Upload
vanngoc
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
PENGARUH PENGELUARAN PEMERINTAH PADA
INVESTASI INFRASTRUKTUR DAN PENDIDIKAN
TERHADAP PERTUMBUHAN EKONOMI
JANGKA PANJANG
KHAFIZD MAULANA HERFANS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
ii
ABSTRAK
KHAFIZD MAULANA HERFANS. Pengaruh Pengeluaran Pemerintah pada Investasi
Infrastruktur dan Pendidikan terhadap Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang.
Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan ENDAR H. NUGRAHANI.
Pertumbuhan ekonomi adalah perkembangan kegiatan perekonomian yang menyebabkan
barang dan jasa yang diproduksi dalam masyarakat bertambah. Pengeluaran pemerintah
merupakan salah satu faktor yang memengaruhi tingkat pertumbuhan ekonomi. Pada karya ilmiah
ini dibahas dua tipe pengeluaran pemerintah yang dapat memengaruhi pertumbuhan ekonomi
jangka panjang, di mana pengeluaran pemerintah bersumber dari penerimaan pajak. Pengeluaran
pemerintah tipe yang pertama adalah pengeluaran pada investasi infrastruktur seperti jalan,
bandara, pelabuhan, penetitian dan pengembangan. Pada tipe yang kedua, pengeluaran pemerintah
berupa investasi terhadap teknologi seperti pengeluaran pada pendidikan. Pada tipe pertama tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh elastisitas
modal publik, sedangkan pada tipe yang kedua dipengaruhi oleh elastisitas modal swasta. Dari
simulasi yang telah dilakukan dapat terlihat bahwa tipe pengeluaran pemerintah yang kedua
menghasilkan output tingkat pertumbuhan ekonomi yang lebih tinggi dibanding dengan tipe
pengeluaran pemerintah yang pertama.
Kata kunci: pertumbuhan ekonomi, pengeluaran pemerintah, infrastruktur, pendidikan
iii
ABSTRACT
KHAFIZD MAULANA HERFANS. The Effect Of Government Expenditures on Infrastructure
and Education towards Long-term Economic Growth. Supervised by RETNO BUDIARTI and
ENDAR H. NUGRAHANI.
Economic growth is the development of economic activities leading to the increase of goods
and services within community. Government expenditure is one of the factors that affect the rate
of economic growth, it is financed through tax revenues. This paper discusses two types of
government expenditures which affect long-term economic growth. The first type is government
expenditures on infrastructure investments, such as roads, airports, ports, research, and
development. In the second type, the government expenditures are invested on technology, such as investment on education. The tax rate that maximizes economic growth is affected by the elasticity
of public capital in the first type of government expenditures, while the second type is affected by
the elasticity of private capital. Simulation results show that the second type of government
expenditure produces higher economic growth rate than the first type.
Keywords: economic growth, government expenditures, infrastructure, education
iv
PENGARUH PENGELUARAN PEMERINTAH PADA
INVESTASI INFRASTRUKTUR DAN PENDIDIKAN
TERHADAP PERTUMBUHAN EKONOMI
JANGKA PANJANG
KHAFIZD MAULANA HERFANS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
v
Judul Skripsi : Pengaruh Pengeluaran Pemerintah pada Investasi Infrastruktur
dan Pendidikan terhadap Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang
Nama : Khafizd Maulana Herfans
NIM : G54080025
Menyetujui
Tanggal Lulus:
Pembimbing I,
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP: 19610729 198903 2 001
Pembimbing II,
Dr.Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
NIP: 19631228198903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen,
Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP: 19650505 198903 2 004
vi
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas berkat, rahmat dan kasih sayang-Nya
sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Banyak pihak yang telah membantu dan
berkontribusi dalam pembuatan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1. keluarga tercinta: ayah, ibu, teteh dan semua keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran,
kasih sayang, serta motivasinya,
2. Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikiran dalam membimbing, memberi motivasi, semangat dan doa,
3. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan ilmu,
kritik dan saran, motivasi serta doanya,
4. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran dan
doanya,
5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan,
6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Ibu Susi, Ibu Ade, Alm. Bapak Bono, Bapak Deni,
Bapak Hery, Ibu Yanti atas semangat dan doanya,
7. Mutiara Windika Gameissa, Herlan, Arbi , Haryanto, Hendri, Fuka, Beni, Irwan, Ridwan,
Izzudin, Hardono, Aga, Nabil, dan Mila atas segala doa, dukungan semangat, kebersamaan,
tawa, dan canda selama ini yang kalian berikan, 8. teman-teman satu bimbingan: Yusufi, Edi, Yunda dan Fitriah yang selalu saling mengingatkan
dan memberi motivasi dalam penyusunan skripsi ini,
9. teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45, 44, dan 43 dan teman-teman mahasiswa
lainnya atas doa, dukungan semangatnya serta kebersamaannya,
10. teman-teman di BEM FMIPA kabinet totalitas perjuangan dan Gumatika brilian yang
memberikan pelajaran dan pengalaman berharga dalam keorganisasian,
11. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang
matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2013
Khafizd Maulana Herfans
vii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 Februari 1990 dari ayah Herry Fanshury Subandi
dan ibu Sudianingsih. Penulis merupakan putra bungsu dari dua bersaudara.
Pada tahun 1996 penulis lulus dari TK Asri, tahun 2002 penulis lulus dari SD Negeri Cibubur
05 Pagi, tahun 2005 penulis lulus dari SMP Negeri 147 Jakarta Timur, tahun 2008 penulis lulus dari SMA Negeri 99 Jakarta Timur. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor
pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama.
Pada tahun 2009, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II (S1) pada
semester ganjil 2010-2011. Tahun 2009 - 2012 penulis mendapatkan beasiswa PPA (Peningkatan
Prestasi Akademik) dari Institut Pertanian Bogor.
Penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan di kampus, seperti organisasi Badan Eksekutif
Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam sebagai Staf Divisi SOSLING
(Sosial dan Lingkungan) Tahun 2009-2010 dan himpunan profesi Departemen Matematika yang
dikenal dengan GUMATIKA sebagai Staf Divisi SOSINKOM (Sosial, Informasi, dan
Komunikasi) pada tahun 2010-2011.
viii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. ix
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................... ix
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 1
1.2 Tujuan ......................................................................................................................... 1
II. LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Istilah Ekonomi ............................................................................................. 2
2.2 Definisi Istilah Matematis ............................................................................................ 3
III. PEMBAHASAN
3.1 Siklus Kehidupan Individu ........................................................................................... 5
3.2 Pertumbuhan Ekonomi ................................................................................................. 5
3.3 Investasi pada Infrastruktur .......................................................................................... 6
3.4 Investasi pada Pendidikan ............................................................................................ 8
IV. SIMULASI
4.1 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang yang Dipengaruhi oleh
Investasi pada Infrasstrktur ........................................................................................... 11 4.2 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka Panjang yang Dipengaruhi oleh
Investasi pada Pendidikan ............................................................................................. 13
V. KESIMPULAN ................................................................................................................. 18
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 19
LAMPIRAN ...................................................................................................................... 20
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat pajak ( )
dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda .......................................... 11
2. Kurva pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu ................. 12
3. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap perkembangan
teknologi ................................................................................................................. 12
4. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh
investasi infrastruktur ( dengan preferensi elastisitas modal
publik yang berbeda ................................................................................................ 13
5. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat
pajak ( ) dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda ........................... 14
6. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh
diskonto waktu ) ........................................................................................................ 15
7. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi
oleh teknologi ......................................................................................................... 15
8. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat
perkembangan teknologi pembelajaran .................................................................... 15
9. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap elastisitas
modal manusia ( ......................................................................................................... 16
10. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh
investasi pendidikan ) dengan preferensi elastisitas modal swasta
yang berbeda ........................................................................................................... 16
11. Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi
infrastruktur ( ) dan investasi pendidikan ) .............................................................. 17
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1. Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 1 .............................. 21
2. Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 ....................... 21 3. Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba
perusahaan pada kasus 1 ................................................................................................ 22
4. Mendapatkan modal swasta pada kasus 1 ....................................................................... 22
5. Mendapatkan modal publik ............................................................................................ 23
6. Mendapatkan rasio modal publik dengan modal swasta ................................................. 23
7. Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 1 ........................................... 23
8. Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi pada kasus 1 ................................................................................................... 24
9. Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 2 .............................. 25
10. Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2 ....................... 26
11. Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2 ................................................................................................................. 26
12. Mendapatkan modal swasta pada kasus 2 ....................................................................... 27
13. Mendapatkan investasi pada pendidikan ......................................................................... 27
14. Mendapatkan modal manusia ......................................................................................... 27
15. Mendapatkan rasio modal manusia dengan modal swasta .............................................. 28
16. Mendapatkan persamaan (3.24) ...................................................................................... 28
17. Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 2 ............................................ 29
18. Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi pada kasus 2 .................................................................................................... 29
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pertumbuhan ekonomi merupakan
masalah perekonomian jangka panjang, di
mana pertumbuhan ekonomi diartikan sebagai suatu proses peningkatan produksi barang dan
jasa dalam kegiatan perekonomian
masyarakat. Tingkat pertumbuhan ekonomi
dicerminkan oleh persentase kenaikan output
per kapita dari tahun sebelumnya, sehingga
pertumbuhan ekonomi jangka panjang dapat
dijadikan sebagai refleksi kesejahteraan
ekonomi dari suatu negara.
