Tugas 1

Teori Graf

PEWARNAAN GRAF

NURKAMILA JAFAR (H12112014)

Prodi Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

6 April 2014

PEWARNAAN GRAF

A. Permasalahan 4 Warna

Teorema Permasalahan 4 warna adalah salah satu teorema pewarnaan graf yang

menyatakan bahwa pada setiap bidang yang terpisah dalam berbagai wilayah seperti

Negara-negara dalam peta wilayah dapat diwarnai dengan maksimum empat warna sesuai

syarat pewarnaan graf.

Teorema permasalahan 4 warna :

Bilangan kromatik dari graph planar tidak lebih dari empat warna, sehingga setiap dual

daerah yang berdekatan memiliki warna yang berbeda.

Pembuktian Graf planar sederhana

Menurut De Morgan bahwa tidak ada lebih dari empat wilayah pada sebuah bidang

dapat saling kontak satu sama lain. Peta yang terdiri dari tiga wilayah adalah sebuah

segitiga dan bila ditambahkan satu wilayah lagi maka itu akan ditunjukkan oleh sebuah

simpul lagi. Simpul ini harus diletakkan di dalam segitiga agar menunjukkan setiap wilayah

saling berdampingan (adjoint). Hasil penggambaran kondisi ini adalah sebuah graf planar.

Gambar 1: Sebuah graf planar (V = 4, E = 6)

Bila simpul kelima ditambahkan, maka simpul itu hanya akan mencapai tiga dari

empat simpul lainnya, dikarenakan keempat simpul tadi sudah terhubung dengan tiga sisi

secara menyeluruh, sehingga membangun akses ke setiap simpul lainnya. Namun, tidak

adanya graf dengan lima simpul yang berdampingan tidak otomatis meniadakan graf yang

membutuhkan lima warna berbeda. Bila kita membuat jumlah maksimum hubungan antar

simpul pada sebuah graf planar, selalu didapatkan bidang graf yang terbagi menjadi

wilayah bersegitiga (triangular), yaitu wilayah yang dibatasi oleh tiga sisi dan

berhubungan hanya dengan tiga simpul. Dengan demikian, benarlah bahwa empat warna

cukup untuk semua graf seperti ini, dengan kata lain memiliki bilangan kromatik = 4.

Pembuktian yang Lebih Kompleks

Apabila jumlah simpul, sisi, dan wilayah berturutturut disimbolkan dengan V, E,

dan F, maka rumus Euler untuk bidang (atau ruang) adalah V E + F = 2. Setiap wilayah

pada graf planar sederhana dibatasi oleh tiga sisi, dan setiap sisi merupakan batas dari dua

wilayah, sehingga F = 2E/3, dan rumus Euler untuk graf planar sederhana menjadi E =

3V 6. Setiap sisi dihubungkan oleh dua simpul, sehingga jumlah total sisi terhubung

(attachment) dalam graf planar menjadi 2E = 6V 12, dan rata-rata jumlah sisi terhubung

persimpul adalah 6 12/V. Selanjutnya untuk semua graf, jumlah rata-rata sisi terhubung

per simpul adalah kurang dari enam. Ini mengimplikasikan bahwa berdasarkan rumus

Euler, tidak ada graf yang membutuhkan lebih dari enam warna. Lebih jauh lagi, dengan

sedikit pembuktian, kita akan mendapatkan bahwa tidak ada graf yang memiliki bilangan

kromatik lebih dari lima. Oleh karena itu, bila ada graf yang memerlukan lebih dari lima

warna, graf tersebut pasti memiliki lebih dari lima simpul. Sekarang lihat graf yang

mengandung sebuah simpul dengan lima simpul tetangga dengan lima warna yang berbeda,

seperti ilustrasi dibawah.:

Gambar 2: Graph mengandung simpul yang dikelilingi lima

simpul tetangga dengan warna berbeda

Karena simpul tengah tak berwarna memiliki lima tetangga dengan warna yang

berbeda, sepertinya kita membutuhkan warna ke enam ( = 6). Akan tetapi, kita bisa

mengubah urutan (transpose) warna biru dan hijau pada cluster-2 biru/hijau pada sisi kiri

atas pentagon, sehingga warna biru menjadi hijau dan hijau menjadi biru. Setelah

melakukan ini, simpul tengah tak berwarna akan memiliki tetangga dengan empat warna

berbeda dan kita dapat memberinya warna biru ( = 5). Rumus Euler masih meninggalkan

pertanyaan apakah harus membutuhkan lima warna, ataukah empat warna dapat

mencukupi. Perhatikan graf berikut.

Gambar 3: Graf mengandung simpul yang dikelilingi empat

simpul tetangga dengan warna berbeda

Simpul tak berwarna yang berada di tengah memiliki empat simpul tetangga dengan

empat warna yang berbeda. Ini memperlihatkan bahwa dibutuhkan warna ke lima. Tetapi,

dengan mengubah susunan warna biru dan kuning padacluster-2 diatas simpul tengah

(ditunjukkan dengan garis outline merah), kita akan mendapatkan simpul-simpul tetangga

hanya memiliki tiga warna berbeda (merah, hijau, biru). Simpul tak berwarna dapat diberi

warna kuning ( = 4). Kita sudah melihat bahwa tidak ada graf yang membutuhkan lebih

dari lima warna berbeda, menurut rumus Euler. Dengan menambah sisi, kita juga dapat

membuat planar semua graf pada simpul V sehingga seluruh wilayahnya bersegitiga dan

memiliki jumlah sisi terhubung tepat sebanyak 6V 12. Graf ini pastinya masih merupakan

graf minimal lima warna karena kita belum menaikkan jumlah simpulnya, dan menambah

sisi tidak dapat mengurangi jumlah warna yang dibutuhkan, mengingat tidak ada graf yang

membutuhkan lebih dari lima warna. Karena itu, misalkan a5, a6, a7,... menunjuk jumlah

simpul dengan 5, 6, 7 ,sisi terhubung berturut-turut, kita memiliki sebuah graf minimal

lima warna sedemikian rupa sehingga

6V - 12 = 5a5 + 6a6 + 7a7 + 8a8 + 9a9 ... (1)

dimana V = a5 + a6 + a7 + a8 + a9 Mensubstitusi ekspresi ini ke dalam persamaan diatas

dan meyusunnya kembali, kita mendapatkan

12 = a5 - a7 - 2a8 - 3a9 ...(2)

Ini menetapkan batasan yang cukup sulit terhadap berbagai graf minimal lima

warna. Sebagai contoh, bila kita memperhatikan sebuah gaf serupa yang tidak memiliki

lebih dari enam sisi terhubung pada setiap simpulnya, maka persamaan (2) menyatakan

secara tidak langsung bahwa a5 = 12. Dengan kata lain, sebuah graf planar minimal lima

warna dengan tidak lebih dari enam sisi terhubung per simpul, dipastikan memiliki tepat

12 simpul dengan lima buah sisi terhubung pada setiap simpulnya. Ini mengindikasikan

bahwa 12 simpul ini disusun secara global dalam bentuk sebuahicosahedron, dan sisa

simpul lainnya yang memiliki enam sisi terhubung per simpul tersusun dalam bentuk

segienam beraturan, mengisi wilayah dari icosahedron. Graf yang fundamental untuk tipe

seperti ini, dengan a6 = 0, ditunjukkan oleh gambar berikut.

Gambar 4: Graf icosahedron dengan a6 = 0

Hal ini membuktikan kebenaran dari Teorema Empat Warna.

