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lazzaro-sasso
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Permutazioni
• Permutare = cambiare l’ordine in cui gli oggetti o numeri sono disposti
• Le permutazioni possono essere composte; esempio
• L’insieme delle permutazioni di 3 elementi costituisce un gruppo
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Proprietà di gruppo
• L’operazione è associativa (3*2)*5=3*(2*5)• Esiste un particolare elemento, l’identità, che
composto con gli altri sia a destra che a sinistra li lascia invariati
• Ogni elemento ha un inverso, ossia un elemento che composto con esso sia a destra che a sinistra dà come risultato l’identità
Non gode della proprietà commutativa
Isometrie
Nel piano o nello spazio, un’isometria è un’applicazione s che
conserva le distanze tra due punti.
Esempi di isometrie sono: riflessioni, rotazioni, traslazioni,
glissoriflessioni.
Permutazioni-isometrie
• Come le permutazioni costituiscono un gruppo, è così anche per le isometrie
• Le isometrie dei poligoni (rettangolo, quadrato, triangolo equilatero) possono essere viste come permutazioni dei loro vertici
Isometrie dello spazio
• Riflessioni (rispetto a un piano)• Rotazioni (rispetto a un asse)• Traslazioni• Glissoriflessioni (le composizioni di una riflessione con una
traslazione in direzione parallela al piano di simmetria della riflessione)
• Glissorotazioni (le composizioni di una rotazione con una traslazione parallela all’asse di rotazione)
• Riflessioni rotatorie (le composizioni di una rotazione con la riflessione rispetto a un piano perpendicolare all’asse di rotazione)
I gruppi associati alle simmetrie dello spazio sono 230.
I reticoli
Reticolo nel piano Reticolo nello spazio
Fregi
I fregi sono un gruppo di isometrie che contiene solo una traslazione,
rotazioni e riflessioni.
I gruppi possibili sono 7.
Tassellazioni
I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni del
piano sono 17.
L’esempio più significativo sono quelle di Penrose.
Città con Scacchi
Il Pesce-Uccello