PF dio 03 str 89-166 - UNIOSfizika.unios.hr/~imiklavcic/wp-content/uploads/2012/02/PF-dio-03-str-89-166.pdfU gornji i donji red tablice 6.2 upišite oznake i pripadne mjerne jedinice

- 89 -

VJEŽBA 6

6.1 Ohmov zakon

Pribor: Voltmetar, ampermetar, izvor DC (s više izvoda), spojni vodovi, 3 otpornika.

Zadaci: 1. Grafički prikažite ovisnost I = f(U) za svaki pojedini otpornik.

2. Provjerite vrijedi li Ohmov zakon za dane otpornike te im metodom najmanjih

kvadrata odredite električni otpor.

3. Kako biste iz nagiba grafa odredili koji otpornik ima najmanji, a koji najveći

otpor?

Teorijska podloga

Električna struja je usmjereno gibanje nositelja naboja s jednog mjesta na drugo kroz

odreñeni presjek vodiča. Jakost struje, I, dana je kao kvocijent naboja koji proñe presjekom

vodiča u promatranom vremenskom intervalu,

,t

QI =

a izražava se u amperima (A). Nositelji naboja u metalima slobodni su elektroni, u

tekućinama i plinovima to su pozitivni i negativni ioni, a u poluvodičima elektroni i

elektronske šupljine.

Promatramo vodič duljine l i konstantnog presjeka S kojim teče struja jakosti I (Slika

6.1.1.). Neka su Va i Vb potencijali na krajevima vodiča. Zbog potencijalne razlike na

krajevima vodiča unutar vodiča postoji električno polje jakosti E, koje tjera elektrone na

usmjereno gibanje.

Slika 6.1.1.

- 90 -

Neka se svi elektroni gibaju konstantnom brzinom v. Za vrijeme ∆t elektroni prevale

udaljenost v∆t. Koliko je elektrona prošlo poprečnim presjekom vodiča u tom vremenu ∆t?

Onoliko koliko ih ima unutar volumena valjka visine v∆t. Neka je n broj slobodnih elektrona

u jedinici volumena žice. Količinu naboja koja proñe presjekom vodiča u vremenu ∆t

računamo na sljedeći način: elektrona ima nV, svaki elektron nosi naboj e, a volumen valjka

iznosi Sv∆t. Matematički zapisano:

dtvSendQ ⋅⋅⋅⋅=

Podijelimo li gornji izraz s vremenom dt, dobivamo izraz za jakost struje:

vSendt

dQI ⋅⋅⋅==

Podijelimo li gornju jednadžbu s površinom presjeka S, dobivamo jakost struje po jedinici

površine, tzv. gustoću struje vendS

dIJ ⋅⋅== . Gustoća struje J je vektorska veličina i

proporcionalna je srednjoj brzini gibanja nosilaca naboja (smjer vektora odreñen je smjerom

gibanja pozitivnog naboja).

Jednadžba vodljivosti

Zašto se gibaju elektroni unutar vodiča? Koliko dugo će vodičem teći struja? Vodičem

će teći struja sve dok postoji električno polje (odnosno gradijent potencijala na krajevima

vodiča). Jakost struje ovisi i o gustoći slobodnih nosioca naboja (karakteristika vodiča).

Eksperimenti pokazuju da djelovanjem istog električnog polja na različite vodiče dobivamo i

različite gustoće struje.

Definiramo novu fizikalnu veličinu, električnu provodnost κ (konduktivnost), kao omjer

gustoće struje J i jakosti električnog polja E koje je tu struju uzrokovalo:

EJE

J ⋅=⇒= κκ

Zadnju jednadžbu zovemo jednadžba vodljivosti. Provodnost κ je proporcionalna s

gustoćom struje, a ona ovisi o gustoći slobodnih elektrona u vodiču te o brzini kojom se oni

mogu gibati u vodiču. Provodnost κ danog materijala nije konstantna; ona se mijenja s

temperaturom, a može ovisiti i o drugim fizikalnim uvjetima.

- 91 -

Kako primijeniti jednadžbu vodljivosti u praksi? Teško. Niti provodnost κ niti jakost

električnog polja E ne možemo direktno mjeriti. Zbog toga prelazimo na jakost električne

struje i na gradijent potencijala, tj. koristimo sljedeće veze:

I dV

J ES dx

= = −

Jednadžba kontinuiteta postaje:

I dVJ E

S dxκ κ= ⇒ = −

Dobivamo novi izraz za jakost električne struje:

dVI S

dxκ= −

Neka je provodnost κ konstantna i neovisna o gustoći struje J. Pomnožimo gornji izraz s dx:

Idx SdVκ= −

Provedemo integraciju:

Idx SdVκ= − ∫

( )0

b

a

Vl

b a

V

I dx S dV Il S V Vκ κ⇒ = − ⇒ = − −∫ ∫

Konačno, dobivamo vezu izmeñu struje u vodiču i razlike potencijala na njegovim krajevima:

( )a b

SI V V

l

κ= − (6.1)

Definiramo novu fizikalnu veličinu, električnu vodljivost G, čija je jedinica simens (S):

SG

l

κ=

Recipročnu vrijednost električne vodljivosti zovemo električni otpor R, (jedinica električnog

otpora je om (Ω)) tj.:

1 l lR

S Sρ

κ= =

Pomoću G i R, izraz (8.1) pišemo u obliku:

( ) ( ) a ba b a b

S V VI V V G V V

l R

κ −= − = − =

Konačno, dobivamo Ohmov zakon:

a bV VI

R

−=

Riječima: "Jakost struje u vodiču razmjerna je razlici potencijala (naponu) na njegovim

krajevima (uz stalni otpor i temperaturu)."

- 92 -

Uputa:

Ostvarite shemu prema Slici 6.1.2. Za svaki od otpornika očitajte jakost struje

(ampermetrom) kroz otpornik i napon (voltmetrom) na krajevima otpornika (maksimalno 5

V). Vrijednosti unesite u Tablicu 6.1. Za svaki od otpornika nacrtajte I-U dijagram pa iz

nagiba pravca izračunajte otpor.

Slika 6.1.2

Tablica: 6.1.

1. otpornik 2. otpornik 3. otpornik

U I U I U I mjerenje

jedinica

V mA V mA V mA

1.

2.

3.

4.

5.

Odreñivanje otpora metodom najmanjih kvadrata:

U gornji i donji red tablice 6.2 upišite oznake i pripadne mjerne jedinice nezavisne i zavisne

varijable u pokusu koji ste izveli, slično kao za pokus 2.1.

- 93 -

Izračunajte omski otpor R otpornika 1 metodom najmanjih kvadrata.

Tablica 6.2.

Ako opća jednadžba pravca glasi , tada je jednadžba pravca za naš

slučaj _______________. Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b.

Izračun koeficijenta smjera pravca:

=a

=

Izračun odsječka na osi ordinati:

=b

=

Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti otpor R1?

=1R

=

Izračun ordinate za ucrtavanje pravca metodom najmanjih kvadrata:

U1 = I1 = = =

U5 = I5 = = =

bxay +⋅=

- 94 -


Tablica 6.3.




=a

=


=b

=


=2R

=


U1 = I1 = = =

U5 = I5 = = =

bxay +⋅=

- 95 -


Tablica 6.4.




=a

=


=b

=


=3R

=


U1 = I1 = = =

U5 = I5 = = =

bxay +⋅=

- 96 -

Grafički prikažite ovisnost struje I o naponu U

za sva tri otpornika na jednom milimetarskom papiru.

Graf 6.1. Ovisnost struje o naponu za otpornike 1, 2, 3

U zaključku odgovorite i na pitanje: Što možete zaključiti o veličini otpora i nagiba pravca iz

I - U grafova?

Zaklju čak:

- 97 -

6.2 Ovisnost električnog otpora vodiča o dimenzijama i

materijalu od kojeg su načinjeni

Pribor: Otporna klupa s žicama različitih presjeka i materijala (duljine 1 m), voltmetar,

ampermetar, izvor DC (baterija od 4,5 V), spojni vodiči, prekidač, promjenjivi

otpornik 100 Ω.

Zadatak: 1. Provjerite kako električni otpor ovisi o poprečnom presjeku vodiča.

2. Provjerite ovisi li električni otpor o duljini vodiča.

3. Provjerite ovisi li električni otpor vodiča o materijalu od kojeg je načinjen.

4. Grafički prikažite ovisnost električnog otpora R o poprečnom presjeku S vodiča

stalne duljine.

5. Pogreške.

Uputa:

Jedno od osnovnih svojstava vodiča je njegov električni otpor. Poznato je da pri

stalnom naponu jakost struje u vodiču ovisi o otporu. Što je osnovni uzrok pojavi otpora u

metalnim vodičima?

Električni otpor vodiča ovisi o njegovim geometrijskim svojstvima (duljini i

poprečnom presjeku), materijalu i temperaturi od kojeg je načinjen. Tu ovisnost možemo

odrediti iz I - U karakteristike vodiča, odnosno primjenom izraza: R=U/I.

Kako bismo saznali kako otpor ovisi o dimenzijama vodiča i materijalu od kojega je

načinjen mjerit ćemo napone U i jakosti struje I:

Slika 6.2.1

- ravnih vodiča od istog materijala,

jednakih duljina, ali različitih

presjeka

- ravnih vodiča od istog materijala,

jednakog presjeka ali različitih

duljina

- ravnih vodiča jednakih duljina i

jednakih presjeka, ali različitih

materijala

Sastavimo strujni krug prema električnoj shemi na Slici 6.2.1. Pažljivo provjerimo jesu

li baterija, sklopka, promjenjivi otpornik (za izbor odgovarajućeg napona), ampermetar i žica

spojeni serijski, a voltmetar u točkama a i b paralelno s vodičem. Pripazimo da napon na

vodiču ne prijeñe 1 V.

- 98 -

Provjerimo najprije kako otpor vodiča ovisi o poprečnom presjeku. Izmeñu točaka a i b

redom uključujemo žice od istog materijala, ali različitih poprečnih presjeka koje smo prije

toga izmjerili (ili piše na otpornoj klupi) i vrijednost unijeli u tablicu. Mjerne podatke o

jakosti struje i naponu za svaki pojedini vodič odabranog presjeka takoñer unesemo u tablicu

6.5.

Korišteni izrazi:

=S

=R

=ρ

Tablica 6.5 Vodiči različitih poprečnih presjeka u strujnom krugu

l d S I U R mjerenje

jedinica materijal

m mm mm2 mA V Ω

1. konstantan 1,00 1,000




Mjerenja ponovimo za serijski spoj dva vodiča istog presjeka, tako ćemo dobiti jedan

vodič dugačak 2 m. Ispitajmo kako otpor ovisi o duljini vodiča. Podatke upišimo u tablicu

6.6.

Tablica 6.6 Vodiči različitih duljina u strujnom krugu

l d S I U R mjerenje

jedinica materijal

m mm mm2 mA V Ω



- 99 -

I na kraju pogledajmo kako otpor vodiča ovisi o vrsti materijala od kojeg je načinjen.

