l

vl

︸︷︷︸

xl

(4.65)

Seega

avalduvad

kiiren

duse

kompon

endid

nii

LK

-skuiE

K-s

ilmutatu

dkuju

l.

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

41

Mark

use

d

(i)v

=v(x

,t)m

aarabkiiru

sevalja

(a=

a(x

,t)om

akorda

kiirendu

sevalja).

(a)P

unkti,

kusv

=0,

nim

etatakse

stagneeru

nud

punktiks

22.

(b)

Kuikiiru

sei

soltuajast,

st.,v

=v(x

),siis

nim

etatakse

sellistliik

um

iststatsion

aarseksliiku

miseks

23.See

maaratlu

skeh

tibsu

valisevek

torvalja

jaoks.

(c)Liik

um

ist,m

illepuhul

vaiduks

kiiru

svektori

kompon

ent

erineb

nul-

listja

soltub

seejuures

vaidvastavast

ruum

ikoord

inaad

istnim

etatakse

uhem

ootmeliseks

liikum

iseks24

—naitek

sv

1=

v1 (x

1 ,t)ja

v2

=v

3=

0.

(d)

Liik

um

ist,m

illepuhuluks

kiiru

svektori

kompon

ent

onnull

jakak

skii-

rusvek

torikom

pon

enti

onnullist

erinevad

nin

gsoltu

vadseeju

ures

vasta-vatest

ruum

ikoord

inaatid

est,nim

etatakse

tasapinnaliseks

liikum

iseks25

—naitek

sv

1=

v1 (x

1 ,x2 ,t),

v2

=v

2 (x1 ,x

2 ,t),v3

=0.

22I.k

.sta

gnatio

npo

int,

ld.sta

gnum

–seisev

vesi

23I.k

.stea

dy

motio

n24I.k

.lin

ealm

otio

n25I.k

.pla

ne

motio

n

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

42

(ii)Lagran

ge’ikirjeld

use

puhul

on(an

aloogselt

punkti

kin

emaatikaga)

antu

dkiiru

segaliik

uv

materiaaln

epunkt

iden

tifitseeritav

.E

uleri

kirjeld

use

puhul

selline

analo

ogiapunkti

kin

emaatikaga

puudub.Siin

onan

tud

kiiru

stevalja

puhul,h

etkelt,teada

kiiru

svektor

igasru

um

ipunktis,k

uid

pole

teada,m

illine

materiaaln

epunkt

asub

vaadeld

avasru

um

ipunktis.

4.7

.3D

efo

rmatsio

onik

iirus

jakeerise

lisus

Ved

elikeliik

um

iseuurim

iseju

ures

omavad

suurt

tahtsu

stdeform

atsioon

ikiiru

seten

sorja

keeriselisuse

tensor.

Saab

naid

ata,et

joon

elemen

di

pik

kuse

ruudu

ds2

muutu

mise

kiiru

sDDt

(ds2)

=2d

kl d

xk d

xl ,

(4.66)

kus

tensorit

dkl=

12(v

k,l +

vl,k )

,(4.67)

nim

etatakse

Euleri

deformatsioon

ikiiruse

tensoriks.

4.7

.K

iirus

jakiiren

dus

4-

43

Defi

neerim

elisak

s(C

auchy)

keeriselisuse

tensori 26

wkl=

12(v

k,l −

vl,k )

(4.68)

Viim

asekah

evalem

ipoh

jalv

k,l

=d

kl +

wkl

(4.69)

Kald

sum

meetrilisest

tensorist

wklsaab

omakord

akon

strueerid

akeerisvektori 27

wk

=eklm

wm

l=

eklm

vm

,leh

kw

=cu

rlv,

(4.70)

kus

•cu

rlv≡

rotv

def=

∇×

vja

∇def=

ik∂∂x

k

.(4.71)

26I.k

.vo

rticityten

sor.

Kasu

tatakse

katerm

init

poorlem

istensor,

i.k.vastavalt

spin

tenso

r.27S

uuru

seklm

ontu

ntu

dkui

perm

utatsio

onisu

mbol

jata

voib

soltuvalt

indek

siteklm

vaartu

sestom

andad

avaartu

si1,−

1,0.

