2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH

Phần một: Các bài toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: 3 2axy bx cx d * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có 2 nghiệm phân biệt * ) Hoành độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu là 1 2,x x khi đó 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình y’=0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở của phương pháp này là: nếu hàm số bậc 3 đạt cực đại cực tiểu tại 1 2,x x thì

1 2'( ) '( ) 0f x f x + Phân tích '( ). ( ) ( )y f x p x h x . Từ đó ta suy ra tại 1 2,x x thì 1 1 2 2( ); ( ) ( )y h x y h x y h x là đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k là hệ số góc của đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

* ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc 3 là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của hàm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a

2) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện k= 1a

Ví dụ 1) Tìm m để 3 2 7 3f x x mx x có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x-7. Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu 2'( ) 3 2 7 0f x x mx có 2 nghiệm phân biệt

2 21 0 21m m . Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có:

21 1 2 7. 21 33 9 9 9

mf x x m f x m x . Với 21m thì f’(x)=0 có 2 nghiệm x1, x2

phân biệt và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1,x2.

3

Do 1

2

( ) 0( ) 0

f xf x

nên

21 1

22 2

2 7(21 ) 39 92 7(21 ) 39 9

mf x m x

mf x m x

.

Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình 22 7: 21 39 9

my m x

Ta có 2 2 2

21 21 213 7 2 3 4521 .3 1 21

9 2 2

m m my x

m m m

3 102

m

3) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox một góc + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện tank

Ví dụ 1) Cho hàm số 23 23 mxxxy (1) với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Giải: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

' 9 3 0 3m m 3 2 1 23 2 ( 1). ' ( 2) 23 3 3

m my x x mx x y x

Đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình

32)2

32( mxmy

Đường thẳng này cắt 2 trục Ox và Oy lần lượt tai

36;0,0;

)3(26 mB

mmA

Tam giác OAB cân khi và chỉ khi OA OB 6 6

2( 3) 39 36; ;2 2

m mm

m m m

Với m = 6 thì OBA so với điều kiện ta nhận 23

m

Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với 2 trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng là

9 ( )2 2tan 45 1 2 1

33 ( )2

m Lmkm TM

4

4) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b một góc + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu

+ Giải điều kiện tan1k a

ka

Ví dụ ) Tìm m để 3 2 23( 1) (2 3 2) ( 1)f x x m x m m x m m có đường thẳng đi qua

CĐ, CT tạo với 1 54

y x một góc 450.

Giải: Gọi hệ số góc của đường thẳng đi qua CĐ, CT là k, khi đó từ điêu kiện bài toán suy ra:

0

1 1 5 3114 4 4 4 445 1 1

1 1 3 54 41 . 14 4 4 4 4

k kk kktg kk kk k

35

53

k

k

Hàm số có CĐ, CT 2 2( ) 3 6( 1) (2 3 2) 0f x x m x m m có 2 nghiệm phân biệt

2 3 5 3 53( 3 1) 02 2

m m m m

(*)

Thực hiện phép chia f(x) cho) f’(x ta có 21 2( ) ( 1) . ( ) 3 1 ( 1)3 3

f x x m f x m m x m

với m thoả mãn điều kiện (*) thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt ccực trị tạix1,x2.

Do 1

2

( ) 0( ) 0

f xf x

nên

21 1

22 2

2 ( 3 1) 132 3 1 1

3

f x m m x m

f x m m x m

Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT có phương trình 22: 3 1 13

y m m x m

Ta có tạo với 1 54

y x góc 450 22 3 1 1

3m

m

kết hợp với điều kiện (*) ta có 3 152

m

5) Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm các giao điểm với các trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y.

+ /1 .2MAB M ABS d AB

Từ đó tính toạ độ A, B sau đó giải điều kiện theo giả thiết

5

Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2y x mx cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât.Giải: Có: 2' 3 3y x m có 2 nghiệm phân biệt khi 0m . Khi đó tọa độ hai điểm cực trị của đồ

thị hàm số là ;2 2 , ; 2 2M m m x N m m x

- Phương trình đường thẳng MN là: 2 2 0mx y - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I tại A,B mà tam giác IAB có ˆ2. . .sin 1IABS IA IB AIB ,

dấu bằng xảy ra khi 0ˆ 90AIB , lúc đó khoảng cách từ I đến MN bằng 12

Do vậy ta có pt: 2

2 11 1 3 3, 1 ; 12 22 24 1

md I MN m m

m

Ví dụ 2) Cho hàm số 3 3 2y x mx Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 18 , trong đó 1;1I

Lời giải: Ta có 2 2' 3 3 3y x m x m . Để hàm số có CĐ và CT 0m

Gọi A, B là 2 cực trị thì ;2 2 ; ;2 2A m m m B m m m

PT đường thẳng đi qua AB là: 42 2 2 22m my m m x m y mx

m

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là 2

2 1;

4 1

md I AB

m

độ dài đoạn 34 16AB m m

Mà diện tích tam giác IAB là 3

2

2 1118 4 16 182 4 1

mS m m

m

2 23 2

3 2 2

4 16 2 1 4 1 4.18 2 1 18

4 4 18 0 2 4 4 9 0 2

m m m m m m

m m m m m m m

6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách đều điểm M cho trước: + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị 1 2;y y ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là MA=MB 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=ax+b + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị 1 2;y y ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B thì điều kiện là: Đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=ax+b và trung điểm của AB thuộc đường thẳng y=ax+b

6

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 2 2( ) 3f x x x m x m có CĐ và CT đối xứng nhau qua

1 5:2 2

y x .

Giải: Hàm số có CĐ, CT 3 26 0f x x x m có 2 nghiệm phân biệt 2 29 3 0 3 3m m m .

thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 2

21 2( ) 1 ( ) 33 3 3

mf x x f x m x m

với 3m thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số f(x) đạt cực trị tại x1, x2.

Do

1

2

0

0

f x

f x

nên

22

1 1 1

22

2 2 2

2 33 32 33 3

my f x m x m

my f x m x m

. Suy ra đường thẳng đi qua CĐ, CT

có phương trình 2

22: 33 3

md y m x m

Các điểm cực trị 1 1 2 2; , ;A x y B x y đối xứng nhau qua 1 5:2 2

y x d và trung

điểm I của AB phải thuộc (d)

2

22

2 3 2; 1 03 0( 1) 02 1 53 .1 .1

3 3 2 2

Im x mm

m mmm m

Ví dụ 2) Cho hàm số 3 23 2 my x x mx C Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều đường thẳng : 1 0d x y Giải: Ta có 2 2' 3 6 ; ' 0 3 6 0y x x m y x x m (1) Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 3m Giả sử 1 1 2 2; , ;A x y B x y là hai điểm cực trị của hàm số (Cm), ( 1 2,x x là 2 nghiệm của (1)).

Vì 1'. 2 1 23 3 3 3x m my y x

và 1 2' ' 0y x y x nên phương trình đường thẳng đi

qua A,B là 2 1 2 '3 3m my x d

. Do đó các điểm A,B cách đều đường thẳng (d) trong 2

trường hợp sau:

TH1: (d’) cùng phương với (d) 92 1 13 2m m

(không thỏa mãn)

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên (d). Do I là trung điểm của AB nên tọa độ I là:

7

1 2

1 2

12

2

x xx

y yy m

. Vì I nằm trên (d) nên ta có 1 1 0 0m m (thỏa mãn).

