Phần một tóm tắt lý thuyết 1. t nguyên hàm của (Tức là

Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền

1

Phần một tóm tắt lý thuyết

I. Tích phân :

1. Định nghĩa : Cho ( )f x là một hàm số, ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x (Tức là

( ) ( )F x f x = . Ví dụ : ( ) ( ) ( )2

2

2ln 4 ,

4

xF x x F x f x

x= − = =

−) và , ,a b C là hằng số. Khi đó :

a) Tích phân bất định : ( ) ( )f x dx F x C= + .

Ví dụ : ( )2 1 11 arcsin s in 2arcsin

2 4x dx x x C− = + + .

b) Tích phân xác định : ( ) ( ) ( ) ( ) , ;

b b

aa

f x dx F b F a x a bF x= = − .

Ví dụ : ( )2

2

3

2

3 5 1 1 3 51 3 ln 2 3 ln

8 2 2 2 2x dx

− = − − + + +

.

2. Tính chất :

a) ( )( ) ( )f x dx f x= (Đạo hàm của tích phân thì được hàm dưới dấu tích phân).

Thật vậy : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0f x dx F x C F x C f x f x = + = + = + = .

Ví dụ : 1 1

ln lndx

x x

=

.

b) ( )( ) ( )d f x dx f x dx= (Vi phân của tích phân thì được hàm dưới dấu tích phân nhân cho

vi phân của biến lấy tích phân).

Thật vậy : ( )( ) ( )( ) ( )d f x dx f x dx dx f x dx

= = .

Ví dụ : ( )cos cosx xd e xdx e xdx= .

c) ( ) ( )dF x F x C= + (Tích phân của vi phân thì được hàm của vi phân !!!).

Thật vậy : ( ) ( ) ( ) ( )dF x F x dx f x dx F x C= = = + .

Ví dụ : ( )tan tand x x C= + .

3. Công thức : ( )u u x=

1) 1

, 11

uu u dx C

+

= + −+

9) tan ln cosu udx u C = − +

2) 2

udx u C

u

= + 10) cot ln sinu udx u C = +

3) u uu e dx e C = + 11) 2

2ln

udx u u b C

u b

= + +


2

Ví dụ :

1) ( )3

2 22sin2 . cos 1 cos 1

3x x dx x C+ = − + + . 9)

sinln cos

cos

x xx

x

e edx e C

e= − + .

2) 2

2

sin 22 sin 1

sin 1

xdx x C

x= − +

− . 10)

22

2

cos 1ln sin

sin 2

x xdx x C

x= + .

3) 2 2sin sinsin2 . x xx e dx e C= + . 11) 2

2

cosln sin sin 1

sin 1

xdx x x C

x= + + +

+ .

4) 2 2

2sin 1 cos 1

1

xx dx x C

x+ = − + +

+ . 12)

2

2arcsin

24

x x

x

e edx C

e

= +

− .

5) 2 2 21

cos sin2

x x xxe e dx e C= + . 13) 2

cos 1 sinarctan

4 sin 2 2

x xdx C

x

= +

+ .

6) ( )1 ln

ln tansin ln 2

xdx C

x x= + . 14)

2

sin 1 cos 2ln

cos 4 4 cos 2

x xdx C

x x

−= − +

− + .

7) ( )

1 ln2ln tan

2 4ln cos ln

xdx C

x x x

= + +

. 15) ( )

32 2

2

11 ln 1

2 21

x xx x x

x

e edx e e e C

e= − + + − +

− .

8) ( )2

sin .cos 1ln cos 1

cos 1 2

x x xx

x

e e edx e C

e= − + +

+ . 16) ( )2 2 211 1 ln 1

2 2

xx x x x xe

e e dx e e e C− = − − + + − + .

4. Phương pháp giải :

a) Đổi biến : ( ) ( )( ) ( )f x dx f x t x t dt= . ( ) ( )( ) ( )b

a

f x dx f x t x t dt

= .

b) Từng phần : udv vu vdu= − . b b

b

a

a a

udv vu vdu= − .

Vấn đề đặt ra ở đây là khi nào thì ta dùng dổi biến và khi nào thì ta dùng từng phần khi

nhìn vào đề bài mà người ta ra??.

Ta dùng đổi biến khi ta thấy các hàm dưới dấu tích phân có liên quan với nhau. Tức là

khi thấy hàm này là kết quả của đạo hàm của hàm kia và ngược lại thì ta đặt t bằng hàm mà

4) sin cosu udx u C = − + 12) 2 2

arcsin , 0u u

dx C aaa u

= +

−

5) cos sinu udx u C = + 13) 2 2

1arctan , 0

u udx C a

u a a a

= +

+

6) ln tansin 2

u udx C

u

= +

14)

2 2

1ln

2

u u adx C

u a a u a

−= +

− +

7) ln tancos 2 4

u udx C

u

= + +

15) ( )

22 2

2

11 ln 1

2 21

u u udx u u u C

u

= − + + − +

−

8) lnu

dx u Cu

= + 16) ( )2 2 21

1 1 ln 12 2

uu u dx u u u C − = − − + − +


3

đạo hàm của nó bằng hàm kia. Ngược lại thì ta sử dụng từng phần hoặc một vài phương pháp

khác để đưa về đổi biến hoặc từng phần.

