PENYELESAIAN NUMERIS BEDA HINGGA PERSAMAAN …

PENYELESAIAN NUMERIS BEDA HINGGA PERSAMAAN

DIFERENSIAL PARSIAL

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Ria Ayu Agustin

153114006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENYELESAIAN NUMERIS BEDA HINGGA PERSAMAAN

DIFERENSIAL PARSIAL

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Ria Ayu Agustin

153114006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2020


ii

FINITE DIFFERENCE NUMERICAL SOLUTION TO

PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

FINAL PROJECT

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by:

Ria Ayu Agustin

153114006

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tugas Akhir ini kupersembahkan untuk orang tua saya yaitu Bapak Agustinus

Purjianto dan Ibu Agustina Rustinah yang selalu mendukung dengan berbagai

aspek. Dosen pembimbing yaitu Bapak Sudi Mungkasi yang dengan sabar

membimbing agar dapat menyelesaikan tugas akhir tepat waktu. Adik saya yaitu

Lusia Chrisanti yang setia mendengar keluh kesah serta semua orang yang

mengasihi saya.


vii

ABSTRAK

Tugas akhir ini menyelesaikan persamaan diferensial parsial menggunakan

metode beda hingga. Hasil perhitungan numeris mengkonfirmasi keunggulan

metode beda hingga dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Metode

beda hingga menghasilkan error yang cukup kecil, sehingga dapat dipercaya

sebagai metode penyelesaian yang handal.

Kata kunci: metode numeris, metode beda hingga, persamaan diferensial parsial


viii

ABSTRACT

This final project solves partial differential equations using the finite

difference method. The results of numerical calculations confirm the superiority

of the finite difference method in solving partial differential equations. The finite

difference method results in a fairly small error, so it can be trusted as a reliable

method of resolution.

Keywords: numerical method, finite difference method, partial differential

equation


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i

TITLE PAGE .......................................................................................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIBING ........................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vi

ABSTRAK ........................................................................................................... vii

ABSTRACT ........................................................................................................ viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ...................................................... ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN........................................................................................ 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 2

C. Batasan Masalah.......................................................................................... 2

D. Tujuan Penulisan ......................................................................................... 2

E. Metode Penulisan ........................................................................................ 3

F. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 3

G. Sistematika Penulisan ................................................................................. 3

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL................................................................. 5

A. Turunan ....................................................................................................... 5

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial .............................................................. 6

C. Deret Taylor ................................................................................................ 7


xiii

D. Analisis Galat .............................................................................................. 9

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ........................................... 11

BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN DIFERENSIAL ........... 17

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................ 31

A. Kesimpulan .............................................................................................. 31

B. Saran .......................................................................................................... 31

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 32


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Peran matematika tidak dapat dilepaskan dalam membantu manusia di

berbagai aspek kehidupan. Contohnya saja terhadap fenomena-fenomena yang

terjadi di lingkungan sekitar. Para peneliti dapat mendiskripsikan atau

menganalisis sesuatu dengan bantuan ilmu matematika. Hal ini dilakukan agar

mendapatkan solusi yang sesuai dalam pemecahan masalah. Biasanya masalah

yang akan diselesaikan dimodelkan secara matematis ke dalam bentuk sistem

persamaan matematika.

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan suatu fungsi

dengan turunan-turunannya (Boyce dan DiPrima, 2013). Beberapa contoh

fenomena fisik yang melibatkan tingkat perubahan antara lain: dinamika populasi,

gerak sistem mekanis, dan gerakan fluida. Persamaan diferensial dapat

diklasifikasikan menjadi dua macam berdasarkan banyaknya varibel bebas yang

bersangkutan. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang

melibatkan satu variabel bebas. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan

diferensial yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas.


2

Tidak semua persamaan dapat diselesaikan secara analitis. Hal itu dapat

diatasi dengan menyelesaikan secara numeris. Salah satu penyelesaian secara

numeris yang digunakan adalah metode beda hingga. Metode beda hingga adalah

suatu metode alternatif untuk mengonstruksi diskretisasi terhadap persamaan

diferensial yang bertujuan menemukan solusi numeris. Metode beda hingga dapat

diaplikasikan dalam berbagai macam bidang, seperti biologi, kesehatan, ekologi,

teknik, kimia, dan lain-lain.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang bersangkutan di dalam tugas akhir berdasarkan latar

belakang adalah:

1. Bagaimana merumuskan skema beda hingga?

2. Bagaimana penggunaan skema beda hingga dalam menyelesaikan

persamaan diferensial?