Chú ý: Cần phân biệt rõ 2 khái niệm cách đều và đối xứng qua một đường thẳng. 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại cực tiểu max, min + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị 1 2;y y ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu là A, B. Tính độ dài AB theo tham số. Dùng phương pháp đạo hàm để tìm max, min

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 13

f x x mx x m có khoảng cách giữa các điểm CĐ,

CT là nhỏ nhất.Giải: Do 2 2 1 0f x x mx có 2 1 0m nên f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và

hàm số đạt cực trị tại x1, x2 với các điểm cực trị là . 1 1 2 2; , ;A x y B x y

Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta có: 21 2 2( ) . ( ) 1 13 3 3

f x x m f x m x m

Do 1

2

( ) 0( ) 0

f xf x

nên

21 1 1

22 2 2

2 2( ) 1 13 3

2 2( ) 1 13 3

y f x m x m

y f x m x m

Ta có 22 2 2 22 2

2 1 2 1 2 1 2 14 19

AB x x y y x x m x x

22 22 1 1 2

22 2

44 1 19

4 4 2 134 4 1 1 4 19 9 3

x x x x m

m m AB

Min AB= 2 133

xảy ra m=0

9) Tìm điều kiện để hoành độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn một hệ thức cho trước + Điều kiện là : y’=0 có 2 nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình y’=0

Ví dụ 1) Tìm m để hàm số 3 21( ) 13

f x x mx mx đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn

1 2 8x x

8

Giải: Hàm số có CĐ, CT 2( ) 2 0f x x mx m có 2 nghiệm phân biệt 2 0 0 1m m m m

với điều kiện này thì f’(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2 vớix1+x2=2m và x1x2=m. Ta có BPT: 2

1 2 1 28 64x x x x

2 2 21 2 1 24 4 4 64 16 0

1 65 1 652 2

x x x x m m m m

m m

thoả mãn điều kiện 0 1m m

Ví dụ 2) Cho hàm số 13 23 mxxxy

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách từ điểm )4

11;21(I đến đường thẳng nối

điểm cực đại và cực tiểu là lớn nhất Giải: Ta có mxxy 63' 2 . Hàm số có cực đại cực tiểu khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt

30' m (0,25 điểm)

- Chia đa thức y cho y’ ta có 13

)23

2()31

3('

mxmxyy . Lập luận suy ra đường thẳng đi

qua cực đại cực tiểu là 13

)23

2( mxmy . Dễ dàng tìm được điểm cố định mà đường

thẳng cực đại cực tiểu luôn đi qua là )2;21(A (0,25 điểm)

- Hệ số góc của đường thẳng IA là 43

k . Hạ IH vuông góc với ta có 45

/ IAdIH I

Đẳng thức xảy ra khi IA (0,25 điểm)

- Suy ra 3412

32

k

m 1 m (0,25 điểm)

Ví dụ 3) Cho hàm số 3 2 2 33 3( 1) 4 1y x mx m x m m (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A, B cùng với gốc O tạo thành tam giác vuông tại OGiải:Điều kiện để hàm số có 2 cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt:

2 2 1' 3 6 3( 1) ' 9 0

1x m

y x mx mx m

(0,25 điểm)

Ta có 1 1'( ) 2 3 13 3

y y x m x m Gọi A, B là 2 điểm cực trị thì

( 1; 3); ( 1; 1)A m m B m m (0,25 điểm)

Suy ra 2 1( 1; 3); ( 1; 1) 2 2 4 0

2m

OA m m OB m m m mm

(0, 25 điểm)

Kết luận: Có hai giá trị của m cần tìm là m=-1 hoặc m=2

9

Ví dụ 4) Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 21 1 . 33

y x m x m x2

có cực đại 1x , cực

tiểu 2x đồng thời 1 2;x x là độ dài các cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có độ dài cạnh

huyền bằng 52

.

Giải: Cách 1: Miền xác định: D R có 2 2 2 2' 3; ' 0 3 0y x mx m y x mx m Hàm số có cực đại 1x , cực tiểu 2x thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi PT ' 0y có 2 nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu và đổi dấu qua 2 nghiệm đó.

2

2

0 4 0 2 20 0 0 3 20 3 33 0

m mS m m mP m mm

(*)

Theo Viet ta có: 1 22

1 2 3

x x m

x x m

. Mà

22 2 2 21 2 1 2 1 2

5 142 4 5 2 4 3 52 2

x x x x x x m m m

Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị 142

m thỏa yêu cầu bài toán.

B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: 4 2axy bx c . *) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 3 cực đại cực tiểu là y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn thì y’=0 luôn có một nghiệm x=0, để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt sau khi tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệtkhác không. VD: 4 22 2 2y x mx thì 3 2' 4 4 ' 0 0y x mx y x x m điều kiện là m<0 *) Khi hàm số bậc bốn có 3 cực trị là A(0;c), 1 1 2 1( ; ); ( ; )B x y C x y thì điều đặc biệt là tam giác ABC luôn cân tại A( Học sinh cần nắm chắc điều này để vận dụng trong giải toán) *) Các câu hỏi thường gặp trong phần này là: 1) Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân, hoặc đều + Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A.Tính các véc tơ: , ,

AB AC BC

+ Tam giác ABC vuông cân . 0 AB AC

+ Tam giác ABC đều AB BC 2) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực đại cực tiểu tạo thành tam giác có diện tích cho trước+ Tìm điều kiện để y’=0 có 3 nghiệm phân biệt + Tính toạ độ 3 điểm cực đại cực tiểu A, B,C. Lập luận chỉ ra tam giác ABC luôn cân tại A. Tính các véc tơ: , ,AB AC BC

10

+ Kẻ đường cao AH.

+ 1 .2ABCS AH BC

+ Giải điều kiện Ví dụ 1) Tìm m để f(x)= 4 2 42 2x mx m m có CĐ, CT lập thành tam giác đều Giải: f’(x)= 2 24 0 0x x m x x m Hàm số có CĐ, CT f’(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt m>0 Với m>0 thì f’(x)=0

4 21

42

4 23

; 2

0 0; 2

; 2

x m B m m m m

x A m m

x m C m m m m

Suy ra BBT của hàm số y=f(x)

ABC đều 2 2

2 2

00 mmAB AC AB ACAB BC AB BC

4 4 3

34

00

33 0

4

m mm m m m m

m mm m m

Ví dụ 2) Cho hàm số 4 2 22 2 4y x mx m , m là tham số thực. Xác định m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 1. Giải: Mxđ: D R . Có 3' 4 4y x mx

3 2' 0 4 4 0 0y x mx x x m . Hàm số có 3 cực trị 0m (*)

Gọi 2 2 20;2 4 , ; 4 , ; 4A m B m m C m m là 3 điểm cực trị

Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại A

Kẻ AH BC có 21 . 2 2 2 2 . 12ABC B A BS AH BC y y x m m m . Đối chiếu

với điều kiện (*) có 1m là giá trị cần tìm. Ví dụ 3) Cho hàm số 4 2 22 1 1.y x m x m Tìm m để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị

và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.Giải: 3 2 2 2' 4 4 1 0 0, 1y x x m x x m

hàm số có 3 cực trị 1 1m . Khi đó tọa độ điểm cực đại là 0;1A m , tọa độ hai điểm

cực tiểu là 2 2 2 21 ; 1 , 1 ; 1B m m C m m

diện tích tam giác ABC là 221 ; . 1 12ABCS d A BC BC m . Dấu “=” xày ra khi 0m

ĐS: 0m

11

Ví dụ 4) Cho hàm số 4 22 2y x mx có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua

5 53 9;D

Giải: Có 3' 4 4 0 0; 0y x mx x x m m . Vậy các điểm thuộc đường tròn (P)

ngoại tiếp các điểm cực trị là 2 2 3 90;2 , ; 2 , ; 2 , ;5 5

A B m m C m m D

.

Gọi ;I x y là tâm đường tròn (P)

2 2

2 2

2 2 2 2 22 2

3 1 0

2 2 0; 1; 0( ), 1

2 2

x yIA ID

IB IC x y x m x y m L m

IB IA x m y m x y

Vậy 1m là giá trị cần tìm.

