Perda de Carga em Tubulações

EQUAÇÕES EXPLÍCITAS PARA O FATOR DE ATRITO DA EQUAÇÃODE DARCY-WEISBACH

CARLOS ROGÉRIO DE MELLO1

DANIEL FURTADO FERREIRA2

JACINTO DE ASSUNÇÃO CARVALHO3

RESUMO - O objetivo deste trabalho é modelar equa-ções matemáticas que permitam o cálculo do fator deatrito da equação de Darcy-Weisbach, na forma explí-cita em f, devido ao fato de os modelos mais usadospossuírem soluções matemáticas complexas, em razãoda forma implícita de f nos mesmos. Para isto, traba-lhou-se com situações de fluxo turbulento de transição eliso, estimando-se modelos específicos para ambas situ-ações, limites de velocidade de 0,5 a 2,0 m/s, viscosida-des da água às temperaturas de 20oC a 30oC, diâmetrosde 15 a 600 mm, rugosidades relativas de 0,000088 a0,01. As diversas situações foram estudadas, respecti-vamente, com as equações de Colebrook-White e Von

Kármán, utilizando-se um programa computacional es-pecífico de matemática (MAPLE V Versão 3 paraWindows) para obter soluções de f, uma vez que essasequações são tidas como as mais precisas. Para a de-terminação dos modelos, avaliaram-se diversas variá-veis, verificando a significância estatística e estimandoseus respectivos parâmetros, através de regressão linearmúltipla com o Sistema SAS para Windows, utilizan-do procedimentos de seleção de variáveis (Backward).Foi possível obter modelos cujas estimativas de parâ-metros estatísticos foram de alta qualidade, proporcio-nando soluções próximas aos valores exatos, caracteri-zando modelos de elevada precisão.

TERMOS PARA INDEXAÇÃO: Perda de carga, equações matemáticas, fator de atrito.

EXPLICIT EQUATIONS FOR THE DARCY-WEISBACH EQUATIONFRICTION COEFFICIENT

ABSTRACT - The purpose of this work is to fitexplicit mathematic equations for calculating thefriction coefficient from Darcy-Weisbach equation, in fexplicit form, based on fact that the most used modelscontain complex mathematics solutions due to theirimplicit form. For these studies, it was used situationsof smooth pipe and transition zone turbulent flow, withthe objective to estimate specific models for bothsituations, considering flow velocity between 0.5 and2.0 m/s, kinematic viscosity of water at thetemperatures between 20 and 30oC, diameters between15 and 600 mm and relative roughness between

0.000088 and 0.01. Different situations were studiedusing respectively the equations of Colebrook-Whiteand Von Kármán with the software MAPLE V Release3 for Windows, once these equations are consideredmost exact. Several variables were studied in order todetermine the models, by estimating their respectiveparameter and verifying the statistical significance usingthe software SAS for Windows, with the procedureBackward for selection of variables. With these studies, itwas possible to obtain models with high quality statisticalparameters, providing solutions close to the exact values,which characterizes models of high precision.

INDEX TERMS: Charge loss, mathematic equations, friction coefficient.

INTRODUÇÃO

O cálculo de perdas de carga em situações queenvolvam fluxo de água em tubulações é fonte cons-tante de estudos, uma vez que esse fator refere-se à perdade energia provocada por atritos que ocorrem entre a águae as paredes das tubulações, como conseqüência da intera-

ção entre viscosidade e rugosidade, sendo refletida noscustos variáveis da instalação (Kamand, 1988).

Existem várias formulações desenvolvidas poralguns pesquisadores para o cálculo de perda de carga,destacando-se as equações de Flamant, Hazen-Willianse Darcy-Weisbach. Segundo Gomes (1997), a equaçãodesenvolvida por este último é a mais utilizada no meio

1. Eng. Agrícola, Pós-Graduando em Irrigação e Drenagem, Departamento de Engenharia da UNIVERSIDADEFEDERAL DE LAVRAS (UFLA). Enviar correspondência para D.F.F. (DEX-UFLA).

2. Eng. Agrônomo, Dr., Professor Adjunto do Departamento de Ciências Exatas/ UFLA, tel.: (035) 829-1369.3. Eng. Agrícola, Dr., Professor Adjunto do Departamento de Engenharia/UFLA, tel.: (035) 829-1482.