Vt.

poh

jalikum

altm

inu

pid

evakesk

kon

na

meh

aanika

loen

gukon

spek

ti3.

peatu

kist§

2.2.5.

44

Peatu

kk

5

Defo

rmeeru

va

kesk

konna

dunaam

ika

Dunaam

ikaon

meh

aanika

osa,m

isuurib

materiaalsete

keskkon

dad

eliik

um

istvalism

ojude

(valisjou

dude)

toimel.

Uuritavak

sm

ateriaalseks

keskkon

nak

svoib

ollanii

tahke

keha,

gaaskuived

elik.U

hek

svaad

eldavaid

materiaalseid

keskkon

di

iseloom

ustavak

ssu

uru

seks

onin

erts.In

ertsim

ooduks

onm

ass.

5.1

.M

ass

5-

45

5.1

Mass

Mass

onpositiiv

ne

suuru

s,m

ison

invarian

tne

liikum

isesu

htes.

Tem

adim

ensio

onM

eisoltu

eipik

kuse

dim

ensio

onist

Lega

aja

dim

ensio

onist

T.

Kui

mass

onab

soluutselt

pid

ev,siis

leidub

funktsio

onρ,m

ida

nim

etatakse

massi

tiheduseks.

Sel

juhulkeh

akogu

mass

M=

∫

υ

ρdυ,

(5.1)

Kuna

pid

evam

assijaotusega

keskkon

nas

M→

0kuiυ→

0,siis

0<

ρ<

∞.

Pid

eva

kesk

konna

mehaanik

aI

pohia

ksio

om

—m

assi

jaavuse

seadus

Glo

baaln

em

assi

jaavuse

aksio

om

:kesk

konna

kogum

asson

liikum

iselin

va-rian

tne

—∫

Vρ◦ dV

=

∫

υ

ρdυ.

(5.2)

5.1

.M

ass

5-

46

Kuna

dυ

=jdV

,kus

j=

∣∣∣∣

∂x

k

∂X

K

∣∣∣∣

siissaab

viim

asevord

use

esitada

nii

LK

-skuiE

K-s

—∫

V(ρ◦ −

ρj)dV

=0

voi

∫

υ (ρ−ρ◦ j −

1)dυ

=0.

(5.3)

Lokaalse

massi

jaavuse

aksio

om

isaam

ekui

rakendam

eglob

aalsetm

assijaav

use

aksio

omim

ateriaalsepunkti

lopm

atavaikeses

um

bru

ses.V

alemite

(5.3)poh

jalsaam

eρ◦

=ρj

=voi

ρ=

ρ◦ j −1.

(5.4)

Avald

isi(5.4)

nim

etatakse

materiaalseteks

pidevusvorran

diteksja

nad

esitatakse

Lagran

ge’iko

ordin

aatides

(Lagran

ge’ikirjeld

us).

5.1

.M

ass

5-

47

Ruum

ilisepid

evusv

orrandi(E

uleri

kirjeld

us)

saame

kuiesitam

eglob

aalsem

assijaav

use

aksio

omikuju

lDDt

∫

υ

ρdυ

=

∫

υ

[∂ρ∂t

+(ρ

vk )

,k

]

dυ

=0.

(5.5)

Viim

asepoh

jalavald

ub

lokaalne

massi

jaavuse

aksio

omkuju

l

∂ρ∂t

+(ρ

vk )

,k=

0,(5.6)

mis

kuju

tabkien

dast

ruum

ilistpidevu

svorrandit.

Avald

ised(5.4)

ja(5.6)

esitavaduhe

jasam

anah

tuse

kaht

erinevat

kirjeld

ust

—(5.4)

onm

ugavam

kasutad

atah

kekeh

am

ehaan

ikas,(5.6)

agaved

elikeja

gaaside

puhul.