B. Pewarnaan Simpul Suatu Graf

Pewarnaan simpul (vertex coloring) adalah memberi warna pada simpul-simpul

suatu graf sedemikian hingga tidak ada dua simpul bertetangga yang mempunyai warna

yang sama. Kita dapat memberikan sembarang warna pada simpul-simpul asalkan berbeda

dengan simpul- simpul tetangganya. Kita dapat memberikan sembarang warna pada

simpul-simpul asalkan berbeda dengan simpul- simpul tetangganya. Dalam pewarnaan

graf, kita tidak hanya sekedar mewarnai simpul-simpul dengan warna yang berbeda dengan

warna simpul tetangganya saja, namun kita juga menginginkan agar jumlah warna yang

digunakan sesedikit mungkin. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan untuk

mewarnai simpul simpul disebut bilangan kromatik dari graf G, yang dinotasikan dengan

() ( : dibaca chi). Gambar 5 memperlihatkan sebuah graf, dengan () = 3.

Gambar 5

Algoritma Welch-Powell dalam pewarnaan sutau graf G dapat diilustrasikan

sebagai berikut :

Urutkan semua simpul pada graf G berdasarkan derajat masing-masing simpul,

dari besar menjadi kecil. Urutan tersebut tidak unik karena beberapa simpul

mungkin mempunyai derajat yang sama.

Gunakan warna pertama untuk mewarnai simpul pertama dan simpul lain yang

berada pada urutan sepanjang simpul tersebut tidak bertetangga dengan simpul

sebelumnya.

Berikan warna kedua untuk mewarnai simpul pada urutan tertinggi (yang belum

diwarnai), lakukan seperti point sebelumnya.

Seperti point ketiga, dilakukan terus menerus sehingga setiap simpul pada graf

tersebut menjadi berwarna semua.

Algoritma Welch-Powell hanya memberikan batas atas untuk bilangan kromatik.

Dengan demikian, algoritma ini tidak selalu memberikan jumlah warna minimum yang

diperlukan dalam pewarnaan graf.

Contoh :

Gunakan algoritma Welch-Powell untuk pewarnaan graf berikut ini :

Derajat 4 3 3 3 2 1

Simpul B a c d f e

Dengan demikian, dapat dilakukan pewarnaan sebagai berikut :

Warna I untuk simpul : b, f

Warna II untuk simpul : a, d, e

Warna III untuk simpul : c

Contoh :

Perhatikan graf bipartit K3,3 :

Pewarnaan pada graf tersebut dapat dilakuakn dengan menggunakan dua warna, yaitu :

Warna I untuk simpul : a, b, c

Warna II untuk simpul : d, e, f

C. Pewarnaan Sisi Suatu Graf

Pewarnaan sisi (edge coloring), yaitu memberikan warna berbeda pada sisi graf

tanpa loop yang bertetangga sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga mempunyai

warna yang sama. Jika suatu graf mempunyai pewarnaan sisi-k, maka dikatakan sisi-sisi

di graf tersebut diwarnai dengan k warna.

Sama halnya dengan pewarnaan simpul, simpul sisi juga memiliki jumlah warna

minimum yang dapat digunakan untuk mewarnai sisi yang disebut bilangan kromatik dari

graf G, yang dinotasikan dengan () ( : dibaca chi).

Contoh :

Pada gambar 7(a), indeks kromatik = 3 karena minimum banyaknya warna untuk

mewarnai semua sisi pada gambar graph G adalah 3. Dan pada gambar 7(b), indeks

kromatik = 4 karena minimum bayaknya warna untuk mewarnai semua sisi pada gambar

graph G adalah 4.

Sikel dengan n titik, Cn mempunyai (Cn) = 2 jika n genap dan (Cn) = 3 jika

n ganjil

G G

(a) (a)

Gambar 7

Gambar 6

Untuk graph komplit dengan n titik, Kn diperoleh (Kn) = n 1 jika n genap dan

(Kn) = n jika n ganjil.

Teorema 1 : (Teorema Vizing)

Jika G graf sederhana maka (G) (G) (G) + 1

Bukti

Misalkan G graf sederhana dengan (G) = dan v V(G) dengan d(v) = .