Ví dụ :

+ ln x

dxx .

Ta thấy nếu lấy đạo hàm của hàm ln x thì ta được 1

x. Như vậy đây là bài toán áp dụng

phương pháp đổi biến.

Đặt 1

lnt x dt dxx

= = .

Khi đó 2 2ln ln

2 2

x t xdx tdt C C

x= = + = + .

?) Nếu đề bài là 2

ln xdx

x thì các anh (chị) làm như thế nào! Từng phần hay đổi biến!

Đáp số : 2

ln ln 1x xdx C

x x x= − − + .

?) Cho 2

sin

cos

xI dx

x= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) ln cosI x C= + . b) tanI x C= + . c) 1

cosI C

x= − + . d)

1

cosI C

x= + .

+ 2

3

2 2

1 tan tantan 1 tan tan ln cos

cos cos 2

x xxdx xdx dx xdx x C

x x

= − = − = + +

.

?) Cho 2

sin

cos 1

xI dx

x=

+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 2cos 1I C= + + . b) 2ln cos cos 1I x x C= + + + . c) 2ln cos cos 1I x x C= − + + + .

d) ( )21ln cos 1

2I x C= + + .

+ lnx xdx .

Ta thấy nếu lấy đạo hàm của hàm ln x thì ta được 1

xx nên đây là bài tập sử dụng

phương pháp từng phần.

Ta đặt 2

1

ln

2

du dxu x x

dv xdx xv

==

= =

.

Khi đó 2 2 2 21

ln ln ln2 2 2 4

x x x xx xdx x dx x C

x= − = − + .

?) Cho 2

s in2

cos 1

xI dx

x=

− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!


4

a) 2cos 1

2

xI C

−= − + . b)

2cos 1

2

xI C

−= + . c) 2cos 1I x C= − − + . d) 22 cos 1I x C= − − + .

+ 3

2 1

xdx

x − .

Cách 1 : Dùng phương pháp đổi biến. 3

2

2 21 1

x xx

x x=

− −. Như thế nếu ta đặt 2 2 2

21 ; 1

1

xt x dt dx x t

x= − = = +

−.

Khi đó ( )( )

32

3 32 2

2

11 1

3 31

xx tdx t dt t C x C

x

−= + = + + = + − +

− .

Cách 2 : Dùng phương pháp từng phần.

Đặt

2

2

2

2

11

u xdu xdx

xdv dx v x

x

==

= = −

−

.

Khi đó ( )3

32 2 2 2 2 2

2

21 2 1 1 1

31

xdx x x x x dx x x x C

x= − − − = − − − +

− .

Cách 3 : Dùng phương pháp thêm bớt.

( )23 32

2 2 2 2 2

11

1 1 1 1 1

x xx x x x x xdx dx dx dx x x dx dx

x x x x x

−− += = + = − +

− − − − − .

Vậy ( )

32

32

2

11

31

xxdx x C

x

−= + − +

− .

?) Nếu đề bài cho là 3 2

1

1dx

x x− thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : 2 2

23 2 2

1 1 1 1 1 1ln

4 21 1 1

x xdx C

xx x x

− − −= − +

− − + hoặc

( )

( )23 2

cos arcsin1 1 sin 1ln tan

2 2 2 sin arcsin1

xarc xdx C

xx x= − +

− .

?) Cho 2

1

lnI dx

x x= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) ln lnI x C= + . b) 1

ln ln2

I x C= + . c) 1

2lnI C

x= + . d)

1

lnI C

x= − + .

+ 2

1

1dx

x − .

Cách 1 :

Đặt ( )2 2

2 2 2

1 1 11 1 1

1 1 1

xt x x dt dx x x dx dx dt

tx x x

= + − = + = − + =

− − − .


5

Khi đó ( )2

2

1 1ln ln 1

1dx dt t C x x C

tx= = + = + − +

− .

Cách 2 :

Đặt 2

1 sin

cos cos

tx dx dt

t t= = .

Khi đó 2 22 2

2

1 1 sin 1 sin 1

cos cos cos11 tan1

cos

t tdx dt dt dt

t t tx t

t

= = =−

− .

Đặt 2

2 2

2 1tan arctan 2arctan ;cos

2 2 1 1

t t kk k t k dt dk t

k k

−= = = = =

+ +.

2 2 2 2

2

1 1 2 2 2 1 1 1ln

1cos 1 1 1 1 1 1

1

kdt dk dk dk C

kt k k k k k k

k

− + = = = = − = +

− + − − + − −

+

.

Vậy 2

1arccos

tan 12

1ln

11 arccos

tan 12

x

dx Cx

x

+ = + −

−

hoặc 2

1arccos

1ln tan

2 41

xdx Cx

= + + −

.

