Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Pelabelan Product Cordial Gabungan Salinan di antara Graf
Helm dan Graf Helm Tertutup
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1
Disusun oleh
Irfan Setiawan
11610049
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2015
e,J Universitas lstam Negeri Sunan Kaliiaga narrF-',- FM-UTNSK-BM-O5-o3/RO
Hal : Persetujuan Skipsi
Lamp : -
Kepada
Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Sunan Kalijag Yogyakaft
di Yogyakarta
Assalamu?laikum wr. wb.
Setelah membaca, rneneliti, mernberikan petunjuk dan rnengoreKi serta mengadakan perbailon
seperlunya, malo lomi selaku pernbimbing berpendapat bahwa skipsi Saudara:
Nama
NIM
: Irfan Setiawan
:1161ffi49
Judul Skipsi .: Pdabelan Wrct@rdialGabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm
Teftrtup
sudah dapat dhjukan kembali kepada Prcgram Studi llatematika Fafultas Sains dan Teknologi UIN Sunan
lGluaga Yogtrakafta sebagai sahh sall qarat untuk memperoleh gelar Safiana Sffi Satu datam Program
Studi MatemaUka Fakullas Sains dan Teknologi.
Dengan ini kami mengharap agar skipsi/trgas akhir Saudam tersebut di atas dapat segera
dimunaqosrphlon. Atas perhatiannya kami ucapkan terima losih.
Wasslamu'alaikum wn wb.
Yogyakarta, 12 Mei 2015
Dra. Khurul Warpati, M.Si.
NIP. 19650731 200003 2 001
I
..'.J Universitas lslam Negeri Sunan Kaliiaga,4. *fA'r CERTt-E'"- Flrl -UI NSK-BM-O5-O3/ RO
Hal : Persetujuan Skipsi
Lamp : -
Kepada
Yth. Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Sunan lGlijag Yogryrakarta
di Yogyakarta
Asglamu'alakum wr. wb.
Setelah membaca, meneliti, mernberikan petunjuk dan mengoreksi serta mengadakan perbaikan
seperlunya, malo lomi sdalar pembimbing berpendapat bahwa skipsi Saudam:
Nama
NIM
: Irfan Setiawan
:1151ffi219
Judul Skipsi .: Pelabelan Wuct@rdial@bungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm
TerhrUp
sudah dapat diajulon kembali kepada Program Sh.rdi MatemaUka Fal(ljltas Sains dan Teknologi UIN Sunan
KalUaga YogryElGrta sebagai salah saUJ qBrat untrk memperoleh gelar Sarjana Strata Satu dalam Program
S[rdi MatemaUka Fakultas Sains dan Tetnologi.
Dengan ini kami mengharap agar skipsi/tugas akhir Saudar:a tersebut di atas dapat segenr
dimunaqsyahkan. Atas perhaUannya kami ucapkan terima kasih.
Wassbmu'abikum wr. wb.
Yogyakarta, 12 lvlei 2015
PAbins rr_*t ..={,--V-\Y
Ptuehammad Abrori, S.Si., M.Kom.
NrP. L9720423 199903 1 003
iii
SURAT PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama
NIM
Irfan Setiawan
11610049
Prodi/Smt : Maternatika/ VIII
Fakultas Sains dan Teknologr
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang berjudul "Pelabelan
Prodttct Cordial Gabungan Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm
Tertr.ttup" adalah benar-benar hasil karya sendiri melainkan bukan jiplakan,
kecuali jika dalam pengutipan substansi disebutkan sumbernya dalam daftar
pustaka dan setrianjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya dalam tugas
akhir yang pernah ditulis oleh orang lain.
Yogyakarta, 18 Mei 2015
Yang menyatakan,
NrM.11610049
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Saya mempersembahkan karya ini untuk
almamater tercinta Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga,
kedua orang tua tercinta
dan semua pihak yang telah mengerahkan segala bantuannya.”
vii
HALAMAN MOTTO
“Janganlah kamu bersikap lemah,
dan jangan pula kamu bersedih hati,
padahal kamulah orang-orang yang paling tinggi derajatnya,
jika kamu orang-orang yang beriman”.
(Surah Al-Imran Ayat 139)
“Semangatlah dalam hal yang bermanfaat untukmu,
minta tolonglah pada Allah,
dan jangan malas (patah semangat)“.
(H.R. Muslim No. 2664)
“Belajarlah selagi yang lain sedang tidur,
bekerjalah selagi yang lain sedang bermalas-malasan,
bersiap-siaplah selagi yang lain sedang bermain
dan bermimpilah selagi yang lain sedang berharap” .
(William Arthur Ward)
viii
KATA PENGANTAR
Penulis menyampaikan puji dan rasa syukur yang sebesar-besarnya ke
hadirat Allah Swt., yang telah menganugerahkan segala karunia dan hidayah-Nya,
sehingga Penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Sholawat dan salam
semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad Saw., beserta keluarga, sahabat, dan
seluruh umat Islam di dunia. Amin.
Tugas akhir dengan judul “Pelabelan Product Cordial Gabungan
Salinan di antara Graf Helm dan Graf Helm Tertutup” telah diselesaikan oleh
penulis guna memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Strata
Satu di Program Studi Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan
Kalijaga Yogyakarta.