Phần hai: Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến và các đường tiệm cận *) Xét hàm số ( )y f x .Giả sử 0 0( ; )M x y là tiếp điểm khi đó tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( )y f x x x y (1) ( Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn 0y theo dạng 0( )f x )

Ví dụ: Xét điểm M bất kỳ thuộc đồ thị hàm số 2 11

xyx

khi đó điểm M có toạ độ là

00

0

2 1( ; )1

xM xx

*) Ta gọi hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M là 0'( )k f x *) Đường thẳng bất kỳ có hệ số góc k đi qua 0 0( ; )M x y có dạng 0 0( )y k x x y . Điều kiện để là tiếp tuyến của hàm số y=f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm

0 0( ) ( )'( )

k x x y f xk f x

Khi đó số nghiệm của hệ cũng chính là số tiếp tuyến kẻ được từ điểm M đến đồ thị hàm sốy=f(x) *) Mọi bài toán viết phương trình tiếp tuyến đều quy về việc tìm tiếp điểm sau đó viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi thường gặp trong phần này là 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên 0'( )k f x a . Giải phương trình tìm 0xsau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1)

12

Chú ý: Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là '( ) '( )A B

A B

f x f xx x

Ví dụ 1) Cho hàm số 2 11

xyx

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp tuyến

cách đều hai điểm A(2;4), B(-4;-2)

Giải : Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm 0( 1)x , PTTT là

02

00 0

2 1111

xyxx x x

Vì tiếp tuyến cách đều 2 điểm A,B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song song với AB hoặc trùng với AB.

Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(-1;1) của AB thì ta có:

00 02

00

211 1 111

xx xxx

Suy ra phương trình tiếp tuyến là 14

5y4

x

Nếu tiếp tuyến song song với AB hoặc trùng với AB thì tiếp tuyến có hệ số góc là

0

200

02 ( 4) 11 124 ( 2) 1

xk

xx

Với 0 0x ta có PTTT là 1y x ; với 0 2x ta có PTTT là 5y x

Vậy có 3 PTTT thỏa mãn 1 5 ; 1; 54

y x y x y x4

Ví dụ 2) Cho hàm số 12

xyx

Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm A và B sao cho 8AB , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A và B song song với nhau.

Giải : Giả sử điểm cần tìm là 1 1; , ;2 2

a bA a B ba b

theo giả thiết ta có hệ:

22

' '4

1 1 8 11 81 12 4

a bf a f b a b

a ba b a ba b ab a b

13

44

116 4 1 8 14

a ba b

ab abab

từ đó tìm được A,B

Ví dụ 3) Cho hàm số 2(3 1)

ym x m m

x m

(Cm)

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục Ox song song với đường thẳng (d): 1y x Giải :

Ta có 2

2

4'( )

myx m

Giao điểm của (Cm) và trục Ox là 2

( ;0)3 1m mA

m

. Tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với

22 13 11 ' 1 1 13 1 2

5

mm m my x y

m m m

Khi m=1. Phương trình tiếp tuyến là 1y x (loại) vì tiếp tuyến trùng với đường thẳng (d)

Khi 15

m . Phương trình tiếp tuyến là : 35

y x (TMĐK)

KL : 15

m

Qua ví dụ này các em học sinh cần lưu ý: Kiểm tra điều kiện đủ khi tìm ra giá trị tham số, Đây là sai lầm hay mắc phải của học sinh khi giải toán. Ví dụ 4) Cho hàm số 3 3 2y x x (C) Tìm trên (C) các điểm A,B phân biệt sao cho các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d: 5 0x y Giải : Giả sử các tiếp tuyến với (C) tại A,B có cùng hệ số góc k. Để tồn tại hai tiếp tuyến tại A,B phân biệt thì phương trình 2' 3 3y x k phải có hai nghiệm phân biệt 3k

Ta có tọa độ các điểm A,B thỏa mãn hệ: 23

22

3 3 2 23 23

3 3 3 3

xy x xy x x

x k x k

2 2

2 2 2 2 2 23 3 3

3 3 3 3

kx k ky x x y x

x k x k

phương trình đường thẳng AB: 2 23ky x

. Để 2 1 9

3kAB d k (thỏa mãn)

14

Vậy tọa độ các điểm A,B thỏa mãn: 3 3

2

3 2 3 2 2;4 , 2;023 3 9

y x x y x x A Bxx

Ví dụ 5) Cho hàm số 3 21 1 1y x m x m x (1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt Ox ở 3 điểm phân biệt A(1;0), B, C sao cho các tiếp tuyến tại B,C song song nhau. Giải: Xét phương trình 2 20 1 1 0( ) : 1 0y x x mx gt pt x mx có 2 nghiệm phân

biệt khác 1 2

04 0

mm

. Gọi ,B Cx x là nghiệm đó B Cx x và B Cx x m .

Yêu cầu bài toán ' 'B Cy x y x

2 23 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0

2 12

3

B B C C B C B C

B C

x m x m x m x m x x x x m

mx x m m

Ví dụ 6) Cho hàm số 2 2 11 m

x my Cx m

Cho A(1;2). Tìm các giá trị của m sao cho tồn tại đường thẳng qua A cắt đồ thị Cm tại hai điểm phân biệt M,N mà các tiếp tuyến tại M,N của đồ thị song song với nhau. Giải:

Ta có: 2

3'1

yx m

. Giả sử 1 1 2 2 1 2; , ; mM x y N x y C x x . Tiếp tuyến tại M và N song

song 1 2 1 22 2

1 2

3 3 1 1 2 21 1

x m x m x x mx m x m

(1)

Ta thu được 1 1 2 21 1 1 1x x m x x m

và chú ý 1 2 1 2 1 21 ( 1) 1 1 2x m x m x x x x . Cùng với (1) 0m

2) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x

+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b nên 01'( )k f xa

. Giải phương trình tìm

0x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1) + Chú ý : Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A vuông góc với tiếp tuyến tại B là:

'( ). '( ) 1A B

A B

f x f xx x

Ví dụ 1) Cho C(m): 3 2( ) 3 1y f x x x mx

a) Tìm m để C(m) cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E. b) Tìm m để các tiếp tuyến với C(m) tại D và E vuông góc với nhau.

15

Giải: a) Xét 1Cm y với phương trình tìm hoành độ giao điểm

3 2 22

03 1 1 3 0 (0;1)

( ) 3 0x

x x mx x x x m Cg x x x m

Yêu cầu bài toán ,D Ex x là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x)=0

99 4 0 904(0) 0 40

m mm

g m m

(*)

b) Đạo hàm: 2( ) 3 6y x x x m .

Với điều kiện 904

m thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.

2 21 ( ). ( ) 3 6 3 6D E D D E Ey x y x x x m x x m

2 2 2

3 3 2 3 3 2 3 2 3 2

9 6 4 9 6 . 3 4 4 9D D E D D E

D E D E

g x x m g x x m x m x m

x x m x x m m m m m

2 9 654 9 1 08

m m m thoả mãn điều kiện (*)

Cho hàm số 3 22 51 3 23 3

y x m x m x có đồ thị (Cm), m là tham số.

Ví dụ 2) Tìm m để trên (Cm) có 2 điểm phân biệt 1 1 1 2 2 2; , ;M x y M x y thỏa mãn 1 2. 0x x và tiếp tuyến của (Cm) tại mỗi điểm đó vuông góc với đường thẳng : 3 1 0d x y

Giải: Ta có hệ số góc của : 3 1 0d x y là 13dk . Do đó 1 2,x x là nghiệm của phương trình

y’=-3 Hay 2 22 2 1 3 2 3 2 2 1 3 1x m x m x m x m (1) Yêu cầu bài toán phương trình (1) có hai nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 2.x x >0

2 3' 1 2 3 1 013 1 10 32

mm mm m

Vậy kết quả bài toán là 3m và 113

m .