Vì

sin2 1

sintan 1 cos sin cos1 2 42 2 2 2ln ln ln ln

costan 1 sin sin cos cos

2 2 2 2 2 41

cos2

x

xx x x x

dx C C C Cx x x x xx

x

+

++ + = + = + = + = +

− − + −

.

?) Nếu đề bài cho là 2

1

1dx

x + thì các anh (chị) sẽ đổi biến như thế nào ở cách 2!

Đáp số : 2

1 arctanln tan

2 41

xdx C

x

= + +

+ .

?) Cho 2 1

x

x

eI dx

e=


a) 2 1xI e C= − + . b) 2arctan 1xI e C= − + . c) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . d) 2 1

2

xeI C

−= + .

?) Cho 2

1

1xdx

e − . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 2 1xI e C= − + . b) 2arctan 1xI e C= − + . c) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . d) 2 1

2

xeI C

−= + .


6

+ 2 1x dx− .

Cách 1 :

Đặt 2

211

xdu dxu x

xdv dx

v x

= = −

− = =

.

2 22 2 2 2 2

2 2 2

1 1 11 1 1 1 1

1 1 1

x xx dx x x dx x x dx x x x dx dx

x x x

− +− = − − = − − = − − − −

− − −

Khi đó ( )2 2 211 1 ln 1

2 2

xx dx x x x C− = − − + − + .

Cách 2 :

Đặt 2

1 sin

cos cos

tx dx dt

t t= = .

Khi đó 2 2

2 2

2 2 2 3 3

1 sin sin sin 1 cos1 1. tan .

cos cos cos cos cos

t t t tx dx dt t dt dt dt

t t t t t

−− = − = = = .

( )24 2

cos 1 cosln tan

cos cos 2 41 sin

t t tdt dt dt

t t t

− = − +

− .

Đặt sin cosk t dk tdt= = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 222 2 2 2 2

cos 1 1 1 1 1ln

1 2 11 sin 1 1 1 1

t k k k k kdt dk dk dk dk dk

k kt k k k k

− + += = = + = +

− −− − − − − .

Đặt

( )2

2 2

1 1

1 2 1

u k du dk

kdv dk v

k k

= =

= = − −

.

( )

2

2 2 2 22

1 1 1 1 1 1ln

2 1 2 1 2 1 4 11

k k k kdk dk C

k k k kk

+= − = − +

− − − −− .

Vậy 2

2

1 11 sin arccos sin arccos 1arccos1 1

1 ln tan ln1 12 4 2 4

1 sin arccos sin arccos 1

x xxx dx C

x x

+ − = − + + + + − −

.

?) Nếu đề bài cho là 2 1x xe e dx− thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( ) ( )5 3

2 2 21 1 1

5 3

x x x xe e dx e e C− = − + − + .

?) Cho ( )

221

x

x

eI dx

e=


a) 2

1

1 xI C

e= − +

−. b)

2

3 1 1ln .

4 1 2 1

x x

x x

e eI C

e e

−= + +

+ −. c)

2

1 1.

2 1 xI C

e= − +

−. d) ( )21

ln 12

xI e C= − + .


7

+ 2

2 1

xdx

x − .

Cách 1 :

Đặt 2

2 11

u xdu dx

xdv dx v x

x

==

= = −

−

.

( )2

2 2 2 2 2

2

11 1 1 1 ln 1

2 21

x xdx x x x dx x x x x x C

x= − − − = − − − + + − +

− .

Khi đó ( )2

2 2

2

11 ln 1

2 21

x xdx x x x C

x= − + + − +

− .

Cách 2 :

( )2

2 2 2

2 2

1 1 1 11 1 ln 1

2 21 1

x xdx x dx dx x x x C

x x

− += − + = − + + − +

− − .

Cách 3 :

Đặt 2

1 sin

cos cos

tx dx dt

t t= = .

Khi đó :

( ) ( )

2 2 22

2 22 32 2 2

2

1

sin 1 cos cos cos .sin cos .sincos

cos cos11 1 sin 1 sin1cos

x t t t t t t ttdx dt dt dt dtt tx t t

t

− += = = =

− − −− .

( ) ( )

2 2

2 22 2 2

cos cos .sin 1 sin 1 cos .sinln

1 sin 2 sin 11 sin 1 sin

t t t t t tdt dt dt

t tt t

++ = +

− −− − .

Đặt

( )2

2 2

sin cos

cos sin 1 1

1 sin 2 1 sin

u t du tdt

t tdv dt v

t t

= =

= = − −

.

( )

2

2 2 2 22

cos .sin 1 sin 1 cos 1 sin 1 sin 1ln

2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 4 sin 11 sin

t t t t t tdt dt C

t t t tt

+= − = + +

− − − −− .

Vậy 2

22

1 1sin arccos sin arccos 1

1 3ln

1 12 41 1 sin arccos sin arccos 1

x x xdx C

xx x

−

= + + − − +

.


21

x

x

edx

e+ thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( )3

2 2

2

11 ln 1

2 21

x xx x x

x

e edx e e e C

e= + + + + +

+ .