5.2

.Liiku

mish

ulk,

kineetilin

em

om

ent,

energia

5-

48

5.2

Liik

um

ishulk

,kin

eetilin

em

om

ent,

energ

ia

Keh

a(m

ahus

υsisald

uva

massi

M)

liikum

ishulk

1P

avaldub

kuju

l

P(x

,t)def=

∫

M

v(x

,t)dM

=ik

∫

M

vk (x

,t)dM

(5.7)

kusju

ures

baasivek

toridik

saabin

tegraaliette

tuua

vaidseetottu

,et

me

kasutam

esirg

joon

elisiko

ordin

aate.K

una

pid

evam

assijaotuse

puhuldM

=ρdυ,

siispole

olulin

e,kas

integreeritak

seule

ruum

alavoi

massi 2

.

Keh

a(m

ahusυ

sisalduva

massi

M)kin

eetiline

mom

ent 3

Horu

um

ipunkti

osu

htes

Ho

def=

∫

M

p×

vdM

=ik

∫

M

eklm

pl v

mdM

.(5.8)

1I.k.m

om

entu

mor

linea

rm

om

entu

m.E

estikeeles

kasutatak

seka

termin

itim

pulss.

2Pisu

kest

segadust

voib

poh

justad

am

ahu

(ruum

ala)tah

istus

υja

kiiru

svek

torikom

pon

entid

etah

istus

vk .

Sam

as,neid

eitoh

im

ittem

ingil

juhulsegam

iniajad

a.3I.k

.m

om

ent

ofm

om

entu

mor

angu

lar

mom

entu

m.E

estikeeles

kasutatak

seka

termin

eidim

pulsi

mom

ent

japoord

eimpulss.

5.2

.Liiku

mish

ulk,

kineetilin

em

om

ent,

energia

5-

49

Pid

eva

kesk

konna

mehaanik

aII

pohia

ksio

om

—liik

um

ishulg

ata

sakaalu

seadus4

Liik

um

ishulga

muutu

mise

kiiru

svord

ub

kehale

moju

vatejou

dude

peavek

toriga:

P=

Feh

kDDt

∫

M

vk d

M=

Fk

ehk

DDt

∫

M

δK

k vk d

M=

FK

.(5.9)

Pid

eva

kesk

konna

mehaanik

aIII

pohia

ksio

om

—kin

eetilise

mom

endi

tasa

kaalu

seadus5

Kin

eetilisem

omen

dim

uutu

mise

kiiru

svord

ub

kehale

moju

vatejou

dude

peam

o-m

endiga

(molem

adm

omen

did

peavad

olema

voetu

duhe

jasam

aru

um

ipunkti

suhtes)—

Ho=

Mo

ehk

DDt

∫

M

eklm

pl v

mdM

=M

ok(5.10)

Valem

itega(5.9)

ja(5.10)

esitatud

pid

evakesk

konna

meh

aanika

poh

iaksio

ome

ni-

metatak

seEuleri

liikum

isseadusteks

nin

gnad

kuju

tavaden

dast

New

tonisead

uste

laiendust

punktm

assiltkesk

konnale.

4I.k.prin

ciple

ofba

lance

ofm

om

entu

m5I.k

.prin

ciple

ofba

lance

ofm

om

entofm

om

entu

m

5.2

.Liiku

mish

ulk,

kineetilin

em

om

ent,

energia

5-

50

Pid

eva

kesk

konna

mehaanik

aIV

pohia

ksio

om

—energ

iaja

avuse

seadus6

Keh

a(m

ahus

υsisald

uva

massi

M)

kineetilin

een

ergia7

K=

12

∫

M

v2d

M=

12δkl

∫

M

vk v

l dM

=12

∫

M

vk v

k dM

.(5.11)

Energ

iaja

avuse

seadus.

Kin

eetiliseja

siseenergia

sum

ma

muutu

mise

kiiru

svord

ub

valisjou

dude

tooja

keskkon

da

sissetu

lnud

voi

sealtlah

kunud

energiate

sum

ma

muutu

mise

kiiru

sega—K

+E

=W

+∑

α

Uα .

