i

`

TESIS – SM 142501

PENGARUH PEMBANGKITAN PANAS PADA ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN FLUIDA NANO MELALUI PERMUKAAN SILINDER SIRKULAR HORIZONTAL

BAGUS JULIYANTO NRP 06111450010016 DOSEN PEMBIMBING

Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp.

PROGRAM MAGISTER DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA, KOMPUTASI, DAN SAINS DATA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2018

ii

iii

THESIS – SM 142501

THE EFFECT OF HEAT GENERATION ON MIXED CONVECTION FLOW IN NANO FLUID OVER A HORIZONTAL CIRCULAR CYLINDER BAGUS JULIYANTO NRP 06111450010016 SUPERVISOR

Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp. MASTER PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF MATHEMATICS, COMPUTING, AND DATA SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2018

iv

vi

vii

PENGARUH PEMBANGKITAN PANAS PADA ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN FLUIDA NANO MELALUI PERMUKAAN SILINDER SIRKULAR

HORIZONTAL Nama Mahasiswa : Bagus Juliyanto NRP : 06111450010016

Pembimbing : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc.

2. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp

ABSTRAK

Perpindahan panas dengan konveksi pada fluida nano yang melalui suatu

benda (plat, silinder, kerucut, atau bola), pada umumnya dengan kasus benda

dipanaskan atau didinginkan. Pada penelitian ini, membahas pengaruh

pembangkitan panas dan konveksi campuran pada aliran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal yang dipanaskan dalam bentuk dua dimensi.

Aliran fluida bersifat tak mampu-mampat (imcompressible) dan dalam keadaan

tunak (steady), aliran bergerak dari bawah ke atas, dan daerah pengamatan di titik

stagnasi terendah. Partikel nano yang digunakan adalah Cu, Al2O3, dan TiO2. Aliran

fluida nano pada permukaan silinder sirkular menimbulkan lapisan batas.

Persamaan lapisan batas yang diperoleh berupa persamaan similaritas dengan

menggunakan fungsi alir (stream function). Penyelesaian dari persamaan similaritas

dilakukan secara numerik dengan menggunakan metode beda-hingga implisit

skema Keller-Box. Hasil penelitian dengan memvariasi parameter konveksi

campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (𝜒), sumber

panas (𝑄), dan jari-jari silinder (a) adalah sebagai berikut. Pertama, peningkatan

parameter konveksi campuran (𝜆) mengakibatkan peningkatan profil kecepatan, dan penurunan profil temperatur. Kedua, peningkatan parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) mengakibatkan penurunan profil kecepatan dan temperatur. Ketiga,

peningkatan parameter nanoparticle volume fraction (𝜒) menyebabkan

peningkatan profil kecepatan pada saat nilai 𝜒 adalah 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,15 dan

penurunan profil kecepatan pada saat nilai 𝜒 adalah 0,19 < 𝜒 ≤ 0,5 serta

peningkatan profil temperatur. Keempat, peningkatan parameter sumber panas (𝑄) dan jari-jari silinder (a) mengakibatkan peningkatan profil kecepatan dan

temperatur. Keenam, partikel nano Cu, Al2O3, dan TiO2 menghasilkan profil

kecepatan dan temperatur yang sama, tetapi ketiga jenis partikel nano tersebut

berbeda pada nilai kecepatan (𝑓′) dan nilai temperaturnya (𝑇).

Kata Kunci: Fluida nano, konveksi campuran, pembangkitan panas, lapisan

batas, skema Keller-Box, silinder sirkular horizontal.

viii

ix

THE EFFECT OF HEAT GENERATION ON MIXED CONVECTION FLOW IN NANO FLUID OVER A

HORIZONTAL CIRCULAR CYLINDER

By : Bagus Juliyanto

Student Identity Number : 06111450010016

Supervisor : 1. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

2. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp

ABSTRACT

Heat transfer by convection in nanofluids past a object (plate, cylinder, cone,

or sphere) is generally the cases of a heated or cooled object. The purpose of this

reseach is to study the effect of heat generation on mixed convection flow of

nanofluids over a horizontal circular cylinder of a heated in two dimension form. A

stream of fluids are steady and incompressible, a stream flowing vertically upwards

for circular cylinder and the boundary layer at the stagnation point. Three different

types of nanoparticles considered are Cu, Al2O3, and TiO2. Mixed convection flow

in nanofluid on the surface of a circular cylinder will cause the boundary layer. The

boundary layer equations are similarity equations by using stream function.

Furthermore, an implicit finite-difference scheme known as the Keller-box method

is applied to solve numerically the resulting similar boundary layer equations. The

result of the research by varying the non-dimensional parameters are mixed

convection (𝜆), Prandtl number (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (χ), heat

generation (Q) , and radius of cylinder (a) are as follows. First, the velocity profile

increase and temperature profile decrease when mixed convection parameter

increase. Second, the velocity and temperature profiles decreases when Prandtl

number parameter increase. Third, the velocity profile with the variation of

nanoparticle volume fraction (χ) is increase when the value of χ is 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,19

and the velocity profile decrease when the value of χ is 0,19 < 𝜒 ≤ 0,5 while the

temperature profile is increase when the value of χ is 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,5. Fourth, the

velocity and temperature profiles increase when heat generation and the radius of

the cylinder increase. The last, Cu, Al2O3, and TiO2 nanoparticles produce the same

velocity and temperature profiles, but the three types of nanoparticles are different

at the velocity (𝑓′) and temperature values (𝑇).

Keywords: Nanofluid, mixed convection, heat generation, boundary layer,

Keller-Box schema, horizontal circular cylinder.

x

xi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirobbil’alamin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke

hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik serta hidayah-Nya

sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis dengan judul:

Pengaruh Pembangkitan Panas Pada Aliran Konveksi Campuran Fluida

Nano Melalui Permukaan Silinder Sirkular Horizontal

yang merupakan salah satu persyaratan akademis dalam menyelesaikan Program

Magister (S2) Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan

Sains Data (FMKSD), Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.

Tesis ini dapat diselesaikan dengan baik berkat bantuan dan dukungan dari

banyak pihak. Sehubungan dengan hal itu, penulis mengucapkan terima kasih

kepada:

1. Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc.Es., Ph.D selaku Rektor Institut Teknologi

Sepuluh Nopember.

2. Direktoral Jendral Perguruan Tinggi (DIKTI) yang telah memberikan beasiswa

BPPDN.

3. Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc selaku Dekan FMKSD Institut Teknologi

Sepuluh Nopember Surabaya dan dosen pembimbing yang telah banyak

meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, perhatian, nasehat terutama

tentang attitude, dan motivasi kepada penulis, sehingga penulis dapat

menyelesaikan Tesis ini dengan baik.

4. Dr. Imam Mukhlas, M.T selaku Kepala Departemen Matematika ITS yang telah

memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga

terselesaikannya Tesis ini.

5. Dr. Mahmud Yunus, M.Si selaku Kepala Program Studi S2 Matematika ITS

dan dosen penguji yang telah memberikan perhatian, motivasi, dan saran

kepada penulis selama perkuliahan hingga terselesainya penulisan Tesis ini.

6. Dr. Dwi Ratna Sulistyaningrum, M.T selaku Dosen Wali yang telah

memberikan nasehat dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya

Tesis ini.

xii

7. Dr. Chairul Imron, M.I.Komp selaku dosen pembimbing yang telah

meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan motivasi kepada penulis,

sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis ini dengan baik.

8. Dr. Hariyanto, M.Si selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan

pertanyaan dan saran demi perbaikan Tesis ini.

9. Seluruh dosen dan staf Departemen Matematika khususnya Program Studi S2

Matematika ITS yang telah banyak memberikan ilmu dan membantu penulis.

Selama proses mengerjakan Tesis ini, banyak pihak yang telah

memberikan bantuan dan dukungan untuk penulis. Penulis ingin mengucapkan

terima kasih dan apresisasi secara khusus kepada:

1. Ayahanda H. Qoro’in Khoir Sutono (Alm.) dan Ibunda Hj. Shofwatul Azzam

Suliyatin tercinta yang senantiasa dengan ikhlas memberikan kasih sayang,

motivasi, doa, dan nasihat-nasihat yang sungguh berarti bagi penulis.

2. Ibu mertua Hj. Siti Mariedha Setyahati, yang senantiasa dengan ikhlas

memberikan nasihat dan doa yang sangat berarti bagi penulis.

3. Pendamping hidupku tercinta Yulianna Damayanti beserta empat belahan

jiwaku M. Raihan Athallah, Zuleyka Elvaretta Maribel Az-Zahra, Syifania

Janeeta Az-Zahra, dan M. Maher Athallah. Terima kasih atas kebersamaan,

kasih sayang, kesabaran, ketulusan, kesetiaan, dukungan, dan doanya.

4. Drs. Mohamad Hasan, M.Sc., Ph.D selaku Rektor Universitas Jember dan Drs.

Sujito, Ph.D selaku Dekan FMIPA Universitas Jember. Terima kasih atas

perhatian dan dukungannya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dan

Tesis ini dengan baik.

5. Teman-teman angkatan 2014, 2015, dan 2016 terima kasih atas kebersamaan

dan dukungan yang diberikan kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa Tesis ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dari pembaca. Akhir kata,

semoga Tesis ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.

Surabaya, Januari 2018

Penulis

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR PENGESAHAN ..................................................................... v

ABSTRAK ................................................................................................ vii

ABSTRACT ............................................................................................... ix

KATA PENGANTAR .............................................................................. xi

DAFTAR ISI ............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ................................................................................ xv

DAFTAR TABEL..................................................................................... xvii

DAFTAR SIMBOL .................................................................................. xix

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ........................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah...................................................................... 3

1.3 Batasan Masalah ........................................................................ 4

1.4 Tujuan Penelitian ....................................................................... 4

1.5 Manfaat Penelitian ..................................................................... 5

BAB 2. KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

2.1 Penelitian Terdahulu ................................................................. 7

2.2 Fluida ......................................................................................... 8

2.2.1 Fluida Nano ...................................................................... 9

2.2.2 Viskositas Fluida .............................................................. 10

2.2.3 Fluida Newtonian ............................................................. 11

2.3 Perpindahan Panas Konveksi..................................................... 12

2.4 Lapisan Batas (Boundary Layer) ............................................... 13

2.5 Bilangan Non-Dimensi .............................................................. 14

2.6 Metode Beda Hingga Implisit Skema Keller-Box ..................... 17

2.7 Koordinat Silinder ..................................................................... 18

BAB 3. METODE PENELITIAN

3.1 Tempat Penelitian ...................................................................... 21

3.2 Tahapan Penelitian .................................................................... 21

xiv

BAB 4. PEMBENTUKAN MODEL MATEMATIKA

4.1 Persamaan Kontinuitas ............................................................ 26

4.2 Persamaan Momentum ............................................................. . 30

4.3 Persamaan Energi ..................................................................... 34

4.4 Model Matematika Berdimensi ................................................ 37

4.5 Model Matematika Non Dimensi ............................................. 38

4.6 Pendekatan Lapisan Batas ....................................................... 40

4.7 Fungsi Alir (Stream Function) dan Persamaan Similaritas ..... 41

4.7.1 Fungsi Alir (Stream Function) ....................................... 41

4.7.2 Persamaan Similaritas ..................................................... 42

BAB 5. PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA

5.1 Pembentukan Persamaan Orde Satu ....................................... 45

5.2 Diskritisasi ............................................................................... . 46

5.3 Linierisasi ................................................................................. 49

5.4 Teknik Eliminasi Blok ............................................................. 52

5.5 Validasi Model ......................................................................... 57

5.6 Simulasi dan Analisis Hasil ..................................................... 59

5.6.1 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Konveksi Campuran 59

5.6.2 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Bilangan Prandtl ..... 61

5.6.3 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Nanoparticle

Volume Fraction ............................................................. 63

5.6.4 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas ......... 65

5.6.5 Analisis Hasil Pengaruh Jari-Jari Silinder ...................... 66

5.7 Studi Kasus (Case Study) ........................................................ 69

5.7.1 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas pada

Partikel Nano Cu ........................................................... 70

5.7.2 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas pada

Partikel Nano Al2O3 ....................................................... 72

5.7.3 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas pada

Partikel Nano TiO2 ........................................................ 73

BAB 6. KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan ................................................................................ 77

xv

6.2 Saran ........................................................................................... 78

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 79

LAMPIRAN ............................................................................................. 81

BIODATA PENULIS .............................................................................. 97

xvi

xvii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 (a) Aliran fluida yang melalui permukaan silinder sirkular

horizontal dalam dimensi-2 dan (b) model fisik dan sistem

koordinat pada lapisan batas ........................................................... 3

Gambar 2.1 Aliran fluida diantara dua pelat datar ............................................. 10

Gambar 2.2 Aliran fluida pada airfoil ................................................................ 14

Gambar 2.3 Grid beda hingga skema keller-box ................................................ 18

Gambar 4.1 Model fisik dan sistem koordinat untuk permasalahan aliran

konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan

silinder sirkular horizontal .............................................................. 25

Gambar 4.2 Volume atur .................................................................................... 27

Gambar 4.3 Sketsa aliran fluida masuk dan keluar volume atur kendali ........... 28

Gambar 5.1 Skema beda hingga pusat ............................................................... 46

Gambar 5.2 Profil kecepatan pada validasi model ............................................. 58

Gambar 5.3 Profil temperatur pada validasi model ............................................ 58

Gambar 5.4 Profil kecepatan dengan variasi parameter konveksi

campuran (𝜆) .................................................................................. 60

Gambar 5.5 Profil temperatur dengan variasi parameter konveksi

campuran (𝜆) .................................................................................. 60

Gambar 5.6 Profil kecepatan dengan variasi parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) . 62

Gambar 5.7 Profil temperatur dengan variasi parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) 62

Gambar 5.8 Profil kecepatan dengan variasi parameter volume fraction (𝜒) .... 64

Gambar 5.9 Profil temperatur dengan variasi parameter volume fraction (𝜒) ... 64

Gambar 5.10 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) ....... 65

Gambar 5.11 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄) ..... 66

Gambar 5.12 Profil kecepatan dengan variasi jari-jari silinder (𝑎) ..................... 67

Gambar 5.13 Profil temperatur dengan variasi jari-jari silinder (𝑎) .................... 68

Gambar 5.14 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)

dengan partikel nano Cu ................................................................. 71

Gambar 5.15 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)

xviii

dengan partikel nano Cu ................................................................ 71

Gambar 5.16 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)

dengan partikel nano Al2O3 ............................................................ 72

Gambar 5.17 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)

dengan partikel nano Al2O3 ............................................................ 73

Gambar 5.18 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)

dengan partikel nano TiO2 ............................................................. 74

Gambar 5.19 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (𝑄)

dengan partikel nano TiO2 ............................................................. 74

xix

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Kondisi Aliran Fluida...................................................................... 15

Tabel 2.2 Nilai Bilangan Prandtl untuk Fluida................................................ 16

Tabel 5.1 Nilai Kecepatan Aliran Fluida (f’) dengan Variasi

Jari-Jari Silinder (a) ......................................................................... 68

Tabel 5.2 Nilai Temperatur Aliran Fluida (f’) dengan Variasi

Jari-Jari Silinder (a) ......................................................................... 69

Tabel 5.3 Bahan Thermophysical Fluida Nano ............................................... 70

xx

xxi

DAFTAR SIMBOL

𝑎 Jari-jari silinder

𝐶𝑝 Kapasitas panas fluida

(𝐶𝑝)𝑛𝑓 Kapasitas panas fluida nano

(𝐶𝑝)𝑓 Kapasitas panas fluida dasar

(𝐶𝑝)𝑠 Kapasitas panas partikel nano

𝑔 Gravitasi

𝑔𝑥 Gravitasi pada sumbu 𝑥

𝑔𝑦 Gravitasi pada sumbu y

𝐺𝑟 Bilangan Grashof

𝑘 Konduktivitas panas

𝑘𝑛𝑓 Konduktivitas panas fluida nano

𝑘𝑠 Konduktivitas panas partikel

𝑘𝑓 Konduktivitas panas fluida dasar

𝑝 Tekanan

𝑃𝑟 Bilangan prandtl

Q Pembangkit / sumber panas

𝑅𝑒 Bilangan Reynolds

𝑇 Temperatur fluida

𝑇𝑤 Temperatur permukaan silinder

𝑇∞ Temperatur lingkungan

𝑢 Komponen kecepatan fluida pada sumbu 𝑥

𝑈∞ Kecepatan aliran bebas

𝑢𝑒 Kecepatan di luar lapisan batas

𝑣 Komponen kecepatan fluida pada sumbu y

𝑥 Koordinat arah gerak pada permukaan silinder

𝑦 Koordinat arah gerak pada lapisan batas

𝛼 Difusifitas panas

𝛼𝑛𝑓 Difusivitas panas fluida nano

𝛼𝑠 Difusivitas panas partikel nano

𝛼𝑓 Difusivitas panas fluida dasar

𝛽 Koefisien perpindahan panas

𝛽𝑛𝑓 Koefisien perpindahan panas fluida nano

𝛽𝑠 Koefisien perpindahan panas partikel nano

𝛽𝑓 Koefisien perpindahan panas fluida dasar

�̇� Laju regangan geser

𝜂 Koordinat aliran fluida yang menuju titik stagnasi

pada saat x = 0

⋋ Parameter konveksi

𝜇 Viskositas / kekentalan dinamik

𝜇𝑛𝑓 Viskositas dinamis fluida nano

𝜇𝑓 Viskositas dinamis fluida dasar

xxii

𝜌 Densitas/kerapatan fluida

𝜌𝑛𝑓 Kerapatan fluida nano

𝜌𝑠 Kerapatan partikel nano

𝜌𝑓 Kerapatan fluida dasar

𝜎 Tegangan normal fluida

𝜏 Tegangan geser fluida

𝜐 Viskositas kinematic

𝜒 Nanoparticle volume fraction

𝜓 Fungsi alir

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perpindahan panas merupakan perpindahan energi dari tempat/fluida

dengan temperatur yang tinggi ke temperatur yang lebih rendah. Salah satu

perpindahan panas yang saat ini banyak digunakan pada bidang industri adalah

konveksi. Konveksi merupakan perpindahan panas karena adanya

pergerakan/aliran/ pencampuran fluida dari bagian panas ke bagian yang dingin.

Konveksi terdiri atas tiga jenis, yaitu konveksi bebas/natural (free convection),

konveksi paksa (forced convection), dan konveksi campuran (mixed convection).

Konveksi bebas merupakan gerakan mencampur yang diakibatkan oleh perbedaan

kerapatan, sedangkan apabila gerakan mencampur disebabkan oleh suatu alat

tertentu dari luar maka disebut sebagai konveksi paksa. Gabungan dari konveksi

bebas dan konveksi paksa dikenal sebagai konveksi campuran.

Gesekan antara fluida dan permukaan benda (medium) menghasilkan

tegangan geser dan menyebabkan terjadinya suatu lapisan tipis yang disebut

sebagai lapisan batas (boundary layer). Faktor-faktor yang dapat mempengaruhi

boundary layer suatu fluida antara lain viskositas dan gaya inersia benda (medium)

tersebut.

Beberapa penelitian penggunaan boundary layer pada aliran konveksi

campuran diantaranya Anwar dkk (2010) meneliti tentang aliran konveksi

campuran yang melewati silinder sirkular pada fluida viskoelastik. Bhowmick dkk

(2013) meneliti masalah aliran konveksi campuran pada fluida pseudo-plastic yang

melewati silinder sirkular horizontal dengan fluks panas permukaan seragam.

Salleh dkk (2010) meneliti tentang aliran konveksi campuran yang melewati

silinder sirkular horizontal dengan pemanasan Newtonian.

Dalam fluida terdapat sifat yang tidak menolak terhadap perubahan bentuk

dan kemampuan untuk mengalir. Sifat tersebut biasanya dikarenakan sebuah fungsi

dari ketidakmampuan fluida tersebut mengadakan tegangan geser (shear stress)

dalam ekuilibrium statis. Konsekuensi dari sifat ini adalah hukum Pascal yang

2

menekankan pentingnya tekanan dalam mengarakterisasi bentuk fluida. Fluida

dapat dikarakterisasikan sebagai Fluida Newtonian dan Fluida Non-Newtonian.

Fluida Newtonian adalah fluida yang perilakunya sesuai dengan hukum Newton,

contohnya adalah air. Fluida Non-Newtonian adalah fluida yang perilakunya

menyimpang terhadap hukum Newton (Widodo, 2012). Contoh dari fluida non-

Newtonian yaitu fluida pseudoplastic, fluida shear-thinning, fluida trixotropic,

fluida viscoelactic, dan fluida nano. Pada penelitian ini diberikan pengaruh

konveksi campuran pada fluida nano. Istilah fluida nano pertama kali digunakan

oleh Choi (1995) yang didefinisikan sebagai pengenceran partikel berukuran

nanometer (lebih kecil dari 100 nm) dalam suatu fluida (Das dkk, 2007).

Penelitian tentang fluida nano mulai meningkat karena fluida tersebut

banyak digunakan dalam bidang industri pertahanan, pengeboran minyak, industri

makanan dan kertas. Misalkan pada pengeboran minyak, fluida nano yang

mengandung panas mengalir melalui permukaan sebuah media dan mengakibatkan

terjadinya proses perpindahan panas dari fluida ke media. Tham dkk (2012) dalam

penelitian yang berjudul Mixed Convection Boundary Layer Flow from a

Horizontal Circular Cylinder in Nanofluid membahas tentang aliran yang bergerak

dari bawah ke atas dan melalui permukaan silinder sirkular horizontal dalam dua

kasus yaitu silinder yang dipanaskan dan didinginkan. Fauzi dkk (2012) meneliti

tentang aliran konveksi campuran fluida nano pada lapisan batas dengan medium

berbentuk kerucut tegak berpori. Rabeti (2014) meneliti masalah heat transfer pada

aliran konveksi campuran dari fluida nano yang melewati permukaan silinder

sirkular horizontal berpori. Srinivasacharya (2015) meneliti tentang pengaruh

stratifikasi ganda (thermal dan mass) pada aliran konveksi campuran dalam fluida

nano yang melewati plat datar tegak berpori.

Berdasarkan uraian tersebut, pada penelitian ini dibahas pengaruh

pembangkitan panas pada aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal. Pembangkitan panas dilakukan di luar

sistem dan sebelum aliran mencapai silinder sirkular horizontal tersebut. Aliran

konveksi campuran fluida nano ketika melalui permukaan silinder sirkular

horizontal menimbulkan gesekan antara fluida nano dengan silinder sirkular

horizontal, sehingga dapat merusak silinder sirkular tersebut. Besar kecilnya

3

gesekan yang timbul dikarenakan kecepatan dan temperatur aliran fluida, sehingga

sangat penting untuk mengetahui kecepatan dan temperatur aliran fluida tersebut.

1.2 Rumusan Masalah

Deskripsi dari permasalahan ini diilustrasikan pada Gambar 1.1 yang

menunjukkan bentuk geometri dari masalah lapisan batas pada silinder sirkular

horizontal. Aliran fluida nano pada permasalahan ini dianggap bergerak dari bawah

kemudian melalui permukaan silinder sirkular yang ditempatkan secara horizontal

dan dalam keadaan diam dengan jari-jari a dan temperatur dari permukaan silinder

(Tw) adalah konstan (Gambar 1.1a). Koordinat titik pada lapisan batas dinyatakan

dalam (𝑥, 𝑦) dengan x pada permukaan silinder dan y pada lapisan batas dengan

besar sudut (𝑥

𝑎). Jika 𝑥 = 0 maka disebut dengan titik stagnasi (Gambar 1.1b)

Gambar 1.1 (a) Aliran fluida yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal

dalam dimensi-2 dan (b) model fisik dan sistem koordinat pada lapisan batas.

Jika diberikan sumber panas sebesar Q pada aliran fluida nano dengan

kecepatan aliran bebasnya 𝑈∞ dan temperatur disekitarnya adalah 𝑇∞, maka

permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana perumusan model matematika dari aliran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran

dan pembangkit panas?

Aliran Fluida

dengan suhu T

g

a

O 𝑥

Tw

𝑈∞, 𝑇∞

𝑦

Tw 𝑥

𝑎

a

O

Titik stagnasi

(b) (a)

4

2. Bagaimana penerapan metode beda-hingga implisit dengan skema Keller-

Box untuk menyelesaikan model yang diperoleh pada bagian (1)?

