Pemecahan PDP dengan Metode Sparasi Variabel Koordinat

kartesian dan silinder

Oleh:Handoko 120210102089

Pemecahan PDP dengan Metode Sparasi Variabel Koordinat kartesian

1. Persamaan Laplace di dalam koordinat

kartesian

1. Persamaan Difusi dalam system

koordinat Cartesian

1. Persamaan Laplace di dalam koordinat kartesian

02

xZyYxXzyx ,,

0111

2

2

2

2

2

2

zZ

ZyY

YtX

X

Secara umum persamaan Laplace :

Dapat dituliskan penyelesaiannya, dalam koordinat cartesian :

Dapat dituliskan persamaan lain dalam bentuk diferensial:

Penyelesaian komponen X, Y, dan Z dapat dituliskan:

Sehingga penyelesaiannya adalah:

eBeAX mx

mm

mx

mm

00

eDeCY nynn

ny

nn

0

0

zFzEZ nmmn

nmnm

mnnm

2

1222

122 sin

00cos

00

myDmyCeBeA mm

mxm

mxm

msincos

0

1. Persamaan Difusi dalam system koordinat Cartesian

Di dalam sistem koordinat kartesian, persamaan difusi dapat dituliskan

Dengan mengingat gejala difusi adalah gejala yang tidak stabil sehingga mengalami penurunan nilai eksponensial, sehingga kita dapat menentukan penyelesaian :

(x, y, z, t) = e-at X(x) Y(y) Z(z)Dengan mensubtitusikan persamaan 1 kepersamaan 2

:

zyxD

t 2

2

2

2

2

2

zyxZ

Z

Y

Y

X

XD

a

2

2

2

2

2

2111

yang menghasilkan penyelesaian berbentuk :

Sehingga penyelesaian lengkapnya :

kzFkkzEkZ

nyDnnyCnY

mxBmmxAmX

sincos

sincos

sincos

D

aknm

dengan

222

1 1 1

sincos,,,2

m n k

tDm mxBmmxAmetzyx

Pemecahan PDP dengan Metode Sparasi Variabel Koordinat silinder

Persamaan Laplace di dalam koordinat silinder

Persamaan Difusi dalam system koordinat Silindris

Persamaan Laplace di dalam koordinat silinder

Persamaan laplace dalam koordinat silinder :

Penyelesaiannya dapat dituliskan :

01

2

2

2

2

2

2

2

dz

ddd

zZRz,,

Dibagi pada R Z , persamaan Laplace dalam koordinat silinder menjadi:

Menghasilkan variabel terpisah berbentuk:

011

2

2

2

2

2

2

2

dz

ddd

dzZd

ZddR

Rdd

dRd

R 2

2

2

2

22

2 1111

Karena antara satu suku dengan yang lain tidak bergantung sama lain, maka :

yang menghasilkan

yang memberikan

ndz

ZdZ

22

21 eBeA nz

nnz

nzZ

mdd 2

2

2

mDmC mm coscos

mnddR

RdRd

R222

2

22

Dapat dituliskan identik dengan persamaan diferensial:

Dengan mensubstitusikan n = x maka dapat dikenal sebagai Persamaan Bessel:

Dengan mencoba penyelesaian:

02222

22 Rmn

ddR

dRd

0222

22 Rmx

dxdR

xdx

Rdx

xaR k

Dengan menentukan persamaan indisial:yaitu

Untuk k=m menghasilkan hubungan berurutan untuk koefisien:

Diperoleh penyelesaian:

dengan:

022 mk mk

ama 221

xJamR mm

0!2

mk

xk

m kmkxJ

2

2

1

!!1

Apabila k=-m maka kita dapat menuliskan persamaan J-mx, sehingga dapat dituliskan persamaan lengkapnya:

Dengan demikian diperoleh penyelesaian:

xJFxJER mnmmnm ,,

mDmC

eBeAJFJEz

mm

nzn

nzn

nmnmn

mnm

coscos

),,(

)(,)(,

Di dalam sistem koordinat silindris, persamaan difusi dapat dituliskan

Dengan mengingat gejala difusi adalah gejala yang tidak stabil sehingga mengalami penurunan nilai eksponensial, sehingga kita dapat menentukan penyelesaian :