Mjerenje napravite za dva vodiča jednakih duljina i presjeka, ispunite tablicu 6.7 s

vrijednostima za struju i napon.

Tablica 6.7 Vodiči različitih materijala u strujnom krugu

l d S I U R ρ mjerenje

jedinica materijal

m mm mm2 mA V Ω Ω mm2/m


2. mjed 1,00 0,500

Tablična vrijednost za specifični otpor konstantana:

Tablična vrijednost za specifični otpor mjedi:

Grafički prikažite ovisnost električnog otpora R o presjeku S vodiča stalne duljine.

Graf 6.2 Ovisnost električnog otpora o poprečnom presjeku vodiča

- 100 -

Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) specifičnog otpora

konstantana:

=k

pρ

= =

Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) specifičnog otpora mjedi:

=m

pρ

= =

Zaklju čak:

- 101 -

6.3 Mjerenje otpora električne žarulje u ovisnosti o jakosti struje

(ovisnost električnog otpora o temperaturi)

Pribor: Voltmetar, ampermetar, izvor DC 12 V, spojni vodovi, sklopka, promjenjivi

otpornik 100 Ω, automobilska žarulja (12 V, 5 W).

Zadaci: 1. Naći kako se mijenja otpor dane žarulje sa jakošću struje (volframova nit).

2. Nacrtati karakteristike žarulje, tj. krivulje R = f(I) i I = f(U).

3. Procijenite temperaturu žarne pri nazivnoj struji i naponu.

Teorijska podloga

Kod izvoda Ohmovog zakona pretpostavili smo da se svi elektroni gibaju istom

brzinom, odnosno da je električni otpor neovisan o jakost struje koja prolazi vodičem.

Iskustvo nam govori da prolaskom struje kroz vodič dolazi do njegovog zagrijavanja. Otpor

vodiča raste s porastom temperature i zbog toga više ne postoji stalnost omjera R = U/I.

Ovisnost otpornika o struji koja prolazi kroz njega osobito se vidi u slučajevima kada je

otpornik dobro termički izoliran, kao što je to slučaj kod električnih žarulja.

Kod žarulja s volframovom niti otpor žarulje raste s temperaturom, dakle i jakošću

struje. Kod niti iz ugljena otpor žarulje opada s temperaturom (kažemo da ugljen ima

negativni temperaturni koeficijent otpora).

Posebnu primjenu imaju cijevi punjene vodikom, a u kojima se nalazi nit od željeza.

Temperaturni koeficijent željeza postaje vrlo velik u blizini temperature od 800 °C. Ako je

struja u niti dovoljno jaka da se postigne tolika temperatura, svaka promjena napona

kompenzira se promjenom otpora uz skoro konstantnu struju. Takve žarulje imaju područje

napona u kojem je struja skoro neovisna o naponu (zahvaljujući termičkom koeficijentu

otpora) pa zbog toga služe za dobivanje stalne struje unatoč donekle promjenjivom naponu.

Cijev se puni vodikom da bi se što prije postigla potrebna visoka temperatura.

Kod čistih metala (bakar, aluminij, zlato, srebro, itd.) otpor raste s porastom

temperature. Kod nekih legura otpor se ne mijenja s temperaturom. Otpor ugljena, čak i pada

kada ga zagrijavamo.

- 102 -

Porast temperature od 1 K (ili 1 ˚C) uzrokuje porast svakog oma otpora za α Ω, pri čemu

α zovemo temperaturnim koeficijentom električnog otpora, ovisnim o vrsti materijala od koga

je izrañen otpornik. Za metale njegova vrijednost iznosi oko 0,004 K-1. Porast otpora

otpornika ∆R [Ω] zbog porasta temperature od ∆T [K] daje izraz:

α⋅∆⋅=∆ TRR 20 ,

gdje je R20 otpor pri temperaturi od 20 ˚C.

Uputa:

Ostvarite spoj kao na slici 6.3.1. Povećavajući napon od 0 V do 12 V (pratimo na

voltmetru), očitavamo struju na ampermetru. Dobivene podatke unosimo u tablicu 6.8 i

pomoću Ohmovog zakona računamo pripadne otpore.

Prikažite grafički ovisnost otpora žarulje o naponu, odnosno o jakosti struje kroz nju.

Slika 6.3.1

Korišteni izrazi:

R =

- 103 -

Tablica: 6.8

žarulja __________

U I R mjerenje

jedinica V mA Ω

1. 0,1

2.

3.

4.

5. 1,0

6.

7.

8.

9. 10,0

10. 12,0

Pomoću sljedećeg izraza može se procijeniti temperatura žarne niti u pogonu.

)1( 2τβτα ∆⋅+∆⋅+= ht RR

ili ako zanemarimo kvadratni član

)1( τα ∆⋅+= ht RR

gdje je:

α - temperaturni koeficijent otpora volframa pri 20 °C iznosi α = 0,0041 K-1.

β - drugi temperaturni koeficijent otpora volframa iznosi β = 0,0000010 K-2.

Rh - otpor žarne niti u hladnom stanju (pri 20 °C).

Rt - otpor žarne niti u toplom stanju (preko 100 °C).

∆τ - razlika temperature žarne niti ht τττ −=∆

Ch °= 20τ

- 104 -

Izračun:

=tτ

=

Nacrtajte krivulju R - I za žarulju

Graf 6.3 R – I karakteristika žarulje

- 105 -

Nacrtajte krivulju I – U za žarulju

Graf 6.4 Strujno - naponska karakteristika žarulje

Zaklju čak:

- 106 -

VJEŽBA 7

7.1 Odreñivanje specifičnog toplinskog kapaciteta petroleja

Pribor: Kalorimetar, petrolej, termometar, izvor 12 V DC, voltmetar, ampermetar,

promjenjivi otpornik, vaga, električni grijač, zaporna ura.

Zadaci: 1. Odredite specifični toplinski kapacitet petroleja.

2. Dobivenu vrijednost usporedite s tabličnom vrijednošću (odredite relativnu

pogrešku).

Teorijska podloga:

Znanost koja se bavi mjerenjem količine topline zovemo kalorimetrija. Zadatak

kalorimetrije je mjeriti koliko je topline predano nekom sustavu, odnosno koliko je topline

neki sustav predao okolini. Toplina koja se dovodi sustavu može uzrokovati različite pojave,

kao što su povišenje temperature, pretvaranje čvrstog tijela u kapljevinu, pretvaranje

kapljevine u paru i sl. Za mjerenje količine topline može služiti povećanje temperature

sustava ako je već poznata funkcionalna veza izmeñu dovedene topline i porasta temperature

u danim prilikama.

J. P. Joule (1840. – 1878.) prvi je izveo niz pokusa u kojima je različitim sustavima

kvantitativno dovodio toplinu koju je dobio na račun mehaničkog rada ili na račun električne

energije i mjerio je povišenje temperature sustava. Pokusi su pokazali da je predana količina

topline Q uzrokovala povišenje temperature sustava od početne temperature T1 na konačnu

temperaturu T2. Nadalje, tako dugo dok razlike temperatura ostaju male, dovoñenje istom

sustavu dvostruke, trostruke, itd. količine topline, uz iste ostale uvjete, uzrokuje povišenje

temperature koje je proporcionalno primljenoj količini topline Q:

2 1Q T T∝ −

Mijenja li se (uz iste ostale uvjete) samo masa m sustava, pokusi pokazuju da je

povišenje temperature obrnuto proporcionalno toj masi (dovoñenje iste količine topline tijelu

dvostruko veće mase m2 = 2m uzrokuje upola manje povećanje temperature):

2 1

1T T

m− ∝

- 107 -

Izvode li se pokusi s istom predanom količinom topline, istom masom sustava, no s

kemijski različitim tvarima (Joule je vršio pokuse s vodom i živom), dolazimo do zaključka

da razlika temperatura T2 - T1 ovisi i o prirodi tvari (uvodimo novi koeficijent cp):

2 1

1

p

T Tc

− ∝

Rezultate Jouleovih pokusa možemo sažeto prikazati izrazom:

2 1p

QT T

mc− =

odnosno:

( )2 1pQ mc T T= −

Gornja relacija govori da je količina topline koju neko tijelo primi proporcionalna

njegovoj masi i razlici temperatura koju ta količina topline proizvede u tom tijelu. Konstantu

proporcionalnosti zovemo specifični toplinski kapacitet cp (indeks p označava konstantni

tlak):

( )2 1p

Qc

m T T=

− .

Specifični toplinski kapacitet je količina topline potrebna da se jediničnoj masi nekog

tijela povisi temperatura za jedinicu. U SI mjernom sustavu specifični toplinski kapacitet

mjeri se u džulima po kilogramu i kelvinu:

[ ]

⋅=

°⋅=

Kkg

J

Ckg

Jpc

pa je u tom sustavu specifični toplinski kapacitet količina topline potrebna da se jednom

kilogramu nekog tijela povisi temperatura za 1 0C, odnosno 1 K.

Kako specifični toplinski kapacitet ovisi o temperaturi, "pravi" specifični toplinski

kapacitet na odreñenoj temperaturi odreñujemo diferencijalno izrazom:

1p

dQc

m dT=

- 108 -

Jouleov zakon

U pojednostavljenoj slici električne struje smatramo da se svi slobodni elektroni gibaju

vodičem istom stalnom brzinom (pogledaj Vježbu 6.1 - Ohmov zakon). U stvarnosti to nije

tako. Gibanje slobodnih elektrona u vodiču izgleda kao niz ubrzanja, od kojih svako završava

sudarom s jezgrom atoma ili s drugim elektronima. Svaki sudar usporava elektrone, a neki ga

i zaustave. Zbog svoje brzine slobodni elektroni imaju kinetičku energiju. Elektroni tu

energiju sudarima predaju česticama čvrsto vezanim u materijalu. Dobivena energija se

potroši na povećanje amplituda titranja, što drugim riječima znači da se ona pretvori u

toplinsku energiju.

Pronañimo matematički izraz za toplinsku energiju koju razvija električna struja.

Promatramo djelić strujnog kruga kojim teče struja jakosti I (Slika 7.1.1).

Slika 7.1.1

Označimo potencijale na krajevima djelića strujnog kruga slovima Va i Vb. U nekom

vremenu dt promatranim djelom strujnog kruga proći će naboj dq = Idt. Naboj dq je dakle,

prenesen iz točke s potencijalom Va u točku s potencijalom Vb. Energija koju naboj preda

iznosi:

( ) dtVIVdtIVVdqdW ababba ⋅⋅=⋅⋅=−⋅=

Snagu koju moramo uložiti da bismo održali struju dobijemo kada izračunamo energiju

predanu u vremenu dt, tj. podijelimo gornji izraz s vremenom dt:

ab

dWP IV

dt= =

Snaga električne struje jednaka je produktu jakosti struje I i razlike potencijala Vab.

