30

Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

  • Upload
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

������������ ���������������������� �������������������

!�" #$" %�"'&�()%+*,(.-/103254'687:9;0=<>7�?A@CBEDGF�HJILK�H8M�N)4'9O�68IQPSRG0UT+<>ILV=0�6WH�IQ7:F'XN)4'V=0�<>P'IYH8DZ[4GOW?\6]4\7:?'6^F�ME_`4'P'IL<'R$ab0=F�c,?�4'PdMN)4'9O�68IQPSRG0�MeNgfih�jdkmliXmT+<>IL7:0^Pon�IL<'RGP\?'9X

()prqds)tg()%+suev$wbx�y�v{z'|$}W~=�o�{~�xWy=�Aw��{~�x�zUx�~��5�$~=�$y�~��d�����G�\}W~`��z'�A�b����~�}^v$�G�{x��,�����+����������[�d���S� ���+ Q� ��¡£¢ � ��¤��{�d� �Y� ����� �U�£ L� �¥¡+¢ }^v$~�� �G� ���¥�+�� Q� � � �G�d¦ �[§ ¢ z'�$�¨��Q©+© �o��� �U�£ L� ��¡£ª¬« �$�)~=z­yJv��;~�}8v$�G� ¢$® ~C�{wbxWy=�$xWx ® v$~�}^v$~=��}^v$~���~�}^v$�G��wbx~�¯{|{~�y�}W~���}W�;�{~C�$xW~8���$�°�±�$�rv$w³²$v\´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�£|{�3�G�$�b~=�;x�x^�$yJvozdx,z'�3w³x�~ew��w��\µ�:~=�A~=�$y�~ ® w³}8v�²G�Wz'|{v$wby=zd�£���G�{~��bx ª{¶ �:}W~=��}^v$~��;~�}8v$�G�{x�v{z�·'~��°~�~=���{~�xWy=�3w¸�°~�� ¢}^v$~�}W~=�W�;w��$�'�b�'²\¹º�d�C�Uz'�W»d�d·Uy�v{zdw��¼���G�\}W~��ez'�A�b�º��~�}^v$�G�{xow³x�|{�A~�xW~=�\}W~�� ªuev$~;y�v{z'|$}W~=��y��G�$y����$�{~�x ® wb}^v�zo�{wbxWy=�$xWxWwb�G���­�,zd�{·½z'�$y�~��U�;~�}8v$�G�{x ¢ w��$y����$�$µw��$²��;~�}^v$�$�{x��±�$�e�A~��>�$y�w��$²¾��z'�$�{�G� ® zd��»��{~=v{z�·Gwb�G�{� ª« �G���{~�}8zdwb�³x��d�)���G�\}W~��ez'�A�b���;~�}8v$�G�{x ¢ }^v$~��G�3~=�;x1z\�$�`|{�A�$�d�:x1z'�$�Uz����$�b��bwbxW}r�d�¥�A~8�:~=�A~=�$y�~�x ¢ }^v$~��A~=zd�{~=�¿w³xr�{w��A~�y�}�~���}���Àe~=z­�.ÁAÂ�Ã'Ã'Ä'Å ¢�Æ w³��»\x ¢dÇ wbyJv{z'�3�{xW�G�z'�$��È{|$wb~�²'~���v{zd�b}W~=�ÁAÂ=Ã'Ã\É'Å ¢ z\�$��u£z'�{�$~=�;ÁAÂ=Ã\Ã'É'Å ª

Ê¥Ë � ¦�� �£���¥©+  � � �;� �¼© ��� �¥ YÌ � §uev$~Czdw��;x��d�[���G�'}�~��ez'�A�b��;~�}^v$�$�{xez'�A~e}���xW�'�b·'~m�G�$~m�G�)�°�'}^vo�d�£}^v$~��:�'�b�³� ® w��$²|{�A�G�$�b~=�;x ªÍ�����©£  � � ʥΠ}��C²'~=�$~=�Wzd}W~�x^z'�|$�b~�xmÏ=ÐrÑbÒWÓÕÔ=ÖÒW×[Ø ���A�$��zC²'wb·'~=��|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹�{wbxW}^�AwÙµ�{�$}�w³�$��ÚÁLУŠª ØÍ�����©£  � �ÜÛ Î }���~�x�}Ww��zd}W~m~�¯5|°~�y�}^zd}Wwb�G�$x��d�[�Ý�{�$y�}Wwb�G�$x��{�$�{~=��}^v$wbxe�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G� ¢�:�G�E~�¯{z'�|$�b~

Þàßâá±ãrÁLÐ+ÅWäråçæ�è\éeÐ�ÚÁ±Ð£ÅWãrÁLУÅ�ê ÁAÂ�Åë:ì{íïîAð^ñ:îEòdó^ô:îrôLõdð^ôrö¬÷�øùíùí{ú½ñ:îEôLõ½î)÷�ó�ûÝü�ýLñ:ð8þ)ÿ�íïî��eøùò�ôLõdî���óWíùíïó�÷�øùò��Cñ:îÕò½ñ:î��dðeñ:ð8þ)ÿ�íïî��bûÝó8þð�ü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó�ò� �����¬øïñ[ð�ñLøùò���íïîEûÝî]ð�íùø��Að^ôLøïó�ò���÷�õdó^ñ:î+ÿ�ûÝó��dð���øùíùøïô���ü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó8ò;øïñ� ����������õ=øïñ

� óWò=ôLûÝð8ñ:ô:ñ�÷�øïôLõCôLõ½î+ðWíïô:îÕû:ò½ð8ôLø��8îrú½ñ:ð��8î[øùòCñ:ô:ð^ôLøïñ:ôLø � ñ� d÷�õ½îÕûÝîeýLñ:ð8þ)ÿ�íïî���ûÝî��¸îÕûÝñ�ô:órð � ó�íùíïî � ôLøïó�ò�ó!�ûÝîAðWíùø��Að8ôLøïóWòdñ#"!��$%�

Page 2: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

� !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-uev$~�|{�A�$�{z'�$wb�³wb}A¹��{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G��ÚÁLУŠ¢$® v$wby�v ® ~ ® wb�b�£y=zd�b�+}^v$~ ��� � ¡>�$� § �>�[� � ���E¢�;wb²Gv\})�{~ez��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�����A�$�çxW}8zd}WwbxW}Wwby=zd�{|{v'¹$xWwby�x)�$�£z�y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�¬�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�z'�AwbxWw��$²¼w�� �>zd}^z �;�$�{~��³�bw��$²�� �:�G�o~�¯5z'�o|$�³~ ¢ }^v$~U|{�\xW}W~=�Awb�G��|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹ �­��z�;�$�{~����ùx�|{z'�Wz\�;~�}W~=�Ax;²'wb·'~=� xW�$�;~��$�$xW~=�A·'~��¼�>zd}8z ª�� ~ ® w³�b�m²'~=�$~=�Wzd�b�b¹¼zdxWx^�{�;~}^v{zd}CÐ wbx�z\� ´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�E·'~�y�}W�G� ® wb}^v �A~=zd�ry��$�|{�G�$~=�\}Wx��� ¢ �{�$} ® ~ ® w³�b�xW�G��~�}Ww��;~�xey��G�$xWwb�{~=���{wbxWy=�A~�}W~�x^|{zdy�~�xCzd�bxW� ª

� ~ ® wb�b��y��G�$y�~=�'}8�Wzd}W~e�$�}^v$~��¥�AxW},|{�3�G�$�b~=��ÁLx^z'�o|$�³w��$²GÅ ¢ �{~�y=z\�$xW~�wÙ� ® ~Cv{z�·'~xW�'�b·'~���wb} ¢ }^v$~=� ® ~�y=z'��x��'�b·'~C}^v$~CxW~�y��G�$��|{�3�G�$�b~=� �'¹��$xWw��$²�}^v$~1��z'�$�{�G� x^z\��µ|$�b~�x�Ï�РѳÒWÓ Ô ÖÒW×¿Ø }W�;²'wb·'~�}^v$~C~�xW}Ww��zd}��G��Þ¼å Â

� �Ò ãrÁLÐ ÑbÒWÓ Å�ê Á � Å

���b~=z'�A�b¹�wÙ� }^v$~C·\~�y�}W�G�AxmÏ=Ð ÑbÒWÓ Ô ÖÒ3×¿Ø z'�3~�²'~=�$~=��zd}W~��o���A�$� ÚÁ±Ð£ÅE}^v$~=��}^v$~C~�¯{|{~�y�}^z�µ}Wwb�G���d� �Þ wbx1Þ ª$¶ �bxW� ¢ zdx�}^v$~��$�{�;�{~=���­� x^z\�|$�b~�x�� w��$y=�A~=zdxW~�x ¢ }^v$~C·½z'�3w¸z\�$y�~��d��Þ ® wb�b�+�{~�y=�A~=zdxW~;zdx����Ö ¢{® v$~=�A~����mwbxe}^v$~�·½z'�Aw�z'�$y�~��d�)ã ¢

� � ß æ è\éeÐ�ÚÁLÐ+Å=Á:ãrÁLУÅ��ºÞeÅ � ê Á:Ä\Åuev$wbxmw³x��G�$~��d�r}^v$~Cw��|°�G�A}^z'�\}�|{�A�$|{~=�A}Wwb~�xm�d�£���G�\}W~��ez'�3�³���;~�}^v$�$�{x ª� ¦¥� �>�'��� � �>� � �"! �d¦�� � � �>��� � �½ Y� �{��� ��� �{���$#A��%����{� ��� �&# Û(')'`� �� � § � � �>� § �¬�>� �"! �d¦¥� §£��� �¬�[� �Y� ���  Q� ��� �*! �d¦��`� � �>�d����� �U�£  � § Ë u[��{~|{�A~�y�wbxW~ ¢ }^v$~e·dz'�Aw�z'�$y�~e�d� �Þ ²'�$~�x)zdx � �Ö ª È$���3~�²Gz'�A�{�b~�xWxE�d�¥}^v$~��{w��;~=�$xWwb�G�{z­�³wb}A¹�d��Ð ¢ w³})�oz=¹��°~�}^v{zd}rzdx+�±~ ® z­x zm�{�,+�~=��w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x^z'�|$�b~�x�Ï=Ð ÑbÒ3Ó Ôex^�.-�y�~}W�o~�xW}Ww��zd}W~�Þ x^zd}WwbxA�Ýzdy�}W�G�3w³�b¹ ª� ~ ® wb�b�/�¥�$�U��zd}�~=� ¢ v$� ® ~�·\~=� ¢ }8v{zd}1v$wb²Gv��{w¸��~=�$xWwb�G�{zd�bwb}]¹ y=z'��y=z'�$xW~o�'}^v$~=���{wï�Lµ�>y=�$�b}Wwb~�xC�:�G�����G�\}W~��ez'�3�³���;~�}^v$�$�{x ª*0 �$}8zdw��$w¸�$²�w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x^z'�o|$�³~�x��Ý�A�G� z²'wb·'~=� �{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G��ÚÁLУÅEwbx��­�±}W~=���$�\}e~=zdxW¹ ª1="21�"�34r-�5Ýq;qd(,&76�8�5�9;:=<�t/>�&@?BADC*E�4E(,t)!GF� ~ ® wb�b�>zdxWx^�{��~)}^v{zd}+}^v$~E�{~=�$xWwb}]¹��Ý�A�G� ® v$w³y�v ® ~ ® w³x8v�}����>�Wz ® x^z'�|$�b~�x ¢ ÚÁLУŠ¢y=z'�U�°~~�·½z­�¸�{z­}W~�� ¢ zd}C�b~=zdx�}C}W� ® wb}^v$w��ºz��;�$�b}Ww�|$�bwby=zd}Wwb·'~�y��G�$xW}8z'�'}IH>}^v{z­}Cw³x ¢[® ~y=z'��~�·dzd���{zd}W~�z����{�$y�}Wwb�G��ÚBJ'ÁLУÅ�x8�$yJv�}^v{z­}

ÚÁLУÅrßçÚ J ÁLУÅLK)Mmê ÁON$ÅPL� ® ~�y=z'�;~�·½z­�¸�{z­}W~1Ú J Á±Ð£Å ¢d® v\¹;y=z'� ® ~��$�'}E~=zdxWwb�b¹�xW�\�³·\~�|{�A�G�$�b~=� Â�Q � v\¹;wbx,wb}w��²\~=�$~=�Wzd���{wR-�y=�$�b}e}W���$�$}^zdw��x8z'�|$�b~�xE���A�$� ÚÁLУÅSQ�uev$~=�3~1z'�3~e} ® �C�{wR-�y=�$�b}Wwb~�x ªuev$~T�¥�Ax�}ewbx�}^v{z­} ® ~C}A¹{|$w³y=z­�³�b¹��{���$�'}�»$�$� ® }^v$~��$�G�W�ozd�bwU+�w��$²�y��G�$xW}^z\�'}

M ßçæ�è'éeÐÚ J ÁLУÅ�ê Á�V\Å

Page 3: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q Ä

Á:z\Å0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-4 -2 0 2 4

P*(x)

Á:�{Å0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-4 -2 0 2 4

P*(x)

�������� ��� ��ð � ��õdî �bú=ò � ôLøïóWò ������ ����î��8ÿ������ ���"!#��� � � !$��� �&%'�)(�* ��+£óW÷�ô:óEü�ûÝðW÷�ñ:ð8þEÿ=íïîAñ�bûÝó^þ ôLõ=øïñ�ü=îÕò½ñLøïô ��, � � � ��õ½î �³ú�ò � ôLøïó�ò � ��� �$î��Wð�íùú½ð8ô:îAü�ð8ô>ðrüSøïñ � ûÝîAô:î+ñ:îAô>ó!�'ú=ò�ø�¸ó�ûÝþEí��eñLÿ½ð � îAüÿ'óWøùò=ô:ñ�"-�/. $%��+£ó�÷�ô:ó�ü�ûÝðW÷�ñ:ð^þEÿ�íïî]ñ �bûÝó^þ¼ôLõ�øïñ£üSøïñ � ûÝî]ô:îEü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó�ò/,uev$~mxW~�y��G�$�wbx�}^v{zd} ¢ ~�·'~=�wÙ� ® ~e�{wb��»G�$� ® M ¢ }^v$~1|{�3�G�$�b~=� �­�.�>��z ® w¸�$²�x^z'�|$�b~�x�Ý�A�G� ÚÁLУÅ�wbxex�}Wwb�³�+z;yJv{z­�³�b~=�$²'w��$²��G�$~ ¢ ~�x^|{~�y�w�zd�b�b¹�w���v$wb²Gv\´$�{w¸��~=�$xWwb�G�{zd�rx^|{zdy�~�x ªuev$~=�A~�z'�A~�G�$�b¹ºz¾�±~ ® v$wb²Gv\´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd���{~=�$xWwb}Wwb~�x;���3�G� ® v$wby�vUwb}�w³x;~=zdx�¹`}���>�Wz ® x^z'�|$�b~�x ¢ �:�G�E~�¯5z'�o|$�³~�}^v$~ Æ z'�$xWxWw�z'���{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G� ª �0�~�}��$xCx�}^z'�A}����3�G� z�x�w¸�o|$�³~o�G�$~8´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�E~�¯5z\�|$�b~ ª PÝ�ozd²'w��$~;}^v{zd} ® ~® wbx^v }W�;�>�Wz ® x^z'�|$�b~�x����3�G��}^v$~C�{~=�$xWwb}A¹�ÚÁ��>ÅEßçÚ J Á��>ÅSK)M ® v$~=�3~

Ú J Á��>Årß ~�¯5|21�3°ê N¥Á����43{ê NGÅ � �43{ê5376,�98&:�;7�=<ºÁ �?>@;'>¼Å�ê Á:É\Å� ~my=z'��|$�³�\},}8v$w³xE�Ý�{�$y�}Wwb�G��Á �>²G�{�A~;Â=z'Å ª7A �$}�}^v{zd}E�{�G~�xe�$�'}��;~=z'� ® ~ey=z'�o�>�Wz ®x^z'�o|$�³~�x ���3�G� wb} ª u¿��²'wb·'~o�G�{�AxW~��b·'~�x;z�xWw��|$�b~=��|{�3�G�$�b~=� ¢[® ~y��G�$�b� �{wbxWy=�A~�}Ww2+�~}^v$~�·½z\�Aw�z'�$�b~��;z'�$�zdx^»��:�G�[x8z'�|$�b~�xr�Ý�A�G� }^v$~)�{wbxWy=�3~�}W~�|{�A�G�{z\�$w³�bwb}A¹;�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G��d·'~=��zx�~�}e�d�)�{�$wï�:�G�W���³¹�x8|{zdy�~��`|°�'w��'}Wx Ï ��BÕÔ¾Á �>²G�{�3~Â=�{Å ª�C � ® y��G�$�b� ® ~CxW�'�b·'~}^v$wbxe|{�A�G�$�b~=�7Q�PL� ® ~m~�·½z­�¸�{z­}W~?D JB ßçÚ J Á��9B±ÅEzd}�~=zdyJv�|{�\w¸�\}��9B ¢\® ~my=z'�oy��G�|{�$}W~

M ß � B D JB ÁFE\Åz'�$� D9B¥ßGD JB K)M ÁF6\Åz'�$� ® ~)y=z'��}^v$~=� x^z'�|$�b~E�Ý�A�G� }^v$~e|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹;�{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$��Ï&D�B:Ô��$x�w¸�$²C·dz'�Awb�G�$x�;~�}^v$�$�{x��{zdx�~��º�G�¼z�xW�$�{�Ay�~��­�1�Wz'�$�{�G� �$wb}Wx ª�A �$} ® v{zd}�wbx}8v$~�y��'xW};�d��}^v$wbx|{�A�$y�~��>�{�A~ ¢ z\�$� v$� ® �{�$~�x�wb}�x�y=zd�b~ ® wb}^v }^v$~U�{w��;~=�$xWwb�G�{z­�³wb}A¹ç�d�;}^v$~�x^|{zdy�~ ¢

��H ñ:ð8þ)ÿ�íïî �bûÝó^þ ð ú�ò=ø��Wð�û:øïð^ô:îJI+ð�ú½ñ:ñLøïð�ò � ðWò �'î �8îÕò½îÕûÝð^ô:îAü � � � ó8þEÿ=údôLøùò��� ó^ñ��LK'M7N ë ��O K\íïó�� �FPRQ&N � �� =÷.õ½îÕûÝî�N ë ðWòdü#N � ð�ûÝî+ú=ò�ø��óWûÝþEí��Cü�øïñ:ôLû:ø��ú½ô:îAü�øùò�����S�P����

Page 4: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

N !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�- Q40�~�}��$x�y��G�$y�~=�\}^�Wz­}W~��G� }^v$~�w��$wb}Ww�zd��y��\xW}��­��~�·½z­�¸�{z­}Ww��$² M ª u[� y��G�|{�$}W~M ÁL~��5�{z­}Wwb�G� ÁFE\ÅWÅ ® ~�v{z�·'~�}W�U·$wbxWwb}�~�·\~=�A¹�|°�'w��'}�w��¼}^v$~�x8|{zdy�~ ª PÝ� �>²G�{�A~UÂ=�}^v$~=�A~z'�3~ V73��{�$wÙ�±�G���;�b¹`x8|{zdy�~��º|{�\w¸�\}WxCw����G�$~;�{w��;~=�$xWwb�G� ª P±�,�G�{�mx�¹GxW}�~=� v{zd� �{w��;~=�$xWwb�G�$x ¢ ß Â�3 373�x^z�¹ ¢ }^v$~=�¼}8v$~�y��G�W�A~�x^|°�G�$�{w��$²à�G�{�;�°~=��d��|{�\w¸�\}Wx® �G�$�b��{~�V73 Ø ����� ¢ z\���{�$w��z­²'w��{z'�$�b~1�$�{�;�{~=�+�d�>~�·dzd���{zd}Wwb�G�$x��d�¥ÚBJ ª�� ·\~=��wÙ��~=zdyJvy��G�|°�G�$~=�\} � ��G�$�b¹�}W�G�$»} ® �;�{w³x�y=�A~�}W~;·½zd���$~�x ¢ }^v$~;�G�{�;�{~=���d�)~�·dzd���{zd}Wwb�G�$xC�d�Ú J ® �$�$�³���{~ � Ø ����� ¢ z;�$�{���°~=�E}^v{zd})wbxex�}Wwb�³�[v$�G���Aw��$�³¹�v$�$²'~ ¢ ~��5�{zd�¬}W�;}^v$~��±�G�{�3}^v|{� ® ~=���d�+}^v$~��$�{�;�{~=���d�)|{z'�A}�w³y��b~�xmw���}^v$~;�{�$w³·\~=�AxW~ ª

0 �$~�xW¹Gx�}W~=� ® wb}^v � Ø ����� xW}^z­}W~�x�w³xCz;y��'�b�b~�y�}Wwb�G���­�iÂ�3 373�x^|$w��$x ¢ �:�G��~�¯{z'�|$�b~ ¢zÄ73���Ä73����Wz­²G�;~=�\})�d�)z'� P:x�w¸�$²��;�$�{~��,ÁL�G��� A �'�b}L+=�oz'�{���zdy�v$w��$~,�>�G���ï�Uz'��»d�d·�>~��b���ïÅ;Ár~��G�z'�$x�Â=Ã'à � Å ® v$�'xW~�|{�3�G�{z'�$wb�bw³}A¹��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G��wbx�|{�A�G|°�G�A}Wwb�G�{zd�¿}W�

Ú J ÁLУÅ+ß ~�¯{|��D�� ���ÁLУÅ�� Á:Ã\Å® v$~=�A~�� 2<�Ï��;ÂdÔ�z'�$�

��ÁLÐ+Å£ß$��� Â� ���� �� � � � �� �� � �� � ���ê Á3Â�3'Å

uev$~C~=�$~=�A²\¹�Ý�{�$y�}Wwb�G����ÁLУÅgw³xm�A~=zd�{wb�b¹�~�·½zd���{zd}W~����:�G��z'�\¹�Ð ª A �$}�wÙ� ® ~ ® wbx^v�}��~�·½z­�¸�{z­}W~�}8v$w³xi���{�$y�}Wwb�G��zd}m4'aQa�x�}^zd}W~�xEÐ ¢ }^v$~�y��G�|{�$}W~=�E}Ww��;~C�A~��{�$w¸�3~�� ® �$�$�³���{~� Ø � ��� �Ý�{�$y�}Wwb�G� ~�·½zd���{zd}Wwb�G�$x ªuev$~GP:xWw��$²C�;�$�{~��'wbx£z�xWw��|$�b~e�;�$�{~�� ® v$wbyJv�v{zdx£�°~�~=��z'�A�$�{�$�C�:�G��z��b�G�$²e}Ww��;~ ¢�{�$}r}^v$~E}^zdx^»m�d�>²\~=�$~=�Wzd}Ww��$²mx^z'�|$�b~�x+�Ý�A�G� }^v$~��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�ÚÁLÐ+ÅrßçÚ J ÁLУÅLK)M wbxxW}Wwb�b�£z'��zdy�}Wwb·'~C�A~�xW~=z\�AyJv�z'�A~=z;zdxE~�·Gwb�{~=�$y�~��U�\¹}^v$~ ® �$�W»��d��!)�3�G|{|�z\�$� � wb�bxW�G�ÁAÂ=Ã\Ã'É'Å ª1="#"\"%$ 9 5 <">�t)& qd(,& 6�8�5�9G:C z=·$w��$²�zd²G�3~�~���}^v{zd} ® ~Cy=z'�{�$�'}e·$wbxWwb}�~�·'~=�3¹��b�$y=zd}Wwb�G��Ð�w���}8v$~CxW}^zd}W~Cx8|{zdy�~ ¢{® ~�;wb²Gv\}Cy��G�$xWwb�{~=�C}8�A¹Gw��$²�}W��x��'�b·'~}^v$~;xW~�y��G�$� |{�A�G�$�b~=��ÁL~�x�}Ww��zd}Ww��$²�}^v$~;~�¯{|{~�y8µ}^zd}�w³�$��d�rzm�Ý�{�$y�}Wwb�G��ãrÁLУÅWÅE�'¹�>��z ® w¸�$²�Wz\�$�{�G��x^z'�|$�b~�xCÏ=РѳÒWÓ Ô ÖÒW×[Ø�& <>I @J?'689;abF�Ý�A�G� }^v$~Cx�}^zd}W~Cx^|{z­y�~�z'�$��~�·dzd���{zd}Ww��$²�Ú J ÁLУÅ�zd}e}8v$�'xW~�|{�\w¸�\}Wx ª uev$~=� ® ~Cy��G�$�b�w��'}8�A�G�>�$y�~�M Ö ¢ �{~ �¥�$~��`�\¹

M Ö ß Ö�ÒW×¿Ø Ú J ÁLÐ ÑbÒWÓ Å; Á3Â'Â=Å

z'�$��~�xW}�w¸�ozd}W~�Þàß('[è é Ð�ãrÁLУÅWÚÁLÐ+Å)�\¹�Þ¼ß Ö�

ÒW×¿Ø ãrÁLÐ ÑbÒWÓ ÅÚBJ'ÁLÐ ÑbÒWÓ Å

M Ö ê Á3Â � Å

Page 5: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q V

P:xrz'�\¹G}8v$w¸�$² ® �A�$�$² ® wb}^vC}8v$w³x+xW}^��zd}W~�²'¹�Q � ~��b� ¢ wb}£�{~=|°~=�$�{xr�G�C}8v$~r�Ý�{�$y�}Wwb�G�$x ãrÁLÐ+Åz'�$��Ú J ÁLУŠª 0�~�}e�$x,z­xWx^�{�;~e}8v{zd},ãrÁLУÅ+wbx�z��{~=�$wb²G� ¢ x^�;�$�'}^v$�b¹;·½z'�A¹$w��$²C�Ý�{�$y�}Wwb�G�z'�$�Uy��$�$y�~=�'}^��zd}W~;�G��}^v$~��{zd}8�{�A~;�d�iÚ J ÁLÐ+Å ª>¶ v$wb²Gv\´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd���{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�wbx��d�:}W~=� y��G�$y�~=�'}8�Wzd}W~�� w��çz x^�z­�³���3~�²'wb�G� �d��}^v$~�xW}8zd}W~�x8|{zdy�~º»$�$� ® �àzdx�wb}Wx}A¹5|$wby=zd�ExW~�}�� ¢¿® v$�'xW~·\�'���{�;~wbx�²'wb·'~=� �\¹�� ����� ��� Ñ�Ó ¢�® v$~=�A~ � Á���Å�wbx�}^v$~È{v{z'�{�$�G�\´ Æ w��{�$x�~=�\}^�A�$|'¹��d�r}^v$~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G��ÚÁLУŠ¢� Á ��Å£ß �

�ÚÁLУÅ{�b�'² � ÂÚÁ±Ð£Å ê Á3Â=Ä'Å

PL��zd���;�'x�}�zd�b�e}^v$~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹à�ozdxWxwbx��³�$y=zd}W~�� w��¼}^v$~�}A¹{|$w³y=z­�exW~�}�z'�$�àãrÁLÐ+Åwbx�z��°~=�$w³²$�����{�$y�}�w³�$� ¢ }^v$~;·½z­�¸�$~��d�eÞ ß '[è é оãrÁLУÅ�ÚÁLУŠ® wb�³�)�°~�|{�Aw��$y�w�|{zd�b�b¹�{~�}W~=�W��w¸�$~����'¹�}^v$~C·dzd���$~�x�}^v{z­}iãrÁLÐ+Å)}8z'»d~�x��G��w���}^v$~C}A¹{|$wby=zd�[xW~�} ª È$���{�$wÙ�:�G�W�x^z'�o|$�³w��$² ® wb�b�m�G�$�b¹¼xW}^z'�$� z�yJv{z\�$y�~`�­�1²'wb·$w��$²àz�²'�$�G� ~�xW}Ww��zd}W~��d��Þ wÙ� ® ~�z'»­~�}8v$~��G�{�;�°~=�C�d��x^z'�|$�b~�x ��x^�.-�y�w³~=�\}W�b¹U��z'�A²\~}^v{zd} ® ~z'�A~�bw�»d~��b¹U}W��v$wb}}^v$~m}A¹5|$wby=zd��xW~�}�z��$�{�;�{~=�E�d�£}�w¸��~�x ª È$� ¢ v$� ® �oz'�'¹ox^z'�|$�b~�xez'�A~C�A~��{�$w¸�3~��*Q#0�~�}�$xe}^z\»d~C}^v$~Cy=zdxW~C�­� }^v$~�P�xWw��$²��;�$�{~��£zd²Gzdw�� ª uev$~�}W�'}^zd��xWw2+�~��d�£}^v$~�xW}^zd}W~mx^|{zdy�~wbx � é xW}^zd}W~�x ¢ z\�$��}^v$~�}]¹{|$wby=zd�+xW~�}1v{z­xexWw2+�~ � ��ª È$��~=zdy�v�x8z'�|$�b~�v{zdxCzoyJv{z'�$y�~�d� � � K � é �­�r��zd�b�bw��$²�w���}^v$~;}A¹{|$w³y=z­�rxW~�} ª uev$~�G�{�;�{~=�m�­�,x^z'�o|$�³~�x��3~��5�$w��A~��U}��v$wb}�}8v$~C}]¹{|$wby=zd�[xW~�}��G�$y�~Cwbx�}^v$�$xe�d�r�G�A�{~=���������� � é�� � ê Á3Â)NGÅ

È$� ¢+® v{zd};wbx � Q ¶ }�v$wb²Gv }�~=�|{~=�Wz­}^�{�A~�x ¢ }^v$~�|{�A�$�{z'�$wb�³wb}A¹¼�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� �d�1z'�P:x�w¸�$²��;�$�{~��;}W~=�$�{xU}W�çz �{�$wÙ�±�G��� �{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� z'�$� }^v$~¼~=�\}^�A�G|\¹ç}W~=�$�{xU}��� ������ß �$wb}Wx ¢ xW� ��������wbx��d���G�A�{~=�  ª�� �$�{~=�}^v$~�x�~�y��G�$�{wb}Wwb�G�$x ¢ �{�$wÙ�:�G�W�x^z'�o|$�³w��$²��z�¹ ® ~��b�)�°~�zox^zd}�w³x3��zdy�}��G�A¹�}W~�y�v{�$wb�5�$~;�:�G��~�xW}Ww��zd}�w¸�$²�Þ ª A �$}�v$wb²Gv}W~=�|°~=�Wzd}^�{�3~�x�z'�A~��$�'}C�d�e²G�A~=zd}Cw��\}W~=�A~�xW} ª ���G�$x�w³�{~=��z'�$�b¹º�;�G�A~ow¸�\}W~=�A~�x�}Ww��$²�z\�A~w��'}�~=�W�;~��{w�zd}W~�}W~=�o|{~=�Wzd}8�{�A~�xx^�$y�v¼zdx;}^v$~�y=�Awb}Wwby=zd�e}W~=�|°~=�Wzd}^�{�3~�zd} ® v$wbyJv }^v$~P:x�w¸�$²¼�;�$�{~����;~��b}Wx;�Ý�A�G� z'� �$�A�{~=�A~��à|{v{zdxW~�}���z��{w³x��G�A�{~=�A~�� |{v{zdxW~ ªr¶ };}^v$wbx}W~=�|°~=�Wzd}^�{�3~�}^v$~�~=�\}^�A�G|\¹U�d�1z\� P�xWw��$²º�;�$�{~��,wbx�A�G�$²$v$�³¹�7K � �$wb}Wx ª+« �G��}^v$wbx|{�A�G�{z\�$w³�bwb}A¹��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G� }^v$~�G�{�;�{~=�m�­�,x^z'�o|$�³~�x��3~��5�$w��A~��Ux�w¸�o|$�³¹�}W��v$wb}C}^v$~}A¹5|$wby=zd�¿xW~�}e�G�$y�~Cwbxm�d� �$�A�{~=�

��������� � é��{é�� � ß � é�� � Á3Â�V'Å® v$wby�vC�:�G�� ßâÂ�37373�wbxrz'�{�$�$},Â�3 Ø�� � ª uev$wbx+wbx)�A�G�$²Gv$�b¹�}8v$~)xW�{�{z'�A~E�d�>}^v$~,�$�{�;�{~=��d�1|{z\�A}Wwby��b~�xw�� }^v$~��{�$wb·'~=�AxW~ ª u�vG�$x�{�$wÙ�±�$�W� x^z'�o|$�³w��$²Uwbx��$}�}W~=�A�b¹��$x�~��³~�x�x;�±�$�}^v$~�xW}^�$�{¹U�­� P:xWw��$²º���G�{~��bx;�d�1�;�$�{~�xW};xWw2+�~ ª+¶ �$�¼w��¼�;�\xW}�v$wb²Gv\´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd�|{�A�G�$�b~=�;x ¢ wÙ�¥}8v$~)�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�;ÚÁLÐ+Å�wbx)�$�'}£zdy�}^�{z­�³�b¹;�{�$wï�:�G�W� ¢ �{�$wÙ�:�G�W� x^z'�|$�bw��$²wbx1�{�$�bw�»d~��b¹�}����{~;�$xW~8���$� ª1="��\"7>� �¿t! 5 � 3C z=·$w��$²�~�xW}8z'�$�bw³x8v$~��¼}^v{zd}��>��z ® w¸�$²�x^z'�|$�b~�x ���A�$��z�v$wb²Gv\´$�{w¸��~=�$xWwb�G�{zd���{wbxW}^�AwÙµ�{�$}Wwb�G�ÚÁ±Ð£ÅrßçÚ J ÁLУÅSK)M¼wbx)�{wR-�y=�$�b}�~�·'~=��wÙ�¿Ú J Á±Ð£Å[wbxE~=zdxW¹�}��C~�·½zd���{zd}W~ ¢\® ~ ® w³�b�

Page 6: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

É !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-

(x)φ

x

Q*(x)P*(x)

�������� ������ ú�ò � ôLøïóWòdñ�øùò �8óWí��8îAümøùòeøïþEÿ­ó�ûÝô:ð�ò � îrñ:ð^þEÿ�íùøùò�� ����î£÷�øïñLõmô:órî]ñ:ôLøïþ�ð8ô:î£ôLõdî£î��8ÿ'î � ô:ð��ôLøïó�ò�ó��� ��� �$ú=òdü=îÕû� ��� �� � ��� ������î � ð�ò �^îÕò½îÕûÝð8ô:î£ñ:ð8þEÿ=íïîAñ �bûÝó8þUôLõ½î+ñLøïþEÿ=íïîÕû£ü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó�ò ��� �� � ��� ������î � ð�ò1î��Wð�íùú½ð8ô:î � ðWòdü � ð8ô[ðWò �iÿ­ó�øùò=ô���$� ® xW}8�$�{¹�z�x�~��5�$~=�$y�~��d�����G�'}�~���z'�A�b�`�;~�}8v$�G�{x=�+�:�U�+�¥� �����[�d� �S� ���+ L� ��¡£¢� �J¤S�5�­� ��� � �S� ���+ L� ��¡£¢ }^v$~�� �$� �=���+�¥ L� � � �G�d¦ �[§ ¢ z'�$��¨¾�L©+© ����� �U�£ L� �¥¡+ªÛ Ë �����+��� �����.�d�U�S� ���+ Q� ��¡PÝ�o|{�G�A}8z'�$y�~�x^z'�|$�bw��$² w³x��$�'}z`��~�}^v$�G� �:�G��²'~=�$~=�Wz­}Ww��$²Ux^z'�|$�b~�x;�Ý�A�G� ÚÁLÐ+ÅÁ:|{�A�$�$�³~=� Â�Å)H�wb}Cw³x��W�$xW}�z��;~�}8v$�G���:�G�m~�xW}Ww��zd}�w¸�$²�}8v$~�~�¯{|{~�y�}8zd}Wwb�G���d�ezo���{�$y8µ}Wwb�G��ã Á±Ð£ÅCÁ:|{�A�G�$�b~=� � Å ª P:}ey=z\���{~�·Gwb~ ® ~��`z­x�z;²'~=�$~=�Wz­�³w2+=zd}�w³�$���­� }^v$~��{�$wÙ�:�G�W�x^z'�o|$�³w��$²��;~�}^v$�$� ª« �G�ewb�b���$xW}^�Wz­}Wwb·'~�|{�{�W|°�'xW~�x ¢ �b~�}��$xmw��zd²'w��$~}8v{zd}�}8v$~�}8z'�A²'~�}e�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�Uwbxz��G�$~8´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd���{~=�$xWwb}]¹UÚÁ��¬Å ª P:}�wbx�zdxWx8�{�;~���}^v{zd} ® ~z'�A~�z'�$�b~}���~�·½zd���\µzd}W~;}^v$wbx;�{~=�$xWwb}A¹ ¢ zd}C�b~=zdx�}�}W� ® wb}^v$w��¼z��;�$�b}Ww�|$�bw³y=z­}Wwb·'~�y��G�$xW}^z\�'}�H�}8vG�$x ® ~;y=z'�~�·½z­�¸�{z­}W~�z��Ý�{�$y�}Wwb�G��Ú J Á��>Å�x8�$yJv�}^v{z­}

ÚÁ��>ÅrßçÚ J Á��>ÅSK)M�ê Á3Â=É'ÅA �$}�ÚÁ��¬ÅCwbx�}��G��y��G�|$�bwby=zd}W~��¼z��Ý�{�$y�}Wwb�G���:�G�C�$x�}W�`�°~�z'�$�b~�}���x^z'�|$�b~o���A�$�wb}��{w��A~�y�}��³¹ ª(� ~��$� ® zdxWx8�{�;~�}^v{z­} ® ~�v{z�·'~�z;xWw��|$�b~=�m�{~=�$xWwb}A¹���Á��>Å ® v$wbyJv ® ~y=z'��~�·½z­�¸�{z­}W~}W� ® wb}^v$w�� z��;�$�b}Ww�|$�bwby=zd}Wwb·'~�y��G�$xW}8z'�'}�Á±}^v{zd}mw³x ¢�® ~;y=z'��~�·dzd���{zd}W~� J Á �>Å ¢�® v$~=�A~��¾Á �>Årß�� J Á��>ÅLK)M�� Å ¢ z'�$�����A�$� ® v$wbyJv ® ~�y=z'��²'~=�$~=�Wz­}W~�x^z'�|$�b~�x ª¶ ��~�¯5z'�o|$�³~C�­�£}^v$~m�Ý�{�$y�}Wwb�G�$x�Ú J ¢ � J z'�$��ã�wbxex8v$� ® �w�� �>²$�{�A~ � ª7� ~Cy=zd�b���}^v$~;H�4'9�2¥ab0=6CP'0�<{H�IQ7:F ª

PÕ�Uw��|°�G�A}^z'�$y�~ox^z'�|$�bw��$² ¢+® ~²'~=�$~=�Wzd}�~ � x^z'�|$�b~�xÏ ��ÑbÒ3Ó3Ô=ÖÒW×¿Ø �Ý�A�G����Á��>Å ªPL�r}^v$~�xW~�|°�'w��'}�x ® ~=�A~�x8z'�|$�b~�x��Ý�A�G� ÚÁ��>ÅE}^v$~=� ® ~my��G�$�b��~�xW}�w¸�ozd}W~CÞç�'¹o~��5�{z�µ}Wwb�G� Á � Å ª A �$} ® v$~=� ® ~²\~=�$~=�Wzd}W~x8z'�|$�b~�x����A�$��� ¢ ·½zd���$~�x;�d��� ® v$~=�A~��¾Á��¬Åwbxe²G�A~=z­}W~=��}^v{z'��ÚÁ��¬Å ® wb�b� �°~C�½·\~=�Õ´5�A~=|{�A~�x�~=�'}W~���w�� }^v$wbxe~�xW}Ww��zd}��G� ¢ z'�$��|{�\w¸�\}Wx

Page 7: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q E

Á:z\Å-7.2

-7

-6.8

-6.6

-6.4

-6.2

10 100 1000 10000 100000 1000000 Á��{Å-7.2

-7

-6.8

-6.6

-6.4

-6.2

10 100 1000 10000 100000 1000000

�������� ���� öYþ)ÿ'ó�ûÝô:ðWò � î¥ñ:ð8þEÿ=íùøùò��røùò,ð � ôLøïóWò���ð �­ú½ñLøùò��)ð I+ð�ú½ñ:ñLøïð�ò�ñ:ð8þ)ÿ�íïîÕû¥ü=îÕòdñLøïô����!� �\ú½ñLøùò��rð� ð�ú � õ �)ñ:ð8þ)ÿ�íïîÕû£ü=îÕò½ñLøïô ���+£ó�û:ø��AóWò=ô:ð�íGð'�8øïñ¥ñLõdóW÷[ñ°ò�ú½þ��'îÕû[ó��$ñ:ð^þEÿ=íïîAñ�ó�òið+íïó��)ñ � ð�íïî����¬îÕûÝôLø � ð�íð'�8øïñ£ñLõdóW÷[ñ[ôLõdî)îAñ:ôLøïþ�ð^ô:î�� ����õdî[õdóWû:ø��Aó�ò=ô:ðWí¬íùøùò½îrøùòdü�ø � ð8ô:î]ñEôLõ½îrôLû:údî��WðWíùúdî)ó!� �® v$~=�A~ �¾Á��¬Åmw³x��b~�xWx;}^v{z'��ÚÁ��>Å ® wb�b�,�{~��{�$�{~=�Õ´5�3~=|{�A~�xW~=�\}W~�� ª u¿��}^z\»d~;w¸�\}W��zdy8µy��G�{�\}�}^v$~���zdy�}C}8v{zd} ® ~v{z�·'~x^z'�o|$�³~�� �Ý�A�G� }^v$~ ® �A�G�$²��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ¢g® ~;w��\µ}^�A�$�>�$y�~ � ® ~�wb²Gv\}Wx��

Ò å Ú J Á��.ѳÒWÓ:Å� J Á�� ѳÒWÓ Å Á3Â�E'Å

® v$wby�v ® ~i�$x�~,}��1zd� �W�$xW}r}^v$~ �ïw��|°�G�A}^z\�$y�~,�d�d�¥~=zdy�v;|{�'w��\}rw��;�G�{�+~�xW}Ww��z­}W�G�¿}^vG�$x���Þ¼å�� Ò Ò ãrÁ�� ÑbÒWÓ Å

� Ò Ò ê Á3Â�6'ÅPL� �¾Á �>ÅEwbx��$�G�\´ +�~=�A���:�G��zd�b� � ® v$~=�A~�ÚÁ �>Å�wbx��$�G�\´�+�~=�A� ¢ wb}ey=z'���{~�|{�3�½·\~���}^v{z­}}^v$~C~�xW}�w¸�ozd}W�G� �Þ y��G�'·\~=�A²'~�x�}W��Þ ¢ }^v$~;�;~=z'��·dzd���$~��d�)ãrÁ��>Å ¢ zdxT� w¸�$y=�3~=zdxW~�x ª¶ |{�Wz­y�}Wwby=zd���{wR-�y=�$�b}A¹ ® wb}^v¼w��|°�G�A}^z\�$y�~`x8z'�|$�bw��$²¼w³x�}8v{zd}�wb}�wbx�v{z'�A�à}��~�xW}Ww��z­}W~Uv$� ® �3~��³w�z'�$�b~ }^v$~�~�xW}Ww��zd}��G� �Þ wbx ª u�v$~U·½z'�3w¸z\�$y�~U�d� �Þ wbx`v{z'�3� }��~�xW}Ww��z­}W~ ¢ �°~�y=z'�$xW~�}^v$~E~=�|$w��Awby=zd�>·dz'�Aw�z'�$y�~�xr�d�>}^v$~E�5�{z\�'}Wwb}Wwb~�x Ò z\�$� Ò ãrÁ�� ÑbÒWÓ Åz'�A~m�$�'})�$~�y�~�xWx^z'�3w³�b¹�zC²'�$�$�²G�$wb�{~�}��C}^v$~e}^�W�$~�·½z'�Aw�z'�$y�~�x��d�[}^v$~m�G�{�;~=��zd}W�G�rz'�$��{~=�$�G�;w��{zd}��G��w¸� ~��{�{zd}Wwb�G�çÁ3Â�6'Å ª P±�1}^v$~�|{�A�G|°�'x^zd�E�{~=�$xWwb}A¹���Á��>Å w³xox^�zd�b��w��¼z�A~�²'wb�G� ® v$~=�A~ �ùãrÁ��>Å�Ú J Á��¬Å �\wbxe��z'�A²'~m}^v$~=��wb}ewbx��{�$wb}W~�|{�\xWxWw��$�b~ ¢ ~�·'~=��z½�±}W~=���z\�'¹|{�\w¸�\}Wx��.ѳÒWÓEv{z=·\~1�°~�~=��²'~=�$~=�Wz­}W~�� ¢ }^v{zd}��$�G�$~C�­�£}^v$~=� ® wb�b�rv{z=·\~e�Ýzd�b�b~=��w���}^v{z­}�A~�²'wb�G� ª uev$wbx�b~=zd�{x}W�Uz'� ~�xW}�w¸�ozd}W~��d� Þ�}^v{z­}�wbx�>��zdxW}Wwby=zd�b�b¹ ® �A�G�$² ¢ z\�$���$�w��$�{wby=zd}Wwb�G��w���}^v$~C~=�o|$w¸�3w³y=z­�[·½z'�3w¸z\�$y�~C}^v{zd})}8v$~C}^�W�$~m·½z'�Aw�z'�$y�~C�­�£}^v$~m~�xW}Ww��zd}W�$��Þ wbxm�¸z\�A²'~ ª

Page 8: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

6 !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-"'"21�"%+( $)s/5 > 9)(�t¬- 5 8"8 $�qds)tr([s/5 > 9 >G< 5Ý& 6�>�t�s�( 9,%���qd(�&76�8 5�9;:PÝ��ze}��½¹C|{�A�G�$�b~=� �A~���zd}W~���}W�e}^v$~��;�G�{~��b�bw��$²��d�>z'�;w��$�Czdy�wb�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹��{wbxW}^�Aw��{�\µ}Wwb�G�$x ® wb}^v�zo�G�$~8´G�{w��;~=�$xWwb�G�{z­�)·½z\�Aw�z'�$�b~ �P�~�·dzd���{zd}W~��Uz��5�{z\�'}Wwb}A¹��d�)w��\}W~=�A~�xW}�$xWw��$²Uw��|°�G�A}^z'�$y�~�x8z'�|$�bw��$² ª uev$~��A~�x8�$�³}�x��$xWw��$²ºz Æ z'�$x�xWw�z'� x^z'�|$�b~=�z\�$�àz�ez'�$y�v\¹x^z'�|$�b~=�ez\�A~�x8v$� ® �w�� �>²G�{�A~�Ä ª uev$~�v$�G�3wU+��$�'}^z­�¥zd¯$wbxex^v$� ® x�}^v$~C�G�{��µ�{~=���d�ex^z\�|$�b~�x�G�Uz �³�\²`x�y=zd�b~ ª PÕ�U}8v$~�y=zdx�~��d�e}^v$~ Æ z\�$xWxWw�z'��x^z\�|$�b~=� ¢ z��±}�~=�z'�°�G�$};V73 3mx^z'�|$�b~�xev{zd���°~�~=�~�·dzd���{zd}W~����G�$~��;wb²Gv\},�°~�}W~=�o|$}W~��}W��y=zd�b�¥zCv{zd�b}�H�{�$}C~�·$w³�{~=�\}W�b¹�}^v$~=�A~;z'�A~;w��\���A~��{�$~=�\}Cx^z'�|$�b~�xC}^v{zd}C�z'»­~�z�vG�$²'~;y��G�\}^�Aw��{�$}Wwb�G�}W� �Þ ¢ z'�$�º}8v$~�·dzd���$~��d�e}^v$~�~�xW}Ww��zd}�~¾zd}7V73 3�x^z'�o|$�³~�x;wbx ® �3�G�$² ª�� ·'~=� z��±}�~=�z�;wb�b�bwb�G��x^z'�o|$�³~�x�v{z�·'~��°~�~=��}^z'»d~=� ¢ }8v$~�~�xW}Ww��z­}W~�v{zdxmxW}Wwb�b� �$�'}�xW~�}W}W�b~����{� ® �y��b�'xW~�}W�m}^v$~�}^�W�$~E·½zd���$~ ª PÕ��y��G�'}8�WzdxW} ¢ }^v$~e�ez'�$y�v'¹Cx^z\�|$�b~=�+�{�G~�x)�$�'}+x^���[~=�.���A�$�²'�bwb}Wy�v$~�x�z'�$��y��G�'·\~=�A²'~�x�ÁL�G�o}^v$~mxWy=zd�b~Cx^v$� ® ��v$~=�A~=Å�z��±}�~=�)z'�°�G�$} V737373 x^z'�|$�b~�x ªuev$wbx�~�¯5z\�|$�b~`wb�b���$xW}^�Wz­}W~�x�}^v$~��Ýzdy�}�}8v{zd}z'�¼w��|°�G�A}^z'�$y�~�x^z'�|$�b~=�ox^v$�G�$�b�v{z�·'~ ¦��G� Ì � ��� �Q  �'ª"'"#"\"�5Ý&76�>�t�s�( 9�%���qd(�&76�8�5�9G: 5�9à&;( 9g- ! 5Ý& �(9,q 5 > 9�q� ~�v{z�·'~zd���A~=z­�{¹U�G�$xW~=�A·\~��U}^v{zd}Cy=z'�3~wbx��$~�~��{~�� w¸� �G�$~8´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd��w¸�o|{�G�Õµ}^z'�$y�~�x^z\�|$�bw¸�$²ç|{�A�$�$�³~=��x ª P:x�w¸�o|{�G�A}8z'�$y�~Ux^z'�o|$�³w��$² z¼�$xW~8���$��}W~�y�v{�$w³�{�$~Uw��x^|{zdy�~�x��d�gv$wb²Gv$~=���{w��;~=�$xWwb�G�{zd�bwb}A¹ ¢ x^z�¹ ß�Â�3 373,Q���$�$xWwb�{~=�rzexWw��|$�b~ey=z­xW~8´GxW}^�$�{¹ ® v$~=�A~)}^v$~�}^z\�A²'~�}[�{~=�$xWwb}A¹�ÚÁ±Ð£Å�wbx)z��{�$wÙ�:�G�W��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G��w��$xWwb�{~z;x^|{v$~=�A~ ¢

Ú J Á±Ð£Å£ß��  3����.ÁLÐ+Å�� �3 �[ÁLУÅ�� � ; Á3Â=Ã'Å® v$~=�A~ �.ÁLÐ+ÅCå�Á � B � �B Å Ø � � ¢ z'�$�U}^v$~�|{�A�G|°�'x^zd�r�{~=�$xWwb}A¹Uwbxz Æ z'�$xWxWw�z'��y�~=�\}^�A~���G��}^v$~C�$�Awb²'w�� ¢

�¾Á±Ð£Å£ß�� B À��G�W�zd�ÝÁ�� B H'3�;�� � ÅSê Á � 3'Ŷ �Uw��|°�G�A}^z'�$y�~�x8z'�|$�bw��$²º�;~�}^v$�$� ® wb�b�i�°~�w�� }^�A�G�{�$�b~�wÙ��}^v$~�~�xW}�w¸�ozd}W�G� �Þ wbx�{�G�;w��{zd}�~��à�'¹ºz �:~ ® �¸z\�A²'~ ® ~�wb²Gv'}�x Ò ª�� v{z­} ® wb�b���{~�}8v$~�}]¹{|$wby=zd�e�Wz'�$²'~��d�·½z­�¸�$~�xm�d�r}^v$~ ® ~�wb²Gv'}�x Ò Q A ¹�}^v$~Cy�~=�\}^�Wzd�¿�³w��;wb}m}^v$~��G�A~=� ¢ wÙ���wbxe}8v$~��{wbxW}^z'�$y�~�Ý�A�G� }^v$~e�$�Awb²'w��;�d�£zmx^z'�|$�b~����3�G� � ¢ }^v$~��5�{z'�\}Wwb}A¹�� � v{zdx,zC�A�$�$²Gv$�b¹ Æ z'�$xWxWw�z'��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ® wb}^v���~=z'��z'�$��x�}^z'�$�>z'�A���{~�·$w�zd}Wwb�G���

� ��� � � ��� � � � ê Á � Â=Åuev$�$x,zd���;�\xW},zd�b��x^z'�o|$�³~�xE�Ý�A�G� ���bwb~�w���z �ï}A¹5|$wby=zd�¬xW~�}�� ® w³}8v;�{wbxW}^z'�$y�~m�Ý�A�G� }^v$~�G�Awb²'w�� ·'~=�3¹Uy��b�'xW~�}W� � � ª 0�~�}�$xzdxWx8�{�;~�}8v{zd}7�¼wbxy�v$�'xW~=� x^�$yJv }8v{zd}�}^v$~}A¹5|$wby=zd��xW~�}E�d� ���bwb~�xew��$xWwb�{~�}^v$~mx^|{v$~=�A~m�d� ��zd�{w��$x�� ª � PL�[wb}e�{�$~�xe�$�'} ¢ }8v$~=�}^v$~��z ® �­�£��z'�A²'~C�G�{�;�°~=�Ax�w¸�o|$�³wb~�xm}^v{zd}ezd���;�'x�},zd�b��}^v$~mx^z'�|$�b~�xe²'~=�$~=��zd}W~��o���A�$� �

Page 9: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q î wb�b�E��zd�b�r�G�$}�xWwb�{~ � z'�$� ® wb�b�ev{z=·\~ ® ~�wb²Gv\}�+�~=�A� ª �,uev$~=� ® ~�»$�$� ® }^v{zd}��;�'x�}x^z'�o|$�³~�x��Ý�A�G� � ® wb�b�rv{z=·\~�z;·½zd���$~��d� ��}^v{zd}e�bwb~�xmw¸� }^v$~��Wz'�$²\~

ÂÁ ��� � � Å é�� � ~�¯{| � � � � � �

� � ê Á �,� Åuev$�$xe}^v$~ ® ~�wb²Gv\}Wx Ò ßçÚ J K � ® w³�b�+}A¹5|$wby=zd�b�b¹`v{z�·'~C·dzd���$~�x�w���}8v$~��Wz'�$²'~

Á ��� � � ÅAé�� � ~�¯{| � � � � � � � ê Á � Ä'Å

È$��wÙ� ® ~�>�Wz ® z�vG�{�$�>�A~��¼x8z'�|$�b~�x ¢+® v{zd} ® wb�³��}^v$~�}A¹5|$wby=zd���Wz'�$²'~o�d� ® ~�wb²Gv'}�x�{~�Q � ~Cy=z\���A�G�$²$v$�³¹�~�xW}Ww��z­}W~C}^v$~��Wzd}�w³�o�d�£}^v$~C��z'�A²\~�xW} ® ~�wb²Gv'}�}W�;}^v$~��;~��{w�z'�® ~�wb²Gv'}�\¹º�{�$�{�$�³w��$² }^v$~�xW}^z\�$�>z'�A� �{~�·Gw�zd}Wwb�G� w�� ~��5�{zd}�w³�$�çÁ � Ä'Å ª uev$~���z'�A²'~�x�}® ~�wb²Gv'}mz'�$��}^v$~���~��{w¸z\� ® ~�wb²Gv'} ® wb�³�¿}]¹{|$wby=zd�b�b¹`�{~�w���}^v$~��Wz­}Wwb�>� �����Ò �����Ò ß ~�¯{|� � � �1ê Á � NGÅ

PÝ�� ß Â�37373��{w��;~=�$xWwb�G�$x�}^v$~=�A~8�:�G�A~ ¢ }^v$~���z'�A²'~�x�} ® ~�wb²Gv\}z��±}�~=���$�$~¾v$�{�$�>�A~��x^z'�o|$�³~�xmwbxe�bw�»d~��b¹�}W���°~��A�$�$²Gv$�b¹`Â�3 Ø�� }�w¸��~�xe²G�A~=zd}�~=��}^v{z'��}^v$~���~��{w¸z\� ® ~�wb²Gv'} ªuev$�$x)z'��w��|{�G�3}^z'�$y�~�x^z'�|$�bw��$²�~�x�}Ww��zd}W~E�:�G�rz�v$wb²Gv\´$�{w¸��~=�$xWwb�G�{zd�[|{�A�G�$�b~=� ® w³�b�·'~=�A¹��bw�»d~��b¹`�{~;�$}W}W~=�A�b¹��{�G�;w��{zd}W~����'¹�z��:~ ® x^z'�o|$�³~�x ® wb}^v�v$�$²'~ ® ~�wb²Gv'}�x ªPÕ�çy��G�$y����$xWwb�G� ¢ w��|°�G�A}^z'�$y�~ x^z'�|$�bw��$² w¸� v$w³²$vç�{w��;~=�$xWwb�G�$x��d�:}W~=� x8���.~=�3x�Ý�A�G� } ® ���{wR-�y=�$�b}Wwb~�x ªE« w��AxW} ¢+® ~�y��³~=z\�A�b¹��$~�~��¼}W���G�$}^zdw�� x^z\�|$�b~�x�}8v{zd};�³wb~�w��}^v$~�}]¹{|$wby=zd�exW~�}o�d� Ú ¢ z'�$�¼}^v$wbx��z�¹º}8z'»d~�z��b�G�$² }Ww��;~��{�$�b~�xWx ��wbx�z�²'�$�G�z'|{|{�A�d¯$w��zd}Wwb�G� }W�¾Ú ª È$~�y��$�$� ¢ ~�·'~=��wï� ® ~��G�$}^z­w¸��x^z\�|$�b~�xCw¸��}^v$~;}A¹{|$w³y=z­�£xW~�} ¢}^v$~ ® ~�wb²Gv'}�x zdx�xW�Gy�w�zd}�~�� ® wb}^v�}^v$�'x�~)x^z'�o|$�³~�x)z\�A~)�bw�»d~��b¹}W�e·dz'�A¹;�'¹C��z'�A²\~)�Ýzdy�}W�$�Ax ¢�{~�y=z\�$xW~�}8v$~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}Wwb~�x��­�¿|°�'w��'}�x)w���z }A¹5|$wby=zd�¬xW~�} ¢ z­�³}8v$�G�$²Gv;xWw��;wb��z'��}��C~=zdyJv�'}^v$~=� ¢ x�}Wwb�³�+�{w �[~=���\¹�Ýzdy�}W�$�Ax��d� �$�A�{~=��~�¯{|[Á � �Å ª

[Ë � ��¤��{�d� �Y� � �S� ���+ L� ��¡� ~�z­xWx^�{�;~�z­²Gzdw���z��G�$~8´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd�)�{~=�$xWwb}A¹ºÚÁ��¬ÅCß Ú J Á��>ÅLK)M�}^v{z­}Cw³x�}W�$�y��G�|$�bwby=zd}W~��çz��Ý�{�$y�}Wwb�G���±�G�o�$x�}W� �{~`z\�$�³~�}W�Ux^z\�|$�b~��Ý�A�G� wb}��{w¸�3~�y�}W�b¹ ª � ~zdxWx8�{�;~�}^v{zd} ® ~ev{z�·'~�zmxWw��|$�b~=�+2¥6A?82{?dHJ4\a{P'0=<°HJIL7:F �¾Á��¬Å ® v$wby�v ® ~)y=z'��~�·dzd���{zd}W~Á ® wb}^v$w��Uz��;�$�b}Ww�|$�³wby=zd}�w³·\~�Ýzdy�}W�G�TM � ¢ zdxC�{~8�:�G�A~=Å ¢ z'�$� ® v$wby�v ® ~;y=z'��²'~=�$~=�Wz­}W~x^z'�o|$�³~�x ���3�G� ª"� ~����{�A}8v$~=�CzdxWx^�{�;~;}^v{z­} ® ~;»G�$� ® }^v$~;·dzd���$~��d�ezy��$�$xW}^z'�\}��x^�$y�v�}^v{z­} �±�G��zd�b� � ¢ � � J Á �>Å��àÚ J Á��¬Å�ê Á � V'Ŷ xWyJv$~=�ozd}Wwby�|$wby�}^�{�A~��d�r}^v$~C} ® ���Ý�{�$y�}Wwb�G�$xmw³xmx^v$� ® �ow�� �>²G�{�A~ NGz ª

� ~;²'~=�$~=��zd}W~;} ® ���Wz'�$�{�$� �G�{�;�{~=�3x ª uev$~��¥�Ax�} ¢ � ¢ wbx�²'~=�$~=�Wz­}W~������A�$� }^v$~|{�A�G|°�'x^zd���{~=�$xWwb}A¹ �¾Á �>Å ª�� ~C}^v$~=� ~�·½zd���{zd}�~�� � J Á��¬Å,z\�$��²'~=�$~=�Wz­}W~�z;�{�$wï�:�G�W���³¹

Page 10: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

Â�3 !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-Á�z'Å

cQ*(x)

x

P*(x)

Á��{Å

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������cQ*(x)

x

u

x

P*(x)

�������� ��7�� î��:î � ôLøïó�òeñ:ð^þEÿ=íùøùò�� ��ð � ��õ½î �bú=ò � ôLøïó�ò½ñ¬øùò �8óWí��8îAü�øùò�ûÝî��±î � ôLøïó�òiñ:ð8þEÿ=íùøùò�� � ��î�ü=îAñLøùûÝîñ:ð8þ)ÿ�íïîAñ��bûÝó^þ ��� � � ��� ������î)ð�ûÝî,ð!�=íïî�ô:óeüSûÝðW÷Uñ:ð8þEÿ=íïîAñ �bûÝó^þ ��� �� � ��� �� 'ðWòdü�÷�î� ò½ó�÷¼ð �WðWíùúdî��eñLú � õ�ôLõ½ð8ô�� � ��� ��� � ��� � ��ó�û,ð�íùí ����� � H ÿ'ó�øùò=ô ��� S N��gøïñ �^îÕò½îÕûÝð8ô:îAüð^ôûÝð�ò½ü=ó8þ øùòôLõ½îríùø���õ=ôLí��;ñLõ½ð8ü=îAü;ðWûÝîAð�ú=òdü=îÕû)ôLõ½î � ú=û �8î�� � ��� ���Gö �¥ôLõ�øïñ+ÿ'óWøùò=ôEðWíïñ:ó�íùøïîAñ��'îÕíïóW÷ � ��� �¬ôLõ½îÕòCøïô�øïñ+ð ��� îÕÿ½ô:îAü ��{wbxW}^�Aw��{�$}W~�����z'�$�{�G��·dz'�Aw�z'�$�b~��o�Ý�A�G��}8v$~ew��'}W~=�3·½zd� �53�; � � J=Á �>Å � ª u�v$~�xW~�} ® ���Wz'�\µ�{�G� �$�{���°~=�Ax;y=z'� �{~�·$w³~ ® ~��¼zdx;xW~��b~�y�}Ww��$²ºz�|{�'w��\};w¸� }8v$~�} ® �d´G�{w��;~=�$xWwb�G�{z­�|$��z'�$~�z­xex^v$� ® ��w�� �>²G�{�3~BNG� ª

� ~m�$� ® ~�·½zd���{zd}�~1Ú J Á��¬Årz'�$��zdy�y�~=|$}E�G�)�3~ �]~�y�}E}^v$~ex^z'�o|$�³~T���\¹;y��G�|{z'�Aw��$²}^v$~�·½zd���$~��d��� ® wb}^v }^v$~�·½z­�¸�$~��­�1Ú J Á��>Å ª PL��� � Ú J Á��¬Å�}8v$~=� � w³x�A~ �A~�y�}W~���H�'}^v$~=� ® wbxW~�wb}mw³xCzdy�y�~=|$}W~�� ¢¬® v$wby�v��;~=z'�$xm}^v{zd} ® ~�z­�{� ��}���G�{��xW~�}m�d�rx^z'�|$�b~�xÏ � ѳÒWÓ Ô ª u�v$~C·½zd���$~��­��� w³xm�{wbxWy=z'�A�{~�� ª� v\¹U�{�G~�x;}^v$wbx|{�A�$y�~��>�{�A~�²'~=�$~=�Wzd}W~�x^z'�o|$�³~�x��Ý�A�G� ÚÁ��>ÅLQ�u�v$~¾|{�A�$|{�'xW~��|{�\w¸�\}�Á�� ;��>Åmy��G��~�x ® wb}^v �{�$wÙ�±�G��� |{�3�G�{z'�$wb�bw³}A¹��Ý�A�G� }^v$~�bwb²Gv\}W�b¹ºx^v{z­�{~���z'�3~=z�{�$�{~=�W�$~=zd}8v }^v$~Uy=�{�A·\~ � � JdÁ��>Å�z­x�x^v$� ® � w¸� �>²G�{�A~ NG� ª uev$~U�A~ �A~�y�}Wwb�G�ç�W�$�b~�A~ �A~�y�}Wx�z­�³�E}^v$~�|°�'w��'}Wx;}^v{z­}C�³wb~�z'�°�d·'~;}^v$~�y=�{�3·'~�Ú J Á��¬Å ª È$��}^v$~�|{�'w��\}Wx�Á�� ;��>Å}^v{zd}+z'�A~)zdy�y�~=|$}W~��;z'�A~)�{�$wÙ�:�G�W�;�b¹��{wbxW}8�Aw��{�$}W~��;w¸� }^v$~,v$~=z�·$wb�³¹�x^v{zd�{~��;z'�A~=ze�{�$�{~=�Ú J Á��¬Å ª uev$wbx)w��|$�bwb~�xe}^v{zd}r}8v$~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹�{~=�$xWwb}A¹��­�¥}^v$~��5´Gy��$�G�A�{w��{zd}W~�xE�d�¥}^v$~zdy�y�~=|$}W~�� |{�'w��\}Wx��;�$xW}��°~`|{�A�$|{�G�A}�w³�$�{zd��}W�UÚ J Á��¬Å ¢ xW��}^v$~�x^z\�|$�b~�x��;�$xW}��{~w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x^z\�|$�b~�x����3�G� ÚÁ��¬Å ªÇ ~ �A~�y�}Wwb�G��x^z\�|$�bw¸�$² ® wb�³� ® �G�W»;�°~�xW}�wï� � wbx�z ²'�G�$��z'|{|{�A�d¯Gw��z­}Wwb�G�;}W�;Ú ª P±�

� wbx�·'~=�3¹��{w �[~=�A~=�\}e�Ý�A�G� Úâ}^v$~=� � ® w³�b�r�$~�y�~�xWx^z'�3w³�b¹�v{z=·\~�}W��{~;��z'�A²\~�z'�$��}^v$~�Ý�A~��5�$~=�$y�¹��­�g�A~ �A~�y�}Wwb�G� ® wb�b�r�{~���z'�3²'~ ª�'"21�"t���#)�[%+s/5 > 9àqd(,&76�8�5�9;: 5�9à&;( 9r- ! 5Ý&��(9�q 5 > 9,qPÝ� z�v$w³²$v\´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�e|{�A�G�$�b~=� wb}�wbx�·'~=�A¹��bw�»d~��b¹�}^v{zd}C}^v$~�A~��{�$w��A~=�;~=�\}�}^v{z­}� � J �°~�z'���{|{|{~=�C�°�G�{�$���±�G��Ú J ® wb�b�[�:�G�Ay�~ �m}W���°~�x���vG�$²\~�}^v{zd}mzdy�y�~=|$}^z'�$y�~�x® wb�b���{~�·'~=�A¹º��z'�A~�w¸�$�{~�~�� ªE« w��$�{w��$²ºx^�$y�v¼z�·½zd���$~��d� ���z�¹º�{~��{wR-�y=�$�b}�}W�G� ¢xWw��$y�~�w����z'�\¹�|{�A�G�$�b~=�;x ® ~C�{�G�(�ù}e»G�$� ® �°~8�±�$�A~=v{z'�$� ® v$~=�A~C}8v$~��;�G�{~�xm�d� Ú Jz'�A~C�b�$y=zd}W~����G��v$� ® v$w³²$v�}^v$~�¹�z'�A~ ª

Page 11: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q Â\Â

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(x)cQ(x)

�������� ��� H I+ð�ú½ñ:ñLøïð�ò ��� �¬ðWòdü�ð�ñLíùø���õ=ôLí�� �=ûÝó8ð^ü�îÝû�I+ðWúdñ:ñLøïðWò ��� �¬ñ � ðWíïîAümú=ÿ � �eð �¸ð � ô:óWû�+ñLú � õ�ôLõdð^ô � ��� ��� ��� ���

¶ xz�y=zdxW~oxW}^�$�{¹ ¢ y��G�$xWwb�{~=�;z�|{zdw����d�� ´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd� Æ z'�$xWxWw�z'� �{wbxW}^�Aw��{�\µ}Wwb�G�$x ® wb}^v��;~=z\�7+�~=�A��Á �>²$�{�A~ V\Å ª PÕ�zd²'w��$~C²'~=�$~=�Wz­}Ww��$²�x8z'�|$�b~�xE���A�$� �$�$~ ® wb}^vxW}^z\�$�>z'�A�;�{~�·Gw�zd}�w³�$� � ��z\�$���$xWw��$²��A~ �A~�y�}Wwb�G�;x8z'�|$�bw��$²�}W�C�G�$}8zdw��;x^z'�|$�b~�xg���A�$�}^v$~��'}^v$~=� ® v$�'x�~�xW}8z'�$�>z'�A�U�{~�·$w�zd}Wwb�G� wbx � ª 0�~�}�$xzdxWx^�{��~�}^v{z­}�}^v$~�xW~�} ® �xW}^z\�$�>z'�A���{~�·Gw�zd}Wwb�G�$xmz'�A~ey��b�'xW~Cw���·dzd���$~T� x^z�¹ ¢ ��� wbxe�G�$~C|{~=�Ay�~=�\}e��z'�A²\~=�r}^v{z'�� ª � � � �;�$xW}�°~���z'�A²'~=��}^v{z'��� ��{~�y=z\�$xW~�wÙ�C}^v$wbxwbx¾�$�'};}^v$~�y=z­xW~ ¢ }^v$~=�A~�wbx�$� �;x^�$y�vU}8v{zd}�� ���{|{|°~=�Õ´5�{�$�{�$�{x�Ú �:�G��zd�b�,Ð ª �iÈ$� ¢¿® v{zd}�w³x;}^v$~�·½z­�¸�$~��­� �wÙ�1}8v$~��{w¸��~=�$xWwb�G�{zd�bwb}]¹ wbx ß Â�37373,Q�u�v$~��{~=�$xWwb}]¹ �d� ��ÁLУÅ;zd};}^v$~��G�Awb²'w��¼wbxÂ�K>Á ��� � �� Å é�� � ¢ x����:�G� � ��}W��{|{|{~=�Õ´{�{�G�{�$�UÚ ® ~��$~�~���}W�;xW~�}

�eß Á ��� � �� Å é�� �Á ��� ��� Å é�� � ß ~�¯{|��, �³�\² � �� �� ê Á � É'Å

� wb}^v �ß Â�373 3�z'�$� ��� ß�Â'ê53{ ¢$® ~ �¥�$� ��ßâ~�¯5|[ÁAÂ�3'Å � � 3�;&3 373 ª�� v{zd} ® w³�b�}^v$~��A~ �A~�y�}Wwb�G�¼�Wzd}W~��{~��:�G� }^v$wbx·½zd���$~��d� �)Q�uev$~�z'�$x ® ~=��wbx�w����~��{w¸z­}W~'�rxWw��$y�~}^v$~�zdy�y�~=|$}8z'�$y�~��Wzd}W~mwbx�}8v$~��Wzd}Wwb�;�d�£}^v$~C·\�'���{�;~��{�$�{~=�e}8v$~Cy=�{�A·'~�ÚÁLУÅE}W�;}^v$~·'�'���{�;~m�{�$�{~=� � �¾Á±Ð£Å ¢ }^v$~i��zdy�}r}8v{zd})Ú z'�$� � z'�3~i�$�$�W�zd�bw2+�~���w��|$�bwb~�xe}^v{z­}£}^v$~zdy�y�~=|$}^z\�$y�~��Wzd}W~ ® wb�b�[�{~�ÂIK�� ª=« �G�+�G�{�gy=zdxW~exW}8�$�{¹ ¢ }^v$wbx)wbx�Â�K � 3�;&3 373 ª PÕ�;²'~=�$~=�Wzd� ¢�m²G�A� ® x�~�¯{|{�G�$~=�\}Ww�zd�b�b¹ ® wb}^v }^v$~C�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�bwb}A¹ ªÇ ~ �A~�y�}Wwb�G��x^z'�o|$�³w��$² ¢ }^v$~=�A~8�:�G�A~ ¢�® v$wb�bxW}rze�$xW~8�Ý�$�G�;~�}^v$�$�m�:�G���G�$~8´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd�|{�A�G�$�b~=�;x ¢ wbx�$�'}z�|{��zdy�}Wwby=zd��}W~�y�v{�$w³�{�$~��:�G�C²'~=�$~=��zd}Ww��$²�x^z'�|$�b~�x����3�G��v$wb²Gv\´�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�+�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x�ÚÁ±Ð£Å ª�£Ë � ¦�� � �G� ���¥�+�� Q� � � �$�d¦ �[§PÝ�o|{�G�A}8z'�$y�~�x8z'�|$�bw��$²�z'�$���A~ �A~�y�}Wwb�G�ox^z'�|$�bw��$²�G�$�b¹ ® �G��» ® ~��b�>wÙ�£}8v$~1|{�A�$|{�'x^z­��{~=�$xWwb}A¹ �¾Á��¬Å[wbx)x�w¸��w³��z'�g}W�CÚÁ��>Å ª PÕ�;��z'�A²'~ez'�$�;y��G�o|$�³~�¯|{�A�$�$�³~=��x)wb}rwbx)�{wR-�y=�$�b}}W�y=�3~=zd}W~�z�xWw��$²'�b~;�{~=�$xWwb}]¹ ��Á��>ÅE}^v{z­}�v{zdxe}^v$wbx�|{�3�G|{~=�A}A¹ ª

Page 12: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

 � !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-

�� ÑLØ]Ó

�¾Á���H�� ÑQØ]Ó Å

Ú J Á��>Å�� Ñ ��Ó

��Á���H � ÑD�WÓ Å

Ú J Á��>Å

�������� ����� îAôLûÝó�ÿ'óWíùøïñeþ�îAôLõ½ó�ü�øùòó�ò½îeüSøïþ,îÕòdñLøïóWò�� ��õdîEÿ=ûÝó�ÿ­ó8ñ:ð�í£ü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó�ò ����� �F� �¿øïñõ½îÕûÝîeñLõdóW÷�ò;ð^ñgõ½ð��8øùò���ðmñLõ½ð�ÿ­îmôLõ½ð8ô � õdðWò��^îAñ�ð8ñ�� � õ½ð�ò��8îAñ� 5ôLõdóWú��WõôLõ�øïñ)øïñgò½ó8ôrô��8ÿ�ø � ðWí[ó!�ôLõ½î+ÿ�ûÝóWÿ'ó8ñ:ðWí>ü�îÕò½ñLøïôLøïîAñ+ú½ñ:îAümøùòCÿ=ûÝð � ôLø � î �uev$~���~�}^�3�G|{�'�bwbx�zd�b²'�$�Awb}^v{� w¸�$x�}W~=zd�à�z'»­~�x��$x�~��d�1z�|{�A�G|°�'x^zd�E�{~=�$xWwb}]¹ �

� DGILK�DºP\0A250�<>PdH�?'<¼7LDG0�K & 6^6A0�<>7mH�7:4'7:0 � Ñ��QÓ ª uev$~��{~=�$xWwb}A¹���Á��OH�� Ñ��QÓ Å;�;wb²Gv\}�w��}^v$~x�w¸�o|$�³~�x�}�y=z­xW~¾�°~�z�x�w¸�o|$�³~��{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G� x^�$y�vUzdx�z Æ z'�$x�xWw�z'��y�~=�\}^�A~��U�G�}^v$~Cy=�{�W�3~=�'}�� Ñ��LÓ ª uev$~�|{�3�G|{�'x8zd���{~=�$xWwb}]¹ ��Á�� H��¬Å)y=z\���{~�z\�'¹ �>¯G~����{~=�$xWwb}A¹ ª P:}wbx��$�'}��$~�y�~�x�x^z'�A¹ �±�G� ��Á��OH�� Ñ��QÓ Åm}W���b�$�G»�zd}�z­�³�rx�w¸��w³��z'��}W��ÚÁ��¬Å ª�¶ ��~�¯{z'�|$�b~�d��zU|{�A�G|°�'x^zd���{~=�$xWwb}]¹¼wbx�x^v$� ® � w�� �>²G�{�3~�É�Hr}^v$wbx �>²G�{�A~�x8v$� ® x�}8v$~��{~=�$xWwb}A¹�¾Á � H ��Ñ��QÓ:ÅE�:�G�E} ® �;�{w �[~=�A~=�\}exW}^zd}�~�x���ÑLØ]Órz'�$� �.Ñ �WÓ ª¶ x,�°~8�±�G�3~ ¢G® ~�z­xWx^�{�;~e}8v{zd} ® ~ey=z'��~�·½zd���{zd}W~CÚ J Á��¬Å+�:�G�)z'�\¹7� ª\¶ }�~=�'}^z­}Wwb·'~�$~ ® x�}^zd}W~�� w³x�²'~=�$~=�Wzd}�~����Ý�A�G� }8v$~�|{�A�G|°�'x^zd�+�{~=�$xWwb}A¹ ��Á�� H�� Ñ��QÓ Å ª u[���{~�y�wb�{~® v$~�}^v$~=�i}W��zdy�y�~=|$}e}8v$~��$~ ® xW}8zd}W~ ¢$® ~Cy��G�|{�$}W~C}^v$~��5�{z\�'}Wwb}A¹

� ß Ú J Á��bÅÚ J Á � Ñ��QÓ Å �¾Á � Ñ��QÓ H�� ³Å�¾Á � H � Ñ��QÓ Å ê Á � E'Å� ! ��� ÂC}^v$~=��}8v$~��$~ ® xW}8zd}W~mw³xCzdy�y�~=|$}W~�� ª� �d¦�� ����� ����¢ }^v$~��$~ ® xW}^z­}W~�wbxCzdy�y�~=|$}W~�� ® wb}^v�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹ � ª Á � 6'Å

