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Calculo e Instrumentos Financeiros
Parte 1
Pedro Cosme Costa Vieira
1
Faculdade de Economia da Universidade do Porto
2013/2014
Apresentação
2
Apresentação
Docentes
João Sousa Couto ([email protected])
3
José Manuel Peres Jorge ([email protected])
Pedro Cosme Costa Vieira ([email protected])
Conteúdo programático
4
Objectivos da Disciplina
• 1ª Parte (12 aulas)– Taxa de juro, capitalização e desconto– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos
e créditos bancários; obrigações
5
e créditos bancários; obrigações – Transformação de stocks financeiros em
fluxos financeiros (rendas / amortizações)– Medidas de desempenho de um investimento – os preços correntes e preços constantes
Objectivos da Disciplina
• 2ª Parte (10 aulas)– Risco do negócio. Modelos estatísticos.– Instrumentos financeiros com risco: seguros,
acções e obrigações com risco de falha
6
acções e obrigações com risco de falha– Carteiras de activos: diversificação e
alavancagem
Objectivos da Disciplina
• 3ª Parte (2 aulas)– Aplicações dos conceitos a instrumentos
financeiros com e sem cobertura de risco.• Aluguer
7
• Aluguer• Opções, • Obrigações Contingentes• Swaps
Avaliação
8
Avaliação
• Avaliação por Exame (2 épocas)• Avaliação Distribuída
– Um teste sobre a 1ª parte (45%) – 22 Novembro– Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (45%)– Um trabalho individual (10%) – entrega: 15 Outubro
9
– Um trabalho individual (10%) – entrega: 15 Outubro• O trabalho só conta se a nota for melhor que a dos testes
– Para fazer avaliação contínua têm que frequentar pelo menos 75% das aulas (18).
– O segundo teste é parte do exame– Fazendo o 1º teste, pode fazer o exame contando a
melhor nota desta parte.
Avaliação
• Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída:– Nota dos testes / exame normal: 0.5 max {teste 1; parte 1 do exame} + 0.5*teste 2
10
– Nota final:max {0.9 Nota dos testes/exame + 0.1 trabalho;
Nota dos testes/exame}
• Aplica-se a mesma fórmula no exame de recurso (mesmo para melhoria de nota)
Material de apoio
11
Material de estudo
• Existem disponíveis em formato digital– Uma página
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2013
– um texto que segue as aulas
12
– um texto que segue as aulas– Um texto sobre o sistema monetário– Um ficheiro Excel com os exercícios do texto– As apresentações das aulas em Power Point– Cadernos de exercícios resolvidos
Material de estudo
• Página do ano passadowww.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101
– Testes– Exemplos de trabalhos
13
– Exemplos de trabalhos– Notas
Primeira Aula
14
Primeira Aula24 Set.
Os contratos de débito/crédito=
contratos de mútuo
15
contratos de mútuo
O contrato de débito/crédito
• Existem três razões principais para transaccionar créditos/débitos.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”
16
– Poder ocorrer um período de “desemprego” ou de despesas acrescidas (e.g., doença)
– O capital ser produtivo e as pessoas estarem especializadas em aforradores e investidores
O Ciclo de Vida
17
O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.
18
– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
O ciclo de vida
19
O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
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• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos
O ciclo de vida
• Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam– Em média, a reforma dura 20 anos
21
– Em média, a reforma dura 20 anos
• Esses recursos vão-se esgotando
Risco
deRedução do rendimento e
22
Redução do rendimento eAumento da despesa
O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias.– 55% do PIB são salários– São 67% do produto interno liquido
23
– São 67% do produto interno liquido
• Existe o risco da pessoa pode ficar desempregada.– A probabilidade será de ≈10%/ano
O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior
24
• E o salário é menor que o anterior – Inicialmente ganha-se menos 15%
• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverá haver uma poupança ≈ 12 salários.
Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar (menos rendimento) e necessitando de tratamento médico (mais despesa).
– Pode ter um acidente de automóvel,
25
– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.
• É necessário ter uns activos de lado (ou pedir emprestado na adversidade)
O capital é produtivo
26
O capital é produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
27
• Se um indivíduo pedir poupar aumentando a quantidade de capital, aumenta o seu rendimento
O capital é produtivo
• Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
28
• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.
Os stocks degradam -se
29
Os stocks degradam-se
• Não é possível guardar coisas para quando formos velhos, – A comida apodrece– A roupa passa de moda
30
– A roupa passa de moda– Os automóveis ganham ferrugem
• Não é possível ter stock negativo.– As crianças não podem antecipar o
rendimento futuro com um stock negativo
Os stocks degradam-se
• Poupar é principalmente emprestar, – Os adultos activos emprestam às crianças e
as criança pagam as dividas quando se tornarem activas
31
tornarem activas– Os adultos activos fazem uma poupança de
segurança emprestando a outras pessoas– Os aforradores emprestam aos
empreendedores
• Comprar um frigorífico também é poupar
A moeda
32
O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços
33
• Numa sociedade com moeda, emprestam-se somas denominadas em moeda– A moeda é a unidade de valor mas não é o
recurso poupado.
O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos
• Para pouparmos dinheiro, primeiro temos
34
• Para pouparmos dinheiro, primeiro temos que deixar de consumir recursos (B & S)
• A pessoa a quem emprestamos vai consumir esses recursos escassos.
O empréstimo em dinheiro
• Poupar em termos agregados reduz-se a– Aumentar os stocks– Aumentar o capital
• Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos,
35
• Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos, electrodomésticos, carros (todo o bem que dura mais do que um ano).
– Aumentar a escolaridade• É o capital humano
– Inovação e desenvolvimento tecnológico
O empréstimo em dinheiro
• Como as relações entre moeda e crédito fazem confusão nas pessoas
• Os alunos têm o texto:
36
• Vieira, PCC (2013), Fundamentos de um sistema monetário, pp. 1-25, FEP:Porto
A taxa de juro
37
A taxa de juro
• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado– As crianças, os desempregados e as vítimas
38
– As crianças, os desempregados e as vítimas de acidentes
– Os empreendedores
• Outras que precisam de guardar dinheiro– Os indivíduos activos e empregados.
A taxa de juro
• O mercado de financiamento tem a taxa de juro como preço e a quantidade de poupança/crédito como quantidade.
• É a taxa de juro que equilibra o mercado
39
• É a taxa de juro que equilibra o mercado– Se houver menos pessoas a querer poupar
ou mais pessoas a querer endividarem-se, a taxa de juro sob para equilibrar as vontades dos agentes económicos
– A desenvolver na Microeconomia
A taxa de juro
6%
8%
10%
Procura de crédito (investimento)
40
0%
2%
4%
0 20 40 60 80 100
Oferta de crédito (poupança)
A taxa de juro
6%
8%
10%
Enfraquecimento da poupança
41
0%
2%
4%
0 20 40 60 80 100
A taxa de juro
• Quando o BCE aumenta a quantidade de moeda em circulação
• A taxa de juro não diminui porque a moeda não é um recurso escasso
42
moeda não é um recurso escasso– não existe mais poupança de recursos
escassos nem menos pedidos de crédito
• A moeda tem efeito no Nível Geral de Preços (inflação) e não na taxa de juro
A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO
43
– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro é a remuneração de o aforrador adiar o consumo, é o custo do devedor antecipar o consumo.