U posebnom slučaju, kada je dio vodiča čisti omski otpor R, sva se energija električne

struje pretvori u toplinu. Kako je prema Ohmovom zakonu razlika potencijala RIVab ⋅= , za

snagu dobivamo sljedeći izraz:

2abP IV I R= =

- 109 -

Po definiciji, snaga je jednaka brzini kojom se u vodiču oslobaña toplina, tj.:

RIdt

dQP ⋅== 2 .

Gornji izraz kazuje da se u vodiču s čisto omskim otporom sva energija električne struje

pretvori u toplinu. Ako je vodič linearan (otpor R ne ovisi o jakosti struje I), jednadžba kazuje

da je brzina stvaranja topline razmjerna kvadratu jakosti struje. Gornji izraz eksperimentalno

je otkrio Joule pa se on zove Jouleov zakon.

Snaga je izvršeni rad u jedinici vremena pa je ukupan rad što ga izvrši električna struja u

vremenu dt dan izrazom:

.2 dtRIdtPW ⋅⋅=⋅=

Gornji izraz zovemo Jouleova toplina.

Upute:

Slika 7.1.2

Potrebno je spojiti vježbu, odnosno ostvariti

shemu prikazanu na Slici 7.1.2. Ulijte odreñenu

masu petroleja mp (prethodno izmjerenu) u posudu

kalorimetra, tako da grijač i termometar budu

uronjeni u kalorimetar. Na poklopcu kalorimetra se

nalaze priključnice grijača. Grijač je sastavljen od

dva serijski spojena grijača, a vaše priključnice su

one s oznakom A i B. Prekidač na shemi je onaj na

izvoru DC. Pomoću miješalice M treba miješati

tekućinu u kalorimetru K prilikom zagrijavanja

strujom.

Pomoću promjenjivog otpornika namjestite

jakost struje oko 900 mA. Istovremeno uključite

strujni krug i zapornu uru i očitavajte vrijeme

potrebno da se petrolej ugrije za 12 °C, u koracima

od po 3 ºC. Podatke upišite u Tablicu 7.1 i 7.2.

Usporeñujući izraze iz uvodnog dijela vježbe dobiva se izraz za specifični toplinski

kapacitet

Tm

tIUc

pp ∆⋅

∆⋅⋅=

- 110 -

Korišteni izrazi:

=pm

=pc

=pc

Tablica 7.1

Masa prazne posude: =1m

Masa posude s petrolejem: =2m

Masa petroleja: =pm

Napon: =U

Jakost struje: =I

Tablica 7.2

ττττ1 ττττ2 ∆T ∆t cp mjerenje

jedinica °C °C K s J kg-1 K-1

1.

2.

3.

4.

=pc

- 111 -

Tablična vrijednost za specifični toplinski koeficijent petroleja: _______________________

Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja):

=pc

p

= =

Zaklju čak:

- 112 -

7.2 Pravilo smjese

Pribor: Kalorimetar, termometar, menzura od 1000 cm3, električno kuhalo, voda, staklena

vatrostalna čaša.

Zadatak: 1. Provjerite ispravnost Richmannovog pravila smjese pomoću dvije različite

količine vode različitih temperatura (očitajte temperaturu smjese termometrom,

te izmjerenu temperaturu usporedite s izračunatom).

Teorijska podloga:

Pretpostavimo da imamo dva tijela, jedno tijelo mase m1, specifičnog toplinskog

kapaciteta c1 i temperature T1, a drugo tijelo s vrijednostima istih veličina m2, c2 i T2 (T1 > T2).

Ako se tijela neposredno dodiruju, onda će toplina s tijela više temperature prelaziti na tijelo

niže temperature sve dok se temperature tijela ne izjednače. Toplina koju u tom procesu

predaje toplije tijelo iznosi:

( )1 1 1 1Q m c T T= −,

Pri čemu je T je konačna temperatura tijela u toplinskoj ravnoteži. Drugo je tijelo

primilo toplinu Q2:

( )2 2 2 2Q m c T T= −

Zbog zakona o očuvanju energije, količina topline koju je dobilo hladnije tijelo upravo

je jednaka količini topline koju je izgubilo toplije tijelo, tj.: Q1 = Q2, ili

( ) ( )1 1 1 2 2 2m c T T m c T T− = −

Gornju relaciju zovemo Richmannovo pravilo miješanja ili smjese.

Ureñaje koji služe za mjerenje količina topline zovemo kalorimetri. Postoji više vrsta

kalorimetara. Za provjeravanje pravila smjese koristimo tzv. vodeni ili Richmannov

kalorimetar. Kalorimetrijski sustav je poznata masa vode u posudi što manje mase koja je što

bolje toplinski izolirana od okoline. Voda u kalorimetru može imati temperaturu koja se

razlikuje od okoline, pa bi zbog te razlike u temperaturi moglo doći do razmjene topline s

okolinom.

- 113 -

Slika 7.2.1

Razmjena topline s okolinom uzrokuje značajne

pogreške pri mjerenjima pa se teži da kalorimetarska

posuda ima što bolju termičku izolaciju. Zbog toga se

oko kalorimetarske posude s vodom obično stavi još

jedna ili više posuda i obloga.

U vodu je uronjen termometar, a voda se može

miješati pomoću mehaničke miješalice (služi za

ujednačavanje temperatura vode), Slika 7.2.1.

Upute:

U termički dobro izoliranu posudu

(kalorimetar) ulijemo oko 500 g vode (mase m1) sobne

temperature (T1). Masu vode preračunajte iz volumena

koji ćete odrediti menzurom (ρH2O=1000 kg/m3), a

temperaturu vode u kalorimetru izmjerite

termometrom.

Staklenu vatrostalnu posudu, u koju smo stavili oko 300 grama vode, grijemo na

električnom kuhalu. Kada temperatura vode postigne temperaturu od 40 do 50 0C, posudu

uklonimo s kuhala. Termometrom izmjerimo temperaturu ugrijane vode i odmah potom u

kalorimetar s hladnom vodom ulijemo ugrijanu vodu.

Zatvorite kalorimetar, a miješalicom promiješajte vodu u kalorimetru. Termometrom

mjerite temperaturu vode u kalorimetru tako da ne otvarate poklopac kalorimetra. Najveća

postignuta temperatura je temperatura smjese T.

Masu tople vode (m2) koju smo ulili u kalorimetar odreñujemo iz volumena

cjelokupne vode umanjenu za volumen hladne vode u njemu (ρH2O=1000 kg/m3). Sve

izmjerene vrijednosti unesite u Tablicu 7.3.

Tablica 7.3

V1 m1 VU m2 ττττ1 ττττ2 ττττ

ml kg ml kg °C °C °C

- 114 -

Provjerite Richmannovo pravilo miješanja ili smjese, tj. odredite koju vrijednost temperature

smjese predviña teorija.

Objasnite razliku teorijske i eksperimentalne vrijednosti temperature smjese.

Zaklju čak:

- 115 -

7.3 Odreñivanje latentne topline taljenja leda

Pribor: Kalorimetar, termometar, menzura od 1000 cm3, filtar-papir, posuda s ledom,

električno kuhalo, voda, staklena vatrostalna čaša.

Zadaci: 1. Odredite latentnu toplinu taljenja leda.

2. Pogreške.

Teorijska podloga:

Svako se čvrsto tijelo dovoñenjem topline može pretvoriti u tekućinu. Pojava se zove

taljenje, a temperatura na kojoj se taljenje odvija zovemo temperatura tališta. Zamislimo

komad leda na temperaturi – 20 0C kojem neprestano dovodimo toplinu. Većina dovedene

topline ide na zagrijavanje leda. Povišenje temperature leda bit će proporcionalno dovedenoj

toplini sve do temperature taljenja leda. Jednom kada temperatura leda doñe do 0 0C, daljnje

dovoñenje topline ne očituje se u povišenju temperature leda. Dovedena toplina troši se na

pretvaranje leda u vodu, a da se pri tome ne povećava temperatura leda. Tu toplinu zovemo

latentna toplina taljenja leda. Toplina potrebna da se led pretvori u vodu proporcionalna je

masi leda:

.mLQ tt ⋅=

Konstantu proporcionalnosti Lt zovemo specifična toplina taljenja leda. To je ona

količina energije koju moramo dovesti po jedinici mase tvari (leda) da se tvar (led) pretvori iz

krutog u tekuće stanje, ako je tvar (led) već na temperaturi tališta pod normalnim tlakom.

Specifična toplina taljenja leda (pod tlakom 1,013 ·105 Pa) iznosi Lt = 334,8 kJ/kg.

U obrnutom slučaju, kada voda temperature 0 0C prelazi u led, oslobaña se jednaka

količina topline. Tako osloboñeno energiju iskorištavaju vinogradari i voćari koji prskaju

vinovu lozu, odnosno voćnjake, u slučajevima najave meteorologa o pojavi mraza.

Prijelazi meñu agregatnim stanjima, odnosno različitim stanjima ureñenosti očekivana

su pojava. U različitim agregatnim stanjima različita su i meñudjelovanja meñu molekulama,

pa je nužno dovesti ili odvesti neku energiju da se promijene agregatna stanja molekula na

stalnoj temperaturi i pod stalnim tlakom promijene.

- 116 -

Prijelaz izmeñu krute i tekuće faze popraćen je mnogo manjom promjenom interakcija

meñu molekulama nego prijelaz izmeñu tekuće i plinovite faze. Zato su općenito latentne

topline isparavanja veće od latentnih toplina taljenja.

Temperaturu leda možemo odrediti i pomoću Richmannovog pravila miješanja ili

smjese. Led mase mL, temperature TL stavimo u vodu mase mv i temperature Tv. Nakon nekog

vremena doći će do topljenja leda u vodu temperature 0 °C (273,15 K), te zagrijavanja

novonastale vode na konačnu temperaturu T. Potrebnu energiju za ove procese daje topla

voda čija će se temperatura zbog toga smanjiti s Tv na T. Pomoću zakona očuvanja energije

možemo izračunati specifičnu toplinu taljenja leda:

( ) ( ) ( )K 15273K 15273 LtLLLVV ,TcmLm-T,cmTTcm VLV −⋅⋅+⋅+⋅⋅=−⋅⋅

za temperaturu leda od 0 °C u gornjem izrazu gubi se član zagrijavanja leda i cV = cL pa stoga

naš izraz glasi:

( ) ( )15,273LtLVV −⋅+⋅=−⋅ TmLmTTm

Upute:

Slika 7.3.1

Staklenu vatrostalnu posudu, u koju smo

stavili oko 800 grama vode, grijemo na električnom

kuhalu. Kada temperatura vode postigne temperaturu

oko 60 0C, posudu uklonimo s kuhala. Ugrijanu vodu

ulijemo u kalorimetar. U ugrijanu vodu stavite

desetak kockica leda, a neposredno prije ubacivanja

leda termometrom provjerite temperaturu tople vode

u kalorimetru.

Zatvorite kalorimetar, a miješalicom

promiješajte vodu u kalorimetru. Termometrom

mjerite temperaturu vode u kalorimetru tako da ne

otvarate kalorimetar (dobar izbor termometra).

Konačnu temperaturu smjese dobijemo kada se smiri

stupac termometrijske tvari u termometru.

