Upload
phamhanh
View
226
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
PELABELAN GRACEFUL DAN KONSEKUTIF
PADA GRAF LINTASAN Pn
Ramdhan Fazrianto Suwarman
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI
SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2010 M / 1431 H
i
PELABELAN GRACEFUL DAN KONSEKUTIF
PADA GRAF LINTASAN Pn
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh :
Ramdhan Fazrianto Suwarman
106094003173
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2010 M / 1431 H
ii
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi berjudul “PELABELAN GRACEFUL DAN KONSEKUTIF PADA
GRAF LINTASAN Pn” yang ditulis oleh Ramdhan Fazrianto Suwarman, NIM
106094003173 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam Sidang Munaqosyah Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari
Selasa, 31 Agusuts 2010. Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk
memperoleh gelar sarjana Strata Satu (S1) Program Matematika.
Menyetujui,
Penguji 1,
Taufik E. Sutanto, M.ScTech.
NIP. 19790530 200604 1 002
Pembimbing 1,
Yanne Irene, M.Si.
NIP. 19741231 200501 2 018
Penguji 2,
Gustina Elfiyanti, M.Si.
NIP. 19820820 200901 2 006
Pembimbing 2,
Nur Inayah, M.Si.
NIP. 19740125 200312 2 001
Mengetahui,
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
DR. Syopiansyah Jaya Putra, M. Sis.
NIP. 1968017 200112 1 001
Ketua Program Studi Matematika
Yanne Irene, M.Si.
NIP. 19741231 200501 2 018
iii
PERNYATAAN
DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR
HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI
SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU
LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, Agustus 2010
Ramdhan Fazrianto Suwarman
106094003173
iv
PERSEMBAHAN
Kupersembahkan
teruntuk Mamah dan Papah
Orang yang paling kucintai di dunia
Terima kasih atas segalanya …
v
ABSTRAK
Sebuah graf sederhana G = (V, E) dengan n titik dan m sisi dikatakan
graceful, apabila graf G tersebut dapat dilabeli dengan pemetaan bijektif f : V(G) →
{1, 2, … , n} dan g : E(G) → {1, 2, … , m}, dengan kondisi label setiap sisi
merupakan selisih antara label pada dua titik ujungnya. Lebih lanjut, sebuah graf
sederhana G = (V, E) dengan n titik dan m sisi yang dapat dilabeli dengan pemetaan
bijektif λ : V(G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, … , n + m}, dengan kondisi sama seperti
pelabelan graceful, maka graf G tersebut dikatakan konsekutif.
Pada skripsi ini, akan dikaji tentang pelabelan graceful dan konsekutif pada
graf lintasan Pn untuk n ≥ 3.
Kata kunci : Pelabelan Graceful, Pelabelan Konsekutif, Graf Lintasan.
vi
ABSTRACT
A simple graph G = (V, E) with n vertices and m edges called graceful, if that graph
G can labeled with a bijection f : V(G) → {1, 2, … , n} and g : E(G) → {1, 2, … , m},
with condition label on any edge equals the difference between the labels of the two
endpoints. Furthermore, a simple graph G = (V, E) with n vertices and m edges which
can labeled with a bijection λ : V(G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, … , n + m} with condition
same with graceful labeling, so that graph G called consecutive.
In this thesis, examined graceful labeling and consecutive labeling on path
graph Pn for n ≥ 3.
Keywords : Graceful Labeling, Consecutive Labeling, Graph Path.
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji hanyalah milik Allah S.W.T., karena Dia-lah Tuhan Yang Maha
Esa, terhatur pula segala syukur kepada-Nya, karena atas segala nikmat-Nya lah
penulis dapat menyelesaikan tulisan ini yang berjudul, “PELABELAN GRACEFUL
DAN KONSEKUTIF PADA GRAF LINTASAN Pn” dengan baik.
Penulis menyadari bahwa penyelesaian tulisan ini tidak terlepas pula dari
untaian do’a, dukungan, dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada
kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. DR. Syopiansyah Jaya Putra, M.Sis., selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
2. Yanne Irene, M.Si., selaku Ketua Program Studi (Prodi) Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta serta
selaku Pembimbing 1 untuk semua waktu, semangat, nasehat, bimbingan,
dan ilmu yang telah diberikan kepada Penulis.
3. Nur Inayah, M.Si., selaku Pembimbing II untuk segala waktu, semangat,
nasehat, bimbingan, dan ilmunya yang telah diberikan kepada Penulis.