A taxa de juro
• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar– O que eu poupo são os recursos que deixei
de consumir para ter esta soma de dinheiro
44
de consumir para ter esta soma de dinheiro– O que empresto são esses recursos
• Daqui a 10 anos 7500€. É o capital, 5000€, mais 2500€ de juros (50%).
A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo
45
razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
A taxa de juro
• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
46
• Qual das hipóteses será preferível?
A taxa de juro
• Quem preferir a hipótese 1 então, exige uma taxa de juro positiva
– Podia depositá-lo, recebendo juros
47
– Podia depositá-lo, recebendo juros– O dinheiro vai desvalorizar– O doador pode morrer (e a oferta falhar)
A taxa de juro
• É historicamente positiva por três razões– Existe uma remuneração real
• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo: existem empreendedores• Há concorrência pelo capital escasso
48
• Há concorrência pelo capital escasso
– Há inflação• Se o capital é denominado em euros, como os
preços aumentam, há necessidade de corrigir a perda de poder de compra dos euros.
– Há risco de incumprimento• É uma lotaria
A taxa de juro real
49
Juro real
– Quantifica o aumento do poder de compra
– Quando emprestei os 5000€, esse dinheiro dava para viver durante 200 dias. Quando
50
dava para viver durante 200 dias. Quando receber os 7500€, penso conseguir viver 250 dias.
– Então, o juro real durante os 10 anos é de “viver 50 dias”, 25%
Juro real
– A taxa de juro real tende a ser positiva porque
– o capital é produtivo . • e.g., um agricultor se cavar com uma enxada
51
• e.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau.
– O capital é escasso• Como o crédito são recursos escassos poupados,
existe concorrência por esses recursos.
Juro real
– É preferível consumir hoje . – As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos
52
• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos tanta utilidade do consumo
– Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”.
– Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.
Juro real
• Inicialmente tenho V0 euros– Supondo que os preços se mantêm e que
não existe risco, para uma taxa de juro r%– Terei no fim do período
53
– Terei no fim do períodoV1 = V0×(1+ r)
Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, tereiV1 = 10000×(1+ 10%) = 11000€
A Inflação
54
Inflação
• O crédito é denominado em euros• O valor do dinheiro resulta de podermos
comprar bens e serviços.– Como existe inflação , a quantidade de bens
55
– Como existe inflação , a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo.
• Para comprar o mesmo, preciso receber mais dinheiro
• A taxa de juro tem que incluir a inflação
Inflação
• Inicialmente tenho V0 euros• Os preços, em média, aumentam π%.• Para no fim do período poder comprar os
mesmos bens temos esta igualdade:
56
mesmos bens temos esta igualdade:• V0 / P = V1 / [P x (1+ π)]
Então:V1 = V0××××(1+ ππππ)
Inflação
• A taxa de juro, R, tem que incluir a parte real e a parte nominal (a inflação):
V1 = [V0×(1+ r)]×(1+ π)V = V ×(1+ r)×(1+ π)
57
V1 = V0×(1+ r)×(1+ π)V1 = V0×(1+ R)
comR = (1+ r) ×××× (1+ ππππ) - 1
Inflação
• Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber
58
receberV1 = [5000×(1+ 7.5%)]×(1+ 5.0%)
=5643.75€
R = (1+ 7.5%)×(1+ 5.0%) – 1 = 12.875%
Segunda Aula
59
Segunda Aula Risco de incumprimento
60
Risco de incumprimento
– O Futuro é incerto . – Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar
receber o dinheiro mais os juros– Mas posso não receber nenhum deles
61
– Mas posso não receber nenhum deles• Ou receber apenas parte
– A obrigação pode não ser cumprida
Risco de incumprimento
– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei
62
nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este riscoV0 = 0 x p + V1 x (1 - p)V1 = V0 / (1 - p)
p >= 0 ⇒⇒⇒⇒ V1 >= V0
Risco de incumprimento
• O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflaçãoV1 = {[V0×(1+ r)]×(1+ π)}/(1- p)
63
• Então, a taxa de juro contratada seráV1 = V0×(1+ i)i = (1+ r)×(1+ π) / (1- p) - 1
Risco de incumprimento
• Para taxas de juro pequena podemos aproximar
• (1+ r) × (1+ π) / (1- p) – 1 ≈ r + π + p
64
• (1+ r) × (1+ π) / (1- p) – 1 ≈ r + π + p
• Mas é uma aproximação.
Exercício
65
Risco de incumprimento
• 1) Eu empresto 1000€– pretendo uma taxa de juro real de 6%– a inflação prevista é de 8% – o risco de incumprimento é de 10%.
66
– o risco de incumprimento é de 10%.
• Qual deverá que ser a taxa de juro exigida neste contracto?
• Qual o capital final?
Risco de incumprimento
i = (1+ 6%)×(1+ 8%) / (1- 10%) – 1 = 27.2%
V1 = 1000 (1+ 6%)×(1+ 8%) / (1- 10%)
67
V1 = 1000 (1+ 6%)×(1+ 8%) / (1- 10%) = 1000 (1+ 27.2%)= 1272€
A taxa de juro é 27.2%6% + 8% + 10% = 24% é bastante < 27.2%
Risco de incumprimento
• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento de cada cliente.
• O Score é um índice que resulta de somar
68
• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis
• Este tema será desenvolvido em Gestão da Informação
Evolução histórica
69
A taxa de juro
• Poderá a taxa de juro ser negativa?– Haver deflação– Haver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar
70
empresários, não há a quem emprestar dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico
– Haver muito risco de os bens e dinheiro que guardo em casa poderem ser roubado
A taxa de juro
• Se eu puder guardar notas sem custo (não haver risco de roubo),
• a taxa de juro de somas denominadas na moeda nunca poderá ser negativa
71
moeda nunca poderá ser negativa
A taxa de juro
• Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos”– Há uma tendência secular de crescimento
72
– Há uma tendência secular de crescimento económico
• Historicamente, a taxa de juro é positiva
A taxa de juro
2%3%4%5%6%7%Tx.Cresc.PIB
73
• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em
Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)
0%1%2%
11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10
A taxa de juro
6%
8%
10%
12%
14%
Portugal
74
• Evolução da taxa de juro da divida pública portuguesa e alemã a 10 anos Jan1993/Jul2013 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”)
0%
2%
4%
6%
1993 1998 2003 2008 2013
Alemanha
Unidades do juro
75
A taxa de juro
• Os preços das coisas são €/kg
• O preço do crédito (o juro) é uma percentagem por unidade de tempo.