Masu leda (mL) kojeg smo ulili u kalorimetar odreñujemo iz volumena cjelokupne

vode umanjenog za volumen tople vode u njemu (ρH2O=1000 kg/m3) nakon postizanja

ravnotežne temperature. Sve izmjerene vrijednosti unesite u Tablicu 7.4. Veličine izrazite u SI

sustavu jedinica.

- 117 -

Korišteni izrazi:

mL=

L t=

Tablica 7.4

Volumen tople vode: =vV

Masa tople vode: =vm

Temperatura tople vode: =vτ

Ukupni volumen vode i otopljenog leda: =vlV

Ukupna masa vode i otopljenog leda: =vlm

Masa leda: =lm

Temperatura leda: =lτ

Temperatura smjese: =τ

Tablična vrijednost latentne topline taljenja leda: =tL

Latentna toplina taljenja leda: =tL

- 118 -


=tL

p

= =

Zaklju čak:

- 119 -

VJEŽBA 8

8.1. Provjeravanje jednadžbe stanja idealnog plina

Pribor: PVT ureñaj, termometar, izvor DC (do 10 A) za grijač, izvor DC (do 400 mA) za

motor, ampermetar, promjenjivi otpornik, barometar.

Zadaci: 1. Provjerite izraz za jednadžbu stanja idealnog plina.

2. Provjerite izraz za izobarnu promjenu stanja idealnog plina (p = const.).

3. Provjerite izraz za izohornu promjenu stanja idealnog plina (V = const.).

4. Pogreške.

Svako mjerenje provedite 3 puta za promjenu temperature od 1°C.

Teorijski uvod:

U ovom dijelu vježbe pokušavamo pronaći izraz koji će opisivati toplinsko širenje

plinova. Plinovito agregatno stanje karakteriziraju veće meñusobne udaljenosti atoma nego

što je to kod čvrstog ili tekućeg stanja. Zbog toga će se i zakon koji opisuje širenje plinova

razlikovati od zakona koji opisuje širenje krutih tijela ili tekućina.

Prva uspješna eksperimentalna mjerenja ponašanja plina izveli su nezavisno Robert

Boyle (1627.-1691.) i Edmé Mariotte (oko 1620.-1684.). Oni su uočili da se tlak plina mijenja

obrnuto proporcionalno s volumenom ako se temperatura plina drži konstantnom.

Matematički:

ru). temperatukonstantnu (uz .konstVp =⋅

Gornju jednadžbu zovemo Boyle-Mariotteov zakon, a promjenu stanja plina kod koje

plin zadržava početnu temperaturu zovemo izotermna promjena stanja plina.

Označimo li početna stanja tlaka i volumena plina s p1 i V1, a konačna stanja tlaka i

volumene plina s p2 i V2, Boyle-Mariotteov zakon možemo pisati u sljedećem obliku:

2211 VpVp ⋅=⋅

Gornja relacija nam govori da kod izotermne promjene stanja plina vrijedi sljedeće pravilo:

„Koliko puta povećamo volumen plina, toliko puta se smanji tlak plina, i obratno.“

- 120 -

Kako opisati stanje plina ako se mijenja njegova temperatura? Iskustvo nam govori da

se zagrijavanjem plina povećava njegov volumen (nogometna lopta zimi i ljeti). Držimo li

volumen stalan, tlak plina će se zagrijavanjem povećati. Moramo dakle razlikovati dva

posebna slučaja:

- Promjenu volumena uzrokovanu promjenom temperature uz stalan tlak.

- Promjenu tlaka uzrokovanu promjenom temperature uz stalan volumen.

Joseph Gay-Lussac (1778.-1850.) je proučavao obje vrste promjena. On je pokazao da

se kod izobarnih promjena (stalan tlak) volumen plina zagrijavanjem širi prema zakonu koji

možemo pisati u sljedećem obliku:

( )tVVt ⋅+= 10 1 α

Gornji izraz zovemo prvi Gay-Lussacov zakon. Eksperimenti su pokazali da je volumni

koeficijent rastezanja plinova jednak za sve plinove i da se može pisati kao:

11 K

15,273

1 −=α

Gay-Lussac je pronašao sličnu zakonitost i za izovolumne promjene (stalan volumen):

Promjena tlaka plina (pri konstantnom volumenu) proporcionalna je promjeni temperature i

dana je izrazom:

( )tppt ⋅+= 20 1 α

Gornji izraz zovemo drugi Gay-Lussacov zakon. Za koeficijent povećanja tlaka plina α2

mjerenja pokazuju da je on za sve plinove približno jednak, da ne ovisi o temperaturi i da se

veoma malo mijenja s tlakom. Njegova vrijednost je jednaka kao i vrijednost koeficijenta

volumnog širenja α1, tj.

12 K

15,273

1 −=α

Napominjemo da se prvi Gay-Lussacov zakon često zove i Charlesov zakon, dok se drugi

Guy-Lussacov zakon zove i samo Gay-Lussacov zakon.

plinova rastezanjat koeficijen volumni

priplina volumen

0 priplina volumen

1

0

−−

−

αCtV

CV

to

o

Ctp

Cp

to

o

priplina tlak

0 priplina tlak 0

−

−

- 121 -

Boyle-Mariotteov zakon i dva Gay-Lussacova zakona jako dobro opisuju stanje plina

kod promjena kod kojih je jedna od veličina (tlak, volumen ili temperatura) stalna. Kako

opisati promjene stanja plina kod kojih se istovremeno mijenjaju sve tri veličine? Iskoristimo

rezultate Boyle-Mariotteova i Gay-Lussacovih zakona.

Pretpostavimo da je u početnom trenutku stanje plina opisano volumenom V0, tlakom p0

i temperaturom t0, a konačno stanje plina s volumenom V, tlakom p i temperaturom t. Iako se

u stvarnosti sve fizikalne veličine (tlak, volumen i temperatura) mijenjaju istovremeno,

možemo zamisliti proces u dva koraka:

1. Pretpostavimo da se u prvom koraku tlak plina konstantan. Takvu vrstu promjena

opisuje prvi Gay-Lussacov zakon. Držimo li tlak plina konstantnim, zagrijavanjem

plina na konačnu temperaturu t poraste i njegov volumen na Vt:

2. Kada smo postigli konačnu temperaturu plina daljnja promjena je izotermna promjena

koju opisuje Boyle-Mariotteov zakon. Želimo dakle povezati trenutno stanje plina

opisano s p0, Vt s konačnim stanjem p i V (uz konstantnu temperaturu). Boyle-

Mariotteov zakon daje sljedeću vezu:

PVpVt ⋅=⋅ 0

Povežemo li gornja dva izraza, dobivamo:

( )tpVpV ⋅+⋅=⋅ α100

Gornji izraz opisuje konačno stanje plina dobiveno u dva zamišljena koraka, prvo izovolumne

promjene, a zatim izotermne promjene do konačnog stanja.

Promatrajmo sada komplementarni proces, tj. povećanje tlaka pri zagrijavanju plina na

konačnu temperaturu t, držeći pri tom stalan volumen. Takvu vrstu promjena opisuje drugi

Gay-Lussacov zakon:

( )tppt ⋅+= α10

Kada smo postigli konačnu temperaturu plina, daljnja promjena je izotermna promjena

koju opisuje Boyle-Mariotteov zakon. Želimo dakle povezati trenutno stanje plina opisano s

pt, V0 s konačnim stanjem p i V (uz konstantnu temperaturu). Boyle-Mariotteova zakon daje

sljedeću vezu:

PVpV t ⋅=⋅0

- 122 -

Povežemo li gornja dva izraza, dobivamo opet isti izraz:

( )tpVpV ⋅+⋅=⋅ α100

Općenito dakle vrijedi:

( )tpVpV ⋅+⋅=⋅ α100

jer smo do identičnog izraza došli ne samo povećanjem tlaka uz stalan volumen, nego i

povećanjem volumena uz stalan tlak.

Uvrstimo poznatu vrijednost koeficijenta α gornji izraz:

( )

+⋅=⋅+⋅=⋅ tpVtpVpV15,273

111 0000 α

Nañimo zajednički nazivnik izraza u zagradi:

( )tpVpV +⋅=⋅ 15,273

15,27300

Što nam govori gornja relacija? S lijeve strane je umnožak dvije pozitivne veličine. S

desne strane je umnožak ispred zagrade takoñer pozitivna veličina. Zaključak je da i zagrada

mora biti pozitivna, tj. temperatura može ići najviše do -273,15 oC. Postoji dakle najniža

moguća temperatura koju zovemo apsolutna nula. Što nam govori sama zagrada? Pa to je

temperatura plina T izražena u stupnjevima kelvina.

Označimo li sa T0 = 273,15 apsolutnu temperaturu ledišta vode, gornju jednadžbu

možemo pisati u obliku:

Ova jednadžba povezuje početno i konačno stanje plina kod istovremene promjene svih triju

veličina. Iako je ona izvedena preko zamišljenih procesa, egzaktni izvodi (npr. kinetička

teorija plinova) potvrñuju njenu ispravnost. Kinetička teorija plinova daje vrijednost

konstante u kao:

konstanta = nR,

gdje su:

n = broj molova plina

R = plinska konstanta = 8,314 Jmol-1K-1

.0

00 konstT

pV

T

Vp ==

- 123 -

Konačno, dobivamo izraz:

Gornju jednadžbu zovemo jednadžba stanja plina za n molova. Jednadžba stanja plina sadrži u

sebi i Boyle-Mariotteov i oba Gay-Lussacova zakona.

Uvrštavanjem T = konst. dobivamo Boyle-Mariotteov zakon:

Uvrštavanjem p = konst. , odnosno V = konst. dobivamo zakone izobarnih i

izovolumnih promjena:

nRTpV =

2211 VpVp =

2

2

1

1

2

2

1

1

T

p

T

p

T

V

T

V

=

=

- 124 -

Uputa

Slika 8.1.1

Ovim se ureñajem (Slika 8.1.1) mogu

izmjeriti promjene tlaka i volumena plina nastale

uslijed promjene temperature. Zrak zarobljen u

posudi za plin P (volumena 1000 cm3) zagrijava se

do temperature vodene kupelji V. Zrak se zbog

zagrijavanja širi, a povećani tlak pokazuje se na

mjernom instrumentu za volumen i tlak tako što se

voda u staklenim cijevima S potisne, pa stupci vode

više nisu na istoj razini, to jest pokazuje se i

promjena volumena i promjena tlaka.

Promjene volumena uz stalni tlak mjere se

spuštanjem staklene cijevi S ili skale za tlak sve

dok stupci vode ne doñu na istu razinu, čime je tlak

u posudi s plinom jednak vanjskom tlaku.

Promjene tlaka pri stalnom volumenu mjere

se podizanjem staklene cijevi S za tlak sve dok

razina vodenog stupca u cijevi za volumen ne doñe

u položaj na kojem je bila prije grijanja.

Slijed postupaka:

- Provjerite zabrtvljenost ureñaja. Zatvorite ventil na posudi za plin zavrtanjem vijka u smjeru

kazaljke na satu.

