Pemrograman Linier (2)Solusi model PL dengan metode simpleks

Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma, Indonesia

1

2

Pemrograman Linier (2)

Bentuk umum model PL

Ingat kembali bentuk umum model PL maksimum

Maks Z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn

Dengan kendala:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ≤ b2...

......

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn ≤ bmxi ≥ 0, i = 1, 2, . . . n

3

Pemrograman Linier (2)

Bentuk baku model PL maksimisasi

Maks Z = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn

Dengan kendala:a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn+s1 = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn +s2 = b2

......

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn +sm = bmxi ≥ 0, i = 1, 2, . . . nsi ≥ 0, i = 1, 2, . . .m

• si disebut juga variabel slack• Bentuk baku digunakan untuk menyelesaikan model PL denganmetode simpleks

4

Pemrograman Linier (2)

Tinjau kembali model PL untuk problem Chocolatier Burie,beserta solusi optimalnya yang diperoleh dengan metode grafis:

Maks Z = 55M + 89H

Dengan kendala:

4M + 18H ≤ 129612M + 6H ≤ 1824M,H ≥ 0

5

Pemrograman Linier (2)

Daerah solusi dari model tersebut

6

Pemrograman Linier (2)

Alternatif solusi dan solusi optimal:

(M,H) Z = 55M + 89H(0, 0) 0(0, 72) 6408

(130.5, 43) 11004.5 (maksimum)

(152, 0) 8360

Diperoleh solusi optimal Z = 11004.5, dengan M = 130.5 danH = 43.

7

Pemrograman Linier (2)

Akan ditunjukkan penyelesaian model PL ini dengan metodesimpleks.

8

Pemrograman Linier (2)

Metode simpleks

Metode simpleks adalah prosedur aljabar untuk menyelesaikanmasalah PL. Tidak seperti pada metode grafis, metode simpleksmengevaluasi beberapa alternatif solusi saja (tidak semua) untukmenemukan solusi optimal.

Metode ini bersifat iteratif.

8

Pemrograman Linier (2)

Metode simpleks

Metode simpleks adalah prosedur aljabar untuk menyelesaikanmasalah PL. Tidak seperti pada metode grafis, metode simpleksmengevaluasi beberapa alternatif solusi saja (tidak semua) untukmenemukan solusi optimal.

Metode ini bersifat iteratif.

9

Pemrograman Linier (2)

Penyelesaian PL dengan metode simpleks

Berikut diberikan contoh penyelesaian model PL pada kasusChocolatier Burie.

Langkah pertama, buatlah bentuk baku dari model.

Maks Z = 55M + 89H

Dengan kendala:4M + 18H+s1 = 129612M + 6H +s2 = 1824M,H, s1, s2 ≥ 0

10

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296(2) s2 0 12 6 0 1 1824

Solusi pada iterasi ke-0 (solusi dasar awal):M = 0, H = 0, Z = 0

11

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-0: menentukan kolom pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296(2) s2 0 12 6 0 1 1824

Pilih kolom pivot, yaitu kolom yang memiliki koefisien paling negatifpada baris (0); dalam kasus ini adalah kolom H.

12

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-0: menghitung rasio

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296 129618 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824 18246 = 304

Hitung rasio pada setiap baris (kecuali untuk baris Z), di mana:rasio = (solusi) / (koefisien pada kolom pivot)

13

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296 129618 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824 18246 = 304

Pilih baris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil;dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabel s1.Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebut elemenpivot; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.Pada langkah ini, H akan masuk menjadi basis, dan s1 akan keluar daribasis.

13

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296 129618 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824 18246 = 304

Pilih baris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil;dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabel s1.Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebut elemenpivot; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.Pada langkah ini, H akan masuk menjadi basis, dan s1 akan keluar daribasis.

13

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296 129618 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824 18246 = 304

Pilih baris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil;dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabel s1.Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebut elemenpivot; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.Pada langkah ini, H akan masuk menjadi basis, dan s1 akan keluar daribasis.

