Pendulos acoplados (Segunda Parte)

7/24/2019 Pendulos acoplados (Segunda Parte)

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Universidad de Chile

Facultad de CienciasDepartamento de Fsica

Informe de MetodosExperimentales II

Pendulos acoplados (Segunda Parte)

Pablo Moya

Cristian FarasProf: German KremerAyud: Marco Suarez


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Indice

1. Introduccion 2

2. Objetivos 3

3. El Montaje Experimental 4

4. Marco Teorico 6

5. Datos 10

5.1. Datos base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2. Datos obtenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6. Analisis de datos 12

6.1. Experimento 2: Variacion de la masa de la varilla, mp . . . . . 17

7. Conclusiones 21

8. Bibliografa 22

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1. Introduccion

Muchas veces en Fsica el desarrollo de un tema o la introduccion deteora nueva se basa en trabajos y teoras anteriores. Dada esta situacion nospreguntamos si acaso mucha de la fsica que hoy estudiamos se debe solo altrabajo de unas pocas personas o es el resultado de hasta siglos de investi-gacion y trabajo de muchos cientficos e investigadores.

A que viene todo esto?. La respuesta es que este trabajo en particularesta basado en el informe anterior y se puede ver como una extension deltrabajo anterior. De hecho, mucha de la fsica que utilizamos en este ex-perimento esta explicada en el marco teorico anterior, y en este caso dicho

desarrollo esta destinado a pulir y explicar un poco mejor el trabajo teoricode la entrega anterior.

Recapitulemos un poco. Este trabajo y el anterior estan dedicados al es-tudio de pendulos acoplados mediante una bombilla adosada a los hilos dedichos objetos. El objetivo del trabajo anterior fue principalmente, ademasde entender la fsica del sistema, medir y relacionar el traspaso de energaentre los pendulos con la posicion de la bombilla que los acopla. En este caso,el objetivo fundamental, ya habiendo resuelto en alguna medida el problemateorico con el estudio del Lagrangianodel sistema, es ver que otras variablesinfluyen en ese traspaso de energa.

En el informe anterior, concluimos que la energa de cada pendulo tenauna forma oscilatoria con frecuencia de oscilacion igual a la del pendulo aso-ciado a ella. Lo que sigue es volver a revisar y observar el sistema para verque se logra concluir en este caso.

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2. Objetivos

1. Obtener un modelo de movimiento de los pendulos.

2. Estudiar la relacion existente entre la masa de un onjeto acoplador, conel perodo de oscilacion de los pendulos.

3. Estudiar la conexion existente entre la variacion de las amplitudes ini-ciales y las amplitudes de los pendulos.

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3. El Montaje Experimental

Se monto un experimento con las siguientes caractersticas

Se dispuso dos pendulos bifilares, cada uno con una esfera metalica, demasa m, ambas. Ademas, se fijaron 2 bombillas (b) entre ambos pendulos

(como se aprecia en la figura 1). Luego de revisar bien la simetra del pendu-lo, comenzo a probarse el sistema de medicion (sonar (A (S)) conectado vauna interfase (I) a un computador equipado con software Pasco c.

Despues de ubicar bien el sonar se dejaron los dos pendulos en su posi-cion de equilibrio, y revisando que las bombillas (b) no se deslizaran por loshilos se le dio una amplitud inicial a solo uno de los dos pendulos, dejando elotro quieto. Luego, al momento de soltar el sistema, se comenzo a medir conel sonar. Esta situacion se repitio en variadas ocasiones, registrando datospara distintas posiciones iniciales de la m1; y, luego, fijando dicha amplitudinicial, pues se vario la masa de la bombilla, adosandole partes de lapiz bic,de indentica masa entre ellas.

Cabe decir que los largos de los hilos, y los angulos se midieron con unahuincha de medir, con un error asociado de 0,5[mm]. Ademas, las masas de

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las esferas se midieron con una balanza electronica graduada en gramos, con

un error asociado de 0,05[g].

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4. Marco Teorico

Si bien podemos resolver este problema por analisis de fuerzas, dichoprocedimiento sera realmente engorroso, razon por la cual usaremos otrometodo, que sera el utilizar el lagrangiano de un sistema con varios gradosde libertad, como es el caso de un sistema de osciladores acoplados.El lagrangiano L de un sistema viene del principio de mnima acci on deHamiltonadopta, para un sistema, esta forma

L= T Udonde Tes la suma de energas cineticas de dicho sistema, y U, la suma

de las energas potenciales del sistema.