76
percentagem por unidade de tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– É uma taxa de juro de 10% por ano
A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos– A remuneração do capital (o juro real)– A inflação– O risco de não cobrança
77
– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ π) x (1 + r) / (1 - p)1+ i = (1+ π) x (1 + r) / (1 - p)
Exercício
• 2) Eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 2% por ano– O juro real (acordado) é de 1.5% por ano– O risco de não cobrança é de 3% por ano
78
– O risco de não cobrança é de 3% por ano
• Qual deverá ser a taxa de juro?• Quanto dinheiro devo acordar receber?
ExercícioA taxa de juro deve ser de 6.687%:1+i = (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)i = 6.687% por anoDevo exigir receber (daqui a um ano)
79
V1 = 1000 x (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)V1 = 1000 x (1+ 6.687% )
= 1066.87€Os juros serão 66.87€.
Exercício
A soma das parcelas daria 6,500%2%+1.5%+3% = 6.5%
A taxa calculada é 6.687%
80
A taxa calculada é 6.687%
Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor será a diferença
Ajustamentos da taxa de juro
81
A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que
82
– O risco de grandes somas é mais que proporcional ao risco das pequenas somas
• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– e.g. 4.47%/ano
83
– e.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor
Taxas de referência
84
EURIBOR
– É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si
• De todos os contractos retiram-se os melhores e os piores 15%
85
os piores 15%• Reuters calcula a média dos restantes 70%
– É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).
EURIBOREURIBOR a 3 meses entre Jan1994 e Ag2013
5%
6%
7%
8%
86
0%
1%
2%
3%
4%
5%
1994 1999 2004 2009 2014
EURIBOREURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)
87
EURIBOR
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a
88
acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
A taxa de juro do BC
• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de moeda em
circulação,– i.e., controla a inflação, o nível geral de
89
– i.e., controla a inflação, o nível geral de preços
– Não tem qualquer efeito real
– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto
A taxa de juro do BC
• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.
90
– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1
ponto percentual (está suspenso)– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 pp..(actualmente este aumento está suspenso)
A taxa de juro do BC
91
Terceira Aula
92
1 Out
Capitalização
93
Capitalização
• A taxa de juro é referida a uma unidade detempo, normalmente um ano.– Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada
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mas os juros forem pagos no final de cadaano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa dejuro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos.Data Recebo Capital
• 31/12/2013 -> 35.00€ 1000€
95
• 31/12/2013 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2014 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2015 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2016 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2017 ->1035.00€ 0€
Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim doprazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital em divida vai
96
• Cada ano, o capital em divida vaiaumentando
• Esta é a situação capitalizada.
Capitalização simples
97
Capitalização simples
• Neste caso, desprezamos os juros dosjuros.
• É como se cada ano recebêssemos os
98
• É como se cada ano recebêssemos osjuros.
Capitalização simples
• No final de n anos, receberemos
Jtotal = Vinicial × n × i× ×
99
Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial × (1+ n×i)itotal = n × i
Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. – Spread de 2 pontos percentuais
100
– Spread de 2 pontos percentuais
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
Exercício
• R. Os juros serão J = 10M€×(5.754% + 6.217% + 6.765%)
= 1873.60€
101
O capital final seráV = 10000€ + 1873.60€
=11873.60€.
Exercício
102
C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1
Período de tempo fraccionário
Se a duração do empréstimo for menor que a unidade de tempo (normalmente, o ano), com capitalizaçã0 simples, divide-se o juro proporcionalmente ao tempo.
103
proporcionalmente ao tempo.
Ex. Emprestei 1000€ durante 25 dias à taxa dejuro de 2%/ano. Com capitalização simples,quanto vou receber no fim do prazo?1000 x (1 + 0.02 x 25/365) = 1001.37€
Conta Corrente
Numa CC vamos lançando os movimentos ao longo do tempo capitalizando os valores.
104
Uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte.
Exercício
105
Exercício
106
E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1D6:=C6+D5C15: =SOMA(F5:F14)
Capitalização Composta
107
Capitalização Composta
Capitalização Composta• Neste caso, são contabilizados os juros
dos juros.
108
Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa dejuro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos.
Ano Capital Juros Capital Final
31-12-2013 1000,00 35,00 1035,00
109
31-12-2013 1000,00 35,00 1035,00
31-12-2014 1035,00 36,23 1071,23
31-12-2015 1071,23 37,49 1108,72
31-12-2016 1108,72 38,81 1147,52
31-12-2017 1147,52 40,16 1187,69
Capitalização
• C2: =B2*3,5%• D2: =B2+C2• B3: =D2• Depois, copio estas formulas ao longo das
110
• Depois, copio estas formulas ao longo dascolunas e elas vão-se adaptando
Capitalização Composta• Cada ano, os juros acrescem ao capital
Jt+1 = Vt × iVt+1 = Vt + Vt × i = Vt ×(1+ i)
• No ano seguinte, vencem juros.
111
• No ano seguinte, vencem juros.Vt+2 = Vt+1 × (1+ i)
= Vt × (1+ i) × (1+ i)= Vt × (1+ i)2
Capitalização Composta• A capitalização simples despreza uma
parcela ( i2 = os juros dos juros).
Vt+2 = Vt × (1+ i)2
112
Vt+2 = Vt × (1+ i)Vt+2 = Vt × (1+2 × i + i2)
Se i for pequeno, i2 é insignificante
Capitalização Composta• Cada ano, os juros acrescem ao capital,
no final de n anos, receberemosVfinal = Vinicial ×(1 + i)n,
113
A taxa de juro total a receber no final dosn anos vem dada por:
Vinicial ×(1 + itotal) = Vinicial ×(1 + i)n,i total = (1 + i)n - 1
Exercício
• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fimdos 5 anos com capitalização composta.
114
i) Qual o capital final a receberii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.
Exercício
• i) O capital final a receber será de 25000 ×(1 + 5%)5 = 31907.04€
• ii) A taxa de juro do contrato será
115
• ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%)5 –1 = 27.628% com capitalização simples seria menor= 5x5% = 25%
Conta Corrente
• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do prazo, capitalização composta.
116
• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
Conta Corrente
• O valor a receber seráV×(1+ 0.05754)×(1+ 0.06217)×(1+0.06765)=11992.78€
117
Conta Corrente
• D2: =B2*C2• E2: = B2+D2• B3: = E2
118
Quarta Aula
119
Quarta Aula Tempo fraccionado
120
Tempo fraccionado
Período de tempo fraccionário
• Na expressão da taxa de juro capitalizadade forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
• O número de anos é inteiro.• No entanto, podemos extrapolar o conceito
121
• No entanto, podemos extrapolar o conceitode capitalização a fracções do ano.
Exercício
• A taxa anual é a capitalização 12 meses da taxa mensal
• (1+ i.anual) = (1 + i.mensal)^12
122
• Ex. Uma taxa de juro mensal de 1%/mês corresponde a:
• (1+1%)^12 – 1 = 12.683%/ano
Período de tempo fraccionário
• Posso passar de uma unidade de tempoqualquer para outra, por exemplo, ano paratrimestre.