Penulis menyadari sepenuh hati bahwa penulisan tugas akhir ini tidak
akan terwujud sebagaimana mestinya tanpa disertai dengan motivasi, arahan, dan
bimbingan dari berbagai pihak.
Saya sebagai penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada:
1. Ibu Dr. Maizer Said Nahdi, M.Si. selaku Dekan Fakultas Sains dan
Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
2. Bapak Dr. M. Wakhid Musthofa selaku Ketua Program Studi Matematika.
ix
3. Ibu Dra. Khurul Wardati, M.Si. selaku Pembimbing I yang telah
meluangkan waktu untuk membantu, memotivasi, membimbing dan
mengarahkan penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Bapak Abrori, S.Si., M.Kom. selaku Pembimbing II yang telah
meluangkan waktu membantu, memotivasi, membimbing dan
mengarahkan dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
5. Ibu Malahayati, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang telah
bersedia mengarahkan dan memberikan motivasi selama menduduki
bangku kuliah di Program Studi Matematika.
6. Semua Bapak/Ibu dosen yang telah membimbing saya lewat pengajaran,
arahan, dan dukungan selama menempuh pendidikan di kampus tercinta
ini.
7. Ayahanda, Ibunda, Kakak, dan Adik tercinta dan tersayang yang selalu
memberikan dukungan lewat do’a dan kasih sayang sehingga membuat
penulis selalu merasa bersemangat dalam mengerjakan tugas akhir ini.
8. Semua sahabat di Pondok Al-Barokah yang senantiasa selalu mendo’akan
dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
9. Teman-teman seperjuangan Matematika 2011 yang telah setia menjadi
teman belajar penulis selama ini.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah
membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini.
x
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN SKRIPSI ........................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN SKRIPSI ............................................ iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ....................... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................... vi
HALAMAN MOTTO ........................................................................ vii
KATA PENGANTAR ........................................................................ viii
DAFTAR ISI ...................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR .......................................................................... xiii
DAFTAR TABEL .............................................................................. xvi
DAFTAR LAMBANG ....................................................................... xvii
ABSTRAK .......................................................................................... xviii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ................................................................... 1
1.2 Batasan Masalah ................................................................. 6
1.3 Rumusan Masalah............................................................... 7
1.4 Tujuan Penelitian ................................................................ 7
1.5 Manfaat Penelitian .............................................................. 8
1.6 Tinjauan Pustaka ................................................................ 8
1.7 Sistematika Penulisan ......................................................... 11
1.8 Metode Penelitian ............................................................... 12
xii
BAB II LANDASAN TEORI ............................................................. 16
2.1 Himpunan ......................................................................... 16
2.2 Teori Graf......................................................................... 18
2.3 Fungsi .............................................................................. 31
2.4 Kombinatorik ................................................................... 37
2.5 Nilai Mutlak ..................................................................... 37
BAB III PELABELAN PRODUCT CORDIAL SISI PADA GRAF HELM
DAN GRAF HELM TERTUTUP ........................................ 39
3.1 Pelabelan Product Cordial Sisi ......................................... 39
BAB IV PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI
ANTARA GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP 62
4.1 Pelabelan Product Cordial ................................................ 62
BAB V PENUTUP............................................................................. 116
5.1 Kesimpulan ...................................................................... 116
5.2 Saran ................................................................................ 117
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 118
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Skema Penelitian .............................................................. 15
Gambar 2.1 Graf 1G ............................................................................. 19
Gambar 2.2 Graf Tidak Berarah 2G ..................................................... 20
Gambar 2.3 Graf 3G ............................................................................ 21
Gambar 2.4 Graf 4G ............................................................................ 23
Gambar 2.5 Graf 5G ............................................................................ 24
Gambar 2.6 Graf Terkoneksi6G dan
7G .............................................. 25
Gambar 2.7 Graf Sederhana 8G ........................................................... 26
Gambar 2.8 Graf 3-reguler dan 4-reguler ............................................. 27
Gambar 2.9 Graf Lengkap 1K , 2K dan 3K .......................................... 28
Gambar 2.10 Graf Siklus 4C dan 5C ................................................... 29
Gambar 2.11 Graf 9G , 10G dan 9 10G G .............................................. 30
Gambar 2.12 Ilustrasi Fungsi ............................................................... 33
Gambar 2.13 Jenis-Jenis Fungsi ........................................................... 35
Gambar 3.1 Graf Roda 3W dan 5W ....................................................... 40
Gambar 3.2 Graf 11G ........................................................................... 41
Gambar 3.3 Graf Helm 11H ................................................................. 42
Gambar 3.4 Graf Helm Tertutup 11CH ................................................. 43
Gambar 3.5 Graf Siklus 6C .................................................................. 45
