Upload
others
View
17
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
PERHITUNGAN MOMEN MAGNET HALF-HEUSLER
ALLOY XMnSb (X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN
PENDEKATAN TIGHT-BINDING
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
SYAIFUL IZZUDDIN SALAM
11150970000001
PROGRAM STUDI FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH
JAKARTA
2019 M 1440 H
ii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING
PERHITUNGAN MOMEN MAGNET HALF-HEUSLER ALLOY XMnSb
(X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN PENDEKATAN TIGHT-BINDING
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Syaiful Izzuddin Salam
11150970000001
Menyetujui
Pembimbing I
Edi Sanjaya MSi
NIP 197307152002121001
Pembimbing II
Muhammad Aziz Majidi PhD
NIP 196907041997031002
Mengetahui
Ketua Program Studi Fisika
Dr Sitti Ahmiarti S MSi
NIP 197704162005012008
iii
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi yang berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb
(X= Mn Fe Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo telah diuji dan
dinyatakan lulus pada sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Kamis 01 Agustus
2019 Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Strata Satu (S1) Program Studi Fisika
Menyetujui
Penguji I
Dr Ir Agus Budiono MT
NIP 196202201990031002
Penguji II
Arif Tjahjono ST MSi
NIP 197511072007011015
Pembimbing I
Edi Sanjaya MSi
NIP 197307152002121001
Pembimbing II
Muhammad Aziz Majidi PhD
NIP 196907041997031002
Mengetahui
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
Prof Dr Lily Surraya Eka Putri MEnvStud
NIP 196904042005012005
Ketua Program Studi Fisika
Dr Sitti Ahmiarti S MSi
NIP 197704162005012008
iv
PERNYATAAN
Yang bertandatangan di bawah ini
Nama Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi yang berjudul PERHITUNGAN MOMEN
MAGNET HALF-HEUSLER ALLOY XMnSb (X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN
PENDEKATAN TIGHT-BINDING adalah benar merupakan karya saya sendiri dan
tidak melakukan tindakan plagiat dalam penyusunannya Adapun kutipan yang ada
dalam penyusunan karya ini telah saya cantumkan sumber kutipannya dalam
skripsi Saya bersedia melakukan proses yang semestinya sesuai dengan peraturan
perundangan yang berlaku jika ternyata skripsi ini sebagian atau keseluruhan
merupakan plagiat dari karya orang lain
Demikian pernyataan ini dibuat untuk dipergunakan seperlunya
Ciputat 01 Agustus 2019
Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
v
ABSTRAK
Heusler alloy merupakan keluarga besar intermetalik magnetik yang ditemukan sejak awal
abad ke-20 Banyak heusler alloy yang diprediksi mempunyai sifat half-metal sehingga
menjadikannya potensial untuk diaplikasikan dalam bidang spintronik Terdapat aturan
sederhana untuk memprediksi nilai momen magnet pada heusler yang dikenal dengan
aturan Slater-Pauling Berdasarkan aturan tersebut nilai momen magnet per unit formula
untuk half-Heusler adalah (Nelektron valensi -18)120583119861 Aturan tersebut dianggap terlalu sederhana
karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi dalam perhitungan momen magnet Oleh
karena itu pada penelitian ini kami melakukan penelitian teoritik untuk mengetahui
bagaimana pembentukan momen magnet pada half-Heusler alloy dengan mengambil
contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb Kami membuat
model hamiltonian tight-binding ditambah suku-suku interaksi yaitu interaksi interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d yang kemudian
diselesaikan dengan menggunakan pendekatan medan rata-rata (mean field) Hasilnya
diperoleh nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb
dan NiMnSb pada model kami masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861
Kata Kunci Half-Heusler Mean Field Momen Magnet Slater-Pauling Tight-Binding
vi
ABSTRACT
Heusler alloys are large family of magnetic intermetallics found since the beginning of the
20th century Many Heusler alloys are predicted to have half-metal properties so that they
have the potential to be applied in spintronic fields There is a simple rule for predicting
the value of Heuslerrsquos magnetic moment known as the Slater-Pauling rule Based on these
rules the value of the magnetic moment per unit formula for half-Heusler is (Nvalence electron
-18)120583119861 This rule is considered too simplified because it only involves the number of
valence electrons in the calculation of magnetic moments Therefore in this study we
propose to do a theoretical study to understand the formation of magnetic moments of half-
Heusler alloys by taking Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb as cases We construct
a tight-binding model and incorporating interaction terms Hubbards repulsive interaction
and spin-spin interactions for electrons occupying the d-orbitals then treat them within the
mean-field approximation The results show that the magnetic moment per unit formula for
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb in our models is 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 and
399 120583119861 respectively
Keywords Half-Heusler Magnetic Moment Mean Field Slater-Pauling Tight-Binding
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
ii
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING
PERHITUNGAN MOMEN MAGNET HALF-HEUSLER ALLOY XMnSb
(X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN PENDEKATAN TIGHT-BINDING
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Syaiful Izzuddin Salam
11150970000001
Menyetujui
Pembimbing I
Edi Sanjaya MSi
NIP 197307152002121001
Pembimbing II
Muhammad Aziz Majidi PhD
NIP 196907041997031002
Mengetahui
Ketua Program Studi Fisika
Dr Sitti Ahmiarti S MSi
NIP 197704162005012008
iii
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi yang berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb
(X= Mn Fe Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo telah diuji dan
dinyatakan lulus pada sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Kamis 01 Agustus
2019 Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Strata Satu (S1) Program Studi Fisika
Menyetujui
Penguji I
Dr Ir Agus Budiono MT
NIP 196202201990031002
Penguji II
Arif Tjahjono ST MSi
NIP 197511072007011015
Pembimbing I
Edi Sanjaya MSi
NIP 197307152002121001
Pembimbing II
Muhammad Aziz Majidi PhD
NIP 196907041997031002
Mengetahui
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
Prof Dr Lily Surraya Eka Putri MEnvStud
NIP 196904042005012005
Ketua Program Studi Fisika
Dr Sitti Ahmiarti S MSi
NIP 197704162005012008
iv
PERNYATAAN
Yang bertandatangan di bawah ini
Nama Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi yang berjudul PERHITUNGAN MOMEN
MAGNET HALF-HEUSLER ALLOY XMnSb (X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN
PENDEKATAN TIGHT-BINDING adalah benar merupakan karya saya sendiri dan
tidak melakukan tindakan plagiat dalam penyusunannya Adapun kutipan yang ada
dalam penyusunan karya ini telah saya cantumkan sumber kutipannya dalam
skripsi Saya bersedia melakukan proses yang semestinya sesuai dengan peraturan
perundangan yang berlaku jika ternyata skripsi ini sebagian atau keseluruhan
merupakan plagiat dari karya orang lain
Demikian pernyataan ini dibuat untuk dipergunakan seperlunya
Ciputat 01 Agustus 2019
Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
v
ABSTRAK
Heusler alloy merupakan keluarga besar intermetalik magnetik yang ditemukan sejak awal
abad ke-20 Banyak heusler alloy yang diprediksi mempunyai sifat half-metal sehingga
menjadikannya potensial untuk diaplikasikan dalam bidang spintronik Terdapat aturan
sederhana untuk memprediksi nilai momen magnet pada heusler yang dikenal dengan
aturan Slater-Pauling Berdasarkan aturan tersebut nilai momen magnet per unit formula
untuk half-Heusler adalah (Nelektron valensi -18)120583119861 Aturan tersebut dianggap terlalu sederhana
karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi dalam perhitungan momen magnet Oleh
karena itu pada penelitian ini kami melakukan penelitian teoritik untuk mengetahui
bagaimana pembentukan momen magnet pada half-Heusler alloy dengan mengambil
contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb Kami membuat
model hamiltonian tight-binding ditambah suku-suku interaksi yaitu interaksi interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d yang kemudian
diselesaikan dengan menggunakan pendekatan medan rata-rata (mean field) Hasilnya
diperoleh nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb
dan NiMnSb pada model kami masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861
Kata Kunci Half-Heusler Mean Field Momen Magnet Slater-Pauling Tight-Binding
vi
ABSTRACT
Heusler alloys are large family of magnetic intermetallics found since the beginning of the
20th century Many Heusler alloys are predicted to have half-metal properties so that they
have the potential to be applied in spintronic fields There is a simple rule for predicting
the value of Heuslerrsquos magnetic moment known as the Slater-Pauling rule Based on these
rules the value of the magnetic moment per unit formula for half-Heusler is (Nvalence electron
-18)120583119861 This rule is considered too simplified because it only involves the number of
valence electrons in the calculation of magnetic moments Therefore in this study we
propose to do a theoretical study to understand the formation of magnetic moments of half-
Heusler alloys by taking Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb as cases We construct
a tight-binding model and incorporating interaction terms Hubbards repulsive interaction
and spin-spin interactions for electrons occupying the d-orbitals then treat them within the
mean-field approximation The results show that the magnetic moment per unit formula for
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb in our models is 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 and
399 120583119861 respectively
Keywords Half-Heusler Magnetic Moment Mean Field Slater-Pauling Tight-Binding
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
iii
PENGESAHAN UJIAN
Skripsi yang berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb
(X= Mn Fe Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo telah diuji dan
dinyatakan lulus pada sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Kamis 01 Agustus
2019 Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Strata Satu (S1) Program Studi Fisika
Menyetujui
Penguji I
Dr Ir Agus Budiono MT
NIP 196202201990031002
Penguji II
Arif Tjahjono ST MSi
NIP 197511072007011015
Pembimbing I
Edi Sanjaya MSi
NIP 197307152002121001
Pembimbing II
Muhammad Aziz Majidi PhD
NIP 196907041997031002
Mengetahui
Dekan Fakultas Sains dan Teknologi
Prof Dr Lily Surraya Eka Putri MEnvStud
NIP 196904042005012005
Ketua Program Studi Fisika
Dr Sitti Ahmiarti S MSi
NIP 197704162005012008
iv
PERNYATAAN
Yang bertandatangan di bawah ini
Nama Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi yang berjudul PERHITUNGAN MOMEN
MAGNET HALF-HEUSLER ALLOY XMnSb (X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN
PENDEKATAN TIGHT-BINDING adalah benar merupakan karya saya sendiri dan
tidak melakukan tindakan plagiat dalam penyusunannya Adapun kutipan yang ada
dalam penyusunan karya ini telah saya cantumkan sumber kutipannya dalam
skripsi Saya bersedia melakukan proses yang semestinya sesuai dengan peraturan
perundangan yang berlaku jika ternyata skripsi ini sebagian atau keseluruhan
merupakan plagiat dari karya orang lain
Demikian pernyataan ini dibuat untuk dipergunakan seperlunya
Ciputat 01 Agustus 2019
Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
v
ABSTRAK
Heusler alloy merupakan keluarga besar intermetalik magnetik yang ditemukan sejak awal
abad ke-20 Banyak heusler alloy yang diprediksi mempunyai sifat half-metal sehingga
menjadikannya potensial untuk diaplikasikan dalam bidang spintronik Terdapat aturan
sederhana untuk memprediksi nilai momen magnet pada heusler yang dikenal dengan
aturan Slater-Pauling Berdasarkan aturan tersebut nilai momen magnet per unit formula
untuk half-Heusler adalah (Nelektron valensi -18)120583119861 Aturan tersebut dianggap terlalu sederhana
karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi dalam perhitungan momen magnet Oleh
karena itu pada penelitian ini kami melakukan penelitian teoritik untuk mengetahui
bagaimana pembentukan momen magnet pada half-Heusler alloy dengan mengambil
contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb Kami membuat
model hamiltonian tight-binding ditambah suku-suku interaksi yaitu interaksi interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d yang kemudian
diselesaikan dengan menggunakan pendekatan medan rata-rata (mean field) Hasilnya
diperoleh nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb
dan NiMnSb pada model kami masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861
Kata Kunci Half-Heusler Mean Field Momen Magnet Slater-Pauling Tight-Binding
vi
ABSTRACT
Heusler alloys are large family of magnetic intermetallics found since the beginning of the
20th century Many Heusler alloys are predicted to have half-metal properties so that they
have the potential to be applied in spintronic fields There is a simple rule for predicting