Consideremos nuestro sistema: tenemos que los dos pendulos tienen energacinetica, pero no son los unicos; tambien la varita (la bombilla en este caso)tiene una energa del mismo tipo asociada. Como se ve que, si solo se movieraun pendulo, la velocidad de la bombilla sera proporcional a dicha velocidad,y que, con el tiempo, el otro pendulo comienza a moverse, entonces, como lavelocidad de dicha vara es oscilante, pues debera ser proporcional a la restade las variaciones de los angulos1y 2, es decir,vp, la velocidad de la pajita(o bombilla, como se le quiera llamar) es

vp= K1 2luego, si situamos nuestro cero de la energa potencial encima de la pajita,

ademas de situar el cero de nuestro eje coordenado en el mismo lugar, conlos positivos de x apuntando hacia la derecha de la figura 1, y los positivosde y apuntando hacia arriba de la misma figura, entonces, podemos plantearque el lagrangiano del sistema es

L=1

2ml2

12

+ 22

+1

2mpK

1 2

2+mgl(cos(1) + cos(2))

donde mp es la masa de la pajita.

Mas tarde, definimos el siguiente operador

d

dt

L

p L

q = 0 (1)

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donde p y qson las variables de un sistema.

Ahora, si desarrollamos la ecuacion (1), como depende de 1,2, 1, 2,obtenemos dos ecuaciones

d

dt

L

1

L

1= 0

d

dt

L

2

L

2= 0

Luego, entonces, luego de hacer las derivaciones correspondientes, obte-

nemos dos ecuaciones de movimiento

ml21+mpK

1 2

+mgl sin(1) = 0 (2)

ml22 mpK

1 2

+mgl sin(2) = 0 (3)

Pero esto es el caso ideal, donde no hay roce, el cual no corresponde a larealidad; entonces, nos vemos obligados a introducir otro termino a nuestrasecuaciones anteriores; dicho termino es la fuerza de roce; que es proporcionala la velocidad de las masas; es decir, tenemos

Fr1 = 2l21 Fr2 = 2l22Ahora, si linealizamos esto, haciendo 1, 2 mucho menores que 1; y su-

mamos (2) con (3), y luego restamos (2) con (3), obteniendo

ml2

1+ 2 2l2

1+ 2

+mgl(1+2) = 0

ml2 + 2mpK

1 2 2l2

1 2

+mgl(1 2) = 0

Pero estas ecuaciones son dos ecuaciones de oscilador armonico amorti-

guado; y, en efecto, si consideramos 1= 1 2, y 2= 1+2, tenemos

ml22 2l 2+mgl2= 0 (4)2mpK+ml

2

1 2l 1+mgl1= 0 (5)

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Luego, dividiendo por los termino de 2 y 1; (4) y (5) nos quedan

2 22 2+222= 0 (6)con2=

ml y 22 =

g

l

1 2

l

2mpK+ml2

1+

mgl

2mpK+ml2

1= 0 (7)

con1= l

2mpK+ml2 y 21 =

mgl

2mpK+ml2

Entonces, si usamos como Ansatz

i(t) =Aeit

para todo i = 1, 2, 3,...Una vez que introducimos esta solucion en nuestras ecuaciones (6) y (7),

resultan las sgtes. soluciones para el caso i > i con i = 1, 2, y i(0) = 0,i(0) = 0

1(t) =0e1t

cos

21 21t

+

1

21 21

sin

21 21t

2(t) =0e

2t

cos22 22t

+

222 22

sin22 22t

Pero, como 1= 1 2, y 2= 1+2, se tiene

1(t) =1

2(1(t) +2(t)) 2(t) =

1

2(2(t) 1(t))

De esta forma

1(t) = 02

e1t cos21 21 + 121 21

sin21 21t+

+

e2t

cos22 22t

+

2

22 22t

sin22 22t

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y

2(t) = 0

2

e2t

cos22 22

+

2

22 22

sin22 22t

+

+

e1t

cos21 21t

+

1

21 21t

sin21 21t

Resulta claro que, al tener las ecuaciones de movimiento, y de posicionv/s tiempo, hemos resuelto todo el problema; y tenemos toda la informacion,de nuestro sistema, a nuestra disposicion. De esta forma, hemos concluido el

marco teorico.