8

?) Cho tan

cos 1

xI dx

x=


a) arctan cos 1I x C= − + . b) arctan cos 1

2

xI C

−= + . c) 2arctan cos 1I x C= − − + .

d) arctan cos 1I x C= − − + .

+ 2

1

1x x − .

Cách 1 :

Đặt 2 2 2

21 ; 1

1

xt x dt dx x t

x= − = = +

−.

2

22 2 2

1 1arctan arctan 1

11 1

xdx dx dt t C x C

tx x x x= = = + = − +

+− − .

Cách 2 : 2 2 2 2

2

2 2 2

1 1 1 11

1 1 1

x x x x xdx dx dx dx dx x

x xx x x x x

− − − −= − = − + = − + −

− − − .

Đặt 2

1 sin

cos cos

tx dx dt

t t= = .

Khi đó :

2 2 2 22

2 2 2 2

11

1 sin tan sin 1 cos 1cossin

1 cos cos cos cos cos

cos

x t t t ttdx dt tdt dt dt dt dt

x t t t t t

t

−− −

= = = = = − .

2 1 1 1tan tan arccos arccos

xdx t t C C

x x x

− = − + = − +

.

Vậy 2

2

1 1 11 tan arccos arccos

1dx x C

x xx x

= − − + +

− .

Hoặc đặt 2 2 2

21 , 1

1

xt x dt dx xdx tdt x t

x= − = = = +

−.

Khi đó : 2 2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1 1arctan 1 arctan 1

1 1

x x x t tdx dx dt dt t t C x x C

x x t t

− − + −= = = = − + = − − − +

+ + .

Vậy 2

2

1arctan 1

1dx x C

x x= − +

− .


1

1dx

x x + thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : Cách 1 : 2

2 2

1 1 1 1ln

21 1 1

xdx C

x x x

+ −= +

+ + + . Cách 2 :

2

1ln tan

21

xdx C

x x= +

+ .

Hướng dẫn thêm 1

sindx

x .


9

Đặt 2 2

2 2tan 2arctan ,sin

2 1 1

x tt x t dx dt x

t t= = = =

+ +.

Khi đó 2

2

1 1 2 1ln ln tan

2sin 1 2

1

xdx dt dt t C C

tx t t

t

= = = + = ++

+

.

?) Cho 2

sin

3 sin

xI dx

x=


a) ( )1

arctan cos2

I x C= + . b) 1 cos

arctan2 2

xI C

= − +

. c)

1 cos 2ln

2 cos 2

xI C

x

−= +

+.

d) 1 cos 2

ln4 cos 2

xI C

x

−= − +

+.

?) Cho 2

sin

3 sin

xI dx

x=


a) ( )1

arctan cos2

I x C= + . b) 1 cos

arctan2 2

xI C

= − +

. c)

1 cos 2ln

2 cos 2

xI C

x

−= − +

+.

d) 1 cos 2

ln4 cos 2

xI C

x

−= +

+.

+ 2 2

1

1dx

x x − .

Đặt 2

1 sin

cos cos

tx dx dt

t t= = .

Khi đó :

22 2 2

2 2

1 1 sin sin 1cos sin sin arccos

cos1 11 tan1

cos cos

t tdx dt dt tdt t C C

t xx x t

t t

= = = = + = +

−−

.


1

1dx

x x + thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( )22 2

1 cos 1

sin sin arctan1

tdx dt C

t xx x= = − +

+ .

?) Cho sin

2sin

cos

1

x

x

e xI dx

e=


a) ( )2sinarctan 1 xI e C= − + . b) ( )sin 2sinln 1x xI e e C= + − + . c) ( )sinarcsin xI e C= + .

d) ( )2sinarcsin xI e C= + .

?) Cho sin

2sin

cos

1

x

x

e xI dx

e=


a) ( )2sinarctan 1xI e C= − + . b) ( )sin 2sinln 1x xI e e C= + − + . c) ( )sinarcsin xI e C= + .

d) ( )2sinarcsin xI e C= + .


10

+ 3 2

1

1dx

x x − .

Đặt 2 2 2

21 ; 1

1

xt x dt dx x t

x= − = = +

−.

Khi đó ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 223 2 4 2 2 2 2

1 1 1 1

11 1 1 1 1

x t t tdx dx dt dt dt dt

tx x x x t t t

+ −= = = = −

+− − + + + .

Đặt

( )2

2 2

1 1

1 2 1

u t du dt

tdv dt v

t t

= =

= = − + +

.

Khi đó ( )

2

2 2 2 22

1 1 1 1 1arctan

2 1 2 1 2 1 21

t t tdt dt t C

t t tt= − + = − + +

+ + ++ .

Vậy 2

2

2 23 2

1 1 1 1 1 1arctan arctan 1

2 1 2 2 21

t xdx t C x C

t xx x

−= + + = + − +

+− .


1

1dx

x x + hoặc

2

3

1xdx

x

− hoặc

2

3

1xdx

x

+ thì các anh (chị) làm

như thế nào!