Ví dụ 3) Cho hàm số 3

22 33xy x (C) và đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(0;3)

Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại 3 giao điểm đó cắt nhau tạo thành một tam giác vuông. Giải: Hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) là

3

2 22 3 3 6 3 03 3x xx kx x x k 2

0

( ) 6 3 0

x

g x x x k

. Điều kiện là phương

16

trình 2( ) 6 3 0g x x x k có 2 nghiệm phân biệt khác 0. ' 0 9 3 0 3(0) 3 0 (0) 3 0 0

k kg k g k k

Tại x=0 tiếp tuyến song song với trục Ox do đó để 3 tiếp tuyến cắt nhau tạo thành một tam giác vuông thì điều kiện là 2( ) 6 3 0g x x x k có 2 nghiệm 1 2;x x sao cho 1 2'( ). '( ) 1f x f x

2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4 1 4 ( ) 16 1 0x x x x x x x x x x x x

Theo định lý Viets ta có 1 2

1 2

6. 3

x xx x k

Thay vào ta có: 2 2 4 159 72 48 1 0 9 24 1 03

k k k k k k

Kết hợp điều kiện suy ra 4 153

k

3) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua ( ; )M MM x y + Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua M . Phương trình của là ( )M My k x x y

+ Điều kiện để là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm ( ) ( )

'( )M Mk x x y f x

k f x

. Giải hệ

tìm x ta có hoành độ của các tiếp điểm sau đó viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 19 ;412

A

đến 3 2: ( ) 2 3 5C y f x x x

Giải: Đường thẳng đi qua 19 ;412

A

với hệ số góc k có phương trình 19 412

y k x

tiếp xúc

với : ( )C y f x 19( ) 412

( )

f x k x

f x k

có nghiệm

3 219 19( ) ( ) 4 2 3 5 6 1 412 12

f x f x x x x x x x

2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

19 171 2 1 6 1 1 4 1 012 2

191 : 4 412

192 : 4 12 1512

1 19 21 19: 4 48 12 32 12

x x x x x x x x

x t y y x y

x t y y x y x

x t y y x y x

4)Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc

17

+ Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x

+ Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 00

0

'( ) tan'( ) tan

'( ) tanf x

f xf x

Giải tìm 0x sau

đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1).

Ví dụ 1) Cho (C): 3 21

xyx

. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục hoành góc

450 Giải: Do tiếp tuyến của (C) tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc k của tiếp tuyến thoả mãn

045 1 1k tg k . Vì 2

1( ) 0 11

y x xx

nên k=-1. hoành độ tiếp điểm là nghiệm

của phương trình

1 12

2 2

0 21( ) 1 12 41

x yy x

x yx

Phương trình tiếp tuyến tại x1=0 là y=-1(x-0)+2=-x+2 Phương trình tiếp tuyến tại x2=2 là y=-1(x-2)+4=-x+6.

Ví dụ 2) Cho hàm số 32( 1)

xyx

có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến tại M trên

(H) sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại A, B và đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độGiải: Do tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua gốc tọa độ nên tam giác OAB vuông cân tại O suy ra tiếp tuyến tạo với Ox góc 450

Suy ra 0 0 02

0

4'( ) 1 0 à 24 1

f x x v xx

Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là 32

y x và 52

y x

5) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x

+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc tan

1tan1 tan

1

k ak a ka

k akaka

(Với 0'( )k f x ) Giải tìm 0x sau đó viết phương trình tiếp tuyến theo (1).

Ví dụ 1) Cho (C): 4 31

xyx

. Viết phương trình tiếp tuyến tạo với : y=3x góc 450.

Giải: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k, khi đó do tiếp tuyến tạo với :y=3x góc 450 nên

18

023 1 33 45 1 13 1 31 .3

2

kk kk tgk kk k

* Với k=-2, xét đường thẳng y=-2x+m tiếp xúc (C)

4 3 21

x x mx

hay 4x-3=(-2x+m)(x-1) có nghiệm kép

22

2

2 2 3 0 2 8 3 0

12 28 0 6 2 2

x m x m m m

m m m

* Với k= 12 xét đường thẳng 1

2y x m tiếp xúc (C)

4 3 11 2

x x mx

hay 2(4x-3)=(-x+2m)(x-1) có nghiệm kép

22 2 7 2 6 0 2 7 4 2 6 0x x x m m m 24 36 73 0m m vô nghiệm.

Vậy chỉ có 2 tiếp tuyến 2 6 2 2y x tạo với y=3x góc 450.

6) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt hai trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc tam giác OAB có diện tích bằng một số cho trước. + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( )y f x x x y (1). Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là 0'( )k f x + Tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B thì tam giác OAB luôn vuông, để OAB là tam giác vuông cân thì tiếp tuyến phải tạo với Ox một góc 045 và tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ+ Viết phương trình tiếp tuyến theo dạng (4). Sau đó chỉ chọn những tiếp tuyến không đi qua gốctoạ độ + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích cho trước thì ta tìm các

giao điểm A,B sau đó ta tính diện tích tam giác vuông OAB theo công thức 1 .2OABS OA OB

Ví dụ 1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 22

xyx

biết tiếp tuyến cắt

,Ox Oy lần lượt tại A,B mà tam giác OAB thỏa mãn: 2AB OA . Giải: Cách 1: Gọi 0 0 0; ,M x y x thuộc đồ thị hàm số. PTTTd tại M có dạng:

0

020 0

2 42 2

xy x xx x

.

Do tiếp tuyến cắt trục ,Ox Oy tại các điểm A,B và tam giác OAB có 2AB OA nên tam giác OAB vuông cân tại O. Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với 1 trong hai đường phân giác y x hoặc y x

+TH1: d vuông góc với đường phân giác y x có:

0 020

4 1 0 42

x xx

19

Với 0 0 :x d y x (loại) Với 0 4 : 8x d y x

+TH2: : d vuông góc với đường phân giác y x có: 20

4 12x

PT vô nghiệm

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8d y x

Cách 2: Nhận xét tam giác AOB vuông tại O nên ta có: 1sin sin42

OAABOAB

nên tam

giác AOB vuông cân tại O. PTTT của (C) tại 0 0;M x y có dạng:

0

0200

2422

xy x xxx

. Dễ dàng tính được 20 ;02xA

và

20

20

20;

2

xBx

Yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm 0x là nghiệm của phương trình:

20

2300 02

0

2 4 02 2

x x x xx

Với 0 0x ta có PTTT là: 0y x Với 0 4x thì PTTT là: 4y x

Ví dụ 2) Cho hàm số 3 24 1(2 1) ( 2)3 3

y x m x m x (Cm)

Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với trục tung cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A,

B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 118

Ta có 1(0; )3

B tiếp tuyến tại B của (Cm) là 1(y m 2)3

x (d) . Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại

1(3 6

;0)Am

Diện tích tam giác OAB là 11 1 1 1 1. . . 2 132 2 3 3 6 18

mS OA OB m

mm

7) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích cho trước hoặc tạo thành một góc cho trước. + Xét hàm số y=f(x). Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm, suy ra tiếp tuyến tại M có dạng

0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x . + Tìm các giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận sau đó căn cứ vào điều kiện để giảiquyết + Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận ngang và tiệm cận đứng tại A, B mà tam giác IAB vuông cân ( Với I là giao điểm 2 tiệm cận) thì ta quy về việc viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với tiệm cận ngang một góc 045 ) Chú ý rằng tiếp tuyến không được đi qua giao điểm 2 đương tiệm cận vì khi đó sẽ không hình thành một tam giác)

20

+ Nếu yêu cầu là tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A, B tạo thành tam giác IAB

có diện tích cho trước thì ta tìm các giao điểm A, B sau đó dùng công thức 1 .2OABS IA IB

+ Chú ý: Góc tạo bởi tiếp tuyến và đường tiệm ngang hoặc tiệm cận đứng cũng chính là góc tạo bởi tiếp tuyến và các trục Ox, Oy

Ví dụ 1) Cho hà số 2 3mxyx m

. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm m để tiếp tuyến

bất kỳ của hàm số cắt hai tiệm cận tại A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64.Giải: Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x m và đường tiệm cận ngang là 2y m . Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là: , 2I m m

Gọi 00

0

2 3;

mxM xx m

(với 0

x m ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số đã cho.

PTTT của đồ thị hàm số tại điểm này là

2

002

00

2 32 3 mxmy x xx mx m

Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại 2

0

0

2 2 6; mx mA mx m

và cắt tiệm cận ngang tại

02 ;2B x m m . Ta có2 2

00 0

0 0

2 2 6 4 62 ; 2 2mx m mIA m IB x m m x mx m x m

Nên diện tích tam giác IAB là 21 . 4 62

S IA IB m

Bởi vậy yêu cầu bài toán tương đương: 2 584 6 642

m m

Ví dụ 2) Cho hàm số .1

xyx

Viết PTTT của đồ thị (H) của hàm số đã cho biết tiếp tuyến

tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bằng 2 2 2 .