PL��}^v$~;xW}W~=|�wbx�zdy�y�~=|$}�~�� ¢�® ~�xW~�}�� Ñ����¿Ø]Ó ß � ª PL��}^v$~;xW}W~=|�wbx��A~ �]~�y�}�~�� ¢ }^v$~=� ® ~xW~�}�� Ñ����¿Ø]Ó ß � Ñ��QÓ ª À��'}W~�}^v$~;�{w �.~=�3~=�$y�~�Ý�A�G� �A~ �A~�y�}Wwb�G��x^z'�|$�bw��$²>�[w��U�3~ �]~�y�}Wwb�G�x^z'�o|$�³w��$² ¢ �A~ �]~�y�}�~��¾|°�'w��'}Wxmz'�A~e�{wbxWy=z'�3�{~��`z'�$��v{z�·'~��$�;w����¥�$~=�$y�~��$�}^v$~m�bwbxW}e�d�x^z'�o|$�³~�x Ï � ÑbÒWÓ Ô1}8v{zd} ® ~Cy��\�³�b~�y�}W~�� ª C ~=�A~ ¢ z��3~ �]~�y�}Wwb�G��y=z\�$xW~�xe}^v$~Cy=�{�W�3~=�'}�xW}^z­}W~}W���°~ ® �Awb}W}W~=� �G�\}W�;}^v$~C�bw³x�}��d�)|{�\w¸�\}WxCz'�$�'}^v$~=�E}Ww��;~ ª� � ���{� �Y� �rÎ P�v{z=·\~��$xW~���}^v$~�x^�{|{~=�Ax�y=�Aw�|$}���ß ÂEê=ê�ê ��}W�o�¸z\�{~��)|{�\w¸�\}WxC}^v{z­}z'�A~mIQ<¬P'0A2{0=<¬P'0=<¬7�x^z'�|$�b~�x+�Ý�A�G� ze�{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$� ¢ z'�$�;}^v$~�x^�{|°~=�AxWy=�Aw�|$}��rß�ÂEê=ê=ê �}W�e��z'�°~��'}^v$~ExW~��5�$~=�$y�~E�d�{xW}^zd}W~�x�w���zi��z\�W»d�d·�yJv{zdw�� ª P:}[wbx+w��|{�G�3}^z'�\}[}W�e�$�'}W~r}^v{z­}z���~�}^�A�G|°�'�bw³xoxWw����$��zd}�w³�$� �d��� wb}W~=�Wzd}Wwb�G�$x;�{�$~�x��$�'}|{�A�$�>�$y�~ � w¸�$�{~=|°~=�$�{~=�'}x^z'�o|$�³~�x��Ý�A�G��}^v$~C}^z'�3²'~�}��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G��Ú ª u�v$~Cx^z'�|$�b~�xCz'�A~Cy��G�W�3~��¸z­}W~�� ªu¿��y��$�|{�$}W~C}^v$~;zdy�y�~=|$}^z'�$y�~;|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹ ® ~��$~�~���}����{~z'�$�b~�}��y��G�|{�$}W~}^v$~|{�A�G�{z\�$w³�bwb}A¹º�Wzd}�w³�\x1ÚÁ�� ÅLK'ÚÁ�� Ñ��QÓ Åmz'�$� ��Á�� Ñ��QÓ H � ÅLK ��Á�� H�� Ñ��QÓ Å ª P±�,}^v$~|{�A�dµ|{�\x^zd�r�{~=�$xWwb}A¹�w³x;z�xWw��|$�b~�xW¹{��;~�}^�Awby=zd�r�{~=�$x�w³}A¹�x^�$y�vUzdx�z Æ z'�$xWxWw�z'��y�~=�\}^�A~���G� }^v$~�y=�{���A~=�'}�|{�'w��\} ¢ }^v$~=� }^v$~���zd}�}W~=���Ýzdy�}W�G��wbx��{�$wb}A¹ ¢ z'�$�¼}8v$~��`~�}8�A�G|{�\�³wbx

Page 13: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q Â�Ä

Ð ÑLØ]Ó�¾Á±Ð HWÐ ÑLØ]Ó Å

Ú J ÁLУÅ

�������� ��'� � îAôLûÝó�ÿ­ó�íùøïñ+þ,îAôLõdó�ü�øùò1ôL÷�órü�øïþ�îÕò½ñLøïó�ò½ñ� 'ñLõdóW÷�øùò���ðEôLûÝð^üSøïôLøïóWòdðWí{ÿ�ûÝóWÿ'ó8ñ:ðWí{ü=îÕò½ñLøïô �ôLõ½ð8ô�õdð^ñ+ð�ñLú�� � øïîÝò=ôLí��Cñ:þ�ð�íùí5ñ:ô:îÕÿ�ñLø��Aî��+ôLõ½ð8ô[ôLõ½îrð ��� îÕÿdô:ðWò � î �bûÝî��8údîÕò � ��÷.øùíùí �­îrð!�'óWúdô � � %�

�;~�}^v$�$� xWw��|$�b¹ºw��\·'�'�b·'~�x;y��G�|{z'�3w¸�$²�}^v$~�·½zd���$~��d�e}^v$~�}^z'�A²\~�}C�{~=�$xWwb}]¹ zd}�}^v$~} ® ��|°�'w��'}�x ª uev$~�²'~=�$~=�Wzd�£z­�³²\�G�Awb}^v{���:�G�ezdx�¹5���~�}^�Awby � ¢ ²\w³·\~=��z'�{�d·'~ ¢ wbxm�d�:}W~=�y=zd�b�b~���}^v$~C��~�}^�A�G|°�'�bw³x3´ C z­xW}Ww��$²'x�zd�b²'�$�Awb}^v{� ªP�}�y=z'�ç�°~Ux^v$� ® � }8v{zd}��±�$��z'�'¹ |{�'x�w³}�w³·\~�� Á±}^v{zd}�wbx ¢ z\�'¹ ��x^�$y�v }^v{z­}

�¾Á � H �>Å � 3��:�G��zd�b��� ;�� ³Å ¢ zdx �� > ¢ }^v$~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹¼�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G� �d� � Ñ��QÓ}W~=�$�{xm}W�ÚÁ��>ÅEßçÚBJ'Á��¬ÅLK)M ª �ïuev$wbxexW}^z­}W~=�;~=�\}ex^v$�G�$�b�`�$�\}��{~�xW~�~=��zdxew��|$�b¹$w¸�$²}^v{zd} ��DG4­He}W�1z­xWxWwb²G�;|{�'x�w³}�w³·\~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹�}��C~�·'~=�A¹�|°�'w��'} � ,� ® ~ ® wb�b�{�{w³x�y=�$xWx~�¯{z'�|$�b~�xC��zd}W~=� ® v$~=�A~ �¾Á�� H �>Å)ß 3��±�G��xW�G��~ � ; �OH>�$�'}Wwby�~zd�bxW��}^v{zd} ® ~;v{z�·'~x^zdwb���$�'}^v$w��$²�z'�°�G�$}�v$� ® �Wz'|$wb�{�b¹�}8v$~Cy��G�'·\~=�A²'~=�$y�~C}W��ÚÁ �>Å�}^z\»d~�xe|$�¸z­y�~ ª �uev$~���~�}^�A�G|°�'�bw³x��;~�}^v$�$�àwbx�z'� ~�¯{z'�|$�b~��d� z �³� � � �>�{Ì �\¦¥� � � � � �>��� � �d Y� ���;~�}^v$�$� Á:z'�{�{�3~�·Gw�zd}W~�� �U���U�eÅ ª PÝ� y��G�\}^�Wzdx�}}W�º�A~ �A~�y�}Wwb�G� x^z'�|$�bw��$²® v$~=�A~m}^v$~�z­y�y�~=|$}W~��¾|°�'w��'}�x�Ï ��ÑbÒ3ÓÕÔCz'�A~ew��$�{~=|°~=�$�{~=�'}mx^z'�|$�b~�xE�Ý�A�G��}8v$~e�{~�xWw��A~���{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ¢ ��z\�W»d�d·CyJv{z­w¸�o���G�\}W~��ez'�3�³����~�}^v$�G�{x�w��\·'�'�b·'~CzC�Uz'�W»d�d·�|{�A�$y�~�xWxw�� ® v$wby�vUz�xW~��{�$~=�$y�~�d�,x�}^zd}W~�x�Ï � Ñ��QÓ ÔwbxC²'~=�$~=�Wz­}W~�� ¢ ~=zdy�v�x8z'�|$�b~ � Ñ��QÓ v{z�·Gw��$²z;|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹��{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$��}^v{zd})�{~=|°~=�$�{x��$�}^v$~C|{�A~�·$wb�G�$x�·½zd���$~ ¢ � Ñ�� � Ø]Ó ª È$w��$y�~x^�$y�y�~�xWx�w³·\~�x^z\�|$�b~�x�z'�A~;y��G���A~���zd}W~�� ® wb}^v�~=zdyJv��'}8v$~=� ¢ }^v$~�Uz'�W»­�½·�y�v{zdw��U�z�¹v{z�·'~}W���°~¾���{���:�G�Cz�y��$�$xWwb�{~=�Wz'�$�b~�}Ww��;~�w¸� �G�A�{~=� }W��²'~=�$~=�Wz­}W~x^z'�o|$�³~�x;}^v{z­}z'�A~C~ �[~�y�}Wwb·'~��b¹�w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x8z'�|$�b~�x��Ý�A�G� Ú ª�G�$x�}�zdxewb} ® zdxe�{wR-�y=�$�b}�}W�o~�xW}Ww��zd}W~;}^v$~�·½z'�3w¸z\�$y�~��­�,z'��w��|°�G�A}^z'�$y�~;x^z\��µ|$�bw��$²`~�x�}Ww��zd}W�G� ¢ xW��wb}Cwbx��{wR-�y=�$�b};}W��zdxWxW~�x�x ® v$~�}^v$~=��z��Uz'��»d�d·�y�v{zdw������G�\}W~�ez'�3�³�;�;~�}^v$�$�¾v{z­x �Ùy��G�'·\~=�A²'~���� ¢ z'�$��}W���5�{z'�\}WwÙ�:¹�v$� ® �b�G�$²;�G�$~Cv{zdx�}W� ® zdwb})}���G�$}^z­w¸��x8z'�|$�b~�x�}8v{zd}�z'�A~m~ �[~�y�}Wwb·'~��b¹�w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}Cx^z'�o|$�³~�x��Ý�A�G� Ú ª

Page 14: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

Â)N !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-�G"21�"! �¿&7> 9,qds)tg([s/5 > 9 >;< s/4 ��&���s)t/>G6�>G8 5Ýq�& ��s/4;>�!uev$~r��~�}^�A�$|{�'�bwbx ��~�}^v$�G�Cwbx ® wb�{~��b¹��$xW~��m�:�G�[v$wb²Gv\´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd�>|{�A�G�$�b~=�;x ª ��z\�'¹w��|$�b~=�;~=�\}^zd}Wwb�G�$xm�d�r}^v$~���~�}^�A�$|{�'�bwbx��;~�}^v$�$��~=�o|$�³�d¹�z|{�A�G|°�'x^zd�¿�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�® wb}^vz �b~=�$²'}^voxWy=zd�b~ � }^v{z­}rw³x�x^v$�$�A})�A~���zd}Wwb·'~m}W�C}^v$~m�b~=�$²'}^v;xWy=z­�³~ � �d�[}^v$~�|{�A�G�\µz'�$�b~��A~�²'wb�G��Á �>²G�{�3~�E'Å ª'¶ �A~=z­xW�G���±�G�gyJv$�$�'xWw��$²z�x^�zd�b���b~=�$²'}^v�xWy=z­�³~mwbxe}^v{zd}g�±�$��;�'x�},v$wb²Gv\´G�{w��;~=�$xWwb�G�{z­� |{�A�$�$�³~=��x ¢ z���z'�3²'~1��z'�$�{�G��xW}W~=|����3�G� z�}A¹5|$wby=zd�[|°�'w��'}ÁL}^v{z­}rw³x ¢ zmx8z'�|$�b~e�Ý�A�G��ÚÁLУÅWÅ+wbx�·'~=�A¹;�bw�»d~��b¹�}��C~=�$��w���zCxW}^z­}W~ ® v$wbyJv�v{zdxE·'~=�A¹�b� ® |{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹ H�x^�$y�v�xW}W~=|$xCz'�A~��{�$�bw�»d~��b¹�}W��{~zdy�y�~=|$}W~�� ª PL� � w³xm��z'�A²'~ ¢ �;�d·'~8µ�;~=�\}�z'�3�G�{�$��}^v$~xW}^z­}W~;x^|{zdy�~ ® wb�b���G�$�b¹��Gy�y=�{� ® v$~=�Uz�}8�Wz'�$xWwb}Wwb�G��}��`z�xW}^z­}W~® v$wby�vv{zdx+·'~=�A¹C�b� ® |{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹;wbx)zdy�}^�{z­�³�b¹;zdy�y�~=|$}W~�� ¢ �G� ® v$~=�;z���z'�A²'~e�Wz'�$�{�$�xW}W~=|�y�v{z'�$y�~�xe}�����z'�$��w���z'�$�\}^v$~=�e|{�A�G�{z\�$�³~Cx�}^zd}W~ ª È$�}^v$~��Wzd}�~��d�r|{�A�'²G�A~�x�x ® w³�b��{~�xW�b� ®�¢ �{�$�³~�x�xCx^�zd�b�[xW}�~=|$x�z'�A~��$xW~�� ªuev$~��{wbx^zd�{·dz'�\}^zd²'~E�d�>x^�zd�b�$xW}W~=|$x ¢ �G� }^v$~��'}^v$~=�+v{z'�$� ¢ wbxr}^v{z­}£}^v$~E��~�}^�A�G|°�dµ�bwbx1�;~�}8v$�G� ® wb�b�[~�¯5|$�b�G�3~�}^v$~C|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G���\¹�z�6A4'<>P\?'9 � 4'a�� ¢ z'�$��Wz'�$�{�$� ® zd��»'x[}8z'»d~)z��b�G�$²m}Ww��;~)}��,²\~�}£z'�\¹ ® v$~=�3~ ª ���G�$xWwb�{~=�+z��G�$~8´G�{w��;~=�$x�w³�$�{zd��Wz'�$�{�$� ® zd��» ¢ �:�G�g~�¯5z'�o|$�³~ ¢ �G�;~=zdy�v;xW}�~=|;�d� ® v$wbyJvo}^v$~ex�}^zd}W~e�;�d·'~�x)�Wz\�$�{�G�;�b¹}W��}^v$~�b~8�±};�G� }W��}8v$~��Awb²Gv\} ® w³}8v�~��5�{z­�i|{�3�G�{z'�$wb�bw³}A¹ ª+¶ �±}W~=� � xW}W~=|$x��­�ix�wU+�~ � ¢}^v$~x�}^zd}W~;wbx;�G�$�b¹`�bw�»d~��b¹ }W��v{z�·'~��;�d·'~��Uz��{wbxW}8z'�$y�~¾z\�{�G�$} � � � ª£Ç ~�y=z­�³��}^v{z­}}^v$~ �¥�AxW}�zdw�� �­�1���G�\}W~��ez'�3�³� x^z'�|$�bw��$²¼wbx}W�U²'~=�$~=��zd}W~`z �G�{�;�{~=���d��IL<>P\0��250�<>P'0�<>7�x^z'�|$�b~�xm�Ý�A�G� }^v$~;²'wb·'~=���{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�àÁ:z��{�,+�~=� ¢ x8z=¹{Å ª PL��}^v$~��z'�A²'~�x�}�b~=�$²'}^v xWy=zd�b~�d�e}^v$~;xW}8zd}W~x^|{z­y�~wbx�� ¢ }8v$~=� ® ~v{z�·'~}W��xWw��;�$��zd}W~�z��Wz'�$�{�G��´® zd��»;��~�}^�A�G|°�'�bwbxi��~�}^v$�G�o�:�G�)z�}Ww��;~�� � Á � K � Å � �°~8�±�$�A~ ® ~my=z'�o~�¯5|°~�y�}e}W��²\~�}z;x^z\�|$�b~C}^v{zd}�wbx��A�G�$²Gv$�b¹�w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}C�d�£}8v$~Cw¸�$wb}Ww�zd�+y��G�$�{wb}Wwb�G� � z'�$��}^v{zd}�� xzdxWx8�{�;w��$²�}^v{zd}m~�·'~=�A¹�x�}W~=|�w³x;zdy�y�~=|$}W~��[��wÙ�,�$�$�³¹Uz�����zdy�}Wwb�G���U�­�,}^v$~;xW}W~=|$x�z\�A~zdy�y�~=|$}W~����G��z�·'~=�Wzd²\~ ¢ }8v$~=��}^v$wbx�}Ww��;~Cwbxmw��$y=�A~=zdxW~����'¹�z �Ýzdy�}W�G�CÂIK�� ª� �   � �*! �d¦�� ��© Î  ��� � �e©+� �+� § � ����� ��© � ���"![� ��� � �{� ��� �.� �*! � � �$� ���¥�+�>� L� � � �$�d¦ �.§ Ë PL�r}^v$~m��z'�A²'~�xW}��³~=�$²\}^v�xWy=zd�b~C�d�£}8v$~Cx^|{zdy�~C�d� |{�3�G�{z'�$�b~CxW}^zd}�~�xwbx � ¢ ze��~�}^�A�$|{�'�bwbx)�;~�}^v$�$� ® v$�'xW~e|{�A�G|°�'x^zd�$�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G��²'~=�$~=�Wzd}W~�x)zm�Wz'�\µ�{�$� ® zd��» ® wb}^v xW}W~=|Cx�wU+�~ � �;�$xW}£�°~e�W�{�m�:�G�+zd}[�b~=zdxW} � � Á � K � Å � w³}�~=�Wzd}Wwb�G�$x}����$�$}^zdw���z'��w��$�{~=|°~=�$�{~=�'}�x^z'�|$�b~ ªuev$wbx����$�³~��d��}^vG�{�;���G�$�b¹�²'wb·'~�x�z��b� ® ~=�C�{�G�{�$��H+}^v$~;xWwb}^�{z­}Wwb�G�U�z�¹`�°~��;�$yJv® �G�AxW~ ¢ wï� ¢ �:�G�[~�¯{z'�|$�b~ ¢ }^v$~e|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹��{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�;y��G�$xWwbxW}�x£�d�>x�~�·'~=�Wzd�$wbxW��z'�$�{x�d�)v$wb²Gv�|{�A�$�{z'�$wb�³wb}A¹�xW~=|{z'��zd}W~����\¹¾�A~�²\w³�$�$x��d�+�³� ® |{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹ ªu¿�wb�b�¸�$x�}^�Wzd}W~�v$� ® x��³� ® }^v$~C~�¯{|$�b�G�Wzd}Wwb�G���­� z;xW}^z­}W~�x8|{zdy�~��'¹��Wz'�$�{�G� ® zd��»wbx ¢ �>²G�{�A~ 6 x^v$� ® x�z xWw��;�$��zd}Wwb�G� �d��zU��~�}^�A�$|{�'�bwbx¾z­�³²\�G�Awb}^v{� �±�G��²'~=�$~=�Wzd}Ww��$²x^z'�o|$�³~�x��Ý�A�G��}^v$~C�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G���

ÚÁ��>ÅEß � Ø�8Ø �2<�Ï 3�;�Â7; � ê�ê�êR; � 3$Ô3 �'}^v$~=� ® wbxW~ ê Á � Ã'Å

Page 15: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q ÂIV

Á:z'Å

Á:�{ÅE��~�}^�A�G|°�'�bw³x

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20

100 iterations

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20

400 iterations

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20

1200 iterations

ÁLy=Å PÕ�$�{~=|{~=�$�{~=�\}Cx^z'�|$�bw��$²

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20

100 iterations

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20

400 iterations

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20

1200 iterations

�������� ���� � îAôLûÝóWÿ'ó�íùøïñ£þ�îAôLõ½ó�ü ��ó�û¥ðrô:ó��Eÿ=ûÝó!�=íïîAþ � ��ð � ��õdî[ñ:ô:ð8ô:î[ñ:î �8ú½îÕò � î �¸ó�û����=P ��� ���'�&� �++óWû:ø��Aó�ò=ô:ðWí)üSøùûÝî � ôLøïó�ò � ñ:ô:ð^ô:îAñ �bûÝó8þ �ô:ó�KR� � �^îÕûÝôLø � ðWí)üSøùûÝî � ôLøïó�ò � ôLøïþ�î �bûÝó^þ P�ô:ó��'�&� �ôLõ½î � ûÝó^ñ:ñ �dðWûÝñ�þ�ðWû � ôLøïþ�î�øùò=ô:îÝû ��ðWíïñeó!�rü�ú=ûÝð8ôLøïó�ò -� � � � ��+¿øïñ:ô:ó��WûÝð8þ�ó��+ó � � ú�ÿ½ð�ò � ��ó!�£ôLõdîñ:ô:ð8ô:î]ñ¿ð���ô:îÕû�P �'� ) '�&��ð�ò½ü$PRKR�'�Eøïô:îÝûÝð8ôLøïó�ò½ñ�� � � � � óWû � ó8þ)ÿdðWû:øïñ:ó�ò� \õ=øïñ:ô:ó��WûÝð8þ�ñ[ûÝîAñLú�íïôLøùò��m÷�õ½îÕòñLú ��� îAñ:ñLø��^îEÿ'ó�øùò=ô:ñ£ð�ûÝîrü�ûÝðW÷.ò ��� ��) � ������� �bûÝó^þ¼ôLõdîrô:ðWû �8îAô[ü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó�ò �

Page 16: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

Â=É !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-uev$~�|{�A�$|{�'x^z­�[�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G��wbx

��Á�� H��¬Å£ß � Ø� � ß ��� Â3 �'}^v$~=� ® w³x�~ ê Á�Ä73'ÅA ~�y=z'�$xW~�}^v$~�}^z\�A²'~�}e�{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$�`ÚÁ �>Å�wbx��{�$wÙ�±�$�W� ¢ �A~ �A~�y�}Wwb�G�$x ® wb�b�r�Gy�y=�{���G�$�b¹® v$~=� }^v$~�|{�A�G|°�'x^zd��}^z'»­~�xe}^v$~CxW}^z­}W~�}�� �{ß$�CÂ��G�G�{ß �  ªuev$~�x�w¸�;�$��zd}Wwb�G� ® zdx�xW}8z'�A}W~�� w��¼}^v$~�xW}^zd}�~ � � ß Â�3�z'�$�¼wb}Wx;~�·'�'���$}Wwb�G�¼wbxx^v$� ® ��w�� �>²G�{�A~26'z ª C � ® �b�G�$²��{�G~�x;wb}�}8z'»d~}W���A~=zdy�v��G�$~��d�e}^v$~~=�$� xW}^zd}�~�x��ß 3�z'�$���ß � 3,Q;È$w��$y�~}^v$~��{wbxW}8z'�$y�~wbx�Â�3xW}�~=|$x�}^v$~�W�$�b~;�d�)}^v$�{�;��z'�°�d·'~|{�A~��{wby�}Wx;}^v{zd}�wb} ® wb�b��}]¹{|$wby=zd�b�b¹º}^z\»d~z�}Ww��;~ � � Â�373�wb}W~=��zd}Wwb�G�$x;}W���A~=zdy�vUz'�~=�$��x�}^zd}W~ ª uev$wbxmw³xmy��G�.�¥�W��~���w���}^v$~�|{�A~�xW~=�\}�~�¯{z'�|$�b~ ª uev$~T�¥�AxW}�xW}W~=|�w��\}W��z'�~=�$��xW}^z­}W~��$y�y=�{�Axe�$�}^v$~;Â�E76­}^vwb}W~=��zd}Wwb�G� ª�C � ® �b�G�$²�{�$~�xewb}�}^z'»d~m}W�;·GwbxWwb}�O�?'7LD~=�$��xW}^zd}W~�x Q�uev$~m�W�$�b~��d�[}^v$�{�;�|{�A~��{wby�}Wx�z\�{�G�$} N 373mwb}W~=�Wzd}�w³�$�$xiz\�A~��A~��{�$w��A~���}��}^�Wz�·'~=�3xW~£}8v$~ ® v$�'�b~ExW}^zd}W~+x^|{zdy�~ ª�¶ �$��w��$�{~�~��;}^v$~/�¥�Ax�}[~=�$y��G�{�\}W~=� ® wb}^v }^v$~)�'}8v$~=�~=�$��xW}^zd}�~�}^z'»­~�x�|$��zdy�~�G� }^v$~ V N 3d}^v�wb}W~=��zd}Wwb�G� ª uevG�$xC~ �[~�y�}Wwb·'~��b¹�w¸�$�{~=|°~=�$�{~=�'}x^z'�o|$�³~�x)z\�A~��G�$�b¹�²'~=�$~=�Wz­}W~���'¹�xWw����$��zd}�w¸�$² �±�$�£z'�°�G�$}+�:�G�{�rvG�{�$�>�3~��wb}W~=�Wzd}Wwb�G�$x ªuev$wbxrxWw��|$�b~e~�¯{z'�|$�b~ex8v$� ® x£}^v{z­}£wb}rwbxrw��|{�G�3}^z'�\}£}W�m}^�A¹C}��1z'�°�'�bwbx^v�Wz'�$�{�$�® zd��»��°~=v{z=·$wb�G�{�Cw������G�\}W~;�ez'�A�b���;~�}^v$�$�{x ª�¶ xW¹$xW}W~=�ozd}Wwby;~�¯5|$�b�G�Wz­}Wwb�G���d�)}^v$~}W�d¹mxW}^zd}W~Ex^|{zdy�~�Ï 3�;= ; � ;�ê�ê�ê � 3$Ô)y��G�$�b�²'~�}+z'�A�G�{�$�;wb} ¢ �$xWw��$²C}^v$~)x^z\�;~)xW}�~=|CxWw2+�~�x ¢w���z'�°�G�$}e} ® ~=�'}A¹x�}W~=|$xew��$xW}W~=zd���d�+�±�G�{��v$�{�$�>�A~�����G"#"\"&���s)t/>G6�>G8�5Ýq;&���s/4G>�!�5�9�4 5 :�4à! 5Ý& �(9,q 5 > 9�quev$~����$�³~��d��}^vG�{�;��}^v{zd} ® ~��{wbxWy=�$x�xW~���z\�{�d·'~ ¢ ²'wb·$w¸�$²Uz��b� ® ~=���{�$�{�$�º�G��}^v$~�$�{���°~=�e�­� wb}W~=�Wz­}Wwb�G�$x��­�gz��Wz'�$�{�G� ® z­�¸»o��~�}^�A�G|°�'�bwbx��;~�}^v$�$� ¢ zd�bxW��z'|{|$�bw³~�xC}��v$wb²Gv$~=���{w¸��~=�$xWwb�G�{zd�£|{�A�$�$�³~=��x ª ���G�$x�w³�{~=��}^v$~mxWw��|$�b~�xW}my=zdxW~C�d� z�}^z'�A²'~�}E�{wbxW}^�AwÙµ�{�$}Wwb�G��}8v{zd}Cwbx�z Æ z\�$xWxWw�z'� ¢ z\�$��z�|{�A�G|°�'x^zd�+�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� }^v{z­}�wbxz�x^|{v$~=�Awby=zd�Æ z\�$xWxWw�z'���d�,x�}^z'�$�>z'�A���{~�·Gw�zd}�w³�$��w���~=zdy�v��{w��A~�y�}Wwb�G��~��{�{zd�r}W� � ª(� wb}^v$�G�$}C�b�'xWx�d�£²\~=�$~=�Wzd�bwb}]¹ ¢$® ~my=z'��z­xWx^�{�;~m}^v{zd}E}^v$~�}8z'�A²'~�}E�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G��wbxez�xW~=|{z'�Wz\�$�³~m�{wbxAµ}^�Aw��{�$}Wwb�G� zd�bw³²$�$~�� ® wb}^v�}^v$~zd¯$~�x;Ï �� {Ô ¢ z'�$��}^v{zd}mw³}�v{z­xCxW}^z'�$�>z'�3���{~�·$w¸z­}Wwb�G�$xÏ � Ô�w¸� }8v$~��{w �[~=�A~=�\}��{w��A~�y�}�w³�$�$x�� ª 0.~�} � ����� z'�$��� ����� �{~�}^v$~���z'�A²\~�xW}�z'�$�x^�z­�³�b~�xW}��­��}^v$~�xW~�xW}8z'�$�>z'�A� �{~�·Gw�zd}Wwb�G�$x ª 0�~�}��$x�zdxWx^�{��~`}8v{zd} � wbx�zd� �W�$xW}W~��x^�$y�v�}^v{z­}�}^v$~;zdy�y�~=|$}^z'�$y�~|{�A�$�{z'�$wb�³wb}A¹�wbxCy��b�'xW~�}W�� ª�� �$�{~=�m}^v$wbx1zdx�x^�{�|$}Wwb�G� ¢~=zdy�v�·½z\�Aw�z'�$�b~ � �~�·'�'�b·'~�x�w��$�{~=|°~=�$�{~=�'}W�b¹¼�d�ezd�b�r}^v$~�'}8v$~=�Ax ¢ ~�¯$~�y=�$}Ww��$²`z��Wz'�\µ�{�G� ® z­�¸» ® wb}^v�xW}W~=|�xWw2+�~�xz'�°�G�$} � ª uev$~}Ww��;~�}^z'»­~=��}���²'~=�$~=�Wz­}W~;~ �.~�y�}�w³·\~��³¹w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}Cx^z'�|$�b~�x����3�G��}^v$~C}^z'�A²\~�})�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ® wb�b�£�°~�y��G�\}^�A�'�b�b~����\¹�}^v$~��z'�A²'~�x�}��b~=�$²'}^v$x�y=zd�b~ � ����� H �3�$x�}�zdx�w���}^v$~|{�A~�·$wb�G�$x�xW~�y�}�w³�$� ¢�® v$~=�A~ ® ~��$~�~��{~��zd}��³~=z­xW} � � Á � K � ÅL��w³}�~=�Wzd}Wwb�G�$x�}W���G�$}8zdw��ºz'��w¸�$�{~=|°~=�$�{~=�'}�x^z'�o|$�³~ ¢ v$~=�A~ ® ~�$~�~�� � � Á�� ��� � K � Å � ªÀ�� ® v$� ® �$wb²y=z'� � �{~�Quev$~��$wb²'²\~=�ewb}ewbx ¢ }^v$~Cx^�z­�³�b~=��}^v$wbx1�$�{�;�{~=� ���{~8µy��G�;~�x ¢ �{�$}mwÙ� � w³xm}W�$�¾�$wb² � �$w³²\²'~=�e}8v{z'� � ����� � }^v$~=��}^v$~;zdy�y�~=|$}^z'�$y�~�Wz­}W~® wb�b�E��zd�b�rx^v{z\�W|$�b¹ ª P:}�xW~�~=�;x;|$�¸z\�$xWw��$�³~�}^v{zd}C}^v$~o�G|$}Ww��zd� � ���$x�}��{~�xWw��;wb�¸z\��}��

Page 17: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q Â�E

Á:z'Å � Ø

� �

ÚÁLÐ+Å

Á:�{Å � Ø

� �

ÚÁ�� Ø � � Ñ��QÓ� ÅÐ Ñ��QÓ

ÁLy=Å � Ø

� �

ÚÁ � � � � Ø ÅÁL�>Å � Ø

� �

Ð Ñ��QÓ

Ð Ñ����¿Ø]ÓÐ Ñ����(�WÓ

�������� ��� I¿ø� �½ñ+ñ:ð^þEÿ=íùøùò�� � ��ð � �.õ½î �±ó�øùò=ô[ü�îÝòdñLøïô�� ����� �³ûÝó8þ ÷�õ=ø � õ1ñ:ð8þEÿ=íïîAñ[ð�ûÝî[ûÝî �8ú=øùûÝîAü �� � ����ô:ð�ûÝôLøùò�� �bûÝó8þºðEñ:ô:ð^ô:î�������� �� ë øïñ[ñ:ð^þEÿ�íïî]ü �bûÝó8þ¼ôLõ½î � óWòdü�øïôLøïó�ò½ð�í¥ü=îÕòdñLøïô�� ��� ë� � ����� ��� � � �H ñ:ð8þEÿ=íïîgøïñ[ôLõ½îÕò�þ�ð8ü=î �bûÝó^þ ôLõ½î � ó�ò½üSøïôLøïóWòdðWí�ü=îÕò½ñLøïô � ��� � � ë ��� ��ü�� H � ó�ú=ÿ�íïî)ó!�Gøïô:îÕûÝð8ôLøïóWòdñó!� I¿ø� �½ñ+ñ:ð8þ)ÿ�íùøùò�� �� ����� ª È$}^�3w³y�}��³¹ ¢ }^v$wbx)�z�¹��$�'}r�{~�}^�W�$~,Hdw��;x^|°~�y�w¸z­�{y=zdxW~�x ® v$~=�A~�}^v$~�xW~�y��G�$�;x^�zd�b�Ùµ~�xW} � �wbx)xWwb²G�$wR�>y=z'�\}W�b¹²G�3~=zd}W~=�+}^v{z'��� ����� ¢ }8v$~e�G|$}Ww��zd� � �z�¹��{~ey��b�'x�~=�r}W�C}^v{z­}xW~�y��G�$��x^�zd�b�b~�xW}B�� ª�A �$}e�G�{�e�3�G�$²Gv�y��$�$y��¸�$x�w³�$��wbxm}^v$wbx=� ® v$~=�3~�xWw��|$�b~;x^|{v$~=�AwÙµy=zd�[|{�A�G|°�'x^zd�¬�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x�z\�A~1�$x�~�� ¢G® ~ ® wb�b�£�$~�~���zd})�b~=zdx�} � � Á�� ��� � K,� ����� Å �wb}W~=�Wzd}�w³�$�$xC}W���$�$}^zdw��Uz'� w¸�$�{~=|°~=�$�{~=�'}ox^z'�|$�b~ ¢�® v$~=�A~7� ��� � z'�$�� ����� z\�A~�}^v$~�b�G�$²'~�xW}mz'�$��x^v$�$�A}W~�xW}��b~=�$²'}^v$xWy=z­�³~�xC�­�£}^v$~�}8z'�A²'~�}��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ªuev$wbx;wbx;²'�G�$�º�$~ ® xz'�$� �{zd���$~ ® x ª P�}�wbx;²'�G�$�º�$~ ® x;�{~�y=z'�$x�~ ¢ �{�$�bw�»d~�}^v$~y=zdxW~�x��d���A~ �A~�y�}Wwb�G� x^z'�|$�bw��$²àz'�$� w��|{�G�3}^z'�$y�~�x8z'�|$�bw��$² ¢ }^v$~=�A~�w³x��$� y=zd}^z­xAµ}^�A�$|{v$w³ym�{~=|{~=�$�{~=�$y�~;�G��}^v$~��{w��;~=�$x�w³�$�{zd�bw³}A¹ ª A �$}�wb}�w³xe�{zd���$~ ® x�w��}8v{zd},zd�b�}^v$~Cx^z\�;~ ¢ }^v$wbxm�5�{zd�>��zd}WwbyC�{~=|{~=�$�{~=�$y�~�$��}^v$~��b~=�$²'}^v$x�y=zd�b~���zd}Wwb��z�¹�:�G�Ay�~��$x}W���oz'»d~m·'~=�A¹��³~=�$²\}^v'¹�x�w¸�;�$��zd}Wwb�G�$x ª« �G�A}^�{�{zd}�~��³¹ ¢ }^v$~=�3~�z'�A~C�;~�}^v$�$�{x��±�$�)x8�{|{|{�A~�xWxWw��$²��Wz\�$�{�G� ® z­�¸»\xew������G�\}W~�ez'�3�³�oxWw����$��zd}�w³�$�$x ¢>® v$w³y�v ® ~ ® wb�b�[�{wbxWy=�$xWxC��zd}�~=� ª

Page 18: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

Â�6 !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-�[Ë ¨¾�L©£© ����� �U�£ L� ��¡� ~Cw��\}^�A�$�>�$y�~���w��|{�$�A}^z'�$y�~�x^z'�|$�bw��$² ¢ �A~ �A~�y�}Wwb�G� x^z'�|$�bw��$²¾z\�$��}^v$~C��~�}^�A�G|°�dµ�bwbx��;~�}^v$�$���$x�w¸�$²��G�$~8´$�{w¸��~=�$xWwb�G�{zd��~�¯5z\�|$�b~�x ª)Æ w��{�$x;x^z'�o|$�³w��$² ¢ zd�bxW�U»$�$� ® �zdxm}^v$~�DG084'7eOW4'7LD�9;0=7LDG?�P ¢ wbx�z��;~�}^v$�$���±�G��x^z'�o|$�³w��$²��Ý�A�G���{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x��½·\~=�zd}E�³~=z­xW}e} ® �C�{w¸��~=�$xWwb�G�$x ª P:}�y=z'���{~C·$w³~ ® ~���zdxez��`~�}8�A�G|{�\�³wbxe�;~�}^v$�$��w�� ® v$w³y�v}^v$~�|{�A�$|{�'x^z­�)�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� � wbx�{~ �¥�$~�� w¸� }�~=�W�;x;�d��}^v$~UK8?'<¬P'IQ7:IL?'<¬4'a��{wbxW}^�AwÙµ�{�$}Wwb�G�$x�­��}^v$~ �A�'w��'};�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ÚÁLУŠª P:}wbx�z­xWx^�{�;~�� }^v{zd} ® v$wb�bxW}�ÚÁLÐ+Å�wbx}W�$�Uy��G�|$�b~�¯ }W�U�>�Wz ® x^z\�|$�b~�x�Ý�A�G� �{w��A~�y�}��³¹ ¢ wb}Wx�y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�C�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�$xÚÁ��9B �ÙÏ ���=Ô����× B±Åez\�A~C}^�Wzdy�}8z'�$�b~�}W� ® �$�W» ® wb}^v ª{« �G���z'�\¹�²$�Wz'|{v$wby=zd�£�;�$�{~��bx�Á��{�$}�$�'}rzd�b��År}^v$~�xW~��G�$~8´$�{w¸��~=�$xWwb�G�{zd�{y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�¬�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x�z'�A~)x�}^�Wzdwb²Gv\}A�:�G� ® z'�A�}W��x^z'�o|$�³~ ���3�G� ª �i�G�$�{wb}Wwb�G�{zd�m�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x�}^v{zd}z'�A~��$�'};�d�CxW}^z\�$�>z'�A� �±�G����z�¹�x�}Wwb�³�[�°~�x^z\�|$�b~���Ý�A�G���\¹�zd�>z'|$}�w³·\~��A~ �A~�y�}Wwb�G�x8z'�|$�bw��$²�wÙ�[}^v$~my��G�$�{wb}Wwb�G�{zd��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G��x^z­}Wwbx �>~�xey�~=�A}^z­w¸� y��G�\·'~�¯Gwb}A¹�|{�A�G|{~=�3}Wwb~�x�Á Æ wb�¸»\x�z'�$� � w³�b� Â=Ã'à � Å ªÆ w¸�{�$xmx^z'�o|$�³w��$²�wbxmw³�b���$xW}^��zd}W~����±�$�ez;y=zdxW~ ® w³}8v�} ® ��·dz'�Aw�z'�$�b~�x�Á�� Ø ;�� � Å)ß Ðw�� �>²G�{�A~�à ª*0 ��~=zdy�v�wb}W~=��zd}Wwb�G� ¢¬® ~Cx�}^z'�A}��Ý�A�G� }^v$~�y=�{�W�3~=�'}ex�}^zd}W~CÐrÑ��QÓ ¢ z'�$� � ØwbxCx^z'�|$�b~����Ý�A�G��}^v$~�y��G�$�{wb}Wwb�G�{z­�r�{~=�$xWwb}]¹�ÚÁ�� Ø � � � Å ¢>® w³}8v � � �>¯G~���}W� � Ñ��QÓ� ª¬¶x^z'�o|$�³~ � � wbx;}^v$~=�U�z­�{~;���3�G� }^v$~oy��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�)�{~=�$x�w³}A¹ºÚÁ � � � � Ø Å ¢ �$x�w¸�$²�}^v$~�$~ ® ·dzd���$~��­� � Ø ª u�v$w³xm�{�Aw��$²'x1�$x�}W�}^v$~��$~ ® x�}^zd}W~CÐrÑ����¿Ø]Ó ¢ z'�$��y��G�o|$�³~�}�~�x�}^v$~wb}W~=�Wzd}�w³�$� ª

PÕ� }^v$~�²'~=�$~=�Wzd�Cy=z­xW~��d��z xW¹$xW}W~=� ® w³}8v�� ·½z\�Aw�z'�$�b~�x ¢ z xWw��$²'�b~Uwb}W~=�Wzd}Wwb�G�w��'·\�'�b·'~�x�x8z'�|$�bw��$²��G�$~�|{z\�Wz'�;~�}W~=��zd}ez;}Ww��;~'�� Ñ����¿Ø]ÓØ � ÚÁ � Ø � � Ñ��QÓ� ; � Ñ��QÓ� ;=ê=ê�ê � Ñ��QÓ Å Á�Ä{Â=Å� Ñ����¿Ø]Ó� � ÚÁ � � � � Ñ����¿Ø]ÓØ ; � Ñ��QÓ� ;=ê=ê�ê � Ñ��QÓ Å Á�Ä � Å� Ñ����¿Ø]Ó�

� ÚÁ � � � � Ñ����¿Ø]ÓØ ; � Ñ����¿Ø]Ó� ;=ê=ê�ê � Ñ��QÓ Å;�~�}Wy ª Á�Ä'Ä'ÅÆ w��{�$x�x^z'�o|$�³w��$²;y=z'��°~�·$wb~ ® ~��¾zdx�zC��~�}^�A�$|{�'�bwbx,�;~�}8v$�G� ® v$wbyJv�v{zdxE}^v$~�|{�A�G|\µ~=�A}A¹�}8v{zd}�~�·\~=�A¹U|{�A�G|{�\x^zd�+w³x;zd� ® z=¹$x�zdy�y�~=|$}W~�� ª A ~�y=z'�$x�~ Æ w��{�$x�x8z'�|$�bw��$²`wbx;z��~�}^�A�G|°�'�bwbx��;~�}^v$�$� ¢ }^v$~�|{�A�G�{z'�$wb�bwb}A¹¼�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�¼�­��Ð Ñ��QÓ }W~=�$�{x}W�UÚÁLÐ+Å�z­x��J> ¢ zdxe�b�G�$²�zdxeÚÁLУÅi�{�G~�xC�$�'}ev{z�·'~�|{zd}^v$�'�b�'²\w³y=z­�£|{�A�G|°~=�A}Wwb~�x ª'"21�"7:G5:p£prq;qd(,& 6�8�5�9G: 5�9�4 5 :G4à! 5Ý&��(9�q 5 > 9,qÆ w��{�$x�x^z\�|$�bw¸�$²¼x8���.~=�3x;���3�G� }8v$~�x^z'��~��{~8�±~�y�}�zdxoxWw��|$�b~U��~�}^�A�G|°�'�bw³x�zd�b²'�dµ�Awb}^v{�;x �Ü}^v$~exW}8zd}W~ex^|{z­y�~�wbx�~�¯5|$�b�G�3~����'¹z;�Wz'�$�{�G� ® zd��» ¢ �{�$�³~�x�x�zm�:�G�A}^�$wb}W�$�$x|{z'�Wz\�;~�}W~=�Aw2+=zd}Wwb�G�ov{zdx,�°~�~=�y�v$�'xW~=� ® v$w³y�v�z\»d~�x)}^v$~m|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹o�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�ÚÁLУÅ�xW~=|{z'�Wz'�$�b~ ª PL� ¢ x^z�¹ ¢ } ® ��·½z'�Aw�z'�$�b~�x � Ø z'�$� � � z'�A~�xW}^�3�G�$²'�b¹¼y��G�W�A~���zd}�~�� ¢v{z�·Gw��$²��z'�A²\w¸�{z­�£�{~=�$xWwb}Wwb~�xC�d� ® w³�{}8v � z'�$��y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�+�{~=�$xWwb}Wwb~�x��d� ® w³�{}8v � ¢}^v$~=��wb} ® wb�b��}^z'»d~zd}��³~=z­xW}�z'�°�G�$}¾Á � K � Å � wb}W~=��zd}Wwb�G�$x�}���²'~=�$~=�Wz­}W~�z'��w��$�{~=|°~=�\µ�{~=�\}�x^z\�|$�b~��Ý�A�G��}^v$~�}^z'�A²'~�}��{~=�$xWwb}]¹ ª C � ® ~�·'~=� Æ w��{�$xCx^z\�|$�bw¸�$²�w��'·'�\�³·\~�x1�$�zd� �W�$xW}^z'�$�b~�|{z\�Wz'�;~�}W~=�3x ¢ xW�Cwb})wbx,z\��z­}W}^�Wzdy�}�w³·\~,x�}^�Wzd}W~�²\¹ ® v$~=��$�$~ ® z'�\}Wxr}W�C²\~�}

Page 19: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q Â�Ãz��;�G�{~��+�W�{�{�$w��$²��5�$wby�»'�b¹ ª�¶ ��~�¯$y�~��³�b~=�\}�xW�­�±} ® z'�A~C|{zdy�»=zd²'~ ¢��������¬¢ wbx�z�·½zdwb��z'�$�b~® v$wby�v¼�z'»d~�x;wb};~=zdxW¹ }W��xW~�}�{|¼zd���;�\xW}z'�W�$wb}^�Wz'�3¹�|{�3�G�{z'�$wb�bw³x�}Wwby����G�{~��bx�z'�$�xWw��;�$��zd}W~C}^v$~=� �\¹ Æ w��{�$x�x^z'�|$�bw��$²`Á:u�v$�G�zdx ¢ È{|$wb~�²'~���v{zd�b}W~=��z\�$� Æ w³��»\x�Â=Ã'à � Å ª�[Ë � � �\�U� � �¥ Y� ¡"� !Ý����� � � �¬�{Ì �\¦�� � � � � �¬��� � �½ Y�¼� �G�d¦ �[§ �� ~e�$� ® x8|{~=�$�z��±~ ® �;�G��~=�'}Wx+x^»d~�}�yJv$w��$²C}^v$~E}^v$~��G�A¹C�G� ® v$wby�v�}^v$~��`~�}8�A�G|{�\�³wbx�;~�}^v$�$��z'�$� Æ w��{�$x�x8z'�|$�bw��$²¾z'�3~��{zdxW~�� ª¶ � � � �¬�{Ì �\¦¥� � � y=z'�;�°~ex^|{~�y�wR�>~����\¹�z\��� � � � � �  +|{�A�G�{z\�$w³�bwb}A¹;�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�D Ñ � Ó ÁLУÅ�z'�$��z � � ���[� � � �Y� � �+���¥© � ©£�L Q� � � ��ÁLÐ H�УŠªuev$~�|{�3�G�{z'�$wb�bw³}A¹��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� �d�£}^v$~CxW}8zd}W~�zd}�}^v$~Á ���Â�ÅA}^vow³}�~=�Wzd}Wwb�G�o�d�£}^v$~�Uz'�W»d�d·y�v{zdw���wbx�²\w³·\~=���\¹

D Ñ�� �[ØAÓ ÁLÐ ÅEß æ è é Ð �;ÁLÐ H�УÅFD Ñ��QÓ ÁLУÅ�ê Á�Ä NGÅ� ~Cy��$�$xW}^�W�$y�}e}8v$~�y�v{zdw���x^�$y�v�}^v{zd}=� ª u�v$~��{~�xWw��A~��¼�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�àÚÁLÐ+ÅCwbx}^v$~�� � Ì � �½� ���>� §+� �S� �½�L© �¥� �Y� � �d�e}^v$~y�v{zdw�� ª¶ �{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� � Á±Ð£ÅEw³xmz'��w��'·dz'�Aw�z'�\}��{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$���­����Á±Ð H�УÅrwÙ�

� ÁLÐ Å)ß æ è é Ð ��ÁLÐ HWУŠ� ÁLУÅ�ê Á�Ä,V'Å� ª u�v$~CyJv{zdw������$x�}�zd�bxW���°~ � � ¡ �[§£� �{¢ }^v{zd}�wbx ¢

D Ñ��QÓ ÁLÐ+Å� � ÁLУÅEzdx���J> ¢ �:�G�ez'�\¹$D�Ñ � ÓWÁLУŠª Á�Ä'É'ÅP�},wbx��d�:}W~=�oy��G�'·\~=�$w³~=�\}�}W��y��$�$xW}^�W�$y�} � �\¹��;wb¯$w��$²�G�ry��$�$y=zd}W~=�{zd}Ww��$²;xWw��|$�b~© �>����� � ���[� � � ��� �.� z­�³�¿�d� ® v$wby�v�x8zd}WwbxA�:¹

ÚÁLÐ Årß æ è é Ð ÁLÐ HWÐ+ÅWÚÁLУÅ; Á�Ä7E'Å�:�G��}^v$~E�{~�xWw��A~����{~=�$xWwb}A¹�ÚÁ±Ð£Å ª uev$~�xW~��{zdxW~)}8�Wz'�$xWwb}Wwb�G�$xr�$~�~����$�'}+�{~�w��$�{w³·$wb�>�{zd�b�b¹~=�A²'�$�{wby ª�Uz'�\¹��$xW~8�Ý�$�{}^�Wz'�$xWwb}Wwb�G�;|{�A�$�{z'�$wb�³wb}Wwb~�x�x^zd}�w³x3�±¹�}^v$~e§ �$��� �Q  � §º© �   ���[�d� |{�A�G|\µ~=�A}A¹��

��Á±Ð H�УÅWÚÁLÐ£Å¿ß ��ÁLÐ H�Ð ÅWÚÁLÐ Å;E�:�G��zd�b�£ÐUz'�$��Ð Qê Á�Ä76'Åuev$wbx�~��{�{zd}Wwb�G� x^z�¹$xC}^v{zd}CwÙ� ® ~|$w³y�»Uz�xW}8zd}W~����3�G� }^v$~o}^z'�A²'~�}m�{~=�$xWwb}A¹ºÚ z'�$��z'»­~1z;}8�Wz'�$xWwb}Wwb�G���{�$�{~=� �ç}W�z'�$�'}8v$~=��xW}^zd}�~ ¢ wb}ewbx �W�$xW}�z­x,�bw�»d~��b¹�}8v{zd} ® ~ ® w³�b�|$wbyJ» Ðàz'�$��²\��Ý�A�G��м}W�Ð zdxCwb}�wbx�}8v{zd} ® ~ ® wb�³�)|$wby�»�Ð z'�$��²'��Ý�A�G��Ð }��Ð ª �Uz'�W»­�½·�y�v{zdw��$x�}8v{zd}�x^z­}WwbxA�±¹��{~�}^zdwb�b~����{z­�¸z\�$y�~¾z'�3~�zd�bxW��y=zd�b�b~��à� � Ì � � � �Q©+  ��Uz'�W»d�d·�yJv{zdw��$x ª uev$~C�A~=zdx��G� ® v\¹}^v$~m�{~�}^zdwb�b~����{zd��z'�$y�~C|{�A�G|{~=�3}]¹ow³x��d�[w��\}W~=�A~�xW}wbx�}^v{z­}C�{~�}^zdwb�b~����{zd��z'�$y�~ow¸�o|$�³wb~�x;w��'·dz'�Aw�z'�$y�~��d�,}8v$~�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ÚÁLУÅC�{�$�{~=�

Page 20: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

� 3 !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-}^v$~C�Uz'�W»­�½·;y�v{zdw�� � ÁL}^v$~�|{�3�G�d�+�d� }8v$w³x�w³xm�b~8�±}mzdxez'��~�¯G~=�3y�w³x�~C�:�G�E}^v$~��A~=zd�{~=�WÅ ª!)�3�½·$w��$²�}8v{zd}e�{~�}^zdwb�b~��º�{zd��z'�$y�~v$�'�b�{xmwbxC�d�±}�~=��z»d~�¹�x�}W~=| ® v$~=��|{�A�d·$w��$²�}^v{z­}z��Uz'�W»d�d·�y�v{zdw������G�\}W~��ez'�3�³�;xWw��;�$��zd}Wwb�G� ® wb�b�[y��G�\·'~=�A²\~e}W�;}^v$~m�{~�xWw��A~����{wbxW}^�AwÙµ�{�$}Wwb�G� ª uev$~��~�}^�A�G|°�'�bwbx��;~�}^v$�$�ºz'�$� Æ w¸�{�$x;x^z\�|$�bw¸�$²��;~�}^v$�$�º�{�\}^v�x^zd}�w³x3�±¹�{~�}^zdwb�b~��à�{zd��z'�$y�~ ¢ �:�G�m~�¯5z\�|$�b~ ª�� ~�}8zdwb�³~��¼�{zd��z'�$y�~�wbx��$�\}�z'��~�x�xW~=�'}�w¸z­�)y��G�$�{wÙµ}Wwb�G� ¢ v$� ® ~�·'~=� ¢ z'�$� ® ~ ® wb�b�[xW~�~C��zd}�~=��}^v{zd}ew��W�3~�·'~=�AxWw��$�b~;��z\�W»d�d·;yJv{zdw��$xmy=z'���{~�$xW~8�Ý�$�[w���|{�Wz­y�}Wwby�~ ª� Ë Í�� �>�d� � �d�  L� � � �{� ��� � � �£� � §£� �d�;¦ ��  �� �¥¡�� � � � �¬�{Ì �'¦�� � � � � �>��� � �d Y� � ��� �   �{� �Y� ����L Q  ��� � ��� � ��%�� �Q L�L©£� �{����� A ¹oy��G�$xWwb�{~=�Aw��$²}^v$~C�Wz'�$�{�G� ® zd��»\x)w��'·\�'�b·'~���w���z�Uz'�W»d�d·�yJv{z­w¸���`�$�'}W~;�ez'�A�b��xWw��;�$�¸z­}Wwb�G� ® ~;y=z'���G�$}^zdw���xWw��|$�b~�ab? � 0=6O�? & <>PdH�G��}8v$~}Ww��;~��A~��{�$w��A~�� �±�G� y��G�\·'~=�A²'~=�$y�~ ª A �$}�|{�3~��{w³y�}�w¸�$² }^v$wbx�}Ww��;~����G�A~�|{�A~8µy�wbxW~��b¹�wbx�z;�{wR-�y=�$�b}1|{�3�G�$�b~=� ¢ z'�$���;�\xW}��d�£}^v$~C}^v$~��$�A~�}Wwby=zd�[�A~�x^�$�b}Wx�z\�A~C�d�£�bwb}W}W�b~|{�Wzdy�}�w³y=z­�£�$xW~ ª ��� � � §£� �{¡[� � �S� �¥��§ �G���{�d��� � � Ì � � ¡¬�>�[�d� � �¼� � �£�+� � ��¡º� ��� �   �{� �Y� ���uev$wbx;wbx�zd�bxW��z��{wR-�y=�$�b}|{�A�G�$�b~=� ª u�v$~=�A~�z'�A~�z��:~ ® |{�Wzdy�}Wwby=zd�E}W�G�\�³x;z�·½zdwb��z'�$�b~ ¢�{�$}��$�G�$~��d�r}^v$~=� wbx1|°~=�Õ�:~�y�}�Á:��� ® �b~�x�z'�$����z'�A�bw��UÂ=Ã'Ã\É'Å ª ��� � ��� � �G� § � � �d¦¥�¼� � � Ì � � ¡>�¬�.�­�U� �:� �¼��� § � ��� � © �$� � �$�¬� � � § � �� �¬� § �>�¬����� �U�£  �5� �*! � � � � �¬�{Ì �'¦�� � � � � �>��� � �½ Y�ç� �$�d¦ �[§ � C ~=�A~ ¢}^v$~=�A~Cwbxm²'�$�G���$~ ® x ª�'"21�"q,6 � �[! 5�9G: $G6�&7> 9)s���%+(,t 8*>à& ��s/4;>�!�qE ª  ª  ª c�0^P & K=IL<'R�6A4'<>P'?\9 � 4'a���O�0�DG4'V�IQ? & 6�IQ<�_`0�7:6A?825?'abIYH19;0�7LDG?=PdHuev$~ev\¹5�{�3w³�;���G�\}W~,��z'�A�b�1��~�}^v$�G�;�A~�·$w³~ ® ~��;w��;Àe~=zd�[ÁAÂ=Ã\Ã'Ä'Å�wbx)z��`~�}8�A�G|{�\�³wbx�;~�}^v$�$�`z\|{|$�³wby=z'�$�b~}���y��$�'}Ww��$�$�G�$xmxW}^zd}W~Cx8|{zdy�~�x ® v$wby�v`�oz'»d~�x��$xW~C�­� ²G��zd�{wb~=�'}w��\�±�$�W�zd}Wwb�G��}����A~��>�$y�~���z'�$�{�G� ® zd��»��{~=v{z�·Gwb�G�{� ª« �G�e�z'�\¹xW¹$xW}W~=��x ¢ }^v$~�|{�A�$�{z'�$wb�³wb}A¹`ÚÁ±Ð£ÅEy=z'���{~ ® �Awb}W}W~=� w¸� }^v$~m�:�G�W�

ÚÁLУÅrß��� Ñ � ÓM Á�Ä'Ã'Å

® v$~=�A~�$�'}m�G�$�b¹ ��ÁLÐ+Å ¢ �{�$}�zd�bxW��wb}WxC²$�Wzd�{wb~=�'} ® wb}^v��A~�x^|°~�y�}C}W��кy=z'���{~�A~=zd�$µwb�b¹º~�·dzd���{zd}W~�� ª P:};xW~�~=�;x ® zdxW}W~8�Ý�$�)}W���$xW~�z�xWw��|$�b~��Wz'�$�{�$��´ ® zd��»��`~�}8�A�G|{�\�³wbx�;~�}^v$�$� ® v$~=��}^v$wbxm²G�Wzd�{wb~=�\}ewbx1z�·½z­w³��z'�$�b~ � }8v$~�²G�Wz­�{w³~=�\}ew��$�{wby=zd}W~�x ® v$wby�v��{wÙµ�A~�y�}Wwb�G� �G�$~Cx^v$�G�$�b��²'�w���}W� �¥�$��xW}^zd}W~�x ® wb}^v�v$wb²Gv$~=��|{�3�G�{z'�$wb�bw³}A¹ �PÕ��}8v$~�v'¹{�{�Awb���`�$�'}W~���z'�A�b�¾��~�}^v$�G� ¢ }^v$~�xW}8zd}W~Cx^|{zdy�~�ÐUwbx�z'�$²G�;~=�\}W~����\¹9;?'9;0=<¬7 & 9�V�4'6^IL4GOSa³0SHi� ¢ z'�$�;}^v$~=�A~)wbx)z'��zd�b}W~=�W�{zd}�w³�$���­�>} ® �e}A¹{|{~�x+�d�¥|{�A�G|°�'x^zd� ªuev$~T�¥�Ax�}�|{�A�G|°�'x^zd�[�Wz'�$�{�$�;w2+�~�xe}^v$~��;�G��~=�'}^�{��·dz'�Aw�z'�$�b~ ¢ �b~=z�·$w¸�$²�}^v$~CxW}8zd}W~mÐ�{�$y�v{z'�$²'~�� ª uev$~�xW~�y��$�$� |{�A�G|°�'x^zd��yJv{z'�$²\~�x��{�'}8v¼Ð z'�$� � �$x�w¸�$² xWw��;�$��zd}W~��C z'�;wb�b}W�G�$w�z'���{¹{�{z'�;wby�xCzdxe�{~ �¥�$~��U�\¹�}^v$~ C z'�;wb�b}W�G�$w�z'�

� Á±Ð�;^�+Å£ß(�¾Á±Ð£Å � �¼Á:�+Å; Á N 3'Å

Page 21: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q � Â����������� ������� ������������������� ��!"� �#� �$�#�%���"���'&(����)"�*���� ������� ������,+.-'/'��01�"�324�()�!�501�"��+.�,� ++

)�+��6&7�98;:=< ��&�+�+.>�<��5�#?"���>��,���.���1�@�A���3B4�C�D�"����� �$�#�%���5�1�'&E?�+.?5��� ��!?F���HG +�.?'�'&%�JILK#8��M ��>ONQPE>�R7S,T�U� ���12 �'&3!������ M �D�VKW>C�

���"�1XY�Y����"�1XY�Y�@�) +��� �.!��98;:WZ��1! ��?���[4�(Z �.!]\J&����1>�)���+��^N_���4��>5�

>F�7>6`F�3>"� ��&�+1�$PH���5�1X�R7Sa�b��?���[4�Ac'�'&1) `'���4��>d�#��>���5�1X,�����5�1X�T6�3>"����&�+1�$P(>e� ��?���[4�����4��>f�*�,�

���5�1X,���������g�h���"��X$��� ��)"�*���i�5�1X,������4����� �>F�7>6`F�3>"� ��&�+1�$PH���5�1X�R7Sa�b��?���[4�Ac'�'&1) `'���4��>d�#��>

�3����) +�

��"�1XY�Y)5�#�'��g�h���5�1X$��� ��)"�*���i�5�1X,2���&�!5�H+�) MM �"�1XY�7>ONhP(>9RHS,TY��"��X �� M � M �"��X,` M � ��j4��0����'�(X�c"�1��c"�.����+���00���>��

�3)g�k� M,l I$� ��00���>��Y�$8����&�� ��)g�b��.�'�m�3� l �1��>L�J`�� M �7����00���>��Y�$8����&�� ��00���>��Y��I ��3���4�3)

�3)g�k�'00���> �$����Y���"��X � ���Y���"��X � �����5�1X �

�3���4�3)���'��) +�

�������� ��*n�$o*pJq3rJs3t ñ:óWú�û � î � ó�ü=î ��ó�û£ôLõ½î+õ ����û:øïü � ó�ò=ô:î � ðWû:íïó�þ,îAôLõdó�ü �® v$~=�A~ �¼Á:�+Årwbxez%�³»\w��$~�}Wwby�~=�$~=�A²\¹ �$x^�$y�v�z­x �¼Á:�+Årßç�1u{� K � ª uev$~�xW~m} ® ��|{�A�$|{�'xAµzd�bx�z'�3~��$xW~���}W�oy=�A~=zd}W~�Á:z­xW¹5�o|$}W�'}Wwby=zd�b�b¹5Åix^z'�|$�b~�x��Ý�A�G� }8v$~��]�'w��\}e�{~=�$xWwb}A¹

Ú � Á±Ð�;^�+Å[ß ÂM �

~�¯{| �D� � ÁLÐ�;8�£Å��5ß ÂM �

~�¯5| �D� ��ÁLУŠ�d~�¯5| �D� �¼Á:�+Å �]ê Á N>Â=Åuev$wbx)�{~=�$x�w³}A¹;wbx)xW~=|{z\�Wz'�$�b~ ¢ xW�Cwb}Ew³xEy��b~=z'�r}^v{z­}r}^v$~��z'�3²'w��{zd�G�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G���d�¥Ð�wbx}^v$~��{~�xWw��A~��U�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G��~�¯5| �D� ��ÁLÐ+Å � K)M ª È$� ¢ xWw��|$�b¹��{w³x�y=z'�A�{w��$²�}^v$~;�;�G�;~=�\µ

Page 22: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

�,� !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-

Á:z'Å

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

Á:�{Å

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

ÁLy=Å

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

ÁL�>Å

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

�������� ���� ��ð � � +�����û:øïü � ó�ò=ô:î � ð�û:íïó�ú½ñ:îAüCô:ó �^îÕòdîÝûÝð8ô:î)ñ:ð8þEÿ=íïîAñ �bûÝó^þ¼ð ��ø��WðWû:øïð8ô:î I+ð�ú½ñ �ñLøïð�ò�÷�øïôLõ � óWû:ûÝîÕíïð8ôLøïóWò����2��� ���'% ��� � ü�� ðWòdü=ó8þ��J÷�ð�í � � î]ôLûÝó�ÿ'óWíùøïñEþ�î]ôLõdó�ü ��óWû � ó8þEÿ½ð�û:øïñ:óWò����ð � ��ô:ð�ûÝôLøùò�� �bûÝó^þçôLõdîeñ:ô:ð8ô:î�øùò½üSø � ð8ô:îAü�� �;ôLõdîeðWû:ûÝó�÷� GôLõdî � óWò=ôLøùò�údóWúdñ�íùøùò½îmûÝîÕÿ=ûÝîAñ:îÕò=ô:ñ�ôQ÷�óñLú ��� îAñ:ñLø��^îCôLûÝð �:î � ô:ó�û:øïîAñ �^îÕòdîÝûÝð8ô:îAü�� �;ôLõdî ++ð^þEøùíïô:ó�ò=øïð�ò`ü �8ò½ð8þ)ø � ñ�� ��õ½î�ñ �8ú½ð�ûÝî]ñ�ñLõ½óW÷¼ôLõdîîÕò½üSÿ­ó�øùò=ô:ñró!�>ôLõ½îAñ:î)ôL÷�ó)ôLûÝð �:î � ô:óWû:øïîAñ����¬ð � õ�ôLûÝð �:î � ô:ó�û � � ó�ò½ñLøïñ:ô:ñró!�� r� � P��� íïîAð�ÿ �bûÝó����'ñ:ô:îÕÿ½ñ÷�øïôLõ t������������ �=��� � %� H ��ô:îÕû£îAð � õ�ôLûÝð �:î � ô:ó�û �� ½ôLõdî)þ�ó^þ�îÕò=ôLú½þ øïñ+ûÝð�ò½ü�ó^þEø��AîAü � ++îÕûÝî� ��­ó8ôLõôLûÝð �:î � ô:óWû:øïîAñrð�ûÝî)ð ��� îÕÿdô:î]ü �GôLõdî)îÕû:ûÝóWûÝñ+øùò;ôLõ½î�+£ð8þEøùíïô:óWò�øïðWò�÷�îÕûÝî�� ��� ��P �eðWòdü�! ��� � ��ûÝîAñLÿ'î � �ôLø��8îÝí���� � � � ��õ½î�ñ:î � óWòdü�����ú=ûÝî�ñLõ½óW÷[ñgõ½óW÷ ðCñ:î��8údîÕò � î�ó!� ��óWú�û)ôLûÝð �:î � ô:ó�û:øïîAñ � ó�ò �8îÝû �8îAñ��bûÝó8þð�ò�øùò�øïôLøïðWí � ó�ò½üSøïôLøïóWò� >øùòdü�ø � ð^ô:îAü�� �;ôLõ½îeð�û:ûÝóW÷� {ôLõ½ð8ôrøïñEòdó^ô � íïó^ñ:îmô:óCôLõ½î�ô��8ÿ�ø � ð�í£ñ:îAô)ó!�£ôLõdîô:ð�û �^îAôeüSøïñ:ôLû:ø�=ú½ôLøïó�ò ����õdîCôLûÝð �:î � ô:óWû �;ÿdðWûÝð8þ�îAô:îÝûÝñ�� r� ð�ò½ü t������������ ÷�îÕûÝîmûÝðWòdü=ó8þ)ø��AîAü ��óWûîAð � õôLûÝð �:î � ô:ó�û �CúdñLøùò�� ú=ò=ø��ó�ûÝþçü�øïñ:ôLû:ø��ú½ôLøïó8òdñe÷�øïôLõþ�î]ð�ò½ñ P��Cð�ò½ü$� � � �ûÝîAñLÿ'î � ôLø��^îÕí���� ��õdî�=ûÝñ:ô¿ôLûÝð �:î � ô:ó�û �mô:ð � îAñ�ú½ñ+ô:ó�ð)òdîA÷�ñ:ô:ð8ô:î ��F!�P'� S ! ��� ��� ½ñLøïþEøùíïð�ûrøùò�îÝòdîÕû � �mô:ó�ôLõ½î �=ûÝñ:ô¿ñ:ô:ð^ô:î����õdî)ñ:î � óWòdü�ôLûÝð �:î � ô:óWû ��õ½ð�ÿ=ÿ'îÕò½ñEô:óeîÕò½ü øùò�ðeñ:ô:ð8ô:îròdî]ð�ûÝîÕû ôLõdî �­ó8ô:ô:ó8þàó!�¥ôLõ½îEîÕò½îÕû � �míïð�ò½ü �ñ � ðWÿ'î�� +£îÕûÝî� >ñLøùò � îCôLõdîmÿ­ó8ô:îÕò=ôLøïðWírîÕò½îÕû ���"! øïñeñ:þ�ð�íùíïîÝû� �ôLõ½î � øùòdîAôLø � îÕò½îÕû ���"# �%$ � Q'KCøïñò½î � îAñ:ñ:ðWû:øùí���íïð�û �^îÕû)ôLõdðWò;øïô+÷¥ð8ñrð8ô£ôLõdî,ñ:ô:ð�ûÝô�� �oõ½îÕò�ôLõdî,þ�ó8þ�îÝò=ôLúdþ øïñ+ûÝðWòdü=ó8þ)ø��AîAü ��ó�û ôLõdîôLõ=øùûÝüoôLûÝð �:î � ô:ó�û �� $øïô:ñ,þ�ð��Wò�øïôLú½ü�î �­î � ó8þ,îAñEþrú � õ�ñ:þ�ðWíùíïîÕû�� H ��ô:îÕû,ôLõ½î �¸ó�ú=ûÝôLõôLûÝð �±î � ô:ó�û ��õdð^ñ�'îAîÝò�ñLøïþrú=íïð8ô:îAü �ôLõ½îmñ:ô:ð^ô:î�ðWÿ�ÿ­îAð�ûÝñeô:ómõ½ð!�^î �'î � ó8þ�î�ô �8ÿ=ø � ð�í ó!�£ôLõ½î�ô:ðWû �8îAô,ü�îÕò½ñLøïô � � � � � HûÝð�ò½ü=ó8þ��J÷�ð�í � � îAôLûÝó�ÿ'óWíùøïñCþ�îAôLõ½ó�ü�údñLøùò��ð$I+ðWúdñ:ñLøïðWò�ÿ=ûÝó�ÿ­ó8ñ:ð�í ü�îÝòdñLøïô���÷�øïôLõ�ûÝð^üSøùú½ñCñLú � õôLõ½ð8ô�ôLõ½îrð ��� îÕÿdô:ðWò � î+ûÝð8ô:î+÷¥ð8ñ R%�& øùòCôLõ=øïñ[ñLøïþgú=íïð8ôLøïóWò�� ��õ½î¿ò�ú½þ �­îÕû£ó!�$ÿ=ûÝó�ÿ­ó8ñ:ð�íïñr÷¥ð8ñ('&%Eñ:óôLõ½î¿ô:ó^ô:ð�í'ð^þ�ó�ú=ò=ô>ó!� � ó8þ)ÿ�ú½ô:îÕû[ôLøïþ�î�ú½ñ:îAüe÷�ð8ñ{ñLøïþ)øùíïð�ûrô:ó£ôLõdð^ô¬øùò ��ð ��� ��õdî[ü�øïñ:ô:ð�ò � î+þ�ó��^îAü�øïññ:þ�ðWíùí �'î � ðWúdñ:î�ó��¬ûÝðWòdü=ó8þà÷�ðWí � �'îÕõ½ð!�8øïóWú�û�� ��ü�� H ûÝð�ò½ü�ó^þ���÷¥ð�í � � îAôLûÝóWÿ'ó�íùøïñ)þ�îAôLõ½ó�ü �Wø��8îÕòð�ñLøïþEøùíïðWû)ð8þ�óWú�ò=ô£ó!� � ó^þEÿ=údô:îÕû£ôLøïþ�î)ô:ó � � ���

Page 23: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q � Ä}^�{� ·½z'�Aw�z'�$�b~�x ¢+® ~ ® wb�b���G�$}^zdw�� z�xW~��{�$~=�$y�~��d�ex^z'�|$�b~�x�Ï=Ð Ñ��QÓ Ô ® v$wby�vºzdx�¹5�|\µ}W�'}�w³y=z­�³�b¹�y��G��~m���A�$� ÚÁLУŠªuev$~ �¥�Ax�}1|{�A�$|{�'x^z­�£�>�Wz ® xCz��$~ ® �;�G�;~=�\}^�{� ���A�$� }^v$~ Æ z'�$xWxWw�z'���{~=�$xWwb}A¹~�¯{| �D� �¼Á:�£Å�� K,M ª � �{�Aw��$²�}^v$~x�~�y��G�$� ¢ �{¹{�{z'�;wby=zd��|{�A�G|{�\x^zd� ¢ }^v$~��;�$�;~=�'}8�{�·½z\�Aw�z'�$�b~��{~�}W~=���;w��$~�x ® v$~=�A~o}^v$~;xW}^zd}W~;м²'�$~�x ¢ z'�$��}^v$~oRG6A4'P'IL0=<¬7e�d� �¾Á±Ð£Åe�{~8µ}W~=�W��w¸�$~�xCv$� ® }^v$~��;�$�;~=�'}8�{� � y�v{z'�$²'~�x ¢ w���zdy�y��G�A�>z'�$y�~ ® w³}8v�}^v$~C~��{�{zd}Wwb�G�$x

�Ð ß � Á N � Å�� ß � � ��ÁLУÅ� Ð ê Á NGÄ'Å

A ~�y=z'�$xW~��d��}^v$~�|{~=�AxWwbxW}�~=�'}����'}Wwb�G���d�eÐ w��U}8v$~��{w��A~�y�}Wwb�G� �­�i}8v$~¾�;�$�;~=�'}8�{�� ¢ �>�{�Aw��$²�~=zdy�v��{¹{�{z'�;wby=zd�)|{�A�G|°�'x^zd� ¢ }8v$~�xW}^z­}W~��d�r}^v$~�xW¹Gx�}W~=� }�~=�$�{x�}W���;�d·'~z��{wbxW}8z'�$y�~�}8v{zd}C²'�$~�x�abIQ<¬0^4\6^abF ® wb}^v }^v$~y��$�|{�$}W~=��}Ww��;~ ¢ ��zd}^v$~=�m}^v{z'� zdx�}^v$~xW�{�{z'�A~��A�$�'} ªP±�1}^v$~�xWw��;�$�¸z­}Wwb�G�¼�d�m}^v$~ C z\�;wb�³}��G�$w�z'� �{¹5�{z'��w³y�xow³x��$�{�;~=�Awby=zd�b�b¹ |{~=�]�±~�y�}}^v$~=�m}^v$~�|{�A�G|°�'x^zd�bx£z'�3~)zdy�y�~=|$}W~���~�·\~=�A¹�}�w¸��~ ¢ �{~�y=z'�$x�~)}^v$~r}W�\}^zd�d~=�$~=�A²'¹ � ÁLÐ�;^�+Åwbx�zCy��$�$xW}^z'�\}��d�[}^v$~��;�'}Wwb�G��z'�$��xW� � w���~��5�{z­}Wwb�G�`Á � E'Årwbxe~��{�{zd��}W���G�$~ ª PL�£}^v$~xWw��;�$��zd}Wwb�G��wbxew��|°~=�Õ�:~�y�} ¢ �°~�y=z'�$xW~C�d���¥�$wb}W~�x�}W~=|x�wU+�~�x��:�G�E~�¯5z'�o|$�³~ ¢ }^v$~=��xW�$�;~�d�[}^v$~e�{¹{�{z'�;wby=zd��|{�A�G|°�'x^zd�bx ® w³�b�[�{~m�A~ �]~�y�}�~�� ª uev$~C�A~ �A~�y�}Wwb�G��W�$�b~C�z'»d~�x)�$xW~m�d�}^v$~Cy�v{z'�$²'~Cw�� � ÁLÐ�;8�£Å ¢d® v$w³y�v�wbx +�~=�3�wÙ� }^v$~Cx�w¸�;�$��zd}Wwb�G� wbx�|{~=�Õ�:~�y�} ª u�v$~C�Gy�y=z�µxWwb�G�{zd�)�3~ �]~�y�}Wwb�G�$xC~=�$x8�{�A~}^v{zd}CzdxW¹{�|$}W�\}Wwby=zd�b�³¹ ¢�® ~;�G�$}^z­w¸��x^z\�|$�b~�x¾ÁLÐ Ñ��QÓ ;^� Ñ��LÓ Å�Ý�A�G��}^v$~��3~��5�$w��A~�� �]�'w��\}e�{~=�$xWwb}A¹�Ú � ÁLÐ�;8�£Å ªuev$~�xW�G�{�3y�~�y��$�{~�w�� �>²G�{�3~`Â�3 �{~�xWy=�Aw��{~�x�z�v\¹{�{�Awb�¼�`�$�'}W~��ez'�A�b�`��~�}^v$�G�® v$wby�v��$xW~�x+}^v$~��ï�b~=z'|\�Ý�A�'²*��zd�b²'�G�Awb}^v{� }��,x�w¸�;�$��zd}W~E}^v$~)�{¹{�{z'�;wby�x+�G�m}^v$~+�Ý�{�$y�}Wwb�G�

)"�*���� � �5� ¢[® v$�\xW~�²G�Wzd�{wb~=�\};w³xo�:�G�{�$�à�'¹ }^v$~����{�$y�}�w³�$� ������� � �5� ª[« wb²G�{�A~UÂ\Âx^v$� ® xm}^v$wbx1z­�³²\�G�Awb}^v{� ²'~=�$~=�Wz­}Ww��$²�x^z\�|$�b~�xm���A�$� z��$wb·½z'�Aw�zd}�~ Æ z'�$xWxWw�z'� ® v$�'xW~~=�$~=�A²'¹o�Ý�{�$y�}Wwb�G��wbx��¾Á±Ð£Å£ß Ø� Ð u ��Ð ® wb}^v� ß�� � V73{ê � V � � NGÃ{ê5E.V

� � NGÃ{ê5E,V � V73{ê � V�� ê Á N,NGÅE ª  ª � ª�� V�0=686]0�ab4�½4'7:IL?'<uev$~U�;~�}^v$�$� �d� �Ù�{Ì � �d� �   � Ð �{� �Y� � �)wbx�z xWw��;wb��z'����~�}^v$�G� �:�G���A~��>�$y�w��$² �Wz'�\µ�{�G� ® zd��»��°~=v{z�·Gwb�G�{� w¸� Æ w��{�$x�x^z\�|$�bw¸�$² ª 0 ·'~=�W�3~��¸z­¯5zd}�w³�$� ® zdxm�G�Awb²'w��{zd�b�b¹Uw��\µ}^�A�$�>�$y�~�� �±�G�mx�¹GxW}�~=�;x�w�� ® v$wbyJv zd�b�)}^v$~oy��G�$�{wb}Wwb�G�{zd���{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x�z\�A~ Æ z\�$xAµxWw�z'� ª Á:u�v$~=�A~ez'�A~ �A�'w��\}r�{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x)}8v{zd})z'�A~m<>?'7 Æ z'�$xWx�w¸z\� ® v$�'xW~�y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x4\6]0;zd�b� Æ z'�$xWxWw�z'� ¢ �:�G��~�¯{z'�|$�b~ ¢ ÚÁ�� ;�GÅ+ß ~�¯{|£Á � � � � ÅLK)M ª Å

PÕ���G�A�{w��{z'�A¹ Æ w��{�$xex^z\�|$�bw¸�$² ¢ �G�$~C�>�Wz ® x�}^v$~C�$~ ® ·½z­�¸�$~�� Ñ����¿Ø]ÓB �d�£}^v$~Cy=�{�Õµ�A~=�\}·½z\�Aw�z'�$�b~ ��Bm�Ý�A�G� wb}Wx�y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�m�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� ¢ wb²G�$�$�Aw��$²¼}^v$~��'�b� ·½zd���$~� Ñ��QÓB ª uev$wbx;�b~=zd�{x�}����³~=�$²\}^v'¹U�Wz\�$�{�G� ® zd��»'xCw�� y=zdxW~�x ® v$~=�A~o}^v$~·½z\�Aw�z'�$�b~�x�z\�A~xW}^�3�G�$²'�b¹�y��$�W�A~���zd}W~�� ¢ z­xewb�³���$xW}8�Wzd}W~���w¸� }^v$~��b~8�:}�v{z'�$��|{z'�$~��[�d���>²G�{�A~ � ª

Page 24: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

� N !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-Æ w��{�$x�x8z'�|$�bw��$² 0 ·\~=�W�A~���zd¯{zd}Wwb�G�

Á:z\Å

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1Á:�{Å

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0

�������� � ����� �^îÕû:ûÝîÕíïð'��ð^ôLøïó�ò � óWò=ôLûÝð8ñ:ô:îAüe÷�øïôLõ?I¿ø� �½ñ�ñ:ð8þEÿ=íùøùò�� ��ó�û>ð ��ø��WðWû:øïð8ô:î�I+ðWúdñ:ñLøïðWòC÷�øïôLõ� óWû:ûÝîÕíïð8ôLøïóWò ��� ��� � �'% � ��ð � ��õ½î¬ñ:ô:ð^ô:î¬ñ:î��8údîÕò � î �¸ó�û� &��øïô:îÕûÝð8ôLøïóWòdñ� �î]ð � õEøïô:îÕûÝð^ôLøïó�ò)øùò �8óWí��8øùò �EóWòdîú=ÿ'ü�ð^ô:îeó!� �'ó8ôLõ �Wð�û:øïð!�=íïîAñ�� ��õ½î�ó��8îÕû:ûÝîÝíïð'��ð8ôLøïóWò�þ�îAôLõ½ó�ü õ½ð8ü�� � ! ��� �&% � ����õ�øïñrî�� � îAñ:ñLø��8îÕí��íïð�û �^î �Wð�íùú½î�øïñ � õdó^ñ:îÕò�ô:óþ�ð � î øïôCîAð^ñ ��ô:óñ:îAîCõdóW÷ ôLõ½î�ó!�^îÕû:ûÝîÕíïð&��ð8ôLøïó�òºþ�î]ôLõdó�ü�ûÝîAü�ú � îAñûÝð�ò½ü=ó8þ ÷�ðWí � �'îÝõdð��8øïó�ú=û�� � ��õ½îEü=ó8ô:ô:îAüCíùøùò½î�ñLõdóW÷[ñrôLõ½î � óWò=ô:ó�ú=û � u���� ë �$�4P�� � � ��+î]ô:ð�øùí>ó!���ð �� ½ñLõdóW÷�øùò���ôLõ½îrôL÷¥ó�ñ:ô:îÕÿ½ñ¿þ,ð � øùò��iú=ÿ�îAð � õ�øïô:îÕûÝð8ôLøïóWò�� � H ��ô:îÝû�+îAðWí �FP���� ����

PÕ� ¶ �{�b~=�)� x�ÁAÂ=à 6{Â=Åo�½·\~=�W�A~���zd¯{zd}Wwb�G�à��~�}^v$�G� ¢ �G�$~�w��$xW}W~=zd�çx8z'�|$�b~�x � Ñ����¿Ø]ÓB�Ý�A�G� z Æ z'�$x�xWw�z'��}^v{z­}ewbx��$w¸z­xW~���}W�}^v$~��G|{|{�'x�w³}�~�x�w³�{~;�d�)}8v$~�y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�+�{wbxAµ}^�Aw��{�$}Wwb�G� ª P±�}^v$~�y��G�$�{wb}Wwb�G�{zd�C�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G� �d�7��B�wbx�À��G�W�z­��Á � ; � � Å�z'�$� }^v$~y=�{�W�A~=�\}e·dzd���$~��­� ��B+wbx � Ñ��QÓB ¢ }^v$~=� ¶ �{�b~=�)�ùx��;~�}8v$�G��xW~�}Wx��9B£}W�� Ñ����¿Ø]ÓB ß�� ����Á�� Ñ��QÓB ���[Å �çÁAÂG��� � Å Ø � � ��� ; Á N V'Å

® v$~=�A~�� � À��G�W�zd�ÝÁF39;=Â=Å[z\�$����wbx,z�|{z'�Wz'��~�}W~=�£�°~�} ® ~�~=� �CÂ�z'�$�� ¢ y��G�o�;�G�$�b¹xW~�}e}���z;�$~�²Gzd}Wwb·'~�·½zd���$~ ªuev$~�}^��z'�$xWwb}Wwb�G���ozd}^�Awb¯���ÁLÐ HWÐ+Å>�{~ �¥�$~����'¹C}^v$wbxr|{�A�$y�~��>�{�A~��{�G~�x)�$�'}+x^zd}�w³x3�±¹�{~�}^zdwb�b~��º�{zd��z'�$y�~ ª u�v$~�w��$�{wb·Gwb�>�{zd�E}^�Wz'�$xWwb}Wwb�G�$xm�:�G��}8v$~�w��$�{wb·$w³�>�{z­�)y��$�G�A�{w��{zd}W~�x�W�$xW})�{~�xWy=�3w¸�°~��`P\?;x^zd}WwbxA�:¹��{~�}^z­w³�b~����{zd��z'�$y�~ ¢ �{�$} ® v$~=� ® ~i�±�G����zCy�v{zdw���'¹z'|\µ|$�b¹Gw��$²�}^v$~=��w���z �>¯$~���xW~��{�$~=�$y�~ ¢ }^v$~��d·'~=�Wzd�b��yJv{z­w¸��wbxC�$�'}��A~�·'~=�3xWw��$�³~ ª P±� ¢ x^z�¹ ¢} ® ��·dz'�Aw�z'�$�b~�xez'�A~e|{�'x�w³}�w³·\~��³¹oy��G�W�A~���zd}W~�� ¢ }8v$~=�;}^v$~�¹ ® wb�b� ÁL�G�;zmx^v$�$�A}r}Ww��;~�xWy=zd�b~=Å

Page 25: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q � V

~�·'�'�b·'~�w��ºz �{w��A~�y�}W~��à�z'�{�$~=��w��$xW}W~=z­�º�d���\¹U�Wz'�$�{�G� ® z­�¸» ¢ zdx�x8v$� ® ��w�� �>²dµ�{�A~� � ª u�v$w³xe�z�¹�xWwb²G�$wR�>y=z'�'}��³¹��A~��>�$y�~e}^v$~e}�w¸��~��A~��{�$w¸�3~���}W�C�$�$}^zdw���~ �.~�y�}�w³·\~��³¹w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}x^z'�o|$�³~�x ª uev$wbx���~�}^v$�G� w³x�xW}Wwb�b�,z�·dzd�bw³� x^z'�o|$�³w��$²�xW}^��zd}W~�²'¹ � wb}y��G�\·'~=�A²'~�xr}��C}^v$~e}^z'�3²'~�}£�{~=�$x�w³}A¹ÚÁLУÅ��Ü�{~�y=z'�$xW~mwb}rwbx,�zd�{~m�{|;�d�¥}8�Wz'�$xWwb}Wwb�G�$x}^v{zd}�x^z­}WwbxA�±¹��{~�}^zdwb�b~��U�{zd��z'�$y�~ ªuev$~��d·'~=�W�A~���zd¯{zd}Wwb�G� �;~�}^v$�$� v{zdx��{~�~=� ²'~=�$~=�Wz­�³w2+�~�� �\¹àÀ�~=zd��Á3Â=Ã'Ã,V ¢ z'�$�}^v$wbx·'�\�¸�{��~=Å ® v$�'xW~ �Ù�G�A�{~=�A~��¼�d·'~=�W�3~��¸z­¯5zd}�w³�$�(� ��~�}^v$�G�¼wbx�z\|{|$�³wby=z'�$�b~�}W�ºz\�'¹xW¹$xW}W~=� ® v$~=�A~ Æ w��{�$xCx^z\�|$�bw¸�$²�wbx��$xW~�� ª¬« �$��|{�Wz­y�}Wwby=zd� |{�{��|{�'xW~�xC}8v$w³x���~�}^v$�G��z�¹x^|°~�~��U�{|�z;xWw��;�$�¸z­}Wwb�G���\¹�z ��zdy�}��G���d�£}�~=���G�E} ® ~=�'}A¹ ªE ª  ª Ä ª�� IQ9 & a³4\7:0^P�4'<><¬0^4\a³IL<'R¶ }^v$w��A� }W~�y�v{�$wb�5�$~��:�G�Cx8|{~�~��{w��$²ºy��$�'·'~=�3²'~=�$y�~�wbx � ��� �   �{��� § ���+���G�  L� ��¡£ª PÝ�xWw��;�$��zd}W~���z'�{�$~=zd�bw��$² ¢ z �ï}W~=�|°~=�Wzd}^�{�A~,�{|{z'��z'�;~�}W~=�gw³x�w¸�\}^�A�$�>�$y�~�� ® v$w³y�v ¢{® v$~=���z'�A²'~ ¢ zd�b�b� ® x�}^v$~mxW¹Gx�}W~=��}W�;�z'»d~m}^�Wz\�$xWwb}Wwb�G�$x ® v$wbyJv ® �G�$�b���{~Cw��|{�A�G�{z\�$�³~�z­}}W~=�|°~=�Wzd}^�{�3~¾Â ª uev$~;}W~=�o|{~=�Wzd}8�{�A~�z�¹��{~;w��$w³}�w¸z­�³�b¹ xW~�}m}W��z��z'�3²'~;·½zd���$~�z'�$��A~��>�$y�~��;²G�Wz­�>�{zd�b�³¹�}W�; ª P:}+wbx)v$�G|{~��;}^v{z­}[}^v$wbx)|{�A�$y�~��>�{�A~e�A~��>�$y�~�xr}^v$~)y�v{z'�$y�~��d�}^v$~CxWw��;�$��zd}Wwb�G�(�ùxC�{~�y��$�;w��$²�xW}8�$yJ»ow���z'���{�{�A~=|{�3~�xW~=�'}8zd}Wwb·'~�|{�3�G�{z'�$wb�bw³}A¹�w³x��¸z\�$� ª

� ~�z­xWxWx^�{�;~C}8v{zd} ® ~ ® wbx^v�}���x8z'�|$�b~C�Ý�A�G� z;�{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$���­� }^v$~m�:�G�W�ÚÁLУÅrß �

� Ñ � ÓM Á NGÉ'Å

® v$~=�A~���ÁLУſy=z'���{~m~�·½zd���{zd}W~�� ª PÝ�o}^v$~�x�w¸�o|$�³~�x�},x�w¸�;�$��zd}W~���z\�{�$~=zd�bw¸�$²�;~�}8v$�G� ¢® ~Cw��$xW}W~=zd��x^z'�|$�b~C�Ý�A�G��}^v$~C�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�Ú��,Á±Ð£Å£ß Ø

� Ñ � Ó � � Ñ� Ó� Á N E'Å

z'�$���{~�y=�A~=z­xW~ �ç²$�Wzd�>�{zd�b�b¹�}W�� ª0 �:}W~=��}8v$~C~=�$~=�A²'¹o���{�$y�}Wwb�G� y=z'���°~�xW~=|{z\�Wzd}W~���w��'}W��} ® ��}�~=�W�;x ¢

��ÁLУÅ+ß � � Á±Ð£Å � � Ø ÁLÐ+Å; Á N 6'Å�d� ® v$wby�v}^v$~��¥�AxW}r}W~=�W�âwbx �b�$w³y�~,��ÁY�:�G�+~�¯5z\�|$�b~ ¢ z xW~=|{z'�Wz\�$�³~i���{�$y�}Wwb�G�o�d�[УÅrz'�$�}^v$~�xW~�y��G�$��wbx%�³�{zdxW}A¹(� ª PÝ� }^v$~�xW~;y=zdxW~�x ¢ z��{~�}W}�~=�exWw��;�$��zd}W~��Uz'�{�$~=zd�bw��$²`��~�}^v$�G��;wb²Gv\}��z'»­~��$xW~C�d�r}^v$~C�{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�

Ú � ÁLУÅ+ß Ø� � Ñ � Ó � � �� Ñ � Ó � ë Ñ

� Ó� Á NGÃ'Å® wb}^v � ²$�Wzd�>�{zd�b�b¹à�{~�y=�A~=z­xWw��$²à}W�ç ª PÝ� }^v$wbx ® z�¹ ¢ }^v$~��{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$� zd}�v$wb²Gv}W~=�|°~=�Wzd}^�{�3~�x��A~�·'~=�A}�xe}W�z ® ~��b�ï´{�{~=v{z�·'~����{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G���{~ �¥�$~����\¹�� � ªÈ$w��;�$��zd}W~���z'�{�$~=z­�³w��$²;wbx)�d�:}W~=���$xW~���zdx)z'���G|$}�w¸��wU+=z­}Wwb�G��;~�}^v$�$� ¢d® v$~=�A~�}^v$~zdw���w³xm}W���¥�$��z'��Ð }^v{zd}e�;w��$w��;w2+�~�x ��ÁLУŠ¢ w�� ® v$w³y�v�y=z­xW~�}^v$~C}�~=�|{~=�Wz­}^�{�A~�wbx�{~�y=�A~=zdx�~��º}W� +�~=�3�`�Wzd}8v$~=�m}^v{z'��}W�ºÂ ª�¶ x;z��`�$�'}W~�ez\�A�b�`�;~�}^v$�$� ¢ xWw��;�$��zd}W~��

Page 26: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

� É !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-z'�{�$~=zd�bw��$²àzdx�{~�x�y=�Aw��{~��çz'�{�d·'~��{�$~�x^�(�ù}�x^z'�o|$�³~�~�¯5z­y�}W�b¹ ���A�$� }^v$~��Awb²Gv\}�{wbxAµ}^�Aw��{�$}Wwb�G�(H$}^v$~my��b�'xW~��b¹��A~���zd}�~�� �ïx�w¸�;�$��zd}W~���}W~=�|°~=�Aw��$²*�{�;~�}^v$�$�{x�ÁL�Uz'�Aw��{z'�Aw>z'�$�!rz'�AwbxWw[Â�Ã'à � Å�y��$�W�A~�y�}r}^v$~��$w�zdx�~�xrw¸�\}^�A�$�>�$y�~����'¹�}^v$~ez'�{�$~=zd�bw��$²�|{�3�Gy�~�xWx)�\¹�z'»­µw��$²}^v$~m}W~=�|°~=�Wzd}^�{�A~mwb}WxW~��Ù�,z;�Wz'�$�{�G��·dz'�Aw�z'�$�b~C}^v{zd}�wbx��{|{�>z­}W~���w����`~�}8�A�G|{�\�³wbx�Ýzdx^v$wb�G���>�{�3w¸�$²�}^v$~CxWw��;�$��zd}Wwb�G� ª�'"#"\"%+( 9¼s/4 � 9G>,tE&;(;8 5���5�9;: %/> 9,qds�( 9)s p � � ¬(;8 $E([s��[!GFPL�)}8v$~�}^z'�3²'~�}��{~=�$xWwb}]¹�ÚÁ±Ð£Å�wbx�²\w³·\~=��w�� }^v$~C�:�G�W� �­�gz'���{�{�$�$�W�zd�bw2+�~��U�{~=�$xWwb}A¹Ú J ÁLУŠ® wb}^v�ÚÁ±Ð£Årß Ø

� Ú J Á±Ð£Å ¢ }^v$~C·½z­�¸�$~��d� M �z�¹ ® ~��b�£�{~C�d�rw��'}�~=�A~�xW} ª ���G�\}W~�ez'�3�³�¼�;~�}^v$�$�{x��{���$�'}��A~=zd�{wb�b¹ ¹$wb~��b� z\�¼~�xW}Ww��z­}W~��d��}8v$w³x��{�{z'�'}�w³}A¹ ¢ z'�$�àwb}wbxz'��z'�A~=z��­��z­y�}Wwb·'~��A~�xW~=z\�AyJv�}W� �¥�$� ® z�¹$xC�d�,~�·dzd���{zd}Ww��$²�w³} ª u¿~�yJv{�$wb�{�$~�x;�±�$�~�·½z­�¸�{z­}Ww��$² M w��$y����$�{~'� ª PÕ�|{�$�A}^z'�$y�~Cx^z\�|$�bw¸�$²ºÁ��A~�·Gwb~ ® ~����\¹¾À�~=zd�,ÁAÂ�Ã'Ã'Ä'ÅWÅ ª� ª �buev$~=�W�;�$�{¹5�{z\�;wby�w��\}W~�²G�Wz­}Wwb�G�(�{�>�{�Aw��$²�xWw��;�$��zd}W~��ºz'�{�$~=z­�³w��$² ¢ }8v$~ �³zdy�y�~=|\µ}8z'�$y�~)�Wzd}Wwb�*���;~�}8v$�G� ¢ z\�$� �³�{�;�{�A~��b��zex8z'�|$�bw��$²*�GÁ:�A~�·$wb~ ® ~����\¹1À�~=zd�¥ÁAÂ�Ã'Ã'Ä'ÅWÅ ªÄ ª � Ç ~�·'~=�AxWw��$�b~ �3�{�o|���z\�W»d�d·y�v{zdw������G�\}W~1��z'�A�b�*�£Á Æ �A~�~=��Â=Ã'Ã,V'Å ª!+~=�Wv{z\|$x)}^v$~e�{~�x�} ® z�¹��d���{~=zd�bw¸�$² ® wb}^v�M ¢ v$� ® ~�·'~=� ¢ wbx)}W�T�¥�$��z xW�'���$}Wwb�G�;}���G�$~,�ùx+}^zdx8»m}^v{zd}+�{�G~�xr�$�'})�A~��{�$w��A~�}^v{zd}/M¼�{~�~�·½zd���{zd}�~�� ª PÝ� A z�¹'~�xWw�z'� �>zd}^zm�;�G�$µ~��b�bw¸�$²��G�$~;y=z'��z�·'�'wb��}^v$~;�$~�~��U}W��~�·½zd���{zd}�~ M � ® v$wby�v ® �G�$�b�U�{~;w��|{�G�3}^z'�\}�:�G�C�;�$�{~��)y��G�|{z\�AwbxW�G� � �\¹U�$�'}�v{z�·$w��$²`�;�G�3~�}8v{z'���G�$~����G�{~�� ª PÕ�$xW}W~=zd� �d��$xWw��$²�xW~�·'~=��zd�£�;�$�{~��bx�ÁL�{w �.~=�3w¸�$²�w���y��G�|$�b~�¯$wb}]¹ ¢ �:�G��~�¯5z\�|$�b~=ÅCz'�$��~�·dzd���{zd}Ww��$²}^v$~�w��;�A~���zd}Wwb·'~�|{�'x�}W~=�Awb�G��|{�3�G�{z'�$wb�bw³}�w³~�x ¢ �G�$~y=z'� �z'»­~�z xWw��$²'�b~ ¦ � � � � � �\¦ � �d�  �;�$�{~��>v{z�·Gw��$² ¢ �±�G�¿~�¯{z'�|$�b~ ¢ ·dz'�Awb�G�$x)y��$�'}Ww��$�$�G�$x,v\¹{|{~=�W|{z'��z'�;~�}W~=�Ax ® v$w³y�v|$��z�¹z�A�\�³~Cx�w¸��w³��z'�m}���}8v{zd}�|$��z�¹'~����'¹�}8v$~C�{w³x�}Ww��$y�}1�;�$�{~��bx�Á�Àe~=zd�EÂ=Ã'Ã'É'Å ª

�'"��\";s/4 ��&���s)t/>G6�>G8�5Ýq;&��.s/4;>�! <">,t p�5 : &7>�!"��8>q0 �{�+�G�Awb²'w��{zd�$�{~�xWy=�Aw�|$}Wwb�G���d�>}^v$~���~�}^�A�G|°�'�bw³x)��~�}^v$�G�;w��\·'�'�b·'~��z �A�'w��\} �{|°�>zd}Ww��$²�d�ezd�b�)}^v$~;·½z\�Aw�z'�$�b~�x��$x�w¸�$²Uz�|{�A�$|{�'x^z­�r�{~=�$xWwb}]¹ ��ÁLÐ H�УŠª¬« �G�C�$wb²�|{�A�G�$�b~=�;x�wb}�z�¹�{~C�;�G�A~�~ -�y�wb~=�'}e}����$xW~ex�~�·'~=�Wzd��|{�A�G|{�\x^zd�>�{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�$x � Ñ��:Ó Á±Ð H�УŠ¢ ~=zdyJv�d� ® v$w³y�v��{|{�>z­}W~�xe�G�$�b¹�xW�G�;~m�d�£}^v$~Cy��$�|{�G�$~=�\}Wx��d�£Ð ª � zdy�v�|{�A�$|{�'x^z­�¥wbx�w��$�{wÙµ·$w³�>�{z­�³�b¹�zdy�y�~=|$}W~���$�r�A~ �]~�y�}�~�� ¢ z'�$�}8v$~�|{�A�G|°�'x^zd�{�{wbxW}^�3w¸�{�$}�w³�$�$xiz\�A~e�A~=|{~=zd}�~��{�³¹�W�{��}^v{�3�G�$²Gv�w���xW~��{�$~=�$y�~ ª

PÕ�U}^v$~o�`~�}8�A�G|{�\�³wbx;�;~�}^v$�$� ¢ }^v$~�|{�3�G|{�'x8zd�r�{~=�$xWwb}A¹ ��ÁLÐ HWУÅ�}A¹5|$wby=zd�b�b¹ºv{zdxz��$�{�;�{~=���d��|{z'�Wz\�;~�}W~=�Ax�}^v{zd}�y��$�'}^�3�'� ¢ �:�G�C~�¯{z'�|$�b~ ¢ wb}Wx � ® w³�{}8v(� ª uev$~�x�~¾|{z�µ�Wz'��~�}W~=�Ax�z\�A~¾�$x8�{zd�b�³¹ xW~�}�\¹U}^�Aw�zd��z'�$�º~=���A�G� ® wb}^v }^v$~¾���$�³~��­�i}8vG�{�;� �{~�w��$²}^v{zd}��G�$~Czdw��;x��:�G��z;�A~ �A~�y�}Wwb�G�o���3~��5�$~=�$y�¹��d� z'�°�G�$}?3 ª V ª P:}�wbx�<>?\7)·dzd�bw³��}W�v{z�·'~}^v$~ ® wb�{}^vU|{z\�Wz'�;~�}W~=�3x1�°~�{¹5�{z\�;wby=zd�b�³¹ �{|{�>zd}W~�� �>�{�Aw��$²�}^v$~;xWw��;�$��zd}Wwb�G� w¸� z® z�¹U}^v{zd}�{~=|°~=�$�{x��G� }^v$~�v$w³x�}W�G�A¹ �d�C}^v$~�xWw��;�$��zd}Wwb�G� ª È{�$yJv zU�;�$�{wR�>y=zd}Wwb�G��d�£}8v$~�|{�A�G|{�\x^zd�[�{~=�$xWwb}A¹ ® �$�$�³��·Gwb�'��zd}�~C}^v$~C�{~�}^zdwb�b~��`�{zd��z'�$y�~�y��G�$�{wb}Wwb�G� ® v$w³y�v²G�{z'��z'�'}�~�~�x,}8v{zd}e}^v$~C�Uz'�W»­�½·oyJv{zdw���v{zdxe}^v$~Cy��G���A~�y�}ew��'·dz'�Aw�z'�\}��{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G� ª

Page 27: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q � E�'" �$"7:G5:p£prq;qd(,& 6�8�5�9G: 5�9¼p�5 : &7>�!"��8>q0 �{�C�{~�x�y=�Aw�|$}Wwb�G�U�­� Æ w��{�$x�x^z'�o|$�³w��$²�w��'·\�'�b·'~��Ux^z'�o|$�³w��$²��G�$~�|{z\�Wz'�;~�}W~=�Cz­}�z}Ww��;~ ¢ zdxm�{~�xWy=�Aw��{~��Uw���~��{�{zd}Wwb�G�$xÁ:Ä{ÂJ´5Ä'Ä'Å ª$« �G���$wb²�|{�A�$�$�³~=��xCw³}C�z�¹��{~�;�$�A~~ -�y�wb~=�\})}W�Cx^z\�|$�b~eRG6A? & 2>He�d��·½z'�Aw�z'�$�b~�x �A�'w��'}W�b¹ ¢ }^v{zd}rwbx)}W���$x�~,x�~�·'~=�Wzd�>|{�A�$|{�'x^z­��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G�$x��

� Ñ����¿Ø]ÓØ ê=ê�ê � Ñ�� �[ØAÓ�

� ÚÁ�� Ø ê=ê=ê � �� � Ñ��QÓ

� �[Ø ê�ê=ê � Ñ��QÓ Å Á V73'Å� Ñ����¿Ø]Ó

� �[Ø ê=ê�ê � Ñ�� �[ØAÓ�

� ÚÁ��� �¿Ø ê=ê�ê � �

� � Ñ�� �[ØAÓØ ê=ê�ê � Ñ����¿Ø]Ó�

; � Ñ��QÓ� �¿Ø ê=ê�ê � Ñ��QÓ Å ;�~�}Wy ª ê½Á V{Â=Å

�'" \"�4;>/3 &;( 9g- qd(�&76�8 �[q�(,t�� 9"� �[!"�[!GF¶ }�}^v$~CxW}8z'�A}��d�r}^v$wbxeyJv{z\|$}W~=� ¢$® ~C�G�$xW~=�A·'~���}8v{zd}�}^v$~C·½z'�3w¸z\�$y�~��d� z\��~�xW}Ww��zd}W�$��Þ �{~=|°~=�$�{x��G�$�b¹��G�o}^v$~��$�{�;�{~=���d�£w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}Cx^z'�|$�b~�xB��z'�$��}^v$~C·dzd���$~��d�

� � ß æ è é Ð�ÚÁLÐ+Å=Á:ãrÁLУÅ��ºÞeÅ � ê Á V � Å� ~v{z�·'~�$� ® �{w³x�y=�$xWxW~��¼z�·½z'�Awb~�}A¹��d�i��~�}^v$�G�{xm�:�G�m²'~=�$~=��zd}Ww��$²�x^z'�|$�b~�x ���A�$�ÚÁLУŠª C � ® �z'�\¹w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x8z'�|$�b~�x � x8v$�G�$�b� ® ~�zdw����:�G�LQ

