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Série de Fourier
GRUPO 1 | 3
ÍNDICE
I: TEORIA 5
SÉRIES DE FOURIER E TRIGONOMÉTRICA 6
SERIES TRIGONOMÉTRICAS 6
Definição 1. 6
T EOREMA 1. 1 ( SOBRE DECOMPOSIÇÃO DE UMA FUNÇÃO PAR E IMPAR ). 7
SÉRIES DE FOURIER 8
Teorema de Derichlet. 8
Definição 1.2 9
DECOMPOSIÇÃO DA FUNÇÃO EM SÉRIE DE FOURIER NO INTERVALO DE 0 . 9
1.2.1. DECOMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES EM SÉRIES DE F OURIER NO INTERVALO DE
– 10
DECOMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES EM SÉRIES DE F OURIER NO INTERVALO DE ). 11
II: PRÁTICA 12
CONCLUSÃO 18
BIBLIOGRAFIA 19
INTRODUÇÃO
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Série de Fourier
GRUPO 1 | 4
Neste trabalho abordar-se a sobre o devido tratamento, formas resolução de problemasenvolvendo a série de Fourier.
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Série de Fourier
GRUPO 1 | 5
I: TEORIA
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Série de Fourier
GRUPO 1 | I: TEORIA 6
SÉRIES DE FOURIER E TRIGONOMÉTRICA
Series trigonométricas
Definição 1.
Denomina-se série trigonométrica uma série da forma ∑ assim temos a expressão (1).
Portanto, as constantes , (n=1,2,3,...)são coeficientes da série supracitadatrigonométrica
Se a série (1) convergir a sua soma é uma função periódica de período 2
, isto é, f(x) = f(x +2
)
Determinação dos coeficientes de séries de Four ier da função f (x), i sto é, , ;
Se a função f(x) é periódica de periodo 2, então pode se representar por uma série
trigonométrica convergente para a função f(x), no intervalo ( ou seja: f(x) = ∑ expressão (2).
Portanto , integrando em ambos membros da expressão (2) no intervalo de (
teremos:∫ ∫ ∫ ∑ .
∫ ∫ ∫ ∫ )
Desenvolvendo o integral acima em ambos membros estaremos perante, a determinar oscoeficientes de série de Fourier da função ∫ ∫ = ∫ = ∫ =
∫ , desta igualdade, ∫
A seguir para determinar multiplicamos em ambos membros da expressão (2), por ; ∫ ∑
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Série de Fourier
GRUPO 1 | I: TEORIA 7
Então integrando no intervalo de (,
teremos: ∫ ∫ ∫ ∫ ).
Nisto, calculando o integral acima em ambos membros teremos: para o integral ∫ – sera igual a 0, isto é ∫ Se n = k, teremos a seguinte situação para o segundo integral: ∫ =
∫ = ∫ +
∫ = Logo: ∫ .
Da igualdade acima teremos:
∫
Para o terceiro integral teríamos. ∫
se n = k, teremos: ∫
Vamos fazer o mesmo que fizemos para calcular para achar o , mas desta vezmultiplicando na expressão (2), por
∫ ∑ .
Se n = k, teremos: para o integral, ∫ sera iqual a zero, ∫ .
Teremos também para o segundo integral a mesma situação, isto é, igual a zero.∫ Já para o terceiro integral teremos: ∫ ∫
∫ = ∫ ∫ = ∫ ∫ = .
Logo
∫
, da igualidade teremos:
∫
(5)
Teorema 1. 1 ( sobre decomposição de uma função par e impar ).
Se for uma função par, periódica de período , e integrável em ( , então a suasérie de Fourier é dada por:
Para o 1º teremos o seguinte Caso:
Se for par então:
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Série de Fourier
GRUPO 1 | I: TEORIA 8
∑ , onde = ∫ e ∫
Para o 2º teremos o seguinte Caso :
Se for impar, então:
~∑ dx, omde ∫
Ex: Seja f: IR → IR periódica de período definida por = 9x, para .Desenvolva em série de Fourier a função dada.
Resolução:
Uma vez que
=
+
+
sinkx), tratando-se duma função impar teremos o
desenvolvimento em seno, isto é,
∫ = ∫
Integrando por partes teremos:
∫ = + ∫ = +
= logo ∫ = = = (k
(k + 1 portanto a série de Fourier temos:
∑ =∑ k + 1 = 2∑ k + 1 , se k = 2n – 1
Logo teremos: 2∑ 2n .
Séries de Fourier
Teorema de Derichlet.
Diz se uma função satisfaz as condições de DERICHLET em um intervalo ( a, b), se nesteintervalo a função:
a) Está uniformemente restrita, isto é, para , onde M é constante.
b) Não tem mais que um número finito de pontos de descontinuidade todos eles da primeiraespécie ( isto é, em cada ponto de descontinuidade ξ, a função tem um limite finitoa esquerda e um limite finito a direita.
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Série de Fourier
GRUPO 1 | I: TEORIA 9
S [f] (x) = + ∑ ,
c) Não tem mais que um número finito de pontos extremos. E deve se ter em mente ques[f](x) convergir uniformemente a f em todo intervalo fechado em que f e continua.