C. Batasan Masalah

Permasalahan tugas akhir yang akan dibahas dibatasi dengan penggunaan

skema beda hingga pada masalah persamaan diferensial agar menemukan solusi

numeris.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Menjelaskan tentang skema beda hingga.


3

2. Memaparkan penggunaan skema beda hingga dalam penyelesaian

persamaan diferensial.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan dari tugas akhir ini adalah penulis dan pembaca mendapat

pengetahuan baru tentang skema beda hingga.

F. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah

studi pustaka, dengan membaca jurnal-jurnal, makalah ilmiah, dan buku-buku

yang berhubungan dengan skema beda hingga. Selain itu akan digunakan bantuan

aplikasi komputer untuk simulasi numeris.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penelitian

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penelitian

G. Sistematika Pemulisan


4

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Turunan

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

C. Deret Taylor

D. Analisis Galat

BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


5

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Turunan

Definisi 2.1

Turunan fungsi f adalah fungsi f yan didefinisikan sebagai

,)()(

lim)(0 h

xfhxfxf

h

di setiap titik x sehingga limit fungsi tersebut ada dan berhingga (bukan atau

).

Contoh: Jika 125)( 3 xxxf , carilah )(xf .

Penyelesaian:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

h

xxhxhx

h

1251)(2)(5lim

33

0

h

xxhxhxhhxx

h

12512215155lim

33223

0

h

hhxhhx

h

21515lim

322

0

21515lim 22

0

hxhx

h

215 2 x .


6

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Dalam sub bab ini akan membahas tentang klasifikasi pada persamaan

diferensial.

Definisi 2.2

Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan suatu

fungsi satu variabel atau lebih dengan turunan-turunannya.

Contoh:

(2.1.1)

( ) (2.1.2)

(2.1.3)

(2.1.4)

Definisi 2.3

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan

tepat satu variabel bebas.

Contoh:

Persamaan diferensial biasa dapat dilihat pada persamaan (2.1.1) dan (2.1.2).

Variabel bebas untuk persamaan (2.1.1) adalah t , sedangkan variabel terikatnya


7

adalah v . Pada persamaan (2.1.2) melibatkan t sebagai varibel bebas dan y

sebagai varibel terikat.

Definisi 2.4

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan

lebih dari satu variabel bebas.

Contoh:

Persamaan diferensial parsial dapat dilihat pada persamaan (2.1.3) dan

(2.1.4). Variabel bebas untuk persamaan (2.1.1) adalah t dan u sedangkan

variabel terikatnya adalah v . Pada persamaan (2.1.2) melibatkan t dan z sebagai

variabel bebas dan v sebagai variabel terikat.

C. Deret Taylor

Definisi 2.5

Andaikan dan turunanya , kontinu di selang , -. Misalkan

, -, maka nilai-nilai untuk disekitar dan , -, ( ) dapat

diperluas ke dalam deret Taylor.

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) .

Contoh:

Tentukan perluasan fungsi ( ) ( ) ke dalam deret Taylor di sekitar

.


8

Penyelesaian:

Menentukan turunan ( ) terlebih dahulu,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

dan seterusnya.

Berdasarkan Definisi 2.5, ( )dihampiri dengan deret Taylor,

( ) ( ) ( )

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( ( )) .

Bila dimisalkan , maka

( ) ( ) ( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( ))

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar , maka deretnya

dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku. Deret Taylor

yang dipotong sampai suku orde ke- dinamakan deret Taylor terpotong dan

dinyatakan oleh:


9

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ).

Yang dalam hal ini,

( ) ( )

( )( ) ,

disebut galat atau sisa (residu).

D. Analis Galat

Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi

sebenarnya. Semakin kecil galat maka semakin teliti solusi numerik yang

didapatkan.

Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, rumus galat

dalam penurunan rumus turunan numeris dapat langsung diperoleh. Akan tetapi

dengan polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan bantuan deret

Taylor.

Contoh:

Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda-pusat:

( )

Nyatakan E sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi ruas kanan dengan deret

Taylor disekitar ,


10

( )

*(

)

(

)+

(

)

,

( )

Jadi hampiran beda pusat memiliki galat

, , dengan

orde ( ).


11

BAB III

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Dalam bab ini akan dibahas tentang persamaan diferensial dan

klasifikasinya.

Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial

Benda berkeadaan isotropik jika konduktivitas termal pada setiap titik dalam

benda tidak tergantung pada arah panas yang rendah melalui titik tersebut.

Andaikan , , dan adalah fungsi dari ( ) dan masing-masing mewakili,

konduktivitas termal, panas spesifik, dan kepadatan isotropik benda pada ( ).

Maka suhu, ( ), dalam suatu benda dapat ditemukan dengan

menyelesaikan persamaan diferensial parsial

.

/

.

/

.

/

,

Ketika , , dan adalah konstanta, persamaan ini dikenal sebagai persamaan

panas tiga dimensi yang sederhana dan dinyatakan sebagai

.

Jika batas benda relatif sederhana, solusi untuk persamaan ini dapat ditemukan

menggunakan deret Fourier.


12

Dalam sebagian besar situasi di mana , , dan tidak konstan atau ketika

batas tidak ditentukan, solusi untuk persamaan diferensial parsial harus diperoleh

dengan teknik penaksiran.

Persamaan Eliptik

Persamaan diferensial parsial umumnya dikategorikan dengan cara yang

mirip dengan bagian kerucut. Persamaan diferensial parsial yang akan dibahas

melibatkan ( ) ( ) dan merupakan persamaan eliptik. Persamaan

eliptik tertentu yang akan ditinjau dikenal sebagai persamaan Poisson:

( )

( ) ( ).

Dalam persamaan ini, diasumsikan bahwa menggambarkan input ke masalah

pada bidang daerah dengan batas . Persamaan dari tipe ini muncul dalam studi

berbagai masalah fisik yang tidak tergantung waktu seperti distribusi stabil dari

panas dalam suatu daerah bidang, energi potensial dari suatu titik dalam bidang

yang digerakkan oleh gaya gravitasi di bidang tersebut dan masalah yang

melibatkan cairan yang tidak bisa dimampatkan.

Kendala tambahan harus dikenakan untuk mendapatkan solusi unik untuk

persamaan Poisson. Sebagai contoh, studi tentang distribusi panas tunak di daerah

bidang membutuhkan ( ) , menghasilkan penyederhanaan persamaan

Laplace


13

( )

( ) .

Jika suhu dalam suatu daerah ditentukan oleh distribusi temperatur pada batas

daerah, kendalanya disebut kondisi batas Dirichlet, yang diberikan oleh

( ) ( ),

untuk semua ( ) pada , batas wilayah . (Lihat Gambar 3.1).

Gambar 3.1. Ilustrasi domain dan kondisi batasnya.

Persamaan Parabolik

Ditinjau masalah yang melibatkan persamaan diferensial parsial parabolik

bentuk

( )

( ) .

Masalah fisik yang dipertimbangkan di sini menyangkut aliran panas sepanjang

batang (lihat Gambar 3.2) yang memiliki suhu yang seragam dalam setiap

elemen penampang. Ini membutuhkan batang untuk diisolasi dengan sempurna


14

pada permukaan lateral. Konstanta diasumsikan tidak tergantung pada posisi

pada batang. Ini ditentukan oleh sifat konduktif panas dari bahan yang batangnya

disusun.

Gambar 3.2. Ilustrasi domain satu dimensi.

Salah satu kondisi untuk masalah aliran panas jenis ini adalah untuk

menentukan distribusi panas awal dalam batang,

( ) ( ),

dan untuk menggambarkan perilaku di ujung tongkat. Misalnya, jika ujungnya

ditahan pada suhu konstan dan , syarat batasnya berbentuk

( ) dan ( ) ,

dan distribusi panas mendekati distribusi temperatur yang membatasi adalah

( )

.

Sebaliknya, jika batang diisolasi sehingga tidak ada panas yang mengalir melalui

ujung, kondisi batasnya

( ) dan

( ) .


15

Maka tidak ada panas yang keluar dari batang dan dalam kasus pembatas suhu

pada batang konstan. Persamaan diferensial parsial parabolik juga penting dalam

studi difusi gas; pada kenyataannya, ini dikenal di beberapa kalangan sebagai

persamaan difusi.

Persamaan Hiperbolik

Persamaan gelombang satu dimensi dan merupakan contoh dari persamaan

diferensial parsial hiperbolik. Misalkan sebuah tali elastis dengan panjang

direntangkan di antara dua penyangga pada tingkat horizontal yang sama (lihat

Gambar 3.3).

Gambar 3.3. Ilustrasi gelombang yang merambat satu dimensi.