14

Pemrograman Linier (2)

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(1) H 0 418 1 1

18 0 72 (1)lama ÷ 18

Operasi baris Gauss-Jordan

1 Operasi pada baris pivot

1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabelmasuk

2 Baris pivot baru = Baris pivot lama ÷ elemen pivot

2 Operasi pada baris lainnya:Baris baru = (Baris lama) − (koefisien kolom pivot) × (Baris pivotbaru)

15

Pemrograman Linier (2)

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan(0) Z 1 − 317

9 0 8918 0 6408 (0)lama + 89 · (1)baru

(1) H 0 418 1 1

18 0 72 (1)lama ÷ 18

Operasi baris Gauss-Jordan

1 Operasi pada baris pivot

1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabelmasuk

2 Baris pivot baru = Baris pivot lama ÷ elemen pivot

2 Operasi pada baris lainnya:Baris baru = (Baris lama) − (koefisien kolom pivot) × (Baris pivotbaru)

16

Pemrograman Linier (2)

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan(0) Z 1 − 317

9 0 8918 0 6408 (0)lama + 89 · (1)baru

(1) H 0 418 1 1

18 0 72 (1)lama ÷ 18(2) s2 0 32

3 0 − 13 1 1392 (2)lama − 6 · (1)baru

Operasi baris Gauss-Jordan

1 Operasi pada baris pivot

1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabelmasuk

2 Baris pivot baru = Baris pivot lama ÷ elemen pivot

2 Operasi pada baris lainnya:Baris baru = (Baris lama) − (koefisien kolom pivot) × (Baris pivotbaru)

17

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-1

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 − 317

9 0 8918 0 6408

1 (1) H 0 418 1 1

18 0 72(2) s2 0 32

3 0 − 13 1 1392

Solusi pada iterasi ke-1:M = 0, H = 72, Z = 6408

Pada tahapan ini, H sudah masuk menjadi basis, dan s1 ke luar daribasis.Perhatikan bahwa pada baris (0) masih terdapat koefisien dari variabelnon basis yang bernilai negatif, yang berarti nilai Z masih belum optimal;oleh karena itu lakukan langkah serupa dengan yang sebelumnya.

18

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-1: menentukan kolom pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 −317

9 0 8918 0 6408

1 (1) H 0 418 1 1

18 0 72

(2) s2 0 323 0 −1

3 1 1392

19

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-1: menghitung rasio

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 −317

9 0 8918 0 6408

1 (1) H 0 418 1 1

18 0 72 724/18 = 324

(2) s2 0 323 0 −1

3 1 1392 139232/3 = 130.5

20

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-1: menentukan baris pivot

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 − 317

9 0 8918 0 6408

1 (1) H 0 418 1 1

18 0 72 724/18 = 324

(2) s2 0 323 0 −1

3 1 1392 139232/3 = 130, 5

elemen pivot = 323

21

Pemrograman Linier (2)

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan

(2) M 0 1 0 − 132 − 3

32 130,5 (2)lama ÷ 323

22

Pemrograman Linier (2)

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan(0) Z 1 0 0 123

3231796 11004,5 (0)lama +

3179 · (2)baru

(2) M 0 1 0 − 132 − 3

32 130,5 (2)lama ÷ 323

23

Pemrograman Linier (2)

Update tabel

No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Opr. Gauss-Jordan(0) Z 1 0 0 123

3231796 11004,5 (0)lama +

3179 · (2)baru

(1) H 0 0 1 116

−148 43 (1)lama − 4

18 · (2)baru(2) M 0 1 0 − 1

32 − 332 130,5 (2)lama ÷ 32

3

24

Pemrograman Linier (2)

Iterasi ke-2: tabel simpleks optimal

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 0 123

3231796 11004,5

2 (1) H 0 0 1 116

−148 43

(2) M 0 1 0 − 132 − 3

32 130,5

Solusi pada iterasi ke-2:M = 130, 5, H = 43, Z = 11004, 5

Pada tahapan ini, seluruh koefisien pada persamaan (0) tidak ada yangnegatif, menandakan bahwa solusi optimal telah tercapai.