3. Apa pengaruh parameter pembangkit panas (𝑄) dan parameter non-

dimensional konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle

volume fraction (𝜒) terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan temperatur (T)?

1.3 Batasan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini dibatasi sebagai berikut:

1. Aliran fluida bersifat tak mampu-mampat (incompressible), dalam keadaan

tunak (steady), dan aliran fluida bersifat seragam.

2. Fluida nano terbuat dari air dan partikel nano Cu (Cuprum), Al2O3

(Alumina), dan TiO2 (Titanium Dioksida).

3. Silinder sirkular horizontal dalam keadaan diam, terletak pada aliran bebas,

dan bertemperatur dinding konstan.

4. Bagian yang diteliti pada titik stagnasi terdekat dengan bluff body (𝑥 ≈ 0).

5. Penyelesaian numerik menggunakan metode beda-hingga implisit dengan

skema Keller-Box.

6. Visualisasi hasil penelitian menggunakan software MATLAB R2012a.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Membangun model matematika dari aliran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi

campuran dan pembangkit panas.

2. Mengaplikasikan metode beda-hingga implisit skema Keller-Box untuk

menyelesaikan model tersebut.

3. Menganalisa pengaruh dari parameter pembangkit panas (𝑄) dan

parameter non-dimensional konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl

(𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (𝜒) terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan

profil temperatur (T).

5

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagi peneliti dapat menambah ilmu, khususnya dalam bidang pemodelan

matematika dan penulisan karya tulis ilmiah.

2. Bagi institusi, penelitian ini dapat menambah referensi, khususnya tentang

fluida nano.

6

7

BAB 2

KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

Pada Bab ini dijelaskan penelitian-penelitian sebelumnya yang terkait

dengan penelitian ini. Selain itu juga dijelaskan tentang hal-hal yang berkaitan

dengan penelitian ini, yaitu fluida nano, konveksi campuran, lapisan batas, dan

skema Keller-Box.

2.1 Penelitian Terdahulu

Berikut ini penelitian-penelitian yang pernah dilakukan yang berkaitan

dengan Tesis ini.

1. “The Implicit Keller Box method for the one dimensional time fractional

diffusion equations”, F.S Al-Shibani, A.I.Md. Ismail, dan F.A. Abdullah

(2012), International Journal of Applied Mathematics & Bioinformatics.

Pada penelitian ini, F.S Al-Shibani, A.I.Md. Ismail, dan F.A. Abdullah

mengusulkan penggunaan skema Keller-Box implisit pada persamaan

difusi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa skema Keller-Box tanpa syarat

stabil dan skema Keller-Box layak digunakan.

2. “Mixed Convection Heat Transfer of Nanofluids about a Horizontal

Circular Cylinder in Porous Media”, M. Rabeti (2014), SOP Transactions

on nano technology.

Pada penelitian ini, M. Rabeti mengusulkan penggunaan pengaruh partikel

nano perak dan partikel nano oksida. Persamaan yang digunakan adalah

persamaan dasar yang direduksi menjadi ODE’s order dua dengan metode

similarity dan pemecahan numerik. Hasil menunjukkan bahwa

menangguhkan partikel nano dalam cairan dasar dapat meningkatkan

perpindahan panas dari silinder ketika gaya apung pada perpindahan panas

dominan. Dalam kasus ini, konveksi bebas (natural) dominan dalam

perpindahan panas.

8

3. “Mixed Convection boundary layer flow over a horizontal circular cylinder

with Newtonian heating”, Mohd Zuki Salleh, RoslindaNazar, dan Ioan Pop

(2010), International Journal of Heat Mass Transfer.

Pada penelitian ini, Mohd Zuki Salleh, Roslinda Nazar, dan Ioan Pop

mengusulkan aliran konveksi campuran yang bersifat steady yang

dihasilkan dari pemanasan Newtonian dengan heat transfer dari permukaan

adalah proporsional terhadap suhu permukaan lokal. Penyelesaian model

pada boundary layer menggunakan skema Keller-Box. Hasil penelitian ini

adalah koefisien skin fraction Re1/2Cf dan suhu dinding lokal sangat baik

untuk mengetahui profil kecepatan dan profil temperatur aliran dengan

pengaruh parameter konveksi campuran dan bilangan Prandtl.

4. “Mixed Convection boundary layer flow over a horizontal circular cylinder

in a nanofluid”, Leony Tham, Roslinda Nazar, dan Ioan Pop (2012),

International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow. Pada

penelitian ini, Leony Tham, Roslinda Nazar, dan Ioan Pop membahas aliran

konveksi campuran fluida nano pada lapisan batas yang melewati silinder

sirkular horizontal. Aliran bergerak dari bawah ke atas secara tegaklurus

terhadap silinder. Terdapat dua kasus yang dibahas dalam penelitian ini

yaitu silinder sirkular yang dipanaskan dan didinginkan. Metode yang

digunakan adalah beda-hingga implisit skema Keller-Box. Hasil penelitian

menunjukkan bahwa semakin besar nilai volume fraction maka semakin

besar juga koefisien skin friction, heat transfer rata-rata, dan nilai dari

parameter konveksi campuran. Partikel nano Cu mempunyai nilai terbesar

untuk bilangan Nusselt local dan koefisien skin friction dibandingkan

partikel nano TiO2 dan Al2O3.

2.2 Fluida

Terdapat tiga fase zat yang tersebar di alam, yaitu fase padat, gas dan cair.

Karena fase gas dan cair tidak dapat mempertahankan bentuk tetap, maka keduanya

mempunyai kemampuan untuk mengalir, dengan demikian keduanya disebut

sebagai fluida. Perbedaan antara zat gas dan zat cair terletak pada sifat kemampu-

9

mampatannya. Kemampatan merupakan perubahan (pengecilan) volume karena

adanya perubahan (penambahan) tekanan. Contoh zat yang mampu-mampat

(compressible) adalah gas, sedangkan contoh zat yang tak mampu-mampat

(incompressible) adalah zat cair (Widodo, 2012). Fluida merupakan zat yang

berubah bentuk secara kontinu apabila terkena tegangan geser, meskipun dengan

tegangan geser yang sangat kecil. Tegangan geser adalah perbandingan gaya geser

(komponen gaya yang menyinggung permukaan) dengan luas permukaan. Secara

matematika ditulis dalam bentuk:

𝜏 =𝐹𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟

𝐴 (2.1)

dengan:

𝜏 = tegangan geser pada fluida (𝑁

𝑚2)

𝐹𝑔𝑒𝑠𝑒𝑟 = gaya geser (𝑁)

𝐴 = luas permukaan (𝑚2)

2.2.1 Fluida Nano

Istilah fluida nano pertama kali digunakan oleh Choi (1995) yang

didefinisikan sebagai pengenceran partikel berukuran nanometer (lebih kecil dari

100 nm) dalam suatu fluida (Das dkk, 2007). Fluida nano memiliki kelebihan dapat

meningkatkan efektivitas konduktivitas termal dan meningkatkan viskositas fluida

dasar. Fluida nano banyak digunakan di berbagai industri besar yang sangat

membutuhkan peran perpindahan panas. Industri yang menggunakan fluida nano

antara lain transportasi, pasokan energi, elektronik, tekstil, dan industri kertas.

Menurut Duncan dan Rouvray (1989) dalam Das dkk (2007), fluida nano

dapat terbuat dari dua bahan, yaitu fluida dasar dan partikel nano. Fluida dasar

berjenis cair yang dapat digunakan sebagai bahan dasar untuk membuat fluida nano

diantaranya air, etilena glikol, dan minyak. Partikel nano pada umumnya terbuat

dari logam yang secara kimia stabil, oksida logam atau karbon dalam berbagai

bentuk. Partikel nano yang dapat digunakan dalam fluida nano, antara lain keramik

oksida (Al2O3, CuO), keramik nitrida (AlN, SiN), keramik karbida (SiC, TiC), logam

(Cu, Ag, Au), dan semikonduktor (TiO2).

10

2.2.2 Viskositas Fluida

Viskositas atau kekentalan adalah sifat dari fluida untuk melawan

tegangan geser pada waktu bergerak atau mengalir. Viskositas disebabkan oleh

adanya gesekan antar partikel (yang bergerak dengan kecepatan berbeda) pada

suatu fluida. Contoh dari fluida kental, dimana mempunyai kekentalan besar adalah

minyak, oli, dan sirup. Sedangkan air merupakan contoh dari fluida encer, dimana

mempunyai kekentalan kecil. Hubungan viskositas, tegangan geser, dan gradien

kecepatan dapat dirumuskan dari deskripsi aliran fluida diantara dua pelat seperti

pada Gambar 2.1 di bawah ini.

Gambar 2.1 Aliran fluida diantara dua pelat datar

Gambar 2.1 mendeskripsikan dua pelat datar yang diletakkan secara

sejajar (atas dan bawah) dengan luas masing-masing pelat adalah A dan jarak kedua

pelat adalah b. Pada pelat bagian atas terdapat gaya yang bekerja yaitu F dan

bergerak secara kontinu dengan kecepatan U dan pelat bagian bawah dalam

keadaan diam (U = 0). Kecepatan fluida yang bergerak diantara dua pelat adalah

𝑢 = 𝑢(𝑦), dengan 𝑢(𝑦) =𝑈𝑦

𝑏 dan gradien kecepatan adalah

Δ𝑢

Δ𝑦=

𝑈

𝑏. Jika Δ𝑦 → 0

maka diperoleh:

d𝑢

d𝑦= lim

Δ𝑦→0

Δ𝑢

Δ𝑦= lim

Δ𝑦→0

𝑈

𝑏=

𝑈

𝑏

Dalam pertambahan waktu yang kecil 𝛿𝑡, garis PQ pada fluida akan berotasi sebesar

sudut 𝛿𝛽 sehingga:

𝑡𝑎𝑛(𝛿𝛽) ≈ 𝛿𝛽 =𝛿𝑙

𝑏 (2.2)

F

P

Q R

U

u

b

y

dy

du 𝛿𝛽

𝛿𝑙

11

karena 𝛿𝑙 = 𝑈𝛿𝑡, maka Persamaan (2.2) menjadi:

𝛿𝛽 =𝑈𝛿𝑡

𝑏 (2.3)

Persamaan (2.3) menunjukkan bahwa 𝛿𝛽 bergantung terhadap kecepatan

U dan waktu 𝛿𝑡, sehingga dapat dihubungkan antara tegangan geser 𝜏 dengan

perubahan 𝛿𝛽 yang didefinisikan sebagai laju regangan geser �̇� :

�̇� = lim𝛿𝑡→0

𝛿𝛽

𝛿𝑡=

𝑈

𝑏=

𝑑𝑢

𝑑𝑦

Selanjutnya, apabila tegangan geser meningkat dengan meningkatnya

gaya geser (Persamaan (2.1)) maka laju regangan geser juga meningkat dengan

peningkatan tegangan geser. Hal ini dinyatakan dalam bentuk:

𝜏 ∝ �̇� atau 𝜏 ∝ 𝜕𝑢

𝜕𝑦 (2.4)

Dari Persamaan (2.4) dapat diperoleh hubungan antara tegangan geser dan

laju regangan geser (gradien kecepatan) untuk fluida biasa seperti air, minyak, dan

udara yang dinyatakan dengan:

𝜏 = 𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑦 (2.5)

dengan:

𝜏 = tegangan geser pada fluida (𝑁

𝑚2)

𝜇 = koefisien viskositas (kekentalan) fluida (𝑁𝑠

𝑚2)

𝜕𝑢

𝜕𝑦 = gradien kecepatan fluida (𝑠−1)

(Munson, 2003)

2.2.3 Fluida Newtonian

Fluida newtonian adalah suatu fluida yang tegangan geser dan laju

regangan gesernya sebanding, artinya hubungan antara keduanya adalah linier (Fox

dkk, 2004). Contoh umum dari fluida yang berkarakteristik newtonian adalah air

dan udara. Sifat khusus dari fluida Newtonian adalah walaupun terdapat gaya yang

12

bekerja pada fluida maka fluida akan tetap mengalir. Hal ini karena viskositas dari

fluida newtonian tidak berubah ketika terdapat gaya yang bekerja pada fluida.

Viskositas dari suatu fluida newtonian hanya bergantung pada temperatur dan

tekanan. Secara matematis persamaan dari fluida Newtonian dirumuskan dengan:

𝜏 = 𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑦 (2.6)

dengan:

𝜏 = tegangan geser pada fluida (𝑁

𝑚2)

𝜇 = koefisien viskositas fluida (𝑁𝑠

𝑚2)

𝜕𝑢

𝜕𝑦 = gradien kecepatan fluida (𝑠−1)

2.3 Perpindahan Panas Konveksi

Perpindahan panas konvektif atau lebih dikenal dengan konveksi

merupakan perpindahan panas dari satu tempat ke tempat lain yang disebabkan oleh

perbedaan temperatur dan menggunakan fluida sebagai penghantarnya. Laju

perpindahan panas konveksi antara suatu permukaan benda padat dan fluida dapat

dihitung dengan:

𝑞 = ℎ𝐴𝑆(𝑇𝑠 − 𝑇∞) (2.7)

dengan:

q = laju perpindahan panas dengan konveksi (W)

As = luas perpindahan panas (m2)

Ts = Temperatur permukaan benda padat (K)

T∞ = Temperatur fluida mengalir (K)

h = koefisien perpindahan panas konveksi (W/m2K)

(Incroperara, 1982)

Berdasarkan cara menggerakkan aliran fluida, konveksi dibedakan

menjadi dua jenis, yaitu konveksi bebas (free convection) dan konveksi paksa

(forced convection). Namun, pada perkembangannya dikenal juga konveksi

campuran (mixed convection). Berikut ini adalah penjelasan mengenai ketiga

konveksi tersebut.

13

2.3.1 Konveksi Bebas (Free Convection)

Konveksi bebas adalah perpindahan panas yang disebabkan oleh perbedaan

suhu dan densitas saja dan tidak ada tenaga dari luar yang mendorongnya. Hal ini dapat

terjadi karena ada arus yang mengalir akibat gaya apung, sedangkan gaya apung terjadi

karena ada perbedaan densitas fluida tanpa dipengaruhi gaya dari luar sistem.

Perbedaan densitas fluida terjadi karena adanya gradien suhu pada fluida. Contoh

konveksi alamiah antara lain aliran fluida yang melintasi radiator panas.

2.3.2 Konveksi Paksa (Forced Convection)

Konveksi yang dipaksa adalah perpindahan panas aliran gas atau cairan yang

disebabkan adanya tenaga dari luar. Konveksi paksa dapat pula terjadi karena arus

fluida yang terjadi digerakkan oleh suatu peralatan mekanik (contoh: pompa dan

pengaduk), jadi arus fluida tidak hanya tergantung pada perbedaan densitas. Contoh

perpindahan panas secara konveksi paksa adalah pelat panas dihembus udara dengan

kipas/blower.

2.3.3 Konveksi Campuran (Mixed Convection)

Konveksi campuran merupakan kombinasi dari aliran konveksi bebas dan

aliran konveksi yang dipaksa. Konveksi campuran terjadi pada saat efek dari gaya

alir pada konveksi bebas menjadi signifikan. Contoh konveksi campuran dapat

dilihat pada saat asap timbul dari api (natural) dan pada saat bersamaan asap

ditimbulkan oleh faktor eksternal seperti ledakan dari silinder gas (forced).

2.4 Lapisan Batas (Boundary Layer)

Konsep lapisan batas pertama kali dikemukakan pada tahun 1904 oleh

Ludwig Prandtl, seorang ahli aerodinamika Jerman. Lapisan batas atau Boundary

layer merupakan lapisan tipis pada permukaan padat tempat fluida mengalir. Dalam

lapisan batas tersebut, pengaruh viskositas dan gaya inersia benda sangat

berpengaruh. Contoh lapisan batas pada aliran viskos di sekitar airfoil ditunjukkan

pada Gambar 2.2 berikut ini.

14

Gambar 2.2: Aliran fluida pada Airfoil (slideplayer.com)

Pada Gambar 2.2, terdapat tiga jenis aliran pada lapisan batas yang

dihasilkan dari perbandingan gaya-gaya inersia dengan viskositasnya, yaitu aliran

laminar, aliran transisi, dan aliran turbulen (Widodo, 2012). Aliran laminar terjadi

pada saat partikel-partikel zat cair bergerak teratur mengikuti lintasan yang saling

sejajar. Aliran turbulen terjadi pada saat partikel-partikel zat cair bergerak secara

acak atau tidak teratur. Sedangkan aliran transisi merupakan aliran yang terjadi

antara aliran laminar dan aliran turbulen. Terjadinya masa transisi antara aliran

laminar dan turbulen karena adanya perubahan viskositas dan kecepatan yang

menyebabkan daya redam terhadap gangguan semakin berkurang hingga batas

tertentu.

Terdapat titik stagnasi (titik yang kecepatan alirannya samadengan nol)

pada setiap benda yang ditempatkan secara diam di dalam suatu fluida yang

mengalir. Untuk benda yang simetris (seperti bola), titik stagnasi berada di ujung

depan dari benda. Sedangkan pada Gambar 2.2, titik stagnasinya juga berada di

bagian depan dari airfoil.

2.5 Bilangan Non-Dimensi

Bilangan non-dimensi (dimensionless number) merupakan suatu

parameter yang tak memiliki satuan. Bilangan non-dimensi berguna untuk

mengetahui kondisi atau karakteristik aliran fluida. Bilangan non-dimensi

15

bermanfaat pada metode eksperimen suatu sistem yang samadengan sistem lain

namun dalam dimensi yang berbeda seperti pada model pesawat terbang, mobil,

kapal laut dan sebagainya.

Berikut ini adalah beberapa bilangan tak berdimensi yang lazim digunakan

pada bidang perpindahan kalor.

a. Bilangan Reynolds (Re)

Diperkenalkan pertama kali oleh Osbourne Reynolds (1842-1912) pada

tahun 1883. Bilangan Reynolds (Re) merupakan perbandingan atau rasio antara

gaya inersia dan gaya viskos yang digunakan untuk menentukan jenis aliran

(laminar, turbulen, atau transisi). Bentuk persamaan dari bilangan Reynolds

tersebut secara matematis ditulis:

𝑅𝑒 =𝜌𝑉𝐷

𝜇 (2.8)

dengan:

= massa jenis (kerapatan) fluida (kg/m3)

V = kecepatan aliran fluida (m/s)

D = diameter pipa (m)

µ = viskositas dinamis fluida (𝑁𝑠

𝑚2)

Untuk nilai Re yang kecil, gaya viskos lebih dominan sehingga

menciptakan jenis aliran laminar stabil, beraturan dan profil kecepatan konstan.

Sementara nilai Re yang besar, timbul aliran turbulen yang fluktuatif, acak dan tak

beraturan. Sedangkan aliran transisi merupakan suatu kondisi aliran peralihan yang

membentuk laminar dan turbulen sehingga sulit untuk mendapatkan sifat-sifat

aliran fluida. Hubungan antara bilangan Reynold dan kondisi aliran fluida

ditunjukkan pada Tabel 2.1 di bawh ini.

Tabel 2.1 Kondisi Aliran Fluida

Kondisi Aliran Fluida Dalam Pipa

Laminar Re < 2300

Transisi 2300 < Re < 4000

Turbulen Re > 4000

16

b. Bilangan Prandtl (Pr)

Ludwig Prandtl mendefinisikan bilangan Prandtl sebagai bilangan tak

berdimensi yang merupakan perbandingan antara viskositas kinematik dengan

difusivitas thermal. Nilai dari parameter non dimensional Pr digunakan untuk

menentukan distribusi temperatur pada suatu aliran. Persamaan dari bilangan

Prandtl (Pr) adalah sebagai berikut:

𝑃𝑟 =𝑣

∝ (2.9)

dengan:

= viskositas kinematik fluida (𝑚2

𝑠)

= difusivitas thermal (𝑚2

𝑠)

Pada umumnya nilai bilangan Prandtl (Pr) ditentukan menggunakan tabel

sifat zat seperti pada Tabel 2.2 di bawah ini.

Tabel 2.2 Nilai Bilangan Prandtl untuk Fluida

Fluida Cair Pr

Logam cair 0,004 – 0,03

Gas 0,7 – 1,0

Air 1,7 – 13,7

Cairan organik ringan 5 – 50

Minyak 50 – 100.000

Gliserin 2000 – 100.000

c. Bilangan Grashof (Gr)

Bilangan Grashof (Gr) merupakan parameter non-dimensional yang

dipandang sebagai sebuah ukuran kekuatan relatif gaya apung dan gaya kental.

Persamaan dari bilangan Grashof (Gr) dituliskan sebagai berikut:

𝐺𝑟 =𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎3𝜌𝑓

2

𝜇𝑓2 (2.10)

17

dengan:

Gr = Bilangan Grashof

𝑔 = percepatan gravitasi (m/s2)

𝛽𝑓 = koefisien ekspansi panas (1/K)

𝑇𝑤 = temperatur permukaan silinder (K)

𝑇∞ = temperatur lingkungan (K)

𝑎 = jari-jari media (silinder) (m)

𝜌𝑓 = kerapatan fluida (Kg/m3)

𝜇𝑓 = viskositas dinamis fluida (Ns/m2)

2.6 Metode Beda Hingga Implisit Skema Keller-Box

Metode beda-hingga dengan skema Keller-Box merupakan salah satu

teknik untuk menyelesaikan persamaan lapisan batas (boundary layer). Skema ini

adalah bersifat implisit dengan akurasi order kedua dalam ruang dan waktu dan

memungkinkan untuk sebarang ukuran langkah dari waktu dan ruang (nonuniform)

(Al-Shibani, 2012).

Langkah-langkah untuk mendapatkan solusi dari metode Keller-Box

adalah sebagai berikut.

1. Mereduksi persamaan dari sistem orde pertama.

2. Menulis persamaan beda-hingga dengan menggunakan bedapusat.

3. Melinierisasi persamaan aljabar yang dihasilkan (jika nonlinear), dan

menuliskannya dalam bentuk matriks.

4. Menyelesaikan sistem linear dengan metode block-tridiagonal-elimination.

Dalam skema Keller-Box, bentuk beda-hingga dari persamaan diferensial

biasa dituliskan dari titik tengah (𝑥𝑛, 𝑦𝑗−1/2) segmen garis P1P2 dan bentuk

bedahingga dari persamaan diferensial parsial dituliskan dari titik tengah

(𝑥𝑛−1/2, 𝑦𝑗−1/2) persegipanjang P1P2P3P4 seperti pada Gambar 2.3 di bawah ini.

18

Gambar 2.3: Grid beda hingga skema Keller-Box

Aproksimasi dari persamaan 𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥=

𝑣

𝑃𝑟

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2 dengan metode Keller-Box

adalah sebagai berikut (Cebeci dan Bradshaw, 1988):

𝑇𝑗𝑛 − 𝑇𝑗−1

𝑛

ℎ𝑗=

𝑃𝑗𝑛 + 𝑃𝑗−1

𝑛

2= 𝑃𝑗−1/2

𝑛

1

2(𝑃𝑗

𝑛 − 𝑃𝑗−1𝑛

ℎ𝑗+

𝑃𝑗𝑛−1 − 𝑃𝑗−1

𝑛−1

ℎ𝑗) =

𝑃𝑟

𝑣𝑢𝑗−1/2𝑛−1/2 𝑇𝑗−1/2

𝑛 − 𝑇𝑗−1/2𝑛−1

𝑘𝑛 (2.6a)

(2.11)

2.7 Koordinat Silinder

Dalam beberapa persoalan hubungan diferensial dapat dijelaskan dengan

koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik

ditunjukkan oleh koordinat-koordinat 𝑟, 𝜃, dan 𝑧. Koordinat 𝑟 adalah jarak radial

dari sumbu-𝑧, 𝜃 adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu-

𝑥 (dengan arah yang berlawanan perputaran jarum jam dianggap positif), dan 𝑧

adalah koordinat sepanjang sumbu-𝑧. Komponen-komponen kecepatan adalah

kecepatan radial (𝑣𝑟), kecepatan tangensial (𝑣𝜃), dan kecepatan aksial (𝑣𝑧). Jadi

kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai:

𝑉 = 𝑣𝑟�̂�𝑟 + 𝑣𝜃�̂�𝜃 + 𝑣𝑧�̂�𝑧 (2.12)

y

x xn-1 xn-1/2 xn

yj-1/2

yj P3 P2

P1 P4

y0 = 0

Tidak diketahui

Diketahui

Pusat yj-1

kn

hj

19

dengan: �̂�𝑟, �̂�𝜃, dan �̂�𝑧 masing-masing adalah vektor satuan dalam arah 𝑟, 𝜃, dan 𝑧.