Jika tali diatur untuk bergetar dalam bidang vertikal, perpindahan vertikal ( )

dari titik pada waktu memenuhi persamaan diferensial parsial

( )

( ) , untuk dan ,


16

asalkan efek redaman diabaikan dan amplitudo tidak terlalu besar. Untuk

memberikan batasan pada masalah ini, asumsikan bahwa posisi awal dan

kecepatan tali diberikan oleh

( ) ( ) dan

( ) ( ), untuk .

Jika titik akhir ditetapkan, maka diperoleh ( ) dan ( ) .

Masalah fisik lainnya yang melibatkan persamaan diferensial parsial

hiperbolik terjadi dalam studi balok bergetar dengan satu atau kedua ujung dijepit

dan dalam transmisi listrik pada garis panjang di mana ada beberapa kebocoran

arus ke tanah.


17

BAB IV

PENYELESAIAN NUMERIS PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial parsial eliptik yang dipertimbangkan adalah persamaan

Poisson,

( )

( )

( ) ( ) (4.1)

pada *( )| +, dengan ( ) ( ) untuk

( ) , dimana menunjukkan batas . Jika dan kontinu di domain

mereka, maka ada solusi unik untuk persamaan ini.

Metode yang digunakan adalah adaptasi dua dimensi dari metode beda-

hingga untuk masalah nilai batas-linear. Langkah pertama adalah memilih

bilangan bulat dan untuk menentukan ukuran langkah ( ) ⁄ dan

( ) ⁄ . Partisi interval , - menjadi bagian yang sama lebar dan

interval , - menjadi bagian yang sama dengan lebar (lihat Gambar 4.1).


18

Gambar 4.1. Ilustrasi diskritisasi domain dua dimensi.

Tempatkan kisi pada persegi panjang dengan menggambar garis vertikal

dan horizontal melalui titik dengan koordinat ( ), di mana , untuk

setiap , ,..., , dan , untuk setiap , ,..., .

Garis-garis dan adalah garis-garis kotak, dan persimpangan

mereka adalah titik-titik jala dari kotak. Untuk setiap titik jala di bagian dalam

kisi, ( ), untuk , , . . . , dan , , . . . , , kita dapat

menggunakan deret Taylor dalam variabel tentang untuk menghasilkan

rumus perbedaan terpusat.

( ) ( ) ( ) ( )

( ), (4.2)

di mana ( ). Dapat juga menggunakan deret Taylor dalam variabel

tentang untuk menghasilkan rumus perbedaan terpusat


19

( )

( ) ( ) ( )

( ), (4.3)

dimana ( ).

Menggunakan rumus ini dalam persamaan (4.1) memungkinkan untuk

mengekspresikan persamaan Poisson pada titik ( ) sebagai

( ) – ( ) ( )

( ) – ( ) ( )

( )

( )

( ),

untuk setiap , , . . . , dan , , . . . , . Kondisi batasnya

adalah

( ) ( ) dan ( ) ( ), untuk setiap , , . . . , ;

( ) ( )dan ( ) ( ), untuk setiap , ,..., .

Metode Beda-Hingga

Dalam bentuk persamaan-beda, ini menghasilkan metode beda-hingga:

*(

)

+ ( ) (

)

( )

( ), (4.4)

untuk setiap , , . . . , dan , , . . . , , dan


20

( ) dan ( ), untuk setiap , , . . . , ; (4.5)

( ) dan ( ), untuk setiap , , . . . , ;

di mana mendekati ( ). Metode ini memiliki kesalahan pemotongan

lokal pada orde ( ).

Persamaan (4.4) melibatkan perkiraan untuk ( ) pada titik-titik

( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ).

Mebentuk bagian grid di mana titik-titik ini berada (lihat Gambar 4.2)

menunjukkan bahwa setiap persamaan melibatkan perkiraan dalam wilayah

berbentuk bintang tentang X biru di ( ).

Gambar 4.2. Ilustrasi grid perhitungan beda-hingga.


21

Digunakan informasi dari kondisi batas persamaan (4.5) kapan pun sesuai

dalam sistem yang diberikan oleh persamaan (4.4); yaitu pada semua titik ( )

yang berdekatan dengan titik batas jala.

Ini menghasilkan ( )( ) ( )( ) sistem linier

dengan yang tidak diketahui adalah perkiraan ke ( ) pada titik jala

interior.

