Click here to load reader
Upload
ku-peo
View
597
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
K
Q
J
I
P
N
A
B
C
D
S
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Các d ng thi t di n theo cách xác đ nh m t ph ng:ạ ế ệ ị ặ ẳ1.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua 3 đi m không th ng hàngể ẳ2.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) ch a m t đ ng th ng và song songứ ộ ườ ẳ v i m t đ ng th ng cho tr cớ ộ ườ ẳ ướ3.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua m t đi m vàộ ể song song v i haiớ đ ng th ng cho tr c.ườ ẳ ướ4.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua m t đi m và song song v i m tộ ể ớ ộ m t ph ng cho tr c.ặ ẳ ướ5.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) ch a m t đ ng th ng và vuôngứ ộ ườ ẳ góc m t đ ng th ng cho tr c. ộ ườ ẳ ướ 6.Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua m t đi m và vuông góc v iộ ể ớ m t m t ph ng.ộ ặ ẳ
D ng 1ạ : Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) qua 3 đi m không th ngể ẳ hàng
Ph ng pháp:ươB c 1:ướ T hai đi m chung có s n, xác đ nh giao tuy n đ u tiên c a m từ ể ẵ ị ế ầ ủ ặ ph ng ẳ (P) v i m t m t c a hình chóp.ớ ộ ặ ủB c 2:ướ Cho giao tuy n v a tìm đ c c t các c nh c a m t đó c a hình chópế ừ ượ ắ ạ ủ ặ ủ ta s đ c các đi m chung m i c a ẽ ượ ể ớ ủ (P) v i các m t khác. T đó xác đ nh đ cớ ặ ừ ị ượ giao tuy n v i các m t này.ế ớ ặB c 3ướ : Ti p t c nh trên t i khi các đo n giao tuy n t o thành m t đa giácế ụ ư ớ ạ ế ạ ộ ph ng khép kín ta đ c thi t di n. ẳ ượ ế ệB c 4ươ : D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ
Ví d 1ụ : Cho hình chóp t giác ứ S.ABCD, M là đi m b t kì n m trên c nh ể ấ ằ ạ SC (không trùng v i ớ S, C), N và P l n lu t là trung đi m c a ầ ợ ể ủ AB, AD. Tìm thi t di n c a hìnhế ệ ủ chóp v i ớ (MNP).
Gi i:ảTa có:( ) ( )MNP ABCD NP∩ =Kéo dài BC và NP c t nhau t i ắ ạ I,
khi đó ( ) ( )MNP SBC KM∩ =Kéo dài DC c t ắ NP t i ạ J,
( ) ( )( ) ( )MNP SCD MQ
MNP SAD PQ
∩ =
∩ =V y thi t di n là ngũ giác ậ ế ệ KMQPN.
1
K
N
I
M
O
C
A D
B
S
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
D ng 2:Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ạ ế ệ ủ ớ ặ ẳ (P) ((P) ch a m t đ ngứ ộ ườ th ng ẳ a song song v i m t đ ng th ng ớ ộ ườ ẳ b cho tr c (ướ a và b chéo nhau)) .
@Ph ng pháp:ươB c 1ướ : Ch ra 2 mp ỉ (P) và (Q) l n l t ch a hai đ ng th ng song song ầ ượ ứ ườ ẳ a và b .B c 2:ướ Tìm m t đi m chungộ ể M c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ ( có th d ng thêm các đ ngể ự ườ ph ).ụB c 3ướ : Khi đó: ( ) ( )P Q Mt a b∩ = P P
B c 4:ướ S d ng các cách tìm thi t di n đã bi t ta tìm giao tuy n c a m t ph ng ử ụ ế ệ ế ế ủ ặ ẳ (P) v i các m t còn l i c a hình chóp.ớ ặ ạ ủB c 5ướ : D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ
Ví d 2:ụ Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành, M là trung đi m c a ể ủ SC, (P) là m t ph ng qua ặ ẳ AM và song song BD. Tìm thi t di n c a hình chóp khi c t ế ệ ủ ắ (P).Gi i:ảTa có:
( ) ( ),BD P BD SBD⊂P
G i ọ O là tâm c a hình bình hành ủ ABCD.G i ọ I SO AM= ∩Khi đó ( ) ( )P SBD Ix BD∩ = P
Ix c t ắ SB t i ạ K, c t ắ SD t i ạ N.Do đó:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
P SBC MK
P SCD MN
P SAB AK
P SAD AN
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =V y thi t di n là t giác ậ ế ệ ứ KMNA.
D ng 3:Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P) qua m t đi m và song songạ ế ệ ủ ớ ặ ẳ ộ ể v i hai đ ng th ng cho tr c:ớ ườ ẳ ướ
@Ph ng pháp:ươB c 1ướ : Tìm đi m M ể ∈ (P) ∩ (Q)B c 2ướ : Ch ra mp (P)ỉ P a ( ho c ặ b ) ⊂ (Q). Suy ra giao tuy n ế (P) và (Q) là đ ngườ th ng qua ẳ M và song song a ( ho c ặ b ).B c 3ướ : Ti p t c tìm giao tuy n c a các m t khácế ụ ế ủ ặ c a hình chóp v i ủ ớ (P) b ng cácằ cách đã bi t.ếB c 4:ướ D ng thi t di n và k t lu n. ự ế ệ ế ậ
Ví d 3ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang ( AD song song BC ), M là đi mể b t kì thu c ấ ộ AB và ( )α là m t ph ng qua ặ ẳ M và song song v i ớ AD và SB.Tìm thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ ( )α .
2
PK
N
A D
B
S
C
M
KP
N
S
B
DA
C
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Gi i:ảTa có: ( ) ( )M ABCDα∈ ∩( )α song song v i ớ AD nên:
( )( ) ABCD Mx ADα ∩ = P
G i ọ N Mx CD= ∩( )α song song v i SB nên:ớ
( )( ) SAB MP SBα ∩ = P
T ng t ta có: ươ ự ( )( ) SAD Px ADα ∩ = P
G i ọ K Px SD= ∩( )( ) SCD KNα ∩ =
V y thi t di n là hình thang ậ ế ệ MNKP.
D ng 4:Thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P) đi qua m t đi m và songạ ế ệ ủ ớ ặ ẳ ộ ể song v i m t m t ph ng cho tr c.ớ ộ ặ ẳ ướ
Ph ng pháp:ươB c 1ướ : Tìm đi m chung M c a hai m t ph ng ể ủ ặ ẳ (P) và m t m t ph ng nào đó c a hìnhộ ặ ẳ ủ chóp.
B c 2:ướ Ch ra ỉ ( ) ( )P QP .
Tìm ( ) ( ) ( ) ( )( )a P R b Q R= ∩ = ∩ . Khi đó giao tuy n là đ ng th ng qua Mế ườ ẳ
song song v i ớ a ( ho c ặ b ).B c 3:ướ D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ
Ví d 4ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang, c nh đáy ạ AB, CD AB< .( )α là m t ph ng qua ặ ẳ M trên c nh ạ AB và song song v i m t ph ng ớ ặ ẳ (SAD).
Tìm thi t di n c a hình chóp v i ế ệ ủ ớ ( )α .
Gi i:ảTa có:
( ) ( )M ABCDα∈ ∩ ,
( ) ( )M SABα∈ ∩
Do ( )α song song v i ớ (SAD) nên:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
ABCD MN AD
SAB MK SA
SCD NP SD
SBC KP
αααα
∩ =
∩ =
∩ =
∩ =
P
P
P
V y thi t di n là hình thang ậ ế ệ KMNP.
3
IH
D
B C
A
S
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
D ng 5:Thi t di n qua m t đi m và vuông góc v i m t đ ng th ng cho tr cạ ế ệ ộ ể ớ ộ ườ ẳ ướGi s c n xác đ nh thi t di n c a m t hình chóp c t b i m t ph ng ả ử ầ ị ế ệ ủ ộ ắ ở ặ ẳ (P) đi qua m tộ đi m ể M và vuông góc v i ớ d cho tr c. ướPh ng pháp chung: ươB c 1: Tìm hai đ ng th ng ướ ườ ẳ a và bc t nhau cùng vuông góc v i ắ ớ d ( trong đó ít nh t m t đ ng th ng đi qua đi m ấ ộ ườ ẳ ể M).B c 2: Khi đó (P)ướ P ( a ,b).B c 3: Tìm giao tuy n c a ướ ế ủ (P) v i hình chóp b ng các cách đã bi t.ớ ằ ếB c 4: D ng thi t di n và k t lu n.ướ ự ế ệ ế ậ
Chú ý: N u đã có s n 2 đ ng th ng c t nhau ho c chéo nhau mà cùng vuông góc v iế ẵ ườ ẳ ắ ặ ớ d thì ta ch n ọ (P) song song v i ớ a (hay ch a ứ a ) và b song song v i ớ (P) (hay ch a ứ b). R i th c hi n các b c còn l i.ồ ự ệ ướ ạ
Ví d 5ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình ch nh t, ữ ậ SA vuông góc v i m tớ ặ ph ng ẳ (ABCD).
