PENERAPAN METODE CARATHÉODORY UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERIODIK

PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA

ROSITA DWI NUGRAHASTI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2008

ABSTRAK

ROSITA DWI NUGRAHASTI. Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Dibimbing oleh ENDAR H. NUGRAHANI dan ALI KUSNANTO.

Persamaan diferensial takotonom merupakan persamaan diferensial yang secara eksplisit memuat variabel bebas. Persamaan diferensial ini jika diberikan kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik.

Pada karya ilmiah ini akan dipelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki syarat batas periodik. Berdasarkan penggunaan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua adalah solusi dari minimizer persamaan variasional. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6.

ABSTRACT

ROSITA DWI NUGRAHASTI. Application of the Carathéodory Method to Determine the Periodic Solutions of Second Order Nonautonomous Differential Equations. Supervised by ENDAR H. NUGRAHANI and ALI KUSNANTO.

Nonautonomous differential equations contain explicitly independent variables. Those equations which have periodic boundary values also have periodic solutions.

This paper was to study the application of Carathéodory method to find the periodic solution of second order nonautonomous differential equation. The Carathéodory method showed that the periodic solution is equivalent to the solution obtained via the method of minimizer variational equation. Graphical analysis of the periodic solution obtained for the second order nonautonomous differential equation were visualised using a computer software Mathematica 6.

PENERAPAN METODE CARATHÉODORY UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERIODIK

PERSAMAAN DIFERENSIAL TAKOTONOM ORDE DUA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

ROSITA DWI NUGRAHASTI G54104049

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2008

Judul : Penerapan Metode Carathéodory untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua

Nama : Rosita Dwi Nugrahasti NRP : G54104049

Menyetujui:

Pembimbing I,

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. NIP. 131 842 411

Pembimbing II,

Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 131 913 135

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada Rasulullah Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini berjudul Penerapan Metode Carathéodory Untuk Menentukan Solusi Periodik Persamaan Diferensial Takotonom Orde Dua. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1. Ibu Endar H. Nugrahani selaku Pembimbing I dan Bapak Ali Kusnanto selaku Pembimbing II

yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai, Bapak Paian Sianturi selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan.

2. Bapak dan Ibu tercinta, atas segala doa, dukungan, restu dan segala kasih sayang yang telah diberikan hingga sekarang; kakak-kakakku mba Ia, mas Hari dan calon keponakanku, atas semangat dan doanya.

3. Dosen-dosen di Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

4. Dian, Ndhiet, Rite yang selalu ada selama kurang lebih 4 tahun, makasih atas semuanya. 5. Teman-teman sebangsa, setanah air dan seperjuangan, Matematika 41 : Abank, Uwie, Deedee,

Ami, Ayu, Liay, Ani, Echi, Momo, Neng, Roma, Ennie, Tities, Fitri, Liam, Mas Eli, Fred, Kokom, Jali, Mamah, Great, Aji, Nene’, Mukti, Janah, Iyank, Eeph, Roro, Enyon, Syifa, Kurenz, Rina, Darwisah, Nidia, Ika, Maryam, Mahar, Tia, Dika, Cumi, Udin, Iboy, Mazid, Chubby, Racil, Deny, Idris, Yaya, Triyadi, Mimin, Amin, Yos, Yeni, Hendri. Makasih atas kekeluargaannya selama 4 tahun di Departemen Matematika, I will miss you, guys.

6. Rina Fisika 41 (makasih pinjaman bukunya), K’Arie 39 (makasih bantuan Mathematicanya), Mate 40, Mate 42.

7. Warga Ponytail : Ponytail’s angels (Mb Mitoel, Mb Ratna, Mb Umi), Mb Empit, Mb Ninit, Dian, Nira, Mb Neni, Ratih, Mb Dian, Mb Uli, Maya, Mb Susi, Mb Nana, Ike.

8. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu.

Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Semoga penulisan karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembaca.

Bogor, Mei 2008

Rosita Dwi Nugrahasti

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Semarang pada tanggal 22 Juli 1986 dari pasangan Agus Suyono dan Sukari Tjiptaningsih. Penulis merupakan anak kedua dari dua bersaudara.

Penulis menyelesaikan pendidikan di SMU Negeri 5 Yogyakarta dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun yang sama, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Ujian Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI) di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2005-2006 sebagai staf divisi Sosial Informasi dan Komunikasi (SOSINKOM). Selama masa kepengurusan di himpunan profesi GUMATIKA, penulis sering mengikuti kepanitiaan berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2005, 2006, 2007, Try Out SPMB Nasional IKAHIMATIKA 2007.

3

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................... ix DAFTAR LAMPIRAN........................................................................................................ ix PENDAHULUAN................................................................................................................ 1 Latar Belakang................................................................................................................ 1 Tujuan............................................................................................................................. 1 L NA DASAN TEORI ........................................................................................................... 1 PEMBAHASAN .................................................................................................................. 5

Perumusan Masalah........................................................................................................ 5 Metode Carathéodory ..................................................................................................... 5 Contoh Kasus ................................................................................................................. 8

KESIMPULAN.................................................................................................................... 10 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................................... 11

4

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. Penyimpangan vertikal kurva y(x) ................................................................................. 3 2. Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory ......................................................................................... 8

3. Grafik solusi ( ) ( )1

333sin cos

10y x x x= − +⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ ............................................................ 10

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Bukti lema dan teorema ................................................................................................. 13 2. Mencari solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33)..................................................... 17 3. Mencari solusi persamaan diferensial orde pertama....................................................... 19 4. Perhitungan solusi persamaan (37)................................................................................. 22

5. Program untuk menunjukkan grafik solusi ( ) ( )1

333sin cos

10y x x x= − +⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ .............. 23

5

I. PENDAHULUAN 1. Latar Belakang

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua. Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom. Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.

Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan

diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang terjadi secara periodik.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan software Mathematica 6. 2. Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 1. (Persamaan Diferensial Orde Dua)

Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk umum

( , , ) 0F x y y′ ′′ =

dimana y diturunkan terhadap x , dyydx

′ = ,

2

2d yydx

′′ = .

[Farlow, 1994]

Definisi 2. (Persamaan Diferensial Takotonom)

Persamaan orde dua ( ), 0yy V x y′′ − ∇ = disebut persamaan diferensial takotonom dimana [ ]: 0, nV T × → kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,

( )1 2

, , ,...,yn

V V VV x yy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

T

[Ji & Shi,2006]

Definisi 3. (Solusi Periodik)

Anggap bahwa ( )x t= Φ adalah solusi periodik untuk persamaan

( ) ; nx f x x D= ∈ ⊂& dan terdapat bilangan positif T, sedemikian sehingga ( ) ( )t T tΦ + = Φ untuk maka nt∀ ∈

( )tΦ disebut solusi periodik dari ( )x t= Φ

dengan periode T. Jika ( )tΦ memiliki

periode T, maka ( )tΦ juga memiliki periode 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka disebut periodik-T.

[Verhulst, 1990]

6

Definisi 4. (Nilai Batas)

Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas.

[Rice & Strange, 1994]

Definisi 5. (Kalkulus Variasi)

Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( ) ( ) ( )( ), ,b

a

I y x y x y x′= ∫L dx

dengan dy

ydx

′ = dan ( ) [ ]1 ,y x C a b∈ .

Fungsi diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua argumennya.

L

Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan . Sehingga bentuk integral di atas

dapat diubah menjadi 0,a b= = T

( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x′= ∫L dx

dengan ( ) [ ]1 0,y x C T∈ . Masalah

selanjutnya adalah memilih fungsi ( )y x

dalam [ ]1 0,C T dengan syarat T dan kedua

titik ujung peubah ( )y x ditetapkan yaitu

dan ( ) 00y = y ( ) Ty T y= , agar

( )I y optimum (maksimum atau minimum) [Wan, 1995]

Definisi 6. (Fungsi Lagrangian)

Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah

( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x′= ∫L dx

dengan dy

ydx

′ = dan ( ) [ ]1 0,y x C T∈ .

Bentuk ( ) ( )( ), ,x y x y x′L disebut fungsi Lagrangian.

[Wan, 1995]

Definisi 7. (Panjang atau Norm Vektor)

Panjang atau norm dari suatu vektor

( )1 2, , ..., nx x x x= di dalam didefinisikan sebagai

n

2 2 2

1 2...

nx x xx = + + + .

Rumus diatas dinamakan norm Euclidean. [Mathews, 1992]

Definisi 8. (Hasil kali dalam)

Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah

1 1 2 2

1

, .

,

m m

m

i ii

..x y x y x y x y

x y x y=

= + + +

= ∑

Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi

1 1 2 2 ... .m mx y x y x y x y= + + +T [Beezer, 2006]

Definisi 9. (Himpunan konveks dan Fungsi Konveks)

Misalkan nC ⊂ adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks jika untuk semua , 'x x C∈ terdapat [ ]0,1λ ∈ maka

( )1 x x Cλ λ ′− + ∈ .

Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f memenuhi persamaan

( )( ) ( ) ( ) ( )1 1f x x f x f xλ λ λ λ′ ′− + ≤ − + .

Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika

( )2 0,f x x C∇ ≥ ∀ ∈

7

dan merupakan strictly convex jika

( )2 0,f x x∇ > ∀ ∈C .

[Hanum, 2006]

Definisi 10. (Persamaan Euler-Lagrange)

Persamaan

0f d f

y dx y

∂ ∂− =

′∂ ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian ( ), ,f x y y′ .

[Simmons, 1991]

Definisi 11. (Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi)

Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991].

Diasumsikan fungsi ( )y x yang meminimumkan integral

( )2

1

, ,x

x

I f x y y dx= ∫ ′ (1)

Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk ( )y x dengan membandingkan nilai I yang

sesuai untuk pendekatan fungsi ( )y x . Ide

utamanya yaitu ( )y x memberikan nilai minimum untuk I, I akan bertambah jika ( )y x diubah-ubah. Perubahan ini disusun

sebagai berikut. Misalkan ( )xη adalah sembarang fungsi

dengan diketahui ( )xη′′ fungsi kontinu dan

( ) ( )1 2 0x xη η= = (2)

Jika α adalah parameter, kemudian

( ) ( ) ( )y x y x xαη= + (3)

menggambarkan kelompok satu parameter dari fungsi ( )y x . Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal dari kurva ( )y x yang meminimumkan I

yaitu ( )xαη , ditunjukkan pada gambar berikut.

Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva y(x)

1x

y

2xx

( )1 1,x y

x

( )xη

( )y x

( )2 2,x y

( )xαη

( ) ( ) ( )y x y x xαη= +

Maksud dari persamaan (3) bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk masing-masing nilai pada fungsi ( )xη ,

fungsi ( )y x yang meminimumkan I termasuk kelompok satu parameter dan sesuai dengan nilai parameter 0α = .