Gambar 3.6 Graf Siklus 6C .................................................................. 46
xiv
Gambar 3.7 Graf Siklus 6C .................................................................. 48
Gambar 3.8 Graf Siklus 7C .................................................................. 49
Gambar 3.9 Graf Helm 11H ................................................................. 53
Gambar 3.10 Graf Helm 7H ................................................................ 54
Gambar 3.11 Graf Helm 6H ................................................................ 55
Gambar 3.12 Graf Helm 8H ................................................................ 56
Gambar 3.13 Graf Helm Tertutup 12CH ............................................... 59
Gambar 3.14 Graf Helm Tertutup 7CH ............................................... 61
Gambar 4.1 Graf Gear 8G ................................................................... 64
Gambar 4.2 Graf Gear 8G ................................................................... 66
Gambar 4.3 Graf Gear 3G ................................................................... 69
Gambar 4.4 Gabungan Lintasan 3 Salinan Graf Roda 4W ..................... 70
Gambar 4.5 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 7H ................... 80
Gambar 4.6 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 3H .................... 81
Gambar 4.7 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 10H ................... 83
Gambar 4.8 Gabungan Lintasan 5 Salinan Graf Helm 4H .................... 84
Gambar 4.9 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm 6H .................... 85
Gambar 4.10 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm 4H .................. 86
Gambar 4.11 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm 4H .................. 88
Gambar 4.12 Gabungan Lintasan 3 Salinan Graf Helm Tertutup 7CH . 92
Gambar 4.13 Gabungan Lintasan 7 Salinan Graf Helm Tertutup 3CH . 93
xv
Gambar 4.14 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm Tertutup 4CH . 95
Gambar 4.15 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm Tertutup 4CH . 96
Gambar 4.16 Gabungan Lintasan 4 Salinan Graf Helm Tertutup 4CH . 97
Gambar 4.17 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 4H dengan Lintasan
9P 101
Gambar 4.18 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 6H dengan Lintasan
8P . 102
Gambar 4.19 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 3H dengan Lintasan
5P . 103
Gambar 4.20 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 5H dengan Lintasan
5P . 104
Gambar 4.21 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Terutup 6CH dengan
Lintasan 6P ..................................................................... 108
Gambar 4.22 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup 6CH dengan
Lintasan 8P ..................................................................... 109
Gambar 4.23 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup 8CH dengan
Lintasan 9P .................................................................... 110
Gambar 4.24 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup 7CH dengan
Lintasan 11P ..................................................................... 111
Gambar 4.25 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 5H dengan Lintasan 4P . 112
Gambar 4.26 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 5H dengan Lintasan 4P .. 113
Gambar 4.27 Gabungan 2 Salinan Graf Helm 6H dengan Lintasan 4P . 114
Gambar 4.28 Gabungan 2 Salinan Graf Helm Tertutup 6CH dengan
Lintasan 5P ..................................................................... 115
xvi
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Persamaan dan Perbedaan Penelitian .................................... 10
xvii
DAFTAR LAMBANG
: Kurang dari sama dengan
( )V G : Himpunan Simpul
( )E G : Himpunan Sisi
nC : Graf Siklus
nW : Graf Roda
nG : Graf Gear
nH : Graf Helm
nCH : Graf Helm Tertutup
( )f e : Fungsi Pelabelan Sisi
( )f v : Fungsi Pelabelan Simpul
: Akhir dari suatu pembuktian
xviii
PELABELAN PRODUCT CORDIAL GABUNGAN SALINAN DI ANTARA
GRAF HELM DAN GRAF HELM TERTUTUP
ABSTRAK
Pelabelan merupakan salah satu konsep yang muncul sebagai hasil
perkembangan dari teori graf. Pelabelan graf berperan vital dalam beberapa
bidang ilmu pengetahuan, seperti, astronomi, teori pengkodean, x-ray
crystallography, radar dan manajemen database. Pelabelan yang akan digunakan
dalam kasus ini adalah product cordial dan product cordial sisi. Kedua pelabelan
tersebut muncul setelah adanya penelitian pelabelan cordial yang dilakukan oleh
Cahit. Graf Cordial diinvestigasi oleh Cahit melalui graf famili, sehingga tujuan
dalam penelitian ini untuk mengkaji lebih dalam mengenai pelabelan product
cordial sisi pada graf famili yaitu graf helm dan helm tertutup dan product cordial
pada gabungan salinan di antara keduanya. Cara yang digunakan dalam
membuktikan kedua pelabelan tersebut yaitu dengan menggunakan aturan
kombinatorik dan memperhatikan simpul yang saling adjacent dan sisi yang
saling incident.
Terdapat istilah fungsi diinduksi dalam pelabelan product cordial dan
product cordial sisi yang memuat aturan product. Perbedaannya, jika aturan
product pada pelabelan product cordial sisi yang digunakan adalah sisinya,
sedangkan product cordial menggunakan simpul-simpulnya. Hasil penelitian
menyatakan bahwa dengan menggunakan pola tertentu untuk kasus n ganjil dan
genap pada graf helm dan graf helm tertutup berlaku pelabelan product cordial
sisi, sedangkan pada gabungan salinan di antara keduanya berlaku pelabelan
product cordial. Graf yang memenuhi pelabelan product cordial disebut sebagai
graf product cordial, sedangkan graf yang memenuhi pelabelan product cordial
sisi disebut sebagai graf product cordial sisi.
Kata Kunci: Pelabelan product cordial, pelabelan product cordial sisi, graf helm
dan graf helm tertutup.
1
BAB I
Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan bagian dari ilmu matematika yang umurnya
tergolong muda jika dibandingkan dengan ilmu yang lainnya. Teori graf
mulai ditemukan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler (1707-1783).
Masalah yang harus dipecahkan pada saat itu adalah terkait dengan jembatan
Konisberg. Jembatan tersebut terdiri atas tujuh jembatan yang terletak di atas
sungai Pregel. Jembatan tersebut hanya boleh dilewati tepat satu kali dalam
menempuh empat kawasan yang terhubung satu sama lain di kota Konisberg.