Sejak publikasi yang dilakukan oleh Adam
Smith dalam bukunya yang berjudul “The
Wealth of Nation” pada tahun 1776, para pakar ekonomi berusaha untuk menjawab
faktor-faktor apa yang menentukan tingkat
pertumbuhan ekonomi jangka panjang suatu
negara. Model pertumbuhan pada tahun 1960-
an menunjukkan peran signifikan investasi
swasta dalam modal fisik. Pertumbuhan
jangka panjang pada model ini sepenuhnya
didasarkan pada pertumbuhan pengetahuan
teknologi yang dianggap sebagai faktor
eksogen terhadap model ini. Model-model
pertumbuhan pada tahun 1980-an dan 1990-an
menghasilkan pertumbuhan jangka panjang secara endogen dari tindakan-tindakan
individu dalam perekonomian. Pemahaman ini
muncul sebagai respon terhadap
perkembangan teknologi yang dapat
meningkatkan kinerja dalam proses produksi.
Model pertumbuhan alternatif ini menjelaskan
bahwa perubahan teknologi, suku bunga, dan
perubahan populasi merupakan variabel
endogen, begitu juga dengan model yang akan
dibahas dalam karya ilmiah ini (Glomm and
Ravikumar 1997). Salah satu faktor yang mempengaruhi
pertumbuhan ekonomi adalah pengeluaran
pemerintah, di mana pemerintah berperan
sebagai penyedia dana dalam pembangunan di
berbagai bidang sarana dan prasarana. Pakar
ekonomi mulai mempelajari pengaruh
pengeluaran pemerintah pada keputusan
konsumsi dan simpanan terhadap model-
model yang memungkinkan terjadinya
peluang pertumbuhan yang berkelanjutan. Perkembangan ini memberi dampak
signifikan terhadap kebijakan pengeluaran
pemerintah dalam model keseimbangan
umum dinamis yang mempengaruhi tingkat
pertumbuhan dan kesejahteraan jangka
panjang. Model pertumbuhan jangka panjang
yang digunakan pada karya ilmiah ini
mengasumsikan pemerintah sebagai
pengumpul pajak dan menggunakan
penerimaan pajak tersebut untuk memperoleh
dan mendistribusikan sumber daya guna meningkatkan pertumbuhan ekonomi.
Terdapat banyak cara di mana pemerintah
dapat mendistribusikan pendapatan pajak,
namun pada karya ilmiah ini difokuskan pada
dua tipe. Tipe yang pertama adalah
pengeluaran pemerintah berupa investasi
terhadap infrastruktur, seperti jalan, bandara,
pelabuhan, atau sektor publik penelitian dan
pengembangan, yang dianggap sebagai input
dalam fungsi produksi untuk menghasilkan
output akhir. Pada tipe selanjutnya,
pengeluaran pemerintah berupa investasi terhadap teknologi, di mana pengeluaran ini
juga dianggap sebagai input dalam fungsi
produksi. Pengeluaran pemerintah pada
pendidikan merupakan contoh nyata dari tipe
pengeluaran pemerintah yang kedua.
1.2 Tujuan
1. Menganalisis pengaruh pengeluaran
pemerintah pada investasi infrastruktur
terhadap pertumbuhan ekonomi jangka
panjang.
2. Menganalisis pengaruh pengeluaran
pemerintah pada investasi pendidikan
terhadap pertumbuhan ekonomi jangka
panjang.
2
II. LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa
definisi dan penjelasan istilah-istilah yang
digunakan dalam karya ilmiah ini.
2.1 Definisi Istilah Ekonomi
Pembahasan mengenai pertumbuhan
ekonomi tidak lepas dari beberapa istilah
ekonomi. Pada bagian ini akan dijelaskan
beberapa istilah ekonomi yang digunakan
dalam karya ilmiah ini.
Pertumbuhan Ekonomi
Pertumbuhan ekonomi (economic growth) adalah perkembangan kegiatan dalam
perekonomian yang menyebabkan barang dan
jasa yang diproduksi dalam masyarakat
bertambah. Tingkat pertumbuhan ekonomi
menujukkan persentase kenaikan pendapatan
nasional riil pada suatu tahun tertentu,
dibandingkan pada pendapatan riil pada tahun
sebelumnya.
(Sukirno 2004)
Jalur Pertumbuhan Ekonomi yang
Berimbang (Balanced Growth Path)
Balanced growth path adalah suatu
keadaan di mana variabel dalam model
tumbuh pada tingkat yang tetap. Dalam
balanced growth path pertumbuhan output per
kapita ditetukan oleh tingkat kemajuan
teknologi.
(Romer 1996)
Kondisi Tunak (Steady State)
Ekonomi pada kondisi tunak (steady state)
adalah suatu keadaan di mana modal per
kapita pada periode sekarang sama dengan
modal per kapita pada tahun sebelumnya. (Zhang 2006)
Return to Scale
Return to scale adalah keadaan ketika
output meningkat sebagai respon adanya
kenaikan proposional dari seluruh input.
(Nicholson 2002)
Pengeluran Pemerintah
Pengeluaran pemerintah adalah pembelian
barang dan jasa oleh seluruh lembaga dan tingkatan pemerintah (pusat, daerah, dan
sebagainnya).
(Mankiw 2006)
Konsumsi Konsumsi adalah pengeluaran oleh rumah
tangga dan perusahaan atas berbagai barang
dan jasa.
(Mankiw 2006)
Investasi
Investasi adalah pembelian alat-alat
modal, persediaan dagang (inventori), dan
struktur usaha.
(Mankiw 2006)
Suku Bunga Riil Suku bunga riil adalah suku bunga yang
telah dikoreksi terhadap dampak inflasi, untuk
menyesuaikan perubahan dalam daya beli
uang. Jadi dapat dikatakan bahwa, suku bunga
riil berkaitan dengen pertumbuhan daya beli.
(Kunarjo 2003)
Fungsi Produksi
Fungsi produksi memberikan gambaran
yang menunjukan hubungan antara tingkat
produksi suatu barang dengan jumlah faktor produksi utuk menghasilkan barang tersebut,
biasanya dinyatakan sebagai
Banyaknya total produksi yang dihasilkan
dinyatakan dengan , banyaknya tenaga
kerja, banyaknya sumber daya alam yang
digunakan, banyaknya modal, dan tingkat teknologi yang digunakan dalam proses
produksi.
(Sukirno 2004)
Faktor-Faktor Produksi
Faktor-faktor produksi adalah sejumlah
input yang digunakan untuk memproduksi
barang atau jasa.
(Mankiw 2006)
Eksternalitas Eksternalitas adalah dampak dari tindakan-
tindakan seseorang terhadap orang-orang
disekelilingnya.
(Mankiw 2006)
Ekskludabilitas Ekskludabilitas adalah sifat suatu barang
yang dapat mencegah seseorang untuk
mendapatkannya.
(Mankiw 2006)
3
Bersaing (Rivalness)
Bersaing adalah sifat suatu barang dimana
pemanfaatannya oleh seseorang akan
mengurangi kesempatan bagi orang lain untuk
memanfaatkannya juga.
(Mankiw 2006)
Barang Publik Barang publik adalah barang-barang yang
tidak memiliki sifat ekskludabilitas. Contoh
untuk barang publik adalah pertahanan nasional.
(Mankiw 2006)
Barang Swasta
Barang swasta adalah barang-barang yang
memiliki sifat ekskludabilitas dan bersaing.
Contoh untuk barang swasta adalah peralatan
elektronik.
(Mankiw 2006)
Sumber Daya Milik Bersama Sember daya milik bersama adalah barang
barang yang memiliki sifat bersaing, namum
tidak memiliki sifat eksludabilitas. Contoh
barang sumber daya milik bersama adalah
ikan-ikan di laut.