Ciênc. e Agrotec., Lavras, v.23, n.2, p.365-371, abr./jun., 1999

366

científico, garantindo maior ajuste dos dados à realidadefísica. Esta equação, também conhecida como FórmulaUniversal de Perda de Carga, possui a seguinte expressão:

hf fL

D

V== ×× ××

2

2g

(1)

em que hf é a perda de carga (m), f é o fator de atrito(adimensional), L é o comprimento da tubulação (m),D é o diâmetro (m), V é a velocidade (m/s) e g é aconstante gravitacional (m/s2).

O fator de atrito representa a principal dificulda-de ao cálculo da perda de carga, pois as formulaçõespropostas são do tipo implícitas, com f em ambos osmembros da equação, sendo de difícil resolução, mesmocom o uso de calculadoras programáveis e programasde informática específicos de matemática. Bernardo(1989) propõe o uso de resolução gráfica através de umdiagrama conhecido por Diagrama de Moody. Tal pro-cedimento é trabalhoso tanto quanto impreciso, nãoproduzindo resultados satisfatórios.

De acordo com Azevedo Netto e Alvarez(1991), o fluxo de água em uma tubulação pode serclassificado em turbulento, laminar ou crítico (transitó-rio). Essa característica é determinada através do cál-culo de um parâmetro adimensional denominado Nú-mero de Reynolds (Re):

Re ==××V D

νν

(2)

em que Re é o número de Reynolds (adimensional) , ννé a viscosidade cinemática (m2/s), V e D definidos naequação 1.

Conforme o valor encontrado, trabalha-se comformulações diferentes do fator de atrito, exceção feitaao regime transitório, que não possui formulação. Sen-do assim, para um Re menor que 2000, tem-se o regimelaminar; entre 2000 e 4000, o transitório, e maior que4000, o turbulento. A maioria dos escoamentos em tu-bulações de sistemas de irrigação pressurizados ocorreem regime turbulento (Gomes, 1997).

O fluxo turbulento pode ser classificado em trêsregimes diferentes, o que leva a equações diferentes dofator f (Yanagi Junior, 1995). Trabalha-se com os regi-mes: turbulento liso, misto e rugoso, o que pode ser ca-racterizado a partir do seguinte cálculo:

Re×× ××

f

E

D

(3)

em que E é rugosidade absoluta (m), Re é o nú-mero de Reynolds (adimensional), f é o fator de atrito(adimensional) e D é o diâmetro (m).

Como a expressão (3) depende do valor de f,considera-se, inicialmente, a situação de fluxo turbu-lento de transição, trabalhando com a equação de Cole-brook - White.

12

3,7

2,5110

fLOG

E

D f== −− ××

××++

××

Re

(4)

Estimando-se f e observando se a relação 3 pro-porciona um valor entre 14 e 200, intervalo esse quedefine o regime turbulento de transição, o valor encon-trado de f por (4) estará correto (Yanagi Júnior, 1995).Para valores menores que 14, f deverá ser reestimadopela equação de Von Kármán, que constitui no regimede fluxo turbulento liso, no qual a rugosidade relativanão influencia significativamente na perda de carga, eapenas o Número de Reynolds é relevante (AzevedoNetto e Alvarez, 1991), significando que o fator E/Dnão tem importância física:

12

2,5110f

LOGf

== −− ××××

Re

(5)

Nos casos de valores acima de 200, regime defluxo turbulento rugoso, utiliza-se a equação de Niku-radse (Azevedo Netto e Alvarez,1991), a qual é explí-cita em f:

12

3 710f

LOGE

D== −− ××

××

,

(6)

Cossolosso e Satto (1996) citam algumas equa-ções explícitas para o fator f, destacando-se a equação deChen Ning Hsing , que proporciona resultados satisfatóriossomente dentro do fluxo turbulento de transição, não ge-rando precisão desejada para a turbulência lisa,

(( ))1

237065

50452 128257

5850610 10

11098

08981fLOG

ED

LOGED

== −− ××××

−− ×× ××

++

,

,Re ,

,

Re

,

,

(7)

em que os parâmetros f, E, D e Re estão definidos pelasexpressões anteriores.

Para o fluxo turbulento liso, destaca-se a equa-ção de Blasius, que é matematicamente simples. Entre-tanto, há o inconveniente de que essa equação é especí-fica para cada tipo de material, necessitando-se estimaros parâmetros a e b da mesma.

f a b== ××1

Re (8)

Re e f estão definidos nas equações anteriores; ae b são constantes a serem determinadas.