Jika empat kawasan tadi diasumsikan sebagai simpul dan tujuh jembatannya
sebagai sisi maka terbentuklah awal mula konsep teori graf.
Salah satu hasil dari perkembangan teori graf yaitu munculnya konsep
tentang pelabelan atau dikenal dengan istilah valuation yaitu suatu pemetaan
yang membawa elemen-elemen graf pada bilangan-bilangan yang biasanya
berupa bilangan bulat positif atau non-negatif. Pilihan domain yang paling
lazim digunakan adalah semua himpunan simpul dan sisi yang disebut
sebagai pelabelan total, himpunan simpul (pelabelan simpul), atau himpunan
sisi (pelabelan sisi) (Wallis, 2001).
2
Pelabelan graf memainkan banyak peran vital dalam bidang ilmu
pengetahuan. Beberapa contoh dari bidang tersebut adalah astronomi, teori
pengkodean, x-ray crystallography, radar dan manajemen database (Ponraj
dkk, 2014). Pelabelan graf juga bermanfaat untuk beberapa area dalam ilmu
komputer dan jaringan komunikasi (Vaidya dan Shah, 2014). Banyak variasi
pelabelan yang termuat dalam teori graf ini, salah satu di antaranya adalah
pelabelan cordial.
Graf cordial adalah versi yang lebih lemah dari graf graceful dan graf
harmonious. Pelabelan cordial muncul berawal dari suatu kegagalan dalam
membuktikan dugaan bahwa pelabelan graceful dan harmonius berlaku untuk
semua tree. Pelabelan cordial dapat diinvestigasi untuk beberapa graf famili,
seperti graf siklus, graf komplit, graf roda, dan sebagainya (Cahit, 1987).
Graf roda yang termasuk dalam graf famili merupakan dasar dalam
pembentukan graf helm dengan menghubungkan simpul-simpul pendant
dengan simpul-simpul pada graf roda sehingga dihasilkan graf helm.
Berdasarkan kajian yang dilakukan oleh peneliti lain, dikatakan bahwa graf
helm dijadikan sebagai konstruksi graf helm tertutup dengan penambahan sisi
baru yang menghubungkan setiap simpul pendant pada graf helm oleh suatu
sisi yang disebut sebagai sisi eksternal. Lebih spesifik lagi terkait dengan graf
helm dan graf helm tertutup, keduanya memenuhi pelabelan product cordial
sisi. Pelabelan tersebut didefinisikan sebagai suatu pemetaan dari elemen-
elemen graf G yang himpunan sisinya ditentukan terlebih dahulu sebagai
3
domain yang harus dikaitkan dengan bilangan biner. Pelabelan tersebut juga
memiliki fungsi yang diinduksi berupa *: ( ) {0,1}f V G dengan ketentuan
1 2*( ) ( ). ( )...... ( ),nf v f e f e f e kemudian kondisi hasil akhir akan memenuhi
(0) (1) 1f fv v dan (0) (1) 1,f fe e dengan (0)fv dan (1)fv secara
berturut-turut merupakan jumlah simpul dari graf G di bawah fungsi *f
yang diberi label 0 dan 1, sedangkan (0)fe dan (1)fe secara berturut-turut
merupakan jumlah sisi dari graf G di bawah fungsi f yang diberi label 0 dan
1.
Graf hasil salinan gabungan di antara graf helm dan graf helm tertutup
memenuhi pelabelan product cordial. Pelabelan tersebut didefinisikan
sebagai suatu pemetaan dari elemen graf G dengan domain fungsi yang
pertama kali diketahui berupa himpunan simpul. Pelabelan tersebut juga
memiliki fungsi yang diinduksi yaitu berupa himpunan sisi yang dikaitkan
dengan bilangan biner dan memiliki ketentuan 1 2( ) ( ). ( )g e g v g v . Ketentuan
yang lainnya analog dengan definisi pelabelan product cordial sisi.
Penelitian mengenai pelabelan product cordial sisi pada graf helm dan
graf helm tertutup sudah dibuktikan oleh S. K. Vaidya dan C.M. Barasara
(2012). Pelabelan pada graf helm dan graf helm tertutup tersebut
dikembangkan lagi dengan penerapannya menggunakan graf hasil
penggabungan salinan di antara keduanya dan hasil yang diperoleh memenuhi
pelabelan product cordial sebagaimana pembuktian yang telah dilakukan oleh
G.V. Ghodasara dan S.M. Vaghasiya (2014).
4
Pelabelan product cordial memuat suatu aturan kombinatorik, yaitu
aturan dasar menambah dan mengalikan atau menambah saja. Khususnya
mengenai kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan, di dalamnya dapat
dihasilkan jumlah setiap bagian simpul yang dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan baik itu untuk bagian yang berlabel 0 maupun 1 sesuai dengan
aturan atau pola dalam bentuk fungsi yang sudah ditentukan. Berdasarkan
aturan ini, kita akan semakin mudah dalam membuat suatu ilustrasi dari
setiap pelabelan yang dibentuk dan memberikan kemudahan juga dalam
setiap pembuktian. Pelabelan product cordial sisi hanya mengandung aturan
dasar menambah yaitu suatu aturan yang dapat memberikan hasil akumulasi
penjumlahan dari masing-masing label baik itu 0 maupun 1 pada bagian
sisinya sehingga memenuhi product cordial sisi sesuai dengan pola yang
sudah ditentukan sebelumnya.