Đáp số : 2 2

23 2 2

1 1 1 1 1 1ln

4 21 1 1

x xdx C

xx x x

+ − += + +

+ + + .

2 22

3 2

1 1 1 1arctan 1

2 2

x xdx x C

x x

− −= − + − + .

2 2 2

3 2 2

1 1 1 1 1 1ln

2 4 1 1

x x xdx C

x x x

+ + + −= − + +

+ + .

?) Cho ( )

cos

1 sin sin

xI dx

x x=


a) ( )arctan 1 sinI x C= − + . b) 2arcsin 1 sinI x C= − − + . c) ( )ln sin 1 sinI x x C= + − + .

d) ln 1 sinI x C= − + .

?) Cho ( )

cos

sin 1 sin

xI dx

x x=


a) ( )2arctan sin 1I x C= − + . b) 2arcsin sin 1I x C= − + . c) ( )ln sin sin 1I x x C= + − + .

d) ln sin 1I x C= − + .

+ 2

2

1xdx

x

− .

Cách 1 : Đặt

2

2

2

11

11

xdu dxu x

x

dv dxvx

x

= = − −

= = −

.


11

Khi đó ( )2 2 2

2

2 2

1 1 1 1ln 1

1

x x xdx dx x x C

x x xx

− − −= − + = − + + − +

− .

Cách 2 : Đặt 2

1 sin

cos cos

tx dx dt

t t= = .

Khi đó 2 2 22

2 2

2

11

1 sin sin 1 coscosln tan sin

1 cos cos cos 2 4

cos

x t t t ttdx dt dt dt t C

x t t t

t

−

− − = = = = + − +

.

Vậy 2

2

1arccos

1 1ln tan sin arccos

2 4

x xdx Cx x

−

= + − +

.


2

1xdx

x

+ thì các anh (chị) đổi biến như thế nào!

Đáp số : ( )

2

2

1 1 arctanln tan

sin arctan 2 4

x xdx C

x x

+ = − + + +

.

?) Cho 21

x

x

eI dx

e=


a) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . b) 211

2

xI e C= − + . c) ( )arcsin xI e C= + . d) ( )1

arcsin2

xI e C= + .

?) Cho 2

1

x

x

eI dx

e=


a) 2 1 xI e C= − + . b) ( )3

1 12

x x xI e e e C= − − − + . c) ( )3

2 1 3 1x x xI e e e C= − − − − + .

d) 4

2 1 13

x x xI e e e C= − − − − + .

+ 1

1

xdx

x

−

+ .

Đặt ( )

22

22 2

1 1 1 4

1 1 1 1

x x t tt t x dx dt

x x t t

− − += = = − =

+ + − −.

Khi đó ( )

2

22

1 4

1 1

x tdx dt

x t

−=

+ − .

Đặt

( )2

2 2

2 2

2 1

1 1

u t du dt

tdv dt v

t t

= =

= = − − −

.

Khi đó ( )

2

2 2 2 22

4 2 2 2 1ln

1 1 1 11

t t t tdt dt C

t t t tt

−= − + = − + +

− − − +− .


12

Vậy ( )1 1 1 1

1 ln1 1 1 1

x x x xdx x C

x x x x

− − − − += + + +

+ + − + + .


2

1 1

1

xdx

x x

−

+ hoặc 2

3 2

1 1

1

xdx

x x

−

+ thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : 2 2 2 2

2 22 2

1 1 1 1 1 1ln arctan

1 2 11 1

x x x xdx C

x x xx x

− − − + −= − − +

+ +− + + .

2 2 2 2

3 2 2 2 2

1 1 1 1 1. arctan

1 1 2 1

x x x xdx C

x x x x x

− − + −= − + +

+ + + .

?) Cho 1

1 xI dx

e=


a) 1 1

ln1 1

x

x

eI C

e

+ −= +

+ +. b) arctan 1 xI e C= + + . c) ( )ln 1x xI e e C= + + + .

d) 1 1 1

ln2 1 1

x

x

eI C

e

+ −= +

+ +.

?) Cho 1

4 xI dx

e=


a) 1 4 2

ln2 4 2

x

x

eI C

e

− −= − +

− +. b) arctan 4 xI e C= − + . c) ( )ln 4x xI e e C= + − + .

d) 1 4 2

ln4 4 2

x

x

eI C

e

− −= +

− +.

?) Cho 1

1xI dx

e=


a) 1 1

2ln1 1

x

x

eI C

e

− −= +

− +. b) 2arctan 1xI e C= − + . c) ( )ln 1x xI e e C= + − + .

d) 1 1

ln1 1

x

x

eI C

e

− −= +

− +.

+ 2

2

1.

1

xxdx

x

−

+ .

Đặt ( )

2 2 22 2

22 2 2 2

1 1 1 42

1 1 1 1

x x t tt t x xdx dt

x x t t

− − += = = − =

+ + − −.

Khi đó ( )

2 2

22 2

1 2.

1 1

x txdx dt

x t

−=

+ − .