4. Taufik E. Sutanto, M.ScTech., selaku pembimbing akademik serta seluruh
dosen dan staf Prodi Matematika untuk semua waktu, saran, ilmu, dan
motivasinya.
viii
5. Mamah dan Papahku tercinta, adik-adik kecilku tersayang, Resty dan
Annisa, serta seluruh keluarga besar Penulis, untuk semua do’a,
bimbingan, dan semangatnya.
6. Anas, Reza, Upeh, Niken, Dwi, Zikri, Farah, Catur, Ela, Vivi, Mahmudi,
Karima, Shilah, dan seluruh sahabat 2006 yang selalu memotivasi Penulis
untuk segera menyelesaikan skripsinya.
7. Yunita kembaran Yuli, atas semua do’a, saran, dan ide “25 hari mengejar
skripsi”, serta seluruh kakak angkatan dan adik angkatan Matematika.
8. Devi, Yasa, Gunawan, Lukman, dan semua anggota 3th generation kelas
Puji Syukur SMA Insan Kamil Bogor, atas semua inspirasi dan candanya.
9. Seluruh sahabat dimanapun kalian berada yang tidak dapat disebutkan
satu per satu, untuk semua do’a, dukungan, candanya.
Semoga pada akhirnya tulisan ini dapat memberikan manfaat dan konstribusi
yang berarti untuk siapapun dan dimanapun. Semoga pula kita senantiasa selalu
dalam Lindungan-Nya dan menghadap kepada-Nya dalam keadaan khusnul
khotimah. Amin.
Jakarta, Agustus 2010
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
PENGESAHAN UJIAN ............................................................................... ii
PERNYATAAN ............................................................................................ iii
PERSEMBAHAN ......................................................................................... iv
ABSTRAK .................................................................................................... v
ABSTRACT .................................................................................................. vi
KATA PENGANTAR .................................................................................. vii
DAFTAR ISI ................................................................................................. ix
DAFTAR GAMBAR .................................................................................... xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................ 1
1.1. Latar Belakang ........................................................... 1
1.2. Permasalahan ............................................................. 3
1.3. Pembatasan Masalah .................................................. 3
1.4. Tujuan Penulisan ....................................................... 3
1.5. Manfaat Penulisan ..................................................... 3
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................... 4
2.1. Definisi Graf .............................................................. 4
2.2. Jalan, Lintasan, dan Lintasan Tertutup ...................... 5
2.3. Graf Terhubung ......................................................... 6
2.4. Jenis – Jenis Graf ....................................................... 7
2.5. Pemetaan .................................................................... 10
BAB III PELABELAN GRAF .......................................................... 12
3.1. Definisi Pelabelan Graceful ....................................... 13
3.2. Definisi Pelabelan Konsekutif ................................... 14
3.3. Graf Lintasan ............................................................. 15
x
BAB IV PELABELAN GRACEFUL DAN KONSEKUTIF
PADA GRAF LINTASAN Pn ............................................. 17
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................ 24
5.1. Kesimpulan ................................................................ 24
5.2. Saran .......................................................................... 24
REFERENSI ................................................................................................ 25
xi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1. Tujuh Jembatan yang Melintasi Sungai Pregel ....................... 1
Gambar 2.1. Graf .......................................................................................... 4
Gambar 2.2. Graf G ...................................................................................... 6
Gambar 2.3. (a) Graf Terhubung (b) Graf Tak-Terhubung .......................... 7
Gambar 2.4. Graf Sederhana ........................................................................ 7
Gambar 2.5. Graf Ganda .............................................................................. 8
Gambar 2.6. Graf Semu ................................................................................ 8
Gambar 2.7. Graf Berarah ............................................................................ 9
Gambar 2.8. Pemetaan Injektif ..................................................................... 10
Gambar 2.9. Pemetaan Surjektif .................................................................. 11
Gambar 2.10. Pemetaan Bijektif .................................................................... 11
Gambar 3.1. Kubus Stewart ......................................................................... 12
Gambar 3.2. (a) Pelabelan titik (b) Pelabelan total ...................................... 13
Gambar 3.3. Pelabelan Graceful .................................................................. 14
Gambar 3.4. Pelabelan Konsekutif ............................................................... 15
Gambar 3.5. Graf Lintasan ........................................................................... 16
Gambar 4.1. Graf Lintasan ........................................................................... 17
Gambar 4.2. Pelabelan Graceful .................................................................. 17
Gambar 4.3. Contoh Pelabelan Graceful ...................................................... 20
Gambar 4.4. Contoh Pelabelan Konsekutif .................................................. 23
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Pada awal abad ke-18 terdapat tujuh buah jembatan yang melintasi Sungai
Pregel di sebelah Timur Kota Prussian Koningsberg (sekarang Kaliningrad).