Aturan product yang ada dalam pelabelan product cordial sisi dan
product cordial merupakan hal yang menarik untuk diteliti dan dikaji karena
secara berturut-turut sesuai definisinya aturan tersebut diterapkan pada
pelabelan simpul dan sisi. Aturan product pada pelabelan simpul akan
menghasilkan label sisi dengan mengoperasikan setiap simpul yang adjacent
pada sisi tersebut, sedangkan aturan product pada sisi akan menghasilkan
pelabelan simpul dengan mengoperasikan setiap sisi yang incident dengan
simpul-simpul tersebut. Jika kita menggunakan aturan product pada simpul
maka label sisi-sisinya yang dihasilkan merupakan akibat dari adanya
5
pelabelan simpul. Jika kita menggunakan aturan product pada sisi maka
pelabelan simpul yang diperoleh merupakan akibat dari adanya pelabelan sisi.
Pelabelan product cordial sisi yang ada dalam tugas akhir ini diterapkan
dalam graf helm, dan graf helm tertutup. Terdapat hal unik di dalamnya yaitu
untuk setiap kondisi dari graf ini selalu memenuhi pelabelan product cordial
sisi baik itu simpul yang berjumlah genap maupun ganjil. Berbeda dengan
product cordial sisi, product cordial diterapkan pada gabungan lintasan
dengan salinan di antara graf helm dan graf helm tertutup dan gabungan dua
salinannya oleh lintasan yang panjangnya berbeda. Sesuatu yang menarik
terkait dengan penerapan product cordial yakni untuk simpul yang berjumlah
ganjil maupun genap dengan pola yang sudah ditentukan ternyata memenuhi
pelabelan product cordial.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka penulis tertarik untuk mengkaji dan
membahas secara mendalam mengenai pelabelan product cordial sisi pada
graf, helm graf, helm tertutup dan product cordial pada graf hasil gabungan
salinan di antara keduanya. Kedua pelabelan tersebut memiliki suatu pola
kasus ganjil dan genap yang diberikan dalam pembuktian pada setiap teorema
yang diberikan. Pola yang sudah ada tersebut dapat digunakan sebagai
langkah dalam menghasilkan suatu persamaan. Pembentukan persamaan
dapat diperoleh melalui aturan dasar kombinatorik dengan aturan dasar
mengalikan dan menambah atau aturan dasar menambah saja. Jika banyak
simpul dan salinan sudah diketahui maka kemudian diperoleh jumlah
simpulnya, setelah itu dapat dicari label sisinya dengan menggunakan aturan
6
product. Jika jumlah simpul dan sisi sudah diketahui dan memenuhi kondisi
(0) (1) 1g gv v dan (0) (1) 1g ge e maka akan berlaku pelabelan product
cordial.
Pola pelabelan product cordial sisi juga bersifat tertentu sebagaimana
diberikan dalam pembuktian teorema pelabelan. Pola yang sudah ada tersebut
kemudian dapat dibuat persamaan secara langsung tanpa menggunakan
kombinatorik dengan aturan dasar mengalikan. Jika langkah itu selesai
dilakukan maka jumlah sisi dan simpul yang berlabel 0 atau 1 secara mudah
dapat diketahui tanpa harus menghitung satu per satu. Pola yang sudah
dibentuk persamaan tersebut akan berlaku pelabelan product cordial sisi jika
memenuhi (0) (1) 1f fv v dan (0) (1) 1f fe e yang secara berturut-turut
(0)fv dan (1)fv merupakan jumlah simpul yang berlabel 0 dan 1, sedangkan
(0)fe dan (1)fe secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0
dan 1.
1.2 Batasan Masalah
Masalah yang akan dibahas dalam penulisan tugas akhir ini adalah
tentang pelabelan graf yang dikhususkan untuk graf yang sederhana,
berhingga, terkoneksi dan tidak berarah dengan order p (simpul) dan ukuran q
(sisi) yang penerapannya diaplikasikan pada graf helm, helm tertutup dan
gabungan salinan di antara kedua graf tersebut.
7
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah dipaparkan
sebelumnya maka dapat dirumuskan permasalahan yang akan dikaji dalam
tugas akhir ini yaitu sebagai berikut:
1. Bagaimanakah pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm
tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya?
2. Bagaimanakah cara untuk melakukan pelabelan product cordial sisi pada
graf helm, graf helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di
antara keduanya?
1.4 Tujuan Penelitian
Secara garis besar tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai
berikut:
1. Untuk mengetahui pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf
helm tertutup dan product cordial gabungan salinan di antara keduanya.
2. Untuk mengetahui cara melakukan pelabelan product cordial sisi pada
graf helm, graf tertutup, dan product cordial gabungan salinan di antara
keduanya.
8
1.5 Manfaat Penelitian
Berdasarkan penelitian yang dilakukan ini, penulis mengharapkan dapat
memberikan manfaat sebagaimana yang disampaikan berikut ini:
1. Memberikan pengetahuan dan wawasan bagi pembaca tentang pelabelan
product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial
gabungan salinan di antara keduanya.
