Upload
salam10
View
797
Download
85
Embed Size (px)
Citation preview
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
1/18
MAKALAH ANALISIS REGRESI
REGRESI POLINOMIAL
KELOMPOK 4 :
ACHMAD SYAIFUL MUTAQIN ( 11.6505)
DIDCY MAI HENDRI (11.6616)
HANIN RAHMA SEPTINA (11.6687)
KIKY CLAUDIA NAWAJI (11.6746)
NIA RATRI ARUM SARI (11.6814)
RETNO SARI MUMPUNI (11.6859)
YUNITA KRISTY (11.6971)
SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK
TAHUN 2013-2014
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
2/18
1. Persamaan Regresi Polinomial
Regresi polynomial merupakan suatu metode yang digunakan untuk
mencari nilai-nilai koefisien , , ,…, pada persamaan pendekatan
kurva regresi dalam regresi polynomial. Sebagaimana dalam metode regresi
linear sederhana, kurva tersebut digunakan untuk menggambarkan
hubungan/korelasi antara sejumlah pasangan data X dan Y.
Sebagai ilustrasi, jika N menyatakan cacah pasangan data yang akan
dihitung harga koefisien-koefisien regresinya, yaitu sebagai berikut:
Data I
1 2 3 … N
Xi X1 X2 X3 … X N
Yi Y1 Y2 Y3 … Y N
Persamaan regresi polinomial dinotasikan sebagai berikut ini :
Ì‚
Keterangan:
M : Menunjukkan orde persamaan regresi polinomial ada kurva regresi
X0 : 1
Dalam menentukan persamaan regresi polynomial, kita harus tahu terlebih dahulu
berapa variable bebas dan order yang digunakan. Adapun macamnya dalam
regresi polinomial:
a) 1 Variabel – orde kedua yakni 1 variabel independen muncul pada
pangkat pertama dan pangkat kedua (kuadrat).
Model yang digunakan adalah :
Dimana Ì…
b)
1 Variabel – orde tiga
Model yang digunakan adalah :
Dimana Ì…
c) 1 Variabel – orde tinggi
Hal ini jarang digunakan karena Interpretasi dari koefisien menjadi sulit
untuk model ini.
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
3/18
d) 2 Variabel – orde dua
Model yang digunakan adalah :
Dimana Ì…
Ì…
e)
3 Variabel – orde dua
Model yang digunakan adalah :
Dimana Ì…
Ì…
Ì…
2. Asumsi yang mendasari Model Regresi Linier Berganda
a.
Model regresi bersifat linier
b. X diasumsikan nonstokastik
c.
Nilai rata-rata kesalahan adalah nol atau E ( i ) = 0
d.
Homoskedastisitas, artinya varian kesalahan sama untuk setiap periode
dinyatakan dalam bentuk matematis,Var ( i │ Xi) = 2
e.
Tidak ada autokorelasi antar kesalahan (antara i dan j tidak ada
korelasinya),
f. Antara dan X saling bebas, sehingga covarians ( X ) = 0
g. Tidak ada multikolinieritas yang sempurna antar variabel bebas.
h.
Jumlah observasi n harus lebih besar daripada jumlah parameter yang
diestimasi (jumlah variabel bebas).
i. Adanya variabilitas dalam nilai X , artinya nilai X harus berbeda.
j.
Model regresi telah dispesifikasikan secara benar dengan kata lain tidak
ada bias (kesalahan) spesifikasi dalam model yang digunakan dalam
analisis empiris.
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
4/18
Regresi Polinomial Berganda
Regresi polinomial merupakan model regresi linier yang dibentuk dengan
menjumlahkan pengaruh masing-masing variabel prediktor (X) yang
dipangkatkan meningkat sampai orde ke-k. Secara umum, model regresi
polinomial ditulis dalam
bentuk :
Ì‚
Dimana :
Y = variabel respons
β0 = intersep
β1 , β2 , …. , β3 = koefisien-koefisien regresi
X = variabel prediktor
ε = faktor pengganggu yang tidak dapat dijelaskan oleh model regresi.