13

Đặt

( )2

2 2

2 1

1 1

u t du dt

tdv dt v

t t

= =

= = − − −

.

Vậy 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1. . ln

1 1 1 2 1 1

x x x xxdx C

x x x x x

− − − − += + +

+ + + − + + .


3

2

1.

1

xx dx

x

+

− thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( )2 2 2 2 2

3 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1. 1 ln

1 4 1 2 1 4 1 1

x x x x xx dx x x C

x x x x x

+ + + + − −= + − − +

− − − + + − .


1

x

x

edx

e

+

− thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số 1 1 1 1

2arctan ln1 1 1 1

x x x x

x x x x

e e e edx C

e e e e

− − − − += − − +

+ + − + + .

?) Cho 2 1

x

x

eI dx

e=


a) 1 1

ln2 1

x

x

eI C

e

−= +

+. b) ( )2ln 1xI e C= − + . c)

2

1

1xI C

e= − +

−. d)

1 1ln

2 1

x

x

eI C

e

+= +

−.

?) Cho 2 1

x

x

eI dx

e=


a) 2arctan 1xI e C= − + . b) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . c) 2 1xI e C= − + . d) ( )21ln 1

2

xI e C= − + .

+ 2

s in4

cos 1

xdx

x + .

Đặt 2

2

cos 22sin 2

s in22 cos 1

cos 1

u xdu xdx

xdv dx v x

x

== −

= = − +

+

.

Khi đó : 2 2

2 2

sin4 cos 2 .s in22 4cos 2 . cos 1 8 sin2 . cos 1

cos 1 cos 1

x x xdx dx x x x x dx

x x= = − + − +

+ + .

Vậy ( )3

2 2

2

s in4 164cos 2 . cos 1 cos 1

3cos 1

xdx x x x C

x= − + + + +

+ .


s in4

sin 1

xdx

x + hoặc

s in4

cos 2 1

xdx

x − thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số :

( )32

2

sin4 4 24cos 2 . sin 1 3 cos 2

3sin 1

xdx x x x C

x= + + − +

+ .


14

( )3s in4 4

2cos 2 . cos 2 1 cos 2 13cos 2 1

xdx x x x C

x= − − + − +

− .

?) Cho ( )

22

sin

cos 1

xI dx

x=


a) ( )2

1

2 cos 1I C

x= − +

+. b) ( ) 2

1 1 cosarctan cos

2 2 cos 1

xI x C

x= − − +

+. c) ( )arctan cosI x C= − + .

d) ( )2ln cos 1I x C= − + + .

?) Cho ( )

22

sin 2

cos 1

xI dx

x=


a) ( )2

1

2 cos 1I C

x= − +

+. b)

2

1

cos 1I C

x= +

+. c) ( )tan cosI arc x C= − + .

d) ( )2ln cos 1I x C= − + + .

?) Cho 2

sin

cos 1

xI dx

x=


a) ( )2

1

2 cos 1I C

x= − +

+. b) ( )

1arctan cos

2I x C= − + . c) ( )arctan cosI x C= − + .

d) ( )2ln cos 1I x C= − + + .

?) Cho ( )2tan

x

x

eI dx

e= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) ( )cot x xI e e C= − − + . b) ( )cot x xI e e C= + + . c) 1

tan xI C

e= − + . d) ( )

( )1

tantan

x

xI e C

e= + + .

?) Cho 2sin

x

x

eI dx

e= . Hỏi kết quả nào đây đúng!

a) ( )cot x xI e e C= − − + . b) ( )cot x xI e e C= + + . c) 1

tan xI C

e= − + . d) ( )

( )1

tantan

x

xI e C

e= + + .

?) Cho 2tanx xI e e dx= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) ( )cot x xI e e C= − + + . b) ( )tan x xI e e C= − + . c) 1

tan xI C

e= − + . d) ( )

( )1

tantan

x

xI e C

e= + + .

?) Nếu đề bài cho là 2cos 1.sinx xdx+ thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số 2 2 21 1cos 1.sin cos 1.cos ln cos cos 1

2 2x xdx x x x x C+ = − + − + + + .

?) Nếu đề bài cho là ( )

22

cos

2 cos

xdx

x− thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số ( )

( )2 22

cos 1 1 sinarctan sin

2 2 sin 12 cos

x xdx x C

xx= + +

+− .


15

+ ( )

1 2

22

0 1

xdx

x + .

Đặt

( )2

2 2

1 1

1 2 1

u x du dx

xdv dx v

x x

= =

= = − + +

.

Khi đó ( )

1 11 12

2 2 220 00 0

1 1 1 1 1 1arctan

2 1 2 1 4 2 4 81

x xdx dx x

x xx

= − + = − + = − +

+ ++ .

?) Nếu đề bài cho là ( )

3 2

22

2 1

xdx

x − hoặc

( )

1 3

22

0 1

xdx

x + thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( )

3 2

22

2

7 1ln 2

48 41

xdx

x= −

− .

( )

1 3

22

0

1 1ln 2

4 21

xdx

x= − +

+ .

