Pengambilan Contoh dari Populasi Normal

7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal

http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 1/10

TUGAS MATA KULIAH ANALISIS STATISTIKA

(Ringkasan Bab 4 : Penarikan Contoh dari Sebuah Populasi Normal)

Oleh :

Nama : Ikin Sodikin

NIM : 156090500111001

Tanggal : Senin, 21 September 2015

JURUSAN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG

2015



BAB IV

PENARIKAN CONTOH DARI SEBUAH POPULASI NORMAL

4.1 PENDAHULUAN

Penghitungan statistik-statistik yang banyak digunakan seperti , dan s sebagai ukuran

pemusatan dan penyebaran telah dibicarakan. Bila dihitung sebagai contoh, merupakan

nilai dugaan tak-bias bagi parameter populasi µ dan (salah satu sifat penduga yang mengharuskan

nilai tengah semua kemungkinan nilai dugaan dari suatu penduga sama dengan parameter yang

diduga), sedangkan s adalah nilai dugaan berbias bagi σ (karena pembaginya n-1, bukan n).

Simpangan baku nilai tengah dapat diduga dari pengamatan-pengamatan contoh melalui rumus

√ , sedangkan dalam hal ini s adalah simpangan baku contoh.

Meskipun merupakan nilai dugaan tak bias bagi µ dan , tetapi kecil sekali

kemungkinannya sama dengan parameter itu sendiri. Oleh karena itu, disarankan untuk membuat

selang kepercayaan di sekitar dengan memanfaatkan sebaran t , sehingga memberikan

keyakinan yang cukup berarti bahwa µ atau berada di dalam selang ini. Dengan cara tersebut

akan diperoleh proporsi selang yang mencakup µ, disebut sebagai peluang kepercayaan (confidence

probability) atau koefisien kepercayaan (confidence coefficient).

Metode empirik, sejauh ini, digunakan untuk memperoleh hasil-hasil berdasarkan teorema-teorema

dan prosedur-prosedur matematik dengan tingkat ketelitian yang memadai melalui penarikan

contoh berskala besar. Bab ini akan menjelaskan penggunaan penarikan contoh sebagai metode

untuk memeriksa sebaran sejumlah statistik dan prosedur pembuatan selang kepercayaan.

4.2 POPULASI NORMAL

# SEBARAN NORMAL

Sebaran normal merupakan salah satu bentuk sebaran yang sangat penting dalam teori maupun

penerapan statistika. Bentuk sebarannya menyerupai genta atau lonceng, dan disebut juga sebagai

kurva Gauss. Lokasi pusat kurva ini terletak pada µ dan gemuk kurusnya kurva bergantung pada

besarnya . Nilai yang kecil akan menyebabkan kurvanya tinggi dan ramping, sebaliknya akan

menyebabkan kurvanya pendek dan gemuk. Sebaran normal termasuk ke dalam sebaran peubahacak kontinu (dalam bentuk decimal dan biasanya dapat diukur, spt tinggi badan, berat badan, luas

lahan dan sejenisnya).

Berikut ini beberapa karakteristik atau ciri dari sebaran normal :

1) Karakteristik yang paling kasat mata adalah bentuk dari sebaran normal. Seperti yang

disebutkan sebelumnya bahwa sebaran Normal berbentuk lonceng (bell-shaped ).

2)

Simetris; simetris terhadap rata-ratanya. Rata-rata ini ditunjukkan oleh 'midpoint' di Gambar

N.1.



3)

Rata-rata, modus, dan median terletak pada satu titik yang sama. Titik ini ditunjukkan oleh

'midpoint' di Gambar N.1. Note: nilai rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung atau

aritmetik; yakni rata-rata yang pada umumnya = jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.

4)

Keseluruhan luas di bawah kurva normal bernilai 1. (Hal ini dapat dipahami dari konsep

sebaran peluang: contoh sebaran peluang yang jumlah peluang muncul A dan peluang

muncul G dari pelemparan sebuah koin adalah 1 ).

5) Asimptotic: kurva normal bersifat asimtot; maksudnya adalah kurva akan mendekati sumbu

horizontal namun tidak pernah menyentuhnya (seperti diperlihatkan pada Gambar N.2).

6) Ukuran lokasi dan dispersi ditunjukkan oleh nilai rata-rata (µ) dan standar deviasi (σ).

