PeiramatikŁc MŁjodoi kai Metrhtik€ Teqnolog—a Di‹lexh IV · Panepist€mio Dutik€c Makedon—ac Tm€ma Mhqanolìgwn Mhqanik‚n PeiramatikŁc MŁjodoi kai Metrhtik€ Teqnolog—a

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Πειραματικές Μέθοδοι και Μετρητική Τεχνολογία

Διάλεξη IV

Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας ∗

17 Νοεμβρίου 2019

1 Συστήματα μέτρησης

΄Οπως αναφέρθηκε και σε προηγούμενο μάθημα τα συστήματα μέτρησης μπο-

ρεί να είναι παθητικά αν η μετρήσιμη μορφή ενέργειας δίνεται από το μέσο

(παράδειγμα ένα θερμόμετρο υδραργύρου ή ένας πλωτήρας με άξονα σε βαθ-

μολογημένη κλίμακα) ή ενεργητικά η μετρήσιμη μορφή ενέργειας δίνεται

από μία βοηθητική πηγή (παράδειγμα αν ο πλωτήρας αποτυπώνει το ύψος της

στάθμης μέσω ενός γραμμικού ποτενσιόμετρου και για τον οποίο χρειαζόμαστε

ηλεκτρική ενέργεια για να μπορέσουμε να μετρήσουμε).

΄Ενα σύστημα μέτρησης μπορεί να είναι γραμμικό αν η συνολική απόκριση

του συστήματος αποτελεί το άθροισμα των συνόλων των υποσυστημάτων της

διάταξης ενώ σε αντίθετη περίπτωση όταν το σύνολο της απόκρισης δεν είναι

ίσο με το άθροισμα των αποκρίσεων των υποσυστημάτων τότε ονομάζεται μη

γραμμικό σύστημα μέτρησης.

Σύστημα μέτρησης το οποίο αποτελείται από στοιχεία που αποθηκεύουν

ενέργεια όπως ελατήριο, αποσβεστήρα ή πυκνωτή ονομάζεται δυναμικό. ΄Ο-

ταν ένα σύστημα μέτρησης αποτελείται από στοιχεία τα οποία δεν αποθηκεύουν

ενέργεια όπως αντιστάτες τότε ονομάζεται στατικό.

∗email:[email protected], website: http://jomaaita.wordpress.com

1

Πειραματικές Μέθοδοι και Μετρητική Τεχνολογία Διάλεξη IV

Χαρακτηριστικό των δυναμικών συστημάτων μέτρησης είναι η χρονοκαθη-

στέρηση της εξόδου. Τα στατικά συστήματα μέτρησης δεν έχουν χρονοκαθη-

στέρηση.

Συνεχές ονομάζεται το σύστημα μέτρησης στο οποίο παίρνουμε την τι-

μή του μετρήσιμου μεγέθους ας πραγματικό χρόνο (μέτρηση θερμοκρασίας σε

ψυγείο). Διακριτό ονομάζεται το σύστημα μέτρησης στο οποίο οι τιμές του

μετρήσιμου μεγέθους παίρνονται σε τακτά χρονικά διαστήματα (μέτρηση υγρα-

σίας σε θερμοκήπιο αν 10 λεπτά).

Τα συστήματα στα οποία ο χρόνος επίδρασης των στοιχείων ενός συστήμα-

τος μέτρησης επιδρά στην μέτρηση ονομάζονται χρονομεταβλητά. Αν ο χρόνος

δεν επιφέρει καμία επίδραση στα στοιχεία του συστήματος μέτρησης τότε κα-

λείται χρονικά αμετάβλητο.

2 Μοντελοποίηση συστημάτων μέτρησης

Κάθε φυσικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά με βάση τις θεμελιώδεις

αρχές της φυσικής. Ιδιαίτερα τα συστήματα τα οποία εξελίσσονται στο χρόνο

και τα οποία ονομάζονται δυναμικά συστήματα μπορούν να περιγραφούν μέσω

των συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων.