(Mankiw 2006)
Variabel Endogen
Variabel endogen adalah variabel yang
sifat-sifatnya diterangkan dalam teori, di mana
nilai variabel endogen ditentukan oleh simulasi model tersebut.
(Mankiw 2003)
Variabel Eksogen
Variabel eksogen adalah variabel yang
dianggap oleh model sudah ditentukan
(given). Nilai variabel eksogen ditentukan di
luar model atau independen dari solusi model.
(Mankiw 2003)
Model Pertumbuhan tanpa Perkembangan
Teknologi Fungsi produksi pada model ini secara
umum ditulis sebagai berikut :
.
Nilai dan masing-masing adalah elastisitas pendapatan terhadap modal dan
tenga kerja.
(Mankiw 2003)
Model Pertumbuhan dengan
Perkembangan Teknologi
Fungsi produksi pada model ini secara
umum ditulis sebagi berikut:
.
Nilai dan masing masing adalah
elastisitas terhadap modal dan tenaga kerja,
serta adalah parameter perkembangan
teknologi.
(Mankiw 2003)
2.2 Definisi Istilah Matematis
Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa
istilah matematis yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
Definisi Himpunan Konveks
Himpunan dikatakan himpunan
konveks jika dan hanya jika untuk setiap
dan di , maka ruas garis yang
menghubungkan dan juga terletak di Dengan kata lain himpunan dikatakan himpunan himpunan konveks jika dan hanya
jika untuk setiap dan di dan untuk setiap
dengan , maka vektor juga terletak di .
(Peressini et al. 1988)
Definisi Fungsi Konkaf dan Konkaf
Sempurna
Misalkan adalah fungsi bernilai real
yang terdefinisi pada himpunan konveks di
, maka:
1. Fungsi dikatakan konkaf di jika
Untuk setiap x, y di dan untuk setiap
dengan .
2. Fungsi dikatakan konkaf sempurna di
jika:
Untuk setiap x, y di dan untuk setiap
dengan .
(Peressini et al. 1988)
Turunan
Turunan digunakan untuk mengukur
tingkat perubahan sesaat variabel tak bebas
jika terjadi perubahan yang sangat kecil dalam
variabel bebas. Turunan fungsi pada
bilangan dinyatakan dengan adalah:
,
Jika limit ada.
4
Jika , maka dan
mendekati 0 jika dan hanya jika
mendekati . Sehingga dapat ditulis:
,
Jika limit ada.
(Stewart 1998)
Prinsip Maksimum dan Minimum Fungsi
Penerapan dari turunan kedua salah
satunya adalah dengan menguji nilai
maksimum dan minimum (terkait
kecekungan). Dalam kalkulus dikenal dengan
Uji Turunan Kedua. Andaikan kontinu di sekitar, maka:
a) Jika dan , maka
mempunyai nilai minimum lokal pada .
b) Jika dan , maka
mempunyai nilai maksimum lokal pada . (Stewart 1998)
Kemonotonan Fungsi
Andaikan fungsi terdefinisi pada selang
(terbuka, tertutup, atau bukan keduanya).
Dikatakan bahwa:
i. adalah naik pada jika untuk setiap
pasang bilangan dan dalam
ii. adalah turun pada jika untuk setiap
pasang bilangan dan dalam
iii. monoton murni pada jika ia naik pada
atau turun pada . (Purcell &Varberg 1999)
5
III. PEMBAHASAN
3.1 Siklus Kehidupan Individu
Karya ilmiah ini menggunakan model
sederhana dari akumulasi modal sebagai
kerangka dasarnya, dengan pengeluaran pemerintah dimasukkan ke dalam fungsi
produksi untuk menghasilkan output akhir.
Dengan mempertimbangkan model
overlapping generation, diasumsikan setiap
individu hanya hidup selama dua periode.
Setiap individu menggunakan dua periode
tersebut untuk memenuhi kebutuhan
hidupnya, individu bekerja dan menabung
pada periode pertama dan pensiun pada
periode kedua. Tabungan dari periode pertama
digunakan untuk pembayaran pengeluaran pada periode kedua. Setiap individu dilahirkan
pada waktu ke- , 0, 1, 2, dan seterusnya.
Semua individu memiliki perlakuan dan
mendapatkan hak yang sama. Kelompok
individu yang lahir pada waktu ke-t disebut
sebagai generasi ke- , di mana ukuran
generasi dinormalkan dalam sebuah satuan.
Individu yang lahir pada generasi ke- disebut
muda pada periode dan disebut tua pada
periode .
Setiap individu memaksimumkan utilitas
waktu hidupnya dengan bergantung pada
pemenuhan kebutuhan dalam dua periode
kehidupan tersebut. Utilitas waktu hidup
setiap individu dinyatakan sebagai berikut:
, (3.1)
dengan t
jc adalah konsumsi dari individu
yang lahir di periode t pada periode ke- , dengan dan sebagai diskonto waktu.
Individu dari awal generasi tua diberikan
modal fisik sebesar unit. Individu-individu
dalam generasi berikutnya diberi waktu luang
di masa muda dan diberikan unit modal
manusia dan ditetapkan sebagai kondisi
awal dari modal manusia. Modal manusia
diakumulasikan sesuai dengan fungsi produksi sebagai berikut:
. (3.2)
Pengeluaran publik untuk pendidikan pada
periode dinotasikan dengan . Salah
satu cara untuk mengilustrasikan pemberian
modal manusia adalah pembelajaran terhadap
individu pada awal periode pertama sebelum
individu tersebut bekerja. Pembelajaran dalam contoh yang nyata ialah pembelajaran yang
terjadi pada sekolah formal. Selama proses
pembelajaran, individu mengakumulasi modal
manusia sesuai dengan teknologi
pembelajaran seperti yang diformulasikan pada persamaan (3.2). Pada persamaan ini
waktu yang tersedia intuk belajar dialokasikan
secara inelastis. Persediaan modal manusia
dari orang tua yang bersangkutan dinotasikan
dengan dan dapat juga diartikan
sebagai kualitas sekolah umum.
Satu unit individu merupakan satu unit
tenaga kerja yang menerima upah sebesar ,
serta tabungan yang disimpan oleh tiap
individu pada periode ke- sebesar .
Kendala yang dihadapi oleh perwakilan
individu muda dari generasi ke- adalah
sebagai berikut:
{
(3.3)
Tingkat suku bunga nyata dari periode ke- sampai sebesar , serta tingkat pajak
sebesar . Satu unit pekerja secara inelastis
disediakan oleh setiap individu muda dan
diasumsikan tidak ada individu tua yang
menabungkan uangnya. Kendala yang harus diselesaikan oleh
individu muda adalah memaksimumkan
tingkat utilitas dengan kendala (3.3).
Berdasarkan kendala-kendala yang ada, dapat
dijelaskan bahwa konsumi dan tabungan pada
periode ke- tidak lebih besar dari upah yang
didapatkan setelah dikenakan dengan pajak.
Upah yang didapatkan pada periode ke- sangat mempengaruhi besarnya konsumsi dan
tabungan setiap individu pada peridode ke- . Upah yang diterima pada periode ke- juga
mempengaruhi besarnya konsumsi pada
periode , hal ini dikarenakan tingkat
konsumsi pada periode sangat
bergantung oleh tingkat suku bunga dan
besarnya tabungan pada periode ke- yang
telah dikenakan pajak.
3.2 Pertumbuhan Ekonomi
Fungsi produksi menggambarkan
hubungan antara input yang meliputi modal,
tenaga kerja, dan teknologi untuk menentukan
output yang diproduksi dalam perekonomian.
Setiap perusahaan menghasilkan output
pada waktu , dengan output perusahaan
dinyatakan dengan persamaan berikut:
6
{
(3.4)
Parameter pertumbuhan teknologi dinotasikan
dengan , adalah jumlah modal yang
dipinjam oleh perusahaan atau dapat
dikatakan juga sebagai modal swasta. Jumlah
input pekerja efektif sebesar dan adalah persediaan agregrat dari modal publik
yang tersedia untuk semua perusahaan pada
waktu ke- . Faktor publik adalah input eksternal
bersama untuk setiap fungsi produksi
perusahaan, dengan adalah barang publik
murni. Pada model perekonomian ini ada
peluang terjadinya efek skala yang disebabkan
oleh modal publik yang bersifat tidak bersaing. Pendapatan dikenakan pajak pada
tingkat yang seragam untuk membiayai
investasi publik pada infrastruktur dan
pendidikan. Kendala perusahaan bersifat statis
di mana setiap perusahaan menyewa modal
dan mempekerjakan pekerja efektif untuk
memaksimumkan laba. Fungsi laba
direpresentasikan oleh persamaan berikut:
.