G i ọ ( )α là m t ph ng quaặ ẳ A và vuông góc v i ớ SB. Xác đ nh thi t di n khi ị ế ệ ( )α c tắ
hình chóp (S.ABCD).Gi i:ảTa có:
( )AD AB
AD SABAD SA
AD SB
⊥ ⇒ ⊥⊥
⇒ ⊥T ừ A k đ ng th ng vuông góc v i ẽ ườ ẳ ớ SB t i ạ H.
Do đó ( ) ( )HADα ≡Khi đó:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
SAB AH
SAD AD
ABCD AD
ααα
∩ =
∩ =
∩ =
Do ( ) AD BCα ⊃ P
Nên ( ) ( )SBC Hx BCα ∩ = P
G i ọ I Hx SC= ∩Khi đó ( ) ( )SBC HIα ∩ =V y thi t di n c n tìm là hình thang ậ ế ệ ầ AHID. D ng 6ạ : Th t di n ch a m t đ ng th ng a và vuông góc v i m t m t ph ng .ế ệ ứ ộ ườ ẳ ớ ộ ặ ẳ
B c 1ướ : Ch n ọ 1 đi m ể A n m trên đ ng th ngằ ườ ẳ a sao cho qua A có th d ng đ cể ự ượ
đ ng th ng ườ ẳ b vuông góc v i mpớ ( )α m t cách d nh t.ộ ễ ấ
B c 2ướ : Khi đó, mp ( a ,b) chính là mp ( )α c n d ngầ ự
B c 3:ướ Tìm giao tuy n c a ế ủ ( )α v i hình chóp b ng các cách đã bi t.ớ ằ ế B c 4:ướ D ng thi t di n và k t lu n.ự ế ệ ế ậ
4
N
JI
C
A D
B
S
K
P
I
N
M
B
C
A1C1
B1
A
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Ví d 6ụ : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình ch nh t, SA vuông góc v i m tữ ậ ớ ặ ph ng (ABCD). G i I, J l n l t là trung đi m c a AB, CD. G i (P) là m t ph ng quaẳ ọ ầ ượ ể ủ ọ ặ ẳ và vuông góc v i m t (SBC). Tìm thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng (P).Ị ớ ặ ế ệ ủ ớ ặ ẳ
Gi i:ả
Ta có ( )IJ ABIJ SAB IJ SB
IJ SA
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥⊥
T I k đ ng th ng vuông góc v i SB t i K.ừ ẻ ườ ẳ ớ ạDo đó ( ) ( )P KIJ≡
Ta có
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
P SAB KI
P ABCD IJ
P IJ BC P SBC KN BC
P SCD NI
∩ =
∩ =
⊃ ⇒ ∩ =
∩ =
P P
V y giao tuy n là hình thang ậ ế KNIJ.
Chú ý: Vi c tìm thi t diên c a m t ph ng ệ ế ủ ặ ẳ ( )α v i hình lăng tr đ c ti n hành t ngớ ụ ượ ế ươ
t nh đ i v i hình chóp. Nh ng chú ý r ng hình lăng tr có 2 m t đáy song songự ư ố ớ ư ằ ụ ặ
nhau, n u ế ( )α c t 1 m t đáy nào thì cuãng c t m t đáy còn l i theo giao tuy n songắ ặ ắ ặ ạ ế
song v i giao tuy n v a tìm đ c.ơ ế ừ ượVi c tìm thi t di n c a hình l p ph ng đ c ti n hành gi ng nh đói v i hình lăngệ ế ệ ủ ậ ươ ượ ế ố ư ớ tr .ụ
Ví d 7ụ : Cho hình lăng tr tam giác ụ ABC.A1B1C1, các đi m ể M, N l n l t là trung đi mầ ượ ể c a ủ BC và CC1.Xác đ nh thi t di n c a hình lăng tr v i m t ph ng ị ế ệ ủ ụ ớ ặ ẳ (A1MN).Gi i:ả( ) ( )1 1 1A MN BCB C MN∩ =Kéo dài AC và A1N c t nhau t i ắ ạ I.Khi đó:
( ) ( )( ) ( )
1
1 1 1 1
A MN ABC MP
A MN ABB A PA
∩ =
∩ =
V y thi t di n là t giác ậ ế ệ ứ PMNA1.
5
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Nh ng khó khăn c b n khi gi i toán thi t di n và bi n pháp kh c ph c.ữ ơ ả ả ế ệ ệ ắ ụ
Tìm thi t di n c a m t hình nào đó c t b i m t ph ng nào đó ch ng h n tìm thi tế ệ ủ ộ ắ ở ặ ẳ ẳ ạ ế di n c a hình chóp c t b i m t ph ng P: là ta tìm các giao tuy n c a m t ph ng (P)ệ ủ ắ ở ặ ẳ ế ủ ặ ẳ v i các m t c a hình chóp. Các “đo n giao tuy n” liên ti p t o ra khi c t các m t c aớ ặ ủ ạ ế ế ạ ắ ặ ủ hình chóp b i m t ph ng (P) hình thành m t đa giác ph ng, ta g i hình đa giác đó làở ặ ẳ ộ ẳ ọ thi t di n t o b i m t ph ng ế ệ ạ ở ặ ẳ (P) v i hình chóp.ớNh v y, th c ch t bài toán tìm thi t di n chính là bài toán tìm các giao đi m c a m tư ậ ự ấ ế ệ ể ủ ặ ph ng ẳ (P) v i các c nh c a hình chóp và tìm các đo n giao tuy n c a m t ph ng ớ ạ ủ ạ ế ủ ặ ẳ (P) v i các m t c a hình chóp.ớ ặ ủT đó ta có th th y nh ng khó khăn trong khi gi i bài toán v thi t di n ph n l n b từ ể ấ ữ ả ề ế ệ ầ ớ ắ ngu n t nh ng khó trong vi c tìm “giao đi m”(c a m t ph ng và các ồ ừ ữ ệ ể ủ ặ ẳ c nhạ c a hìnhủ chóp đ c c t b i m t ph ng) cũng nh xác đ nh các “đo n giao tuy n”(c a m tượ ắ ở ặ ẳ ư ị ạ ế ủ ặ ph ng và các m t c a hình đ c c t b i m t ph ng)ẳ ặ ủ ượ ắ ở ặ ẳ
Ta s l n l t ch ra nh ng khó khăn đó, nh ng m t khó khăn đ u tiên mà ta có thẽ ầ ượ ỉ ữ ư ộ ầ ể b t g p trong gi i toán thi t di n là làm sao có m t hình v thu n l i cho vi c gi iắ ặ ả ế ệ ộ ẽ ậ ợ ệ ả toán, vì hình h c không gian (HHKG) đòi h i s t duy tr u t ng cao mà thi t di n làọ ỏ ự ư ừ ượ ế ệ m t v n đ t ng đ i ph c t p c a HHKG, do v y m t hình v thích h p s tăngộ ấ ề ươ ố ứ ạ ủ ậ ộ ẽ ợ ẽ kh năng t duy c a chúng ta.ả ư ủ1. Nh ng khó khăn trong vi c v hình không gian và vi c tìm l i gi i d a nhi uữ ệ ẽ ệ ờ ả ự ề vào tr c giác, thi u c s t các đ nh lý hay h qu d n l i gi i sai:ự ế ơ ở ừ ị ệ ả ẫ ờ ả Hình v ch a th hi n h t gi thi t bài toán, hình v sai gây nên s b t c trongẽ ư ể ệ ế ả ế ẽ ự ế ắ vi c tìm l i gi i, hay tr c giác không chính xác d n t i bài gi i sai.ệ ờ ả ự ẫ ớ ảM t s h c sinh ch u nh h ng quá n ng c a hình h c ph ng do v y khi v hìnhộ ố ọ ị ả ưở ặ ủ ọ ẳ ậ ẽ trong HHKG l i tuân th m t cách máy móc v đ dài, di n tích, góc…đi u này sạ ủ ộ ề ộ ệ ề ẽ làm cho các em b b t t khi gi i toán HHKG.ị ế ắ ảVí dụ 0: khi v m t hình chóp ẽ ộ S.ABCD có đáy ABCD là m tộ hình vuông thì các em m c nhiên v hình chóp có đáy ặ ẽ ABCD là hình vuông và có đ nh là S.ỉRõ ràng hình v th a yêu c u bài toán nh ng vi c v hìnhẽ ỏ ầ ư ệ ẽ nh v y s g p nhi u khó khăn trong khi gi i bài toán.ư ậ ẽ ặ ề ả
