EL PÉNDULO INVERTID

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• Un péndulo invertido es un péndulo que tiene su masa por encima de su punto de giro. A menudo se implementa con el punto de pivote montado en un carro que puede moverse horizontalmente y puede ser llamado un carro y el poste. La mayoría de las aplicaciones de limitar el péndulo a 1 grado de libertad por la colocación del poste a un eje de rotación. Considerando que un péndulo normal es estable cuando se cuelga hacia abajo, un péndulo invertido es inherentemente inestable, y debe ser activa equilibrada con el fin de permanecer en posición vertical; esto puede hacerse ya sea aplicando un par en el punto de pivote, moviendo el punto de pivote horizontal como parte de un sistema de retroalimentación, cambiando la velocidad de rotación de una masa montada sobre el péndulo sobre un eje paralelo al eje de pivote y generando así un par neto en el péndulo, o haciendo oscilar el punto de pivote vertical. Una simple demostración de mover el punto de pivote en un sistema de retroalimentación se consigue equilibrar un palo de escoba vuelta hacia arriba en el extremo de un dedo.

CONCEPTO

A continuación, se presentará el modelo matemático, que rige el funcionamiento del sistema péndulo invertido, presentándose las leyes a utilizar, para luego desarrollarlas y finalmente obtener la función de transferencia del sistema.Se van a despreciar algunas caracteristicas del sistema como son la inercia de la varilla (no la del peso), ó la fricción (rozamiento) del carro, para simplificar el sistema.

MODELADO MATEMATICO DEL PENDULO INVERTIDO

• Para el cálculo del modelo matemático del sistema se utilizan las siguientes leyes:

Segunda ley de Newton y Ley de Sumatorio de Momentos:

Donde 'm' es la masa, 'a' la aceleración ,'F' las fuerzas que actúan sobre el carro, 'I' es la inercia, 'alfa' la aceleración angular y 'M' momentos que actúan sobre el cuerpo.

• Las cuales aplicándolas a nuestro sistema y simplificando nos quedan la siguientes ecuaciones (para la obtención de estas ecuaciones se ha de recurrir a algunas reglas trigonométricas esenciales, y al cálculo de algunas derivadas):

Estas dos ecuaciones describen el comportamiento del pendulo invertido.

• Una vez obtenidas las ecuaciones que representan al sistema en el apartado anterior, las cuales describen el movimiento del sistema del péndulo invertido, se linealizan entorno al punto de equilibrio que se corresponde con el ángulo = 0º, (también se puede realizar más fácilmente por medio del método heurístico, que consiste en tomar aproximaciones para ángulos pequeños), quedando:

• Si se aplica la transformada de Laplace a cada una de las ecuaciones, tomando condiciones iniciales nulas, se puede obtener la siguiente función de transferencia del sistema:

Tomando los siguientes valores de masas, longitud de la barra y gravedad:M = 0.5 Kg.   m = 0.5 Kg.  l = 1 m.   g = 10Finalmente, se obtiene la siguiente función de transferencia:

Función de TransferenciaPéndulo Invertido

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