Definição 1.2
A série trigonométrica formado pelos coeficientes (3), (4) e (5), chama-se série de Fourier dafunção .
Os coeficientes definidos pelos fórmulas (3), (4) e (5) denomina-se coeficientes de Séries deFourier da função Ex: Desenvolva em séries de Fourier no intervalo de – , para = – 1 e nos intervalos de 0
∫ = ∫ – ∫ = – + = 0
∫ = – ∫ +
∫ = – +
= 0
∫ = –
∫ + ∫ =
–
– +
= –
= (1
Se k for par, teremos: (1 = 0, k = 2n
Se k for impar, teremos: (1 =
, K = 2n –
Logo = + + sinkx)
= ∑ = =
Decomposição da função
em série de Fourier no intervalo de 0
.
A função decompõe se tanto em séries de cossenos ou em séries de senos, pois podemos terum desenvolvimento de forma par ou impar.
Exemplo: Desenvolva a função = no intervalo 0 em séries de seno.
Resolução: Como o pedido é desenvolver a função = em séries incompleta de Fourierneste caso em ordem a senos, estaremos neste caso a achar o coeficiente .
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Série de Fourier
GRUPO 1 | I: TEORIA 10
∫ =
∫
Integrando por partes temos:
Sabendo que , substituindo na expressão (2) teremos a seguinte série de Fourier
∑
.
1.2.1. Decomposição de funções em séries de Fourier no intervalo de –
Se uma função satisfaz as condições de DIRICHLET no intervalo – ), decomprimento 2, para os pontos de continuidade da função, pertencentes a este intervalo se
verificará o seguinte desenvolvimento: = + + +
+ ... +
+
.
Do desenvolvimento acima teremos:
= +
+ sin
) e os coeficientes (3), (4) e (5) serão calculados
pelas seguintes fórmulas:
∫
∫
∫
Nos pontos de descontinuidade da função nos extremos de intervalo , a soma desérie de Fourier é determinada igualmente como se faz quando se desenvolve no intervalo de(.
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Série de Fourier
GRUPO 1 | I: TEORIA 11
Decomposição de funções em séries de Fourier no intervalo de ).
No caso em que a função se desenvolve em séries de Fourier em um intervaloarbitrário ) de comprimento , os limites de integração dos coeficientes devem ser substituidos respectivamente por
Assim teremos: = + + + +...+
+ .
Que corresponde a: = +
+ sin
)
Exemplo:
Desenvolva em série de Fourier a função se Resolução:
Primeiro teremos que determinar o , no intervalo acima dado.
, neste caso e , substituindo o teremos: => => .
∫
∫
∫
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Série de Fourier
GRUPO 1 | II: PRÁTICA 12
II: PRÁTICA
1. Desenvolver em series de fourier, no intervalo ( –
f(x) = , a0 = ? ak =? ak = ?
f (x) + ∑ +
∫ dx ; ∫ ∫
∫
∫
= 2
Asseguir vamos integral por parte:
porque a função é par.
∑
se: k=2n – 1
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Série de Fourier
GRUPO 1 | II: PRÁTICA 13
2. Desenvolver a função em séries incompletas de Fourier no intervalo indicado em série de
senos de arcos múltiplos;
Resolução:
|
Se
Então
3. utilizando o desenvolvimento em seno da função no intervalo [0; π] calcule a
soma da série
∑
Por ser em desenvolvimento de seno
|
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Série de Fourier
GRUPO 1 | II: PRÁTICA 14
Se Então
Como
4. Desenvolver em série de Fourier, no intervalo de (0; π), a função .
|
|
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Série de Fourier
GRUPO 1 | II: PRÁTICA 15
∑
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Série de Fourier
GRUPO 1 | II: PRÁTICA 16
5.Desenvolver a função em séries de Fourier, no intervalo indicado
∫ ∫
[ ]
( ) ( ) (
) (
)
| ( ) ( ) |
( ) ( )
[|
|
] ( ) ( ) [| |]
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Série de Fourier
GRUPO 1 | II: PRÁTICA 17
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
|
( ) ( ) |
( ) ( ) [| | ]
( ) ( ) [| |] ( ) ( ) |
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Série de Fourier
GRUPO 1 | CONCLUSÃO 18
CONCLUSÃOAo fim deste trabalho verificou-se métodos de resolução de problemas envolvendo a série deFourier pela forma trigonométrica.
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Série de Fourier
GRUPO 1 | 19
BIBLIOGRAFIADEMIDOVITCH, B, BARANENKOR, G, et all, Problemas e Exercícios de AnáliseMatemática, Mir Moscovo, 1ª edição, 1977, URSS.
DEMIDOVITCH, B, BARANENKOR, G, et all, Problemas e Exercícios de AnáliseMatemática, Mir Moscovo, 2ª edição, 1978, URSS.
PISKUNOV,N, Cálculo Diferêncial e Integral, Mir Moscovo, 3ª edição, 1977, URSS.
Disponível em :
lwww.ime.usp.br/~oliveira/serieFourierwww.dt.fee.unicamp.br/
~www/.../node237.html
www.estv.ipv.pt/PaginasPessoais/sousa/SeriesFourier
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Série de Fourier
GRUPO 1 | BIBLIOGRAFIA 20