(5.12)

Siin

Kon

kin

eetiline

energia,E

–siseen

ergia,W–

valisjou

dude

tooajau

hik

us

jaU

α–

ajau

hik

us

muundunud

energiate

meh

aanikalin

eek

vivalen

t.Seega

eeldame,

eten

ergiadon

aditiivsed .

6I.k.prin

ciple

ofco

nserva

tion

ofen

ergy7I.k

.kin

eticen

ergy

5.2

.Liiku

mish

ulk,

kineetilin

em

om

ent,

energia

5-

51

Suuru

sedK

,WjaU

αon

selgeltm

aaratletavad,siseen

ergiaEon

agaeb

amaarasem

jated

avoib

vaadeld

akuivorran

di(5.12)

tasakaalustavat

liiget.Ta

onnn.olek

ufu

nktsio

onja

soltub

olekut

valjen

davatest

muutu

jatest8.

Kuion

teada

siseenergia

tihed

us

ε(u

hik

massi

kohta),

siis

E=

∫

M

εdM

≡∫

υ

ρεd

υ.

(5.13)

8I.k.co

nstitu

tiveva

riables

5.3

.Liiku

mish

ulga

jakin

eetilisem

om

endilo

kaaln

eta

saka

al

5-

52

5.3

Liik

um

ishulg

aja

kin

eetilise

mom

endi

lokaaln

eta

sakaal

Kuiraken

dad

aglob

aalseidtasakaalu

aksio

ome

suvalisele

(lopm

atavaikesele)

ma-

hule,

saame

liikum

ishulga

jakin

eetilisem

omen

dilokaalse

tasakaalusead

used

,m

iskom

pon

entk

uju

l(ko

ordin

aatkuju

l)avald

uvad

jargmiselt

tlk

,l +ρ

(fk −

ak )

=0,

tkl=

tlk ,

(5.14)

tklon

siinpin

getensor,

ak

–kiiren

dus

jaf

k–

mah

ujou

d.

Lokaalse

tasakaalusead

usi

kuju

lkuju

l(5.14)

nim

etatakse

vastavaltC

auchy

esi-m

eseksja

teiseksliiku

misseadu

seks.

Cau

chy

liikum

issesdused

on3.

peatu

kis

esitatud

tasakaaluvorran

dite

analo

ogiks.

53

Peatu

kk

6

Ole

kuvorra

ndid

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

54

6.1

Uld

istatu

dH

ooke’i

seadus

6.1

.1D

efo

rmatsio

onid

eavald

am

ine

pin

gete

kaudu

Klassikalises

(lineaarses)

elastsusteo

oriaskeh

tibuldistatu

dH

ooke’iseadu

s:defor-

matsio

oniten

sorikom

pon

endid

onlin

eaarsedfu

nktsio

onid

pin

getensori

kompo-

nen

tidest.

Koige

uld

isemal

juhulsaab

vastavadseosed

esitada

kuju

l 1

εx

=C

11 σx

+C

12 σy+

C13 σ

z+

C14 τ

xy+

C15 τ

yz+

C16 τ

zx

εy

=C

21 σx

+C

22 σy+

C23 σ

z+

C24 τ

xy+

C25 τ

yz+

C26 τ

zx

εz

=C

31 σx

+C

32 σy+

C33 σ

z+

C34 τ

xy+

C35 τ

yz+

C36 τ

zx

γxy

=C

41 σx

+C

42 σy+

C43 σ

z+

C44 τ

xy+

C45 τ

yz+

C46 τ

zx

γyz

=C

51 σx

+C

52 σy+

C53 σ

z+

C54 τ

xy+

C55 τ

yz+

C56 τ

zx

γzx

=C

61 σx

+C

62 σy+

C63 σ

z+

C64 τ

xy+

C65 τ

yz+

C66 τ

zx

(6.1)

Viim

asedavald

isedsisald

avad36

elastsuskon

stanti

—sed

aon

palju

!

1Sellisel

kuju

lon

pin

geteja

deform

atsioon

ide

vahelised

seosedesitau

dnaitek

sop

ikutes

R.