Giải: Cách 1: Đường tiệm cận của đồ thị là 1, 1x y . Gọi PTTT của (H) tại 0 0;M x y là:

0 02

00

111

x x xyxx

Khi 0 0

0 0

1 11 1;

1 1x xx y Ax x

. Khi 0 01 2 1 2 1;1 ; 1;1y x x B x I

21

220 0

0 00 0

2 40 0 0

0

220 0

1 11 2 2 2 2 1 2 2 21 1

2 2 1 1 4 2 2 2 1

1 0

2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 0

ABCx xP IA IB AB x xx x

x x x

x L

x x

Cách 2: Phương trình tiệm cận đứng 1x , phương trình tiệm cận ngang 1y

Gọi ;1

aM aa

, PTTT tại

21:

11aM y x a

aa

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận đứng là 11;1

aAa

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang là 2 1;1B a

Chu vi tam giác IAB là

22

2 12 1 2 1 4 2 21 1

C IA IB AB a aa a

Dấu “=” xảy ra khi 1 1a tức 0; 2a a . Với 0a y x Với 2 4a y x KL: ; 4y x y x là 2 tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ 3) Cho hàm số 3 21

xy Cx

. Gọi I là giao của 2 đường tiệm cận của đồ thị. Viết

PTTT d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa mãn:

5ˆcos26

BAI

Giải: Xét điểm 0 0 0; , 1M x y x C là tiếp điểm của tiếp tuyến d.

PTTT tại d có dạng:

002

0 0

3 2 51 1

xy x xx x

Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt tại A và B và IAB có 5ˆcos26

BAI nên 221 1 1ˆ ˆ ˆtan 1 tan tan 5ˆ 25 5cos

BAI BAI ABIBAI

Lại có ˆtan ABI là hệ số góc của tiếp tuyến d mà 0 2

0

5' 02

y xx

nên

2

0 0 020

5 5 1 1 0 21

x x xx

Với 0 0x có PTTT d: 5 2y x

22

Với 0 2x có PTTT d: 5 2y x Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có pt như trên.

Ví dụ 4) Cho hàm số : 2x 1yx 1

có đồ thị là C .

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C .Tìm trên đồ thị C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : 2 2 40IA IB Giải:

TCĐ 1d : 1x ,TCN 2 : 2d y 1;2I .Gọi 00

0

2 1;1

xM xx

0, 0C x

Phương trình tiếp tuyến với C tại

002

00

2 13: :11

xM y x xxx

01 2 0

0

2 41; , 2 1;21

xd A d B xx

2 4 2022 2 0 0

0

00

36 4 1 40 1 10 1 9 014000

x x xxIA IBxx

0x 2 0y 1 2;1M .

8) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tại A, B mà chu vi tam giác IAB nhỏ nhất *) Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm được một kết quả quan trọng sau: (Trong hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất tiếp tuyến bất kỳ cắt 2 tiệm cận tại A,B thì diện tích tam giác IAB không đổi). Vận dụng kết quả này ta có

2 2 2 . 2 . (2 2) .IABC IA IA AB IA IB IA IB IA IB IA IB IA IB . Vì diện tích tam giác IAB không đổi suy ra IA.IB không đổi. Từ đó ta có Chu vi tam giác IAB min khi IA=IB. Giải điều kiện tìm M sau đó viết phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1) Cho hàm số 21

xyx

. Viết PTTT của đồ thị biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A,B

sao cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất. với I là giao 2 tiệm cận.Giải: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng 1x và tiệm cận ngang là đường thẳng 1y . Giao điểm hai đường tiệm cận 1;1I . Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị

tại điểm có hoành độ 0x , PTTT có dang:

002

00

2311

xy x xxx

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng 1x tại điểm 0

0

51;

1xAx

và cắt tiệm cận đứng tại điểm

23

02 1;1B x . Ta có: 00 0

0 0

5 61 ; 2 1 1 2 11 1

xIA IB x xx x

Nên 00

6. .2 1 121

IA IB xx

. Do vậy diện tích tam giác IAB là 1 . 62

S IA IB

Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là 6Srp p

Bởi vậy, r lớn nhất khi và chỉ khi p nhỏ nhất, mặt khác tam giác IAB vuông tại I nên: 2 22 2 2 . 4 3 2 6p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB

Dấu “=” xảy ra khi 20 1 3 1 3IA IB x x

Với 1 3x ta có tiếp tuyến 1 : 2 1 3d y x

Với 1 3x ta có tiếp tuyến 2 : 2 1 3d y x

Ví dụ 2) Cho Hypebol (C): 2 11

xyx

và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của

tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. a) CMR: M là trung điểm của AB b) CMR: dt onstIAB c c) Tìm M để chu vi IAB nhỏ nhất.

Giải: TCĐ: x=1 TCN: y=2 Giao điểm 2 tiệm cận là I(1;2)

y = 2 1 121 1

xx x

, 21

Gọi M 1mm

(c).

Tiếp tuyến tại M là (t): y = ,y (m) (x-m) + y(m)

21 1( ) : ( ) 2

( 1) 1t y x m

m m

* (t) (TCĐ: x =1) = A 21, 21m

;(t) (TCN: y = 2) = B(2m – 1, 2)

Ta có :2

A BM

x x m x và A,M,B thẳng hàng nên M là trung điểm AB

* dt( IAB)= 12

IA . IB = 12 A I B Iy y x x

1 2 1 22( 1) .2( 1) 22 1 2 1

m mm m

(đvdt)

Ta có IA . IB = 4 ; Chu vi ( IAB) = IA + IB + AB= 2 2 2 . 2 . 2(2 2)IA IB IA IB IA IB IA IB

24

Dấu bằng xảy ra IA = IB = 2 1 1m 1

2

0 (0, 1)2 (2,3)

m Mm M

9) Tìm điều kiện để qua điểm ;M MM x y cho trước kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị y=f(x) + Xét đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm M ( ) :PT ( )M My k x x y

+ Điều kiện để là tiếp tuyến của y=f(x) là hệ sau có nghiệm ( ) ( )

'( )M Mk x x y f x

k f x

(*)

+ Để qua điểm M kẻ được n tiếp tuyến đến đồ thị thì hệ (*) phải có n nghiệm thế phương trình (2) vào (1) dùng phương pháp hàm số để tìm điều kiện + Chú ý: Trong việc xác định toạ độ M học sinh cần linh hoạt VD: Điểm M thuộc đường thẳng y=2x+1 thì M ( ;2 1)a a , Điểm M thuộc đường thẳng y=2 ( ;2) M a …… Ví dụ 1) Cho đồ thị hàm số (C): 4 2 1y f x x x . Tìm các điểm A Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Giải: Lấy bất kỳ A(0;a)(C). Đường thẳng đi qua A(0;a) với hệ số góc k có phương trình

y=kx+a tiếp xúc với đồ thị (C) ( )( )

f x kx af x k

có nghiệm (*)

Điều kiện cần: Để ý rằng ( ) ( ) ( )f x f x x R f x là hàm chẵn đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng. Do A(0;a)trục đối xứng Oy nên nếu từ A(0;a) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến nhánh bên trái của (C) thì cũng kẻ được bấy nhiêu tiếp tuyến dến nhánh bên phảicủa (C). Suy ra tổng số các tiếp tuyến có hệ số góc k 0 luôn là 1 số chẵn. Vậy dể từ A(0;a) kẻđược 3 tiếp tuyến dến (C) thì điều kiện cần là hệ phương trình (*) có nghiệm k=0.

