PENGANTAR-ANSTRUK-MATRIKS

1

PENGANTAR ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS

KONSEP ANALISA STRUKTURBENTUK & TYPE STRUKTUR

ELEMEN & NODE PADA STRUKTUR SISTEM KOORDINAT LOKAL & GLOBAL

PRINSIP KEKAKUAN DAN FLEKSIBILITAS

by Erwin Rommel (FT.Sipil UMM)

2

• DEF. LENTUR• DEF. GESER• DEF. AKSIAL• DEF. TORSIS

equilibrium

compatibility

contitutive law

EXTERNAL FORCES

STRU

KTU

R

INTERNAL FORCES

• MOMEN LENTUR• GAYA GESER

GAYA NORMAL

DEFORMASI

• TRANSLASI• ROTASI

DISPLACEMENT

• GAYA NORMAL• TORSI

ANALYSIS STRUCTURES CONCEPT

3

EXAMPLES

KONSEP DASAR ANALISA STRUKTUR

EQUILIBRIUMCONSTITUTIVE LAWCOMPATIBILITYCOMPATIBILITY

4

EQUILIBRIUMKESETIMBANGAN EKSTERNAL FORCES DENGAN INTERNAL FORCES PADA STRUKTURDENGAN INTERNAL FORCES PADA STRUKTUR

KESETIMBANGAN PADA STRUKTUR ;Kesetimbangan Statis ; (Hk Newton-1)

∑ = 0F

Kesetimbangan Dinamis ; (Hk Newton-2)

∑

∑ = amF

Persamaan Kesetimbangan pada struktur

∑ = 0XF

∑ = 0YF

∑ = 0ZF ∑ = 0ZM

∑ = 0XM

∑ = 0YM

∑ ∑ Z

5

CONSTITUTIVE LAW

HUBUNGAN ANTARA INTERNAL FORCESHUBUNGAN ANTARA INTERNAL FORCES DENGAN DEFORMASI PADA BAGIAN STRUKTURSYARAT MATERIAL STRUKTUR ; ELASTIS & LINEAR (Hk Hooke)

strukturKekakuankkF =Δ= ;

strukturtasFleksibilifFf ==Δ ;

F

k

Δ

fΔ

Kekakuan struktur

Ff

Fleksibilitas struktur

6

COMPATIBILITY PERTIMBANGAN KINEMATIS DARI STRUKTURPERTIMBANGAN KINEMATIS DARI STRUKTUR YANG TERDEFORMASI ATAU “KONTINUITAS DISPLACEMENT”

0;0;00;0;0;0;0

≠Δ=Δ≠

≠Δ=Δ=

=Δ=Δ≠

DHDVD

CHCVCDCA

AHAVA

θθθ

θ

0;0;00;0;0

=Δ=Δ=

=Δ=Δ=

BHBVB

AHAVA

θθ

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN KINEMATIS (DKK)ADALAH JUMLAH DISPLACEMENT (TRANSLASI DAN

DERAJAT KETIDAKTENTUAN (DOF)

(ROTASI) YANG BELUM DIKETAHUI BESARNYA PADA UJUNG-UJUNG BATANG

• DERAJAT KETIDAKTENTUAN STATIS (DKS) ADALAH JUMLAH GAYA REDUDANT (GAYA KELEBIHAN) PADA STRUKTUR AGAR DAPAT DISELESAIKAN DENGANPADA STRUKTUR AGAR DAPAT DISELESAIKAN DENGAN PERS.KESETIMBANGAN

7

DKK = 0 DKS = 3

EXAMPLES

DKK = 5 DKS = 1

DKK = 8 DKS = 1

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR RANGKA BIDANG “PLANE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATANO S U S J• KONSTRUKSI ATAP • KONSTRUKSI PENGAKU

DEFORMASI AKSIAL

GAYA AKSIAL(TEKAN/TARIK)

8

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR RANGKA RUANG“SPACE TRUSS”

• KONSTRUKSI JEMBATANO S U S J• KONSTRUKSI TOWER • KONSTRUKSI ATAP / DOME

DEFORMASI AKSIAL

GAYA AKSIAL(TEKAN/TARIK)

BENTUK & TYPE STRUKTUR

STRUKTUR GRID“GRID STRUCTURES”

• BALOK SPRANDELO S• KONSTRUKSI LANTAI GRID• PONDASI SARANG LABA-LABA • PONDASI RAKIT

• DEF.GESER• DEF. LENTUR• DEF. PUNTIR

• GAYA GESER• MOMEN LENTUR• TORSI

9

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR PORTAL BIDANG“PLANE FRAME”

• PORTAL SEDERHANA • BANGUNAN GEDUNG • KONSTRUKSI TUNNEL / BOX

• DEF. LENTUR• DEF. GESER• DEF. AKSIAL

• MOMEN LENTUR• GAYA GESER• GAYA AKSIAL

BENTUK & TYPE STRUKTURSTRUKTUR PORTAL RUANG“SPACE FRAME”