(3.5)
Tingkat sewa modal dinotasikan dengan , merupakan elastisitas modal publik, dan
adalah elastisitas modal swasta. Persamaan ini
menunjukkan tingkat pengembalian konstan
pada faktor swasta sehingga tidak ada
keuntungan dalam keseimbangan.
Modal swasta diasumsikan terdepresiasi
pada tingkat dan modal publik
terdepresiasi pada tingkat , sehingga
akumulasi modal publik digambarkan oleh persamaan:
. (3.6)
Investasi publik pada periode ke- dinotasikan
dengan . Anggaran pemerintah diasumsikan
juga dalam keadaan seimbang.
Kondisi awal dari modal swasta, modal
manusia dan modal publik telah ditetapkan
sebelumnya yaitu sebesar , , dan , di
mana keseimbangan untuk ekonomi adalah rangkaian dari alokasi
{
} dan harga dari
{ }
sehingga,
i. dan ditetapkan, dengan alokasi
digunakan untuk menyelesaikan
kendala individu muda generasi ke- .
ii. dan telah ditetapkan, dengan alokasi digunakan untuk
memaksimumkan laba perusahaan dengan
kendala teknologi produksi.
iii. dan .
iv. .
v. .
vi. dan
berkembang sesuai dengan persamaan
(3.1).
Poin i sampai poin iv merupakan asumsi dasar. Pada poin iii diasumsikan bahwa
besarnya modal yang dipinjam perusahaan
pada periode sama dengan tabungan
dari individu dari generasi ke- dan
diasumsikan jumlah pekerja yang dikerjakan
pada periode ke- adalah satu. Pada poin iv
diasumsikan tingkat suku bunga pada periode
ke- mempunyai nilai yang sama dengan
selisih dari tingkat peminjaman modal dengan tingkat modal pinjaman yang terdepresiasi.
Poin v menggambarkan bahwa anggaran
yang berimbang, di mana total investasi
infrastruktur dan pengeluaran pemerintah
untuk pendidikan sama dengan besarnya pajak
terhadap jumlah upah yang diterima individu
dengan besarnya modal pinjaman yang
dikenakan tingkat bunga. Hal ini dapat
dijelaskan bahwa tingkat pajak berbanding
lurus dengan besarnya pengeluaran
pemerintah untuk investasi publik pada infrastruktur dan pendidikan, semakin besar
tingkat pajak yang ditetapkan maka semakin
besar juga biaya investasi yang dikelurkan
pemerintah begitu pula sebaliknya.
Poin vi menjelaskan evolusi dari modal
publik dan modal manusia. Setiap anggota
awal generasi tua diasumsikan menghabiskan
semua kekayaannya dan diasumsikan tidak
ada individu dari generasi tua yang menabung.
Poin vi mengasumsikan, bahwa besarnya
modal publik pada periode merupakan akumulasi dari investasi publik oleh
pemerintah dan modal publik pada periode ke-
yang terdepresiasi pada tingkat .
3.3 Investasi pada Infrastruktur
Ketersediaan infrastruktur dan
pertumbuhan ekonomi terkait sangat erat.
Pembangunan infrastruktur diyakini mampu
menggerakkan sektor riil, menyerap tenaga
kerja, meningkatkan konsumsi masyarakat
dan pemerintah. Infrastruktur merupakan salah satu faktor produksi yang dapat
meningkatkan kegiatan produksi dan
pertumbuhan ekonomi jangka panjang.
Mengingat begitu pentingnya keberadaan
infrastruktur, sudah sewajarnya jika investasi
7
pemerintah dalam infrastruktur mendapatkan
prioritas dalam pembangunan nasional.
Untuk mempelajari pengaruh investasi
infrastruktur terhadap pertumbuhan jangka
panjang, teknologi pembelajaran diasumsikan
yang berarti bahwa hibah
modal manusia akan tetap sama pada setiap
periode. Pada versi diasumsikan juga
untuk semua , sehingga penerimaan pajak hanya digunakan untuk membiayai investasi
publik pada infrastruktur. Pertumbuhan jangka
panjang dalam model ini bergantung terhadap
pengembalian faktor yang bersifat
augmentable seperti modal publik ) dan
modal swasta ( ).
Fungsi utilitas pada persamaan (3.1) dapat
ditulis kembali dengan mensubsitusi kendala
(3.3), sehingga didapatkan fungsi utilitas sebagai berikut:
[ ]
. (3.7)
Fungsi utilitas diasumsikan kontinu, maka
turunan pertama fungsi utilitas terhadap
adalah sebagai berikut:
[ ]
Untuk memaksimumkan utilitas individu
muda pada generasi ditetapkan
,
sehingga didapatkan:
. (3.8)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.8)
merupakan tabungan yang memaksimumkan
fungsi utilitas. Penyelesaian persamaan (3.8)
dan uraian turunan kedua terhadap
dapat dilihat pada Lampiran 1.
Laba perusahaan dapat mencapai
maksimum jika perusahaan memberikan upah dan menetapkan tingkat modal swasta pada
proporsi yang tepat. Besarnya upah yang
dapat memaksimumkan laba perusahaan dapat
ditentukan dengan melihat turunan pertama
dan turunan kedua fungsi laba perusahaan
terhadap . Turunan pertama fungsi laba
perusahaan terhadap adalah sebagai
berikut:
.
Untuk memaksimumkan laba perusahan pada
periode ke- ditetapkan
, maka
didapatkan:
. (3.9)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.9)
merupakan besarnya upah yang dapat
memaksimumkan laba perusahaan.
Penyelesaian persamaan (3.9) dan uraian
turunan kedua terhadap dapat dilihat
pada Lampiran 2.
Besarnya tingkat modal pinjaman yang
dapat memaksimumkan laba perusahaan dapat
ditentukan dengan melihat turunan pertama
fungsi laba perusahaan ( ) terhadap modal
swasta . Turunan pertama fungsi laba
perusahaan ( ) terhadap modal swasta adalah sebagai berikut:
.
Untuk memaksimumkan laba perusahan pada
periode ke- ditetapkan
, maka
didapatkan:
. (3.10)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.10)
merupakan besarnya tingkat modal swasta
yang dapat memaksimumkan laba perusahaan.
Penyelesaian persamaan (3.10) dan uraian
turunan kedua terhadap dapat dilihat
pada Lampiran 3.
Setiap individu dari awal generasi
diasumsikan memiliki modal swasta sebesar
dan total modal pada periode sama
dengan tabungan saat periode ke- . Modal
swasta pada periode adalah sebagai
berikut:
. (3.11)
Penyelesaian persamaan (3.11) dapat dilihat
pada Lampiran 4.
Kondisi awal dari modal publik ditetapkan
sebesar , hibah modal manusia akan tetap
sama pada setiap periode dan penerimaan
pajak hanya digunakan untuk membiayai
investasi publik pada infrastruktur. Tingkat
8
depresiasi pada modal publik diasumsikan
dan tingkat depresiasi pada modal
swasta , maka didapatkan modal publik
pada periode adalah sebagai berikut:
. (3.12)
Penyelesaian persamaan (3.12) dapat dilihat pada Lampiran 5.
Rasio dari modal publik dengan modal
swasta didapatkan dengan membagi
persamaan (3.12) dengan persamaan (3.11),
sehingga rasio modal publik dengan modal
swasta adalah sebagai berikut :
. (3.13)
Penyelesaian persamaan (3.13) terdapat pada
Lampiran 6. Pada model ini tingkat pertumbuhan
ekonomi dinotasikan dengan dan
pertumbuhan ekonomi difokuskan pada jalur
pertumbuhan yang seimbang. Dalam model
ini diasumsikan serta konsumsi,
modal swasta, output, dan modal publik
semuanya akan tumbuh pada tingkat
pertumbuhan yang sama, sehingga untuk
memperoleh tingkat pertumbuhan ekonomi
dapat dengan melihat tingkat pertumbuhan salah satunya saja. Dalam hal ini dipilih
modal swasta untuk melihat tingkat
pertumbuhan ekonomi, diketahui bahwa
pertumbuhan modal swasta ialah sebagai
berikut:
.
Oleh karena itu tingkat pertumbuhan ekonomi
adalah sebagai berikut:
(
),
. (3.14)
Penyelesaian persamaan (3.14) dapat dilihat
pada Lampiran 7.
Besarnya tingkat pajak yang
memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi jangka panjang dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama tingkat
pertumbuhan ekonomi ( terhadap pajak ( ).