123
• Ex. Emprestei 1000€ durante 3 meses auma taxa anual de 5%/ ano, quanto voureceber de juros (c. composta):
Período de tempo fraccionário
i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227%– 3 meses correspondem a 0.25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
124
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinhaos 5%(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo
125
meses e o capital no fim do prazo acordado.
• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
Período de tempo fraccionário
• R. A taxa mensal será (1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796% – Um mês corresponde a 1/12 anos
126
⇒ 465.80€ de juros referentes ao mês
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro
127
trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?
– Vou passar de 5anos para trimestral
Período de tempo fraccionário
• R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por (1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.
128
(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.
Valor Futuro
129
Valor Futuro
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Muitas vezes eu tenho que comparar recursos escassos disponíveis em períodos de tempo diferentes.
130
• O mais simples é comparar uma soma disponível no presente com outra soma disponível daqui a n anos.
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura.
131
• É preciso comparar estas duas somas que estão disponíveis em instantes diferentes?
• O que será melhor?
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Para comparar vou usar a taxa de juro como “taxa de câmbio” entre o presente e o futuro.
132
• O valor futuro é o valor capitalizado do valor presente
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura.
• Supondo que conseguem financiamento /
133
• Supondo que conseguem financiamento / depositar a uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a 3 anos será 1000×(1+10%)^3 = 1331€que é maior que os 1200€
134
que é maior que os 1200€
Os 1000€ agora valem mais que os 1200€daqui a 3 anos
• Então, será melhor receber os 1000€ já.
Obrigação
• Uma “obrigação” é o título pelo qual o devedor se obriga a pagar um valor periodicamente (o cupão) e uma soma final (o valor de resgate).
135
(o valor de resgate).• A obrigação tem um valor nominal (o Par)• Vamos ver um exemplo de obrigação com
cupão zero
Obrigação
• Ex.1.14. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os
136
resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?
Obrigação
• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 −=⇔=+ ii
137
• será 7.277%/ano:Fazer em casa
138
Fazer em casa
Exercício
• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0;
139
+125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.
Exercício
140
Exercício
141
• B1: =(1+B2)^12-1• C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava• C5: = B5+E4 e copiava• F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava• F16: =sum(F4:F15).
Quinta Aula
142
8 Out
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início decada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas
143
Antecipada -> paga no principio do períodoPostecipada -> paga no fim do período
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início decada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas
Para uma taxa de juro é de 4%/ano,
144
Para uma taxa de juro é de 4%/ano,determine o valor futuro total das parcelaspoupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fimdos 60 meses).
Valor Futuro
Vou calcular o valor futuro de cadaprestação:
O valor futuro de 1000€ depositados no início
145
O valor futuro de 1000€ depositados no iníciodo mês m é
O +1 é por o deposito ser “antecipado”
12/)160(%)41.(1000 +−+= mmVF
Valor Futuro
Tenho que somar as 60 parcelasO valor futuro total valerá
{ }∑+−+=
6012/)160(%)41(1000 iVF
146
Resolvo no Excel.
{ }∑=
+−+=1
12/)160(%)41(1000i
iVF
Valor FuturoC2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copio em coluna
C62: =Sum(B2:B61)]
147
Valor FuturoUsar em casa com uma conta corrente
148
G3=(1+G2)^(1/12)-1C2: =B2*$G$3 D2: =B2+C2 B2: =D2+$G$1
Copiar em coluna
Valor ActualDesconto
149
Desconto
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para afrente no tempo
• Descontar é andar para trás no tempo
150
• É, na taxa de juro capitalizada de formacomposta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir umnúmero negativo de anos
Desconto = Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir ovalor passado de uma quantidade dedinheiro presente
151
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor queemprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual ocapital que eu emprestei?
Desconto = Valor actual
€56.675
%)41.(1000
%)41.(100010
10
=⇔+=⇔
+=−
V
V
V
152
• Também pode traduzir o valor actual (nopresente) de uma quantidade de dinheiroque vou ter disponível no futuro
€56.675=⇔ V
Desconto = Valor actual
• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€,pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses
153
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1.06–10 = 55.84€.
Desconto = Valor actual
• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar ocurso, vai receber de umas tias um prémiode 10000€. Supondo que pensa terminaro curso daqui a 30 anos e que a sua taxa
154
o curso daqui a 30 anos e que a sua taxade desconto é de 5% ao ano, qual será oseu valor actual?
Desconto = Valor actual
€77.2313
%)51.(10000 30
=⇔+= −
V
V
155
• Posso “vender” este activo e receber nopresente 2313.77€ (a outra pessoa quetenha uma taxa de desconto <=5%).
Desconto = Valor actual
• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?
156
qual terá sido a soma depositada?– Taxa de desconto de 3.5%/ano
Desconto – Valor actual
€38.96395
%)5.31.(1000000 68
=⇔+= −
V
V
157
• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.
€38.96395=⇔ V
Desconto = Valor actual
• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos.
158
mês dos próximos 50 anos. • Determine a taxa de juro implícita nesta
opção
Desconto = Valor actual
R. Vou descontar cada um dos 1000€ aopresente, somá-las todas e aplicar aferramenta atingir objectivo.
159
Desconto = Valor actual
160
B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)
Desconto = Valor actual
161
Goal Seek = Atingir ObjectivoMenu Data+ Data Tools + what if analysis
Sexta Aula
162
Sexta Aula
Pagamento da dívida Rendas / amortizações
163
Rendas / amortizações
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades parao pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o
164
• 1) Os juros são pagos periodicamente e ocapital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos nofim do prazo contrato.
Rendas
• Vamos explorar uma outra possibilidade• É paga uma prestação em cada período• No final do prazo não há mais nada a
pagar
165
pagar– Cada prestação contêm juros e amortização do
capital
• Denominamos este plano como umaRenda
Rendas
• Uma renda transforma uma determinadasoma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
166
• Um stock num fluxo
Rendas
• As prestações podem ser– regulares ou irregulares no tempo– constantes ou variáveis no valor– haver ou não diferimento de alguns
167
– haver ou não diferimento de algunsperíodos
– terem duração limitada ou seremperpétua
Rendas• Emprestamos um capital que
recuperamos na forma de uma renda– e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um
rendimento mensal
168
• Pedimos um capital que pagamos naforma de uma renda– e.g., um crédito à habitação que amortizamos
mensalmente
Rendas• Pagamos uma renda que recebemos no
final na forma de um capital– e.g., depositamos uma quantia mensal para
comprar um barco a pronto no futuro
• Recebemos uma renda que pagamos no
169
• Recebemos uma renda que pagamos nofim na forma de um capital– e.g., termos um rendimento mensal à custa
de uma herança que vamos receber no futuro
Rendas
• Receber uma renda que pagamos naforma de renda– e.g., pagamos os estudos com um
financiamento mensal que amortizamos no
170
financiamento mensal que amortizamos nofuturo com uma prestação mensal.
Rendas
• Obtemos o valor actual da rendadescontando todos os recebimentos aoinstante de tempo presente.