Dikatakan bahwa terdapat beberapa warga yang mencoba menyeberangi setiap
jembatan tersebut dari sebuah rumah dan kembali ke rumah tersebut dengan hanya
menyebrangi setiap jembatan-jembatan tersebut tepat sekali.
Gambar 1.1. Tujuh jembatan yang melintasi Sungai Pregel
Setelah beberapa waktu, mereka mulai beranggapan bahwa pekerjaan itu
tidaklah mungkin, sehingga mereka bertanya kepada Euler bahwa apakah hal
tersebut mungkin terjadi. Kemudian Euler membuktikan bahwa hal tersebut
tidaklah mungkin. Pembuktian dari kejadian inilah yang dijadikan sebagai
permulaan dari Teori Graf [2].
1
2
Teori Graf merupakan cabang sains yang berkembang sangat pesat [13],
teori graf sendiri saat ini menjadi topik yang banyak mendapat perhatian , karena
model-modelnya yang berguna untuk aplikasi yang luas, seperti masalah dalam
jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, dan riset operasi [3]. Teori graf
juga banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, antara lain pada rute
perjalanan, penjadwalan, dan jaringan listrik [15].
Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam teori graf. Secara umum
objek kajiannya merupakan graf yang direpresentasikan oleh titik, sisi, dan
himpunan bagian bilangan asli yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
oleh Sadlack (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970). Hingga
saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, terutama
pada sektor sistem komunikasi dan transportasi, navigasi geografis, radar,
penyimpanan data komputer, dan desain integrated circuit pada komponen
elektronik.
Pelabelan merupakan pemetaan bijektif yang memetakan unsur himpunan
titik dan atau unsur himpunan sisi ke bilangan asli yang disebut label. Hingga kini
dikenal beberapa jenis pelabelan pada graf, antara lain pelabelan graceful,
pelabelan harmoni, pelabelan ajaib, pelabelan anti-ajaib, dan pelabelan total tak
beraturan. Dalam perkembangan terdapat pelabelan konsekutif, yaitu pelabelan
yang di dapat dari pengembangan pelabelan graceful [3].
Beberapa paper yang mengkaji pelabelan graceful dan konsekutif telah
dipublikasikan. Wijaya [17] mengkaji pelabelan konsekutif pada graf sikel dan
3
graf bipartit komplit, Wulandari dan Wijaya yang mengkaji Pelabelan konsekutif
pada graf-graf pohon [18], Chairul Imron yang mengkaji pelabelan graceful dan
konsekutif pada graf tangga, Husnul Hotimah yang mengkaji pelabelan graceful
pada graf bipartisi lengkap. Pada penulisan ini, penulis melakukan kajian
pelabelan graceful dan konsekutif pada graf lintasan Pn.
1.2. Permasalahan
Permasalahan yang dibahas dalam penulisan ini adalah penentuan
pelabelan graceful dan konsekutif pada graf lintasan Pn.
1.3. Pembatasan Masalah
Pembatasan masalah pada penulisan ini adalah pelabelan graceful
dan konsekutif yang dilakukan pada graf lintasan Pn dengan n ≥ 3.
1.4. Tujuan Penulisan
Penulisan ini bertujuan untuk mendapatkan bentuk umum dari
pelbelan graceful dan konsekutif pada graf lintasan Pn.
1.5. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan ini adalah untuk mempercepat waktu
pelabelan graceful dan konsekutif pada graf lintasan Pn.
4
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1. Definisi Graf
Menurut [2], secara sederhana graf merupakan kumpulan titik, yang
dihubungkan oleh sisi diantara titik tersebut.
Gambar 2.1. Graf
Graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dengan V adalah himpunan tak
kosong dan E (mungkin kosong) adalah himpunan pasangan tak terurut dari
elemen-elemen V. Elemen-elemen dari V disebut titik dari G. Sedangkan elemen-
elemen dari E disebut sisi dari G. Himpunan titik dari G dinotasikan V(G),
himpunan sisi dari G dinotasikan E(G).
