· Perieqìmena Euqarist—ec ii L—sta Eikìnwn vii L—sta Pin‹kwn x SÔsthma mon‹dwn kai sumb‹seic xi 1 Eisagwg€ stic MaÔrec TrÔpec 1 1.1 Klassik€ prosŁggish maÔrhc

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Κβαντική Πολυπλοκότητα

και Μαύρες Τρύπες

ΔΗΜΗΤΡΙΑΝΟΣ ΓΑΒΡΙΗΛ

Η Διπλωματική αυτή εργασία ήταν μέρος των απαιτήσεων

του Προπτυχιακού Προγράμματος Φυσικής

Επιβλέπων Καθηγητής : Δρ. Νικόλαος Τούμπας

Μάιος 2020

“One of the basic rules of the universe is that nothing is perfect. Perfection simplydoesn’t exist...Without imperfection, neither you nor I would exist.”

Stephen Hawking

i

Ευχαριστίες

Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον Δρ. Νικόλαο Τούμπα για την

καθοδήγησή του κατά την εκπόνηση της εργασίας αυτής. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω

το τμήμα φυσικής για την στήριξη μου στις μέχρι τώρα σπουδές μου καθώς και όλους τους

ανθρώπους που ήταν ήταν δίπλα μου και με στήριζαν.

ii

Περιεχόμενα

Ευχαριστίες ii

Λίστα Εικόνων vii

Λίστα Πινάκων x

Σύστημα μονάδων και συμβάσεις xi

1 Εισαγωγή στις Μαύρες Τρύπες 1

1.1 Κλασσική προσέγγιση μαύρης τρύπας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Μαύρη τρύπα Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Συντεταγμένες Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Συντεταγμένες Tortoise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.3 Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.4 Συντεταγμένες Rindler (Κοντά στον Ορίζοντα) . . . . . . . . . . . 6

1.2.5 Συντεταγμένες Kruskal-Szekeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Διαγράμματα Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Διάγραμμα Penrose του χωροχρόνου Minkowski . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας Schwarzschild . . . . . 15

1.4 Βαρυτική κατάρρευση σφαιρικού φλοιού φωτός . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Κβαντικές συλλογές και θερμικότητα του κενού 20

2.1 Τανυστικό γινόμενο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Πίνακας Πυκνότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Σύστημα δυο υποσυστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Εντροπία σύμπλεξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Εντροπία σύμπλεξης δύο υποσυστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 Σύστημα δυο φερμιονίων συνολικού σπιν 0 . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Συλλογή Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Θερμικότητα του κενού από την σκοπιά επιταχυνόμενου παρατηρητή . . . . 31

3 Θερμοδυναμική στις μαύρες τρύπες 36

iii

Περιεχόμενα iv

3.1 Ακτινοβολία Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Ακτινοβολία Hawking στη Γη; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Εντροπία μαύρης τρύπας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Χρόνος ζωής της μαύρης τρύπας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Εντροπία σύμπλεξης στο χωρόχρονο Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Ηλεκτρικά φορτισμένες μαύρες τρύπες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Πληροφορία στις μαύρες τρύπες και ολογραφία 46

4.1 Κβαντική πληροφορία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1.1 Κουτί με βόμβα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Παράδοξο πληροφορίας στην μαύρη τρύπα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Συμπληρωματικότητα στη μαύρη τρύπα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3.1 Θεώρημα της μη κλωνοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3.2 Παράδοξο κλωνοποίησης της πληροφορίας στις μαύρες τρύ-πες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Χωρόχρονος anti de Sitter (AdS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4.1 Ο χωρόχρονος AdS σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων . . . . . 58

4.4.2 Σύνορο του χωροχρόνου AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5 Πενταδιάστατος χωροχρόνος anti de Sitter - AdS5 . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5.1 Κίνηση άμαζων σωματιδίων προς το σύνορο . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.2 Κίνηση σωματιδίων με μη μηδενική μάζα . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Ολογραφία και αντιστοιχία AdS/CFT στην θεωρία χορδών . . . . . . . . . 65

4.6.1 Αρχή της ολογραφίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.6.2 Αντιστοιχία AdS/CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7 Χωρόχρονος AdS σε μη μηδενικές θερμοκρασίες . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.8 Μαύρες τρύπες Schwarzschild στον χωροχρόνο anti de Sitter . . . . . . . . 69

4.8.1 Διάγραμμα Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Κβαντική πολυπλοκότητα 73

5.1 Εισαγωγή στις κβαντικές πύλες και κβαντικά κυκλώματα . . . . . . . . . . . 73

5.1.1 Κβαντικές πύλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1.2 Κβαντικά κυκλώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.2.1 Αριθμός των κανονικοποιημένων καταστάσεων . . . . . . . . . . . . 76

5.2.2 Σχετική πολυπλοκότητα των κανονικοποιημένων

καταστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 Χώρος SU(2K) των μοναδιακών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3.1 Αριθμός των μοναδιακών τελεστών SU(2K) . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.2 Κίνηση στον χώρο των μοναδιακών τελεστών . . . . . . . . . . . . . 83

5.3.3 Σχετική πολυπλοκότητα μοναδιακών τελεστών . . . . . . . . . . . . 84

Περιεχόμενα v

5.4 Γραφήματα και κβαντικά κυκλώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4.1 Συγκρούσεις και βρόχοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.5 Κβαντική πολυπλοκότητα και θερμοδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6 Κβαντική πολυπλοκότητα στις μαύρες τρύπες 93

6.1 Σκουληκότρυπες (Γέφυρες Einstein-Rosen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.2 Αντιστοιχία CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.1 ΄Ογκος της σκουληκότρυπας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.2.2 Πολυπλοκότητα σε ένα κύκλωμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.3 Διαταραχές κβαντικού κυκλώματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.4 Διαταραχές στη γεωμετρία της μαύρης τρύπας . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.1 Μαύρη τρύπα BTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.2 Κύμα στη γεωμετρία BTZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.3 Γεωδαισιακές στη μαύρη τρύπα BTZ στη παρουσία shock wave . . . 109

6.4.4 Αστάθεια λευκών οπών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Συμπεράσματα 113

A Μαύρες τρύπες ως λύσεις των εξισώσεων του Einstein 115

A.1 Λύση Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

A.2 Reissner–Nordström μετρική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

B Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία πεδίου 120

B.1 Κλασσική θεωρία πεδίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B.1.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

B.1.2 Κλασσικές λύσεις στην εξίσωση Klein-Gordon . . . . . . . . . . . 122

B.2 Κβάντωση πεδίου Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

B.3 Κλασικά βαθμωτά πεδία σε καμπυλωμένους χωροχρόνους . . . . . . . . . . 127

B.3.1 Κλασικά βαθμωτά πεδία στη γεωμετρία Schwarzschild . . . . . . . . 127

B.3.2 Βαθμωτά πεδία στο χωροχρόνο Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . 130

B.4 Βαθμωτό πεδίο σε μη μηδενική θερμοκρασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

C Συναρτησιακά ολοκληρώματα Feynman 134

C.1 Συναρτησιακά ολοκληρώματα Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

C.2 Συναρτησιακά ολοκληρώματα Feynman στον Ευκλείδειο χώρο . . . . . . . . 139

C.3 Κατάσταση κενού ενός κβαντικού πεδίου μέσω Ευκλείδειου συναρτησιακούολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

D Μαθηματικά Εργαλεία 141

D.1 Θεωρία Ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Περιεχόμενα vi

D.1.1 Ομάδα Μοναδιακών Πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

D.1.2 Η ομάδα SU(2) ως σφαίρα S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

D.2 Μιγαδικός Προβολικός χώρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

D.3 ΄Ογκος Ν-διάστατης σφαίρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Βιβλιογραφία 146

Λίστα Γραφημάτων

1.2.1 Συντεταγμένες Rindler στο χωρόχρονο Minkowski. Ο παρατηρητής Rindlerακολουθεί την υπερβολική τροχιά ρ =σταθ. Οι φέτες ω=σταθ είναι χωροειδείς. 8

1.2.2 Μέγιστη γεωμετρία Schwarzschild στις συντεταγμένες Kruskal-Szekeres. Οχωροχρόνος διαμερίζεται σε 4 περιοχές με τον μελλοντικό και παρελθοντικόορίζοντα. Η περιοχή ΙΙ είναι μελανή. Η γεωμετρία δεν μπορεί να επεκταθείπέραν των υπερβολών T 2 − Z2 = ±

√GM , οι οποίες αποτελούν χωροειδείς

ανωμαλίες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Διάγραμμα Penrose του χωροχρόνου Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας Schwarzschild . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Αποκοπή του εσωτερικού τμήματος του σφαιρικού φλοιού στον χωροχρόνο

Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 Αποκοπή του εξωτερικού τμήματος του σφαιρικού φλοιού στη γεωμετρία

Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3 Διάγραμμα Penrose βαρυτικής κατάρρευσης σφαιρικού φλοιού φωτός . . . . . 19

2.2.1 Σύστημα δυο υποσυτημάτων A και B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Ευκλείδειος επίπεδος χώρος. Κβαντικά πεδία χωρίζονται αριστερά και δεξιάτου σημείου (0, 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Ευκλείδεια πολλαπλότητα μαύρης τρύπας. Ο Ευκλείδειος χρόνος συμπαγοποιεί-ται σε κύκλο με περίοδο 8πGM . Κάθε σημείο του σχήματος αντιστοιχεί σεμια σφαίρα S2

ακτίνας r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2 Ακτινοβολία Hawiking. ΄Ενα αντισωματίδιο (μπεζ κουκκίδα) πέφτει στηνμαύρη τρύπα ενώ ένα σωματιδιο (πράσινη κουκκίδα) διαφεύγει στο άπειρο.Σωματίδια και αντισωματίδια δημιουργούνται και εξαϋλώνονται συνεχώς. . . . 38

3.3.1 Συντεταγμένες Rindler στο χωρόχρονο Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Κουτί με βόμβα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.2 Θερμική εντροπία και εντροπία σύμπλεξης των συστημάτων Α και Β συναρτή-

σει του χρόνου. Ο χρόνος όπου ανακτούμε 1 bit πληροφορίας απεικονίζεταιως tinfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.3 Η πληροφορία I(A) συναρτήσει του χρόνου. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.1 Παράδοξο κλωνοποίησης της πληροφορίας στη γεωμετρία Schwarzschild. Οπαρατηρητής A ακολουθεί την μπλε κοσμική γραμμή ενώ ο παρατηρητής Bτην κόκκινη κοσμική γραμμή. Οι κυματιστές γραμμές αναπαριστούν την ακ-τινοβολία Hawking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vii

Λίστα Γραφημάτων viii

4.4.1 Ο χωρόχρονος AdS μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κύλινδρο απείρου μήκους. 60

4.7.1 Ο χωρόχρονος AdS στον Ευκλείδειο χώρο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.8.1 Διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας μιας μαύρης τρύπας στον χωρο-χρόνοAdS.Ο χωρόχρονος παρουσιάζει ένα σύνορο στην αριστερή ασυμπτωτικήπεριοχή (L) και ένα σύνορο στην δεξιά ασυμπτωτική περιοχή (R) . . . . . . . 72

5.1.1 Συμβολισμός single qubit πυλών σε ένα κβαντικό κύκλωμα . . . . . . . . . . 74

5.1.2 Συμβολισμός της CNOT πύλης σε ένα κβαντικό κύκλωμα . . . . . . . . . . . 75

5.1.3 Κβαντικό κύκλωμα αποτελούμενο από 2-qubit πύλες . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.4 Κβαντικό κύκλωμα εναλλαγής δυο qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.3.1 Κβαντικό κύκλωμα μορφής 2-local all-to-all . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3.2 Διακριτή κίνηση ενός κλασσικού σωματιδίου στον χώρο των μοναδιακών πινάκων 84

5.4.1 Γράφημα δέντρου τάξης 6, μήκους 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4.2 Γράφημα δέντρου τάξης 6, μήκους 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.4.3 Σύγκρουση μεταξύ δυο φύλλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.4.4 Βρόχοι δέντρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4.5 Η μέγιστη πολυπλοκότητα αποτελεί τη διάμετρο του γραφήματος δέντρου . . . 91

5.5.1 Κβαντική πολυπλοκότητα ως συνάρτηση του χρόνου . . . . . . . . . . . . . . 91

5.5.2 Κβαντική πολυπλοκότητα στο χρόνο μέσω της θεωρίας των γραφημάτων . . . 92

6.1.1 Χρονική εξέλιξη της κατάστασης TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1.2 Περιοχή Wheeler DeWitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.1 Επιφάνεια μεγίστου όγκου για πεπερασμένες χρονικές στιγμές tL και tR προσ-εγγίζει την οριακή επιφάνεια r = rm όπου tL, tR →∞. . . . . . . . . . . . . . 98

6.3.1 Κβαντικό κύλκωμα του τελεστή W (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.3.2 Ο τελεστής W χρωματίζει μπλε τα επηρεαζόμενα qubits . . . . . . . . . . . . 101

6.3.3 Οι κβαντικές πύλες που δρουν σε μη επηρεαζόμενα qubits αλληλοεξουδε-τερώνονται και παραμένουν μόνο χρωματισμένες πύλες. . . . . . . . . . . . . . 102

6.3.4 Η πολυπλοκότητα του τελεστή W (t) συναρτήσει του χρόνου . . . . . . . . . 104

6.4.1 Στην αριστερή εικόνα απεικονίζεται το διάγραμμαKruskal–Szekeres της μαύρηςτρύπας BTZ, στις φωτοειδείς συντεταγμένες u και v. Στην δεξιά εικόνααπεικονίζεται το διάγραμμα Penrose της μαύρης τρύπας BTZ. . . . . . . . . . 106

6.4.2 ΄Αμαζα σωματίδια αφήνονται να πέσουν προς τη μαύρη τρύπα τη στιγμή tL =−tw στο αριστερό σύνορο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.3 Τα διαγράμματα Kruskal–Szekeres και Penrose μιας μαύρης τρύπας BTZ στηνπαρουσία ωστικού κύματος. Το ωστικό κύμα απεικονίζεται με τη διπλή διαγώ-νια γραμμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4.4 Διαταραχή στη γεωμετρία της μαύρης τρύπας BTZ μέσω ενός ωστικού κύματος.111

B.3.1 Το δυναμικό ενός βαθμωτού πεδίουKlein-Gordon στη γεωμετρία Schwarzschildσυναρτήσει της ακτινικής συντεταγμένης r, για διάφορες τιμές του αριθμού lτης στροφορμης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Λίστα Γραφημάτων ix

B.3.2 Το δυναμικό κοντά στον ορίζοντα συναρτήσει της συντεταγμένης u, για διά-φορες τιμές του κυματάριθμου k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

C.1.1 Συναρτησιακό ολοκλήρωμα Feynman. Το μονοπάτι με την έντονη γραμμήείναι το κλασσικό μονοπάτι με αρχική θέση qi και τελική θέση qf . Οι δι-ακεκομμένες γραμμές αποτελούν μερικά από τα υπόλοιπα πιθανά μονοπάτια

που συνεισφέρουν στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα. . . . . . . . . . . . . . . . 138

Λίστα Πινάκων

1.3.1 Σύνορα του χώρου και χρόνου στη μέγιστη γεωμετρία Schwarzschild . . . . . 15

x

Σύστημα μονάδων και συμβάσεις

Στην εργασία αυτή χρησιμοποιούμε το φυσικό σύστημα μονάδων του Planck θέτοντας

c = ~ = kB = 1

Σε αυτό το σύστημα, οι μονάδες μέτρησης των βασικών φυσικών μεγεθών συνδέονται ως

ακολούθως

[μήκος] = [χρόνος] = [ενέργεια]−1 = [ορμή]−1 = [μάζα]−1 = [θερμοκρασία]−1

Η σταθερά της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα ισούται με το τετράγωνο του μήκους Planck

GN = l2p

όπου lp = 10−35m. Εάν το μήκος de Broglie ενός σωματιδίου γινόταν μικρότερο από το

μήκος Planck, τότε αυτό θα κατέρρεε εντός της βαρυτικής του ακτίνας.

H μετρική Minkowski γράφεται

ηµν =

−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Επιπλέον, χρησιμοποιείται η σύμβαση Lorentz–Heaviside κατά την οποία το δυναμικό

Coulomb ενός σημειακού φορτίου Q δίνεται ως

Φ =Q√4πr

xi

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή στις Μαύρες Τρύπες

Το ακόλουθο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στις μαύρες τρύπες. Αρχικά, θα περι-

γράψουμε τη γεωμετρία των μαύρων τρυπών Schwarzschild και θα παρουσιάσουμε μερικά

χρήσιμα συστήματα αναφοράς συντεταγμένων. Το κάθε σύστημα αναδεικνύει καλύτερα

κάποια χαρακτηριστικά της περιοχής που θέλουμε να μελετήσουμε. Οι μαύρες τρύπες

Schwarzschild εκδηλώνουν αρκετές από τις γενικές ιδιότητες των μαύρων τρυπών. Τέλος,

θα καταστρώσουμε τα διαγράμματα Penrose της γεωμετρίας Schwarzschild, αλλά και της

δημιουργίας μιας μαύρης τρύπας λόγω κατάρρευσης ενός σφαιρικού φλοιού φωτός.

Ο όρος "μαύρη τρύπα" είναι πολύ πρόσφατος. Μόλις το 1969, ο Αμερικανός θεωρητικός

φυσικός John Wheeler περιέγραψε με αυτό τον τρόπο μια ιδέα που προϋπήρχε από τα τέλη

του 18ου αιώνα. To 1783 ο καθηγητής του Cambridge John Michel, σε μια εργασία του

που δημοσιεύτηκε στα "Φιλοσοφικά Πεπραγμένα της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου"

υποστήριξε ότι το ισχυρό βαρυτικό πεδίο ενός πολύ πυκνού αστέρα, με αρκετά μεγάλη

συνολική μάζα, δεν θα άφηνε το φως που εκπέμπεται από την επιφάνεια του να διαφύγει

στο μακρυνό Διάστημα. Μια παρόμοια θεωρία διατύπωσε και ο Pierre-Simon Laplace λίγο

αργότερα. Για πολλά χρόνια δεν υπήρχε μια ολοκληρωμένη θεωρία που να εξηγούσε πως η

βαρύτητα επιδρούσε στο φως, αφού η Νευτώνεια θεωρία της Παγκόσμιας έλξης περιέγραφε

τη βαρυτική δύναμη ως μια αλληλεπίδραση μεταξύ δυο σωμάτων (με μη μηδενική μάζα). Το

1915 όμως, ο Albert Einstein πρότεινε τη γενική θεωρία της σχετικότητας, με βάση την

οποία περιγράφουμε την επίδραση της βαρύτητας στο φως και τη συμπεριφορά των μαύρων

οπών [1].

1.1 Κλασσική προσέγγιση μαύρης τρύπας

Ας δούμε πως μπορούμε να προβλέψουμε την ύπαρξη μιας μαύρης τρύπας με βάση τη

Νευτώνεια θεωρία και την ειδική θεωρία της σχετικότητας.

1

Εισαγωγή στις Μαύρες Τρύπες 2

΄Εστω ένα σώμα με μάζαm και αρχική ταχύτητα u0 βρίσκεται στην επιφάνεια ενός αστέρα

με μάζα M m και ακτίνα R. Υπολογίζουμε την ταχύτητα διαφυγής του σώματος από

το πεδίο βαρύτητας του αστέρα χρησιμοποιώντας την αρχή της διατήρησης της μηχανικής

ενέργειας:

1

2mu2

0 −GmM

R=

1

2mu2∞ −

GmM

r∞(1.1.1)

Καθώς r →∞, το βαρυτικό πεδίο εξασθενεί, το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό μηδενίζεται

και ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέρος της εξίσωσης είναι μηδέν. Θεωρούμε τώρα την οριακή

περίπτωση που το σώμα μόλις που κατορθώνει να διαφύγει στο άπειρο, δηλαδή u∞ = 0 και

u0 = uδ. Καταλήγουμε στη σχέση που συνδέει την ταχύτητα διαφυγής με τη μάζα και την

ακτίνα του αστέρα:

uδ =

√2GM

R(1.1.2)

΄Ομως με βάση την ειδική θεωρία της σχετικότητας, η ταχύτητα ενός σωματιδίου δεν

μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός: uδ ≤ 1. Επομένως, για να μπορεί να διαφύγει

το φως, η ακτίνα του αστέρα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την οριακή τιμή:

r0 = 2GM (1.1.3)

Η οριακή αυτή ακτίνα ονομάζεται βαρυτική ακτίνα. Εάν η ακτίνα γίνει μικρότερη από την

βαρυτική ακτίνα, ο αστέρας καταρρέει σε μια μαύρη τρύπα.

1.2 Μαύρη τρύπα Schwarzschild

Η βαρύτητα περιγράφεται με βάση τη γενική θεωρία της σχετικότητας και τις εξισώσεις

του Einstein:

Rµν −1

2Rgµν = 8πGTµν (1.2.1)

όπου gµν η μετρική στο χωρόχρονο, Rµν ο τανυστής Ricci, R η βαθμωτή καμπυλότητα

και Tµν ο τανυστής ενέργειας και ορμής της ύλης και της ακτινοβολίας. Στη σχετικιστική

περιγραφή το πεδίο βαρύτητας περιγράφεται από έναν καμπυλωμένο χωροχρόνο, και τα

διάφορα σώματα κινούνται ακολουθώντας καμπύλες γεωδαισιακές τροχιές στο χωροχρόνο

αυτό. Με βάση τις εξισώσεις του Einstein, η παρουσία μάζας στο χωροχρόνο προκαλεί την

καμπύλωση του με αποτέλεσμα τη δημιουργία μη τετριμμένου πεδίου βαρύτητας.


Ο Karl Schwarzschild έλυσε για πρώτη φορά επακριβώς τις εξισώσεις του Einstein στην

εξωτερική περιοχή μιας στατικής και σφαιρικώς συμμετρικής κατανομής μάζας. Στην εξω-

τερική περιοχή, ο τανυστής ενέργειας-ορμής είναι ίσος με μηδέν Tµν = 0, και οι εξισώσεις

του Einstein λύνονται ακριβώς όπως στο παράρτημα Α.1.

1.2.1 Συντεταγμένες Schwarzschild

Η μετρική Schwarzschild δίνεται από τη σχέση

ds2 = −(

1− 2MG

r

)dt2 +

dr2

1− 2MGr

+ r2dΩ2 (1.2.2)

όπου dΩ2 ≡ dθ2 + sin2θ dϕ2η μετρική σφαίρας μοναδιαίας ακτίνας. ΄Οπως αναφέραμε προ-

ηγουμένως η μετρική αυτή περιγράφει τη γεωμετρία στην εξωτερική περιοχή ενός στατικού

και σφαιρικά συμμετρικού ουράνιου σώματος. Επίσης, περιγράφει ύλη που έχει καταρρεύσει

εντός της βαρυτικής της ακτίνας με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί μια μαύρη τρύπα. Στη

περίπτωση αυτή η παράμετρος M αντιστοιχεί στη μάζα που κατέρρευσε για να σχηματιστεί

η μαύρη τρύπα.

Η χρονική συντεταγμένη t (χρόνος Schwarzschild) ορίζεται με βάση τον ιδιόχρονο στάσι-

μου ρολογιού στο άπειρο. Η ακτινική συντεταγμένη r δεν ταυτίζεται με κάποιο φυσικό

μήκος. ΄Ομως το φυσικό εμβαδόν μιας σφαίρας με συντεταγμένη ακτίνα r εξακολουθεί να

δίνεται από τον γνωστό Ευκλείδειο τύπο 4πr2. Οι συντεταγμένες θ, ϕ είναι η πολική και

αζιμουθιακή γωνία αντίστοιχα.

Διαπιστώνουμε ότι στα σημεία r = 0 και r = Rs = 2MG (ακτίνα Schwarzschild) η

μετρική δεν ορίζεται. Επομένως στα σημεία αυτά εκδηλώνονται ανωμαλίες. Το ερώτημα

είναι εάν αποτελούν φυσικές ανωμαλίες ή εάν οι ανωμαλίες αυτές μπορούν να απαλειφθούν

μέσω ενός κατάλληλου μετασχηματισμού συντεταγμένων. Για να απαντήσουμε στο ερώτημα

αυτό, υπολογίζουμε το ακόλουθο βαθμωτό μέγεθος, το οποίο παραμένει αναλλοίωτο ως

προς γενικούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων:

RµνλκRµνλκ =48G2M2

r6(1.2.3)

όπου Rµνλκ ο τανυστής καμπυλότητας του Riemman. Στο σημείο r = 0, το μέγεθος

αυτό απειρίζεται. ΄Αρα το σημείο r = 0 αποτελεί μια φυσική ανωμαλία, όπου απειρίζεται η

καμπυλότητα του χωροχρόνου, και δεν μπορεί να περιγραφεί από την θεωρία της γενικής

σχετικότητας. Αντίθετα, όταν r = RS βρίσκουμε

RµνλκRµνλκ =3

4M4G4


και έτσι δεν προκύπτει φυσική ανωμαλία.

Ας μελετήσουμε πιο προσεκτικά τι συμβαίνει στην επιφάνεια r = 2GM . ΄Εστω ένα ρολόι

αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ηρεμία στη θέση r = R. Το ρολόι θα ακολουθήσει ακτινική

πορεία στο χωροχρόνο Schwarzschild. Με βάση τις γεωδαισιακές εξισώσεις υπολογίζουμε

την κανονική του ταχύτητα:

dr

dτ= −

√2GM(R− r)

rR(1.2.4)

όπου τ ο ιδιόχρονος. Ολοκληρώνουμε και βρίσκουμε ότι το ρολόι διαπερνά την επιφάνεια

r = 2GM σε πεπερασμένο ιδιόχρονο. ΄Οταν καταλήξει στην ανωμαλία, r = 0, στο ρολόι

θα καταγράφεται χρόνος:

τ =π

2R

√R

2MG(1.2.5)

Από την σκοπιά όμως ενός εξωτερικού παρατηρητή που βρίσκεται σε ηρεμία μακριά από την

επιφάνεια r = 2GM βρίσκουμε:

dt

dr=dt

dτ

dτ

dr= −

√R

2GM− 1

(r

r − 2GM

)√r

2GM(r −R)(1.2.6)

όπου dr/dt η συντεταγμένη ταχύτητα του ρολογιού. Ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή για

αυθαίρετο r μέσω ενός μετασχηματισμού r = R cos2 (x/2) παίρνουμε

t =

√R

2MG− 1

(R

2+ 2MG

)2 cos−1

(√r

R

)+√rR

√1− r

R

√R

2MG− 1

+ 2MG log

∣∣∣∣∣∣√

R2MG − 1 +

√Rr − 1√

R2MG − 1−

√Rr − 1

∣∣∣∣∣∣(1.2.7)

Συμπεραίνουμε ότι το ρολόι χρειάζεται άπειρο χρόνο Schwarzschild t για να φτάσει στην

επιφάνεια r = 2MG, καθώς ο λογάριθμος στην πιο πάνω σχέση απειρίζεται. Τα τελευταία

γεγονότα που μπορεί να αντιληφθεί ένας εξωτερικός παρατηρητής συμβαίνουν ακριβώς στην

εξωτερική περιοχή της επιφάνειας r = 2MG. Η επιφάνεια αυτή ονομάζεται ορίζοντας και

διαχωρίζει την εσωτερική περιοχή μιας μαύρης τρύπας (r < 2MG) από την εξωτερική

περιοχή (r > 2MG). ΄Οπως θα δούμε αργότερα τίποτα δεν μπορεί να εξέλθει από το

εσωτερικό μιας μαύρης τρύπας στην εξωτερική περιοχή. Τώρα κάθε σημείο του ορίζοντα

(r = 2GM και θ, ϕ=σταθ) ακολουθεί μια φωτοειδή κοσμική γραμμή στον χωροχρόνο, αφού

g00 = 0 και ds2 = 0.

Τέλος στην εσωτερική περιοχή μιας μαύρης τρύπας, όπου r < 2MG, η συντεταγμένη

r ανάγεται σε μια χρονική συντεταγμένη ενώ η συντεταγμένη t ανάγεται σε μια χωροειδή


συντεταγμένη. Οι συντεταγμένες Schwarzschild είναι χρήσιμες στην περιγραφή γεγονότων

που συμβαίνουν στην περιοχή εξωτερικά του ορίζοντα όπου r > 2MG.

1.2.2 Συντεταγμένες Tortoise

Σε ορισμένα συστήματα αναφοράς συντεταγμένων η μετρική παίρνει μια σύμμορφη επίπε-

δη μορφή. Δύο μετρικές είναι σύμμορφες εάν ισχύει η σχέση [2, 3]:

g′µν = f(x)gµν (1.2.8)

όπου f(x) θετική συνάρτηση. Οι μετρικές έχουν την ίδια ταυτότητα και την ίδια αιτιατική

δομή. Συγκεκριμένα φωτοειδώς διαχωρισμένα γεγονότα με βάση τη μετρική gµν παραμένουν

φωτοειδώς διαχωρισμένα και με βάση τη μετρική g′µν .

Μια μετρική καλείται σύμμορφη επίπεδη εάν είναι σύμμορφη με την μετρική Minkowski

ηµν . Η αιτιατική σχέση μεταξύ δυο οποιονδήποτε γεγονότων ταυτίζεται με αυτήν του

χωροχρόνου Minkowski.

Ας θεωρήσουμε τώρα μια ακτινική φέτα στην εξωτερική περιοχή του χωροχρόνου

Schwarzschild, θ, ϕ=σταθ, όπου r ≥ 2MG. Η δισδιάστατη αυτή φέτα περιγράφεται με τις

συντεταγμένες t, r. Η επαγόμενη μετρική γράφεται ως εξής:

ds2 =

(1− 2MG

r

)[−dt2 +

dr2(1− 2MG

r

)2]

= f(r)

[−dt2 +

dr2

f(r)2

](1.2.9)

όπου f(r) ≡ 1− 2MG/r θετική συνάρτηση.

Τώρα κάθε δισδιάστατη μετρική είναι σύμμορφη επίπεδη. Πράγματι, κάνοντας τον μετασχη-

ματισμό dr∗ = dr/f(r), φέρνουμε την μετρική στη σύμμορφη επίπεδη μορφή

ds2 = f(r∗)[−dt2 + (dr∗)2

](1.2.10)

Η ακτινική συντεταγμένη r∗ δίδεται από τη σχέση

r∗ = r + 2MG log

(r − 2MG

2MG

)(1.2.11)

και ονομάζεται συντεταγμένη Tortoise. Παίρνει τιμές στην ευθεία, r∗ ∈ (−∞,∞), σε

αντίθεση με την r που περιορίζεται στο διάστημα r ∈ [2MG,∞). Η πλήρης μετρική Tortoise

δίνεται από τη σχέση

ds2 =

(1− 2MG

r(r∗)

)[−dt2 + (dr∗)2

]+ r2(r∗)dΩ2 (1.2.12)


1.2.3 Συντεταγμένες Eddington-Finkelstein

Μπορούμε να απαλείψουμε την ανωμαλία r = 2GM υιοθετώντας τις φωτοειδείς συντε-

ταγμένες Eddington-Finkelstein:

u = t+ r + 2GM ln

(∣∣∣∣r − 2GM

2GM

∣∣∣∣) = t+ r∗

w = t+ r − 2GM ln

(∣∣∣∣r − 2GM

2GM

∣∣∣∣) = t− r∗(1.2.13)

όπου r∗ η ακτινική συντεταγμένη Tortoise. 1.2.11 Στο σύστημα αυτό η μετρική Schwarzschild

παίρνει την μορφή:

ds2 =

(1− 2MG

r(r∗)

)dwdu+ r2(r∗)dΩ2 (1.2.14)

Καμιά συνιστώσα της μετρικής ή του αντιστρόφου της δεν απειρίζεται όταν r = 2GM .

Παρατηρούμε επίσης ότι η γραμμή u =σταθ, (θ, ϕ =σταθ) είναι φωτοειδής και περι-

γράφει την ακτινική τροχιά εισερχόμενου παλμού φωτός, ενώ η φωτοειδής γραμμή w =σταθ,

θ, ϕ =σταθ, περιγράφει την τροχιά εξερχόμενου παλμού φωτός.

1.2.4 Συντεταγμένες Rindler (Κοντά στον Ορίζοντα)

Εξετάζουμε την περιοχή κοντά στον ορίζοντα ώστε να μελετήσουμε τις γεωμετρικές

της ιδιότητες. Θα χρησιμοποιήσουμε την απόσταση ρ μεταξύ ενός σημείου της εξωτερικής

περιοχής, με ακτινική συντεταγμένη r, και του ορίζοντα:

ρ =

∫ r

2MG

√grr(r′)dr

′ =

∫ r

2MG

dr′√1− 2MG

r′

Ολοκληρώνουμε μέσω του μετασχηματισμού r′ = 2MG cosh2 y και βρίσκουμε

ρ =√r(r − 2MG) + 2MG sinh−1

(√r

2MG− 1

)(1.2.15)

Η μετρική παίρνει την μορφή:

ds2 = −(

1− 2MG

r(ρ)

)dt2 + dρ2 + r2(ρ)dΩ2


Κοντά στον ορίζοντα η ακτινική συντεταγμένη γράφεται r = 2GM + ε, όπου ε 1,

και η φυσική απόσταση δίδεται από τη σχέση

ρ = 2MG√ε(1 + ε) + 2MG sinh−1

(√ε)

Λαμβάνοντάς υπόψη το ανάπτυγμα Taylor, sinh−1 x = x − x3

3! + . . . και κρατώντας μόνο

όρους τάξης√ε παίρνουμε:

ρ ≈ 4MG√ε = 2

√2MG(r − 2MG) (1.2.16)

Ταυτόχρονα κάνουμε τις ακόλουθες προσεγγίσεις:

1− 2MG

r= 1− 1

1 + ε≈ ε =

ρ2

(4MG)2

r2 = 2MG(ε+ 1)2 ≈ (2MG)2

΄Ετσι η μετρική κοντά στον ορίζοντα δίδεται από τη σχέση:

ds2 = −ρ2dω2 + dρ2 + (2MG)2dΩ2 (1.2.17)

όπου ορίσαμε την αδιάστατη χρονική συντεταγμένη

ω ≡ t

4GM(1.2.18)

Η πιο πάνω μετρική είναι αποτελεί γινόμενο της μετρικής Rindler με τη μετρική σφαίρας

ακτίνας r = 2GM .

Προσεγγίζουμε στη συνέχεια ένα αρκετά μικρό τμήμα της σφαίρας γύρω από τον βόρειο

πόλο (θ = 0) ως επίπεδο, χρησιμοποιώντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες X,Y . Επίσης,

θέτουμε T = ρ sinhω και Z = ρ coshω, και επομένως η μετρική σε μια αρκετά μικρή περιοχή

κοντά στον ορίζοντα είναι επίπεδη:

ds2 = −dT 2 + dZ2 + dX2 + dY 2

Παρατηρούμε ότι η περιοχή κοντά στον ορίζοντα δεν περιέχει ανωμαλίες με άπειρη καμ-

πυλότητα.

Οι συντεταγμένες Rindler καλύπτουν μόνο ένα τμήμα του χωροχρόνου Minkowski όπου

Z ≥ |T |, όπως φαίνεται στην εικόνα 1.2.1. Περιγράφουν το σύστημα αναφοράς ενός

παρατηρητή που επιταχύνεται (σε σχέση με ένα αδρανειακό παρατηρητή) με ομοιόμορφη

επιτάχυνση. Η επιτάχυνση αυτή είναι σταθερή για κάθε αδρανειακό παρατηρητή που βλέπει

τον παρατηρητή Rindler να είναι στιγμιαία ακίνητος. Ο παρατηρητής αυτός βρίσκεται σε


καλή αιτιατική επαφή με τμήμα του χωροχρόνου Minkowski, το οποίο διαχωρίζεται από τον

υπόλοιπο χωροχρόνο με ορίζοντες. Οι ευθείες Z = ±T αποτελούν τον μελλοντικό και τονπαρελθοντικό ορίζοντα, όπου ρ→ 0 και ω → ±∞.

Γράφημα 1.2.1: Συντεταγμένες Rindler στο χωρόχρονο Minkowski. Ο παρατηρητήςRindler ακολουθεί την υπερβολική τροχιά ρ =σταθ. Οι φέτες ω=σταθ είναι χωροειδείς.

Συμπεραίνουμε ότι τοπικά, κοντά στον ορίζοντα, ο παρατηρητής Schwarzschild ισο-

δυναμεί με τον επιταχυνόμενο παρατηρητή Rindler, και ακολουθεί την κοσμική γραμμή

ρ = ρ0 = σταθ. Σύμφωνα με αυτόν, ένα σώμα χρειάζεται άπειρο χρόνο t για να διαπεράσει

τον ορίζοντα γεγονότων.

1.2.5 Συντεταγμένες Kruskal-Szekeres

΄Εχουμε περιγράψει την γεωμετρία Schwarzschild κοντά στον ορίζοντα χρησιμοποιώντας

διάφορα συστήματα αναφοράς συντεταγμένων. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναπαραστήσουμε την

μέγιστη γεωμετρία Schwarzschild, καλύπτοντας ολόκληρο τον χωροχρόνο με κατάλληλες

συντεταγμένες. ΄Οπως θα δούμε σε αυτό το σύστημα απαλείφεται η ανωμαλία r = 2GM .

Με βάση τη μορφή της μετρικής στις συντεταγμένες Rindler, μπορούμε να γράψουμε τη

μετρική στην εξωτερική περιοχή r ≥ 2GM ως εξής:

ds2 = F (R)(−R2dω2 + dR2) + r2(R)dΩ2 (1.2.19)

όπου ω ο χρόνος Rindler, 1.2.18, και R μια νέα ακτινική συντεταγμένη.


Επειδή το απειροστό διάστημα ds2παραμένει αναλλοίωτο κάτω από γενικούς μετασχη-

ματισμούς συντεταγμένων, συγκρίνουμε με την μορφή της μετρικής στις συντεταγμένες

Schwarzschild 1.2.2, οπότε έχουμε:

F (R)R2 = 16G2M2

(1− 2GM

r

)F (R)dR2 =

dr2(1− 2GM

r

)Συνδυάζουμε τις δυο αυτές σχέσεις και ολοκληρώνουμε για να προσδιορίσουμε την συντε-

ταγμένη R συναρτήσει της συντεταγμένης r:

R = GM exp r

4GM

√ r

2GM− 1 (1.2.20)

όπου R ∈ [0,∞). Ακολούθως βρίσκουμε την F (R) συναρτήσει του r

F (R) =32GM

rexp− r

2GM

(1.2.21)

Παρατηρούμε ότι F (R) > 0 επειδή r ∈ [0,∞).

Καθώς πλησιάζουμε τον ορίζοντα, η μετρική παίρνει την μορφή της επίπεδης μετρικής

Rindler, όπως είδαμε και στο προηγούμενο κεφάλαιο. Στο όριο r → 2MG, παίρνουμε:

R→√e

2

√2GM(r − 2GM) =

√eρ

4

F (R)→ 16

e

(1.2.22)

όπου ρ η ακτινική συντεταγμένη Rindler 1.2.16. Επομένως η μετρική ανάγεται στην επίπεδη

μετρική Rindler (όταν θ, ϕ =σταθ).

Ορίζουμε τις συντεταγμένες Kruskal-Szekeres με τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

T = R sinhω

Z = R coshω(1.2.23)

Προκύπτουν επίσης οι εξισώσεις:

Z2 − T 2 = R2

T

Z= tanh

(t

4GM

)Επομένως η εξωτερική περιοχή r ≥ 2GM αντιστοιχεί στην περιοχή Z ≥ |T | του επιπέδουZ, T .


Στις συντεταγμένες Kruskal-Szekeres η μετρική δίδεται από τη σχέση:

ds2 =32GM

re−

r2GM (−dT 2 + dZ2) + r2dΩ2 (1.2.24)

όπου η συντεταγμένη r συνδέεται με τις συντεταγμένες T,Z με τη σχέση

Z2 − T 2 = G2M2( r

2GM− 1)

exp r

2GM

Οι συνιστώσες της μετρικής είναι καλά ορισμένες για r=2GM , οπότε επεκτείνουμε αναλυ-

τικά το πεδίο ορισμού των συντεταγμένων T,Z ώστε να καλυφθεί όλη η ημιευθεία r∈ [0,∞),

επιτρέποντας επίσης αρνητικές τιμές για τη συντεταγμένη Z.

Συγκεκριμένα επεκτείνουμε την πιο πάνω μετρική στην περιοχή −Z ≥ |T |, εξωτερικάτου κώνου φωτός του σημείου (0, 0), καθώς επίσης και εσωτερικά του κώνου φωτός, στην

περιοχή που φράσσεται από τις ευθείες T = ±Z και τις υπερβολές T 2 − Z2 = G2M2.

Οι υπερβολές αυτές αντιστοιχούν στην ανωμαλία r = 0. Με τον τρόπο αυτό καλύπτεται

όλη η ημιευθεία r ∈ [0,∞). Σημειώνουμε ότι δεν μπορούμε να επεκτείνουμε την ισχύ της

μετρικής στις περιοχές T 2−Z2 ≥ G2M2εσωτερικά του κώνου φωτός, διότι στις ανωμαλίες

απειρίζεται η καμπυλότητα του χωροχρόνου και η μετρική Kruskal-Szekeres δεν ορίζεται.