Thế k=0 vào hệ (*) 4 2

23

0; 11 11 3;4 2 02 4

x ax x kxx ax x

Điều kiện đủ:

Nếu a=1 thì (*)

4 2 34 2

3 3

2 2

22

4 21 14 2 4 2

0; 00; 03 1 0 1 2;1 2; 3 3 32 1 3 3 1 2;

3 3 3

x x x x xx x kxx x k x x k

x kx kx x

x kxx kk x x

x k

Vậy từ A(0;1) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

25

Nếu 34

a thì (*)

4 2 4 2 3

3 3

4 2 4 2

2 2

3 31 1 4 24 4

4 2 4 2

1 1 13 04 2 2

2 1 2 1 0

x x kx x x x x x

x x k k x x

x x x x

k x x k x x k

Vậy từ 30;4

A

chỉ kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).

Kết luận: Từ các điều kiện cần và đủ Đáp số: A(0;1) Ví dụ 2) Tìm trên đường thẳng y=2x+1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến

(C): 31

xyx

.

Giải: Lấy bất kỳ A(a;2a+1)y=2x+1. Đường thẳng đi qua A(a;2a+1) với hệ số góc k có phương

trình y=k(x-a)+2a+1 tiếp xúc với 3 3: 2 11 1

x xC y k x a ax x

hay 2 1 1 3kx ak a x x có nghiệm kép

2 1 2 2 4 0kx a k a x ak a có nghiệm kép

0k và 21 2 4 2 4 0a k a k ak a

0k và 2 2 2 2( ) 1 . 4 4 . 4 0g k a k a a k a Qua A(a;2a+1) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ( ) 0 g k có đúng 1 nghiệm kép k 0

2 2

2 2

032 2 0; (0) 4 01

32 2 0; (0) 4 02

1 11 0 16 4 04

aa a g aa

a a g aaaa k k

vậy có 4 điểm 1 2 3 41; 1 , 0;1 , 1;3 , 2;5A A A A nằm trên dường thẳng y=2x+1 và kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Ví dụ 3) Cho hàm số 3 22 ( 1) 2y x x m x m (Cm) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm)Giải: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có phương trình tiếp tuyến là(d) : ( 1) 2y k x . Vì (d) là

tiếp tuyến nên hệ phương trình sau có nghiệm 3 2

2

( 1) 2 2 ( 1) 23 4 ( 1)

y k x x x m x mk x x m

3 22 5 4 3( 1) 0x x x m Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì phương trình

3 2( ) 2 5 4 3( 1) 0f x x x x m (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. Ta có

26

21

'( ) 6 10 4 '( ) 0 23

xf x x x f x

x

. Từ đó tính được hai điểm cực trị của hàm số là

2 1091;4 3 , ; 33 27

A m B m

. Ta thấy phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt khi một

trong hai điểm cực trị nằm trên trục hoành. Từ đó tìm được 43

m hoặc 10981

m

Ví dụ 4) Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3 3 2y x x Giải: Lấy bất kỳ A(a;0) Ox. Đường thẳng đi qua A(a;0) với hệ số góc k có phương trình

y=a(x-a) tiếp xúc với (C):y=f(x) Hệ phương trình ( )

( )f x k x af x k

có nghiệm

3 2

2

( ) ( )

( ) ( ) 0 2 3ax 3 2 0

1 2 3 2 3 2 0 1 ( ) 0

f x f x x a

f x f x x a x a

x x a x a x g x

Từ điểm A(a;0) kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt và khác (-1)

23 2 3 6 021( 1) 6 1 0

3

aa aag a

Phần ba: Các bài toán về sự tương giao của 2 đồ thị 1) Các bài tập liên quan đến phép biến đổi đồ thị + Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|f(x)| bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị của y=f(x) nằm trên trục Ox; Lấy đối xứng của phần đồ thị y=f(x) nằm dưới trục Ox qua trục Ox. + Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=f(|x|) bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị y=f(x) nằm bên phảitrục Oy, Lấy đối xứng của phần đồ thị bên phải Oy qua trục Oy( Chú ý y=f(|x|) là hàm chẵn nên nhận trục Oy làm trục đối xứng) + Từ đồ thị y=f(x) suy ra đồ thị y=|h(x)|.g(x) với h(x).g(x)=f(x) bằng cách.

+ Ta thấy ( ) ( ) 0

| ( ) | . ( )( ) ( ) 0

f x khih xy h x g x

f x khi x

Từ đó ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

| ( ) | . ( )y h x g x như sau:Lấy phần đồ thị y=f(x) khi ( ) 0h x . Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị y=f(x) khi ( ) 0h x 2) Tìm điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với y=g(x) + Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với đồ thị y=g(x) là hệ phương trình sau có nghiệm

( ) ( )'( ) '( )

f x g xf x g x

+ Điều kiện để hàm số y=f(x) tiếp xúc với trục Ox là hệ sau có nghiệm

( ) 0'( ) 0

f xf x

27

3) Điều kiện tương giao của hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d * Khi giải các bài tập về tương giao đường thẳng y=mx+n và đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d ta thường sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm tách phương trình tạo dạng tích:

0( ). ( ) 0x x G x trong đó G(x) là tam thức bậc 2 theo x. Từ đó ta biện luận theo pt G(x)=0. Tuy nhiên trong một số bài toán ta không thể nhẩm được nghiệm. Khi đó ta cần sử dụng các điều kiệ tương giao sau để giải toán.

+ Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại đúng một điểm khi và chỉ khi hàm số luôn đồngbiến hoặc luôn nghịch biến hoặc hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu

Tức là '( )

'( ) 00

'( ) 0 f x

f x xf x x

hoặc '( )1 2

1 2

0'( ) 0. 0 ( ). ( ) 0

f x

CD CT

f x x x x xf f f x f x

+ Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi f’(x) có 2 nghiệmphân biệt 1 2;x x và

1 2( ) ( ) 0f x f x + Hàm số : y=ax3+bx2+cx+d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt khi hàm số có cực đại, cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu nhau

'( ) 0 f x có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x và 1 2( ). ( ) 0f x f x + Trong trường hợp các nghiệm của phương trình kèm theo điều kiện khác thì ta cần phác họa dạng đồ thị để kết luận cho chính xác. Ví dụ 1) Cho hàm số 3 2 2 23 3( 1) ( 1)y x mx m x m (Cm) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dươngGiải: Ta có 2 2' 3 6 3( 1)y x mx m Để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương thì điều kiện là hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục Ox , f(0)<0 và xCĐ>0 Ta có:(1) 2 2' 0 9 9 9 0 9 0m m đúng với mọi m.

Khi đó 2

1

1' 0

1x m

yx m

Ta có:

222

21

2 2 21 2

1 2 11 1' . 2 1 13 3 1 3

. 1 3 2 1

y m m my f x x m x m m

y m m

y y m m m m

2 2

1 D

2 2

0 1 0 1 0

0 1

3 2 1 0(*)C

f m m

x x m

m m m

Lập bảng xét dấu (*) kết hợp điều kiện 1m Suy ra tập hợp giá trị m thỏa mãn là 3 1 2m

28

Ví dụ 2) Chứng minh rằng phương trình 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1 0x m x m x m luôn có nghiệm duy nhất. Giải ; Xem phương trình 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1 0x m x m x m là phương trình hoành độ giao điểm của 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1y x m x m x m và trục hoành.