171
• Para efeito de comparação, podemos usaroutro instante de tempo qualquer mas temque ser o mesmo para todas asprestações
Rendas
• Temos que clarificar o que é– um instante de tempo e– um período de tempo
• O tempo é uma linha contínua
172
• O tempo é uma linha contínua
Rendas
• Cada ponto é um instante de tempo– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.
• Um intervalo de tempo é o segmento quemedeia dois instantes de tempo,
173
medeia dois instantes de tempo,– e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia
15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julhode 2010.
• O instante final de um período é sempre oinstante inicial do período seguinte.– e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.
Rendas• Ex.1.21. No sentido de se licenciar, um
estudante necessita uma renda antecipada cujaprestação mensal é de 300€/mês e a duraçãode 36 meses. Supondo uma taxa de juro de5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor
174
5%/ano, utilize o Excel para calcular o valoractual dessa renda
Rendas
175
B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava
C40: =SUM(C2:C37).
Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partesfraccionadas nos anos, (A4-1)/12.
Rendas
• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade,ganhava 300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5milhões de euros e
176
milhões de euros e• Receber, a partir dos 35 anos, 600
prestações mensais de 5000€ cada.• Determine a taxa de juro implícita.
Rendas
177
• F2: =(1+F1)^(1/12)-1• C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; • F3: =Sum(C2:C602). • Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da
célula F1.
Rendas
• Ex.1.23. Uma família adquiriu umahabitação mediante um empréstimobancário de 150mil€ à taxa de juro de5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação
178
5.5% anual a 50 anos. Qual a prestaçãomensal a pagar?
720.29€ / mês
Rendas
179
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B asquantias recebidas, na C as quantiasdescontadas ao presente
• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois
180
• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna.
• C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
Rendas
• Fazer em casa os dois exercíciosanteriores com uma conta corrente
181
Conta corrente
• Ex.1.25. Uns comerciantes de frutas e legumes numasalturas podem poupar e noutras não. Como, em média,conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15anos, pensando que precisará de 750€/mês quando forpara a universidade, decidiram constituir uma conta
182
para a universidade, decidiram constituir uma contapoupança.
• Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos(colunas A e B).
• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juroactiva) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxade juro passiva) é de 2%/ano.
Conta corrente
183
C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2) )^D2-1)F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F83
Sétima Aula
184
15 Out
Expressão analítica de uma renda
185
renda
Renda perpétua
• Numa renda perpétua, recebe-se umaprestação para sempre.
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim
186
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fimde cada período (i.e., postecipada), é umasituação idêntica a um depósito em que no fimde cada período, são pagos apenas os juros
Renda perpétua postecipada...)1()1()1( 321 ++×++×++×= −−− iPiPiPV
( ) 121
1
)1(...)1()1(
)1(−−−
−
+×++×++×++×=
iiPiP
iPV
187
( ) )1(...)1()1( +×++×++×+ iiPiP
11 )1()1( −− +×++×= iViPV
VPiVVVPiV +=×+⇔+=+× )1(
i
PV =
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriamJ = V×i
Com P e i podemos determinar o valor da renda(ou da taxa de juro implícita com P e V)
188
(ou da taxa de juro implícita com P e V)P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda
V
Pi
i
PViVP =⇔=⇔×=
Renda perpétua
• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?
189
qual será o valor presente do terreno?
Renda perpétua
• Primeiro, calculo a taxa de juro mensal• i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
190
• Depois, aplico a expressão• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
Renda perpétua
• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor
191
de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?
Renda perpétua
• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:
192
postecipada:
• V = (12×0.03)/34.392% = 1.05€/m2.
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação épaga no princípio do período), teremosque somar uma prestação inicial
193
)1( ii
PV
i
PPV +=⇔+=
Renda perpétua
• Se houver deferimento de 2 períodos(tempo em que não é paga prestação), arenda terá que ser descontada aopresente:
194
Renda perpétua
• Se houver diferimento de n períodos(tempo em que não é paga prestação), arenda terá que ser descontada n períodosao presente:
195
• Só se começa a receber daqui a n+1períodos (a expressão p/i é a rendapostecipada)
nii
PV −+= )1(
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada, aplica-se acorrecção:
niii
PV −+×+×= )1()1(
196
• Começa-se a receber daqui a n períodos– A renda antecipada diferida 5 anos é uma
renda postecipada diferida 6 anos
i
Renda de duração limitada
197
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão darenda perpétua– Também se chama perpetuidade
• Podemos calcular o valor de uma renda
198
• Podemos calcular o valor de uma rendade duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas: uma asomar e outra a subtrair
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e operíodo N (postecipada).
• É equivalente a receber uma renda perpétua a
199
• É equivalente a receber uma renda perpétua acomeçar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar noperíodo N,
• Descontado tudo ao presente.
Renda de duração limitada
])1(1[)1( NN ii
Pi
i
P
i
PV −− +−=+−=
200
Se a renda for paga no princípio do período ( i.e., antecipada )?
Teremos que somar uma parcela.
Descontar menos um período
Renda de duração limitada
[ ])1()1(
)1(1
)1(
)1(
ii
ii
PPV
N
N
+−+=
+−+=
−−
−−
201
[ ] )1()1(1
)1()1(
iii
Pi
iiP
N +×+−×=
+−+=
−
Renda de duração limitada
• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de
202
daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%V = 50/0.407% x (1 – 1.00407 )
203
V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
Renda de duração limitada
• Verificar em casa o resultado com o uso do Excel
204
Renda de duração limitada
205
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)
Renda de duração limitada
• Ex.1.29. Uma obrigação com o valornominal de 100€ paga trimestralmente 1€de cupão e o par (i.e., os 100€) mais ocupão do trimestre final ao fim de 10 anos.
206
cupão do trimestre final ao fim de 10 anos.Determine a taxa de juro desta obrigação.
Renda de duração limitada
R. No trimestre final recebemos não só ocupão mas também o par, logo
4040 )1(100])1(1[1
100 −− +++−= ii
207
Simplificando a expressão
4040 )1(100])1(1[1
100 −− +++−= iii
[ ] ])1(1[1
)1(1100 4040 −− +−=+− ii
i
Renda de duração limitada
R. Resulta
i.t = 1%/trimi.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano
208
i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano
Oitava Aula
209
Oitava Aula
Renda de duração limitada
• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).
• Com essa poupança vai receber uma renda de
210
• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações).
• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)
• Vamos somar
211
• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas
Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda
Renda de duração limitada
( )
( )x
mil
600%)^247.01(1%247.0
120%)^247.01(120%)^247.01(1%247.0
100
−+−=
=+−+−
212
( )( )
mês
milx
/€44603
600%)^247.01(1120%)^247.01(120%)^247.01(1100
%247.0
=
=−+−
+−+−=⇔
Obrigações de taxa fixa
213
Obrigações a taxa fixa
• Já foi referido que uma obrigação consiste num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro.
• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e
214
• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e uma soma no final (o valor de remissão)
• O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
Obrigações a taxa fixa
• Como valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros,
• O seu valor altera-se com o decorrer do
215
• O seu valor altera-se com o decorrer do tempo – Porque se aproxima a data de remissão– Porque a taxa de juro de mercado altera-se
Obrigações a taxa fixa
216
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos devalor nominal de 100€ reembolsável aopar (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10anos) cupão zero, vai ser vendida em
217
anos) cupão zero, vai ser vendida emleilão.
• 1) Para uma remunerado a uma taxamédia de 7.5%/ano, qual o preço máximoque o investidor está disponível a pagar?
Obrigações a taxa fixa
• 1) Vamos descontar os 100€ ao presente:
€52.48075.1100 10 =×= −V
218
Obrigações a taxa fixa
• 2) Passados 5 anos, qual será o valor daobrigação?
• 3) Se o mercado justificar um aumento da
219
• 3) Se o mercado justificar um aumento dataxa de juro em um ponto percentual, quala desvalorização da obrigação?
Obrigações a taxa fixa
• 2) Já só faltam 5 anos para receber os100€
€66.69075.1100 5 =×= −V
220
• 3) O aumento da taxa de juro desvalorizaa obrigação em 4.5%
€50.66085.1100 5 =×= −V
Obrigações a taxa fixa
• 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a45€, qual a taxa de juro que pensavareceber?
• 5) E qual será se vender a obrigação
221
• 5) E qual será se vender a obrigaçãodepois da desvalorização?
Obrigações a taxa fixa
• 4) A taxa de juro prevista era
• 5) E passou a ser
%31.8€45)1(100 10 =⇔=+= − iiV
222
• 5) E passou a ser
%13.81)45/50.66(
)1(45/50.66
€45)1(50.66
5/1
5
5
=−=⇔+=
=+= −
i
i
iV
Resolver em casa
223
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o
224
anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo.
• Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?
Obrigações a taxa fixa
• Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:
( ) ( ) 100011000)1(125 5050 =+×++−× −− rrr
225
uma renda perpétua:
( ) ( )1000
25)1(11000)1(1
25 5050 =⇔+−×=+−× −− rrrr
Obrigações a taxa fixa
• Decorridos 6 meses, no mercado secundário a obrigação está a ser transaccionada a 900€
• Para que taxa de juro aumentou a
226
• Para que taxa de juro aumentou a remuneração desta obrigação?– > De 2.500%/ano para 5.418%/ano
Obrigações a taxa fixa
• Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
227
C2: =B2*(1+F$1)^-A2 e copiava em colunaC12: = Sum(C2:C11)
Nona Aula
228
22 Out
TAEGTaxa Anual Efectiva GlobalTaxa Anual Efectiva Global
229
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global
• Actualmente, é obrigatório nos anúncios (de venda a crédito) que seja afixado o
230
(de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)– Também é referido o total de encargos do cliente
TAEG implícita no contrato
• A TAEG é a taxa de juro anual que faz a soma do valor actual de todos os pagamentos igual ao preço de pronto pagamento.
231
pagamento.
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.35. Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
232
pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de crédito.
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
0)1(50))1(1(
1001191190 412
=+−+−−− −−
ii
i
233
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
i
TAEG implícita no contrato
234
TAEG implícita no contrato
B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Sum(C2:C14)Definimos a célula C15 para o valor 0
235
Definimos a célula C15 para o valor 0 alterando E2.
• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?
TAEG implícita no contrato
%)386.101/(%)5.51()1(
)1/(%)5.51(%386.101
++=−⇔−+=+
p
p
236
%879.4=⇔ p
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.36. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.
237
TAEG=29.28%)”. • Confirme a TAEG.
TAEG implícita no contrato
])1(1[150
5000
])1(1[
60+−=⇔
+−=
−
−
ii
ii
RV N
238
0])1(1[150
5000
])1(1[5000
60 =+−−⇔
+−=⇔
−ii
ii
Tem que se determinar no Excel
TAEG implícita no contrato
239
%46.291)1(%175.2 12 =−+=⇒= iii anual
Preços correntes e constantes
240
Preços correntes e constantes
Preços correntes e constantes
• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.
241
escassos.
• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.
Preços correntes e constantes
• Quando comparamos preços de um bem disponíveis em instantes de tempo diferentes é preciso ver a evolução do nível médio de preços
242
nível médio de preços– A ponte D Luís custou 1850 €
Março 1884
– A ponte 25-de-abril custou 11milhões €Setembro 1964
– A Ponte Vasco da Gama custou 680milhões €Novembro 1996
Preços correntes e constantes
• As somas seriam equivalentes se
– 1850 € (em 1884) -> 11milhões€ (em 1964)Capitalização à taxa de 11.4%/ano
243
Capitalização à taxa de 11.4%/ano
– 11M€ (em 1964) -> 680M€ (em1996)Capitalização à taxa de 12.5%/ano
O Índice de Preços
• Calcula-se em cada ano o preço de umacapaz de compras representativo doconsumidor médios (pesos de 2005).
Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 Pesos
244
B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €
O Índice de Preços
• O IPC é a passagem do preço do cabazao valor 100 no ano base.
• B7: =B6/$B$6*100
•
245
•
Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22
O Índice de Preços
• Em teoria, o índice de preços refere-se aum instante de tempo
• Mas não é possível medir todos os preços
246
• Mas não é possível medir todos os preçosno mesmo instante
• Então, é um valor médio do períodoIP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000
O Índice de Preços
• O “preço médio” normalizado denomina-se por Índice de Preços no Consumo,havendo outros índices de preços– índice de preços na produção
247
– índice de preços na produção– índice de preços nos mais pobres– índice de preços no interior norte– índice de preços na construção– etc.
Preços correntes e constantes
• Os preços dos bens ou serviçosobservados no dia a dia denominam-se de“preços correntes” (ou “preços nominais”)e variam ao longo do tempo.
248
e variam ao longo do tempo.• e.g., há um ano a gasolina tinha um preço
diferente do preço que actualmentevigora.
Preços correntes e constantes
• Os preços corrigidos da inflaçãodenominam-se de “preços constantes” ou“preços reais”.
249
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes empreços reais utilizamos o índice de preços.
• Temos os preços correntes do período J,
250
• Temos os preços correntes do período J,PJ, que queremos em preços reais combase no ano T, PTJ
• PJ → PTJ
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes empreços reais utilizamos o índice de preços.Um bem custava P2005 = 100€, IP20052005 = 100 e
custa actualmente P2012 = 250€, IP20052012 = 237
251
2005
Compare os preços em termos reais
Preços correntes e constantes
Posso passar os 250€ de 2012 para 2005P20052012 = 250 * 100 / 237 = 105.49
Ou o preço de 2005 para 2012P20122005 = 100 * 237/ 100 = 237.00
252
P20122005 = 100 * 237/ 100 = 237.00
-> Em termos reais, o bem custa hojemais 5.49% que custava em 2005105.49€/100.00€ = 250.00€ / 237.00€ = 1.0549
Preços correntes e constantes
• Em termos de notação algébrica, é difícilmemorizar mas basta fixar que:
• Se o índice de preços aumentou (o maisnormal),
253
normal),• 1) trazer preços nominais do passado
para o presente, aumenta o seu valor• 2) levar preços nominais do presente para
o passado, diminui o seu valor
Preços correntes e constantes
• Transformamos PJ → PTJ• Multiplicando o preço corrente pelo índice
de preços do período T, IPTT, e dividindopelo índice de preços do período J, IPTJ:
254
pelo índice de preços do período J, IPTJ:
• Não interessa a base do IP pois dá-seuma mudança de base.