Στην περιοχή r < 2GM , η σχέση που συνδέει τη συντεταγμένη Schwarzschild t είναι

T

Z= coth

(t

4GM

)Συνοψίζουμε τον μετασχηματισμό:

Z2 − T 2 = G2M2( r

2GM− 1)

exp r

2GM

T

Z= tanh

(t

4GM

)για r>2GM

T

Z= coth

(t

4GM

)για r<2GM

(1.2.25)

Στις ακτινικές φέτες, η επαγόμενη μετρική παίρνει την μορφή:

ds2 =32GM

re−

r2GM (−dT 2 + dZ2) (1.2.26)

Οι συντεταγμένες T,Z διατηρούν το είδος τους σε όλες τις περιοχές του χωροχρόνου (r≥0

και −∞≤ t ≤∞). Επιπλέον, η επαγόμενη μετρική είναι σύμμορφη επίπεδη μετρική (δες

κεφάλαιο 1.2.2). Μερικά σημαντικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά είναι:

1. Οι φωτοειδείς γραμμές (όπου ds2 = 0) είναι ευθείες γραμμές με κλίση ±45, T =

±Z+σταθ.


2. Οι γραμμές r = σταθ ανάγονται στις υπερβολές T 2 − Z2 = α2για r < 2GM , και

Z2 − T 2 = α2για r>2GM .

3. Στην εξωτερική περιοχή r ≥ 2GM , οι γραμμές t = σταθ ανάγονται στις ευθείεςTZ =σταθ. Η απόλυτη τιμή της κλίσης είναι μικρότερη ή ίση με την μονάδα.

4. Ο ορίζοντας r=2GM ανάγεται στις ευθείες T =±Z, όπου t→±∞.

5. Η ανωμαλία r = 0 ανάγεται στις δυο υπερβολές T 2 − Z2 =±√GM οι οποίες οριο-

θετούν τον χωρόχρονο (αφού δεν μπορούμε να επεκτείνουμε τη μετρική πέρα από τις

υπερβολές αυτές).

Η μέγιστη γεωμετρία Schwarzschild φαίνεται στην εικόνα 1.2.2. Διακρίνουμε 4 περιοχές:

• Περιοχή Ι: η εξωτερική περιοχή Schwarzschild (r>2GM, t ∈ (−∞,∞)). Ο παρατη-

ρητής Schwarzschild ακολουθεί την υπερβολή r = σταθ. Επιταχύνεται σε σχέση με

έναν παρατηρητή που πέφτει ελεύθερα. Για τον παρατηρητή Schwarzschild ο ορί-

ζοντας είναι απρόσιτος. ΄Ενα ρολόι που πέφτει ελεύθερα διαπερνά τον ορίζοντα σε

πεπερασμένο χρόνο T , και εισέρχεται στην περιοχή ΙΙ.

• Περιοχή ΙΙ: είναι μια μελανή περιοχή (r<2GM). Οτιδήποτε βρίσκεται στην περιοχή

ΙΙ καταλήγει στην ανωμαλία r = 0. Τίποτα, ούτε καν το φως, δεν μπορεί να εξέλθει

από την περιοχή ΙΙ.

• Περιοχή ΙΙΙ: είναι μια δεύτερη ασυμπτωτική περιοχή, η οποία περιλαμβάνει τον αρν-ητικό άξονα των Z. Η περιοχή ΙΙΙ δεν βρίσκεται σε καλή αιτιατική επαφή με την

περιοχή Ι. Καμία πληροφορία δεν μπορεί να ληφθεί ή να σταλεί από την περιοχή Ι

στην ΙΙΙ. Στην περιοχή ΙΙΙ, ο χρόνος Schwarzschild έχει αντίθετο βέλος από τον

χρόνο T .

• Περιοχή ΙV: είναι μια λευκή οπή 1. Το φως μόνο εξέρχεται από την περιοχή αυτή,

χωρίς να μπορεί να εισέλθει.1΄Οπως θα δούμε δεν μπορεί να υπάρξει στην φύση λόγω παραβίασης του 2ου θερμοδυναμικού νόμου.


Γράφημα 1.2.2: Μέγιστη γεωμετρία Schwarzschild στις συντεταγμένες Kruskal-Szekeres. Ο χωροχρόνος διαμερίζεται σε 4 περιοχές με τον μελλοντικό και παρελθοντικόορίζοντα. Η περιοχή ΙΙ είναι μελανή. Η γεωμετρία δεν μπορεί να επεκταθεί πέραν των

υπερβολών T 2 − Z2 = ±√GM , οι οποίες αποτελούν χωροειδείς ανωμαλίες.

1.3 Διαγράμματα Penrose

Τα διαγράμματα Penrose απεικονίζουν σφαιρικά συμμετρικούς χωροχρόνους σε δισδιάσ-

τατα χωρία του επιπέδου με πεπερασμένο εμβαδόν. Αναδεικνύουν τις αιτιατικές σχέσεις

μεταξύ δυο οποιωνδήποτε γεγονότων στον χωροχρόνο [3, 4] και χαρακτηρίζουν πλήρως τις

ασυμπτωτικές του περιοχές.

1.3.1 Διάγραμμα Penrose του χωροχρόνου Minkowski

Στις σφαιρικές συντεταγμένες, η μετρική του χωροχρόνου Minkowski παίρνει την εξής

μορφή:

ds2 = −dt2 + dr2 + r2dΩ2 (1.3.1)

όπου r∈ [0,∞). Θα μελετήσουμε ακτινικές φέτες στον χωροχρόνο, όπου θ, ϕ =σταθ, και

θα τις συμπαγοποιήσουμε με ένα κατάλληλο μετασχηματισμό της μορφής Y + = f(t + r)

και Y − = f(t− r).


Χρησιμοποιούμε τις φωτοειδείς συντεταγμένες

y+ = t+ r

y− = t− r(1.3.2)

στις οποίες η μετρική του χωροχρόνου παίρνει τη μορφή ds2 = −dy+dy−. Τα χωροχρονικά

σύνορα είναι τα εξής:

• i+ : Μελλοντικό χρονοειδές άπειρο, t→∞, r =σταθ.

• i− : Παρελθοντικό χρονοειδές άπειρο, t→−∞, r =σταθ.

• i0 : Χωροειδές άπειρο, r→∞, t =σταθ.

• I+ : Μελλοντικό φωτοειδές άπειρο, y+ → ∞, y− =σταθ. ΄Ολες οι εξερχόμενες

ακτίνες φωτός καταλήγουν στο I+.

• I− : Παρελθοντικό φωτοειδές άπειρο, y−→−∞, y+ =σταθ. ΄Ολες οι εισερχόμενες

ακτίνες φωτός ξεκινούν από το I−.

Ακολούθως ορίζουμε τις συντεταγμένες

Y + = tanh y+

Y − = tanh y−(1.3.3)

και

T =Y + + Y −

2

R =Y + − Y −

2

(1.3.4)

Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι η μετρική μετασχηματίζεται σε μια σύμμορφη επίπεδη

μετρική, με βάση τις συντεταγμένες Y +, Y −. Επομένως οι αιτιατικές σχέσεις δύο οποι-

ωνδήποτε γεγονότων παραμένουν αναλλοίωτες ως προς τον σύμμορφο μετασχηματισμό

αυτό.

Με βάση τις ιδιότητες της υπερβολικής εφαπτομένης, στις νέες συντεταγμένες το μελ-

λοντικό και παρελθοντικό άπειρο απεικονίζονται στα σημεία (T , R) = (1, 0) και (T , R) =

(−1, 0) αντίστοιχα, ενώ το χωροειδές άπειρο στο σημείο (0, 1).

Το μελλοντικό φωτοειδές άπειρο απεικονίζεται στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα

σημεία i+ και i0 (το οποίο αποτελεί τμήμα της ευθείας Y + = T + R = 1).

Παρομοίως το παρελθοντικό φωτοειδές άπειρο απεικονίζεται στο ευθύγραμμο τμήμα που

ενώνει τα σημεία i− και i0 (το οποίο αποτελεί τμήμα της ευθείας Y − = T − R = −1).


Ο χωρόχρονος φράσσεται από τις ευθείες R = 0, Y + = T + R = 1 και Y − = T − R =

−1. Το διάγραμμα Penrose του χωροχρόνου Minkowski φαίνεται στην εικόνα 1.3.1b.

(a) Χωροχρόνος Minkowski

(b) Διάγραμμα Penrose του χωροχρόνου Minkowski. Φωτοειδής συντεταγμένες

Γράφημα 1.3.1: Διάγραμμα Penrose του χωροχρόνου Minkowski


1.3.2 Διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας Schwarzschild

Με τον ίδιο τρόπο σχεδιάζουμε το διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας

Schwarzschild, εικόνα 1.3.2. Συμβολίζουμε τον μελλοντικό ορίζοντα και τον παρελθοντικό

ορίζοντα με H+και H− αντίστοιχα. Ο ακόλουθος πίνακας μας βοηθάει στον σχεδιασμό

του διαγράμματος.

I+ I− i+ i− i0 H+ H−

T - - - - ∞ ∞ -∞ −∞ σταθ σταθ Ζ -Ζ

Z - - - - ∞ -∞ -∞ ∞ -∞ ∞ T -T

y− σταθ ∞ -∞ σταθ 0 ∞ 0 -∞ ∞ -∞ 0 2Ζ

y+ ∞ σταθ σταθ -∞ ∞ 0 -∞ 0 -∞ ∞ 2Ζ 0

Y − σταθ 1 -1 σταθ 0 1 0 -1 1 -1 0 σταθ

Y + 1 σταθ σταθ -1 1 0 -1 0 -1 1 σταθ 0

T

T=

1−R

T=

1+R

T=−

1+R

T=−

1−R 1

212 -1

2 -12 0 0

T=R

T=−R

R −12

12

12 −1

2 -1 1

Πίνακας 1.3.1: Σύνορα του χώρου και χρόνου στη μέγιστη γεωμετρία Schwarzschild

Γράφημα 1.3.2: Διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας Schwarzschild

1.4 Βαρυτική κατάρρευση σφαιρικού φλοιού φωτός

Εξετάζουμε την βαρυτική κατάρρευση ενός λεπτού σφαιρικού φλοιού φωτός [3]. Εργαζό-

μαστε στις συντεταγμένες Eddington-Finkelstein, τις οποίες ορίσαμε στο κεφάλαιο 1.2.3.


Γράφουμε την μετρική 1.2.14 στις συντεταγμένες u, r, όπου u η συντεταγμένη εισερχόμενου

παλμού φωτός 1.2.13. Η μάζα M εξαρτάται από την συντεταγμένη u:

ds2 = −(

1− 2M(u)G

r

)du2 + 2drdu+ r2dΩ2 (1.4.1)

Αυτή είναι μετρική Vaidya. Δεν είναι στατική αφού ο φλοιός συστέλλεται [3].

Ακολούθως βρίσκουμε όλα τα στοιχεία του τανυστή Ricci μέσω της σχέσης A.1.5. Η

μόνη μη μηδενική συνιστώσα είναι η

Ruu =2

r2

∂M(u)

∂u(1.4.2)

Επειδή το πρώτο στοιχείο του αντιστρόφου της μετρικής ισούται με μηδέν, guu = 0, η

βαθμωτή καμπυλότητα μηδενίζεται: R = Ruuguu = 0. ΄Ετσι οι εξισώσεις του Einstein

1.2.1 ανάγονται στην εξής εξίσωση:

1

8πGRuu = Tuu =

1

4πr2G

∂M(u)

∂u(1.4.3)

με βάση την οποία προσδιορίζουμε τον τανυστή ενέργειας-ορμής του σφαιρικού φλοιού.

Για ένα σφαιρικό φλοιό αμελητέου πάχους έχουμε∂M(u)∂u = Mδ(u−u0), όπουM η συνο-

λική ενέργεια του φλοιού. ΄Οντως ο τανυστής ενέργειας και ορμής είναι μη μηδενικός μόνο

κατά μήκος της φωτοειδούς εισερχόμενης γραμμής u = t+ r∗ = u0 =σταθ. Ολοκληρώνον-

τας βρίσκουμε:

M(u) = 0 εάν u<u0

M(u) = M εάν u≥u0

(1.4.4)

Στο εσωτερικό του φλοιού δεν υπάρχει ύλη ή ενέργεια αλλά ούτε και βαρυτικό πεδίο

(θεώρημα Gauss). Επομένως η γεωμετρία του περιγράφεται από την μετρική Minkowski.

΄Εξω από τον φλοιό, η γεωμετρία περιγράφεται από την μετρική Schwarzschild (με βάση το

θεώρημα Birkhoff). Οι δυο γεωμετρίες ενώνονται επιβάλλοντας συνέχεια στις συνιστώσες

της μετρικής διαμέσου του φλοιού. Οι πρώτες μερικές παράγωγοι της μετρικής είναι ασυνε-

χείς.

Σχεδιάζουμε το διάγραμμα Penrose που συνδέεται με την γεωμετρία σφαιρικού φλοιού

φωτός υπό βαρυτική κατάρρευση ως εξής. Θεωρούμε σφαιρικό φλοιό αμελητέου πάχους

στον χωροχρόνοMinkowski, ο οποίος διαμερίζει το διάγραμμα Penrose σε δυο μέρη, εσωτε-

ρικά και εξωτερικά του φλοιού, όπως φαίνεται στην εικόνα 1.4.1a. Κόβουμε και κρατάμε


στην συνέχεια το τμήμα που συνδέεται με το εσωτερικό του φλοιού, αφού μόνο στο

εσωτερικό του φλοιού η γεωμετρία ταυτίζεται με τη γεωμετρία Minkowski 1.4.1b.

(a) Σφαιρικός φλοιός φωτός στον χωρόχρονο Minkowski

(b) Εσωτερικό τμήμα φλοιού

Γράφημα 1.4.1: Αποκοπή του εσωτερικού τμήματος του σφαιρικού φλοιού στον χωρο-χρόνο Minkowski


Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, αποκόπτουμε από το διάγραμμα Penrose της μεγίστης

γεωμετρίας Schwarzschild το τμήμα που συνδέεται με την εξωτερική περιοχή του φλοιού,

όπως παρουσιάζεται στην εικόνα 1.4.2.

(a) Σφαιρικός φλοιός φωτός στη γεωμετρία Schwarzschild

(b) Εξωτερικό τμήμα φλοιού

Γράφημα 1.4.2: Αποκοπή του εξωτερικού τμήματος του σφαιρικού φλοιού στη γεωμετρίαSchwarzschild

Τέλος, ενώνουμε τα δύο τμήματα 1.4.1b και 1.4.2b, για να σχεδιάσουμε την τελική

μορφή του διαγράμματος Penrose που συνδέεται με την βαρυτική κατάρρευση σφαιρικού

φλοιού φωτός.


Γράφημα 1.4.3: Διάγραμμα Penrose βαρυτικής κατάρρευσης σφαιρικού φλοιού φωτός

Κεφάλαιο 2

Κβαντικές συλλογές και

θερμικότητα του κενού

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την κβαντομηχανική πολυσωματιδιακών συστη-

μάτων. Θα ορίσουμε διάφορες χρήσιμες ιδιότητες όπως το τανυστικό γινόμενο διανυσ-

ματικών χώρων, τον πίνακα πυκνότητας που συνδέεται με κβαντικές συλλογές και υπο-

συστήματα κβαντικού συστήματος και την εντροπία σύμπλεξης Von Neumaan.

2.1 Τανυστικό γινόμενο

Συχνά θέλουμε να συνδυάσουμε κβαντικά συστήματα σε ένα μεγαλύτερο σύστημα. Αυτό

επιτυγχάνεται μέσω του τανυστικού γινομένου διανυσματικών χώρων και βρίσκει εφαρμογή

στην κβαντική μηχανική πολυσωματιδιακών συστημάτων. (Δες για παράδειγμα [5, 6, 2]).

΄Εστω V καιW διανυσματικοί χώροι Hilbert διαστατικότητας m και n αντίστοιχα. Τότε

το τανυστικό τους γινόμενο, V ⊗W , είναι ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος Hilbert με

διαστατικότητα mn. Οι χώροι V και W μπορεί να ιδωθούν ως υποσυστήματα του χώρου

V ⊗W . Εάν τα σύνολα |i〉 και |j〉 αποτελούν ορθοκανονικές βάσεις των διανυσματικώνχώρων V καιW , τότε το σύνολο |i〉⊗|j〉 αποτελεί ορθοκανονική βάση του χώρου V ⊗W ,

όπου |i〉 ⊗ |j〉 το τανυστικό γινόμενο των καταστάσεων |i〉 και |j〉. Το γινόμενο |i〉 ⊗ |j〉συμβολίζεται και ως |i, j〉 ή |i〉|j〉.

Το τανυστικό γινόμενο έχει τις εξής ιδιότητες:

1. z(|u〉 ⊗ |w〉) = (z |u〉)⊗ |w〉 = |u〉 ⊗ (z |w〉) όπου z μιγαδικός αριθμός

2. (|u1〉+ |u2〉)⊗ |w〉 = |u1〉 ⊗ |w〉+ |u2〉 ⊗ |w〉

20

Κβαντικές συλλογές και θερμικότητα του κενού 21

3. |u〉 ⊗ (|w1〉+ |w2〉) = |u〉 ⊗ |w1〉+ |u〉 ⊗ |w2〉

Το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο V ⊗W ορίζεται ως ακολούθως

〈a, b| c, d〉 = 〈a| c〉〈b| d〉 (2.1.1)

Επίσης αν A και B γραμμικοί τελεστές που δρουν στους χώρους V και W , τότε A ⊗ Bγραμμικός τελεστής στο χώρου V ⊗ W . Η δράση του τελεστή αυτού στην κατάσταση

|u〉 ⊗ |w〉 ορίζεται ως εξής

(A⊗ B)(|u〉 ⊗ |w〉) = (A |u〉)⊗ (B |w〉) (2.1.2)

Οι τελεστές ket-bra ικανοποιούν τη σχέση

(|u1〉 ⊗ |w1〉)(〈u2| ⊗ 〈w2|) = (|u1〉〈u2|)⊗ (|w1〉〈w2|) (2.1.3)

Για καλύτερη κατανόηση του τανυστικού γινομένου μπορούμε να το σκεφτούμε στην

μορφή πινάκων. Γενικά εάν A και B πίνακες αναπαράστασης τάξης m × n και p × q

αντίστοιχα, τότε το τανυστικό τους γινόμενο θα είναι ένας mp×nq πίνακας (κατά blocks),ως εξής:

A⊗B =

A11B A12B . . . A1nB

A21B A22B . . . A2nB...

......

Am1B Am2B . . . AmnB

(2.1.4)

Για παράδειγμα:

(1

2

)⊗

(2 4

3 5

)=

1 ·

(2 4

3 5

)

2 ·

(2 4

3 5

) =

2 4

3 5

4 8

6 10

΄Ιχνος ενός πίνακα ορίζεται το άθροισμα των διαγώνιων του στοιχείων:

Tr(A) =∑i

Aii (2.1.5)

Είναι αμετάβλητο κάτω από κυκλική μετάθεση:

Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA) (2.1.6)


και αμετάβλητο κάτω από μετασχηματισμούς συζυγίας (όπου U μοναδιακός πίνακας):

Tr(A′)

= Tr(UAU †

)= Tr

(U †UA

)= Tr(A) (2.1.7)

Αν έχουμε δυο καταστάσεις, |Ψ〉 και |Φ〉, παίρνοντας το ίχνος:

Tr(|Φ〉〈Ψ|) =∑n

〈n|Φ〉〈Ψ|n〉

=∑n

〈Ψ|n〉〈n|Φ〉

= 〈Ψ|Φ〉

(2.1.8)

όπου διαλέγουμε μια αυθαίρετη βάση για να αναπαραστήσουμε τις καταστάσεις και να βρούμε

το ίχνος.

Μπορούμε επίσης να ορίσουμε το μερικό ίχνος ως προς ένα υποσύστημα. Για παράδειγμα

στο χώρο V ⊗W , το μερικός ίχνος ενός τελεστή ket-bra ως προς το υποσύστημα W είναι:

TrW (|u1〉〈u2| ⊗ |w1〉〈w2|) = |u1〉〈u2|Tr (|w1〉〈w2|) = |u1〉〈u2| 〈w2|w1〉 (2.1.9)

Το μερικό ίχνος ως προς W παράγει έναν τελεστή στο χώρο V .

2.2 Πίνακας Πυκνότητας

Μια μεικτή κατάσταση αναφέρεται σε μια συλλογή καταστάσεων και των πιθανοτήτων

που συνδέονται με αυτές: |Ψi〉 , pi [6, 7]. Το σύνολο |Ψi〉 αποτελεί μια ορθοκανονικήβάση στον χώρο Hilbert του συστήματος και το άθροισμα των πιθανοτήτων ισούται με την

μονάδα,∑ipi = 1. Η αναμενόμενη τιμή ενός τελεστή A ως προς τη συλλογή αυτή ορίζεται

ως εξής ⟨A⟩

ensemble=∑i

pi 〈Ψi|A|Ψi〉 (2.2.1)

όπου οι αναμενόμενες τιμές του τελεστή στις καταστάσεις |Ψi〉 σταθμίζονται με τις αντίσ-τοιχες πιθανότητες.

Μπορούμε να σκεφτούμε τη συλλογή αυτή σαν μια συλλογή πολλών κβαντικών συστη-

μάτων, με το ποσοστό των συστημάτων που βρίσκονται στην κατάσταση |Ψi〉 να δίδεται απότην πιθανότητα pi. ΄Οταν όλα τα συστήματα είναι πανομοιότυπα και βρίσκονται στην ίδια

κατάσταση, η συλλογή περιγράφεται από μια καθαρή κατάσταση. Στη γενικότερη περίπτωση

όμως η συλλογή περιγράφεται από μια μεικτή κατάσταση.


Παρεμβάλλοντας μια σχέση πληρότητας στην (2.2.1) παίρνουμε⟨A⟩

=∑i

∑n

pi 〈Ψi| A |n〉〈n|Ψi〉 =∑n

〈n| ρA |n〉 = Tr(ρA)

(2.2.2)

όπου ρ ο πίνακας πυκνότητας που συνδέεται με τη συλλογή:

ρ =∑i

pi |Ψi〉〈Ψi| (2.2.3)

Ο πίνακας πυκνότητας χαρακτηρίζει πλήρως τη συλλογή αφού με βάση αυτόν προσδιορίζουμε

τη μέση τιμή οποιασδήποτε φυσικής ποσότητας ως προς τη συλλογή.

΄Ενας πίνακας πυκνότητας πρέπει να ικανοποιεί τις τρεις πιο κάτω ιδιότητες:

1. Tr(ρ) =∑ipi = 1.

2. Είναι ερμιτιανός τελεστής, ρ† = ρ.

3. Οι ιδιοτιμές του είναι πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν την ανισότητα 0 ≤ ρi ≤ 1.

Κάτω από έναν μοναδιακό μετασχηματισμό παίρνουμε

ρ ′ =∑i

pi∣∣Ψ′i⟩ ⟨Ψ′i∣∣ =

∑i

pi U |Ψi〉〈Ψi|U † = UρU † (2.2.4)

2.2.1 Σύστημα δυο υποσυστημάτων

Γράφημα 2.2.1: Σύστημα δυο υποσυτημάτων A και B

΄Εστω το σύστημα W αποτελείται από δύο μη αλληλεπιδρώντα υποσυστήματα A και B,

όπως φαίνεται στην εικόνα 2.2.1 1. Τα δυο υποσυστήματα μπορούν να περιγραφούν πλήρως1Θεωρούμε ότι τα δύο υποσυστήματα βρίσκονταν σε επαφή στο παρελθόν.


από τις βάσεις |α〉 και |β〉 αντίστοιχα, τις οποίες επιλέγουμε να είναι ορθοκανονικές.Το συνολικό σύστημα W μπορεί να ιδωθεί ως το τανυστικό γινόμενο A⊗ B. Μια γενική

κατάσταση του W περιγράφεται από την επαλληλία:

|Ψ〉 =∑α,β

Cαβ |α〉 ⊗ |β〉 (2.2.5)

Θεωρούμε ότι η |Ψ〉 είναι κανονικοποιημένη. Παρόλο που τα δυο υποσυστήματα δεν αλλη-λεπιδρούν μεταξύ τους, αυτά μπορεί να βρίσκονται σε κβαντική σύμπλεξη. Στην περίπτωση

αυτή, η κατάσταση |Ψ〉 δεν αποτελεί γινόμενο καταστάσεων των A και B, και το κάθε

υποσύστημα περιγράφεται από μια μεικτή κατάσταση.

Θεωρούμε ότι το συνολικό σύστημα W βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση, η οποία

περιγράφεται από τον πίνακα πυκνότητας ρ = |Ψ〉〈Ψ|. Ο τελεστής αυτός είναι ένας προβο-λικός τελεστής. ΄Ολες οι ιδιοτιμές του είναι ίσες με μηδέν, εκτός από μια ιδιοτιμή που ισούται

με τη μονάδα. Χρησιμοποιώντας τη σχέση 2.2.5, ο πίνακας πυκνότητας γράφεται:

ρ =

∑α,β

Cαβ |α〉 ⊗ |β〉

∑α′,β′

C∗α′β′⟨α′∣∣⊗ ⟨β′∣∣

=∑α,β

∑α′,β′

CαβC∗α′β′

(|α〉⟨α′∣∣⊗ |β〉 ⟨β′∣∣) (2.2.6)

Θα δείξουμε ότι γενικά το κάθε υποσύστημα περιγράφεται από μια μεικτή κατάσταση και

θα προσδιορίσουμε τον αντίστοιχο πίνακα πυκνότητας. Ειδικότερα εάν τα υποσυστήματα

βρίσκονται σε σύμπλεξη, τότε θα περιγράφονται από μεικτούς πίνακες πυκνότητας.

΄Εστω ο OA ερμιτιανός τελεστής που δρα στο υποσύστημα A. Ο τελεστής OW = OA⊗1

που δρα στο συνολικό σύστημα αντιστοιχεί στην ίδια φυσική ποσότητα, αφού δεν επηρεάζει


το υποσύστημα B. Η αναμενόμενη τιμή του τελεστή OW στην κατάσταση |Ψ〉 ισούται με:⟨OW

⟩= 〈Ψ|OW |Ψ〉

=∑α′,β′

C∗α′β′⟨α′∣∣ ⟨β′∣∣

OA ⊗ 1∑α,β

Cαβ |α〉 |β〉

=

∑α′,β′,α,β

C∗α′β′Cαβ⟨α′∣∣ OA |α〉 ⟨β′∣∣β⟩

=∑

α′,α′′,α,β

C∗α′βCαβ⟨α′∣∣ OA ∣∣α′′⟩ ⟨α′′∣∣α⟩

=∑

α′,α′′,α,β

C∗α′βCαβ⟨α′′∣∣α⟩ ⟨α′∣∣ OA ∣∣α′′⟩

=∑α′′

⟨α′′∣∣ ∑

α′,α,β

C∗α′βCαβ∣∣α⟩⟨α′∣∣

OA∣∣α′′⟩

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση ορθογωνιότητας 〈β′|β〉 = δββ′ και τη σχέση πληρότητας

που συνδέεται με τη βάση |α〉.

Εάν ο πίνακας πυκνότητας που περιγράφει το υποσύστημα A είναι ο ρA, η μέση τιμή του

τελεστή OA, ως προς το υποσύστημα A δίνεται από την έκφραση:⟨OA

⟩= Tr

(ρAOA

)=∑α′′

⟨α′′∣∣ ρAOA ∣∣α′′⟩

΄Ομως οι δύο αναμενόμενες τιμές πρέπει να είναι οι ίδιες,⟨OA

⟩=⟨OW

⟩Συγκρίνοντας τις δύο εκφράσεις, βρίσκουμε τον πίνακα πυκνότητας ρA:

ρA ≡∑α,α′,β

CαβC∗α′β |α〉

⟨α′∣∣ (2.2.7)

Τώρα, παίρνοντας το μερικό ίχνος του ρ ως προς το υποσύστημα B και χρησιμοποιώντας

τις σχέσεις 2.1.8 και 2.1.9 παίρνουμε:

TrB(ρ) =∑α,α′,β


⟨α′∣∣ = ρA (2.2.8)


Επομένως ο πίνακας πυκνότητας ρA προκύπτει αφού πάρουμε το μερικό ίχνος του ρ ως

προς το υποσύστημα B. Τα στοιχεία του πίνακα πυκνότητας αυτού είναι

ρA(α, α′) = 〈α| ρA∣∣α′⟩ =

∑β

CαβC∗α′β (2.2.9)

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να προσδιορίσουμε τον πίνακα πυκνότητας του υποσυστή-

ματος B παίρνοντας το μερικό ίχνος του ρ ως προς το υποσύστημα A:

ρB =∑α,β,β′

CαβC∗αβ′ |β〉

⟨β′∣∣ (2.2.10)

Ας ελέγξουμε εάν ικανοποιούνται οι τρεις ιδιότητες του πίνακα πυκνότητας για τον

τελεστή ρA: Πρώτα υπολογίζουμε το ίχνος

Tr(ρA) =∑

α,α′,β,α′′

CαβC∗α′β

⟨α′′∣∣α⟩ ⟨α′∣∣α′′⟩ =

∑α,α′,β

CαβC∗α′β

⟨α′∣∣α⟩

=∑α,β

CαβC∗αβ =

∑α,β

|Cαβ|2 = 1

΄Επειτα δείχνουμε ότι ισχύει η σχέση ερμιτιανότητας

ρ†A =∑α,α′,β

C∗αβCα′β∣∣α′⟩ 〈α| = ∑

α′,α,β

C∗α′βCαβ |α〉⟨α′∣∣ = ρA

Τέλος αρκεί να αποδείξουμε ότι οι ιδιοτιμές του πίνακα πυκνότητας είναι μη αρνητικοί

πραγματικοί αριθμοί. ΄Εστω λοιπόν ότι το διάνυσμα |v〉 ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πυκνότηταςμε ιδιοτιμή λ: ρA |v〉 = λ |v〉. Οπότε

λ = 〈v|ρ†A|v〉 =∑α,α′,β

CαβC∗α′β 〈v|α〉

⟨α′∣∣v⟩

=∑β

(∑α

Cαβ 〈v|α〉

)(∑α′

Cα′β⟨v∣∣α′⟩)∗

=∑β

|Cαβ|2|〈v|α〉|2 ≥ 0

Εάν η κατάσταση |Ψ〉 μπορεί να γραφεί ως γινόμενο, τότε τα δυο υποσυστήματα περιγρά-φονται από καθαρές καταστάσεις και δεν υπάρχει σύμπλεξη μεταξύ των βαθμών ελευθερίας


τους. Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές Cαβ γράφονται ως γινόμενο, οπότε

ρA =∑α,α′,β

CαCβ C∗α′C

∗β |α〉

⟨α′∣∣

=∑β

|Cβ|2(∑

α

Cα |α〉

)(∑α′

C∗α′⟨α′∣∣)

= |ΨA〉〈ΨA|

(2.2.11)

όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση κανονικοποίησης∑β

|Cβ|2 = 1. Η τελευταία σχέση αυτή

προκύπτει ως εξής ∑αβ

|Cαβ|2 =∑α

|Cα|2∑β

|Cβ|2 = 1

Συνεπώς, αυτός ο πίνακας πυκνότητας έχει μια ιδιοτιμή ίση με την μονάδα ενώ όλες οι άλλες

είναι ίσες με μηδέν.

2.3 Εντροπία σύμπλεξης

Η εντροπία Von Neumann αποτελεί ποσοτικό μέτρο της απόκλισης ενός συστήματος

από μια καθαρή κατάσταση. Αποτελεί επίσης μέτρο της κβαντικής σύμπλεξης μεταξύ των

δύο υποσυστημάτων. (Δες για παράδειγμα [2, 7, 5]). Για τον λόγο αυτό ονομάζεται και

εντροπία σύμπλεξης. Ορίζεται με βάση τη σχέση

S = −Tr(ρ log ρ) (2.3.1)

΄Οταν ο πίνακας πυκνότητας ρ είναι διαγώνιος πίνακας, τότε η εντροπία σύμπλεξης μπορεί

να γραφτεί ως:

S = −∑j

pj log pj (2.3.2)

όπου pj οι ιδιοτιμές του πίνακα πυκνότητας. Κάθε όρος του αθροίσματος είναι ίσος με μια

μη αρνητική ποσότητα αφού οι ιδιοτιμές του ρ είναι μικρότερες της μονάδας.

΄Οταν το σύστημα βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση, ο πίνακας πυκνότητας ταυτίζεται

με έναν προβολικό τελεστή, ο οποίος έχει μια ιδιοτιμή ίση με την μονάδα, p1 = 1, και τις

υπόλοιπες ίσες με μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, η εντροπία Von Neumann μηδενίζεται:

S = −1 log 1−∑i 6=1

0 log 0 = 0 (2.3.3)


Η εντροπία παίρνει τη μέγιστη της τιμή όταν όλες οι καταστάσεις Ψi της συλλογής είναι

ισοπίθανες, δηλαδή όταν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα πυκνότητας είναι ίσες με 1N , όπου N η

διαστατικότητα του χώρου Hilbert του συστήματος. Ο πίνακας πυκνότητας είναι ανάλογος

του μοναδιαίου πίνακα:

ρ =1

N1NxN (2.3.4)

και βρίσκεται σε πλήρη αποσυνοχή. Η εντροπία Von Neumann παίρνει τη μέγιστη της τιμή

και ισούται με το λογάριθμο της διαστατικότητας του χώρου Hilbert του συστήματος.

S = −N∑i

1

Nlog

1

N= logN (2.3.5)

2.3.1 Εντροπία σύμπλεξης δύο υποσυστημάτων

Ας θεωρήσουμε πάλι το σύστημα W το οποίο αποτελείται από τα υποσυστήματα A και

B. ΄Εστω |ϕ〉 ιδιοδιάνυσμα του πίνακα πυκνότητας ρA, 2.2.7, με μη μηδενική ιδιοτιμή λ:

ρA |ϕ〉 = λ |ϕ〉∑α,α′,β


⟨α′∣∣ϕ⟩ = λ |ϕ〉

∑α,α′,β

CαβC∗α′β

⟨α′∣∣ϕ⟩ = λ 〈α|ϕ〉

(2.3.6)

Θα δείξουμε ότι ο πίνακας πυκνότητας ρB έχει την ίδια ιδιοτιμή. Θεωρούμε λοιπόν την

επαλληλία |x〉 =∑β

xβ |β〉, με συντελεστές xβ =∑α′Cα′β 〈ϕ|α′〉. Τότε

ρB |x〉 =∑α,β,β′

CαβC∗αβ′ |β〉

⟨β′∣∣x⟩

=∑

α,α′,β,β′,β′′

CαβC∗αβ′ |β〉Cα′β′′

⟨β′∣∣β′′⟩ ⟨ϕ∣∣α′⟩

=∑α,β

Cαβ |β〉

∑α′,β′

Cαβ′C∗α′β′

⟨α′∣∣ϕ⟩∗

= λ∗∑α,β

Cαβ |β〉〈ϕ|α〉

= λ |x〉

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 2.3.6 και λ = λ∗ (αφού ο ρA είναι ερμιτιανός). Συνεπώς,

οι μη μηδενικές ιδιοτιμές των ρA και ρB είναι ίσες με την προϋπόθεσή ότι το σύστημα W

βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση.


Επειδή η εντροπία Von Neumann του υποσυστήματος A καθορίζεται από τις μη μη-

δενικής ιδιοτιμές του πίνακα πυκνότητας ρA, αυτή ισούται με την εντροπία Von Neumann

του υποσυστήματος B:

SA = −∑j

(λA)j log(λA)j = −∑j

(λB)j log(λB)j = SB

Για αυτό η εντροπία Von Neumann στην περίπτωση αυτή ονομάζεται εντροπία σύμπλεξης.

Η μέγιστη της τιμή καθορίζεται από την μικρότερη διαστατικότητα των χώρων Hilbert των

δύο υποσυστημάτων.

Η εντροπίαVon Neumann του ολικού συστήματοςW είναι ίση με μηδέν, 2.3.3. Επομένως

η εντροπία σύμπλεξης δεν είναι προσθετική.

2.3.2 Σύστημα δυο φερμιονίων συνολικού σπιν 0

Ας μελετήσουμε ένα απλό παράδειγμα για να κατανοήσουμε καλύτερα την κβαντική

σύμπλεξη.

Θεωρούμε ένα σύστημα δυο φερμιονίων με συνολικό σπιν 0. ΄Εστω η

|Ψ〉 =|↑↓〉 − |↓↑〉√

2(2.3.7)

η καθαρή κατάσταση που περιγράφει το σύστημα. Αρχικά, προσδιορίζουμε τον πίνακα

πυκνότητας του συστήματος:

ρAB = |Ψ〉〈Ψ|

=

(|↑↓〉 − |↓↑〉√

2

)(〈↑↓| − 〈↓↑|√

2

)=|↑↓〉〈↑↓| − |↑↓〉〈↓↑| − |↓↑〉〈↑↓|+ |↓↑〉〈↓↑|

2

Προσδιορίσουμε τον πίνακα πυκνότητας του 1ου σπιν:

ρA = TrB(ρAB)

=|↑〉〈↑|Tr(|↓〉〈↓|)

2− |↓〉〈↑|Tr(|↑〉〈↓|)

2− |↑〉〈↓|Tr(|↓〉〈↑|)

2+|↓〉〈↓|Tr(|↑〉〈↑|)

2

=|↑〉〈↑|+ |↓〉〈↓|

2


όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση 2.1.8. Ο πίνακας πυκνότητας μπορεί να αναπαρασταθεί

από τον πίνακα:

ρA =

(12 0

0 12

)

Παρατηρούμε ότι το 1ο φερμιόνιο περιγράφεται από μια μεικτή κατάσταση. Οπότε δεν

γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα το σπιν του πρώτου φερμιονίου, παρόλο που για το

συνολικό σύστημα δυο φερμιονίων μπορούμε να πούμε με 100% βεβαιότητα ότι βρίσκεται

στην κατάσταση με συνολικό σπιν μηδέν.

Η εντροπία σύμπλεξης δίνεται από τη σχέση μιας πλήρως συνμπλεγμένης κατάστασης

2.3.5:

S = log 2

Στην πραγματικότητα η πιο πάνω κατάσταση |Ψ〉 αποτελεί μια από τις 4 ορθοκανονικέςκαταστάσεις, οι οποίες είναι πλήρως συνμπλεγμένες καταστάσεις. Οι καταστάσεις αυτές

ονομάζονται ζεύγη Bell:

∣∣Φ±⟩ =|00〉 ± |11〉√

2∣∣Ψ±⟩ =|01〉 ± |10〉√

2

2.4 Συλλογή Maxwell-Boltzmann

Οι διάφορες συλλογές στη φύση μπορούν να περιγραφούν από πίνακες πυκνότητας. Η

κανονική συλλογή B.4 περιγράφεται από ένα πίνακα πυκνότητας της μορφής:

ρθ =e−βH

Z(2.4.1)

όπου Z η συνάρτηση επιμερισμού, σχέση B.4.1 και β = 1/T , όπου T η θερμοκρασία.

Η συνάρτηση επιμερισμού μπορεί να ιδωθεί και ως ένα Ευκλείδειο συναρτησιακό ολοκ-

λήρωμα, C.3.1, με περιοδικές συνθήκες ϕf (~x) = ϕi(~x) = ϕ(~x):

Z = Tr(e−βH

)=

∫dϕ 〈ϕ| e−βH |ϕ〉 =

∫[Dϕ(~x)]p e

−SE (2.4.2)


όπου SE η Ευκλείδεια δράση. Η αρχική και η τελική τιμή των πεδίων ταυτίζονται για κάθε

θέση. Ισοδύναμα μπορούμε να υποθέσουμε ότι η Ευκλείδεια χρονική διάσταση συμπαγοποιεί-

ται σε κύκλο με περίοδο ίση το αντίστροφο της θερμοκρασίας, β. Η πολλαπλότητα στην

οποία ζουν τα πεδία ανάγεται στην S1 ×R3.

Σε μια βάση ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας, τελεστής e−βH είναι διαγώνιος, και έτσι ο

θερμικός πίνακας πυκνότητας γράφεται:

ρθ =1

Z

∑i

e−βEi |Ei〉〈Ei|

Η θερμική εντροπία του συστήματος ταυτίζεται με την εντροπία σύμπλεξης, σχέση 2.3.1.

Ισούται με

Sth = −∑i

e−βEi

Zlog

(e−βEi

Z

)=∑i

e−βEi

ZβEi +

∑i

e−βEi

Zlog(Z)

= β∑i

Eie−βEi

Z+ log(Z)

(2.4.3)

Με βάση τις σχέσεις B.4.2 και B.4.5, η θερμική εντροπία ανάγεται στη γνωστή μορφή:

Sth = β(U − F ) (2.4.4)

όπου U η εσωτερική ενέργεια και F η ελεύθερη ενέργεια του συστήματος.

Στο όριο υψηλών θερμοκρασιών, T → ∞, παίρνουμε τη μέγιστη τιμή της εντροπίας.

Σύμφωνα με τη σχέση 2.4.3:

Smax = limβ→0

S = limβ→0

logZ = limβ→0

log

(N∑i

e−βEi

)= logN

όπου N η διαστατικότητα του χώρου Hilbert.

2.5 Θερμικότητα του κενού από την σκοπιά επιταχυνό-

μενου παρατηρητή

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την θερμικότητα του κενού του επίπεδου χωροχρό-

νου Minkowski, από την σκοπιά του παρατηρητή Rindler. ΄Οπως αναφέραμε προηγουμένως,

ο παρατηρητής αυτός κινείται με ομοιόμορφη επιτάχυνση α (σε σχέση με έναν αδρανειακό


παρατηρητή), έτσι ώστε ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του με τον χρόνο να παραμένει

σταθερός. ΄Οπως θα δούμε, ο παρατηρητής Rindler αντιλαμβάνεται το κενό Minkowski ως

μια δεξαμενή θερμότητας με μη μηδενική θερμοκρασία, ίση με α/2π. Το φαινόμενο αυτό

είναι καθαρά ένα κβαντικό φαινόμενο και ονομάζεται φαινόμενο Unruh [8]. Αποτελεί τη

βάση για την εξήγηση της εκπομπής της ακτινοβολίας Hawking κατά την εξαύλωση των

μαύρων τρυπών [9].