(, z, , t) = e-at R() Z(z) ()Persamaaan difusi akan menghasilkan hubungan:

PERSAMAAN DIFUSI DALAM KOORDINAT SILINDER

2

2

2

2

22

2 11

zDD

tDD

t

2

2

2

2

22

2 1111

z

Z

Z

R

R

R

RD

a

dengan menuliskan :

Akan didapatkan persamaan :

Yang berarti masing-masing ruas harus sama dengan suatu tetapan m2 .

nzn

nzn eFeEZn

z

Z

Z

annyapenyelesai yang 1 2

2

2

2

222

2

22 1

nD

aR

R

R

R

• Ruas kiri sesudah disamakan dengan m2 merupakan persamaan bessel yang penyelesaiannya diberikan oleh fungsi bessel Jm(x) dengan :

• Begitu pula ruas kanan sama dengan m2 akan menghasilkan berupa fungsi harmonik. Penyelesaian lengkapnya :

2

1

2

n

D

ax

nz

nnz

n

mmmmnmmnat

eFeE

mDmCxJBxJAetz

sincos,,,

Contoh soal

1. Pecahkan persoalan nilai batas dari persamaan laplace

dengan metode pemisahan variabel dengan syarat batas berikut :

02

2

2

2

y

u

x

u

by(y)gu(a,b)ygyu

ax(x)fu(x,b)xfxu

0 ,0 ,0)(),0(

0 , ,0)()0,(

21

21

PenyelesaianSubstitusi solusi sparasi variabel u(x,y) = X(x) Y(y) dalam

Persamaan , sehingga menghasilkan

persamaan : X’’ + kX = 0, Y’’ – kY = 0 pers (1)Gunakan syarat batas, maka diperoleh :• u(x,0) = X(x)Y (0) = 0 Y (0) = 0• u(0,y) = X(0)Y (y) = 0 X(0) = 0• u(a,y) = X(a)Y (0) = 0 X(a) = 0

Persamaan 1 memiliki 3 macam solusi yang bergantung pada nilai k. Untuk k=0 diperoleh X’’=0, solusinya :

02

2

2

2

y

u

x

u

21)( AxAxX

Substitusi syarat batas u(x,0) , sehingga memberikan solusi, untuk k < 0, misal k = -2, suku pertama persamaan 1 menjadi :

Yang mempunyai solusi

Substitusi syarat batas untuk u(0,y) dan u(a,y), diperoleh :

0'' 2 XX

2) (pers )( 21xx BeBxX

0

0

0)(

0

0)0(

2

22

21

2121

02

01

aa

aa

aa

eeB

eBeB

eBeBaX

BBBB

eBeBX

untuk, k = 2 > 0, diperoleh solusi :

Dengan substitusi syarat-syarat batas pada X, membuat c1 = 0,

Kembali lagi ke Y dengan , kita mendapat :

xcxc sincos 21

3) (pers . . . 1,2,n ,sin

jadidan

. . . 1,2,n ,

xa

nXn(x)

xa

nn

yByAY nnnn sinhcosh

2

nk

Dengan menyelesaikan Y(0) = 0, diperoleh An = 0, dan jadi:

Dari persamaan 3 dan 4, kita memperoleh solusi :

Dengan prinsip superposisi solusi, kita memperoleh bentuk umum solusi :

4) (pers. sinh yBY nnn

ya

nx

a

nBn

sinhsin

ya

nx

a

nByxu

nn

sinhsin),(

1

Akhirnya syarat batas u(x,b) = f2(x) mengakibatkan bahwa

Kalikan persamaan diatas dengan kemudian integrasikan atas interval 0 < x < 0, kita punya :

xa

n

a

bnBxf

nn

sinsinh)(

12

xa

m'