- Očitajte temperaturu i trenutni atmosferski tlak.

- Uključite napajanje miješalice M pa potom grijača G.

- Pratite promjene na termometru i na instrumentu za volumen.

- Nakon što je temperatura porasla za oko 1,2 °C isključite grijač, temperatura će malo pasti

dok se voda ne promiješa, a nakon pola minute isključite i miješalicu.

- Očitajte vrijednosti, napravite sva tri mjerenja (opća jednadžba stanja plina, izobarne i

izohorne promjene).

- Zabilježite izmjerene vrijednosti i ponovo uključite grijač i miješalicu dok se temperatura ne

digne za sljedećih 1 °C, i tako ponavljajte nekoliko puta.

- Po završetku rada spustite skalu i otvorite ventil kako se hlañenjem ne bi voda usisala u

posudu za plin.

- 125 -

Provjera opće jednadžbe stanja idealnog plina (pV/T=const.)

- Očitajte trenutnu temperaturu vode (a time i plina) na

termometru, a trenutni tlak zraka na barometru.

- Uključite miješalicu.

- Uključite grijač i zagrijte za 1 °C, isključite grijač i nakon

2 minute i miješalicu.

- Grijanjem su se promijenile sve tri varijable. Temperatura

T i promjena volumena ∆V mogu se izravno očitati, a

promjena tlaka dobije se uzimanjem dvostruke vrijednosti

tj. 2∆p (jer koliko se tekućina u jednoj cijevi podigla

toliko se u drugoj spustila).

- Podatke upišite u Tablicu 8.1.

- Ne zaboravite: na istoj temperaturi napravite sva tri

mjerenja (opća jednadžba stanja plina, izobarne i izohorne

promjene tj. ispunite tablice 8.2 i 8.3.).

- Ponovite postupak.

Slika 8.1.2

Korišteni izrazi:

=p

=V

=T K

Tablica 8.1

ττττ T ∆p 2∆p p ∆V V pV/T mjerenje

jedinica °C K kPa kPa kPa cm3 cm3 Pa m3/K

početno 0 0 0 1000

1.

2.

3.

- 126 -

Provjera izobarne promjene stanja idealnog plina, p = const.

- Spustite skalu za tlak (otpuštanjem vijka na

poleñini skale) ili spustite desnu cijev sve dok se

ne postigne izjednačenje tlakova u obje cijevi

(tada je tekućina u obje cijevi na istoj razini jer je

tlak u posudi za plin izjednačen s vanjskim

tlakom zraka), Slika 8.1.3.

- Temperatura T i promjena volumena ∆V mogu se

izravno očitati. Podatke upišite u Tablicu 8.2.

Slika 8.1.3

Korišteni izrazi:

=V

Tablica 8.2

p ττττ T ∆V V V/T mjerenje

jedinica kPa °C K cm3 cm3 m3/K

početno 0 1000

1.

2.

3.

- 127 -

Provjera izohome promjene stanja idealnog plina, V = const.

- Povucite cijev za tlak prema gore sve dok razina

tekućine u lijevoj cijevi ne doñe do položaja

∆V = 0 (Slika 8.1.4). Tada je volumen plina

ponovo jednak početnom (od 1000 ml).

- Temperatura i promjena tlaka mogu se izravno

očitati. Podatke upišite u tablicu 8.3.

- Vratite desnu cijev tako da pokazuje vrijednost

prvog mjerenja (slika 8.1.3). Slika 8.1.4

Korišteni izrazi:

=p

Tablica 8.3

V t T ∆p p p/T mjerenje

jedinica cm3 °C K kPa kPa Pa/K

početno 1000 0

1. 1000

2. 1000

3. 1000

Zaklju čak:

- 128 -

8.2. Toplinsko širenje čvrstih tijela i tekućina

Pribor: Cijevi od različitog materijala (bakar, aluminij, čelik, mjed), dilatometar, kadica,

termostat, termometar, piknometar s kapilarom, voda, ulje, vaga, gumene cijevi,

kanila, šprica, šelne, odvijač.

Zadaci: 1. Proučite volumno širenje dane tekućine kao funkciju temperature, koristeći

piknometar. Prikažite rezultate grafički te izračunajte koeficijent volumnog

širenja metodom najmanjih kvadrata.

2. Proučite linearno širenje dane šipke kao funkciju temperature koristeći

dilatometar. Prikažite rezultate grafički te izračunajte koeficijent linearnog

širenja metodom najmanjih kvadrata.

3. Pogreške.

Teorijski uvod

Temperatura T je mjera za srednju kinetičku energiju toplinskog gibanja molekula: što

je kinetička energija veća, to je i temperatura veća. Veza izmeñu termodinamičke temperature

T izražene u kelvinima i temperature τ izražene u celzijevim stupnjevima je:

[ ] [ ]CKT °+= τ15,273

Toplinsko širenje tijela posljedica je

promjene u prosječnom razmaku izmeñu

atoma tijela. Da biste to razumjeli, zamislite

da su atomi povezani čvrstim oprugama, kao

na slici. Na sobnoj temperaturi atomi čvrstog

tijela titraju oko svog ravnotežnog položaja

s amplitudama oko 10-11 m i frekvencijom

oko 1013 Hz. Prosječna udaljenost izmeñu

atoma je oko 10-10 m. Slika 8.2.1.

Kako se temperatura tijela povećava, atomi titraju sve većim amplitudama, što

rezultira većim prosječnim razmakom meñu njima. Posljedica toga je da se tijelo širi.

- 129 -

Ako je termalno širenje dovoljno malo s obzirom na početne dimenzije tijela,

promjena bilo koje dimenzije tijela je proporcionalna promjeni temperature. Pretpostavimo da

tijelo ima početnu duljinu Lp u nekom smjeru i na nekoj temperaturi, te da se duljina poveća

za ∆L uslijed povećanja temperature za ∆T. Definiramo koeficijent linearnog širenja tijela

kao:

T

LL p

∆∆

=/

α

Eksperimenti pokazuju da je α konstantan za male promjene temperature. Gornja jednadžba

se može zapisati i u obliku:

TLL p ∆⋅⋅=∆ α

Ili

( )pkppk TTLLL −⋅⋅=− α

( )( )pkpk TTLL −+= α1

gdje je Lk konačna duljina, Lp duljina na 20 °C, Tp početna (najčešće se uzima Tp = 293,15 K)

i Tk konačna temperatura, a α je koeficijent linearnog širenja tijela za dani materijal u

jedinicama K-1.

Zbog promjene linearnih dimenzija tijela s promjenom temperature, promijenit će se i

površina i volumen tijela. Promjena volumena pri stalnom tlaku proporcionalna je volumenu

Vp (volumen pri 20°C) i promjeni temperature, prema relaciji:

TVV p ∆⋅⋅=∆ β

( )( )pkpk TTVV −+= β1

gdje je β koeficijent volumnog širenja tijela, Tk konačna temperatura, a Tp =293,15 K. Za

čvrsta tijela, koeficijent volumnog širenja je tri puta veći od koeficijenta linearnog širenja;

β = 3 α.

- 130 -

Upute:

Pribor za proučavanje toplinskog širenja krutih tijela i tekućina prikazan je na Slici

8.2.2. Na rub plastične kadice montirajte termostatski grijač i napunite kadicu destiliranom

vodom tako da razina vode bude izmeñu oznaka za minimum i maksimum. Na bočnu stranu

grijača učvrstite termometar te ga uronite u vodu.

Termostatskim grijačem pomoću gumba V možete zagrijati vodu u kadici do željene

temperature koju tada očitavate na termometru.

Slika 8.2.2

Volumno širenje tekućina

Volumen piknometra je upisan na piknometru, a skala cjevčice

piknometra je podijeljena na 1/100 ml.

Piknometar (Slika 8.2.3), napunjen tekućinom čija se volumna

ekspanzija proučava, stavlja se u kadicu napunjenu vodom poznate

temperature (temperatura vode treba biti veća od sobne temperature).

Povećavanjem temperature vode u kadici povećava se temperatura tekućine

u piknometru te se i volumen tekućine u piknometru povećava. Promjena

volumena tekućine očitava se na skali cjevčice koja je stavljena u

piknometar. Piknometar je napravljen od stakla koji ima puno manji

toplinski koeficijent volumnog širenja od vode pa stoga volumno širenje

samog piknometra možemo zanemariti.

Mjerenja vršite tako da povećavate temperaturu vode u kadici pet

puta za oko 3 ºC. Podatke upisujte u Tablicu 8.4.

Slika 8.2.3

- 131 -

Korišteni izrazi:

=∆T K

Tablica 8.4

C°= 200τ

Tekućina _______________

ττττ ∆T V mjerenje

jedinica °C K ml

1.

2.

3.

4.

5.

- 132 -

Odreñivanje koeficijenta volumnog širenja metodom najmanjih kvadrata:

U gornji i donji red tablice upišite oznake i pripadne mjerne jedinice nezavisne i zavisne


Izračunajte koeficijent volumnog širenja metodom najmanjih kvadrata

Tablična vrijednost koeficijenta volumnog širenja ______________:

Tablica 8.5

Ako opća jednadžba pravca glasi , tada je jednadžba pravca za naš slučaj

_______________. Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b.


=a

=


=b

=


∆T1 = V1 = = =

∆T 5 = V5 = = =

bxay +⋅=

- 133 -

Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti volumni koeficijent širenja?

=β

=

Kako ćete iz odsječka na osi ordinati dobiti volumen tekućine na 20°C?

=0V =

Postotna pogreška volumnog koeficijenta tekućine:

=βp = =

Grafički prikažite ovisnost volumena o promjeni temperature dane tekućine.

Graf 8.1. Ovisnost volumena o promjeni temperature

- 134 -

Linearno širenje metalne šipke

Cijevi kojima teče voda priključuju se na šipku Š čije se produljenje promatra, a treba

ih držati što dalje od dilatometra D kako se on ne bi ugrijao. Zagrijana voda iz kadice protječe

kroz gumene cijevi i šipku koju promatrate te tako grije šipku, koja poprima temperaturu vode

u kadici (tu temperaturu očitavate s termometra). Kao posljedice povećanja temperature,

povećava se duljina šipke.

Prije početka mjerenja postavite skalu na satnom mehanizmu dilatometra na „0“ i

mjerite produljenje šipke kao funkciju temperature. Dilatometar ima podjelu skale od 0,01

mm.

Mjerenje linearnog produljenja metalne šipke vršite istovremeno s mjerenjima

povećanja volumena tekućine u piknometru, tj. kada povećate temperaturu vode u kadici,

pričekajte oko 5 minuta da tekućina u piknometru i šipka koju promatrate poprime

temperaturu vode u kadici te tada očitajte temperaturu, povećanje volumena tekućine u

piknometru i produljenje šipke. Podatke upisujte u Tablicu 8.6.

Korišteni izrazi:

=l

=∆T K

Tablica 8.6

C°= 200τ

Cijev od _______________

ττττ ∆T ∆l l mjerenje

jedinica °C K mm m

1.