8

Dengan ( )xη tetap,

( ) ( ) ( )y x y x xαη= + dan

( ) ( ) ( )y x y x xαη′ ′ ′= + disubstitusikan ke integral (1), dan diperoleh fungsi dari α

( ) ( )2

1

, ,x

x

I f x y yα ′= ∫ dx

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2

1

, ,x

x

f x y x x y x x dxαη αη′ ′= + +∫ (4)

Saat 0α = , persamaan (3) menghasilkan ( ) ( )y x y x= , dan karena ( )y x

meminimumkan integral, diketahui bahwa ( )I α harus minimum saat 0α = . Dengan

kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan turunan ( )I α′ saat 0α = yaitu ( )0 0I ′ = .

Turunan ( )I α′ dapat dihitung dengan menurunkan persamaan (4)

( ) ( )2

1

, ,x

x

I f x yαα

∂′ =

∂∫ y dx′ . (5)

Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh

( ), ,f x f y f y

f x y yx y yα α α α

′∂ ∂ ∂ ∂ ∂′ = + +

′∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

( ) ( )f fx x

y yη η

∂ ∂′= +

′∂ ∂.

Jadi persamaan (5) dapat ditulis

( ) ( ) ( )2

1

x

x

f fI x

y yα η η

∂ ∂′ = +

′∂ ∂

⎡⎢ ⎥⎣∫

x dx′ ⎤⎦

0

. (6)

( )0I ′ = , jadi letakkan 0α = pada persamaan (6) menghasilkan

( ) ( )2

1

0x

x

f fx x dx

y yη η

∂ ∂′+

′∂ ∂

⎡ ⎤⎢⎣ ⎦∫ =⎥ . (7)

Pada persamaan ini turunan ( )xη′ muncul

bersama dengan fungsi ( )xη . ( )xη′ dapat dieliminasi dengan mengintegralkan bagian kedua,

( ) ( ) ( )2

2 2

1 11

xx x

x xx

f f d fx dx x x dx

y y dxη η η

∂ ∂′ = −

′ ′∂ ∂ y

∂

′∂

⎡ ⎤ ⎛⎜ ⎟⎢ ⎥

⎞⎣ ⎦ ⎝∫ ∫ ⎠

( )2

1

x

x

d fx dx

dx yη

∂= −

′∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

karena persamaan (2). Persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk

( )2

1

0x

x

f d fx

y dx yη

∂ ∂dx− =

′∂ ∂

⎡ ⎛ ⎞⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎝ ⎠⎦∫ . (8)

Penarikan kesimpulan pada masalah ini berdasarkan pada nilai tetap fungsi ( )xη . Meskipun demikian karena integral pada persamaan (8) harus menjadi nol untuk setiap fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol. Sehingga dihasilkan

0f d f

y dx y

∂ ∂− =

′∂ ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(9)

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Definisi 12. (Fungsi Hamiltonian)

Persamaan ( ) ( ), , , , ,H x y s s y F x y y′ ′= − disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan ( ), ,F x y y′ adalah fungsi Lagrangian dan

( ), ,ys F x y y′′= .

[Wan, 1995]

Definisi 13. (Persamaan Hamiltonian-Jacobi)

Untuk fungsi Hamiltonian ( ), ,H x y s ,

persamaan diferensial disebut persamaan Hamiltonian-Jacobi dengan

( ), , 0y xH x y ϕ ϕ+ =

( ),x yϕ adalah fungsi

: nϕ × → .

[Wan, 1995]

9

Lema 14

Misal [ ]: 0, nS T × → adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( ) ( )0, , ,S y S T y=

( ) ( )0, , ,S S

y T yx x

∂ ∂=

∂ ∂ ,ny ∈

sehingga syarat berikut dipenuhi (1) Untuk setiap ( ) [ ], , 0, ,n nx y y T′ ∈ × ×

( ), , 0x y y′ ≥%L

(2) Untuk setiap ( ) [ ], 0, nx y T∈ × ,

persamaannya ( ), , 0x y q =%L mempunyai solusi ( , )q q x y= memenuhi

( ) ( )0, ,q y q T y= . Misal solusi dari ( , )q q x y= ( ), , 0x y q =%L

yang memenuhi ( ) ( )0, ,q y q T y= . Jika

[ ]* : 0, ny T → solusi

( ) ( )( ), ,y x q x y x′ = [ ]0,x T∈ (10)

( ) ( )0y y= T (11)

kemudian * ( )y x minimizer dari persamaan

( )min ,y

I y∈Ω

, ( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫L

maka * ( )y x adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

Teorema 15

Asumsikan bahwa [ ]: 0, nS T × → solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi

( ) ( )( ), , , ,y

Sx y H x y S x y

x

∂0+ ∇ =

∂

dan [ ]: 0, nq T × → n memenuhi

( )( ) ( ), , , , 0q yx y q x y S x y∇ − ∇ =L

Jika [ ]* : 0, ny T → solusi

( ) ( )( ), ,y x q x y x′ = [ ]0,x T∈ (12)

( ) ( )0y y T= (13)

kemudian * ( )y x minimizer dari persamaan

( )min ,y

I y∈Ω

, ( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫L

maka * ( )y x solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.

[bukti lihat Lampiran 1]

III. PEMBAHASAN

1. Perumusan Masalah

Didefinisikan persamaan diferensial takotonom

( ), 0yy V x y′′ − ∇ = (14)

dimana [ ]: 0, nV T × → kontinu dan periodik di x dengan periode T dan dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y

( )1 2

, , ,...,yn

V V VV x yy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

T

.