. . . 1,2,n ,sin)(sinh

2

0

2 xdxa

nxf

abn

aBn

a

CONTOH SOAL. Tentukan distribusi suhu u(x,t) pada logam yang lebarnya l

dimana logam mula-mula mempunyai distribusi suhu mantap yaitu 0 dan 100 pada x = l. jika pada keadaan tak mantap, t ≥C, kedua ujung logam dipertahankan bersuhu 0

Penyelesaian :Syarat batas untuk keadaan mantap :U0(0,0) = 0 dan U0 = (l,0)= 100

Karena keadaan awal adalah keadaan mantap maka U0 = (x,0) memenuhi pers. Laplace

0)0,(

20

2

dx

xud

• Penyelesaian PD sebelumnya adalah U0 = ax + b

Dengan menerapkan syarat batas, diperoleh b = 0 dan a = 100/l. jadi penyelesaian keadaan mantap

kxe

kxeu

kx

kxxF

Fkdx

FdFkF

xl

xu

tα-k

tα-k

cos

sin dan,

cos

sin)( : dimana

0atau 0

100)0,(

22

22

22

222

0

l

xne

nu(x,t)

ndx

l

xnx

lldx

l

xnxf

lb

x/lf(x)

xl

ul

xnbu

l

xnebu

l

xneu

tln

n

n

nll

n

nn

tln

nn

tln

sin)1(200

jadi,

)1(200sin

1002sin)(

2

: bkoefisien sehingga

100 dari sinusfourier deret merupakan diatasungkapan

100sin

uuan mengingink kita 0, tpada a,selanjutny

sin

sin

2

2

2

)/(

1

1

1

00

n

01

0

)/(

1

)/(

Latihan soal

1. Sebuah membran bujur sangkar dengan a = 4 cm dan b = 2 cm dan c2 = 12,5 dyne/cm ditempatkan pada bidang xy. Membran tersebut direntangkan dengan fungsi f (x,y) = 0,1(4x-x2)(2y-y2). tentukan posisi setiap titik pada membran untuk t > 0

Latihan soal

2. Tentukan distribusi suhu u(x,t) pada logam yang lebarnya l dimana logam mula-mula mempunyai distribusi suhu mantap yaitu 0 dan 250 pada x = l. jika pada keadaan tak mantap, t ≥C, kedua ujung logam dipertahankan bersuhu 0

gasaln dan mdengan 2

sin4

sin

44

5cos

33

16,409

demikiandengan

gasaln dan m ,6,409

2sin)2(

4sin)4(

20

1

2sin

4sin)2)(4(1,0

)2)(4(

4.1

22

1 16

336

2

0

24

0

2

2

0

4

0

22

ynxm

tnmnm

u(x,y,t)

nm

dyyn

yydxxm

xx

dxdyynxm

yyxxB

m n

mn

• Penyelesaian:2.Syarat batas untuk keadaan mantap :U0(0,0) = 0 dan U0 = (l,0)= 250

Karena keadaan awal adalah keadaan mantap maka

U0 = (x,0) memenuhi pers. Laplace

0)0,(

20

2

dx

xud

• Penyelesaian PD sebelumnya adalah U0 = ax + b

Dengan menerapkan syarat batas, diperoleh b = 0 dan a = 250/l. jadi penyelesaian keadaan mantap :

kxe

kxeu

kx

kxxF

Fkdx

FdFkF

xl

xu

tα-k

tα-k

cos

sin dan,

cos

sin)( : dimana

0atau 0

250)0,(

22

22

22

222

0

l

xne

nu(x,t)

ndx

l

xnx

lldx

l

xnxf

lb

x/lf(x)

xl

ul

xnbu

l

xnebu

l

xneu

tln

n

n

nll

n

nn

tln

nn

tln

sin)1(500

jadi,

)1(500sin

2502sin)(

2

: bkoefisien sehingga

250 dari sinusfourier deret merupakan diatasungkapan

250sin

uuan mengingink kita 0, tpada a,selanjutny

sin

sin

2

2

2

)/(

1

1

1

00

n

01

0

)/(

1

)/(