Eek

,L.

Pov

erus,

Ehitu

smeh

aanika

II,Tallin

n,

Valgu

s,1967

jaV

.I.

Sam

ul,

Osn

ovo

Teorii

Upru

gostii

Plastitsn

osti/E

lastsus-

japlastsu

steooria

alused

/,M

oskva,

Vosa

jaSkola,

1982.

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

55

Kuieeld

ada,

etkeh

aon

ideaalselt

elastne

(st.peale

koorm

use

korvald

amist

taas-tu

balgn

ekuju

)ja

isotroop

ne,

siisjaab

jarelevaid

kaks

soltum

atut

elastsuskon

s-tan

ti,m

ison

maaratavad

vaga

lihtsate

eksp

erimen

tide

abil

jaon

kasutu

seska

tugev

usop

etuses.

Need

kaks

konstan

tion

You

ngi

moodulE

jaPoisson

iko

efitsen

t(P

oissonitegu

r)ν

•T

omm

e–surve

(x-telje

sihis).

–E

lastsuskon

stant

ehk

You

ngi

moodulE

:εx

=σ

x /E

–Poisson

iko

efitsen

tν:εy

=−

νεx

•N

ihe

(xy

tasandis).

–N

ihkeelastsu

smoodulG

:γ

xy

=τxy /G

,kus

G=

E

2(1+

ν) .

(6.2)

Kuna

nih

keelastsusm

oodulG

onavald

atavE

jaν

kaudu,siis

eisaa

teda

pid

ada

iseseisvaks

elastsuskon

standik

s.

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

56

Uld

istatud

Hooke’i

seaduse

tuletam

iseks

vaatleme

lopm

atavaikest

isotroop

setristtah

ukat,m

illesm

ojuvad

vaidnorm

aalpin

gedσ

x ,σy ,σ

z .Pin

geσ

x>

0poh

justab

piken

emist

x−telje

sihis

jalu

hen

emist

y−ja

z−telje

sihis.

Analo

ogiline

toime

onnorm

aalpin

getelσ

y>

0ja

σz

>0.

Seega

onsu

mm

aarne

suhtelin

epiken

emin

ex−

teljesih

iseh

knorm

aaldeform

atsioon

εx

=σ

x

E−

νσ

y

E−

νσ

z

E=

1E[σ

x −ν(σ

y+

σz )].

(6.3)

Nih

kepin

geteja

nih

kedeform

atsioon

ide

vahelised

seosedon

maaratu

dH

ooke’i

sea-dusega

igako

ordin

aattasandijaok

ssoltu

matu

lt,s.t.,

τxy

poh

justab

vaidnih

etγ

xy ,

jne.

(vrd

.norm

aaldeform

atsioon

idega).

Kok

ku

saame

kuus

vorran

dit,

mis

esitavaduldistatu

dH

ooke’iseadu

stisotro

opse

ideaalselt

elastsekeh

ajaok

s:

εx

=1E

[σx −

ν(σ

y+

σz )],

γxy

=1G

τxy ,

εy

=1E

[σy −

ν(σ

z+

σx )],

γyz

=1G

τyz ,

εz

=1E

[σz −

ν(σ

x+

σy )],

γzx

=1G

τzx .

(6.4)

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

57

6.1

.2H

ooke’i

seadus

ruum

defo

rmatsio

onija

oks

Vastavalt

uld

istatud

Hooke’i

seadusele

(6.4)

εx

+εy+

εz

︸︷︷

︸

=θ

=(1−

2ν)

E(σ

x+

σy+

σz )

︸︷︷

︸

=I

σ1

(6.5)

Seega

θ=

(1−2ν

)Iσ1

E.

(6.6)

Suuru

stθ

=εx

+εy+

εz

nim

etatakse

ruum

deformatsioon

iksja

taon

uhtlasi

kadeform

atsioon

itensori

esimen

ein

variant.