Sistem linier yang melibatkan hal-hal yang tidak diketahui ini

diekspresikan untuk perhitungan matriks secara lebih efisien jika pelabelan ulang

titik-titik jala interior diperkenalkan. Pelabelan yang direkomendasikan untuk

titik-titik ini adalah

( ) dan ,

dimana ( )( ), untuk setiap , , . . . , dan , , .

. . , . Ini memberi label titik-titik jala secara berurutan dari kiri ke kanan dan

atas ke bawah. Memberi label titik dengan cara ini memastikan bahwa sistem

yang diperlukan untuk menentukan adalah matriks berpita dengan lebar pita

paling banyak .

Misalnya, dengan dan , hasil pelabelan ulang dalam kotak

yang poinnya ditunjukkan pada Gambar 4.3.


22

Gambar 4.3. Ilustrasi grid pelabelan ulang beda hingga.

Contoh 1:

Tentukan distribusi panas kondisi tunak dalam pelat logam persegi tipis dengan

dimensi 0,5 m x 0,5 m menggunakan . Dua batas yang berdekatan

ditahan pada , dan panas pada batas lain meningkat secara linear dari di

satu sudut ke tempat sisi bertemu.

Solusi:

Tempatkan sisi dengan kondisi batas nol di sepanjang sumbu dan . Kemudian

masalahnya dinyatakan sebagai

( )

( ) ,


23

untuk ( ) di domain *( )| +. Kondisi batasnya

adalah

( ) , ( ) , ( ) , dan ( ) .

Jika , masalah memiliki grid yang diberikan pada Gambar 4.4, dan

persamaan beda (4.4) adalah

,

untuk setiap 1, 2, 3 dan 1, 2, 3.

Gambar 4.4. Ilustrasi grid perhitungan beda hingga untuk Contoh 1.

Mengekspresikan ini dalam hal titik-titik grid interior yang dilabel ulang

( ) menyiratkan bahwa persamaan pada titik-titik adalah:

,

,


24

,

,

,

,

,

,

,

di mana sisi kanan persamaan diperoleh dari kondisi batas.

Faktanya, syarat batas menyiratkan hal itu

,

, , and .

Jadi, sistem linear yang terkait dengan masalah ini memiliki bentuk

[ ]

[

]

[ ]

Nilai , ,. . . , , ditemukan dengan menerapkan metode Gauss-Seidel ke

matriks tersebut, diberikan pada Tabel 4.1.


25

Tabel 4.1. Tabel hasil perhitungan untuk Contoh 1.

1 18.75

2 37.50

3 56.25

4 12.50

5 25.00

6 37.50

7 6.25

8 12.50

9 18.75

Jawaban-jawaban ini tepat (solusi-solusi tersebut adalah eksak), karena solusi

yang benar, ( ) , miliki bentuk

,

dengan error nol pada setiap langkah.

Masalah yang dibahas dalam Contoh 1 memiliki ukuran jala yang sama,

0.125, pada setiap sumbu dan hanya membutuhkan penyelesaian sistem linier 9 ×

9. Ini menyederhanakan situasi dan tidak memperkenalkan masalah komputasi

yang hadir ketika sistem lebih besar.


26

Persamaan Poisson Beda-Hingga

Untuk memperkirakan solusi untuk persamaan Poisson

( )

( ) ( ), , ,

tunduk pada ketentuan batas

( ) ( ) jika atau dan

dan

( ) ( ) jika atau dan .

Meskipun prosedur iteratif Gauss-Seidel dimasukkan ke dalam algoritma untuk

kesederhanaan, disarankan untuk menggunakan teknik langsung seperti eliminasi

Gaussian ketika sistemnya kecil, pada urutan 100 atau kurang, karena kepastian

positif memastikan stabilitas sehubungan dengan kesalahan pembulatan.

Berikut ini adalah Algoritma Metode Beda Hingga menurut Burden dan

Faires (2011):


27


28


29

Contoh 2

Gunakan metode beda hingga Poisson dengan , , dan toleransi

untuk mendekati solusi

( )

( ) , , ,

dengan syarat batas

( ) , ( ) , ,

( ) , ( ) , ,

dan bandingkan hasilnya dengan solusi perhitungan ( ) .