?) Cho

2

2

1

ln

e

e

I dxx x

= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 1

2I = . b)

1

2I = − . c) 2 . d) 2I = − .

+

1ln3

2

0

arctan x

x

edx

e .

Đặt 2

arctan1

11

xx

x

xx

eu e du dx

e

dv dxve

e

= = +

= = −

.

Khi đó

1 1 11ln3 ln3ln322 2 22

2 2

0 0 00

arctan arctan 11

1 4 13 3

x x x

x x x x

e e edx dx dx

e e e e

= − + = − + + −

+ + .

Với ( )

11ln3

ln322 1 2ln3 22

2 000

1 1 11 ln 1 ln 3

1 2 2 2

xx

x

edx x e

e

− = − + = +

+ .

Vậy

1ln3

2

0

arctan 1 1ln 3 ln 2

4 2 23 3

x

x

edx

e

= − + + + .

?) Nếu đề bài cho là

1ln3

2

2

0

arctan x

x

edx

e thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số

1ln3

2

2

0

arctan 7 3 11

18 8 3

x

x

edx

e

= − + + − .


16

?) Cho ( )2

1

1

1 ln

e

I dxx x

=+

. Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 4

I

= . b) 4

I

= − . c) 3

I

= . d) 6

I

= .

?) Cho 2

1

1

1 ln

e

I dxx x

=+

. Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 1 ln 2I = + . b) ( )ln 1 2I = + . c) 1

ln 22

I = . d) ( )ln 1 2I = − + .

+ ( )

22

1

1

1 ln

e

dxx x+ .

Cách 1 : Đặt 1

ln , 1 0, 1t x dt dx x t x e tx

= = = = = = .

Khi đó :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 12 2 2 21

2 2 2 2 22 02 2 2 2 21 0 0 0 0 0

1 1 1 1arctan

11 ln 1 1 1 1

et t t t

dx dt dt dt dt t dttx x t t t t

+ −= = = − = −

++ + + + + .

Đặt

( )2 2

1 1

1 2 1

u t du dt

tdv dt v

t t

= =

= = − + +

.

( )

1 11 12

2 2 220 00 0

1 1 1 1 1 1arctan

2 1 2 1 4 2 4 81

t tdt dt t

t tt

= − + = − + = − +

+ ++ .

Vậy ( )

22

1

1 1

4 81 ln

e

dxx x

= +

+ .

Cách 2 :

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 222 2 21 1 1 1

1 1 ln ln 1 ln

1 ln1 ln 1 ln 1 ln

e e e ex x x

dx dx dx dxx xx x x x x x

+ −= = −

++ + + .

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 212 2 21 1 1

1 ln lnarctan ln

41 ln 1 ln 1 ln

e e ee x x

dx x dx dxx x x x x x

= − = −

+ + + .

Đặt

( )2

2

2

1ln

ln1 1

1 ln2 1 ln

u x du dxxx

dv dxvx x

x

= = =

= −+ +

.

Khi đó ( ) ( )2 2 22

1 11 1

1 1 ln 1 1 1 1 1arctan ln

4 2 1 ln 2 4 4 2 8 41 ln1 ln

e ee ex

dx dx xx x xx x

= + − = + − = +

+ ++ .


21

1

1 lndx

x x− thì các anh (chị) làm như thế nào!


17

Đáp số ( )2

21

1arcsin ln 2

1 lndx

x x=

− .

?) Cho ( )

2

2

ln

1 ln

e

e

xI dt

x x=


a) 1 2

ln2 5

I = . b) 1 5

ln2 2

I = . c) 2

ln5

I = . d) 5

ln2

I = .

?) Cho ( )

22

1

ln

1 ln

ex

I dxx x

=+

Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 1

4I = . b)

1

4I = − . c) 4I = . d) 4I = − .

+ ( )

3

2

arctan ln

ln

e

e

xdx

x x .

Đặt ( ) ( )2

2

1arctan ln

1 ln1

1ln

ln

du dxu xx x

dv dxvx x

x

== +

=

= −

.

Khi đó

( ) ( )

( )

33 3 3

2 22

arctan ln arctan ln 1 1 1 ln

ln ln 4 ln 1 ln1 ln ln 3 3

ee e e

e e ee

x x xdx dx dx

x x x x x xx x x

= − + = − + + −

++ .

( )( ) ( )

33

2

2

arctan ln 1 1ln ln ln 1 ln ln 3 ln 2

ln 4 2 4 23 3 3 3

ee

e e

xdx x x

x x

= − + + − + = − + + −

.


3

1

arctan xdx

x thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số 3

3

1

arctan 1 1

36 22 3

xdx

x

= − + .

?) Cho 3

1

arctanI xdx= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 3 1

ln 23 4 2

I

= − − . b) 3 1

ln 23 4 2

I

= + − . c) 3 1

ln 23 4 2

I

= + + . d) 3 1

ln 23 4 2

I

= − + .

+ ( )

1ln 2

2

ln 2

arcsin x

x

edx

e

−

−

.