367

Segundo Von Bernuth (1990), a equação de Bla-sius é altamente precisa para tubos de plástico lisos compequenos diâmetros e em situações em que o Númerode Reynolds for menor que 100.000, o que, em projetosde irrigação, correspondem a um diâmetro máximo de80mm, gerando, portanto, dificuldade técnica em certosdimensionamentos.

Devido às dificuldades matemáticas geradaspelas equações implícitas que exprimem o fator f, estetrabalho propõe o desenvolvimento de modelos mate-máticos explícitos desse fator, tendo-se como base asequações de Von Kármán e Colebrook-White.

MATERIAL E MÉTODOS

Para a realização deste trabalho, foram utiliza-dos dados de diâmetro, rugosidade relativa, velocidade,viscosidade cinemática e Número de Reynolds, comvalores próximos da realidade prática dos projetos deirrigação pressurizada e sistematizados em pequenosintervalos de variação. Com isto, trabalhou-se comdiâmetros de 15 a 600 mm, viscosidades referentes àstemperaturas de 20oC a 30oC (Von Bernuth, 1990), ve-locidades de 0,5 a 2,0 m/s (valores econômicos paradimensionamentos, segundo Bernardo,1989), proporci-onando número de Reynolds maiores que 4000, semprecaracterizando fluxo turbulento, e rugosidades relativas(E/D) de 8,8x10-5 a 10-2.

Foram consideradas as situações de fluxo turbu-lento misto e liso, uma vez que as equações implícitasem f (equações 4 e 5) são as que governam essas situa-ções.

A fim de obter bons ajustes para os modelos,procurou-se trabalhar em cada situação de diâmetro,velocidade e temperatura, com um intervalo de rugosi-dades relativas que abrangesse os extremos do fluxoturbulento de transição. Assim, foi investigado, emcada situação, os valores de E/D e de f que proporcio-nassem resultados da equação 3 igual a 200 e igual a14, gerando também, alguns dados intermediários, co-brindo, portanto, todas as possibilidades de fluxo tur-bulento de transição.

Essas investigações foram realizadas com aequação de Colebrook - White, que é tida por váriospesquisadores como sendo a mais precisa dentre váriosmodelos, sendo aceita universalmente (Gomes, 1997).Ela foi solucionada com o Sistema MAPLE V, Versão 3para Windows, gerando soluções com várias casas de-cimais, tendo-se adotado, neste caso, 5 casas decimais.Do total de valores combinados dentro dos limites esta-belecidos, foram gerados 593 valores para f, os quaisforam encontrados com alta precisão.

A equação de Von Kármán foi solucionada pormeio do referido programa computacional, para a situa-

ção de fluxo turbulento liso, para cada diâmetro, situa-ções de velocidades entre 0,5 e 2,0m/s e viscosidades àstemperaturas de 20oC a 30oC, gerando, assim, 418 situ-ações.

Após essa etapa, estudou-se o modelo mais ade-quado para cada situação, utilizando-se o SistemaSAS para Windows (System Analysis Statistical,1985), tendo as equações de Colebrook-White e VonKármán como base para determinação do modelo. Tra-balhou-se também com regressão linear múltipla dosdados obtidos, através do procedimento Proc Reg, utili-zando-se o método Backward para seleção de variáveis.Foram testadas a significância do modelo e dos respec-tivos parâmetros da regressão (Ho: bi=0), ou seja, oteste em que a variável em questão não trouxe contri-buição significativa para a variação do fator de atrito,para a situação de fluxo turbulento de transição e para ofluxo turbulento liso.

Como parâmetros estatísticos para averiguaçãoda qualidade do modelo, foram considerados: o coefici-ente de determinação ajustado (R2), o coeficiente de varia-ção (CV), significância ao nível de 0,01 de probabilidadepara as estimativas dos parâmetros e a média dos desviosem relação aos dados originais. Estes desvios foram calcu-lados seguindo metodologia de Kamand (1988):

(( ))∆∆ff f

fE

% ==−−

×× 100 (8)

sendo fE estimados pelos modelos e f oriundos dasequações de Colebrook-White e Von Kármán.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

As estimativas dos parâmetros para o modelorelativo ao fluxo turbulento de transição estão apresen-tados na Tabela 1, com suas respectivas variáveis e si-gnificância ao nível de 0,01 de probabilidade. Observa-se que todas as variáveis testadas foram altamente si-gnificativas, demonstrando a sua importância na des-crição do modelo. Foram obtidos, coeficiente de deter-minação ajustado (R2) de 99,85%, coeficiente de varia-ção (CV) de 1,298% e média dos desvios entre os valo-res estimados e os originais de 0,955%, sendo os valo-res máximo e mínimo observados, respectivamente, de6,53% e 0,00059%.

