Persamaan Diferensial Stokastik dan Beberapa · PDF fileApa artinya dan formulasi matematika dari : ... Diberikan sebuah fungsi kontinu f(t;x) dengan turunan-turunan parsial yang kontinu

Persamaan Diferensial Stokastik

dan Beberapa Penerapannya

Herry Pribawanto Suryawan

3. April 2014

Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 1 / 24

Isi Presentasi

Motivasi

Derau Putih dan Gerak Brown


Beberapa Penerapan


Motivasi


Model Pertumbuhan Populasi

Model Malthus (1798):

dN(t)

dt= rN(t) N(0) = N0 > 0

Tidak realistis!

Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):

dN(t)

dt= rN(t)

(1− N(t)

K

), N(0) = N0 > 0

Penyelesaian:

N(t) =N0K

N0 + (K − N0)e−rt

dan perilaku jangka panjang (long time behaviour)

limt→∞

N(t) = K .


Beberapa cara untuk memperbaiki model logistik:

1 Persamaan logistik yang dimodikasi:

dN(t)

dt= rN(t)

(N(t)

L− 1

)(1− N(t)

K

), 0 < L < K , N(0) = N0 > 0

2 Laju pertumbuhan takkonstan:

dN(t)

dt= r(t)N(t)

(1− N(t)

K

), N(0) = N0 > 0

3 Persamaan logistik stokastik (mempertimbangkan adanya derau (noise)):

dNt

dt= rNt

(1− Nt

K

)+ αNt · Dt

N0 = Y > 0

Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau Dt , hanya distribusi peluang dari Dt

yang diketahui.


kurva logistik deterministik vs stokastik

deterministik:

stokastik:


Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul

Apa artinya dan formulasi matematika dari:

Kuantitas acak Nt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)

Keluarga kuantitas acak (Nt)t≥0 yang diindeks oleh waktu t => prosesstokastik (stochastic processes)

Derau Dt => derau putih Gaussian (Gaussian white noise) (turunan darigerak Brown)

Integral stokastik ∫ T

0

Nt · Dt dt

=> integral Ito atau integral Stratonovich

Persamaan diferensial stokastik

dNt

dt= rNt

(1− Nt

K

)+ αNt · Dt

=> persamaan integral stokastik


Derau Putih dan Gerak Brown


Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih

1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan

2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown

3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaanpanas/difusi

4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown

5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown)

6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsitipe Eropa dalam keuangan

7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (whitenoise analysis)

8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanikakuantum dengan analisis derau putih

9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumusBlack-Scholes

10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerakBrown dimensi tinggi


Derau Putih (White Noise)

Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yangrusak (corrupted)

Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yangdapat didengar dengan intensitas yang sama

Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrumyang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahayaputih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.

Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasimatematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadakdan sangat besar.

Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwaderau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.


Gerak Brown:

Derau Putih:


Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt)t≥0 yang terdenisi pada sebuahruang peluang (Ω,F ,P) sehingga:

1 B0 = 0 P-hampir pasti

2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments)

3 Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed)

4 P-hampir pasti t 7→ Bt(ω) kontinu

Partikel Brownian tidak memiliki laju:

Bt+ε − Bt

ε∼ N (0,

1

ε) =⇒ dBt

dt= limε→0

Bt+ε − Bt

εtidak ada!

Fakta:

Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifatkontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan

Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal

Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori

Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilitik dan analitiknyarelatif mudah


Proses stationer lemah adalah proses stokastik (Xt)t≥0 dengan sifat:

1 E(Xt) = m

2 E((Xt+u −m)(Xu −m)) = F (t)

F positif denit dan F (0) = E(Xu −m)2 = σ2. Dengan asumsi F kontinu,teorema Bochner memberikan

F (t) =

∫Re itx f (x) dx .

Derau putih adalah sebagai proses Gaussian stationer lemah sehingga fungsikepadatan spektralnya f konstan. Akibatnya, σ2 =∞.Derau putih adalah proses Gaussian Dt yang saling bebas pada waktu yangberbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi ∞, dalamarti:

E(DtDs) =

∫Re i(t−s)x dx = δ(t − s)

(secara matematika, kedua denisi di atas belum bisa diterima 100 persen)

Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teoridistribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektortopologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).




Contoh

Persamaan Langevin

dXt = −bXt dt + a dBt , X0 = x0

Solusi PDS ini adalah proses Ornstein-Uhlenbeck

Xt = e−btx0 + a

∫ t

0

e−b(t−u) dBu

Persamaan Logistik Stokastik

dNt = rNt

(1− Nt

K

)dt + αNt dBt , N0 = Y > 0

Solusi PDS ini adalah proses Logistik

Nt =e(rK−

12α

2)t+αBt

Y−1 + r∫ t

0e(rK−

12α

2)s+αBs ds


Secara umum: Persamaan diferensial stokastik

dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt)Dt dt, X0 = Y

dituliskan sebagai

dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt) dBt , X0 = Y

dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integralstokastik

Xt = Y +

∫ t

0

f (s,Xs) ds︸︷︷︸integral deterministik

+

∫ t

0

σ(s,Xs) dBs︸︷︷︸integral stokastik

integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock,dsbintegral stokastik : integral Ito, integral Stratonovich, integral Russo-Vallois, dsb


Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito

Theorem

Misalkan f (t, x) dan σ(t, x) adalah fungsi-fungsi terukur pada [0,T ]× R yangmemenuhi kondisi Lipschitz dan kondisi membesar secara linear dalam peubah x ,dan Y adalah peubah acak yang teradaptasi terhadap F0 dengan E(Y 2) <∞.Maka persamaan integral

Xt = Y +

∫ t

0

f (s,Xs) ds +

∫ t

0

σ(s,Xs) dBs

mempunyai sebuah solusi kontinu yang tunggal. Lebih lanjut solusi ini adalahsebuah proses Markov.