Τα μαθηματικά μοντέλα μας βοηθάνε στην όσο πιο λεπτομερή μελέτη της

συμπεριφοράς των φυσικών συστημάτων, στον εντοπισμό των παραμέτρων που

επιδρούν στη δυναμική τους, τον τρόπο ελέγχου της συμπεριφοράς τους. Με

λίγα λόγια, τα μαθηματικά μοντέλα μας επιτρέπουν να κατανοήσουμε και να

ελέγξουμε τα διάφορα συστήματα και υπό αυτήν την έννοια μπορούμε να πούμε

ότι παίζουν σημαντικό ρόλο στην ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων αυτόματου

ελέγχου.

Η διαδικασία μοντελοποίησης ενός συστήματος ακολουθεί τα παρακάτω βή-

ματα:

1. Ορισμός του συστήματος και των συνιστωσών του.

2. Μαθηματική περιγραφή του συστήματος και των βασικών και αναγκαίων

υποθέσεων που απορρέουν από θεμελιώδεις αρχές της φυσικής.

2


3. Η εξαγωγή του μαθηματικού μοντέλου και των διαφορικών εξισώσεων

που περιγράφουν το σύστημα.

4. Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων.

5. Η εξέταση των λύσεων σε σχέση με τις υποθέσεις μας.

2.1 Μαθηματική παράσταση συστημάτων στο πε-

δίο του χρόνου- Διαφορικές Εξισώσεις

΄Εστω σύστημα ταλαντωτή που αποτελείται από ένα ελατήριο, μήκους l, στερε-

ωμένο από την μία σε τοίχο και μάζα (m) συνδεδεμένη με την άλλη πλευρά του

ελατηρίου όπως βλέπουμε στο σχήμα 1.

Σχήμα 1: ελατήριο συνδεδεμένο με μάζα (m).

΄Οπως είναι γνωστό το ελατήριο έχει την ιδιότητα να ασκεί δύναμη που το

επαναφέρει στο φυσικό του μήκος. Η δύναμη αυτή ονομάζεται δύναμη επανα-

φοράς και δίνεται από το νόμο του Hooke

Fosc = −kx, (1)

όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου και εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες

του ελατηρίου και x η επιμήκυνση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος.

Σε μία τυχαία θέση Α όπου το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά x1 από

το φυσικό μήκος του ελατηρίου και αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί, το σώμα

μάζας m θα ταλαντώνεται κάτω από την επίδραση της δύναμης επαναφοράς

του ελατηρίου. Να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι θεωρούμε την ιδανική

περίπτωση της κίνησης του σώματος χωρίς την ύπαρξη τριβών όπως επίσης ότι

3


λόγω της οριζόντιας κίνησης, η θέση ισορροπίας 1 βρίσκεται στη θέση όπου

το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος.

Από το νόμο του Νεύτωνα γνωρίζουμε ότι

∑F = Fosc = m

d2x

dt2, (2)

και άρα η κίνηση του σώματος μάζας (m) που είναι συνδεδεμένο στην άκρη του

ελατηρίου περιγράφεται από τη γραμμική Διαφορική Εξίσωση δεύτερης τάξης:

md2x

dt2= −kx. (3)

Οι συνθήκες με τις οποίες ξεκινά η κίνηση ονομάζονται αρχικές συνθήκες

της κίνησης. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε ότι το σώμα ξεκινά την

κίνηση του με μηδενική αρχική ταχύτητα ενώ βρίσκεται σε απόσταση x1 από τη

θέση που το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Τα παραπάνω μπορούμε

να τα διατυπώσουμε μαθηματικά ως εξής: x(0) = x1, dxdt (0) = 0.

Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις ονομάζονται οι Διαφορικές Εξι-

σώσεις που έχουν την μορφή

dxn

dnt+ fn−1(t)

dxn−1

dn−1t+ ...+ f1(t)

dx

dt+ f0(t)x(t) = f(t). (4)

Αναλυτική λύση (η γενικότερα λύση) της Διαφορικής Εξίσωσης

ονομάζουμε την συνάρτηση x = f(t) η οποία ικανοποιεί την Διαφορική Ε-

ξίσωση. Λέμε ότι μία Διαφορική Εξίσωση επιλύεται αναλυτικά όταν υπάρχει

αναλυτική λύση.