Θεωρούμε ένα σύστημα κβαντικών πεδίων στο χωροχρόνοMinkowski. Αρκεί να μελετή-

σουμε την περίπτωση ενός μποζονικού πεδίου Φ(x) στη βασική του κατάσταση.

Η μετρική στο χωροχρόνο Minkowski είναι η

ds2 =−dT 2+dZ2+dX2+dY 2

Με έναν υπερβολικό μετασχηματισμό συντεταγμένων T =ρ sinhω και Z=ρ coshω παίρνου-

με την μετρική Rindler:

ds2 = −ρ2dω2 + dρ2 + dX2 + dY 2 (2.5.1)

Ο παρατηρητής Rindler ακολουθεί την τροχιά ρ = ρ =σταθ, ή ισοδύναμα την υπερβολική

τροχιά Z2 − T 2 = ρ2. Επιταχύνεται κατά μήκος του θετικού άξονα Z με ομοιόμορφη

επιτάχυνση ίση με 1/ρ.

Στο κεφάλαιο 1.2.4, είδαμε ότι κοντά στον ορίζοντα, ο παρατηρητής Schwarzschild

ισοδυναμεί με τον επιταχυνόμενο παρατηρητή Rindler. Επίσης, είδαμε ότι ο παρατηρητής

Rindler έχει πρόσβαση μόνο σε ένα τμήμα του χωροχρόνου Minkowski, το τμήμα Z ≥ |T |.Συγκεκριμένα δεν έχει πρόσβαση στην περιοχή ΙΙΙ (η οποία περιλαμβάνει τον αρνητικό άξονα

των Z), γράφημα 2.5.1, αφού ούτε μπορεί να στείλει αλλά ούτε και να λάβει πληροφορίες

από την περιοχή αυτή. Η περιοχή Ι (Z ≥ |T |) με την οποία ο επιταχυνόμενος παρατηρητήςβρίσκεται σε καλή αιτιατική επαφή διαμερίζεται από τον υπόλοιπο χωροχρόνο Minkowski

από τον μελλοντικό και παρελθοντικό ορίζοντα, Z = T και Z = −T αντίστοιχα.


Γράφημα 2.5.1: Ευκλείδειος επίπεδος χώρος. Κβαντικά πεδία χωρίζονται αριστερά καιδεξιά του σημείου (0, 0).

Τη χρονική στιγμή ω = 0, όπου T = 0, o παρατηρητής Rindler μπορεί να εκτελέσει

μετρήσεις και πειράματα μόνο στο μισό χώρο Z > 0. Οι πεδιακοί τελεστές στα σημεία

της περιοχής αυτής είναι ανεξάρτητοι από τους πεδιακούς τελεστές στον χώρο Z < 0. Ο

ορίζοντας Z = 0, ο οποίος ταυτίζεται με το επίπεδο XY , διαχωρίζει τις δύο περιοχές. Το

κβαντικό σύστημα πεδίου διαμερίζεται σε δύο υποσυστήματα που συνδέονται με τις περιοχές

Z > 0 και Z < 0. Κάθε πεδίο μπορεί να περιγραφεί στη μορφή:

Φ(X,Y, Z) =

ΦR(X,Y, Z) για Z > 0

ΦL(X,Y, Z) για Z < 0

Οι κβαντικές καταστάσεις των πεδίων ΦR και ΦL ανήκουν στους χώρους Hilbert HR

και HL αντίστοιχα. Ο συνολικός χώρος Hilbert είναι το τανυστικό γινόμενο HR ⊗ HL.

΄Οπως θα δούμε στην κατάσταση κενού οι βαθμοί ελευθερίας των δύο υποσυστημάτων είναι

συνμπλεγμένοι, με αποτέλεσμα η περιοχή Ι να περιγράφεται από έναν μη τετριμμένο πίνακα

πυκνότητας.

Στην εικόνα Schrodinger, η κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του κβαντικού

πεδίου είναι ένα συναρτησιακό της μορφής

Ψ[Φ0] = Ψ[ΦL,ΦR] (2.5.2)

όπου Φ0 οι τιμές του πεδίου στα διάφορα σημεία του χώρου τη χρονική στιγμή T = 0. Η κυ-

ματοσυνάρτηση αυτή μπορεί να υπολογιστεί ως ένα Ευκλείδειο συναρτησιακό ολοκλήρωμα,


σχέση C.3.1:

Ψ[Φ0] =1√Z

∫[DΦ(TE < 0)]Φ(~x,TE=0)=Φ0(~x) e

−SE (2.5.3)

όπου 1/√Z παράγοντας κανονικοποίησης.

Η μετάβαση στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί να επιτευχθεί μέσω αναλυτικής συνέχειας της

χρονικής συντεταγμένης Rindler: ω = −iϕ, όπου ϕ ∈ [0, 2π). Η μετρική Rindler ανάγεται

στην μετρική του επίπεδου Ευκλείδειου χώρου στις πολικές συντεταγμένες:

ds2 = ρ2dϕ2 + dρ2 + dX2 + dY 2

Οι υπερβολές ρ=σταθ ανάγονται σε κύκλους με κέντρο το σημείο (0, 0). Η περιοδικότητα

στον Ευκλείδειο χρόνο, ίση με 2π, επιβάλλεται ώστε να αποφευχθεί κωνική ανωμαλία, με

κορυφή το σημείο (0, 0) και άπειρη καμπυλότητα στο σημείο αυτό.

Η μετρική Rindler παραμένει αναλλοίωτη ως προς μια χρονική μεταφορά ω → ω+σταθ,

η οποία ισοδυναμεί με μια ώθηση Lorentz κατά μήκος του άξονα των Z. O γεννήτορας των

μεταφορών αυτών είναι η χαμιλτονιανή Rindler, HR = i∂ω, με βάση την οποία χρονοεξελίσ-

σονται οι καταστάσεις στο επιταχυνόμενο σύστημα αναφοράς.

Καθώς εξελίσσεται ο Ευκλείδειος χρόνος, η πολική ημιευθεία ϕ = π περιστρέφεται αρισ-

τερόστροφα ως προς το σημείο (0, 0). Αυτό μας επιτρέπει να ερμηνεύσουμε το Ευκλείδειο

συναρτησιακό ολοκλήρωμα 2.5.3, ως ένα πλάτος μετάβασης ή μια περιστροφή κατά π από

την αρχική κατάσταση |ΦL〉 στην τελική κατάσταση |ΦR〉:

Ψ[ΦR,ΦL] =1√Z〈ΦR| e−πHR |ΦL〉 (2.5.4)

Συνεπώς η βασική κατάσταση του χωροχρόνου Minkowski γράφεται ως:

|Ψ〉 =∑

ΦL,ΦR

Ψ(ΦR,ΦL) |ΦL〉 ⊗ |ΦR〉 (2.5.5)

Η κατάσταση αυτή δεν αποτελεί γινόμενο και επομένως οι βαθμοί ελευθερίας των δύο

υποσυστημάτων (που συνδέονται με τις περιοχές Ι και ΙΙΙ) είναι συνπλεγμένοι.


Για να βρούμε τον πίνακα πυκνότητας της περιοχής Ι, παίρνουμε το μερικό ίχνος ρR =

TrL(|Ψ〉〈Ψ|), ως προς το αριστερό σύστημα:

ρR =∑

ΦL,ΦR,ΦR′

Ψ(ΦR,ΦL)Ψ∗(ΦR′ ,ΦL) |ΦR〉〈ΦR′ |

=1

Z

∑ΦL,ΦR,ΦR′

〈ΦR| e−πHR |ΦL〉〈ΦL| e−πHR |ΦR′〉 |ΦR〉〈ΦR′ |

=1

Ze−2πHR

(2.5.6)

όπου χρησιμοποιήσαμε την έκφραση 2.5.4 και τις σχέσεις πληρότητας και ορθογωνιότητας

των καταστάσεων του πεδίου. Ο πίνακας πυκνότητας αυτός είναι ένας θερμικός πίνακας

πυκνότητας 2.4.1 με θερμοκρασία Rindler, T = 1/2π.

H κανονική θερμοκρασία που καταγράφεται στο θερμόμετρο του παρατηρητή Rindler

ισούται με:

Tρ =TR√g00

=1

2πρ(2.5.7)

Αφού ο παρατηρητής Rindler κινείται με επιτάχυνση α(ρ) = 1/ρ, η θερμοκρασία δίδεται από

τη σχέση Tρ = α/2π. Είναι ανάλογη της επιτάχυνσης και αυξάνεται καθώς πλησιάζουμε

τον ορίζοντα ρ = 0. Η θερμοκρασία αυτή ονομάζεται και θερμοκρασία Unruh.

Κεφάλαιο 3

Θερμοδυναμική στις μαύρες

τρύπες

Οι μαύρες τρύπες εκπέμπουν ακτινοβολία (φαινόμενο Hawking) [9]. Το φαινόμενο

αυτό οφείλεται στις κβαντικές διακυμάνσεις κοντά στον ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας, ο

οποίος τοπικά ισοδυναμεί με τον ορίζοντα Rindler. Στην περίπτωση του καμπυλωμένου

χωρόχρονου δυνητικά ζεύγη σωματιδίων διαχωρίζονται με το ένα σωματίδιο να καταλήγει

στην μαύρη τρύπα και το άλλο να διαφεύγει στο άπειρο υπό μορφή θερμικής ακτινοβολίας.

Θα εξαγάγουμε την εντροπία της μαύρης τρύπας (εντροπία Bekenstein-Hawking) [10]

ως απόρροια του 1ου θερμοδυναμικού νόμου και θα δείξουμε ότι μια τοπική θεωρία πεδίων

αδυνατεί να περιγράψει τους βασικούς βαθμούς ελευθερίας της μαύρης τρύπας. Τέλος, θα

αναφερθούμε στις ηλεκτρικά φορτισμένες μαύρες τρύπες και στις ιδιότητες που παρουσιά-

ζουν.

3.1 Ακτινοβολία Hawking

Συνεχίζουμε αναλυτικώς την χρονική συντεταγμένη Schwarzschild 1.2.2 ώστε να πάρου-

με την Ευκλείδεια μετρική. Η εξωτερική περιοχή r ≥ 2GM καλύπτει πλήρως την Ευκλείδεια

πολλαπλότητα. Παίρνουμε:

ds2 =

(1− 2MG

r

)dt2E +

dr2

1− 2MGr

+ r2dΩ2

όπου tE ο Ευκλείδειος χρόνος.

36

Θερμοδυναμική στις μαύρες τρύπες 37

Ακολούθως εξετάζουμε την περιοχή κοντά στον ορίζοντα, χρησιμοποιώντας την προσέγ-

γιση 1.2.16, και γράφουμε την μετρική κατά αναλογία με την εξίσωση 1.2.17 ως:

ds2 = ρ2dϕ2 + dρ2 + (2MG)2dΩ2 (3.1.1)

όπου η συντεταγμένη ϕ ορίζεται ως:

ϕ ≡ tE4GM

(3.1.2)

Η ϕ πρέπει να είναι περιοδική, ϕ → ϕ + 2π, ώστε να αποφεύγεται οποιαδήποτε κωνική

ανωμαλία, επειδή κοντά στον ορίζοντα η μετρική είναι κατά πολύ καλή προσέγγιση επίπεδη.

Επομένως ο Ευκλείδειος χρόνος συμπαγοποιείται σε κύκλο με περίοδο:

tE → tE + 8πGM

Κοντά στον ορίζοντα της μαύρης τρύπας λαμβάνουν χώρα θερμικές διακυμάνσεις. όπως

έχουμε δει στο προηγούμενο κεφάλαιο. ΄Ολα τα Ευκλείδεια συναρτησιακά ολοκληρώματα

είναι θερμικά. Η ενεργός θερμοκρασία ταυτίζεται με το αντίστροφο της περιμέτρου του

Ευκλείδειου χρονικού κύκλου:

Tp =1

8πGM√

1− 2MGr

(3.1.3)

Παρατηρούμε ότι καθώς πλησιάζουμε τον ορίζοντα, r → 2GM , η θερμοκρασία απειρίζε-

ται. Από την άλλη, η θερμοκρασία που καταγράφεται στο θερμόμετρο ενός αδρανειακού

παρατηρητή στο άπειρο είναι η θερμοκρασία Hawking:

TH =1

8πGM(3.1.4)

Ασυμπτωτικά η Ευκλείδεια πολλαπλότητα έχει την τοπολογία κύκλου επί δισδιάστατης

σφαίρας: S1 × S2. Στο πιο κάτω γράφημα απεικονίζεται η Ευκλείδεια πολλαπλότητα

Schwarzschild.


Γράφημα 3.1.1: Ευκλείδεια πολλαπλότητα μαύρης τρύπας. Ο Ευκλείδειος χρόνος

συμπαγοποιείται σε κύκλο με περίοδο 8πGM . Κάθε σημείο του σχήματος αντιστοιχείσε μια σφαίρα S2

ακτίνας r.

΄Εχουμε δει από την μελέτη κλασσικών βαθμωτών πεδίων στη γεωμετρία Schwarzschild

B.3.1 ότι υπάρχει ένα φράγμα δυναμικού με μέγιστο σε απόσταση περίπου ίση με r ≈ 3MG

από τον ορίζοντα. Σωματίδια με αρκετά μεγάλη ενέργεια μπορούν να διαφύγουν στο άπειρο

υπερπηδώντας το φράγμα δυναμικού. Κοντά στον ορίζοντα λόγω κβαντικών διακυμάνσεων

του κενού δημιουργούνται συνεχώς ζεύγη σωματιδίων-αντισωματιδίων. Είναι δυνατόν ένα

σωματίδιο με αρνητική ενέργεια να εισέλθει στη μαύρη τρύπα ενώ αυτό με θετική ενέργεια

να ξεπεράσει το φράγμα δυναμικού και να διαφύγει στο άπειρο. Τα άμαζα σωματίδια που

διαφεύγουν στο άπειρο έχουν μέση ενέργεια της τάξης της θερμοκρασίας Hawking E ∼1/8πGM , και παρατηρούνται υπό τη μορφή θερμικής ακτινοβολίας [9]. Επειδή σωματίδια

με αρνητική ενέργεια εισέρχονται στο εσωτερικό της, η μαύρη τρύπα σιγά - σιγά εξαϋλώνεται

χάνοντας ενέργεια.

Γράφημα 3.1.2: Ακτινοβολία Hawiking. ΄Ενα αντισωματίδιο (μπεζ κουκκίδα) πέφτει στηνμαύρη τρύπα ενώ ένα σωματιδιο (πράσινη κουκκίδα) διαφεύγει στο άπειρο. Σωματίδια και

αντισωματίδια δημιουργούνται και εξαϋλώνονται συνεχώς.


3.1.1 Ακτινοβολία Hawking στη Γη;

Μελετώντας την ακτινοβολία Hawking στις μαύρες τρύπες διερωτάται κανείς αν μπορεί

να συμβεί το ίδιο φαινόμενο και σε άλλα ουράνια σώματα όπως η Γη.

Ας θεωρήσουμε ένα ουράνιο σώμα μάζαςM και ακτίνας R και ένα σωματίδιο μάζαςm σε

ηρεμία στην επιφάνεια του ουράνιου σώματος χωρίς να αλληλεπιδρά με οτιδήποτε άλλο πέρα

από το πεδίο βαρύτητας του ουράνιου σώματος. Είναι δυνατόν το σωματίδιο αυτό, εξαιτίας

της αλληλεπίδρασης του με το πεδίο βαρύτητας του ουράνιου σώματος να έχει αρνητική

συνολική ενέργεια;

Η ολική ενέργεια του σωματιδίου είναι:

Eoλ = m− GMm

R(3.1.5)

Απαιτώντας αυτή να είναι αρνητική, παίρνουμε την ανισότητα R ≤ GM . Παρατηρούμε

ότι πρέπει το ουράνιο σώμα να είναι μια μαύρη τρύπα αφού η ακτίνα R είναι μικρότερη της

βαρυτικής του ακτίνας (r0 = 2MG). Μόνο εντός της μαύρης τρύπας μπορεί να πραγματωθεί

ένα σωματίδιο με αρνητική συνολική ενέργεια.

3.2 Εντροπία μαύρης τρύπας

Μια μαύρη τρύπα Schwarzschild έχει ενέργεια ίση με τη μάζα της M και εκπέμπει ακτι-

νοβολία Hawking με θερμοκρασία 1/8πGM . Με βάση τον 1ο θερμοδυναμικό νόμο πρέπει

να έχει και μη μηδενική εντροπία:

dE = TdS

dS = 8πGM dM

Ολοκληρώνουμε τη σχέση αυτή και βρίσκουμε την εντροπία μιας μαύρης τρύπας μάζας M :

S = 4πGM2

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η ακτίνα και το εμβαδόν του ορίζοντα ισούνται με R = 2MG και

A = 4πR2αντίστοιχα, η εντροπία γράφεται και:

S =A

4G=

A

4l2p(3.2.1)


Η εντροπία ισούται με το εμβαδόν του ορίζοντα σε μονάδες Planck και ονομάζεται εντροπία

Bakestein-Hawking. Μπορούμε να την σκεφτούμε ως τον αριθμό των στοιχειωδών επι-

φανειών Planck, οι οποίες συναποτελούν την επιφάνεια του ορίζοντα της μαύρης τρύπας.

Υπάρχει ένας στοιχειώδης βαθμός ελευθερίας για κάθε μικροσκοπική επιφάνεια Planck.

Αντιπροσωπεύει τον λογάριθμο του αριθμού των μικροκαταστάσεων της μαύρης τρύπας. Ο

αριθμός των μικροκαταστάσεων είναι της τάξης eSB.H = e4πGM2 .

3.2.1 Χρόνος ζωής της μαύρης τρύπας

Μια μαύρη τρύπα εκπέμπει ακτινοβολία όπως ένα μέλαν σώμα. Μπορούμε να εκτιμήσουμε

τον χρόνο ζωής μιας μαύρης τρύπας με βάση τον νόμο Stefan–Boltzmann. Η ένταση της

ακτινοβολίας που εκπέμπεται (ενέργεια ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα εμβαδού) ισούται με

τη θερμοκρασία στην τετάρτη δύναμη επί τη σταθερά Stefan–Boltzmann (σ = π2

60 ). Οπότε

έχουμε:

dM

dt dA= −σT 4

dM

dt= −16πG2M2σT 4

= − σ

256π3G2M2

όπου χρησιμοποιήσαμε την έκφραση για την θερμοκρασία Hawking, 3.1.4. Ολοκληρώνοντας

βρίσκουμε τον χρόνο εξαύλωσης της μαύρης τρύπας:

tevap =256

3

π3G2M3

σ

= 5120πG2M3

(3.2.2)

Για μάζες περίπου ίσες με την μάζα του ήλιου, M ∼ M, ο χρόνος είναι tevap ∼ 1060

χρόνια.

3.3 Εντροπία σύμπλεξης στο χωρόχρονο Rindler

Στο κεφάλαιο αυτό υπολογίζουμε την εντροπία σύμπλεξης του χωροχρόνου Rindler.

΄Οπως έχουμε δείξει ο χωρόχρονος Rindler περιγράφεται από έναν θερμικό πίνακα πυκνότη-

τας. Η κανονική θερμοκρασία είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης ρ από τον ορί-

ζοντα. Ισοδύναμα μπορούμε να εκτιμήσουμε την εντροπία που συνδέεται με την θερμική

ατμόσφαιρα στην εξωτερική περιοχή κοντά στον ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας.


Ο ορίζοντας Rindler είναι επίπεδος και έχει άπειρο εμβαδόν. Ταυτίζεται με το επίπεδο

XY στη θέση ρ = 0. Διαμερίζουμε τον κάθετο άξονα ω = 0 (θετικός άξονας Z) σε ίσα

τμήματα μήκους δρ το καθένα, όπως φαίνεται στο πιο κάτω γράφημα. Ο χώρος διαμερίζεται

σε άπειρα παραλληλεπίπεδα με πάχος δρ, και των οποίων οι έδρες είναι παράλληλες με το

επίπεδο XY.

Γράφημα 3.3.1: Συντεταγμένες Rindler στο χωρόχρονο Minkowski

Σε κάθε τμήμα η θερμοκρασία μπορεί να θεωρηθεί σταθερή, ίση με 1/(2πρ), όπου ρ η

απόσταση από τον ορίζοντα. Υπολογίζουμε την εντροπία στο χωρίο αυτό για ένα αέριο

άμαζων μποζονίων σε αυτή τη θερμοκρασία. Η εντροπία ισούται με S = 2π2V T 3/45, όπου

V = Aδρ ο όγκος του χωρίου (δες σχέση B.4.9). Αντικαθιστώντας βρίσκουμε την εντροπία

ανά μονάδα εμβαδού:

δS = Aδρ2π2

45

(1

2πρ

)3

δS

A=

1

180π

δρ

ρ3

S

A=

1

180π

∫ ∞ε

δρ

ρ3

Καθώς πλησιάζουμε τον ορίζοντα, η θερμοκρασία απειρίζεται. Επειδή δεν γνωρίζουμε

την ακριβή περιγραφή των βαθμών ελευθερίας του συστήματος σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες


της θερμοκρασίας Planck, επιβάλλουμε ένα κατώφλι ρ ≥ ε, αποκόβοντας την περιοχή κοντάστον ορίζοντα. Αναμένουμε ότι η συνεισφορά από την λεπτή αυτή περιοχή, αφού λάβουμε

υπόψη τη σωστή περιγραφή των βαθμών ελευθερίας του συστήματος, θα είναι συγκρίσιμη

με το αποτέλεσμα της πιο πάνω κανονικοποιημένης εντροπίας. Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε:

S ∼ A

ε2(3.3.1)

Η εντροπία που υπολογίσαμε δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την εντροπία Bakenstein-

Hawking 3.2.1:

A

ε2' A

4l2p

Συνεπώς το κατώφλι είναι της τάξης του μήκους Planck, ε ' lp.

Παρατηρούμε λοιπόν ότι μια τοπική θεωρία κβαντικών πεδίων δεν είναι συμβατή με την

εντροπία Bakenstein-Hawking, αφού η συνεισφορά από την περιοχή κοντά στον ορίζοντα θα

ήταν άπειρη. Αντίθετα όμως, στη θεωρία των χορδών φαίνεται να απαλείφεται το πρόβλημα

αυτό επειδή η θερμοκρασία δεν μπορεί να ξεπεράσει μια συγκεκριμένη πεπερασμένη τιμή.

Στη θεωρία των χορδών μπορούμε προσδιορίσουμε τις μικροκαταστάσεις μιας μαύρης τρύπας

και εφαρμόζοντας την μικροκανονική κατανομή αναπαράγουμε την εντροπία Bakenstein-

Hawking [11][12].

3.4 Ηλεκτρικά φορτισμένες μαύρες τρύπες

Στη φύση συνήθως δεν συναντούμε μαύρες τρύπες Schwarzschild αλλά περιστρεφόμενες

μαύρες τρύπες τύπου Kerr ή φορτισμένες μαύρες τρύπες. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετή-

σουμε ηλεκτρικά φορτισμένες μαύρες τρύπες με σφαιρική συμμετρία [13].

Στο παράρτημα A.2, εξαγάγουμε τη μετρική Reissner–Nordström, A.2.9, η οποία περι-

γράφει μια ηλεκτρικά φορτισμένη μαύρη τρύπα μάζας M και φορτίου Q:

ds2 = −(

1− 2MG

r+Q2G

r2

)dt2 +

(1− 2MG

r+Q2G

r2

)−1

dr2 + r2dΩ2 (3.4.1)

Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου είναι:

Er =Q

r2

Eθ,ϕ = 0, λόγω σφαιρικής συμμετρίας


Εάν το ηλεκτρικό πεδίο είναι αρκετά ισχυρό στον ορίζοντα, τότε θα παραχθούν ζεύγη

ηλεκτρονίων - ποζιτρονίων, σύμφωνα με το κβαντικό φαινόμενο Schwinger, τα οποία θα

αποφορτίσουν την μαύρη τρύπα. Οπότε το ηλεκτρικό πεδίο στον ορίζοντα πρέπει να είναι

αρκετά μικρότερο από μια οριακή τιμή, η οποία ισούται με το τετράγωνο της μάζας του

ηλεκτρονίου, έτσι ώστε η πιθανότητα να παραχθεί ένα τέτοιο ζεύγος να είναι εκθετικά

μικρή. Επομένως:

Q

r2' Q

M2G2<< m2

e

M2

Q>>

1

m2eG

2

Γενικά η μετρική Reissner–Nordström έχει δύο ορίζοντες, τον εξωτερικό (r+) και τον

εσωτερικό (r−) ορίζοντα. Θέτοντας g00 = 0 παίρνουμε:

r± = MG

[1±

√1− Q2

M2G

](3.4.2)

Οπότε η μετρική ξαναγράφεται στη μορφή:

ds2 = −(r − r+)(r − r−)

r2dt2 +

r2

(r − r+)(r − r−)dr2 + r2dΩ2 (3.4.3)

Εάν Q2 > M2G, οι πιο πάνω λύσεις είναι μιγαδικές και η μετρική παρουσιάζει μια χρονοειδή

γυμνή ανωμαλία στη θέση r = 0, χωρίς ορίζοντα. Η γενική σχετικότητα δεν μπορεί να

περιγράψει πλήρως αυτά τα σώματα. θα περιοριστούμε στην μελέτη μελανών οπών για τις

οποίες το φορτίο και η μάζα συνδέονται με την ανισότητα Q2 ≤M2G.

H μάζα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από μια οριακή τιμή. Συγκεκριμένα εάνM2 = Q2/G,

r+ = r−, και οι δύο ορίζοντες συμπίπτουν. Στην περίπτωση αυτή η μαύρη τρύπα ονομάζεται

οριακή (extremal).

Εξετάζουμε στη συνέχεια την περιοχή κοντά στον εξωτερικό ορίζοντα. Η ακτινική

απόσταση από τον εξωτερικό ορίζοντα ισούται με:

ρ =

∫ r

r+

rdr√(r − r+)(r − r−)

Ορίζουμε τα ακολούθα:

Σ ≡ r+ + r− (3.4.4)

∆ ≡ r+ − r− (3.4.5)


y ≡ r − Σ

2(3.4.6)

και το ολοκλήρωμα παίρνει την μορφή:

ρ =

∫y + Σ

2[y2 −

(∆2

)2] 12

dy

Θέτουμε y = ∆ coshx/2 και εκτελούμε το ολοκλήρωμα. Βρίσκουμε

ρ =

[y2 −

(∆

2

)2] 1

2

+Σ

2cosh−1

(2y

∆

)(3.4.7)

Η επαγόμενη μετρική, σε μια φέτα θ, ϕ=σταθ, γράφεται:

ds2 = −y2 −

(∆2

)2(y + Σ

2

)2 dt2 + dρ2 (3.4.8)

Κοντά στον ορίζοντα, r = r+ + ε, όπου ε << 1, και η έκφραση για την ακτινική

απόσταση ρ απλοποιείται:

ρ =

[y2 −

(∆

2

)2] 1

2 (2r+

∆12

)(3.4.9)

΄Ετσι η μετρική κοντά στον ορίζοντα παίρνει τη μορφή της επίπεδης μετρικής Rindler:

ds2 = − ∆2

4r4+

ρ2dt2 + dρ2

= ρ2dω2 + dρ2

(3.4.10)

όπου ω ≡ ∆2r+

t. Tα τοπικά χαρακτηριστικά κοντά στον ορίζοντα δεν ξεχωρίζουν από τα

χαρακτηριστικά μιας μαύρης τρύπας Schwarzschild. Ειδικότερα η θερμοκρασία κοντά στον

ορίζοντα στη θέση ρ είναι T = 1/2πρ.

Μεταφερόμαστε στον Ευκλείδειο χώρο μέσω του μετασχηματισμού ω = −iϕ, t = −itE .Εξαιτίας της περιοδικότητας της γωνιάς ϕ, επιβάλλεται περιοδικότητα στον Ευκλείδειο

χρόνο:

tE → tE + 2π2r2

+

∆


Η θερμοκρασία στο άπειρο δίνεται από τη σχέση

T (∞) =∆

2r2+

1

2π

=2MG

(1− Q2

M2G

) 12

4πM2G2

(1 +

√1− Q2

M2G

)2

(3.4.11)

Η εντροπία Bakenstein-Hawking ισούται με:

SBH =A

4G=πr2

+

G(3.4.12)

Τώρα, καθώς η μαύρη τρύπα τείνει εξαϋλώνεται, ∆→ 0, η θερμοκρασία μηδενίζεται. Η

εντροπία Bakenstein-Hawking ελαττώνεται αλλά τείνει σε μια μη μηεδενική οριακή τιμή:

S = πM2G 6= 0 (3.4.13)

Η μάζα παίρνει την ελάχιστη της τιμή Q = M√G. Συνεπώς, οι φορτισμένες μαύρες τρύπες

δεν μπορούν να εξαϋλωθούν τελείως.

Κεφάλαιο 4

Πληροφορία στις μαύρες τρύπες

και ολογραφία

΄Εχουμε δει ότι μια μαύρη τρύπα εκπέμπει ακτινοβολία Hawking, με αποτέλεσμα σιγά

σιγά να εξαϋλώνεται. Στο τέλος απομένει θερμική ακτινοβολία, η οποία εξαρτάται μόνο

από τη θερμοκρασία της. Φαίνεται ότι η πληροφορία που υπάρχει μέσα στη μαύρη τρύπα

χάνεται, χωρίς να έχουμε πρόσβαση σε αυτή, κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την αρχή

της διατήρησης της πληροφορίας στην κβαντομηχανική. Το παράδοξο διατήρησης της

πληροφορίας είναι έκδηλο σε μια τοπική θεωρία κβαντικών πεδίων, η οποία αδυνατεί να

αναπαραγάγει σωστά την εντροπία Bakenstein-Hawking. Το παράδοξο αυτό φαίνεται να

επιλύεται με βάση τη θεωρία των χορδών, την αρχή της συμπληρωματικότητας [14] και την

ολογραφική αρχή [15][16][4]. Η πληροφορία κωδικοποιείται στους εσωτερικούς βαθμούς

ελευθερίας στην επιφάνεια του ορίζοντα της μαύρης τρύπας με αποτέλεσμα να ανακτούμε

όλη την πληροφορία μέσω της ακτινοβολίας Hawking. Η ακτινοβολία αυτή είναι μόνο κατά

προσέγγιση θερμική.

4.1 Κβαντική πληροφορία

Ας θεωρήσουμε ένα κβαντικό σύστημα Σ το οποίο βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση

με ενέργεια E. Θεωρούμε ότι το σύστημα αυτό αποτελείται από πολλά μικρότερα υπο-

συστήματα, σi, τα οποία αλληλεπιδρούν ασθενώς μεταξύ τους. Η ενέργεια των επιμέρους

υποσυστημάτων δίδεται από τη μέση ενέργεια ε. Κάθε υποσύστημα περιγράφεται κατά πολύ

καλή προσέγγιση από έναν θερμικό πίνακα πυκνότητας

ρi =e−βHi

Zi

46

Πληροφορία στις μαύρες τρύπες και ολογραφία 47

όπου Hi η Χαμιλτονιανή του υποσυστήματος. Η θερμοκρασία T = 1/β καθορίζεται από τη

μέση ενέργεια ε.

Ορίζουμε τη θερμική εντροπία (coarse grained entropy) του συστήματος Σ ως το άθρο-

ισμα των εντροπιών Von Neumann των επιμέρους υποσυστημάτων:

Sth =∑i

Si

Σε αντίθεση με την εντροπία σύμπλεξης, είναι προσθετική και δεν διατηρείται.

Θεωρούμε τώρα ένα μεγαλύτερο υποσύστημα, το υποσύστημα Σ1, το οποίο αποτελείται

από έναν αριθμό υποσυστημάτων σi. Η εντροπία σύμπλεξης του συστήματος Σ1 με το

υπόλοιπο σύστημα Σ−Σ1 (fine grained entropy), S(Σ1), Θα είναι πάντοτε μικρότερη από

τη θερμική εντροπία του Σ1:

Sth(Σ1) ≥ S(Σ1) (4.1.1)

Καθώς το Σ1 γίνεται όλο και μεγαλύτερο, πλησιάζοντας το Σ, η εντροπία σύμπλεξης S(Σ1)

τείνει στο μηδέν, αφού το Σ βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση.

Η πληροφορία σχετικά με ένα σύστημα ορίζεται ως η διαφορά της εντροπίας σύμπλεξης

από τη θερμική εντροπία συστήματος:

I ≡ Sth − S (4.1.2)

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το συνολικό σύστημα Σ. Η εντροπία σύμπλεξης εί-

ναι μηδέν – το ολικό σύστημα βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση – και η πληροφορία

I είναι μέγιστη. Αντίθετα, τα επιμέρους συστήματα σi περιγράφονται από θερμικούς πί-

νακες πυκνότητας και η εντροπία Von Neumann είναι ίση με τη θερμική τους εντροπία.

Ως αποτέλεσμα η πληροφορία I σχετικά με το υποσυστήματα αυτά είναι μηδαμινή. Η θερ-

μική εντροπία ενός συστήματος αποτελεί μέτρο της πληροφορίας που μπορεί να διαθέτει ένα

σύστημα.

Η κβαντική πληροφορία μετριέται σε bits. ΄Ενα bit πληροφορίας ορίζεται ως η εντροπία

Von Neumann μιας πλήρως συνμπλεγμένης κατάστασης, 2.3.5, διαστατικότητας N = 2.

΄Εχει αριθμητική τιμή ίση με log 2.

Σύμφωνα με τον Don Page [17], η πληροφορία I ενός υποσυστήματος παραμένει μηδαμινή

μέχρις ότου το υποσύστημα γίνει το μισό του ολικού. Τότε η πληροφορία I ισούται με ένα

bit. Επομένως εάν Σ1 < Σ/2, η εντροπία σύμπλεξης ισούται περίπου με την θερμική


εντροπία και η πληροφορία I είναι περίπου μηδέν:

S(Σ1) ≈ Sth(Σ1), I(Σ1) ≈ 0

΄Εστω Σ1 > Σ/2. Τότε το υπόλοιπο σύστημα Σ− Σ1 δεν έχει πληροφορία:

S(Σ− Σ1) ≈ Sth(Σ− Σ1) , I(Σ− Σ1) ≈ 0

΄Εχουμε δει σε προηγούμενο κεφάλαιο ότι οι εντροπίες Von Neumann των δυο υποσυστη-

μάτων ισούνται, S(Σ− Σ1) = S(Σ1). Οπότε:

S(Σ1) ≈ Sth(Σ− Σ1)

Συνεπώς η πληροφορία σχετικά με το υποσύστημα Σ1 είναι

I(Σ1) = Sth(Σ1)− S(Σ1)

= Sth(Σ1)− Sth(Σ− Σ1)

= fSth(Σ)− (1− f)Sth(Σ)

= (2f − 1)Sth(Σ)

όπου f ο λόγος του αριθμού των βαθμών ελευθερίας του Σ1 προς τον αρθμό των βαθμών

ελευθερίας του Σ .

4.1.1 Κουτί με βόμβα

Για να αναδείξουμε τις έννοιες της εντροπίας σύμπλεξης, της θερμικής εντροπίας και της

πληροφορίας χρησιμοποιούμε ένα παράδειγμα [2].

Στο εσωτερικό ενός κουτιού με μεταλλικά τοιχώματα υπάρχει μια βόμβα. Το κουτί έχει

επίσης μια μικρή οπή από την οποία μπορεί να διαφεύγει θερμική ακτινοβολία. Το μεταλλικό

κουτί και η βόμβα αποτελούν το σύστημα Β. Το περιβάλλον εξωτερικά του κουτιού είναι

το σύστημα Α. Το ολικό σύστημα Σ είναι το A+B.


Γράφημα 4.1.1: Κουτί με βόμβα.

Αρχικά, η βόμβα βρίσκεται στην βασική της κατάσταση και η εντροπία του συστήματος

B είναι μηδέν. ΄Οταν η βόμβα εκραγεί, η θερμική εντροπία στο κουτί αυξάνεται, αλλά η

εντροπία σύμπλεξης του με το A παραμένει μηδέν. Θερμικά φωτόνια δεν έχουν εξέλθει

ακόμα από το κουτί:

Sth(A) = 0, Sth(B) 6= 0, S(A) = S(B) = 0

΄Οταν θερμική ακτινοβολία αρχίσει να εξέρχεται από το κουτί, η εντροπία σύμπλεξης των A

και B, αρχίζει να αυξάνεται. Σιγά-σιγά η θερμική εντροπία του κουτιού αρχίζει να μειώνεται,

ενώ αυξάνεται η θερμική εντροπία στο περιβάλλον:

Sth(A) 6= 0, Sth(B) 6= 0, S(A) = S(B) 6= 0

Τέλος όταν όλα τα θερμικά φωτόνια εξέλθουν από το κουτί, η θερμική εντροπία του B και

η εντροπία σύμπλεξης τείνουν στο μηδέν. Η θερμική εντροπία του A παίρνει τη μέγιστη

τιμή της. Τα δυο υποσυστήματα δεν είναι πλέον συνμπλεγμένα:

Sth(A) 6= 0, Sth(B) = 0, S(A) = S(B) = 0

Η πληροφορία αρχίζει να εξέρχεται όταν Sth(A) = Sth(B). Δηλαδή όταν τα μισά θερμικά

φωτόνια εξέλθουν από το κουτί.

Η εντροπία σύμπλεξης είναι πάντοτε μικρότερη από την θερμική εντροπία του A και

του B. Ακολουθεί την μικρότερη από τις δύο καμπύλες. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται

καμπύλη Page. Φυσικά επιβάλλεται να υπάρχουν συσχετίσεις μεταξύ των αρχικών και

τελικών φωτονίων που εξέρχονται από το κουτί.


Γράφημα 4.1.2: Θερμική εντροπία και εντροπία σύμπλεξης των συστημάτων Α και Βσυναρτήσει του χρόνου. Ο χρόνος όπου ανακτούμε 1 bit πληροφορίας απεικονίζεται ως

tinfo

Επομένως σύμφωνα με τον ορισμό της πληροφορίας 4.1.2, η ανάκτηση της πληροφορίας

για το εσωτερικό του κουτιού θα δίνεται από τη σχέση I(A) = Sth(A)− S(A).

Γράφημα 4.1.3: Η πληροφορία I(A) συναρτήσει του χρόνου.


4.2 Παράδοξο πληροφορίας στην μαύρη τρύπα

Ας εξετάσουμε την δημιουργία μιας μαύρης τρύπας από την κατάρρευση ενός σφαιρικού

φλοιού φωτός, όπως περιγράψαμε στο κεφάλαιο 1.4 (δες γράφημα 1.4.3). Τα εισερχόμενα

κβάντα φωτός προέρχονται από το παρελθοντικό φωτοειδές άπειρο, I−. Συνεπώς η αρχική

κατάσταση ανήκει στο χώρο Hilbert των πεδιακών τελεστών στο I−. Η τελική κατάσταση

περιγράφει εξερχόμενα σωματίδια που καταλήγουν στο μελλοντικό φωτοειδές άπειρο, I+,

μέσω της ακτινοβολίας Hawking, αλλά και σωματιδίων που καταλήγουν στην χωροειδή

επιφάνεια της ανωμαλίας. Επομένως η τελική κατάσταση ανήκει στο χώρο Hilbert των

πεδιακών τελεστών στην ανωμαλία και στο μελλοντικό φωτοειδές άπειρο, I+. Επειδή τα

σημεία της ανωμαλίας και του I+είναι χωροειδώς διαχωρισμένα μεταξύ τους, οι πεδιακοί

τελεστές στις περιοχές αυτές μετατίθενται και είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, [Φ(x),Φ(y)] =

0. Επομένως, ο χώρος Hilbert των τελικών καταστάσεων έχει τη μορφή γινομένου:

Hin = HI−

Hout = HI+ ⊗Hsingularity

Η μορφή αυτή του χώρου Hilbert των τελικών καταστάσεων βασίζεται στις αρχές της

τοπικότητας και της αιτιατικότητας, τις οποίες ικανοποιεί μια κβαντική θεωρία σχετικιστικών

πεδίων.

Επομένως, ένας παρατηρητής στο I+, ο οποίος δεν έχει πρόσβαση στο εσωτερικό της

μαύρης τρύπας, περιγράφει το σύστημα μέσω ενός πίνακα πυκνότητας:

ρI+ = Trsingularity (|Ψout〉〈Ψout|)

Σύμφωνα με τον Hawking, o πίνακας αυτός είναι ένας καθαρά θερμικός πίνακας πυκνότη-

τας που εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία Hawking [9]. Μετά το πέρας της εξαΰλωσης

της μελανής οπής, απομένει μόνο η θερμική ακτινοβολία στο άπειρο. ΄Ετσι φαίνεται η αρχική

καθαρή κατάσταση |Ψin〉 να εξελίσσεται σε μια μεικτή τελική κατάσταση, κάτι που αντιβαίνειμε τους νόμους της κβαντικής μηχανικής και την αρχή της διατήρησης της πληροφορίας.