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5. Datos

5.1. Datos base

Los datos base de nuestro experimento, es decir, los datos tomados antesde comenzar cualquier clase de medicion de la accion propia del experimento,son

Caso 1: Variacion de las amplitudes iniciales

Masamde los pendulos 0,011080 0,00005[kg]Largo entre barras 0,1860 0,0005[m]AlturaHde las barras ,739

0,0005[m]

Largo L de la cuerda 0,6420 0,0005[m]Largo d 0,1190 0,0005[m]x0 lanzamiento 1 0,0250 0,0005[m]x0 lanzamiento 2 0,0500 0,0005[m]x0 lanzamiento 3 0,0600 0,0005[m]x0 lanzamiento 4 0,0750 0,0005[m]Masa bombillas, mp 0,00030 0,00005[kg]

Caso 2: Variaciones con las masas de las bombillas

Masa mde los pendulos 0,011080 0,00005[kg]Largo entre barras 0,1860 0,0005[m]AlturaHde las barras ,739 0,0005[m]Largo Lde la cuerda 0,6420 0,0005[m]Largo d 0,1190 0,0005[m]x0 0,0500 0,0005[m]mp lanzamiento 1 0,00030 0,00005[kg]mp lanzamiento 2 0,00360 0,00005[kg]mp lanzamiento 3 0,00690 0,00005[kg]

5.2. Datos obtenidos

Los datos obtenidos son varias tablas con aproximadamente 700 datoscada una, y, realmente, el ponerlas aqu consideramos que sera un malgastode tiempo, tinta, hojas, y, ademas, entorpecera la lectura del informe. De-bido a esto no pondremos las tablas en el informe, pero, ciertamente estan,

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y pueden ser pedidas a alguno de los alumnos que firman el presente informe.

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6. Analisis de datos

Experimento 1: Variaciones de la posicion inicial

Los graficos de los datos tienen formas bien definidas, es intentaremosaproximarlos. Si lo conseguimos hacer bien, pues sabremos que nuestro mo-delo funciona.

Si consideramos l como (L d) cos(), donde es el angulo que se subs-tiende desde un pendulo hasta la mitad de la distancia entre las barras,denominamos = 2mpK y, ademas, consideramos nuestras ecuaciones deposicion en funcion del tiempo, que obtuvimos cuando impusimos las condi-

ciones de borde, obtenemos los siguientes graficos.

Figura 2: Grafico de posicion v/s tiempo para el lanzamiento 1, con surespectiva aproximacion, tomada con0= 0,0278[rad], con una constante

= 0,00657, y con una constante de roce= 0,0003

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Figura 3: Grafico de posicion v/s tiempo para el lanzamiento 2, con surespectiva aproximacion, para0= 0,06[rad], =

0,0657, y= 0,0002.

La lnea rara al principio de los datos experimentales corresponde a datosmal tomados; mas bien, a la mano de alguno de los dos personajes

firmantes de este informe, que no la sacaron a tiempo.

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0,006657, y

= 0,0001.

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0,00657, y= 0,0002

En general, las aproximaciones estan decentes: al principio estan muybien, pero despues comienzan a desfazarse; la verdad es que desconocemosla razon por lo cual esto ocurre, ya que, si analizamos las aproximacioneshechas en el informe pasado, cuyo marco teorico fue muy similar a este, no-taremos que los de dicho informe eran mucho mejores; de pronto podra serel roce, pero lo descartamos, ya que, probando numeros y probando numerosen una tabla en gnumeric, notamos que solo afecta el decrecimiento de lasamplitudes de las oscilaciones. Sin embargo, podemos notar que el error esmuy pequeno, sobre todo si consideramos la escala de los mismos gr aficos.

En definitiva, podemos decir que nuestro modelo se apega a la realidad,no del todo, pero lo hace bastante bien.

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Veamos entonces la relacion existente entre los obtenidos, contra las

amplitudes iniciales. Tenemos una tabla de este estilo

Tabla 1

0 por lanzamiento por lanzamiento0.0278 -0.00660.06 -0.00660.073 -0.00660.085 -0.0066

Tabla 1: Comparacion0 contra, por lanzamiento; los lanzamientos van

en orden correlativo.

Notamos, de inmediato, que no depende de la posicion inicial el valor de; cosa prevista por nuestro modelo teorico. No ocurre lo mismo con las am-plitudes iniciales, que, resulta claro al ver los graficos, vara junto con 0, peroeso esta previsto por nuestro modelo, y, de hecho, por las aproximaciones,notamos que los valores de las amplitudes de oscilacion estan dadas por nues-tras ecuaciones de posicion en funcion del tiempo, y se cumplen bastante bien.