Alat penting lainnya: Rumus ItoDiberikan sebuah fungsi kontinu f (t, x) dengan turunan-turunan parsial yang

kontinu ∂f∂t ,

∂f∂x , dan

∂2f∂x2 , maka

f (t,Bt) = f (0,B0) +

∫ t

0

∂f

∂x(s,Bs) dBs +

∫ t

0

(∂f

∂t(s,Bs) +

1

2

∂2f

∂x2(s,Bs)

)ds


Beberapa Penerapan


Penyaringan Stokastik (stochastic ltering)

Keadaan sistem (proses input) Xt pada setiap waktu t:

dXt = α(t) dBt + β(t)Xt dt,X0 pada saat t = 0,

α(t), β(t) fungsi deterministik, Bt gerak Brown, distribusi awal X0 salingbebas dengan Bt

Observasi (proses output) Zt dari sistem pada waktu t:

dZt = f (t) dWt + g(t)Xt dt, Z0 = 0,

f (t), g(t) fungsi deterministik, Wt gerak Brown yang saling bebas dengan Bt

dan X0

Masalah penyaringan: berdasarkan nilai-nilai yang teramati Zs , 0 ≤ s ≤ t,bagaimana menentukan estimator terbaik Xt dari keadaan Xt dari sistempada waktu t?


Penyelesaian dengan menggunakan metode kesalahan rata-rata kuadrat

terkecil (least mean square error method):

Dicari estimator Xt yang meminimalkan kesalahan rata-rata kuadrat:

Rt := E((

Xt − Xt

)2)≤ E

((Xt − Y )2

)untuk setiap peubah acak Y ∈ L2(P) yang terukur terhadap aljabar-σ

FZt := σ Zs : s ≤ t .

Estimator Xt adalah proyeksi ortogonal dari Xt ke ruang Hilbert L2(FZt ) dan

berlakuXt = E

(Xt

∣∣FZt

)Jadi, ekspektasi bersyarat adalah estimator terbaik untuk keadaan Xt darisistem berdasarkan observasi Zs , 0 ≤ s ≤ t.

Bagaimana menentukan E(Xt

∣∣FZt

)?


Theorem (Kalman-Bucy)

Jika

1 keadaan Xt dari sebuah sistem diberikan oleh dXt = α(t) dBt + β(t)Xt dt,

2 distribusi initial X0 saling bebas dengan gerak Brown Bt dan memilikirata-rata µ0 dan variansi σ2

0

3 Observasi Zt dari sistem diberikan oleh dZt = f (t) dWt + g(t)Xt dt, Z0 = 0,dengan gerak Brown Wt saling bebas dengan Bt dan X0,

maka ekspektasi bersyarat Xt = E(Xt

∣∣FZt

)adalah penyelesaian dari persamaan

diferensial stokastik

dXt =g(t)Rt

f (t)2dZt +

(β(t)− g(t)2Rt

f (t)2

)Xt dt, X0 = µ0,

dengan Rt adalah penyelesaian persamaan Riccati

dRt

dt= α(t)2 + 2β(t)Rt −

g(t)2

f (t)2R2

t , R0 = σ20.

Lebih lanjut, Rt = E(

(Xt − Xt)2

).


Penerapan lainnya dari Gerak Brown, derau putih dan PDstokastik

Matematika keuangan (dinamika harga saham/aset berharga/nilai kursvaluta asing, dsb)

Rangkaian listrik dengan derau

Pergerakan acak dari (mikro)organisme

Masalah turbulensi dalam dinamika uida (persamaan Navier-Stokesstokastik)

Pemodelan polimer pada sika

Integral Feynman dalam mekanika kuantum

Transformasi Fourier dimensi takhingga

Masalah Dirichlet dalam persamaan diferensial parsial

dsb


Daftar Pustaka

B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005

I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed,Springer, 1999

J.M. Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001

P. Kall and J. Mayer. Stochastic Linear Programming, 2nd ed. Springer, 2011

J. Xiong. An Introduction to Stochastic Filtering Theory, OUP, 2008

M. Bachar, et al. Stochastic Biomathematical Models, Springer, 2013

P. Kloeden and E. Platen. Numerical Solution of SDEs, Springer, 1992

R. Khasminskii. Stochastic Stability of Dierential Equations, 2nd ed.Springer, 2012

C. Prevot and M. Röckner. A Concise Course on Stochastic PartialDierential Equations, Springer, 2007

T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An InniteDimensional Calculus, Kluwer, 1993


Terima kasih


Documents

Persamaan Diferensial Stokastik dan Beberapa · PDF fileApa artinya dan formulasi matematika dari : ... Diberikan sebuah fungsi kontinu f(t;x) dengan turunan-turunan parsial yang kontinu