Upload
yacobahelweldery
View
240
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Per Samaan
1/54
LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBAGAN PENDIDIKAN
( L K P P )
LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL
Judul :
PERSAMAAN DIFFERENSIAL
Oleh :
Dr. Jeffry Kusuma
Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin
Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan
Nomor : 496/H4.23/PM.05/08, 4 Januari 2008
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN
FEBRUARI 2008
7/22/2019 Per Samaan
2/54
ii
LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN
Lantai Dasar Gedung Perpustakaan Universitas Hasanuddin
HALAMAN PENGESAHAN
LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN
PROGRAM TRANSFORMASI DARI TEACHING KELEARNING
UNIVERSITAS HASANUDDIN 2008
Judul : Persamaan Differensial
Nama : Dr. Jeffry kusuma
NIP : 131 675 122
Pangkat/Golongan : Lektor Kepala/ IVa
Jurusan : Matematika
Fakultas/Universitas : MIPA/Hasanuddin
Jangka waktu kegiatan : 1 (satu) bulanMulai 04 Januari 2008 s.d 04 Februari 2008
Biaya yang diusulkan : Rp 4.000.000,- (Empat juta rupiah)Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin
sesuai dengan surat Perjanjian PelaksanaanPekerjaan Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008, tanggal
04 Januari 2008.
Makassar, 04 Februari 2008
Mengetahui Pembuat ModulFakultas MIPA
Universitas Hasanuddin
Dekan,
Prof. Dr. H. Alfian Noor, MSc. Dr. Jeffry Kusuma
NIP. 130 520 684 NIP. 131 675 122
7/22/2019 Per Samaan
3/54
iii
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kami haturkan ke hadiratNya hingga modul ini, akhirnya dapat
diselesaikan dengan segala kendala dan keterbatasan yang ada pada kami.
Modul ini kami maksudkan sebagai bahan bacaan / pustaka untuk menunjang
perkuliahan mata kuliah Persamaan Differensial pada Jurusan Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin. Dalam rangka
transformasi dari Teachingproses yang selama ini berjalan ke Learningproses yang akan
diterapakan segera. Disamping sebagai penunjang mata kuliah persamaan differensial,
modul ini tentunya juga dapat menunjang mata mata kuliah lainnya di berbagai jurusan
yang menggunakan persamaan differensial.
Kami menyadari sepenuhnya bahwa modul yang kami buat ini masih jauh dari
kesempurnaan. Oleh sebab itu, segala bentuk saran dan kritikan sangat kami harapkan
dalam upaya kami menyempurnakannya dan dapat dikirim kepada kami dengan alamat
email [email protected] ataupun ke alamat [email protected] yang
tentunya akan sangat kami hargai.
Makassar, Februari 2008
7/22/2019 Per Samaan
4/54
iv
RINGKASAN
Mata kuliah ini merupakan kelanjutan dari mata kuliah kalkulus dasar I, II, III dan
IV dan disajikan pada semester IV jurusan matematika, FMIPA Universitas Hasanuddin.
Mata Kuliah ini memerlukan dasar kalkulus differensial dan integral sebagaimana dijumpai
pada kulkulus I dan II. Walaupun memerlukan dasar differensial dan integral, mata kuliah
ini sendiri masih merupakan dasar bagi berbagai mata kuliah lainnya.
Mata kuliah ini terdiri dari dua bagian. Bagian pertama membahas persamaan
differensial biasa dengan penyelesaian yang bervariasi, dan dengan berbagai teknik
penyelesaiaan. Juga diperlihatkan berbagai ragam aplikasi yang dapat digunakan dalam
persamaan differensial agar mahasiswa dapat melihat dan merasakan manfaat dan
kegunaan matematika.
Pada bagian kedua sendiri membahas persamaan differensial parsil, klassifikasi persamaan
differensial parsil, metode penyelesaian persamaan differensial parsil, syarat awal dan
syarat batas yang mungkin menyertai persamaan differensial parsil, dan aplikasi yang dapat
dimodelkan ke dalam persamaan differensial parsil dan teknik penyelesainnya.
Bagian pertama mata kuliah terdiri dari 8 (delapan) modul. Modul Pertama adalah
Modul Pendahuluan. Modul ini membahas tentang teknik differensial dan integral,
sebagaimana dimaksudkan agar mahasiswa mengingat kembali kalkulus I dan II yang telahdilulusi. Modul Kedua membahas Klasifikasi Persamaan Differensial. Modul Ketiga
membahas persamaan differensial ordo satu lineir dan nonlinier. Aplikasi persamaan
differensial linier maupun non linier dibahas dalam Modul yang Keempat. Modul Kelima
membahas persamaan differensial linier ordo dua dan yang lebih tinggi dengan koefisien
konstan baik yang berjenis homogen maupun yang tidak homogen, penyelesaian persamaan
differensial dengan metode substitusi fungsi eksponensial, metode operator. Modul
Keenam membahas persamaan differensial linier ordo dua dengan koefisien variabel.
Transformasi Laplace beserta aplikasi dibahas dalam Modul yang Ketujuh. Modul ke
Delapan membahas aplikasi persamaan differensial ordo dua dan yang lebih tinggi, aplikasi
persamaan differensial ordo dua, persamaan ordo dua dengan koefisien variabel, metode
deret tak hingga, persamaan differensial ordo dua yang khusus (Bessel, Legendre dll),
7/22/2019 Per Samaan
5/54
v
transformasi Laplace, persamaan diferensial simultan, serta solusi numerik persamaan
differensial.
Bagian kedua mata kuliah ini berupa persamaan differensial parsil, yang meliputi
Persamaan differensial parsil, masalah syarat batas yang menyertai suatu persamaan
differensial, tricotomi persamaan differensial parsial, persamaan panas, persamaan
gelombang, persamaan Laplace. Metode numerik yang sering digunakan dalam
menyelesaikan persamaan differensial parsil, metode beda hingga dan metode elemen batas
serta aplikasi persamaan differensial.
Bagianini tidak / belum dibuatkan modulnya mengingat keterbatasan waktu yang ada pada
pembuatan modul ini.
7/22/2019 Per Samaan
6/54
vi
PETA KEDUDUKAN MODUL
7/22/2019 Per Samaan
7/54
vii
DAFTAR ISI
Hal
HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... ii
KATA PENGANTAR .......................................................................................... iii
RINGKASAN ........................................................................................................ iv
PETA KEDUDUKAN MODUL .......................................................................... vi
DAFTAR ISI ........................................................................................................ vii
MODUL I ............................................................................................................. 1
MODUL II .......................................................................................................... 7
MODUL III ......................................................................................................... 12
MODUL IV ......................................................................................................... 16
MODUL V ......................................................................................................... 23
MODUL VI ......................................................................................................... 30
MODUL VII ....................................................................................................... 35
MODUL VIII ...................................................................................................... 41
LAMPIRAN : RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCLMATA KULIAH : PERSAMAAN DIFFERENSIAL
7/22/2019 Per Samaan
8/54
viii
MODUL I
7/22/2019 Per Samaan
9/54
ix
MODUL I
JUDUL : REVIEW SINGKAT KALKULUS DASAR
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar BelakangModul kuliah ini pada umumnya membahas masalah yang ada dalam kalkulus dasar
diantaranya masalah fungsi, turunan dari suatu fungsi dan integral dari suatu fungsi.