Σύμφωνα με την κβαντική μηχανική ένα σύστημα που βρίσκεται σε μια καθαρή κατάσταση

δεν χρονοεξελίσσεται ποτέ σε μια μεικτή κατάσταση1. Η τελική κατάσταση πρέπει να είναι

πάλι μια καθαρή κατάσταση, με αποτέλεσμα η κβαντική πληροφορία να διατηρείται.

Μπορούμε όμως να δούμε το παράδοξο της πληροφορίας μέσω μιας διαφορετικής ανάλυ-

σης [18]. Κατά την εξαΰλωση μιας μαύρης τρύπας, η εντροπία της θερμικής ακτινοβολίας

Hawking (SHawking) αυξάνεται μονοτονικά. Από την άλλη, η εντροπία Bakenstein-Hawking

(SBH) της μαύρης τρύπας, η οποία είναι θερμική (course grained) εντροπία, ελαττώνεται1Λόγω της δράσης του μοναδιακού τελεστή της χρονικής εξέλιξης.


καθώς η μαύρη τρύπα χάνει μάζα και το εμβαδόν του ορίζοντα ελαττώνεται. Μηδενίζεται

όταν η μαύρη τρύπα εξαϋλωθεί πλήρως. Η εντροπία σύμπλεξης μεταξύ της μαύρης τρύπας

και της ακτινοβολίας πρέπει να ακολουθεί τη μικρότερη από τις δύο καμπύλες. ΄Οταν η

εντροπία SBH μειωθεί περίπου στο μισό της αρχικής της τιμής, η εντροπία σύμπλεξης θα

έπρεπε να παίρνει τη μέγιστη της τιμή, και ο εξωτερικός παρατηρητής να ανακτά 1 bit

πληροφορίας. Ο χρόνος ανάκτησης του 1ου bit ονομάζεται χρόνος Page [17].

Συνεπώς, η ανάκτηση της πληροφορίας πρέπει να αρχίσει όταν η μάζα της μαύρης τρύπας

μειωθεί περίπου στο μισό της αρχικής της τιμής, αλλά τότε η μαύρη τρύπα είναι ακόμη αρκετά

μεγάλη, με αποτέλεσμα να ισχυει η κλασσική γεωμετρική περιγραφή. Επομένως η καμπύλη

Page [17] και η ανάκτηση της πληροφορίας φαίνεται να είναι μη συμβατές με τις αρχές της

τοπικότητας και της αιτιατικότητας [2].

Το παράδοξο αυτό λύνεται με βάση την ολογραφική αρχή [15][16] και την αντιστοιχία

AdS/CFT [19]. Η πλήρης περιγραφή του συστήματος δεν είναι τοπική. Οι εσωτερικοί

βαθμοί ελευθερίας της μαύρης τρύπας δεν είναι ανεξάρτητοι από τους εξωτερικούς βαθ-

μούς ελευθερίας με αποτέλεσμα να υπάρχουν συσχετίσεις μεταξύ των αρχικών και τελικών

εκπεμπόμενων κβάντων Hawking. Η εντροπία σύμπλεξης όντως ακολουθεί την καμπύλη

Page, και μηδενίζεται όταν εξαϋλωθεί πλήρως η μαύρη τρύπα. Συνεπώς, δεν διαπιστώνουμε

απώλεια της πληροφορίας.

4.3 Συμπληρωματικότητα στη μαύρη τρύπα

Η αρχή της συμπληρωματικότητα στις μαύρες τρύπες [14] αναφέρει απλά ότι κανένας

παρατηρητής δεν διαπιστώνει παραβίαση οποιουδήποτε νόμου της φύσης.

Συγκεκριμένα, για ένα εξωτερικό παρατηρητή μια μαύρη τρύπα αποτελεί ένα σύνθετο

κβαντικό σύστημα, του οποίου η εντροπία Bekenstein-Hawking αποτελεί μέτρο του αριθ-

μού των βασικών βαθμών ελευθερίας του συστήματος. Ο αριθμός αυτός είναι ίσος με το

εμβαδόν του ορίζοντα σε μονάδες Planck. Με βάση την αρχή της συμπληρωματικότητας, ο

εξωτερικός παρατηρητής ανακτά όλη την πληροφορία μέσω της ακτινοβολίας Hawking.

Επιπλέον, όπως έχουμε δει, το τετράγωνο του τανυστή Riemann στον ορίζοντα είναι αν-

τιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της μάζας της μαύρης τρύπας: 1M2G2 . ΄Οσο μεγαλώνει

η μάζα της μαύρης τρύπας, η καμπυλότητα τείνει στο μηδέν. Οπότε ένας παρατηρητής που

πέφτει ελεύθερα δεν θα νιώσει οτιδήποτε παράξενο στον ορίζοντα. Ως προς αυτόν τον

παρατηρητή, δεν υπάρχουν ψηλές θερμοκρασίες ούτε και άλλες ανωμαλίες, και συνεπώς

ισχύουν οι αρχές της τοπικότητας και της αιτιατικότητας.


4.3.1 Θεώρημα της μη κλωνοποίησης

Οι νόμοι της κβαντικής μηχανικής απαγορεύουν την κλωνοποίηση της πληροφορίας.

Αυτό οφείλεται στην γραμμικότητα των τελεστών στην κβαντομηχανική.

΄Εστω έχουμε ένα σπιν στην κατεύθυνση x που περιγράφεται από την επαλληλία:

1√2

(|↑〉+ |↓〉)

Ο τελεστής κλωνοποίησης αντιγράφει την κατάσταση αυτή, παράγοντας την αρχική και την

κλωνοποιημένη κατάσταση:

Clone

[1√2

(|↑〉+ |↓〉)]

=1

2(|↑〉+ |↓〉) (|↑〉+ |↓〉)

=1

2(|↑〉 |↑〉+ |↓〉 |↑〉+ |↑〉 |↓〉+ |↓〉 |↓〉)

Ας υποθέσουμε ότι ο τελεστής κλωνοποίησης είναι ένας κανονικός, γραμμικός επιτρεπό-

μενος τελεστής. Τότε δρώντας με τον τελεστή κλωνοποίησης σε κάθε όρο της επαλληλίας

ξεχωριστά πρέπει να προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα:

Clone

[1√2

(|↑〉+ |↓〉)]

=1√2Clone (|↑〉) + Clone (|↓〉)

=1√2

(|↑〉 |↑〉+ |↓〉 |↓〉)

Το αποτέλεσμα αυτό δεν είναι το ίδιο με πριν, οπότε ο τελεστής κλωνοποίησης δεν είναι

ένας επιτρεπόμενος γραμμικός τελεστής. Η κβαντική κλωνοποίηση απαγορεύεται.


4.3.2 Παράδοξο κλωνοποίησης της πληροφορίας στις μαύρες τρύ-πες

Γράφημα 4.3.1: Παράδοξο κλωνοποίησης της πληροφορίας στη γεωμετρία

Schwarzschild. Ο παρατηρητής A ακολουθεί την μπλε κοσμική γραμμή ενώ ο παρατηρητήςB την κόκκινη κοσμική γραμμή. Οι κυματιστές γραμμές αναπαριστούν την ακτινοβολία

Hawking.

Θεωρούμε μια μαύρη τρύπα Schwarzschild στις συντεταγμένες Kruskal-Szekeres 1.2.5.

Ο παρατηρητής A πέφτει μέσα στη μαύρη τρύπα, έχοντας στην κατοχή του ένα κβάντο

(bit) πληροφορίας. O A ακολουθεί την κοσμική γραμμή Z = Z0 =σταθ και διαπερνά τον

ορίζοντα σε χρόνο T0 = Z0. Πριν καταλήξει στην ανωμαλία εκπέμπει σήμα φωτός το οποίο

περιέχει την πληροφορία.

Ο εξωτερικός παρατηρητής B ακολουθεί την κοσμική γραμμή r = 4GM , η οποία έχει

τη μορφή υπερβολής στις συντεταγμένες Kruskal-Szekeres (εξίσωση 1.2.25):

Z2 − T 2 = G2M2e2


Κατά μήκος της υπερβολής αυτής, οι συντεταγμένες Z και T δίδονται συναρτήσει του

χρόνου Schwarzschild από τις εκφράσεις:

Z = GMe cosh

(t

4GM

)T = GMe sinh

(t

4GM

) (4.3.1)

΄Εστω ότι τη στιγμή t1, ο παρατηρητής B ανακτά το αρχικό κβάντο πληροφορίας μελετώντας

προσεχτικά την ακτινοβολία Hawking.

Στη συνέχεια, ο παρατηρητής B πέφτει και αυτός μέσα στη μαύρη τρύπα ακολουθώντας

την κοσμική γραμμή Z = Z1 = Z(t1). Θα καταλήξει στην ανωμαλία r = 0 σε χρόνο:

Z21 − T 2

2 = −G2M2

T2 =√Z2

1 +G2M2(4.3.2)

Προκύπτει το εξής παράδοξο: υπάρχει το ενδεχόμενο ο παρατηρητής B να λάβει το

σήμα του A κάποια στιγμή στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας, πριν ακόμη καταλήξει στην

ανωμαλία. Εάν αυτό συμβεί, ο παρατηρητής B συμπεραίνει ότι το αρχικό bit πληροφορίας

του Α έχει κλωνοποιηθεί, κάτι που απαγορεύεται από την κβαντομηχανική. Αν αυτό συμβεί,

τότε παραβιάζεται η αρχή της συμπληρωματικότητας αφού ο Β διαπιστώνει παραβίαση ενός

νόμου της φύσης.

Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι ο παρατηρητής B λαμβάνει το σήμα του A ακριβώς τη στιγμή

που καταλήγει στην ανωμαλία. Ο A πρέπει να εκπέμψει το σήμα τη χρονική στιγμή T3,

όπου T0 < T3 < T2. Το φωτεινό σήμα ακολουθεί μια κοσμική γραμμή, παράλληλη με τον

μελλοντικό ορίζοντα, που έχει κλίση +1. Από το γράφημα έχουμε λοιπόν:

T3 − T2 = Z0 − Z1

T3 = Z0 − Z1 + T2

= Z0 − Z1 +√Z2

1 +G2M2

(4.3.3)

όπου αντικαταστήσαμε την σχέση 4.3.2.

Προφανώς εάν ο Α εκπέμψει το σήμα οποιαδήποτε χρονική στιγμή στο χρονικό διάστημα

από T0 μέχρι T3, o B θα λάβει το σήμα του Α προτού καταλήξει στην ανωμαλία. Ο Α λοιπόν

πρέπει να εκπέμψει το σήμα εντός χρονικού διαστήματος ∆T = T3 − T0.

Θα υπολογίσουμε τώρα τη στιγμή t1 που ο παρατηρητής Β ανακτά το κβάντο πληρο-

φορίας από την ακτινοβολία Hawking. Σύμφωνα με τον Page, για να ανακτηθεί 1 bit

πληροφορίας χρειάζεται να περάσει αρκετός χρόνος ώστε η εντροπία της μαύρης τρύπας να


μειωθεί στο μισό (χρόνος Page). Δηλαδή η μάζα να μειωθεί στοM/√

2, αφού S = 4πGM2.

Η μαύρη τρύπα χάνει την ενέργεια της εκπέμποντας θερμική ακτινοβολία σύμφωνα με τον

νόμο του Stefan-Boltzmann dM/dt = −AσT 4, όπου A = 4πR2S το εμβαδόν του ορίζοντα,

σ = π2/60 η σταθερά Stefan–Boltzmann και TH = 1/8πGM η θερμοκρασία Hawking.

Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις αυτές βρίσκουμε:

∫ t1

0dt = −

∫ M√2

M

84 60

16πG2M2dM

t1 = 1280πG2M3(4−√

2)

(4.3.4)

Παρατηρούμε ότι t1 ∝ G2M3.

Επομένως η συντεταγμένη Z1 δίνεται:

Z1 = GMe cosh

(t1

4GM

)Z1 ≈

GMe

2e

t14GM

(4.3.5)

όπου t1/4GM >> 1. ΄Ετσι Z1 ∝ GMeGM2 .

Το χρονικό διάστημα ∆T δίνεται ως:

∆T = T3 − T0

= Z0 − Z1 +√Z2

1 +G2M2 − Z0

= Z1

√1 +

G2M2

Z21

= Z1 +G2M2

2Z1− Z1

=GM

ee−

t14GM

(4.3.6)

όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι Z1 >> GM . Πάλι αντικαθιστώντας το χρόνο t1,

βρίσκουμε ότι ∆T ≈ GMe−GM2 .

Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg, η αβεβαιότητα στην ενέργεια

του φωτεινού σήματος του Α ικανοποιεί την ανισότητα ∆E∆T ≥ 1/2. Συνεπώς ο παρατη-

ρητής A πρέπει να διαθέτει ενέργεια ∆E ∝ eGM2/GM , πολύ μεγαλύτερη της μάζας της

μαύρης τρύπας. ΄Ετσι δεν είναι δυνατό να χωρέσει στην μαύρη τρύπα και επομένως η

παρατήρηση κλωνοποίησης είναι αδύνατο να συμβεί.

Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που ο παρατηρητής A εισέλθει στο εσωτερικό της

μαύρης τρύπας αφού περάσει ο χρόνος Page; Πόσο χρονικό διάστημα θα είχε στη διάθεση

του ο παρατηρητής A για να στείλει το σήμα;


Ο χρόνος που χρειάζεται ώστε να ανακατευθεί η πληροφορία που προσθέτουμε σε ένα

σύστημα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας του ονομάζεται χρόνος scrambling. Οι μαύρες

τρύπες αποτελούν παραδείγματα συστημάτων που ονομάζονται fast scramblers. Ο χρόνος

scrambling είναι αρκετά μικρός και εξαρτάται λογαριθμικά από την εντροπία του συστήματος

S [20]:

t∗ ∼ 2π

βlnS (4.3.7)

όπου β το αντίστροφο της θερμοκρασίας.

Επομένως, ο παρατηρητής B ανακτά το κβάντο πληροφορίας σε χρόνο scrambling και

πέφτει στην μαύρη τρύπα. Αυτή τη φορά, βρίσκουμε ότι ο παρατηρητής A πρέπει να διαθέτει

ενέργεια τάξης της μάζας της μαύρης τρύπας, ∆E ∝M . ΄Ετσι και πάλι δεν είναι δυνατό να

χωρέσει στην μαύρη τρύπα και είναι αδύνατο να παρατηρηθεί κλωνοποίηση.

4.4 Χωρόχρονος anti de Sitter (AdS)

Ο χωρόχρονος anti de Sitter με d διαστάσεις, AdSd, και ακτίνα καμπυλότητας l ορίζεται

ως το σύνολο των σημείων (X0, X1, X2 · · ·Xd) του επίπεδου χωροχρόνου R2,d−1 (με d+ 1

διαστάσεις) που ικανοποιούν τη σχέση:

−(X0)2 +

d−1∑i=1

(Xi)2 − (Xd)

2 = −l2 (4.4.1)

Η μετρική του χωροχρόνου R2,d−1δίνεται ως:

ds2 = −(dX0)2 +d−1∑i=1

(dXi)2 − (dXd)

2 (4.4.2)

Η ομάδα συμμετρίας Lorentz του επίπεδου χωροχρόνου είναι η SO(2, d−1). Αυτή αφήνει

τον χωροχρόνο AdSd αναλλοίωτο και μετασχηματίζει ένα σημείο του σε ένα οποιοδήποτε

άλλο σημείο του χωροχρόνου. Επομένως, ο χωροχρόνος AdSd είναι ένας ομογενής χωρο-

χρόνος.

Σε συντεταγμένες όπου η μετρική είναι αδιάστατη βρίσκουμε τον τανυστή καμπυλότητας

Riemann ίσο με [13]:

Rµνλσ = − 1

l2(gµλgνσ − gµσgνλ)


Τότε ο τανυστής Ricci θα δίνεται ως:

Rµν = −d− 1

l2gµν

και η βαθμωτή καμπυλότητα ως:

R = −d(d− 1)

l2(4.4.3)

Παρατηρούμε ότι ο τανυστής Ricci είναι ανάλογος της μετρικής, μια ιδιότητα που χαρακ-

τηρίζει τις πολλαπλότητες Einstein. Η βαθμωτή καμπυλότητα του χωροχρόνου είναι παντού

σταθερή και αρνητική. Είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της ακτίνας καμπυλότη-

τας.

Ο χωροχρόνος AdS αποτελεί λύση των εξισώσεων Einstein στον κενό χώρο (Tµν=0),

στην παρουσία αρνητικής κοσμολογικής σταθεράς

Λ = −(d− 1)(d− 2)

2l2AdS< 0

και

Rµν −1

2Rgµν + Λgµν = 0 (4.4.4)

4.4.1 Ο χωρόχρονος AdS σε διάφορα συστήματα συντεταγμένων

Αναλόγως των ιδιοτήτων που θέλουμε να αναδείξουμε, χρησιμοποιούμε διαφορετικές

συντεταγμένες για να εκφράσουμε την μετρική του χωροχρόνου σε κάθε περίπτωση.

Ορίζουμε τις αδιάστατες συντεταγμένες r και t ως εξής:

X0 = l√

1 + r2 cos t

Xd = l√

1 + r2 sin t

Xi = l rΩi

όπου Ωi οι σφαιρικές συντεταγμένες μοναδιαίας σφαίρας Sd−2. Οι σφαιρικές συντεταγ-

μένες συμπεριλαμβάνουν d−3 πολικές γωνίες ϕ1, ϕ2 · · ·ϕd−3, οι οποίες παίρνουν τιμές στο


διάστημα [0, π], και μια αζιμουθιακή γωνιά ϕd−2 που παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 2π]:

Ω1 = cos(ϕ1)

Ω2 = sin(ϕ1) cos(ϕ2)

...

Ωd−2 = sin(ϕ1) sin(ϕ2) · · · cos(ϕd−2)

Ωd−1 = sin(ϕ1) sin(ϕ2) · · · sin(ϕd−2)

με

d−1∑i=1

Ω2i = 1. Η μετρική 4.4.2 μετασχηματίζεται στην ακόλουθη:

ds2 = l2(−(1 + r2)dt2 +

dr2

1 + r2+ r2dΩ2

d−2

)(4.4.5)

Η μετρική είναι στατική. Για να αποφύγουμε κλειστές χρονοειδείς γραμμές, αφήνουμε τη

χρονική συντεταγμένη να πάρει τιμές σε ολόκληρη την ευθεία t ∈ (−∞,∞). Η ακτινική

συντεταγμένη παίρνει τιμές στην ημιευθεία r ∈ (0,∞).

Θέτοντας r = sinhψ, όπου ψ ∈ [0,∞), παίρνουμε:

ds2 = l2(− cosh2 ψdt2 + dψ2 + sinh2 ψ dΩ2

d−2

)(4.4.6)

Ας θεωρήσουμε μια φέτα t =σταθ. Η επαγόμενη μετρική στον χώρο αυτό είναι

ds2|t=σταθ = l2(dψ2 + sinh2 ψ dΩ2

d−2

)= l2 dH2

d−1

όπου dH2d−1 η μετρική του μοναδιαίου υπερβολοειδούς, H

d−1, με (d−1)-διάστασεις. ΄Οντως

εάν θέσουμε t = 0, τότε Xd = 0 και η εξίσωση 4.4.1 ανάγεται στην εξίσωση χωροειδούς

υπερβολοειδούς, εμβαπτισμένου στον d-διάστατο χοροχρόνο Minkowski.

Μπορούμε επίσης, μέσω του μετασχηματισμού r = 2r/1 − r2, να ορίσουμε μια νέα

ακτινική συντεταγμένη, οπότε η μετρική γράφεται:

ds2 =l2

(1− r2)2

[−(1 + r2

)2dt2 + 4

(dr2 + r2dΩ2

d−2

)](4.4.7)

Ο χωροχρόνος μοιάζει τοπολογικά με έναν κύλινδρο απείρου μήκους. Η ακτινική συντεταγ-

μένη μεταβάλλεται από το κέντρο r = 0 προς το σύνορο καθώς r → 1. Οι φέτες t, r =σταθ

είναι ισομορφικές με σφαίρες Sd−2.


Γράφημα 4.4.1: Ο χωρόχρονος AdS μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κύλινδρο απείρουμήκους.

Από την άλλη μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις επίπεδες συντεταγμένες Poincare [21]:

X0 =l t

z

Xi =l xiz

Xd−1 =1

2z

(z2 − t2 − l2 +

d−2∑i=1

(xi)2

)

Xd =1

2z

(z2 − t2 + l2 +

d−2∑i=1

(xi)2

)

Οι συντεταγμένες αυτές δεν καλύπτουν ολόκληρο τον χωροχρόνο AdS αλλά ένα μεγάλο

τμήμα του. Ως επιλογή, περιγράφουμε το εσωτερικό του χωροχρόνου AdS στην περιοχή

z > 0, ενώ πλησιάζουμε το σύνορο καθώς z → 0. Η μετρική γράφεται στην απλή μορφή:

ds2 =l2

z2

(−dt2 +

d−2∑i=1

(dxi)2 + dz2

)(4.4.8)

Παρατηρούμε ότι καθώς z →∞ υπάρχει ορίζοντας.

Η ομάδα SO(2, d− 1) αποτελεί την ομάδα ισομετριών της μετρικής anti de Sitter. Μια

από αυτές είναι ο ακόλουθος μετασχηματισμός κλίμακας, (t, xi, z) → λ(t, xi, z), ο οποίος

αφήνει τη μετρική στις συντεταγμένες Poincare αναλλοίωτη.


4.4.2 Σύνορο του χωροχρόνου AdS

Μελετώντας τη μετρική 4.4.7, φαίνεται ότι όλες οι συνιστώσες της απειρίζονται καθώς

r → 1. Θέτουμε r = 1− y με y << 1:

ds2 =l2AdSy2

(−dt2 + dΩ2

d−2

)Παρόλα αυτά δεν προκύπτουν φυσικές ανωμαλίες επειδή ο τανυστής καμπυλότητας δεν

εκδηλώνει απειρισμούς και η βαθμωτή καμπυλότητα είναι πεπερασμένη.

Παρατηρούμε ο χωροχρόνοςAdSd έχει ένα d−1-διάστατο, χρονοειδές σύνορο, σύμμορφο

με τον χώρο R× Sd−2.

Προσεγγίζουμε μια περιοχή της σφαίρας Sd−2ως επίπεδη στον (d − 2)-διάστατο Ευκ-

λείδειο χώρο, ορίζοντας καρτεσιανές συντεταγμένες:

ds2 =l2AdSy2

(−dt2 +

d−2∑i=1

(xi)2

)(4.4.9)

η οποία είναι σύμμορφη επίπεδη μετρική. Συνεπώς, το σύνορο του χωροχρόνου AdS είναι

ισομορφικό με τον χωροχρόνο Minkowski M1,d−2.

Στις συντεταγμένες Poincare προσεγγίζουμε το σύνορο καθώς z → 0. Συνεπώς, το

σύνορο στις συντεταγμένες αυτές είναι σύμμορφο με τον χωροχρόνο Minkowski M1,d−2.

4.5 Πενταδιάστατος χωροχρόνος anti de Sitter - AdS5

Ας μελετήσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, τον 5-διάστατο χωρόχρονο AdS5. Η

μετρική του χωροχρόνου αυτού είναι (σχέση 4.4.7):

ds2 =l2

(1− r2)2

[−(1 + r2

)2dt2 + 4

(dr2 + r2dΩ2

3

)](4.5.1)

όπου r ∈ [0, 1].

Για να βρούμε το φυσικό μήκος μιας ακτινικής γραμμής από το κέντρο μέχρι το σύνορο,

ολοκληρώνουμε το απειροστό διάστημα ds κατά μήκος της γραμμής, από r = 0 μέχρι


r = 1− ε, παίρνοντας έπειτα το όριο ε→ 0:

L = limε→0

[ ∫ 1−ε

0

√grr dr

]= 2l lim

ε→0

[ ∫ 1−ε

0

dr

1− r2

]= 2 l lim

ε→0

[tanh−1 (1− ε)

]= l lim

ε→0[ln (2− ε)− ln ε] = −l ln ε

(4.5.2)

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση

tanh−1 z =1

2ln

1 + z

1− z

Παρατηρούμε ότι το φυσικό μήκος από το κέντρο μέχρι το σύνορο απειρίζεται λογαριθμικά.

4.5.1 Κίνηση άμαζων σωματιδίων προς το σύνορο

΄Εστω τώρα άμαζα σωματίδια παράγονται στο κέντρο του χωροχρόνου AdS5 και κινούν-

ται ακτινικά προς το σύνορο. Κατά μήκος της τροχιάς ενός τέτοιου σωματιδίου το απειροστό

διάστημα μηδενίζεται (ds2 = 0). Οπότε ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει στο σύνορο

είναι:

t =

∫ 1

0

2 dr

1 + r2= 2 arctan(1) = π (4.5.3)

Μπορούμε να ορίσουμε συντεταγμένες με διαστάσεις μήκους:

r = r l

t = t l(4.5.4)

Σε αυτές τις συντεταγμένες, ο χρόνος για να φτάσει το σωματίδιο στο σύνορο είναι t = l π.

Παρόλο που το κέντρο απέχει άπειρη απόσταση από το σύνορο, άμαζα σωματίδια φτάνουν

στο σύνορο σε πεπερασμένο χρόνο. Για να έχουμε διατήρηση της ενέργειας επιβάλλουμε

ανακλαστικές συνοριακές συνθήκες. Οπότε, τα άμαζα σωματίδια φτάνουν στο σύνορο,

ανακλώνται και επιστρέφουν πίσω.


4.5.2 Κίνηση σωματιδίων με μη μηδενική μάζα

΄Εστω σωματίδια με μη μηδενική μάζα κινούνται ακτινικά προς το σύνορο. Το τετράγωνο

της Λαγκραντζιανής ενός σωματιδίου με μάζα m = 1 είναι:

L2 = −gµνdxµ

dτ

dxν

dτ

=l2

(1− r2)2

[(1 + r2

)2( dtdτ

)2

− 4

(dr

dτ

)2]

όπου τ ο ιδιοχρόνος ρολογιού που ακολουθεί το σωματίδιο.

Κατά μήκος μιας γεωδαιτικής τροχιάς το τετράγωνο της Λαγκραντζιανής μπορεί να τεθεί

ίσο με την μονάδα. Οπότε προκύπτει η εξίσωση

(1− r2

)2l2

=(1 + r2

)2( dtdτ

)2

− 4

(dr

dτ

)2

Με βάση την εξίσωση Euler-Lagrange για την χρονική συντεταγμένη παίρνουμε:

dt

dτ=

A(1− r2

)22 l2 (1 + r2)2

όπου A σταθερά. Συνδυάζοντας τις δυο εξισώσεις έχουμε:

(dr

dt

)2

=

(dr

dτ

dτ

dt

)2

=

(1 + r2

)24

(1−

4 l2(1 + r2

)2A2 (1− r2)2

)

΄Εστω ότι το σωματίδιο ξεκινά από το κέντρο r = 0 με αρχική συντεταγμένη ταχύτητα

ίση με dr/dt = u0. Η τιμή της σταθεράς είναι:

A2 =4 l2

1− 4u20

Επομένως η συντεταγμένη ταχύτητα του δίνεται από τη σχέση:

(dr

dt

)2

=

(1 + r2

)24

(1−

(1− 4u2

0

) (1 + r2

)2(1− r2)2

)


Παίρνοντας το όριο για μικρές ταχύτητες και μικρά r έχουμε:

(dr

dt

)2

≈(1 + 2r2

)4

(1−

(1− 4u2

0

) (1 + 2r2

)(1− 2r2)

)

≈(1 + 2r2

)4

[1−

(1− 4u2

0

) (1 + 4r2

)]≈(1 + 2r2

)4

(4u2

0 − 4r2)

≈(u2

0 − r2)

Παραγωγίζουμε και βρίσκουμε την επιτάχυνση συναρτήσει της θέσης:

d2r

dt2= −r (4.5.5)

Παρατηρούμε ότι το σώμα για μικρές ταχύτητες εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση γύρω

από το κέντρο, με περίοδο 2π. Σε συντεταγμένες με διαστάσεις μήκους, 4.5.4, η περίοδος

αυτή είναι ίση με 2π l Επομένως τα σωματίδια με μη μηδενική μάζα δεν φτάνουν στο σύνορο.

Μελετώντας μικρές κινήσεις κοντά στο κέντρο του χωροχρόνου στο όριο όπου η ακτίνα

καμπυλότητας απειρίζεται και η καμπυλότητα φθίνει στο μηδέν, μπορούμε να προσδιορίσουμε

το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό. Στις συντεταγμένες 4.5.4 η χρονική συνιστώσα της

μετρικής δίνεται ως:

gtt = −

(1 + r2

l2

1− r2

l2

)2

≈ −(

1 + 4r2

l2

)(4.5.6)

Συνεπώς, το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό ισούται με:

ΦN = 2r2

l2(4.5.7)

το οποίο είναι δυναμικό ενός αρμονικού ταλαντωτή. Τα σωματίδια λοιπόν με μη μηδενική

μάζα δέχονται μια κοσμολογική δύναμη επαναφοράς λόγω της αρνητικής καμπυλότητας του

χωροχρόνου.


4.6 Ολογραφία και αντιστοιχία AdS/CFT στην θεωρία

χορδών

4.6.1 Αρχή της ολογραφίας

Θεωρούμε ένα χωρίο με όγκο V το οποίο περιγράφεται από μια τοπική θεωρία πεδίων.

Διαμερίζουμε το χωρίο σε πολλές μικρές κυβικές κυψελίδες, τάξης μεγέθους του μήκους

Planck. Σε κάθε τέτοια κυβική κυψελίδα αντιστοιχούν 2 βαθμοί ελευθερίας (για κάθε

φερμιονικό πεδίο). Επομένως ο συνολικός αριθμός των βαθμών ελευθερίας που απαιτούνται

για να περιγραφούν οι καταστάσεις στην περιοχή αυτή, με βάση μια τοπική θεωρία πεδίων,

είναι ανάλογος του όγκου σε μονάδες Planck. H διαστατικότητα του χώρου Hilbert των

ανεξάρτητων (ορθογώνιων) καταστάσεων του χωρίου είναι της τάξης:

D ≈ 2V/l3p

΄Ετσι η μέγιστη εντροπία, η οποία αποτελεί μέτρο του αριθμού των βαθμών ελευθερίας του

συστήματος, δίνεται από την σχέση (δες 2.3.5):

Smax = lnD ≈ V

l3p

Τώρα ρίχνουμε ενέργεια μέσα στο χωρίο, διεγείροντας τους πεδιακούς ταλαντωτές στις

κυβικές κυψελίδες. Καθώς αυξάνεται η ενέργεια, αυξάνεται η αντίστοιχη ακτίνα RS . Εάν η

RS ξεπεράσει την φυσική ακτίνα R του χωρίου, το σύστημα θα καταρρεύσει σε μια μαύρη

τρύπα, με εντροπία SBH = A/4l2p. Η εντροπία δεν μπορεί να ξεπεράσει αυτή την μικρότερη

τιμή. Διαφορετικά θα ήταν δυνατόν να παραβιαστεί ο 2ος θερμοδυναμικός νόμος.

Συμπεραίνουμε ότι η μέγιστη εντροπία του συστήματος, και επομένως ο αριθμός των

στοιχειωδών βαθμών ελευθερίας, δίδεται από το εμβαδόν του χωρίου σε μονάδες Planck

[15][16]:

Smax =A

4l2p

΄Ενα κβαντικό βαρυτικό σύστημα δεν μπορεί να περιγραφεί με βάση μια τοπική θεωρία πεδίων.

Μια τέτοια περιγραφή είναι προσεγγιστική για αρκετά χαμηλές ενέργειες.

΄Ενα κβαντικό βαρυτικό σύστημα μπορεί όμως να περιγραφεί πλήρως με πεδιακούς βα-

θμούς ελευθερίας που ζουν στο σύνορο του. Αυτή η θεωρία πεδίου χωρίς βαρύτητα ζει

σε ένα χώρο με μία διάσταση λιγότερη. Μια επιπρόσθετη διάσταση μαζί με τη βαρύτητα

δημιουργούνται ως αποτέλεσμα ισχυρών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των βαθμών ελευθερίας

στο σύνορο. Η συνοριακή θεωρία αποτελεί το ολόγραμμα του βαρυτικού συστήματος.


4.6.2 Αντιστοιχία AdS/CFT

Ο χωρόχρονος anti de Sitter είναι ένας ομογενής και ισοτροπικός χωρόχρονος με αρν-

ητική καμπυλότητα. Αποτελεί λύση των εξισώσεων του Einstein στην παρουσία αρνητικής

κοσμολογικής σταθεράς. Στο προηγούμενο κεφάλαιο συμπεράναμε ότι ο χωρόχρονος anti

de Sitter έχει ως σύνορο του το χωρόχρονο R × Sd−2 (που είναι συμμορφος με τον

χωρόχρονο Minkowski) με μια λιγότερη διάσταση. Για παράδειγμα, ο 5-διάστατος χωρο-

χρόνος AdS έχει ως σύνορο του τον 4-διάστατο χωρόχρονο R × S3. Ο χωρόχρονος AdS

μπορεί να ιδωθεί ως μια κυβική κοιλότητα με ανακλατικά τοιχώματα, συμπαγοποιώντας το

βαρυτικό σύστημα, ώστε να μπορέσουμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες του.

Θεωρίες βαρύτητας στον χωρόχρονο AdS μπορούν να περιγραφούν πλήρως από σύμ-

μορφες θεωρίες πεδίων (CFT’s), χωρίς βαρύτητα, που ζουν στο σύνορο, σύμφωνα με την

ολογραφική αρχή [19, 22, 23]. Κάθε κατάσταση του βαρυτικού συστήματος στο εσωτερικό

του χωροχρόνου AdS (bulk) αντιστοιχεί σε μια κατάσταση της σύμμορφης θεωρίας πεδίων

στο σύνορο. Η βαρύτητα μαζί με επιπρόσθετες χωρικές διαστάσεις δημιουργούνται ως

αποτέλεσμα ισχυρών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των στοιχειωδών βαθμών ελευθερίας της

CFT. Οι θεωρίες αυτές παραμένουν αναλλοίωτες ως προς μετασχηματισμούς αλλαγής κλί-

μακας, ακόμα και στο κβαντικό επίπεδο.

Αυτή η αντιστοιχία, γνωστή και ως αντιστοιχία AdS/CFT, φαίνεται να ρίχνει φως στην

κβαντική βαρύτητα. Τέτοιοι δυισμοί προκύπτουν στη θεωρία των χορδών.

Η θεωρία των χορδών αντικαθιστά τα στοιχειώδη σωματίδια με μοναδιάστατες χορδές.

Αποτελεί μια αυτοσυνεπή θεωρία κβαντικής βαρύτητας που ενοποιεί όλες τις αλληλεπιδρά-

σεις της φύσης. Οι υπερσυμμετρικές θεωρίες χορδών ζουν σε ένα χωροχρόνο 10 διαστάσεων

και περιγράφουν τόσο τα φερμιόνια όσο και τα μποζόνια. Οι 4 διαστάσεις περιγράφουν τον

τετραδιάστατο χωροχρόνο που ζούμε ενώ οι άλλες έξι είναι πολύ μικρές για να τις δούμε.

Οι D-branes είναι μεμβράνες, πολυδιάστατα αντικείμενα, τα οποία αποτελούν πηγές

συγκεκριμένων πεδίων βαθμίδος στη θεωρία χορδών. Η θεωρία χορδών τύπου IIB περ-

ιέχει 4-διάστατες μεμβράνες, τις D3-branes. Μια διάταξη από N παράλληλες τέτοιες μεμ-

βράνες καμπυλώνει τον χωροχρόνο. Εάν πλησιάσουμε τις μεμβράνες από μια κάθετη προς

αυτές κατεύθυνση, βρίσκουμε ότι ο χωροχρόνος περιγράφεται από τη γεωμετρία AdS5×S5.

Επίσης, σε χαμηλές ενέργειες οι καταστάσεις της διάταξης περιγράφονται από μια υπερσυμ-

μετρική θεωρία βαθμίδος τύπου SU(N), όπου η τάξη των μοναδιακών πινάκων είναι ίση με

τον αριθμό των μεμβρανών. Αυτή η θεωρία βαθμίδος αποτελεί παράδειγμα μιας σύμμορφης

θεωρίας πεδίων.


Το πιο γνωστό παράδειγμα λοιπόν μιας τέτοιας ολογραφικής αντιστοιχίας είναι η αντισ-

τοιχία μεταξύ της θεωρίας υπερχορδών τύπου IIB στον 10-διάστατο χωρόχρονο AdS5×S5

και της N = 4 υπερσυμμετρικής θεωρίας Yang-Mills [19].

΄Οπως έχουμε αναφέρει η N = 4 υπερσυμμετρική θεωρία Yang-Mills αποτελεί μια

σύμμορφη θεωρία κβαντικών πεδίων με συμμετρία βαθμίδος την ομάδα SU(N). Η στα-

θερά σύζευξης, gYM , παραμένει σταθερή στο κβαντικό επίπεδο ανεξαρτήτως της κλίμακας

ενέργειας. Μάλιστα η θεωρία αυτή είναι αναλλοίωτη ως προς τους τετραδιάστατους σύμμορ-

φους μετασχηματισμούς, οι οποίοι σχηματίζουν την ομάδα SO(2, 4) που αποτελεί και την

ομάδα ισομετριών του χωροχρόνου AdS5. ΄Ενας τέτοιος σύμμορφος μετασχηματισμός είναι

ο μετασχηματισμός κλίμακας (t, xi)→ λ(t, xi). Η κίνηση στην επιπρόσθετη διάσταση στο

βαρυτικό σύστημα μεταφράζεται σε μεταβολή της κλίμακας στη σύμμορφη θεωρία πεδίων.

Στη θεωρία χορδών στον χωροχρόνο AdS5 × S5υπάρχουν δυο παράμετροι. Η πρώτη

είναι η σταθερά σύζευξης των χορδών gs. Η άλλη αδιάστατη παράμετρος είναι ο λόγος

της ακτίνας καμπυλότητας του χωροχρόνου προς το χαρακτηριστικό μήκος των χορδών,

lAdS/ls. Οι παράμετροι αυτοί σχετίζονται με τις παραμέτρους της υπερσυμμετρικής θεωρίας

Yang-Mills. Οι σταθερές σύζευξης των δυο θεωριών συνδέονται με την σχέση:

gs = g2YM (4.6.1)

Η άλλη παράμετρος της θεωρίας Yang-Mills είναι η τάξη της ομάδας SU(N), ο αριθμός

των χρωμάτων, η οποία συνδέεται με τον λόγο lAdS/ls με βάση τη σχέση:

lAdSls

= (Ng2YM )

14 (4.6.2)

Η παράμετροςNg2YM είναι η ενεργός σταθεράς σύζευξης της θεωρίας βαθμίδος και ονομάζε-

ται σταθερά σύζευξης ’t Hooft. Στο όριο ’t Hooft, N →∞ κρατώντας σταθερή την ενεργόσύζευξη:

Ng2YM = σταθ

Εάν Ng2YM >> 1 οι αλληλεπιδράσεις των γκλουονίων στη θεωρία βαθμίδος είναι πολύ

ισχυρές. Αντίθετα στη βαρυτική θεωρία, ο λόγος lAdS/ls >> 1 άρα και gs → 0, κάτι που

υποδεικνύει ότι οι αλληλεπιδράσεις των βαρυτονίων είναι ασθενείς και η θεωρία μπορεί να

επιλυθεί διαταρακτικά. Επομένως βλέπουμε πως σε κάποια όρια μια παρατηρήσιμη ποσότητα

μπορεί να υπολογιστεί ευκολότερα στη μια από τις δυο δυϊκές θεωρίες, ενώ ο υπολογισμός

της αντίστοιχης ποσότητας στην άλλη είναι πιο δύσκολος.


4.7 Χωρόχρονος AdS σε μη μηδενικές θερμοκρασίες

Συνεχίζοντας αναλυτικώς τον χρόνο, t → −itE παίρνουμε την Ευκλείδεια μορφή τουχωροχρόνου AdSd:

ds2 =

(1 +

r2

l2

)dt2E +

dr2

1 + r2

l2

+ r2dΩ2d−2 (4.7.1)

Για να περιγράψουμε ένα θερμικό αέριο άμαζων σωματιδίων στο κέντρο του χωροχρόνου

συμπαγοποιούμε τον Ευκλείδειο χρόνο με περίοδο ίση με το αντίστροφο της θερμοκρασίας,

tE → tE + β, β = 1/T . Η κανονική θερμοκρασία μεταβάλλεται με την απόσταση από το

κέντρο και δίνεται από την έκφραση:

Tproper =T√

1 + r2

l2

(4.7.2)

Παρατηρούμε ότι καθώς απομακρυνόμαστε από το κέντρο και πλησιάζουμε το σύνορο r →∞, η θερμοκρασία ελαττώνεται. Το μεγαλύτερο τμήμα του χώρου είναι κρύο.

Παρατηρούμε ότι η περίμετρος του Ευκλείδειου χρονικού κύκλου παραμένει μη μηδενική

καθώς πλησιάζουμε το κέντρο r = 0, και έτσι ο θερμικός χώρος anti de Sitter, έχει μη

τετριμμένη τοπολογία αφού δεν είναι απλά συνδεδεμένος.

Κοντά στο σύνορο η μετρική προσεγγίζεται ως:

ds2|r→∞ =r2

l2dt2E + r2dΩ2

d−2

=r2

l2(dt2E + l2 dΩ2

d−2

)Επομένως το σύνορο του χωροχρόνου περιγράφεται από ένα κύκλο με περιφέρεια β επί μια

σφαίρα (d− 2)-διαστάσεων ακτίνας l. Η πολλαπλότητα αυτή είναι η S1 × Sd−2όπου ζει η

CFT.