JIP
TIPPJJP
T
TT ×=
Décima Aula
255
Décima Aula
Preços correntes e constantes
• Ex.1.37. O preço de um frigorífico diminuiu de 178.50€ em 2006 para 169.90€ em 2010. Com
IP20052006 = 101.61
256
IP20052006 = 101.61 IP20052010 = 102.86
Quais os preços na base 2005?Qual o preço de 2006 na base 2010?Qual foi a variação em termos nominais e
reais do preço?
Preços correntes e constantes
• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base
• P20052006 =178.50×100/101.61 = 175.67€• P20052010 =169.90×100/102.82 = 165.24€
257
• P20052010 =169.90×100/102.82 = 165.24€
• Para 2010 ocorre mudança da base• P20102006 =178.50×102.82/101.61
= 180.73€
Preços correntes e constantes
• Em termos nominais temos 169.90/178.50 –1 = – 4.77%(169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%
258
Em termos reais temosVariação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1
= –1.53%/ano
Preços correntes e constantes
• Podíamos usar outro ano base qualquer• e.g., 2010
Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%
259
Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%
Preços correntes e constantes
• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de16,46€ e em 2010 é de 475,00€.
• IPC20001974 é 4.003 e• IPC 2010 é 126,62.
260
• IPC20002010 é 126,62.• compare, em termos reais (de 2010), o
poder aquisitivos do SM nesses dois anose a taxa de variação anual em termosnominais e reais.
Preços correntes e constantes
• Se quiséssemos comparar em termosde preços reais do ano 2010 fazemos
• os 16.46€ de 1974 valem a preços de2010
261
2010• SM20101974= = 520,65€• Que é maior que os actuais• SM20102010 = 475€
003.4
62,12646.16 ×
Preços correntes e constantes
• R. Relativamente à taxa de variação, noespaço de 36 anos, em termos nominais oSM aumentou(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano
262
(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano
• em termos reais, diminuiu(15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.
Preços correntes e constantes
• A taxa de inflação é calculada pelo INEcom base no IPC e tem periodicidademensal.
• Taxa de inflação homóloga – compara o
263
• Taxa de inflação homóloga – compara oIPC do mês corrente com o IPC do mêsigual do ano anterior.
• Taxa de inflação média – é a média das12 taxas de inflação homóloga.
•
Preços correntes e constantes
• Taxa de inflação acumulada – é avariação percentual do IPC desde oprincípio do ano.
• A taxa de inflação mensal anualizada –
264
• A taxa de inflação mensal anualizada –é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π)12-1.
• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar
Preços correntes e constantes
• Interessará retirar a inflação da análise deequivalência das somas de valoresdinheiro obtidas em instantes de tempodiferentes.
265
diferentes.• e.g., precisamos saber se a renda de
60mil€ mensais dará ou não para compraralguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.
Taxa de Inflação
266
Taxa de Inflação
Taxa de inflação
• Sendo IPT J e, IPT J-1os índice de preços no período J e J-1,
respectivamente
• Calculamos a taxa de inflação durante o
267
• Calculamos a taxa de inflação durante operíodo J, πJ , por:
111
1 −−
=−
−−=JIP
JIP
JIP
JIPJIP
T
T
T
TTJπ
Preços correntes e constantes
• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPCvalia 128.7 e em Março 2006 passou avaler 131.4,
• Então, a taxa de inflação homóloga de
268
• Então, a taxa de inflação homóloga deMarço entre estes dois “instantes” foi de131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
Taxa de inflação
• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxade inflação em 2006 foi de
269
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan.,Fev., …, Dez. de 2005
Taxa de inflação
• Como a taxa de inflação é calculada como índice de preços, podemos utilizá-la natransformação de preços correntes empreços reais
270
preços reais• Ou mesmo a refazer o IPC
( ) ( ) ( )nTTTTpnTp +++ +××+×+×=+ πππ 1...11)()( 21
Décima primeira Aula
271
Aula29 Out
Preços correntes e constantes
• Se o preço corrente de um bem em 2006foi de 150€, podemos saber a quantocorrespondia em 2005 em termos reais(constantes) descontando este preço com
272
(constantes) descontando este preço coma taxa de inflação
• O preço do bem, a preços de 2005, seria
( ) €92.146%1.211502006 12005 =+×= −p
Preços correntes e constantes
• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ epassou para p2006 = 1.30€.Sendo que em 2006 a inflação foi de 2.1%será que o preço deste bem aumentou em
273
será que o preço deste bem aumentou emtermos reais?
Preços correntes e constantes
• O preço, em termos reais, aumentou1.86%– Vou ver quanto vale 1.30€ de 2006 em 2005
e comparo com 1.25€ :
274
e comparo com 1.25€ :
( )%86.11250.1/273.1
€273.1%1.2130.12006 12005
=−=+×= −p
Exercício
• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que oplaneamento da reforma do Figo se traduznuma prestação mensal a preçoscorrentes de 44603€ até aos 85 anos.
275
• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2%ano,
• i) Determine a preços constantes deagora, qual será o valor desse prestação(faltam 50 anos).
Exercício
• Vamos descontar 44603€ ao presentecom a taxa de inflação de 2%/ano comotaxa de desconto:
€16571%)21(44603 50 =+×= −R
276
• Em termos reais, corresponde a apenas37% do valor nominal.
€16571%)21(44603 50 =+×= −R
Análise a preços constantes
277
Análise a preços constantes
Análise a preços constantes
• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas,determine um plano de reforma quemantenha o poder aquisitivo (igual emtermos reais).
278
termos reais).
Análise a preços constantes
• Posso fazer a análise
• a “preços correntes” aumentando asprestações na taxa de inflação prevista
279
prestações na taxa de inflação prevista
• Ou a “preços constantes” retirando a taxade inflação da taxa de juro
• Fica a taxa de juro real mais a correcção do risco.
Análise a preços constantes
• Fazemos a análise a preços reaisretirando a taxa de inflação da taxa de juronominal. A taxa de juro real mensal é0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
280
0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
€05,29453000813.11
000813.013979
13979)000813.11(0008135.0
600
600
=⇔−
×=⇔
=−
−
−
xx
x
Preços correntes e constantes
• A “preços correntes”, uso o Excel:
281
Preços correntes e constantes
• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; • C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos
em coluna; • C603: =Sum(C2:C602) e usamos a
282
• C603: =Sum(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1
Preços correntes e constantes
• Retirada a taxa de inflação à taxa de juronominal (“preços constantes”), deu omesmo resultado
283
Fazer em casa o exercício usando uma conta corrente
284
conta corrente
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Com o acesso a fontes diferentes deinformação e com o decorrer do tempo, asséries de preços mudam de base.