Pembahasan dalam modul ini berupa review dari mata kuliah kalkulus dasar dimana hal ini
akan sangat membantu dalam penyelesaian masalah persamaan diferensial yang ada pada
modul-modul selanjutnya. Metode pengajaran yang digunakan dalam modul ini
menggunakan metode Ceramah interaktif yang dipadu dengan metode
Cooperative/Collaborative Learning. berupa ceramah interaktif karena pada dasarnya
modul ini hanya berupa review dari apa yang telah mahasiswa peroleh sebelumnya.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang kalkulus dasar yaitu mengenai fungsi,
turunan fungsi dan aturan-aturan dalam mendiferensialkan fungsi, demikian pula dengan
aturan-aturan dalam mengintegralkan fungsi, yang menjadi dasar pembahasan mengenai
persamaan differensial yang disajikan pada modul selanjutnya.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul di bawah.
D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul ini adalah untuk mengingatkan kembali kepada
mahasiswa mengenai fungsi, turunan fungsi dan aturan-aturan dalam mendiferensialkan
fungsi, demikian pula dengan aturan-aturan dalam mengintegralkan fungsi.
PETA KEDUDUKAN MODUL
7/22/2019 Per Samaan
10/54
x
BAB II. PEMBAHASAN
Koordinat Cartesius menggambarkan posisi suatu titik dalam suatu sistem koordinat
yang saling tegak lurus (koordinat Cartesius dinamakan dari nama philisoper Rene
deCartes).
Gambar 1.1 Koordinat Cartesius suatu titik.
Suatu titik ),( yxP pada bidang Cartesius menentukan pasangan bilangan Real yang
berjarakx dari sumbu y dan berjaraky dari sumbu x. Jadi setiap titik pada suatu bidang
7/22/2019 Per Samaan
11/54
xi
senantiasa dapat digambarkan atau dinyatakan dalam suatu pasangan koordinat Cartesius.
Pasangan berurutan ),( yx seringkali dipakai untuk menggambarkan titik-titik pada bidang.
Lebih lanjut, pasangan koordinat Cartesius sering pula dipakai untuk menyatakan
hubungan antara dua atau lebih besaran. Sebagai Contoh, bila dituliskan
,2
xy = (1.1)
dan menganggapx sebagai jari-jari dari suatu lingkaran makay dapat dianggap sebagai luas
dari lingkaran tersebut. Hubungan ini dapat pula digambarkan dalam suatu grafik yaitu
Gambar 1.2 Grafik dari suatu fungsi kuadrat.
Disini, setiap nilaix akan mempunyai hubungan yang tunggal (unique) dengan nilai
y. Nilai y sering pula disebut sebagai fungsi dari x. Disini x merupakan variable bebas
karena dapat saja dipilih nilai sembarang (bebas dipilih) dan y merupakan variabel tak
bebas karena bergantung pada nilaix.
Suatu fungsi adalah suatu hubungan antarax dany sedemikian rupa sehingga untuk
setiap satu nilaix selalu mempunyai hubungan yang tunggal denga suatu nilaiy.
Gambar 1.3 Grafik dari suatu fungsi.
Sering kali pula ditulis
7/22/2019 Per Samaan
12/54
xii
).()( xfxyy == (1.2)
Dari semua grafik yang dapat dibentuk pada sistem koordinat Cartesius, grafik
fungsi linier adalah grafik yang paling sederhana. Dari dua titik pada koordinat Cartesius,
dapat digambarkan atau ditarik suatu garis lurus. Garis lurus, pada prinsipnya juga
merupakan grafik.
Garis singgung merupakan suatu garis lurus yang ditarik sedemikian rupa sehingga
hanya menyinggung pada suatu titik di kurva. Persamaan garis singgung yang terletak pada
kurva )(xfy = pada suatu titik ),( 00 yxP dapat dengan mudah ditentukan dengan prinsip
garis lurus yang menghubungkan dua titik pada sistem koordinat Cartesius.
Gambar 1.4 Grafik dari suatu fungsi dengan garis singgung.
Bila ),( 00 yyxxQ ++ merupakan titik di sekitar titik ),( 00 yxP pada grafik
fungsifsebagaimana dalam Gambar 1.4 di atas maka dengan mudah terlihat bahwa
).(
),(
00
00
xxfyy
xfy
+=+
=(1.3)
Dengan memperkurangkan kedua persamaan diatas diperoleh
),()( 00 xfxxfy += (1.4)
dimana y disini merupakan perubahan dalam y yang berhubungan terhadap perubahan
x pada x . Kemiringan dari garis penghubung kedua titikPQ adalah
,)()( 00
x
xfxxf
x
y
+=
(1.5)
7/22/2019 Per Samaan
13/54
xiii
yaitu perubahan rata-rata dari fdiantara 0x dan xx +0 . Kemiringan dari garis singgung
kurva )(xfy = pada 0x adalah
,
x
)x(f)xx(flim
dx
dy)x(f
xx
+==
00
00
0
(1.6)
yang juga dikenal sebagai turunan fungsi f terhadap x pada 0xx = atau laju perubahan
sesaat fungsifpada 0xx = .
INDIKATOR PENILAIAN
Keberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan konsep
dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.
DAFTAR PUSTAKA
1. Thomas & Finney, Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley PublishingCompany.
2. Purchell,Kalkulus dan Analitik Geometri, Erlangga.3. Purcell, Edwin J. & Varberg Dale, Calculus and Analytic Geometry.
7/22/2019 Per Samaan
14/54
xiv
MODUL II
7/22/2019 Per Samaan
15/54
xv
MODUL II
JUDUL : KLASIFIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar BelakangModul kedua ini merupakan awal dari pembahasan mengenai persamaan diferensial.
Pada dasarnya modul ini membahas tentang pengklasifikasian persamaan diferensial ke
dalam beberapa bentuk. Selain itu beberapa aplikasi sederhana dari suatu persamaan
diferensial juga diberikan. Seperti pada modul sebelumnya, metode pengajaran yang
digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan
metode Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang pendahuluan persamaan differensial,
persamaan differensial linier ordo satu dengan koefisien konstan, aplikasi dalam persoalan
bunga majemuk, persamaan differensial dengan variabel terpisah dan beberapa soal latihan.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul di bawah.