Γράφημα 4.7.1: Ο χωρόχρονος AdS στον Ευκλείδειο χώρο.

Η σύμμορφη θεωρία πεδίων έχει μη μηδενική θερμοκρασία ίση με 1/β. Λόγω ότι η

CFT παραμένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς κλίμακας, όλα τα θερμοδυναμικά

μεγέθη θα εξαρτώνται μόνο από τον αδιάστατο λόγο l/β. Εάν η θερμοκρασία είναι μικρή,

η πυκνότητα ενέργειας του θερμικού αερίου είναι μικρή και μπορούμε να αμελήσουμε την

ανάδραση του στη γεωμετρία. ΄Οταν όμως η θερμοκρασία αυξηθεί, η πυκνότητα ενέργειας

αυξάνεται με τελικό αποτέλεσμα το θερμικό αέριο να καταρρεύσει. ΄Οπως θα δούμε, σχη-

ματίζεται μια μαύρη τρύπα, η οποία σε αντίθεση με τις μαύρες τρύπες στον ασυμπτωτικά

επίπεδο χωροχρόνο, είναι θερμοδυναμικά ευσταθής.

4.8 Μαύρες τρύπες Schwarzschild στον χωροχρόνο anti

de Sitter

Η μετρική Schwarzschild στον χωροχρόνο AdSd διαστάσεις αποτελεί λύση ων εξισώσεων

του Einstein στον κενό χώρο, στην παρουσία αρνητικής κοσμολογικής σταθεράς [24] – δες

4.4.4. Η μετρική είναι η εξής:

ds2 = −(r2

l2+ 1− µ

rd−3

)dt2 +

dr2(r2

l2+ 1− µ

rd−3

) + r2dΩ2d−2 (4.8.1)

όπου µ = 16πGdM/(d− 2)V ol[Sd−2].

Παρατηρούμε ότι στο όριο όπου η ακτίνα καμπυλότητας l τείνει στο άπειρο, τότε προκύπτει

η γεωμετρία Schwarzschild στον επίπεδο d-διάστατο χωροχρόνο:

ds2 = −(

1− µ

rd−3

)dt2 +

dr2(1− µ

rd−3

) + r2dΩ2d−2

Συγκεκριμένα στις 4 διαστάσεις (3 χωρικές και 1 χρονική), η παράμετρος µ ισούται με την

βαρυτική ακτίνα µ = 2GM , και η πιο πάνω μετρική παίρνει την μορφή 1.2.2.


Επίσης, στο όριο r → ∞, πολύ μακριά από τον αστέρα, το βαρυτικό πεδίο της μαύρης

τρύπας εξασθενεί. ΄Ετσι, η μετρική προσεγγίζεται από τη μετρική του χωροχρόνου AdSd.

Μηδενίζοντας την χρονική συνιστώσα της μετρικής 4.8.1, βρίσκουμε τον ορίζοντα της

μαύρης τρύπας:

r2

l2+ 1− µ

rd−3= 0 (4.8.2)

Η εξίσωση αυτή έχει μια μοναδική (πραγματική) λύση στο σημείο r+. Στο όριο των μεγάλων

μαζών, µ >> ld−3, η πιο πάνω εξίσωση έχει λύση:

r+ =(l2 µ) 1d−1 (4.8.3)

Συνεχίζοντας αναλυτικώς τον χρόνο, t → −itE παίρνουμε την Ευκλείδεια μορφή τηςμετρικής:

ds2 =

(r2

l2+ 1− µ

rd−3

)dt2E +

dr2(r2

l2+ 1− µ

rd−3

) + r2dΩ2d−2 (4.8.4)

Ακολούθως αναπτύσσοντας κατά Taylor για r ∼ r+, παίρνουμε:

ds2 =

(2r+

l2+ (d− 3)

µ

rd−2+

)(r − r+)dt2E +

dr2(2r+l2

+ (d− 3) µ

rd−2+

)(r − r+)

+ r2+dΩ2

d−2

Με ένα μετασχηματισμό συντεταγμένων

ρ = 2

√√√√ r − r+2r+l2

+ (d− 3) µ

rd−2+

η μετρική παίρνει την μορφή:

ds2 =

(2r+

l2+ (d− 3)

µ

rd−2+

)2ρ2

4dt2E + dρ2 + r2

+dΩ2d−2

Στη συνέχεια γράφουμε την μετρική ως:

ds2 = ρ2dϕ2 + dρ2 + r2+dΩ2 (4.8.5)


όπου η γωνία ϕ ορίζεται ως:

ϕ ≡ tE2

(2r+

l2+ (d− 3)

µ

rd−2+

)(4.8.6)

Η γωνιά ϕ πρέπει να είναι περιοδική, ϕ→ ϕ+2π, ώστε να αποφύγουμε μια κωνική ανωμαλία.

Οπότε η περίοδος του Ευκλείδειου χρόνου είναι:

β =4π(

2r+l2

+ (d− 3) µ

rd−2+

) (4.8.7)

Για μεγάλες μάζες η ακτίνα του ορίζοντα δίνεται από την 4.8.3 και έτσι η θερμοκρασία

της μαύρης τρύπας (d>3) θα δίνεται:

β =4π

(d− 3) µ

(l2µ)d−2d−1

=4π l

2(d−2)d−1

(d− 3)

1

µ1d−1

(4.8.8)

΄Οπως έχουμε αναφέρει ο χωροχρόνος AdS μοιάζει με μια κοιλότητα με ανακλαστικά

τοιχώματα. Η μαύρη τρύπα Schwarzschild στον χωρόχρονο AdS παράγει ακτινοβολία

Hawking, η οποία φτάνει στο σύνορο σε πεπερασμένο χρόνο, ανακλάται και επιστρέφει

πίσω. Παρατηρούμε από την εξίσωση 4.8.8 ότι η θερμοκρασία της αυξάνεται με τη μάζα,

T ∝ µ1d−1 . ΄Ετσι έχει θετική θερμοχωρητικότητα. Συνεπώς, μπορεί να επέλθει θερμική

ισορροπία με αποτέλεσμα η μαύρη τρύπα να είναι ευσταθής. Γι’ αυτό οι μαύρες τρύπες

Schwarzschild στον χωροχρόνο AdS ονομάζονται αιώνιες.

4.8.1 Διάγραμμα Penrose

Σχηματίζουμε το διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας μιας μαύρης τρύπας στον

χωροχρόνο AdSd ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία με αυτήν του κεφαλαίου 1.3. Η

μεγίστη γεωμετρία έχει δυο ασυμπτωτικές περιοχές anti de Sitter (οι Ι και ΙΙΙ στο σχήμα).


Γράφημα 4.8.1: Διάγραμμα Penrose της μέγιστης γεωμετρίας μιας μαύρης τρύπας στονχωροχρόνο AdS. Ο χωρόχρονος παρουσιάζει ένα σύνορο στην αριστερή ασυμπτωτική

περιοχή (L) και ένα σύνορο στην δεξιά ασυμπτωτική περιοχή (R)

Επιπλέον, διακρίνουμε τις 4 περιοχές όπως και στην μεγίστη γεωμετρία Schwarzschild

στον ασυμπτωτικά επίπεδο χώρο, καθώς και τους δυο ορίζοντες και τις ανωμαλίες (δες

διάγραμμα 1.3.2).

Ο χωρόχρονος αυτός περιγράφεται ολογραφικά από μια συνμπλεγμένη κατάσταση δυο

πανομοιότυπων, σύμμορφων θεωριών βαθμίδας, που ζουν στα δύο (ασύνδετα μεταξύ τους)

χρονοειδή σύνορα των ασυμπτωτικών περιοχών [19], L και R. Κάθε σύμμορφη θεωρία

πεδίου ζει σε μια πολλαπλότητα της μορφής R × Sd−2, όπως έχουμε δει στο κεφάλαιο

4.4.2. Οι βαθμοί ελευθερίας των δύο σύμμορφων θεωριών δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους,

αλλά μπορεί να βρίσκονται σε σύμπλεξη. Με βάση τη σύμμορφη θεωρία πεδίου στο σύνορο

μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως την εσωτερική περιοχή της μαύρης τρύπας ακόμα και

την περιοχή κοντά στις ανωμαλίες.

Κεφάλαιο 5

Κβαντική πολυπλοκότητα

5.1 Εισαγωγή στις κβαντικές πύλες και κβαντικά κυκ-

λώματα

Η εξέλιξη μιας (πολύπλοκης) κβαντικής κατάστασης μπορεί να περιγραφεί με τη γλώσσα

του κβαντικού υπολογισμού [5]. ΄Ενας κλασσικός υπολογιστής αποτελείται από διάφορες

λογικές πύλες στις οποίες μεταφέρεται και γίνεται η επεξεργασία της πληροφορίας. ΄Ενας

κβαντικός υπολογιστής αποτελείται από πολλαπλά qubits ή κβαντικούς καταχωρητές (qubit

registers), πάνω στους οποίους ενεργούν οι κβαντικές πύλες (quantum gates). Η πληρο-

φορία βρίσκεται αποθηκευμένη στους κβαντικούς καταχωρητές.

΄Ενα qubit (κβαντικό ψηφίο) είναι ένα κβαντικό σύστημα δύο καταστάσεων. Μπορεί

να πραγματοποιηθεί με ένα άτομο, ένα ηλεκτρόνιο, ένα φωτόνιο ή και με ένα υπεραγώγιμο

ηλεκτρικό κύκλωμα στο οποίο κινούνται μερικά ηλεκτρόνια. Το κβαντικό σύστημα του

qubit περιγράφεται από έναν μιγαδικό διανυσματικό χώρο Hilbert, διαστατικότητας D = 2.

Μια βάση αποτελείται από δυο γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, τα οποία συμβολίζουμε με

|0〉 και |1〉.

5.1.1 Κβαντικές πύλες

Πρώτα ας εξετάσουμε την πιο απλή περίπτωση των κβαντικών πυλών που δρουν σε ένα

μόνο qubit (single qubit gates). Στην κλασσική περίπτωση η πύλη NOT, που καθορίζεται

από την εφαρμογή ενός πίνακα αλήθειας, αλλάζει την κατάσταση ενός bit από 0 σε 1 και από

1 σε 0. Μια γενική κατάσταση ενός qubit αποτελεί επαλληλία των διανυσμάτων |0〉 και |1〉:a |0〉 + b |1〉. Η κβαντική πύλη NOT είναι ένας τελεστής που εναλλάσσει τις καταστάσεις

|0〉 και |1〉. Οπότε η αρχική επαλληλία μετασχηματίζεται στην κατάσταση a |1〉+ b |0〉.

73

Κβαντική πολυπλοκότητα 74

Ο κβαντική πύλη NOT λοιπόν είναι ο τελεστής

|0〉〈1|+ |1〉〈0|

ο οποίος μπορεί να αναπαρασταθεί με τον 2× 2 πίνακα του Pauli σx:

X ≡ σx =

(0 1

1 0

)(5.1.1)

Εάν αναπαραστήσουμε τις καταστάσεις με στήλες παίρνουμε:

X

(a

b

)=

(b

a

)

Υπάρχει όμως κάποιος περιορισμός για το ποιοι πίνακες επιτρέπονται ως κβαντικές πύλες;

΄Εστω |Ψ〉 = a |0〉+ b |1〉 μια κανονικοποιημένη κατάσταση. Μετά τη δράση της κβαντικήςπύλης, δηλαδή ενός γραμμικού τελεστή U που δρα πάνω στην |Ψ〉, πρέπει και η νέα κατάσ-ταση |Ψ′〉 = U |Ψ〉 να είναι κανονικοποιημένη. Οπότε έχουμε:

⟨Ψ′∣∣Ψ′⟩ = 〈Ψ|U †U |Ψ〉 = 1

Συνεπώς οι κβαντικές πύλες πρέπει να είναι μοναδιακοί τελεστές, UU † = 1.

Μερικές άλλες χρήσιμες single qubit πύλες είναι η πύλη Pauli-Y, η πύλη Pauli-Z και η

πύλη Hadamard:

Y ≡

(0 −ii 0

)Z ≡

(1 0

0 −1

)H ≡ 1√

2

(1 1

1 −1

)(5.1.2)

Στο πιο κάτω γράφημα απεικονίζονται οι κβαντικές αυτές πύλες όπως συμβολίζονται σε ένα

κβαντικό κύκλωμα.

Γράφημα 5.1.1: Συμβολισμός single qubit πυλών σε ένα κβαντικό κύκλωμα


Υπάρχουν και κβαντικές πύλες που δρουν σε πολλαπλά qubits. Μια από αυτές είναι η

CNOT. Η πύλη αυτή δρα σε ένα σύστημα δύο qubits, το qubit ελέγχου (control qubit)

και το qubit στόχο (target qubit). Η πύλη αυτή μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν πίνακα

4×4:

CNOT ≡

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

(5.1.3)

Δρα ως εξής στα qubits ως εξής. Εάν το qubit ελέγχου βρίσκεται στην κατάσταση |0〉τότε το qubit στόχος δεν αλλάζει. Εάν το qubit ελέγχου βρίσκεται στην κατάσταση |1〉τότε το qubit στόχος εναλλάσσεται από την ατάσταση |0〉 στην |1〉, και αντίστροφα. Γιαπαράδειγμα εάν πύλη CNOT δράσει στην κατάσταση |Ψ〉 = a |00〉+ b |01〉+ c |10〉+ d |11〉,την μετατρέπει στην κατάσταση |Ψ′〉 = a |00〉 + b |01〉 + c |11〉 + d |10〉. Σε ένα κβαντικόκύκλωμα η πύλη CNOT απεικονίζεται ως:

Γράφημα 5.1.2: Συμβολισμός της CNOT πύλης σε ένα κβαντικό κύκλωμα

Οποιαδήποτε κβαντική πύλη πολλαπλών qubits μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση την

πύλη CNOT και πύλες που δρουν σε ένα μόνο qubit [5].

Οι κβαντικές πύλες είναι αντιστρέψιμες αφού κάθε μοναδιακός πίνακας έχει αντίστροφο

τον ερμιτιανό συζυγή του. Η δράση των κβαντικών πυλών διατηρεί την κβαντική πληρο-

φορία.

5.1.2 Κβαντικά κυκλώματα

΄Ενας κβαντικός υπολογισμός επιτυγχάνεται από την δράση μοναδιακών τελεστών στα

qubits. ΄Ενας τέτοιος υπολογισμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα κβαντικό κύκλωμα, το

οποίο αποτελείται από qubits και κβαντικές πύλες. Στο κύκλωμα αναπαρίσταται η χρονική

σειρά με την οποία δρουν οι πύλες στα qubits. Ο χρόνος μεταβάλλεται από τα αριστερά

προς τα δεξιά. Συνήθως η τελική κατάσταση θα είναι μια συνμπλεγμένη κατάσταση.


Γράφημα 5.1.3: Κβαντικό κύκλωμα αποτελούμενο από 2-qubit πύλες

Το πιο πάνω κβαντικό κύκλωμα αποτελείται από 7 qubits στα οποία δρουν μόνο 2-qubit

πύλες.

Το ακόλουθο παράδειγμα αποτελείται από 3 κβαντικές πύλες (κάθετες γραμμές) οι οποίες

δρουν σε 2 qubits (οριζόντιες γραμμές).

Γράφημα 5.1.4: Κβαντικό κύκλωμα εναλλαγής δυο qubits

Εάν η αρχική κατάσταση των δύο qubits είναι η |a, b〉 (όπου οι ακέραιοι αριθμοί a, b ορί-ζονται modulo 2), τότε δρώντας με την πύλη CNOT παίρνουμε την κατάσταση |a, b⊕ a〉.Ακολούθως δρώντας με την δεύτερη πύλη CNOT παίρνουμε την κατάσταση

|a⊕ (b⊕ a), b⊕ a〉 = |b, b⊕ a〉. Τέλος, η τρίτη πύλη CNOT παράγει την κατάσταση

|b, (b⊕ a)⊕ b〉 = |b, a〉. ΄Ετσι με αυτό το κύκλωμα πετυχαίνουμε την εναλλαγή των δυοqubits.

5.2 Qubits

5.2.1 Αριθμός των κανονικοποιημένων καταστάσεων

Οι καταστάσεις μιας μαύρης τρύπας σχηματίζουν εναν διανυσματικό χώρο με διασ-

τατικότητα της τάξης eSBH , όπου SBH η εντροπία Bekenstein - Hawking. Η εντροπία


αυτή ισούται δίδεται από το εμβαδόν του ορίζοντα σε μονάδες Planck. Για μια μαύρη τρύπα

με μάζα αυτήν του ΄Ηλιου, η εντροπία Bekenstein - Hawking είναι τεράστια. Αφού η ακ-

τίνα του ορίζοντα ισούται περίπου με 3Km και το μήκος Planck είναι της τάξης 10−35m,

SBH ∼ 1078. Για μια μικροσκοπική μαύρη τρύπα με ακτίνα ∼ 10 lp, η εντροπία είναι Beken-

stein - Hawking της τάξης 103.

Θα προσομοιώσουμε τον χώρο των καταστάσεων μιας μαύρης τρύπας με έναν χώρο

πολλών qubits. Ο αριθμός των qubits είναι της τάξης της εντροπίας Bekenstein - Hawk-

ing. Προφανώς μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τις ιδιότητες του χώρου αυτού καθώς ο

αριθμός των qubits γίνεται πολύ μεγάλος. ΄Οπως θα δούμε, στην περίπτωση αυτή οι ενδι-

αφέρουσες γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου καθορίζονται από την κβαντική πολυπλοκότητα

των καταστάσεων του χώρου [4, 25, 26]. Οι ιδιότητες αυτές δεν εξαρτώνται από τις λεπ-

τομερείς αλληλεπιδράσεις μεταξύ των qubits.

Ας θεωρήσουμε λοιπόν τον χώρο των καταστάσεων K qubits. Η διαστατικότητα του

χώρου αυτού είναι D=2K . Αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των qubits. Εάν επιλέξουμε

μια ορθοκανονική βάση |i〉, όπου i = 1, 2 . . . 2K . ένα τυχαίο διάνυσμα μπορεί να γραφεί

στη μορφή:

|Ψ〉 =

2K∑i=1

ai |i〉 (5.2.1)

όπου ai μιγαδικοί αριθμοί.

Ο αριθμός των κανονικοποιημένων καταστάσεων του χώρου είναι άπειρος, αλλά μπορούμε

να τον κανονικοποιήσουμε διακριτοποιώντας τον χώρο.

Το σύνολο των κανονικοποιημένων καταστάσεων της μορφής 5.2.1 είναι ο μιγαδικός

προβολικός χώρος CP (N − 1), όπου N = 2K (δες παράρτημα D.2). Οι επαλληλίες 5.2.1

ανήκουν στον μιγαδικό χώρο CN ο οποίος είναι ισομορφικός με τον χώρο R2N . Οι κανον-

ικοποιημένες επαλληλίες αντιστοιχούν μία προς μία με σημεία της μοναδιαίας σφαίρας S2N−1

στον χώρο R2N . Τώρα δύο κανονικοποιημένες καταστάσεις που σχετίζονται με μια ολική

φάση, |Ψ′〉 = eiθ |Ψ〉, αντιστοιχούν στην ίδια φυσική κατάσταση και ανήκουν στην ίδιακλάση. Επομένως το σύνολο των κανονικοποιημένων φυσικών καταστάσεων – το σύνολο

των κλάσεων – σχηματίζει τον χώρο S2N−1/U(1), ο οποίος είναι ισομορφικός με τον προβο-

λικό χώρο CP (N−1). Ο χώρος αυτός είναι συμπαγής – αποτελεί μια κλειστή πολλαπλότητα

– δες D.2. Μπορεί να παραμετρικοποιηθεί με 2(N−1) πραγματικές συντεταγμένες (ή N−1

μιγαδικές συντεταγμένες).

Διαμερίζουμε λοιπόν τον προβολικό χώρο CP (N − 1) με μικρές 2(N − 1)-διάστατες

μπάλες ακτίνας ε 1, και απαριθμούμε τις καταστάσεις που αντιστοιχούν στα κέντρα

των μπαλών. Ο αριθμός αυτός αποτελεί μια εκτίμηση για το πως μεταβάλλεται ο αριθμός


των φυσικών κανονικοποιημένων καταστάσεων με τον αριθμό των qubits K. Προφανώς ο

αριθμός των μπαλών ισούται με το πηλίκο του όγκου του προβολικού χώρου CP (N − 1)

προς τον όγκο μιας μικρής μπάλας με ακτίνα ε.

O όγκος του χώρου CP (N −1) ισούται με τον όγκο μοναδιαίας σφαίρας S2N−1διά 2π:

V ol[CP (N − 1)] =V ol[S2N−1]

V ol[U(1)]=V ol[S2N−1]

V ol[S1]=

πN−1

(N − 1)!≈(

πe

N − 1

)N−1

(5.2.2)

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση D.3.2 και την προσέγγιση Stirling. Ο όγκος μιας μπάλας

ακτίνας ε, 2(N − 1) διαστάσεων, δίδεται σύμφωνα με την σχέση D.3.3, και είναι:

V2(N−1)(ε) =πN−1

Γ(N)ε2(N−1) =

πN−1

(N − 1)!ε2N ≈

(πe

N − 1

)N−1

ε2(N−1) (5.2.3)

Παίρνοντας το πηλίκο των όγκων βρίσκουμε τον ολικό αριθμό των καταστάσεων:

#states =V ol[CP (N − 1)]

V2(N−1)(ε)= ε−2(N−1)

Αντικαθιστώντας με N = 2K βρίσκουμε:

#states =

(1

ε

)2(2K−1)

(5.2.4)

Ο λογάριθμος του αριθμού των καταστάσεων είναι:

log(#states) = 2(2K − 1) log

(1

ε

)(5.2.5)

Παρατηρούμε ότι ο λογάριθμος αυξάνεται εκθετικά με τον αριθμό των qubits K, ενώ υπ-

άρχει μια ήπια λογαριθμική εξάρτηση από το κατώφλι ε. Ο αριθμός των καταστάσεων

παρουσιάζει με διπλά εκθετική εξάρτηση από τον αριθμό K.

5.2.2 Σχετική πολυπλοκότητα των κανονικοποιημένων

καταστάσεων

Ο αριθμός των καταστάσεων είναι τεράστιος. Θα ήταν χρήσιμο να διακρίνουμε μεταξύ

των καταστάσεων αυτών με βάση την απόσταση μεταξύ τους. Η συνήθης μετρική στον χώρο

των καταστάσεων CP (2K-1) είναι η μετρική Fubiny-Study(FS) – δες για παράδειγμα [27].

Η απόσταση FS μεταξύ δυο καταστάσεων |A〉 και |B〉 δίδεται από το εσωτερικό γινόμενομεταξύ τους ως εξής:

dFS(A,B) = 2 arccos |〈A|B〉| (5.2.6)


Ας δούμε όμως ένα απλό παράδειγμα. Στην περίπτωση ενός qubit, K = 1, ο χώρος

των φυσικών κανονικοποιημένων καταστάσεων είναι ο προβολικός χώρος CP (1), ο οποίος

είναι ισομορφικός με το πηλίκο S3/U(1) ≡ S2, ή την μοναδιαία σφαίρα Bloch. Μια γενική

κατάσταση γράφεται στη μορφή

cosθ

2|0〉+ eiϕ sin

θ

2|1〉 (5.2.7)

όπου θ ∈ [0, π] και ϕ ∈ [0, 2π), και η μετρική FS ανάγεται στην:

ds2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2

Οι δύο καταστάσεις αντιστοιχούν σε δυο σημεία A και B στη σφαίρα Bloch, ή δύο μοναδιαία

διανύσματα. Με μια κατάλληλη περιστροφή, πάντα μπορούμε να περιστρέψουμε τη σφαίρα

ώστε το σημείο A να συμπέσει με τον βόρειο πόλο. Ισοδύναμα, |A〉 = |0〉. Με μία περι-στροφή ως προς τον άξονα z, περιστρέφουμε τη σφαίρα ώστε το σημείο B να συμπέσει με

σημείο του μεσημβρινού παράλληλου ϕ =0, |B〉 = cos θ2 |0〉+ sin θ2 |1〉. Η απόσταση μεταξύ

των δύο σημείων A και B ισούται με το μήκος του τόξου του μεσημβρινού παράλληλου που

τα συνδέει:

L =

∫ds =

∫ θ

0dθ′ = θ = 2 arccos |〈A|B〉|

Παρατηρούμε ότι η απόσταση FS παίρνει τιμές από 0, όταν |A〉 = |B〉, μέχρι π ότανοι καταστάσεις |A〉 και |B〉 είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Συνεπώς η μέγιστη απόστασημεταξύ δυο καταστάσεων με βάση τη μετρική FS είναι ίση με π. Ο προβολικός χώρος

CP (2K-1) είναι συμπαγής, με θετική καμπυλότητα.

Η μετρική Fubiny-Study όμως αγνοεί τη σχετική πολυπλοκότητα μεταξύ δύο καταστά-

σεων [25]. Ανάλογα με τις κβαντικές πύλες που έχουμε στην διάθεση μας, μπορεί να

είναι εύκολο να μετατρέψουμε μια αρχική κατάσταση των qubits σε μια τελική ορθογώνια

κατάσταση, και πολύ δύσκολο για ένα άλλο ζεύγος από ορθογώνιες καταστάσεις. Για

παράδειγμα με τη δράση της κβαντικής πύλης Pauli-X στο 1ο qubit εύκολα μεταβαίνουμε

από την κατάσταση |0 . . .〉 στην κατάσταση |1 . . .〉. Εάν όμως έχουμε δύο ορθογώνιες μεταξύτους συνμπλεγμένες καταστάσεις των qubits, η μετάβαση από τη μια στην άλλη μπορεί να

επιτευχθεί μόνο με τη δράση ενός πολύπλοκου μοναδιακού τελεστή, ισοδύναμα με τη δράση

πολλών διαδοχικών κβαντικών πυλών. Η μετρική FS αδυνατεί να διακρίνει μεταξύ των δύο

αυτών περιπτώσεων, αφού η απόσταση και στις δύο περιπτώσεις παίρνει την τιμή π.

Θα ορίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο καταστάσεων με βάση τη σχετική τους πολυ-

πλοκότητα [25]. ΄Εστω ότι μας δίδεται ένα σύνολο από απλές κβαντικές πύλες. Η σχετική


πολυπλοκότητα μεταξύ δύο καταστάσεων είναι ο ελάχιστος αριθμός των κβαντικών πυλών

που απαιτούνται για να μεταβούμε από την μια κατάσταση στην άλλη.

Ως απλές κβαντικές πύλες ορίζουμε αυτές που δρουν σε ένα μικρό αριθμό από qubitsm <

K. Κάθε πύλη χαρακτηρίζεται από μια ιδιότητα που καλείται τοπικότητα (locality). Μια k-

local πύλη δρα σε k qubits. Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να συμπεριλάβουμε στο σύνολο

μας όλες τις 1-local ή/και τις 2-local πύλες. Εάν k K, η σχετική πολυπλοκότητα μεταξύ

καταστάσεων δεν μεταβάλλεται πολύ με την τάξη k [5]. Επηρεάζεται πολλαπλασιαστικά με

την τάξη k, χωρίς να επηρεάζεται η εκθετική εξάρτηση από τον αριθμό των qubits K.

Εάν η πύλη g είναι μια επιτρεπόμενη πύλη τότε και ο αντίστροφος της g† θα είναι μια

επιτρεπόμενη πύλη.

Η ακρίβεια με την οποία προσεγγίζουμε μια κατάσταση εξαρτάται από το κατώφλι δι-

ακριτότητας ε. Η σχετική πολυπλοκότητα εξαρτάται μόνο λογαριθμικά από το κατώφλι ε

[5].

5.3 Χώρος SU(2K) των μοναδιακών τελεστών

Στο παράρτημα D.1.1 μελετούμε ιδιότητες της ομάδας των μοναδιακών πινάκων. Υπάρχει

μια πλήρης αντιστοίχηση μεταξύ των μοναδιακών τελεστών, U =∑i,jUij |i〉〈j|, και πλήρως

συνμπλεγμένων καταστάσεων.

Ας θεωρήσουμε δυο χώρους, με K qubits ο καθένας. Επιλέγουμε τις ορθοκανονικές

βάσεις |i〉 και |j〉 αντίστοιχα. Ας θεωρήσουμε μια κανονικοποιημένη κατάσταση στοτανυστικό γινόμενο των δύο χώρων ως εξής:

|Ψ〉 =1√〈Ψ|Ψ〉

2K∑i,j

Uij |i〉 |j〉

〈Ψ|Ψ〉 =2K∑i,j

|Uij |2 = 2K

όπου Uij τα στοιχεία ενός μοναδιακού πίνακα. Ο αντίστοιχος πίνακας πυκνότητας είναι:

ρ = |Ψ〉〈Ψ| = 1

2K

2K∑i,j

2K∑i′,j′

UijU∗i′j′ ( |i〉 |j〉 )

( ⟨i′∣∣ ⟨j′∣∣ )


Παίρνοντας το μερικό ίχνος ως προς το ένα σύστημα των qubits, προκύπτει ο πίνακας

πυκνότητας που περιγράφει το άλλο σύστημα:

ρK = TrK′ ρ =1

2K

2K∑i,j,i′

UijU∗i′j |i〉

⟨i′∣∣

Τώρα U∗i′j = U †ji′ και επειδή τα στοιχεία Uij ανήκουν σε ένα μοναδιακό πίνακα, ισχύει ότι∑j UijU

†ji′ = δii′ : Επομένως ο πιο πάνω πίνακας πυκνότητας γράφεται:

ρK =1

2K

2K∑i

|i〉〈i| (5.3.1)

Ο πίνακας πυκνότητας βρίσκεται σε πλήρη αποσυνοχή και η εντροπία σύμπλεξης παίρνει τη

μέγιστη της τιμή 2.3.5. Η |Ψ〉 είναι μια πλήρως συνμπλεγμένη κατάσταση του τανυστικούγινομένου.

Επομένως, μελετώντας την πολυπλοκότητα των μοναδιακών τελεστών μαθαίνουμε για

την πολυπλοκότητα των πλήρως συνμπλεγμένων καταστάσεων.

5.3.1 Αριθμός των μοναδιακών τελεστών SU(2K)

Θα μελετήσουμε τον μετρικό χώρο των μοναδιακών τελεστών τάξης N = 2K , με ορί-

ζουσα 1. Δηλαδή την ομάδα SU(2K) ως ένα μετρικό χώρο. Ο χώρος αυτός είναι πολύ

μεγαλύτερος από τον προβολικό χώρο των κανονικοποιημένων κατστάσεων CP (2K-1).

Περιγράφεται με βάση ([2K ]2 − 1) = (4K − 1) πραγματικές παραμέτρους.

Θα διαμερίσουμε τον χώρο σε πολλές μπάλες ακτίνας ε << 1. Οι μπάλες είναι (4K−1)-

διάστατες, όπως και ο χώρος SU(2K). Ο αριθμός των μπαλών αυτών αποτελεί ένα μέτρο

του αριθμού των μοναδιακών τελεστών.

Ας βρούμε μια εκτίμηση του αριθμού των μοναδιακών τελεστών διαιρώντας τον όγκο

του χώρου SU(2K) με τον όγκο μιας μπάλας ακτίνας ε της ίδιας διαστατικότητας.

Ο όγκος του χώρου SU(N) (όπου N = 2K) δίνεται από τη σχέση [28]:

V ol[SU(N)] =2N−1

2 N12π

(N+2)(N−1)2

1!2!3! . . . (N − 1)!(5.3.2)

Για παράδειγμα, ο όγκος της πολλαπλότητας SU(2) ισούται με 2π2. Η πολλαπλότητα αυτή

είναι ισομορφική 3-διάστατης μοναδιαίας σφαίρας, όπως δείχνουμε στο παράτημα D.1.2.

Ας μελετήσουμε όμως την σχέση 5.3.2 στο όριο όπου ο αριθμός των διαστάσεων του

χώρου είναι πολύ μεγάλος. Στον παρονομαστή εμφανίζεται το superfactorial που γράφεται


ως:

I = 1!2!3! . . . (n)! = 1n2n−13n−2 . . . n

με n = N − 1. Παίρνοντας τον λογάριθμο των δύο μερών βρίσκουμε:

log I = n log(1) + (n− 1) log(2) + . . . log(n)

=n∑i=1

(n+ 1− i) log(i)

=

∫ n

1(n+ 1− x) log(x) dx

=

∫ n

1(n+ 1) log(x) dx−

∫ n

1x log(x) dx

= (n+ 1) (n log(n)− n+ 1)− n2

2log(n) +

n2 − 1

4

όπου προσεγγίζουμε τα αθροίσματα στο συνεχές όριο με ολοκληρώματα. Για μεγάλα n

παίρνουμε:

log I ≈ n2 log n− n2

2log n

= log(n2)n2

2 − log (n)n2

2

= log (n)n2

2

Επομένως το superfactorial προσεγγίζεται από την έκφραση:

I ≈ (n)n2

2

΄Ετσι η σχέση 5.3.2 γράφεται:

V ol[SU(N)] ≈ 2N2 π

N2

2

N N2

2

(5.3.3)

Ο όγκος μιας μικρής μπάλας στις N2 − 1 διαστάσεις είναι (σχέση D.3.3):

VN2−1(ε) =πN2−1

2

Γ(N2−12 + 1)

εN2−1


όπου η συνάρτηση γάμμα Γ(n2 + 1) μπορεί να γραφτεί ως:

Γ(n

2+ 1)

=

(n2

)! ≈

(n2

)n2 για άρτιο n

(n+1)!π12

2n+1(n+12 )≈ nnπ

12

2n(n2 )n2≈(n2

)n2 για περιττό n

΄Ετσι ο πιο πάνω όγκος της μπάλας προσεγγίζεται ως:

VN2−1(ε) =πN2

2(N2

2

) (ε2)N2

2 (5.3.4)

Διαιρώντας λοιπόν τον όγκο SU(N), σχέση 5.3.3, με τον όγκο των μπαλών ακτίνας ε,

σχέση 5.3.4, βρίσκουμε τον αριθμό των μοναδιακών πινάκων:

#unitaries =V ol[SU(N)]

VN2−1(ε)=

(N

2ε2

)N2

2

Αντικαθιστώντας N = 2K παίρνουμε:

#unitaries =

(2K−1

ε2

) 4K

2

≈(

2K

ε2

) 4K

2

(5.3.5)

Ο λογάριθμος του αριθμού των καταστάσεων είναι:

log(#unitaries) =4K

2K log 2 + 4K log

(1

ε

)(5.3.6)

Παρατηρούμε ότι εξαρτάται εκθετικά από τον αριθμό των qubits K ενώ εξαρτάται λογαρι-

θμικά από το κατώφλι ε.

5.3.2 Κίνηση στον χώρο των μοναδιακών τελεστών

Η κίνηση στον χώρο SU(2K) επιτυγχάνεται με μικρά βήματα, μέσω της δράσης απλών

κβαντικών πυλών (μερικές από τις οποίες περιγράψαμε στο κεφάλαιο 5.1).

Ας θεωρήσουμε ένα κβαντικό κύκλωμα και ένα ρολόι. Σε κάθε χτύπο του ρολογιού

δρουν K/2 2-local πύλες. Αυτή η δράση απεικονίζεται ως ένα βήμα στο κύκλωμα. Ο

αριθμός των βημάτων είναι το μήκος D του κυκλώματος. Ο συνολικός αριθμός των πυλών

στο κύκλωμα είναι DK/2. Το κύκλωμα αυτό έχει παράλληλη αρχιτεκτονική αφού σε κάθε

βήμα δρουν ταυτόχρονα K/2 πύλες. Παρατηρούμε ότι οποιαδήποτε δύο qubits μπορούν να

αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους. ΄Ενα τέτοιο κύκλωμα ονομάζεται all-to-all και k-local. Τα


all-to-all κυκλώματα περιγράφουν κβαντικούς υπολογισμούς σε συστήματα που εκδηλώνουν

χαοτική συμπεριφορά.

Γράφημα 5.3.1: Κβαντικό κύκλωμα μορφής 2-local all-to-all

Κάθε κύκλωμα περιγράφει τη διαδικασία δημιουργίας ενός συγκεκριμένου πολύπλοκου

μοναδιακού τελεστή από ένα γινόμενο κβαντικών πυλών. Η αλληλουχία των βημάτων σε

ένα κύκλωμα μπορεί να προσομοιωθεί με τη διακριτή κίνηση ενός κλασσικού σωματιδίου

στο χώρο SU(2K). Το κλασσικό αυτό σύστημα ονομάζεται βοηθητικό σύστημα (auxiliary

system) [25].

Γράφημα 5.3.2: Διακριτή κίνηση ενός κλασσικού σωματιδίου στον χώρο των μοναδιακώνπινάκων

5.3.3 Σχετική πολυπλοκότητα μοναδιακών τελεστών

Μπορούμε να ορίσουμε μια μετρική στο χώρο SU(N), παρόμοια με τη μετρική FS. Θα

την αναδείξουμε με ένα παράδειγμα.


Ας εξετάσουμε την περίπτωση της πολλαπλότητας SU(2), ισοδύναμα της μοναδιαίας

σφαίρας S3. Η σφαίρα S3μπορεί να εμβαπτιστεί στον τετραδιάστατο Ευκλείδειο επίπεδο

χώρο, με μετρική,:

ds2 = dx21 + dx2

2 + dx23 + dx2

4

χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις

x1 = cosχ

x2 = sinχ sin θ cosϕ

x3 = sinχ sin θ sinϕ

x4 = sinχ cos θ

Συναρτήσει των γωνιών η μετρική γράφεται:

ds2 = dχ2 + sin2 χ(dθ2 + sin2 θ dϕ2)

Θέλουμε να βρούμε την απόσταση μεταξύ δυο σημείων U και V της σφαίρας. Χωρίς

περιορισμό γενικότητας διαλέγουμε το σημείο U να συμπίπτει με τον "βόρειο πόλο", ο

οποίος έχει συντεταγμένες (1,0,0,0). Με μια κατάλληλη περιστροφή, το σημείο V συμπίπτει

με το σημείο (χ 6= 0, θ = 0, ϕ = 0). Τότε η απόσταση είναι

L =

∫ds =

∫ χ

0dχ′ = χ

Τα σημεία U και V αντιστοιχούν σε μοναδιακούς πίνακες SU(2), της μορφής D.1.1:

U =

(a b

−b∗ a∗

), V =

(e f

−f∗ e∗

)

όπου a = x1 + ix2, b = x3 + ix4, e = x′1 + ix′2 και f = x′3 + ix′4. Επομένως τα πιο πάνω

σημεία U και V αντιστοιχούν σε πίνακες της μορφής:

U =

(x1 0

0 x1

), V =

(x′1 ix′4

ix′4 x′1

)

Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι το κανονικοποιημένο ίχνος1του γινομένου UV † ισούται

με:

Tr (UV †) = x1x′1 = cosχ

1Το κανονικοποιημένο ίχνος ορίζεται ώστε να ικανοποιείται η σχέση Tr (1) = 1.


΄Αρα η απόσταση μεταξύ των δυο τελεστών δίνεται από τη σχέση:

L = arccos(Tr (UV †)

)

Η σχέση αυτή γενικεύεται και στην περίπτωση του χώρου SU(N). Η απόσταση μεταξύ

δυο τυχαίων μοναδιακών τελεστών U και V ορίζεται από τη σχέση:

d(U, V ) = arccos(∣∣∣Tr (UV †)

∣∣∣) (5.3.7)

Με βάση τη μετρική αυτή η πολλαπλότητα SU(N) είναι συμπαγής και θετικά καμπυλωμένη.

Μάλιστα ο όγκος της φθίνει στο μηδέν καθώς N →∞.

Μπορούμε όμως να ορίσουμε μια νέα μετρική στον χώρο αυτό με βάση τη σχετική πολυ-

πλοκότητα μεταξύ δύο μοναδιακών τελεστών. Η μετρική αυτή προσδίδει στην πολλαπλότητα

πολύ διαφορετικές γεωμετρικές ιδιότητες εν συγκρίσει με τη μετρική FS.

H σχετική πολυπλοκότητα C(U, V ) μεταξύ δυο μοναδιακών τελεστών U και V είναι ο

ελάχιστος αριθμός κβαντικών πυλών που ικανοποιούν την σχέση

U = gn gn−1 . . . g1V (5.3.8)

με ακρίβεια τάξης ε [25].

Η πολυπλοκότητα ενός μοναδιακού τελεστή U ταυτίζεται με την πολυπλοκότητα του σε

σχέση με τον μοναδιαίο τελεστή:

C(U) = C(U, I) (5.3.9)

Η σχετική πολυπλοκότητα ικανοποιεί τις 4 ιδιότητες μιας συνάρτησης απόστασης:

1. C ≥ 0

2. C(U, V ) = 0, εάν και μόνο εάν U = V

3. C(U, V ) = C(V,U) επειδή ο αντίστροφος κάθε πύλης είναι επίσης

μια επιτρεπόμενη πύλη

4. C(U, V ) ≤ C(U,W ) + C(W,V ), όπου W ένας ενδιάμεσος μοναδιακός τελεστής

Η σχετική πολυπλοκότητα είναι αναλλοίωτη ως προς τη δεξιά δράση μοναδιακών τελεστών

(right invariant). Με βάση την σχέση 5.3.8, εάν πολλαπλασιάσουμε από τα δεξιά με ένα


μοναδιακό τελεστή W βρίσκουμε:

UW = (gn gn−1 . . . g1)VW

Συνεπώς

C(U, V ) = C(UW,VW )

Ας πολλαπλασιάσουμε από τα αριστερά. Παίρνουμε:

WU = (Wgn gn−1 . . . g1W†)WV

΄Ομως Wgn gn−1 . . . g1W†δεν αποτελεί γινόμενο n επιτρεπόμενων πυλών. Επομένως η

σχετική πολυπλοκότητα δεν είναι αναλλοίωτη ως προς την αριστερή δράση μοναδιακών

τελεστών.