Ta có 3 21 1'. 23 3

my y x mx m m

suy ra đường thẳng qua hai cực trị là

3 22y mx m m Để phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số 3 2 2 33( 1) 3( 1) 1y x m x m x m cắt trục Ox tại một điểm duy nhất.Tức là

3 2 3 2

18 8 0' 018 8 0' 0 (**)

. 0 2 2 0CD CT CD CT

mm

y y mx m m x m m

Theo định lý viet: 2

2( 1)

. 1CD CT

CD CT

x x m

x x m

Thay vào (**) ta có

2 2 2 3

229922994 ( 1) ( 1) (4 1) 0

mm

mmm

m m m m m

Vậy với mọi m phương trình luôn có nghiêm duy nhất.Ví dụ 3) Giả sử đồ thị hàm số 3 26 9y x x x d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

1 2 3x x x . Chứng minh 1 2 30 1 3 4x x x Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục Ox là : 3 26 9 0x x x d (*) Điều kiện (*) có 3 nghiệm phân biệt là đường thẳng y=d cắt đồ thị hàm số 3 26 9y x x x Tại 3 điểm phân biệt, vẽ đồ thị ta suy ra điều kiện 4 0d Đặt 3 2( ) 6 9f x x x x d với 4 0d Ta có (0) 0; (1) 4 0; (3) 0; (4) 4 0f d f d f d f d . Hàm số f(x) liên tục trên R suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4) Cho hàm số 4

2 532 2xy x có đồ thi (C) và điểm A C với Ax a . Tìm các

giá trị thực của a biết tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A sao cho 3AC AB (B nằm giữa A và C) Giải:

Cách 1: Xét 4

2 5; 32 2aA a a

thuộc đồ thị (C)

29

PTTT tại A: 4 4

2 3 2 25 3 53 2 6 2 3 32 2 4 2a ay a a a x a y a a x a

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến tại A:

4 4

22 2 2 2 25 3 53 2 3 3 2 3 6 02 2 2 2x ax a a x a x a x ax a

2 22 3 6 0 1

x a

f x x ax a

Để tiếp tuyến tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B,C khác A thì pt(1) cần có 2 nghiệm phân biệt

,B Cx x khác a

2 2

2

' 3 6 0 3 3 3 (*)16 6 0

a a

af a a

Do 3 3 3 2C BAB AC AB AC x x a

(2)

Theo Viet có 2

2 3

3 6 4B C

B C

x x a

x x a

Từ (2) và (3) 0Cx và 2Cx a thế vào (4) có: 23 6 0 2a a (thỏa (*)) Kiểm tra:

+ Với 2a có 3 5 212; , 0; , 2 2; 32 2 2

A B C AC AB

+ Với 2a có 3 5 212; , 0; , 2 2; 32 2 2

A B C AC AB

Vậy 2a là các giá trị cần tìm của a. Cách 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số đã cho tại điểm A với Ax a là:

4

3 2 52 6 32 2ay a a x a a

Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với đồ thị (C):

4 4

22 3 2 2 25 53 2 6 3 2 3 6 02 2 2 2x ax a a x a x x a x ax a

Để có 3 giao điểm A,B,C thì phương trình: 2 22 3 6 0x ax a (*) có 2 nghiệm phân biệt

khác a 3 31

aa

Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm của PT(*) nên 2

2

3 6B C

B C

x x a

x x a

Mặt khác AC=3AB (B nằm giữa A và C) 3 3 2C BAC AB x x a

30

Ta có hệ 2 2

3 2 02 2 2

. 3 6 3 6 0

C B B

B C C

B C

x x a xx x a x a a

x x a a

thỏa mãn điều kiện

Vậy giá trị cần tìm của m là: 2a

Ví dụ 5) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị 3: 3 2C x x tại 3 điểm phân biệt

A,B,C sao cho 2Ax và 2 2BC Giải: Giao của (C) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình:

3 2 24 6 1 1 4 6 1 0x mx x x x mx .

Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì 24 6 1 0x mx có 2 nghiệm phân biệt 2 2 2' 9 4 0 ;

3 3m m m

Gọi 1 1 2 2; 1 , ; 1B x x C x x . Để B và C đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất

thì: 1 2 1 21 2

1 2 2 1

1 3 21 11 2 3

x y x xx x m m

y x x x

So sánh với ĐK, thấy không tìm được m thỏa mãn. Ví dụ 6) Cho hàm số 3 23 4y x x Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm 1;0A với hệ số góc k k . Tìm k để đường thẳng kd cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm ,B C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Giải:

:kd y kx k (hay 0kx y k ). Pt hoành độ giao điểm của kd và (C):

23 23 4 1 2 0 1x x kx k x x k x hoặc 22x k

kd cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 09

kk

(d) cắt (C)

tại 1;0 , 2 ;3 , 2 ;3A B k k k k C k k k k .

2

22 1 , , ,

1k

kBC k k d O BC d O dk

2 3

2

1 . .2 . 1 1 1 1 12 1

OBCkS k k k k k k

k

Ví dụ 7) Cho hàm số 3 22 3( 1) 2y x mx m x (1), m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng : 2y x tại 3 điểm phân biệt (0;2)A ; B; C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 2 , với (3;1).M Giải:

31

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với ( ) là: 3 22 3( 1) 2 2x mx m x x

2

0 2( ) 2 3 2 0(2)

x yg x x mx m

Đường thẳng ( ) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

2' 0 3 2 0 1(0) 0 3 2 0 2

3

mm m m

g mm

Gọi 1 1;B x y và 2 2;C x y , trong đó 1 2,x x là nghiệm của (2); 1 1 2y x và 1 2 2y x

Ta có 3 1 2;( )

2h d M

2 2.2 2 4

2MBCBC S

h

Mà 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 2 ( ) 4BC x x y y x x x x = 28( 3 2)m m

Suy ra 28( 3 2)m m =16 0m (thoả mãn) hoặc 3m (thoả mãn)

4) Điều kiện để hàm số bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình 3 2ax 0bx cx d . Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là 1 2 3; ;x x x khi đó:

3 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3ax ( )( )( ) [x ( ) ( ) ]bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x

Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên 1 3 2 223bx x x xa

là nghiệm. Thế vào phương

trình ta suy ra điều kiện cần tìm. Ví dụ 1) Cho 3 2 2: 3 2 4 9C m y f x x mx m m x m m . Tìm m để C(m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Giải: Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là 1 2 3, ,x x x . Khi đó: 3 2 23 2 4 9 0x mx m m x m m có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3, ,x x x

3 2 21 2 33 2 4 9x mx m m x m m x x x x x x x

3 2 2 3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 33 2 4 9x mx m m x m m x x x x x x x x x x x x x x x x

Suy ra 1 2 3 1 3 2 2 23 3m x x x x x x x x m

Thế 2x m vào 2( ) 0 0 0f x m m m hoặc 1m Điều kiện đủ: Với m=0 thì 3

1 2 3( ) 0 0f x x x x x (loại)

Với m=1 thì 3 2( ) 3 6 8 0f x x x x 21 2 31 2 8 0 2; 1; 4x x x x x x

Kết luận: Đáp số m=1.

5) Điều kiện hàm bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân

32

Xét phương trình 3 2ax 0bx cx d . Giả sử phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là 1 2 3; ;x x x khi đó:

3 2 3 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3ax ( )( )( ) [x ( ) ( ) ]bx cx d a x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x

Vì 3 nghiệm lập thành cấp số nhân nên 2 3 31 3 2 1 2 3 2 2ax dx x x d x x x x

a

thay vào

phương trình ta suy ra điều kiện cần tìm Ví dụ 1) Cho 3 2: 3 1 5 4 8.Cm y f x x m x m x Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số nhân. Giải: Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt 1 2 3, ,x x x Khi đó: 3 23 1 5 4 8 0x x x x x có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3, ,x x x

3 21 2 33 1 5 4 8x x x m x x x x x x x x

3 2 3 21 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 33 1 5 4 8x x x m x x x x x x x x x x x x x x x x

Suy ra: 31 2 3 2 28 2x x x x x

Thế 2 2x vào 0 4 2 0 2f x m m Điều kiện đủ: Với m=2 thì 3 2

1 2 37 14 8 0 1 2 4 0 1; 2; 4f x x x x x x x x x x Kết luận: Đáp số m=2.

6) Điều kiện để hàm số bậc bốn có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng Xét phương trình 4 2ax 0bx c (1) Đặt 2 ( 0)t x t để phương trình (1)có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng thì phương trình 2 0at bt c (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt 1 2,t t .

Giả sử ( 1 2 )t t khi đó 4 nghiệm của (1) là 2 1 1 2, , ,t t t t vì 4 nghiệm lập thành cấp số cộng

nên 2 1 1 1 2 19t t t t t t . Áp dụng định lý viét cho phương trình (2) ta có

1 2

1 2

1 29

bt ta

ct ta

t t

Giải điều kiện theo hệ phương trình.