Graf diatas memiliki 5 titik, yaitu v1, v2, v3, v4, v5 dan 3 sisi, yaitu v1v2,
v1v3, v4v5. Setiap sisi yang menghubungkan suatu titik u dengan dirinya sendiri
disebut loop. Jika dua atau lebih sisi yang menghubungkan dua titik yang sama,
sisi tersebut disebut sisi ganda.
v1 v2
v3
v4 v5
e1
e3
e2
4
5
Menurut [12], dalam mempelajari graf, terdapat beberapa istilah dasar
yang familiar dengan graf. Berikut beberapa istilah yang sering dipakai:
a. Tetangga, Menempel, dan Titik Ujung
Dua titik u dan v dalam sebuah graf tak berarah G disebut
tetangga di dalam G jika uv merupakan sebuah sisi di G. Jika e = uv,
sisi e tersebut disebut menempel dengan titik u dan v. Jika sisi e
menghubungkan titik u dan v. Titik u dan v disebut titik ujung dari sisi
e.
Pada Gambar 2.1. v1 bertetangga dengan v2 tetapi tidak
bertetangga dengan v5, dan e3 menempel pada v4 dan v5, sedangkan v4
dan v5 merupakan titik ujung dari e3.
b. Derajat
Derajat sebuah titik pada suatu graf tak berarah merupakan
jumlah dari sisi yang menempel terhadapnya, kecuali loop yang
dihitung 2 pada titik tersebut. Derajat dari sebuah titik v dinotasikan
sebagai d(v). Pada Gambar 2.1. d(v1) = 2 dan d(v4) = 1.
2.2. Jalan, Lintasan, dan Lintasan Tertutup
Jalan pada graf G = (V, E) merupakan sebuah barisan titik-titik
v0, v1,…, vk ∈ V Sedemikian sehingga vi-1vi adalah sisi di G untuk setiap
i = 1, …, k. Dengan kata lain, jalan berawal dari v0 sampai vk. Jalan yang
6
semua titiknya berbeda disebut lintasan, dan jika seluruh titik-titiknya
berbeda kecuali v0 = vk, maka jalan tersebut dinamakan lintasan tertutup.
Gambar 2.2. Graf G
Pada Graf di atas, 5 – 3 – 4 – 5 – 1 – 2 merupakan jalan tetapi
bukan merupakan lintasan ataupun lintasan tertutup. Kemudian jalan 5 – 1
– 4 – 3 – 2 merupakan lintasan, dan ketika jalan 5 – 1 – 4 – 5 maka akan
menjadi lintasan tertutup.
2.3. Graf Terhubung
Sebuah graf G = (V, E) disebut graf terhubung, jika untuk setiap
pasang titik u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v. Jika
tidak, maka graf G tersebut disebut graf tak terhubung. Graf yang hanya
terdiri atas satu titik saja (tanpa sisi) tetap dikatakan terhubung, karena
titik tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri.
1
2
3
4 5
7
Gambar 2.3. (a) Graf Terhubung (b) Graf Tak-Terhubung
2.4. Jenis-jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori atau jenis
bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Menurut [12], berdasarkan
ada tidaknya loop atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat
digolongkan menjadi tiga jenis:
1. Graf sederhana
Sebuah graf G = (V, E) merupakan graf sederhana apabila graf
tersebut tidak memiliki sisi ganda maupun loop.
Gambar 2.4. Graf Sederhana
(a) (b)
v1 v2 v4 v3 v5
v1 v2 v4 v3 v5
v6 v7 v9 v8 v10
Graf G Graf H
8
2. Graf Ganda
Sebuah graf G = (V, E) merupakan graf ganda apabila graf tersebut
memiliki sisi ganda.
Gambar 2.5. Graf Ganda
3. Graf Semu
Sebuah graf G = (V, E) merupakan graf semu apabila graf tersebut
memiliki loop termasuk apabila graf tersebut memiliki sisi ganda.
Gambar 2.6. Graf Semu
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dapat
dikelompokkan menjadi dua jenis:
9
1. Graf Tak-Berarah
Graf tak-berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai
orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang
dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, uv = vu adalah sisi yang
sama.
2. Graf Berarah
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi
arah. Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah sisi yang
berbeda, dengan kata lain (u,v) ≠ (v,u). Untuk sisi (u,v), simpul u
dinamakan titik asal dan simpul v dinamakan titik terminal. Pada graf
berarah, loop diperbolehkan, tetapi sisi ganda tidak diperbolehkan.