- Th nh t: hình v có nhi u đ ng khu t mà ta cóứ ấ ẽ ề ườ ấ th h n ch đ c. Đi u này gây nhi u khó khăn khiể ạ ế ượ ề ề gi i nh ng bài toán ph c t p.ả ữ ứ ạ
- Th hai: c nh ứ ạ AD là nét khu t nh ng ch a đ c thấ ư ư ượ ể hi n trên hình v .ệ ẽ
- Th ba: giao di n m t bên ứ ệ ặ ( )SAD quá nh , đi u nàyỏ ề
gây nhi u khó khăn trong vi c gi i nh ng bài toán màề ệ ả ữ ta c n k thêm nh ng đ ng th ng n m trong m tầ ẻ ữ ườ ẳ ằ ặ ph ng đó.ẳ
- Th t : đa giác đáy là hình vuông thì đ c h c sinhứ ư ượ ọ th hi n hoàn là m t hình vuông nh bên hình h cể ệ ộ ư ọ
6
A
D C
B
S
N
M
A'
B'C'
B
D A
C
D'
P
N
M
B'
A'D'
A
C
B
D
C'
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
ph ng. N u đ bài yêu c u thêm là m t ph ng ẳ ế ề ầ ặ ẳ ( )SAD vuông góc v i m tớ ặ
ph ng đáy thì h c sinh khó mà v đ c hình đúng nh ý mình.ẳ ọ ẽ ượ ưNgoài ra, vi c th hi n nh ng hình v nh v y còn làm cho h c sinh m t nhi u th iệ ể ệ ữ ẽ ư ậ ọ ấ ề ờ gian cho vi c v hình.ệ ẽVí d 1:ụCho hình l p ph ng ậ ươ .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ . D ng thi t di n c a hình l p ph ng v i m tự ế ệ ủ ậ ươ ớ ộ m t ph ng di qua trung đi m ặ ẳ ể M c a c nh ủ ạ 'DD , trung đi m ể N c a c nh ủ ạ ' 'D C và đ nh ỉ A .H c sinh gi i bài toán nh sau: ọ ả ưDo hai m t bên ặ ( )BB A A′ ′ và ( )CC D D′ ′ song song v iớ
nhau nên giao tuy n c a hai m t này v i m t ph ngế ủ ặ ớ ặ ẳ ( )AMN cũng ph i song song v i nhau. Do đóả ớ
( ) ( )' ' ',AMN AA B B AB AB MN′∩ = P
( ) ( )' 'AMN AA D D AM∩ =
( ) ( )' ' ' ' 'AMN A B C D B N∩ =V y thi t di n c n tìm chính là hình ậ ế ệ ầ AMNB′Phân tích sai l m: ầH c sinh đã bi t đ c giao tuy n c a m t ph ngọ ế ượ ế ủ ặ ẳ ( )AMN và m t ph ng ặ ẳ ( )BB A A′ ′ là đ ng th ng điườ ẳ
qua A và song song v iớ MN. Tr c giác cho th y giao tuy n đó làự ấ ế đ ng th ng ườ ẳ AB′ . Đi u này ch a đúng vì ch a có c s ch ng minh ề ư ư ơ ở ứ AB MN′ P .
Gi iảTa có: ( ) ( )' 'AMN AA D D AM∩ =
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )' 'AA D D d ng ự AM c t ắ ' 'A D t i ạ P.
( ) ( )' ' ' 'AMN A B C D PN∩ =
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )' ' ' 'A B C D ta nh n th y ậ ấ, , 'P M B th ng hàng.ẳ
th t v y,ậ ậTa có:
1 1
2 2
MD PD
AA PA
′ ′= ⇒ =
′
Ta l i có ạ1
2
D N
A B
′=
′ ′
t đó suy ra ừ PN đi qua B′ và 1
2
NB
PB
′=
′ .
( ) ( )AMN CC D D MN′ ′∩ =
( ) ( )AMN AA B B AB′ ′ ′∩ =V y thi t di n c n tìm chính là hình ậ ế ệ ầ AMNB′ .
7
B
S
A
CD
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Đ i v i bài toán tìm thi t di n thì hình v là r t quan tr ng.ố ớ ế ệ ẽ ấ ọ@ Nguyên nhân:
V hình không th hi n h t gi thi t ho c v hình sai. Do b c đ u ti p xúcẽ ể ệ ế ả ế ặ ẽ ướ ầ ế v i hình h c không gian đòi h i tr u t ng và t duy cao, không th ng xuyên luy nớ ọ ỏ ừ ượ ư ườ ệ t p v hình.ậ ẽ
Không n m v ng đ c nh ng khái niêm do dó không th hi n h t gi thi tắ ữ ượ ữ ể ệ ế ả ế d n đ n không đ d ki n đ gi i quy t bài toán. Các khái ni m HS không n m v ngẫ ế ủ ữ ệ ể ả ế ệ ắ ữ ho c hi u nh m, ví d : “ t di n đ u”, “ hình chóp có đáy là tam giác đ u”, “ hìnhặ ể ầ ụ ứ ệ ề ề chóp đ u”, “hình lăng tr đ u”(hình lăng tr đ ng và có đáy là đa giác đ u, các m tề ụ ề ụ ứ ề ặ bên là hình ch nh t…)ữ ậ
@ Bi n pháp kh c ph c:ệ ắ ụ giúp h c sinh n m v ng nh ng quy t c v hình trong khôngọ ắ ữ ữ ắ ẽ gian, rèn luy n cho h c sinh k năng v hình trong không gian nh : hình chóp( hinhệ ọ ỹ ẽ ư chóp t giác đ u, hình chóp có đáy là hình vuông,…), hình lăng tr , hình h p. Giúp h cứ ề ụ ộ ọ sinh n m v ng khái ni m v các hình trong không gian đ có cách v hình chính xác….ắ ữ ệ ề ể ẽCác quy t c c b n khi v hình trong không gian:ắ ơ ả ẽ - Dùng nét ( ___ ) đ bi u di n cho nh ng đ ng nhìn th y.ể ể ễ ữ ườ ấ - Dùng nét (---) đ bi u di n nh ng đ ng khu t.ể ể ễ ữ ườ ấ - Hai đ ng th ng song song ( c t nhau ) đ c bi u di n thành hai đ ng th ngườ ẳ ắ ượ ể ễ ườ ẳ song song ( c t nhau ).ắ - Hình bi u di n c a hình thang là hình thang.ể ễ ủ - Hình bi u di n c a hình thoi, hình ch nh t, hình bình hành, hình vuông là hìnhể ễ ủ ữ ậ bình hành. - M t tam giácộ ABC có th xem là hình bi u di n c a m t tam giác b t kì….ể ể ễ ủ ộ ấChú ý: v hình không gian đúng quy t c là ch a đ mà còn ph i đ m b o th t có l iẽ ắ ư ủ ả ả ả ậ ợ cho vi c quan sát tr c giác, đi u này giúp ta d tìm ra l i gi i cho bài toán.ệ ự ề ễ ờ ả
Kh năng t duy tr u t ng kém t o ra nh ng khó khăn v tr c giác. Khi gi i m t sả ư ừ ượ ạ ữ ề ự ả ộ ố bài t p HS th ng m c ph i các sai l m do quan sát tr c quan t o ra.ậ ườ ắ ả ầ ự ạ
2. Khó khăn trong vi c tìm ra m t l i gi i t gi thi t.ệ ộ ờ ả ừ ả ế H c sinh th ng r i vào b t c không bi t b t đ u t đâu cho m t bài toán tìm thi tọ ườ ơ ế ắ ế ắ ầ ừ ộ ế di n.ệVí d 2:ụ Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông,
( )SA ABCD⊥ . G i ọ ( )α là m t ph ng qua ặ ẳ A và vuông góc v i ớ SB.
Hãy xác đ nh thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ị ế ệ ủ ớ ặ ẳ ( )α .