Berikut ini ditampilkan beberapa gambar terkait kurva normal (diambil dari powerpoint yang tidak

menyebutkan sumber sehingga tidak dapat mencantumkan sumbernya di sini) :

Gambar N.1 Bentuk Kurva Sebaran Normal Gambar N.2 Kurva Sebaran Normal

Gambar N.3. Sebaran Normal dengan Beberapa Standar Deviasi

Gambar N.3. merupakan sebaran normal dengan µ=20 dan σ = 3.1, 3.9, dan 5.0. Jika diperhatikan,

sebaran normal dengan STD (standar deviasi) yang semakin tinggi akan semakin landai; puncaknya

semakin rendah; data semakin tersebar. Seperti telah kita ketahui bahwa standar deviasi merupakan

salah satu ukuran penyebaran data yang mencerminkan keragaman data, bagaimana data menyebar

di sekitar rata-rata. Standar deviasi merupakan akar dari varians, dan varian dihitung dengan

menjumlakan jarak antara data dengan rata-rata yang telah dikuadratkan kemudian dibagi dengan

banyaknya data atau n. Dari rumus terlihat bahwa STD merupakan ukuran rata-rata jarak antara datadengan rata-rata.



Gambar N.4. berikut ini memperjelas bahwa semakin kecil sigma, maka semakin mengerucut data ke

nilai tengah.

Gambar N.4. Sebaran Normal dengan µ dan σ berbeda

Jika memiliki nilai σ sama, bentuk kurvanya akan sama seperti diperlihatkan dalam gambar berikut :

Gambar N.5. Sebaran Normal dengan σ sama dan σ berbeda

# POPULASI NORMAL

Populasi normal yaitu populasi yang memiliki sebaran normal, berasal dari suatu peubah kontinu

dengan batas tak terhingga (- ∞ sampai dengan ∞), dengan demikian suatu pengamatan dari

populasi normal dapat berupa sembarang bilangan nyata, positif, atau negatif.

Ciri menonjol dari populasi dengan sebaran normal dapat diperlihatkan dari histogram sebaran data,

dimana data pada sumbu mendatar dan frekuensi data pada sumbu tegak. Nilai-nilai pengamatan

akan terkonsentrasikan di pusat dan kemudian menyebar secara setangkup ke kedua arah, mula-

mula cepat tetapi kemudian semakin lambat. Selain itu, juga dapat dijelaskan dengan penyajian

grafik yang menggambarkan keseluruhan data pengamatan secara kumulatif. Dari grafik ini, untuk

menentukan banyaknya pengamatan (atau posisi dalam susunan tabel) dapat dilakukan dengan cara

menarik sebuah garis tegak dari sebuah titik pada sumbu mendatar sehingga memotong kurva dan

kemudian tarik garis mendatar dari titik potong dengan kurva sampai memotong sumbu tegak, dan

disitulah bilangan yang dicari itu ditemukan.

Apabila sebuah populasi normal disusun dalam sebuah tabel sebaran frekuensi dengan lebar kelas

tertentu, maka akan terlihat bahwa frekuensi data yang muncul akan terpusat ke lokasi nilai tengah

data populasi.

4.3 CONTOH ACAK DARI SUATU SEBARAN NORMAL



Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa seseorang tidak dapat mengambil suatu

contoh acak jika tidak menggunakan suatu proses mekanik. Proses mekanik untuk mendapatkan

contoh acak atau memasukkan unsur keacakan dalam suatu percobaan atau survey biasanya

menggunakan suatu tabel bilangan teracak seperti Tabel A.1. Tabel ini tersusun dari angka-angka

0,1,2,3,…..9 yang disusun dalam bentuk 100 baris dengan masing-masingnya 100 angka; jadi secara

keseluruhan ada 10000 angka acak. Angka-angka ini dihasilkan oleh sebuah computer sedemikian

rupa sehingga tidak ada alasan untuk mengharapkan bahwa suatu bilangan tertentu muncul lebih

sering daripada bilangan lainnya. Atau suatu sekuens bilangan muncul lebih sering daripada sekuens

lainnya, kecuali karena kebetulan.

Prosedur pengambilan contoh acak dengan menggunakan tabel A.1 demikian bersifat acak, setara

dengan mengambil sampel dari sebuah kantung yang berisi 100 gulungan kertas kecil yang

bertuliskan nilai pengamatan. Setiap kertas dikembalikan lagi setelah dicatat angkanya, untuk

kemuadian diasuk sebelum pengambilan berikutnya. Sehingga, penarikan contoh ini dikatakan

dengan pemulihan (with replacement). Setiap pengamatan mungkin terambil lebih dari sekali.