Gambar 2.7. Graf Berarah
e1
e2 e4
e2
10
2.5. Pemetaan
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara
atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu
elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B.
Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi 𝜆, yaitu: 𝜆 : A → B.
Selanjutnya himpunan A disebut sebagai daerah asal dan himpunan B
disebut daerah kawan.
Secara umum, pemetaan dapat digolongkan menjadi 3 golongan sebagai
berikut :
1. Pemetaan Injektif (Pemetaan Satu-satu)
Sebuah pemetaan dikatakan pemetaan injektif, jika dan hanya jika
𝜆 𝑥 = 𝜆(𝑦) mengantarkan kepada x = y untuk setiap x dan y pada domain
𝜆. Secara matematika dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜆 : A → B satu-satu ↔ ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝜆 𝑥 = 𝜆 𝑦 → 𝑥 = 𝑦
Gambar 2.8. Pemetaan Injektif
a
b
c
d
1
2
3
4
5
A B
11
2. Pemetaan Surjektif (Pemetaan Pada)
Sebuah pemetaan dari A ke B disebut dengan pemetaan surjektif,
jika dan hanya jika untuk setiap elemen b ∈ 𝐵 maka akan terdapat emelen
a ∈ 𝐴 dengan 𝜆 𝑎 = 𝑏. Secara matematika dapat ditulis
𝜆 : A → B pada ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵, ∃ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝜆 𝑎 = 𝑏
Gambar 2.9. Pemetaan Surjektif
3. Pemetaan Bijektif (Pemetaan Korespondensi Satu-Satu)
Sebuah pemetaan yang memenuhi pemetaan injektif dan surjektif
dinamakan pemetaan bijektif (korespondensi satu-satu). Setiap domain
akan berkorespondensi secara unik ke elemen kodomain dan sebaliknya.
Gambar 2.10. Pemetaan Bijektif
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
A B
12
BAB III
PELABELAN GRAF
Pelabelan pada suatu graf merupakan pemetaan yang memasangkan setiap
titik, setiap sisi, ataupun keduanya dengan bilangan bulat positif, dengan suatu
keadaan tertentu [4]. Jika domain dari pemetaan adalah himpunan titik maka
dinamakan pelabelan titik, serta jika pemetaan dilakukan dengan himpunan sisi
sebagai domain maka dinamakan pelabelan sisi dan jika pemetaan yang dilakukan
dengan domain titik dan sisi maka dinamakan pelabelan total [10].
Satu contoh terkenal pada pelabelan adalah pelabelan yang dilakukan oleh
Stewart pada sisi kubus. Perhatikan bahwa untuk setiap titik, penjumlahan sisi
yang insident terhadap titik tersebut bernilai 83. Terlebih lagi, label semua sisi
berbeda dan semuanya merupakan bilangan prima [4].
Gambar 3.1. Kubus Stewart
12
3
11
43 19
53 29
13
17 41
5
61 37
d
a
c
e f
h g
b
13
Pelabelan pada kubus yang dilakukan oleh Stewart diatas termasuk ke
dalam pelabelan sisi. Sedangkan untuk pelabelan titik dan total dapat dilihat pada
Gambar 3.2 di bawah ini.
Gambar 3.2. (a) Pelabelan Titik (b) Pelabelan Total
Pelabelan titik diatas merupakan pelabelan titik dengan kondisi
penjumlahan setiap titik yang berdekatan mempunyai beda 1 dengan penjumlahan
titik yang berdekatan berikutnya. Sedangkan pada pelabelan total diatas, kondisi
pelabelan yaitu penjumlahan label pada suatu titik dengan sisi yang insiden
terhadapnya mempunyai beda 1 dengan titik berikutnya.
3.1. Definisi Pelabelan Graceful
Sebuah graf sederhana G = (V, E) dengan n titik dan m sisi dikatakan
graceful, apabila graf G tersebut dapat dilabeli dengan pemetaan bijektif f : V(G)
→ {1, 2, … , n} dan g : E(G) → {1, 2, … , m}, dengan kondisi label setiap sisi
merupakan selisih antara label pada dua titik ujungnya.
v1
v2
v3
v4 v5
v6
v7
v1
v2
v3
2
3
4
7
6
5
1
3
2 1
4 5
6
(a) (b)
14
Menurut [4], jika sebuah graf tree mempunyai sebanyak n titik dan 𝑛 − 1
sisi. Maka jika dapat melabeli setiap titik pada tree tersebut dengan 1, 2, 3, …, n
dan setiap sisinya dengan 1, 2, 3, .., n – 1, dengan kondisi label setiap sisi
merupakan beda (selisih) dari dua titik ujungnya, maka graf tree tersebut
dinyatakan sebagai graceful.