Untuk fluida tak mampu-mampat aliran tunak (steady), kerapatan fluida (𝜌)

konstan disuluruh medan aliran sehingga persamaan (2.12) menjadi:

1

𝑟

𝜕(𝑟𝑣𝑟)

𝜕𝑟+

1

𝑟

𝜕𝑣𝜃

𝜕𝜃+

𝜕𝑣𝑧𝜕𝑧

= 0 (2.13)

(Widodo, 2012).

20

21

BAB 3

METODE PENELITIAN

Pada Bab ini dijelaskan tahapan-tahapan dalam penelitian yang dilakukan

untuk mencapai tujuan penelitian.

3.1 Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Pemodelan dan Simulasi Sistem,

Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data, Institut

Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

3.2 Tahapan Penelitian

a. Studi Literatur

Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dan studi literatur dari

beberapa buku, tesis, jurnal, maupun artikel dari internet mengenai fluida nano,

konveksi campuran, boundary layer, dan metode beda-hingga skema Keller-Box.

b. Membangun Model Matematika

Pada tahap ini akan dibangun model aliran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengarih konveksi campuran dan

pembangkit panas. Model yang dibuat adalah model pada lapisan batas di titik

stagnasi. Langkah-langkah pembuatan model adalah sebagai berikut:

1). Penurunan hukum konservasi massa, hukum II Newton, dan hukum I

termodinamika untuk mendapatkan persamaan pembangun.

2). Persamaan pembangun disederhanakan dengan menggunakan pendekatan

Boussinesq dan teori lapisan batas sehingga diperoleh persamaan

pembangun yang berdimensi (persamaan kontinuitas, momentum, dan

energi) dengan pengaruh pembangkitan panas pada aliran konveksi

campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal.

3). Menentukan kondisi batas (boundary condition).

c. Penyelesaian Model Matematika

22

Pada tahapan ini, mentransformasi persamaan pembangun berdimensi

kedalam bentuk persamaan non-dimensi dengan menggunakan parameter non-

dimensi 𝜆 (konveksi campuran), Pr (bilangan Prandtl), Gr (bilangan Grashold), dan

parameter Re (bilangan Reynolds). Selanjutnya, persamaan non-dimensi

ditransformasi menjadi persamaan similaritas dengan menggunakan fungsi alir

(stream function). Kemudian diselesaikan secara numerik menggunakan metode

Keller-Box dengan langkah-langkah sebagai berikut. Pertama, Diskritisasi model

dengan menggunakan beda-hingga pusat. Kedua, Linierisasi persamaan yang

didapat dengan metode Newton dan dibentuk dalam matriks vektor. Ketiga, Hasil

linierisasi diselesaikan dengan teknik eliminasi matriks blok-tridiagonal.

d. Pembuatan Program

Pada tahapan ini dilakukan pembuatan program aliran fluida nano melalui

permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan

pembangkitan panas menggunakan software Matlab R2012a.

e. Validasi

Validasi adalah usaha menyimpulkan apakah model sistem merupakan

perwakilan yang sah dari realitas yang dikaji sehingga dapat dihasilkan kesimpulan

yang meyakinkan (Widodo, 2012). Pada tahapan ini dilakukan validasi model

matematika yang diperoleh dengan model yang telah dihasilkan dari penelitian

Syafiatul Laila (2016) dengan judul “Aliran Konveksi Campuran yang Melewati

Bola Berpori pada Fluida Nano”. Validasi dilakukan pada grafik profil kecepatan

dan temperatur dengan menyamakan parameter-parameter yang digunakan.

Parameter-parameter tersebut adalah parameter konveksi campuran (𝜆), bilangan

Prandt (𝑃𝑟), dan nanoparticle volume fraction (𝜒) dengan nilai 𝜆 = 2, 𝑃𝑟 =

7,7 dan 𝜒 = 0,1.

f. Simulasi Hasil

Dengan menggunakan program yang telah dibuat, dilakukan simulasi

untuk mengetahui pengaruh parameter nanoparticle volume fraction (𝜒), konveksi

campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), sumber panas (𝑄), dan jari-jari silinder (a)

terhadap profil kecepatan (𝑓′) dan temperatur (T).

23

g. Analisis Hasil Simulasi

Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap perilaku model terhadap grafik

yang dihasilkan dalam simulasi. Kemudian dilakukan penarikan kesimpulan

terhadap penelitian yang telah dilakukan serta pemberian saran untuk perbaikan dan

pengembangan penelitian selanjutnya.

h. Penulisan Paper dan Seminar

Setelah memperoleh beberapa hasil dari penelitian ini, kemudian

dilakukan penulisan paper dan selanjutnya mengikuti seminar internasional.

i. Penulisan Laporan Tesis

Tahap akhir dalam penelitian ini adalah penulisan laporan tesis.

24

25

BAB 4

PEMBENTUKAN MODEL MATEMATIKA

Pada Bab ini dibangun model matematika aliran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan

pembangkitan panas. Model matematika dibangun dari penurunan hukum

kekekalan massa, hukum II Newton, dan hukum I Termodinamika. Dari penurunan

ketiga persamaan tersebut diperoleh persamaan kontinuitas, persamaan momentum,

dan persamaan energi yang disesuaikan dengan deskripsi geometri dari

permasalahan aliran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular

horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan pembangkitan panas yang

diilustrasikan pada Gambar 4.1. Model yang diperoleh dalam bentuk model

matematika berdimensi kemudian ditransformasikan ke dalam model matematika

tak berdimensi dengan menggunakan variable dan parameter tak berdimensi.

Selanjutnya model matematika tak berdimensi diubah menjadi persamaan

similaritas dengan menggunakan fungsi alir dan variabel similaritas yang sesuai.

Gambar 4.1: Model fisik dan sistem koordinat untuk permasalahan aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal

Aliran Fluida

dengan suhu T

g

a

O 𝑥

𝑇𝑤

𝑈∞, 𝑇∞

𝑦

𝑥 /a

26

Gambar 4.1 mendeskripsikan bahwa fluida mengalir dari bawah ke atas

melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan jari-jari a dalam keadaan

diam yang terendam pada fluida nano yang bersifat incompressible dan tunak

(steady). Gerakan fluida tersebut disebabkan oleh bagian bawah fluida yang terkena

panas secara alami dan secara paksa. Selanjutnya, fluida mengakibatkan perbedaan

kerapatan sehingga menimbulkan gaya apung dan gaya tekanan yang menjadi

signifikan. Kejadian ini biasa disebut konveksi campuran. Dalam penelitian ini,

diasumsikan bahwa konstanta fluks panas dari silinder sirkular adalah konstan,

kecepatan aliran bebas dan temperatur di sekitar silinder sirkular masing-masing

adalah (𝑈∞) dan (𝑇∞). Aliran konveksi campuran fluida nano yang melalui

permukaan silinder membentuk suatu lapisan batas dan dari lapisan batas tersebut

dikonstruksi model matematika.

4.1 Persamaan Kontinuitas

Hukum kekekalan massa suatu sistem dinyatakan sebagai laju perubahan

massa terhadap waktu dari suatu sistem tertutup adalah konstan. Secara matematis

hukum kekekalan massa ditulis:

𝐷𝑀𝑠𝑦𝑠

𝐷𝑡= 0 (4.1)

dengan massa sistem (Msys) dinyatakan dengan :

𝑀𝑠𝑦𝑠 = ∫ 𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑠𝑦𝑠 (4.2)

dengan 𝜌𝑛𝑓 adalah densitas fluida nano dan ∀ merupakan volume fluida nano.

Selanjutnya, Persamaan (4.1) dan (4.2) dapat ditulis sebagai:

𝐷𝑀𝑠𝑦𝑠

𝐷𝑡=

𝐷

𝐷𝑡∫ 𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑠𝑦𝑠

= 0 (4.3)

Berdasarkan transformasi sistem untuk volume atur atau yang dikenal dengan

teorema pengangkutan Reynolds, yaitu:

𝐷𝐵𝑠𝑦𝑠

𝐷𝑡=

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌𝑛𝑓𝑛𝑑∀𝑐𝑣

+ ∫ 𝜌𝑛𝑓𝑛 𝐕 . �̂� 𝑑𝐴𝑐𝑠

= 0 (4.4)

27

dengan B adalah besaran dalam bentuk apa saja, misalkan momentum, energi, torsi,

massa, dan sebagainya, sedangkan n adalah besaran B per satuan massa (𝑛 =𝐵

𝑚).

Dari Persamaan (4.4),

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌𝑛𝑓𝑛𝑑∀𝑐𝑣

adalah jumlah besaran dalam volume kontrol, dan

∫ 𝜌𝑛𝑓𝑛 𝐕 . �̂� 𝑑𝐴𝑐𝑠

jumlah besaran yang masuk dan keluar dari permukaan atur.

Dalam persamaan kontinuitas ini, besaran B = M (besaran massa) sehingga

𝑛 =𝐵

𝑚=

𝑀

𝑚= 1. Maka Persamaan (4.3) dan (4.4) dengan n = 1 dapat

disederhanakan menjadi:

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑐𝑣

+ ∫ 𝜌𝑛𝑓 𝐕 . �̂� 𝑑𝐴𝑐𝑠

= 0 (4.5)

dengan:

∫ 𝜌𝑛𝑓 𝐕 . �̂� 𝑑𝐴𝑐𝑠

= ∑ �̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − ∑ �̇�𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 (4.6)

Misalkan volume atur yang digunakan adalah sebuah elemen kubus satuan

dalam keadaan diam seperti pada Gambar 4.2 di bawah ini.

Pada Gambar 4.2, densitas fluida adalah 𝜌 yang terletak di pusat kubus dan

komponen kecepatannya adalah u, v, dan w. Karena elemen kubus tersebut kecil,

28

maka laju perubahan terhadap waktu dari massa kandungan volume atur dapat

dinyatakan sebagai:

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌𝑛𝑓 𝑑∀𝑐𝑣

= 𝜕𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑡 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.7)

Selanjutnya untuk jumlah aliran massa pada permukaan elemen kubus

pada volume aturdapat diperoleh dengan meninjau aliran pada setiap koordinat

secara terpisah. Sebagai contoh, pada Gambar 4.3 diilustrasikan aliran pada arah x.

Jika 𝜌𝑢 menyatakan komponen x dari laju aliran massa per satuan luas pada pusat

kubus, maka persamaan pada permukaan kiri adalah :

𝜌𝑛𝑓𝑢|𝑥−𝛿𝑥

2

= 𝜌𝑛𝑓𝑢 −𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥

𝛿𝑥

2 (4.8)

dan persamaan pada permukaan kanan adalah :

𝜌𝑛𝑓𝑢|𝑥+𝛿𝑥

2

= 𝜌𝑛𝑓𝑢 +𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥

𝛿𝑥

2 (4.9)

Gambar 4.3: Sketsa aliran fluida masuk dan keluar volume atur

Selanjutnya, persamaan untuk jumlah aliran massa keluar ke arah x yaitu dengan

cara mensubstitusikan Persamaan (4.8) dan Persamaan (4.9) ke Persamaan (4.6)

kemudian mengalikan dengan 𝛿𝑦𝛿𝑧 sehingga diperoleh :

(�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − �̇�𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘)𝑎𝑟𝑎ℎ−𝑥 =𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.10)

29

Dengan cara yang sama didapatkan juga persamaan jumlah aliran massa keluar ke

arah y yaitu :

(�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − �̇�𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘)𝑎𝑟𝑎ℎ−𝑦 =𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣)

𝜕𝑦𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.11)

dan persamaan jumlah aliran massa keluar ke arah z adalah :

(�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − �̇�𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘)𝑎𝑟𝑎ℎ−𝑧 =𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤)

𝜕𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.12)

Selanjutnya, diperoleh jumlah aliran massa keluar dengan menjumlahkan

Persamaan (4.10), (4.11), dan (4.12).

∑�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − ∑ �̇�𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 =𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 +

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣)

𝜕𝑦𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 +

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤)

𝜕𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧

atau

∑�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − ∑ �̇�𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 = [𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥+

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣)

𝜕𝑦+

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤)

𝜕𝑧 ] 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 (4.13)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.7) dan (4.13) ke Persamaan (4.5) diperoleh

laju terhadap perubahan waktu dari massa sistem adalah:

𝜕𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑡 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 + [

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥+

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣)

𝜕𝑦+

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤)

𝜕𝑧 ] 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 (4.14)

Jika Persamaan (4.14) dibagi dengan 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧, maka Persamaan (4.14) menjadi:

𝜕𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑡+ [

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑢)

𝜕𝑥+

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑣)

𝜕𝑦+

𝜕(𝜌𝑛𝑓𝑤)

𝜕𝑧 ] = 0 (4.15)

Persamaan (4.15) dapat ditulis dalam notasi vektor sebagai berikut (Munson dkk,

2003):

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌(∇ ∙ 𝐕) = 0 (4.16)

Dalam penelitian ini, aliran fluida diasumsikan bersifat tak mampu-mapat

(incompressible) dengan 𝜌𝑛𝑓 konstan, maka Persamaan (4.16) menjadi:

∇ ∙ 𝐕 = 0 (4.17)

Karena Persamaan (4.17) dapat ditulis dalam bentuk skalar:

30

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0 (4.18)

Karena dalam penelitian ini hanya dilakukan pada dimensi dua (w=0) maka

Persamaan (4.18) menjadi:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0 (4.19)

4.2 Persamaan Momentum

Hukum II Newton atau biasa disebut persamaan momentum berbunyi

bahwa jumlah gaya yang bekerja pada sistem sama dengan besar momentum yang

berubah pada sistem. Secara matematis Hukum II Newton pada fluida nano dapat

ditulis sebagai berikut:

𝐷

𝐷𝑡∫ 𝜌𝑛𝑓𝐕𝑑∀ 𝑠𝑦𝑠

= ∑𝐹 (4.20)

Persamaan (4.20) dapat ditulis dalam bentuk volume atur sebagai berikut:

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝐕𝜌𝑛𝑓 𝑑∀𝑐𝑣

+ ∫ 𝐕𝜌𝑛𝑓 𝐕 ∙ �̂� 𝑑𝐴 =𝑐𝑠

∑𝐹 (4.21)

dengan 𝐕 ∙ �̂� bentuk skalar yang terjadi disetiap luasan 𝑑𝐴. Bentuk integral

permukaan atur menunjukkan flux momentum netto yang melewati permukaan atur

fluida yang masuk maupun keluar volume atur (Munson dkk, 2003).

Berdasarkan penurunan persamaan kontinuitas yang telah diperoleh

sebelumnya, maka dengan analogi yang sama, Persamaan (4.21) dapat dinyatakan

dalam notasi vektor sebagai berikut:

𝜌𝑛𝑓 [(𝜕𝐕

𝜕𝑡) + ∇ ∙ (𝐕 𝐕)] 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = ∑𝐹 (4.22)

Karena aliran fluida diasumsikan dalam keadaan tunak (steady), maka Persamaan

(4.22) menjadi:

𝜌𝑛𝑓[∇ ∙ (𝐕 𝐕)]𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = ∑𝐹 (4.23)

Berdasarkan sifat divergensi bahwa:

31

∇ ∙ (𝐕 𝐕) = (𝐕 ∙ ∇)𝐕 + (𝐕(∇ ∙ 𝐕))

dan karena ∇ ∙ 𝐕 = 0 (Persamaan (4.17)), maka Persamaan (4.23) menjadi:

𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ ∇)𝐕𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = ∑𝐹 (4.24)

dengan ∑𝐹 menunjukkan komponen gaya-gaya yang bekerja pada permukaan

silinder sekunder horizontal. Komponen gaya-gaya tersebut yaitu, gaya permukaan,

dan gaya gravitasi sehingga Persamaan (4.24) menjadi:

𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ ∇)𝐕𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 𝐅𝑝 + 𝐅𝑔 (4.25)

dengan 𝐅𝑝 adalah gaya permukaan, 𝐅𝑔 adalah gaya gravitasi. Karena yang diteliti

pada arah sumbu x dan y maka persamaan (4.25) menjadi:

𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ ∇)𝐕𝛿𝑥𝛿𝑦 = 𝐅𝑝 + 𝐅𝑔 (4.26)

Ruas kiri pada Persamaan (4.26) dapat diuraikan sebagai berikut:

(𝐕 ∙ ∇)𝐕 = ((𝑢�̂� + 𝑣𝑗̂) ∙ (𝜕

𝜕𝑥�̂� +

𝜕

𝜕𝑦𝑗̂)) (𝑢�̂� + 𝑣𝑗̂)

= 𝑢𝜕

𝜕𝑥(𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂) + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂)

= (𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦) �̂� + (𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) 𝑗̂ (4.27)

Ruas kanan pada Persamaan (4.26) dapat diuraikan sebagai berikut.

Gaya permukaan (𝐅𝑝) didefinisikan dengan:

𝐅𝑝 = 𝐅𝑝𝑥𝑖̂ + 𝐅𝑝𝑦𝑗̂

𝐅𝑝 = (𝜕𝜎𝑥𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦) �̂� + (

𝜕𝜎𝑦𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥) 𝑗̂ (4.28)

Karena pada penelitian ini fluida yang digunakan adalah fluida nano jenis

Newtonian tak mampu mampat, maka tegangan berbanding lurus terhadap laju

deformasi yang dinyatakan sebagai berikut:

Tegangan normal

𝜎𝑥𝑥 = −𝑝 + 2𝜇𝑛𝑓𝜕𝑢

𝜕𝑥 (4.29a)

𝜎𝑦𝑦 = −𝑝 + 2𝜇𝑛𝑓𝜕𝑣

𝜕𝑦 (4.29b)

32

Tegangan geser

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇𝑛𝑓 (𝜕𝑢

𝜕𝑦+

𝜕𝑣

𝜕𝑥) (4.30)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.29a), (4.29b), dan (4.30) pada

Persamaan (4.28) maka diperoleh persamaan untuk gaya permukaan sebagai

berikut:

𝐅𝑝 = [(−𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)) �̂� + (−𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑦2)) 𝑗̂] 4.31)

Gaya gravitasi (Fg) didefinisikan dengan:

𝐅𝑔 = 𝜌𝐠

Karena aliran yang melalui permukaan silinder sirkular berlawanan arah

dengan arah gravitasi, maka gaya gravitasi didefinisikan dengan 𝐠 =

(−𝑔𝑥, −𝑔𝑦, 0). Sehingga gaya gravitasi (Fg) dapat dituliskan dengan:

𝐅𝑔 = −𝜌𝑔𝑥�̂� − 𝜌𝑔𝑦𝑗̂ (4.32)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.27), (4.31), dan Persamaan (4.32)

terhadap Persamaan (4.26) kemudian mengelompokkan vektor i untuk sumbu- x

dan vektor j untuk sumbu-y maka didapatkan persamaan momentum sumbu-x dan

persamaan momentum sumbu-y sebagai berikut:

Persamaan Momentum sumbu-x

𝜌𝑛𝑓 (𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) − 𝜌𝑔𝑥 (4.33)

Persamaan Momentum sumbu-y

𝜌𝑛𝑓 (𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑦2) − 𝜌𝑔𝑦 (4.34)

Dalam penelitian ini, diberikan pengaruh aliran konvektif campuran

sehingga tekanan p pada Persamaan momentum (4.33) dan (4.34) merupakan

kombinasi dari tekanan hidrostatik (ph) dan tekanan dinamik (pd). Dengan

demikian, tekanan p dapat ditulis sebagai berikut:

33

𝑝 = 𝑝ℎ + 𝑝𝑑 (4.35)

Tekanan hidrostatis (ph) merupakan tekanan yang berasal dari fluida di

sekitar silinder sirkular dengan medan gravitasi:

∇𝒑ℎ = 𝜌∞𝒈 (4.36)

dengan 𝜌∞ adalah densitas dari fluida di sekitar silinder sirkular (ambient fluid).

Misalkan gaya gravitasi didefinisikan dengan 𝒈 = (−𝑔𝑥, −𝑔𝑦, 0) maka gradient

dari tekanan adalah

𝜕𝑝ℎ

𝜕𝑥= −𝜌∞𝑔𝑥,

𝜕𝑝ℎ

𝜕𝑦= −𝜌∞𝑔𝑦

Sehingga turunan tekanan p pada Persamaan (4.36) terhadap sumbu-x dapat ditulis

sebagai berikut:

−𝜕𝑝

𝜕𝑥= −

𝜕𝑝𝑑

𝜕𝑥−

𝜕𝑝ℎ

𝜕𝑥= −

𝜕𝑝𝑑

𝜕𝑥+ 𝜌∞𝑔𝑥 (4.37)

dengan cara yang sama, turunan tekanan p terhadap sumbu-y dapat ditulis sebagai

berikut:

−𝜕𝑝

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝𝑑

𝜕𝑦+ 𝜌∞𝑔𝑦 (4.38)

Substitusikan Persamaan (4.37) ke Persamaan (4.33) sehingga diperoleh

persamaan momentum pada sumbu-x berikut ini:

𝜌𝑛𝑓 (𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇𝑛𝑓 (

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) + (𝜌∞ − 𝜌)𝑔𝑥 (4.39)

Substitusikan Persamaan (4.38) ke Persamaan (4.34) sehingga diperoleh

persamaan momentum pada sumbu-y berikut ini:

𝜌𝑛𝑓 (𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇𝑛𝑓 (

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑦2) + (𝜌∞ − 𝜌)𝑔𝑦 (4.40)

Menurut pendekatan Boussinesq, semua variabel yang berpengaruh dalam

persamaan momentum diabaikan kecuali densitas (kerapatan). Pendekatan ini

34

diterapkan pada persamaan (4.39) dan (4.40), digunakan untuk mendekati

perbedaan densitas yang disebabkan oleh adanya perbedaan temperatur karena

pengaruh konveksi campuran yaitu gaya apung. Menurut Leal (1992), diasumsikan

bahwa nilai maksimum dari (𝑇 − 𝑇∞) kecil, sehingga nilai dari 𝜌∞

𝜌 dengan

penerapan deret Taylor adalah :

𝜌∞

𝜌= 1 + 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞) + 𝒪(𝑇 − 𝑇∞)2 (4.41)

Dengan menghilangkan bagian yang berorder tinggi, maka Persamaan

(4.41) menjadi:

𝜌∞

𝜌= 1 + 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)

𝜌∞

𝜌− 1 = 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞) (4.42)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.42) ke Persamaan (4.39) dan

(4.40), maka masing-masing diperoleh persamaan momentum:

Persamaan momentum arah sumbu-x:

(𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦) = −

1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) +𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑥 (4.43)

Persamaan momentum arah sumbu-y:

(𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑣

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣

𝜕𝑦2) +𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑦 (4.44)

dengan:

𝜌𝑛𝑓 = (1 − 𝜒)𝜌𝑓 + 𝜒𝜌𝑠 ; 𝛽𝑛𝑓 = 𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓

𝜇𝑛𝑓 = 𝜇𝑓

1

(1 − 𝜒)2.5

4.3 Persamaan Energi

Dalam penelitian ini, fluida diasumsikan mengalir dari bawah ke atas dan

gerakan fluida dipengaruhi oleh konveksi campuran. Hal ini memenuhi hukum

pertama Termodinamika, yaitu laju perubahan terhadap waktu dari energi yang

tersimpan dari suatu sistem sama dengan jumlah dari laju netto dari pertambahan

perpindahan energi dari kalor ke dalam sistem dengan laju netto dari pertambahan

35

energi dari usaha yang dipindahkan ke dalam sistem. Secara matematis dapat ditulis

sebagai berikut (Munson dkk, 2002):

𝐷

𝐷𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀ = (�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − �̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚)

𝑠𝑦𝑠−

𝑠𝑦𝑠(�̇�𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − �̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚)

𝑠𝑦𝑠 (4.45)

atau dapat ditulis:

𝐷

𝐷𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀ = (�̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 − �̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜)𝑠𝑦𝑠𝑠𝑦𝑠

(4.46)

Karena volume atur untuk hukum pertama termodinamika berimpit

dengan sebuah sistem, maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

𝐷

𝐷𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀ =

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑐𝑣𝑠𝑦𝑠

+ ∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝐕 ∙ �̂�𝑑𝐴𝑐𝑠

(4.47)

Berdasarkan Persamaan (4.45), (4.46), dan (4.47), maka didapatkan

volume atur untuk hukum Termodinamika I, adalah:

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑐𝑣

+ ∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝐕 ∙ �̂�𝑑𝐴𝑐𝑠

= (�̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 − �̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜)𝑐𝑣 (4.48)

Karena pada penelitian ini benda dianggap diam (�̇� = 0), maka

Persamaan (4.48) menjadi:

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑐𝑣

+ ∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝐕 ∙ �̂�𝑑𝐴𝑐𝑠

= (�̇�𝑘𝑒𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜)𝑐𝑣

atau dalam bentuk volume atur sebagai berikut:

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝑒𝜌𝑛𝑓𝑑∀𝑐𝑣

+ ∫ ∇ ∙ (𝑒𝜌𝑛𝑓𝐕)𝑑∀𝑐𝑠

= ∫ ∇ ∙ (𝑘∇𝑇)𝑑∀ + ∫ �̇�𝑑∀𝑐𝑣𝑐𝑣

(4.49)

dengan ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) adalah konduksi panas yang terjadi pada volume atur dan �̇�

adalah sumber panas (heat generation).