Tuues

sisseru

um

paisu

mism

ooduli

Kja

keskm

isepin

geσ

0 ,K=

E

3(1−2ν

) ,σ

0=

σx

+σ

y+

σz

3=

Iσ13,

(6.7)

saame

lineaarse

seosekesk

mise

pin

geja

ruum

deform

atsioon

ivah

elkuju

l

σ0

=K

θ.(6.8)

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

58

6.1

.3P

ingete

avald

am

ine

defo

rmatsio

onid

ekaudu

Liid

ame

avaldise

(6.4)1

parem

alepoolele

jalah

utam

eavald

ise(6.4)

1parem

astpoolest

suuru

se1Eνσ

x :

εx

=1E

[σx

+νσ

x −νσ

x −ν(σ

y+

σz )]

=1E

[(1+

ν)σ

x −νI

σ1].

(6.9)

Avald

ades

(6.6)-stin

variandiI

σ1=

Eθ/(1−

2ν),

saame

εx

=(1

+ν)σ

x

E−

νθ

(1−2ν

) ,kust

σx

=E

νθ

(1+

ν)(1−

2ν)

+E

εx

1+

ν(6.10)

Tuues

sisseLam

ekoefi

tsiendid

λ=

Eν

(1+

ν)(1−

2ν) ,

µ=

E

2(1+

ν)

=G

,(6.11)

saame

valemist

(6.10)2

σx

=λθ

+2µ

εx .

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

59

Leid

esan

aloogilised

avaldised

σy

jaσ

zjaok

snin

gavald

ades

seostest(6.4)

nih

ke-pin

ged,olem

egisaan

ud

Hooke’i

seaduse

alternatiivse

kuju

σx

=λθ

+2µ

εx ,

τxy

=µγ

xy ,

σy

=λθ

+2µ

εy ,

τyz

=µγ

yz ,

σz

=λθ

+2µ

εz ,

τzx

=µγ

zx .

(6.12)

Kasu

tades

viim

aseidvalem

eidleiam

eseose

pin

getensori

jadeform

atsioon

itensori

esimese

invarian

divah

el

σx

+σ

y+

σz

︸︷︷

︸

=I

σ1

=3λ

θ+

2µ(ε

x+

εy+

εz )

︸︷︷

︸

θ

,kust

Iσ1

=(3λ

+2µ

)θ.(6.13)

Kuitah

istada

keskm

istnorm

aaldeform

atsioon

i

ε0

=εx

+εy+

εz

3=

θ3,

(6.14)

siissaam

eseose

keskm

isepin

geja

keskm

isenorm

aaldeform

atsioon

ivah

el

σ0

=(3λ

+2µ

)ε0 .

(6.15)

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

60

Uldistatu

dH

ooke’iseadu

sten

sorkuju

l:

tkl=

λe I

e δkl +

2µe e

kl ,

(6.16)

kus

λe

jaµ

eon

Lam

ekon

standid

,m

illeseos

tugev

usop

etusest

tuntu

dY

oungi

mooduli

E,Poisson

itegu

riν

nin

gnih

keelastsusm

ooduliga

Gon

jargmin

e:

λ=

Eν

(1−ν)(1−

2ν) ,

µ=

G(6.17)

nin

gIe

onE

uleri

deform

atsioon

itensori

eklesim

ene

invarian

t.

Mittelin

eaarne

olekuvorran

d(v

orreldes

eelmisega

onsailitatu

dkorgem

atjark

uliik

meid

)

tkl=

[αe+

(λe −

αe )

Ie+

(

3le+

me −

λe −

αe

2

)

(Ie )

2+

(me+

ne −

2αe )

Ie +

+... ]

δkl +

[2(µ

e −α

e )−(m

e+

ne+

2λe+

2µe −

2αe )

Ie+

...]ekl +

+(−

4µe+

ne+

...)ekmem

l .

(6.18)

Elastsu

steoorias

onkom

bek

snim

etada

eelmistes

valemites

esinevaid

konstan

tejargm

iseltα

—esim

estjark

uelastsu

skonstan

t;λ,µ

—teist

jarku

elastsuskon

s-tan

did

;l,m

,n—

kolman

dat

jarku

elastsuskon

standid

.