Penarikan contoh selalu berasal dari populasi yang sama dan peluang terpilihnya suatu pengamatan

secara praktis sama. Prosedur ini pada hakikatnya sama seperti mengambil contoh dari sebuah

populasi tak terhingga.

Penarikan contoh acak tidak boleh dilakukan secara subjektif, tetapi harus merupakan akibat dari

suatu metode yang objektif dan lebih disukai yang mekanik. Contohnya adalah dengan

menggunakan Tabel Acak A.1 tersebut tadi. Agar mudah, setiap individu dalam populasi diberi

nomor urut.

4.4 SEBARAN NILAI TENGAH CONTOH

Sebaran nilai tengah contoh dapat dilihat dengan cara menyusun tabel frekuensi dari penarikan

sejumlah contoh acak yang terdiri dari n pengamatan. Dengan lebar selang yang ditentukan, tabel

frekuensi yang disusun tersebut menonjolkan beberapa ciri dari penarikan contoh, yaitu :

a)

Sebaran nilai-tengah mendekati normal; Teori mengatakan bahwa walaupun populasi

induknya menyimpang dari normal, sebaran nilai-tengah contoh cenderung mendekati

normal bila ukuran contohnya semakin besar. Hal ini sangat penting, karena dalam

penerapannya, bentuk sebaran populasi induk jarang sekali diketahui.

b) Rata-rata dari nilai tengah-nilai tengah contoh acak mendekati nilai µ (nilai tengah populasi

induknya). Ini mengilustrasikan sifat ketakbiasan. Nilai tengah contoh dikatakan tak berbiaskarena nilai tengah dari semua nilai tengah contoh sama dengan nilai tengah populasi

induknya. Dalam teladan rata-rata dari ke-500 nilai-tengah contoh sebesar 39.79 lb, sangat

dekat dengan µ = 40 lb (nilai tengah populasi induknya).

c)

Keragaman nilai tengah contoh jauh lebih kecil daripada keragaman individunya (namun

hampir sama/mendekati). Sesuai teori bahwa (untuk populasi), dan

(untuk

contoh). Dalam teladan, untuk populasi dan √ ,

sedangkan untuk contoh, jika rumus diatas diterapkan terhadap rata-rata dari ke-500 ragam

contoh, maka diperoleh

dan

√ , sedangkan

apabila menggunakan perhitungan secara langsung terhadap masing-masing semua nilai-



tengahnya diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑

dan menjadi =

(3.71)2 = 13.76 lb

2.

4.5 SEBARAN RAGAM CONTOH DAN SIMPANGAN BAKU

Untuk setiap contoh, dihitung ragam dan simpangan bakunya. Berikut ringkasan nilai-nilainya

a) Ragam-ragam dari penarikan sejumlah contoh acak yang terdiri dari n pengamatan, akan

menumpuk disebelah kiri nilai-tengahnya, tapi mengurus disebelah kanannya (dalam arti lain

sebarannya menjulur ke kanan). Besaran ragam ( ) menyebar

menurut sebaran dengan derajat bebas (n-1). Dalam teladan, (dari tabel 4.5 sebaran

frekuensi 500 ragam bagi contoh acak 10 pengamatan), ragam contoh acaknya adalah

(diperoleh dengan merata-ratakan semua ragam contoh acaknya), sangat

menghampiri ragam populasinya Fakta ini mengilustrasikan ketakbiasan dari

sebagai suatu nilai dugaan bagi . Nilai-nilainya bervariasi antara 20 sampai dengan 380 lb2

.b)

Sedangkan simpangan-simpangan bakunya akan terlihat bahwa ragam diatas rata-ratanya

bertambah lebih cepat dibandingkan dengan ragam diatas rata-ratanya. Penarikan akar dari

ragam-ragamnya telah menghilangkan sifat kemenjuluran yang diperlihatkan oleh sebaran

dari ragam. Dalam teladan, (dari tabel 4.6 sebaran frekuensi 500 simpangan baku padanan

ragam) diperoleh nilai ̅ (diperoleh dengan cara merata-ratakan semua

simpangan baku contoh acaknya), sedangkan simpangan baku populasi = 12 lb. Dengan

cara menduga, melalui akar dari rataan ragamnya yaitu √ . Tidak

mengherankan bahwa ̅ lebih kecil daripada , karena s menduga lebih kecil σ (s penduga

yang bias bagi σ). Untuk mendapatkan nilai dugaan tak bias bagi σ, maka rumus ⟨ ⟩ akan menjadi hampiran yang sangat baik, bahkan

untuk n yang kecil sekalipun.