Persamaan (4.49) dapat ditulis dalam bentuk:

𝜌𝑛𝑓 (𝜕𝑒

𝜕𝑡+ ∇ ∙ (𝑒𝐕)) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + �̇� (4.50)

Karena dalam penelitian ini, aliran diasumsikan dalam kondisi tunak

(steady) maka Persamaan (4.50) menjadi:

36

𝜌𝑛𝑓(∇ ∙ (𝑒𝐕)) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + �̇� (4.51)

Dari Persamaan kontinuitas (4.17) maka dengan sifat divergensi diperoleh:

∇ ∙ (𝑒𝐕) = 𝐕 ∙ (∇𝑒) + 𝑒(∇ ∙ 𝐕) = 𝐕 ∙ (∇𝑒)

Sehingga Persamaan (4.51) menjadi:

𝜌𝑛𝑓(𝐕 ∙ (∇𝑒)) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + �̇� (4.52)

Menurut Lienhard (2002) pengaruh dari tekanan dan perubahan kerapatan

dapat diabaikan karena tidak cukup berpengaruh pada termodinamika. Pada energi

potensial termodinamika dalam sistem terdapat hubungan antara spesifik energi

internal (e) dengan spesifik entalpi (ℎ̂) yang dapat ditulis sebagai berikut:

ℎ̂ = 𝑐 +𝑝

𝜌

Karena pengaruh dari tekanan fluida dan densitas diabaikan, maka

perubahan energi dapat didekati dengan perubahan entalpi sebagai berikut:

𝜕𝑒 = 𝜕ℎ̂ − 𝜕 (𝑝

𝜌) ≈ 𝜕ℎ̂ (4.53)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.53) ke Persamaan (4.52) diperoleh:

𝜌𝑛𝑓 (𝐕 ∙ (∇ℎ̂)) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + �̇� (4.54)

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan 𝜕ℎ̂ ≈ 𝐶𝑝𝜕𝑇 ke Persamaan (4.54) maka

diperoleh:

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓(𝐕 ∙ (∇T)) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + �̇� (4.55)

Dalam penelitian ini, diasumsikan bahwa adanya pengaruh pembangkitan

panas (heat generation) pada sistem, maka Persamaan (4.55) menjadi:

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓(𝐕 ∙ (∇T)) = ∇ ∙ (𝑘∇𝑇) + 𝑄0(𝑇 − 𝑇∞) (4.56)

dengan:

�̇� = 𝑄0(𝑇 − 𝑇∞), jika 𝑇 ≥ 𝑇∞�̇� = 0, jika 𝑇 < 𝑇∞

37

Jika bentuk vektor pada Persamaan (4.56) dijabarkan, maka akan diperoleh

hasil sebagai berikut.

𝐕 ∙ (∇T) = (𝑢�̂� + 𝑣𝑗̂) ∙ (�̂�𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑗̂

𝜕𝑇

𝜕𝑦)

= (𝑢𝑥𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣𝑦

𝜕𝑇

𝜕𝑦)

𝐕 ∙ (∇T) = (𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦) (4.57a)

dan

∇ ∙ (𝑘∇𝑇) ≈ 𝑘∇ ∙ (∇𝑇)

= 𝑘∇2𝑇

= 𝑘 [(�̂�𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗̂

𝜕

𝜕𝑦) ∙ (�̂�

𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑗̂

𝜕𝑇

𝜕𝑦)]

∇ ∙ (𝑘∇𝑇) = 𝑘 (𝜕2𝑇

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑇

𝜕𝑦2) (4.57b)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.57a) dan (4.57b) ke Persamaan

(4.56), maka diperoleh:

(𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦) =

𝑘𝑛𝑓

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

(𝜕2𝑇

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑇

𝜕𝑦2) +𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞) (4.58)

Karena 𝜕2𝑇

𝜕𝑥2 ≪𝜕2𝑇

𝜕𝑦2 dan 𝑘𝑛𝑓

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

= 𝛼𝑛𝑓, maka Persamaan (4.58) menjadi :

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 𝛼𝑛𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2 +𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞) (4.59)

dengan :

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓 = (1 − 𝜒)(𝜌𝐶𝑝)𝑓 + 𝜒(𝜌𝐶𝑝)𝑠

𝑘𝑛𝑓 =𝑘𝑠+2𝑘𝑓+2𝜒(𝑘𝑠−𝑘𝑓)

𝑘𝑠+2𝑘𝑓−𝜒(𝑘𝑠−𝑘𝑓)𝑘𝑓

4.4 Model Matematika Berdimensi

Model matematika berdimensi untuk aliran fluida nano yang melalui

permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi campuran dan

pembangkitan panas didasarkan pada persamaan pembangun pada Persamaan

38

(4.19), (4.43), (4.44), dan Persamaan (4.59). Adapun model matematika berdimensi

tersebut adalah sebagai berikut.

1. Persamaan Kontinuitas Berdimensi

𝜕�̅�

𝜕𝑥 +

𝜕𝑣

𝜕𝑦 = 0 (4.60)

2. Persamaan Momentum Berdimensi

Persamaan momentum arah sumbu-x:

(𝑢 𝜕�̅�

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕�̅�

𝜕𝑦 ) = −

1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2�̅�

𝜕𝑥 2+

𝜕2�̅�

𝜕𝑦 2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑥 (4.61)

Persamaan momentum arah sumbu-y :

(𝑢 𝜕𝑣

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦 ) = −

1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑦 +

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑣

𝜕𝑥 2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦 2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑦 (4.62)

3. Persamaan Energi Berdimensi

𝑢 𝜕𝑇

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦 = 𝛼𝑛𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦 2+

𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞) (4.63)

dengan kondisi batas sebagai berikut:

𝑢 = 𝑣 = 0, �̅� = 𝑇𝑤 ; untuk 𝑦 = 0

𝑢 = 𝑢 𝑒(𝑥), 𝑇 = 𝑇∞ ; untuk 𝑦 → ∞

dengan 𝑢 𝑒(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 ) adalah kecepatan aliran bebas (Alkasasbeh, 2015),

sedangkan tanda “̅ ” adalah simbol untuk model matematika berdimensi.

4.5 Model Matematika Non-Dimensi

Model matematika berdimensi selanjutnya ditransformasikan ke bentuk

tak berdimensi. Hal ini bertujuan untuk menghilangkan dimensi dari parameter-

parameter yang terdapat pada model matematika berdimensi. Pengubahan

persamaan dimensional menjadi persamaan non-dimensional adalah dengan

menggunakan variabel non-dimensional dan parameter non-dimensional seperti

berikut (Alkasasbeh, 2015):

Variabel non-dimensional

𝑥 =𝑥

𝑎 ; 𝑦 = 𝑅𝑒

12⁄ (

𝑦

𝑎)

𝑢 =𝑢

𝑈∞ ; 𝑣 = 𝑅𝑒

12⁄ (

𝑣

𝑈∞)

39

𝑇 =𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑤 − 𝑇∞

; 𝑝 =𝑝

𝜌𝑛𝑓𝑈∞2

𝑢𝑒 =�̅�𝑒(𝑥)

𝑈∞ ; 𝛽𝑛𝑓 = 𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓 (4.64)

dengan 𝑅𝑒 =𝑈∞𝑎𝜌𝑓

𝜇𝑓 dan 𝑢𝑒(𝑥) = sin (𝑥).

Parameter non-dimensional (Widodo dkk, 2015)

𝑃𝑟 =1

𝛼𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

⋋=𝐺𝑟

𝑅𝑒2

dengan

𝐺𝑟 =𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤−𝑇∞)𝑎3𝜌𝑓

2

𝜇𝑓2 (4.65)

Substitusikan variabel non dimensional dan parameter non dimensional

pada Persamaan (4.64) dan (4.65) ke persamaan pembangun dimensional

(Persamaan (4.60) sampai dengan Persamaan (4.63)) sehingga diperoleh persamaan

pembangun non-dimensional (Terlampir pada Lampiran 1).

Persamaan kontinuitas:

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

Persamaan momentum

Persamaan momentum arah sumbu-x:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

1

𝑅𝑒

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 + 𝑅𝑒𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓𝑇λsin(𝑥)

Persamaan momentum arah sumbu-y:

1

𝑅𝑒(𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓

1

𝑅𝑒(𝜕2𝑣

𝜕𝑦2 +1

𝑅𝑒

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2) +1

𝑅𝑒12

𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓𝑇 cos(𝑥)

Persamaan energi :

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2 + 𝑄𝑇

40

dengan :

𝑄 =𝑎1/2𝑄0

(𝑔(𝑇𝑤−𝑇∞)𝛽𝑓)12(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

dengan kondisi batas :

𝑢 = 𝑣 = 0, 𝑇 = 1, pada saat 𝑦 = 0

𝑢 = 𝑢𝑒(𝑥), 𝑇 = 0, pada saat 𝑦 → ∞

dengan 𝜆 adalah parameter konveksi, Pr adalah bilangan Prandtl, dan Q adalah

parameter sumber panas.

4.6 Pendekatan Lapisan Batas

Dalam penelitian ini, daerah pengamatan dibatasi pada lapisan batas

sehingga model matematika non-dimensional disederhanakan menggunakan

pendekatan lapisan batas yang mensyaratkan 𝑅𝑒 → ∞ dan 1

𝑅𝑒→ 0. Dengan

demikian, model matematika non-dimensional menjadi:

Persamaan Kontinuitas

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0 (4.66)

Persamaan momentum

Persamaan momentum arah sumbu-x:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓𝑇λ sin(𝑥) (4.67)

Persamaan momentum arah sumbu-y:

−𝜕𝑝

𝜕𝑦= 0 (4.68)

Persamaan energi :

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2 + 𝑄𝑇 (4.69)

Dari model matematika di lapisan batas diperoleh hasil bahwa tekanan

fluida nano, p tidak bergantung pada y (Persamaan (4.68)) atau tekanan hanya

bergantung pada x. Dengan demikian, persamaan momentum pada lapisan batas

adalah sebagai berikut :

41

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓𝑇λ sin(𝑥) (4.70)

Persamaan momentum di luar lapisan batas didefinisikan sebagai berikut:

𝑢𝑒𝜕𝑢𝑒

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢𝑒

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕2𝑢𝑒

𝜕𝑦2 +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓𝑇λ sin(𝑥) (4.71)

Pada penelitian ini, aliran fluida melewati permukaan silinder horizontal

dan 𝑢𝑒 merupakan kecepatan di luar aliran lapisan batas yang diasumsikan 𝑢𝑒 =

𝑠𝑖𝑛(𝑥). Sehingga diperoleh :

𝜕𝑢𝑒

𝜕𝑦= 0 ;

𝜕2𝑢𝑒

𝜕𝑦2 = 0 (4.72)

Substitusikan Persamaan (4.72) pada Persamaan (4.71) sehingga diperoleh :

𝑢𝑒𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓𝑇λ sin(𝑥)

Pada saat T = 0 maka :

−𝜕𝑝

𝜕𝑥= 𝑢𝑒

𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥 (4.73)

dengan mensubstitusikan Persamaan (4.73) pada Persamaan (4.70) akan diperoleh

Persamaan momentum sebagai berikut :

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑢𝑒

𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓λ𝑇 sin(𝑥) (4.74)

4.7 Fungsi Alir (Stream Function) dan Persamaan Similaritas

4.7.1 Fungsi Alir (Stream Function)

Fungsi alir (𝜓) merupakan fungsi yang digunakan untuk

menyederhanakan persamaan banyak variabel menjadi persamaan yang hanya

bergantung pada satu variabel. Fungsi alir untuk aliran fluida yang melewati

permukaan silinder horizontal dinyatakan dengan:

𝑢 =𝜕𝜓

𝜕𝑦 dan 𝑣 = −

𝜕𝜓

𝜕𝑥 (4.75)

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan Persamaan (4.75) ke Persamaan (4.66),

(4.69), dan (4.74) maka diperoleh persamaan-persamaan di bawah ini:

42

1. Persamaan Kontinuitas

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

𝜕

𝜕𝑥(𝜕𝜓

𝜕𝑦) −

𝜕

𝜕𝑦(𝜕𝜓

𝜕𝑥) = 0

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦= 0

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦 (4.76)

2. Persamaan Momentum

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 𝑢𝑒

𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓λ𝑇 sin(𝑥)

(𝜕𝜓

𝜕𝑦)

𝜕

𝜕𝑥(𝜕𝜓

𝜕𝑦) + (−

𝜕𝜓

𝜕𝑥)

𝜕

𝜕𝑦(𝜕𝜓

𝜕𝑦) = 𝑢𝑒

𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕2

𝜕𝑦2(𝜕𝜓

𝜕𝑦) +

𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓λ𝑇 sin(𝑥)

𝜕𝜓

𝜕𝑦

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕𝜓

𝜕𝑥

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2 = 𝑢𝑒𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕3𝜓

𝜕𝑦3 +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓λ𝑇 sin(𝑥)

(4.77)

3. Persamaan Energi

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+ 𝑄𝑇

(𝜕𝜓

𝜕𝑦)

𝜕𝑇

𝜕𝑥− (

𝜕𝜓

𝜕𝑥)

𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2 + 𝑄𝑇 (4.78)

Pada Persamaan (4.76) diperoleh hasil bahwa fungsi alir memenuhi

persamaan kontinuitas. Dengan demikian, persamaan pembangun yang digunakan

pada Penelitian ini adalah persamaan momentum dan energi.

4.7.2 Persamaan Similaritas

Hubungan antara fungsi alir (𝜓) dan persamaan similaritas dirumuskan

sebagai berikut:

𝜓 = 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑇 = 𝜃(𝑥, 𝑦)

Sarif dkk (2013).

43

Sehingga diperoleh:

𝜕𝜓

𝜕𝑦= 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦 ,

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2 = 𝑥𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 , 𝜕3𝜓

𝜕𝑦3 = 𝑥𝜕3𝑓

𝜕𝑦3, 𝜕4𝜓

𝜕𝑦4 = 𝑥𝜕4𝑓

𝜕𝑦4

𝜕ø

𝜕𝑥= 𝑓 + 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥 ,

𝜕2𝜓

𝜕𝑥2 = 𝑥 (𝜕𝑓

𝜕𝑥)2

+ 𝑓𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑥𝑓

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕𝑓

𝜕𝑦+ 𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦 ,

𝜕3𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦2 =𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 + 𝑥𝜕3𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦2

𝑢𝑒 = sin 𝑥 (4.79)

Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.79) ke Persamaan (4.77) dan

(4.78) maka diperoleh Persamaan similaritas (Terlampir pada Lampiran 2).

0 = 1 − (𝑓′)2 + 𝑓𝑓′′ +𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑓′′′) +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓⋋ 𝑇

dan

0 = 𝑓𝑇′ +1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓𝑇′′ + 𝑄𝑇

(4.80)

dengan kondisi batas sebagai berikut:

𝑓 = 𝑓′ = 0 dan 𝑇 = 1 untuk 𝑦 = 0

𝑥𝑓′ = sin 𝑥 dan 𝑇 = 0 untuk 𝑦 → ∞

44

45

BAB 5

PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKA

Pada Bab ini menjelaskan tentang penyelesaian model matematika aliran

fluida nano yang melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh

konveksi campuran dan pembangkitan panas secara numerik dengan metode

Keller-Box. Langkah-langkah penyelesaian model adalah sebagai berikut. Pertama,

Diskritisasi model dengan menggunakan beda-hingga pusat. Kedua, Linierisasi

persamaan yang didapat dengan metode Newton dan dibentuk dalam matriks

vektor. Ketiga, Hasil linierisasi diselesaikan dengan teknik eliminasi matriks blok-

tridiagonal. Selanjutnya, langkah terakhir dilakukan simulasi dengan program

Matlab R2012a dan menghasilkan output berupa grafik profil kecepatan dan

temperatur dengan variasi parameter nanoparticle volume fraction (𝜒), konveksi

campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), sumber panas (𝑄), dan jari-jari silinder (a).

5.1 Pembentukan Persamaan Orde satu

Persamaan similaritas yang dihasilkan pada subbab (4.7.2) merupakan

persamaan orde tinggi yang dapat ditransformasi menjadi persamaan orde satu.

Pembentukan persamaan orde satu dilakukan dengan memisalkan variabel-variabel

berikut:

𝑓′ = 𝑢 (5.1)

𝑢′ = 𝑣 (5.2)

𝑇′ = 𝑤 (5.3)

Selanjutnya, mensubstitusikan Persamaan (5.1), (5.2), dan (5.3) ke Persamaan

(4.80) sehingga dihasilkan persamaan orde satu di bawah ini:

0 = 1 − (𝑢)2 + 𝑓𝑣 +𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑣′) +𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓⋋ 𝑇

dan

0 = 𝑓𝑤 +1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓𝑤′ + 𝑄𝑇

(5.4)

(5.5)

dengan kondisi batas:

𝑓(𝑥, 0) = 𝑢(𝑥, 0) = 0 dan 𝑇(𝑥, 0) = 1

46

𝑢(𝑥,∞) = 1 dan 𝑇(𝑥,∞) = 0 (5.6)

5.2 Diskritisasi

Diskritisasi menggunakan metode beda-hingga pusat yang diilustrasikan

seperti pada Gambar 5.1 di bawah ini.

Gambar 5.1 Skema beda-hingga pusat

Diskritisasi Persamaan (5.1) sampai dengan Persamaan (5.3)

menggunakan titik tengah (𝑦𝑗−

1

2

, 𝑥𝑛) pada segmen garis 𝑃1𝑃2, sedangkan bentuk

non linier pada Persamaan (5.4) dan (5.5) menggunakan titik tengah (𝑦𝑗−

1

2

, 𝑥𝑛−1

2)

pada segiempat 𝑃1𝑃2𝑃3𝑃4 dengan formula sebagai berikut :

𝑥𝑛−12 =

1

2(𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1)

𝑦𝑗−

12 =

1

2(𝑦𝑗 + 𝑦𝑗−1)

( )𝑗

𝑛−12 =

1

2[( )𝑗

𝑛 + ( )𝑗𝑛−1]

( )𝑗−

12

𝑛 = 1

2[( )𝑗

𝑛 + ( )𝑗−1𝑛 ]

(𝜕𝑢

𝜕𝑥)𝑗−

12

𝑛−12 =

(𝑢)𝑗−

12

𝑛 − (𝑢)𝑗−

12

𝑛−1

𝑙𝑛

(𝜕𝑢

𝜕𝑦)𝑗−

12

𝑛−12=

(𝑢)𝑗

𝑛−12 − (𝑢)

𝑗−1

𝑛−12

ℎ𝑗

(5.7)

𝑥𝑛

𝑥𝑛−12

𝑥𝑛−1

ç𝑛−12 ç𝑛

ç𝑛−1

ℎ𝑗

𝑙𝑛

47

dengan 𝑙𝑛 adalah jarak pada ∆𝑥 dan ℎ𝑗 adalah jarak pada ∆𝑦.

Langkah berikutnya pada tahap diskritisasi adalah mensubstitusikan

Persamaan (5.7) pada Persamaan (5.1), (5.2), dan (5.3) sehingga diperoleh:

𝑓𝑗𝑛 − 𝑓𝑗−1

𝑛

ℎ𝑗=

1

2(𝑢𝑗

𝑛 + 𝑢𝑗−1𝑛 ) = 𝑢

𝑗−12

𝑛

𝑢𝑗𝑛 − 𝑢𝑗−1

𝑛

ℎ𝑗=

1

2(𝑣𝑗

𝑛 + 𝑣𝑗−1𝑛 ) = 𝑣

𝑗−12

𝑛

𝑇𝑗𝑛 − 𝑇𝑗−1

𝑛

ℎ𝑗=

1

2(𝑤𝑗

𝑛 + 𝑤𝑗−1𝑛 ) = 𝑤

𝑗−12

𝑛

(5.8)

(5.9)

(5.10)

Diskritisasi persamaan momentum dan energi menggunakan skema berikut ini:

1

2[(𝐿1)

𝑗−12

𝑛 + (𝐿1)𝑗−

12

𝑛−1] = 0

1

2[(𝐿2)

𝑗−12

𝑛 + (𝐿2)𝑗−

12

𝑛−1] = 0

(5.11)

(5.12)

Jika koefisien-koefisien pada persamaan momentum dimisalkan seperti di

bawah ini:

𝐴 =𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓=

1

(1 − 𝜒)2.5(1 − 𝜒) + 𝜒𝜌𝑠

𝜌𝑓

𝐵 =𝛽𝑛𝑓

𝛽𝑓𝜌𝑛𝑓=

(𝜒𝜌𝑠 (𝛽𝑠

𝛽𝑓) + (1 − 𝜒)𝜌𝑓)

𝜒ñ𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓⋋

(5.13)

(5.14)

dengan mensubstitusikan Persamman (5.13) dan (5.14) ke Persamaan (5.4) maka

diperoleh persamaan:

(𝐿1)𝑛 = 1 − (𝑢2)𝑛 + (𝑓𝑣)𝑛 + 𝐴(𝑣′)𝑛 + 𝐵𝑇𝑛

dan

(𝐿1)𝑛−1 = 1 − (𝑢2)𝑛−1 + (𝑓𝑣)𝑛−1 + 𝐴(𝑣′)𝑛−1 + 𝐵𝑇𝑛−1

(5.15)

(5.16)

Substitusikan Persamaan (5.15) dan (5.16) pada persamaan (5.11) sehingga

diperoleh persamaan:

1 − (𝑢2)𝑛 + (𝑓𝑣)𝑛 + 𝐴(𝑣′)𝑛 + 𝐵𝑇𝑛

= −1 + (𝑢2)𝑛−1 − (𝑓𝑣)𝑛−1 − 𝐴(𝑣′)𝑛−1 − 𝐵𝑇𝑛−1

(5.17)

48

Jika koefisien-koefisien pada persamaan energi pada Persmaan (5.5)

dimisalkan seperti di bawah ini:

𝐶 =1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓=

1

𝑃𝑟

𝑘𝑠 + 2𝑘𝑓 + 2𝜒(𝑘𝑠 − 𝑘𝑓)

[𝑘𝑠 + 2𝑘𝑓 − 𝜒(𝑘𝑠 − 𝑘𝑓)] [(1 − 𝜒) + 𝜒(𝜌𝐶𝑝)𝑠(𝜌𝐶𝑝)𝑓

]

𝐷 = 𝑄 =𝑎1/2𝑄0

(𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞))1/2

[(1 − 𝜒)(𝜌𝐶𝑝)𝑓 + 𝜒(𝜌𝐶𝑝)𝑠]

(5.18)

(5.19)

Maka persamaan energi pada Persamaan (5.5) menjadi persamaan:

(𝐿2)𝑛 = 𝑓𝑛𝑤𝑛 + 𝐶(𝑤′)𝑛 + 𝐷𝑇𝑛

dan

(𝐿2)𝑛−1 = 𝑓𝑛−1𝑤𝑛−1 + 𝐶(𝑤′)𝑛−1 + 𝐷𝑇𝑛−1

(5.20)

(5.21)

Substitusikan Persamaan (5.20) dan (5.21) pada Persamaan (5.12) sehingga

diperoleh persamaan:

𝑓𝑛𝑤𝑛 + 𝐶(𝑤′)𝑛 + 𝐷𝑇𝑛 = −𝑓𝑛−1𝑤𝑛−1 − 𝐶(𝑤′)𝑛−1 − 𝐷𝑇𝑛−1 (5.22)

Pada titik tengah segiempat, yaitu (𝑥𝑛−1

2, 𝑦𝑗−

1

2

), maka Persamaan (5.17)

dan Persamaan (5.22) menjadi:

1 − (𝑢𝑗−

12

𝑛 )

2

+ 𝑓𝑗−

12

𝑛 𝑣𝑗−

12

𝑛 + 𝐴(𝑣𝑗

𝑛 − 𝑣𝑗−1𝑛

ℎ𝑗) + 𝐵𝑇

𝑗−12

𝑛

= −1 + (𝑢𝑗−

12

𝑛−1)

2

− 𝑓𝑗−

12

𝑛−1𝑣𝑗−

12

𝑛−1 − 𝐴(𝑣𝑗

𝑛−1 − 𝑣𝑗−1𝑛−1

ℎ𝑗)

− 𝐵𝑇𝑗−

12

𝑛−1

𝑓𝑗−

12

𝑛 𝑤𝑗−

12

𝑛 + 𝐶 (𝑤𝑗

𝑛 − 𝑤𝑗−1𝑛

ℎ𝑗) + 𝐷 (𝑇

𝑗−12

𝑛 )

= −𝑓𝑗−

12

𝑛−1𝑤𝑗−

12

𝑛−1 − 𝐶 (𝑤𝑗

𝑛−1 − 𝑤𝑗−1𝑛−1

ℎ𝑗) − 𝐷 (𝑇

𝑗−12

𝑛−1)

(5.23)

(5.24)

Dengan kondisi batas adalah sebagai berikut:

𝑓0𝑛 = 𝑢0

𝑛 = 0, 𝑇0𝑛 = 1

49

𝑢𝑗𝑛 = 1, dan 𝑇𝑗

𝑛 = 0 (5.25)

5.3 Linierisasi

Setelah diperoleh hasil diskritisasi, maka selanjutnya dilakukan linierisasi

pada Persamaan (5.8), (5.9), (5.10), (5.23), dan (5.24) dengan menggunakan metode

Newton.