Trong bài toán này h c sinh th ng r i vào b t c,ọ ườ ơ ế ắkhông bi t b t đ u l i gi i t đâu, doế ắ ầ ờ ả ừkhông th y đ c hình bi u di n c a m t ph ng ấ ượ ể ễ ủ ặ ẳ ( )α
Nguyên nhân:Do h c sinh ch a n m đ c ph ng pháp chung đọ ư ắ ượ ươ ểgi i các d ng bài t p tìm thi t di n.ả ạ ậ ế ệgi iả
8
N
B
DC
A
S
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAB d ng ự AM SB⊥
Ta có: AD SA
AD AB
⊥⊥
do đó ( )AD SAB⊥suy ra AD SB⊥ (1)m t khác ặ AM SB⊥ (2)
t (1) và (2) suy ra ừ ( )ADM SB⊥
v y ậ ( ) ( )ADM α≡
ta có:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
AD
BC SBCMt SBC
AD BC
M SBC
α
α
α
⊂
⊂ ⇒ = ∩ ∈ ∩
P
,Mt BC Mt ADP P Mt c t ắ SC t i ạ N.
( ) ( )( ) ( )
SAB AM
SDC DN
αα
∩ =
∩ =V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ DAMN.@ Bi n pháp kh c ph c:ệ ắ ụ - Hình thành cho h c sinh ph ng pháp chung nh t đ gi i bài toán tìm thi t di n:ọ ươ ấ ể ả ế ệTìm giao tuy n gi a m t ph ng v i các m t c a hình chóp hay hình lăng tr …T đóế ữ ặ ẳ ớ ặ ủ ụ ừ suy ra các đo n giao tuy n. N i các đo n giao tuy n ta đ c đa giác ph ng, đó chính làạ ế ố ạ ế ượ ẳ thi t di n c n tìm.ế ệ ầPhân lo i các d ng bài t p tìm thi t di n, giúp h c sinh bi t đ c cách gi i v i t ngạ ạ ậ ế ệ ọ ế ượ ả ớ ừ d ng bài toán đ cho (ph n này đ c trình bài m c 1).ạ ề ầ ượ ở ụ - Nh đã nói trên ngu n g c c a nh ng khó khăn trong gi i toán thi t di n đ cư ở ồ ố ủ ữ ả ế ệ ượ xu t phát ph n l n nh ng khó khăn v tìm “giao đi m” cũng nh xác đ nh “đo nấ ầ ớ ở ữ ề ể ư ị ạ giao tuy n”. Mà vi c xác đ nh “đo n giao tuy n” ho c là ta đã có ho c n u không cóế ệ ị ạ ế ặ ặ ế s n thì xác đ nh đo n giao tuy n b ng cách tìm các giao đi m là ph bi n (tuy nhiênẳ ị ạ ế ằ ể ổ ế còn có ph ng pháp khác s nêu ra sau)ươ ẽ - Nh v y quy cho cùng v n đ tìm “giao đi m” là c t lõi trong bài toán thi t di n.ư ậ ấ ề ể ố ế ệV y làm sao đ tìm đ c “giao đi m” ch ng h n là giao đi m c a hình chóp c t b iậ ể ượ ể ẳ ạ ể ủ ắ ở m t ph ng nào đó.ặ ẳKhó khăn b t đ u t đây mà nguyên nhân ch y u là các em h c sinh không n m v ngắ ầ ừ ủ ế ọ ắ ữ ph ng pháp d n đ n sai l m.ươ ẫ ế ầ
Có th nêu ra hai ph ng pháp tìm giao đi m c a m t đ ng th ng và m t đ ngể ươ ể ủ ộ ườ ẳ ộ ườ th ng:ẳCách 1:Đ tìm giao đi m c a đ ng th ng ể ể ủ ườ ẳ a và m t ph ng ặ ẳ (P) ta đi tìm giao đi m c a đ ngể ủ ườ th ng ẳ a và m t đ ng th ng b n m trong m t phăng ộ ườ ẳ ằ ặ (P).
9
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
( ) ( )b Pa P I
a b I
⊂ ⇒ ∩ =∩ =
Cách 2:Đ tìm giao đi m c a đ ng th ng a và m t ph ng ể ể ủ ườ ẳ ặ ẳ (P) ta ch n m t ph ng ph ọ ặ ẳ ụ (Q) ch a ứ a, sau đó xác đ nh giao tuy nị ế b c a hai m t ph ng ủ ặ ẳ (P) và (Q). Khi đó giao đi mể c n tìm là giao đi m c a hai đ ng th ng ầ ề ủ ườ ẳ a và b.
( )( ) ( ) ( )a Q
P Q b a P I
a b I
⊂
∩ = ⇒ ∩ = ∩ =Chú ý: cách 2 khi tìm giao đi m ở ể I ta c n xác đ nh giao tuy n c a hai m t ph ng (P)ầ ị ế ủ ặ ẳ và (Q). Vi c xác đ nh giao tuy n c a hai m t ph ng th ng là ta tìm hai đi m chungệ ị ế ủ ặ ẳ ườ ể c a hai m t ph ng đó. Nh ng đôi khi vi c xác đ nh nh v y l i g p nh ng khó khănủ ặ ẳ ư ệ ị ư ậ ạ ặ ữ và t đó d n đ n nh ng khó khăn cho bài toán tìm thi t di n.ừ ẫ ế ữ ế ệTa có m t cách khác tìm giao tuy n c a hai m t ph ng:ộ ế ủ ặ ẳ Ta tìm m t đi m chung c a hai m t ph ng. N u hai m t ph ng đó l n l tộ ể ủ ặ ẳ ế ặ ẳ ầ ượ ch a hai đ ng th ng song song nhau. Giao tuy n là đ ng th ng qua đi m chung vàứ ườ ẳ ế ườ ẳ ể song song v i hai đ ng th ng đó.ớ ườ ẳM t ví d minh h aộ ụ ọ :Ví d 2.1:ụ Cho hình chóp S.ABCD. G i M là đi m n m trong tam giác SCD. Xác đ nhọ ể ằ ị thi t di n c a hình chóp khi c t b i mp(ABM).ế ệ ủ ắ ở
:
K
JI
O
P
B C
A
D
S
M
Gi iả :
10
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Đ u tiên ta tìm giao đi m ầ ể I c a ủ AM và (SBD) G i ọ P SM DC= ∩Khi đó trên mp(ABCD), g i ọ O AP BD= ∩Ta có ( ) ( )SO SAP SBD= ∩G i ọ I AM SO= ∩Mà ( )AM SAP⊂V y ta suy ra ậ ( )I AM SBD= ∩ .
Trên mp(SBD), g i ọ J BI SD= ∩Khi đó trên mp(SCD), g i ọ K JM SC= ∩V y t giác ậ ứ ABKJ là thi t di n c n tìm.ế ệ ầ
Ví d 2.2 : ụ Cho t di n ứ ệ ABCD. G i ọ M và N l n l t là các đi m n m trên các c nhầ ượ ể ằ ạ BC và CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND. G i ọ P là trung đi m ể AD. Xác đ nh thi tị ế di n c a hình chóp khi c t b i mpệ ủ ắ ở (MNP).Gi i:ả
Q
E
P
B D
C
A
M
N
Vì BM = 2MC và CN = 2ND nên MN không song song v i ớ BD, do đó BD và MN c tắ nhau t i ạ E.Trên mp(ABD), PE c t ắ AB t i ạ Q, khi đó: MN,NP,PQ,QM l n l t là các đo n giaoầ ượ ạ tuy n khi c t các m t c a t di n b ng mpế ắ ặ ủ ứ ệ ằ (MNP).V y t giác ậ ứ MNPQ là thi t di n c n tìm.ế ệ ầ
3. Nh ng khó khăn do không hi u k các đ nh lý, h qu d n đ n nh ng k tữ ể ỹ ị ệ ả ẫ ế ữ ế lu n sai.ậ - S d ng các đ nh lý, h qu m t cách ch quan d a trên tr c giác và nh ng ý nghĩử ụ ị ệ ả ộ ủ ự ự ữ
hình h c ph ng, ch ng h n HS th ng cho r ng trong không gian có đ nh lý sau:ở ọ ẳ ẳ ạ ườ ằ ị “hai đ ng th ng cùng vuông góc v i m t đ ng th ng thì song song v i nhau”, “ haiườ ẳ ớ ộ ườ ẳ ớ
11
P
N
Q
I
A C
B
S
M
P
N
Q
I
S
B
C
A
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
m t ph ng cùng vuông góc v i m t m t ph ng thì song song v i nhau”,… ho c cácặ ẳ ớ ộ ặ ẳ ớ ặ đ nh lý, h qu mà HS th ng hi u nh m:ị ệ ả ườ ể ầ + M t đ ng th ng song song v i m t m t ph ng thì song song v i m i đ ng th ngộ ườ ẳ ớ ộ ặ ẳ ớ ọ ườ ẳ n m trong m t ph ng đó.ằ ặ ẳ + Hai m t ph ng c t nhau theo m t giao tuy n, đ ng th ng nào n m trong m t m tặ ẳ ắ ộ ế ườ ẳ ằ ộ ặ ph ng mà vuông góc v i giao tuy n thì vuông góc v i m t ph ng kia.ẳ ớ ế ớ ặ ẳ + Luôn có th d ng đ c m t m t ph ng đi qua 4 đi m phân bi t.ể ự ượ ộ ặ ẳ ể ệVí d 3:ụ
Cho t di nứ ệ SABC có tam giác ABC đ uề , ( )SA ABC⊥ . L y m t đi mấ ộ ể M b tấ
kỳ trên c nh ạ SC .G i ọ ( )α là m t ph ng qua ặ ẳ M và vuông góc v i ớ AB .