Đặt ( )

2arcsin

11

1

x

x

x

xx

edu dxu e

e

dv dxve

e

== −

= = −

.


18

Khi đó ( ) ( )

11 1 1ln 2ln 2 ln 2 ln 222 2 2

2 2ln 2 ln 2 ln 2

ln 2

arcsin arcsin 1 1

121 1

x x

x x x x

e edx dx dx

e e e e

−− − −

− − −−

= − + = − +− −

.

Đặt 2

2 2 2

22

3 1 21 , 1 , ln 2 , ln 2

1 2 2 21

xx x

x

e tt e dt dx dx dt e t x t x t

te= − = − = − = − = − = = − =

−−.

Khi đó

1 2 3 3ln 22 2 2 2

2 22 2ln 2 3 2

22 2

1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 2. ln ln ln1 1 2 1 2 23 2 2 21 x

t tdx dt dt

t t t te

−

−

− − −= − = − = − = − +

− − + + +− .

Vậy ( )

1ln 2

2

ln 2

arcsin 1 3 2 1 2 2ln ln

12 2 23 2 2 2

x

x

edx

e

−

−

− −= − − +

+ + .

?) Nếu đề bài cho là

2

2

2

1

2

arcsin xdx

x thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số

2

2

2

1

2

arcsin 1 3 2 1 2 2ln ln

3 2 22 2 3 2 2 2

xdx

x

− −= − + − +

+ + .

?) Cho 2

1

1 lne

xI dx

x

−= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 4

I

= − . b) 2

I

= . c) 2

I

= − . d) 4

I

= .

+

2

2

3

1

2

arcsin xdx

x .

Đặt 2

3

2

1arcsin

11

1

2

du dxu xx

dv dxvx

x

== −

= = −

.

Khi đó

2 2 22

2 2 22

3 2 2 2 2 211 1 1

22 2 2

arcsin arcsin 1 1 1 1

2 2 4 3 21 1

x xdx dx dx

x x x x x x

= − + = − + +

− − .

Đặt 1 2

sin cos , ,2 6 2 4

x t dx tdt x t x t

= = = = = = .

Khi đó

2

2 4 44

22 2 2 21

62 6 6

1 1 1 1 1 1 1 1 3cos cot

2 2 2 sin 2 2 21 sin . 1 sindx tdt dt t

tx x t t

= = = − = − +− −

.


19

Vậy

2

2

3

1

2

arcsin 3 1

12 2

xdx

x

−= + .


1

1 lne

xdx

x

+ thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( )2

1

1 ln 2 1ln 1 2

2 2

ex

dxx

+= + + .

?) Cho 2

1

1 lne

xI dx

x

−= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!

a) 4

I

= − . b) 2

I

= . c) 4

I

= . d) 2

I

= − .

+ ( )2

1

arcsin ln

ln

e

e

xdx

x x .

Đặt ( )

2

2

1arcsin ln

1 ln1

1ln

ln

du dxu xx x

dvvx x

x

== −

= = −

.

Khi đó ( ) ( )2 2 2

11 1 1

5arcsin ln arcsin ln 1 16 6

1 1ln ln ln 1 ln ln 1 ln2 2

ee e e

ee e e

x xdx dx dx

x x x x x x x x x

= − + = − + +− −−

.

Đặt 1 1 1 1

ln , ,2 2

t x dt dx x t x e tx e

= = = = − = = .

Khi đó

1 1 1 1

2 2 22 2 2 2

22 2 2 21 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

ln 1 ln 1 1 1

e

e

t t t t tdx dx dt dt dt

tx x x t t t t t− − − −

− + −= = = +

− − − − .

Đặt 2

2

1 3 1 31 , ,

2 2 2 21

tk t dk dt kdk tdt t k t k

t= − = − − = = = = − =

−.

Khi đó

312222

2 121 3 2

2

11 0

1ln . 1 ln

e

e

kdx dk t

kx x x −

= − − − =−−

.

Hoặc đặt 1 1 5

sin cos , ,2 6 2 6

t k dt kdk t k t k

= = = = = − = .

Khi đó

1

6 62 6

2 2 51 5 5

62 6 6

1 1 1 5cos ln tan ln tan ln tan

sin 2 12 121 sin 1 sin

kdt kdk dk

kt t k k

−

= = = = −

− − .


20

Vậy ( )2

1

arcsin ln2

ln

e

e

xdx

x x= − .

?) Nếu đề bài cho là ( )( )2

1

cos arcsin ln

1 ln

e xdx

x− thì các anh (chị) làm như thế nào!

Đáp số : ( )( )2

1

cos arcsin ln1

1 ln

e xdx e

x= −

− .

5. Các loại tích phân :

a) Tích phân suy rộng :

b) Tích phân bội :

c) Tích phân đường :

d) Tích phân mặt :

II. Phương trình vi phân :

1. Tách biến :

2. Tuyến tính cấp 1 :

3. Tuyến tính cấp 2 :

Documents

Phần một tóm tắt lý thuyết 1. t nguyên hàm của (Tức là