Menurut Alkasasbeh (2015), Andaikan ada peubah 𝑓𝑗𝑛−1, 𝑢𝑗

𝑛−1, 𝑣𝑗𝑛−1,

𝑇𝑗𝑛−1, dan 𝑤𝑗

𝑛−1 untuk 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑍, maka penyelesaian dari peubah yang tidak

diketahui, yaitu 𝑓𝑗𝑛, 𝑢𝑗

𝑛, 𝑣𝑗𝑛, 𝑇𝑗

𝑛, 𝑤𝑗𝑛 untuk 𝑗 = 0,1, … , 𝑍 harus ditentukan.

Kemudian, peubah yang tidak diketahui tersebut pada 𝑥 = 𝑥𝑛−1 dapat ditulis

dengan 𝑓𝑗 , 𝑢𝑗 , 𝑣𝑗 , 𝑇𝑗, 𝑤𝑗. Sehingga Persamaan (5.8), (5.9), (5.10), (5.23), dan (5.24)

dapat dinyatakan dengan:

𝑓𝑗 − 𝑓𝑗−1 −ℎ𝑗

2(𝑢𝑗 + 𝑢𝑗−1) = 0 (5.26)

𝑢𝑗 − 𝑢𝑗−1 −ℎ𝑗

2(𝑣𝑗 + 𝑣𝑗−1) = 0 (5.27)

𝑇𝑗 − 𝑇𝑗−1 −ℎ𝑗

2(𝑤𝑗 + 𝑤𝑗−1) = 0 (5.28)

ℎ𝑗 −ℎ𝑗

4(𝑢𝑗 + 𝑢𝑗−1)

2+

ℎ𝑗

4(𝑓𝑗 + 𝑓𝑗−1)(𝑣𝑗 + 𝑣𝑗−1)

+ 𝐴(𝑣𝑗𝑛 − 𝑣𝑗−1

𝑛 ) + 𝐵ℎ𝑗

2(𝑇𝑗 + 𝑇𝑗−1) = (𝑅1)

𝑗−12

𝑛−1 (5.29)

ℎ𝑗

4(𝑓𝑗 + 𝑓𝑗−1)(𝑤𝑗 + 𝑤𝑗−1) + 𝐶(𝑤𝑗

𝑛 − 𝑤𝑗−1𝑛 )

+ 𝐷ℎ𝑗

2(𝑇𝑗 + 𝑇𝑗−1) = (𝑅2)

𝑗−12

𝑛−1 (5.30)

dengan : (𝑅1)𝑗−1

2

𝑛−1 = −ℎ𝑗 dan (𝑅2)𝑗−1

2

𝑛−1 = 0

Iterasi untuk metode Newton diberikan pada persamaan di bawah ini:

𝑓𝑗(𝑖+1) = 𝑓𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗(𝑖)

𝑢𝑗(𝑖+1) = 𝑢𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗(𝑖)

𝑣𝑗(𝑖+1) = 𝑣𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑣𝑗(𝑖)

50

𝑇𝑗(𝑖+1) = 𝑇𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑇𝑗(𝑖)

𝑤𝑗(𝑖+1) = 𝑤𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑤𝑗(𝑖)

(5.31)

Substitusikan Persamaan (5.31) pada Persamaan (5.26) sampai dengan

Persamaan (5.30) sehingga diperoleh:

(𝑓𝑗(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗

(𝑖)) − (𝑓𝑗−1(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗−1

(𝑖) ) −ℎ𝑗

2(𝑢𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗(𝑖) + 𝑢𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗−1(𝑖) ) = 0 (5.32)

(𝑢𝑗(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗

(𝑖)) − (𝑢𝑗−1(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗−1

(𝑖) ) −ℎ𝑗

2(𝑣𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑣𝑗(𝑖) + 𝑣𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑣𝑗−1(𝑖) ) = 0 (5.33)

(𝑇𝑗(𝑖)

+ 𝛿𝑇𝑗(𝑖)

) − (𝑇𝑗−1(𝑖)

+ 𝛿𝑇𝑗−1(𝑖)

) − (𝑤𝑗(𝑖)

+ 𝛿𝑤𝑗(𝑖)

+ 𝑤𝑗−1(𝑖)

+ 𝛿𝑤𝑗−1(𝑖)

) = 0 (5.34)

ℎ𝑗 −ℎ𝑗

4(𝑢𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗(𝑖) + 𝑢𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑢𝑗−1(𝑖) )

2

+ℎ𝑗

4(𝑓𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗(𝑖) + 𝑓𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗−1(𝑖) )(𝑣𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑣𝑗(𝑖) + 𝑣𝑗−1

(𝑖)

+ 𝛿𝑣𝑗−1(𝑖) ) + 𝐴((𝑣𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑣𝑗(𝑖)) − (𝑣𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑣𝑗−1(𝑖) ))

+ 𝐵ℎ𝑗

2(𝑇𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑇𝑗(𝑖) + 𝑇𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑇𝑗−1(𝑖) ) = (𝑅1)

𝑗−12

𝑛−1

(5.35)

ℎ𝑗

4(𝑓𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗(𝑖) + 𝑓𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑓𝑗−1(𝑖) )(𝑤𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑤𝑗(𝑖) + 𝑤𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑤𝑗−1(𝑖) )

+ 𝐶 ((𝑤𝑗(𝑖)

+ 𝛿𝑤𝑗(𝑖)

) − (𝑤𝑗−1(𝑖)

+ 𝛿𝑤𝑗−1(𝑖)

))

+ 𝐷 (ℎ𝑗

2) (𝑇𝑗

(𝑖) + 𝛿𝑇𝑗(𝑖) + 𝑇𝑗−1

(𝑖) + 𝛿𝑇𝑗−1(𝑖) ) = (𝑅2)

𝑗−12

𝑛−1

(5.36)

Jika orde tinggi pada 𝛿𝑓𝑗(𝑖)

, 𝛿𝑢𝑗(𝑖)

, 𝛿𝑣𝑗(𝑖)

, 𝛿𝑇𝑗(𝑖)

, dan 𝛿𝑤𝑗(𝑖)

dihilangkan

maka diperoleh bentuk sederhana sebagai berikut:

(𝛿𝑓𝑗 − 𝛿𝑓𝑗−1) −ℎ𝑗

2(𝛿𝑢𝑗 + 𝛿𝑢𝑗−1) = (𝑞1)𝑗−1

2 (5.37)

(𝛿𝑢𝑗 − 𝛿𝑢𝑗−1) −ℎ𝑗

2(𝛿𝑣𝑗 + 𝛿𝑣𝑗−1) = (𝑞2)𝑗−1

2 (5.38)

(𝛿𝑇𝑗 − 𝛿𝑇𝑗−1) −ℎ𝑗

2(𝛿𝑤𝑗 + 𝛿𝑤𝑗−1) = (𝑞3)𝑗−1

2 (5.39)

51

(𝑎1)𝑗𝛿𝑣𝑗 + (𝑎2)𝑗𝛿𝑣𝑗−1 + (𝑎3)𝑗𝛿𝑓𝑗 + (𝑎4)𝑗𝛿𝑓𝑗−1 + (𝑎5)𝑗𝛿𝑢𝑗

+ (𝑎6)𝑗𝛿𝑢𝑗−1 + (𝑎7)𝑗𝛿𝑇𝑗 + (𝑎8)𝑗𝛿𝑇𝑗−1 = (𝑞4)𝑗−12 (5.40)

(𝑏1)𝑗𝛿𝑤𝑗 + (𝑏2)𝑗𝛿𝑤𝑗−1 + (𝑏3)𝑗𝛿𝑓𝑗 + (𝑏4)𝑗𝛿𝑓𝑗−1 + (𝑏5)𝑗𝛿𝑇𝑗

+ (𝑏6)𝑗𝛿𝑇𝑗−1 = (𝑞5)𝑗−12

(5.41)

dengan:

(𝑎1)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑓𝑗−

1

2

+ 𝐴

(𝑎2)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑓𝑗−

1

2

− 𝐴 = (𝑎1)𝑗 − 2𝐴

(𝑎3)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑣𝑗−

1

2

(𝑎4)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑣𝑗−

1

2

= (𝑎3)𝑗

(𝑎5)𝑗 = −ℎ𝑗

2𝑢𝑗−

1

2

(𝑎6)𝑗 = −ℎ𝑗

2𝑢𝑗−

1

2

= (𝑎5)𝑗

(𝑎7)𝑗 = 𝐵ℎ𝑗

2

(𝑎8)𝑗 = 𝐵ℎ𝑗

2= (𝑎7)𝑗

(5.42)

(𝑏1)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑓𝑗−

1

2

+ 𝐶

(𝑏2)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑓𝑗−

1

2

− 𝐶 = (𝑏1)𝑗 − 2𝐶

(𝑏3)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑤

𝑗−1

2

(𝑏4)𝑗 =ℎ𝑗

2𝑤

𝑗−1

2

= (𝑏3)𝑗

(𝑏5)𝑗 =ℎ𝑗

2𝐷

(𝑏6)𝑗 =ℎ𝑗

2𝐷 = (𝑏5)𝑗

(5.43)

(𝑞1)𝑗−1

2

= (𝑓𝑗−1 − 𝑓𝑗) + ℎ𝑗𝑢𝑗−1

2

(𝑞2)𝑗−1

2

= (𝑢𝑗−1 − 𝑢𝑗) + ℎ𝑗𝑣𝑗−1

2

(𝑞3)𝑗−1

2

= (𝑇𝑗−1 − 𝑇𝑗) + ℎ𝑗𝑤𝑗−1

2

52

(𝑞4)𝑗−1

2

= −ℎ𝑗 + ℎ𝑗 (𝑢𝑗−1

2

)2

− ℎ𝑗𝑓𝑗−1

2

𝑣𝑗−

1

2

− ℎ𝑗 − 𝐴(𝑣𝑗 − 𝑣𝑗−1) −

𝐵ℎ𝑗𝑇𝑗−1

2

(𝑞5)𝑗−12= −ℎ𝑗𝑓𝑗−1

2𝑤

𝑗−12− 𝐶(𝑤𝑗 − 𝑤𝑗−1) − 𝐷ℎ𝑗𝑇𝑗−1

2

(5.44)

Kondisi batas pada Persamaan (5.37) sampai dengan (5.44) dinyatakan dengan:

𝑓0 = 𝑢0 = 0, 𝑇0 = 1

𝑢𝑗 = 1 dan 𝑇𝑗 = 0 (5.45)

Menurut Alkasasbeh (2015), untuk mempertahankan nilai yang benar pada

semua iterasi, maka diambil sebuah nilai berdasarkan kondisi batas berikut ini:

𝛿𝑓0 = 0, 𝑢0 = 0, 𝛿𝑤0 = 0, 𝛿𝑢𝑗 = 0, 𝛿𝑇𝑗 = 0 (5.46)

5.4 Teknik Eliminasi Blok

Sistem persamaan linier yang diperoleh dari proses linierisasi yang

ditunjukkan pada Persamaan (5.37) sampai dengan (5.41) memiliki struktur

tridiagonal blok yaitu seluruh elemen matrik bernilai nol kecuali tiga diagonal

utama. Menurut Widodo dkk (1979), persamaan dengan struktur tridiagonal blok

dapat diselesaikan dengan meggunakan teknik eliminasi blok. Elemen-elemen dari

blok tridiagonal pada metode Keller Box ini berupa matrik blok sehingga dalam

penyelesaiannya dibutuhkan penentuan elemen-elemen dari matriks blok

tridiagonal pada Persamaan (5.37) sampai dengan (5.41) dengan cara dibentuk tiga

keadaan yaitu saat 𝑗 = 1, 𝑗 = 𝑁 − 1, dan 𝑗 = 𝑁.

Keadaan 1 : untuk j =1 maka Persamaan (5.37) – (5.41) menjadi :

(𝛿𝑓1 − 𝛿𝑓0) −ℎ1

2(𝛿𝑢1 + 𝛿𝑢0) = (𝑞1)1

2 (5.47)

(𝛿𝑢1 − 𝛿𝑢0) −ℎ1

2(𝛿𝑣1 + 𝛿𝑣0) = (𝑞2)1

2 (5.48)

(𝛿𝑇1 − 𝛿𝑇0) −ℎ1

2(𝛿𝑤1 + 𝛿𝑤0) = (𝑞3)1

2 (5.49)

(𝑎1)1𝛿𝑣1 + (𝑎2)1𝛿𝑣0 + (𝑎3)1𝛿𝑓1 + (𝑎4)1𝛿𝑓0 + (𝑎5)1𝛿𝑢1 + (𝑎6)1𝛿𝑢0

+ (𝑎7)1𝛿𝑇1 + (𝑎8)1𝛿𝑇0 = (𝑞4)12 (5.50)

53

(𝑏1)1𝛿𝑤1 + (𝑏2)1𝛿𝑤0 + (𝑏3)1𝛿𝑓1 + (𝑏4)1𝛿𝑓0 + (𝑏5)1𝛿𝑇1 + (𝑏6)1𝛿𝑇0

= (𝑞5)12

(5.51)

Diketahui bahwa 𝛿𝑓0 = 0, 𝛿𝑢0 = 0, 𝛿𝑤0 = 0, dan dimisalkan −ℎ1

2= 𝑑1

maka sistem persamaan di atas dapat dibentuk dalam matriks sebagai berikut :

[

0 0 1 0 0 𝑑1 0 0 𝑑1 0

0

(𝑎2)10

−1(𝑎8)1(𝑏6)1

0(𝑎3)1(𝑏3)1

0(𝑎1)10

𝑑1

0(𝑏1)1]

[ 𝛿𝑣0

𝛿𝑇0

𝛿𝑓1𝛿𝑣1

𝛿𝑤1]

+

[ 𝑑1 0 0 0 01 0 0 0 00

(𝑎5)10

1(𝑎7)1(𝑏5)1

000

000

000]

[ 𝛿𝑢1

𝛿𝑇1𝛿𝑓2𝛿𝑣2

𝛿𝑤2]

=

[ (𝑞1)1−1

2

(𝑞2)1−12

(𝑞3)1−12

(𝑞4)1−12

(𝑞5)1−12]

Bentuk matriks di atas dapat dituliskan dengan [𝐴1][𝛿1] + [𝐶1][𝛿2] = [𝑞1].

Keadaan 2 : untuk j =N-1 maka Persamaan (5.39) – (5.43) menjadi :

(𝛿𝑓𝑁−1 − 𝛿𝑓𝑁−2) −ℎ𝑁−1

2(𝛿𝑢𝑁−1 + 𝛿𝑢𝑁−2) = (𝑞1)(𝑁−1)−(

12) (5.52)

(𝛿𝑢𝑁−1 − 𝛿𝑢𝑁−2) −ℎ𝑁−1

2(𝛿𝑣𝑁−1 + 𝛿𝑣𝑁−2) = (𝑞2)(𝑁−1)−(

12) (5.53)

(𝛿𝑇𝑁−1 − 𝛿𝑇𝑁−2) −ℎ𝑁−1

2(𝛿𝑤𝑁−1 + 𝛿𝑤𝑁−2) = (𝑞3)(𝑁−1)−(

12) (5.54)

(𝑎1)𝑁−1𝛿𝑣𝑁−1 + (𝑎2)𝑁−1𝛿𝑣𝑁−2 + (𝑎3)𝑁−1𝛿𝑓𝑁−1 + (𝑎4)𝑁−1𝛿𝑓𝑁−2

+ (𝑎5)𝑁−1𝛿𝑢𝑁−1 + (𝑎6)𝑁−1𝛿𝑢𝑁−2 + (𝑎7)𝑁−1𝛿𝑇𝑁−1

+ (𝑎8)𝑁−1𝛿𝑇𝑁−2 = (𝑞4)(𝑁−1)−(12)

(5.55)

(𝑏1)𝑁−1𝛿𝑤𝑁−1 + (𝑏2)𝑁−1𝛿𝑤𝑁−2 + (𝑏3)𝑁−1𝛿𝑓𝑁−1 + (𝑏4)𝑁−1𝛿𝑓𝑁−2

+ (𝑏5)𝑁−1𝛿𝑇𝑁−1 + (𝑏6)𝑁−1𝛿𝑇𝑁−2 = (𝑞5)(𝑁−1)−(12)

(5.56)

54

Misalkan −ℎ𝑁−1

2= 𝑑𝑁−1 maka sistem persamaan di atas dapat dibentuk

dalam matriks sebagai berikut:

[ 0 0 −1 0 0 0 0 0 𝑑𝑁−1 0

000

000

0(𝑎4)𝑁−1

(𝑏4)𝑁−1

0(𝑎2)𝑁−1

0

𝑑𝑁−1

0(𝑏2)𝑁−1]

[ 𝛿𝑢𝑁−3

𝛿𝑇𝑁−3

𝛿𝑓𝑁−2

𝛿𝑣𝑁−2

𝛿𝑤𝑁−2]

+

[ 𝑑𝑁−1 0 1 0 0

−1 0 0 𝑑𝑁−1 0

0

(𝑎6)𝑁−1

0

−1(𝑎8)𝑁−1

(𝑏6)𝑁−1

0(𝑎3)𝑁−1

(𝑏3)𝑁−1

0(𝑎1)𝑁−1

0

𝑑1

0(𝑏1)𝑁−1]

[ 𝛿𝑢𝑁−2

𝛿𝑇𝑁−2

𝛿𝑓𝑁−1

𝛿𝑣𝑁−1

𝛿𝑤𝑁−1]

+

[ 𝑑𝑁−1 0 0 0 0

1 0 0 0 00

(𝑎5)𝑁−1

0

1(𝑎7)𝑁−1

(𝑏5)𝑁−1

000

000

000]

[ 𝛿𝑢𝑁−1

𝛿𝑇𝑁−1

𝛿𝑓𝑁𝛿𝑣𝑁

𝛿𝑤𝑁 ]

=

[ (𝑞1)(𝑁−1)−(

12)

(𝑞2)(𝑁−1)−(12)

(𝑞3)(𝑁−1)−(12)

(𝑞4)(𝑁−1)−(12)

(𝑞5)(𝑁−1)−(12)]

Bentuk matriks di atas dapat dituliskan dengan:

[𝐵𝑗][𝛿𝑗−1] + [𝐴𝑗][𝛿𝑗] + [𝐶𝑗][𝛿𝑗+1] = [𝑞𝑗] ; 𝑗 = 2,3,… , 𝑁 − 1

Keadaan 3 : untuk j =N maka Persamaan (5.37) – (5.41) menjadi :

(𝛿𝑓𝑁 − 𝛿𝑓𝑁−1) −ℎ𝑁

2(𝛿𝑢𝑁 + 𝛿𝑢𝑁−1) = (𝑞1)𝑁−

12 (5.57)

(𝛿𝑢𝑁 − 𝛿𝑢𝑁−1) −ℎ𝑁

2(𝛿𝑣𝑁 + 𝛿𝑣𝑁−1) = (𝑞2)𝑁−

12 (5.58)

(𝛿𝑇𝑁 − 𝛿𝑇𝑁−1) −ℎ𝑁

2(𝛿𝑤𝑁 + 𝛿𝑤𝑁−1) = (𝑞3)𝑁−

12 (5.59)

(𝑎1)𝑁𝛿𝑣𝑁 + (𝑎2)𝑁𝛿𝑣𝑁−1 + (𝑎3)𝑁𝛿𝑓𝑁 + (𝑎4)𝑁𝛿𝑓𝑁−1 + (𝑎5)𝑁𝛿𝑢𝑁

+ (𝑎6)𝑁𝛿𝑢𝑁−1 + (𝑎7)𝑁𝛿𝑇𝑁 + (𝑎8)𝑁𝛿𝑇𝑁−1 = (𝑞4)𝑁−12 (5.60)

(𝑏1)𝑁𝛿𝑤𝑁 + (𝑏2)𝑁𝛿𝑤𝑁−1 + (𝑏3)𝑁𝛿𝑓𝑁 + (𝑏4)𝑁𝛿𝑓𝑁−1 + (𝑏5)𝑁𝛿𝑇𝑁

+ (𝑏6)𝑁𝛿𝑇𝑁−1 = (𝑞5)𝑁−12

(5.61)

55

Misalkan −ℎ𝑁

2= 𝑑𝑁 maka sistem persamaan di atas dapat dibentuk dalam

matriks sebagai berikut:

[ 0 0 −1 0 0 0 0 0 𝑑𝑁 0

000

000

0(𝑎4)𝑁(𝑏4)𝑁

0(𝑎2)𝑁

0

𝑑𝑁

0(𝑏2)𝑁 ]

[ 𝛿𝑢𝑁−2

𝛿𝑇𝑁−2

𝛿𝑓𝑁−1

𝛿𝑣𝑁−1

𝛿𝑤𝑁−1]

+

[ 𝑑𝑁 0 1 0 0 −1 0 0 𝑑𝑁 0

0

(𝑎6)𝑁0

−1(𝑎8)𝑁(𝑏6)𝑁

0(𝑎3)𝑁(𝑏3)𝑁

0(𝑎1)𝑁

0

𝑑𝑁

0(𝑏1)𝑁 ]

[ 𝛿𝑢𝑁−1

𝛿𝑇𝑁−1

𝛿𝑓𝑁𝛿𝑣𝑁

𝛿𝑤𝑁 ]

=

[ (𝑞1)𝑁−

12

(𝑞2)𝑁−12

(𝑞3)𝑁−12

(𝑞4)𝑁−12

(𝑞5)𝑁−12]

Bentuk matriks di atas dapat dituliskan dengan:

[𝐵𝑁][𝛿𝑁−1] + [𝐴𝑁][𝛿𝑁] = [𝑞𝑁]

Dengan demikian untuk 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁 dapat dituliskan secara sederhana

sebagai berikut:

𝑗 = 1 : [𝐴1][𝛿1] + [𝐶1][𝛿2] = [𝑞1]

𝑗 = 2 : [𝐵2][𝛿1] + [𝐴2][𝛿2] + [𝐶2][𝛿3] = [𝑞2]

𝑗 = 3 : [𝐵3][𝛿2] + [𝐴3][𝛿3] + [𝐶3][𝛿4] = [𝑞3]

⋮ ⋮

𝑗 = 𝑁 − 1 : [𝐵𝑁−1][𝛿𝑁−2] + [𝐴𝑁−1][𝛿𝑁−1] + [𝐶𝑁−1][𝛿𝑁] = [𝑞𝑁−1].