4.6. KETAKBIASAN

Penduga tak bias bagi adalah ∑ . Bila ragam contoh didefinisikan

sebagai ∑ , maka akan diperoleh suatu penduga yang berbias bagi , karena rata-

rata dari populasi nilai-nilai ini adalah (n-1) /n. Jumlah kuadrat dapat diperoleh kembali dari

persamaan (n-1) = ∑ . Perbedaan antara nilai-nilai yang diperoleh dengan

menggunakan n dan n-1 jelas semakin kecil jika n semakin besar.

Dalam teladan, rata-rata dari 500 ragam contoh, adalah 140.4 (dimana

∑ ), mendekati nilai

(ragam populasi induk). Sedangkan apa bila menggunakan rumus∑

(nilai ini jauh lebih kecil dari 140.4).

4.7 SIMPANGAN BAKU NILAI TENGAH CONTOH ATAU GALAT BAKU

Simpangan baku nilai-tengah merupakan salah satu statistik yang paling bermanfaat. Besaran ini

dihitung menurut rumus √

, dan merupakan penduga yang berbias bagi



(simpangan baku nilai-tengah dari suatu contoh acak berukuran n yang berasal dari suatu

populasi induk dengan simpangan baku σ.

Sesuai teladan dari tabel 4.1, untuk suatu contoh berukuran n=10, maka nilai dugaan bagi

simpangan baku populasi

√

√ . Sedangkan untuk mendapatkan nilai dugaan

bagi ragam dari ke-500 contoh itu, dapat dihitung melalui 3 cara sebagai berikut

a) ;

b) ̅ √ √ ; atau

c) ∑ ∑ ∑ ∑

Jadi prosedur pertama lebih baik jika dibandingkan dengan prosedur lainnya, yaitu dengan

menarik akar dari rata-rata ragam 500 contoh dibagi dengan n=10. Kesesuaian yang sangat dekat

antara nilai ini membuat kita dapat mengatakan dengan lebih yakin bahwa hubungandengan memang sah.

Setiap contoh acak selalu dapat menghasilkan sebuah nilai dugaan bagi galat baku nilai

tengah contoh .

Ragam, baik populasi maupun contoh, dari suatu nilai tengah contoh berbanding terbalik dengan

n, sedangkan simpangan baku nilai tengah contoh berbanding terbalik dengan √ .

4.8 SEBARAN t-STUDENT

Willian Sealy Gosset melihat bahwa penggantian dan s dalam perhitungan nilai-nilai Z tidakdapat dipercaya untuk contoh-contoh berukuran kecil, oleh karena itu sebuah peubah yang

berhubungan erat dengan peubah

, sebuah bentuk yang melibatkan dua statistik

dan , digunakan sebagai penduga untuk contoh yang berasal dari suatu sebaran normal

yang dikenal dengan t-student .

t-Student adalah simpangan nilai-tengah contoh dari nilai-tengah populasi dalam satuan

simpangan baku nilai-tengah contoh (suatu ukuran yang sering digunakan untuk menilai biasa

atau tidak biasanya suatu simpangan.

Setiap nilai derajat bebas, t mempunyai sebaran tersendiri. Dari Tabel A.3 yang memuat nilai-

nilai t, dibagian atasnya mencantumkan nilai peluang untuk nilai-nilai t lebih besar (tanda

diabaikan), peluang-peluang ini disebut sebagai peluang dua arah (two tailed probabilities).

Sedangkan, dibagian bawahnya memberikan peluang untuk nilai-nilai t yang lebih besar (tanda

tidak diabaikan), disebut juga peluang satu arah (one tailed probabilities).

Kurva untuk t bersifat setangkup, seperti yang diimplikasikan pada sebaran normal Z, namun

kurva bagi peubah acak t lebih landai (disebabkan nilai ragamnya σ>1, sedangkan ragam pada

sebaran Z, σ=1); dibagian sekitar pusat terletak dibawah kurva bagi Z, sedangkan di kedua

ekornya terletak disebelah atasnya. Bila derajat bebasnya semakin besar, dalam hal ini, n makinbesar, maka sebaran bagi t semakin mendekati normal. Oleh karena itu, pada tabel A.3 baris



terakhir db = ∞. Salah satu ciri penting dari dari t untuk contoh yang berasal dari populasi

normal adalah bahwa komponen-komponennya, yaitu dan , tidak menunjukkan adanya

hubungan.