2. Memberikan pengetahuan kepada pembaca bahwa dalam pelabelan
product cordial dan product cordial sisi akan dibahas terkait dengan
aturan product, kombinatorik, sisi yang saling incident, simpul-simpul
yang saling adjacent, dan kondisi saat n ganjil dan genap dengan n sebagai
banyak simpul yang membentuk graf siklus berlaku masing-masing
pelabelan.
3. Sebagai dasar atau acuan bagi pihak tertentu yang berminat untuk
mengembangkan teori graf khususnya tentang pelabelan product cordial
sisi dan product cordial ke arah yang lebih luas lagi.
1.6 Tinjauan Pustaka
Sumber utama pustaka yang digunakan dalam tugas akhir ini berupa
jurnal. Sebagai penunjang untuk memperjelas istilah-istilah dasar dari
pembahasan tentang graf ini penulis menggunakan referensi dari beberapa
buku.
Jurnal yang berjudul Product Cordial Labeling of Graphs Related to
Helm, Closed Helm and Gear Graph (G.V. Ghodasara dan S.M. Vaghasiya,
2014) berisi penjelasan tentang gabungan lintasan dari hasil salinan di antara
9
graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial.
Gabungan itu berupa gabungan lintasan dengan salinan di antara keduanya
dan gabungan dua salinan oleh lintasan yang panjangnya berbeda-beda.
Terdapat pola pelabelan tertentu di dalamnya, kemudian dari pola tersebut
dapat diketahui jumlah masing-masing label baik itu bagian yang berlabel 0
maupun 1. Label tersebut diterapkan pada setiap bagian simpul dan sisi graf
hasil gabungan helm nH dan graf helm tertutup
nCH . Gabungan di antara
kedua graf tersebut berupa k salinan dan dua salinan dengan lintasan yang
berubah-ubah. Kondisi pelabelan untuk n dan k bernilai ganjil maupun genap
dalam kasus ini berlaku pelabelan product cordial.
Jurnal yang berjudul Edge Product Cordial Labeling of Graphs (S.K.
Vaidya dan C.M. Barasara, 2012) berisi penjelasan mengenai pelabelan
product cordial sisi pada beberapa graf standar seperti graf nC , graf nW , graf
pohon, graf 1nC K , graf nAC , graf helm nH , graf helm tertutup nCH , graf
web nWb , graf bunga nFl , graf gear nG dan graf shell nS . Berdasarkan jurnal
ini, penulis hanya mengkaji lebih dalam lagi mengenai pelabelan product
cordial sisi pada graf helm dan graf helm tertutup karena keduanya memiliki
kesamaan yakni setiap n ganjil maupun genap pada nH dan nCH tetap
memenuhi pelabelan product cordial. Berdasarkan pola yang sudah ada baik
itu untuk graf yang memiliki jumlah n ganjil maupun genap, jumlah dari
label 0 dan 1 dapat diketahui secara mudah dan akhirnya memenuhi pelabelan
product cordial. Berikut ini disajikan tabel mengenai perbedaan dan
persamaan penelitian:
10
Tabel 1.1 Persamaan dan Perbedaan Penelitian
Penulis Persamaan Perbedaan
G.V. Ghodasara
dan S.M.
Vaghasiya
(2014)
Penerapannya
dalam Graf helm
dan Graf Helm
Tertutup
Penerapannya pada Graf Hasil
Gabungan Salinan di antara Graf Helm,
Helm Tertutup and Graf Gear
S.K. Vaidya dan
C.M. Barasara,
(2012)
Penerapannya pada graf nC , graf nW ,
graf pohon, graf 1nC K , graf nAC ,
graf helm nH , graf helm tertutup nCH ,
graf web nWb , graf bunga nFl , graf
gear nG dan graf shell nS
Penjelasan yang dipaparkan penulis berbeda dengan hasil penelitian
dalam jurnal yang dicantumkan pada tabel 1.1. Perbedaan yang sangat
tampak terletak pada contoh-contoh pada setiap kasus pelabelan product
cordial sisi dan product cordial.
Referensi yang bersumber pada buku lebih banyak digunakan untuk
menjelaskan istilah dasar dalam tulisan ini. Istilah tersebut berupa definisi-
definisi yang secara tepat tercantum dalam landasan teori. Misalnya, definisi
mengenai graf, lintasan, graf reguler, graf siklus, graf lengkap dan sebagainya.
11
1.7 Sistematika Penulisan
Penyusunan sistematika yang jelas dalam suatu penulisan adalah hal yang
sangat penting sekali untuk diperhatikan karena dapat memberikan
kemudahan dalam memahami secara keseluruhan isi dari penulisan. Oleh
karena itu, penulis akan menjelaskan gambaran secara umum mengenai
sistematika penulisannya yaitu sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi penjelasan mengenai latar belakang, batasan masalah,
rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, sistematika penulisan,
dan metode penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Bab ini memuat istilah-istilah dasar yang digunakan dalam pembahasan
seperti himpunan, fungsi, kombinatorik, nilai mutlak, faktor persekutuan
terkecil, pelabelan, dan lainnya yang ada kaitan dengan teori graf.