D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul kedua ini adalah mampunya mahasiswa untuk
mengklasifikasikan persamaan differensial, berdasarkan ordo dari persamaan differensial
tersebut. Mendapatkan penyelesaian dari berbagai metode dan teknik penyelesaian dari
masing masing jenis klasifikasi persamaan differensial.
PETA KEDUDUKAN MODUL
7/22/2019 Per Samaan
16/54
xvi
BAB II. PEMBAHASAN
A. Pendahuluan Persamaan DifferensialPersamaan differensial adalah persamaan yang mengandung turunan atau
differensial. Sebagaimana diperlihatkan didepan, turunan mempunyai arti perbandingan
antara variabel tak bebas dengan variabel bebasnya. Peubah tak bebas dapat saja muncul
secara alamiah dalam kehidupan sehari-hari.
Ordo n dari suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi n yang
ada dalam persamaan differensial tersebut. Suatu persamaan differensial untuky dan
merupakan suatu fungsi tdisebut linier bila bentuk dalam persamaan terdiri dariy atau satu
dari turunannya dikalikan oleh suatu fungsi t ataupun hanya merupakan fungsi t.
B. Persamaan Differensial Linier Ordo Satu Dengan Koefisien KonstanBentuk umum persamaan differensial ini adalah bky
dt
dy+= dimana k dan b
merupakan konstan. Persamaan differensial ini dapat digunakan untuk memodel
pertumbuhan populasi.
C. Aplikasi Dalam Persoalan Bunga Majemuk
7/22/2019 Per Samaan
17/54
xvii
Pertumbuhan dari suatu investment terdiri dari bunga yang diberikan n kali per tahun
dengan besar suku bunga %R .A(t) merupakan nilai investasi pada waktu 0)0(,0 AAt = .
Bila bunga diperoleh diberikan sebanyakn kali tiap tahun maka
,)(100
)()()(
tahun,1
trtAn
RtAtAttAA
nt
=
=+=
=(2.1)
dimanan
tR
r1
,100
== .
Bila I merupakan tambahan investasi yang dilakukan tiap tahun yang jumlahnya
berbanding langsung dengan bunga yang diperoleh maka tambahan investasi adalah
tIn =1
(2.2)
Jadi A merupakan bunga yang diperoleh dalam selang waktu t ditambah dengan
investasi baru dalam selang tIttrAA += )( , atau
IrAt
A+=
. (2.3)
Disini sudah diperoleh persamaan differensial IrAdt
dA+= dengan syarat awal 0)0( AA = .
D. Persamaan Differensial Dengan Variabel TerpisahSuatu persamaan differensial ordo pertama disebut persamaan differensial dengan variabel
terpisah bila dapat diekspresikan dalam bentuk
)()( tgyfdt
dy= . (2.4)
Untuk menyelesaikan persamaan differensial diatas, harus ditulis dalam bentuk
.)()( dttgyf
dy
= (2.5)
Disini terlihat bahwa variabel-variabelnya dapat terpisahkan. Di ruas kiri persamaan
hanyalah mempunyai variabel y dan di ruas kanan persamaan hanyalah mempunyai
variabel t.
7/22/2019 Per Samaan
18/54
xviii
E. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan
konsep dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.
DAFTAR PUSTAKA
1. Jeffry Kusuma, Persamaan Differensial Elementer, Belum Dipublikasikan.2. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.
3. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.4. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.5. Internet
7/22/2019 Per Samaan
19/54
xix
MODUL III
7/22/2019 Per Samaan
20/54
xx
MODUL III
JUDUL : PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO PERTAMA
BAB I. PENDAHULUANA. Latar Belakang
Modul ketiga ini pada umumnya membahas mengenai persamaan diferensial yang
berorde pertama diantaranya persamaan diferensial homogen, persamaan diferensial eksak
dan sebagainya. Modul pertama merupakan penunjang untuk modul ketiga ini karena pada
proses pencarian solusi dari persamaan diferensial orde pertama ini, banyak menggunakan
integral yang di bahas dalam modul pertama Metode pengajaran yang digunakan dalam
modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan metode
Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang persamaan homogen, persamaan
differensial linier ordo satu, persamaan differensial bernoulli, persamaan differensial eksak.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul di bawah.
D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul ketiga ini adalah mampunya mahasiswa untuk
mengetahui beberapa jenis persamaan differensial ordo pertama dan dapat menyelesaian
persamaan differensial tersebut.
PETA KEDUDUKAN MODUL
7/22/2019 Per Samaan
21/54
xxi
BAB II. PEMBAHASAN
A. Persamaan HomogenPersamaan differensial ordo pertama disebut homogen jika dapat dituliskan dalam
bentuk
)(x
yF
dx
dy= . (3.1)
B. Persamaan Differensial Linier Orde SatuBentuk umum persamaan differensial linier ordo satu adalah
)()( xQyxPdx
dy=+ . (3.2)
Disini, bentuk bentuk non linier seperti 23
,, 2 yyydx
dydan lain-lain tidak dimasukkan lagi.
C. Persamaan Differensial BernoulliBentuk umum persamaan differrensial Bernoulli adalah
0)()( =++n
yxGyxFdx
dy
, .1,0n (3.3)
D. Persamaan Differensial EksakBentuk umum persamaan differensial eksak dapat dituliskan dalam rumusan atau
bentuk
7/22/2019 Per Samaan
22/54
xxii
0=
+
dyy
Fdx
x
F, (3.4)
dimana ),( yxFF= adalah suatu fungsi dua variabel darix dany. Jadi sekaliFdiperoleh
maka solusi umum persamaan differensial eksak ini dapat ditulis sebagai
cyxF =),( , (3.5)
dengan c merupakan sembarang konstan.
Secara umum suatu differensial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM yang tidak eksak
dimanax
N
y
M
dapat dibuat menjadi persamaan differensial eksak dengan
memperkalikan dengan suatu fungsi ),( yx . Disini
0),(),(),(),( =+ dyyxNyxdxyxMyx , (3.6)
akan dibuat eksak bilamana dan hanya bilamana memenuhi hubungan
[ ] [ ]),(),(),(),( yxNyxx
yxMyxy
=
. (3.7)
Disini, fungsi ),( yx merupakan faktor integrasi dari persamaan differensial diatas.
E. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari kemapuan mahasiswa dalam menggunakan
metode subtitusi dan operator dalam menyelesaikan persamaan differensial.
DAFTAR PUSTAKA
1. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.
2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.
3. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.