Meskipun merupakan nilai dugaan tak bias bagi µ dan , tetapi kecil sekali

kemungkinannya sama dengan parameter itu sendiri. Oleh karena itu, disarankan untuk

membuat selang kepercayaan di sekitar dengan memanfaatkan sebaran t , sehingga

memberikan keyakinan yang cukup berarti bahwa µ atau berada di dalam selang ini. Dengan

cara tersebut akan diperoleh proporsi selang yang mencakup µ, disebut sebagai peluang

kepercayaan (confidence probability) atau koefisien kepercayaan (confidence coefficient).

Dengan menggunakan , kita ingin membuat selang sehingga dengan peluang tertentu

parameter µ berada di dalam atau di luar selang itu.

Pada pernyataan peluang :

(

) , yang mengatakan bahwa

peluang peubah acak t terletak di dalam selang dan adalah 0.95. Perhatikan

bahwa t sesungguhnya sama dengan Z tetapi dengan mengganti simpangan baku populasi

dengan nilai dugaannya dari contoh. Dengan demikian tinggal satu parameter populasi µ yang

tidak diketahui dalam peubah acak itu. Maka pernyataannya menjadi : , sekarang pernyataan ini menyatakan bahwa peluang µ terletak dalam

selang acak ( ) adalah 0.95.

Pada teladan dari tabel 4.3 dan 4.7, dalam suatu populasi nilai-nilai t, 2.5 persen lebih besar dari

+2.262 dan 2.5 persen lebih kecil dari -2.262 (terlihat dari frekuensi kumulatif satu arah pada

teoritisnya), nilai ini dilambangkan dengan

. Sedangkan jika dilihat dari frekuensi kumulatif

dua arah teoritisnya, dikatakan bahwa 5 persen dari nilai-nilai t terletak disebelah kanan dari

1.833, nilai ini dilambangkan dengan .

Dari tabel tersebut menunjukkan adanya kesesuaian yang memadai antara nilai-nilai contoh

dengan teoritiknya. Suatu perbandingan antara nilai-nilai contohdengan teoritiknya pada taraf

peluang yang lain juga menunjukkan adanya kesesuaian yang memadai.

4.9 PERNYATAAN KEPERCAYAAN

Untuk melihat apakah kepercayaan yang dinyatakan masih dapat diterima atau tidak, maka

harus dilakukan pemeriksaan terhadap pernyatan-pernyatan kepercayaan yang didasarkan padanilai-nilai contoh. Untuk setiap contoh acak dan sembarang taraf peluang, dibuat sebuah selang

kepercayaan disekitar nilai-tengah contohnya, yaitu dengan menyelesaikan kedua persamaan ± t

=

bagi µ sehingga diperoleh µ = (dalam hal ini dilambangkan l1 dan l2. Keduanya

merupakan titik ujung selang kepercayaan tertentu.

Didalam praktiknya nilai parameter µ tidak diketahui, sehingga hanya diketahui persentase

penarikan kesimpulan yang benar mengenai µ dan tidak pernah mengetahui apakah µ terletak

dalam suatu selang kepercayaan tertentu.

Sebaran nilai-tengah contoh terpusat pada nilai-tengah populasi dan tidak pada nilai-tengah

contoh tertentu. Sehingga salah apabila ada anggapan bahwa selang kepercayaan 95 persen



disekitar nilai-tengah contoh menunjukkan bahwa 95 persen dari nilai-tengah-nilai-tengah

contoh akan jatuh di dalam selang tertentu. Akan lebih baik jika digunakan prosedur

pengamatan atau nilai-tengah yang akan datang atau dengan prosedur selang toleransi.

4.10 PENARIKAN CONTOH SELISIH DUA PENGAMATAN

Untuk menentukan apakah ada perbedaan respon yang sesungguhnya natara dua perlakuan

atau apakah perbedaan yang teramati cukup kecil untuk berasal dari faktor kebetulan, maka

dapat dilakukan dengan memperhatikan hasil-hasil dari suatu prosedur penarikan contoh

terhadap dua perlakuan boneka. Dengan kata lain, mengambil contoh dari satu populasi tetapi

menganggap data yang diperolehnya seolah-olah berasal dari dua populasi.

Beda dua pengamatan yang diambil secara acakdari suatu populasi normal akan menyebar

normal pula dengan nilai tengah nol.