Como foram consideradas 5 casas decimais, amaioria dos erros ocorreu na quarta ou quinta casa de-cimal, e como todos os parâmetros estatísticos são dealta qualidade matemática, o modelo descrito abaixo écapaz de prever, com alto grau de confiabilidade, o fa-tor de atrito, desde que todas as variáveis estejam den-tro dos intervalos especificados na metodologia. O mo-delo estimado está apresentado a seguir.


368

f V LOGED

LOGE

DLOG

E

D

ED

V

== −− ×× −− ×× ×× ××

++

++ ××

++

−− ××

××

++

++ ××

××

−−0 011096 0 000108 4 39543 101

0 0040011

0 1571533 7

46 161642

0 032358

1010

1 1098

10

1 10982

10

, , , ReRe

,Re

,,

,

Re

,

,

,

+ 0,178996

TABELA 1 - Estimativas dos parâmetros e sua significância segundo as variáveis do modelo para situação defluxo turbulento de transição.

Variável Estimativas Prob > |t| para Ho:bi=0

Intercepto 0,011096 0,0003

V -0,000108 0,0010

Re -4,39543x10-10 0,0001

-2xLOG10[(E/D)1,1098+1/Re] -0,089498 0,0001

{LOG10[(E/D)1,1098 + 1/Re]}2 0,004001 0,0001

-LOG10[E/(3,7xD)] 0,157153 0,0001

1/Re 46,161642 0,0001

(E/D)xV 0,032358 0,0001

Analisando-se a Fig. 1, que caracteriza as situa-ções de diâmetros pequeno, médio e grande, para umavelocidade em torno de 1,5m/s, nota-se uma pequenavariação entre os valores de f estimados a partir do mo-delo desenvolvido para fluxo turbulento de transição e aequação de Colebrook-White, o que confirma o espera-do, devido ao alto valor de R2 encontrado.

Cossolosso e Satto (1996) citam vários mode-los explícitos para essa situação, os quais possuemdesvios superiores aos obtidos neste trabalho, comoas equações de Barr e Swamee e Jain, que obtiveramdesvios, respectivamente, de 1% e 6,22%. A equaçãode Chen Ning Hsing (equação 7) apresentou um des-vio médio de 0,30%, inferior ao obtido com o modelo.

Contudo, as diferenças em relação à equação de Cole-brook-White ocorreram, em ambas, apenas na quartae/ou quinta casa decimal, mostrando que, na prática,ambos os modelos proporcionam resultados equivalen-tes.

Para os casos de fluxo turbulento liso, a Tabela 2apresenta os parâmetros estimados com suas respectivassignificâncias, tendo-se obtido um R2 de 99,98%, umCV de 0,473% e média dos desvios de 0,347%, comvalores máximo e mínimo, respectivamente, de 3,14% e0,0016%, mostrando que o modelo foi satisfatórioquanto à sua qualidade em predizer os valores de f, emrelação aos valores exatos. O modelo estimado estáapresentado a seguir:

(( ))

(( ))

f V LOG

LOG V

== −− ×× ++ ×× ×× −− ×× ×× −− ××

++ ×× ××

−− −−0 059737 0 000124 3 9783 10 1 03909 10 0 008767

0 00028750 646040

9 15 210

10

, , , Re , Re , Re

, Re,

Re

+


369

FIGURA 1 - Comparação da regressão obtida com a equação de Colebrook-White para os diâmetros de 20, 300 e600 mm, a 20o C e praticamente à mesma velocidade.