7/22/2019 Per Samaan
23/54
xxiii
MODUL IV
7/22/2019 Per Samaan
24/54
xxiv
MODUL IV
JUDUL : APLIKASI PERSAMAAN DIFFERENSIAL
BAB I. PENDAHULUANA. Latar Belakang
Modul keempat ini membahas mengenai aplikasi dari persamaan diferensial yang telah
dibahas pada modul-modul sebelumnya. Persamaan diferensial yang telah di bahas
sebelumnya diaplikasikan pada beberapa bidang diantaranya pada bidang mekanika,
ekonomi dan bidang-bidang lainnya. Seperti pada modul sebelumnya, metode pengajaran
yang digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu
dengan metode Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang aplikasi dalam mekanika, pendinginan
newton, peluruhan radioaktif, aplikasi lainnya, aplikasi dalam ekonomi, kabel tergantung
dan beberapa soal latihan.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul berikut.
PETA KEDUDUKAN MODUL
D. Sasaran Pembelajaran Modul
7/22/2019 Per Samaan
25/54
xxv
Sasaran utama pembelajaran modul keempat ini adalah mampunya mahasiswa untuk
mengaplikasikan persamaan differensial dalam berbagai bidang diantaranya dalam bidang
mekanika, ekonomi dan fisika.
BAB II. PEMBAHASAN
Disini akan dilakukan beberapa aplikasi sederhana yang berhubungan dengan
persamaan differensial ordo satu.
A. Aplikasi Dalam MekanikaSuatu partikel bermassa m, jatuh bebas dari suatu ketinggian tertentu. Bila partikel
tersebut mendapat hambatan yang proporsional terhadap kcepatannya maka persamaan
geraknya dapat dituliskan dalam bentuk
dt
dx
dt
dx
mgdt
xdm
3
2
2 )(
= , (4.1)
dimana 0> konstanta proporsional. Persamaan differensial di atas dapat pula dituliskan
dalam bentuk
,)( 22
2
dt
dxmg
dt
xdm = bila 0
dt
dx,
(4.2)
,)( 22
2
dt
dxmg
dt
xdm += bila 0k menyatakan suatu besaran spesifik. Persamaan differensial diatas dapat
dituliskan dalam bentuk
,0
dtkTT
dT=
(4.4)
suatu persamaan differensial dengan variabel terpisah.
C. Peluruhan RadioaktifDalam persoalan peluruhan radioaktif, laju peluruhan proporsional terdapat sejumlah N
(t) yang ada. Persamaan differensial disini adalah
( )( ) 0, >= ktkN
dt
tdN. (4.5)
Solusi umumnya adalah
( ) ,ktCetN = (4.6)
atau lebih khusus lagi dapat dituliskan sebagai
( ) ( ) ,0 kteNtN = (4.7)
dimanaN(0) merupakan jumlah radioaktif yang ada awal mulainya perhitungan .
D. Aplikasi LainnyaDisini, tinjau empat ekor cecak yang pada mulanya berada pada empat titik yang
berlainan (+a, +a) dalam koordinat Cartesius OXY. Mereka bergerak satu dengan lainnya,
sehingga membentuk suatu kitaran ( lihat gambar 4.1). Carilah jalan yang dilalui cecak
tersebut.
Dari kesimetrisan disini diperoleh suatu posisi +(x,y), + (-y,x) dimana keempat posisi
ini saling tegak lurus satu sama lain. Selanjutnya garis (singgung) yang melalui titik pada
(x,y) dan cecak pada titik (-y,x) dapat ditulis sebagai tangen terhadap jalan dari cecak pada
(x,y) sehingga diperoleh persamaan differensial
,xy
xy
dx
dy
+
= (4.8)
yang harus memenuhi kondisi awaly = a bilamanax = a.
7/22/2019 Per Samaan
27/54
xxvii
Gambar 4.1 Posisi awal Cecak.
E. Aplikasi Dalam EkonomiMari tinjau suatu model dalam ekonomi yang bergantung dari waktu t. Bila P
melambangkan harga komoditi, S supply dari komoditi, D merupakan permintaan dari
komoditi tersebut maka parsamaan differensial yang berhubungan hal tersebut diatas
adalah
( ),SDkdt
dP= (4.9)
Dengan k konstanta positif. Bila diasumsikan bahwa S (Supply) bergantung pada musim
dan tak negatif sedemikian hingga( ) ( )[ ],cos1 tctS = (4.10)
c, konstanta positif. Juga asumsikanD adalah fungsi harga (yang selalu turun) yaitu
( ) ( ),tbPatD = (4.11)
a, b konstanta positif, maka diperoleh
( )( )[ ],cos1 tcbPakdt
dP= (4.12)
yang mana merupakan persamaan differensial orde pertama.
F. Kabel TergantungMari tinjau kabel tergantung sebagaimana dalam gambar 4.2 dibawah ini. Bila kabelnya
uniform dan bergantung karena pengaruh grafitasinya oleh beratnya dan dipilih koordinat
sumbu sedemikian sehingga sumbuy merupakan sumbu vertical dan melalui titik terendah
7/22/2019 Per Samaan
28/54
xxviii
dari kabel yang ditinjau. Selanjutnya tinjau potongan kabel antara titik terendah C dan
suatu titikP(x,y) pada kabel.
Gambar 4.2 Kabel tergantung.
Disini koordinat yang harus dipenuhi adalah
(1) Jumlah vektor dari semua gaya gaya luar pada CPadalah nol.
(2) Jumlah momen pada sembarang titik di CPadalah nol
Gaya-gaya yang bekerja pada potongan CPadalah
(1) gaya horizontal ( ) hT =0 yang ada pada C.
(2) Tegangan T(x) bekerja padaP.
(3) Beban yang berlaku pada CPyang dipakai menghasilkan hasil resultan gaya dan
jumlah momen gaya diasumsikan dapat digantikan dengan gaya tunggal W(x)yang bekerja ke bawah pada titikQ.
Gambar 4.3 Gaya yang bekerja pada kabel.
7/22/2019 Per Samaan
29/54
xxix
Bila kabel membuat sudut terhadap sumbux padaPsedemikian sehingga keadaan
equilibrium tercapai maka dengan memperhatikan komponen gaya horizontal diperoleh
persamaan:
,0cos = hT (4.13)
,0sin = wT (4.14)
dimana
.22 whT += (4.15)
Jadi
.cos
sin
h
w
dx
dy==
(4.16)
Bila persamaan di atas didifferensialkan terhadapx diperoleh persamaan dasarnya yaitu
.1
2
2
dx
dw
hdx
yd= (4.17)
Disini( )
dx
xdwmenyatakan pertambahan w per unit pertambahanx yaitu beban vertikal pada
P(x) per unit jarak dalam arahx.
G. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan
konsep dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.
DAFTAR PUSTAKA
1. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.
2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.
3. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.