Akan dicari solusi periodik untuk persamaan diferensial takotonom (14). Persamaan

diferensial takotonom (14) memiliki nilai batas periodik

( ) ( )0 ,y y T= ( ) (0 .y y T′ ′= ) (15)

2. Metode Carathéodory

Pada teori kalkulus variasi [Simmons, 1991], dijelaskan bahwa diasumsikan ada fungsi ( )y x yang meminimumkan integral

( ) ( )2

1

, , .x

x

I y x y y′= ∫ L dx (16)

10

Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk ( )y x yang berbentuk

0dy dx y

⎛ ⎞∂ ∂− ⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠

L L=

)

(17)

yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange.

Fungsi ( , ,x y y′L pada integral (16) disebut sebagai fungsi Lagrangian. Didefinisikan fungsi Lagrangian

( ) ( )2| |1, , , ,2

x y y y V x y′ ′= +L

( ) [ ], , 0, n nx y y T′ ∈ × × (18)

dimana melambangkan norm Euclidean. Diasumsikan

| . |

( ), ,x y y′L adalah fungsi

konveks untuk setiap ( ) [ ], 0, nx y T∈ × dan

( ),q x y adalah minimizer ( ), ,x y y′L dimana

( ), .y q x y′ = Integral (16) dapat diubah menjadi

persamaan variasional :I Ω→

( )min ,y

I y∈Ω

(19) ( ) ( )0

, , .T

I y x y y dx′= ∫L

dengan ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1: 0, , 0 , 0 .ny x C T y y T y y T′ ′Ω = ∈ = =

Nilai batas periodik (15) merupakan syarat perlu persamaan variasional karena diasumsikan ada fungsi ( )y x ∈Ω yang

meminimumkan ( )I y . Untuk mencari minimizer dari persamaan

variasional (19) dapat digunakan fungsi Hamiltonian dan persamaan Hamiltonian-Jacobi. Didefinisikan fungsi Hamiltonian

( ) (, , , , , )H x y s s q x y q= − L (20)

dimana ( , , )x y qL adalah fungsi Lagrangian, dan persamaan Hamiltonian-Jacobi

( ) ( )(, , , ,yS x y H x y S x y ) 0x∂

+ ∇∂

= (21)

dimana [ ]: 0, n nH T × × → adalah fungsi Hamiltonian dan S adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi, untuk setiap fungsi [ ]: 0, nS T × →

( ) ( )0, , ,S y S T y=

( ) ( )0, , ,S Sy T y∂x x

∂=

∂ ∂.ny∈ (22)

Fungsi Hamiltonian dapat disubstitusi ke persamaan Hamiltonian-Jacobi sehingga diperoleh solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi.

( ) ( )( ), , , ,yS x y H x y S x y 0x∂

+ ∇ =∂

( )( ) ( ), , , ,ySH x y S x y x yx∂

∇ = −∂

( ) ( ) ( ), , , , ,ySS x y q x y q x yx∂

∇ − = −∂

L

( ) ( ) ( ), , ,ySS x y q x y q x y,x∂

∇ − = −∂

L

( ) ( ), , ,y qS x y x y q 0∇ −∇ =L

( ) ( ), ,y qS x y x y q∇ = ∇ L , (23)

diperoleh

( ) ( )21, | |2yS x y q V x y

q∂ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

,

( )21 ,2

q V x yq∂ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

.q= (24)

Jadi turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer dari persamaan variasional (19).

Didefinisikan fungsi Lagrangian baru

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,ySx y y x y y x y S x y yx∂′ ′ ′= − − ∇∂

%L L

dan

( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫ %% L

dimana

( )1 2

, , ,..., ,yn

S S SS x yy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

T

( )1 2, , ..., ny y y y′ ′ ′ ′= T .

yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu yang memenuhi

11

Untuk setiap ,y∈Ω

( ) ( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y I y x y x y x dx′− = ∫%z L

( ) ( )( )0

, ,T

x y x y x dx′−∫ %L

( )( ) ( )( ) ( )0

, , ,T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′= + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( )( )0

,T

d S x y x dxdx

= ∫

( )( )0

,T

S x y x=

( )( ) ( )( ), 0,S T y T S y= − 0

0=

Sehingga persamaan variasional (19) sama dengan persamaan variasional ekuivalen berikut

( )min ,y

I y∈Ω

% (25) ( ) ( )0

, , .T

I y x y y dx′= ∫ %% L

Diasumsikan ( ), ,x y y′%L fungsi konveks untuk

setiap ( ) [ ], 0, nx y T∈ × dan ( ),q x y

adalah minimizer ( ), ,x y y′%L dimana

( ), .y q x y′ = Karena persamaan variasional ekuivalen (25) sama dengan persamaan variasional (19) maka turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y juga merupakan minimizer dari persamaan variasional ekuivalen (25).

Pada metode Carathéodory, dicari fungsi S yang memenuhi syarat berikut

(1) Untuk setiap ( ) [ ], , 0, ,n nx y y T′ ∈ × ×

( ), , 0.x y y′ ≥%L (26)

(2) Untuk setiap ( ) [ ], 0, nx y T∈ × ,

( ), , 0x y q =%L (27)

yang mempunyai solusi ( ),q q x y= yang memenuhi

( ) ( )0, , .q y q T y= (28)

Turunan pertama solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi terhadap y merupakan minimizer persamaan variasional. Dari teorema diperoleh bahwa solusi minimizer merupakan solusi periodik persamaan diferensial takotonom. Gambar berikut adalah skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua dengan metode Carathéodory.