Turunan pertama tingkat pertumbuhan
ekonomi terhadap pajak adalah sebagai
berikut:
Untuk memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi ditetapkan
, sehingga
didapatkan
. (3.15)
Penyelesaian persamaan (3.15) dapat dilihat
pada Lampiran 8. Tingkat pertumbuhan
ekonomi berbentuk konkaf di , sehingga
merupakan besarnya tingkat pajak yang
memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi.
Pajak pendapatan tidak hanya
memengaruhi insentif swasta namun juga
meningkatkan investasi dalam modal publik
yang mengarah ke output yang lebih tinggi. Dinamika ekonomi ini menghasilkan
pertumbuhan konstan pada periode awal,
kemudian dihasilkan pertumbuhan ekonomi
yang berkelanjutan di bawah hasil konstan
pada periode berikutnya. Jika parameter dan
preferensi teknologi berbeda-beda di berbagai
negara, maka tingkat pertumbuhan jangka
panjang di seluruh negara biasanya akan
berbeda. Jika parameter yang mendasari sama
di seluruh negara, maka masih memungkinkan
terdapat perbedaan tingkat pendapatan per kapita secara teoritis, hal ini dikarenakan pada
perbedaan kondisi awal.
3.4 Investasi pada Pendidikan
Investasi pada pendidikan sama
pentingnya dengan investasi pada
infrastruktur. Investasi pada pendidikan
ditujukkan untuk meningkatkan modal
manusia. Sejumlah pakar ekonomi
berpendapat bahwa modal manusia sangat
penting bagi pertumbuhan ekonomi, karena
modal manusia membawa eksternalitas positif. Di negara-negara berkembang yang
langka akan modal manusia, jurang antara
pekerja berpendidikan dengan pekerja yang
tidak berpendidikan terlihat jelas. Salah satu
cara untuk meningkatkan standar kehidupan
adalah dengan menyediakan sekolah-sekolah
yang baik dan mendorong masyarakat terus
belajar sehingga diharapkan tercipta sumber
daya manusia yang berkualitas.
Pada bagian ini akan dibahas satu
versi model dimana pengeluaran pemerintah ditujukan hanya pada pendidikan. Teknologi
pembelajaran diformulasikan sesuai dengan
persamaan sebagai berikut:
9
,
, . (3.16)
Parameter teknologi pembelajaran dinotasikan
dengan , adalah elastisitas modal manusia,
dan diasumsikan dan untuk
semua . Pertumbuhan jangka panjang
merupakan akibat dari modal swasta maupun
modal manusia yang bersifat augmentable.
Fungsi utilitas dapat ditulis kembali
berdasarkan persamaan (3.7) sebagai berikut:
.
Fungsi utilitas diasumsikan kontinu, maka
turunan pertama fungsi utilitas terhadap
adalah sebagai berikut:
[ ]
Untuk memaksimumkan utilitas individu
muda pada generasi ke- , ditetapkan
,
sehingga didapatkan:
. (3.17)
Turunan kedua terhadap ,
,
sehingga persamaan (3.17) merupakan
tabungan yang memaksimumkan fungsi
utilitas. Penyelesaian persamaan (3.17) dan
uraian turunan kedua terhadap dapat
dilihat pada Lampiran 9.
Laba perusahan mencapai maksimum jika
besar upah yang diberikan dan tingkat modal
swasta ditetapkan pada proporsi yang
proporsional. Besarnya upah yang dapat
memaksimumkan fungsi laba perusahaan
dapat ditentukan dengan melihat turunan pertama dan turunan kedua fungsi laba
perusahaan terhadap . Turunan pertama
fungsi laba perusahaan terhadap adalah
sebagai berikut:
.
Untuk memaksimumkan laba perusahan pada
periode ke- ditetapkan
, maka
didapatkan:
. (3.18)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.18)
merupakan besarnya upah yang dapat
memaksimumkan laba perusahaan.
Penyelesaian persamaan (3.18) dan uraian
turunan kedua terhadap dapat dilihat
pada Lampiran 10.
Besarnya tingkat modal pinjaman yang
dapat memaksimumkan laba perusahaan dapat
ditentukan dengan melihat turunan pertama
dan turunan kedua fungsi laba perusahaan
terhadap modal swasta . Turunan pertama
fungsi laba perusahaan ( ) terhadap modal
swasta adalah sebagai berikut:
.
Untuk memaksimumkan laba perusahan pada
periode ke- ditetapkan
, maka
didapatkan:
. (3.19)
Turunan kedua terhadap menghasilkan
, sehingga persamaan (3.19)
merupakan besarnya tingkat modal swasta
yang dapat memaksimumkan laba perusahaan.
Penyelesaian persamaan (3.19) dan uraian
turunan kedua terhadap dapat dilihat pada Lampiran 11.
Setiap individu dari awal generasi
diasumsikan memiliki modal swasta sebesar
. Total modal pada periode sama
dengan tabungan saat periode seperti yang
ditetapapkan pada asumsi poin iii bahwa:
.
Modal swasta pada periode dapat ditulis sebagai berikut:
. (3.20)
Uraian persamaan (3.20) terdapat pada
Lampiran 12.
Pengeluaran pemerintah diasumsikan
hanya pada pendidikan, dengan ,
untuk semua dan tingkat depresiasi pada
modal swasta ialah . Pengeluaran
publik untuk pendidikan pada periode adalah
sebagai berikut :
. (3.21)
10
Uraian persamaan (3.21) terdapat pada
Lampiran 13.
Oleh karena itu, dengan mensubsitusikan
persamaan (3.21) kedalam persamaan
didapatkan akumulasi
modal manusia pada periode sebagai
berikut:
. (3.22)
Uraian persamaan (3.22) terdapat pada
Lampiran 14.
Rasio modal manusia pada modal
swasta dikembangkan berdasarkan pada
persamaan sebagai berikut:
(
)
. (3.23)
Uraian persamaan (3.23) terdapat pada
Lampiran 15.
Rasio modal manusia dengan modal swasta konvergen secara monoton pada
keadaan steady state yang unik dengan nilai
sebesar . Agar persamaan ini berada dalam
keadaan steady state, maka
.
Subsitusi kondisi steady state tersebut ke
dalam persamaan (3.23) sehingga didapatkan
sebagai berikut:
.
Persamaan tersebut memiliki solusi sebagai
berikut:
(
)
. (3.24)
Uraian persamaan (3.24) terdapat pada
Lampiran 16.
Seperti yang dijelaskan sebelumnya,
bahwa konsumsi, modal swasta, modal
manusia, output, dan pengeluaran publik
untuk pendidikan semua akan berkembang
pada tingkat pertumbuhan yang sama,
sehingga untuk memperoleh tingkat
pertumbuhan ekonomi dapat dengan melihat
tingkat pertumbuhan salah satunya saja.
Dalam hal ini dipilih modal swasta untuk
melihat tingkat pertumbuhan ekonomi,
diketahui bahwa pertumbuhan modal swasta
ialah sebagai berikut:
.
Sehingga tingkat pertumbuhan ekonomi adalah sebagai berikut:
.
(3.25)
Uraian persamaan (3.25) terdapat pada
Lampiran 17. Dengan mensubstitusikan dari persamaan (3.24) ke dalam persamaan
(3.25), dapat ditentukan tingkat pajak yang
memaksimumkan pertumbuhan ekonomi,
yaitu dengan melihat turunan pertama tingkat
pertumbuhan ekonomi terhadap tingkat pajak
. Turunan pertama tingkat pertumbuhan
ekonomi terhadap tingkat pajak adalah
sebagai berikut:
.
Untuk memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi ditetapkan
, sehingga
didapatkan:
. (3.26)
Penyelesaian persamaan (3.26) dapat dilihat pada Lampiran 18. Tingkat pertumbuhan
ekonomi berbentuk konkaf di , sehingga
merupakan besarnya tingkat pajak
yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi dengan merupakan elastisitas
output modal swasta.
Dinamika dalam perekonomian ini tidak
konvergen ke tingkat steady state melainkan
ke jalur pertumbuhan yang berkelanjutan
seperti dengan literatur pertumbuhan endogen.
11
IV. SIMULASI
Pada bagian ini akan dibahas simulasi
model pertumbuhan ekonomi jangka panjang
yang dipengaruhi oleh investasi pemerintah
pada infrastruktur dan pengeluaran pemerintah pada pendidikan.
4.1 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka
Panjang yang Dipengaruhi oleh
Investasi pada Infrastrukstur
Solusi dari persamaan (3.14) yang
diperoleh, dapat dituliskan sebagai berikut:
.
Tingkat pertumbuhan ekonomi dalam model
ini dipengaruhi oleh tingkat pajak ( ),
elastisitas modal publik ( ), diskonto waktu
( ), dan tingkat perkembangan teknologi ( ).