4. Internet.
7/22/2019 Per Samaan
30/54
xxx
MODUL V
7/22/2019 Per Samaan
31/54
xxxi
MODUL V
JUDUL : PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER ORDE TINGGI
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar BelakangModul kelima ini membahas mengenai persamaan diferensial yang mempunyai orde
yang lebih tinggi. Pada khususnya membahas mengenai metode penyelesaian dari
persamaan diferensial yang mempunyai orde tinggi. Metode pengajaran yang digunakan
dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan metode
Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang metode iterasi picard, persamaan
differensial linier dan beberapa soal latihan.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul berikut.
PETA KEDUDUKAN MODUL
D. Sasaran Pembelajaran Modul
7/22/2019 Per Samaan
32/54
xxxii
Sasaran utama pembelajaran modul ini adalah mahasiswa mampu untuk menyelesaikan
persamaan differensial yang berordo tinggi dengan metode iterasi Picard.
BAB II. PEMBAHASAN
Persamaan differensial orde dua mempunyai bentuk umum
.0),,,(2
2
=dx
yd
dx
dyyxF (5.1)
Dalam beberapa kasus persamaan differensial orde dua dapat direduksi kebentuk
persamaan differensial orde satu. Marilah tinjau dua bentuk persamaan differensial orde
dua.
Bentuk 1 :
Bentuk ini adalah bentuk dimana y tidak muncul secara explisit dalam persamaan
differensial. Bentuk umum tipe ini adalah :
,0),,(2
2
=dx
yd
dx
dyxF (5.2)
Bentuk 2 :
Persamaan differensial yang ada tidak memunculkan variabel x secara explisit dalam
persamaan differensial. Bentuk umum persamaan differensial ini adalah
.0),,(2
2
=dx
yd
dx
dyxF (5.3)
A. Metode Iterasi PicardTinjaulah suatu persoalan nilai awal
( ) ( ) ( )
( ) .
,,
00 yxy
yxfxy
dx
dxy
=
==(5.4)
Bila persamaan (5.4) diintegralkan kedua ruas diperoleh
( ) ( )( )+=x
xodttytfCxy ,, (5.5)
dengan Cmerupakan konstan sembarang.
7/22/2019 Per Samaan
33/54
xxxiii
Disini dengan mudah terlihat
( ) ( )( ) .,00
0 CdttytfCxyx
x=+=
Dan karena ( ) 00 yxy = berarti yoC= . Dituliskan
( ) ( )( ) ,,0
0 +=x
xdttytfyxy (5.6)
yang merupakan persamaan integral untuky(x). Persamaan integral (5.5) dan persamaan
differensial (5.4) beserta nilai awalnya merupakan persamaan yang ekuivalen.
B. Persamaan Differensial LinierBentuk yang paling umum dari suatu persamaan differensial linier yang berorde n
adalah
)()()()()( 11
1
10 xFyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
=++++
L , (5.7)
dimana Faaa n ,,,, 10 L merupakan fungsi darix saja.
Adalah hal yang tidak mungkin menyelesaikan suatu persamaan differensial linier
secara umum. Disini akan dipusatkan perhatian pada kasus dimana koefisien- koefisien
naaa ,,, 10 L merupakan konstan dan F(x) pada persamaan (5.7) merupakan fungsi-fungsi
yang umum seperti fungsi polynomial dalam x, fungsi trigonometri, fungsi eksponen.
Persamaan yang demikian ini dikenal dengan persamaan differensial linier dengan
koefisien konstan.
Sekarang marilah tinjau suatu metode untuk mendapatkan solusi umum suatu
persamaan differensial dalam bentuk
011
1
10 =++++
yadx
dya
dx
yda
dx
yda nnn
n
n
n
L , (5.8)
dimana naaa ,,, 10 L merupakan konstan. Dengan anggapan bahwa solusinya dapat ditulis
dalam bentuksxAey = , (5.9)
maka substitusi persamaan diatas ke dalam (5.8) diperoleh
{ } 01110 =++++ sxnnnn easasasaA L . (5.10)
7/22/2019 Per Samaan
34/54
xxxiv
Persamaan (5.10) merupakan persamaan aljabar (polynomial) yang mempunyai n solusi,
yaitu
nsss ,,, 21 L . (5.11)
Bilan
sss ,,,21L merupakan bilangan real dan tak ada dua diantaranya yang sama maka
persamaan (5.11) akan mempunyai solusi umum yang dapat ditulis dalam bentuk
xs
n
xsxs neAeAeAy +++= L21 21 , (5.12)
dimana nAAA ,,, 21 L merupakan sembarang konstan.
Bila nsss ,,, 21 L merupakan bilangan real dan tak ada dua dari rsss ,,, 21 L yang sama
tetapi ssss nrr ==== ++ L21 maka solusi umum dari persamaan (5.8) akan mempunyai
bentuk
( ) sxrnnrr
xs
r
xsxs
exAxAA
eAeAeAy r
1
21
2121
++ +++
++++=
L
L
(5.13)
dimana nrr AAAAA ,,,,,, 121 LL + merupakan sembarang konstan.
Wronskian dari suatu persamaan differensial dapat dihubungkan dengan koefisien
dari persamaan differensial tersebut. Sebagai contoh marilah tinjau persamaan
0)()()( 212
2
0 =++ yxadxdyxadxydxa . (5.14)
Bila )(1 xy dan )(2 xy adalah solusi dari persamaan differensial diatas maka harus
memenuhi persamaan
0121110 =++ yayaya (5.15)
atau
0222120 =++ yayaya . (5.16)
Metode lain yang dapat dipergunakan untuk mendapatkan solusi khusus suatu
persamaan differensial adalah metode variasi parameter (konstan).
Tidaklah terlalu sulit untuk memperlihatkan bahwa bila
)()( 21 xBuxAuy += ,
7/22/2019 Per Samaan
35/54
xxxv
merupakan solusi homogen dari )(xfQyyPy =++ dengan QP, fungsi x maka solusi
khusus persamaan differensial tersebut adalah
)()()()( 21 xuxbxuxay += , (5.17)
dimana
).()()()()(
,0)()()()(
21
21
xfxuxbxuxa
xuxbxuxa
=+
=+(5.18)
Hal ini berlaku pula untuk persamaan differensial linier dengan derajat yang lebih tinggi.
Metode lain yang dapat dipergunakan untuk mendapatkan solusi khusus suatu
persamaan differensial dengan koefisien konstan adalah metode operatorD. Bila bentuk
umum suatu persamaan differensial dituliskan sebagai
)()( xfyD = . (5.19)
dimana
=
=n
i
in
iDaD0
)( ,
dengan niai ,,2,1,0, L= merupakan konstan maka solusi khusus persamaan differensial
adalah
),()(
1xf
Dy
= (5.20)
dengan ruas kanan persamaan merupakan solusi khusus yang dimaksud.
C. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan
konsep dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.
DAFTAR PUSTAKA
1. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.
3. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.