• BANGUNAN GEDUNG

• DEF. LENTUR• DEF. GESER• DEF. AKSIAL• DEF.PUNTIR

• MOMEN LENTUR• GAYA GESER• GAYA AKSIAL• TORSI

10

STRUKTUR TERDIRI DARI ;STRUKTUR TERDIRI DARI ;1) ELEMEN ; MEMBER/BATANG 2) NODE ; JOINT/NODAL/TITIK BUHUL

TRANSFER GAYA LUAR PADA BAGIANTRANSFER GAYA LUAR PADA BAGIAN-BAGIAN STRUKTUR MELALUI ELEMEN & NODE/JOINT

Node / Joint

NODE/JOINT ; bagian dari struktur yangNODE/JOINT ; bagian dari struktur yang menghubungkan elemen-elemen struktur Node/joint terbagi atas ;1) Node/Joint Terkekang

(disebut juga “Constraint-node”) Perletakan roll, sendi, jepit

2) Node/Joint BebasPerletakan kenyal, Titik buhul, Titik kumpul

11

JOINT / NODE / NODAL

ROLLSENDI / PIN / HINGE

FREE-NODE / JOINT/ NODALJEPIT/ FIX-END

NODAL-DISPLACEMEN (u, v, w)

12

Elemen

Elemen ; bagian dari struktur yangElemen ; bagian dari struktur yang dihubungkan oleh dua atau lebih node/jointElemen terdiri atas ;1) elemen garis (elemen truss/frame/grid)1) elemen garis (elemen truss/frame/grid)2) elemen bidang (elemen pelat/dinding)3) elemen ruang (elemen hexagonal, cube)

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL+TORSI)

NODAL-FORCES (MOMEN+GESER+AKSIAL)

NODAL-FORCES (MOMEN + GESER)

13

NODAL-FORCES

NODAL-FORCES

14

NODAL-FORCES

HUBUNGAN NODAL-DISPLACEMEN DENGAN HUBUNGAN NODAL DISPLACEMEN DENGAN NODAL-FORCE BAGAIMANA ……………….………… ???HUKUM HOOKE (BAHAN MASIH ELASTIS LINEAR)

F = k x ATAU { } [ ]{ }xKF =

⎪⎫

⎪⎧⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧ n XKKKKF 111312111

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

nnnnnn

n

n

n X

XX

KKKK

KKKKKKKK

F

FF

3

2

321

3333231

2232221

3

2

15

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces

DEFORMASI AKSIAL

( )EAN

EAN

Ex

X ===σ

ε

( ) dxEANdxd xx .. ==Δ ε

( )∫ ∫ ==Δ=Δ∴L

xL NEALdx

EANd .

Dimana : A = luas tampang ; E = modulus elastis bahanL = panjang elemen

∫ ∫O EAEA

EA = axial rigidity


DEFORMASI LENTUR

zx I

yM .−=σ

Z

xx EI

yME

.−=−=

σε

dxEIM

ydx

dZ

x ..

=−=ε

θ ∫ ∫==∴L

O Z

dxEIMd .θθ EIz=flexural rigidity

16


DEFORMASI GESER

Gτγ =

bIQV

z ..

=τ

Shearing Strain ;

AGdxVfd...=λDisplacemen relatif ;Shear Stress ;

VGA

LfdxGA

VfdL

OS ....

===Δ∴ ∫ ∫λ

rigidityshearingf

GA = f = shape factor


DEFORMASI PUNTIR

rTτ TkγrTJGrT

G ..

==τγ

JGRT

Gmaks

maks ..

==τ

γ

dxJG

TdxR

d maks

.==

γφ

JrT .

=τ

JRT .

max =∴τ

J = momen inersia polar konstanta torsi G.J = torsional rigidity

TGJLdx

JGTd

L

O

..

. ===∴ ∫ ∫ φφ

17

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

Menghitung hubungan eksternal forceMenghitung hubungan eksternal force (action) dengan displacemen pada balok prismatis dapat memakai metode a.l ;

Metode “persamaan differensial balok”“Moment Area Method”Moment Area Method “Unit Load Method”

18

Elemen jepit-bebas

Elemen jepit-roll

19

Elemen sendi-roll

Elemen sendi-roll

20

PRINSIP KEKAKUAN & FLEKSIBILITAS

• KEKAKUAN atau “STIFFNESS” adalahaksi yang diperlukan untuk menghasilkanaksi yang diperlukan untuk menghasilkan “unit displacemen”

• FLEKSIBILITAS atau “FLEXIBILITY”d l h di l dih ilk l h

kg/cm ; kN/mm ; ton/m' ; a.lpanjang

gayasatuan =

adalah displacemen yang dihasilkan oleh “unit gaya”

cm/kg ; mm/kN ; m/ton ; a.l gaya

panjangsatuan =

Δ Δf

1

f fleksibilitasF {Contoh sederhana ;