BAB III DAN BAB IV PEMBAHASAN
Bab ini berisi penjelasan terkait dengan pelabelan product cordial sisi
pada graf helm dan helm tertutup serta product cordial gabungan salinan di
antara keduanya. Pola pada tiap-tiap kasus yang terdapat dalam pelabelan
product cordial sisi dan product cordial ini bersifat tertentu dan dapat
dijadikan langkah awal dalam membuktikan kedua pelabelan tersebut.
Terkait dengan cara melakukan pelabelan akan dijelaskan lebih lanjut
12
dengan menggunakan pembuktian teorema yang disertai dengan contoh
ilustrasinya agar dapat dengan mudah dipahami.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bagian ini memuat kesimpulan tentang pelabelan product cordial sisi
pada graf helm, graf helm tertutup dan product cordial graf gabungan salinan
di antara kedua graf tersebut. Kesimpulan ini merupakan inti atau hasil akhir
dari keseluruhan penelitian atau kajian yang sudah dilakukan oleh penulis.
Bagian ini juga memuat saran yang tentunya bersifat membangun yang
diberikan secara umum bagi pembaca yang ingin menambah pengetahuan dan
wawasan dan ingin meneruskan dan mengembangkan penelitiannya tentang
pelabelan product cordial sisi pada graf helm, graf helm tertutup dan graf
product cordial gabungan salinan di antara keduanya.
1.8 Metode Penelitian
Metode yang digunakan oleh penulis adalah metode literatur atau
kepustakaan dengan memahami dan mengkaji beberapa sumber baik itu dari
jurnal maupun buku sumber yang mendukung dan menunjang penulisan tugas
akhir ini. Penulis lebih banyak menggunakan jurnal dari sebagian peneliti
yang membahas pelabelan product cordial sisi dan product cordial yang
menurut penulis perlu dikaji dan dipahami lebih dalam lagi agar diketahui
secara jelas dan runtut dalam penjabarannya berdasarkan beberapa pola yang
sudah ada pada masing-masing graf.
13
Hal pertama yang dilakukan dalam pelabelan product cordial yaitu
memahami teorema yang sudah ada. Terdapat pola tertentu dalam setiap
pembuktiannya yang bertujuan untuk mengetahui bagian-bagian yang harus
diberi label 0 dan 1. Pelabelan ini diterapkan dalam graf hasil salinan dari
masing-masing graf helm dan graf helm tertutup. Jika hasilnya berupa
gabungan lintasan dengan k salinan pada graf helm atau graf helm tertutup
maka berdasarkan pola yang sudah ditentukan dapat dibentuk suatu
persamaan dengan menggunakan aturan kombinatorik dengan aturan dasar
mengalikan. Persamaan itu kemudian digunakan untuk mengetahui seberapa
banyak label 0 dan 1 pada setiap bagiannya. Jika setiap bagian tersebut sudah
diketahui maka dengan mudah total bagian yang diberi label 1 dan 0 dapat
diketahui juga dengan menggunakan kombinatorik aturan dasar menambah,
sedangkan jika hasil salinannya berupa dua salinan graf helm atau graf helm
tertutup dengan lintasan yang berubah-ubah (k pada lintasan kP dengan
panjangnya 1k ) maka digunakan aturan kombinatorik dengan aturan dasar
menambah saja.
Jika langkah pelabelan simpul pada pelabelan product cordial ini sudah
selesai maka dilanjutkan dengan mencari label sisi dengan mengoperasikan
simpul-simpul yang adjacent dengan menggunakan aturan product sehingga
diperoleh total sisi yang diberi label 0 dan 1. Jika jumlah label 0 dan 1 pada
simpul dan sisi sudah diketahui maka dapat dikatakan memenuhi pelabelan
product cordial jika memenuhi (0) (1) 1g gv v dan (0) (1) 1,g ge e
dengan notasi (0),gv (1)gv secara berturut-turut merupakan jumlah simpul
14
yang berlabel 0 dan 1, sedangkan (0),ge (1)ge secara berturut-turut
merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan 1. Suatu graf yang memenuhi
pelabelan product cordial disebut sebagai graf product cordial.
Jika pelabelan product cordial sisi yang akan diberikan dalam kasus ini
diterapkan pada graf helm dan helm tertutup maka dengan pola yang sudah
ada dapat langsung diketahui persamaan untuk mengetahui bagian yang harus
diberi label 0 dan 1. Total label dari sisinya dapat dihasilkan dengan
menggunakan kombinasi dengan aturan dasar menambah. Jika sudah
diketahui pelabelan sisinya maka dapat dicari juga pelabelan pada simpulnya
dengan memperhatikan sisi yang incident pada tiap-tiap simpulnya dan
selanjutnya dioperasikan dengan menggunakan aturan product. Total label 0
dan 1 pada sisi dan simpulnya sudah dihasilkan sehingga dapat dikatakan
bahwa pelabelan product cordial sisi terpenuhi jika
berlaku (0) (1) 1f fv v dan (0) (1) 1f fe e , dengan (0),fv (1)fv secara
berturut-turut merupakan jumlah simpul yang berlabel 0 dan 1, sedangkan
(0),fe (1)fe secara berturut-turut merupakan jumlah sisi yang berlabel 0 dan
1. Suatu graf yang memenuhi pelabelan product cordial sisi disebut sebagai
graf product cordial sisi. Secara mudah penelitian ini dapat dipahami dengan
memperhatikan skema metode penelitian berikut ini.