Καθώς η ακρίβεια ε → 0, θα χρειαζόμαστε όλο και μεγαλύτερο αριθμό πυλών για να

προσεγγίσουμε ένα μοναδιακό τελεστή.

Η απόσταση μεταξύ δύο καταστάσεων μπορεί να είναι μικρή με βάση τη μετρική FS, αλλά

τεράστια με βάση τη σχετική πολυπλοκότητα.

5.4 Γραφήματα και κβαντικά κυκλώματα

Μπορούμε να περιγράψουμε τα κβαντικά κυκλώματα με γραφήματα [25].

΄Εστω ότι δρούμε με ένα κύκλωμα με μήκος ένα στον μοναδιαίο τελεστή (σε κάθε βήμα

δρουν παράλληλα K/2 πύλες). Για χάριν των τύπων ας συμπεριλάβουμε στο σύνολο των

επιτρεπόμενων πυλών μια μόνο μη-συμμετρική 2-local πύλη και τον αντίστροφο της. Θα

πρέπει να επιλέξουμε πως τα K qubits συνδυάζονται μεταξύ τους, καθώς διαφορετικοί συν-

δυασμοί αντιστοιχούν σε διαφορετικούς μοναδιαίους τελεστές. Ο αριθμός των συνδυασμών

ισούται με:

d =K!

(K/2)!≈(K

e

)K (2e

K

)K2

=

(2K

e

)K2

(5.4.1)

Εάν K = 2, υπάρχουν δυο μόνο επιλογές για το 1ο βήμα, η επιτρεπόμενη 2-local πύλη και

ο αντίστροφος της.

Με βάση τις διάφορες επιλογές σε κάθε βήμα σχηματίζουμε ένα γράφημα δέντρου (de-

cision tree) το οποίο εμβαπτίζουμε στον χώρο SU(2K):


Γράφημα 5.4.1: Γράφημα δέντρου τάξης 6, μήκους 1

Η κεντρική κορυφή (vertex) αντιστοιχεί στον μοναδιαίο τελεστή. Οι κλάδοι (branches)

αντιπροσωπεύουν τις d επιλογές. Ο αριθμός των κλάδων σε μια κορυφή είναι η τάξη της

κορυφής. ΄Ενα γράφημα του οποίου κάθε κορυφή έχει έχει την ίδια τάξη d καλείται κανονικό

(d-regular). Τα άκρα των κλάδων αντιστοιχούν σε μοναδιακούς τελεστές.

Υποθέτουμε ότι σε κάθε βήμα προστίθενται d− 1 νέοι κλάδοι ανά κορυφή.

Γράφημα 5.4.2: Γράφημα δέντρου τάξης 6, μήκους 2

Η πιθανότητα δυο κλάδων να καταλήξουν στον ίδιο μοναδιακό τελεστή είναι απειροελάχι-

στη. Αυτό οφείλεται στον τεράστιο αριθμό μοναδιακών τελεστών τάξης 2K . Εάν τα άκρα

δύο κλάδων καταλήξουν στην ίδια μπάλα ακτίνας ε, θα λέμε ότι έχει συμβεί μια σύγκρουση.


Ο αριθμός των μοναδιακών πινάκων όταν το μήκος γίνει ίσο με D είναι:

#unitaries = dD ≈(

2K

e

)DK2

Ο αριθμός των πυλών ενός κυκλώματος με μήκοςD ισούται μεDK/2. Εάν δεν υπάρχουν

συγκρούσεις, η διαδρομή σε κάθε κορυφή είναι η ελάχιστη διαδρομή. Συνεπώς ο αριθμός

των πυλών αυτός είναι η πολυπλοκότητα C του μοναδιακού τελεστή. Οπότε:

#unitaries =

(2K

e

)C≈ eC lnK (5.4.2)

Ο όγκος του χωρίου της πολλαπλότητας SU(2K) που καταλαμβάνει το δέντρο είναι

ανάλογος με τον συνολικό αριθμό των κορυφών (ή τον αριθμό των μοναδιακών τελεστών).

Ο όγκος αυτός αυξάνεται εκθετικά με την πολυπλοκότητα C.

Η πολυπλοκότητα ενός τελεστή είναι η απόσταση του από τον μοναδιαίο τελεστή. Συνε-

πώς ο όγκος μεγαλώνει εκθετικά με την ακτίνα του, μια χαρακτηριστική ιδιότητα των

αρνητικά καμπυλωμένων χώρων. Σε αντίθεση με τη μετρική FS, η καμπυλότητα του χώρου

SU(2K) αρνητική.

5.4.1 Συγκρούσεις και βρόχοι

Ας υποθέσουμε ότι συμβαίνει μια σύγκρουση. Αυτό σημαίνει ότι δυο κλάδοι καταλήγουν

στο ίδιο σημείο στον χώρο SU(2K).

Γράφημα 5.4.3: Σύγκρουση μεταξύ δυο φύλλων


Οπότε εμφανίζεται ένας βρόχος στο γράφημα.

Γράφημα 5.4.4: Βρόχοι δέντρου

Επειδή ο αριθμός των μπαλών ε είναι πεπερασμένος τελικά ο αριθμός των κορυφών θα

πάρει τη μέγιστη τιμή του. Αυτό θα συμβεί όταν ο αριθμός των κορυφών γίνει ίσος με

τον αριθμό των μπαλών ε μπαλών, 5.3.5. Με βάση τη σχέση αυτή βρίσκουμε την μέγιστη

πολυπλοκότητα:

(2K

e

)Cmax

=

(2K

ε2

) 4K

2

Cmax =4K

2(ln(2K)− 1)(K ln 2− 2 ln ε)

Cmax ≈ 4K

(5.4.3)

Η μέγιστη πολυπλοκότητα καθορίζει επίσης και το μήκος όπου οι συγκρούσεις αρχίζουν

να συμβαίνουν. Αποτελεί επίσης τη διάμετρο του γραφήματος ή τη μέγιστη απόσταση μεταξύ

δύο κορυφών.

Ο μέγιστος αριθμός των μοναδιακών τελεστών είναι περίπου ίσος με e4K , που ισούται

με τον αριθμό των κορυφών στο δέντρο. Οπότε η διάμετρος ενός γραφήματος ισούται με

τον λογάριθμο του αριθμού των κορυφών.


Γράφημα 5.4.5: Η μέγιστη πολυπλοκότητα αποτελεί τη διάμετρο του γραφήματος δέν-τρου

5.5 Κβαντική πολυπλοκότητα και θερμοδυναμική

Παρόλο που η πολυπλοκότητα μοιάζει να έχει ιδιότητες εντροπίας, η εντροπία ενός

συστήματος K qubits έχει μέγιστη τιμή K log 2, σχέση 2.3.5. Η μέγιστη πολυπλοκότητα

αντιθέτως μεταβάλλεται εκθετικά με τον αριθμό των qubits: 4K . Mπορούμε να την σκεφτό-

μαστε ως τη μέγιστη εντροπία ενός κλασσικού συστήματος με 4K βαθμούς ελευθερίας [26].

Η κβαντική πολυπλοκότητα αυξάνεται σχεδόν πάντοτε όταν είναι μικρότερη από τη

μέγιστη τιμή της, όπως ακριβώς και η εντροπία στην θερμοδυναμική. Η παρατήρηση αυτή

αποτελεί το δεύτερο νόμο της πολυπλοκότητας [26].

Γράφημα 5.5.1: Κβαντική πολυπλοκότητα ως συνάρτηση του χρόνου


Καθώς εξελίσσεται μια κατάσταση, αρχικά η πολυπλοκότητα της αυξάνεται γραμμικά με

τον χρόνο. Καθώς κινούμαστε ακτινικά μακριά από το κέντρο του δέντρου, ο αριθμός των

μοναδιακών αυξάνεται κατά K/2 σε κάθε βήμα. Μόλις όμως η πολυπλοκότητα πάρει τη

μέγιστη της τιμή, 4K , η πολυπλοκότητα σταματά να αυξάνεται. Εμφανίζεται ένα πλατό στο

γράφημα της πολυπλοκότητας ως συνάρτηση του χρόνου, μια κατάσταση ισορροπίας.

Εάν όμως περάσει ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, ίσο με τον χρόνο κβαντικής

επανόδου (quantum reccurance time), το σύστημα επανέρχεται σχεδόν στην αρχική του

κατάσταση. Ο χρόνος κβαντικής επανόδου μεταβάλλεται διπλά εκθετικά με την εντροπία

του σστήματος: eeS .

Γράφημα 5.5.2: Κβαντική πολυπλοκότητα στο χρόνο μέσω της θεωρίας των γραφημάτων

Είναι χρήσιμο να κατανοήσουμε την χρονική εξάρτηση της κβαντικής πολυπλοκότητας με

τη βοήθεια των γραφημάτων. Καθώς κινούμαστε ακτινικά προς τα έξω, η πολυπλοκότητα

αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο. ΄Οταν πάρει την μέγιστη τιμή της, τότε καταλήγουμε

σε ήδη κατειλημμένες θέσεις με σχεδόν μέγιστη πολυπλοκότητα. Τώρα όμως η ελάχιστη

διαδρομή δίδεται από την πράσινη γραμμή στην εικόνα, και επομένως η πολυπλοκότητα

μειώνεται ελάχιστα. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται με αποτέλεσμα να εκδηλώνονται

μικρές διακυμάνσεις κατά μήκος του πλατό της μέγιστης πολυπλοκότητας. Οι διακυμάνσεις

συνεχίζουν μέχρι τον χρόνο κβαντικής επανόδου, οπότε μειώνεται απότομα η κβαντική

πολυπλοκότητα.

Η όλη διαδικασία επαναλαμβάνεται με περίοδο τον χρόνο της κβαντικής επανόδου.

Κεφάλαιο 6

Κβαντική πολυπλοκότητα στις

μαύρες τρύπες

Η πολυπλοκότητα είναι μια έννοια που συχνά μελετάται στην επιστήμη της πληροφορικής.

΄Οπως θα δούμε, μπορούμε να συνδέσουμε έννοιες της κβαντικής πληροφορικής, όπως η

κβαντική σύμπλεξη, η κβαντική πολυπλοκότητα και η κβαντική διόρθωση σφάλματος, με

γεωμετρικές ιδιότητες των μαύρων τρυπών [29, 30, 31, 25, 32].

Η μέγιστη εντροπία ενός συστήματος που αποτελείται από K qubits είναι Smax =

log 2K ≈ K. ΄Οπως αναφέραμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, περιγράφουμε μια μαύρη τρύπα

με εντροπία SBH χρησιμοποιώντας ένα σύστημα από qubits. Ο αριθμός των qubits πρέπει

να είναι της τάξης SBH . Με βάση ολογραφικούς δυϊσμούς στη θεωρία των χορδών, η Χαμιλ-

τονιανή του συστήματος χαρακτηρίζεται από τοπικότητα συγκεκριμένης τάξης k SBH

(k-locality). Αποτελείται από ένα άθροισμα πολλών όρων, με κάθε όρο όμως να περιγράφει

αλληλεπιδράσεις ανάμεσα σε έναν πολύ μικρό αριθμό k qubits, k K. Οποιαδήποτε

ομάδα αποτελούμενη από k qubits μπορούν να αλληλεπιδράσουν μεταξύ τους [20]. Οι

αντίστοιχες σταθερές σύζευξης είναι τυχαίες [33]. Αυτή η συμπεριφορά είναι χαρακτηρισ-

τική συστημάτων που εκδηλώνουν χαοτική συμπεριφορά [34]. Θα αντιστοιχίσουμε τους

διάφορους όρους που εμφανίζονται στη Χαμιλτονιανής με k-local κβαντικές πύλες και τον

χρόνο Rindler με το χρονικό βήμα τ ενός κβαντικού κυκλώματος [25].

6.1 Σκουληκότρυπες (Γέφυρες Einstein-Rosen)

΄Εχουμε δει ότι ένα βαρυτικό σύστημα στο χωροχρόνο anti de Sitter περιγράφεται ολο-

γραφικά με βάση μια σύμμορφη θεωρία πεδίων στο σύνορο του χωροχρόνου. Μια αιώνια

μαύρη τρύπα AdS έχει δύο ασυμπτωτικές περιοχές και δύο μη συνδεδεμένα μεταξύ τους

93

Κβαντική πολυπλοκότητα στις μαύρες τρύπες 94

σύνορα της μορφής R× S3το καθένα. Περιγράφεται με βάση δυο αντίγραφα της CFT στο

αριστερό και στο δεξιό σύνορο αντίστοιχα. Κάθε CFT περιγράφεται με βάση το δικό της

χώρο Hilbert. Ο ολικός χώρος Hilbert δίνεται ως το τανυστικό γινόμενο του αριστερού και

του δεξιού χώρου Hilbert, HL⊗HR, (όπου L ο δείκτης για την CFT που ζει στο αριστερό

σύνορο και και R για το δεξιό).

Μια αιώνια μαύρη τρύπα με θερμοκρασία 1/β περιγράφεται από μια καθαρή κατάσταση

στον συνολικό χώρο Hilbert HL ⊗HR, την κατάσταση thermofield double (TFD) [35]:

|TFD〉 =1√Z

∑n

e−βEn2 |En〉L ⊗ |En〉R (6.1.1)

όπου Z είναι η συνάρτηση επιμερισμού της CFT σε μη μεδενική θεροκρασία β και |En〉L,|En〉R οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας των δυο CFT’s αντίστοιχα.

Σε αυτή την κατάσταση οι βαθμοί ελευθερίας της CFTL και της CFTR είναι συνμπλεγ-

μένοι. Μάλιστα η κβαντική σύμπλεξη διασφαλίζει τη συνεκτικότητα της γεωμετρίας στο

bulk, παρόλο που δεν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους. Κάθε CFT δημιουργεί το

δικό της χώρο, τη δικιά της ασυμπτωτική περιοχή, στην οποία διαδίδεται η βαρύτητα. Η κβαν-

τική σύμπλεξη συνενώνει τους χώρους αυτούς σε ένα, τη μεγίστη γεωμετρία Schwarzschild,

χωρίς ανωμαλίες στους ορίζοντες. Εάν η κβαντική αυτή σύμπλεξη διαταραχθεί, τότε δι-

αταράσσεται η συνεκτικότητα του χώρου, οι δυο ασυμπτωτικές περιοχές αποσυνδέονται και

εμφανίζονται γυμνές ανωμαλίες.

Μεταξύ των δύο ασυμπτωτικών περιοχών δημιουργείται μια γέφυρα Einstein - Rosen

ή μια σκουληκότρυπα, ο όγκος της οποίας αυξάνεται με τον χρόνο. Η γέφυρα αυτή δεν

μπορεί να διανυθεί αφού είναι μια χωροειδής επιφάνεια, και είναι άμεσα συνειφασμένη με την

κβαντική σύμπλεξη των δύο συνοριακών συστημάτων [29].

Παίρνοντας το μερικό ίχνος του πίνακα πυκνότητας ως προς την CFTL βρίσκουμε τον

πίνακα πυκνότητας που περιγράφει την CFTR:

ρR =1

Z

∑n

e−βEn |En〉R 〈En|R (6.1.2)

Ο πίνακας είναι ένας καθαρά θερμικός πίνακας πυκνότητας σε θερμοκρασία 1/β.

Η εντροπία σύμπλεξης, SR = −Tr(ρR log ρR), είναι η θερμική εντροπία της CFT, η

οποία αναπαράγει την εντροπία Bakenstein-Hawking της μαύρης τρύπας, SR = A/4GN

[24] (όπου A το εμβαδόν του ορίζοντα).

Η εξελιγμένη κατάσταση εξαρτάται από τους δυο χρόνους στα σύνορα, tL και tR. Από

τη σκοπιά του βαρυτικού συστήματος, η κυματοσυνάρτηση ορίζεται σε μια χωροειδή φέτα,

η οποία καταλήγει στα σημεία tL και tR. Επιλέγουμε τη Χαμιλτονιανή του συστήματος


ώστε το βέλος των χρόνων στα σύνορα να έχει την ίδια κατεύθυνση, προς τα πάνω στο

διάγραμμα Penrose 6.1.1. Η κατάσταση TFD ορίζεται στη χωροειδή φέτα tL = tR = 0.

Την χρονοεξελίσσουμε με βάση την Χαμιλτονιανή:

H+ = 1L ⊗ HR + HL ⊗ 1R (6.1.3)

Αντίθετα η κατάσταση TFD παραμένει αναλλοίωτη ως προς την Χαμιλτονιανή:

H− = 1L ⊗ HR − HL ⊗ 1R (6.1.4)

Γράφημα 6.1.1: Χρονική εξέλιξη της κατάστασης TFD

Επομένως η εξελιγμένη κατάσταση δίδεται τη σχέση:

|Ψ(tL, tR)〉 = e−i(HLtL+HRtR) |TFD〉 (6.1.5)

Θα προσεγγίσουμε τον τελεστή χρονικής εξέλιξης ως ένα γινόμενο κβαντικών πυλών (με

ακρίβεια της τάξης ε ως προς τη μετρική FS). Με την πάροδο του χρόνου η κβαντική

πολυπλοκότητα του τελεστή αυτού (ισοδύναμα της εξελιγμένης κατάστασης σε σχέση με

την αρχική) αυξάνεται.

Η εξελιγμένη κατάσταση |Ψ(tL, tR)〉 συνδέεται με την περιοχή Wheeler DeWitt των

σημείων tL και tR στα σύνορα. Αποτελείται από το σύνολο των d−1-διάστατων χωροειδών

επιφανειών που καταλήγουν στα σημεία tL και tR στα σύνορα. Κάθε σημείο μιας τέτοιας

επιφάνειας είναι χωροειδώς διαχωρισμένο με τα σημεία tL και tR στα σύνορα. Επομένως, η


περιοχή Wheeler DeWitt περιλαμβάνει το σύνολο των σημείων που βρίσκονται εκτός και

των δύο κώνων φωτός των σημείων tL και tR στα σύνορα.

Γράφημα 6.1.2: Περιοχή Wheeler DeWitt

Από το σύνολο των d − 1-διάστατων χωροειδών φετών, επιλέγουμε αυτήν της οποίας

ο όγκος είναι μέγιστος. Εμβαπτίζουμε τις φέτες αυτές στην γεωμετρία Schwarschild, και

εκφράζουμε τον όγκο ως ένα συναρτησιακό των συναρτήσεων εμβάπτισης. Απαιτούμε το

συναρτησιακό αυτό να είναι οριακό ως προς τις μεταβολές των συναρτήσεων εμβάπτισης,

κρατώντας τα συνοριακά σημεία tL και tR σταθερά [32]. Η οριακή αυτή φέτα εκτείνε-

ται από την αριστερή ασυμπτωτική περιοχή προς το εσωτερικό της μαύρης τρύπας, και

καταλήγει στην δεξιά ασυμπτωτική περιοχή. Καθώς οι χρόνοι tL και tR αυξάνουν, ο όγκος

του τμήματος της φέτας στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας αυξάνεται – δες μπλε καμπύλες

στο διάγραμμα Penrose 6.1.1. ΄Οπως θα δούμε ο όγκος αυτός αντιστοιχεί στην κβαντική

πολυπλοκότητα της εξελιγμένης κατάστασης. Η οριακή φέτα μπορεί να ιδωθεί ως μια σκ-

ουληκότρυπα, ή μια γέφυρα Einstein - Rosen που συνδέει τις δύο ασυμπτωτικές περιοχές. Η

σκουληκότρυπα της φέτας tL = tR = 0 έχει μηδενικό όγκο, ενώ μετά αυξάνεται συμμετρικά

τόσο στον μέλλον (εντός της μαύρης τρύπας) όσο και στον παρελθόν (εντός της λευκής

οπής).

Οι γεωμετρικές ιδιότητες της εσωτερικής περιοχής της μαύρης τρύπας, και συγκεκριμένα

ο όγκος της σκουληκότρυπας, εκφράζουν μια κβαντική ιδιότητα του συστήματος, την κβαν-

τική πολυπλοκότητα της κατάστασης |Ψ(tL, tR)〉 [25, 32]. Παρόλο που το σύστημα βρίσ-κεται σε θερμική ισορροπία η πολυπλοκότητα του συνεχίζει να αυξάνεται. Η εντροπία του

συστήματος είναι σταθερή και δίδεται από το εμβαδόν του ορίζοντα σε μονάδες Planck.


Στη λευκή οπή ο όγκος της σκουληκότρυπας ελαττώνεται με τον χρόνο. Η κβαντική

πολυπλοκότητα φαίνεται να ελαττώνεται παραβιάζοντας τον 2ο Νόμο που αναφέραμε στο

προηγούμενο κεφάλαιο. Τέτοιες καταστάσεις δεν απαγορεύονται από τους θεμελιώδεις νό-

μους της φύσης, αλλά είναι εξαιρετικά ασταθείς και επομένως απίθανες. Μικρές διαταραχές

έχουν ως αποτέλεσμα να αντιστρέψουν την ελάττωση της πολυπλοκότητας ώστε να αρχίσει

να αυξάνεται (φαινόμενο πεταλούδας).

6.2 Αντιστοιχία CV

6.2.1 ΄Ογκος της σκουληκότρυπας

Αρχικά, θα προσδιορίσουμε τον όγκο της σκουληκότρυπας καθώς και οι δύο χρόνοι

tL και tR τείνουν στο άπειρο. Στην περίπτωση αυτή, η οριακή επιφάνεια βρίσκεται εξ

ολοκλήρου στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας. Η μαύρη τρύπα στον χωρόχρονο AdSd μπορεί

να περιγραφεί από τη μετρική 4.8.1. Στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας η συντεταγμένη r

είναι χρονοειδής και η συντεταγμένη t χωροειδής.

Η μετρική 4.8.1 χαρακτηρίζεται από σφαιρική συμμετρία και μεταφορική συμμετρία ως

προς τη συντεταγμένη t (t→ t+σταθ). Εξαιτίας της συμμετρίας αυτής, η οριακή επιφάνεια,

καθώς tL, tR →∞, συμπίπτει με μια επιφάνεια r =σταθ, όπου 0 ≤ r ≤ r+ [32] (r+ η ακτίνα

του ορίζοντα). Οι παραμετρικές της επιφάνειας είναι η συντεταγμένη t και οι d−2 σφαιρικές

συντεταγμένες. Μια τέτοια επιφάνεια ισοδυναμεί τοπολογικά με τον χώρο R × Sd−2. Η

ακτίνα της σφαίρας είναι σταθερή, ίση με r.

Εξαιτίας της μεταφορικής συμμετρίας t→ t+σταθ, ο όγκος είναι άπειρος, αλλά ο όγκος

της ανά μονάδα χρόνου t δίνεται από τη σχέση:

dV

dt= V ol[Sd−2] rd−2

∣∣∣∣r2

l2+ 1− µ

rd−3

∣∣∣∣1/2 (6.2.1)

όπου η παράμετρος µ είναι ανάλογη με τη μάζα M της μαύρης τρύπας – δες κεφάλαιο 4.8.

Η συνάρτηση αυτή μηδενίζεται όταν r = 0 και r = r+ και έχει μέγιστο για r = rm. Η

οριακή επιφάνεια είναι η επιφάνεια r = rm.

Για να προσδιορίσουμε την τιμή rm, θέτουμε την παράγωγο της έκφρασης 6.2.1 ίση με

μηδέν. Για μεγάλες μάζες, βρίσκουμε

rd−1m ≈ µ l2

2


Στο όριο αυτό ο μέγιστος όγκος ανά μονάδα t δίνεται:

vd = V ol[Sd−2]

√√√√−(rd−1m

l

)2

+ µrd−1m

=8πGN l

d− 2M

(6.2.2)

Γράφημα 6.2.1: Επιφάνεια μεγίστου όγκου για πεπερασμένες χρονικές στιγμές tL καιtR προσεγγίζει την οριακή επιφάνεια r = rm όπου tL, tR →∞.

Τώρα ας εξετάσουμε την περίπτωση που οι χρονικές στιγμές tL και tR είναι πεπερασ-

μένες. Για χρόνους μεγαλύτερους από τον χρόνο scrambling t∗ (δες κεφάλαιο 4.3.2) το

τμήμα της οριακής επιφάνειας μέγιστου όγκου στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας προσεγ-

γίζει την καμπύλη r = rm, και αποκλίνει από αυτήν σε σημεία που εξαρτώναι γραμμικά από

τους χρόνους tL και tR. Δες εικόνα 6.2.1. Ο όγκος της σκουληκότρυπας στο εσωτερικό

της μαύρης τρύπας δίνεται από την έκφραση [32]:

V (tL, tR) = vd|tL + tR| (6.2.3)

Ο όγκος της σκουληκότρυπας αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο. Θέτοντας tL = tR = t,

ο ρυθμός με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος δίνεται από τη σχέση:

dV

dt∼ GN lAdSST (6.2.4)

όπου S και T η εντροπία και η θερμοκρασία της μαύρης τρύπας αντίστοιχα.


6.2.2 Πολυπλοκότητα σε ένα κύκλωμα

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι σε ένα all-to-all, 2-local κύκλωμα δρουν σε κάθε

βήμα K/2 κβαντικές πύλες. Επομένως, η κβαντική πολυπλοκότητα αυξάνεται γραμμικά με

τον χρόνο με βάση τη σχέση:

dC

dτ=K

2(6.2.5)

Ο αριθμός των qubits είναι ανάλογος με την εντροπία της μαύρης τρύπας, K ∼ S. Συνεπώς:

dC

dτ∼ S (6.2.6)

Εάν περιγράψουμε την εξέλιξη της κβαντικής κατάστασης της μαύρης τρύπας με ένα κβαν-

τικό κύκλωμα, προκύπτει το ερώτημα σε ποιο χρονικό διάστημα αντιστοιχεί το χρονικό βήμα

τ του κυκλώματος στην γεωμετρική περιγραφή. Ο αδιάστατος χρόνος Rindler αντιστοιχεί

στο χρόνο του κυκλώματος. Ο χρόνος Rindler τ συνδέεται με τον ασυμπτωτικό χρόνο t

με την σχέση

τ =2πt

β= 2πTt (6.2.7)

όπου T η θερμοκρασία της μαύρης τρύπας.

Συνεπώς ο ρυθμός μεταβολής της πολυπλοκότητας με τον χρόνο t ισούται με

dC

dt= ST (6.2.8)

Συγκρίνοντας με την εξίσωση 6.2.4, συμπεραίνουμε ότι η πολυπλοκότητα του κυκλώματος

συνδέεται με τον όγκο της σκουληκότρυπας με βάση τη σχέση:

C =V

G lAdS(6.2.9)

Αυτή είναι η αντιστοιχία CV.

Στην κλασσική προσέγγιση, ο όγκος της σκουληκότρυπας αυξάνεται συνεχώς. Η ακριβής

κβαντική περιγραφή όμως επιτυγχάνεται μέσω της σύμμορφης θεωρίας πεδίων, και η γεωμε-

τρική αυτή ποσότητα αντικαθίσταται από την κβαντική πολυπλοκότητα. Με βάση την

κβαντική περιγραφή ο όγκος αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο – στη φάση αυτή ισχύει

η γεωμετρική περιγραφή – μέχρι να αποκτήσει μια μέγιστη τιμή, και έπειτα παραμένει στα-

θερός για ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα με διακυμάνσεις γύρω από τη μέγιστη αυτή

τιμή (πλατό κβαντικής πολυπλοκότητας).


Το άνω όριο στον όγκο της σκουληκότρυπας αποτελεί συνέπεια της πεπερασμένης εν-

τροπίας των μαύρων τρυπών. Καθώς όγκος αυξάνεται, η κβαντική κατάσταση διέρχεται από

μια σειρά ορθογώνιων καταστάσεων. Ο χρόνος μετάβασης από μια ορθογώνια κατάσταση

σε μια άλλη ισούται με τον χρόνο Anandan-Aharonov 1/∆E. Στην περίπτωση μιας μαύρης

τρύπας Schwarzschild, η αβεβαιότητα στην ενέργεια είναι της τάξης της μάζας Planck.

Επομένως το σύστημα μεταβαίνει από μια ορθογώνια κατάσταση σε μια άλλη σε πολύ μικρά

χρονικά διαστήματα, ίσα με τον χρόνο Planck. Επειδή ο αριθμός των καταστάσεων αυτών

είναι της τάξης eS , μετά από τον χρόνο αυτό η νέα κατάσταση θα αποτελεί υπέρθεση προ-

ηγούμενων καταστάσεων, οι οποίες έχουν μικρότερη πολυπλοκότητα. Ως αποτέλεσμα ο

όγκος της σκουληκότρυπας παύει να αυξάνεται όταν ο χρόνος γίνει της τάξης ∼ eS

6.3 Διαταραχές κβαντικού κυκλώματος

Θα μελετήσουμε διαταραχές στο σύστημα της μαύρης τρύπας και θα ελέγξουμε την ισχύ

της αντιστοιχίας CV. Θα εξετάσουμε την δράση μιας χρονικά εξαρτώμενης διαταραχής στην

γεωμετρία της μαύρης τρύπας. Ταυτόχρονα θα μελετήσουμε την συμπεριφορά της κβαντικής

πολυπλοκότητας της αντίστοιχης κατάστασης.

Η διαταραχή εκδηλώνεται αφού εφαρμόσουμε στο σύνορο έναν συγκεκριμένο τελεστή (ο

οποίος ονομάζεται τελεστής precursor [36]). Στο βαρυτικό σύστημα, η διαταραχή διαδίδεται

από το σύνορο στο εσωτερικό του χωροχρόνου. Στην εικόνα Schrödinger, ο τελεστής έχει

τη μορφή:

W (t) = eiHtWe−iHt = U †(t)WU(t) (6.3.1)

όπου H η Χαμιλτονιανή και W ένας βρόχος Wilson ή ένας τελεστής που δρα σε ένα μόνο

(ή ένα μικρό αριθμό από qubits). Στην εικόνα Heisenberg, ο τελεστής δίδεται από τη σχέση

6.3.1 τη χρονική στιγμή t = 0 και ισούται μεW τη χρονική στιγμή −t στο παρελθόν (t > 0).

Εξελίσσεται στο χρονικό διάστημα από τη στιγμή −t μέχρι τη στιγμή t = 0. Αρχικά,

η πολυπλοκότητα του W είναι ίση με τη μονάδα, C(0) = 1. Θέλουμε να μελετήσουμε

την εξάρτηση της πολυπλοκότητας από τον χρόνο. Εξ ορισμού, η πολυπλοκότητα είναι ο

ελάχιστος αριθμός πυλών που απαιτούνται ώστε να παραχθεί ο τελεστής W (t).

΄Εστω ότι ο μοναδιακός τελεστής U , σχέση 6.3.1, δίνεται από ένα γινόμενο n κβαντικών

πυλών, U(t) = gngn−1 . . . g1 (με σφάλμα της τάξης ε). Τότε ο τελεστής W (t) θα δίνεται:

W (t) = g†1 . . . g†n−1g

†nW gngn−1 . . . g1 (6.3.2)

Με βάση τη σχέση αυτή, θα μπορούσε κάποιος να ισχυριστεί ότι η πολυπλοκότητα του

τελεστή W (t) ισούται με (2n+ 1). ΄Ομως η πολυπλοκότητα ενός τελεστή καθορίζεται από


τον ελάχιστο αριθμό των πυλών που απαιτούνται ώστε να παραχθεί ο τελεστής W (t). Εάν

ο τελεστής W είναι ο μοναδιαίος τελεστής, σίγουρα η κβαντική πολυπλοκότητα είναι ίση

με μηδέν, οποιαδήποτε χρονική στιγμή.

Θεωρούμε ότι ο W αποτελεί μια πολύ μικρή διαταραχή σε ένα κύκλωμα και επηρεάζει

μόνο το πρώτο qubit. Εάν W 6= 1, αρκετές από τις 2n + 1 πύλες μετατίθενται με τον

τελεστή W και αλληλοεξουδετερώνονται μεταξύ τους. Πιο κάτω απεικονίζεται ο τελεστής

W (t) με ένα κύκλωμα.

Γράφημα 6.3.1: Κβαντικό κύλκωμα του τελεστή W (t).

Κάθε χρονικό βήμα διακρίνεται από τις κάθετες διακεκομμένες γραμμές. Ο τελεστής W

βρίσκεται ανάμεσα σε δυο πανομοιότυπα κυκλώματα, σύμφωνα με τη σχέση 6.3.2. Με βάση

ένα απλό (επιδημιολογικό) μοντέλο, σκεφτόμαστε την διαταραχή που προκαλεί ο τελεστής

W ως εξής. Τα επηρεαζόμενα qubits απεικονίζονται με χρώμα μπλε. Κάθε φορά που

ένα μπλε qubit αλληλεπιδρά μέσω μιας 2-local πύλης με ένα άλλο, το επηρεάζει και το

χρωματίζει μπλε. ΄Επειτα από αρκετό χρονικό διάστημα, όλα τα qubits γίνονται μπλε, τόσο

στα αριστερά όσο και στα δεξιά του W .

Γράφημα 6.3.2: Ο τελεστής W χρωματίζει μπλε τα επηρεαζόμενα qubits

Με βάση τη σχέση 6.3.2, παίρνοντας το γινόμενο, όλες οι πύλες που δρουν σε μη

επηρεαζόμενα qubits ακυρώσουν η μια την άλλη στις δυο πλευρές. Αμελώντας τις, παίρνουμε

το ακόλουθο μικρότερο κύκλωμα.


Γράφημα 6.3.3: Οι κβαντικές πύλες που δρουν σε μη επηρεαζόμενα qubits αλληλοεξ-ουδετερώνονται και παραμένουν μόνο χρωματισμένες πύλες.

Ο ελάχιστος αριθμός των πυλών που χρειάζονται για να παραχθεί ο τελεστής είναι

μικρότερος από τον συνολικό αριθμό των πυλών στη σχέση 6.3.2.

Ας κάνουμε μια εκτίμηση του ελάχιστου αριθμού των πυλών. ΄Εστω ότι μετά το πέρας

n χρονικών βημάτων ο αριθμός των επηρεαζόμενων μπλε qubits είναι s(n). Εάν K 1, o

μέσος αριθμός των επιπρόσθετων qubits που θα επηρεαστούν στο επόμενο βήμα είναι ίσος

με το γινόμενο του αριθμού των qubits που δεν έχουν επηρεαστεί, (K − s), και του λόγουτων επηρεαζόμενων μπλε qubits ως προς τον ολικό αριθμό των qubits, s(n)/K. Η σχέση

γράφεται ως ακολούθως:

∆s =(K − s)sK − 1

≈ (K − s)sK

(6.3.3)

Για πολύ μεγάλα K, παίρνουμε την ακόλουθη διαφορική εξίσωση:

ds

dτ=

(K − s)sK

(6.3.4)

Ολοκληρώνοντας βρίσκουμε τον αριθμό s συναρτήσει του χρόνου:

s =Keτ

K + eτ(6.3.5)

Η συνάρτηση αυτή και βρίσκει εφαρμογές σε επιδημιολογικά μοντέλα.

Θέτοντας τ∗ = logK, όπου τ∗ είναι ο χρόνος scrambling, η πιο πάνω σχέση γράφεται

στην μορφή:

s

K=

eτ−τ∗

1 + eτ−τ∗(6.3.6)


Παρατηρούμε ότι για μικρά τ , η συνάρτηση s(τ) αυξάνεται εκθετικά:

s(τ) ≈ eτ (6.3.7)

Καθώς τ →∞, η συνάρτηση s(τ) τείνει σε μια σταθερή οριακή τιμή ίση με K. Προφανώς

εάν περάσει αρκετός χρόνος, όλα τα qubits θα έχουν επηρεαστεί

s(τ)→ K (6.3.8)

Η μετάβαση από την εκθετική στην ασυμπτωτική συμπεριφορά συμβαίνει όταν τ = τ∗.

Τώρα, ο ολικός αριθμός των κβαντικών πυλών που δεν αλληλοεξουδετερώνονται και

αποτελούν την πολυπλοκότητα του τελεστή W (t) ισούται με το άθροισμα των αριθμών

s(n) σε όλα τα βήματα. Τη χρονική στιγμή τ , προσεγγίζουμε την πολυπλοκότητα με το

ακόλουθο ολοκλήρωμα:

C(τ) =

∫ τ

0s(τ ′)dτ ′ (6.3.9)

Αντικαθιστώντας την σχέση 6.3.6, βρίσκουμε την πολυπλοκότητα:

C(τ) = K log(

1 + eτ−τ∗)

(6.3.10)

Παρατηρούμε ότι για μικρούς χρόνους, τ << τ∗, η πολυπλοκότητα είναι πολύ μικρή, αλλά

αυξάνεται εκθετικά με τον χρόνο:

C(τ) ≈ Ke(τ−τ∗) ≈ eτ (6.3.11)

Ενώ για αρκετά μεγάλους χρόνους, τ ≥ τ∗, η πολυπλοκότητα αυξάνεται γραμμικά με τον

χρόνο:

C(τ) ≈ K(τ − τ∗) ≈ Kτ (6.3.12)

Τέλος, εάν τ = τ∗, η πολυπλοκότητα ισούται με C(τ) = K log 2 ≈ K.


Γράφημα 6.3.4: Η πολυπλοκότητα του τελεστή W (t) συναρτήσει του χρόνου

6.4 Διαταραχές στη γεωμετρία της μαύρης τρύπας

Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε επηρεάζεται ο όγκος της σκουληκότρυπας όταν

εφαρμόσουμε μια τέτοια διαταραχή. Θα μελετήσουμε την απλούστερη περίπτωση μιας αιώ-

νιας μαύρης τρύπας στο χωρόχρονο AdS3, αλλά τα συμπεράσματα γενικεύονται και στις d

διαστάσεις.

6.4.1 Μαύρη τρύπα BTZ

΄Οπως έχουμε δει σε προηγούμενο κεφάλαιο μια μαύρη τρύπα Schwarzschild στον χωρο-

χρόνο AdSd περιγράφεται με βάση την μετρική 4.8.1. Στις 3 διαστάσεις, η μετρική αυτή

ανάγεται στην μετρική BTZ1η οποία δίνεται από τη σχέση [37, 38]:

ds2 = −r2 −R2

l2dt2 +

l2

r2 −R2dr2 + r2dϕ2 (6.4.1)

όπου R = l√µ = l

√8G3M η ακτίνα του ορίζοντα της μαύρης τρύπας (σύμφωνα και με την

σχέση 4.8.3). Η θερμοκρασία Hawking της μαύρης τρύπας δίνεται με βάση την σχέση 4.8.7

από την έκφραση:

β =2πl2

R(6.4.2)

Μέσω ενός κατάλληλου μετασχηματισμού συντεταγμένων, η γεωμετρία BTZ μπορεί να

εμβαπτιστεί ως ένα τμήμα του υπερβολοειδούς

−(T1)2 − (T2)2 + (X1)2 + (X2)2 = −1

1Προς τιμή των θεωρητικών φυσικών Máximo Bañados, Claudio Teitelboim, and Jorge Zanelli.


στον τετραδιάστατο επίπεδο χωροχρόνο R2,2. Ο μετασχηματισμός αυτός είναι ο ακόλουθος

T1 =1

R

√r2 −R2 sinh

(Rt

l2

)T2 =

r

Rcosh

(Rϕ

l

)X1 =

1

R

√r2 −R2 cosh

(Rt

l2

)X2 =

r

Rsinh

(Rϕ

l

)(6.4.3)

Για τον προσδιορισμό των αποστάσεων χρησιμοποιούμε τη μετρική στον χωροχρόνο R2,2

ds2 = l2[−(dT1)2 − (dT2)2 + (dX1)2 + (dX2)2

]και επιβάλλουμε την περιοριστική συνθήκη −(T1)2− (T2)2 + (X1)2 + (X2)2 = −1. Η γεω-

δαιτική απόσταση μεταξύ δυο σημείων με συντεταγμένες (T1, T2, X1, X2) και (T ′1, T′2, X

′1, X

′2)

δίνεται από τη σχέση:

cosh

(d

l

)= T1T1

′ + T2T2′ −X1X1

′ −X2X2′ (6.4.4)

Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τις φωτοειδείς συντεταγμένες Kruskal–Szekeres, οι οποίες

ορίζονται ως ακολούθως:

T1 =v + u

1 + vu

T2 =1− vu1 + vu

cosh

(Rϕ

l

)X1 =

v − u1 + vu

X2 =1− vu1 + vu

sinh

(Rϕ

l

)(6.4.5)

Στις συντεταγμένες αυτές η μετρική BTZ παίρνει την μορφή:

ds2 =−4l2 dudv +R2(1− uv)2dϕ2

(1 + uv)2(6.4.6)

Χρησιμοποιούμε τη σύμβαση όπου η εξωτερική περιοχή στα δεξιά αντιστοιχεί στην περιοχή

u < 0 και v > 0 .


Γράφημα 6.4.1: Στην αριστερή εικόνα απεικονίζεται το διάγραμμα Kruskal–Szekeresτης μαύρης τρύπας BTZ, στις φωτοειδείς συντεταγμένες u και v. Στην δεξιά εικόνα

απεικονίζεται το διάγραμμα Penrose της μαύρης τρύπας BTZ.

6.4.2 Κύμα στη γεωμετρία BTZ

Θα διαταράξουμε τη γεωμετρία BTZ δρώντας με έναν τελεστήWL στο αριστερό σύνορο.