Gambar 3.3. Pelabelan graceful
Pelabelan graceful dari graf tree dengan jumlah 9 titik, maka pelabelan
dilakukan dengan pelabelan titik adalah 1, 2, 3, .., 9 serta pelabelan sisi adalah
1, 2, 3, …, 8.
3.2. Definisi Pelabelan Konsekutif
Sebuah graf sederhana G = (V, E) dengan n titik dan m sisi dikatakan
konsekutif, apabila graf G tersebut dapat dilabeli dengan pemetaan bijektif
λ : V(G) ∪ E(G) → {1, 2, 3, … , n + m}, dengan kondisi label setiap sisi
merupakan selisih antara label pada dua titik ujungnya.
7
2 1
3
6
5
4
8
2 4
3
6
9
8
7
1 5
15
Jika setiap titik dan sisi pada graf tree diatas dapat dilabeli dengan
1, 2, 3, …, 2n – 1, dengan kondisi pelabelan sisi merupakan selisis dari label dua
titik ujungnya, maka graf tree tersebut dinyatakan sebagai kosekutif. Sebagai
contoh jika graf tree pada gambar 3.3 dapat dilabeli dengan pelabelan titik dan sisi
1, 2, 3, .., 17, maka graf tree tersebut disebut konsekutif.
Gambar 3.4. Pelabelan konsekutif
Dengan demikian, perbedaan antara pelabelan graceful dan pelabelan
konsekutif terletak pada himpunan asalnya.
3.3. Graf Lintasan
Graf lintasan Pn merupakan graf terhubung sederhana yang tediri dari path
tunggal. Graf lintasan dengan n titik memiliki n – 1 sisi. Graf lintasan Pn juga
merupakan tree dengan 2 titik berderajat satu, serta n – 2 titik berderajat dua. Graf
lintasan P1 sama dengan graf lengkap K1.
3 1
2
4 7
6
11 10
9
8
12
14
17
16
15
5 13
16
Gambar 3.5. Graf Lintasan
P2 P3 P4 P5 P1
17
BAB IV
PELABELAN GRACEFUL DAN KONSEKUTIF
PADA GRAF LINTASAN Pn
Pelabelan graceful pada graf lintasan Pn dengan n titik, maka pelabelan
akan dilakukan dengan melabeli titik dengan 1, 2, 3, …, n dan melabeli sisi
dengan 1, 2, 3, …, n – 1. Label sisi merupakan selisih dari titik ujungnya.
Gambar 4.1. Graf lintasan
Secara umum pelabelan graceful pada graf lintasan Pn dengan n titik dapat
dituliskan sebagai berikut:
Gambar 4.2. Pelabelan graceful
Teorema berikut menunjukkan bahwa graf lintasan Pn dapat dituliskan
sebagai berikut:
v1 v2 v3 ⋯ vn – 1 vn
v1v2
v n – 1vn
v2v3
v1 v2 v3 ⋯ vn – 1 vn
|v1 – v2|
|v n – 1 – vn|
|v2 – v3|
17
18
Teorema 4.1. Graf lintasan Pn adalah graceful untuk n ganjil.
Bukti :
Definisikan label untuk titik – titik dari graf lintasan Pn sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut :
𝑓1 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 = 𝑛 − 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan Pn dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1. Akan
dibuktikan bahwa 𝑓 𝑣𝑖 − 𝑓 𝑣𝑖+1 = |𝑛 − 𝑖| adalah benar.
a. 𝑛 − 𝑖−1
2 − 1 +
𝑖−2
2 = 𝑛 −
𝑖−1
2 − 1 +
𝑖+1 −2
2
= 𝑛 − 𝑖
2+
1
2− 1 −
𝑖
2+
1
2
= |𝑛 − 𝑖|
b. 1 + 𝑖−2
2 − 𝑛 −
𝑖−1
2 = | 1 +
𝑖−2
2 − 𝑛 −
(𝑖+1)−1
2 |
= 1 +𝑖
2− 1 − 𝑛 +
𝑖
2
= 𝑖 − 𝑛 = |𝑛 − 𝑖|
𝑓1(𝑣𝑖) =
𝑛 − 𝑖 − 1
2 , 𝑖 = 1, 3, 5, … , 𝑛
1 + 𝑖 − 2
2 , 𝑖 = 2, 4, 6, … , 𝑛 − 1
19
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan Pn dengan n ganjil
merupakan graf graceful.