12

Persamaan diferensial takotonom

Fungsi Fungsi Persamaan Lagrangian Hamiltonian Hamiltonian-Jacobi

Persamaan solusi variasional Kalkulus variasi turunan pertama

minimizer solusi minimizer = turunan pertama solusi

solusi minimizer = solusi periodik persamaan diferensial takotonom

Gambar 2 Skema penyelesaian solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua

dengan metode Carathéodory

3. Contoh Kasus

Akan dicari solusi periodik persamaan diferensial takotonom berikut

( ) ( )( ) ( )( )22 5

2'' 0,

F x f x F xy y

y y

−− + + =

[ ]0,x T∈ (29)

( ) ( )0 ,y y T= ( ) ( )0 ,y y T′ ′= (30)

dimana fungsi kontinu yang memenuhi

0,T > :f →

( ) 0,f x ≡ ( ) ( ) ,f x T f x+ =

( ) ( )0

x

F x f s d= ∫ s

Jawab. Definisi persamaan diferensial takotonom

( ), 0yy V x y′′ − ∇ = .

Dari persamaan diferensial takotonom (29) dapat diambil

( ) ( ) ( ) ( )( )22 5

2,y

F xF x f xV x y y

y y−

∇ = − −

sehingga

( ) ( ) ( ) ( )( )224

1,2 2

F xF x f xV x y y

y y−

= + + .

Dengan demikian fungsi Lagrangian

( ) ( )2| |1, , ,2

x y y y V x y′ ′= +L

13

( ) ( ) ( )( )22 24

1 1 .2 2 2

F xF x f xy y

y y−

′= + + +

Fungsi Hamiltonian

( ) ( ), , , , ,H x y s s q x y q= − L

( )2| |1 ,2

sq q V x y⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( )22 24

1 1 .2 2 2

F xF x f xsq q y

y y

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(31)

( ) ( ) ( ) ( )( )22 24

1 1, ,2 2 2q

F xF x f xx y q q y

q y y

⎛ ⎞−∂ ⎜ ⎟∇ = + + +⎜ ⎟∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠

L

.q=

Dari persamaan (23), ( ), ,q x y q s∇ =L untuk fungsi Hamiltonian (31), berarti .q s= Eliminasi q dengan s, maka fungsi Hamiltonian (31) menjadi

( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 24

1 1, ,2 2 2

F xF x f xH x y s s s y

y y

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( )( )22 24

1 1 .2 2 2

F xF x f xs y

y y

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(32)

Persamaan Hamiltonian-Jacobi

( ) ( )( ), , , ,yS x y H x y S x y 0x∂

+ ∇∂

=

menjadi

( ) ( ) ( )( )222

41 1 02 2 2

F xF x f xS S yx y y y

⎛ ⎞−⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟+ − + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (33)

dimana ( ), .ys S x y= ∇

Diasumsikan solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi memiliki bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )421 2 3, ,

h xS x y h x y h x y h x

y= + + +

(34)

dimana dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( )ih x

( ) ( ) ,i ih x T h x+ = Dengan mensubstitusi persamaan (34) ke persamaan (33) diperoleh

1, 2,3, 4.i =

( ) ( )21,2

F xS x y y C

y= − +

adalah solusi persamaan Hamiltonian-Jacobi (33). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 2. Dari persamaan (24)

( ) ( ), ,yq x y S x y= ∇

2( ) .F xyy

= +

Diperoleh

( )2 ,

F xy y

y′ = + [ ]0,x T∈ (35)

( ) ( )0 .y y T= (36)

Dengan memperoleh solusi persamaan (35) maka akan diperoleh solusi periodik persamaan diferensial takotonom (29).

Diperoleh solusi persamaan (35)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )13

3

0

exp 3exp 33 exp 3 exp 3 .

1 exp 3 1 exp 3

x T

x

T xxy x s F s ds s F s ds

T T⎛ ⎞+

= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫ ∫

Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 3. Jika T 4 ,π= ( ) cos ,f x x= ( ) sinF x = x maka persamaan (29) dan (30) menjadi

14

2

2 5(sin cos ) (2sin )( ) 0,x x xy x y

y y−′′ − + + = [ ]0, 4 ,x π∈ (37)

(0) (4 ),y y π= '(0) '(4 ).y y π= (38)

Dari hasil pada contoh kasus maka dapat diperoleh

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )1

4 33

0

exp 3 exp 12 33 exp 3 sin exp 3 s

1 exp 12 1 exp 12

x

x

x xy x s sds s sds

ππ

π π

+= − + −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ in

( )1

333sin cos

10x x= − +⎛

⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (39)

adalah solusi persamaan diferensial takotonom (37). Perhitungan lengkapnya dapat dilihat di Lampiran 4. Gambar berikut adalah grafik yang memperlihatkan solusi (39) periodik. y

�2

� 3 �2

2 � 5 �2

3 � 7 �2

4 �x

1.0

0.5

0.5

1.0

Gambar 3 Grafik solusi ( ) ( )1

333sin cos

10y x x x= − +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

IV. KESIMPULAN

Dengan menggunakan metode Carathéodory didapatkan hasil bahwa solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua sama dengan solusi dari minimizer persamaan variasional yang termasuk dalam langkah-langkah metode tersebut. Jadi dapat disimpulkan bahwa metode Carathéodory dapat digunakan untuk mencari solusi periodik persamaan diferensial takotonom orde dua. Pada contoh kasus telah ditunjukkan bahwa metode Carathéodory

digunakan untuk persamaan diferensial tak linear.

15

DAFTAR PUSTAKA Beezer, R. A. 2006. A First Course in Linear

Algebra. Department of Mathematics and Computer Science: University of Puget Sound.

Boas, M. L. 1983. Mathematical Methods in The Physical Sciences 2nd Edition. Singapore: John Willey & Sons Inc.

Carathéodory, C. 1999. Calculus of Variations and Partial Differential of First Order 3rd Edition. USA: AMS Chelsea Publishing.