Στο παράδειγμα μας η αναλυτική λύση της Διαφορικής Εξίσωσης (3) είναι

x = x0 sin(ωt+ φ), (5)

όπου το x0 είναι το πλάτος της ταλάντωσης, το φ είναι η αρχική φάση που

καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος και το ω είναι η γω-

νιακή συχνότητα που καθορίζεται από τις παραμέτρους k,m του προβλήματος.

1Θέση ισορροπίας ονομάζεται η θέση στην οποία η συνισταμένη δύναμη ισούται με μηδέν,∑F = 0

4


΄Εχουμε λοιπόν

x(0) = x1 ⇒ x1 = x0 sinφ,dx

dt(0) = 0⇒ 0 = ωx0 cosφ

(6)

και τελικά φ = π2, x0 = x1.

Τα περισσότερα φυσικά συστήματα περιγράφονται από Μη-γραμμικές Δια-

φορικές Εξισώσεις και δεν επιλύονται αναλυτικά αλλά χρησιμοποιώντας αριθ-

μητικές μεθόδους επίλυσης.

2.2 Γραμμική προσέγγιση φυσικών συστημάτων

Γραμμικά συστήματα ονομάζονται τα συστήματα στα οποία ισχύουν οι αρχές

της επαλληλίας και της ομογένειας. Δηλαδή, να ισχύει ότι, αν για ένα σήμα

x1(t) ενός συστήματος έχουμε απόκριση y1(t) και για ένα σήμα x2(t) έχουμε

απόκριση y2(t) τότε για το άθροισμα των σημάτων x1(t)+x2(t) έχουμε απόκριση

y1(t) + y2(t) (αρχή της επαλληλίας) ενώ για το σήμα βx1(t) έχουμε απόκριση

βy1(t) (αρχή της ομογένειας). Στην περίπτωση που δεν ισχύουν οι παραπάνω

αρχές το φυσικό σύστημα έχει μη γραμμική συμπεριφορά.

Τα περισσότερα φυσικά συστήματα έχουν γραμμική συμπεριφορά μέσα στα

όρια κάποιας συγκεκριμένης περιοχής των τιμών των μεταβλητών τους. Πολλά

ηλεκτρικά και μηχανικά συστήματα μπορούν να θεωρηθούν γραμμικά για ένα

αρκετά μεγάλο εύρος τιμών των μεταβλητών τους. Τα υδραυλικά και θερμοδυ-

ναμικά συστήματα παρουσιάζουν γενικά μη γραμμική συμπεριφορά.

Μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά μη γραμμικών συστημάτων παίρ-

νοντας τη γραμμική προσέγγιση του συστήματος γύρω από το σημείο ισορρο-

πίας του (το σημείο κανονικής λειτουργίας του).

Βασικό εργαλείο που μας επιτρέπει τη γραμμικοποίηση των μη γραμμικών

συστημάτων είναι οι σειρές Taylor. ΄Εστω η σχέση

y(t) = g(x(t)) (7)

5


που μας δίνει την απόκριση του συστήματος. Αναπτύσσουμε το δεξί μέλος

της (7) σε σειρά taylor γύρω από το σημείο κανονικής λειτουργίας (x0, y0) και

έχουμε:

y = g(x) = g(x0) +dg

dx|x=x0

(x− x0)1!

+d2g

dx2|x=x0

(x− x0)2

2!+ ...., (8)

από όπου κρατώντας το πρώτο όρο (τον γραμμικό όρο) έχουμε

y = g(x) = g(x0) +dg

dx|x=x0(x− x0) = y0 +

dg

dx|x=x0(x− x0)

⇒ (y − y0) =dg

dx|x=x0(x− x0), (9)

που μας δίνει τη γραμμική προσέγγιση της λύσης του προβλήματος.