4. Internet
7/22/2019 Per Samaan
36/54
xxxvi
MODUL VI
7/22/2019 Per Samaan
37/54
xxxvii
MODUL VI
JUDUL : TEKNIK TRANSFORMASI INTEGRAL
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar BelakangPada modul keenam ini beberapa teknik penyelesaian persamaan diferensial akan
dibahas. Seperti pada modul sebelumnya, metode pengajaran yang digunakan dalam modul
ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan metode
Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang defenisi teknik transformasi integral,
transformasi laplace, shifting sumbu t dan sumbu s, tabel transformasi laplace, fungsi dirac-
delta, fungsi langkah tunggal, teorema konvolusi, aplikasi pada persamaan
differensialaplikasi dalam mekanika, pendinginan newton, peluruhan radioaktif, aplikasi
lainnya, aplikasi dalam ekonomi, kabel tergantung dan beberapa soal latihan.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul berikut.
PETA KEDUDUKAN MODUL
D. Sasaran Pembelajaran Modul
7/22/2019 Per Samaan
38/54
xxxviii
Sasaran utama pembelajaran modul Transformasi Laplace adalah mampunya
mahasiswa menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan transformasi
Laplace.
BAB II. PEMBAHASAN
Disini dibahas cara menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan teknik
transformasi integral, pada khususnya transformasi Laplace. Pada dasarnya transformasi
Laplace mentransformasikan persamaan differensial beserta syarat awalnya ke dalam
persamaan aljabar. Persamaan aljabar ini yang kemudian diselesaikan dan
ditransformasikan balik hingga diperoleh solusi persamaan differensial yang dimaksud.
Defenisi :
Suatu fungsi f yang terdefinisikan dalam suatu selang atau interval ),0[ , transformasi
Laplacenya diberikan oleh
( ) ( ) ( )== 0},{ dttfesttfsf
st, (6.1)
bilamana ruas kanan persamaan diatas mempunyai arti.
Disini tidak terlalu sulit membuktikan bahwa bila suatu transformasi Laplace ada pada
=s maka ada pula untuk >s . Demikian pula dapat dibuktikan bahwa terdapat fungsi
yang tidak mempunyai transformasi Laplace untuk sembarang nilai s; misalnya fungsi
( )2tetf = .
Bila dua fungsifdangidentik kecuali pada suatu titik tertentu ataupun pada sejumlah
tertentu titik dan keduanya mempunyai hasil transformasi maka kedua hasil transformasi
tersebut identik. Jadi disini terlihat bahwa secara umum, transformasi Laplace tidak
mempunyai transformasi balik yang tunggal (unique).
Selanjutnya cuma dibahas fungsi-fungsi yang kontinu dengan transformasi balik yang
tunggal (Teorema Lerch). Suatu kondisi yang perlu disini untuk menjamin adanya
transformasi balik ( )sf adalah ( ) 0lim =
sfs
.
Transformasi Laplace merupakan operator linear dalam arti
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }.;;
,;;;
sttfcsttcf
sttgsttfsttgtf
=
+=+(6.2)
7/22/2019 Per Samaan
39/54
xxxix
Transformasi Laplace untuk turunan dari suatu fungsi yang merupakan suatu hubungan
yang amat berguna yaitu
( ){ } ( ) ( ){ }
( )[ ] ( )
( ) ( ) .0,0
;
'
00
00''
>=
+=
==
==
sfssf
dttfestfe
tfdedttfesttf
stt
tst
stst
(6.3)
Jadi dapat pula diperoleh
( ){ } ( ){ } ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ),00
00
0;;
'2
'
''"
fsfsfs
ffsfss
fsttfssttf
=
=
=
(6.4)
Teorema :
( ){ } ( ),; asfsttfeat =
( ){ } ( ) ( ){ } .,2,1,;1; == nsttfds
dsttft
n
nnn (6.5)
Penentuan { }sttn
; bila ( )1>n yang bukan merupakan bilangan bulat (bulat integer)dapat dilakukan sebagai berikut,
{ } ( )
( )1
01
0
1
1
,ambil;
+
+
+=
=
===
n
nu
n
nstn
s
n
duues
dtsdustudttestt
(6.6)
dimana ( ) =+
01 duuen nu , dikenal sebagai fungsi Gamma.
Suatu persoalan yang muncul dalam aplikasi/penerapan dari transformasi Laplace
adalah penentuan transformasi f(t) sedemikian sehingga ( )pf tunggal. Untuk fungsi
7/22/2019 Per Samaan
40/54
xl
Heaviside seperti diatas, diperkenalkan fungsi Dirac Delta ( )t yang mana didefinisikan
bernilai nol di semua tempat kecuali pada titikt= 0 yaitu
( ) ,0,0 = tt (6.7)
dan ( )
=0 1.dtt (6.8)
Defenisi :
Bila f dan g merupakan dua buah fungsi yang terdefenisi dalam selang ),0[ maka
[ ]( ) ( ) ( ) =t
dtgftgf0
* disebut konvolusi dari fungsifdang.
INDIKATOR PENILAIAN
Keberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan konsepdengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.
DAFTAR PUSTAKA
1. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.
2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.
3. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.
4. Internet
7/22/2019 Per Samaan
41/54
xli
MODUL VII
7/22/2019 Per Samaan
42/54
xlii
MODUL VII
JUDUL : SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar BelakangPada modul ketujuh ini akan dibahas persamaan diferensial dengan tingkat yang lebih
tinggi yang berupa sistem persamaan diferensial. Seperti pada modul sebelumnya, metode
pengajaran yang digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang
dipadu dengan metode Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang Sistem persamaan differensial simultan,
persoalan Lotka-Volterra dan beberapa soal latihan.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul berikut.
PETA KEDUDUKAN MODUL
D. Sasaran Pembelajaran Modul
7/22/2019 Per Samaan
43/54
xliii
Sasaran utama pembelajaran modul sistem persamaan differensial adalah mampunya
mahasiswa membedakan antara persamaan differensial dan sistem persamaan differensial
serta mengetahui aplikasi dari sistem persamaan differensial.
BAB II. PEMBAHASAN
A. Sistem Persamaan Differensial SimultanPada bagian ini dibahas suatu himpunan dari persamaan differensial yang simultan
dengan dua atau lebih variabel.
Selanjutnya disini diperlihatkan bahwa penggunaan operator D, sering dapat
menyederhanakan masalah eliminasi.
B. Persoalan Lotka-VolteraPersoalan Lotka-Voltera dikenal pula sebagai persoalan mangsa pemangsa. Bila x
mewakili jumlah populasi mangsa dan y mewakili jumlah populasi pemangsa maka pada
kasus 0=y (tidak adanya pemangsa) populasi mangsa akan tumbuh secara eksponensial
yang diwakili oleh 0, 11 >= axadt
dx. Pada kasus 0=x (tidak adanya mangsa) diharapkan
pertumbuhan pemangsa negatif secara eksponensial yang diwakili oleh 0, 11 >= bybdt
dy
karena pemangsa akan mati karena kelaparan.