h c sinh gi i nh sau:ọ ả ư( )⊥ ⇒ ⊥SA ABC SA AB
( ) ⊥ ABα
Suy ra ( ) SAα P
Trong m t ph ng (SAC) ặ ẳk đ ng th ng qua ẽ ườ ẳ M và song song v i ớ SA c t ắ AC t i ạ QG i ọ I là trung đi m ể AB, khi đó: AB CI⊥M t khác ặ MQ SAP , nên ( )MQ ABC MQ AB⊥ ⇒ ⊥
Do đó MQ CIP
Suy ra ( ) CIα P
Mà ( ) ( ) ( )CI ABC ABC⊂ ⇒ αP
Suy ra ( ) BCα P
Do đó: ( ) ( )SBC MN BCα ∩ = P
( ) ( )ABC QP BCα ∩ = P
( ) ( )SAB NP SAα ∩ = P
V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ MNPQ .
Gi iảTa c ó ( )SA ABC SA AB⊥ ⇒ ⊥
( ) ABα ⊥
Suy ra ( )SA αP
Ta có ( )SA SAC⊂
( ) ( )M SACα∈ ∩
Do đ ó ( ) ( )SAC MQα ∩ = , MQ SAP c t ắ AC
t i ạ Q. g iọ I là trung đi m c a ể ủ AB ta có CI AB⊥ .
12
N
MD
B A
C
S
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Suy ra ( )CI αP( )CI ABC⊂ .
Do đ ó ( ) ( )ABC QPα ∩ = , QP CIP và c t ắ AB t i ạ P.
Ta có ( )SA αP , ( )SA SAB⊂
( ) ( )P SABα∈ ∩ suy ra ( ) ( )PN SABα= ∩ v i ớ PN SAP , PN c t ắ SB t i ạ N.
( ) ( )MN SBCα= ∩V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ MNPQ .
@ Nguyên nhân: - Hình h c không gian khá tr u t ng nên vi c n m k các đ nh lý r t khó khăn, vàọ ừ ượ ệ ắ ỹ ị ấ tr c giác không mang l i k t qu nh hình h c ph ng mà đôi khi còn đánh l a ng iự ạ ế ả ư ọ ẳ ừ ườ gi i toán khi h th hi n sai trên hình v .ả ọ ể ệ ẽ - HS còn d a nhi u vào nh ng ki n th c hình h c ph ng, th n nhiên áp d ng m tự ề ữ ế ư ở ọ ẳ ả ụ ộ cách tùy ý b ng cách suy di n t hình h c ph ng sang hình h c không gian.ằ ễ ừ ọ ẳ ọ@ Kh c ph c:ắ ụ - Giúp HS n m v ng các đ nh lý trong SGK b ng cách v n d ng vào gi i các bài t p.ắ ữ ị ằ ậ ụ ả ậ Vi c v n d ng các đ nh lý, h qu vào các bài gi i ph i hi u đó là đ nh lý, h qu nàoệ ậ ụ ị ệ ả ả ả ể ị ệ ả thu c quan h song song hay quan h vuông góc, phát bi u chính xác h qu đ nh lýộ ệ ệ ể ệ ả ị đó. - V hình rõ ràng nh m t n d ng h t giẽ ằ ậ ụ ế ả thi t, đi u này r t có l i đ áp d ng cácế ề ấ ợ ể ụ đ nh lý.ị - Phân d ng các bài t p v thi t di n. M i d ng th ng v nạ ậ ề ế ệ ỗ ạ ườ ậ d ng nh ng đ nh lý, hụ ữ ị ệ qu nào,…ả4. Khó khăn do hi u nh m các khái ni m, d n t i b t c ho c có m t l i gi iể ầ ệ ẫ ớ ế ắ ặ ộ ờ ả sai.Các khái ni m mà h c sinh không n m v ng có th d n t i vi c th hi n thi u dệ ọ ắ ữ ể ẫ ớ ệ ể ệ ế ữ ki n c a bài toán, ho c đ a ra nh ng khái ni m sai.ệ ủ ặ ư ữ ệ
Ví d 4:ụ Cho hình chóp t giác đ u ứ ề S.ABCD và các m t bên h p v i đáy 1 góc ặ ợ ớ α . Hãy xác đ nh thi t di n t o nên b i m t ph ng phân giác c a góc nh di n c nh ị ế ệ ạ ở ặ ẳ ủ ị ệ ạ BC v i cácớ m t bên c a hình chóp.ặ ủPhân tích: tr c giác cho HS th y r ng m t ph ng phân giác c a góc nh di n c nh ự ấ ằ ặ ẳ ủ ị ệ ạ BC ph i ch a hai đ ng phân giác c a góc ả ứ ườ ủ ¼SBA và ¼SCD
HS ti n hành gi i nh sau:ế ả ưTrong mp (SAB) ta d ng đ ng phân giác ự ườ BM c a góc ủ ¼SBA c t ắ SA t i ạ M
Ta có: ( ) ( )SAB BMα ∩ =Trong m t ph ng ặ ẳ (SAD) d ng đ ng ự ườphân giác góc ¼SCD c t ắ SD t i ạ N.
13
M
N
K
JI
D
B A
C
S
AB
D
C
S
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
( ) ( )SCD CNα ∩ =
( ) ( )SAD MNα ∩ =
( ) ( )ABCD BCα ∩ =V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ BCNM .Nguyên nhân d n đ nẫ ế sai l m đó: do h c sinh không hi uầ ọ ểm t ph ng phân giác c a góc nh di n là gì, đ nh nghĩaặ ẳ ủ ị ệ ị góc gi a hai m t ph ng.ữ ặ ẳ
Gi i:ảG i ọ ( )P là m t ph ng phân giác c a góc nh di n c nhặ ẳ ủ ị ệ ạ BC , ( )P đi qua BC.
( ) ( )ABCD BCα ∩ = .
D ng trung đi m ự ể I, J c a c nhủ ạ BC và BD.Ta có: SI BC⊥ ( do tam giác SBC cân t i Sạ ). IJ BC⊥Do đó »SIJ chính là góc ph ng nh di n c nhẳ ị ệ ạ BC.
D ng phân giác ự IK c a góc ủ »SIJ c t ắ SJ t i ạ K.