15
Pelabelan product cordial sisi
(Vaidya dan Barasara, 2012)
Pelabelan product cordial
(Vaghasiya dan Ghodasara,
2014)
Graf helm
Salinan graf
helm tertutup
Graf
helm
tertutu
p
Graf helm
tertutup
Salinan graf helm
Graf hasil gabungan
lintasan k salinan
Graf hasil gabungan 2
salinan dengan
lintasan berubah-ubah
Gambar 1.1 Skema Penelitian
GRAF
Incident Adjacent
Graf product cordial sisi
Graf product cordial
116
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan uraian mengenai beberapa hal terkait dengan graf
product cordial sisi dan product cordial yang dibahas dalam penelitian,
penulis dapat memberikan kesimpulan sebagai berikut:
1. Kondisi pelabelan yang harus terpenuhi terlebih dahulu dalam graf product
cordial sisi adalah pelabelan sisi, sedangkan syarat dalam graf product
cordial yang harus terpenuhi terlebih dahulu adalah kondisi pelabelan
simpul.
2. Pelabelan product cordial sisi memperhatikan sisi yang saling incident
dalam menentukan fungsi yang diinduksi, sedangkan graf product cordial
menggunakan simpul yang saling adjacent.
3. Perhitungan jumlah sisi ataupun simpul pada setiap bagian pola pelabelan
product cordial sisi dan graf product cordial dapat digunakan suatu aturan
kombinatorik sehingga dapat dengan mudah diketahui jumlah sisi dan
simpul yang berlabel 0 dan 1.
4. Aturan pelabelan product cordial dan product cordial sisi yang terdapat
dalam kajian ini tidak dapat dilakukan dengan sembarang pola melainkan
harus dengan pola tertentu. Sebagai salah satu contohnya, diberikan graf
helm nH dengan n ganjil dan pola label 0 dan 1 yang digunakan pada
117
sisinya secara berturut-turut yaitu 3 1
2
n dan
3 1
2
n sehingga dihasilkan
jumlah label 0 dan 1 pada simpulnya secara berturut-turut yaitu n+1 dan n.
5. Graf helm dan graf helm tertutup memenuhi pelabelan product cordial,
sedangkan graf hasil gabungan di antara keduanya memenuhi pelabelan
product cordial sisi untuk n ganjil dan genap.
5.2 Saran
Bagi pembaca yang ingin melakukan penelitian atau mengembangkan
lebih lanjut terkait dengan pelabelan product cordial dan product cordial sisi
pada suatu graf dapat menggunakan jenis graf lainnya. Misalnya, graf bunga
yang mempunyai variasi berbeda dengan graf helm dan graf helm tertutup.
118
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir dkk. 2009. Teori Graf Topik Dasar Untuk Tugas Akhir/Skripsi.
Malang: UIN Malang Press.
Aldous, Joan dan Robin Wilson. 2004. Graphs and Applications An Introductory
Approach. UK: The Open University.
Bartle, Robert G dan Donald R. Sherbert. 2011. Introduction To Real Analysis,
edisi ke-4. USA: John Wiley & Sons, Inc.
Cahit, I. Cordial Graphs: A Weaker Version of Graceful and Harmonius Graphs,
ARS Combinatoria 23 (1987), pp. 201-208.
Gallian, J. A. 2007. A Dynamic Survey of Graph Labeling. Electronic Journal
Combinatorics.
Grossman, Peter. 2002. Descrete Mathematics for Computing. New York:
Palgrave Macmillan.
Iswadi, Hazrul dkk. 2012. Kalkulus. Malang: Bayumedia Publishing.
J. Purcell, Edwin dkk. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi Kedelapan. Prentice Hall, Inc.
Lipschutz, Seymour dan Marc Lipson. 2007. Matematika Diskret. The McGraw-
Hill Companies.
Ponraj, R dkk. 2014. Difference Cordial Labeling of Subdivision of Snake Graphs,
Universal Journal of Applied Mathematics, 2(1): 40-45.
Rosen, Kenneth H. 2007. Discrete Mathematics and Its Application, edisi ke- 6,
Mc-Graw-Hill.
Setya Budhi, Wono. 2005. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika.
Jakarta: CV Ricardo.
Vaghasiya, S.M. dan G.V. Ghodasara. Product Cordial Labeling of Graph
Related to Helm, Closed Helm and Gear Graph, Internasional Journal of
Pure and Applied Mathematics, Vol. 91 (2014), No. 4, 495-504.
Vaidya, S.K. dan M. Barasara. Edge Product Cordial Labeling of Graphs, J.Math.
Computh, Sci. 2 (2012), No.5, 1436-1450.
119
119
Vaidya, S.K. dan M. Barasara. Further Results on Product Cordial Labeling,
International J. Math. Combin. Vol. 3 (2012), 64 -71.
Vaidya, S.K. dan N.H. Shah. 2014. Some New Results on Prime Cordial Labeling,
9 halaman, Article ID 607018, 9. Hindawi Publishing Corporation.
Vasudev, C. 2007. Combinatorics and Graph Teory. New Delhi: New Age
International (P) Ltd., Publishers.
West, Douglas B. 2001. Introduction to Graph Theory. Singapore: Pearson
Education, Inc.