Farlow, S. J. 1994. An Introduction To Differential Equations and Their Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co.

Hanum, F. 2006. Pengoptimuman (Pemrograman Tak Linear). Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB.

Ji, S. G. & Shi, S. Y. 2006. Periodic Solutions for a Class of Second-Order Ordinary Differential Equations. Journal of Optimization Theory and Applications. 130: 125-137.

Mathews, J. H. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering 2nd Edition. California: Prentice-Hall International, Inc.

Purcell, E. J. 1987. Calculus with Analytic Geometry 5th Edition. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Rice, B. J. & Strange. J. D. 1994. Ordinary Differential Equation with Applications 3rd Edition. Belmont, California: Wadsworth, Inc.

Simmons, G. F. 1991. Differential Equations with Applications and Historical Notes Second Edition. Singapore: McGraw-Hill Inc.

Stewart, J. 2003. Kalkulus, edisi ke-4 jilid 2. Gunawan H. & Susila I. N., alih bahasa; Mahanani N. & Safitri A., editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus, Fourth Edition.

Tu, P. N. V. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications, Second Revised and Enlarged Edition. Berlin: Springer-Verlag.

Verhulst, F. 1990. Non Linier Differential Equation and Dynamical Systems. Hiedelberg, Germany: Springer-Verlag.

Wan, Y. M. 1995. Introduction to The Calculus of Variations and Its Application. USA: Chapman & Hall.

13

LAMPIRAN

14

Lampiran 1. Bukti Lema dan Teorema Lema 14.

Misal [ ]: 0, nS T × → adalah fungsi yang terturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( ) ( )0, , ,S y S T y=

( ) ( )0, , ,S Sy T yx x∂ ∂

=∂ ∂

,ny∈

sehingga syarat berikut dipenuhi (1) Untuk setiap ( ) [ ], , 0, ,n nx y y T′ ∈ × × ( ), , 0x y y′ ≥%L

(2) Untuk setiap ( ) [ ], 0, nx y T∈ × , persamaannya ( ), , 0x y q =%L mempunyai solusi

memenuhi .

( , )q q x y=

( ) (0, ,q y q T y= )

Misal solusi dari ( , )q q x y= ( ), , 0x y q =%L yang memenuhi ( ) (0, ,q y q T y= ) . Jika

[ ]*: 0, ny T → solusi dari

( ) ( )( ), ,y x q x y x′ = [ ]0,x T∈ (10)

( ) ( )0y y T= (11)

kemudian * ( )y x minimizer dari persamaan variasional

, ( )min ,y

I y∈Ω

( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫L

maka * ( )y x adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti Lema 14.

Misalkan [ ]* : 0, ny T → solusi persamaan (10) dapat dilihat

( ) ( )( )* , * ,y x q x y x′ = * ny ∈

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

* 0 0, * 0

* 0 *

* 0 0, * 0 , * *

y q y

y y T

y q y q T y T y

′ =

=

′ ′= = = T

sehingga dihasilkan ( ) ( )* 0 *y y T′ ′= , yang berarti *y ∈Ω . Dengan syarat (1) dan (2), maka

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ), , , * , , *x y x y x x y x q x y x′ ≥ =% %L L 0

Untuk setiap y ∈Ω ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0

* , , , * , *T

I y I y x y x y x x y x y x dx⎡ ⎤′ ′− = −⎣ ⎦∫ L L

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0

, , , , ,T

ySx y x y x x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′ ′= + + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ %L

15

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0

, * , * , * , * , *T

ySx y x y x x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′ ′− + + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ %L

( ) ( )( ) ( ) ( )( )0

, , , * , *T

x y x y x x y x y x dx⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( ) ( )0

, , ,T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′+ + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( )( ) ( )( ) ( )0

, * , * , *T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′− + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( ) ( )0

, , ,T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′+ + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( )( ) ( )( ) ( )( )0

, * , * , , *T

yS x y x S x y x q x y x dxx∂⎡ ⎤− + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( )0 0

, ,T T

d dS x y x dx S x y x dxdx dx

+ −∫ ∫ *

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( )0 0

, , *T T

S x y x S x y x+ −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), 0, 0 , * 0, *S T y T S y S T y T S y⎡ ⎤ ⎡+ − − −⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎤⎦

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *

0

T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦

≥

∫ % %L L

jadi ( ) ( )* ,I y I y≥ y ∈ΩNilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional

( )min ,y

I y∈Ω

. ( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫L

Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya * ( )y x maka nilai batas periodik (11) dipenuhi. * ( )y x adalah solusi dari persamaan (10) dengan nilai batas periodik (11) maka * ( )y x adalah solusi periodik. Lema 14 terbukti.

16

Teorema 15

Asumsikan bahwa [ ]: 0, nS T × → solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi

( ) ( )( ), , , ,yS x y H x y S x y 0x∂

+ ∇∂

=

dan [ ]: 0, nq T × → n memenuhi ( )( ) ( ), , , , 0q yx y q x y S x y∇ −∇ =L

Jika [ ]* : 0, ny T → solusi

( ) ( )( ), ,y x q x y x′ = [ ]0,x T∈

( ) ( )0y y T=

kemudian * ( )y x minimizer dari persamaan variasional

( )min ,y

I y∈Ω

, ( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫L

maka * ( )y x solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom. Bukti teorema 15

Dengan asumsi pada S dan q, syarat (1) dan (2) dipenuhi. Dengan Lema 14, teorema siap dibuktikan. Misalkan [ ]* : 0, ny T → solusi

( ) ( )( ), ,y x q x y x′ = [ ]0,x T∈ (12)