Pada teladan dari penarikan 500 contoh acak dari tabel 4.1, dipasang-pasangkan secara acak dan

selisih antara unsur pertama dan kedua dari setiap pasangan diperoleh. Untuk setiap contoh

yang terdiri atas 10 beda (D) sebanyak 250 contoh, kemudian diperoleh statistik-statistik berikut

yang diilustrasikan melalui tabel 4.8 , 4.9, 4.10, dan 4.11 :

a) Nilai-tengah Beda : -0.533 (mendekati nilai 0, yaitu sebagai nilai tengah populasi)

b)

Ragam dari beda-beda :

-

Dari rata-rata dari 250 ragam beda ( ) = 272.7

- Dengan menduga dari nilai . Sesuai dengan kaidah aritmetika diperlihatkan bahwa jika

, maka 2 dapat diduga dengan 2 . Sehingga dari tabel 4.5, telah

diketahui , jadi 2

Keduanya cukup dekat dengan 2=2(144)=288, hasil ini mengilustrasikan bahwa ragam

beda pengamatan berpasangan yang diambil secara acak dua kali dari ragam pengamatan

dalam populasi induknya. Sehingga dapat dikatakan bahwa ragam contoh dari beda

pengamatan berpasangan merupakan penduga tak bias bagi 2.

c)

Simpangan baku beda

- Rata-rata simpangan baku 250 beda ( = 16.04, atau

-

√

Keduanya masih dekat dengan simpangan baku populasi beda √ √ .

Simpangan baku itu sedikit berbias, sedangkan ragam bersifat tak bias.

d) Simpangan baku beda nilai tengah

Diketahui bahwa , dengan arti lain bahwa ragam suatu beda antara

dua nilai tengah, dilambangkan dengan , bila setiap nilai tengah berasal dari n

pengamatan. Jadi

.

-

Untuk ke 250 contoh diperoleh nilai

, atau



-

e) Nilai t

Nilai ini dihitung dengan rumus

, suatu simpangan dari nilai tengah populasi dalam

satuan simpangan baku dari . , karena . Tabel 4.12

menunjukkan sebaran yang sama dengan tabel 4.7, diantara nilai t itu, 118 positif dan 132

negatif dengan nilai tengah -0.00013.

f) Batas-batas kepercayaan bagi beda nilai tengah populasi, dalam hal ini Untuk menentukan apakah ada perbedaan sesungguhnya antara respon dari dua perlakuan,

prosedur penarikan contoh menunjukan apa yang dapat diharapkan bila sesungguhnya tidak

ada perbedaan dan hasil-hasil itu hanyalah disebabkan oleh factor kebetulan belaka.

Dengan menghitung nilai statistic t dan menentukan peluang memperoleh nilai yang sama

atau lebih besar suatu penarikan contoh acak berasal dari populasi bernilai tengah nol. Oleh

karena itu, jika peluang memperoleh nilai yang lebih besar itu kecil dan tidak yakin bahwa

penarikan contoh berasal dari suatu populasi bernilai tengah nol, maka mungkin akan

diputuskan bahwa ada beda yang nyata antara respon dari kedua perlakuan.

Selang kepercayaan menunjukkan pada kesimpulan serupa, nila suatu t contoh berada diluar

taraf peluang 5 persen atau , maka selang kepercayaan 95 persen tidak mencakup nol

(kurang yakin bahwa tidak ada perbedaan antara respon dari kedua perlakuan).

4.11 RINGKASAN

Melalui penarikan contoh dapat memperlihatkan sejumlah ciri dan teorema penting tentang

populasi yang menyebar normal, khususnya:

1. Nilai tengah contoh acak yang terdiri atas n pengamatan menyebar normal dengan nilai tengah µ

dan simpangan baku

√ . Mengenai kenormalan nilai tengah contoh, teorema ini masih

mendekati kebenaran meskipun penarikan –contohnya bukan berasal dari populasi normal;

sedangakan mengenai simpangan buku teorema diatas selalu benar).

2.

Nilai – tengah beda yang berasal dari contoh acak berukuran n pengamatan menyebar

normaldengan nilai-tengah nol dan simpangan baku

3.

Suatu contoh acak dapat menghasilkan nilai-nilai-dugaan tak-bias bagi µ, , , , dan .

4. Statistik t =

atau

menyebar secara setangkup di sekitar nilai – tengah nol

dan mengikuti sebaran t-student yang ditabelkan.

Documents

Pengambilan Contoh dari Populasi Normal