V y ậ ( ) ( ),P BC IK≡
Ta có: ( ) ( ), ,BC AD BC P AD SAD⊂ ⊂P
( ) ( )K P SAD∈ ∩
Do đó ( ) ( )MN P SAD= ∩,MN AD MN BCP P v i ớ MN đi qua K và c t ắ
SA, SD l n l t t i ầ ượ ạ M và N.( ) ( )( ) ( )
MB P SAB
NC P SCD
= ∩
= ∩V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ BCNM .@ Nguyên nhân : không n m các khái ni m,các đ nh nghĩa, d a vào quan sát tr c giácắ ệ ị ự ự đ hình thành khái ni m trên c s c a hình h c ph ng…ể ệ ơ ở ủ ọ ẳ@ Kh c ph c:ắ ụ - Giúp h c sinh n m v ng các khái ni m, các đ nh nghĩa ch ng h n: góc gi a hai m tọ ắ ữ ệ ị ẳ ạ ữ ặ ph ng, góc gi a đ ng th ng và m t ph ng, hai m t ph ng song song, đ ng th ngẳ ữ ườ ẳ ặ ẳ ặ ẳ ườ ẳ song song v i m t ph ng….ớ ặ ẳ - Hình thành cho h c sinh ph ng pháp xác đ nh góc gi a hai m t ph ng, góc gi aọ ươ ị ữ ặ ẳ ữ đ ng th ng và m t ph ng, cách ch ng minh hai m t ph ng song song,…ườ ẳ ặ ẳ ứ ặ ẳ4. CÁC K NĂNG C N RÈN LUY N CHO H C SINH TRONG QUÁ TRÌNHỸ Ầ Ệ Ọ
GI I CÁC BÀI TOÁN THI T DI N.Ả Ế Ệ
a) Rèn luy n cho h c sinh k năng v hình đúng và chính xác, giúp cho các em năngệ ọ ỹ ẽ
cao kh năng t duy t ng t ng trong hình h c không gian ch ng h n nh các ví dả ư ưở ượ ọ ẳ ạ ư ụ
sau:
14
BC
A D
S
D
BC
A
S
B C
A
S
D
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
- N u đáy là t giác l i tùy ý, ta v hình th ng dùng là: ế ứ ồ ẽ ườ
- N u đáy là hình bình hành, hình ch nh t, hình thoi, hình vuông:ế ữ ậ
- N u đáy là hình thang: ế
Hay cho các em bi t là thi t di n c a m t t di n không th là ngũ giác, vì t di n chế ế ệ ủ ộ ứ ệ ể ứ ệ ỉ
có b n m t, thi t di n c a t di n cũng không nh t thi t là t giác …ố ặ ế ệ ủ ứ ệ ấ ế ứ
15
P
ID
B
C
A
M
N
K
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Ví d 1:ụ Ch ng h n ví d 2, 4 mà ta xét sau đây.ẳ ạ ở ụ
b) Nâng cao k năng gi i bài toán tìm giao tuy n c a hai m t ph ng. Th c ch t c aỹ ả ế ủ ặ ẳ ự ấ ủ
bài toán tìm giao tuy n c a hai m t ph ng là tìm hai đi m chung c a hai m t ph ng,ế ủ ặ ẳ ể ủ ặ ẳ
khi đó giao tuy n chính là đ ng th ng đi qua hai đi m chung đó. Chú ý giúp h c sinhế ườ ẳ ể ọ
hi u đ c đ nh lý : “N u m t đ ng th ng đi qua hai đi m phân bi t c a m t m tể ượ ị ế ộ ườ ẳ ể ệ ủ ộ ặ
ph ng thì m i đi m c a đ ng th ng đ u n m trong m t ph ng đó”.ẳ ọ ể ủ ườ ẳ ề ằ ặ ẳ
+ Tr ng h p: đ đã cho s n hai đi m chung c a hai m t ph ng khi đó ta ch c nườ ợ ề ẵ ể ủ ặ ẳ ỉ ầ
d ng giao tuy n là đ ng th ng đi qua hai đi m đó.ự ế ườ ẳ ể
+ Tr ng h p đ ch cho m t đi m chung c a hai m t ph ng ta có hai cách tìm giaoườ ợ ề ỉ ộ ể ủ ặ ẳ
tuy n nh sau: ế ư
cách 1: d ng thêm m t đi m chung khác n a b ng cách kéo dài các đ ng th ng c tự ộ ể ữ ằ ườ ẳ ắ
nhau thu c hai m t ph ng đó.ộ ặ ẳ
Ví d 2ụ : Cho t di n ứ ệ ABCD. G i ọ M, N, K l n l t là 3 đi m b t kì trên ầ ượ ể ấ AB, AD và BC
sao cho MN không song song v iớ BD. Tìm thi t di n c a t di n v i m t ph ngế ệ ủ ứ ệ ớ ặ ẳ
(MNK).
Gi i:ả
Ta có:
( ) ( )MNK ABC MK∩ =
( ) ( )MNK ABD MN∩ =
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )ABD d ng ự MN c t ắ BD t i ạ I
ta đ c ượ ( ) ( )MNK ABC IK∩ = , IK c t ắ DC t i ạ P
( ) ( )MNK ADC NP∩ =
V y thi t di n c n tìm là t giác ậ ế ệ ầ ứ MNPK .
Cách 2: t m t đi m chung đã có ta s d ng các đ nh lý v quan h song song đ tìmừ ộ ể ử ụ ị ề ệ ể
quan h gi a giao tuy n v i đ ng th ng đã có mà ta có th d ng đ c đ ng giaoệ ữ ế ớ ườ ẳ ể ự ượ ườ
tuy n đó. Ch ng h n s d ng h qu : “n u hai m t ph ng ch a hai đ ng th ngế ẳ ạ ử ụ ệ ả ế ặ ẳ ứ ườ ẳ
16
X
U
VJ
T
W
LI
N
A
M
CB
D
S
PK
HB
D
C
A
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
song song c tắ nhau theo m t giao tuy n thì giao tuy n đó song song v i hai đ ngộ ế ế ớ ườ
th ng đó”.ẳ
Ví d 3ụ : Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình bình hành. G i ọ ,I J l m l t làầ ượ
tr ng tâm c a tam giác ọ ủ SAB∆ và tam giác SAD∆ . M là trung đi m ể CD . Xác đ nhị
thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ ( )IJM .
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SLN ta có 2
3
SJ SI
JL IN= = do đó IJ LNP .
( ) ( ),IJ JIM NL ABCD⊂ ⊂
( ) ( )M JIM ABCD∈ ∩
Suy ra ( ) ( )Mt JIM ABCD∈ ∩
Mt c t ắ ,AD BC l n l tầ ượ
t i ạ T và W ta đ c:ượ
( ) ( )MW JIM ABCD∈ ∩
( ) ( )TJ JIM SAD= ∩
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAD d ng ự JT c t ắ ,SA SD
l n l t t i ầ ượ ạ U và V .
( ) ( )UI JIM SAB= ∩ ,
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAB d ng ự UI c t ắ SB t i ạ X .
Ta có ( ) ( )XW JIM SBC= ∩
( ) ( )MV JIM SCD= ∩ , v y thi t di n c n tìm là ngũ giác ậ ế ệ ầ UVMWX .
c) Rèn luy n cho h c sinh k năng có ph ng pháp gi i t ng d ng toán trong bài toánệ ọ ỹ ươ ả ừ ạ
thi t di nế ệ (trình bày m c 1)ở ụ
d) Rèn luy n cho h c sinh k năng phân tích và d đoán đ c các tr ng h p có thệ ọ ỹ ự ượ ườ ợ ể
x y ra c a yêu c u bài toánả ủ ầ trong gi i bài toán thi t di n.ả ế ệ
Ví dụ 4 : Cho t di n ứ ệ ABCD. G i ọ H, K l n l t là trung đi m các c nh ầ ượ ể ạ AC, BC. Trong
tam giác BCD l y đi m ấ ể M sao cho hai đ ng th ng ườ ẳ KM và CD c t nhau. Tìm thi tắ ế
di n c a t di n v i m t ph ng ệ ủ ứ ệ ớ ặ ẳ (HKM).
17
I
N
P
K
HB
D
C
A
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Gi i ả
G iọ P KM CD= ∩ .Ta có hai tr ng h p:ườ ợ
Tr ng h p 1:ườ ợ Đi m ể P thu c đo n ộ ạ CD
Khi đó ta đ cượ :
( ) ( )HKM BCD KP∩ = .
( ) ( )HKM ACD HP∩ =
( ) ( )HKM ABC KH∩ =
Do đó, thi t di n c n tìm là ế ệ ầ HKP∆ .
Tr ng h p 2ườ ợ : đi m ể P ngoài đo n ở ạ CD. Khi đó:
G i ọ I KM BD= ∩ .
( ) ( )HKM ABC KH∩ =
Trong m t ph ng ặ ẳ (ACD) d ng ự HP c t ắ AD t i ạ N.
Khi đó :
( ) ( )HKM ACD HN∩ =
( ) ( )HKM ABD NI∩ =
V y thi t di n là t giác ậ ế ệ ứ KHNI.
Ví d ụ 5 : Cho t di n S.ABC có ABC là tam giác đ u c nh b ng a. ứ ệ ề ạ ằ SA a= và vuông
góc v i m t ph ng (ABC). G i M là m t đi m tùy ý trên c nh AC, ớ ặ ẳ ọ ộ ể ạ ( )α là m t ph ngặ ẳ
đi qua M và vuông góc v i AC. Tùy theo v trí đi m M trên c nh AC, có nh n xét gì vớ ị ể ạ ậ ề
thi t di n t o b i ế ệ ạ ở ( )α v i t di n S.ABC.ớ ứ ệ
Gi iả
G i ọ E là trung đi m c a ể ủ AC, ta có BE AC⊥
18
( ) ( )∩ =HKM BCD KI
Q
P
N
E
S
B
CA
M
N
P
EA
C
B
S
M
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Do đó, ta c n xét hai tr ng h p khác nhau v v rí c a ầ ườ ợ ề ị ủ M trên c nh ạ AC và trong đó ta
gi s d ngả ử ự ( )SA ABC SA AC⊥ ⇒ ⊥ .