( ) ( )0y y T= (13)

dapat dilihat

( ) ( )( )* , * ,y x q x y x′ = * ny ∈

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

* 0 0, * 0

* 0 *

* 0 0, * 0 , * *

y q y

y y T

y q y q T y T y

′ =

=

′ ′= = = T

sehingga dihasilkan ( ) ( )* 0 *y y T′ ′= , yang berarti *y ∈Ω . Dan juga, dengan (1) dan (2) maka

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ), , , * , , *x y x y x x y x q x y x′ ≥ =% %L L 0

Untuk setiap y ∈Ω , diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0

* , , , * , *T

I y I y x y x y x x y x y x dx⎡ ⎤′ ′− = −⎣ ⎦∫ L L

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0

, , , , ,T

ySx y x y x x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′ ′= + + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ %L

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0

, * , * , * , * , *T

ySx y x y x x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′ ′− + + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ %L

17

( ) ( )( ) ( ) ( )( )0

, , , * , *T

x y x y x x y x y x dx⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( ) ( )0

, , ,T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′+ + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( )( ) ( )( ) ( )0

, * , * , *T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′− + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( ) ( )0

, , ,T

yS x y x S x y x y x dxx∂⎡ ⎤′+ + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( )( ) ( )( ) ( )( )0

, * , * , , *T

yS x y x S x y x q x y x dxx∂⎡ ⎤− + ∇⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( )0 0

, ,T T

d dS x y x dx S x y x dxdx dx

+ −∫ ∫ *

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( )0 0

, , *T T

S x y x S x y x+ −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦∫ % %L L

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), 0, 0 , * 0, *S T y T S y S T y T S y⎡ ⎤ ⎡+ − − −⎣ ⎦ ⎣ 0 ⎤⎦

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0

, , , * , , *

0

T

x y x y x x y x q x y x dx⎡ ⎤′= −⎣ ⎦

≥

∫ % %L L

jadi ( ) ( )* ,I y I y≥ . y ∈ΩNilai batas periodik adalah syarat perlu dari persamaan variasional

( )min ,y

I y∈Ω

. ( ) ( ) ( )( )0

, ,T

I y x y x y x dx′= ∫L

Oleh karena itu, jika persamaan variasional dipenuhi yaitu menemukan minimizernya * ( )y x maka nilai batas periodik (13) dipenuhi. * ( )y x adalah solusi dari persamaan (12) dengan nilai batas periodik (13) maka * ( )y x adalah solusi periodik. Teorema 15 terbukti.

18

Lampiran 2 Mencari Solusi Persamaan Hamiltonian-Jacobi (33) Akan dicari solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi berikut

( ) ( ) ( )( )2 2

2

4

1 10

2 2 2

F x f x F xS Sy

x y y y

−∂ ∂+ − + +

∂ ∂

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= . (33)

Diasumsikan bahwa solusi memiliki bentuk

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 41 2 3,

h xS x y h x y h x y h x

y= + + + ,

)

(34)

dimana dapat diturunkan dan turunannya kontinu dan memenuhi

( )ih x ( ) ( ,i ih x T h x+ =1, 2,3, 4.i =

Dari persamaan (34)

( ) ( ) ( )41 2 2

2S h

h x y h xx

y y

∂= + −

∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 21 4 2 4 4

1 1 2 2 2 4

4 24 4

S h x h x h xh x y h x h x y h x

y y

∂= + − + − +

∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

h x h x

y y

( ) ( ) ( ) ( )2 41 2 3

S hh x y h x y h x

x

x y

′∂ ′ ′ ′= + + +∂

disubstitusikan ke persamaan (33)

( ) ( ) ( )( )2 2

2

4

1 1

2 2 2

S S F x f x F xy

x y y y

∂ ∂ −= − + + +

∂ ∂

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )2 41 2 3

h xh x y h x y h x

y

′′ ′ ′+ + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 4 2 2 4

1 1 2 2

22 2

2

h x h x h x h x h xh x y h x h x y

y y= − − + − +

( ) ( ) ( ) ( )( )2224

4 4

1

2 2 2

h x F x f x F xy

y y

−− + + +

y

kemudian

( ) ( )21 1

122

h x h x′ = − +

( ) ( )2

1 1

12

2h x h x′ + = , (40)

( ) ( ) ( )2 1 22h x h x h x′ = −

( ) ( ) ( )2 1 22h x h x h x′ + 0,= (41)

( ) ( )2

3 2

1

2h x h x′ = −

19

( ) ( )2

3 2

10,

2h x h x′ + = (42)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 42h x h x h x F x f x′ = + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 42 ,h x h x h x F x f x′ − = − (43)

( ) ( )2 4 0,h x h x = (44)

( ) ( )( )22

4

4 40

2 2

h x F x

y y− + =

2

( )( ) ( )( )2

4 .h x F x= (45)

Dari (40)-(45), diperoleh

( )1

1,

2h x = ( )2 0,h x = ( )3 ,h x C= ( ) ( )4 ,h x F x= −

dimana C melambangkan konstanta sembarang. Sehingga diperoleh solusi

( ) ( )21,

2

F xS x y y C

y= − + .