the value of Heuslerrsquos magnetic moment known as the Slater-Pauling rule Based on these
rules the value of the magnetic moment per unit formula for half-Heusler is (Nvalence electron
-18)120583119861 This rule is considered too simplified because it only involves the number of
valence electrons in the calculation of magnetic moments Therefore in this study we
propose to do a theoretical study to understand the formation of magnetic moments of half-
Heusler alloys by taking Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb as cases We construct
a tight-binding model and incorporating interaction terms Hubbards repulsive interaction
and spin-spin interactions for electrons occupying the d-orbitals then treat them within the
mean-field approximation The results show that the magnetic moment per unit formula for
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb in our models is 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 and
399 120583119861 respectively
Keywords Half-Heusler Magnetic Moment Mean Field Slater-Pauling Tight-Binding
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
iv
PERNYATAAN
Yang bertandatangan di bawah ini
Nama Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi yang berjudul PERHITUNGAN MOMEN
MAGNET HALF-HEUSLER ALLOY XMnSb (X= Mn Fe Co DAN Ni) DENGAN
PENDEKATAN TIGHT-BINDING adalah benar merupakan karya saya sendiri dan
tidak melakukan tindakan plagiat dalam penyusunannya Adapun kutipan yang ada
dalam penyusunan karya ini telah saya cantumkan sumber kutipannya dalam
skripsi Saya bersedia melakukan proses yang semestinya sesuai dengan peraturan
perundangan yang berlaku jika ternyata skripsi ini sebagian atau keseluruhan
merupakan plagiat dari karya orang lain
Demikian pernyataan ini dibuat untuk dipergunakan seperlunya
Ciputat 01 Agustus 2019
Syaiful Izzuddin Salam
NIM 11150970000001
v
ABSTRAK
Heusler alloy merupakan keluarga besar intermetalik magnetik yang ditemukan sejak awal
abad ke-20 Banyak heusler alloy yang diprediksi mempunyai sifat half-metal sehingga
menjadikannya potensial untuk diaplikasikan dalam bidang spintronik Terdapat aturan
sederhana untuk memprediksi nilai momen magnet pada heusler yang dikenal dengan
aturan Slater-Pauling Berdasarkan aturan tersebut nilai momen magnet per unit formula
untuk half-Heusler adalah (Nelektron valensi -18)120583119861 Aturan tersebut dianggap terlalu sederhana
karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi dalam perhitungan momen magnet Oleh
karena itu pada penelitian ini kami melakukan penelitian teoritik untuk mengetahui
bagaimana pembentukan momen magnet pada half-Heusler alloy dengan mengambil
contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb Kami membuat
model hamiltonian tight-binding ditambah suku-suku interaksi yaitu interaksi interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d yang kemudian
diselesaikan dengan menggunakan pendekatan medan rata-rata (mean field) Hasilnya
diperoleh nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb
dan NiMnSb pada model kami masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861
Kata Kunci Half-Heusler Mean Field Momen Magnet Slater-Pauling Tight-Binding
vi
ABSTRACT
Heusler alloys are large family of magnetic intermetallics found since the beginning of the
20th century Many Heusler alloys are predicted to have half-metal properties so that they
have the potential to be applied in spintronic fields There is a simple rule for predicting
the value of Heuslerrsquos magnetic moment known as the Slater-Pauling rule Based on these
rules the value of the magnetic moment per unit formula for half-Heusler is (Nvalence electron
-18)120583119861 This rule is considered too simplified because it only involves the number of
valence electrons in the calculation of magnetic moments Therefore in this study we
propose to do a theoretical study to understand the formation of magnetic moments of half-
Heusler alloys by taking Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb as cases We construct
a tight-binding model and incorporating interaction terms Hubbards repulsive interaction
and spin-spin interactions for electrons occupying the d-orbitals then treat them within the
mean-field approximation The results show that the magnetic moment per unit formula for
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb in our models is 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 and
399 120583119861 respectively
Keywords Half-Heusler Magnetic Moment Mean Field Slater-Pauling Tight-Binding
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
v
ABSTRAK
Heusler alloy merupakan keluarga besar intermetalik magnetik yang ditemukan sejak awal
abad ke-20 Banyak heusler alloy yang diprediksi mempunyai sifat half-metal sehingga
menjadikannya potensial untuk diaplikasikan dalam bidang spintronik Terdapat aturan
sederhana untuk memprediksi nilai momen magnet pada heusler yang dikenal dengan
aturan Slater-Pauling Berdasarkan aturan tersebut nilai momen magnet per unit formula
untuk half-Heusler adalah (Nelektron valensi -18)120583119861 Aturan tersebut dianggap terlalu sederhana
karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi dalam perhitungan momen magnet Oleh
karena itu pada penelitian ini kami melakukan penelitian teoritik untuk mengetahui
bagaimana pembentukan momen magnet pada half-Heusler alloy dengan mengambil
contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb Kami membuat
model hamiltonian tight-binding ditambah suku-suku interaksi yaitu interaksi interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d yang kemudian
diselesaikan dengan menggunakan pendekatan medan rata-rata (mean field) Hasilnya
diperoleh nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb
dan NiMnSb pada model kami masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861
Kata Kunci Half-Heusler Mean Field Momen Magnet Slater-Pauling Tight-Binding
vi
ABSTRACT
Heusler alloys are large family of magnetic intermetallics found since the beginning of the
20th century Many Heusler alloys are predicted to have half-metal properties so that they
have the potential to be applied in spintronic fields There is a simple rule for predicting
the value of Heuslerrsquos magnetic moment known as the Slater-Pauling rule Based on these
rules the value of the magnetic moment per unit formula for half-Heusler is (Nvalence electron
-18)120583119861 This rule is considered too simplified because it only involves the number of
valence electrons in the calculation of magnetic moments Therefore in this study we
propose to do a theoretical study to understand the formation of magnetic moments of half-
Heusler alloys by taking Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb as cases We construct
a tight-binding model and incorporating interaction terms Hubbards repulsive interaction
and spin-spin interactions for electrons occupying the d-orbitals then treat them within the
mean-field approximation The results show that the magnetic moment per unit formula for
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb in our models is 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 and
399 120583119861 respectively
Keywords Half-Heusler Magnetic Moment Mean Field Slater-Pauling Tight-Binding
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
vi
ABSTRACT
Heusler alloys are large family of magnetic intermetallics found since the beginning of the
20th century Many Heusler alloys are predicted to have half-metal properties so that they
have the potential to be applied in spintronic fields There is a simple rule for predicting
the value of Heuslerrsquos magnetic moment known as the Slater-Pauling rule Based on these
rules the value of the magnetic moment per unit formula for half-Heusler is (Nvalence electron
-18)120583119861 This rule is considered too simplified because it only involves the number of
valence electrons in the calculation of magnetic moments Therefore in this study we
propose to do a theoretical study to understand the formation of magnetic moments of half-
Heusler alloys by taking Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb as cases We construct
a tight-binding model and incorporating interaction terms Hubbards repulsive interaction
and spin-spin interactions for electrons occupying the d-orbitals then treat them within the
mean-field approximation The results show that the magnetic moment per unit formula for
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb and NiMnSb in our models is 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 and
399 120583119861 respectively
Keywords Half-Heusler Magnetic Moment Mean Field Slater-Pauling Tight-Binding
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
vii
KATA PENGANTAR
Puji serta syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu
wa Tarsquoala karena atas kehendak-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul ldquoPerhitungan Momen Magnet Half-Heusler Alloy XMnSb (X= Mn Fe
Co dan Ni) dengan Pendekatan Tight-Bindingrdquo Tak lupa penulis selalu memohon
kepada Allah Subhanahu wa Tarsquoala agar shalawat serta salam selalu tercurah
kepada Rasulullah Muhammad Shallallahu lsquoalaihi wa Sallam yang hidupnya
dihabiskan dengan perjuangan dan dakwah karena kecintaannya pada umatnya
Dalam kegiatan penelitian tugas akhir maupun penyusunan skripsi ini penulis
banyak sekali mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak Pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-
besarnya kepada
1 Kedua orang tua tersayang tiada hal yang dapat membalas semua jasa yang
telah kalian berikan selama ini
2 Ibu Prof Dr Lily Surayya Eka Putri M Env Stud selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
3 Ibu Dr Sitti Ahmiarti Saptari MSi selaku Kepala Program Studi Fisika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta
4 Bapak Edi Sanjaya M Si selaku pembimbing pertama yang telah banyak
membantu saya sejak praktek kerja lapangan (PKL) hingga skripsi
5 Bapak Muhammad Aziz Majidi PhD selaku pembimbing kedua yang telah
membawa saya ke dunia condensed matter physics
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
viii
6 Bapak Anugrah Azhar MSi selaku pembimbing lapangan yang telah
memberikan banyak waktu bantuan dan bimbingan kepada penulis dalam
penelitian ini
7 Lembaga Ilmu Pengetahuan Indonesia (LIPI) Hasil komputasi yang
dilaporkan dalam dokumen ini diperoleh dengan menggunakan fasilitas
HPC LIPI
8 Seluruh teman-teman program studi Fisika khususnya angkatan 2015
Terimakasih atas kebersamaannya selama 4 tahun ini
9 Seluruh teman-teman forum angkatan az-Zukhruf Komda FST LDK
Syahid saya bersyukur bisa mengenal kalian
10 Seluruh teman-teman komunitas Kuliah Literasi dan Turats (KULTURA)
dan Gerakan Mahasiswa Pembebasan UIN Jakarta Dari kalianlah saya
belajar arti perjuangan yang sesungguhnya
11 Seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu
Penulis menyadari penyusunan skripsi ini mengandung banyak kekurangan
karenanya penulis mengharap kritik dan saran yang membangun dari pembaca
Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat baik bagi pembaca dan khususnya
bagi penulis
Jakarta Agustus 2019
Penulis
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
ix
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PERSETUJUAN PEMBIMBING ii
LEMBAR PENGESAHAN UJIAN iii
LEMBAR PERNYATAAN iv
ABSTRAK v
ABSTRACT vi
KATA PENGANTAR vii
DAFTAR ISI ix
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
DAFTAR LAMPIRAN xiii
BAB I PENDAHULUAN 1
11 Latar Belakang Masalah 1
12 Perumusan Masalah 5
13 Batasan Masalah 5
14 Tujuan Penelitian 5
15 Manfaat Penelitian 6
16 Sistematika Penulisan 6
BAB II DASAR TEORI 8
21 Heusler Alloy 8
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni) 12
23 Momen Magnet 13
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy 13
25 Many Body Problem dan Second Quantization 15
26 Pendekatan Tight-Binding 16
27 Mean Field Theory 17
28 Fungsi Green 18
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika 19
282 Fungsi Green sebagai Propagator 21
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum 21
29 Interaksi-interaksi 22
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
x
291 Interaksi Repulsif Hubbard 22
292 Interaksi Heisenberg-like 24
BAB III METODE PENELITIAN 27
31 Model Hamiltonian 27
32 Algoritma Mean-Field Theory 30
33 Self-Energy Looping 30
34 Konstanta Interaksi 31
35 Perhitungan Fisis 32
351 Densitas Keadaan 32
352 Potensial Kimia 34
353 Momen Magnet 36
36 Teknik Komputasi 36
37 Diagram Alir 37
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 38
41 Parameter Input 38
42 Konstanta Interaksi 40
43 Densitas Keadaan 42
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi 42
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi 45
44 Momen Magnet 46
BAB V PENUTUP 50
51 Kesimpulan 50
52 Penutup 50
DAFTAR PUSTAKA 52
LAMPIRAN 57
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
xi
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan 9
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler 9
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler 10
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy 11
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal 18