Ο τελεστής αυτός δρα τη χρονική στιγμή tL = −tw στο παρελθόν, tw 0, προσθέτοντας

στο αριστερό σύνορο μερικά άμαζα σωματίδια με ενέργεια της τάξης της θερμοκρασίας

T . Τη χρονική στιγμή t = 0, ο τελεστής εξελίσσεται στον κβαντικά πολύπλοκο τελεστή

WL(tw) = U †L(tw)WLUL(tw), όπου UL(tL) = e−iHLtL ο τελεστής χρονικής εξέλιξης στο

αριστερό σύνορο. Ο τελεστής Heisenberg τη χρονική στιγμή t = 0 ταυτίζεται με τον

χρονικά μη μεταβαλλόμενο τελεστή στην εικόνα Schrodinger.

Δρώντας με τον τελεστή Schrodinger στην κατάσταση TFD, προκύπτει η διαταραγμένη

κατάσταση τη χρονική στιγμή tL, tR = 0:

|Ψ(tw)〉 = (WL(tw)⊗ 1R) |TFD〉 (6.4.7)

Ας θεωρήσουμε ότι τα σωματίδια σχηματίζουν ένα λεπτό σφαιρικό φλοιό, και κινούνται

ακτινικά, από την ασυμπτωστική περιοχή τη χρονική στιγμή tw προς τον ορίζοντα2, με

ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του φωτός (ϕ =σταθ, ds2 = 0).2Στο αριστερό σύνορο ο χρόνος Schwarzschild t τρέχει αντίστροφα σε σχέση με το δεξί σύνορο.


΄Εστω ότι τα σωματίδια φτάνουν στη θέση r = R + ε (ε << 1), κοντά στον ορίζοντα,

τη χρονική στιγμή t = 0. Οι συντεταγμένες tw και r συνδέονται με τις σχέσεις:

tw = l2∫ r0

r

dr′

r′2 −R2

tw = − l2

2Rln(r −R) + σταθ

(r −R) ≈ e−2Rtw/l2L0

όπου L0 σταθερό μήκος. Καθώς tw → ∞ (δηλαδή (tL)in → −∞, r → R. Τη χρονική

στιγμή t = 0, τα σωματίδια πλησιάζουν όλο και πιο κοντά στον ορίζοντα. Η ιδιοενέργεια

των σωματιδίων κοντά στον ορίζοντα δίνεται από τη σχέση:

Ep = E/√g00 ≈ E eRtw/l

2 (6.4.8)

Επομένως, παρατηρείται μια μετατόπιση προς το ιώδες καθώς ο φλοιός των σωματιδίων

πλησιάζει κοντά στον ορίζοντα. Ως αποτέλεσμα η διαταραχή κοντά στον ορίζοντα συμπερ-

ιφέρεται ως ένα ωστικό κύμα (shock wave) μεγάλης έντασης.

Γράφημα 6.4.2: ΄Αμαζα σωματίδια αφήνονται να πέσουν προς τη μαύρη τρύπα τη στιγμήtL = −tw στο αριστερό σύνορο.

Το ωστικό κύμα αναδρά στην γεωμετρία και τη διαταράσσει. Ως αποτέλεσμα η νέα

γεωμετρία περιγράφεται από τη λύση AdS-Vaidya. Θα ακολουθήσουμε παρόμοια διαδικασία

με αυτήν του κεφαλαίου 1.4 – δες [38]. Ενώνουμε τις γεωμετρίες BTZ μάζας M και

M + E αντίστοιχα, όπου E << M , κατά μήκος της φωτοειδούς γραμμής uw = e−Rtw/l2 .

Το ωστικό κύμα διαμερίζει το διάγραμμα Kruskal–Szekeres σε δύο. Στην δεξιά περιοχή


χρησιμοποιούμε τις συντεταγμένες u, v, ενώ στην αριστερή περιοχή, εξωτερικά του φλοιού,

τις συντεταγμένες u, v. Στην εξωτερική περιοχή του φλοιού, εξαιτίας της μεταβολής της

συνολικής μάζας η ακτίνα του ορίζοντα θα είναι ίση με R =√

(M + E)/M R, ενώ στη

δεξιά περιοχή η ακτίνα παραμένει ίση με R. Απαιτούμε συνέχεια στη χρονική συντεταγμένη

t διαμέσου του συνόρου των δύο περιοχών. Ως αποτέλεσμα, η φωτοειδής γραμμή που

διαγράφει ο φλοιός να δίδεται και στο σύστημα συντεταγμένων της αριστερής περιοχής από

τη σχέση: uw = e−Rtw/l2 .

Επίσης, απαιτούμε η ακτίνα του κύκλου S1(ϕ) (δες 6.4.6) να είναι συνεχής διαμέσου

του φλοιού (gϕϕ = gϕϕ). Οπότε παίρνουμε τη συνοριακή συνθήκη:

R1− uwv1 + uwv

= R1− uwv1 + uwv

Εάν E << M προκύπτει μια ασυνέχεια βήματος στη συντεταγμένη v διαμέσου του φλοιού:

v = v + α (6.4.9)

όπου η σταθερά α ισούται με

α ≡ E

4MeRtw/l

2 ≈ eτw−τ∗ (6.4.10)

όπου τ∗ ο χρόνος scrambling 4.3.7 (εκπεφρασμένος στις συντεταγμένες Rindler).

Στο όριο E/M → 0 και tw → ∞, κρατώντας την παράμετρο α σταθερή, παίρνουμε

R = R, uw = 0 και η μετρική γράφεται στη μορφή:

ds2 =−4l2 dudv +R2 (1− u[v + αθ(u)])2 dϕ2

(1 + u[v + αθ(u)])2(6.4.11)

όπου θ(u) η συνάρτηση βήματος. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η μετρική είναι συνεχής διαμέσου

του φλοιού ενώ η παράγωγος της ως προς u είναι ασυνεχής.


Γράφημα 6.4.3: Τα διαγράμματα Kruskal–Szekeres και Penrose μιας μαύρης τρύπας BTZστην παρουσία ωστικού κύματος. Το ωστικό κύμα απεικονίζεται με τη διπλή διαγώνια

γραμμή

6.4.3 Γεωδαισιακές στη μαύρη τρύπα BTZ στη παρουσία shock wave

Ας θεωρήσουμε μια γεωδαισιακή γραμμή που ενώνει ένα σημείο tL >> l στο αριστερό

σύνορο με ένα σημείο tR >> l στο δεξί σύνορο. Η καμπύλη βρίσκεται σε μια φέτα ϕ =σταθ.

Το τμήμα μιας τέτοιας γεωδαισιακής καμπύλης στη δεξιά περιοχή θα τέμνει το ωστικό

κύμα, κατά μήκος της ευθείας u = 0, σε κάποιο σημείο με συντεταγμένη v. Εξαιτίας της

ασυνέχειας στη συντεταγμένη v, το αριστερό τμήμα θα τέμνει την ευθεία u = 0 σε σημείο

με συντεταγμένη v + α.

Οπότε για να βρούμε το μήκος της γεωδαισιακής αρκεί να βρούμε την απόσταση d1 του

άκρου στο αριστερό σύνορο από το σημείο τομής (u = 0, v = v + α) και την απόσταση

d2 του άκρου στο δεξιό σύνορο από το σημείο τομής (u = 0, v). Με βάση τις σχέσεις

6.4.3 και 6.4.5, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων στον χώρο R2,2, και στη

συνέχεια χρησιμοποιώντας τη σχέση 6.4.4 βρίσκουμε τις δυο αποστάσεις:

cosh

(d1

l

)=

r

R+

1

R

√r2 −R2 (v + α) eRtL/l

2

cosh

(d2

l

)=

r

R− 1

R

√r2 −R2 v e−RtR/l

2

(6.4.12)

΄Οταν r >> R, οι αποστάσεις αυτές προσεγγίζονται με τις εκφράσεις:

cosh

(d1

l

)≈ r

R

(1 + (v + α) eRtL/l

2)

cosh

(d2

l

)≈ r

R

(1− v e−RtR/l2

)


Για να προσδιορίσουμε το μήκος της γεωδαισιακής καμπύλης, ελαχιστοποιούμε το άθρο-

ισμα των δύο αποστάσεων d1 + d2 μεταβάλλοντας την παράμετρο v. Στο όριο r R, η

τιμή της v που ελαχιστοποιεί την συνολική απόσταση είναι:

v0 =eRtR/l

2 − e−RtL/l2 − α2

Αντικαθιστώντας την v0 στις δυο αποστάσεις παίρνουμε:

cosh

(d1

l

)=

r

ReR(tR+tL)/2l2

(cosh

[R

2l2(tR + tL)

]+α

2eR(tL−tR)/2l2

)cosh

(d2

l

)=

r

Re−R(tR+tL)/2l2

(cosh

[R

2l2(tR + tL)

]+α

2eR(tL−tR)/2l2

)

Τέλος, με την βοήθεια της σχέσης cosh−1(x) = log(x+√x2 − 1

)≈ log(2x) για μεγάλα

x, βρίσκουμε το μήκος της γεωδαισιακής:

d

l= 2 log

(2r

R

)+ 2 log

cosh

[R

2l2(tR + tL)

]+α

2eR(tL−tR)/2l2

(6.4.13)

Για το τμήμα της καμπύλης εντός της λευκής και της μαύρης τρύπας, αμελούμε τον πρώτο

όρο ο οποίος απειρίζεται λογαριθμικά καθώς τα άκρα της γεωδαισιακής πλησιάζουν τα

σύνορα.

Ο όγκος της σκουληκότρυπας στην παρουσία του ωστικού κύματος θα δίνεται από την

περιφέρεια του ορίζοντα επί το μήκος της γεωδαισιακής που ενώνει τα άκρα στα σύνορα.

Βρίσκουμε

V

Gl≈ S log

[cosh

(τL + τR

2

)+ e(|τw|−τ∗)+ 1

2(τL−τR)

](6.4.14)

όπου S η εντροπία της μαύρης τρύπας και τ ο χρόνος Rindler.


Γράφημα 6.4.4: Διαταραχή στη γεωμετρία της μαύρης τρύπας BTZ μέσω ενός ωστικούκύματος.

Η όγκος της σκουληκότρυπας είναι τώρα μη μηδενικός τις χρονικές στιγμές tL = tR = 0

και ισούται με την πολυπλοκότητα του τελεστή WL(tw) αφού η πολυπλοκότητα της κατάσ-

τασης TFD είναι μηδέν. Με βάση την αντιστοιχία CV, βρίσκουμε ότι η πολυπλοκότητα

δίνεται από την έκφραση:

C(0, 0) =V (0, 0)

GlAdS= S log

[1 + e(|τw|−τ∗)

](6.4.15)

Το αποτέλεσμα είναι σε πλήρη συμφωνία με την 6.3.10. Το αποτέλεσμα γενικεύεται για

τυχαίο αριθμό ωστικών κυμάτων τα οποία δημιουργούνται σε τυχαίες χρονικές στιγμές

[39].

6.4.4 Αστάθεια λευκών οπών

΄Οπως έχουμε αναφέρει σε προηγούμενα κεφάλαια, η περιοχή IV του διαγράμματος Pen-

rose της γεωμετρίας Schwarzschild αποτελεί μια λευκή οπή. Στην περιοχή αυτή, η πολυ-

πλοκότητα της αντίστοιχης κβαντικής κατάστασης ελαττώνεται. Κλασσικά συστήματα των

οποίων η εντροπία ελαττώνεται είναι εξαιρετικά σπάνια στη φύση, καθώς τέτοια συστήματα

είναι ασταθή. Με βάση το 2ο νόμο πολυπλοκότητας, αναμένουμε συστήματα των οποίων η

πολυπλοκότητα ελαττώνεται να είναι ασταθή.

Ας διαταράξουμε την λευκή οπή εισάγοντας μερικά άμαζα σωματίδια σε χρόνο −tw στοαριστερό σύνορο. Στην εξίσωση 6.4.14, κρατούμε σταθερό τον χρόνο τR και μεταβάλλουμε


τον χρόνο τL. Στην περίπτωση όπου (τL + τR) << 0 παίρνουμε:

V ∼ log

[1

2e−τL/2 + e|τw|−τ

∗+τL/2

]+ σταθ (6.4.16)

Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στον όγκο της σκουληκότρυπας προτού διαταραχθεί η γεωμετρία.

Ο δεύτερος ισούται με την μεταβολή στον όγκο της σκουληκότρυπας εξαιτίας του ωστικού

κύματος. Εάν τL −τw, τότε ο πρώτος όρος κυριαρχεί και ο όγκος της σκουληκότρυπαςελαττώνεται με τον χρόνο. Τα δυο εκθετικά ισούνται όταν τL = −(|τw| − τ∗). Συμπεραί-νουμε λοιπόν ότι η διαταραχή σε χρόνο tL = −tw προκαλεί αύξηση στην πολυπλοκότηταμετά από μικρό χρονικό διάστημα ίσο με τον χρόνο scrambling. Η πολυπλοκότητα συμπερ-

ιφέρεται όπως η κλασσική εντροπία και οι λευκές οπές είναι ασταθείς.

Συμπεράσματα

Στην εργασία αυτή έχουμε μελετήσει αρχικά τις μαύρες τρύπες Schwarzschild στον

ασυμπτωτικά επίπεδο χώρο. ΄Εχουν μη μηδενική θερμοκρασία, μάζα και εντροπία, η οποία

ισούται με το εμβαδόν του ορίζοντα σε μονάδες Planck. Οι μαύρες τρύπες εκπέμπουν

ακτινοβολία, την ακτινοβολία Hawking, και εξαϋλώνονται. Αυτή η ακτινοβολία είναι κατά

πολύ καλή προσέγγιση θερμική ακτινοβολία, όπως η ακτινοβολία μέλαν σώματος. Φαίνεται

πως η πληροφορία της αρχικής κατάστασης η οποία κατέρρευσε για να δημιουργηθεί η μαύρη

τρύπα χάνεται κατά την εξαΰλωση. Το παράδοξο διατήρησης της πληροφορίας δεν μπορεί να

επιλυθεί σε μια τοπική θεωρία κβαντικών πεδίων, η οποία επίσης αδυνατεί να αναπαραγάγει

σωστά την εντροπία της μαύρης τρύπας. Το παράδοξο αυτό φαίνεται να επιλύεται στη θεωρία

των χορδών με βάση την ολογραφική αρχή και την αντιστοιχία AdS/CFT.

Ακολούθως μελετήσαμε μαύρες τρύπες Schwarzschild στο χωροχρόνο anti de Sitter.

Αυτές οι μαύρες τρύπες είναι θερμοδυναμικά ευσταθείς, με τη θερμοκρασία να είναι ανάλογη

(μιας θετικής δύναμης) της μάζας τους. ΄Εχουν θετική θερμοχωρητικότητα. Σύμφωνα

με την ολογραφική αρχή, περιγράφονται ως θερμικές καταστάσεις της σύμμορφης θεωρίας

πεδίου στο σύνορο του χωροχρόνου. Η μέγιστη γεωμετρία μιας αιώνιας μαύρης τρύπας περι-

γράφεται με βάση δυο αντίγραφα της CFT στο αριστερό και στο δεξιό σύνορο αντίστοιχα.

Οι βαθμοί ελευθερίας της CFTL και της CFTR είναι συνμπλεγμένοι. Η κβαντική σύμ-

πλεξη δένει τις δύο ασυμπτωτικές περιοχές μαζί παράγοντας μια ομαλή γεωμετρία. Μεταξύ

των δύο ασυμπτωτικών περιοχών, στο εσωτερικό της μαύρης τρύπας, δημιουργείται μια σκ-

ουληκότρυπα, της οποίας ο όγκος αυξάνεται με τον χρόνο,παρόλο που το σύστημα βρίσκεται

σε θερμική ισορροπία. Προσομοιώνοντας το σύστημα με ένα χαοτικό σύστημα από qubits,

των οποίων ο αριθμός είναι της τάξης της εντροπίας Bekenstein - Hawking, βρίσκουμε

ότι η κβαντική πολυπλοκότητα του συστήματος είναι ακριβώς ανάλογη με τον όγκο της

σκουληκότρυπας στη γεωμετρική περιγραφή. Η αντιστοιχία πολυπλοκότητας/όγκου (αντι-

στοιχία CV) ισχύει ακόμα και κάτω από διαταραχές του συστήματος της μαύρης τρύπας.

Βασικές έννοιες της κβαντικής πληροφορικής αποκτούν μια γεωμετρική περιγραφή μέσω των

ολογραφικών δυϊσμών βαρύτητας/θεωριών βαθμίδας.

113

Παράρτημα A

Μαύρες τρύπες ως λύσεις των

εξισώσεων του Einstein

A.1 Λύση Schwarzschild

Στην λύση Schwarzschild η κατανομή της ύλης του αστέρα είναι στατική και σφαιρικώς

συμμετρική, ρ = ρ(r) (όπου ρ(r) η πυκνότητα μάζας). Στην εξωτερική περιοχή του αστέρα

η πυκνότητα μάζας είναι μηδέν. Εξαιτίας της σφαιρικής συμμετρίας, μπορούμε να γράψουμε

την μετρική σε διαγώνια μορφή ως εξής [40][41]:

ds2 = −B(r)dt2 +A(r)dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dϕ2) (A.1.1)

Στη συνέχεια παίρνουμε το ίχνος των εξισώσεων Einstein 1.2.1 και βρίσκουμε την σχέση

που συνδέει την βαθμωτή καμπυλότητα R με το ίχνος του τανυστή ενέργειας ορμής:

R = −8πG Tµµ (A.1.2)

Επομένως οι εξισώσεις του Einstein μπορούν να γραφτούν στην μορφή:

Rµν = 8πG

(Tµν −

1

2gµνT

µµ

)(A.1.3)

Για να λύσουμε τις εξισώσεις Einstein στον κενό χώρο, θέτουμε τον τανυστή ενέργειας-

ορμής ίσο με μηδέν, Tµν = 0 1. Επομένως οι εξισώσεις του Einstein γίνονται:

Rµν = 0 (A.1.4)

1Το ίχνος του τανυστή ενέργειας-ορμής είναι επίσης ίσο με μηδέν.

115

116 Παράρτημα

Βρίσκουμε τα 16 στοιχεία του τανυστή Ricci με την βοήθεια της σχέσης:

Rµν =∂Γαµν∂xα

−∂Γααµ∂xν

+ ΓαµνΓββα − ΓαµβΓβνα (A.1.5)

όπου Γµνλ η σύνδεση.

Καταλήγουμε στις εξισώσεις:

B′(r)

B(r)= −A

′(r)

A(r)

B(r) = 1 +σταθ

r

(A.1.6)

Επειδή τα πεδία εξασθενούν πολύ μακριά από τον αστέρα, η μετρική τείνει στην επίπεδη

μετρική Minkowski. Για στατικά και ασθενή βαρυτικά πεδία, η χρονική συνιστώσα της

μετρικής ισούται με g00 ≈ −1 − 2Φ όπου Φ = −GM/r το Νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό.

Οπότε παίρνουμε:

A(r)B(r) = σταθ = 1

B(r) = 1− 2GM

r

(A.1.7)

Τέλος, βρίσκουμε την τελική μορφή της μετρικής Schwarzschild:

ds2 = −(

1− 2MG

r

)dt2 +

dr2

1− 2MGr

+ r2(dθ2 + sin2θ dϕ2) (A.1.8)

A.2 Reissner–Nordström μετρική

Θεωρούμε μια σφαιρικώς συμμετρική μαύρη τρύπα. Οπότε μπορούμε να γράψουμε την

μετρική σε διαγώνια μορφή ως εξής [40][13]:

ds2 = −e2a(r,t)dt2 + e2b(r,t)dr2 + r2dΩ2 (A.2.1)

Επίσης θεωρούμε ηλεκτρικά φορτισμένη σφαιρική μαύρη τρύπα με μόνη μη μηδενική

συνιστώσα την ακτινική συνιστώσα:

Er = f(r, t) (A.2.2)

Παράρτημα 117

Χρειάζεται να λύσουμε τις εξισώσεις Einstein 1.2.1 με τανυστή ενέργειας-ορμής τον

τανυστή του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου:

Tµν = FµρFρν −

1

4gµνFρσF

ρσ (A.2.3)

Παρατηρούμε ότι το ίχνος του τανυστή Tµν είναι 0:

T = gµνTµν = gµνFµρFρν −

1

4gµνgµνFρσF

ρσ = 0

Συνεπώς η εξίσωση παίρνει τη μορφή:

Rµν = 8πGTµν (A.2.4)

Βρίσκουμε τα στοιχεία του τανυστή Ricci (αφού πρώτα βρούμε τα στοιχεία της σύνδεσης

και του τανυστή Riemann).

Rtt =[∂2t b+ (∂tb)

2 − ∂ta∂tb]

+ e2(a−b)[∂2ra+ (∂ra)2 − ∂ra∂rb+

2

r∂ra

]Rrr = −

[∂2ra+ (∂ra)2 − ∂ra∂rb−

2

r∂rb

]+ e2(b−a)

[∂2t b+ (∂tb)

2 − ∂ta∂tb]

Rtr =2

r∂tb

Rθθ = e−2b [r (∂rb− ∂ra)− 1] + 1

Rϕϕ = Rθθ sin2 θ

Ακολούθως βρίσκουμε τις συνιστώσες του τανυστή ενέργειας-ορμής του ηλεκτρομαγν-

ητικού πεδίου:

Ttt =f2(r, t)

2e−2b

Trr = −f2(r, t)

2e−2a

Ttr = 0

Tθθ =r2f2(r, t)

2e−2(a+b)

Tϕϕ = Tθθ sin2 θ


Οπότε από τις εξισώσεις Einstein A.2.4 έχουμε ότι Rtr = 0 και έτσι η συνάρτηση b(r) είναι

ανεξάρτητη του χρόνου. Επίσης παρατηρώντας ότι e2aRrr + e2bRtt = 0 βρίσκουμε ότι:

∂ra+ ∂rb = 0

a(r, t) + b(r) = σταθ

a(r, t) = −b(r)

όπου με μια αλλαγή συντεταγμένων dt → eσταθdt′ απορροφούμε τη σταθερά. ΄Ετσι η

συνάρτηση a(r) είναι επίσης ανεξάρτητη του χρόνου και ισούται με a(r) = −b(r).

Επόμενο βήμα είναι να λύσουμε τις εξισώσεις του Maxwell σε βαρυτικό πεδίο:

Fαβ;a = 0 (A.2.5)

∂αFβγ + ∂βFγα + ∂γFαβ = 0 (A.2.6)

με μόνη μη μηδενική συνιστώσα του ηλεκτρομαγνητικού τανυστή να δίνεται από τη σχέση

A.2.2:

Ftr = −Frt = f(r, t) (A.2.7)

Από τις εξισώσεις A.2.5 βρίσκουμε για την ακτινική συνιστώσα r:

∂tFtr − ΓαttFαr − ΓαtrFtα = 0

∂tFtr − Ftr(Γt tt + Γrtr

)= 0

∂tFtr = 0

οπότε η συνάρτηση f(r) είναι χρονικά ανεξάρτητη. Επίσης, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα

Fαβ;a = 1√g∂a

(√gFαβ

), από τις εξισώσεις A.2.5 και πάλι, βρίσκουμε για τη χρονική

συνιστώσα t:

1

r2 sin2 θ∂r(r

2 sin θF rt) = 0

∂r(r2f(r)) = 0

οπότε έχουμε:

f(r) =σταθ

r2


και σύμφωνα με τον νόμο του Gauss η σταθερά δίνεται ως Q/√

4π, οπότε η τελική μορφή

της συνάρτησης A.2.7 δίνεται ως:

f(r) =Q√

4π r2(A.2.8)

Πίσω στις εξισώσεις Einstein A.2.4:

Rθθ = 8πGTθθ

e−2b [r (∂rb− ∂ra)− 1] + 1 =Q2r2

4π2r4e−2(a+b)(8πG)

−e2a [r∂ra+ 1] = −1 +Q2G

r2

∂r(re2a) = 1− Q2G

r2

e2a = 1 +R

r+Q2G

r2

όπου R μια σταθερά. Λόγω ότι στη περίπτωση Q = 0 πρέπει να παίρνουμε την μετρική

Schwarzschild, η σταθερά αυτή ισούται με RS = −2GM . ΄Ετσι, καταλήγουμε στην τελική

μορφή της μετρικής:

ds2 = −(

1− 2MG

r+Q2G

r2

)dt2 +

(1− 2MG

r+Q2G

r2

)−1

dr2 + r2dΩ2 (A.2.9)

η οποία ονομάζεται μετρική Reissner–Nordström.

Παράρτημα B

Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία

πεδίου

B.1 Κλασσική θεωρία πεδίου

B.1.1 Αρχή της ελάχιστης δράσης

΄Ενας φορμαλισμός που περιγράφει μαθηματικά την κλασική θεωρία πεδίων είναι αυτός

της Λαγκραντζιανής μηχανικής. Με αυτό τον φορμαλισμό μπορούμε να ορίσουμε την έννοια

της δράσης S η οποία δίνεται από το χρονικό ολοκλήρωμα της Λαγκραντζιανής ή καλύτερα

από το χωροχρονικό ολοκλήρωμα της Λαγκραντζιανής πυκνότητας. Η Λαγκραντζιανή

πυκνότητα αποτελεί συνάρτηση του πεδίου ϕ(x) και των πρώτων μερικών παραγώγων του

πεδίου ∂µϕ(x) [42]:

S =

∫dtL =

∫d4xL(ϕ, ∂µϕ) (B.1.1)

Σύμφωνα με την αρχή ελάχιστης δράσης, οι εξισώσεις του πεδίου καθορίζονται από την

ελαχιστοποίηση της δράσης ανάμεσα σε όλα τα πιθανά μονοπάτια.

Επομένως, η μεταβολή της δράσης δS θα πρέπει να μηδενίζεται για οποιαδήποτε μικρή

μεταβολή του πεδίου δϕ και των παραγώγων του δ(∂µϕ), που ικανοποιούν τις συνοριακές

120


συνθήκες. ΄Ετσι έχουμε:

δS =

∫d4x

[∂L∂ϕ

δϕ+∂L

∂(∂µϕ)δ(∂µϕ)

]=

∫d4x

∂L∂ϕ

δϕ+ ∂µ

[∂L

∂(∂µϕ)δϕ

]− δϕ ∂µ

(∂L

∂(∂µϕ)

)=

∫d4x

(∂L∂ϕ− ∂µ

(∂L

∂(∂µϕ)

))δϕ

= 0

Επειδή το πιο πάνω ολοκλήρωμα πρέπει να μηδενίζεται για οποιαδήποτε αυθαίρετη μεταβολή

δϕ, η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα πρέπει να μηδενίζεται για όλα τα σημεία. Οπότε

παίρνουμε τις εξισώσεις κίνησης Euler-Lagrange για το βαθμωτό πεδίο ϕ:

∂L∂ϕ− ∂µ

(∂L

∂(∂µϕ)

)= 0 (B.1.2)

Ορίζουμε την ορμή του πεδίου ως:

p(~x) ≡ ∂L

∂ϕ(~x, t)=

∂

∂ϕ(~x, t)

(∫Ld3~y

)= π(~x, t) d3x (B.1.3)

όπου ορίζουμε την πυκνότητα ορμής ως:

π(~x, t) ≡ ∂L∂ϕ(~x, t)

(B.1.4)

΄Ετσι μπορούμε να ορίσουμε την Χαμιλτονιανή του συστήματος:

H =

∫d3~x (π ϕ− L ) (B.1.5)

Η Χαμιλτονιανή πυκνότητα δίνεται ως:

H = πϕ− L (B.1.6)

Η Λαγκρατζιανή πυκνότητα ενός ελεύθερου βαθμωτού πεδίου είναι ίση με τον κινητικό

όρο και με ένα όρο που συνδέει το πεδίο με την μάζα:

L = −1

2∂µϕ∂µϕ−

1

2m2ϕ2 (B.1.7)

Η πιο πάνω Λαγκρατζιανή πυκνότητα παραμένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς

Lorentz. Το ίδιο και η δράση αφού ο στοιχειώδης όγκος παραμένει αναλλοίωτος.


Αντικαθιστούμε στις εξισώσεις Euler-Lagrange και βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης, η

οποία δίνεται από την εξίσωση Klein-Gordon:

(−∂µ∂µ +m2)ϕ = 0 (B.1.8)

Στην κβαντική περίπτωση η εξίσωση Klein-Gordon είναι κατάλληλη για να περιγράψουμε

σωματίδια με σπιν 0 όπως θα δούμε και παρακάτω.

Η πυκνότητα ορμής ισούται με π = ϕ και επομένως η Χαμιλτονιανή δίδεται από την έκφραση:

H =

∫d3x

(1

2π2 +

1

2(~∇ϕ)2 +

1

2m2ϕ2

)(B.1.9)

B.1.2 Κλασσικές λύσεις στην εξίσωση Klein-Gordon

Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε το βαθμωτό πεδίο Klein-Gordon και βρήκαμε

την εξίσωση Klein-Gordon B.1.8 η οποία μπορεί να γραφτεί στην μορφή:

∂2ϕ

∂t2− ~∇2ϕ(~x) +m2ϕ = 0 (B.1.10)

Θέλουμε να βρούμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης και για αυτό δοκιμάζουμε λύσεις της

μορφής F (t)ei~k·~xόπου ~k το διάνυσμα του κυματάριθμου και ~x το διάνυσμα θέσης. Επομένως

η πιο πάνω εξίσωση ανάγεται στην ακόλουθη:

d2F (t)

dt2+ (~k 2 +m2)F (t) = 0 (B.1.11)

Ορίζοντας

ω~k2 = ~k 2 +m2 (B.1.12)

παίρνουμε χωριζόμενες λύσεις της μορφής

ϕ ∝ ei(~k·~x±ω~kt)

Θα σχηματίσουμε επαλληλίες των πιο πάνω χωριζόμενων λύσεων, ώστε αυτές να είναι

πραγματικές λύσεις. Οπότε η γενικότερη λύση παίρνει την μορφή:

ϕ(~x, t) =

∫d3~k

(2π)3

[ϕ1(~k)

2ei~k·~xe−iω~kt +

ϕ2(~k)

2ei~k·~xeiω~kt

+ϕ∗1(~k)

2e−i

~k·~xeiω~kt +ϕ∗2(~k)

2e−i

~k·~xe−iω~kt

]


Μέσω του μετασχηματισμού ~k σε −~k στον δεύτερο και τέταρτο όρο, φέρνουμε το ολοκ-λήρωμα στην ακόλουθη μορφή:

ϕ(~x, t) =

∫d3~k

(2π)3

[(ϕ1(~k) + ϕ∗2(−~k)

2

)e−iω~ktei

~k~x +

(ϕ∗1(~k) + ϕ2(−~k)

2

)eiω~kte−i

~k~x

]

Κατά αναλογία με τον αρμονικού ταλαντωτή στην κβαντική μηχανική [43] γράφουμε την

πιο πάνω σχέση ως:

ϕ(~x, t) =

∫d3~k

(2π)3

[α(~k)√

2ω~keik

µxµ +α†(~k)√

2ω~ke−ik

µxµ

](B.1.13)

όπου kµ = (ω~k,~k).

B.2 Κβάντωση πεδίου Klein-Gordon

Για να κβαντώσουμε το πεδίο Klein-Gordon ανάγουμε τους συντελεστές της εξίσωσης

B.1.13 σε τελεστές [44]. Ο συντελεστής α(~k) ανάγεται σε έναν τελεστής καταστροφής,

α~k, ενώ ο συντελεστής α†(~k) ανάγεται στον τελεστή δημιουργίας, α†~k. Οι τελεστές αυτοί

ικανοποιούν τη σχέση μετάθεσης, κατά αναλογία με τον αρμονικό ταλαντωτή στην κβαντική

μηχανική: [α~k, α

†~k′

]= (2π)3δ3(~k − ~k′) (B.2.1)

Επίσης, το πεδίο και η πυκνότητα της ορμής του πεδίου ανάγονται σε πεδιακούς τελεστές:

ϕ(~x), π(~x). Οι σχέσεις μετάθεσης τους είναι:

[ϕ(~x), π(~y)] = iδ3(~x− ~y) (B.2.2)

και

[ϕ(~x), ϕ(~y)] = [π(~x), π(~y)] = 0 (B.2.3)

Συναρτήσει των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής το πεδίο και η πυκνότητα της

ορμής του πεδίου παίρνουν την μορφή:

ϕ(xµ) =

∫d3~k

(2π)3

1√2ω~k

(α~k e

ikµxµ + α†~ke−ik

µxµ)


και

π(xµ) =

∫d3~k

(2π)3

√ω~k2

(−i)(α~k e

ikµxµ − α†~k e−ikµxµ

)Μέσω του μετασχηματισμού ~k → −~k, οι πιο πάνω εκφράσεις γίνονται:

ϕ(xµ) =

∫d3~p

(2π)3

1√2ω~p

(α~p + α†−~p

)eip

µxµ (B.2.4)

π(xµ) =

∫d3~p

(2π)3

√ω~p2

(−i)(α~p − α†−~p

)eip

µxµ (B.2.5)

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση B.1.9 και μαζεύοντας κοινούς όρους, καταλήγουμε στην

πιο κάτω έκφραση για την Χαμιλτονιανή:

H =

∫d3~p

(2π)3ω~p

(α†~p α~p +

1

2

[α~p, α

†~p

])(B.2.6)

Συγκρίνοντας την έκφραση αυτή με την Χαμιλτονιανή του αρμονικού ταλαντωτή στην κβαν-

τική μηχανική,

H = ω(αα† +1

2)

συμπεραίνουμε ότι ο πρώτος όρος αντιστοιχεί σε έναν τελεστή αριθμού και ο δεύτερος

καθορίζει την ενέργεια της βασικής κατάστασης.

Ας κοιτάξουμε τώρα πιο προσεκτικά τον δεύτερο όρο. Εμφανίζονται δυο απειρισμοί στον

όρο αυτό. Αρχικά, εφαρμόζοντας την σχέση μετάθεσης B.2.1 παίρνουμε:

E0 =

∫d3~p

(2π)3

ω~p2

[α~p, α

†~p

]=

∫d3~p

(2π)3

ω~p2

(2π)3δ3(~p− ~p)

Γράφοντας

(2π)3δ3(~p− ~p) =

∫d3~x ei(~p−~p)·~x

βλέπουμε ότι η συνάρτηση δέλτα στον χώρο τον ορμών αντιστοιχεί στον άπειρο όγκο του

χώρου. Μπορούμε να απαλείψουμε τον απειρισμό αυτό συμπαγοποιώντας το σύστημα σε

ένα κουτί με πεπερασμένο όγκο, ίσο με V .

Οπότε παίρνουμε

E0 = V

∫d3~p

(2π)3

ω~p2

= V

∫ ∞0

4πp2

(2π)3

√|~p|2 +m2

2dp =

V

(2π)2

∫ ∞0

p2√p2 +m2 dp


Το ολοκλήρωμα αποκλίνει, με τον απειρισμό να προέρχεται από την περιοχή των μεγάλων

ορμών. Εισάγοντας ένα κατώφλι αποκοπής Λ μπορούμε να κανονικοποιήσουμε το ολοκλήρ-

ωμα αυτό:

E0 =V

(2π)2

∫ Λ

0p2√p2 +m2 dp ≈ Λ4

4(2π)2

΄Οπως έχουμε αναφέρει η συμπεριφορά του συστήματος σε μικρά μήκη, της τάξης του μήκους

Planck, δεν μπορεί να περιγραφεί με βάση μια κβαντική θεωρία πεδίων.

Πολλά πειραματικά αποτελέσματα δεν εξαρτώνται από την ενέργεια, αλλά από τη διαφορά

της ενέργειας μιας διεγερμένης κατάστασης από την θεμελιώδη ενέργεια. Οπότε μπορούμε

να ορίσουμε μια νέα Χαμιλτονιανή, αφαιρώντας την ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης,

αποφεύγοντας τους απειρισμούς:

ˆH = H − E0 =

∫d3~p

(2π)3ω~p α

†~p α~p

Με λίγη άλγεβρα παίρνουμε τις σχέσεις μετάθεσης της Χαμιλτονιανής με τους τελεστές

δημιουργίας και καταστροφής1: [

H, α†~p

]= ω~p α

†~p (B.2.7)

και [H, α~p

]= −ω~p α~p (B.2.8)

Η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, |0〉, κατατρέφεται από όλους τους τελεστές κατασ-τροφής: α~p |0〉 = 0 για κάθε ~p. ΄Εχει μηδενική ενέργεια H |0〉 = 0 |0〉.

Δρώντας με τους τελεστές δημιουργίας στην βασική κατάσταση παίρνουμε τις πρώτες

διεγερμένες καταστάσεις, α†~p |0〉. Για να βρούμε την ενέργεια τους δρούμε με την Χαμιλτο-νιανή:

H (α†~p |0〉) = α†~p H |0〉+[H, α†~p

]|0〉 = ω~p (α†~p |0〉) (B.2.9)

Η αντίστοιχη ιδιοτιμή είναι E~p = ω~p.

Ο τελεστής της ορμής ισούται με:

P = −∫d3~x π(~x) ~∇ϕ(~x) =

∫d3~p

(2π)3~p α†~p α~p

1Από εδώ και πέρα όπου γράφουμε H θα εννοούμε την νέα Χαμιλτονιανή ˆH.


Βρίσκουμε ότι

P (α†~p |0〉) = ~p (α†~p |0〉) (B.2.10)

΄Ετσι δρώντας με τον τελεστή δημιουργίας, δημιουργούμε μια κατάσταση με ενέργεια E~pκαι ορμή ~p. Μπορούμε έτσι να ερμηνεύσουμε την κατάσταση αυτή ως μια μονοσωματιδιακή

σχετικιστική κατάσταση ενώ η κατάσταση |0〉 είναι η κατάσταση κενού.

Η επαλληλία (α†~p+α†~p ′) |0〉 δεν έχει καθορισμένη ενέργεια. Δεν αποτελεί κατάσταση δυοσωματιδίων αλλά ενός. Αν μετρήσω την ενέργεια θα καταρρεύσει σε μια μονοσωματιδιακή

κατάσταση με καθορισμένη ενέργεια.

Οι πολυσωματιδιακές καταστάσεις είναι:

∏i=1

(α†~pi)ni |0〉

E =∑i=1

ni E~pi

~P =∑i=1

ni ~pi

με ni σωματίδια με ορμή ~pi και ενέργεια E~pi . Για παράδειγμα η κατάσταση (α†~pi)2(α†~pj ) |0〉

έχει 2 σωματίδια με ορμή ~pi και 1 σωματίδιο με ορμή ~pj .

Μπορούμε να ανταλλάξουμε την σειρά των τελεστών δημιουργίας αφού αυτοί μετατίθεν-

ται μεταξύ τους:

(α†~pi)2(α†~pj ) |0〉 = (α†~pj )(α

†~pi

)2 |0〉

΄Αρα οι πολυσωματιδιακές καταστάσεις περιγράφουν σωματίδια που ακολουθούν την στατισ-

τική Bose-Einstein.

Ορίζουμε τις μονοσωματιδιακές καταστάσεις ώστε το εσωτερικό τους γινόμενο να είναι

αμετάβλητο κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz:

|~p 〉 =√

2E~p α†~p |0〉 (B.2.11)

Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο δυο τέτοιων καταστάσεων καταλήγουμε στην έκφραση

〈~q |~p 〉 =√

2E~q√

2E~p (2π)3 δ3(~q − ~p) = 2E~p (2π)3 δ3(~q − ~p) (B.2.12)

η οποία είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz.


Η κυματοσυνάρτηση ορίζεται με βάση τη σχέση

〈~p | ϕ(~x) |0〉 =

∫d3~p ′

(2π)3

1

2E~p ′ei~p′·~x ⟨~p ∣∣~p ′⟩

=

∫d3~p

(2π)3

1

2E~p ′2E~p (2π)3δ3(~p− ~p ′)ei~p ′·~x

= ei~p·~x

όπου χρησιμοποιήσαμε την σχέση κανονικοποίησης B.2.12. Παρατηρούμε ότι μοιάζει με την

κυματοσυνάρτηση μη σχετικιστικού σωματιδίου όπου 〈~p |~x〉 ∝ ei~p·~x.

B.3 Κλασικά βαθμωτά πεδία σε καμπυλωμένους χωρο-

χρόνους

Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε πως συμπεριφέρεται ένα κλασικό πεδίο σε καμπυλ-

ωμένους χωροχρόνους.

B.3.1 Κλασικά βαθμωτά πεδία στη γεωμετρία Schwarzschild

Η δράση ενός βαθμωτού πεδίου χ σε καμπυλωμένους χωροχρόνους ορίζεται ως:

S =

∫d4x√−gL(χ, ∂µχ) (B.3.1)

όπου g η ορίζουσα της μετρικής.

Η Λαγκραντζιανή πυκνότητα ενός ελεύθερου, άμαζου πεδίου Klein-Gordon σε καμπυλ-

ωμένους χωροχρόνους δίνεται σε αναλογία με την B.1.7 ως:

L = −1

2gµν∂µχ∂νχ (B.3.2)

Παραμένει αναλλοίωτη κάτω από γενικούς μετασχηματισμούς συντεταγμένων.

Θα χρησιμοποιήσουμε τις συντεταγμένες Tortoise για να περιγράψουμε τη γεωμετρία

Schwarzschild, δες κεφάλαιο 1.2.2. Η μετρική Tortoise είναι σύμμορφη επίπεδη μετρική.