Suatu cara yang sering digunakan disini dikenal dengan analisa Phase Plane (bidang
fasa) sering digunakan dalam menginterpretasi persamaan differensial diatas. Bila x dan y
dianggap sebagai kecepatan partikel yang bergerak dalam bidang xy maka gerak atau jejak
partikel tersebut dapat direprentasikan sebagai persamaan parametrik.
),,(;),,( 212211 cctycctx == , (7.1)
dimana 21,cc ditentukan dari
),,0( 21 cc dan ),,0( 212 cc (7.2)
Titik equilibrium atau titik keseimbangan atau titik dimana tidak adanya perubahan terjadi
dicapai bila .0==dt
dy
dt
dx
7/22/2019 Per Samaan
44/54
xliv
Dalam hal tersebut diatas, terdapat dua titik keseimbangan yaitu )0,0( dan ),(2
1
2
1
a
a
b
b.
Selanjutnya akan diselidiki kelakuan dari fungsi x dan y disekitar titik keseimbangan
tersebut .
Kasus I : Titik keseimbangan (0,0)
Pada sekitar titik ini, nilai dari xya2 cukup kecil sehingga dapat diabaikan. Demikian pula
dengan nilai dari xyb2 , karena perkalian bilangan kecil dengan bilangan kecil
menghasilkan bilangan yang lebih kecil lagi. Jadi sistem persamaan differensial linier dapat
dituliskan
,
,
1
1
ybdt
dy
xadt
dx
=
=(7.3)
dengan solusi
taectx 11)( = dan
tbecty 12)(
= ; 0, 21 cc .
Gambar 7.2 Grafik Kesetimbangan model Mangsa Pemangsa.
Kasus II : Titik keseimbangan ),(2
1
2
1
a
a
b
b
Ambil va
ayu
b
bx +=+=
2
1
2
1 , maka diperoleh sistem persamaan differensial baru yaitu
7/22/2019 Per Samaan
45/54
xlv
,))(()(
,))(()(
2
2
11
2
1
2
12
2
11
2
2
12
2
1
2
12
2
11
uvbub
bav
a
au
b
bbv
a
ab
dt
dv
uvavb
bav
a
au
b
bau
b
ba
dt
du
+=++++=
=+++=
(7.4)
Karena disekitar titik ),(2
1
2
1
a
a
b
b, u dan 1
7/22/2019 Per Samaan
46/54
xlvi
yang merupakan persamaan differensial dengan variabel terpisah. Dengan integrasi
diperoleh
,)ln()ln( 2121 cyayaxbyb =+ (7.10)
atau
Aeyxyaxbab =+ )( 2211 , (7.11)
dengan A adalah konstanta sembarang yang dapat diperlihatkan merupakan suatu kurva
yang tertutup, dengan periode yang makin mendekati ke11
2
baT = bila makin dekat ke titik
kesetimbangan.
C. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan
konsep dengan contoh, kejelasan uraian dan bahan pustaka yang berinovatif terbaru.
DAFTAR PUSTAKA
1. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.
2. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.
3. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.
4. Internet
7/22/2019 Per Samaan
47/54
xlvii
MODUL VIII
7/22/2019 Per Samaan
48/54
xlviii
MODUL VIII
JUDUL : SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL DENGAN
MENGGUNAKAN DERET DAN METODE NUMERIK
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar BelakangModul ini merupakan modul terakhir yang membahas mengenai pencarian solusi
persamaan diferensial dengan menggunakan metode numerik. Metode pengajaran yang
digunakan dalam modul ini menggunakan metode ceramah interaktif yang dipadu dengan
metode Cooperative/Collaborative Learning.
B. Ruang Lingkup IsiModul ini secara umum membahas tentang pencarian solusi dengan menggunakan
deret, menggunakan metode numerik, persoalan nilai awal-metode langkah tunggal,
metode deret taylor, metode runge-kutta, perluasan metode ordo satu dan beberapa soal
latihan.
C. Kaitan ModulKaitan modul ini dengan modul-modul lainnya dapat dilihat dalam peta kedudukan
modul berikut.
PETA KEDUDUKAN MODUL
7/22/2019 Per Samaan
49/54
xlix
D. Sasaran Pembelajaran ModulSasaran utama pembelajaran modul ini adalah mampunya mahasiswa menyelesaikan
persamaan differensial dengan menggunakan metode deret dan metode numerik.
BAB II. PEMBAHASAN
A. Solusi Dengan Menggunakan DeretBanyak solusi persamaan differensial yang bentuknya sederhana tidak dapat diperoleh
dalam bentuk analitik dari fungsi-fungsi sederhana.
Dalam hal seperti ini, solusinya mungkin diperoleh dalam bentuk deret yang secara teori
selalu dapat diterapkan pada persamaan differensial ordo berapapun.
Disini akan dibahas suatu persamaan differensial ordo dua linier yang mempunyai bentuk
umum,
0=++ ryyqyp , (8.1)
dimana rqp ,, merupakan fungsi kuadratik darix.
Solusi dicari dalam bentuk
0, 00
=
=axaxy
n
nn
c . (8.2)
Persamaan differensial ordo dua dengan koefisien variabel secara umum mempunyai
persamaan0)()()( =++ yxryxqyxp , (8.4)
dimana rqp ,, merupakan polinomial yang dapat saja berupa polinomial yang mempunyai
titik singular.
B. Solusi Menggunakan Metode NumerikBanyak persamaan differensial biasa, bahkan yang kelihatannya sangat sederhana
tidak dapat diselesaikan secara analitik dalam bentuk fungsi tertabulasi. Walaupun suatu
solusi analitik ada, sering diperlukan upaya yang cukup rumit dan panjang untuk
memperolehnya. Lagi pula solusi itu hanya berlaku untuk nilai tertentu saja dari variabel
bebasnya.
Disini, tinjau solusi umum persamaan differensial dalam bentuk
0),,,,( = LyyyxQ , (8.5)
7/22/2019 Per Samaan
50/54
l
dimana melibatkan satu atau lebih konstanta sembarang. Solusi khususnya diperoleh
dengan bantuan beberapa kondisi ekstra untuk menentukan konstantanya.
Banyak metode numerik yang dapat dipakai menyelesaikan persoalan nilai awal. Biasanya
dapat diklasifikasikan dalam,
(1). Metode langkah tunggal
(2). Metode beberapa langkah (banyak langkah).