De la misma forma, y por la contundencia de nuestra aproximacion, no-

tamos que las variaciones de energa vienen dadas por

E=1

2m((L d)cos())2

12

+ 22

+

+1

2mpK

1 2

2 mg((L d)cos())(cos(1) + cos(2))Y, de inmediato, notamos la forma en la cual se transfiere la energa de

un pendulo a otro viene dada por la ecuacion recien escrita, es decir, si consi-deramos lo que son1(t) y2(t), tenemos que la energa de cada pendulo porseparado dependera de senos y cosenos, es decir, su energa sera oscilatoria, locual es esperable, ya que las velocidades de ambos pendulos son oscilatorias,y sus posiciones tambien lo son; lo que implicara un comportamiento comoel que se ve en las ecuaciones.

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6.1. Experimento 2: Variacion de la masa de la varilla,

mp

Si juntasemos los tres graficos que obtenemos de los datos experimentales,tenemos lo siguiente

Figura 6: Comparacion de los 3 graficos posicion v/s tiempo; notamos que,si bien son muy parecidos, no son iguales, al menos en lo concerniente al

perodo de oscilacion. Unos tienen su centro mas arriba que otros, esto,debido a ciertos cambios que se hicieron en la posicion del radar con el que

se midio.

Luego, si realizamos las aproximaciones de los graficos (basandonos ennuestro modelo teorico), obtenemos lo sgte

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0,00657, y= 0,0001.

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0,00645, y= 0,0002

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0,0063, y= 0,0003

Obviamente, depende de mp, a medida quemp es mayor, entonces esmayor, es decir, el acoplamiento es mayor a medida quempcrece, justo comohabamos previsto en nuestro modelo teorico. De esto se infiere que hay unmenor traspaso de energa a medida que el acoplamiento aumenta.

Luego, tenemos que la frecuencia angular (que se relaciona directamentecon el perodo de oscilacion), guarda relacion con la suma de 2y 2, para elcaso de una frecuencia angular; y con la suma 21+

21 en el otro caso. Luego,

como nuestro modelo se ha ajustado bastante bien a la realidad, entoncespodemos dejar estas relaciones como ciertas, ya que el error porcentual de laaproximacion de nuestro modelo es inferior al 2 %.

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7. Conclusiones

Podemos mencionar que el modelo funciona, y que, al momento de in-cluir el roce, el problema de las amplitudes se resuelve, sin embargo,el problema del desfase es algo que sigue sin explicacion, al menos porparte de nosotros.

La relacion de que, a mayor masa, mayor acoplamiento, es algo cierta-mente interesante; pero, que pasara si la masa del objeto acopladorfuera muy grande en comparacion a las masas de los pendulos?, es unapregunta aun mas interesante; que podra tener como respuesta el sis-tema no se movera, lo cual es algo extrano.

Es muy interesante el caso en el cual la varilla no tuviese masa. . . que ocu-rrira? es algo para lo cual podemos especular mucho, pero no sabemosdar una respuesta; el modelo esta fundado sobre el hecho de que lavarilla tiene masa, y funciona para esos casos, pero. . . si la varilla notuviese masa?

Es algo notable el hecho de que este experimento, quizas mas que res-puestas para muchas cosas, nos deja con varias preguntas, y con muchas

otra ideas por desarrollar, y que podra serlo en algun futuro.

De todas formas, hay un conocimiento que es muy importante (y quetambien nacio de un pequeno acto obsesivo por intentar conocer todo),y que es el lagrangiano de un sistema; es absolutamente sorprendentela forma en que un experimento nos obliga a investigar e investigar masacerca de algo, mas alla de los lmites a los cuales uno pensaba llegar.

Finalmente, consideramos que los objetivos de este experimento se han

cumplido, aunque no tanto por el pruebe y corrija que habramos te-nido sin un modelo analtico al cual atarnos, pero si por el modelo que,hemos averiguado, existe, aunque vaya mas alla de los que deberamossaber.

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8. Bibliografa

Mecanica, Landau, Editorial Reverte, 1965.

Apuntes del alumno Pablo Moya, del curso de Mecanica II, dictado porVctor Munoz, el ano 2003, en su segundo semestre.

Experimentacion: Una Introduccion a la Teora de Mediciones y el Di-seno de Experimentos, D.C. Baird, Editorial Prentice Education.

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