Tr ng h p 1ườ ợ : M thu c ộ CE
Ta có: ( )( )SA ABC SA AC
ACα⊥ ⇒ ⊥
⊥
Do đó: ( )SA αP , ( )SA SAC⊂
( ) ( )M SACα∈ ∩
V y ậ ( ) ( )SAC Mt SAα ∩ = P , Mt c t ắ SC t i ạ N.
Do đó ( ) ( )SAC MNα ∩ =
Ta có BE AC⊥ nên t ng t ta cũng có: ươ ự
( ) ( )ABC Mx BEα ∩ = P
Mx c t ắ BC t i ạ P. Do đó ( ) ( )ABC MPα ∩ =
( ) ( )SBC NPα ∩ =
V y thi t di n c n tìm là tam giác vuông ậ ế ệ ầ MNP vuông t i ạ M.
Tr ng h p 2ườ ợ : M thu c đo n ộ ạ AE ( tr đi m ừ ể E).
G i ọ E là trung đi m c a ể ủ AC, ta có BE AC⊥
Ta có: ( )( )SA ABC SA AC
ACα⊥ ⇒ ⊥
⊥
Do đó: ( )SA αP , ( )SA SAC⊂
( ) ( )M SACα∈ ∩
V y ậ ( ) ( )SAC Mt SAα ∩ = P , Mt c t ắ SC t i ạ P.
Do đó ( ) ( )SAC MPα ∩ =
Ta có BE AC⊥ nên t ng t ta cũng có: ươ ự
( ) ( )ABC Mx BEα ∩ = P
Mx c t ắ AB t i ạ N. Do đó ( ) ( )ABC MNα ∩ =
19
K
TL
Q
N
P
M
OD
B C
A
S
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Do đó: ( )SA αP , ( )SA SAB⊂
( ) ( )N SABα∈ ∩
V y ậ ( ) ( )SAB Ny SAα ∩ = P , My c t ắ SB t i ạ Q.
Do đó ( ) ( )SAB NQα ∩ =
( ) ( )SBC QPα ∩ =
Nh v y, trong tr ng h p này ta đ c thi t di n là hình thang vuôngư ậ ườ ợ ượ ế ệ
MNQP ( vuông t i ạ M và N).
d) Rèn luy n cho h c sinh k năng tìm các đo n giao tuy n thông qua vi c d ng thêmệ ọ ỹ ạ ế ệ ự
các chi ti t ( đi m, đo n th ng, m t ph ng ) trong hình v .ế ể ạ ẳ ặ ẳ ẽ
Ví d 6:ụ Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. G i ọ M, N, P l n l t làầ ượ
trung đi m c a ể ủ SB, SD và OC.
Tìm thi t di n c a hình chóp v i m t ph ng ế ệ ủ ớ ặ ẳ (MNP)
Gi iả
Ta l n l t tìm các đo n giao tuy n c a m t ph ng ầ ượ ạ ế ủ ặ ẳ ( )MNP
V i các m t c a hình chóp.ớ ặ ủ
Ta có MN BDP mà ( ) ( )( ) ( )
,MN MNP BD ABCD
P MNP ABCD
⊂ ⊂
∈ ∩
Nên ( ) ( )MNP ABCD Pt∩ = v i ớ ,Pt MN Pt BDP P .
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )ABCD d ng ự
Pt BDP c t ắ , ,AB BC CD l n l t t i ầ ượ ạ , ,T L Q
V y ậ ( ) ( )MNP ABCD LQ∩ =
Trong m t ph ng ặ ẳ ( )SAB n i ố KM c t ắ
SA t i ạ M ta đ c:ượ
( ) ( )MNP SAB MK∩ =
( ) ( )MNP SAD KN∩ =
( ) ( )MNP SCD NQ∩ =
20
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
( ) ( )MNP SBC LM∩ = .
V y thi t di n c n tìm là ngũ giác ậ ế ệ ầ MKNQL .
CÁC BÀI TOÁN V THI T DI NỀ Ế Ệ
D ng 1ạ : Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) qua 3 đi m không th ngế ệ ủ ặ ẳ ể ẳ hàng.
Bài 1 : Cho hình chóp đ nh S có đáy là hình thang ABCD v i AB là đáy l n. G i M,Nỉ ớ ớ ọ theo th t là trung đi m c a các c nh SB và SC. Tìm thi t di n c a hình chópứ ự ể ủ ạ ế ệ ủ S.ABCD c t b i m t ph ng (AMN). ắ ở ặ ẳ
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. G i M, N,P, l n l t là trungọ ầ ượ đi m SA, BC, CD. D ng thi t di n c a hình chóp khi c t b i m t ph ng (MNP).ể ự ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ
Bài 3 : Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và AC, E là đi mứ ệ ọ ầ ượ ể ủ ể trên c nh CD v i ED = 3 EC. F là đi m trên c nh BD sao cho EF // BC. Tìm thi t di nạ ớ ể ạ ế ệ t o b i m t ph ng (MNE) và t di n ABCD.ạ ở ặ ẳ ứ ệ
Bài 4 : Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD c nh bên và c nh đáy đ u b ng a.G i M,ứ ề ạ ạ ề ằ ọ N, P là trung đi m AB, AD và SC.ể
a) D ng thi t di n t o b i m t ph ng (MNP).ự ế ệ ạ ở ặ ẳ
b) Tìm di n tích th t di n.ệ ế ệ
c) Ch ng minh r ng thi t di n chia hình chóp thành hai ph n t ng đ ng ( t c làứ ằ ế ệ ầ ươ ươ ứ hai ph n có th tích b ng nhau).ầ ể ằ
D ng 2 : Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) qua đ ng th ng a và songạ ế ệ ủ ặ ẳ ườ ẳ song v i đ ng th ng b ( a và b chéo nhau).ớ ườ ẳ
Bài 1 : Cho t di n ABCD. Trên các c nh AB, CD cho l n l t các đi m M, N. G iứ ệ ạ ầ ượ ể ọ (P) qua MN và song song v i AD. XÁc đ nh thi t di n c a (P) và t di n (ABCD).ớ ị ế ệ ủ ứ ệ
Bài 2 : Cho hinh chóp S.ABCD, M, N là hai đi m l y trên các c nh AB và CD. ể ấ ạ G i (P)ọ là m t ph ng qua MN và song song v i SA. Tìm thi t di n c a (P) và hình chópặ ẳ ớ ế ệ ủ S.ABCD.