Simulasi yang pertama ialah untuk melihat
pengaruh pajak terhadap pertumbuhan
ekonomi dalam persamaan (3.14), di mana
besarnya tingkat pajak berada pada selang
. Parameter-parameter lain yang
digunakan dalam model ini telah ditentukan
sebelumnya, yaitu , dan
menggunakan tiga paremeter yang berbeda
yaitu , , dan . Hasil
dari simulasi pertama direpresentasikan pada
Gambar 1.
Gambar 1 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi olehtingkat pajak ( )
dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda-beda.
Gambar 1 menunjukkan bahwa tingkat
pertumbuhan ekonomi terhadap pajak
memiliki kurva konkaf. Tingkat pertumbuhan ekonomi akan meningkat sampai tingkat pajak
tertentu dan kemudian akan turun kembali.
Pada parameter , kurva tingkat
pertumbuhan ekonomi condong kearah kiri,
meningkat ketika . Tingkat
pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum
ketika nilai pajak ( ) sebesar 25% dengan
tingkat pertumbuhan ekonomi parameter
sebesar 0.67, kemudian tingkat pertumbuhan
ekonomi turun ketika . Pada
parameter , tingkat pertumbuhan
ekonomi mencapai maksimum ketika nilai
pajak ) sebesar 50% dengan tingkat
pertumbuhan ekonomi sebesar 0.97. Kurva
yang dihasilkan berbentuk parabolik
sempurna dengan puncak di tengah. Tingkat
pertumbuhan ekonomi meningkat ketika
dan menurun ketika . Pada
parameter , kurva tingkat
pertumbuhan ekonomi meningkat pada saat
, setelah itu menurun saat . Kurva pertumbuhan ekonomi mencapai
maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 75%
dengan tingkat pertumbuhan ekonomi sebesar
1.30. Dari hasil diatas dapat dibuat beberapa
kesimpulan. Pertama, tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) dipengaruhi oleh elastisitas
modal publik ( . Semakin besar maka nilai
maksimum dari tingkat pertumbuhan ekonomi
( ) semakin besar pula. Kedua, tingkat pertumbuhan mencapai maksimum ketika
tingkat pajak ( sama dengan nilai elastisitas
modal publik ( , hal tersebut seperti yang
dinyatakan pada persamaan (3.19) bahwa
tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai
maksimum terjadi ketika .
Simulasi yang selanjutnya ialah untuk
melihat pengaruh diskonto waktu dan
perkembangan teknologi terhadap tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) dalam persamaan
(3.14). Untuk melihat pengaruh diskonto
𝜃
𝜃
𝜃
12
waktu , ditetapkan parameter-parameter
yang lain sebagai berikut: , ,
dan di mana diskonto waktu berada
pada selang Hasil dari simulasi
ini direpresentasikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Kurva pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu .
Simulasi selanjutnya ialah untuk mengetahui pengaruh perkembangan
teknologi terhadap tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) dalam persamaan (3.14).
Simulasi dapat dilakukan dengan menetapkan
parameter-parameter yang lain sebagai
berikut: , , dan di
mana 0 . Hasil dari simulasi ini
direpresentasikan pada Gambar 3.
Gambar 3 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap perkembangan teknologi .
Gambar 2 dan 3 menjelaskan bahwa
tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terus
meningkat seiring bertambahnya tingkat
diskonto waktu dan tingkat
perkembangan teknologi ( . Hal ini dapat
disimpulkan bahwa diskonto waktu dan
perkembangan teknologi berbanding lurus
dengan tingkat pertumbuhan ekonomi . Simulasi yang terakhir pada model ini
untuk melihat pengaruh investasi pemerintah
pada infrastruktur ( ) terhadap pertumbuhan
ekonomi jangka ( ). Diketahui bahwa
, Subsitusi persamaan
tersebut kedalam persamaan (3.14), maka
didapatkan persamaan tingkat pertumbuhan
ekonomi baru yaitu:
.
Dari persamaan baru tersebut dapat terlihat
pengaruh dari investasi infrastruktur ( )
terhadap pertumbuhan ekonomi jangka
panjang . Pada simulasi ini ditetapkan
parameter-parameter yang lain adalah sebagai
berikut: , , satuan
dan satuan, selain itu dalam simulasi
ini digunakan tiga parameter yang berbeda
yaitu , , dan . Hasil
dari simulasi tersebut direpresentasikan pada
Gambar 4.
13
Gambar 4 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi
infrastruktur ( dengan preferensi elastisitas modal publik yang berbeda.
Gambar 4 menujukkan bahwa tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap investasi
infrastuktur ( ) memiliki kurva konkaf, di
mana tingkat pertumbuhan ekonomi akan
meningkat sampai tingkat investasi tertentu
dan kemudian akan turun kembali. Pada
parameter , tingkat pertumbuhan
ekonomi mencapai maksimum ketika nilai
investasi ( ) sebesar 161.70 satuan dengan
tingkat pertumbuhan ekonomi sebesar 0.67.
Pada parameter , tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) mencapai maksimum ketika nilai
investasi ( ) sebesar 332.04 satuan dengan
tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar
0.97. Saat parameter , tingkat
pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum
ketika investasi ( ) sebesar 511.35 satuan
dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( )
sebesar 1.30.
Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( )
yang dipengaruhi oleh investasi infrastruktur
( ) yang ditampilkan pada Gambar 4
memiliki kemiripan pola yang dihasilkan oleh
kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang
dipengaruhi oleh tingkat pajak yang
ditampilkan pada Gambar 1. Kemiripan pola
tersebut dikarenakan besarnya investasi
infrastruktur sangat dipengaruhi oleh
tingkat pajak . Persamaan ini
menjelaskan bahwa besarnya investasi pada
infrastruktur bergantung pada besarnya
tingkat pajak yang ditetapkan. Semakin
besar tingkat pajak yang ditetapkan
pemerintah maka semakin besar pula investasi
pemerintah terhadap infrastruktur ( , begitu
pula dengan sebaliknya.
4.2 Model Pertumbuhan Ekonomi Jangka
Panjang yang Dipengaruhi oleh
Investasi pada Pendidikan Persamaan (3.25) yang diperoleh, dapat
dituliskan sebagai berikut:
)
[
].
Tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dalam
model ini dipengaruhi oleh tingkat pajak ( ) serta beberapa parameter lain seperti
elastisitas modal swasta ( ), diskonto waktu
( ), elastisitas modal manusia ( ), tingkat
perkembangan teknologi ( ), dan tingkat
teknologi pembelajaran ( ).
Simulasi yang pertama pada model ini
ialah untuk mengetahui pengaruh pajak terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( )
dalam persamaan (3.25), dengan parameter-
parameter yang lain telah ditentukan yaitu
, , , . Pada
simulasi ini digunakan tiga paremeter yang
berbeda yaitu , , dan
. Hasil dari simulasi tersebut
direpresentasikan pada Gambar 5.
𝜃
𝜃
𝜃
14
Gambar 5 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat pajak ( )
dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda.
Gambar 5 menujukkan bahwa tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap pajak
memiliki kurva konkaf. Tingkat pertumbuhan
ekonomi akan meningkat sampai tingkat pajak
( ) tertertu dan kemudian akan turun kembali.
Pada parameter , kurva tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) cenderung condong
ke arah kanan, meningkat ketika .
Tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai
maksimum ketika nilai pajak ( ) sebesar 75%,
kemudian turun ketika . Tingkat
maksimum pertumbuhan ekonomi ( ) yang
dihasilkan dengan menggunakan parameter
adalah sebesar 3.22. Pada parameter
, tingkat pertumbuhan ekonomi ( )
mencapai maksimum ketika nilai pajak ( )
sebesar 50% dengan tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) sebesar 2.90. Kurva yang
dihasilkan berbentuk parabolik dengan puncak
di tengah-tengah, di mana tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) meningkat ketika
dan menurun ketika . Saat
parameter , kurva tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) meningkat pada
saat setelah itu menurun saat
. Kurva mencapai maksimum ketika
nilai pajak ( ) sebesar 75% dengan tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 2.32. Dari hasil diatas diperoleh beberapa
kesimpulan. Pertama, tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) dipengaruhi oleh parameter ,
semakin besar parameter maka nilai
maksimum dari tingkat pertumbuhan ekonomi
( ) akan semakin kecil. Kedua, tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai
maksimum ketika tingkat pajak ( ) sama
dengan nilai , hal ini membenarkan
persamaan (3.26) yang menyatakan tingkat pertumbuhan ekonomi mencapai maksimum
ketika .