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian 37
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan 43
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi 44
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi 45
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva
Slater Pauling 47
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
xii
DAFTAR TABEL
halaman
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb 29
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb 29
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb 29
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb 29
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital 32
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan 38
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan 39
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV) 41
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV) 41
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV) 41
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV) 42
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT 57
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet 66
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
1
BAB I
PENDAHULUAN
11 Latar Belakang Masalah
Perkembangan teknologi terutama dengan ditemukannya berbagai
peralatan elektronik telah banyak membantu kehidupan manusia Penggunaan
teknologi berbasis elektronik telah merambah dalam setiap sektor kehidupan dan
digunakan mulai dari ruang lingkup yang paling kecil yaitu kehidupan rumah
tangga hingga skala global misalnya pada korporasi-korporasi multinasional
Kehadiran berbagai perangkat elektronik bahkan telah banyak mempengaruhi pola
hidup masyarakat Di satu sisi masyarakat sangat terbantu terutama dalam hal
informasi dan komunikasi Namun di sisi lain terjadi ketergantungan terhadap
teknologi yang menyebabkan munculnya pola bepikir instan pada masyarakat
Laju perkembangan teknologi dapat dikatakan berlangsung dengan sangat
cepat sebagai contoh pada perkembangan media penyimpanan data (data storage)
USB flash disk komersil pertama yang dikeluarkan oleh IBM pada tahun 2000
hanya mempunyai kapasitas penyimpanan 8 MB [1] Pada tahun 2017 Kingston
digital mengeluarkan USB flash disk dengan ukuran 2 TB [2] Artinya dengan
selang 17 tahun terjadi peningkatan kapasitas sebesar 250000 kali Laju
perkembangan yang begitu cepat juga terjadi di berbagai perangkat elektronik
lainnya seperti smartphone Tidak berlebihan jika fenomena ini disebut sebagai
revolusi
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
2
Dapat dikatakan bahwa revolusi elektronik ditandai dengan penemuan
transistor pada tahun 1947 oleh John Bardeen Walter Brattain dan William
Shockley menggantikan tabung hampa udara (vacuum tube) sebagai komponen
elektronika yang telah ditemukan sejak awal abad ke-20 Dengan fungsi yang sama
seperti vacuum tube transistor yang memiliki ukuran jauh lebih kecil dan lebih
ringan penggunaan daya yang jauh lebih rendah serta biaya produksi yang murah
sehingga dapat diproduksi massal membuat penelitian dan pengembangan
teknologi berbasis elektronik menjadi semakin pesat sejak saat itu Dengan waktu
yang cukup singkat yaitu kurang dari seabad sejak ditemukannya transistor tak
terhitung berapa banyak peralatan elektronik yang telah diproduksi dalam berbagai
bidang dan mengubah dunia menjadi era digital
Perkembangan teknologi elektronik ini masih akan terus berlanjut terlebih
dengan munculnya bidang penelitian baru bernama spintronik (spintronics) yang
merupakan singkatan dari spin based electronics atau elektronik berbasis spin
Elektronik merupakan teknologi yang memanfaatkan sifat elektron yaitu
muatannya Secara sederhana setiap peralatan elektronik bekerja dengan prinsip
dasar bagaimana cara untuk mengontrol aliran elektron Teknologi spintronik tidak
hanya memanfaatkan muatan elektron melainkan memanfaatkan lebih jauh salah
satu karakteristik dasar elektron yaitu spin yang merupakan momentum angular
intrinsik dari elektron Spin hanya mempunyai dua arah terhadap medan magnet
yaitu parallel (up) dan anti-parallel (down)
Sebenarnya teknologi yang memanfaatkan spin elektron telah ada dan
dikenal luas yaitu pada read-head hard disk yang merupakan dua lapisan
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
3
ferromagnetik CoFeB yang dipisahkan oleh lapisan tipis insulator MgO
Pembacaan data pada hard disk memanfaatkan efek tunneling magnetoresistance
(TMR) yaitu dengan mengukur besar resistansi atau hambatan pada read-head
yang bergantung pada arah magnetisasi relatif dari dua lapisan ferromagnetik
Hanya saja untuk pengembangan kedepannya akan sulit untuk terus-menerus
meminiaturisasi hard disk dalam rangka meningkatkan densitas penyimpanannya
karena disebabkan oleh batas resistansi yang besar dari lapisan pemisahnya yang
berupa insulator Masalah ini dapat diselesaikan dengan kembali pada teknologi
read-head sebelumnya yang menggunakan lapisan logam non-magnetik sebagai
pemisah dua lapisan ferromagnetik Pada teknologi tersebut efek yang terjadi
adalah giant magnetoresistance (GMR) Efek GMR jauh lebih kecil daripada TMR
sehingga penggunaan lapisan insulator lebih menjanjikan untuk aplikasi read-head
Namun efek GMR dapat ditingkatkan dengan syarat dibutuhkannya material
dengan polarisasi spin yang besar idealnya 100 Salah satu material dengan
potensi tersebut adalah Heusler alloy [3] Selain berperan dalam media
penyimpanan data Heusler alloy juga berpotensi dimanfaatkan pada piranti
spintronik lain sebagai media pembawa dan pemrosesan informasi yang
memanfaatkan spin elektron
Heusler alloy telah dikenal sejak awal abad ke-20 dan telah menarik minat
para peneliti hingga saat ini Selain memiliki potensi untuk diaplikasikan pada
bidang spintronik dengan sifat-sifat yang dimilikinya Heusler alloy juga berpotensi
untuk diaplikasikan pada sederet bidang lainnya seperti topological insulator
material shape-memory dan termoelektrik [4]
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
4
Nilai momen magnet Heusler alloy dapat diprediksi dengan aturan Slater-
Pauling Untuk half-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -18)120583119861 dan
untuk full-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -24)120583119861 [5] Sedangkan
untuk inverse-Heusler nilai momen magnet m = (Nelektron valensi -28)120583119861 [6] Aturan
ini dianggap terlalu sederhana karena hanya memandang momen magnet sebagai
fungsi dari elektron valensi Pada beberapa kasus bahkan telah diketahui bahwa
nilai momen magnet Heusler alloy secara eksperimen melenceng dari aturan Slater-
Pauling Misalnya pada Fe2CuAl berdasarkan aturan Slater-Pauling nilai momen
magnetnya harusnya bernilai 2 120583119861 namun secara eksperimen diperoleh nilai sebesar
33 120583119861 [7] Artinya aturan ini tidak bisa digunakan secara mutlak untuk
memprediksi nilai momen magnet semua sistem Heusler alloy Oleh karena itu
diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui bagaimana momen magnet
pada Heusler alloy terbentuk dalam ranah mikroskopik dengan melakukan
pemodelan dan simulasi Penulis melakukan penelitian teoritik terhadap half-
Heusler alloy dengan mengambil contoh kasus pada material Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb Penulis memodelkannya menggunakan pendekatan tight-
binding yang melibatkan suku-suku interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan
interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-
like Kemudian digunakan pendekatan teori medan rata-rata (mean-field theory)
pada kedua suku interaksi tersebut
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
5
12 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas maka yang menjadi permasalahan pada
penelitian ini adalah bagaimana menghitung nilai momen magnet half-Heusler
alloy dengan pendekatan tight-binding dengan mengambil studi kasus pada material
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
13 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah
1 Jenis interaksi yang ikut menentukan nilai perhitungan hanyalah interaksi
repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron yang menempati orbital d
atau interaksi Heisenberg-like interaksi selainnya diabaikan
2 Studi kasus hanya dilakukan pada material Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb yang menurut aturan Slater-Pauling mempunyai nilai momen magnet
masing-masing 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
14 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah
1 Membuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-Heusler alloy
dengan pendekatan tight-binding
2 Menghitung nilai momen magnet Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
berdasarkan algoritma yang telah dibuat
3 Membandingkan nilai momen magnet hasil perhitungan dengan nilai momen
magnet menurut aturan Slater-Pauling dan penelitian-penelitian terkait
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
6
15 Manfaat Penelitian
Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah
1 Menambah pengetahuan mahasiswa dan pembaca yang tertarik dengan bidang
Condensed Matter Physics dan fisika komputasi
2 Sebagai tambahan informasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya yang
berkaitan dengan Heusler alloy
16 Sistematika Penulisan
Penelitian ini disusun dari BAB I hingga BAB V dengan uraian sebagai
berikut
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi latar belakang masalah perumusan masalah batasan masalah
tujuan penelitian manfaat penelitian dan sistematika penulisan
BAB II DASAR TEORI
Bab ini berisi penjelasan singkat mengenai teori-teori yang terkait dengan
penelitian ini yaitu Heusler alloy beserta sistem yang dipilih pada penelitian
ini momen magnet pendekatan tight-binding dan teori medan rata-rata fungsi
Green dan interaksi-interaksi pada sistem
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini berisi metode yang digunakan dalam penelitian mulai dari waktu dan
tempat penelitian model hamiltonian sistem algoritma medan rata-rata dan self
energy looping perhitungan Density of States (DOS) potensial kimia dan
momen magnet serta metode komputasi yang digunakan
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
7
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dari penelitian berupa parameter-parameter input yang
digunakan profil Density of States (DOS) dan nilai perhitungan momen
magnet beserta analisisnya
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini berisi kesimpulan dari hasil dan pembahasan dari penelitian ini serta
saran-saran untuk penelitian terkait
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
8
BAB II
DASAR TEORI
21 Heusler Alloy
Material logam sejak dahulu kala telah dimanfaatkan oleh manusia untuk
membantu kehidupan sehari-hari Tembaga dan perunggu bahkan telah
dimanfaatkan sejak ribuan tahun sebelum masehi Dalam perkembangannya telah
ditemukan banyak paduan logam baru dengan berbagai kelas misalnya Heusler
alloy Heusler alloy pertama kali ditemukan oleh Fritz Heusler pada tahun 1903
dimana dia meneliti Cu2MnAl dan mendapati alloy tersebut bersifat ferromagnetik
meskipun tidak ada satupun unsur penyusunnya yang bersifat magnetik Meskipun
unsur-unsur penyusunnya bersifat non-magnetik tetapi ketika menjadi sebuah alloy
dengan struktur L21 susunan magnetik alloy tersebut menjadi ferromagnetik
Heusler alloy merupakan kelompok intermetallic yang sangat besar karena
terdiri dari 1500 anggota dengan karakteristik yang luas dan unik Contoh Heusler
alloy lain misalnya TiNiSn yang bersifat semikonduktor meskipun ketiga unsur
penyusunnya merupakan logam Heusler alloy adalah intermetallic dengan
komposisi stoikiometri XYZ (half-Heusler) maupun X2YZ (full-Heusler) dan
tergolong dalam kelompok kisi face centered cubic (fcc) X dan Y pada XYZ
maupun X2YZ adalah logam transisi sedangkan Z biasanya adalah unsur golongan
utama namun dalam beberapa kasus Y dapat diganti dengan logam tanah jarang
maupun logam alkali [4]
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
9
Gambar 21 Tabel periodik yang menunjukkan kombinasi Heusler alloy yang
memungkinkan [8]
Umumnya struktur Heusler alloy dapat diketahui dari rumus umumnya
Untuk half-Heusler biasanya mempunyai struktur kristal C1b sedangkan full-
Heusler mempunyai struktur kristal L21 [4]
Gambar 22 Struktur kristal full-Heusler dan half-Heusler [9]
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
10
Selain half-Heusler dan full-Heusler terdapat dua tipe Heusler alloy lagi
yaitu inverse-Heusler dan quaternary-Heusler Istilah ldquoinverserdquo pada inverse-
Heusler merujuk pada posisi atom X kedua dan atom Y yang terbalik Jika pada
struktur full-Heusler urutan atomnya adalah X-X-Y-Z pada inverse-Heusler
urutannya menjadi X-Y-X-Z Hal ini menyebabkan jumlah elektron valensi atom X
lebih sedikit dari atom Y Struktur ini sering disebut dengan struktur XA atau Xα
Contoh material inverse-Heusler adalah Hg2TiCu Mn2CoGa Mn2CoSn dan
Mn2NiSb Terdapat juga Cr2CoGa yang sangat menarik untuk diteliti karena
merupakan semikonduktor dengan temperatur Curie yang mencapai 1000 K [10]
Gambar 23 Perbandingan struktur inverse-Heusler dan full-Heusler [4]
Jika pada tiga jenis sebelumnya hanya terdapat tiga jenis unsur yang