PÕ���z'�\¹�|{�A�G�$�b~=�;x ¢¬® ~��A~=zd�b�b¹��G�$�b¹��$~�~���z\�{�G�$}e} ® ~��b·'~Cw��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x^z\��µ|$�b~�xm���3�G� ÚÁLУŠª PÝ�z­²'w��$~�}8v{zd}eÐ w³x�z\���{�{»G�$� ® ��·'~�y�}W�$��x^�$y�v�zdxm}^v$~�z\�;�G�{�\}�d�£y��$�W�A�'xWwb�G��|{�3~�xW~=�'}�w¸��~=z­yJv��d�eÂ�3 ¢ 37373��{�$�{~=�3²G�A�G�{�$��|$w�|{~��bw��{~�x�z\�A�G�{�$��È$wby�wb�³¹ ¢z'�$� ã Á±Ð£Åwbx�}^v$~�}W�'}^z­�,y��\xW}��­���A~=|{zdw��Aw��$²¼}^v$�'xW~�|$w�|{~��bw��$~�x ª uev$~��{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G�ÚÁLУÅ��{~�xWy=�Aw��°~�x�}^v$~;|{�A�G�{z'�$wb�bwb}]¹��d�,zoxW}^z­}W~Cк²\w³·\~=��}8v$~�}�~�xW}Wxm}^v{zd}�v{z�·'~;�{~�~=�y=z'�W�3w³~��¼�$�$}�G� xW�G��~¾|$w�|{~��bw��$~=x�z\�$�¼}^v$~�zdxWx^�{�o|$}Wwb�G�$x�z'�°�G�$}}^v$~�|{v\¹Gx�w³y�x��d�y��G�W�3�'xWwb�G� ª u�v$~C�5�{z'�\}Wwb}A¹Þàwbxe}8v$~�~�¯{|{~�y�}W~���y��\xW}��d�[}^v$~1�3~=|{zdw��Ax ª uev$~C�{�{z'�'}�w³}A¹� � wbxE}^v$~�·dz'�Aw�z'�$y�~m�d�[}^v$~ey��'x�}/� ���;~=zdx^�{�A~�x��'¹v$� ® �;�$y�v ® ~ex^v$�G�$�b��~�¯{|{~�y�}}^v$~�zdy�}8�{zd�[y��'xW}�}W�o�{w �[~=�E�Ý�A�G� }^v$~C~�¯5|°~�y�}^zd}Wwb�G��Þ ªÀ�� ®�¢ v$� ® zdy�y=�{�Wzd}�~��³¹ ® �G�$�b�¾z;�z\�{zd²'~=�E�bw¸»­~C}W�»G�$� ® Þ Q�P ® �G�$�b��x^�$²'²'~�x�}}^v$~=�A~mwbx��³wb}W}��³~�|°�'w��'}�w���»$�$� ® w¸�$²Þ }W��z;|{�A~�y�wbxWwb�G� �¥�$~=�E}^v{z'��z'�°�G�$};��K\Ä ª'¶ �±}�~=�zd�b� ¢ }8v$~�}^�W�$~�y��'xW};wbx��³w�»d~��b¹ }W���{w �[~=���'¹ �B� �Ý�A�G� Þ ª P±� ® ~��G�$}8zdw�����ß Â �w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}ex^z'�o|$�³~�xg���3�G� ÚÁ±Ð£Å ¢d® ~�y=z'��~�xW}Ww��zd}W~mÞ }W��zC|{�A~�y�wbxWwb�G�o�d� ��K �  �� ® v$w³y�v�wbxex8�zd�b�b~=�e}^v{z\� ��K'Ä ª È$�} ® ~��b·'~Cx^z'�|$�b~�xmx^�.-�y�~ ª�'"��\";(;8*8">�%+([s/5 > 9 >;<�t��[q.> $�tr%��[q¶ xWx^�{�;w��$² ® ~1v{z�·'~e�{~�y�wb�{~���v$� ® �z'�\¹;w¸�$�{~=|°~=�$�{~=�'}mx^z'�o|$�³~�x �çz\�A~1�3~��5�$w��A~�� ¢z'� w¸�o|{�G�A}8z'�'}¿�5�$~�xW}�w³�$�Cwbx v$� ® �G�$~rx^v$�G�$�b��z'»­~)�$xW~)�d�{�G�$~,�ùx+�bw��;wb}W~��;y��G�|{�$}W~=��A~�xW�$�{�Ay�~�xe}W��$�$}^zdw���}^v$~�xW~�x^z'�|$�b~�x ª¶ }A¹5|$wby=zd�[�Uz'��»d�d·�y�v{zdw������G�\}W~1��z'�A�b�~�¯{|{~=�Aw��;~=�\}�w��\·'�'�b·'~�x�z\��w¸�$wb}Ww�zd�r|{~8µ�Awb�$��w�� ® v$w³y�v;y��G�\}^�A�\�G|{z'�Wz'��~�}W~=�Ax+�d�>}^v$~�xWw��;�$�¸z­}Wwb�G�;x^�$y�v;zdx£x�}W~=|�xWw2+�~�x,�z�¹��{~zd� �W�$xW}W~�� ª uev$wbxCwbxe�:�'�b�b� ® ~��U�\¹�z �³�{�{�W��w��(�¥|°~=�Awb�G� �>�{�Aw��$² ® v$wbyJv ® ~�v$�G|{~;}^v$~

Page 28: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

� 6 !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-(1)

(2)

(3)

�������� ?� ��� ��õ�ûÝî]îEÿ'ó8ñ:ñLø�=íïî � ðWû � ó�� � õ½ð�øùò � óWò=ô:î � ð�û:íïóCñ:ôLûÝð8ô:î ��øïîAñ���ó�û)ó��dô:ðWøùò�øùò��;ôQ÷�îÕí��8îñ:ð8þ)ÿ�íïîAñrú½ñLøùò��Cð �)��îAü�ð8þ,ó�ú=ò=ôEó�� � ó^þEÿ=údô:îÕû,ôLøïþ�î�� � ó8þEÿ=ú½ô:îÕû)ôLøïþ�îEøïñ+ûÝîÕÿ=ûÝîAñ:îÕò=ô:î]ü � �mõdóWû �ø��AóWò=ô:ð�í>íùøùòdîAñ �5ñ:ð8þEÿ=íïîAñ � �C÷�õ=øïô:î � øùû � íïîAñ�� �FP�� H ñLøùò���íïîeû:ú�ò � ó�ò½ñLøïñ:ôLøùò���ó��[ó�ò½îEíïó�ò��� ��ú=û:ò�øùò �ÿ'îÕû:øïó�ü ��ó�íùíïóW÷�î]ü � ��ð)ñ:ð8þEÿ=íùøùò��iÿ­îÕû:øïó�ü ���LK�� � ó�ú=û[þ�îAü�øùúdþ �8íïîÕò��8ôLõCû:ú=òdñ[÷�øïôLõ�üSø��­îÕûÝîÕò=ô�øùò�øïôLøïðWí� óWòdü�øïôLøïó�ò½ñEðWòdü�ð�þ�îAü�øùú½þ��8íïîÕò��8ôLõ ��ú=û:òCøùòCÿ'îÕû:øïó�ü � � ' � �[÷�îÕí��^îrñLõdóWûÝô¿û:ú=òdñ��

xWw��;�$��zd}Wwb�G� �ïy��$�'·'~=�3²'~�x���}W�C}^v$~��{~�xWw��A~����{w³x�}^�Aw��{�$}Wwb�G� ª'« w��{zd�b�b¹ ¢ zdxr}^v$~�xWw��;�$��zd}Wwb�G�y��G�\}Ww��G�$~�x ¢�® ~��A~�y��G�A��}^v$~;xW}^z­}W~;·'~�y�}W�G���Gy�y=z­xWwb�G�{zd�b�b¹UxW��zdxC}W��y=�3~=zd}W~z��bw³x�}��d�xW}^z­}W~�xeÏ=РѳÒWÓ Ô ÖÒW×¿Ø }^v{zd} ® ~1v$�G|°~1z\�A~1�3�G�$²Gv$�b¹w��$�{~=|{~=�$�{~=�\}�x8z'�|$�b~�xE���A�$� ÚÁLУŠªuev$~=�3~�z'�A~Cx�~�·'~=�Wzd�[|{�\xWxWw��$�b~�x�}^�Wzd}W~�²\w³~�x�Á �>²$�{�A~�Â=Ä\Å ªÂ ª �Uz'»­~��G�$~��b�G�$²��W�{� ¢ �$�$}^zdw��$w��$²¾zd�b� � x8z'�|$�b~�xe�Ý�A�G� w³} ª� ª �Uz'»­~�zo�:~ ® �;~��{w��{� �b~=�$²'}8vU�W�{�$x ® wb}^v��{w �[~=�A~=�\}�w��$wb}Ww�zd�)y��$�$�{w³}�w³�$�$x ¢ �G�\µ}8zdw��$w¸�$²�xW�G��~Cx^z'�|$�b~�x����A�$� ~=z­yJv ªÄ ª �Uz'»­~�� x^v$�G�A}����{�$x ¢ ~=z­yJv�xW}8z'�A}Ww��$²;�Ý�A�G� z��{w �[~=�A~=�\}C�Wz'�$�{�G� w��$wb}Ww�zd�ry��G�\µ�{wb}Wwb�G� ¢\® wb}^v;}^v$~��G�$�b¹xW}^zd}�~)}^v{zd}rwbxe�A~�y��G�3�{~����{~�w��$²;}^v$~G�¥�{zd�{x�}^zd}W~��d��~=zdyJvx�w¸�;�$��zd}Wwb�G� ª

uev$~ �¥�AxW}mxW}^�Wzd}�~�²'¹¾v{z­xe}^v$~��°~�xW}Cy�v{z'�$y�~��d�,z­}W}^zdw��$w��$² �Ùy��G�'·\~=�A²'~=�$y�~,� ª u�v$~���zdxW}xW}^��zd}W~�²'¹C�z�¹1v{z�·'~E}^v$~,z­�{·½z'�\}^zd²'~E}^v{zd}[}8v$~)y��G�W�3~��¸z­}Wwb�G�$x �°~�} ® ~�~=��}^v$~��A~�y��G�A�{~��x^z'�o|$�³~�xCz'�A~Cx8�zd�b�b~=� ª uev$~��;wb�{�{�b~�|{zd}^v�z\|{|{~=z'�Axm}W���°~�|°�G|{�$��z'� ® wb}^v��Uz'��»d�d·y�v{zdw������G�\}W~;�ez'�A�b��~�¯5|°~=�A}Wx��{~�y=z\�$xW~wb}�z�·'�'wb�{x�}8v$~�w��$~ -�y�wb~=�$y�¹U�­�)�{w³x�y=z'�A�{w��$²�{�{�W�\´Gw��owb}W~=�Wzd}Wwb�G�$xEw����z\�'¹;�W�{�$x ¢d® v$wb�b~CxW}Wwb�b�¥zd�b�b� ® w��$²;�G�$~e}W�C�{~�}W~�y�}�|{�A�G�$�b~=�;x® wb}^v �¸z­yJ»o�d�ry��G�'·\~=�A²'~=�$y�~C}^v{zd} ® �$�$�³���$�\}��{~;z'|{|{z'�A~=�\}��Ý�A�G� z;xWw��$²'�b~����{� ª

Page 29: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

&7> 9)s��U%+(�t 8">à&���s/4G>�!,q � Ã�'" �\"76(4 5 8">,q.>;6 4r-0 �$~my=�{�Awb�G�$x��{~8�±~�y�}��d��}^v$~�xW~m�`�$�'}W~e�ez\�A�b���;~�}^v$�$�{x/� ® v$wby�v�z'�3~ ® wb�{~��b¹¾�$xW~���\¹ A z�¹'~�xWw�z'��xW}8zd}WwbxW}Wwby�w�z'�$x ��wbx)}^v{z­}r}^v$~�¹z'�A~ezd�b�¥�$�G�\´ A z�¹'~�x�w¸z\� ª uev$~�¹;w¸�\·'�'�b·'~y��G�|{�$}�~=�C~�¯{|{~=�Aw��;~=�\}WxC�Ý�A�G� ® v$w³y�v¼0SHJ7:IL9;4'7:?'6�H��d���5�{z'�\}Wwb}Wwb~�x��­�,w��'}�~=�A~�xW}�z\�A~�{~=�Awb·'~�� ª uev$~�x�~�~�xW}Ww��z­}W�G�Axe�{~=|°~=�$�U�G� }^v$~�x^z\�|$�bw¸�$²��{wbxW}8�Aw��{�$}Wwb�G�$xC}^v{zd} ® ~=�A~�$xW~��}���²'~=�$~=��zd}W~�}^v$~�x^z'�|$�b~�x ª PÕ��y��G�'}8�WzdxW} ¢ z'��zd�b}W~=�W�{zd}Wwb·'~ A z�¹'~�x�w¸z\��z\|{|{�A�Gzdy�v}W�;}^v$~�|{�A�$�$�³~=� ® �G�$�b���$xW~�}8v$~��A~�x^�$�b}Wxe�d�r�G�{�Ey��G�|{�$}�~=��~�¯5|°~=�Aw��;~=�\}Wx�}��w��\�±~=�}^v$~�|{�3�G|{~=�A}�w³~�x��d�[}^v$~�}^z'�A²'~�}+�Ý�{�$y�}Wwb�G��ÚÁLУÅrz'�$�o²'~=�$~=�Wzd}W~m|{�A~��{wby�}Wwb·'~C�{wbxW}^�Aw��{�\µ}Wwb�G�$xg�±�G�+�{�{z'�\}Wwb}Wwb~�x��d�¥w��\}W~=�A~�xW}Ex^�$yJv�zdx)Þ ª u�v$w³xez'|{|{�3�Gzdy�v ® �G�$�b�²'wb·'~�z'�$x ® ~=�3x® v$wby�v ® �$�$�³���{~=|{~=�$���$�$�³¹��G�;}8v$~�y��G�o|{�$}W~���·dzd���$~�xe�d� Ú J Á±ÐrѳÒWÓLÅ�zd})}^v$~C|{�\w¸�\}WxÏ=Ð ÑbÒWÓ Ô H$}^v$~�z\�$x ® ~=�Ax ® �$�$�³���$�'}��{~=|{~=�$���G��v$� ® }^v$�\xW~�|{�'w��\}Wx ® ~=�3~CyJv$�'x�~=� ª

P�},�A~=�z­w¸�$x)z\�;�G|{~=�;|{�A�$�$�³~=��}W�my=�A~=zd}�~iz A z�¹'~�xWw�z'��·'~=�AxWwb�G���d���`�$�'}W~e�ez\�A�b��;~�}^v$�$�{x ª�[Ë � � � � � �� ���G�\}W~���z'�A�b���;~�}8v$�G�{xez'�A~mz�|°� ® ~=�]���$�¬}W�G�\�{}^v{zd},z­�³�b� ® �G�$~m}W��w��|$�b~=�;~=�\}z\�'¹|{�A�G�{z\�$w³�bwb}A¹��{wbxW}^�Aw��{�$}Wwb�G��}^v{z­})y=z'���{~C~�¯{|{�A~�xWxW~���w���}^v$~��±�G��� ÚÁLУÅrßØ� Ú J ÁLУŠª� ���G�\}W~C�ez'�A�b����~�}^v$�G�{xmy=z'��z'�$x ® ~=�i·Gw��A}^�{z­�³�b¹�z'�\¹��5�$~=�A¹��3~��¸z­}W~���}W��ÚÁLÐ+Å�\¹�|{�$}W}Ww��$²�}8v$~C�5�$~=�A¹�w���}^v$~ �±�$�W�

æ ãrÁLУÅ�ÚÁLУŠ� Â� �

Ò ãrÁLÐ ÑbÒ3Ó ÅSê Á V'Ä'Å� PÕ��v$wb²Gv\´G�{w��;~=�$xWwb�G�{zd�+|{�A�G�$�b~=�;xe}^v$~m�G�$�b¹�x^zd}WwbxA�Ýzdy�}W�G�3¹���~�}^v$�G�{xez'�3~�}^v$�\xW~�{z­xW~����G� �Uz'�W»d�d·ey�v{zdw��C���G�\}W~)�ez'�3�³�¬�=}^v$~r��~�}^�3�G|{�'�bwbx)�;~�}^v$�$��z\�$� Æ w��{�$xx8z'�|$�bw��$² ª� È$w��|$�b~���~�}^�A�$|{�'�bwbxzd�b²'�G�Awb}^v{�;x ¢ zd�b}^v$�G�$²$v ® wb�{~��b¹¼�$xW~�� ¢ |°~=�Õ�±�$�W� |{�$�G�A�b¹�°~�y=z'�$xW~C}^v$~�¹o~�¯5|$�b�G�A~C}8v$~�x^|{z­y�~1�\¹�zCx��³� ® �Wz'�$�{�$� ® zd��» ª ���G�A~�xW�G|{v$wbxW}WwÙµy=z­}W~�����~�}^�A�$|{�'�bwbx�zd�b²'�G�Awb}^v{��x�x^�$y�v�z­x1v\¹5�{�3w³�����G�\}W~���z'�A�b�¾�oz'»d~��$xW~;�d�|{�3�G|{�'x8zd���{~=�$xWwb}Wwb~�xC}^v{zd}e²'wb·'~m�ÝzdxW}�~=�e�;�d·'~=�;~=�\}�}^v{�A�G�$²Gv�}8v$~CxW}^zd}W~mx^|{zdy�~ ªu�v$~�~ -�y�wb~=�$y�¹à�d� Æ w��{�$x�x^z'�|$�bw��$²ºwbx�zd�bxW�U}^�3�G�{�$�b~�� �\¹��Wz\�$�{�G� ® zd��»'x ªu�v$~���~�}^v$�G���d�)�$�A�{~=�A~����d·'~=�W�A~���zd¯{zd}Wwb�G��wbx�z²\~=�$~=�Wzd�)|{�{�W|°�'xW~;}W~�y�v{�$w³�{�$~�:�G�Ex^�{|{|{�A~�x�xWw��$²�}^v$~=� ª

()%+*G9;> 3 8��[!G:?�¿&��(9)s)quev$wbx,|{�3~�xW~=�'}8zd}Wwb�G�;�d�����G�'}�~i��z'�A�b���;~�}^v$�$�{xr� ® ~�x)zm²$�A~=zd}r�{~=zd�{}W� � zd�b�³¹ Æ wb��»'xz'�$� � z=·$wb��È{|$wb~�²'~���v{zd�b}W~=� ª P¬}^v{z\�{» Ç z­�$�±�G�3��À�~=zd�d�:�G��}W~=zdy�v$w��$²1��~,z'�°�G�$}[���G�\}W~�ez'�3�³���;~�}^v$�$�{x�z'�$���:�G�E²'wb·$w¸�$²�v$~���|\���$�ry��$��;~=�\}Wx��G��}^v$~��oz'�G�$x�y=�Aw�|$} ª

Page 30: Penn State Engineering: School of Electrical …rtc12/CSE586/papers/mcmcMacKayIntro.pdf7> 9)s U%+( t 8"> à& s /4G> !,q Ä Á:z\Å 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4 -2 0 2 4 P*(x) Á: {Å 0 0.5

Ä73 !m" #G"ù%�"d&;()%+*�(�-� � ! � � �¬�.�d�{�H ü�íïîÕû� ����� ��� P��'%�P � �8îÝû �YûÝîÝíïð'��ð8ôLøïóWò�þ�î]ôLõdó�ü �¸ó�û)ôLõ½î � óWò=ô:î � � ð�û:íïó�î��Wð�íùú½ð8ôLøïó�ò¾ó!�[ôLõ½î�ÿdðWû �ôLøïôLøïóWò �bú=ò � ôLøïóWò ��ó�ûiþgú=íïôLø �8údð^üSûÝð^ôLø � ð � ôLøïóWòdñ� ���� ��� ��� � � ��R�� ������ � � ���� �5 ��� � ���� � ����� �FPRK �� 7K��&��P ��K��&�' �� óW÷.íïî]ñ� � ��� �>ð�ò½ü � ðWû:íùøùò� ����¬ì ��� P ��� � � ð�û � ó�� � � õdðWøùò � óWò=ô:î � � ðWû:íïó � ó�ò �^îÕû �8îÕò � î�üSøïð � �ò½ó8ñ:ôLø � ñ � ð � ó^þEÿ½ð�ûÝð8ôLø��^î;ûÝî��8øïîA÷� "!$# �� �% � #'& � � )(�*� R� ��� �,+ �- � �.� ����� � (��/� # �R� ��� # �0�1 �� �'& �� )%&%�'����'�& �I¿øùí � ñ� � �'ð�ò½ü �oøùíïü {ì � � P ��� K% H ü�ðWÿdôLø��^îiûÝî �:î � ôLøïóWò;ñ:ð^þEÿ�íùøùò�� ��óWû�I¿ø� �dñ)ñ:ð8þEÿ=íùøùò�� ( � � �5�� + �2 ���3��������54 1 �'�'$6 ��'& '% �I¿øùí � ñ� � � � ø � õ½ð�ûÝü=ñ:ó�ò� � �½ð�ò½ü �Jÿ=øïî��8îÝíùõdðWíïô:îÕû� � �87 � � P ��� � 9 �;: # �=< � ��� 9># ��� ?<�� � #��� � �@$� ���� � õ½ð�ÿ½þ�ð�ò�ðWòdü +£ð�íùí��I¿ûÝîAîÕò� Wì �A7 � �&P � � % î��8îÝûÝñLø��íïî �Lúdþ)ÿ � ð�û � ó�� � õ½ð�øùò � ó�ò=ô:î � ðWû:íïó � ó^þEÿ=údô:ð^ôLøïó�òeðWòdü"��ð��8îAñLøïðWòþ,ó�ü�îÕí5ü�î]ô:îÕûÝþEøùò½ð8ôLøïó�ò� �B � # *� ��� �C:$�D � 56P'P �E6�' K%�

� ð�û:øùò½ð�û:ø� � �{ðWòdüì{ð�û:øïñLø� I ��� P����K �Jøïþrú�íïð^ô:îAü�ô:îAþEÿ­îÕû:øùò�� �)ðmòdîA÷ � óWò=ô:î � � ð�û:íïó;ñ � õdî]þ�î� F �� # � � ��� �����G7 � �� R�'� 1H0 � � �� P � -% �

+î]ð�í� � � ��� P���� ' �ì{ûÝó!�½ð!�=øùíùøïñÝôLø � øùò ��îÕûÝîÝò � îCú½ñLøùò�� � ð�û � ó�� � õ½ð�øùò � ó�ò=ô:î � ðWû:íïóoþ,îAôLõdó�ü=ñ� I� /� � �)�J�/ �$� �� # � �K<L��MKN�I5�ON � �$N�� �£îÕÿ½ô��dó!� � ó8þ)ÿ�ú½ô:îÕû � � øïîÕò � î� %P[ò�ø��^îÕûÝñLøïô ��ó!���{ó�ûÝóWò=ô:ó �

+î]ð�í� � � ���P ��� % �8ú=ÿ�ÿ=ûÝîAñ:ñLøùò��EûÝð�ò½ü�ó^þU÷�ð�í � ñ$øùò � ðWû � ó�� � õ½ð�øùò � ó�ò=ô:î � ðWû:íïó+údñLøùò��ró�ûÝü=îÕûÝîAüó��^îÕû:ûÝîÕíïð'��ð^ôLøïó�ò� I� /� � �)�J�/ �%� �� # � ��� �*n � �£îÕÿ½ô��dó!� ��ô:ð8ôLøïñ:ôLø � ñ� 5P¿ò=ø��8îÕûÝñLøïô��Có!� �{ó�ûÝóWò=ô:ó �+î]ð�í� � � ���)P���� � 5B �' �� � �QG7 �� � ���� &R# �TS R��@ �US �-� # �@:�� Wò�údþ��'îÕû P'P�%røùò G/ /� ����L OS # � ����� + �- � �.� ������ �Jÿ=û:øùò��^îÕû� +îA÷WV>ó�û � �ì{ûÝó�ÿ=ÿ� �7 � I �dðWòdü �øùíïñ:ó�ò� � ��� ��� P���� � �����ð � ô£ñ:ð8þEÿ=íùøùò��C÷�øïôLõ � ó�ú=ÿ�íïî]ü � ð�û � ó!� � õ½ð�øùò½ñrð�ò½üðWÿ�ÿ=íùø � ð^ôLøïó�ò½ñ¿ô:órñ:ô:ð^ôLøïñ:ôLø � ð�í­þ�î � õdðWò�ø � ñ� �X � # *W+ ��� Y� � ��� ��� ��( � � # � ��� � *Z� 0 �FP � K��� K'K�'��K 'K ��{ð�ò=ò½îÕû� � � H � �7P���� � I #�# �C� &�# ��+ �- ���3� ����� �$[ � & R�L ��� �\ 9 � �%# �� &�# � � � �F ] � � # �; ��� # � #'&��K# ���

�� R� � # �O� �3� ��� �^R ��� # �Y�� �?G �C: �5� �%#�# ��7 �%� ��� # �U� �Jÿ=û:øùò��8îÕû �SîÝû:øïîAñ+øùò �Sô:ð^ôLøïñ:ôLø � ñ� 'WûÝüCîAüSò� �8ÿ=û:øùò��^îÕû �>îÕû:íïð�� ���õdó^þ�ð8ñ� H �� �8ÿ�øïî �8îÕíùõ½ð�íïô:îÕû� � �57 �½ð�ò½ü I¿øùí � ñ� � � ��� P���� K% 5�KP I�� � H ÿ�ûÝó ��ûÝð^þ ô:óEÿ­îÕû ��ó�ûÝþ�¥ð!�^îAñLøïð�ò�øùò ��îÕûÝîÝò � îCú½ñLøùò�� I¿ø� �½ñmñ:ð^þEÿ�íùøùò�� ��� 7 � � ����îÝû:òdðWûÝü�ó _7 � � ����îÝû �8îÕû� H �>ì ��£ðW÷.øïüðWòdü H � � � � � ��þEøïôLõ ��îAü�ñ �� XB �' �� � �`+ �2 ���3�������� � � íïðWûÝîÕòdü=ó�ò¾ì°ûÝî]ñ:ñ� � ����ó�ûÝü ÿ=ÿ��)%�'H6 � %' K �

V>îAó8þ�ðWòdñ� 87 � �7P����K + �- ���3������/ ��*� /� � �)���� #'& � � �� ���; �U� ����� # �U� � íïð�ûÝîÕò½ü=ó�ò�ì°ûÝîAñ:ñ� � ����ó�ûÝü �« �$�ez��Ý�$�³�r�$w��$�bw³�\²G�Wz'|{v\¹`z'�$��z�;�G�3~C}^v$�G�A�G�$²$v��A~�·Gwb~ ® �d�r�`�$�'}W~���z'�A�b���;~�}^v\µ�$�{x ¢ }^v$~��A~=zd�{~=��wbx�~=�$y��G�{�Wz­²'~��º}���y��G�$x^�$�b}Àe~=zd�CÁAÂ=Ã'Ã\Ä'Å ¢�Æ wb��»'x;~�}�z­� ª ÁAÂ=Ã'Ã\É'Å ¢z'�$��u+z'�{�$~=�;ÁAÂ=Ã'Ã'É\Å ª