Karena terdapat sisi G terkait di titik v, maka untuk memenuhi semua sisi tersebut

diperlukan sebanyak warna. Sehingga sikel dengan n titik, Cn mempunyai indeks

kromatik dengan (G) (G). Untuk membuktikan (G) (G) + 1, digunakan

induksi pada |E(G)| = m. Untuk m = 0, maka (G) = 0 dan (G) = 0. Sehingga (G)

= 0 0 + 1 = (G) + 1.

Asumsikan pernyataan benar untuk |E(G)| = m 1.

Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk |E(G)| = m.

Misalkan G graf sederhana dengan m sisi dan e = uv sebuah sisi G, maka graph G1=

G-e adalah graf sederhana dengan m-1 sisi. Berdasarkan asumsi, (G) (G) + 1.

Karena (G1) (G), maka (G1) (G) + 1. Ini berarti ada pewarnaan sisi ( (G) +

1) pada graph G1. Karena dG1(u) (G1) (G), maka ada paling sedikit satu warna dari

G + 1, warna tidak muncul pada sisi-sisi G1 yang terkait di titik v.

Kasus 1: Warna yang muncul di u dan v sama

Misalkan warna tidak muncul di u dan v dalam pewarnaan-( (G)+1) pada G1.

Maka sisi c di graph G dapat diwarnai dengan menggunakan warna , sehingga diperoleh

pewarnaan-( (G)+1) pada graph G, akibatnya (G) (G) + 1.

Kasus 2 : Warna yang tidak muncul di u berbeda dengan warna yang tidak muncul di v.

Misalkan warna tidak muncul di u dan warna tidak muncul di v. Klaim bahwa

ada sisi e1terkait dengan u di graph G1bewarna . Sebab jika tidak, maka warna tidak

muncul di u, padahal juga tidak muncul di v. Hal ini kontradiksi jadi haruslah ada sisi

e2terkait dengan v di graph G1 bewarna .

Selanjutnya, perhatikan graf bagian G1 yang dibangun oleh sisi-sisi bewarna dan

yaitu H(,). Kita tinjau dua subkasus.

Subkasus 2.1 : Sisi e1 dan sisi e2 terletak pada rantai yang berbeda.

Misalkan sisi e1 terletak pada rantai kempe K dan sisi e2 terletak pada rantai Kempe

L. Terapkan argumen rantai kempe pada K, akibatnya warna tidak muncul di titik u.

padahal warna dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graf G, sehingga diperoleh

pewarnaan-((G) + 1). Dengan demikian (G) (G) + 1.

Subkasus 2.2 : Sisi e1 dan sisi e2 terletak pada rantai Kempe H(,) yang sama.

Misalkan rantai Kempe K di H (,) memuat sisi e1 dan e2. Maka ada lintasan dari

titik u ke titik v di K pada graph G1 Misalkan ada sisi lain dari G1 yang bewarna terkait

di sebuah titik internal lintasan tersebut, misalnya titik w. Putus rantai k pada titik w yang

sisi terkaitnya dengan w berwarna sehingga diperoleh H(,) yang memuat rantai kempe

baru, namakan L.

Terapkan argumen rantai kempe pada L, sehingga warna tidak muncul di titik w.

Perhatikan K sudah terputus pada pewarnaan baru, selanjutnya terapkan argumen rantai

Kempe pada K, maka warna tidak muncul di titik u; padahal warna juga tidak muncul

di v, sehingga warna dapat digunakan untuk mewarnai sisi e pada graph G, akibatnya

diperoleh pewarnaan-sisi-((G) + 1) pada graph G. Dengan demikian (G) (G) + 1.

Jika tidak ada sisi bewarna yang terkait, maka K berupa lintasan. Putus lintasan tersebut

pada w, dan terapkan argumen rantai Kempe pada rantai tersebut, maka warna tidak

muncul di titik u. Karena warna juga tidak muncul di v, maka warna dapat digunakan

untuk mewarnai sisi e pada graph G. Sehingga diperoleh pewarnaan-sisi-((G) + 1) pada

graph G. Dengan demikian (G) (G) + 1.

Teorema 2

Jika G graf bipartisi dan tak kosong maka (G) = (G).