20

Lampiran 3 Mencari Solusi Persamaan Diferensial Orde Pertama

( )2

,F x

y yy

′ = + [ ]0, ,x T∈ (35)

( ) ( )0y y= T (36)

( )2 3y y y F x′ = +

misal 3u y=

23du dy

ydx dx

=

21

3

du dyy

dx dx=

( )2 3y y y F x′ = +

( )1

3

duu F x

dx= +

( )3 3du

u F xdx

= +

( )3 3du

u F xdx

− =

( )( ) ( ) ( )exp 3 3 3 exp 3x u u F x x′− − = −

( )( ) ( )exp 3 3exp 3d ( )x u xdx

− = − F x

( ) ( ) ( )exp 3 3exp 3x u x F x d− = − +∫ x C

( ) ( ) ( )( )exp 3 3exp 3u x x F x dx= −∫ C+

1

3y u=

( ) ( ) ( )( )( )1

3exp 3 3exp 3x x F x dx= −∫ C+

( ) ( ) ( )( )( )1

33exp 3 exp 3x x F x dx= −∫ C+

( ) ( ) ( ) ( )1

3

0

3exp 3 exp 3x

y x x s F s ds C= −⎛ ⎛⎜ ⎜⎝ ⎝

∫ +⎞⎞⎟⎟⎠⎠

21

untuk 0x =

( ) ( ) ( )1

0 3

0

0 3 exp 3y s F s d= − +⎛ ⎛ ⎞⎞⎜ ⎜ ⎟⎟⎝ ⎝ ⎠⎠

∫ s C

( )1

33C=

untuk x T=

( ) ( ) ( ) ( )1

3

0

3exp 3 exp 3T

y T T s F s ds C= −⎛ ⎛⎜ ⎜⎝ ⎝

∫ +⎞⎞⎟⎟⎠⎠

T

nilai batas periodik ( ) ( )0y y=

( ) ( ) ( ) ( )1

1 3

3

0

3 3exp 3 exp 3T

C T s F s ds⇔ = − +⎛ ⎛⎜ ⎜⎝ ⎝

∫ C⎞⎞⎟⎟⎠⎠

C

C

C

ds

)s ds

( ) ( ) ( )0

3 3exp 3 exp 3T

C T s F s ds⇔ = − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

( ) ( ) ( ) ( )0

3 3 exp 3 exp 3 exp 3T

C T s F s ds T⇔ = − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

( ) ( ) ( ) ( )0

exp 3 exp 3 exp 3T

C T s F s ds T⇔ = − +∫

( ) ( ) ( ) ( )0

exp 3 exp 3 exp 3T

C T C T s F s⇔ − = −∫

( )( ) ( ) ( ) (0

1 exp 3 exp 3 exp 3T

C T T s F⇔ − = −∫

( ) ( ) ( )

( )0

exp 3 exp 3

1 exp 3

T

T s F s

CT

−

⇔ =−

∫ ds

Jadi

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

1

3

0

0

exp 3 exp 3

3exp 3 exp 31 exp 3

T

xT s F s ds

y x x s F s dsT

−

= − +−

⎛ ⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎝

∫∫

⎞⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

3

0 0

3exp 33exp 3 exp 3 exp 3

1 exp 3

x TT xx s F s ds s F s ds

T

+= − + −

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

22

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

3

0 0

3exp 3 3exp 3 3exp 3exp 3 exp 3

1 exp 3 1 exp 3

x Tx T x T xs F s ds s F s ds

T T

− + += − +

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( )( )( )

−

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

3

0 0

3exp 3 3exp 3 3exp 3 3exp 3exp 3 exp 3 exp 3

1 exp 3 1 exp 3 1 exp 3

x x T

x

x T x T x T xs F s ds s F s ds s F s ds

T T T

− + + += − + − + −

− − −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

3

0

3exp 3 3exp 3exp 3 exp 3

1 exp 3 1 exp 3

x T

x

x T xs F s ds s F s ds

T T

+= − + −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

3

0

exp 3 exp 33 exp 3 exp 3

1 exp 3 1 exp 3

x T

x

x T xs F s ds s F s ds

T T

+= − + −

− −

⎛ ⎛ ⎞⎞⎜ ⎜ ⎟⎟⎝ ⎝ ⎠⎠

∫ ∫

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

33

0

exp 3 exp 33 exp 3 exp 3

1 exp 3 1 exp 3

x T

x

x T xs F s ds s F s ds

T T

+= − + −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )1

33

0

exp 3 exp 33 exp 3 exp 3

1 exp 3 1 exp 3

x T

x

x T xy x s F s ds s F s ds

T T

+= − + −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ .

23

Lampiran 4 Perhitungan Solusi Persamaan (37)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )1

4 33

0

exp 3 exp 12 33 exp 3 sin exp 3 s

1 exp 12 1 exp 12

x

x

x xy x s sds s sds

ππ

π π

+= − + −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ in

( )( )

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )1

33 exp 3 1 exp 12 3 1

3 1 exp 3 cos 3sin exp 12 exp 3 cos 3sin1 exp 12 10 1 exp 12 10

x xx x x x x x

ππ

π π

+= − − + + − − + − +

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

1

33

3 exp 3 cos 3sin exp 3 exp 12 cos 3sin

10 1 exp 12

x x x x x xπ

π

− + − + +=

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )

1

33

3 1 expcos 3sin

10 1 exp 12x x

π

π

−= − +

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12

( )1

333sin cos

10x x= − +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

24

Lampiran 5

Program Untuk Menunjukkan Grafik Solusi ( ) ( )1

333sin cos

10y x x x= − +⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

fgs[x_]:=If[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))<0, -Abs[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))] , 1/3

Evaluate[-((3/10) (3 Sin[x]+Cos[x]))] ] 1/3

Plot[fgs[x],{x,0,4π},PlotRange→Full, Ticks→{Table[i,{i,0,4 π,π/2}]},AxesLabel→{"x"},PlotLabel→"y"] y

�2

� 3 �2

2 � 5 �2

3 � 7 �2

4 �x

1.0

0.5

0.5

1.0