menyusun Heusler alloy pada quaternary-Heusler terdapat empat unsur penyusun
Quaternary-Heusler mempunyai struktur L21 seperti full-Heusler hanya saja posisi
atom X kedua diganti dengan unsur logam transisi lain sehingga rumusnya menjadi
XXrsquoYZ Contoh materialnya adalah LiMgPdSn dan CoFeMnSi
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
11
Jumlah material yang sangat banyak dengan sifat-sifat yang luas dan unik
menjadikan potensi yang dimiliki Heusler alloy sangatlah luas Untuk Heusler alloy
dengan sifat half-metal dan magnetoresistansi aplikasi dalam bidang spintronik
tentu menjadi tujuan utama Namun Heusler alloy juga menyimpan potensi untuk
diaplikasikan dalam bidang-bidang lain Contohnya Ni2MnGa merupakan salah
satu material yang sangat intensif dikaji untuk material shape memory alloy
Kemudian Pd2RESn (RE = Rare Earth atau logam tanah jarang) telah dikaji sifat
superkonduktornya sejak tahun 1982 Terdapat juga TiNiSn dan TiCoSb yang
dikaji sifat termoelektriknya [4]
Gambar 24 Skematika gambaran potensi yang dimiliki Heusler alloy [4]
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
12
22 XMnSb (X = Mn Fe Co dan Ni)
Secara stoikiometri XMnSb merupakan bagian dari half-Heusler alloy
dengan struktur kristal C1b dan grup ruang F-43m Mangan (Mn) Ferum (Fe)
kobalt (Co) dan nikel (Ni) merupakan unsur logam transisi sedangkan antimon (Sb)
merupakan unsur golongan utama (VA) Menurut aturan Slater-Pauling nilai
momen magnet half-Heusler dapat dihitung dengan perhitungan sederhana m =
(Nelektron valensi -18)120583119861 Jumlah elektron valensi Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan
NiMnSb masing-masing adalah 19 20 21 dan 22 sehingga masing-masing
memiliki momen magnet 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4 120583119861
Dari keempat half-Heusler tersebut NiMnSb merupakan yang paling stabil
secara eksperimental kemudian dengan momen magnetnya yang cukup tinggi
menjadikannya salah satu half-Heusler yang paling populer diteliti NiMnSb
merupakan bagian dari kelompok material Half-Metallic Ferromagnet (HMF) dan
memiliki temperatur Curie yang cukup tinggi yaitu 730 K [11] HMF ideal
memiliki polarisasi spin elektron konduksi 100 dikarenakan terdapatnya celah
(gap) pada fermi level pita energi spin minoritas (minority-spin band) Karakteristik
ini menarik perhatian banyak peneliti karena potensial untuk dimanfaatkan sebagai
piranti spintronik Jika ingin diaplikasikan dalam bidang spintronik sebuah
material setidaknya harus memiliki empat karakteristik yaitu polarisasi spinnya
tinggi momen magnet per unit sel yang besar temperatur Curie yang tinggi dan
redaman Gilbert yang rendah[12] Semua syarat tersebut dipenuhi oleh NiMnSb
Dalam eksperimen NiMnSb biasanya dipreparasi dengan metode arc-melting [13]
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
13
23 Momen Magnet
Momen magnet adalah besar kuat dan arah sebuah magnet maupun objek
lain yang menghasilkan medan magnet seperti elektromagnet partikel elementer
hingga benda-benda langit seperti planet dan bintang Momen magnet sebuah objek
merupakan torsi objek tersebut ketika berada di bawah pengaruh medan magnet
eksternal Meskipun berada di bawah pengaruh medan magnet yang sama sebuah
objek dengan momen magnet yang lebih besar akan menghasilkan torsi yang lebih
besar Torsi ini tentunya tidak hanya bergantung pada besar nilai momen magnet
namun juga arahnya relatif terhadap medan magnet yang diberikan
Dalam sebuah material satuan momen magnet paling fundamental adalah
bohr magneton (120583119861) yang merupakan momen magnet elektron yang disebabkan
oleh momentum sudutnya Bohr magneton didefinisikan sebagai
120583119861 =119890ℏ
2119898119890
(21)
Dimana ℏ merupakan momentum sudut elektron dan 1198902119898119890 merupakan konstanta
gyromagnetik Bohr magneton (120583119861) bernilai 9274 times 10minus24 Am2 [14]
24 Momen Magnet pada Heusler Alloy
Terdapat sebuah aturan sederhana yang dapat digunakan untuk menghitung
nilai momen magnet pada Heusler alloy yang dikenal sebagai aturan Slater-Pauling
Aturan ini disebut sederhana karena hanya melibatkan jumlah elektron valensi
dalam perhitungan momen magnet Pada awalnya Slater dan Pauling hanya
merumuskan hubungan elektron valensi dan momen magnet untuk unsur-unsur 3d
beserta beberapa paduannya Momen magnet unsur dan paduan tersebut dapat
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
14
ditentukan berdasarkan jumlah rata-rata elektron valensi per atomnya Aturan
tersebut kemudian diperluas untuk unsur dan paduan lain termasuk Heusler alloy
[15]
Nilai momen magnet per atom (dalam 120583119861) merupakan selisih antara jumlah
elektron dengan spin mayoritas (spin up) 119873uarr dan jumlah elektron dengan spin
minoritas (spin down) 119873darr [10]
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr (22)
Jika atom tersebut netral jumlah 119873uarr dan 119873darr merupakan elektron valensi atom
tersebut
119885119905 = 119873uarr +119873darr (23)
Pers (22) dan (23) dapat digabungkan untuk mendapatkan hubungan antara
momen magnet 119872119905 dan elektron valensi 119885119905
119872119905 = 119873uarr minus 119873darr + 119873uarr +119873darr minus (119873uarr + 119873darr)
= 119873uarr + 119873darr + 119873uarr minus 119873uarr minus119873darr minus 119873darr
= 119873uarr + 119873darr minus 2119873darr
= 119885119905 minus 2119873darr
(24)
Untuk half-heusler dengan formula XYZ 9 pita energi untuk spin minoritas terisi
penuh atau dengan kata lain rata-rata setiap atom memberikan kontribusi 3
elektron sehingga nilai momen magnetnya menjadi [4] [10]
119872119905 = 119885119905 minus 18 (25)
Sedangkan untuk full-heusler dengan jumlah 4 atom per formula unit nilai momen
magnetnya menjadi
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
15
119872119905 = 119885119905 minus 24 (26)
Dan untuk inverse-heusler nilai momen magnetnya adalah [6]
119872119905 = 119885119905 minus 28 (27)
25 Many Body Problem dan Second Quantization
Dalam Condensed Matter Physics (CMP) yang menjadi fokus kajiannya
adalah atom elektron dan interaksi-interaksi yang terjadi di dalamnya Tidak
seperti fisika partikel treatment kuantum yang digunakan dalam CMP adalah
mekanika kuantum non-relativistik Meski terlihat lebih sederhana namun karena
jumlah partikel yang berinteraksi sangatlah banyak yaitu dalam orde 1023 (orde
bilangan Avogadro) maka perlu pendekatan khusus agar dapat menyelesaikan
problem-problem dalam CMP Pendekatan yang biasa digunakan adalah
pendekatan sistem banyak benda (many body problem)
Formulasi standar yang digunakan dalam sistem many body adalah bentuk
kuantisasi kedua (second quantization) Pada teori medan kuantum kuantisasi
merupakan proses perubahan cara pandang fenomena-fenomena fisika secara klasik
menuju cara pandang kuantum Kuantisasi pertama (first quantization) merupakan
cara pandang semi-klasik Partikel (materi) ditinjau sebagai fungsi gelombang
sedangkan lingkungannya (misalnya medan elektromagnetik) tetap dipandang
secara klasik Pada second quantization selain mengkuantisasi materi medan
elektromagnetik pun dikuantisasi [16] Keduanya dipandang dalam bentuk medan
kuantum Sebuah partikel misalnya elektron dianggap sebagai eksitasi dari medan
tersebut [17]
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
16
Sebagai sebuah partikel elektron juga mempunyai sifat sebagai gelombang
sehingga keadaannya dapat direpresentasikan oleh fungsi gelombang Dalam kasus
partikel tunggal dengan menggunakan persamaan diferensial orde dua akan
diperoleh solusi dari persamaan schrodinger hamiltoniannya Namun karena
terdapat banyak elektron dalam sistem many body diperlukan cara pandang lain
Fungsi gelombang dapat direpresentasikan oleh operator kuantum persamaan
diferensialnya dapat diselesaikan melalui fungsi Green dan hamiltonian sistem
dapat dimodelkan dengan Tight-Binding
Dengan bentuk second quantization yang juga sering disebut occupation
number representation akan digunakan sepasang operator kreasi dan anihilasi yang
berperan sebagai pencipta dan pemusnah partikel Kedua operator ini pertama kali
diperkenalkan oleh Paul Dirac pada tahun 1927 [16]
26 Pendekatan Tight-Binding
Salah satu penerapan second quantization adalah pada hamiltonian Tight-
Binding yang biasa digunakan dalam CMP [17] Model Tight-Binding sendiri telah
eksis selama bertahun-tahun sebagai pendekatan untuk mendeskripsikan struktur
elektronik pada molekul dan padatan juga sering digunakan sebagai model dasar
pada model-model permasalahan many body misalnya model Hubbard dan model
impuritas Anderson Dalam makalahnya yang berisi prosedur sistematis dalam
merumuskan model Tight-Binding Slater dan Koster juga menggunakan istilah
metode ldquoBlochrdquo disamping Tight-Binding [18]
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
17
Asumsi yang digunakan dalam pendekatan ini adalah elektron-elektron
terikat kuat pada inti atomnya masing-masing hanya berpindah apabila kehilangan
sejumlah energi dan hanya mempuyai interaksi yang terbatas dengan potensial
disekitar atomnya Secara umum hamiltonian Tight-Binding dalam bentuk second
quantization dapat ditulis sebagai berikut [17]
119867 =sum(minus119905119894119895)119894dagger119895
119894119895
(28)
119905119894119895 merupakan parameter hopping dari site i ke site j sedangkan 119894dagger dan 119895 masing-masing
merupakan operator yang mengkreasi partikel di site i dan menghilangkan partikel di site
j persamaan (28) dapat diturunkan dalam bentuk ruang momentum dan dispersi
energi menjadi sebagai berikut
119867 =sum119864 dagger
(29)
dimana 119864 merupakan dispersi energi
119864 = minus120572 minus 119905sum119890119894 119899119899
119899119899
(210)
120572 merupakan energi on-site pada setiap basis dan 120575 119899119899 merupakan vektor translasi untuk
tetangga terdekat (nearest neighbor)
27 Mean Field Theory
Teori medan rata-rata (Mean field theory) merupakan metode yang
digunakan untuk mengerjakan permasalahan banyak benda (many body problem)
dalam condensed matter physics (CMP) Teori medan rata-rata juga dikembangkan
pada bidang fisika lain seperti fisika nuklir dan partikel misalnya penggunaan
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
18
metode relativistic mean field (RMF) pada penelitian bintang neutron [19]
Interaksi-interaksi yang terjadi pada sistem many body sangatlah banyak sehingga
sulit diselesaikan secara analitik Ide dasar teori ini adalah mereduksi permasalahan
many body tersebut menjadi permasalahan one body yang dipengaruhi oleh medan
rata-rata Semua interaksi yang terjadi diantara sekian banyak partikel diganti
menjadi interaksi efektif yang bekerja pada satu partikel yang disebut medan rata-
rata atau molecular field Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Weiss ketika
membahas peristiwa feromagnetisme dan hingga saat ini terus digunakan secara
luas dalam CMP [20]
Pendekatan mean field pada kristal dapat diilustrasikan pada gambar berikut
Gambar 25 Ilustrasi pendekatan mean field pada kristal [21]
28 Fungsi Green
Fungsi Green (Greenrsquos Function) pertama kali diperkenalkan oleh seorang
matematikawan Inggris George Green pada makalahnya ldquo An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and
Magnetismrdquo pada tahun 1828 [17] Fungsi Green dikenal sebagai metode
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
19
matematika yang sangat efektif dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Operator diferensial direduksi sehingga persamaannya dapat diselesaikan dengan
cara yang lebih mudah [22] Fungsi Green seringkali digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan-permasalahan fisika misalnya dalam kasus banyak
benda (many body problem) pada condensed matter physics maupun fenomena
hamburan pada fisika partikel
281 Fungsi Green sebagai Tools Matematika
Tinjau persamaan operator berikut ini
ℒ119906(119909) = 119865(119909) (211)
dimana ℒ adalah operator diferensial linier 119865(119909) merupakan fungsi yang diketahui
fungsi tak homogen dan sering disebut sebagai source term sedangkan fungsi 119906(119909)
merupakan fungsi yang ingin dicari sekaligus menjadi solusi dari persamaan
tersebut
Solusi 119906(119909) terdiri dari solusi komplementer 1199060(119909) dan solusi partikular
119906119901(119909)
119906(119909) = 1199060(119909) + 119906119901(119909) (212)
1199060(119909) merupakan solusi pers (211) yang memenuhi syarat berikut
ℒ119906(119909) = 0 (213)
dengan mensubstitusi pers (212) dan (213) ke dalam pers (211) diperoleh
ℒ[1199060(119909) + 119906119901(119909)] = 119865(119909)
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
20
ℒ1199060(119909)⏟ 0
+ ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
ℒ119906119901(119909) = 119865(119909)
(214)
Definisikan fungsi Green 119866(119909 119909prime) untuk persamaan operator ini sebagai fungsi
yang memenuhi hubungan berikut
ℒ119866(119909 119909prime) = 120575(119909 minus 119909prime)
(215)
dengan 120575(119909 minus 119909prime) merupakan fungsi delta Dirac Dengan sifat fungsi delta Dirac
pada pers (215) solusi partikular dapat diperoleh dengan persamaan berikut
119906119901(119909) = int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
(216)