C. Persoalan Nilai Awal-Metode Langkah TunggalC.1.Metode Deret Taylor
Metode ini dapat diterapkan dalam persamaan differensial orde berapapun. Tinjau
persamaan differensial orde dua berikut,
),,( yyxfy = . (8.6)
dengan 00 , yy diberikan. Bila diasumsikan bahwa solusinya ada dan semua turunannyapun
ada maka berlaku ekspansi deret Taylor pada radius yang cukup besar dan konvergen pada
setiap titik L,,, 210 xxx .
Kesulitannya utama disini, terletak pada penghitungan turunan tingkat tinggi.
Dalam hal khusus, bisa saja diperoleh suatu hubungan tertentu, misalnya pada persamaan
differensial orde dua berikut
0=++ ryyqyp , (8.7)
dengan rqp ,, merupakan fungsi kuadrat darix.
C.2.Metode Runge-KuttaMetode ini dapat diberlakukan pada persamaan differensial orde satu tunggal maupun
sekumpulan atau sehimpunan persamaan differensial ordo satu. Marilah tinjau terlebih
dahulu persamaan differensial
),( yxfy = . (8.8)
Dengan 0y yang diberikan ( 0y inilah yang menentukan ketunggalan solusi). Suatu aplikasi
langsung dari deret Taylor yang melibatkan turunan tingkat tinggi dari sejumlah titik bisa
saja tidak menjadi praktis. Dalam metode Runge-Kutta, ekspansi deret Taylor dilakukan
secara tidak langsung dalam arti bahwa nilai-nilai turunan tingkat tinggi tidak dihitung
7/22/2019 Per Samaan
51/54
li
secara eksplisit. Dengan notasi yang sama dengan sebelumnya, yakni solusi yang dicari
didasarkan pada ),( rr yx maka penghitungan 1+ry dapat ditulis sebagai
{
}),(),(),( 11101
hzyhxf
hzyhxfyxfhyy
prprp
rrrrrr
++
++++++=+ L(8.9)
dimana ppp zz ,,,,,,,, 110 LLL dipenuhi sedemikian rupa sehingga ruas kanan
persamaan (8.97) dapat diekspansikan dan disamakan koefisien h-nya dengan ekspansi
deret Taylor untuk 1+ry , yakni
L+++=+ rrrr yh
yhyy!2
2
1 ,
atau
pprr kkkyy +++++=+L
11001 , (8.10)
dimana
),,(
),(
),(
),(
11,1100
12102022
01011
0
+++++=
+++=
++=
=
ppppprprp
rr
rr
rr
kkkyhxhfk
kkyhxhfk
kyhxhfk
yxhfk
L
M
dan koefisien ijii ,, harus ditentukan.
Koefisien-koefisien ini merupakan konstan untuk metode tertentu karena bebas dari fdan r.
Dengan memajukan satu langkah dari ),( rr yx ke ),( 11 ++ rr yx diperlukan evaluasi fpada
titik (p+1).
Solusi numerik persamaan ),( yxfy = dimana diberikan 0y dapat diperoleh dengan
mengaplikasikan berulang-ulang hubungan
,0,)1(
),,(),,(
101
221
0
0
++=
++==
+ cckkcyy
yxhfkyxhfk
rr
c
krc
hr
rr
dimana langkah dari rx ke 1+rx melibatkan kesalahan )(3
hO . Metode diatas dikenal
sebagai Metode Runge-Kutta ordo dua.
7/22/2019 Per Samaan
52/54
lii
Salah satu solusi dari yang paling sering digunakan adalah metode ordo empat.
Disini 1+ry diperoleh dengan kesalahan )(3hO dari rumusannya, yaitu
)22(6
132101 kkkkyy rr ++++=+ , (8.11)
dimana
).,(
),,(
),,(
),,(
23
121
21
2
021
21
1
0
kyhxhfk
kyhxhfk
kyhxhfk
yxhfk
rr
rr
rr
rr
++=
++=
++=
=
(8.12)
C.3.Perluasan Metode Orde SatuAnggaplah bahwa kita mempunyai sepasang persamaan simultan yaitu,
),,,(
),,,(
zyxgz
zyxfy
== (8.13)
dan juga dengan notasi biasanya 0y dan 0z yang diberikan. Hal ini memberikan nilaiy dan
z yang tunggal sebagai fungsi dari x. Metode Runge-Kutta orde 4 dapat diperluas untuk
menyelesaikan persamaan sebelumnya sebagai berikut, yaitu 1+ry dan 1+rz dihitung dengan
error (kesalahan) berorde 5 yaitu )(5hO dari hubungan
)22(6
1
32101
kkkkyyrr
++++=+
,
)22(6
132101 llllzz rr ++++=+ ,
dimana
).,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
223
121
121
21
2
021
021
21
1
0
223
121
121
21
2
021
021
21
1
0
lzkyhxhgl
lzkyhxhgl
lzkyhxhgl
zyxhgl
lzkyhxhfk
lzkyhxhfk
lzkyhxhfk
zyxhfk
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
+++=
+++=
+++=
=
+++=
+++=
+++=
=
Untuk persamaan differensial orde dua, katakan yang berbentuk
7/22/2019 Per Samaan
53/54
liii
),,( yyxfy = . (8.14)
Dengan 00 ,yy yang diberikan, maka persamaan ini dapat diselesaikan dengan terlebih
dahulu direduksi ke dalam dua persamaan differensial ordo satu
),,,(
,
zyxfz
zy
== (8.15)
dimana 0y dan 0z diberikan.
Lebih umum lagi, untuk persamaan
),,,,( )1()( = ss yyyxfy L , (8.16)
dimana )1(000 ,,, syyy L diberikan, dapat direduksi ke dalam suatu sistem persamaan
differensial linier orde satu dengan nilai awal yang bergantung pada variabel yang
diberikan pada 0x .
D. Indikator PenilaianKeberhasilan modul ini dapat dilihat dari ketepatan mahasiswa dalam menjelaskan
konsep dengan contoh dan ketepatan mahasiswa dalam menyelesaikan masalah persamaan
differensial dengan metode numerik.
DAFTAR PUSTAKA
1. Jeffry Kusuma, Persamaan Differensial Elementer, (Belum dipublikasikan).
2. Boycee DiPrima, Elementary Differenstial Equations and Boundary Values Problems,
John Wiley Sons.
3. Zill, Dennis G., A First Course In Differential Equations, PWS Publishing Company.
4. Lois Pipe, Applied Mathematics for Engineer and Scientist.
5. Internet
7/22/2019 Per Samaan
54/54
Lembar KonsultasiPembuatan Modul
Persamaan Differensial
Nama Coach / Reviewer : Ir. Machmud Syam, DEA
Nama Coachy : DR. Jeffry Kusuma
No Tanggal Rekomendasi / Catatan TTD Coach
1
2
3
4
5
Makassar, . 2008
Konsultan Coaching Clinic SCL
I M h d S DEA