25

Pemrograman Linier (2)

Tabel simpleks lengkap

Berikut ini adalah tabel simpleks untuk seluruh iterasi yangdilakukan:

Itr. No. Basis Z M H s1 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -55 -89 0 0 0

0 (1) s1 0 4 18 1 0 1296 129618 = 72

(2) s2 0 12 6 0 1 1824 18246 = 304

(0) Z 1 − 3179 0 89

18 0 64081 (1) H 0 4

18 1 118 0 72 72

4/18 = 324

(2) s2 0 323 0 −1

3 1 1392 139232/3 = 130, 5

(0) Z 1 0 0 12332

31796 11004,5

2 (1) H 0 0 1 116

−148 43

(2) M 0 1 0 − 132 − 3

32 130,5

26

Pemrograman Linier (2)

Kondisi untuk variabel masuk dan variabel keluar

Kondisi optimalitas. Dalam masalah maksimisasi [minimisasi],variabel masuk adalah variabel non-basis dengan koefisien palingnegatif [positif] pada baris (0). Optimal dicapai jika semuakoefisien dari variabel non-basis adalah non-negatif [non-positif].

Kondisi kelayakan. Untuk masalah maksimisasi ataupunminimisasi, variabel keluar adalah variabel basis dengan rasionon-negatif terkecil.

27

Pemrograman Linier (2)

Langkah-langkah metode simpleks

1 Buatlah tabel simpleks awal (didapatkan solusi dasar awal).

2 Tentukan variabel masuk berdasarkan kondisi optimalitas.Berhenti jika tidak ada lagi variabel masuk; pada tahapan ini,solusi optimal telah tercapai. Jika tidak, lanjutkan ke langkah3.

3 Tentukan variabel keluar berdasarkan kondisi kelayakan.

4 Tentukan solusi dasar awal dengan menerapkan teknikGauss-Jordan. Lanjutkan ke langkah 2.

28

Pemrograman Linier (2)

Contoh (Model PL maksimal)

Redi Miks memproduksi cat interior dan eksterior dari dua bahanmentah: M1 dan M2. Tabel berikut memberikan data dasar:

Kebutuhan bahan mentah untuk per ton dari Ketersediaan maksimumCat eksterior (ton) Cat interior (ton) harian (ton)

M1 6 4 24M2 1 2 6

Keuntungan5 4

per ton (juta)

Survey pemasaran menunjukkan bahwa permintaan harian untukcat interior maksimal 1 ton lebih banyak dari yang untuk eksterior.Juga, permintaan harian maksimum untuk cat interior adalah 2ton. Redi Miks ingin menentukan berapa ton cat interior daneksterior harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntunganharian. Buatlah model PL-nya dan tentukan solusi optimalnyadengan menggunakan metode simpleks!

29

Pemrograman Linier (2)

Contoh

Gutchi Company memproduksi dompet, tas tangan, dan taspunggung. Pembuatan ketiga produk itu membutuhkan bahanmentah berupa kulit asli. Proses produksi juga membutuhkan duajenis tenaga kerja terampil untuk menjahit dan finishing. Tabelberikut memberikan ketersediaan sumber daya, penggunaannya,dan keuntungan per unit produk.

Kebutuhan sumber daya untuk per unit: KetersediaanDompet Tas tangan Tas punggung harian

Kulit (ft2) 2 1 3 42Menjahit (jam) 2 1 2 40Finishing (jam) 1 0,5 1 45

Harga jual ($) 24 22 45

Formulasikan problem ini dengan model PL dan tentukan solusioptimalnya dengan menggunakan metode simpleks.