2.

3.

4.

5.

- 135 -

Odreñivanje koeficijenta linearnog širenja metodom najmanjih kvadrata:

U gornji i donji red tablice upišite oznake i pripadne mjerne jedinice nezavisne i zavisne


Izračunajte koeficijent linearnog širenja metodom najmanjih kvadrata.

Tablična vrijednost koeficijenta linearnog širenja _____________:

Tablica 8.7

Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +⋅= , tada je jednadžba pravca za naš slučaj

_______________. Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b.


=a

=


=b

=


∆T1 = l1 = = =

∆T 5 = l5 = = =

- 136 -

Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti koeficijent linearnog širenja?

=α

=

Kako ćete iz odsječka na osi ordinati dobiti duljinu šipke na 20°C?

=0l =

Postotna pogreška linearnog koeficijenta šipke:

=αp = =

Grafički prikažite ovisnost duljine o promjeni temperature dane šipke.

Graf 8.2. Ovisnost duljine o promjeni temperature

- 137 -

Zaklju čak:

- 138 -

9. VJEŽBA

9.1. Odreñivanje specifičnog naboja elektrona e/mo

Pribor: Stakleni balon, 1 par Helmholtzovih zavojnica, izvor DC (0…600 V), izvor struje,

2 multimetra, spojni vodiči.

Zadaci: 1. Odredite specifični naboj elektrona e/m0 iz putanje zrake elektrona u meñusobno

okomitom električnom i magnetskom polju različitih jakosti.

2. Dobivenu vrijednost usporedite s tabličnom vrijednošću (odredite relativnu

pogrešku).

Teorijska podloga:

Sredinom 19. stoljeća znanstvenici su se bavili proučavanjem katodnih cijevi. Bile su

to staklene cijevi u kojima se nalazio razrijeñen plin, a sadržavale su metalne elektrode

priključene na izvor visokog napona. Uočene su zrake koje izlaze iz katode, a koje izazivaju

svjetlucanje i postaju vidljive ako padnu na stjenku staklene cijevi. Te su zrake nazvane

katodnim zrakama.

Pokušavajući objasniti katodne zrake, Joseph John Thomson pretpostavio je da su

katodne zrake snop sićušnih čestica (elektrona), koje su nositelji negativnog naboja. Jačalo je

uvjerenje da je električni naboj elektrona konstantan i da je to ujedno najmanji mogući naboj

ili elementarni naboj.

Thomson je takoñer pokušavao izmjeriti specifični naboj elektrona, e/m, ali njegov

rezultat nije bio precizan. Danas znamo da je red veličine bio ispravan, ali upola manji od

stvarne vrijednosti. Kasnije utvrñena precizna vrijednost specifičnog naboja elektrona iznosi:

-111 kg C 1076,1/ ⋅=me

Kako bi se ideja o elektronu dokazala, trebalo je neovisno izmjeriti ili samo naboj e ili

pak samo masu elektrona, m.

- 139 -

Godinama su mnogi znanstvenici, J. J. Thomson, J. Townsand, H. A. Wilson i drugi

radili na usavršavanju eksperimentalnih tehnika koje bi omogućile dovoljno precizno

mjerenje naboja elektrona. (Milikan?)

Ako je elektron, mase m0 i naboja e, ubrzan razlikom potencijala U, tada ima kinetičku

energiju:

202

1vmUe ⋅⋅=⋅

gdje je v brzina elektrona. Ako tako ubrzani elektron uleti u homogeno magnetsko polje

indukcije Br

, na njega djeluje Lorentzova sila

BveFrrr

×⋅=

Ako je brzina elektrona okomita na silnice magnetskog polja, on će se početi gibati po

kružnoj putanji jer je sila na elektron (Lorentzova sila) okomita na njegovu brzinu.

Lorentzova sila tada ima ulogu centripetalne sile pa možemo izjednačiti njihove izraze:

Bver

vm ⋅⋅=⋅ 2

te dobivamo

rBm

ev ⋅⋅=

0

Iz prve jednadžbe tada slijedi

( )20

2

rB

U

m

e

⋅⋅=

U našoj vježbi magnetsko polje u kojem se elektroni kreću dobivamo kao posljedicu

električne struje koja prolazi kroz Helmholtzov spoj zavojnica. Znamo da električna struja

oko sebe stvara magnetsko polje, a Helmholtzov spoj (karakterističan spoj dviju jednakih

zavojnica pri čemu je udaljenost izmeñu zavojnica jednaka njihovom polumjeru) omogućava

nam dobivanje homogenog magnetskog polja u sredini izmeñu zavojnica. Magnetska

indukcija u sredini izmeñu zavojnica dana je izrazom

,5

40

2

3

R

InB ⋅⋅⋅

= µ

koji slijedi iz Biot – Savartovog zakona, a pri čemu je 1-160 m A s V 10257,1 −−⋅=µ

permeabilnost vakuuma, R = 20 cm radijus zavojnice i n = 154 broj zavoja u zavojnici.

- 140 -

Slika 9.1.1 Slika 9.1.2

Slika 9.1.3

Uputa:

Postavka aparature prikazana je na Slici 9.1.3. Električni spoj je prikazan shemama na

Slici 9.1.1 i Slici 9.1.2. Dvije zavojnice su okrenute jedna nasuprot drugoj u Helmholtzovom

spoju. U pokusima ne smijete prekoračiti maksimalnu dozvoljenu struju od 5 A.

Kada je polaritet magnetskog polja dobro postavljen, u zatamnjenoj komori je vidljiv

zakrenut elektronski snop prema prečkama u staklenom balonu. Promjenom magnetskog polja

(izborom odgovarajuće vrijednosti jakosti struje) i brzine elektrona (promjenom napona)

mijenjate polumjer kružne putanje elektrona.

- 141 -

Potrebno je podešavati polumjer kruženja elektrona tako da putanja elektrona prolazi

kroz ranije definirane točke unutar staklenog balona (uočite male metalne „ljestvice“ unutar

staklenog balona – putanju elektrona trebate tako podesiti da ona prolazi „prečkama“ tih

ljestvica). Tada će polumjer kruženja elektrona biti 2, 3, 4 ili 5 cm

Izmjerite po dva para vrijednosti jakosti struje i napona za svaki navedeni polumjer, te

podatke upišite u Tablicu 9.1. Izračunajte jakost magnetskog polja te traženi specifični naboj

elektrona za svako mjerenje i srednju vrijednost specifičnog naboja.

Korišteni izraz:

=B

=0m

e

Tablica 9.1

r U I B e/m mjerenje

jedinica m V A T C/kg

1. 0,020

2. 0,020

3. 0,030

4. 0,030

5. 0,040

6. 0,040

7. 0,050

8. 0,050

=me/

- 142 -

Tablična vrijednost za specifični naboj elektrona:


=mep /

= =

Zaklju čak:

- 143 -

9.2. Balmerova serija i odreñivanje Rydbergove konstante

Pribor: Vodikova spektralna lampa, živina spektralna lampa, držači za spektralne cijevi,

zaštitna metalna cijev lampe, spojni vodovi, držač objektiva, optička rešetka, izvor

visokog napona (0 - 10 kV), 2 keramička izolirana nosača, tronožac, okrugli držač,

kvadratna potporna šipka, 3 kvadratne stezaljke, držač cijevi, metarska skala,

graničnici, traka za mjerenje.

Zadaci: 1. Odredite konstantu optičke rešetke pomoću živinog spektra.

2. Iz vidljivih linija Balmerove serije vodikovog spektra izračunajte valne duljine

tih linija, Rybdergovu konstantu i energijske razine.

3. Odredite relativno odstupanje dobivene vrijednosti Rydbergove konstante od

tablične vrijednosti

Teorijska podloga:

Optička rešetka

Svjetlost je elektromagnetski val koji se u vakuumu širi brzinom svjetlosti oko

c = 300000000 m/s i ima valnu duljinu koju može registrirati ljudsko oko (od 380 do 780 nm).

Difrakcija ili ogib svjetlosti je pojava „skretanja“ svjetlosti iza pukotine. Difrakcija se može

promatrati na optičkoj rešetki.

Pod pojmom optička rešetka podrazumijevamo svaki ureñaj sastavljen od meñusobno

jednakih, pravilno poredanih elemenata koji bilo propuštaju, bilo reflektiraju svjetlost. Ako

okomito na takvu rešetku pustimo snop paralelnih monokromatskih zraka, dolazi do difrakcije

koja kao rezultat daje niz jednako razmaknutih maksimuma, koji su oštriji što je broj pukotina

odnosno zareza na optičkoj rešetci veći (za dobru rešetku broj zareza iznosi 500 po jednom

milimetru). Udaljenost izmeñu dva zareza na optičkoj rešetci naziva se konstanta rešetke.

Ako svjetlost valne duljine λ doñe na optičku rešetku konstante d, ona se ogiba.

Maksimumi rasvjete se dogañaju kada kut ogiba α ispunjava sljedeće uvjete:

... 3, ,2 ,1

sin

=⋅=⋅

k

dk αλ

- 144 -

Slika 9.2.1

Svjetlost se prikuplja unutar oka na

mrežnici, stoga se izvor svjetlosti vidi u boji

promatrane spektralne linije na skali u

produžetku svjetlosne zrake.

Sljedeća je formula za ogib k-tog reda

izvedena geometrijskom dedukcijom sa Slike

9.2.1:

22 lx

xdk

+=⋅λ

Bohrov model atoma

Niels Bohr je pomoću jednostavnog poluklasičnog modela uspio 1913. izračunati

energiju vodika te objasniti atomske spektre sa svoja čuvena dva postulata. Treba naglasiti da

ovaj model nije točan u potpunosti, no još uvijek dobro služi za razumijevanje procesa u

atomu.

Prvi Bohrov postulat: Elektron ne može kružiti oko jezgre po bilo kojim, već samo

pod točno odreñenim kvantiziranima stazama. To su tzv. dopuštene ili stacionarne staze;

gibajući se po njima elektron se nalazi u stacionarnom stanju, ne gubi energiju zračenjem

elektromagnetskih valova. Dopuštene su samo one staze na kojim je orbitalni moment

količine gibanja cjelobrojni višekratnik reducirane Planckove konstante, m = h / 2π. Prirodni

broj m = 1, 2 , 3, ... se naziva i glavni kvantni broj.

Drugi Bohrov postulat: Atom asporbira (upije) zračenje samo kada primi odreñeni

kvant energije i emitira odreñeni kvant energije kada prelazi iz jednog stacionarnog stanja u

drugo (tj. kada prelazi iz stanja više energije u stanje niže). Atom ne može sponatno prijeći iz

stanja niže u stanje više energije, nego tek kada biva pogoñen sa odreñenim kvantom energije

(fotonom). Prelazak iz višeg stanja (s glavnim kvantnim brojem m) u niže stanje (s glavnim

kvantnim brojem n) je spontan dogañaj, pri čemu se emitira kvant energija (foton).