Συνδυάζοντας λοιπόν τις σχέσεις B.3.1, B.3.2 και 1.2.12, η δράση του πεδίου χ παίρνει τη

μορφή:

S = −∫dt dr∗ dθ dϕ F (r∗)r2 sin θ

1

F (r∗)

[−(∂tχ)2 + (∂r∗χ)2

]+

1

r2(∂θχ)2

+1

r2 sin2 θ(∂ϕχ)2


Ορίζοντας ένα νέο πεδίο Ψ = rχ, η δράση απλοποιείται:

S = −∫dt dr∗ dθ dϕ sin θ − (∂tΨ)2 + [∂r∗Ψ−Ψ

d(ln r)

dr∗

]2

+F (r∗)

r2(∂θΨ)2

+F (r∗)

r2 sin2 θ(∂ϕΨ)2

Η γεωμετρία Schwarzschild είναι σφαιρικά συμμετρική, όπως είδαμε στο παράρτημα A.1.

Γι’ αυτό μπορούμε να αναλύσουμε το πεδίο Ψ σε σειρά σφαιρικών αρμονικών:

Ψ(t, r∗, θ, ϕ) =∞∑l=0

l∑m=−l

Ψlm(t, r∗)Ylm(θ, ϕ) (B.3.3)

Χρησιμοποιώντας την B.3.3, τη σχέση

∂2Ylm∂θ2

+cos θ

sin θ

∂Ylm∂θ

+1

sin2 θ

∂2Ylm∂ϕ2

= −l(l + 1)Ylm

και τις σχέσεις ορθογωνιότητας των σφαιρικών αρμονικών, βρίσκουμε:

S =∞∑l=0

l∑m=−l

1

2

∫dt

∫dr∗

(∂tΨlm)2 − (∂r∗Ψlm)2 − Vl(r∗)|Ψlm|2

(B.3.4)

με δυναμικό

Vl(r∗) =

l(l + 1)F (r∗)

r2+d2(ln r)

dr∗2+

(d(ln r)

dr∗

)2

=

(r − 2MG

r

)(l(l + 1)

r2+

2MG

r3

) (B.3.5)

Στη δεύτερη γραμμή εκφράσαμε το δυναμικό στις συντεταγμένες Schwarzschild. Ο πρώτος

όρος στην δεύτερη παρένθεση εξαρτάται από τον αριθμό της στροφορμής l και παράγει μια

φυγόκεντρη δύναμη.

Το δυναμικό είναι θετικό. Μηδενίζεται για r = 2GM και r →∞ και παίρνει τη μέγιστητιμή του όταν dV (r)/dr = 0. Για μεγάλα r το δυναμικό είναι απωστικό ενώ για μικρότερα

r ελκτικό. Η φορά της δύναμης αλλάζει ακριβώς στο μέγιστο.

Θέτοντας την παράγωγο ίση με μηδέν, καταλήγουμε στην δευτεροβάθμια εξίσωση:

[l(l + 1)] r2 + 3GM [1− l(l + 1)] r − 8M2G2 = 0


με θετική λύση την ακόλουθη

r0 = 3GM

1

2

[1 +

√1 +

14l2 + 14l + 9

9l2(l + 1)2

]− 1

2l(l + 1)

(B.3.6)

΄Οταν l→∞,

r0 → 3GM

1

2

[1 +

√1 +

14l2

9l4

]− 1

2l2

≈ 3GM

και το δυναμικό στο μέγιστο τείνει στην τιμή

V0 ≈l2

27G2M2(B.3.7)

Καθώς l→ 0,

r0 →8

3GM

και

V0 ≈1

2G2M2

(3

8

)3

(B.3.8)

Γράφημα B.3.1: Το δυναμικό ενός βαθμωτού πεδίου Klein-Gordon στη γεωμετρίαSchwarzschild συναρτήσει της ακτινικής συντεταγμένης r, για διάφορες τιμές του αρι-

θμού l της στροφορμης.

Για r >> 3MG το δυναμικό είναι απωστικό, ενώ για μικρότερα r κοντά στον ορίζοντα,

το δυναμικό γίνεται ελκτικό. Κβάντα με μικρή ενέργεια δεν μπορούν να υπερπηδήσουν

το φράγμα δυναμικού και βρίσκονται παγιδευμένα στην περιοχή κοντά στον ορίζοντα της


μαύρης τρύπας. Αν έχουν αρκετά μεγάλη ενέργεια, μπορεί να διαφύγουν στο άπειρο. Συγ-

κεκριμένα, για κύματα τύπου s (l = 0) το φράγμα δυναμικού είναι σχετικά μικρό και τα

κβάντα ενέργειας μπορούν να διαφύγουν στο άπειρο ευκολότερα.

Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Euler-Lagrange, B.1.2, βρίσκουμε τις εξισώσεις κίνησης:

∂2Ψlm

∂t2=∂2Ψlm

∂r∗2− Vl(r∗)Ψlm (B.3.9)

Δοκιμάζουμε χωριζόμενες λύσεις της μορφής Ψlm(t, r∗) ∝ e−iνtΨlm(r∗) με την συνάρτηση

Ψlm(r∗) να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Καταλήγουμε στην εξίσωση:

ν2Ψlm(r∗) = −d2Ψlm(r∗)

dr∗2+ Vl(r

∗)Ψlm(r∗)

η οποία μπορεί να ιδωθεί ως μια μονοδιάστατη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger.

Η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να έχουν κβάντα με μεγάλη στροφορμή l ώστε να

περάσουν το φράγμα δυναμικού είναι:

ν ≈ 1√27

l

GM(B.3.10)

Για l = 0, η ενέργεια που απαιτείται είναι:

ν ≈ 1√2 GM

(3

8

) 32

≈ 0.16

GM(B.3.11)

Φυσικά, τα κβάντα μπορούν να διέλθουν του φράγματος μέσω του κβαντικού φαινομένου

σήραγγας.

Κοντά στον ορίζοντα το δυναμικό μπορεί να θεωρηθεί αμελητέο και η εξίσωση B.3.9

ανάγεται στην κυματική εξίσωση:(− ∂2

∂t2+

∂2

∂r∗2

)Ψlm = 0 (B.3.12)

με λύσεις τα επίπεδα κύματα

Ψlm(t, r∗, θ, ϕ) = eik(r∗±t) Ylm(θ, ϕ) (B.3.13)

B.3.2 Βαθμωτά πεδία στο χωροχρόνο Rindler

Τώρα θα μελετήσουμε τα βαθμωτά πεδία Klein-Gordon στο χωροχρόνο Rindler, ο

οποίος, όπως είδαμε στο κεφάλαιο 1.2.4, περιγράφει την περιοχή κοντά στον ορίζοντα μιας

μαύρης τρύπας.


Αλλάζουμε την ακτινική συντεταγμένη, u = log ρ, ώστε να παίρνει τιμές στην ευθεία

(−∞,∞) και η μετρική να μετασχηματιστεί σε σύμμορφη επίπεδη:

ds2 = e2u(−dω2 + du2) + dX2 + dY 2

Η δράση παίρνει τη μορφή:

S = −1

2

∫d4x e2u

1

e2u

[−(∂ωχ)2 + (∂uχ)2

]+ (∂⊥χ)2

όπου ∂⊥ = (∂X , ∂Y ) οι κάθετες παράγωγοι στην επιφάνεια του ορίζοντα.

Μετασχηματίζοντας κατά Fourier αναλύουμε τα πεδία σε επίπεδα κύματα:

χ =

∫d2k⊥e

ik⊥x⊥ χk(ω, u)

Οπότε η δράση την μορφή:

S =1

2

∫dudω

[−(∂ωχk)

2 − (∂uχk)2 − k2

⊥e2u χ2

k

](B.3.14)

Oρίζουμε την ενεργό μάζα του πεδίου ως

m = k2⊥e

2u

η οποία παίζει το ρόλο του δυναμικού. Καθώς πλησιάζουμε στον ορίζοντα, ρ → 0 (u →∞), η ενεργός μάζα μηδενίζεται για όλους τους τύπους ταλάντωσης. Αντίθετα, καθώς

απομακρυνόμαστε από τον ορίζοντα η ενεργός μάζα αυξάνεται εκθετικά και μόνο όταν

k = 0 δεν υπάρχει φράγμα δυναμικού.

Γράφημα B.3.2: Το δυναμικό κοντά στον ορίζοντα συναρτήσει της συντεταγμένης u,για διάφορες τιμές του κυματάριθμου k.


B.4 Βαθμωτό πεδίο σε μη μηδενική θερμοκρασία

Η κανονική συλλογή περιγράφει τις θερμοδυναμικές ιδιότητες ενός συστήματος που

βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με μια δεξαμενή θερμότητας, θερμοκρασίας T . Η συνάρτηση

επιμερισμού δίδεται από τη σχέση:

Z =∑E

e−βE (B.4.1)

όπου β ≡ 1/T . Η μέση ενέργεια ισούται με:

U = 〈E〉 =1

Z

∑E

Ee−βE (B.4.2)

΄Ενα χρήσιμο δυναμικό είναι η ελεύθερη ενέργεια Helmholtz, η οποία ορίζεται ως:

F ≡ U − TS (B.4.3)

Ορίζουμε την πυκνότητα της εντροπίας ως:

S

V=U − FTV

=ρ+ P

T(B.4.4)

όπου ρ = U/V η πυκνότητα ενέργειας και P = −F/V η πίεση.

Στην κανονική συλλογή, η ελεύθερη ενέργεια ισούται με

F = − 1

βlnZ (B.4.5)

Συνεπώς

U =∂

∂β(logZ) =

∂

∂β(βF ) = F + β

∂F

∂β

Προκύπτει αμέσως η σχέση

ρ = −P − β∂P∂β

(B.4.6)

Τώρα, θέλουμε να βρούμε την συνάρτηση επιμερισμού σε μια άμαζη θεωρία κβαντικών

πεδίων. Θεωρούμε τα πεδία ως ένα σύστημα συζευγμένων ταλαντωτών με διαφορετική

συχνότητα ωi. Οπότε η συνάρτηση επιμερισμού του συστήματος θα δίνεται από το γινόμενο


των συναρτήσεων επιμερισμού του κάθε ταλαντωτή, ζi:

Z =∏i

ζi =∏i

∑Ei

e−βEi =∏i

1

1− e−βωi=∏~p

1

1− e−βω~p

Η ελεύθερη ενέργεια Helmholtz θα δίνεται ως:

F =1

β

∑~p

ln(

1− e−βω~p)

=V

β

∫d3~p

(2π)3ln(

1− e−βω~p)

= −π2V T 4

90

= −V P

Η πίεση δίδεται από τη σχέση

P =π2T 4

90(B.4.7)

Αντικαθιστούμε στη σχέση B.4.6 και βρίσκουμε ότι η πυκνότητα ενέργειας των πεδίων

δίνεται ως:

ρ = 3P (B.4.8)

Οπότε η εντροπία δίνεται ως:

S =4PV

T=

2π2

45V T 3 (B.4.9)

Παράρτημα C

Συναρτησιακά ολοκληρώματα

Feynman

΄Ενας από τους τρόπους να περιγράψει κανείς την κβαντική μηχανική είναι μέσα από

τα συναρτησιακά ολοκληρώματα Feynman. Προσδιορίζουν το πλάτος πιθανότητας για

μετάβαση ενός σωματιδίου από την αρχική στην τελική θέση σε δεδομένη χρονική στιγμή

[45].

C.1 Συναρτησιακά ολοκληρώματα Feynman

Στην εικόνα Schrödinger οι φυσικές καταστάσεις εξελίσσονται χρονικά ενώ οι τελεστές

είναι χρονικά ανεξάρτητοι. Αυτό συνεπάγεται ότι και οι ιδιοκαταστάσεις ενός τελεστή θα

είναι επίσης χρονοανεξάρτητες. Επομένως, μια φυσική κατάσταση εξελίσσεται σε δεδομένο

χρονικό διάστημα ∆t = tf − ti με βάση τη σχέση:

|Ψf 〉 = U(∆t) |Ψi〉 (C.1.1)

όπου ο τελεστής U(∆t) είναι μοναδιακός, ώστε η τελική κατάσταση |Ψf 〉 να παραμένεικανονικοποιημένη:

〈Ψf |Ψf 〉 = 〈Ψi|U †U |Ψi〉 = 1

Ο μοναδιακός αυτός τελεστής είναι ο τελεστής χρονικής εξέλιξης, U ≡ e−iH∆tπου κα-

θορίζεται από την εξίσωση Schrödinger

i∂

∂t|Ψ〉 = H |Ψ〉

134


Στην εικόνα Heisenberg [6], τα μετρήσιμα μεγέθη περιγράφονται από τελεστές που εξ-

ελίσσονται χρονικά ενώ οι φυσικές καταστάσεις μένουν σταθερές. Η εικόνα Heisenberg είναι

χρήσιμη στην κβαντική θεωρία πεδίων. Είναι ισοδύναμη με την περιγραφή του Schrödinger

και οδηγεί στις ίδιες φυσικές προβλέψεις.

Για να συγκρίνουμε τις δυο περιγραφές, εξελίσσουμε χρονικά την αναμενόμενη τιμή ενός

τελεστή στην εικόνα Schrödinger σύμφωνα με την σχέση C.1.1:

〈Ψ| AS |Ψ〉 →(〈Ψ|U †

)AS

(U |Ψ〉

)= 〈Ψ|

(U †ASU

)|Ψ〉

Η τελευταία ισότητα αποτελεί την εικόναHeisenberg, όπου οι τελεστές εξελίσσονται χρονικά.

Οι τελεστές στην εικόνα Heisenberg παίρνουν την πιο κάτω μορφή, ώστε οι αναμενόμενες

τιμές ενός τελεστή στις δυο εικόνες να ισούνται:

AH = U †ASU (C.1.2)

Επομένως, μεταβαίνουμε από τη εικόνα Schrödinger στην εικόνα Heisenberg μέσω ενός

μετασχηματισμού συζυγίας.

Τα ιδιοδιανύσματα ενός τελεστή θέσης στην εικόνα Schrödinger ικανοποιούν τις εξισώ-

σεις:

qS |q〉 = q |q〉

U †qS UU† |q〉 = qU † |q〉

qH

(U † |q〉

)= q

(U † |q〉

)όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση C.1.2. Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα ιδιοδιανύσματα του

τελεστή θέσης στην εικόνα Heisenberg, τα οποία συμβολίζονται ως |q, t〉, συνδέονται με ταιδιοδιανύσματα στη εικόνα Schrödinger, |q〉, ως:

|q, t〉 = U † |q〉 (C.1.3)

Επίσης, ισχύει η σχέση πληρότητας αφού τα ιδιοδιανύσματα αυτά απαρτίζουν μια ορθοκανον-

ική βάση: ∫dq |q, t〉〈q, t| = 1

Το πλάτος πιθανότητας ένα σωματίδιο, που βρίσκεται στη θέση qi τη χρονική στιγμή ti = 0,

να βρεθεί στη θέση qf τη χρονική στιγμή tf = T δίνεται ως:

〈qf , T |qi, 0〉 = 〈qf | e−iHT |qi〉 (C.1.4)


όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση C.1.3.

Ο διαδότης στην εικόνα Heisenberg ορίζεται ως το πιο πάνω πλάτος μετάβασης, δηλαδή:

K(qf , T ; qi, 0) = 〈qf , T |qi, 0〉 (C.1.5)

΄Εστω ότι παρεμβάλλουμε N σχέσεις πληρότητας σε N ενδιάμεσες χρονικές στιγμές:

〈qf , T |qi, 0〉 =

∫dqN−1· · ·

∫dq1

N−1∏m=0

〈qm+1, tm+1|qm, tm〉 (C.1.6)

Μπορούμε να κοιτάξουμε ένα εσωτερικό γινόμενο στην πιο πάνω έκφραση:

〈qm+1, tm+1|qm, tm〉 = 〈qm+1| e−iH(tm+1−tm) |qm〉

=

∫dpm 〈qm+1|pm〉〈pm| e−iHε |qm〉

(C.1.7)

όπου ε = T/N το ελάχιστο χρονικό βήμα. Παρεμβάλλουμε επίσης μια σχέση πληρότητας

ιδιοδιανυσμάτων της ορμής∫dpm |pm〉〈pm| = 1. Ας κοιτάξουμε όμως τον δεύτερο όρο του

ολοκληρώματος:

〈pm| e−iHε |qm〉 = 〈pm| 1− iεH +O(ε2) |qm〉

=[1− iεH +O(ε2)

]〈pm|qm〉

= e−iHε 〈pm|qm〉

Σε κάθε όρο της Χαμιλτονιανής όλοι οι τελεστές της ορμής μετατίθενται στα αριστερά και

αυτοί της θέσης στα δεξιά (normal ordering). ΄Ετσι οι τελεστές της ορμής και της θέσης

δρουν στις ιδιοκαταστάσεις τους δίνοντας:

〈pm| H(p, q) |qm〉 = H(pm, qm) 〈pm|qm〉

Επομένως

〈qm+1, tm+1|qm, tm〉 =

∫dpm 〈qm+1|pm〉 e−iHε 〈pm|qm〉 =

∫dpm2π

e−i[Hε−pm(qm+1−qm)]

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση

〈qm|pm〉 =1√2πeiqmpm


Αντικαθιστώντας στον διαδότη, C.1.6, βρίσκουμε:

〈qf , T |qi, 0〉 =

∫dpN−1

2π

∫dqN−1· · ·

∫dq1

∫dp0

2πe−i

N−1∑m=0

ε[H−(qm+1−qm

ε

)pm ] (C.1.8)

΄Εστω η Χαμιλτονιανή της μορφής

H =p2m

2m+ V (qm)

Τότε μπορούμε να ολοκληρώσουμε ως προς τις ορμές αφού τα ολοκληρώματα είναι γκαου-

σιανά: ∫dpm2π

exp−i [ H(pm, qm)ε− (qm+1 − qm) pm ]

= eiV (qm)ε

∫dpm2π

exp

−ip2

mε

2m+ i (qm+1 − qm) pm

=

√2mπ

iεeiV (qm)ε e

im(qm+1−qm)2

2ε

=

√2mπ

iεeiε

[m(qm+1−qm)2

2ε2−V (qm)

]

όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση ∫ ∞∞

e−ax2+bx =

√π

aeb2

4a

με a = iε/2m και b = i(qm+1 − qm). Η σταθερά√2mπ

iε

απορροφάται στην ολική σταθερά κανονικοποίησης.

Εκτελούμε όλα τα ολοκληρώματα ως προς τις ορμές και παίρνουμε το όριο ε → 0 στη

σχέση C.1.8. Ο εκθέτης στο όρισμα του ολοκληρώματος ανάγεται σε ένα ολοκλήρωμα ως

προς τον χρόνο:

limε→0

N−1∑m=0

ε

[m (qm+1 − qm)2

2ε2− V (qm)

]=

∫ T

0dt

[1

2mq 2

m − V (qm)

]=

∫ T

0dt L(qm, qm)

= S

Το χρονικό ολοκλήρωμα είναι η κλασσική δράση.


Επομένως η σχέση C.1.8 παίρνει την τελική μορφή

〈qf , T |qi, 0〉 =

∫[Dq]

qf ,Tqi,0

eiS (C.1.9)

όπου ο συμβολισμός [Dq] περιλαμβάνει Ν-1 ολοκληρώσεις ως προς τις ενδιάμεσες θέσεις

qm.

Συνεπώς στην κβαντομηχανική κάθε πιθανό μονοπάτι που μπορεί να ακολουθήσει ένα

σωματίδιο από την αρχική στην τελική θέση, συνεισφέρει στο διαδότη. Αυτό βρίσκεται σε

αντίθεση με την κλασσική μηχανική όπου το σωματίδιο ακολουθεί τη διαδρομή ελάχιστης

δράσης όπως είδαμε στο παράρτημα B.1.1.

Γράφημα C.1.1: Συναρτησιακό ολοκλήρωμα Feynman. Το μονοπάτι με την έντονηγραμμή είναι το κλασσικό μονοπάτι με αρχική θέση qi και τελική θέση qf . Οι διακεκομ-μένες γραμμές αποτελούν μερικά από τα υπόλοιπα πιθανά μονοπάτια που συνεισφέρουν

στο συναρτησιακό ολοκλήρωμα.

Σε μια θεωρία πεδίου μεταφερόμαστε από τους τελεστές θέσης σε πεδιακούς τελεστές,

q(t) → ϕ(~x). Οπότε το συναρτησιακό ολοκλήρωμα για πεδία κατά αναλογία με την C.1.9

γράφεται ως:

〈ϕf , tf |ϕi, ti〉 =

∫[Dϕ]

ϕ(~x,tf )=ϕf (~x)

ϕ(~x,ti)=ϕi(~x) ei∫L(ϕ,∂µϕ) d4x (C.1.10)

Εδώ ολοκληρώνουμε ως προς όλες τις διατάξεις πεδίων που ικανοποιούν τις αρχικές και

τελικές συνθήκες.


C.2 Συναρτησιακά ολοκληρώματα Feynman στον Ευκ-

λείδειο χώρο

Συχνά για να διευκολύνουμε τον αριθμητικό υπολογισμό του ολοκληρώματος Feynman

εκτελούμε μια στροφή στον Ευκλείδειο χρόνο, tE = it. Ειδικότερα συνεχίζουμε τον χρόνο

αναλυτικά, t→ e−iθt, και κάνουμε μια περιστροφή κατά π2 στο μιγαδικό επίπεδο, ταυτίζοντας

έτσι τον άξονα του χρόνου με τον μιγαδικό κάθετο άξονα.

Η Λαγκραντζιανή γίνεται μια καθαρά αρνητική ποσότητα:

L =1

2m

(∂q

∂t

)2

− V (q) = −1

2m

(∂q

∂tE

)2

− V (q)

Ορίζουμε την Ευκλείδεια Λαγκρατζιανή ως:

LE ≡ −L(q, ∂tEq) =1

2m

(∂q

∂tE

)2

+ V (q)

και την Ευκλείδεια δράση ως:

SE =

∫ TE

0dtE LE = −iS

Το Ευκλείδειο συναρτησιακό ολοκλήρωμα Feynman δίνεται ως:

〈qf , TE |qi, 0〉 =

∫[Dq]

qf ,TEqi,0

e−SE (C.2.1)

C.3 Κατάσταση κενού ενός κβαντικού πεδίου μέσω Ευ-

κλείδειου συναρτησιακού ολοκληρώματος

΄Εστω ένα βαθμωτό κβαντικό πεδίο με πεδιακούς τελεστές ϕ(~x, tE) και |ϕ〉 οι ιδ-ιοκαταστάσεις των πεδιακών τελεστών. Η κατάσταση κενού |0〉 είναι η βασική κατάστασητης Χαμιλτονιανής του συστήματος. Μια οποιαδήποτε κατάσταση |ϕi〉 μπορεί πάντα ναγραφεί ως επαλληλία των ιδιοκατάστασεων της ενέργειας, |ϕi〉 =

∑E

CE |E〉. Δρώντας με

τον τελεστή e−βH και παίρνοντας το όριο β → ∞, επιβιώνει μόνο η βασική κατάσταση

(E0 = 0):

limβ→∞

e−βH |ϕi〉 ∝ |0〉

limβ→∞

〈ϕ0| e−βH |ϕi〉 ∝ 〈ϕ0|0〉


Επομένως η κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του πεδίου, Ψ(ϕ0(~x)) = 〈ϕ0(~x)|0〉,γράφεται ως ένα συναρτησιακό ολοκλήρωμα στο μισό Ευκλείδειο χώρο:

Ψ(ϕ0(~x)) ∝∫

[Dϕ(tE < 0)]ϕ(~x,tE=0) e−SE (C.3.1)

Παράρτημα D

Μαθηματικά Εργαλεία

D.1 Θεωρία Ομάδων

Μια ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων, G = g1, g2 . . . , με μια πράξη την οποία συμ-βολίζουμε ως . Η πράξη αυτή απεικονίζει το καρτεσιανό γινόμενο G × G στην ομάδα G.

Δηλαδή g1 g2 = g3 με g1, g2, g3 ∈ G.

Μια ομάδα πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

1. (gi gj) gk = gi (gj gk), προσεταιριστική ιδιότητα

2. ∃ e ∈ G, έτσι ώστε e gi = gi = gi e

3. ∀gi ∈ G, ∃ g−1i , έτσι ώστε gi g−1

i = g−1i gi = e

Εάν gi gj = gj gi ∀gi, gj , τότε η ομάδα λέγεται αβελιανή.

D.1.1 Ομάδα Μοναδιακών Πινάκων

Οι N × N μοναδιακοί πίνακες είναι αντιστρέψιμοι πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση

U †U = 1. Αποτελούν ομάδα ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων, Συμβολί-

ζουμε την ομάδα αυτή ως U(N) = UN×N‖ U †U = 1.

΄Εστω U1, U2 ∈ U(N) και U3 = U1U2 τότε:

U †3U3 = (U1U2) † (U1U2) = U †2U†1U1U2 = U †2U2 = 1

΄Αρα U3 ∈ U(N). ΄Οντως ο πολλαπλασιασμός πινάκων αποτελεί μια καλά ορισμένη πράξη

σύνθεσης στην ομάδα αυτή. Ισχύουν όλες οι ιδιότητες των ομάδων:

141


1. (U1U2)U3 = U1(U2U3)

2. 1†1 = 1, άρα 1 ∈ U(N)

3. (U−1)†U−1 = (U †)−1U−1 = (U−1)−1U−1 = UU−1 = 1, άρα U−1 ∈ U(N)

Αν πάρουμε την ορίζουσα των δύο μελών στη σχέση U †U = 1 βρίσκουμε:

det(U †U

)= 1

det(U †)

det(U) = 1

det(U)∗ det(U) = 1

|det(U)|2 = 1

Οπότε det(U) = eiϕ με ϕ ∈ R.

Τώρα οι πίνακες με μοναδιαία ορίζουσα, detU = 1, σχηματίζουν την υποομάδα των

μοναδιακών πινάκων SU(N) = UNxN‖ U †U = 1, detU = 1.

Κάθε μοναδιακός πίνακας μπορεί να γραφτεί ως το εκθετικό ενός αντιερμιτιανού πίνακα,

A = eiB. Το σύνολο των ερμιτιανών πινάκων B αποτελεί την άλγεβρα Lie της ομάδας. Η

άλγεβρα Lie αποτελεί ένα διανυσματικό χώρο που είναι πιο εύκολος στον χειρισμό του από

ότι η ίδια η ομάδα. Οι γεννήτορες της ομάδας Ti αποτελούν μια βάση της άλγεβρας Lie:

B =∑i

βiTi

Οι Ερμιτιανοί πίνακες παραμετρικοποιούνται με N πραγματικούς αριθμούς για τα διαγώ-

νια στοιχεία και N2 − N πραγματικούς αριθμούς για τα μη διαγώνια στοιχεία. Συνολικάπαίρνουμε N2

πραγματικές παραμέτρους.

Εάν απαιτήσουμε detU = 1 ⇒ TrB = 0, παίρνουμε ακόμα ένα περιορισμό. Επομένως

έχουμε N2 − 1 πραγματικούς ανεξάρτητες παραμέτρους για την ομάδα SU(N).

D.1.2 Η ομάδα SU(2) ως σφαίρα S3

Θεωρούμε ένα στοιχείο της ομάδας SU(2).

U =

(a b

c d

)


Ο αντίστροφος του είναι:

U−1 =1

detU

(d −b−c a

)=

(d −b−c a

)

αφού detU = 1. Επειδή ο πίνακας U είναι μοναδιακός, ο αντίστροφος του ισούται με τον

Ερμιτιανό συζυγή του:

U−1 = U † =

(a∗ c∗

b∗ d∗

)

΄Ετσι έχουμε ότι d = a∗ και −b = c∗. Επίσης, επειδή η ορίζουσα του ισούται με την μονάδαπαίρνουμε:

detU = ad− bc = aa∗ + bb∗ = 1

Ο πίνακας U γράφεται:

U =

(a b

−b∗ a∗

)(D.1.1)

Εάν θέσουμε a = x1 + ix2 και b = x3 + ix4 βρίσκουμε:

x21 + x2

2 + x23 + x2

4 = 1

Αυτή είναι η εξίσωση που ορίζει μια τρισδιάστατη σφαίρα S3με μοναδιαία ακτίνα, η οποία

εμβαπτίζεται στον τετραδιάστατο Ευκλείδειο χώρο R4.

D.2 Μιγαδικός Προβολικός χώρος

Ο μιγαδικός προβολικός χώρος (Complex Projective Space) είναι μια κλειστή, συμπαγής

μιγαδική πολλαπλότητα.

Ας θεωρήσουμε τον μιγαδικό επίπεδο χώρο CN+1με N + 1 μιγαδικές συντεταγμένες.

Θεωρούμε το σύνολο των μη μηδενικών σημείων (z1, z2, . . . , zN+1), όπου (z1, . . . , zN+1)

6= (0, . . . , 0), και επιβάλλουμε μια σχέση ισοδυναμίας (z1, . . . , zN+1) ∼ λ(z1, . . . , zN ), όπου

λ ∈ C− 0. Δηλαδή τα δυο σημεία (z1, z2 . . . zN+1) και (λz1, λz2 . . . λzN+1) ταυτίζονται.

Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας σχηματίζει την πολλαπλότητα CP (N).


Τα σημεία (z1, . . . , zN ) και λ(z1, . . . , zN ) όπου λ2 = 1/∑N+1

i=1 |zi|2ανήκουν στην ίδια

κλάση. Τα κανονικοποιημένα σημεία ανήκουν στη σφαίρα S2N+1. Επειδή όμως δύο κανον-

ικοποιημένα σημεία που διαφέρουν ως προς μια φάση ανήκουν επίσης στην ίδια κλάση,

παίρνουμε το πηλίκο

CP (N) =S2N+1

U(1)(D.2.1)

Συγκεκριμένα, μπορούμε να αντιστοιχίσουμε τις κλάσεις με το σύνολο των σημείων της

σφαίρας των οποίων το πρώτο στοιχείο z1 είναι πραγματικό.

Ο απλούστερος μιγαδικός προβολικός χώρος είναι ο χώρος CP (1) που ουσιαστικά

αποτελεί την σφαίρα Bloch S2 = S3/U(1).

D.3 ΄Ογκος Ν-διάστατης σφαίρας

Το γκαουσιανό ολοκλήρωμα δίνεται ως:

I =

∫ ∞−∞

e−x2dx = π

12

Ας κοιτάξουμε το γινόμενο N τέτοιων ολοκληρωμάτων:

I · I · I . . . I︸︷︷︸N φορές

= πN2 = ΩN−1

∫ ∞0

e−r2rN−1 dr

όπου ΩN−1 ο όγκος της μοναδιαίας σφαίρας SN−1

η οποία εμβαπτίζεται στις στον επίπεδο

χώρο RN . Εκτελώντας το ολοκλήρωμα με την βοήθεια της συνάρτησης γάμμα, Γ(N+1) =∫∞0 xNe−x dx, βρίσκουμε:

ΩN−1 =2π

N2

Γ(N2 )(D.3.1)

ή

ΩN =2π

N+12

Γ(N+12 )

(D.3.2)

Από την άλλη το χωρίο που περιβάλλει μια N − 1-διάστατη σφαίρα είναι η (N)-μπάλα.

Ο όγκος μιας N -μπάλας ακτίνας R δίνεται ως:

VN (R) =2π

N2

NΓ(N2 )RN (D.3.3)


Εάν N = 1, παίρνουμε τον μοναδιαίο κύκλο S1με περίμετρο 2π. Η δισδιάστατη μπάλα

είναι ένας δίσκος με εμβαδόν πR2.

Βιβλιογραφία

[1] Stephen Hawking. A Brief History Of Time. 10th Anniversary edition. Bantam,

1998.

[2] Leonard Susskind and James Lindesay. An Introduction to Black Holes, Infor-

mation and the String Theory Revolution.The Holographic Universe. 1st Edition.

World Scientific Publishing co. pte ltd, 2004.

[3] Andy Strominger. “Les Houches Lectures on Black Holes”. In: arXiv e-prints, hep-

th/9501071 (Jan. 1995), hep–th/9501071. arXiv: hep-th/9501071 [hep-th].

[4] Leonard Susskind. Black holes and holography course notes. PI mini-course. 2007.

url: http://www.perimeterinstitute.ca/images/files/black_holes_and_

holography_course_notes.pdf.

[5] Michael A. Nielsen. Quantum Computation and Quantum Information. 10th An-

niversary Edition. Cambridge University Press, 2011.

[6] J. J. Sakurai and Jim J. Napolitano. Modern Quantum Mechanics. 2 edition. Pear-

son, 2010.

[7] Mark Van Raamsdonk. “Lectures on Gravity and Entanglement”. In: Theoretical

Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields

and Strings. 2017, pp. 297–351. doi: 10.1142/9789813149441\_0005. arXiv: 1609.

00026 [hep-th].

[8] W.G. Unruh and Robert M. Wald. “Acceleration Radiation and Generalized Second

Law of Thermodynamics”. In: Phys. Rev. D 25 (1982), pp. 942–958. doi: 10.1103/

PhysRevD.25.942.

[9] S.W. Hawking. “Particle Creation by Black Holes”. In: Commun. Math. Phys. 43

(1975). Ed. by G.W. Gibbons and S.W. Hawking. [Erratum: Commun.Math.Phys.

46, 206 (1976)], pp. 199–220. doi: 10.1007/BF02345020.

[10] Jacob D. Bekenstein. “Black holes and entropy”. In: Phys. Rev. D 7 (1973), pp. 2333–

2346. doi: 10.1103/PhysRevD.7.2333.

146

https://arxiv.org/abs/hep-th/9501071

http://www.perimeterinstitute.ca/images/files/black_holes_and_holography_course_notes.pdf

http://www.perimeterinstitute.ca/images/files/black_holes_and_holography_course_notes.pdf

https://doi.org/10.1142/9789813149441\_0005

https://arxiv.org/abs/1609.00026


https://doi.org/10.1103/PhysRevD.25.942


https://doi.org/10.1007/BF02345020



[11] L. Susskind and J. Uglum. “Black Hole Entropy in Canonical Quantum Gravity

and Superstring Theory”. In: (1994). arXiv: hep-th/9401070 [hep-th].

[12] Andrew Strominger and Cumrun Vafa. “Microscopic origin of the Bekenstein-

Hawking entropy”. In: Phys. Lett. B 379 (1996), pp. 99–104. doi: 10.1016/0370-

2693(96)00345-0. arXiv: hep-th/9601029.

[13] A. Zee. Einstein Gravity in a Nutshell. 1st edition. Princeton University Press,

2013.

[14] Leonard Susskind, Larus Thorlacius, and John Uglum. “The Stretched horizon

and black hole complementarity”. In: Phys. Rev. D 48 (1993), pp. 3743–3761. doi:

10.1103/PhysRevD.48.3743. arXiv: hep-th/9306069.

[15] Leonard Susskind. “The World as a hologram”. In: J. Math. Phys. 36 (1995),

pp. 6377–6396. doi: 10.1063/1.531249. arXiv: hep-th/9409089.

[16] Gerard ’t Hooft. “Dimensional reduction in quantum gravity”. In: Conf. Proc. C

930308 (1993), pp. 284–296. arXiv: gr-qc/9310026.

[17] Don N. Page. “Average entropy of a subsystem”. In: Phys. Rev. Lett. 71 (1993),

pp. 1291–1294. doi: 10.1103/PhysRevLett.71.1291. arXiv: gr- qc/9305007

[gr-qc].

[18] Joseph Polchinski. “The Black Hole Information Problem”. In: (2016). arXiv: 1609.

04036 [hep-th].

[19] Juan M. Maldacena. “The Large N Limit of Superconformal Field Theories and

Supergravity”. In: (1997). arXiv: hep-th/9711200 [hep-th].

[20] Yasuhiro Sekino and Leonard Susskind. “Fast Scramblers”. In: (2008). arXiv: 0808.

2096 [hep-th].

[21] C. A. Ballon Bayona and Nelson R. F. Braga. “Anti-de Sitter boundary in Poincare

coordinates”. In: (2005). arXiv: hep-th/0512182 [hep-th].

[22] Edward Witten. “Anti-de Sitter space and holography”. In: Adv. Theor. Math.

Phys. 2 (1998), pp. 253–291. doi: 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2. arXiv: hep-

th/9802150.

[23] S.S. Gubser, Igor R. Klebanov, and Alexander M. Polyakov. “Gauge theory corre-

lators from noncritical string theory”. In: Phys. Lett. B 428 (1998), pp. 105–114.

doi: 10.1016/S0370-2693(98)00377-3. arXiv: hep-th/9802109.

[24] Edward Witten. “Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement

in gauge theories”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998). Ed. by L. Bergstrom

and U. Lindstrom, pp. 505–532. doi: 10.4310/ATMP.1998.v2.n3.a3. arXiv:

hep-th/9803131.


https://doi.org/10.1016/0370-2693(96)00345-0

https://doi.org/10.1016/0370-2693(96)00345-0




https://doi.org/10.1063/1.531249


https://arxiv.org/abs/gr-qc/9310026

https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.71.1291









https://doi.org/10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2



https://doi.org/10.1016/S0370-2693(98)00377-3


https://doi.org/10.4310/ATMP.1998.v2.n3.a3



[25] Leonard Susskind. “Three Lectures on Complexity and Black Holes”. In: (2018).

arXiv: 1810.11563 [hep-th].

[26] Adam R. Brown, Leonard Susskind, and Ying Zhao. “Quantum Complexity and

Negative Curvature”. In: (2016). arXiv: 1608.02612 [hep-th].

[27] Michael B. Green, John H. Schwarz, and Edward Witten. Superstring Theory:

Loop Amplitudes, Anomalies and Phenomenology, Vol. 2. 1st edition. Cambridge

University Press, 1987.

[28] Luis J. Boya, E.C.G. Sudarshan, and Todd Tilma. “Volumes of compact manifolds”.

In: Reports on Mathematical Physics 52.3 (Dec. 2003), pp. 401–422. issn: 0034-

4877. doi: 10.1016/s0034-4877(03)80038-1. url: http://dx.doi.org/10.

1016/S0034-4877(03)80038-1.

[29] Juan Maldacena and Leonard Susskind. “Cool horizons for entangled black holes”.

In: Fortsch. Phys. 61 (2013), pp. 781–811. doi: 10.1002/prop.201300020. arXiv:

1306.0533 [hep-th].

[30] Daniel Harlow and Patrick Hayden. “Quantum Computation vs. Firewalls”. In:

JHEP 06 (2013), p. 085. doi: 10.1007/JHEP06(2013)085. arXiv: 1301.4504

[hep-th].

[31] Ahmed Almheiri, Xi Dong, and Daniel Harlow. “Bulk Locality and Quantum Error

Correction in AdS/CFT”. In: JHEP 04 (2015), p. 163. doi: 10.1007/JHEP04(2015)

163. arXiv: 1411.7041 [hep-th].

[32] Douglas Stanford and Leonard Susskind. “Complexity and Shock Wave Geome-

tries”. In: (2014). arXiv: 1406.2678 [hep-th].

[33] Juan Maldacena and Douglas Stanford. “Remarks on the Sachdev-Ye-Kitaev model”.

In: Phys. Rev. D 94.10 (2016), p. 106002. doi: 10.1103/PhysRevD.94.106002.

arXiv: 1604.07818 [hep-th].

[34] Juan Maldacena, Stephen H. Shenker, and Douglas Stanford. “A bound on chaos”.

In: JHEP 08 (2016), p. 106. doi: 10.1007/JHEP08(2016)106. arXiv: 1503.01409

[hep-th].

[35] Juan M. Maldacena. “Eternal Black Holes in AdS”. In: (2001). arXiv: hep-th/

0106112 [hep-th].

[36] Joseph Polchinski, Leonard Susskind, and Nicolaos Toumbas. “Negative energy,

superluminosity and holography”. In: Phys. Rev. D 60 (1999), p. 084006. doi:

10.1103/PhysRevD.60.084006. arXiv: hep-th/9903228.

[37] Maximo Banados, Claudio Teitelboim, and Jorge Zanelli. “The Black hole in three-

dimensional space-time”. In: Phys. Rev. Lett. 69 (1992), pp. 1849–1851. doi: 10.

1103/PhysRevLett.69.1849. arXiv: hep-th/9204099.



https://doi.org/10.1016/s0034-4877(03)80038-1

http://dx.doi.org/10.1016/S0034-4877(03)80038-1

http://dx.doi.org/10.1016/S0034-4877(03)80038-1

https://doi.org/10.1002/prop.201300020


https://doi.org/10.1007/JHEP06(2013)085



















Βιβλιογραφία 149

[38] Stephen H. Shenker and Douglas Stanford. “Black holes and the butterfly effect”.

In: (2013). arXiv: 1306.0622 [hep-th].

[39] Daniel A. Roberts, Douglas Stanford, and Leonard Susskind. “Localized shocks”.

In: (2014). arXiv: 1409.8180 [hep-th].

[40] Nicolaos Toumbas, Xristos Kallidonis, and Kyriakos Hatzigiannakou. Lecture Notes

PHYS 405: Cosmology and General Relativity.

[41] Sean Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. 1st

Edition. Pearson, 2003.

[42] Michio Kaku. Quantum Field Theory: A Modern Introduction. 1st Edition. Oxford

University Press, 1993.

[43] David J. Griffiths. Introduction to Quantum Mechanics. 2nd Edition. Pearson Pren-

tice Hall, 2004.

[44] Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder. An Introduction To Quantum Field

Theory. 1st Edition. Avalon Publishing, 1995.

[45] Joseph Polchinski. String Theory, Vol. 2. 1st Edition. Cambridge University Press,

2005.



Documents

· Perieqìmena Euqarist—ec ii L—sta Eikìnwn vii L—sta Pin‹kwn x SÔsthma mon‹dwn kai sumb‹seic xi 1 Eisagwg€ stic MaÔrec TrÔpec 1 1.1 Klassik€ prosŁggish maÔrhc