Simulasi yang selanjutnya ialah untuk
melihat pengaruh parameter diskonto waktu
( ), elastisitas modal manusia ( ), parameter
teknologi ( ), dan parameter teknologi
pembelajaran ( ) terhadap tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh pengeluaran pemerintah pada pendidikan.
Untuk mengetahui pengaruh , maka
ditetapkan parameter-parameter yang lain
sebagai berikut: , , ,
, dan di mana .
Persamaan (3.25) digunakan untuk
mendapatkan sebuah solusi. Solusi dari
persamaan tersebut direpresentasikan pada
Gambar 6. Selanjutnya simulasi pengaruh parameter
terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ).
Dengan menggunakan persamaan (3.33) dan
diasumsikan parameter-parameter yang lain
sebagai adalah berikut: , ,
, , dan , di mana
, sehingga diperoleh sebuah solusi
yang ditampilkan pada Gambar 7.
𝛼
𝛼
𝛼
15
Gambar 6 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh diskonto waktu ).
Gambar 7 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh teknologi .
Untuk melihat pengaruh tingkat
perkembangan teknologi pembelajaran terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ),
digunakan persamaan (3.35) dan ditentukan
parameter-parameter yang lain sebagai
berikut: , , , ,
dan . Solusi yang
diperoleh ditampilkan pada Gambar 8.
Gambar 8 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh tingkat
perkembangan teknologi pembelajaran .
Pengaruh elastisitas modal manusia
terhadap tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) dapat dilihat pada gambar 9, di mana
ditetapkan parameter parameter yang lain
sebagai berikut: , , ,
dan .
.
16
Gambar 9 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) terhadap elastisitas modal manusia ( .
Gambar 6, 7, dan 8 menjelaskan bahwa
tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) pada model
ini terus meningkat. Dari hasil tersebut
disimpulkan bahwa diskonto waktu , teknologi pembelajaran dan teknologi berbanding lurus dengan tingkat pertumbuhan
ekonomi. Semakin besar parameter , , dan
maka tingkat pertumbuhan ekonomi akan
semakin besar, begitu pula dengan sebaliknya.
Sedangkan hal yang berbeda ditunjukan oleh
Gambar 9, di mana dalam gambar tersebut
menjelaskan bahwa tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) semakin kecil seiring dengan
membesarnya nilai elastisitas modal manusia
atau dapat dikatakan tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) berbanding terbalik dengan
elastisitas modal manusia . Simulasi yang terakhir dalam model ini
ialah untuk melihat pengaruh investasi
pendidikan pada terhadap tingkat
pertumbuhan ekonomi jangka panjang.
Diketahui bahwa
, maka dengan mensubsitusikan persamaan tersebut
ke dalam persamaan (3.25) diperoleh
persamaan tingkat pertumbuhan ekonomi baru
sebagai berikut:
(
)
[
(
)
(
)].
Dengan demikian dapat terlihat pengaruh dari
investasi pendidikan terhadap
pertumbuhan ekonomi ( ). Untuk melihat
hubungan keduanya ditetapkan nilai
parameter yang lain yaitu sebagai berikut:
, , , ,
satuan dan satuan. Dengan
menggunakan tiga parameter yang berbeda
yaitu , , dan maka
diperoleh sebuah solusi, di mana solusi dari
persamaan tersebut direpresentasikan pada
Gambar 10.
Gambar 10 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi
pendidikan ) dengan preferensi elastisitas modal swasta yang berbeda.
𝛼
𝛼
𝛼
17
Gambar 10 menunjukkan bahwa tingkat
pertumbuhan ekonomi terhadap investasi
pendidikan memiliki kurva konkaf di
mana tingkat pertumbuhan akan meningkat
sampai tingkat investasi tertentu dan
kemudian akan turun kembali setelahnya.
Pada parameter , tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai
maksimum ketika nilai investasi sebesar 511.35 satuan dengan tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 3.22.
Pada parameter , tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai
maksimum ketika nilai investasi sebesar 332.04 satuan dengan tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) sebesar 2.90.
Pada parameter , tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) mencapai
maksimum ketika investasi sebesar
161.70 satuan dengan tingkat pertumbuhan
ekonomi sebesar 2.32. Kurva tingkat
pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi
oleh investasi infrastruktur yang ditampilkan
pada Gambar 10 memiliki kemiripan pola
dengan kurva tingkat pertumbuhan ekonomi
yang dipengaruhi oleh tingkat pajak yang
ditampilkan Gambar 5. Hal ini dikarenakan
persamaan
yang menunjukkan bahwa besarnya pengeluaran
pemerintah pada investasi pendidikan sangat dipengaruhi oleh tingkat pajak , di
mana besarnya investasi pada pendidikan
berbanding lurus terhadap besarnya
tingkat pajak .
Untuk membandingkan kedua model
tersebut, dilakukan simulasi lebih lanjut yaitu dengan memisalkan parameter yang
digunakan sebagai berikut , ,
, , , ,
satuan satuan dan satuan.
Dengan menggunakan persamaan (3.14)
untuk model pertama dan persamaan (3.25)
untuk model kedua, diperoleh sebuah solusi
yang direpresentasikan pada Gambar 11.
.
Gambar 11 Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi
infrastruktur ( ) dan investasi pendidikan ).
Gambar 11 menujukkan bahwa investasi
pada pendidikan ) memiliki output
tingkat pertumbuhan ekonomi jangka
panjang ( ) yang lebih besar dibandingkan
dengan investasi pada infrastruktur ( )
untuk semua investasi yang ditanamkan.
Kurva tingkat pertumbuhan ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi pendidikan
mencapai maksimum ketika investasi pada
pendidikan ) sebesar 332.04 satuan
dengan tingkat pertumbuhan ekonomi ( )
sebesar 2.90. Kurva tingkat pertumbuhan
ekonomi ( ) yang dipengaruhi oleh investasi
infrastruktur mencapai maksimum ketika
investasi pada infrastruktur ( ) sebesar
332.04 satuan dengan tingkat pertumbuhan
( ) sebesar 0.97.
Pada kedua model tersebut dapat dilihat
bahwa semakin besar investasi yang
ditanamkan pemerintah terhadap
infrastruktur maupun pada pendidikan
belum tentu akan menghasilkan tingkat
pertumbuhan ekonomi yang besar, begitu juga dengan sebaliknya. Untuk mendapatkan
tingkat pertumbuhan ekonomi yang
maksimum dibutuhkan investasi pada
proporsi yang tepat dengan terlebih dahulu
mempertimbangkan semua aspek yang
memengaruhi tingkat pertumbuhan ekonomi
jangka panjang ( ).
Investasi Infrastruktur
Investasi Pendidikan
18
V. KESIMPULAN
Dalam karya ilmiah ini dibahas tentang
pengaruh pengeluaran pemerintah pada
investasi infrastruktur ( ) dan pendidikan
) terhadap pertumbuhan ekonomi jangka
panjang ( ). Dari pembahasan yang telah
dilakukan diperoleh beberapa kesimpulan:
1. Pada model tingkat pertumbuhan ekonomi
yang dipengaruhi oleh investasi
pemerintah pada infrastruktur,
pertumbuhan ekonomi dipengaruhi oleh
beberapa parameter yaitu tingkat pajak ),
elastisitas output terhadap modal ( ),
elastisitas utilitas ( ) dan tingkat teknologi
( ). Semakin besar parameter dan
maka semakin besar tingkat pertumbuhan
ekonomi serta semakin besar akan
menyebabkan tingkat maksimum
pertumbuhan ekonomi semakin besar.
2. Pada model pertumbuhan ekonomi yang
dipengaruhi oleh investasi pemerintah
pada pendidikan, pertumbuhan ekonomi
dipengaruhi oleh beberapa parameter yaitu
tingkat pajak ( ), elastisitas output
terhadap modal ( ), elastisitas output
terhadap teknologi pembelajaran ( ),
diskonto waktu fungsi utilitas ( ), tingkat
teknologi ( ), teknologi pembelajaran ( .
Semakin besar parameter , , dan
maka semakin besar tingkat pertumbuhan
ekonomi, tetapi semakin besar parameter
akan membuat tingkat pertumbuhan
ekonomi semakin rendah. Selain itu,
penggunaan parameter yang semakin besar akan menyebabkan tingkat
maksimum pertumbuhan ekonomi
semakin rendah.
3. Hasil perbandingan simulasi kedua model
tersebut dengan menggunakan parameter
, , , , , , satuan
satuan dan satuan,
dapat disimpulkan bahwa investasi pada pendidikan memiliki output tingkat
pertumbuhan ekonomi jangka panjang
yang lebih besar bila dibandingkan dengan
investasi pada infrastruktur.