Frekvencija emitiranog fotona pri sponatanom prelasku iz višeg u niže energetsko stanje dana

je formulom:

h

EEfEEfh nm

nm −=⇒−=⋅

gdje je E energija fotona i Em > En, a f je frekvencija fotona.

- 145 -

Dakle, apsorpcijom fotona dolazi do pobuñenja atoma - prelaska atoma iz niže u više

energetsko stanje, a spontanom emisijom fotona dolazi do prijelaza atoma iz višeg u niže

energetsko stanje.

Zbog ionizacije sudarima unutar spektralne lampe, molekula vodika u lampi se

pretvara u atome. Elektroni se vodikovog atoma pobuñuju na višu energijsku razinu kroz

sudar s elektronima. Prilikom povratka na nižu energijsku razinu, atomi emitiraju svjetlost

frekvencije f koja je odreñena upravo tom energijskom razlikom različitih stanja atoma:

fhE ⋅=∆ , gdje je h Planckova konstanta.

Energija je En (n-tog energijskog nivoa) dozvoljene staze elektrona, po Bohrovom

modelu atoma dana formulom:

... 3, 2, 1, ,1

8

1222

0

4

=⋅⋅⋅⋅−= n

nh

meE e

n ε

gdje je 2120 C/m 108542,8 −⋅=ε dielektrična konstanta vakuuma, C 106021,1 19−⋅=e naboj

elektrona, a kg 101091,9 31e

−⋅=m masa elektrona u mirovanju. Stoga emitirana svjetlost

može imati sljedeće frekvencije:

( )... 3, 2, 1, ,

118

1

2232

0

4

=

−⋅⋅

⋅⋅= n

mnh

mef e

ε

Ukoliko se koristi valni broj N = λ-1 umjesto frekvencije, zamjenjujući fc ⋅= λ gornja

se formula transformira u:

,11

22th

−⋅=mn

RN

gdje su m i n glavni kvantni brojevi početnog i konačnog stanja elektrona, a

1-732

0

4

th m 10097,18

1 ⋅=⋅⋅⋅=h

meR e

ε Rydbergova konstanta, koja proizlazi iz Bohrovog modela

atoma.

- 146 -

Balmerova serija

Balmerova serija ili Balmerov niz je jedan od 6 različitih nizova spektralnih linija

emisijskog spektra vodikovog atoma, a opisuje vidljivi dio vodikovog spektra, koji odgovara

prijelazima elektrona iz pobuñenih stanja s glavnim kvantnim brojevima n = 3, 4, 5, 6 u stanje

s glavnim kvantnim brojem n = 2 (prvo pobuñeno stanje). Ostali nizovi spektralnih linija,

zajedno s njihovim imenima prikazani su na Slici 9.2.2 i odnose se na dio spektra koji nije

vidljiv ljudskom oku.

n = 1 Lymanova serija, ultraljubičasto

područje spektra

n = 2 Balmerova serija, od

ultraljubičastog do crvenog

područje spektra

n = 3 Paschenova serija, infracrveno

područje spektra

n = 4 Bracketova serija, infracrveno

područje spektra

n = 5 Pfundova serija, infracrveno

područje spektra

Slika 9.2.2:. Energijski nivoi atoma vodika

Uputa:

Slika eksperimenta je prikazana na Slici 9.2.3. Metarsku skalu na kojoj ćete očitavati

udaljenost spektralnih linija montirajte odmah iza spektralne lampe. Optičku rešetku

namjestite paralelno s metarskom skalom na udaljenosti do 45 cm od skale, a visinu optičke

rešetke namjestite u istoj visini s prorezom spektralne lampe.

Živina, odnosno vodikova spektralna lampa je izvor svijetlosti koji promatrate, a

priključuje se na izvor visokog napona. Podesite napon izvora napajanja odgovarajuće kako bi

lampa počela svijetliti, tek kada ste sve postavili za rad, maksimalno do 5 kV.

- 147 -

Slika 9.2.3

Kroz optičku rešetku promatrajte svijetleći prorez spektralne lampe. Sobu zamračite

kako biste što bolje uočili spektralne linije, ali ne toliko da ne vidite brojeve na skali.

Očitavanje udaljenosti spektralnih linija (2x) na metarskoj skali vršite tako da oči dovedete u

položaj da spektralne linije vidite simetrično s lijeve i desne strane spektralne lampe.

Udaljenost l (udaljenost izmeñu metarske skale i optičke rešetke) i 2x (udaljenost

izmeñu spektralnih linija iste boje s lijeve i desne strane spektralne lampe) očitajte i upišite u

dane tablice.

U prvom dijelu vježbe promatrat ćete živin spektar (tj. živinu lampu), u kojem možete

jasno vidjeti tri linije. Veličine 2x i l upišite u Tablicu 9.2. Iz poznatih valnih duljina živinog

spektra izračunajte konstantu dane optičke rešetke i odredite koliko rešetka ima zareza po

milimetru duljine.

Korišteni izrazi:

=d

=d

- 148 -

Tablica 9.2

λ xlijevo xdesno 2x l d boja

jedinica nm mm mm mm mm µm

žuta 578,0

zelena 546,1

ljubičasta 434,8

=d

Iz srednje vrijednosti konstante optičke rešetke odredite koliko je to zareza po milimetru:

zareza po milimetru

U drugom dijelu vježbe promatrat ćete vodikov spektar. Koristite podatak za konstantu

optičke rešetke koju ste izračunali u prvom dijelu vježbe. Mjerene vrijednosti za 2x i l upišite

u Tablicu 9.3. te odredite valne duljine spektralnih linija i Rydbergovu konstantu.

Korišteni matematički izraz:

λ =

R =

Tablica 9.3

xlijevo xdesno 2x l λexp Rexp linija

jedinica mm mm mm mm nm m-1

crvena (m = 3)

plava (m = 4)

ljubičasta (m = 5)

=R

- 149 -

Tablična vrijednost za Rydbergovu konstantu:


=Rp

= =

Zaklju čak:

- 150 -

VJEŽBA 10

Vježba 10.1 Odreñivanje indeksa loma stakla i vode

Pribor: Izvor svjetlosti, spojni kablovi, izvor 12 V DC, slajd s jednostrukim prorezom,

optički kutomjer, polukružni stakleni blok, plastična polukružna posuda, voda

Zadaci: 1. Odredite indeks loma za staklo i za vodu.

2. Usporedite dobivene vrijednosti s tabličnom te odredite relativnu pogrešku.

Teorijska podloga

Kada snop paralelnih zraka svjetlosti prolazi kroz ravnu graničnu plohu dvaju

izotropnih dioptrijskih sredstava, dolazi do promjene smjera širenja svjetlosti. To je pojava

loma ili refrakcije svjetlosti. Ploha koja dijeli dva dioptrijska sredstva naziva se dioptrijska

ploha. Pri lomu svjetlosti vrijede ovi eksperimentalno potvrñeni zakoni:

• Upadna zraka, normala na graničnu plohu i lomljena zraka leže u istoj ravnini.

• Omjer je sinusa upadnog kuta i sinusa lomljenog kuta stalan i jednak je omjeru

indeksa loma drugog sredstva i indeksa loma prvog sredstva (Snellov zakon loma).

Lom svjetlosti nastaje na granici dvaju sredstava zbog različite brzine svjetlosti u tim

sredstvima. Indeks loma svjetlosti, n, jednak je omjeru brzina svjetlosti u vakuumu i

promatranom sredstvu, tj. n = c/v. Neko je sredstvo optički gušće od drugog ako je brzina

širenja svjetlosti u njemu manja nego u tom drugom sredstvu, odnosno njegov indeks loma

veći. Ako je pak brzina veća, onda je to sredstvo optički rjeñe.

U slučaju kada upadna zraka svjetlosti dolazi iz sredstva s indeksom loma n1 i upada

pod kutom α, a lomljena zraka se lomi pod kutom β i nalazi se u sredstvu indeksa loma n2

(Slika 10.1.1), zakon loma (Snellov zakon) uobičajeno pišemo u jednom od sljedećih oblika:

1

2

2

1

sin

sin

n

n

v

v==

βα

- 151 -

Zakon je vjerojatno najlakše pamtiti u obliku:

„Umnožak sinusa kuta i indeksa loma sredstva

(gdje se nalazi taj kut) je konstantan“, tj.

βα sinsin 21 nn =

Slika 10.1.1

Iz Snellova zakona loma slijedi: Kada zraka svjetlosti prelazi iz optički rjeñeg u

optički gušće sredstvo, lomi se prema okomici. Kada zraka svjetlosti prelazi iz optički gušćeg

u optički rjeñe sredstvo, lomi se od okomice.

Uputa:

Optički kutomjer

postavite ispred izvora svjetla,

a na njega postavite polukružni

stakleni blok (Slika 10.1.2).

Koristite izvor svjetlosti s

pravokutnim otvorom za

paralelnu svjetlost (otvor s

lećom). Ukoliko nije tako

namješteno skinite poklopac i

montirajte ga obrnuto. Slika 10.1.2

Slajd s jednostrukim prorezom stavite na izvor svjetlosti. Polukružni stakleni blok postavite

na optički kutomjer kao na slici. Zraku svjetlosti usmjerite točno u središte polukružnog bloka

pod zadanim upadnim kutom. Koristimo polukružni stakleni blok jer je to ustvari

plankonveksna leća koja ima svojstvo da lomi zraku, koja prolazi kroz središte zakrivljenosti

leće, samo jedanput. Mjerite odgovarajući kut loma i rezultat upišite u Tablicu 10.1.

U nastavku pokusa (kada budete odreñivali indeks loma vode) ponovite postupak, ali

koristite plastičnu polukružnu posudu u koju nasipajte vodu. Rezultate upišite u Tablicu 10.1.

Korišteni izrazi:

=n

=n

- 152 -

Tablica 10.1

staklo voda

upadni kut α

kut loma βs

ns kut loma βV

nv mjerenje

jedinica ° ° - ° -

1. 10,0

2. 20,0

3. 30,0

4. 40,0

5. 60,0

=Sn =Vn

Tablična vrijednost za indeks loma stakla:

Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) indeksa loma za staklo:

=snp

= =

Tablična vrijednost za indeks loma vode:

Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) indeksa loma za vodu:

=vnp

= =

Zaklju čak:

- 153 -

Vježba 10.2 Odreñivanje žarišne daljine leće


konvergentna leća, divergentna leća.

Zadatak: 1. Konstruirajte karakteristične zrake danih leća. Ucrtajte fokuse leća i izmjerite

žarišne daljine danih leća.

Teorijska podloga

Sferni dioptar je skup dvaju homogenih izotropnih optičkih sredstava različitih

indeksa loma, rastavljenih sfernom plohom. Prozirno sredstvo omeñeno dvama sfernim

dioptrima (jedna ploha može biti ravnina) naziva se leća. Razlikujemo:

• leće tankog ruba: bikonveksna, plankonveksna i konkavkonveksna leća

• leće debelog ruba: bikonkavna, plankonkavna i konkavkonveksna (Slika 10.2.1)

Slika 10.2.1

Može se pokazati da vrijedi slijedeća jednadžba za tanke leće (vidi J. Planinić:

„Osnove fizike 3“):

fba

111 =+

gdje je:

a udaljenost predmeta od leće, b udaljenost slike predmeta od leće, a f žarišna daljina leće.