Secara fisis pers (216) dapat diartikan bahwa fungsi Green 119866(119909 119909prime) menunjukkan
kontribusi source term yang terletak di titik 119909rsquo terhadap solusi partikular di titik 119909
Oleh karena itu fungsi Green seringkali dikenal sebagai respon impuls dari sebuah
sistem
Pers (216) dapat dibuktikan dengan pembuktian terbalik dengan
mensubstitusi pers (216) ke dalam pers (215)
ℒ119906119901(119909) = ℒ [int 119866(119909 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
]
= int ℒ119866(119909 119909prime)⏟ 120575(119909minus119909prime)
119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= int 120575(119909 minus 119909prime)119865(119909prime)d119909primeinfin
infin
= 119865(119909)
(217)
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
21
282 Fungsi Green sebagai Propagator
Salah satu cara untuk menyelesaikan permasalahan pada mekanika kuantum
adalah dengan mengoperasikan fungsi gelombang dengan operator kuantum Cara
lain adalah dengan menggunakan propagator Propagator merupakan fungsi yang
menentukan amplitudo probabilitas sebuah partikel untuk pindah dari suatu titik
spasial pada suatu waktu menuju titik lain pada waktu lain [17] Jika dimensi waktu
dimasukkan ke dalam fungsi Green maka fungsi tersebut tidak hanya bertindak
sebagai respon impuls dari sebuah sistem namun juga dapat menjadi propagator
dari sistem tersebut karena membawa informasi probabilitas sistem dari posisi 119903 prime
pada waktu 119905rsquo ke posisi lain 119903 pada waktu 119905
283 Fungsi Green pada Mekanika Kuantum
Pada mekanika kuantum hubungan fungsi Green untuk satu partikel
[1198660( 120596)] dan persamaan schrodinger untuk Hamiltonian dalam bentuk matriks
[119867( )] dapat ditulis sebagai berikut [23]
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 + 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(218)
1198660119860( 120596) = lim
120578rarr0+[(120596 minus 119894120578) minus [1198670( )]]
minus1
(219)
Atau dalam bentuk matriks dapat ditulis menjadi
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1 (220)
[1198660119860( 120596)] =[(120596 minus 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(221)
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
22
Dengan [1198660119877( 120596)] dan [1198660
119860( 120596)] adalah fungsi Green bare karena sistem
dipandang sebagai sistem non-interacting (tanpa melibatkan suku interaksi)
[119866119877( 120596)] merupakan fungsi Green Retarded sedangkan [119866119860( 120596)] merupakan
fungsi Green Advanced Pada penelitian ini yang digunakan adalah fungsi Green
Retarded untuk mengikuti kaidah kausalitas Untuk waktu 119905 lt 0 nilai 119866119877 akan
bernilai nol [17]
Ketika sistem dipandang sebagai sistem interacting maka ditambahkan
suku interaksi yang direpresentasikan oleh self-energy [Σ] Sesuai dengan
persamaan Dyson [24] maka pers (220) menjadi
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [119867119896119894119899( )] minus [sum]]minus1
(222)
dimana (120596 + 119894120578) merupakan domain frekuensi riil dengan 120596 merupakan nilai
frekuensi riil dan 120578 merupakan bilangan positif yang bernilai sangat kecil
(mendekati nol) [119868] merupakan matriks identitas Mengikuti natural unit ħ
bernilai satu [119867119896119894119899( )] menyatakan bagian kinetik hamiltonian dan [Σ] merupakan
self-energy yang mewakili suku interaksi
29 Interaksi-interaksi
Dalam penelitian ini terdapat dua macam interaksi yang diperhitungkan
yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like
291 Interaksi Repulsif Hubbard
Model Hubbard merupakan model Tight-Binding yang ditambahkan suku
interaksi repulsif Hubbard yaitu interaksi antar elektron pada orbital dan atom
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
23
yang sama Suku Tight-Binding merupakan bagian kinetik hamiltonian sistem
sedangkan suku Hubbard merupakan bagian potensial hamiltonian sistem Suku
interaksi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut [17]
ℋ119867119906119887119887119886119903119889 = 119880sum119899119894uarr119899119894darr119894
(223)
dengan 119880 merupakan parameter Hubbard sedangkan 119899119894uarr dan 119899119894darr merupakan
bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down pada orbital i
Melalui pendekatan mean field 119899119894uarr dan 119899119894darr dapat dijabarkan sebagai
berikut
119899119894uarr = lang119899119894uarrrang + (119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
= lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr
(224)
119899119894darr = lang119899119894darrrang + (119899119894darr minus lang119899119894darrrang)
= lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr
(225)
sehingga 119899119894uarr119899119894darr menjadi
119899119894uarr119899119894darr = (lang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr)(lang119899119894darrrang + 120575119899119894darr)
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang120575119899119894darr + lang119899119894darrrang120575119899119894uarr + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang(119899119894darr minus lang119899119894darrrang) + lang119899119894darrrang(119899119894uarr minus lang119899119894uarrrang)
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894uarrrang119899119894darr minus lang119899119894uarrranglang119899119894darrrang + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
+120575119899119894uarr120575119899119894darr
= lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang + 120575119899119894uarr120575119899119894darr
(226)
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
24
Nilai suku terakhir pada pers (226) dianggap sangat kecil sehingga diperoleh
hubungan berikut
119899119894uarr119899119894darr asymp lang119899119894uarrrang119899119894darr + lang119899119894darrrang119899119894uarr minus lang119899119894darrranglang119899119894uarrrang
(227)
292 Interaksi Heisenberg-like
Model Heisenberg telah dikenal luas untuk menjelaskan interaksi yang
terjadi antara spin orbital dan spin ion [20] Pada interaksi Heisenberg-like kedua
spin yang berinteraksi adalah spin orbital yaitu spin antar orbital-d Suku interaksi
ini dapat dituliskan sebagai berikut
ℋ119867119890119894119904119890119899119887119890119903119892minus119897119894119896119890 = minus119869sum119904 120572 119904 120573120572120573
(228)
dengan 119869 merupakan konstanta kopling Hund atau konstansta pertukaran
(exchange) sedangkan 119904 120572 dan 119904 120573 merupakan spin orbital 120572 dan 120573
Hubungan 119904 120572 dan 119904 120573 dapat ditulis sebagai berikut
119904 120572 119904 120573 = 119904119909120572 119904119909120573 + 119904119910120572 119904119910120573 + 119904119911120572 119904119911120573 (229)
dengan penjabaran masing-masing komponen sebagai berikut
119904119909(119910119911) =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger)120590119909(119910119911) (119886uarr119886darr) (230)
120590119909 = (0 11 0
) 120590119910 = (0 minus119894119894 0
) 120590119911 = (1 00 minus1
) (231)
Pada penelitian ini dipilih sumbu-z sebagai arah spin
119904119911 =ℏ
2(119886uarrdagger 119886darr
dagger) (1 00 minus1
) (119886uarr119886darr) (232)
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
25
=ℏ
2(119886uarrdagger minus119886darr
dagger) (119886uarr119886darr)
=ℏ
2(119886uarrdagger119886uarr minus 119886darr
dagger119886darr)
Sehingga pers (229) dapat ditulis ulang sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119886120572uarrdagger 119886120572uarr minus 119886120572darr
dagger 119886120572darr)(119886120573uarrdagger 119886120573uarr minus 119886120573darr
dagger 119886120573darr)
(233)
operator kreasi 119886uarrdagger dan anihilasi 119886uarr dapat ditulis dalam bentuk bilangan okupasi
119886uarrdagger119886uarr = 119899uarr Kemudian dengan menerapkan pendekatan mean field pers (234)
dapat dijabarkan menjadi sebagai berikut
119904120572 119904120573 = (ℏ
2)2
(119899120572uarr minus 119899120572darr)(119899120573uarr minus 119899120573darr)
= (ℏ
2)2
(119899120572uarr119899120573uarr minus 119899120572uarr119899120573darr minus 119899120572darr119899120573uarr + 119899120572darr119899120573darr)
= (ℏ
2)2
[119899120572uarrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
minus(119899120572uarrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang)
minus(119899120572darrlang119899120573uarrrang + 119899120573uarrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang)
+(119899120572darrlang119899120573darrrang + 119899120573darrlang119899120572darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang)]
= (ℏ
2)2
[119899120573uarrlang119899120572uarrrang minus 119899120573darrlang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+119899120573darrlang119899120572darrrang minus 119899120573uarrlang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+119899120572uarrlang119899120573uarrrang minus 119899120572darrlang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+119899120572darrlang119899120573darrrang minus 119899120572uarrlang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
26
=1
4[(119899120573uarr minus 119899120573darr)lang119899120572uarrrang minus lang119899120572uarrranglang119899120573uarrrang
+(119899120573darr minus 119899120573uarr)lang119899120572darrrang + lang119899120572uarrranglang119899120573darrrang
+(119899120572uarr minus 119899120572darr)lang119899120573uarrrang + lang119899120572darrranglang119899120573uarrrang
+(119899120572darr minus 119899120572uarr)lang119899120573darrrang minus lang119899120572darrranglang119899120573darrrang]
(235)
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
27
BAB III
METODE PENELITIAN
31 Model Hamiltonian
Hamiltonian sistem pada penelitian ini dapat dimodelkan sebagai berikut
ℋ = ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 +ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 (31)
dengan bagian non-interacting merupakan suku kinetik sistem
ℋ119899119900119899minus119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 =sum119886 dagger[ℋ0( )]119886
(32)
sedangkan bagian interacting merupakan suku-suku interaksi yang terdiri dari
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like
ℋ119894119899119905119890119903119886119888119905119894119899119892 = 119880 sum 119899120577120574120572uarr119899120577120574120572darr120577120574120572
minus 119869 sum 119904 120577120574120572 119904 120577120574120573120577120574120572120573
(33)
pada pers (32) 119886 dagger dan 119886119896 merupakan operator kreasi dan anihilasi sedangkan
ℋ0( ) merupakan matriks hamiltonian yang terdiri dari dua matriks dengan spin
yang berbeda
ℋ0( ) = [[ℋ0( )uarr] 0
0 [ℋ0( )darr]]
(34)
dimana elemen matriksnya merupakan bagian dari pendekatan Tight-Binding
sebagai berikut
ℋ0 119894119895( ) = 120598119894120575119894119895 +sum(minus119905119894119895)119890minus119894 119894119895
119894119895
(35)
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
28
dengan 120598119894 merupakan energi on-site pada setiap basis orbital 120575119894119895 merupakan delta
kronecker 119905119894119895 merupakan parameter hopping antar orbital i dan j dan 119894119895
merupakan vektor translasi tetangga basis orbital Pada penelitian ini nilai 120598119894 dan
119905119894119895 diperoleh dari perhitungan Density Functional Theory (DFT)
Pada penelitian ini orbital yang dipilih sebagai basis perhitungan tight-
binding adalah orbital valensi sistem yang berjumlah 24 orbital setiap sistemnya
Oleh karena itu matriks [ℋ0( )uarr(darr)] dan [ℋ0( )] masing-masing merupakan
matriks berukuran 24 times 24 dan 48 times 48
Pada pers (33) indeks 120577 dan 120574 masing-masing menunjukkan unit sel dan
atom yang mempunyai orbital d sedangkan 120572 dan 120573 menunjukkan komponen
orbital d Suku pertama merupakan interaksi repulsif Hubbard antar elektron yang
menempati orbital d yang sama pada atom dan unit sel yang sama 119880 merupakan
parameter Hubbard 119899120577120574120572uarr(darr) merupakan bilangan okupasi elektron masing-
masing untuk spin up dan spin down Suku kedua merupakan interaksi antar spin
elektron yang menempati komponen orbital d yang berbeda pada atom dan unit sel
yang sama 119869 merupakan konstanta kopling Hund 119904 120577120574120572(120573) merupakan spin
elektron masing-masing untuk komponen orbital yang berbeda
Orbital yang dijadikan basis state untuk setiap sistem ditunjukkan pada
tabel-tabel berikut
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
29
Tabel 31 Basis orbital untuk sistem Mn2Sb
|119872119899(1) minus 3119904⟩ |119872119899(1) minus 4119904⟩ |119872119899(1) minus 3119901119909⟩ |119872119899(1) minus 3119901119910⟩
|119872119899(1) minus 3119901119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119910⟩ |119872119899(1) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(1) minus 3119889119910119911⟩
|119872119899(1) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(1) minus 31198891199112⟩ |119872119899(2) minus 3119904⟩ |119872119899(2) minus 4119904⟩
|119872119899(2) minus 3119901119909⟩ |119872119899(2) minus 3119901119910⟩ |119872119899(2) minus 3119901119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119909119910⟩