Solusi:

Gunakan algoritma sebelumnya dengan jumlah iterasi maksimum yang ditetapkan

pada memberikan hasil pada Tabel 4.2. Kriteria berhenti untuk metode

Gauss-Seidel pada Langkah 17 mengharuskan itu

| ( )

( )

| ,

untuk setiap 1, . . . ., 5 dan 1, . . . ., 4. Solusi untuk persamaan perbedaan

diperoleh secara akurat, dan prosedur dihentikan pada . Hasilnya, bersama

dengan nilai-nilai yang benar, disajikan pada Tabel 4.2.


30

Tabel 4.2. Hasil perhitungan beda hingga untuk Contoh 2.

( )

( ) | ( ) ( )

|

1 1 0.3333 0.2000 0.40726 0.40713 1.30

1 2 0.3333 0.4000 0.49748 0.49727 2.08

1 3 0.3333 0.6000 0.60760 0.60737 2.23

1 4 0.3333 0.8000 0.74201 0.74185 1.60

2 1 0.6667 0.2000 0.81452 0.81427 2.55

2 2 0.6667 0.4000 0.99496 0.99455 4.08

2 3 0.6667 0.6000 1.2152 1.2147 4.37

2 4 0.6667 0.8000 1.4840 1.4837 3.15

3 1 1.0000 0.2000 1.2218 1.2214 3.64

3 2 1.0000 0.4000 1.4924 1.4918 5.80

3 3 1.0000 0.6000 1.8227 1.8221 6.24

3 4 1.0000 0.8000 2.2260 2.2255 4.51

4 1 1.3333 0.2000 1.6290 1.6285 4.27

4 2 1.3333 0.4000 1.9898 1.9891 6.79

4 3 1.3333 0.6000 2.4302 2.4295 7.35

4 4 1.3333 0.8000 2.9679 2.9674 5.40

5 1 1.6667 0.2000 2.0360 2.0357 3.71

5 2 1.6667 0.4000 2.4870 2.4864 5.84

5 3 1.6667 0.6000 3.0375 3.0369 6.41

5 4 1.6667 0.8000 3.7097 3.7092 4.98


31

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. KESIMPULAN

Metode beda hingga berhasil diterapkan untuk menyelesaikan masalah

persamaan diferensial parsial. Metode beda hingga mempunyai keuntungan

bahwa metode ini mudah untuk diprogram secara numeris. Namun demikian,

pembahasan dalam Tugas Akhir ini masih perlu dikaji lebih lanjut terkait teori

kestabilan metode beda hingga untuk menyelesaikan masalah persamaan

diferensial parsial tersebut.

B. SARAN

Penulis menyarankan agar metode beda hingga dalam Tugas Akhir ini

dianalisis lebih lanjut terkait kestabilan dan konvergensinya sehingga pembaca

lebih yakin dengan keunggulan metode beda hingga.


32

DAFTAR PUSTAKA

Boyce W. E., DiPrima, R.C. (2012). Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problems, edisi ke-10, New York: John Wiley & Sons, Inc.

Burden R. L., Faires J. D. (2011). Numerical Analysis, edisi ke-9, Boston:

Brooks/Cole, Cengage Learning.

Hong Q., Li J., Wang Q. Supplementary variable method for structure-preserving

approximations to partial differential equations with deduced equations, 2020,

Applied Mathematics Letters, 110, 106576, 10.1016/j.aml.2020.106576

Patel K.S., Mehra M. Fourth order compact scheme for space fractional

advection-diffusion reaction equations with variable coefficients, 2020, Journal of

Computational and Applied Mathematics, 380, 112963,

10.1016/j.cam.2020.112963

Salama F.M., Hj. Mohd. Ali N., Abd Hamid N.N. Efficient hybrid group

iterative methods in the solution of two-dimensional time fractional cable

equation, 2020, Advances in Difference Equations, 2020, 1, 257, 10.1186/s13662-

020-02717-7

Varberg, Purcell, Ringdon. (2010). Kalkulus (Terjemahan), edisi ke-9, Jakarta:

Penerbit Erlangga.

Wongsaijai B., Oonariya C., Poochinapan K. Compact structure-preserving

algorithm with high accuracy extended to the improved Boussinesq equation,


33

2020, Mathematics and Computers in Simulation, 178, 125-150,

10.1016/j.matcom.2020.05.002

Zhang H., Yang X., Liu Y., Liu Y. An extrapolated CN-WSGD OSC method

for a nonlinear time fractional reaction-diffusion equation, 2020, Applied

Numerical Mathematics, 157, 619-633, 10.1016/j.apnum.2020.07.017


Documents

PENYELESAIAN NUMERIS BEDA HINGGA PERSAMAAN …