0,003 0,004 0,005 0,006 0,0075 0,009 0,01

Rugosidade relativa (E/D)

0,03

0,0315

0,033

0,0345

0,036

0,0375

0,039

0,0405

Fat

or d

e at

rito

(f)

Colebrook-White

Modelo Estimado D=20mm; V=1,4m/s; 20oC

0,00014 0,00025 0,0005 0,00075 0,001

Rugosidade Relativa (E/D)

0,012

0,0135

0,015

0,0165

0,018

0,0195

0,021

0,0225

0,024

Fat

or d

e at

rito

(f)

Colebrook-White

Modelo Estimado D=600mm; V=1,45m/s; 20oC

0,0005 0,00075 0,0009 0,001 0,002 0,00267

Rugosidade Relativa (E/D)

0,015

0,0165

0,018

0,0195

0,021

0,0225

0,024

0,0255

0,027

Fat

or d

e at

rito

(f)

Colebrook-White

Modelo Estimado D=300mm; V=1,57m/s;20oC


370

Na Fig. 2 estão apresentados os valores estimadospelo modelo proposto e os valores originais de Von Kár-mán. Verificou-se, novamente, que o modelo de regressãoobtido foi altamente satisfatório para predizer o valor de f.

Com relação ao uso dos modelos, deve-se verifi-car a importância do parâmetro E/D, considerando flu-xo turbulento de transição. Com o valor de f calculado,

determina-se a sua característica através da equação 3.Se ficar caracterizado fluxo turbulento liso, utiliza-se omodelo correspondente; ficando caracterizado fluxoturbulento de transição, o valor encontrado estará cor-reto; caracterizando fluxo turbulento rugoso, trabalha-se com a equação de Nikuradse (equação 6), que nãoapresenta dificuldades para sua solução.

TABELA 2 - Estimativas dos parâmetros e sua significância para as variáveis do modelo para situação de fluxoturbulento liso.

Variável Estimativas Prob > |t| para Ho:bi=0

Intercepto 0,059737 0,0001

V -0,000124 0,0002

Re 3,9783x10-9 0,0001

Re2 -1,03909x10-15 0,0001

-LOG10(Re) 0,008767 0,0001

-LOG10(VxRe) -0,000287 0,0003

1/Re 50,646040 0,0001

FIGURA 2 - Comparação do modelo de regressão ajustada com a equação de Von Kármán.

23347 122525 267327 429703 583168 898515

Número de Reynolds

0,01

0,0115

0,013

0,0145

0,016

0,0175

0,019

0,0205

0,022

0,0235

0,025

0,0265

Fato

r f

Equação de Von-Kármán

Modelo estimado V=1,5m/s; 20oC


371

Os modelos desenvolvidos não apresentam osinconvenientes de serem específicos para um tipo detubo (material) podem ser usados para número deReynolds bem acima de 100.000, não mostrando a mag-nitude dos desvios apresentados por algumas equações ci-tadas; e o fator f é explícito, não havendo grandes compli-cadores, principalmente em termos de desenvolvimento deprogramas de computador para dimensionamentos hidráu-licos. Deve-se ressaltar que poderá haver ligeiras diferençasem relação aos dados originais para alguns casos, mas emtermos de cálculos hidráulicos em projetos de irrigação,tais diferenças não são significativas.

CONCLUSÕES

Com base nas soluções obtidas para os valoresde f, conclui-se que os modelos desenvolvidos são apro-priados para estimar o fator de atrito, desde que sejamusados dentro dos limites estabelecidos. Deve-se res-saltar, também, que esses modelos além de auxiliar odesenvolvimento de programas de computador paracálculos hidráulicos, podem ser usados utilizando-seuma simples calculadora científica, agilizando cálculosdo fator f e conseqüentemente de perda de carga, semperder precisão significativa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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de hidráulica. 7. ed. São Paulo: Blücher, 1991. 724p.

BERNARDO, S. Manual de irrigação. 5. ed. Viçosa:UFV, 1989. 596p.

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GOMES, H. P. Engenharia de irrigação. 2. ed. Cam-pina Grande: UFPB, 1997. 390p.

KAMAND, F. Z. Hydraulic friction factors for pipeflow. Journal of Irrigation and Drainage Engi-neering, New York, v. 114. n.2. p.311-323, may,1988.

SYSTEM ANALYSES STATISTICAL. Languageguide for personal computers. 6. ed. Cary: SASInstitute Inc, 1985. 429p.

VON BERNUTH, R. D. Simple and accurate frictionloss equation for plastic pipe. Journal of Irrigationand Drainage Engineering, New York, v.116, n.2,p.294-298, Mar./Apr. 1990.

YANAGI JUNIOR, T. Dimensionamento e prediçãoda distribuição de água em sistemas de irrigaçãopor aspersores autopropelidos. Lavras: UFLA,1995. 79p. (Dissertação-Mestrado em Irrigação eDrenagem).

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