Να τονίσουμε εδώ ότι η γραμμική προσέγγιση είναι ακριβής μόνο αν ευσταθεί

η υπόθεση ότι η λειτουργική κατάσταση μικρών σημάτων είναι εφαρμόσιμη.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

΄Οπως είναι γνωστό σε ένα εκκρεμές, μήκους l, (σχήμα 2) η ροπή που

ενεργεί σε μάζα (m) δίνεται από τη σχέση

T = mgl sin θ. (10)

Σχήμα 2: Εκκρεμές μήκους l

΄Οπως παρατηρούμε για γωνία θ1 έχουμε ροπή ίση με T1 = mgl sin θ1 ενώ

για γωνία θ2 έχουμε ροπή ίση με T2 = mgl sin θ2. Για τη γωνία θ1 + θ2 η ροπή

6


ισούται

T1+2 = mgl sin(θ1 + θ2) (11)

= mgl(sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1) (12)

6= T1 + T2,

και άρα η σχέση είναι μη γραμμική.

Παίρνουμε τώρα τη γραμμική προσέγγιση της ροπής με τη βοήθεια της (9):

Tlin − T0 = mgld sin θ

dθ|θ=θ0(θ − θ0) (13)

⇒ Tlin − T0 = mgl cos(θ0)(θ − θ0).

Το σημείο ισορροπίας του εκκρεμούς είναι θ0 = 0o, από όπου έχουμε ότι η ροπή

ισούται με T0 = 0 και άρα η γραμμική προσέγγιση της ροπής δίνεται από σχέση:

Tlin = mglθ. (14)

Από το διάγραμμα της ροπής που ενεργεί σε μάζα m = 1kg με μήκος l =

1m (σχήμα 3) παρατηρούμε ότι η προσέγγιση είναι αρκετά ικανοποιητική στο

διάστημα −π4≤ θ ≤ π

4.

3 Ο μετασχηματισμός Laplace

Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα ισχυρό μαθηματικό εργαλείο με τη βο-

ήθεια του οποίου μπορούμε να λύσουμε γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις. Ε-

πίσης με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace μπορούμε να μετατρέψουμε

μια σειρά από συναρτήσεις σε αλγεβρικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής.

Ο μετασχηματισμός Laplace μιας χρονικής συνάρτησης f(t) ορίζεται από

τη σχέση

L {f(t)} = F (s) =∫ ∞0

f(t)e−stdt, (15)

7


Σχήμα 3: Η ροπή που ενεργεί σε μάζαm = 1kg με μήκος l = 1m. Γκρι γραμμή:Η ροπή. Μαύρη διακεκομμένη γραμμή: γραμμική προσέγγιση της ροπής.

όπου

f(t) =

6= 0, t ≥ 0,= 0, t < 0,και s = σ + jω μιγαδική μεταβλητή.

Για να υπάρχει ο μετασχηματισμός μιας συνάρτησης θα πρέπει το ολοκλή-

ρωμα της (15) να συγκλίνει.

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) ορίζεται

από τη σχέση

L −1{F (s)} = f(t) = 12πj

∫ c+j∞c−j∞

F (s)estds, (16)

όπου μία πραγματική σταθερά μεγαλύτερη από τα πραγματικά μέρη όλων των

πόλων της F (s).

8


Τόσο ο μετασχηματισμός Laplace όσο και ο αντίστροφος

μετασχηματισμός Laplace δίνονται από πίνακες.

3.1 Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων

Για την επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων με τη χρήση των μετασχηματισμών

Laplace ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1. Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό Laplace σε κάθε όρο της Διαφορικής

Εξίσωσης μετατρέποντας την σε αλγεβρική εξίσωση ως προς τη μιγαδική

μεταβλητή s.

2. Βρίσκουμε την έκφραση του μετασχηματισμού Laplace της εξαρτημένης

μεταβλητής.

3. Με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace παίρνουμε την

χρονική συνάρτηση της εξαρτημένης μεταβλητής.