𝑗 = 𝑁 : [𝐵𝑁][𝛿𝑁−1] + [𝐴𝑁][𝛿𝑁] = [𝑞𝑁]

Atau dapat ditulis sebagai berikut:

𝐀𝛿 = 𝐪 (5.62)

dengan:

𝐀 =

[ [𝐴1] [𝐶1] 0[𝐵2] [𝐴2] [𝐶2]0 0 0

0 0 00 0 0

0 0 0 0

⋱ 0 0 ⋱

[𝐵𝑁−1] [𝐴𝑁−1]

0 [𝐵𝑁]

000

[𝐶𝑁−1]

[𝐴𝑁] ]

56

𝛿 =

[

[𝛿1]

[𝛿2]⋮

[𝛿𝑁−1]

[𝛿𝑁] ]

, 𝐪 =

[

[𝑞1]

[𝑞2]⋮

[𝑞𝑁−1]

[𝑞𝑁] ]

Karena seluruh elemen matriks A pada Persamaan (5.62) bernilai nol

kecuali pada tiga diagonal utamanya maka Persamaan (5.62) dapat ditentukan

solusinya menggunakan teknik eliminasi blok. Pada penelitian ini, matriks A

diasumsikan sebagai matriks non-singular, sehingga dapat difaktorkan menjadi:

𝐀 = 𝐋𝐔 (5.63)

dengan:

𝑳 =

[ [𝛼1]

[𝐵2] [𝛼2]

⋱

⋱ [𝛼𝑁−1]

[𝐵𝑁] [𝛼𝑁]]

dan

𝑼 =

[ [𝐼] [Γ1]

[𝐼] [Γ2]

⋱ ⋱[𝐼] [Γ𝑁−1]

[𝐼] ]

dengan [𝐼] merupakan matriks identitas berukuran 5 × 5 dan [𝛼𝑗], [Γ𝑗] merupakan

matriks berukuran 5× 5 dengan elemen-elemennya ditentukan dari persamaan

berikut:

[𝛼1] = [𝐴1]

[𝛼1][Γ1] = [𝐶1]

[𝛼𝑗] = [𝐴𝑗] − [𝐵𝑗][Γ𝑗−1] ; 𝑗 = 2,3,… , 𝑁

[𝛼𝑗][Γ𝑗] = [𝐶𝑗] ; 𝑗 = 2,3,… , 𝑁 − 1

Dengan mensubstitusikan Persamaan (5.63) ke Persamaan (5.62) maka

diperoleh:

𝐋𝐔𝛿 = 𝐪 (5.64)

Dengan mendefinisikan bahwa :

𝐔𝛿 = 𝐖 (5.65)

Maka persamaan (5.64) dapat dituliskan sebagai:

57

𝐋𝐖 = 𝐪 (5.66)

dengan

𝐖 =

[

[𝑊1]

[𝑊2]⋮

[𝑊𝑁−1]

[𝑊𝑁] ]

dengan [𝑊𝑗] merupakan matriks berukuran 5 × 1 yang elemen-elemennya

diperoleh dari Persamaan (5.66) yaitu:

[𝛼1][𝑊1] = [𝑞1]

[𝛼𝑗][𝑊𝑗] = [𝑞𝑗] − [𝐵𝑗][𝑊𝑗−1], 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁

Setelah didapatkan elemen-elemen dari matriks W, maka langkah

selanjutnya adalah mendapatkan penyelesaian dari 𝛿 pada persamaan (5.65) dengan

menggunakan persamaan berikut:

[𝛿𝑁] = [𝑊𝑁]

[𝛿𝑗] = [𝑊𝑗] − [Γ𝑗][𝛿𝑗+1], 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 − 1

dengan diperolehnya nilai 𝛿 maka Persamaan (5.32) – (5.36) dapat digunakan untuk

menyelesaikan Persamaan (5.31) dengan cara melakukan iterasi sampai memenuhi

kriteria konvergen. Menurut Alkasasbeh (2015), kriteria konvergen dengan

menggunakan 𝑣(0, 𝑡) adalah proses iterasi akan berhenti pada saat|𝛿𝑠(0, 𝑡)| < 휀,

dengan nilai 휀 sangat kecil. Pada penelitian ini, digunakan nilai 휀 = 10−5.

5.5 Validasi Model

Validasi model adalah usaha menyimpulkan apakah model sistem

merupakan perwakilan yang sah dari realitas yang dikaji sehingga dapat dihasilkan

kesimpulan yang meyakinkan. Sedangkan validasi merupakan suatu proses iteratif

yang berupa pengujian berturut-turut sebagai proses penyempurnaan model

computer. (Widodo, 2012). Pada penelitian ini, model matematika yang telah

diperoleh pada Bab 4 akan di validasi dengan model yang dihasilkan dari penelitian

Syafiatul Laila (2016) dengan judul “Aliran Konveksi Campuran yang Melewati

Bola Berpori pada Fluida Nano”. Validasi dilakukan pada grafik profil kecepatan

dan profil temperatur.

58

[Grab your

reader’s

attention with

a great quote

from the

document or

use this space

to emphasize a

key point. To

place this text

box anywhere

on the page,

just drag it.]

Pada validasi profil kecepatan dan temperatur, parameter yang digunakan

adalah konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandt (𝑃𝑟)dan nanoparticle volume

fraction (𝜒) dengan nilai 𝜆 = 2, 𝑃𝑟 = 7,7 dan 𝜒 = 0,1. Partikel nano yang

digunakan adalah Cu. Grafik profil kecepatan dan temperatur yang dihasilkan oleh

program Matlab R2012a ditunjukkan pada Gambar 5.2 dan 5.3 di bawah ini.

Gambar 5.2: Profil kecepatan pada validasi model

Gambar 5.3: Profil temperatur pada validasi model

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Profil Kecepatan pada Validasi Model

eta

Kecepata

n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur pada Validasi Mode

eta

Tem

pera

tur

yang di validasi

yang di validasi

59

Pada Gambar 5.2 grafik profil kecepatan yang di validasi (grafik berwarna

hijau) mempunyai nilai kecepatan yang mendekati nilai kecepatan dari model yang

sudah valid (ditunjukkan oleh grafik berbentuk dot dan berwarna biru).

Pada Gambar 5.3 dapat dilihat bahwa grafik profil temperatur yang di

validasi (grafik berwarna hijau) mempunyai nilai temperatur yang tidak berbeda

jauh dengan temperatur dari model yang sudah valid (ditunjukkan oleh grafik

berbentuk dot dan berwarna biru).

Berdasarkan hasil validasi model di atas, maka model matematika dan

penyelesaian secara numerik menggunakan metode Box-Keller dari aliran fluida

nano melalui permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh konveksi

campuran dan pembangkitan panas dapat digunakan untuk mensimulasi parameter-

parameter yang digunakan pada penelitian ini, yaitu konveksi campuran (𝜆),

bilangan Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle volume fraction (𝜒), sumber panas (𝑄), dan

jari-jari silinder (a).

5.6 Simulasi dan Analisis Hasil

Pada subbab ini dibahas tentang simulasi menggunakan software

MATLAB R2012a (lampiran 4). Simulasi dilakukan dengan ∆𝜂 = 0,01; partisi 𝜂

sebanyak 500 dan memvariasikan parameter konveksi campuran (𝜆), bilangan

Prandtl (𝑃𝑟), nanoparticle volume Fraction (𝜒), pembangkit (sumber) panas (Q),

dan jari-jari silinder (a). Berikut adalah uraian hasil simulasi dari masing-masing

variasi parameter.

5.6.1 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Konveksi Campuran (𝜆)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dari parameter

konveksi campuran (𝜆) terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran fluida

nano yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal. Pada simulasi ini

digunakan partikel nano Cu dengan variasi parameter 𝜆 = 0,5; 2; 4; 6 (𝜆 > 0 jika 𝜆

konveksi campuran dan 𝜆 = 0 jika 𝜆 konveksi paksa) dengan parameter tetap yaitu

bilangan Prandtl, volume fraction, sumber panas, dan jari-jari silinder dengan nilai

𝑃𝑟 = 6,2; 𝜒 = 0.1; 𝑄 = 0,00085; dan 𝑎 = 10. Parameter konveksi campuran (𝜆)

yang dapat dipilih adalah 0 < 𝜆 ≤ 6. Profil kecepatan dan temperatur dengan

60

variasi parameter konveksi campuran ditunjukkan pada Gambar 5.4 dan 5.5 di

bawah ini.

Gambar 5.4 Profil kecepatan dengan variasi konveksi campuran (𝜆)

Gambar 5.5 Profil temperatur dengan variasi konveksi campuran (𝜆)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Profil Kecepatan dengan Variasi Konveksi Campuran

eta

Kecepata

n

lambda = 0.5

lambda = 2

lambda = 4

lambda = 6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Konveksi Campuran

eta

Tem

pera

tur

lambda = 0.5

lambda = 2

lambda = 4

lambda = 6

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

61

Pada Gambar 5.4 dapat dilihat bahwa nilai kecepatan aliran fluida yang

bergerak menuju titik stagnasi adalah menurun dari 𝑓′ ≈ 1 sampai dengan 𝑓′ = 0.

Apabila nilai parameter konveksi campuran diperbesar maka kecepatan aliran

fluida semakin meningkat. Hal ini karena konveksi campuran berbanding lurus

dengan bilangan Grashof (⋋=𝐺𝑟

𝑅𝑒2). Seperti diketahui bahwa bilangan Grashof

menyatakan ukuran kekuatan relatif gaya apung dan gaya kental. Dengan demikian,

apabila nilai parameter konveksi campuran diperbesar maka menyebabkan gaya

apung semakin besar. Dengan semakin besar gaya apung yang bekerja maka

kecepatan aliran menjadi meningkat.

Pada Gambar 5.5 diperoleh hasil bahwa temperatur aliran fluida yang

menuju ke titik stagnasi semakin meningkat dari 𝑇 ≈ 0 sampai dengan T = 1.

Apabila nilai parameter konveksi campuran diperbesar maka temperatur semakin

menurun. Pada penelitian ini, diperoleh hasil bahwa parameter konveksi campuran

(𝜆) berbanding terbalik dengan parameter sumber panas (Q) yang secara matematis

dinyatakan dengan:

𝑄 =𝑄0√𝑎

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓√𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)

=𝑄0√𝑎

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑈∞

𝑈∞√𝑎√𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎

=

√𝑎√𝑎𝑄0

𝑈∞(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓(√𝐺𝑟𝑅𝑒

)

=𝑎𝑄0

𝑈∞(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓√𝜆

Dengan semakin besar nilai konveksi campuran (𝜆) menyebabkan sumber

panas (Q) semakin kecil. Dengan semakin kecil sumber panas (Q) maka panas yang

ditimbulkan oleh gesekan antar partikel nano semakin berkurang sehingga

temperatur fluida nano semakin kecil.

5.6.2 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Bilangan Prandtl (𝑃𝑟)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dari parameter

bilangan Prandtl terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran fluida nano

yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal. Pada simulasi ini digunakan

partikel nano Cu dengan variasi parameter bilangan Prandtl 𝑃𝑟 =

62

1,2; 3,2; 6,2; 13,2 dengan parameter tetap yaitu konveksi campuran, volume

fraction, sumber panas, dan jari-jari silinder dengan nilai 𝜆 = 1; 𝜒 = 0,1; 𝑄 =

0,00085; dan 𝑎 = 10. Bilangan Prandtl yang dapat dipilih adalah 0,7 ≤ 𝑃𝑟 ≤ 100

dengan Pr = 0,7 yang merepresentasikan gas, Pr = 7 merepresentasikan air, dan Pr

= 100 merepresentasikan minyak (Alkasasbeh, 2015). Profil kecepatan dan

temperatur dengan variasi parameter bilangan Prandtl ditunjukkan pada Gambar 5.6

dan 5.7 di bawah ini.

Gambar 5.6 Profil kecepatan dengan variasi parameter bilangan Prandtl

Gambar 5.7 Profil temperatur dengan variasi parameter bilangan Prandtl

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Profil Kecepatan dengan Variasi Bilangan Prandtl

eta

Kecepata

n

Prandtl = 1.2

Prandtl = 3.2

Prandtl = 6.2

Prandtl = 13.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Bilangan Prandtl

eta

Tem

pera

tur

Prandtl = 1.2

Prandtl = 3.2

Prandtl = 6.2

Prandtl = 13.2

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0.8

0.85

0.9

0.95

63

Pada Gambar 5.7 dapat dilihat bahwa semakin besar bilangan Prandtl

maka temperatur semakin cepat turun. Secara matematis bilangan Prandtl dapat

dituliskan sebagai 𝑃𝑟 =𝜈𝑓

𝛼𝑓=

(𝜇

𝜌⁄ )

(𝑘 𝜌𝐶𝑝⁄ )

=𝜇𝐶𝑝

𝑘 . Dengan meningkatnya bilangan

Prandtl (Pr) maka konduktivitas termal (k) menjadi turun. Hal ini menyebabkan

permukaan silinder menjadi lebih cepat panas daripada fluidanya, sehingga

temperatur fluida menurun.

5.6.3 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Nanoparticle Volume Fraction (𝜒)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dari parameter

nanoparticle volume fraction terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran

fluida nano yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal. Pada simulasi ini

digunakan partikel nano Cu dengan variasi parameter nanoparticle volume fraction

𝜒 adalah 𝜒 = 0,1; 0,12; 0,135; 0,15 dengan parameter tetap yaitu konveksi

campuran, bilangan Prandtl, sumber panas, dan jari-jari silinder dengan nilai 𝜆 =

1; 𝑃𝑟 = 6,2; 𝑄 = 0,00085; dan 𝑎 = 10. Profil kecepatan dan temperatur dengan

variasi parameter nanoparticle volume fraction ditunjukkan pada Gambar 5.8 dan

5.9 di bawah ini.

Pada simulasi ini diperoleh hasil bahwa profil kecepatan variasi

nanoparticle volume fraction (𝜒) semakin meningkat pada saat nilai 𝜒 adalah 0,1 ≤

𝜒 ≤ 0,15 (Gambar 5.8) dan semakin menurun pada saat nilai 𝜒 adalah 0,19 < 𝜒 ≤

0,5. Perbedaan pada grafik profil kecepatan tersebut disebabkan oleh pengaruh

viskositas (kekentalan) dari fluida nano. Semakin besar nilai 𝜒 maka viskositas

fluida semakin besar. Dengan semakin besar viskositas dari fluida maka gesekan

antar partikel pada fluida akan semakin besar sehingga menyebabkan kecepatan

aliran semakin meningkat pada saat nilai 𝜒 adalah 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,15 dan kecepatan

menurun maka pada saat nilai 𝜒 adalah 0,19 < 𝜒 ≤ 0,5.

Pada Gambar 5.9 dapat dilihat bahwa apabila nilai parameter volume

fraction bertambah besar maka temperatur semakin meningkat. Hal ini disebabkan

oleh semakin pekat fluida nano dengan bertambah besar nilai 𝜒 sehingga gesekan

64

antar partikel nano didalam fluida menimbulkan panas yang semakin besar.

Akibatnya temperatur fluida menjadi meningkat.

Gambar 5.8 Profil kecepatan dengan variasi parameter volume fraction

Gambar 5.9 Profil temperatur dengan variasi parameter volume fraction

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Kecepatan dengan Variasi Volume Fraction

eta

Kecepata

n

chi = 0.1

chi = 0.12

chi = 0.135

chi = 0.15

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Volume Fraction

eta

Tem

pera

tur

chi = 0.1

chi = 0.12

chi = 0.135

chi = 0.15

1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.4

0.95

0.952

0.954

0.956

0.958

0.96

0.962

1.2 1.25 1.3

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

65

5.6.4 Analisis Hasil Pengaruh Parameter Sumber Panas (Q)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dari parameter

sumber panas (Q) terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran fluida nano

yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal. Pada simulasi ini digunakan

partikel nano Cu dengan variasi parameter sumber panas (Q) adalah 𝑄 =

0,00085; 0,1; 0,2; 0,32 (Lampiran 3) dengan parameter tetap yaitu konveksi

campuran, bilangan Prandtl, volume fraction, dan jari-jari silinder dengan nilai 𝜆 =

1; 𝑃𝑟 = 6,2; 𝜒 = 0,1; dan 𝑎 = 10. Berdasarkan running program Matlab, nilai

parameter sumber panas (Q) yang dapat dipilih adalah 0 < 𝑄 ≤ 0,32 (Lampiran 3).

Profil kecepatan dan temperatur dengan variasi parameter sumber panas

ditunjukkan pada Gambar 5.10 dan 5.11 di bawah ini.

Gambar 5.10 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (Q)

Pada Gambar 5.10 dapat dilihat bahwa semakin meningkat nilai Q maka

kecepatan aliran fluida semakin meningkat. Dengan ditambahkan panas sebesar Q

ke dalam aliran fluida maka gesekan antar partikel nano semakin cepat. Dengan

semakin cepat gesekan antar partikel nano maka kecepatan aliran fluida nano yang

melewati permukaan silinder menjadi semakin meningkat.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Kecepatan dengan Variasi Sumber Panas

eta

Kecepata

n

sb.panas = 0.00085

sb.panas = 0.1

sb.panas = 0.2

sb.panas = 0.32

0.95 1 1.05

0.87

0.875

0.88

0.885

0.89

0.895

66

Gambar 5.11 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (Q)

Pada Gambar 5.11 dapat dilihat bahwa temperatur semakin meningkat

seiring dengan bertambah besar nilai Q. Hal ini karena sumber panas (Q)

berbanding lurus dengan sumber panas awal (Q0) seperti yang ditunjukkan secara

matematis oleh 𝑄 =𝑄0√𝑎

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓√𝑔𝛽𝑓

(𝑇𝑤−𝑇∞). Dengan meningkatnya nilai Q0 (jari-jari (a)

bernilai konstan) maka panas yang timbul pada fluida nano juga semakin besar

sehingga temperatur fluida menjadi meningkat.

5.6.5 Analisis Hasil Pengaruh Jari-Jari Silinder (a)

Pada simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh jari-jari silinder

(a) terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran fluida nano yang melewati

permukaan silinder sirkular horizontal. Pada simulasi ini digunakan partikel nano

Cu dengan variasi jari-jari silinder a adalah 𝑎 = 1; 4; 9; 100 dengan parameter tetap

yaitu konveksi campuran, bilangan Prandtl, volume fraction, dan sumber panas

awal dengan nilai 𝜆 = 1; 𝑃𝑟 = 6,2; 𝜒 = 0,1; dan 𝑄0 = 500. Profil kecepatan dan

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Sumber Panas

eta

Tem

pera

tur

sb.panas = 0.00085

sb.panas = 0.1

sb.panas = 0.2

sb.panas = 0.32

1.2 1.4 1.60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

67

temperatur dengan variasi jari-jari silinder ditunjukkan pada Gambar 5.12 dan 5.13

di bawah ini.

Gambar 5.12 Profil Kecepatan dengan Variasi Jari-Jari Silinder (a)

Pada Gambar 5.12 dapat dilihat bahwa kecepatan aliran fluida semakin

meningkat seiring dengan semakin besarnya jari-jari silinder. Hal ini disebabkan

jari-jari silinder berbanding lurus dengan sumber panas (𝑄) yang secara matematis

dirumuskan dengan 𝑄 =𝑄0√𝑎

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓√𝑔𝛽𝑓

(𝑇𝑤−𝑇∞). Dengan meningkatnya nilai jari-jari

silinder (a) maka sumber panas (Q) semakin meningkat. Sesuai dengan hasil

simulasi dengan variasi parameter sumber panas pada subbab (5.6.4), bahwa

dengan semakin meningkatnya sumber panas (Q) maka kecepatan aliran semakin

meningkat.

Kecepatan aliran fluida dengan variasi jari-jari silinder a dengan 𝑎 =

1; 4; 9; 100 pada 0,9 ≤ 𝜂 ≤ 1,05 ditunjukkan pada Tabel 5.1 di bawah ini.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Kecepatan dengan Variasi Jari-jari Silinder

eta

Kecepata

n

jari = 1

jari = 4

jari = 9

jari = 100

0.9999 0.9999 1 1 1.0001

0.8761

0.8761

0.8762

0.8762

0.8762

eta

68

Tabel 5.1: Nilai Kecepatan Aliran Fluida (f’) Dengan Variasi Jari-Jari Silinder (a)

Iterasi ke- a =1 a = 4 a = 9 a = 100

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

0.460255274

0.468644244

0.477070702

0.485533879

0.494033021

0.502567383

0.511136238

0.519738867

0.528374566

0.537042644

0.545742421

0.55447323

0.563234415

0.572025331

0.580845348

0.589693845

0.460261798

0.468650853

0.477077395

0.485540655

0.494039879

0.502574323

0.511143258

0.519745966

0.528381744

0.5370499

0.545749754

0.554480638

0.563241898

0.572032888

0.580852978

0.589701546

0.460268324

0.468657464

0.47708409

0.485547434

0.49404674

0.502581265

0.51115028

0.519753068

0.528388925

0.537057159

0.545757089

0.554488049

0.563249384

0.572040448

0.580860611

0.589709251

0.460314075

0.46870381

0.477131025

0.485594952

0.494094834

0.50262993

0.51119951

0.519802856

0.528439264

0.537108042

0.54580851

0.554540002

0.563301861

0.572093443

0.580914117

0.589763261

Pada Tabel 5.1 dapat dilihat bahwa dengan jari-jari silinder yang berbeda

(a = 1, 4, 9, dan 100) dihasilkan besar kecepatan yang sama pada tingkat ketelian

10−3. Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari silinder tidak berpengaruh secara

signifikan terhadap kecepatan aliran fluida.

Gambar 5.13 Profil temperatur dengan variasi jari-jari silinder (a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Jari-jari Silinder

eta

Tem

pera

tur

jari = 1

jari = 4

jari = 9

jari = 100

0.9995 1 1.00050.1223

0.1223

0.1224

0.1225

0.1225

69

Temperatur fluida dengan variasi jari-jari silinder a adalah 𝑎 =

1; 4; 9; 100 pada 0,9 ≤ 𝜂 ≤ 1,05 ditunjukkan pada Tabel 5.2 di bawah ini.

Tabel 5.2: Nilai Temperatur Fluida (T) Dengan Variasi Jari-Jari Silinder (a)

Iterasi ke- a =1 a = 4 a = 9 a = 100

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

0.177554

0.172148

0.166855

0.161677

0.156613

0.151662

0.146824

0.142097

0.137481

0.132976

0.128579

0.124292

0.120111

0.116037

0.112068

0.108203

0.177606

0.172198

0.166905

0.161726

0.156661

0.151708

0.146869

0.142141

0.137524

0.133017

0.12862

0.124331

0.12015

0.116074

0.112104

0.108239

0.177658

0.172249

0.166954

0.161774

0.156708

0.151754

0.146914

0.142185

0.137567

0.133059

0.128661

0.124371

0.120188

0.116112

0.112141

0.108274

0.178022

0.172604

0.167302

0.162114

0.157039

0.152078

0.147229

0.142492

0.137867

0.133351

0.128945

0.124648

0.120458

0.116374

0.112396

0.108522

Pada Gambar 5.13 dapat dilihat bahwa semakin besar jari-jari silinder (a)

maka temperatur semakin meningkat. Hal ini terjadi karena semakin besar nilai jari-

jari silinder (𝑎) menyebabkan sumber panas (Q) semakin meningkat. Dengan

semakin bertambah nilai sumber panas (Q) maka panas yang ditimbulkan oleh

gesekan antar partikel nano semakin meningkat sehingga temperatur aliran fluida

nano semakin meningkat. Hal ini sesuai dengan hasil simulasi dengan variasi

parameter sumber panas pada subbab (5.6.4), bahwa dengan semakin meningkatnya

sumber panas (Q) maka temperatur fluida semakin meningkat.

Pada Tabel 5.2 dapat dilihat bahwa dengan jari-jari silinder yang berbeda

(a = 1, 4, 9, dan 100) menghasilkan besar temperatur yang relatif sama. Hal ini

menunjukkan bahwa jari-jari silinder tidak berpengaruh secara signifikan terhadap

temperatur fluida.

5.7 Studi Kasus (Case Study)

70

Fluida nano terbentuk dari fluida dasar (air) dan partikel-partikel nano

yang berukuran 1–100 nm. Pada penelitian ini, partikel nano yang digunakan adalah

Cu, Al2O3, dan TiO2. Setiap partikel nano mempunyai nilai kapasitas panas (𝐶𝑝),

densitas (𝜌), konduktivitas termal (k), dan koefisien ekspansi termal (𝛽) seperti

pada Tabel 5.3 di bawah ini.