Bài 3 : Cho t di n ABCD. G i M, N l n l t là các đi m l y trên BD và AC, (P) làứ ệ ọ ầ ượ ể ấ m t ph ng qua MN và song song v i AD.Tìm thi t di n c a t di n và m t ph ng.ặ ẳ ớ ế ệ ủ ứ ệ ặ ẳ
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. G i M là trung đ mọ ể c a AB và N là m t đi m thu c BC. G i (P) là m t ph ng qua MN và song song v iủ ộ ể ộ ọ ặ ẳ ớ SD. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P).ị ế ệ ủ ặ ẳ
21
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
D ng 3: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) đi qua m t đi m và songạ ế ệ ủ ặ ẳ ộ ể song v i hai đ ng th ng cho tr c.ớ ườ ả ướ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là t giác l i, O là giao đi m c a hai đ ngứ ồ ể ủ ườ chéo AC và BD. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp khi c t b i m t ph ng đi qua O,ị ế ệ ủ ắ ở ặ ẳ song song v i AB và SC. Thi t di n đó là hình gì?ớ ế ệ
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác đ nh thi t di n c a hìnhị ế ệ ủ chóp khi c t b i m t ph ng đi qua trung đi m M c a c nh AB song song v i BD vàắ ở ặ ẳ ể ủ ạ ớ SA.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD O là giao đi m c a ACể ủ và BD, M là trung đi m c a SA. Tìm thi t di n c a m t ph ng (P) vói hình chópể ủ ế ệ ủ ặ ẳ S.ABCD n u (P) qua M và đ ng th i song song v i SC và AD.ế ồ ờ ớ
D ng 4: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) song song v i m t m tạ ế ệ ủ ặ ẳ ớ ộ ặ ph ng cho tr c:ẳ ướ
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD v i đáy là hình thang ABCD có AD song song v i BC,ớ ớ AD =2BC. G i E là trung đi m AD và O là giao đi m c a AC và BE. I là m t đi m diọ ể ể ủ ộ ể đ ng trên c nh AC khác v i A và C. Qua I, ta v m t ph ng (P) song song v i (SBE).ộ ạ ớ ẽ ặ ẳ ớ Tìm thi t di n t o b i (P) và hình chóp S.ABCD.ế ệ ạ ở
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O là giao đi m hai đ ngể ườ chéo, , ,AC a BD b= = tam giác SBD đ u. G i I là đi m di đ ng trên đo n AC v iề ọ ể ộ ạ ớ
(0 )AI x x a= < < . L y (P) là m t ph ng đi qua I và song song v i m t ph ng (SBD).ấ ặ ắ ớ ặ ẳ
a) Xác đ nh thi t di n c a m t ph ng (P) v i hình chóp S.ABCD.ị ế ệ ủ ặ ẳ ớ
b) Tìm di n tích S c a thi t di n câu a) theo ệ ủ ế ệ ở , ,a b x . Tìm x đ S l n nh t.ể ớ ấ
Bài 3: Cho t di n đ u SABC c nh A. G i I là trung đi m c a đo n AB, M là đi mứ ệ ề ạ ọ ể ủ ạ ể di đ ng trên đo n AI. Qua M v m t ph ng (P) song song v i (SIC). Tìm thi t di nộ ạ ẽ ặ ẳ ớ ế ệ t o b i ((P) và SABC.ạ ở
D ng 5: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) qua đi m M cho tr c vàạ ế ệ ủ ặ ẳ ể ướ vuông góc v i đ ng th ng d cho tr c.ớ ườ ẳ ướ
Bài 1: Cho hai m t ph ng vuông góc (P) và (Q) có giao tuy n ặ ẳ ế ∆ . L y A, B thu c ấ ộ ∆ và
l y ấ ( ) ( ),C P D Q∈ ∈ sao cho ,AC AB BD AB⊥ ⊥ và AB AC BD= = . Xác đ nh thi tị ế
di n c a t di n ABCD khi c t b i m t ph ng ệ ủ ứ ệ ắ ớ ặ ẳ ( )α đi qua đi m A và vuông góc v iể ớ
CD. Tính di n tích thi t di n khi ệ ế ệ AC AB BD a= = =
Bài 2: Cho t di n SABC có đáy là tam giác đ u và c nh SA vuong góc v i m tứ ệ ề ạ ớ ặ ph ng ABC. G i (P) là m t ph ng qua B và vuông góc v i SC. Tìm thi t di n c a tẳ ọ ặ ẳ ớ ế ệ ủ ứ di n SABC c t b i m t ph ng (P).ệ ắ ở ặ ẳ
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A. C nh SAạ ạ vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M là m t đi m trên c nh AB và (P) là m tớ ặ ẳ ọ ộ ể ạ ặ
22
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
ph ng qua M vuông góc v i AB. Tìm thi t di n c a hình chóp S.ABCD và m t ph ngẳ ớ ế ệ ủ ặ ẳ (P).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. SA vuông góc v i m tớ ặ (ABCD). G i O là giao đi m c a AC và BD. M t ph ng (P) là m t ph ng qua O vàọ ể ủ ặ ẳ ặ ẳ vuông g c v i AD. Xác đ nh thi t di n c a hình chóp S.ABCD và m t ph ng (P).ố ớ ị ế ệ ủ ặ ẳ
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông t i A, v iạ ớ · 0, 60AB a ABC= = . C nh ạ SC a= và vuông góc v i (ABC).ớ
a) Tìm thi t di n qua ế ệ M SA∈ và vuông góc SA.
b) Đ t ặ AM x= . Tính di n tích thi t di n.ệ ế ệ
c) V đ ng bi u di n di n tích. Tìm v trí c a M đ thi t di n đ t di n tích l nẽ ườ ể ễ ệ ị ủ ể ế ệ ạ ệ ớ nh t.ấ
D ng 6: Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) ch a m t đ ng th ng aạ ế ệ ủ ặ ẳ ứ ộ ườ ẳ vuông góc v i m t ph ng (Q)ớ ặ ẳ
Bai 1: Cho hình vuông ABCD c nh A. Trên đ ng th ng vuông góc v i m t ph ngạ ườ ẳ ớ ặ ẳ (ABCD) t i A l y đi m S. G i (P) là m t ph ng ch a AB và vuông góc v i m tạ ấ ể ọ ặ ẳ ứ ớ ặ ph ng (SCD). Hãy xác đ nh m t ph ng (P). M t ph ng (P) c t hình chóp S.ABCD theoẳ ị ặ ẳ ặ ẳ ắ thi t di n gì?ế ệ
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc v i m t đáy (ABCD). ABCD là hìnhớ ặ ch nh t tâm O. G i (P) là m t ph ng qua SO và vuông góc v i m t ph ng (SAD).ữ ậ ọ ặ ẳ ớ ặ ẳ Hãy tìm thi t di n c a hình chóp S.ABCD và m t ph ng (P).ế ệ ủ ặ ẳ
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. C nh bên là SA vuông gócạ v i m t ph ng (ABCD). G i (P) là m t ph ng ch a AB và vuông góc v i m t ph ngớ ặ ẳ ọ ặ ẳ ứ ớ ặ ẳ (SCD). Hãy xác đ nh thi t di n c a m t ph ng (P) và hình chóp S.ABCD.ị ế ệ ủ ặ ẳ
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t, SA vuông góc v i m tữ ậ ớ ặ ph ng (ABCD). G i I,J l n l t là trung đi m c a AB và CD. G i (P) là m t ph ngẳ ọ ầ ượ ể ủ ọ ặ ẳ qua I,J và vuông góc v i m t ph ng (SBC). Tìm thi t di n c a (P) và hình chópớ ặ ẳ ế ệ ủ S.ABCD.
Bài 5: Cho hình chóp t giác đ u có các m t bên t o v i đáy góc ứ ề ặ ạ ớ ϕ .
a) Tìm thi t di n qua AC và vuông góc v i m t ph ng (SAD).ế ệ ớ ặ ẳ
b) Tìm t s th tích ỉ ố ể 1
2
V
V hai ph n c a hình chóp b chia b i thi t di n nói trên.ầ ủ ị ở ế ệ
M t s bài toán khác.ộ ố
Bài 1: Cho hình h p ộ . ' ' ' 'ABCD A B C D . Hai đi m M và N l n l t n m trên hai c chể ầ ượ ằ ạ
AD và 'CC sao cho '
AM CN
MD NC= . Xác đ nh thi t di n c a hình h p c t b i m t ph ngị ế ệ ủ ộ ắ ở ặ ẳ
đi qua MN và song song v i m t ph ng ớ ặ ẳ ( )'ACB .
23
Ph ng Pháp Gi ng D y Hình H c ươ ả ạ ọ Nhóm
Bài 2: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D và các trung đi m E,F c a các c nhể ủ ạ , 'AB DD . Hãy xác đ nh các thi t di n c a hình l p ph ng c t b i các m t ph ngị ế ệ ủ ậ ươ ắ ở ặ ẳ
(EFB), ( )EF 'C và (AFK) v i K là trung đi m c a c nh ớ ể ủ ạ ' 'B C .
Bài 3: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D . G i O là tâm c a hình l p ph ng.ọ ủ ậ ươ
a) Tìm thi t di n qua O và vuông góc v i đ ng chéo ế ệ ớ ườ 'A C .
b) Ch ng minh r ng thi t di n chia hình l p ph ng thành hai ph n t ngứ ằ ế ệ ậ ươ ầ ươ đ ng.ươ
Bài 4: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D . G i M và N là tâm c a đáy ABCD vàọ ủ m t bên ặ ' 'DCC D .
a) Tìm thi t di n t o b i ế ệ ạ ở ( )'A MN .
b) Tìm t s th tích ỉ ố ể 1
2
V
V hai ph n c a hình l p ph ng b chia b i thi t di n nóiầ ủ ậ ươ ị ở ế ệ
trên.
Bài 5: Cho hình l p ph ng ậ ươ . ' ' ' 'ABCD A B C D c nh a. M là đi m di đ ng trên AB.ạ ể ộ
a) Tìm thi t di n t o b i ế ệ ạ ở ( )'A MC . Thi t di n là hình gì.ế ệ
b) Xác đ nh v trí c a M đ thi t di n là hình ch nh t. Có v trí nào c a M đị ị ủ ể ế ệ ữ ậ ị ủ ể thi t di n là hình vuông không?ế ệ
c) Xác đ nh v trí c a M đ thi t di n có di n tích bé nh t và hãy tính giá tr y.ị ị ủ ể ế ệ ệ ấ ị ấ
24