19
DAFTAR PUSTAKA
Glomm G, Ravikumar B. 1997. Productive
Government Expenditure and Long-Run
Growth. Journal Of Economic Dynamics
and Control 21,183-204.
Kunarjo. 2003. Ekonomi, Keuangan, dan
Pembangunan. Universitas Indonesia (UI-
Press), Jakarta.
Mankiw NG. 2003. Teori Makroekonomi. Edisi Kelima. I Nurmawan. Penerjemah;
WC Kristiaji. Editor. Erlangga, Jakarta.
Terjemahan dari: Macroeconomics 5th
Edition.
Mankiw NG. 2006. Pengantar Ekonomi Jilid
2. H Munandar, E Salim. Penerjemah; Y
Sumiharti, WC Kristiaji. Editor. Erlangga,
Jakarta. Terjemahan dari: Principles of
Economics.
Nicholson W. 2002. Mikroekonomi
Intermediate. Edisi kedelapan. Mahendra
IB, Aziz A, Penerjemah. Jakarta.
Peressini AL, Sullivan FE, Uhl JJ. 1988. The
Mathematics of Nonlinear Programming.
Springer-Verlag, New York.
Purcell EJ, Varberg D. 1999. Kalkulus dan
Geometri Analisis. Edisi ke-5. Terjemahan
I Nyoman Susila dan Kawan-kawan.
Erlangga Jakarta.
Romer D. 1996. Advance Macroeconomics. McGraw Hill, New York.
Stewart RM. 1998. Kalkulus Jilid 1. Edisi
Keempat. IN Susila, H Gunawan.
Penerjemah; N Mahanani, W Hardani.
Editor. Erlangga, Jakarta. Terjemahan
dari: Calculus 4th Edition.
Sukirno S. 2004. Teori Pengantar
Makroekonomi. PT Raja Grafindo Persada,
Jakarta.
Zhang WB. 2006. Discrete Dynamical
Systems, Bifurcation and Chaos in
Economics. Elsevier, Amsterdam.
21
Lampiran 1 Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 1
Tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan
persamaan (3.8)
Fungsi utilitas
Dari persamaan (3.3) bahwa
dapat dibuat sehingga ,
(a)
Dan pesamaan
(b) Dengan mensubsitusi pertaksamaan (a) dan (b) kedalam fungsi utilitas, maka
[ ]
Turunan fungsi utilitas terhadap
[ ]
[ ]
Agar utilitas maksimum maka
, sehingga
[ ]
[
]
Karena maka
Uji turunan kedua fungsi utilitas terhadap
[ ]
Karena , maka
.
Berdasarkan uji turuna pertama dan kedua maka,
merupakan tabungan yang memaksimumkan fungsi utilitas.
Lampiran 2 Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1
Upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan
persamaan (3.9 ).
Fungsi keuntungan perusahan
Turunan fungsi keuntungan perusahaan terhadap
22
Agar keuntungan perusahann maksimum maka
, sehingga
Karena dan , maka
Uji turunan kedua
Karena , , ,
, dan maka
Sehingga,
merupakan upah pekerja yang memaksimumkan laba perusahaan.
Lampiran 3 Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba
perusahaan pada kasus 1
tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 1 didapatkan dengan
menyelesaikan persamaan (3.10).
Fungsi keuntungan perusahan
Turunan fungsi keuntungan perusahaan terhadap
Agar keuntungan perusahann maksimum maka
, sehingga
Karena , dan ,maka
Uji turunan kedua
Karena , , ,
, dan maka
Sehingga,
merupakan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba
perusahaan.
Lampiran 4 Mendapatkan modal swasta pada kasus 1
Modal swasta pada kasus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.11).
Asumsi poin III, bahwa
, subsitusi persamaan (3.8),maka
23
Dengan mensubsitusi persamaan (3.9) maka
Lampiran 5 Mendapatkan modal publik
Modal publik didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.12).
Diketahui bahwa dari asumsi poin VI
diasumsikan bahwa , maka
Dari asumsi poin IV
diasumsikan maka sehingga
maka,
Dengan mensubsitusi persmaan (3.11) dan dari asumi poin IV maka
[
]
Karena dan ,maka
[
] Subsitusi persamaan 3.13
[
]
[
]
[ ]
Lampiran 6 Mendapatkan rasio modal publik dengan modal swasta
Rasio modal publik dengan modal swasta didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.13).
dan
,maka
Lampiran 7 Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 1
Tingkat pertumbuhan ekonomi pada kausus 1 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.14).
Diketahui tingkat pertumbuhan adalah ,maka
24
Dengan mensubsitusikan persamaan (3.14)
Diasumsikan ,maka atau
(
)
Karena rasio modal publik sama dengan rasio modal swasta sehingga
, maka
Subsitusi
, maka didapatkan
(
)
Diasumsikan , maka
(
)
[
]
Lampiran 8 Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi pada kasus 1
Tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 1 didapatkan
dengan menyelesaikan persamaan (3.15).
Diketahui tingkat pertumbuhan adalah ,maka
Turunan tingkat pertubuhan terhadap
25
Agar tingkat pertumbuhan maksimum maka
, sehingga
Lampiran 9 Mendapatkan tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 2
Tabungan yang memaksimumkan utilitas pada kasus 2 didapatkan dengan menyelesaikan
persamaan (3.17).
Fungsi utilitas
Dari pertaksamaan (3.3)
dapat dibuat sehingga ,
(a) Dan pesamaan
(b)
Dengan mensubsitusi pertaksamaan (a) dan (b) kedalam fungsi utilitas, maka
[ ]
Turunan persamaan utilitas tersebut terhadap
[ ]
[ ]
Agar utilitas maksimum maka
, sehingga
[ ]
[
]
Uji turunan kedua fungsi utilitas terhadap
[ ]
Karena , maka
.
Berdasarkan uji turuna pertama dan kedua maka,
merupakan tabungan yang memaksimumkan fungsi utilitas.
26
Lampiran 10 Mendapatkan upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2
Upah yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2 didapatkan dengan menyelesaikan
persamaan (3.18).
Fungsi keuntungan perusahan
Turunan fungsi keuntungan perusahaan terhadap
Agar laba perusahann maksimum maka
, sehingga
, dan , Maka
Uji turunan kedua
Karena , , ,
, dan maka
Sehingga,
merupakan upah pekerja yang memaksimumkan laba perusahaan.
Lampiran 11 Mendapatkan tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan
pada kasus 2
Tingkat modal swasta yang memaksimumkan laba perusahaan pada kasus 2 didapatkan dengan
menyelesaikan persamaan (3.19).
Fungsi keuntungan perusahan
Turunan fungsi keuntungan perusahaan terhadap
Agar keuntungan perusahann maksimum maka
, sehingga
dan , maka
Dengan mengalikan kedua ruas dengan sehingga
Uji turunan kedua
Karena , , ,
, dan maka
Sehingga,
merupakan tingkat modal swasta memaksimumkan laba
perusahaan.
27
Lampiran 12 Mendapatkan modal swasta pada kasus 2
Modal swasta pada kasus 2 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.20).
Asumsi pada poin III bahwa modal swasta pada sama dengan tabungan pada ,sehingga
,
subsitusi persamaan (3.17),maka
subsitusi persamaan (3.18), maka
Lampiran 13 Mendapatkan Investasi pada pendidikan
Investasi pada pendidikan didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.21).
Asumsi poin V, bahwa
, maka
subsitusi persamaan (3.25) dan asumsi poin IV, maka
[
]
, sehingga
[
]
Subsitusi persamaan (3.26),sehingga
[
]
[ ]
Lampiran 14 Mendapatkan modal manusia
Modal manusia didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.22).
Dari persamaan (3.16), bahwa
Subsitusi persamaan (3.21), maka
berdasarkan persamaan (3.2) maka sehingga didapatkan
28
Lampiran 15 Mendapatkan rasio modal manusia dengan modal swasta
Rasio modal manusia dengan modal swasta didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.23).
dan
, maka
(
)
Lampiran 16 Mendapatkan persamaan (3.24)
Rasio modal manusi dengan modal fisik
(
)
Kareana dalam keadaan steady state, maka
, maka
29
Lampiran 17 Mendapatkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 2
Tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 2 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan (3.25).
[ ]
Karena
sehingga
Lampiran 18 Mendapatkan tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan
ekonomi pada kasus 2
Tingkat pajak yang memaksimumkan tingkat pertumbuhan ekonomi pada kasus 2 didapatkan
dengan menyelesaikan persamaan (3.22).
[
]
Turunan tingkat pertubuhan terhadap
Agar tingkat pertumbuhan maksimum maka
, sehingga
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]