3.1.1 Παράδειγμα 1: πραγματικοί πόλοι

Να λυθεί η Διαφορική Εξίσωση d2x(t)dt2

+ 3dx(t)dt

+ 2x(t) = 0 για αρχικές

συνθήκες x(0) = 1, dx(0)dt

= 0.

Με τη βοήθεια των πινάκων βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace της

Διαφορικής Εξίσωσης

L {d2x(t)

dt2}+ 3L {dx(t)

dt}+ 2L {x(t)} = 0

⇒ s2X(s)− sx(0)− dx(0)dt

+ 3sX(s)− 3x(0) + 2X(s) = 0.

Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες έχουμε

s2X(s)− s+ 3sX(s)− 3 + 2X(s) = 0, (17)

που μας δίνει τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης. Από την

(17) βρίσκουμε την έκφραση του μετασχηματισμού Laplace της εξαρτημένης

9


μεταβλητής

X(s) =s+ 3

(s2 + 3s+ 2). (18)

Χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ονομάζουμε το πολυώνυμο

του παρανομαστή το οποίο είναι ίσο με το μηδέν.

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής μας δίνουν τους πόλους του συστήμα-

τος.

Οι ρίζες του αριθμητή ονομάζονται μηδενικά του συστήματος.

Για να χρησιμοποιήσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace θα πρέ-

πει να απλοποιήσουμε την εξαρτημένη μεταβλητή (18). Αναλύουμε λοιπόν το

κλάσμα μας σε μερικά κλάσματα και έχουμε

X(s) =s+ 3

(s+ 1)(s+ 2)=

k1s+ 1

+k2

(s+ 2),

από όπου με απλές αλγεβρικές πράξεις βρίσκουμε ότι k1 = 2, k2 = −1, και ηεξαρτημένη μεταβλητή γίνεται

X(s) =2

s+ 1− 1s+ 2

.

΄Ετσι, με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace έχουμε τη

λύση της Διαφορικής Εξίσωσης

x(t) = 2e−t − e−2t, t ≥ 0. (19)

3.1.2 Παράδειγμα ΙΙ: μιγαδικοί πόλοι

Να λυθεί η Διαφορική Εξίσωση d2x(t)dt2

+ 2dx(t)dt

+ 5x(t) = 3 για αρχικές

συνθήκες x(0) = 0, dx(0)dt

= 0.

Με τη βοήθεια των πινάκων βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace της

Διαφορικής Εξίσωσης

L {d2x(t)

dt2}+ 2L {dx(t)

dt}+ L {5x(t)} = L {3}

⇒ s2X(s)− sx(0)− dx(0)dt

+ 2sX(s)− 2x(0) + 5X(s) = 3s.

10



s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) =3

s, (20)

που μας δίνει τον μετασχηματισμό Laplace της Διαφορικής Εξίσωσης.

Από την (20) βρίσκουμε την έκφραση του μετασχηματισμού Laplace της

εξαρτημένης μεταβλητής

X(s) =3

s(s2 + 2s+ 5), (21)

και παρατηρούμε ότι η χαρακτηριστική της έχει μία πραγματική ρίζα s1 = 0 και

δύο μιγαδικές ρίζες s2,3 = −1± 2j.Για να χρησιμοποιήσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace θα πρέ-

πει να απλοποιήσουμε την εξαρτημένη μεταβλητή (21). Αναλύουμε λοιπόν το

κλάσμα μας σε μερικά κλάσματα και έχουμε

X(s) =3

s(s2 + 2s+ 5)=k1s

+k2s+ k3

(s2 + 2s+ 5),

από όπου με απλές αλγεβρικές πράξεις βρίσκουμε ότι k1 = 35 , k2 = −35, k3 = −65 ,

και η εξαρτημένη μεταβλητή γίνεται

X(s) =3

5s− 3s+ 6

5(s2 + 2s+ 5).

Τέλος, με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace έχουμε τη

λύση της Διαφορικής Εξίσωσης

x(t) =3

5(1− e−t cos 2t− 1

2e−t sin t), t ≥ 0. (22)

3.2 Η συνάρτηση μεταφοράς γραμμικού συστήμα-

τος

Ως συνάρτηση μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος με σταθερούς παραμέ-

τρους ονομάζουμε τον λόγο του μετασχηματισμού Laplace της μεταβλητής εξό-

11


δου ως προς τον μετασχηματισμό Laplace της μεταβλητής εισόδου του συστή-

ματος όταν το σύστημα θεωρηθεί αρχικά σε ηρεμία (όλες οι αρχικές συνθήκες

θεωρούνται ίσες με το μηδέν).

Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει πλήρως τη δυναμική συμπεριφορά του

συστήματος στο οποίο αναφέρεται. Το μειονέκτημα της είναι ότι δεν περιέχει

πληροφορίες σχετικές με την εσωτερική δομή του συστήματος και τις διάφο-

ρες εσωτερικές μεταβλητές (δηλαδή τις επιμέρους συνιστώσες και τον τρόπο

αλληλεπίδρασης τους).

Το κύριο πλεονέκτημα της ανάλυσης στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας

(με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace) είναι η ταχύτητα και η ευκολία

ανάλυσης της δυναμικής απόκρισης και η απάντηση σε ζητήματα που σχετίζονται

άμεσα με την απόλυτη και σχετική ευστάθεια του συστήματος.

3.2.1 Παράδειγμα: Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς X(s)R(s)

της Διαφορικής Εξίσωσης d2x(t)dt2

+ 3dx(t)dt

+ 2x(t) = R(t) για

αρχικές συνθήκες x(0) = 0, dx(0)dt

= 0

Με τη βοήθεια των πινάκων βρίσκουμε τον μετασχηματισμό Laplace της Δια-

φορικής Εξίσωσης

L {d2x(t)

dt2}+ 3L {dx(t)

dt}+ 2L {x(t)} = 0

⇒ s2X(s)− sx(0)− dx(0)dt

+ 3sX(s)− 3x(0) + 2X(s) = R(s).


s2X(s) + 3sX(s) + 2X(s) = R(s), (23)

από όπου έχουμεX(s)

R(s)=

1

s2 + 3s+ 2(24)

12


4 Απόκριση συστήματος μέτρησης

Απόκριση συστήματος ονομάζουμε την συμπεριφορά της εξόδου ενός συστή-

ματος σε σχέση με τις αλλαγές που γίνονται στην είσοδο του.

΄Οταν η μεταβολή του σήματος εισόδου είναι μοναδιαία βηματική ή κρουστι-

κή συνάρτηση ή ένα σήμα ράμπας ή αναρρίχησης τότε μελετάμε την χρονική

απόκριση του συστήματος. ΄Οταν το σήμα είναι μια περιοδική συνάρτηση που

μεταβάλλεται συνεχώς με το χρόνο τότε μελετάμε το σύστημα ως προς την

απόκριση της συχνότητας.

΄Ενα σύστημα μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια διαφορικών εξισώσεων

της μορφής (4), όπου f(t) είναι η διέγερση του συστήματος.

4.1 Σύστημα μηδενικής τάξης

Αν στην (4) κρατήσουμε τον μηδενικό όρο και την διέγερση έχουμε ένα σύ-

στημα μηδενικής τάξης και το οποίο δίνεται από τη σχέση

a0x = f(t). (25)

΄Ενα σύστημα μηδενικής τάξης δεν παρουσιάζει καθυστέρηση στην έξοδο του.

4.2 Σύστημα Πρώτης τάξης

Αν στην (4) κρατήσουμε μέχρι και τον πρώτο όρο έχουμε ένα σύστημα πρώτης

τάξης και το οποίο δίνεται από τη σχέση

a1dx

dt+ a0x = f(t). (26)

μέσω του μετασχηματισμού Laplace το σύστημα περιγράφεται από την σχέση:

H(s) =1

a1s+ a0=

K

τs+ 1, (27)

όπου K η στατική ευαισθησία του συστήματος ή το κέρδος σταθερής κατάστα-

σης, δηλαδή η σταθερή τιμή που θα αποκτήσει το σύστημα σε συνάρτηση με

την τιμή εισόδου.