Tabel 5.3: Bahan Thermophysical Fluida Nano

Koefisien dalam

Fisika

Fluida

Dasar (Air)

Partikel

nano Cu

Partikel

nano Al2O3

Partikel

nano TiO2

𝐶𝑝 (𝑘𝑔/𝑚3) 4179 385 765 686,2

𝜌 (𝑘𝑔/𝑚3) 997,1 8933 3970 4250

𝑘 (𝑊/𝑚𝐾) 0,613 400 40 8,9538

𝛽 × 10−5 (1/𝐾) 21 1,67 0,85 0,9

(Sumber : Tham dkk, 2010)

Data pada Tabel 5.3 digunakan sebagai inputan dalam pembuatan simulasi

physical case untuk mengetahui perbedaan dari partikel nano Cu, Al2O3, dan TiO2

terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran konveksi campuran fluida nano

yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal dengan pengaruh

pembangkitan panas.

5.7.1 Analisis Hasil Pengaruh Sumber Panas pada Partikel Nano Cu

Tahapan simulasi numerik ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh dari

parameter sumber panas (Q) terhadap profil kecepatan dan temperatur dari aliran

fluida nano yang melewati permukaan silinder sirkular horizontal. Pada simulasi ini

digunakan partikel nano Cu dengan variasi parameter sumber panas (Q) adalah 𝑄 =

0,0538; 0,1076; 0,1884; 0,2637 dengan parameter tetap yaitu konveksi campuran,

bilangan Prandtl, volume fraction, dan jari-jari silinder dengan nilai 𝜆 = 1; 𝑃𝑟 =

6,2; 𝜒 = 0,1; dan 𝑎 = 10. Profil kecepatan dan temperatur dengan variasi

parameter sumber panas dengan partikel nano Cu ditunjukkan pada Gambar 5.14

dan 5.15 di bawah ini.

71

Gambar 5.14 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (Q)

dengan partikel nano Cu

Pada Gambar 5.14 dapat diketahui bahwa semakin meningkat nilai Q maka

kecepatan aliran fluida semakin meningkat. Dengan meningkatnya nilai Q maka

panas dalam fluida nano semakin meningkat sehingga gesekan antar partikel nano

semakin cepat. Dengan semakin cepat gesekan antar partikel nano maka kecepatan

aliran fluida nano yang melewati permukaan silinder menjadi semakin meningkat.

Gambar 5.15 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (Q)

dengan partikel nano Cu

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Kecepatan dengan Variasi Sumber Panas

eta

Kecepata

n

sb.panas = 0.0538

sb.panas = 0.1076

sb.panas = 0.1884

sb.panas = 0.2637

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Sumber Panas

eta

Tem

pera

tur

sb.panas = 0.0538

sb.panas = 0.1076

sb.panas = 0.1884

sb.panas = 0.2637

0.98 1 1.02 1.04

0.876

0.878

0.88

0.882

0.884

0.886

0.888

0.9 1 1.1

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

72

Pada Gambar 5.15 dapat dilihat bahwa temperatur semakin meningkat

seiring dengan bertambah besar nilai Q. Hal ini disebabkan karena meningkatnya

sumber panas awal (Q0) seperti yang ditunjukkan secara matematis oleh 𝑄 =

𝑄0√𝑎

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓√𝑔𝛽𝑓

(𝑇𝑤−𝑇∞). Dengan meningkatnya nilai Q0 maka mengakibatkan panas yang

timbul pada fluida nano juga semakin besar.

5.7.2 Analisis Hasil Pengaruh Sumber Panas pada Partikel Nano Al2O3

Pada simulasi ini digunakan partikel nano Al2O3 dengan variasi parameter

sumber panas (Q) dan parameter tetap sama dengan di subbab (5.7.1). Profil

kecepatan dan temperatur dengan variasi parameter sumber panas dengan partikel

nano Al2O3 ditunjukkan pada Gambar 5.16 dan 5.17 di bawah ini.

Dari Gambar 5.16 dapat diketahui bahwa semakin meningkat nilai Q maka

kecepatan aliran fluida semakin meningkat. Pengaruh variasi parameter sumber

panas (Q) dengan partikel nano Al2O3 diperoleh hasil sama seperti partikel nano Cu

terhadap profil kecepatan. Perbedaan antara partikel nano Cu dan Al2O3 terhadap

profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas terletak pada nilai

kecepatan 𝑓′di setiap 𝜂 dengan 𝑓𝑐𝑢′ (𝜂) > 𝑓𝐴𝑙2𝑂3

′ (𝜂).

Gambar 5.16 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (Q) dengan

partikel nano Al2O3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Kecepatan dengan Variasi Sumber Panas

eta

Kecepata

n

sb.panas = 0.0538

sb.panas = 0.1076

sb.panas = 0.1884

sb.panas = 0.2637

0.98 1 1.02

0.825

0.83

0.835

73

Gambar 5.17 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (Q) dengan

partikel nano Al2O3

Pada Gambar 5.17 dapat dilihat bahwa temperatur semakin meningkat

seiring dengan bertambah besar nilai Q. Hal ini memberikan hasil bahwa pengaruh

variasi parameter sumber panas (Q) dengan partikel nano Al2O3 diperoleh hasil

sama seperti partikel nano Cu terhadap profil temperatur. Perbedaan antara partikel

nano Cu dan Al2O3 terhadap profil temperatur dengan variasi parameter sumber

panas (Q) terletak pada nilai temperatur 𝑇 di setiap 𝜂 dengan 𝑇𝐶𝑢(𝜂) < 𝑇𝐴𝑙2𝑂3(𝜂).

5.7.3 Analisis Hasil Pengaruh Sumber Panas pada Partikel Nano TiO2

Pada simulasi ini digunakan partikel nano TiO2 dengan variasi parameter

sumber panas (Q) dan parameter tetap sama seperti di subbab (5.7.1). Profil

kecepatan dan temperatur dengan variasi parameter sumber panas dengan partikel

nano TiO2 ditunjukkan pada Gambar 5.18 dan 5.19 di bawah ini.

Pada Gambar 5.18 dapat diketahui bahwa semakin meningkat nilai Q maka

kecepatan aliran fluida semakin meningkat. Pengaruh variasi parameter sumber

panas (Q) dengan partikel nano TiO2 diperoleh hasil sama seperti partikel nano Cu

dan Al2O3 terhadap profil kecepatan. Perbedaan antara partikel nano Cu, Al2O3,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Sumber Panas

eta

Tem

pera

tur

sb.panas = 0.0538

sb.panas = 0.1076

sb.panas = 0.1884

sb.panas = 0.2637

0.9 1 1.1

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

74

TiO2 terhadap profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (Q) terletak

pada nilai kecepatan 𝑓′di setiap 𝜂 dengan 𝑓𝐶𝑢′ (𝜂) > 𝑓𝑇𝑖𝑂2

′ (𝜂) > 𝑓𝐴𝑙2𝑂3′ (𝜂).

Gambar 5.18 Profil kecepatan dengan variasi parameter sumber panas (Q) dengan

partikel nano TiO2

Gambar 5.19 Profil temperatur dengan variasi parameter sumber panas (Q) dengan

partikel nano Ti2O2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Kecepatan dengan Variasi Sumber Panas

eta

Kecepata

n

sb.panas = 0.0538

sb.panas = 0.1076

sb.panas = 0.1884

sb.panas = 0.2637

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Profil Temperatur dengan Variasi Sumber Panas

eta

Tem

pera

tur

sb.panas = 0.0538

sb.panas = 0.1076

sb.panas = 0.1884

sb.panas = 0.2637

0.98 1 1.02 1.04

0.83

0.835

0.84

0.9 1 1.1

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

75

Pada Gambar 5.19 dapat dilihat bahwa temperatur semakin meningkat

seiring dengan bertambah besar nilai Q. Hal ini memberikan hasil bahwa pengaruh

variasi parameter sumber panas (Q) dengan partikel nano TiO2 diperoleh hasil sama

seperti partikel nano Cu dan Al2O3 terhadap profil temperatur. Perbedaan antara

partikel nano Cu, Al2O3, dan TiO2 terhadap profil temperatur dengan variasi

parameter sumber panas (Q) terletak pada nilai temperatur (𝑇) di setiap 𝜂 dengan

𝑇𝐶𝑢(𝜂) < 𝑇𝑇𝑖𝑂2(𝜂) < 𝑇𝐴𝑙2𝑂3(𝜂).

76

77

BAB 6

KESIMPULAN DAN SARAN

6.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab

sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Hasil simulasi dengan memvariasi parameter non-dimensional yaitu

konveksi campuran (𝜆), bilangan Prandtl (𝑃𝑟), parameter nanoparticle

volume fraction (𝜒), sumber panas (𝑄), dan jari-jari silinder (a) diperoleh

bahwa:

a. Semakin besar nilai parameter konveksi campuran (𝜆) maka kecepatan

aliran fluida nano semakin meningkat, dan temperatur semakin

menurun.

b. Semakin besar nilai parameter bilangan Prandtl (𝑃𝑟) maka kecepatan

aliran fluida dan temperatur fluida semakin menurun.

c. Kecepatan aliran fluida semakin meningkat pada saat nilai parameter

nanoparticle volume fraction (𝜒) adalah 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,15 dan

kecepatan semakin menurun pada saat nilai 𝜒 adalah 0,19 < 𝜒 ≤ 0,5.

Sedangkan temperatur fluida semakin meningkat pada saat nilai 𝜒

adalah 0,1 ≤ 𝜒 ≤ 0,5.

d. Semakin besar nilai parameter sumber panas (𝑄) maka kecepatan

aliran fluida dan temperatur fluida semakin meningkat.

e. Semakin besar jari-jari silinder (𝑎) maka kecepatan aliran fluida dan

temperatur fluida semakin meningkat. Jari-jari silinder tidak

berpengaruh secara signifikan terhadap kecepatan aliran fluida dan

temperatur fluida.

2. Besar kecepatan aliran fluida dan temperatur fluida tidak dipengaruhi oleh

jenis partikel nano (Cu, Al2O3, dan TiO2), akan tetapi ketiga jenis partikel

nano tersebut berbeda pada nilai kecepatan (𝑓′) dan temperatur (𝑇)

dengan 𝑓𝐶𝑢′ (𝜂) > 𝑓𝑇𝑖𝑂2

′ (𝜂) > 𝑓𝐴𝑙2𝑂3′ (𝜂) dan 𝑇𝐶𝑢(𝜂) < 𝑇𝑇𝑖𝑂2(𝜂) <

𝑇𝐴𝑙2𝑂3(𝜂).

78

6.2 Saran

Adapun saran dari penelitian ini adalah:

1. Pada penelitian ini dilakukan studi pada titik stagnasi, diharapkan pada

penelitian selanjutnya dilakukan studi profil kecepatan dan temperatur di

sekeliling permukaan silinder.

2. Pada penelitian ini aliran fluida diasumsikan pada kondisi steady, sehingga

pada penelitian selanjutnya diharapkan dapat dilakukan dengan kondisi

unsteady.

79

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, I., Amin, N., dan Prop, I. (2008), Mixed Convection Boundary Layer Flow

of a Viscoelastic Fluid Over a Horizontal Circular Cylinder, International

Journal of Non-Linear Mechanics, Vol. 43, No. 9, Hal. 814-821.

Alkasasbeh, H.T. (2015), Numerical Solution for Convection Boundary Layer Flow

Over A Solid Sphere of Newtonian and Non-Newtonian Fluid, Universiti

Malaysia, Pahang.

Al-Shibani, F.S., Ismail, A.I.Md., dan Abdullah, F.A. (2012), The Implicit Keller

Box Method For The One Dimensional Time Fractional Diffusion Equation,

International Journal of Applied Mathematics & Bioinformatics, Vol.2, No.3,

Hal. 69-84.

Bhowmick, S., Molla, Md. M., Mia, M., dan Saha, S.C. (2014), Non-Newtonian

Mixed Convection Flow from a Horizontal Circular Cylinder with Uniform

Surface Heat Flux, Procedia Engineering, 90, Hal. 510-516.

Choi, S. (1995), Enhancing Thermal Conductivity of Fluids with Nanoparticles,

ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Vol.

66, Hal. 99-105.

Das, S.K., Choi, S.U.S., Yu, W., dan Pradet, T. (2007), Nanofluids : Science and

Tecnology, Wiley, River Street Hoboken, NJ.

Fauzi, E.L.H., Ahmad, S., dan Pop, I. (2012), MixedConvection Boundary Layer

Flow from a Vertical Cone in a Porous Medium Filled with a Nanofluid,

International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical

and Computer Engineering, Vol.6, No.10.

Fox, R.W., McDonald, A.T., dan Pritchard, P.J. (2004), Introduction To Fluid

Mechamics, Sixth Edition, John Wiley and Sons, United States Of America.

Imron, C., Suharningsih, dan Widodo, B. (2013), Numerical Simulation of Fluid

Flow Around Circular and I-Shape Cylinder in a Tandem Configuration,

Applied Mathematical Sciences, Vol.7, No. 114, Hal. 5657-5666.

Incroperara, F. P. and D. P. Dewitt, (1982), Fundamental of Heat and Mass

Transfer, Third Edition, John Wiley & Sons, Singapore.

Laila. S. (2016). Aliran Konveksi Campuran Fluida Nano Melalui Bola Berpori.

Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.

80

Lienhard, J.H. (2002), A Heat Transfer Textbook, Third Edition, Phlogiston Press,

USA.

Munson, B.R., Young, D.F., dan Okiishi, T.F. (2003), Mekanika Fluida, Edisi

Keempat, Erlangga, Jakarta.

Nurjanah, S. (2013), Analisis Pengaruh Perpindahan Panas Terhadap Karateristik

Lapisan Batas di Dalam Pipa.

Rabeti, M. (2014), Mixed Convection Heat Transfer of Nanofluids about a

Horizontal Circular Cylinder in Porous Media, SOP Transaction on Nano

Technology, Vol.1, No. 1.

Salleh, M.Z., Nazar, R., dan Pop, I. (2010). Mixed Convection Boundary Layer

Flow Over a Horizontal Circular Cylinder with Newtonian Heating (DOI

10.1007/s00231-010-0662-y). International Journal of Heat Mass Transfer.

August 2010.

Sarif, NM., Salleh, MZ., Tahar, RM. (2013). Numerikal Solution Of The Free

Convection Boundary Layer Flow Over A Horizontal Circular Cylinder With

Convective Boundary Conditions, PhD., Universiti Malaysia Pahang.

Tham, L., Nazar, R., dan Pop, I. (2012), Mixed Convection Boundary Layer Flow

Over a Horizontal Circular Cylinder in a Nanofluid, International Journal of

Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, Vol.22, No.5, Hal. 576-606.

Widodo, B. (2012), Pemodelan Matematika, Surabaya: ITS Press.

Widodo, B., Khalimah, D.A., Zainal, F.D.S., dan Imron, C. (2015), Numerical

Solution of Heat Transfer Unsteady Boundary Layer Magnetohydrodynamics

in Micropolar Fluid Past a Sphere, International Journal of Far East Journal

of Mathematical Sciences, Puspha Publishing House, India.

Widodo, B., Tafrikan, M., dan Imron, C. (2015a), Heat effect on Fluid Free

Convection Flow Past A Porosity Sphere, The 1st Young Scientist International

Conference of Water Resources Development and Environmental Protection.

Malang. Indonesia.

Widodo, B., Tafrikan, M., dan Imron, C. (2015b), The Effect of Prandtl Number

and Magnetic Parameter on Forced Convection Unsteady

Magnetohydrodynamic Boundary Layer Flow Of A viscous Fluid Past A

Sphere, International Conference of Science and Innovative Engineering

(ICSIE), Kuala Lumpur, Malaysia, 16 Oktober 2015.

81

LAMPIRAN 1 Pembentukan Persamaan Pembangun Non-Dimensional

Variabel non-dimensional yang digunakan pada persamaan kontinuitas dan

momentum adalah sebagai berikut:

𝑥 =𝑥

𝑎 ; 𝑦 = 𝑅𝑒

12⁄ (

𝑦

𝑎) ; 𝑢 =

𝑢

𝑈∞; 𝑣 = 𝑅𝑒

12⁄ (

𝑣

𝑈∞) ; 𝑝 =

𝑝

𝜌𝑛𝑓𝑈∞2

𝑇 =𝑇 − 𝑇∞𝑇𝑤 − 𝑇∞

; 𝑢𝑒 =𝑢 𝑒(𝑥)

𝑈∞; 𝛽𝑛𝑓 = 𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓

dengan 𝑅𝑒 =𝑈∞𝑎𝜌𝑓

𝜇𝑓

Hubungan antara fluida nano dengan fluida dasar diberikan sebagai berikut:

Kerapatan : 𝜌𝑛𝑓 = (1 − 𝜒)𝜌𝑓 + 𝜒𝜌𝑠

Viskositas dinamik : 𝜇𝑛𝑓 = 𝜇𝑓1

(1−𝜒)2.5

Spesifik panas : (𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓 = (1 − 𝜒)(𝜌𝐶𝑝)𝑓 + 𝜒(𝜌𝐶𝑝)𝑠

Konduktivitas panas : 𝑘𝑛𝑓 =𝑘𝑠+2𝑘𝑓+2𝜒(𝑘𝑠−𝑘𝑓)

𝑘𝑠+2𝑘𝑓−𝜒(𝑘𝑠−𝑘𝑓)𝑘𝑓

Persamaan kontinuitas

Persamaan kontinuitas dimensional sebagai berikut: 𝜕𝑢

𝜕𝑥 +

𝜕𝑣

𝜕𝑦 = 0

Berikut adalah perhitungan untuk persamaan kontinuitas non dimensional: 𝜕𝑢

𝜕𝑥 +

𝜕𝑣

𝜕𝑦 = 0

𝜕(𝑢𝑈∞)

𝜕(𝑥𝑎)+

𝜕 (𝑣𝑈∞

𝑅𝑒12

)

𝜕 (𝑦𝑎

𝑅𝑒12

)

= 0

𝑈∞

𝑎

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝑈∞

𝑅𝑒12

𝑎

𝑅𝑒12

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

𝑈∞

𝑎

𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝑈∞

𝑎

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

𝑈∞

𝑎(𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = 0

Sehingga diperoleh persamaan kontinuitas non-dimensional sebagai berikut: 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0

82

Persamaan Momentum

Persamaan momentum dimensional arah sumbu-x sebagai berikut :

(𝑢 𝜕𝑢

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦 ) = −

1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥 2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦 2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞)𝑔 sin (𝑥

𝑎)

Perhitungan untuk ruas kiri adalah sebagai berikut:

𝑢 𝜕𝑢

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦 = 𝑢𝑈∞

𝜕(𝑢𝑈∞)

𝜕(𝑥𝑎)+

𝑣𝑈∞

𝑅𝑒12

𝜕(𝑢𝑈∞)

𝜕 (𝑦𝑎

𝑅𝑒12

)

= 𝑢𝑈∞

2

𝑎

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝑈∞2 𝑅𝑒

12

𝑎𝑅𝑒12

𝜕𝑢

𝜕𝑦

=𝑈∞

2

𝑎(𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦)

Perhitungan untuk ruas kanan adalah sebagai berikut:

−1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑥 +

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥 2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦 2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞)𝑔 sin (𝑥

𝑎) =

−1

𝜌𝑛𝑓

𝜕(𝑝𝜌𝑛𝑓𝑈∞2 )

𝜕(𝑎𝑥)+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

(

𝜕2(𝑢𝑈∞)

𝜕(𝑎𝑥)2+

𝜕2(𝑢𝑈∞)

𝜕 (𝑎𝑦

𝑅𝑒1

2⁄)2

)

+(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 sin (

(𝑎𝑥)

𝑎) =

−𝜌𝑛𝑓𝑈∞

2

𝑎𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝑈∞

𝜌𝑛𝑓𝑎2

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

+(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 sin(𝑥) =

−𝑈∞

2

𝑎

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝑈∞

𝜌𝑛𝑓𝑎2(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

+(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 sin(𝑥)

Sehingga diperoleh persamaan kedua ruas yaitu:

𝑈∞2

𝑎(𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦) = −

𝑈∞2

𝑎

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝑈∞

𝜌𝑛𝑓𝑎2(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

+(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 sin(𝑥)

83

Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan 𝑈∞

2

𝑎 sehingga diperoleh:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓𝑎𝑈∞

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

+𝑎

𝑈∞2

(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 sin(𝑥)

dengan 𝑅𝑒 =𝑈∞𝜌𝑓𝑎

𝜇𝑓 maka diperoleh:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

1

𝑅𝑒

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

+𝑎

𝑈∞2

(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 sin(𝑥)

Parameter non-dimensional yang digunakan pada tesis ini adalah sebagai berikut:

⋋=𝐺𝑟

𝑅𝑒2

dengan

𝐺𝑟 =𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎3𝜌𝑓

2

𝜇𝑓2

Sehingga diperoleh nilai ⋋ sebagai berikut:

⋋=

𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎3𝜌𝑓2

𝜇𝑓2

(𝑈∞𝜌𝑓𝑎

𝜇𝑓 )

2

⋋=𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎

𝑈∞2

Sehingga persamaan momentum non-dimensional arah sumbu-x menjadi:

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

1

𝑅𝑒

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2)

+(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓

𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎

𝛽𝑓𝑈∞2

𝑇 sin(𝑥)

𝑢𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+

1

𝑅𝑒

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑅𝑒

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2) +

(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝛽𝑓𝑇 ⋋ sin(𝑥)

Persamaan momentum arah sumbu-y :

84

(𝑢 𝜕𝑣

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦 ) = −

1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑦 +

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑣

𝜕𝑥 2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦 2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑦

Ruas Kiri :

𝑢 𝜕𝑣

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦 = 𝑢𝑈∞

𝜕 (𝑣𝑈∞

𝑅𝑒12

)

𝜕(𝑥𝑎)+

𝑣𝑈∞

𝑅𝑒12

𝜕 (𝑣𝑈∞

𝑅𝑒12

)

𝜕 (𝑦𝑎

𝑅𝑒12

)

=𝑈∞

2

𝑎𝑅𝑒12

(𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

Ruas Kanan :

−1

𝜌𝑛𝑓

𝜕𝑝

𝜕𝑦 +

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕2𝑣

𝜕𝑥 2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑦 2) + 𝛽𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)𝑔𝑦 =

−𝜌𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

𝑈∞2 𝑅𝑒

12

𝑎

𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

𝑈∞

𝑎2(𝑅𝑒

12𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

1

𝑅𝑒12

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 cos(𝑥)

Sehingga diperoleh persamaan kedua ruas yaitu:

𝑈∞2

𝑎𝑅𝑒12

(𝑢𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

𝑈∞2 𝑅𝑒

12

𝑎

𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

𝑈∞

𝑎2(𝑅𝑒

1

2𝜕2𝑣

𝜕𝑦2 +1

𝑅𝑒12

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2) +

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 −

𝑇∞)𝑔 cos(𝑥)

Selanjutnya kedua ruas dibagi dengan 𝑈∞

2 𝑅𝑒12

𝑎 sehingga diperoleh:

1

𝑅𝑒(𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦)

= −𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

1

𝑎𝑈∞(𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

1

𝑅𝑒

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2)

+𝑎

𝑅𝑒12𝑈∞

2

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞)𝑔 cos(𝑥)

Dengan 𝑅𝑒 =𝑈∞𝜌𝑓𝑎

𝜇𝑓 maka diperoleh:

1

𝑅𝑒(𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓

1

𝑅𝑒(𝜕2𝑣

𝜕𝑦2 +1

𝑅𝑒

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2)+

𝑎

𝑅𝑒12𝑈∞

2

𝛽𝑛𝑓

𝜌𝑛𝑓𝑇(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑔 cos(𝑥)

Didefinisikan bahwa parameter non-dimensional sebagai berikut:

85

⋋=𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝑎

𝑈∞2

Sehingga persamaan momentum non-dimensional sumbu 𝑦 menjadi:

1

𝑅𝑒(𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+

𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓

1

𝑅𝑒(𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+

1

𝑅𝑒

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2) +

1

𝑅𝑒12

(𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠 + (1 − 𝜒)𝜌𝑓𝛽𝑓)

𝜌𝑛𝑓𝛽𝑓𝑇 cos(𝑥)

Persamaan Energi

Variabel non-dimensional yang digunakan pada persamaan energi adalah sebagai

berikut:

𝑥 =𝑥

𝑎 ; 𝑦 = 𝐺𝑟

14⁄ (

𝑦

𝑎) ; 𝑢 =

𝑎

𝜈𝐺𝑟

−12 𝑢 ̅; 𝑣 =

𝑎

𝜈𝐺𝑟

−14 𝑣 ̅; 𝑇 =

𝑘𝑛𝑓(𝑇 − 𝑇∞)

𝑎𝑇𝑤

Persamaan energi dimensional sebagai berikut:

𝑢 𝜕𝑇

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦 = 𝛼𝑛𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦 2+

𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞)

Perhitungan ruas kiri :

𝑢 𝜕𝑇

𝜕𝑥 + 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦 =

𝑢𝜈𝐺𝑟12

𝑎

𝜕 (𝑎𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

+ 𝑇∞)

𝜕(𝑎𝑥)+

𝑣𝜈𝐺𝑟1

4⁄

𝑎

𝜕 (𝑎𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

+ 𝑇∞)

𝜕 (𝑎𝑦𝐺𝑟−1

4⁄ )

=𝑢𝜈𝐺𝑟

12

𝑎(

𝜕 (𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑥+

1

𝑎

𝜕𝑇∞𝜕𝑥

) +𝑣𝜈𝐺𝑟

12⁄

𝑎(

𝜕 (𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑦+

1

𝑎

𝜕𝑇∞𝜕𝑦

)

=𝜈𝐺𝑟

12

𝑎

(

𝑢(

𝜕 (𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑥+

1

𝑎

𝜕𝑇∞𝜕𝑥

) + 𝑣(

𝜕 (𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑦+

1

𝑎

𝜕𝑇∞𝜕𝑦

)

)

Perhitungan ruas kanan :

𝛼𝑛𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦 2+

𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

(𝑇 − 𝑇∞) =

𝛼𝑛𝑓 (𝜕2(

𝑎𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

+𝑇∞)

𝜕(𝑎𝑦𝐺𝑟−1

4⁄ )2)+

𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑎𝑇𝑇𝑤

𝑘𝑛𝑓 =

𝛼𝑛𝑓

𝑎(𝐺𝑟

1

2 (𝜕2(

𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑦2 +1

𝑎

𝜕2𝑇∞

𝜕𝑦2 ))+ 𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑎𝑇𝑇𝑤

𝑘𝑛𝑓

86

Sehingga diperoleh persamaan kedua ruas yaitu:

𝜈𝐺𝑟12

𝑎(𝑢(

𝜕(𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑥+

1

𝑎

𝜕𝑇∞

𝜕𝑥)+ 𝑣(

𝜕(𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑦+

1

𝑎

𝜕𝑇∞

𝜕𝑦)) =

𝛼𝑛𝑓

𝑎(𝐺𝑟

1

2 (𝜕2(

𝑇𝑇𝑤𝑘𝑛𝑓

)

𝜕𝑦2 +

1

𝑎

𝜕2𝑇∞

𝜕𝑦2 )) + 𝑄0

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑎𝑇𝑇𝑤

𝑘𝑛𝑓

Karena 𝑇𝑤 dan 𝑇∞ konstanta maka turunan terhadap 𝑥 dan 𝑦 bernilai nol sehingga persamaan kedua ruas menjadi :

𝜈𝑇𝑤𝐺𝑟12

𝑎𝑘𝑛𝑓(𝑢 (

𝜕𝑇

𝜕𝑥) + 𝑣 (

𝜕𝑇

𝜕𝑦)) =

𝛼𝑛𝑓𝑇𝑤𝐺𝑟12

𝑎𝑘𝑛𝑓(𝜕2𝑇

𝜕𝑦2) +

𝑎𝑄0𝑇𝑤

𝑘𝑛𝑓(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑇

Kedua ruas dibagi dengan 𝜈𝑇𝑤𝐺𝑟

12

𝑎𝑘𝑛𝑓 , maka akan diperoleh:

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦=

𝛼𝑛𝑓

𝜈

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+

𝑎2𝑄0

𝜈𝐺𝑟12(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑇

Didefinisikan bahwa parameter dimensional yang digunakan adalah parameter

bilangan Prandtl sebagai berikut:

𝑃𝑟 =𝜈

𝛼𝑓

sehingga diperoleh persamaan energi non-dimensional sebagai berikut:

𝑢𝜕𝑇

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+ 𝑄𝑇

dengan :

𝑄 =𝑎2𝑄0

𝜈𝐺𝑟12(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

=𝑎1/2𝑄0

(𝑔(𝑇𝑤 − 𝑇∞)𝛽𝑓)12(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

87

Lampiran 2. Pmbentukan Persamaan Similaritas

Menurut Sarif dkk (2013), Hubungan antara fungsi alir (𝜓) dan persamaan

similaritas dirumuskan sebagai berikut:

𝜓 = 𝑥𝑓(𝑥, 𝑦) dan 𝑇 = 𝜃(𝑥, 𝑦)

Sehingga diperoleh:

𝜕𝜓

𝜕𝑦= 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦 ,

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2 = 𝑥𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 , 𝜕3𝜓

𝜕𝑦3 = 𝑥𝜕3𝑓

𝜕𝑦3, 𝜕4𝜓

𝜕𝑦4 = 𝑥𝜕4𝑓

𝜕𝑦4

𝜕𝜓

𝜕𝑥= 𝑓 + 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥 ,

𝜕2𝜓

𝜕𝑥2 = 𝑥 (𝜕𝑓

𝜕𝑥)2

+ 𝑓𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑥𝑓

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕𝑓

𝜕𝑦+ 𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦 ,

𝜕3𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦2 =𝜕2𝑓

𝜕𝑦2 + 𝑥𝜕3𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦2

Dalam Tesis ini diasumsikan bahwa 𝑢𝑒 = sin 𝑥.

`Persamaan momentum

𝜕𝜓

𝜕𝑦

𝜕2𝜓

𝜕𝑥𝜕𝑦−

𝜕𝜓

𝜕𝑥

𝜕2𝜓

𝜕𝑦2= 𝑢𝑒

𝑑𝑢𝑒

𝑑𝑥+

𝜇𝑛𝑓𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓𝜇𝑓

𝜕3𝜓

𝜕𝑦3+ (𝜒𝜌𝑠

𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓) ⋋ 𝑇 sin(𝑥)

𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦(𝜕𝑓

𝜕𝑦+ 𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦) − (𝑓 + 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥)(𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2)

= sin 𝑥𝑑 sin 𝑥

𝑑𝑥+

𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝑥

𝜕3𝑓

𝜕𝑦3) + (

𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓)

⋋ 𝑇 sin(𝑥)

(𝑥 (𝜕𝑓

𝜕𝑦)2

+ 𝑥2𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦) − (𝑓𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2+ 𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

𝜕𝑓

𝜕𝑥)

= sin 𝑥 cos 𝑥 +𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕3𝑓

𝜕𝑦3) + (

𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓)

⋋ 𝑇 sin(𝑥)

((𝜕𝑓

𝜕𝑦)2

+ 𝑥𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦) − (𝑓

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2+ 𝑥

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2

𝜕𝑓

𝜕𝑥)

=sin 2𝑥

2𝑥+

𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕3𝑓

𝜕𝑦3) + (

𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓) ⋋ 𝑇

sin 𝑥

𝑥

Pada penulisan Tesis ini, dibatasi pada titik stagnasi terendah dari silinder

horizontal (𝑥 ≈ 0) maka persamaan momentum similaritas adalah sebagai berikut:

(𝜕𝑓

𝜕𝑦)2

− 𝑓𝜕2𝑓

𝜕𝑦2= 1 +

𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝜕3𝑓

𝜕𝑦3) + (

𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓) ⋋ 𝑇

Atau dapat ditulis sebagai berikut:

(𝑓′)2 − 𝑓𝑓′′ = 1 +𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓

(𝑓′′′) + (𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓) ⋋ 𝑇

88

Persamaan energi

(𝜕𝜓

𝜕𝑦)𝜕𝑇

𝜕𝑥− (

𝜕𝜓

𝜕𝑥)𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+ 𝛾𝑇

𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑇

𝜕𝑥− (𝑓 + 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥)𝜕𝑇

𝜕𝑦=

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+ 𝛾𝑇

𝑥𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑇

𝜕𝑥− 𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑥

𝜕𝑇

𝜕𝑦= 𝑓

𝜕𝑇

𝜕𝑦+

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+ 𝛾𝑇

Pada penulisan Tesis ini, dibatasi pada titik stagnasi terendah dari silinder

horizontal (𝑥 ≈ 0) maka persamaan momentum similaritas adalah sebagai berikut:

0 = 𝑓𝜕𝑇

𝜕𝑦+

1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓

𝜕2𝑇

𝜕𝑦2+ 𝛾𝑇

Atau dapat ditulis

0 = 𝑓𝑇′ +1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓𝑇′′ + 𝛾𝑇

Telah diperoleh persamaan similaritas yaitu:

(𝑓′)2 − 𝑓𝑓′′ = 1 +𝜇𝑛𝑓

𝜇𝑓

𝜌𝑓

𝜌𝑛𝑓(𝑓′′′) + (

𝜒𝜌𝑠𝛽𝑠

𝛽𝑓+ (1 − 𝜒)𝜌𝑓) ⋋ 𝑇

dan

0 = 𝑓𝑇′ +1

𝑃𝑟

𝛼𝑛𝑓

𝛼𝑓𝑇′′ + 𝛾𝑇

dengan kondisi batas sebagai berikut:

𝑓 = 𝑓′ = 0 dan 𝑇 = 1 untuk 𝑦 = 0

𝑥𝑓′ = sin 𝑥 dan 𝑇 = 0 untuk 𝑦 → ∞

89

Lampiran 3 : Variasi nilai parameter sumber panas (Q)

𝑄 =𝑎1/2𝑄0

(𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞))1/2

(𝜌𝐶𝑝)𝑛𝑓

𝑄 =𝑎1/2𝑄0

(𝑔𝛽𝑓(𝑇𝑤 − 𝑇∞))1/2

[(1 − 𝜒)(𝜌𝐶𝑝)𝑓 + 𝜒(𝜌𝐶𝑝)𝑠]

Nilai parameter tetap

a 10

g 9.80665 𝛽𝑓 0.00021

𝑇𝑤 400

𝑇∞ 300

𝜒 0.1

𝜌𝑓 997.1 (𝐶𝑝)𝑓 4179

𝜌𝑠 8933 (𝐶𝑝)𝑠 385

Maka nilai sumber panas (Q) dengan memvariasi nilai sumber panas awal (Q0)

adalah :

Q0 400 450 500 750 1000 1500

Q 0.00068 0.00077 0.00085 0.00128 0.00170 0.00255

Nilai sumber panas (Q) maksimal yang dapat di-running program Matlab R2012a

adalah sebagai berikut:

Q0 (Ko) 190.000 60.000 30.000 19.000

a (m) 10 100 500 1000

Q 0.3234 0.3229 0.3611 0.3234

90

91

Lampiran 4 : Program Simulasi menggunakan Matlab R2012a

clear all clc close all format long np = 500; nr = np+1; eps = 0.00001;

%% Nilai Awal Parameter yang di Variasi lambda = 1; %input('input konveksi campuran = '); Pr = 6.2; %input('input bilangan Prandtl = '); % Chi = 0.1; %input('input volume Fraction = ');

% koefisien-koefisien parameter pembangkit panas; jari = 10; %input('jari-jari silinder = '); Q0 = 500; %input('input pembangkit panas = '); g = 9.80665; %input('gaya gravitasi = '); Tw = 400; %input('temperatur dinding silinder = '); Tinf = 300; %input('temperatur diluar lapisan batas = ');

%% Koefisien Parameter nano % Fluid phase (water) rhof = 997.1; %input('input density of the base fluid

fraction = '); Bf = 0.00021; %input('input thermal expansion coefficient of

the base fluid fraction = '); kf = 0.613; %input('input thermal conductivity of the base

fluid = '); cf = 4179; %input('input heat capacity of the base fluid

= ');

% Nanoparticles Cu rhos = 8933; %input('input density of the solid fraction Cu

= '); Bs = 0.0000167; %input('input thermal expansion coefficient of

the solid fraction Cu = '); ks = 400; %input('input thermal conductivity of the

solid Cu = '); cs = 385; %input('input heat capacity of the solid Cu =

');

% % Nanoparticles Al2O3 % rhos=3970; %input('input density of the solid fraction

Al2O3 = '); % Bs=0.0000085; %input('input thermal expansion coefficient of

the solid fraction Al2O3 = '); % ks=40; %input('input thermal conductivity of the solid

Al2O3 = '); % cs=765; %input('input heat capacity of the solid Al2O3 =

');

% Nanoparticles TiO2

92

% rhos=4250; %input('input density of the solid fraction TiO2

= '); % Bs=0.000009; %input('input thermal expansion coefficient of

the solid fraction TiO2 = '); % ks=8.9538; %input('input thermal conductivity of the solid

TiO2 = '); % cs=686.2; %input('input heat capacity of the solid TiO2 =

');

% Nilai awal partisi (Delta eta) del_eta = 0.01; eta(1) = 0.0; eta_c(1) = 0.0; etu(1) = 0.0;

% Input Variasi Parameter

% konveksi_campuran(1)=0.5; % konveksi_campuran(2)=2; % konveksi_campuran(3)=4; % konveksi_campuran(4)=6;

% Prandtl(1)=1.2; % Prandtl(2)=3.2; % Prandtl(3)=6.2; % Prandtl(4)=13.2;

volume_Fraction(1)=0.1; volume_Fraction(2)=0.12; volume_Fraction(3)=0.135; volume_Fraction(4)=0.15;

% sb_panas(1)=0.00058; % sb_panas(2)=0.1; % sb_panas(3)=0.2; % sb_panas(4)=0.32;

% jari_jari(1)=1; % jari_jari(2)=4; % jari_jari(3)=9; % jari_jari(4)=100;

% Iterasi partisi (Delta eta) for j = 2:nr eta(j) = eta(j-1) + del_eta; eta_c(j) = 0.5*(eta(j) + eta(j-1)); end for j=1:np etu(j)= eta_c(j); end

% Iterasi variasi parameter for i=1:4 % lambda = konveksi_campuran(i); % Pr = Prandtl(i); Chi = volume_Fraction(i);

93

% Q = sb_panas(i); % jari = jari_jari(i); k = 1; stop = 1; while stop > eps;

% Koefisien persamaan momentum dan energi A = 1/(((1-Chi)^2.5)*(1-Chi+(Chi*(rhos/rhof)))); B =((Chi*rhos*(Bs/Bf)/((1-Chi)*rhof+Chi*rhos))+(((1-

Chi)*rhof)/(Chi*rhos+(1-Chi)*rhof)))*lambda; C =(1/Pr)*(((ks+2*kf)+2*Chi*(ks-kf))/((ks+2*kf)-Chi*(ks-

kf)))*(1/((1-Chi)+Chi*((rhos*cs)/(rhof*cf)))); D =((jari^0.5)*Q0)/(((g*(Tw-Tinf)*Bf)^0.5)*(((1-

Chi)*rhof*cf)+(Chi*rhos*cs))); % D = Q;

for j=1:np % Kondisi Awal f(j,1) = (1/4)*((eta(j))^2/eta(j+1))*(3-

0.5*((eta(j)/eta(j+1))^2)); u(j,1) = 0.9875*(eta(j)/eta(j+1))*(3-2*((eta(j)/eta(j+1))^2)); v(j,1) = (3/2)*(1/eta(j+1))*(1-((eta(j)/eta(j+1))^2)); T(j,1) = 1-(eta(j)/eta(j+1))^2; w(j,1) = -2*(eta(j)/eta(j+1))*(1/eta(j+1));

end

for j = 2:np fb(j,k) = 0.5*(f(j,k)+f(j-1,k)); ub(j,k) = 0.5*(u(j,k)+u(j-1,k)); vb(j,k) = 0.5*(v(j,k)+v(j-1,k)); Tb(j,k) = 0.5*(T(j,k)+T(j-1,k)); wb(j,k) = 0.5*(w(j,k)+w(j-1,k)); dervb(j,k) = (v(j,k)-v(j-1,k))/del_eta; fvfvb(j,k) = fb(j,k)*vb(j,k); unb(j,k) = (ub(j,k))^2; derwb(j,k) = (w(j,k)-w(j-1,k))/del_eta; fwfwb(j,k) = fb(j,k)*wb(j,k);

% Komponen matriks hasil eliminasi blok a1(j,k) = ((del_eta/2)*fb(j,k))+A; a2(j,k) = a1(j,k)-(2*A) ; a3(j,k) = (del_eta/2)*vb(j,k); a4(j,k) = a3(j,k); a5(j,k) = (-del_eta/2)*ub(j,k); a6(j,k) = a5(j,k); a7(j,k) = B*(del_eta/2); a8(j,k) = a7(j,k);

b1(j,k) = ((del_eta/2)*fb(j,k))+C; b2(j,k) = b1(j,k)-2*C ; b3(j,k) = (del_eta/2)*wb(j,k); b4(j,k) = b3(j,k); b5(j,k) = D*(del_eta/2); b6(j,k) = b5(j,k);

94

q1(j,k) = -f(j,k)+f(j-1,k)+(del_eta*ub(j,k)); q2(j,k) = -u(j,k)+u(j-1,k)+(del_eta*vb(j,k)); q3(j,k) = -T(j,k)+T(j-1,k)+(del_eta*wb(j,k)); q4(j,k) = (del_eta*unb(j,k))-(del_eta*fvfvb(j,k))-del_eta-

(A*(v(j,k)-v(j-1,k)))-(B*del_eta*Tb(j,k)); q5(j,k) = (-del_eta*fwfwb(j,k))-C*(w(j,k)-w(j-1,k))-

D*del_eta*Tb(j,k); end

% Matriks eliminasi blok a{2,k} = [0 0 1 0 0;-0.5*del_eta 0 0 -0.5*del_eta 0;0 -1 0 0 -

0.5*del_eta;a2(2,k) a8(2,k) a3(2,k) a1(2,k) 0;0 b6(2,k) b3(2,k) 0

b1(2,k)]; for j = 3:np a{j,k} = [-0.5*del_eta 0 1 0 0; -1 0 0 -0.5*del_eta 0; 0 -

1 0 0 -0.5*del_eta; a6(j,k) a8(j,k) a3(j,k) a1(j,k) 0; 0 b6(j,k)

b3(j,k) 0 b1(j,k)]; b{j,k} = [0 0 -1 0 0; 0 0 0 -0.5*del_eta 0; 0 0 0 0 -

0.5*del_eta; 0 0 a4(j,k) a2(j,k) 0; 0 0 b4(j,k) 0 b2(j,k)]; end; for j = 2:np c{j,k} = [-0.5*del_eta 0 0 0 0; 1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0;

a5(j,k) a7(j,k) 0 0 0; 0 b5(j,k) 0 0 0]; end;

%%Algoritma LU alfa{2,k} = a{2,k}; gamma{2,k} = inv(alfa{2,k})*c{2,k}; for j = 3:np alfa{j,k} = a{j,k}-(b{j,k}*gamma{j-1,k}); gamma{j,k} = inv(alfa{j,k})*c{j,k}; end; for j = 2:np qq{j,k} = [q1(j,k);q2(j,k);q3(j,k);q4(j,k);q5(j,k)]; end; ww{2,k} = inv(alfa{2,k})*qq{2,k}; for j = 3:np ww{j,k} = inv(alfa{j,k})*(qq{j,k}-(b{j,k}*ww{j-1,k})); end;

%% backward sweep %kondisi batas delf(1,k) = 0; delu(1,k) = 0; delT(1,k) = 0; delu(np,k) = 0; delT(np,k) = 0; dell{np,k} = ww{np,k};

for j = np-1:-1:2 dell{j,k} = ww{j,k} - (gamma{j,k}*dell{j+1,k}); end; delv(1,k) = dell{2,k}(1,1); delw(1,k) = dell{2,k}(2,1); delf(2,k) = dell{2,k}(3,1); delv(2,k) = dell{2,k}(4,1); delw(2,k) = dell{2,k}(5,1);

95

for j = np:-1:3 delu(j-1,k) = dell{j,k}(1,1); delT(j-1,k) = dell{j,k}(2,1); delf(j,k) = dell{j,k}(3,1); delv(j,k) = dell{j,k}(4,1); delw(j,k) = dell{j,k}(5,1); end;

%% Newton's Method for j = 1:np f(j,k+1) = f(j,k) + delf(j,k); u(j,k+1) = u(j,k) + delu(j,k); v(j,k+1) = v(j,k) + delv(j,k); T(j,k+1) = T(j,k) + delT(j,k); w(j,k+1) = w(j,k) + delw(j,k); end; stop = abs(delv(1,k)); kmax = k; k = k + 1; end

for j = 1:np ff(j) = f(j,k); uu(j) = u(j,k); vv(j) = v(j,k); TT(j) = T(j,k); www(j)= w(j,k); end for j=1:np ffb(j) = fb(j,kmax); uub(j) = ub(j,kmax); vvb(j) = vb(j,kmax); TTb(j) = Tb(j,kmax); wwwb(j) = wb(j,kmax); ddervb(j) = dervb(j,kmax); dderwb(j) = derwb(j,kmax); end

if(i==1) figure(1) plot(etu,u(:,kmax),'--.g','linewidth',2') hold on; figure(2) plot(etu,T(:,kmax),'--.g','linewidth',2') hold on;

elseif(i==2) figure(1) plot(etu,u(:,kmax),'-b','linewidth',2') hold on; figure(2) plot(etu,T(:,kmax),'-b','linewidth',2') hold on;

96

elseif(i==3) figure(1) plot(etu,u(:,kmax),'-.r','linewidth',2') hold on; figure(2) plot(etu,T(:,kmax),'-.r','linewidth',2') hold on;

elseif(i==4) figure(1) plot(etu,u(:,kmax),'-black','linewidth',2') hold on; grid on; % title('Profil Kecepatan dengan Variasi Konveksi Campuran') % title('Profil Kecepatan dengan Variasi Bilangan Prandtl') % title('Profil Kecepatan dengan Variasi Volume Fraction') title('Profil Kecepatan dengan Variasi Sumber Panas') % title('Profil Kecepatan dengan Variasi Jari-jari Silinder')

% legend('lambda = 0.5','lambda = 2','lambda = 4','lambda = 6') % legend('Prandtl = 1.2','Prandtl = 3.2','Prandtl = 6.2','Prandtl

= 13.2') % legend('chi = 0.1','chi = 0.12','chi = 0.135','chi = 0.15') legend('sb.panas = 0.00058','sb.panas = 0.1','sb.panas =

0.2','sb.panas = 0.32') % legend('jari = 1','jari = 4','jari = 9','jari = 100') xlabel('eta') ylabel(' Kecepatan ')

figure(2) plot(etu,T(:,kmax),'-black','linewidth',2') hold on; grid on; % title('Profil Temperatur dengan Variasi Konveksi Campuran') % title('Profil Temperatur dengan Variasi Bilangan Prandtl') % title('Profil Temperatur dengan Variasi Volume Fraction') title('Profil Temperatur dengan Variasi Sumber Panas') % title('Profil Temperatur dengan Variasi Jari-jari Silinder')

% legend('lambda = 0.5','lambda = 2','lambda = 4','lambda = 6') % legend('Prandtl = 1.2','Prandtl = 3.2','Prandtl = 6.2','Prandtl

= 13.2') % legend('chi = 0.1','chi = 0.12','chi = 0.135','chi = 0.15') legend('sb.panas = 0.00058','sb.panas = 0.1','sb.panas =

0.2','sb.panas = 0.32') % legend('jari = 1','jari = 4','jari = 9','jari = 100') xlabel('eta') ylabel('Temperatur') end end

97

BIODATA PENULIS

Penulis bernama lengkap Bagus Juliyanto,

dilahirkan di Desa Kalen, Kecamatan Dlanggu, Kabupaten

Mojokerto pada tanggal 2 Juli 1980 dan merupakan anak

pertama dari 2 bersaudara pasangan H. Qoro’in Khoir

Sutono (Wafat pada tanggal 26 Maret 2017) dan Hj.

Shofwatul Azzam Suliyatin. Pendidikan formal yang telah

ditempuh yaitu SDN Sumberanyar II/351 Banyuputih

Situbondo lulus tahun 1992, SMPN 1 Banyuputih

Situbondo lulus tahun 1995. Setelah menyelesaikan

pendidikan di SMAN 1 Situbondo pada tahun 1998,

penulis melanjutkan pendidikan S1 di Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Jember dan lulus pada tahun 2002

dalam bidang minat Geometri Rancang Bangun. Sejak tahun 2004 penulis menjadi

Dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember. Pada tahun 2014 penulis

melanjutkan studi S2 di Departemen Matematika ITS dengan sumber dana dari

beasiswa BPPDN Dirjen DIKTI. Pada jenjang pendidikan S2, penulis mengambil

bidang minat penelitian Pemodelan Matematika dan Simulasi. Informasi, kritik, dan

saran yang berhubungan dengan Tesis ini dapat dikirimkan melalui e-mail:

bagus2780@gmail.com.