|119872119899(2) minus 3119889119909119911⟩ |119872119899(2) minus 3119889119910119911⟩ |119872119899(2) minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899(2) minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 32 Basis orbital untuk sistem FeMnSb
|119865119890 minus 3119904⟩ |119865119890 minus 4119904⟩ |119865119890 minus 3119901119909⟩ |119865119890 minus 3119901119910⟩ |119865119890 minus 3119901119911⟩
|119865119890 minus 3119889119909119910⟩ |119865119890 minus 3119889119909119911⟩ |119865119890 minus 3119889119910119911⟩ |119865119890 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119865119890 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 33 Basis orbital untuk sistem CoMnSb
|119862119900 minus 3119904⟩ |119862119900 minus 4119904⟩ |119862119900 minus 3119901119909⟩ |119862119900 minus 3119901119910⟩ |119862119900 minus 3119901119911⟩
|119862119900 minus 3119889119909119910⟩ |119862119900 minus 3119889119909119911⟩ |119862119900 minus 3119889119910119911⟩ |119862119900 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119862119900 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
Tabel 34 Basis orbital untuk sistem NiMnSb
|119873119894 minus 3119904⟩ |119873119894 minus 4119904⟩ |119873119894 minus 3119901119909⟩ |119873119894 minus 3119901119910⟩ |119873119894 minus 3119901119911⟩
|119873119894 minus 3119889119909119910⟩ |119873119894 minus 3119889119909119911⟩ |119873119894 minus 3119889119910119911⟩ |119873119894 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119873119894 minus 31198891199112⟩
|119872119899 minus 3119904⟩ |119872119899 minus 4119904⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119909⟩ |119872119899 minus 3119901119911⟩
|119872119899 minus 3119889119909119910⟩ |119872119899 minus 3119889119909119911⟩ |119872119899 minus 3119889119910119911⟩ |119872119899 minus 31198891199092minus1199102⟩ |119872119899 minus 31198891199112⟩
|119878119887 minus 5119904⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119909⟩ |119878119887 minus 5119901119911⟩
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
30
32 Algoritma Mean-Field Theory
Perhitungan dimulai dengan mendefinisikan fungsi Green retarded yang
berbentuk bare dimana bagian interaksinya tidak dikutsertakan
[1198660119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )]]
minus1
(36)
persamaan diatas hanya mengakomodir hamiltonian tight-binding sistem Bagian
interaksi repulsif Hubbard dan interaksi spin-spin Heisenberg-like akan
direpserentasikan oleh self-energy [sum] Pada pendekatan mean-field self-energy
direduksi sehingga tidak lagi bergantung kepada dan 120596
[119866119877( 120596)] = [(120596 + 119894120578)[119868] minus [1198670( )] minus [sum]]minus1
(37)
fungsi Green [119866119877( 120596)] jika dirata-ratakan terhadap akan menjadi fungsi Green
rata-rata sebagai berikut
[119866119877 (120596) ] =1
119873sum[119866119877 ( 120596)]
119873
(38)
33 Self-Energy Looping
Self-energy [sum] berbentuk matriks berukuran 48 times 48 (sesuai dengan
hamiltonian tight-binding) dan bergantung pada nilai bilangan okupasi elektron
pada orbital d Pada tahap komputasi nilai [sum] diperoleh dengan menebak nilai
bilangan okupasi pada setiap orbital d yang menyebabkan sistem tidak lagi dalam
keadaan setimbang Setelah terjadi proses perhitungan [sum] yang diperoleh dari
perhitungan tersebut akan dibandingkan dengan self-energy tebakan awal Jika
selisih keduanya memenuhi batas toleransi maka sistem telah konvergen sehingga
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
31
perhitungan selesai Namun jika selisihnya masih di atas batas toleransi maka
perhitungan akan diulang dengan mengkalikan self-energy dengan parameter
mixing 120572 kemudian dijumlahkan dengan self-energy tebakan sebelumnya hasilnya
akan digunakan sebagai self-energy tebakan yang baru Proses ini akan terus
diulang hingga sistem konvergen
[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119887119886119903119906 = 120572[sum]119901119890119903ℎ119894119905119906119899119892119886119899 + (1 minus 120572)[sum]119905119890119887119886119896119886119899 119886119908119886119897
(39)
34 Konstanta Interaksi
Sesuai jenis interaksi yang diikutsertakan terdapat dua jenis konstanta
interaksi yang terdapat dalam perhitungan yaitu parameter Hubbard 119880 dan
konstanta kopling Hund 119869 Nilai 119880 dan 119869 merupakan fungsi dari parameter Racah
yaitu tiga buah parameter yang diperkenalkan oleh Giulio Racah untuk menjelaskan
interaksi tolak-menolak antar elektron pada kompleks logam Nilai parameter
Racah A B dan C bergantung pada jenis atom logam beserta keadaan oksidasinya
[25] Parameter Hubbard 119880 atau yang juga sering disebut dengan elemen Coulomb
intra-orbital bernilai sama untuk setiap orbital 3d yaitu sebagai berikut [26]
119880 = 119860 + 4119861 + 3119862
(310)
sedangkan nilai konstanta kopling Hund 119869 atau yang juga sering disebut dengan
konstanta tukar (exchange) inter-orbital bergantung pada elemen orbital yang
berinteraksi Nilai 119869 berdasarkan orbital yang berinteraksi ditampilkan pada tabel
berikut
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
32
Tabel 35 Nilai konstanta kopling Hund 119869 berdasarkan interaksi antar orbital [26]
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119862 4119861 + 119862
119910119911 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 3119861 + 119862 119861 + 119862
119911119909 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 3119861 + 119862 119861 + 119862
1199092 minus 1199102 119862 3119861 + 119862 3119861 + 119862 0 4119861 + 119862
1199112 4119861 + 119862 119861 + 119862 119861 + 119862 4119861 + 119862 0
Nilai A pada persamaan (310) dapat diabaikan karena nilainya yang benar-
benar mirip untuk setiap logam [27] Selain itu Racah parameter yang diperoleh
dari data-data eksperimen spektral atom mengikuti teori Tanabe-Sugano-
Kamimura Pada teori ini A diabaikan karena nilainya yang sangat jauh berbeda
dengan nilai B dan C [28]
35 Perhitungan Fisis
Setelah diperoleh nilai self-energy yang konvergen dapat dilakukan
perhitungan densitas keadaan posisi potensial kimia dan nilai momen magnet
sistem
351 Densitas Keadaan
Densitas keadaan atau Density of States (DOS) merupakan banyaknya
keadaan (state) per interval energi dari sistem Jika pada tingkat energi tertentu
didapati nilai DOS yang tinggi artinya terdapat banyak keadaan pada tingkat energi
tersebut Jika pada suatu tingkatan energi DOS bernilai nol artinya tidak ada
keadaan yang memenuhi solusi Hamiltonian sistem pada tingkat energi tersebut
DOS dapat menunjukkan apakah sebuah sistem memiliki celah energi (band gap)
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
33
atau tidak Dengan demikian dapat diketahui sifat sebuah material apakah
konduktor isolator atau semikonduktor dengan melihat letak potensial kimia relatif
terhadap celah energi pada DOS-nya
DOS sistem dapat diperoleh dengan merata-ratakan state yang
diperbolehkan untuk setiap titik pada unit sel
119863119874119878(120596) =1
119873sum120575 (120596 minus 120598( ))
(311)
dimana 120575 (120596 minus 120598( )) dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Lorentz sebagai berikut
120575 (120596 minus 120598( )) =1
120587lim120578rarr0+
120578
(120596 minus 120598( ))2
+ 1205782
(312)
Kita tuliskan kembali fungsi Green retarded tanpa suku interaksi dimana 120598( ) pada
penelitian ini direpresentasikan oleh hamiltonian tight binding [1198670( )] kemudian
merasionalkan penyebutnya
1198660119877( 120596) = lim
120578rarr0+
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578times120596 minus [1198670( )] + 119894120578
120596 minus [1198670( )] + 119894120578
=120596 minus [1198670( )]
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
times 119894minus120578
(120596 minus [1198670( )])2+ 1205782
(313)
terlihat bahwa pers (312) merupakan bagian imajiner dari pers (313) sehingga pers
(312) dapat ditulis kembali sebagai berikut
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
34
120575 (120596 minus 120598( )) = minus1
120587lim120578rarr0+
Im(1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(314)
substitusi pers (314) ke pers (311) diperoleh
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873sum lim
120578rarr0+Im (
1
120596 minus [1198670( )] + 119894120578)
(315)
atau dapat ditulis dalam bentuk fungsi Green
119863119874119878(120596) = minus1
120587
1
119873 Imsum1198660
119877( 120596)
(316)
Pers (316) merupakan DOS untuk bagian non-interacting Untuk bagian
interacting fungsi Green 1198660119877( 120596) diganti dengan fungsi Green yang telah
mengandung self-energy (119866119877( 120596)) Kemudian dengan menggunakan definisi
fungsi Green rata-rata pada pers (38) pers (316) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im 119866119877 (120596) (317)
Untuk fungsi Green dalam bentuk matriks dengan banyak basis state perlu
dilakukan operasi trace sehingga pers (317) dapat ditulis menjadi
119863119874119878(120596) = minus1
120587Im Tr [119866119877 (120596) ]
(318)
352 Potensial Kimia
Potensial kimia merupakan besaran statistik yang sangat penting untuk
mengetahui struktur elektronik sebuah sistem Jika letak potensial kimia berada
pada celah energi (band gap) maka sistem tersebut merupakan isolator ataupun
semikonduktor Namun jika terdapat keadaan (state) pada potensial kimia maka
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
35
sistem tersebut adalah konduktor Elektron pada kristal memenuhi dua aturan dasar
Pertama setiap keadaan (state) hanya bisa diisi oleh satu elektron Kedua elektron
lebih menyukai untuk mengisi tingkat energi terendah yang tersedia Pada
temperatur nol mutlak potensial kimia sama dengan energi fermi yaitu energi pada
orbital terluar yang diisi oleh elektron pada temperatur 0 K [29] Keadaan-keadaan
energi dibawah potensial kimia terisi penuh oleh elektron dan sebaliknya tidak
terdapat elektron pada keadaan-keadaan energi di atas potensial kimia
Integrasi dari DOS adalah jumlah seluruh keadaan (state) Karena elektron
merupakan partikel fermion yang memenuhi fungsi distribusi Fermi-Dirac untuk
memenuhi keadaan yang diizinkan pada sistem DOS perlu dikalikan dengan fungsi
distribusi Fermi-Dirac terlebih dahulu sebelum dilakukannya proses integrasi Nilai
potensial kimia 120583 berhubungan dengan lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang yang merupakan jumlah pengisian
elektron pada sistem berdasarkan distribusi fermion lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang pada Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb berturut-turut adalah 35 36 37 dan 38
119871(120583) = lang119899119891119894119897119897119894119899119892rang minus int 119889120596 119863119874119878(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(319)
dengan 119891(120596 120583 119879) merupakan fungsi distribusi Fermi-Dirac sebagai berikut
119891(120596 120583 119879) =1
ℏ120596 minus 120583119896119879
+ 1
(320)
Potensial kimia 120583 merupakan akar dari fungsi 119871(120583) Jika nilai variabel-
variabel lainnya diketahui maka nilai 120583 dapat dicari Terdapat berbagai metode
pencarian akar secar numerik misalnya metode bagi dua (bisection) metode posisi
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
36
palsu (false position) dan metode Newton Raphson Metode yang digunakan pada
penelitian ini adalah metode bisection
353 Momen Magnet
Untuk menghitung nilai momen magnet perlu dicari nilai lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
yaitu bilangan okupasi elektron untuk spin up dan spin down per unit sel dengan
persamaan berikut
lang119899uarr(darr)rang = int 119889120596 119863119874119878uarr(darr)(120596)119891(120596 120583 119879)infin
minusinfin
(321)
Nilai momen magnet per unit sel merupakan selisih dari lang119899uarrrang dan lang119899darrrang
119898 = (lang119899uarrrang minus lang119899darrrang)120583119861
(322)
36 Teknik Komputasi
Semua pekerjaan komputasi pada penelitian ini dilakukan menggunakan
komputer dengan OS Ubuntu Pencarian parameter Tight-Binding dilakukan
dengan perhitungan Density Fumctional Theory (DFT) melalui package Quantum
Espresso dan Wannier90 Algoritma Mean-Field Theory ditulis dalam bahasa
FORTRAN 90 dan di-compile menggunakan gfortran yang merupakan bagian dari
GNU Compiler Collection (GCC) Digunakan juga Linear Algebra Package
(LAPACK) untuk keperluan operasi invers pada matriks berordo besar Untuk
menghemat waktu komputasi digunakan teknik Message Passing Interface (MPI)
menggunakan openMPI Proses compile dan running program dilakukan di
komputer cluster High Performance Computing (HPC) milik Pusat Penelitian
Informatika (P2I) LIPI
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
37
37 Diagram Alir
Secara garis besar alur penelitian ini dapat ditunjukkan dari diagram alir
berikut
Gambar 31 Diagram Alir Penelitian
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
38
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
41 Parameter Input
Penelitian ini menggunakan beberapa parameter input yaitu parameter fisis
parameter numerik dan parameter lingkungan Parameter fisis merupakan
parameter intrinsik yang terdapat pada masing-masing material yang dijadikan