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

61

6.1

.4Sto

kesi

vedelik

jaN

ew

tonivedelik

Eelm

istesala

jaotustes

vaatlesime

elastseidm

aterjale,st.

materjale,

kus

pin

gesoltu

svaid

deform

atsioon

ist.Taoliste

materjalid

epuhul

ontah

tisteatu

ddefor-

meeru

mata

olek,

mid

anim

etetakse

loom

ulik

uks

olekuks.

Sellin

ekaitu

min

eon

tavaliseltom

ane

tahkistele

(tahketele

kehad

ele).

Teise

tahtsa

materjalid

eklassi

moodustavad

vedelik

ud.Tegelik

ult

onkoik

vede-

likud

kokkusu

rutavad

javiskoossed.

Kuna

aganim

etatud

omad

used

varieeruvad

vedelike

puhulvaga

suurtes

piird

es,siis

onvaga

tihti

voim

alikvah

emalt

uhtneist

huljata.

Vaga

suurosa

vedelikest

onprak

tiliseltkok

kusu

rum

atud.Siin

piird

um

egivaid

kokkusu

rum

atute

vedelikega.

Viskoossete

vedelikepuhulon

leitud,et

pin

gedsoltu

vaddeform

atsioon

ikiiru

sest.T

apsem

altoeld

es,pin

getensor

soltub

deform

atsioon

ikiiru

seten

sorist.Sellist

ve-delik

ku

nim

etatakse

Stokesi

vedelikuks.

Ved

elikku,m

illekorral

visko

ossedefek

tidon

huljatu

d,nim

etatakse

ideaalseksvedeliku

ks.

6.1

.U

ldista

tud

Hoo

ke’isea

dus

6-

62

Stokesi

vedelik

uolek

uvorran

don

esitatavkuju

l

tkl=

−pδ

kl +

Dtkl (d

qs ),

Dtkl (0)

=0.

(6.19)

kus

pon

hudrostaatilin

esu

rveja

Dtkl

visko

ossusest

poh

justatu

ddissip

atiivne

pin

ge.K

uideform

atsioon

ikiiru

son

null,

onnull

kavastav

dissip

atiivne

pin

ge.

Aprok

simatsio

onid

—lin

eaarne

jam

ittelineaarn

e.

1)K

uikok

kusu

rum

atuved

eliku

olekuvorran

don

esitatud

kuju

l

tkl=

−pδ

kl +

2µd

kl ,

(6.20)

st.,pin

geDtklja

deform

atsioon

ikiiru

sed

klvah

eline

seoson

lineaarn

e,siis

nim

eta-tak

seted

aN

ewton

ivedeliku

ks.V

iimases

nim

etatakse

kordajat

µ≥

0viskoossu

s-koefi

tsendiks.

2)R

uutp

olunoom

tkl=

−pδ

kl +

α1 d

kl +

α2 d

kmd

ml ,

(6.21)

kus

kordajad

αγ

=α

γ (IId ,III

d ),γ

=1,2

(6.22)

peavad

rahuld

ama

tingim

usi−

2α1 II

d+

α2 III

d ≥0.

(6.23)

6.2

.Ela

stsusteoo

riapohivo

rrandid

(tahkiste

jaoks)

6-

63

6.2

Ela

stsuste

ooria

pohiv

orra

ndid

(tahkiste

jaoks)

1.Tasakaalu

(diferentsiaal)vorran

did(3

vorrandit):

∂σ

x

∂x

+∂τyx

∂y

+∂τzx

∂z

+X

=0,

∂τxy

∂x

+∂σ

y

∂y

+∂τzy

∂z

+Y

=0,

∂τxz

∂x

+∂τyz

∂y

+∂σ

z

∂z

+Z

=0.

(6.24)

ehkC

auchy

1.liiku

misseadu

stlk

,l +ρ

(fk −

ak )

=0.