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra
285
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebraporque salta do valor do antigo tramo dasérie para 100 e são alterados os pesosrelativos dos grupos agregados no índice(a representatividade de cada grupo noíndice).
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Quando é preciso utilizar o número índice aolongo de todos os períodos, torna-se necessáriocompatibilizar os vários tramos da série àmesma base.
286
• A redução não é uma mudança para a mesmabase porque não se tem em consideração queexistem alterações dos ponderadores maspermite fazer uma transição suave entre osvários tramos da série.
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• No sentido de tornar possível acompatibilização dos tramos, estessobrepõem-se (pelo menos) durante umperíodo.
287
• Temos que usar os períodos desobreposição para calcular o valor do“salto” em termos relativo entre as séries ereduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo deuma mudança de base.
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
288
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• Ex.1.46. A série do IPC do banco mundialWB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para1974 e vale 108.10 para 2002, e
• a série do INE (base o ano 2002) vale
289
• a série do INE (base o ano 2002) vale116.187 para 2009 (media até Abril),compare, em termos reais, o saláriomínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SMactual (450.00€/mês).
Compatibilização de tramos da série com diferentes bases
• R. Há uma salto em 2002 entre as sériespelo que o valor da série do INEcompatibilizado ao da série do BancoMundial será 116.19×108.10/100 =
290
Mundial será 116.19×108.10/100 =125.60. O valor a preços de 2009 dos16.46€/mês será 16.46×125.60/4.00 =516.84€/mês.
Décima segunda Aula
291
Aula30/31 Out
AplicaçõesAnálise de investimentos
292
Análise de investimentos
Análise de investimentos
• Um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro
293
mais afastados para o futuro
Análise de investimentos
• A Análise passa por condensar os pagamentos e recebimentos num número
• Referimos todas entregas e recebimentos
294
• Referimos todas entregas e recebimentos ao mesmo instante de tempo.
• Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros
Análise de investimentos
• Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow) sem atender aos fundamentais
295
cash flow) sem atender aos fundamentais económicos da empresa (os custos e proveitos).
Análise de investimentos
• Diferença entre economia e finança.• Uma criança nasce e, numa perspectiva
financeira, cada vez deve mais dinheiro.– Comida, tomar conta, estudos, roupa, etc.
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– Comida, tomar conta, estudos, roupa, etc.
• Mas em termos económicos, cada vez tem mais valor.– Tem maior stock de conhecimento– Aproxima-se o tempo em que vai trabalhar
Valor Actual Líquido
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Valor actual líquido
• No Valor Actual
• Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente
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presente, descontadas ao presente
• É Liquido porque o Capital é amortizado
Valor actual líquido
• Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento de uma empresa
• O risco aconselha a usarmos um
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• O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado.– Lojas e pequenos investimentos -> 3 anos – Investimentos normais -> 5 a 10 anos– Infra-estruturas -> 25 a 50 anos
• Barragens ->50 anos
Valor actual líquido
• Ex.1.50. Num investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (em milhares de €):
300
i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?
Valor actual líquido
• O saldo seria de 175 mil €
• ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será
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remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento
Valor actual líquido• O VAL será de 2921€
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• B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Sum(B6:L6).– As funções NPV e XNPV também calculam o VAL
• N periods Present Value
Valor actual líquido
• Nos primeiros anos a análise financeiraindica um período de falta de dinheiro
• Mas depois, a empresa gera recursosfinanceiros que podem ser usados para
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financeiros que podem ser usados paraamortizar as dividas contraídas
Valor actual líquido
• A taxa de juro usada é elevada porque– os recebimentos são incertos– as entregas são certas
• A taxa de juro contém o risco do negócio
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• A taxa de juro contém o risco do negócio– o VAL do investimento é comparável a um
activo sem risco (e.g., depósito a prazo).
• Para investimentos diferente, a taxa dejuro será diferente.
Valor Actual Líquido
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Taxa interna de rentabilidade
• Quantifica a taxa que torna o VAL igual azero.
• Estando o modelo implementado no
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• Estando o modelo implementado noExcel, determina-se a TIR facilmente coma ferramenta “Atingir objectivo”.– Podemos usar as funções irr() e xirr()
• Internal rate of return
Taxa interna de rentabilidade
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Q de Tobin
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Q de Tobin
• O q de Tobin é uma medida relativa que incorpora o risco de cada investimento– Uma mistura de VAL com TIR
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• Calcula-se pelo quociente entre o valor actual dos recebimentos e o valor actual dos investimentos– Terá que ser maior ou igual a 1
Q de Tobin
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• B8: =B3*(1+$B$1)^-B$2 e copiava• B10: =SOMA(B9:L9)/SOMA(B8:L8)
Exercícios de recapitulaçãoe
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eDúvidas
Exercício -1
• Suponha que empresto 1000€.– A inflação (prevista) é de 2.0% / ano– O juro real (acordado) é de 2.0% / ano– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano
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– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano
• i) Quanto devo pedir de taxa de juro?
Exercício -1
A taxa de juro seria:1+i = (1+ 0.020) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)i =11.869%
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ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?
Exercício -1
A renda é antecipada
E começa daqui a dois anos
[ ] )1.()1(1. iii
P N ++− −
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E começa daqui a dois anos
A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%
[ ] 8)1).(1.()1(1. −− +++− iiii
P N
Exercício -1
[ ] 1000028435.1028435.11028435.0
712 =×− −−P
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€11.121
028435.0
=P
Exercício -1
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Exercício -2
• Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.
Qual o capital final que vou receber?
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Qual o capital final que vou receber?
Exercício -2
• O capital final a receber será de 25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 == 24901,22€.
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[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 == 24901,22€.
Exercício -3
• Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?
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Exercício -3
• R. O valor dos 1000€ no presente resolve:
€56.675%)41(1000 10 =+× −
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Exercício -4
Um indivíduo deposita, durante 40 anos,100€/mês para receber uma reformamensal durante 15 anos.
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Supondo que a taxa de juro é de 4% ao anoe a inflação de 2.5%, determine o valor dareforma a preços correntes e a preçosconstantes de agora.
Exercício -4
[ ] [ ] 0)1()1(1.)1(1.100 480180480 =++−−+− −−− ii
Ri
Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:
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[ ][ ] 480180
480
)1()1(1
)1(1.100 −−
−
++−+−=
ii
iR
[ ] [ ] 0)1()1(1.)1(1.100 480180480 =++−−+− −−− ii
i
Ri
i
Exercício -4
A preços correntes, i = 0,327%/mês
R = 854.67€ /mês
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A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1i = 0.12%/mês
R = 402.45€/mês
Exercício -5
• Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%.
• As amortizações são constantes a 5 anos
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• As amortizações são constantes a 5 anos• Calcule o VAL e a TIR