D = f F

Δ Δ1

S

k = kekakuan

f = fleksibilitas

Δ ΔD

F

D = displacemen

F = gaya / action{

F = k D

kfatau

fk 1 1

==

21

A1

EXAMPLE

D1D2

STRUKTUR BALOK MENERIMA BEBAN TERPUSAT A1 DAN MOMEN LENTUR A2 PADA UJUNG KANTILEVER SEPERTI TERGAMBAR

HITUNG MATRIKS KEKAKUAN [K] DAN MATRIKS FLEKSIBILITAS [F] DARI STRUKTUR TERSEBUT ????

E,I,L S21=

S11=L 3

12EI

L 2

-6EI

1

1S22=

L

4EI

F11=

F21=

L

3EI

L2EI

2

E,I,L

F12=L

2EI

1E,I,L

1

S12=L 2

-6EI2EI

F21= LEI

2

2

1

3

1 23A

EILA

EILD +=

21

2

2 2A

EILA

EILD +=

22131612 DLEID

LEIA −=

212246 D

LEID

LEIA +−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

12

23

2

1

2

23AA

EIL

EIL

EIL

EIL

DD

{ } [ ]{ }AFD =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

2

23

2

1

46

612

DD

LEI

LEI

LEI

LEI

AA

[ ] [ ]{ }DSA =

22

⎥⎤

⎢⎡

EIL

EIL

23

23

⎥⎤

⎢⎡ −

LEI

LEI 612

23[ ][ ] =SF

SEHINGGA DAPAT DIBUKTIKAN BAHWA ;

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ EIL

EIL

EIEI

2

232

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣−

LEI

LEI

LL46

2

23[ ][ ] =SF

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+−−

)43()22()34(

66LL

LL[ ][ ] =SF

[ ][ ] =SF ⎥⎤

⎢⎡ 01

[ ][ ]S ⎥⎦

⎢⎣ 10

ATAU ; [ ] [ ] 1−= SF [ ] [ ] 1−= FS

EQUIVALENT JOINT LOADS

Pada metode matriks pengaruh beban luarPada metode matriks, pengaruh beban luar yang bekerja pada batang (atau “member loads”) dapat diekivalensikan dengan beban pada node/joint yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya.Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalentKonsep tersebut dikenal sebagai equivalent joint loads”

23

FORMULASI ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS

Metode yang dikenal s/d sekarang ;Metode yang dikenal s/d sekarang ;1) Metode Kekakuan (Metode Displacemen)2) Metode Fleksibilitas (Metode Gaya)Metode Kekakuan ; displacemen sebagai un-known value (variabel yang tidak diketahui) ( y g )dan dicari terlebih dahulu. Metode Fleksibilitas ; gaya sebagai un-known value dan dicari terlebih dahulu.

24

Metode Kekakuan Langsung

Metode yang cocok dan banyak digunakanMetode yang cocok dan banyak digunakan dalam analisis struktur berbasis program komputer (SAP2000/STAAD-PRO/ANSYS)Asumsi-asumsi dasar ; 1) Bahan struktur berperilaku “linear-elastic”2) Di l k l if k il dib di di i2) Displacemen struktur relatif kecil dibanding dimensi

/geometrik struktur3) Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan4) Elemen/batang struktur bersifat “prismatis & homogen”

PROSEDUR ANALISIS

1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan hubungan antara “gaya” dan “ deformation” (dalam koordinat LOKAL).

2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke koordinat GLOBAL.

3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam koordinat global) digabungkan(dalam koordinat global) digabungkan menjadi matriks kekakuan seluruh struktur (dengan mempertimbangkan kompatibilitas).

25

4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vektor/matriks gaya.

5. Kondisi batas pada perletakan

PROSEDUR ANALISIS

p pdiperhitungkan, dan dilakukan “static condensation” untuk memperoleh matriks kekakuan struktur ter-reduksi.

6. Matriks kekakuan struktur yang ter-reduksi tersebut memberikan persamaan kesetimbangan struktur, yang solusinya k h ilk “di l t” tiakan menghasilkan “displacement” setiap

node/joint. Kemudian gaya-gaya (reaksi perletakan) dapat diperoleh kemudian.

7. Kemudian gaya-gaya dalam dapat dihitung untuk setiap elemen.

Aplikasi Metode Kekakuan Langsung

STRUKTUR RANGKA BIDANGSTRUKTUR RANGKA BIDANG STRUKTUR RANGKA RUANGSTRUKTUR PORTAL BIDANGSTRUKTUR PORTAL RUANGSTRUKTUR GRIDSTRUKTUR GRID

Documents

PENGANTAR-ANSTRUK-MATRIKS