(6.25)

2.C

auchy

seosed(4.11)

(6vorran

dit):

εx

=∂u

∂x,

εy

=∂v

∂y,

εz

=∂w∂z

,

γxy

=∂u

∂y

+∂v

∂x,

γyz

=∂v

∂z

+∂w∂y

,γ

xz

=∂u

∂z

+∂w∂x

,

(6.26)

6.2

.Ela

stsusteoo

riapohivo

rrandid

(tahkiste

jaoks)

6-

64

voiEuleri

deformatsioon

itensor

2ekl=

δkl −

XK

,k XK

,l ,(6.27)

voilopm

atavaikeste

deformatsioon

ideten

sor

εkl=

12(u

k,l +

ul,k )

,(6.28)

voi

mon

im

uu

deform

atsioon

itensor.

3.U

ldistatud

Hooke’i

seadus

(6vorran

dit)nn.otsesel

kuju

l:

εx

=1E

[σx −

ν(σ

y+

σz )],

γxy

=1G

τxy ,

εy

=1E

[σy −

ν(σ

z+

σx )],

γyz

=1G

τyz ,

εz

=1E

[σz −

ν(σ

x+

σy )],

γzx

=1G

τzx

(6.29)

voinn.poordku

jul

σx

=λθ

+2µ

εx ,

τxy

=µγ

xy ,

σy

=λθ

+2µ

εy ,

τyz

=µγ

yz ,

σz

=λθ

+2µ

εz ,

τzx

=µγ

zx ,

(6.30)

6.2

.Ela

stsusteoo

riapohivo

rrandid

(tahkiste

jaoks)

6-

65

voi

mon

im

uu

olekuvorran

d.

Vorran

deid

kokku

15Tundm

atud

kokku

15:6

pin

getensori

kompon

enti

+6

de-

formatsio

oniten

sorikom

pon

enti

+3

siirdevek

torikom

pon

enti.

Rajatin

gimused

ehkaaretin

gimused

ehkservatin

gimused

voivad

ollakolm

epoh

ituupi.

1.K

eha

valisp

innal

onan

tud

pin

djou

d:

pνx

=σ

x l+

τyx m

+τzx n

,

pνy

=τxy l

+σ

y m+

τzy n

,

pνz

=τxz l

+τyz m

+σ

z n.

(6.31)

2.K

eha

valisp

innal

onan

tud

siirded

.P

ohim

otteliselttah

endab

seesed

a,et

onan

tud

keha

valisp

inna

liikum

isseadus.

3.O

salkeh

apin

nast

onan

tud

siirded

jaosal

pin

djou

d.

Voib

esined

aveelgi

komplitseeritu

maid

juhte,

kus

min

gilosal

keha

pin

nast

onan

tud

naitek

suks

kolmest

siirdekom

pon

endist

jakak

spin

djou

kompon

enti.

6.2

.Ela

stsusteoo

riapohivo

rrandid

(tahkiste

jaoks)

6-

66

Pidevu

stingim

used.

Kuipoh

imuutu

jateks

onvalitu

ddeform

atsioon

idvoi

pin

ged,siis

ontarv

isarves-

tada

kapid

evustin

gimusi:

∂2ε

x

∂y

2+

∂2ε

y

∂x

2=

∂2γ

xy

∂x∂y

,

∂2ε

y

∂z

2+

∂2ε

z

∂y

2=

∂2γ

yz

∂y∂z

,

∂2ε

z

∂x

2+

∂2ε

x

∂z

2=

∂2γ

xz

∂x∂z

,

∂∂x

(∂γ

xz

∂y

+∂γ

xy

∂z

−∂γ

yz

∂x

)

=2

∂2ε

x

∂y∂z,

∂∂y

(∂γ

xy

∂z

+∂γ

yz

∂x

−∂γ

xz

∂y

)

=2

∂2ε

y

∂x∂z,

∂∂z

(∂γ

yz

∂x

+∂γ

xz

∂y

−∂γ

xy

∂z

)

=2

∂2ε

z

∂x∂y.

(6.32)

Vedelike

jagaaside

korralon

mitm

edpohivorran

did(n

aiteksoleku

vorrandid)

hoo-pis

teistsusu

gused.