model penelitian yaitu parameter kisi (a) dan total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892)
untuk setiap sistem serta serta parameter racah B dan C atom X dan Y pada formula
half-Heusler XYZ
Tabel 41 Daftar parameter fisis sistem yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Sistem
Mn2Sb FeMnSb CoMnSb NiMnSb
Parameter kisi a 601 Å 584 Å 582 Å 591 Å
Total pengisian elektron 119899119891119894119897119897119894119899119892 35 36 37 38
Tabel 42 Daftar parameter fisis atom yang digunakan pada perhitungan
Parameter Fisis Simbol Atom
Mn Fe Co Ni
Parameter Racah B B 012 eV 0126 eV 0132 eV 0138 eV
Parameter Racah C C 0552 eV 0595 0635 eV 0676 eV
Sistem kristal half-Heusler adalah kubik sehingga parameter kisi a b dan
c bernilai sama Nilai parameter kisi penelitian ini diperoleh dari Heusler Alloy
Database [30] Total pengisian elektron (119899119891119894119897119897119894119899119892) merupakan total elektron valensi
sistem Pada tabel periodik mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan Nikel
merupakan unsur golongan transisi yang terletak pada blok d sehingga elektron
pada sub-kulit d dan sub kulit s terluar merupakan elektron valensi yaitu sub kulit
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
39
3d dan 4s Pada penelitian ini sub-kulit 3s dan 3p digolongkan ke dalam elektron
valensi karena dianggap mempunyai kontribusi pada pembentukan momen magnet
sistem mengikuti pseudopotensial yang digunakan dalam perhitungan DFT [31]
Unsur antimon (Sb) merupakan unsur golongan utama yang terletak pada blok p
sehingga elektron valensinya adalah elektron pada sub-kulit p dan sub-kulit s
terluar yaitu sub-kulit 5s dan 5p Terakhir nilai parameter Racah B dan C diperoleh
dari penelitian Tanabe dan Sugano [32]
Parameter numerik merupakan parameter-parameter yang digunakan dalam
algoritma mean-field yang meliputi jumlah iterasi maksimum jumlah frekuensi riil
Frekuensi minimum dan maksimum jumlah titik di ruang momentum ( -points)
dan parameter broadening
Tabel 43 Daftar parameter numerik yang digunakan pada perhitungan
Parameter Numerik Simbol Nilai
Jumlah iterasi maksimum 2000
Jumlah frekuensi riil 119873120596 6001
Frekuensi minimum 120596119898119894119899 -100 eV
Frekuensi maksimum 120596119898119886119909 25 eV
Jumlah -points 119873119896 1728
Parameter broadening 120578 005
Jumlah iterasi yang diizinkan pada perhitungan adalah 2000 iterasi Jika
sistem tidak dapat konvergen setelah 2000 iterasi perhitungan dihentikan dan
dianggap tidak dapat mencapai kesetimbangan Pada penelitian ini sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing mencapai status konvergen pada
iterasi ke-24 ke-25 ke-23 dan ke-15 dengan waktu komputasi masing-masing
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
40
selama 24 menit 44 detik 25 menit 37 detik 23 menit 45 detik dan 16 menit 7
detik
Jumlah frekuensi riil yang akan dimasukkan pada grafik DOS adalah 6001
titik dimulai dari -100 eV hingga 25 eV -points yang digunakan adalah
12times12times12 untuk masing-masing arah sumbu x y dan z sehingga totalnya
berjumlah 1728 titik Terakhir parameter broadening merupakan besaran imajiner
yang berfungsi untuk menghubungkan nilai DOS pada masing-masing titik
frekuensi sehingga menjadi kurva
Parameter terakhir adalah parameter lingkungan Hanya satu parameter
lingkungan yang diatur pada penelitian ini yaitu temperatur Dipilih temperatur
rendah yang sedikit lebih tinggi dari temperatur nol mutlak yaitu 5 K
42 Konstanta Interaksi
Interaksi yang diikutsertakan pada penelitian ini adalah interaksi repulsif
Hubbard dan interaksi Heisenberg-like Pada pemodelan terlihat bahwa terdapat
konstanta yang ikut menentukan kuat-lemahnya interaksi tersebut yaitu parameter
Hubbard 119880 dan konstanta kopling Hund 119869 Parameter Hubbard 119880 orbital 3d atom
mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel (Ni) masing-masing bernilai 2136
eV 2289 eV 2433 eV dan 258 eV Interaksi repulsif Hubbard merupakan
interaksi intra-orbital sehingga hanya terdapat satu jenis nilai 119880 untuk setiap orbital
3d sedangkan interaksi Heisenberg-like merupakan interaksi inter-orbital sehingga
nilai konstanta kopling Hund 119869 bergantung pada pasangan elemen orbital 3d yang
berinteraksi Nilai 119869 pada atom mangan (Mn) ferum (Fe) kobalt (Co) dan nikel
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
41
(Ni) untuk interaksi masing-masing elemen orbital 3d ditampilkan pada tabel-tabel
berikut
Tabel 44 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom mangan (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0912 0912 0552 1032
119910119911 0912 0 0912 0912 0672
119911119909 0912 0912 0 0912 0672
1199092 minus 1199102 0552 0912 0912 0 1032
1199112 1032 0672 0672 1032 0
Tabel 45 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom ferum (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 0973 0973 0595 1099
119910119911 0973 0 0973 0973 0721
119911119909 0973 0973 0 0973 0721
1199092 minus 1199102 0595 0973 0973 0 1099
1199112 1099 0721 0721 1099 0
Tabel 46 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom kobalt (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 1031 1031 0635 1163
119910119911 1031 0 1031 1031 0767
119911119909 1031 1031 0 1031 0767
1199092 minus 1199102 0635 1031 1031 0 1163
1199112 1163 0767 0767 1163 0
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
42
Tabel 47 konstanta kopling Hund 119869 orbital 3d atom nikel (dalam eV)
Orbital 3d 119909119910 119910119911 119911119909 1199092 minus 1199102 1199112
119909119910 0 109 109 0676 1228
119910119911 109 0 109 109 0814
119911119909 109 109 0 109 0814
1199092 minus 1199102 0676 109 109 0 1228
1199112 1228 0814 0814 1228 0
43 Densitas Keadaan
Pada bagian ini akan ditampilkan densitas keadaan atau Density of States
(DOS) untuk masing-masing sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb
dengan dua kondisi yaitu sistem tanpa interaksi dan sistem yang melibatkan
interaksi Densitas keadaan yang ditampilkan hanyalah dari frekuensi 0 eV ke atas
karena densitas keadaan dibawah frekuensi tersebut bersifat simetri untuk elektron
dengan spin up dan spin down baik untuk sistem tanpa interaksi maupun sistem
dengan interaksi
431 Densitas Keadaan Sistem Tanpa Interaksi
Sistem tanpa interaksi diperoleh dari perhitungan yang hanya melibatkan
hamiltonian tight-binding Sedangkan interaksi repulsif Hubbard dan interaksi
Heisenberg-like dinon-aktifkan Artinya nilai parameter Hubbard 119880 dan konstanta
kopling Hund 119869 bernilai nol Pada gambar 41 ditampilkan perbandingan densitas
keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil perhitungan DFT dengan pemodelan
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
43
Gambar 41 Perbandingan densitas keadaan sistem tanpa interaksi antara hasil
perhitungan DFT dengan pemodelan
Pada penelitian ini nilai parameter Tight-Binding diperoleh dari
perhitungan Density Functional Theory (DFT) sehingga meskipun pendekatannya
berbeda densitas keadaan DFT dan densitas keadaan sistem tanpa interaksi yang
henya melibatkan hamiltonian Tight-Binding harusnya sama Pada gambar diatas
jelas terlihat bahwa densitas keadaan hasil pemodelan untuk keempat sistem sangat
baik ketika dibandingkan dengan densitas keadaan hasil perhitungan DFT Artinya
tidak terdapat kesalahan pada algoritma yang telah disusun
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
44
Gambar 42 Densitas keadaan sistem tanpa interaksi
Pada gambar diatas densitas keadaan untuk spin up dan spin down dipisah
Untuk keempat sistem Mn2Sb FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb terlihat bahwa
densitas keadaannya bersifat simetri dengan potensial kimia masing-masing
bernilai 11333 eV 12937 eV 12917 eV dan 12062 eV Pada sistem tanpa
interaksi momen magnetnya bernilai nol karena bilangan okupasi elektron untuk
spin up dan spin down sama
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
45
432 Densitas Keadaan Sistem dengan Interaksi
Pada bagian ini ditampilkan densitas keadaan sistem dengan interaksi
Disamping hamiltonian tight-binding perhitungan juga mengikutsertakan
hamiltonian Hubbard dan Heisenberg-like
Gambar 43 Densitas keadaan sistem dengan interaksi
Pada gambar diatas terlihat bahwa densitas keadaan spin up dan spin down
keempat sistem tidak lagi simetri Potensial kimianya juga sedikit bergeser Untuk
sistem Mn2Sb 120583 bergeser dari 11333 eV ke 12895 Untuk sistem FeMnSb 120583
bergeser dari 12937 eV ke 14314 Untuk sistem CoMnSb 120583 bergeser dari 12917
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
46
eV ke 14292 eV Terakhir untuk sistem NiMnSb 120583 bergeser dari 12062 eV ke
13542
Sebuah material dapat diketahui sifatnya apakah isolator semikonduktor
maupun konduktor dengan melihat letak potensial kimianya Pada gambar 43
terlihat bahwa densitas keadaan keempat sistem untuk spin up dan spin down
berbeda Letak potensial kimia pembawa muatan minoritasnya (spin down) berada
pada celah energi (band gap) sedangkan letak potensial kimia pembawa muatan
mayoritasnya (spin up) berada pada pita energi Artinya keempat sistem tersebut
merupakan half-metal Ketika terdapat arus listrik yang mengalir melewati material
half-metal arus tersebut akan terfilter menjadi satu jenis spin saja menjadi arus
yang terpolarisasi
44 Momen Magnet
Pada sistem tanpa interaksi densitas keadaan untuk spin up dan spin down
bersifat simetri sehingga tidak terdapat perbedaan antara lang119899uarrrang dan lang119899darrrang yang
menjadikan momen magnetnya bernilai nol Namun ketika bagian interaksinya
diikutsertakan densitas keadaan sistem tidak lagi simetri sehingga terdapat
terbentuk momen magnet
Nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb FeMnSb
CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295 120583119861 dan 399
120583119861 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dan simulasi dengan kurva
aturan Slater-Pauling dapat dilihat pada gambar berikut
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
47
Gambar 44 Perbandingan nilai momen magnet hasil pemodelan dengan kurva Slater
Pauling
Terlihat jelas bahwa nilai momen magnet hasil pemodelan sangat cocok
dengan kurva Slater-Pauling Hasil ini dapat menjelaskan bagaimana mekanisme
pembentukan momen magnet yang diprediksi oleh aturan Slater-Pauling Momen
magnet tentunya tidak dapat terbentuk dengan sendirinya tanpa adanya interaksi-
interaksi tertentu Momen magnet tersebut terbentuk setidaknya dengan kontribusi
dua jenis interaksi yaitu interaksi repulsif Hubbard dan interaksi antar spin elektron
yang menempati orbital d atau interaksi Heisenberg-like
Momen magnet yang terbentuk berasosiasi dengan konstanta-konstanta
interaksi yang terdapat pada kedua jenis interaksi tersebut yaitu parameter Hubbard
119880 dan konstanta kopling Hund 119869 yang nilainya telah disebutkan pada pembahasan
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
48
sebelumnya Kedua konstanta ini sangatlah penting untuk menjelaskan bagaimana
nilai momen magnet tersebut diperoleh Seandainya 119880 dan 119869 bernilai nol maka
densitas keadaan elektron spin up dan spin down akan saling simetri sehingga tidak
ada momen magnet yang terbentuk
Sebagai pembanding kami juga melakukan perhitungan momen magnet
untuk nilai 119880 dan 119869 yang berbeda yaitu 01 kali 05 kali dan 14 kali dari nilai 119880
dan 119869 yang merupakan fungsi dari parameter Racah Untuk perhitungan 01 kali dan
05 kali interaksi yang terjadi terlalu lemah sehingga tidak dapat terbentuk momen
magnet yang mengikuti aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen Kemudian
untuk perhitungan 14 kali nilai momen magnetnya menjadi tidak stabil Hasil ini
menunjukkan bahwa terdapat syarat dibalik keberhasilan aturan Slater-Pauling
dalam memprediksi nilai momen magnet yaitu keberadaan interaksi-interaksi
tertentu dengan nilai konstanta-konstanta tertentu yang merepresentasikan kuat-
lemahnya interaksi tersebut Jika nilai 119880 dan 119869 bernilai sangat kecil atau sangat
besar nilai momen magnet yang terbentuk pun tentunya akan berbeda dengan
aturan Slater-Pauling maupun hasil eksperimen
Jika kita melihat pada penelitian teoritik lain misalnya berdasarkan
perhitungan DFT nilai momen magnet per unit formula untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 1 120583119861 2 120583119861 3 120583119861 dan 4
120583119861 [30] Nilai tersebut sama persis dengan aturan Slater-Pauling Nilai momen
magnet per unit formula untuk sistem FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb juga
diperoleh melalui metode full-potential screened Korringa-Kohn-Rostoker
(FSKKR) yaitu masing-masing sebesar 198 120583119861 296 120583119861 dan 396 120583119861 [10]
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
49
Pada tataran eksperimen Mn2Sb FeMnSb dan CoMnSb tidak dapat stabil
terbentuk sebagai half-Heusler dengan struktur C1b [33] Fasa tunggal Mn2Sb hanya
dapat terbentuk secara stabil di atas temperatur 700 degC [34] Pada temperatur kamar
fasa yang terbentuk adalah MnSb dengan menyisakan sedikit fasa Mn2Sb [35]
FeMnSb pun tidak dapat terbentuk secara eksperimen kecuali dengan penambahan
nikel [36] CoMnSb dapat terbentuk secara eksperimen dan diketahui memiliki