Teorema 4.2. Graf lintasan Pn adalah graceful untuk n genap.
Bukti :
Definisikan label untuk titik – titik dari graf lintasan Pn sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut :
𝑓2 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 = 𝑛 − 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan Pn dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1. Akan
dibuktikan bahwa 𝑓 𝑣𝑖 − 𝑓 𝑣𝑖+1 = |𝑛 − 𝑖| adalah benar.
a. 𝑛 − 𝑖−1
2 − 1 +
𝑖−2
2 = 𝑛 −
𝑖−1
2 − 1 +
𝑖+1 −2
2
= 𝑛 − 𝑖
2+
1
2− 1 −
𝑖
2+
1
2
= |𝑛 − 𝑖|
𝑓2(𝑣𝑖) =
𝑛 − 𝑖 − 1
2 , 𝑖 = 1, 3, 5, … , 𝑛 − 1
1 + 𝑖 − 2
2 , 𝑖 = 2, 4, 6, … , 𝑛
20
b. 1 + 𝑖−2
2 − 𝑛 −
𝑖−1
2 = | 1 +
𝑖−2
2 − 𝑛 −
(𝑖+1)−1
2 |
= 1 +𝑖
2− 1 − 𝑛 +
𝑖
2
= 𝑖 − 𝑛 = |𝑛 − 𝑖|
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan Pn dengan n genap
merupakan graf graceful.
Contoh pelabelan graceful
Gambar 4.3. Contoh Pelabelan Graceful
6 1
5
4
3
5
1
4
3
2
2
3 1
2
2
1
P3
4 1
3
3
2
1
2
P4
5 1
4
3
4
3
2
1
2
P5
P6
21
Teorema 4.3. Graf lintasan Pn adalah konsekutif untuk n ganjil.
Bukti :
Definisikan label untuk titik – titik dari graf lintasan Pn sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut :
𝑓3 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 = 𝑛 − 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan Pn dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1. Akan
dibuktikan bahwa 𝑓 𝑣𝑖 − 𝑓 𝑣𝑖+1 = |𝑛 − 𝑖| adalah benar.
a. (2𝑛 − 1) − 𝑖−1
2 − 𝑛 +
𝑖−2
2 = (2𝑛 − 1) −
𝑖−1
2 − 𝑛 +
𝑖+1 −2
2
= 2𝑛 − 1 −𝑖
2+
1
2− 𝑛 −
𝑖
2+
1
2
= |𝑛 − 𝑖|
b. 𝑛 + 𝑖−2
2 − (2𝑛 − 1) −
𝑖−1
2 = 𝑛 +
𝑖−2
2 − (2𝑛 − 1) −
(𝑖+1)−1
2
= 𝑛 +𝑖
2− 1 − 2𝑛 + 1 +
𝑖
2
= 𝑖 − 𝑛 = |𝑛 − 𝑖|
𝑓3(𝑣𝑖) =
2𝑛 − 1 − 𝑖 − 1
2 , 𝑖 = 1, 3, 5, … , 𝑛
𝑛 + 𝑖 − 2
2 , 𝑖 = 2, 4, 6, … , 𝑛 − 1
22
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan Pn dengan n ganjil
merupakan graf konsekutif.
Teorema 4.4. Graf lintasan Pn adalah konsekutif untuk n genap.
Bukti :
Definisikan label untuk titik – titik dari graf lintasan Pn sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut :
𝑓4 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 = 𝑛 − 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan Pn dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1. Akan
dibuktikan bahwa 𝑓 𝑣𝑖 − 𝑓 𝑣𝑖+1 = |𝑛 − 𝑖| adalah benar.
a. (2𝑛 − 1) − 𝑖−1
2 − 𝑛 +
𝑖−2
2 = (2𝑛 − 1) −
𝑖−1
2 − 𝑛 +
𝑖+1 −2
2
= 2𝑛 − 1 −𝑖
2+
1
2− 𝑛 −
𝑖
2+
1
2
= |𝑛 − 𝑖|
𝑓4(𝑣𝑖) =
2𝑛 − 1 − 𝑖 − 1
2 , 𝑖 = 1, 3, 5, … , 𝑛 − 1
𝑛 + 𝑖 − 2
2 , 𝑖 = 2, 4, 6, … , 𝑛
23
b. 𝑛 + 𝑖−2
2 − (2𝑛 − 1) −
𝑖−1
2 = 𝑛 +
𝑖−2
2 − (2𝑛 − 1) −
(𝑖+1)−1
2
= 𝑛 +𝑖
2− 1 − 2𝑛 + 1 +
𝑖
2
= 𝑖 − 𝑛 = |𝑛 − 𝑖|
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan Pn dengan n genap
merupakan graf konsekutif.