13


Τα συστήματα πρώτης τάξης είναι συστήματα που περιλαμβάνουν χωρητι-

κότητα όπως μια δεξαμενή ρευστού και την αντίσταση του συστήματος των

σωληνώσεων στο οποίο κυκλοφορεί το νερό ή ένα χαμηλοπερατό φίλτρο RC.

4.3 Συστήματα δεύτερης τάξης

Αν στην (4) κρατήσουμε μέχρι και τον δεύτερο όρο έχουμε ένα σύστημα δεύ-

τερης τάξης και το οποίο δίνεται από τη σχέση

a2d2x

dt2+ a1

dx

dt+ a0x = f(t). (28)

μέσω του Laplace το σύστημα περιγράφεται από την σχέση:

H(s) =Kω2n

s2 + 2ζωns+ ω2n, (29)

όπου ζ ο συντελεστής απόσβεσης του συστήματος, ω η φυσική συχνότητα

(ιδιοσυχνότητα) του συστήματος και K η στατική ευαισθησία του.

5 Ασκήσεις

1. Να γραμμικοποιήσετε τα παρακάτω συστήματα γύρω από το σημείο t = 0

και να κάνετε την σύγκριση μεταξύ του συστήματος και της γραμμικο-

ποίησης του:

(αʹ) x(t) = A sin(t).

(βʹ) x(t) = t3.

(γʹ) x(t) = (t− 1)2 sin(t).

2. Να λύσετε τις παρακάτω Διαφορικές Εξισώσεις με τη βοήθεια του μετα-

σχηματισμού Laplace:

(αʹ) ẍ(t)− 5ẋ(t) + 6x(t) = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 5.

(βʹ) ẍ(t)− 6ẋ(t) + 8x(t) = t2 − 1, x(0) = 1, ẋ(0) = −2

(γʹ) ẍ(t) + 4x(t) = t sin(2t) + (t2 − 1) cos(2t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0.

14


3. Να βρείτε την συνάρτηση μεταφοράς X(s)R(s)των παρακάτω Εξισώσεων:

(αʹ) ẍ(t)− 5ẋ(t) + 6x(t) = R(t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0

(βʹ) ẍ(t)− 6ẋ(t) + 8x(t) = R(t), x(0) = 1, ẋ(0) = −2

(γʹ) ẍ(t) + 4x(t) = R(t), x(0) = 0, ẋ(0) = 0.

4. Μελετήστε την χρονική απόκριση ενός συστήματος πρώτης τάξης.

5. Μελετήστε την απόκριση συχνότητας συστήματος πρώτης τάξης.

6. Για το σύστημα πρώτης τάξης

H(s) =32

4s+ 2, (30)

να υπολογιστεί ο συντελεστής ενίσχυσης και η σταθερά χρόνου.

7. Να αναπτύξετε την εξίσωση μιας δεξαμενής για την οποία ενώ το σύστημα

βρίσκεται σε ισορροπία εισάγουμε 500lb αέριο το οποίο προκαλεί μετά από

χρόνο 20min αύξηση της θερμοκρασίας κατά 50oC.

8. Μελετήστε την χρονική απόκριση ενός συστήματος δεύτερης τάξης.

9. Μελετήστε την απόκριση συχνότητας συστήματος δεύτερης τάξης.

10. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόσβεσης, η μέγιστη υπερύψωση που

παρουσιάζει στην έξοδο του επί τοις εκατό καθώς και ο χρόνος αποκατά-

στασης για απόκλιση από την πραγματική τιμή κατά 2% για το σύστημα

με συνάρτηση μεταφοράς

H(s) =900

s2 + 30s+ 900. (31)

15

Documents

PeiramatikŁc MŁjodoi kai Metrhtik€ Teqnolog—a Di‹lexh IV · Panepist€mio Dutik€c Makedon—ac Tm€ma Mhqanolìgwn Mhqanik‚n PeiramatikŁc MŁjodoi kai Metrhtik€ Teqnolog—a