Model diatas menunjukkan bentuk modifikasi dari model regresi linier
berganda, dimana X1=X, X2=X2,…, XM=XM
Penggunaan Model Polinomial
Model regresi polinomial memiliki dua tipe dasar, yaitu digunakan:
1.
Ketika fungsi respon curvilinear itu memang merupakan fungsi polinom.
2.
Ketika fungsi respon curviliear sebenarnya tidak diketahui (atau
kompleks) tetapi fungsi polinomial adalah pendekatan yang baik untuk
fungsi yang benar.
Pada poin 2 di atas, di mana fungsi polinomial digunakan sebagai
pendekatan ketika bentuk fungsi respon curvilinear yang sebenarnya tidak
diketahui, sangat umum terjadi. Hal ini dapat dipandang sebagai pendekatan
nonparametrik untuk memperoleh informasi tentang bentuk fungsi respon.
Resiko menggunakan model regresi polinomial, seperti akan kita lihat, adalah
bahwa ekstrapolasi mungkin beresiko dengan model ini, terutama dengan
tingkat persyaratan yang tinggi.
Model regresi polinomial dapat memberikan kecocokan data yang baik,
tetapi dapat berubah ke arah yang tak terduga ketika diekstrapolasi di luar
jangkauan data.
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
5/18
3. Contoh dengan 1 variabel independen
Seorang analisis sebuah kafetaria ingin melihat hubungan antara jumlah
dispenser kopi otomatis dan penjualan kopi.
14 kafetaria yang memiliki persamaan dalam hal volume bisnis, jenis
pelanggan dan lokasi untuk percobaan. Jumlah dispenser diletakkan pada
kafetaria yang bervariasi dari 0 hingga 6 diletakkan secara acak pada setiap
kafetaria.
Analis percaya bahwa hubungan antara penjualan dengan jumlah dispenser
otomatis berbentuk kuadrat. Penjualan akan naik jika jumlah dispenser
semakin banyak. Tetapi jika jarak dispenser berantakan maka kenaikannya
akan melambat.
Model tersebut disesuaikan dengan model kuadrat :
dimana
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
6/18
Fungsi regresi yang sesuai adalah :
Ì‚
Plot Fungsi Respon dari persamaan diatas
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
7/18
Analisis Residual
Plot Residual untuk penjualan kopi pada kafetaria
Dapat disimpulkan bahwa normal error model dengan varians konstan, sesuai
untuk digunakan.
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
8/18
4. Contoh dengan 2 variabel independen
Model regresi :
Yi = β0 + β1 x i1 + β2 xi2 + β11 x2 i1 + β22 x2 i2 + β12 xi1 x i2 + εi
Dimana :
Ì…
Ì…
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
9/18
Tes untuk keadaan efek interaksi yang melibatkan alternative
Untuk level signifikansi α = .05, kita mendapatkan F(.95;1,12) = 4.75 dimana
F*= 2≤ 4.75 dapat diambil keputusan untuk tolak H0 dan dapat disimpulkan
bahwa tidak ada interaksi.
Selain dengan menggunakan uji di atas, peneliti juga dapat menggunakan uji
lain, yaitu uji t.
Model tanpa interaksi :
Yi = β0 + β1 x i1 + β2 xi2 + β11 x2 i1 + β22 x2 i2 + εi
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
10/18
Tapi peneliti masih berharap untuk memeriksa apakah efek kuadrat untuk
menghindari resiko itu ada. Tes ini dapat dilakukan dengan menggunakan uji F
parsial tanpa memasangkan model baru. Kita memanfaatkan definisi dari
SSR(x1x2| x1,x2,x21,x22):
Untuk level signifikansi α = .05, kita mendapatkan F(.95;1,13) = 4.67 dimana
F*= .93≤ 4.67 dapat diambil keputusan untuk tolak H0 dan dapat disimpulkan
bahwa tidak ada efek kuadratik untuk menghindari resiko.
Maka dapat dibuat model baru :
Yi = β0 + β1 x i1 + β2 xi2 + β11 x2 i1 + εi
Dimana :
Ì…
Ì…
Dengan memasangkan model ini ke data, dapat dibuat estimasi model respon
sbb :
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
11/18
Ì‚
Dalam original unit :
Ì‚
5. Pendugaan, Pengujian Parameter-Parameter dan Penafsirannya
H0: E(Y) = β0+β1x+β11x2
Ha: E(Y) ≠β0+β1x+β11x2
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
12/18
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
13/18
Fungsi regresi yang sesuai adalah :
Ì‚
Catatan:
Ì… Ì…
Dengan d.o.f SSPE-nya adalah 14-7=7. Sehingga
diperoleh:
Dengan d.o.f SSLF yaitu 7-3 = 4, diperoleh
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
14/18
Uji Statistik
Dengan α=5%, F(0,95:4,7) = 4.12
Karena F*=2.32 ≤ 4.12, maka terima H0, dan fungsi respon dapat dikatakan
cocok.
Ketika β11=0
Uji t:
Dengan α=5%, t(0,975;11) = 2.201
Jika |t*| ≤ 2.201, terima H0
Jika |t*| > 2.201, terima Ha
Dari perhitungan di atas diperoleh |t*|= 7.012>2.201, Terima Ha . karena
bentuk kuadrat tidak ada, maka bentuk kuadrat harus dipertahankan.
Uji Parsial F
Dengan α=5%, F(0.95;1,11)=4,84.
Diperoleh F*=49,2>4.84, Terima Ha sama seperti uji t.
Catatan:
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
15/18
Estimasi Koefisien Regresi
Analisis selanjutnya berharap untuk mendapatkan batas kepercayaan pada
dua koefisien regresi β1 dan β11 sebesar 0.90. Metode Bonferroni:
Dari tabel anova sebelumnya , diperoleh:
Interval kepercayaan Bonferroni:
atau
atau
Koefisien Multiple Determinasi
Berikut perhitungan koefisien multiple determinasi berdasarkan tabel
anova di atas:
Angka ini menunjukkan bahwa variasi dalam kopi penjualan dikurangi
dengan 99,6 persen bila hubungan kuadrat jumlah mesin dispensing digunakan.
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
16/18
Dicatat bahwa koefisien determinasi berganda R 2 adalah ukuran yang relevan
di sini, bukan koefisien determinasi r 2 sederhana, karena model (9.10) adalah
model regresi berganda meskipun hanya berisi satu variabel independen.
kadang-kadang dalam regresi lengkung, koefisien korelasi r beberapa disebut
indeks korelasi.
Estimasi respon rat-rata
Xh=3 mesin dispensing, dengan tingkat kepercayaan 98%. Sebagai contoh,
xh=Xh- Ì…=3-3=0, diperoleh:
Estimasi respon rata-rata
Substitusi :
atau
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
17/18
Fungsi Regresi dalam X
Analisis akan merumuskan fungsi regresi dalam bentuk X daripada deviasinya
x = X - Ì…
Koefisien dalam persamaan regresi polinomial menunjukkan koefisien baru
dalam bentuk X :
Sebagai contoh, ketika Ì… dapat diperoleh :
Sehingga model regresi yang tepat adalah :
nilai dan residual yang sesuai untuk fungsi regresi dalam bentuk X adalah sama
untuk fungsi regresi dalam bentuk simpangan x.
alasan untuk menggunakan model regresi 9.10 yang dituliskan dalam bentuk
deviasi x untuk menghindari kesulitan penghitungan disebabkan multikolinear
antara x dan x kuadrat melekat dalam regresi polinomial.
8/18/2019 Persamaan Regresi Polinomial Kelompok 4
18/18