- 154 -

Konveksne leće imaju pozitivnu vrijednost žarišne daljine f i one skupljaju paralelni

snop zraka u žarištu pa se zbog toga nazivaju leće sabirače ili konvergentne leće (Slika 10.2.2

a)). Konkavne leće (u sredini tanje nego na rubovima) imaju negativnu žarišnu daljinu i

rasipaju paralelni snop zraka svjetlosti pa se zbog toga nazivaju leće rastresače, negativne ili

divergentne leće (slika 10.2.2 b)).

Slika 10.2.2

Konstrukciju slike predmeta kod leća najlakše dobivamo koristeći karakteristične zrake

(Slika 10.2.3):

1. Zraka koja dolazi paralelno optičkoj osi lomi se kroz žarište slike F'.

2. Zraka koja dolazi kroz žarište predmeta F lomi se paralelno optičkoj osi.

3. Zraka koja prolazi kroz tjeme leće ne lomi se, tj. prolazi bez promjene smjera.

Slika 10.2.3

Jakost leće recipročna je vrijednost žarišne daljine izražena u metrima, tj.

fj

1=

Jakost leće izražava se u dioptrijama: jedna dioptrija je jakost leće koja ima žarišnu

daljinu jedan metar. Konvergentne leće imaju pozitivnu, a divergentne leće negativnu jakost.

Narav i veličina slike konvergentne leće ovise o položaju realnog predmeta.

Divergentne leće daju uvijek virtualnu, umanjenu i uspravnu sliku, bez obzira na to gdje je

bio realni predmet.

- 155 -

Uputa:

Na sredini lista papira nacrtajte ravnu liniju od lijevog do desnog ruba (optička os).

Koristite izvor svjetlosti s pravokutnim otvorom za paralelnu svjetlost (otvor s lećom).

Ukoliko nije tako namješteno skinite poklopac i montirajte ga obrnuto. Umetnite slajd s

jednostrukim prorezom na izvor svjetlosti. Postavite konvergentnu leću okomito na nacrtanu

optičku os i nacrtajte njezin obris. Ucrtajte tri karakteristične zrake. Postupak ponovite za

divergentnu leću.

Konstrukcija slika zahtjeva prethodno znanje o tri karakteristične zrake svjetlosti.

Upadnu i lomljenu zraku svjetlosti označite sa po dvije točke koje ucrtajte ravnalom poslije

uklanjanja leće i izvora svjetla.

Konvergentna leća Divergentna leća

Kako se lomi zraka svjetlosti koja je

paralelna s optičkom osi?

Kako se lomi zraka svjetlosti koja je

paralelna s optičkom osi?

Kako se lomi zraka svjetlosti koja prolazi

kroz lijevi fokus


kroz desni fokus?


kroz središte leće?


kroz središte leće?

- 156 -

Karakteristi čne zrake konvergentne leće

=1f

=2f

- 157 -

Karakteristi čne zrake divergentne leće

=1f

=2f

Zaklju čak:

- 158 -

Vježba 10.3. Odreñivanje pomaka zraka svjetlosti na planparalelnoj ploči


kutomjer, planparalelna ploča.

Zadatak: 1. Provjerite izraz za pomak planparalelne ploče. O čemu on ovisi i kakve su

ulazna i izlazna zraka kod planparalelne ploče?

2. Pogreške.

Teorijska podloga:

Planparalelna je ploča prozirno optičko sredstvo ograničeno dvjema ravnim,

paralelnim dioptrijskim plohama. Promatrat ćemo ploču koja se nalazi u zraku čiji je indeks

loma približno 1. Neka svjetlost upada pod kutom α na planparalelnu ploču indeksa loma n,

debljine d (Slika 10.3.1).

Slika 10.3.1

Kao što se vidi na slici, zraka svjetlosti prolazom kroz planparalelnu ploču ne mijenja

svoj smjer, ali dolazi do pomaka, tj. ulazna i izlazna zraka su pomaknute za iznos ∆. Kako

pronaći eksplicitan izraz za pomak zrake ∆? Vrlo jednostavno, koristeći trigonometrijske

relacije i zakone loma. Prisjetimo se zakona loma svjetlosti.

Kod planparalelne ploče upadni snop svjetlosti se dva puta lomi, u točkama A i B

(Djelomično odbijanje snopa svjetlosti zanemarujemo.). Zakon loma u točki A daje sljedeći

izraz:

n

βα sinsin =

- 159 -

Trokut ABC je pravokutan trokut. Izrazimo kosinus kuta β u tom trokutu:

AB

d=βcos

Slično, definicija sinusa kuta (α – β) u susjednom pravokutnom trokutu daje:

( )AB

∆=− βαsin

Iz kombinacije danih relacija dobivamo izraz za ∆:

( ) ( )β

αββαβ

βαβαcos

cossincossin

cos

sinsin

⋅−⋅⋅=−⋅=−⋅=∆ dd

AB

Konačno, dobivamo izraz:

⋅−⋅=∆β

αβαcos

cossinsind

Kosinus kuta β u gornjoj relaciji zamijeniti ćemo pomoću geometrijske relacije

ββββ 222 sin1cos1cossin −=⇒=+

pa dobivamo:

−

⋅−⋅=∆βαβα

2sin1

cossinsind

Preostaje nam samo da iskoristimo izraz koji smo dobili iz zakona loma:

−

⋅−⋅=∆

2

2sin1

cossin

sin

n

ndα

αα

α

Konačno, rješavanjem dvojnog razlomka, dobivamo izraz za pomak zrake svjetlosti

koja upada pod kutom α i prolazi kroz planparalenu ploču debljine d, indeksa loma n:

−−⋅⋅=∆

ααα

22 sin

cos1sin

nd

Ako se mjere veličine d, α i ∆, pomoću gornje jednadžbe može se odrediti indeks loma

planparelne ploče n.

Uputa:


Slajd s jednostrukim prorezom stavite na izvor svjetlosti. Izvor svjetlosti postavite na list

papira. Postavite stakleni trapezni blok (planparalelnu ploču) ispred izvora svjetlosti kao na

Slici 10.3.2. Na papir ucrtajte paralelne rubove bloka te zrake svjetlosti.

- 160 -

Slika 10.3.2

Zraka svjetlosti treba padati na stakleni blok pod kutom, ona se lomi i izlazi iz bloka.

Upadnu i lomljenu zraku svjetlosti označite sa po dvije točke koje ucrtajte ravnalom poslije

uklanjana bloka i izvora svjetla. Trebate ucrtati put zrake svjetlosti ispred stakla, u staklu i

nakon prolaska kroz staklo.

Odredite (izmjerite) upadni kut zrake svjetlosti, izračunajte (računski) pomak

planparalelne ploče te dobiveni rezultat usporedite s eksperimentalno dobivenim pomakom

planparalelne ploče tako da izmjerenu vrijednost uzmete kao "tabličnu" vrijednost.

Korišteni izrazi:

=∆

=n

=

Tablica 10.3:

Izmjerene vrijednosti: =∆ .exp

=d

=α

=β

Izračunata vrijednost: =∆ .rač

- 161 -

Ucrtajte blok i put svjetlosti:

Postotna pogreška (izmjerene i izračunate vrijednosti) pomaka zrake:

=∆p = =

Zaklju čak:

- 162 -

Vježba 10.4 Odreñivanje kuta devijacije na prizmi


slajd s dvostrukim prorezom, kutomjer, prizma.

Zadatak: 1. Provjerite izraz za kut devijacije na prizmi.

2. Uočite pojavu disperzije svjetlosti.

3. Demonstrirajte zakretanje svjetlosti na prizmi zbog totalne refleksije.

4. Pogreške.

Teorijska podloga:

Prizma je optičko sredstvo ograničeno s dvije dioptrijske ravne plohe koje nisu

meñusobno paralelne. Pravac u kojem se sijeku dioptrijske ravnine naziva se brid prizme, a

kut izmeñu njih je kut prizme (Slika10.4.1 a)). Ravnina normalna na brid prizme siječe

prizmu u njenom glavnom presjeku (Slika 10.4.1 b)).

Slika 10.4.1

Promatramo prizmu indeksa loma n2, koja se nalazi u sredstvu indeksa loma n1, (n2 >

n1). Konstruirajmo hod zrake koja upada pod kutom α. Zraka se dva puta lomi (na ulazu i

izlazu iz prizme) te se otklanja za kut devijacije δ (što je kut izmeñu upadne i izlazne zrake).

Uzmemo li oznake kutova kao na gornjoj slici, onda za prvi upadni kut α, prvi kut loma β,

drugi upadni kut β' i drugi kut loma α' vrijede sljedeći odnosi:

'ββϕ +=

( ) ( ) ( ) ( ) ϕααββααβαβαδ −+=+−+=−+−= '''''

- 163 -

Vidljivo je u posljednjoj jednadžbi kako je kut devijacije zrake svjetlosti na prizmi δ

funkcija kuta prizme ϕ, upadnog kuta α i izlaznog kuta α'. Može se pokazati, traženjem

ekstrema funkcije δ da je kut devijacije minimalan kada zraka svjetlosti prolazi prizmom

simetrično, tj. kada je α = α' , odnosno β = β'.

Upute:


Slajd s jednostrukim prorezom stavite na izvor svjetlosti. Izvor svjetlosti postavite na list

papira. Postavite staklenu prizmu ispred izvora svjetlosti (Slika 10.4.2). Na papir ucrtajte

rubove prizme te zrake svjetlosti. Izmjerite upadni i izlazni kut zrake svjetlosti, kut prizme, te

izračunajte kut devijacije. Usporedite izračunatu vrijednost s izmjerenom vrijednošću tako da

izmjerenu vrijednost uzmete kao "tabličnu" vrijednost.

Slika 10.4.2

Korišteni matematički izraz:

=δ

Tablica 10.4:

Izmjerene vrijednosti: =mjerenoδ

=α

='α

=ϕ

Izračunata vrijednost: =.račδ

- 164 -

Postotna pogreška (izmjerene i izračunate vrijednosti) kuta devijacije prizme:

=δp

= =

Ucrtajte prizmu i put svjetlosti:

- 165 -

Sada stavite slajd s dvostrukim prorezom i ostvarite situaciju kao na Slici 10.4.3 te

ucrtajte lomljene zrake. Što se dogaña kada kut premaši totalni kut loma i doñe do totalne

refleksije na bazi prizmi?

Slika 10.4.3


- 166 -

Ostvarite sada situaciju kao na Slici 10.4.4 te ucrtajte lomljene zrake. Što se dogodilo

sa zrakama?

Slika 10.4.4


Zaklju čak:

Documents

PF dio 03 str 89-166 - UNIOSfizika.unios.hr/~imiklavcic/wp-content/uploads/2012/02/PF-dio-03-str-89-166.pdfU gornji i donji red tablice 6.2 upišite oznake i pripadne mjerne jedinice