Contoh pelabelan konsekutif
Gambar 4.4. Contoh Pelabelan Konsekutif
5 3
4
2
1
P3
7 4
6
3
2
1
5
P4
9 5
8
7
4
3
2
1
6
P5
11 6
10
9
8
7
P6
5
1
4
3
2
24
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
Hasil utama dari penulisan ini adalah graf lintasan Pn untuk n ganjil dan n
genap merupakan pelabelan graceful dan konsekutif. Semua hasil tersebut
terdapat pada Teorema (4.1), (4.2), (4.3), dan (4.4).
5.2. Saran
Penulisan ini dapat dilanjutkan dengan mencari bentuk (pola) umum dari
pelabelan graceful atau konsekutif pada graf lintasan mPn ataupun pada kelas-kelas
graf lainnya, seperti graf bintang, graf kipas dan graf roda.
Lebih lanjut lagi penulisan ini dapat dilanjutkan dengan membuat suatu
aplikasi khusus untuk memeriksa apakah suatu graf dapat dilabeli secara graceful
maupun konsekutif untuk beberapa kelas graf.
25
REFERENSI
[1]. Anderson, Ian., A First Course in Discrete Mathematics. Springer.
London: 2001.
[2]. Chen, W.W.L., Discrete Mathematics. 1982.
[3]. Gafur, Abdul. Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, Graf
Komplit Bipartit dan Pelabelan Konsekutif Pada Graf Sikel dan Graf
Bipartit Komplit. Institut Teknologi Bandung.
[4]. Hartsfield, Nora., Ringer, Gerhard. Pearls in graph theory a
comprehensive introduction. Academic press: San Diego. 1990.
[5]. Hotimah, Husnul. Pelabelan Graceful pada Graf Bipartisi Lengkap Km,n.
UMN. 2006.
[6]. Imron, Chaerul. Pelabelan Graceful dan Konsekutif pada Graf Tangga.
ITS. 2009
[7]. Iqbal, Muhammad, Algoritma Pelabelan Total (a, d)-C3-antiajaib pada
Graf Kipas Fn.
[8]. Kurniawan, Dede, Aplikasi Pelabelan Total (a, d)-sisi-antiajaib pada graf
lingkaran Cn berbasis GUI. 2009.
[9]. Kusumawardhana, Marhadiasha., Aplikasi Teori Graf pada Analisis
Jejaring Sosial. ITB. Bandung: 2009.
[10]. Muntiani, Pelabelan Total Sisi Anti Ajaib Pada Graf 5 nP , 2007.
25
26
[11]. Purcell, Edwin J., Verberg, Dale, and Rigdon, Steven E., Kulkulus Jilid
1, Edisi Kedelapan. Penerbit Erlangga : Jakarta. 2003.
[12]. Rosen, Kenneth H., Discrete Mathematics and Its Applications, Fourth
Edition. McGraw-Hill Companies. 1998.
[13]. Suryadi, H.S., Teori Graf Dasar. Gunadarma. Jakarta: 1994.
[14]. Suryadi, H.S., Pengantar Teori dan Algoritma Graph Seri Diklat Kuliah.
Gunadarma. Jakarta:1993.
[15]. Susmikanti, Mike, Komputasi Komponen Terhubung dan Jalur Terpendek
dalam Algoritma Graf Paralel. Pusat Pengembangan Informatika
Teknologi Nuklir, BATAN, 2006
[16]. Weisstein, Eric W., “Path Graph.” From Math World—A Wolfram Web
Recource. http://mathworld.wolfram.com/PathGraph.html
[17]. Wijaya K., Pelabelan Konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartit
Komplit, Jurnal ILMU DASAR vol.5.1:1-7, 2004.
[18]. Wulandari D., Wijaya K., Pelabelan Konsekutif Pada Graf-graf Pohon.
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika.