Matematika Diskrit

PENGERTIAN FUNGSIDefinisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong.

Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

ATURAN :setiap anggota A harus habis terpasang dengan

anggota B.tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

A B

ILUSTRASI FUNGSI

A f B

Input Kotak hitam Output

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,B disebut kodomain. Elemen a ε A disebut argumen dan f(a) εB dise-but bayangan(image) dari a.

Himpunan Rf:= { y ε B : y = f(x) untuk suatu x ε A } disebut daerahjelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ε A maka himpunanf(S) := { f(s) : s ε S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.

A B

GRAFIK FUNGSIMisalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah

himpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a A}∈Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2},

fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

A

B

CONTOH FUNGSI1. Fungsi kuadrat f : R R, dimana f(x) := x→ 2+x+1.2. Fungsi nilai mutlak f : R R→ + , dimana

fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia→ maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A Z→ + dimana f(x) = banyak koma yang ada

pada buku x.5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

<−≥

=0 jika

0 jika :)(

xx

xxxf

FUNGSI FLOORING dan CEILING1. Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang

kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = x .⌊ ⌋

2. Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = x .⌈ ⌉CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling:⌊0.5 = 0, 0.5 = 1,⌋ ⌈ ⌉ -0.5 = -1, ⌊ ⌋ -0.5 = 0⌈ ⌉ [3.1 = 3, 3.1 = 4,⌋ ⌈ ⌉ 6 = 6, ⌊ ⌋ 6 = 6.⌈ ⌉

Grafik flooring Grafik ceiling

SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING1. ⌊x = n bila n ≤ x < n+1 ⌋2. ⌈x = n bila n-1< x < n⌉3. ⌊x = n bila x-1 < n ≤ x⌋4. ⌈x = n bila x ≤ n < x+1⌉5. x-1 < x ≤ x ≤ x < x+1⌊ ⌋ ⌈ ⌉6. ⌈-x = - x ⌉ ⌊ ⌋7. ⌊-x = - x⌋ ⌈ ⌉8. ⌊x+n = x +n⌋ ⌊ ⌋9. ⌈x+n = x + n⌉ ⌊ ⌋

⌊3.0 = 3 (n)⌋⌊3.999 = 3 ⌋⌊4.0 = 4⌋

Sifat-1 ⌊x = n bila n ≤ x < n+1 ⌋

⌈3.0 = 3⌉⌈3.001 = 4⌉⌈3.999 = 4⌉⌈4.0 = 4⌉⌈4.001 = 5⌉

Sifat-2 : ⌈x = n bila n-1< x ≤ n⌉

CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.

PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan 100/8 = 12.5 = 13 byte.⌈ ⌉ ⌈ ⌉

CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.

PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar

500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu

⌊300,000,000/424 = 70,754 ATM.⌋

OPERASI ALJABAR FUNGSIMisalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g

didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).

Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4.

Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya.

Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)

Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila

[f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)].

Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:

∀x y [f(x) = f(y) ∀ x = y] atau x y [x y → f(x) f(y)]∀ ∀

maka fungsi f disimpulkan satu-satu. Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak

satu-satu.

A B A B

satu-satu tidak satu-satu

CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.

CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x2 satu-satu ?

PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh

x + 5 ≠ y + 5 g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)

Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B ∈terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis ∈terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:

∀y B x A sehingga y = f(x)∈ ∃ ∈maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x)≠ y∈ ∈maka f tidak surjektif.

A B A B

kepada tidak kepada

CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif ?

PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.

CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?

PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka

y = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

FUNGSI BIJEKTIFFungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada

fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.

PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

A B

fungsi bijektif

INVERS FUNGSIMisalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang

mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana

f -1 : B → A. DKL,

y = f(x) ↔ x = f -1 (y)

Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

A B

b=f(a)f(a)

f -1(b)

f -1(b)=a

CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel

dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.

PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif

maka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSIMisalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f dan g,

dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)). Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi

f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.

A B C

⊂

g f

f◦g

Latihan….Misalkan R={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,1)} dan S adalah

relasi {(2,1),(3,1),(3,2),(4,2),(4,2)}. Tentukan S º R dan R º S .