momen magnet sebesar 38 120583119861 Namun setelah diteliti lebih lanjut CoMnSb
tidaklah terbentuk sebagai half-Heusler Struktur CoMnSb tersebut merupakan
superstrukur alternatif Co2MnSb dan MnSb dengan grup ruang Fm3m [37]
Berbeda dengan tiga sistem tersebut NiMnSb dapat terbentuk secara stabil sebagai
half-Heusler dengan nilai momen magnet yang tidak jauh berbeda dari teori yaitu
385 120583119861 [38] Fakta tersebut menjadikan NiMnSb sebagai material yang intens
diteliti untuk diaplikasikan sebagai material spintronik
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
50
BAB V
PENUTUP
51 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut
1 Telah berhasil dibuat algoritma untuk menghitung nilai momen magnet half-
Heusler alloy dengan pendekatan tight-binding dalam kerangka mean-field
theory
2 Nilai momen magnet per unit formula hasil pemodelan untuk sistem Mn2Sb
FeMnSb CoMnSb dan NiMnSb masing-masing sebesar 091 120583119861 19 120583119861 295
120583119861 dan 399 120583119861
3 Momen magnet pada half-Heusler alloy dapat terbentuk setidaknya dengan
kontribusi interaksi repulsif Hubbard dan interaksi Heisenberg-like dengan nilai
konstanta 119880 dan 119869 tertentu yang merupakan fungsi dari parameter Racah
52 Penutup
Saran yang ingin penulis berikan untuk penelitian-penelitian selanjutnya
adalah sebagai berikut
1 Melakukan penelitian yang sama untuk tipe Heusler yang lain yaitu full-
Heusler inverse-Heusler dan quaternary-Heusler
2 Material half-Heusler pada penelitian ini dimodelkan dalam bentuk bulk Untuk
penelitian selanjutnya dapat mencoba bentuk lain seperti thin film ataupun
heterostructure
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
51
3 Melanjutkan penurunan rumus dan pembuatan algoritma untuk mencari nilai
kelajuan arus spin (spin current)
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
52
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ahafen ldquoHistory Of The Flash Driverdquo 2015 [Online] Available
httpswwwmediafastcomhistory-of-the-flash-drive [Accessed 09-Sep-
2018]
[2] I Kingston Digital ldquo2017 Flash Press Release Kingston Digital Doubles
Capacity for Worldrsquos Largest USB Flash Driverdquo 2017 [Online] Available
httpswwwkingstoncomuscompanypressarticle48472 [Accessed 09-
Sep-2018]
[3] M Jourdan ldquoRevival of Heusler compounds for spintronicsrdquo Biochem
Pharmacol vol 17 no 8 pp 362ndash363 2014
[4] T Graf C Felser and S S P Parkin ldquoProgress in Solid State Chemistry
Simple rules for the understanding of Heusler compoundsrdquo Prog Solid State
Chem vol 39 no 1 pp 1ndash50 2011
[5] C Felser S Parkin and L Mu Magnetic Heusler Compounds no
September 2014
[6] S Skaftouros K Oumlzdoǧan E Şaşioǧlu and I Galanakis ldquoGeneralized
Slater-Pauling rule for the inverse Heusler compoundsrdquo Phys Rev B -
Condens Matter Mater Phys vol 87 no 2 pp 1ndash5 2013
[7] T Gasi et al ldquoIron-based Heusler compounds Fe 2 Y Z Comparison with
theoretical predictions of the crystal structure and magnetic propertiesrdquo vol
064411 pp 1ndash12 2013
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
53
[8] Z Bai W D Corporation L Shen G Han and Y P Feng ldquoData Storage
Review of Heusler Compoundsrdquo no September 2014 2013
[9] Z Wen T Kubota T Yamamoto and K Takanashi ldquoFully epitaxial C 1 b
-type NiMnSb half-Heusler alloy films for current- perpendicular-to-plane
giant magnetoresistance devices with a Ag spacerrdquo Nat Publ Gr no
November pp 1ndash10 2015
[10] C Felser Heusler Alloys Properties Growth Applications Springer 2016
[11] F Wang T F Atilde K Maezawa and K Nishimura ldquoSynthesis and
Characterization of Single Crystal NiMnSbrdquo vol 025502
[12] A Hirohata M Kikuchi N Tezuka and K Inomata ldquoHeusler alloy
semiconductor hybrid structuresrdquo vol 10 pp 93ndash107 2006
[13] T Ryba Z Vargova S Ilkovic M Reiffers J Kravcak and R Gyepes
ldquoMagnetic and Structural Characterization of NiXSb ( X = Mn Cr ) Heusler
Ribbonrdquo vol 131 no 4 pp 857ndash859 2017
[14] A Fox Magnetism and Magnetic Materials by JMD Coey vol 52 2011
[15] J Kuumlbler First principle theory of metallic magnetism vol 127 1984
[16] K Helge ldquoQuantization (First Second)rdquo in Compendium of Quantum
Physics Springer 2009 pp 509ndash510
[17] T Lancaster and B Stephen Quantum field theory for the gifted amateur
Oxford Oxford University Press 2014
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
54
[18] A T Paxton An Introduction to the Tight Binding Approximation ndash
Implementation by Diagonalisation vol 42 2009
[19] L P Kadanoff ldquoMore is the Same Phase Transitions and Mean Field
Theoriesrdquo vol 177 pp 777ndash797 2009
[20] K Yoshida Theory of Magnetism Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996
[21] A Georges ldquoElectronic structure of strongly correlated materials with
Dynamical Mean-Field Theory Challenges and Perspectivesrdquo 2007
[22] G B Arfken Mathematical Methods for Physicists 6th ed Academic Press
2005
[23] F Alexander L and J D Walecka Quantum Theory of Many-Particle
System Dover Publication 2003
[24] J Toulouse ldquoIntroduction to many-body Green-function theoryrdquo pp 1ndash19
2015
[25] B W Pfennig Principles of inorganic chemistry Hoboken New Jersey
Wiley 2015
[26] A M Ole and L F Feiner ldquoFingerprints of spin-orbital physics in cubic
Mott insulators Magnetic exchange interactions and optical spectral
weightsrdquo pp 1ndash32 2005
[27] E Sarina ldquoTanabe-Sugano Diagramsrdquo 2017 [Online] Available
httpschemlibretextsorgBookshelvesInorganic_ChemistrySupplementa
l_Modules_(Inorganic_Chemistry)Crystal_Field_TheoryTanabe-
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
55
Sugano_Diagrams
[28] A Bouhelal and J P Albert ldquoIntracenter transitions of transition metal
impurities in IIndashVI semiconductorsrdquo Phys B Condens Matter vol 185 no
1 pp 255ndash258 1993
[29] C Kittel Introduction to solid state physics 5th ed 1976
[30] ldquoHeusler Databaserdquo [Online] Available
httpcspinumneduresourcesheusler_alloyshtml
[31] A D Corso ldquoPseudopotentials periodic table From H to Purdquo Comput
Mater Sci vol 95 pp 337ndash350 2014
[32] Y Tanabe and S Sugano ldquoOn the Absorption Spectra of Complex Ions IIrdquo
J Phys Soc Japan vol 9 no 5 pp 766ndash779 Sep 1954
[33] T Graf and C Felser ldquoHeusler Compounds at a Glancerdquo in Spintronics
From Materials to Devices Springer 2013
[34] N E Askheim and F Groslashnvold ldquoThe Mn2Sb phase composition and
thermodynamic properties in the range 298 to 1000 Krdquo J Chem
Thermodyn vol 1 no 2 pp 153ndash167 1969
[35] J H Wijngaard C Haas and R A de Groot ldquoFerrimagnetic-
antiferromagnetic phase transition in Mn2minusxCrxSb Electronic structure and
electrical and magnetic propertiesrdquo Phys Rev B vol 45 no 10 pp 5395ndash
5405 Mar 1992
[36] R A de Groot A M van der Kraan and K H J Buschow ldquoFeMnSb A
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
56
half-metallic ferrimagnetrdquo J Magn Magn Mater vol 61 no 3 pp 330ndash
336 1986
[37] V Ksenofontov et al ldquoStructure and properties of CoMnSb in the context
of half-metallic ferromagnetismrdquo pp 1ndash6 2006
[38] A Szytuła Ž Dimitrijević J Todorović A Kołodziejczyk J Szelag and
A Wanic ldquoAtomic and magnetic structure of the heusler alloys NiMnSb and
CoMnSbrdquo Phys status solidi vol 9 no 1 pp 97ndash103 Jan 1972
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
57
LAMPIRAN
Lampiran 1 File-file konfigurasi pada perhitungan DFT File Mn2Sbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = Mn2Sb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 601
B = 601
C = 601
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Mn1 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn2 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
58
File Mn2Sbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
fildos = Mn2Sbdos
Emin = -80
Emax = 25
Degauss = 0015
File Mn2Sbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Mn1 000 000 000
Mn2 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-3005 0000 3005
0000 3005 3005
-3005 3005 0000
end unit_cell_cart
begin projections
Mn1l=0r=3
Mn1l=1r=3
Mn1l=0r=4
Mn1l=2mr=53241r=3
Mn2l=0r=3
Mn2l=1r=3
Mn2l=0r=4
Mn2l=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
59
File Mn2Sbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = Mn2Sb
seedname = Mn2Sb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File FeMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = FeMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 584
B = 584
C = 584
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Fe 55845 Fepbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
60
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File FeMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = FeMnSb
fildos = FeMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File FeMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Fe 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-292 000 292
000 292 292
-292 292 000
end unit_cell_cart
begin projections
Fel=0r=3
Fel=1r=3
Fel=0r=4
Fel=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
61
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File FeMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = FeMnSb
seedname = FeMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File CoMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = CoMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 582
B = 582
C = 582
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
62
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Co 58933 Copbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File CoMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = CoMnSb
fildos = CoMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File CoMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Co 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-291 000 291
000 291 291
-291 291 000
end unit_cell_cart
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
63
begin projections
Col=0r=3
Col=1r=3
Col=0r=4
Col=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints File CoMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = CoMnSb
seedname = CoMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
File NiMnSbscfin ampCONTROL
calculation = scf
restart_mode = from_scratch
outdir = temp
wf_collect = true
pseudo_dir = homesyaifulDocumentsFINtb-parameter
prefix = NiMnSb
ampSYSTEM
ibrav = 2
A = 591
B = 591
C = 591
cosAC = 0
cosBC = 0
cosAC = 0
nat = 3
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
64
ntyp = 3
ecutwfc = 300
ecutrho = 3000
occupations = smearing
smearing = mv
degauss = 0005
nbnd = 24
ampELECTRONS
mixing_beta = 05
conv_thr = 10d-6
ATOMIC_SPECIES
Ni 58693 Nipbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Mn 54938 Mnpbe-spn-rrkjus_psl100UPF
Sb 121760 Sbpbe-n-rrkjus_psl100UPF
ATOMIC_POSITIONS crystal
Ni 000 000 000
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
K_POINTS crystal
216
File NiMnSbdosin ampDOS
outdir = temp
prefix = NiMnSb
fildos = NiMnSbdos
Emin = -80
Emax = 25
degauss = 0015
File NiMnSbwin num_wann = 24
num_bands = 24
num_iter = 2000
use_ws_distance = true
write_hr = true
wannier_plot = true
wannier_plot_supercell = 1 1 1
write_tb = true
begin atoms_frac
Ni 000 000 000
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
65
Mn 025 025 025
Sb 075 075 075
end atoms_frac
begin unit_cell_cart
-2955 000 2955
000 2955 2955
-2955 2955 000
end unit_cell_cart
begin projections
Nil=0r=3
Nil=1r=3
Nil=0r=4
Nil=2mr=53241r=3
Mnl=0r=3
Mnl=1r=3
Mnl=0r=4
Mnl=2mr=53241r=3
Sbl=0r=5
Sbl=1r=5
end projections
mp_grid 6 6 6
begin kpoints
File NiMnSbpw2wan ampinputpp
outdir = temp
prefix = NiMnSb
seedname = NiMnSb
spin_component = none
write_mmn = true
write_amn = true
write_unk = false
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
66
Lampiran 2 Input file perhitungan momen magnet Input file Mn2Sb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
012d0 rBX
0552d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
35D0 nfilling
601D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
Mn2Sb output
1D0 1D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f Input file FeMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0126d0 rBX
0595d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
36D0 nfilling
584D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
67
FeMnSb output
2D0 2D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file CoMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0132d0 rBX
0635d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
0552d0 rCY
37D0 nfilling
582D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
CoMnSb output
3D0 3D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
Input file NiMnSb 121212 NkxNkyNkz
005D0 ETA
6001 Nw
1D-4 tolerance
-100D025D0 wminwmax
48 nbasis
0d0 rAX
0138d0 rBX
0676d0 rCX
0d0 rAY
012d0 rBY
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
68
0552d0 rCY
38D0 nfilling
591D0 Lattice Constant
5D0 Temperature in Kelvin
09D0 alpha
2000 maximum number of iteration
5 tb parameter (0=for 000 1=for 111 3=for 333 and 5=forall)
NiMnSb output
4D0 4D0 spin1-upspin2-up
0D0 0D0 spin1-dnspin2-dn
110 nX_inX_f
1120 nY_inY_f
2124 nZ_inZ_f
610 Xd_iXd_f
1620 Yd_iYd_f
69
69