Ví dụ 1) Cho 4 2: 2 1 2 1.C m y x m x m Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng. Giải: Xét phương trình: 4 22 1 2 1 0(1)x m x m

Đặt 2 2; 2 1 2 1 0(2)t x f t t m t m

Yêu cầu bài toán 0f t có 2 nghiệm 2 1 0t t sao cho (1) có sơ đồ nghiệm

33

Ta có 4 3 3 2 2 1 4 3 3 2x x x x x x x x x x

2 1 1 1 2 1 2 13 9 0t t t t t t t t

Yêu cầu bài toán

22 1

2 11 2 2 12 211 2

1

1 10, 9 0 2 2

9. 2 1 0 99 2 12 1 0 19 2 15 1 5

m mm t tt tt t m t tt mt t m m mt m

2 1

2

142

9 499 32 16 0

mm

t tm

m m

Ví dụ 2) (Bài toán tương giao hàm bậc 4) Tìm m sao cho đồ thị hàm số 4 24y x x m cắt trục hoành tại 4 điể phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) trục hoành có phần trên bằng phần dưới Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và 4 2: 4 0Ox x x m (1) Đặt 2 0t x . Lúc đó có PT: 2 4 0t t m (2) Để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt khi pt (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân

biệt ' 4 0

0 4 0 40

mt S m i

P m

Gọi 1 2 1 2, 0t t t t là 2 nghiệm của pt(2). Lúc đó pt(1) có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng

dần là: 1 2 2 1 3 1 4 2; ; ;x t x t x t x t Do tính đối xứng của đồ thị (C) nên có:

3 4

3

454 2 4 2 4 234

4 4 40

44 4 0 3 20 15 05 3

x x

x

xxx x m dx x x m dx mx x x m

Từ đó có 4x là nghiệm của hệ

4 24 4

4 24 4

4 0 3

3 20 15 0 4

x x m

x x m

1x

2t

2x 3x 4x

1t 1t 2t

34

Lấy (3).(4)-(4) 24

32mx thay 2

432mx vào (3) có:

29 205 0 04 9m m m m

Đối chiếu với điều kiện (i) có 209

m là giá trị cần tìm.

7) Điều kiện tương giao của đồ thị hàm số ax bycx d

(H) và đường thẳng y mx n

Phương trình hoành độ giao điểm ax b mx ncx d

. Biến đổi về dạng 2( ) 0g x Ax bx c . Số

giao điểm tùy thuộc số nghiệm khác dc

của phương trình ( ) 0g x

TH 1: 0 Hoặc 0

0dgc

đường thẳng không cắt đồ thị (H)

TH 2: 0

0dgc

hoặc 0

0dgc

đường thẳng cắt đồ thị (H) tại một điểm

TH 3: 0

0dgc

đường thẳng cắt đồ thị (H) tại 2 điểm phân biệt A, B khi đó ta có

1 1 2 2( ; ); ( ; )A x mx n B x mx n với x1; x2 là hai nghiệm của g(x)=0

Ví dụ 1) Cho hàm số 32

xyx

có đồ thị (H). Tìm m để đường thẳng : 1d y x m tại

hai điểm phân biệt A,B sao cho ˆAOB nhọn. Giải:

Giao của (H) và d có hoành độ là nghiệm của PT 23 1 2 2 5 02

x x m x m x mx

Để pt trên có 2 nghiệm phân biệt thì 0; 2x

2

2

4 16 0?

2 2 2 2 5 0

m mm

m m

Gọi 1 1 2 2; 1 , ; 1A x x m B x x m là hai giao điểm của (H) và d.

Để ˆAOB nhọn thì:

2 2 22 2 22 1 1 2

21 2 1 2

2 1 1

2 1 1 0 3

AB OA AB x x x m x m

x x m x x m m

Kết hợp với đk ban đầu ta suy ra được giá trị của m.

35

Ví dụ 2) Cho hàm số 21

x mymx

(1). Chứng minh với mọi 0m đồ thị hàm số (1) cắt

: 2 2d y x m tại 2 điểm phân biệt A,B thuộc 1 đường (Hipebol) cố định. Đường thẳng (d) cắt các trục ,Ox Oy lần lượt tại các điểm M,N. Tìm m để 3OAB OMNS S Giải: Phương trình hoành độ của giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng (d):

2 22 12 2 2 2 0,1

x m x m mx m x m xmx m

(2)

Do 0m nên (2) 2 12 2 1 0,f x x mx xm

(*)

Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt: 2

2

' 2 01, 01 2 1 0A B

mx x m

m fm m

Mặt khác có 1.2A Bx x nên A,B luôn thuộc một đường (Hipebol) cố định

Kẻ ,25O dm

OH AB OH d

. Lại có 2 2 ; 2 2A A B BAB d y x m y x m

Theo Viet ta có: 12

A B

A B

x x m

x x

Có 2 2 2 2 25 5 20 5 10A B A B A B A B A BAB x x y y x x x x x x AB m

Vì M,N là giao điểm của d với ,Ox Oy nên ;0 , 0;2M m N m

Theo giả thiết 223 . 3 . . 5 10 3

5OAB OMN M Nm

S S OH AB OM ON m x y

2 2 2 22 1. 5 10 3 2 2 3 2 925

mm m m m m m m m

Vậy với 12

m là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 3) Tìm trên (H): 12

xyx

các điểm A,B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 4 và

đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x Giải: Do : :AB d y x ptAB y x m Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và đường thẳng AB:

21 3 2 1 0 22

x x m g x x m x m xx

(1)

Để tồn tại 2 điểm A,B thì pt (1) cần có 2 nghiệm phân biệt ,A Bx x và khác 2

36

22

2

0 3 4 2 1 01 4 0;

2 0 4 3 2 2 1 0

g x m mm m

g m m

Theo Viet ta có: 3

2 1A B

A B

x x mx x m

. Lại có ;A A B By x y x m

Mà:

2 2 22

2 2 2

4 16 16 8

4 8 3 4 2 1 0 2 3 0 1 3

B A B A B A

B A A B

AB AB x x y y x x

x x x x m m m m m m

+ Với 3m thay vào pt (1) có: 2 6 7 0 3 2 2x x x y . Lúc này tọa độ 2 điểm

A,B là: 3 2; 2 , 3 2; 2A B hoặc 3 2; 2 , 3 2; 2B A .

+ Với 1m thay vào pt (1) có: 2 2 1 0 1 2 2 2x x x y . Lúc này tọa độ 2

điểm A,B là 1 2; 2 2 , 1 2; 2 2A B hoặc 1 2; 2 2 , 1 2; 2 2B A

Vậy A,B là các điểm như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4) Cho hàm số 32

xyx

có đồ thị là (H). Tìm m để đường thẳng d: 2 3y x m cắt

(H) tại hai điểm phân biệt sao cho . 4OA OB

với O là gốc tọa độ

Giải: Xét pt: 23 2 3 2 3 1 6 3 02

x x m x m x mx

(1) có 2 nghiệm phân biệt khác (-2)

Khi 29 30 33 0m m điều này xảy ra với mọi m. Gọi 2 nghiệm của pt (1) là 1 2,x x thì 1 1 2 2;2 3 , ;2 3A x x m B x x m

Có 1 2 1 212 15 7. 4 . 2 3 2 3 4 4

2 12mOA OB x x x m x m m

Ví dụ 5) Cho hàm số 2 11

xyx

có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y x m cắt (C)

tại hai điểm phân biệt A,B, sao cho 2 2AB Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

22 1 1 1 01

x x m f x x m x mx

(1) 1x

Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A,B thì pt(2) có 2 nghiệm phân biệt , 1A Bx x

21 4 1 0

1 1 1 1 0

m m

f m m

(*) Theo Viet ta

có:

221 1; , ; 1 4( 1) 4

1 7A B

A A B BA B

x x m mA B d y x m y x m AB m m

x x m m

37

Ví dụ 6) Gọi D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k. Tìm k để D cắt đồ thị 21

xyx

tại hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và AM=2AN

Giải: Do D là đường thẳng đi qua A(1;0) và có hệ số góc k nên pt D: 1y k x Phương trình hoành độ giao điểm của D và đồ thị hàm số đã cho là:

22 1 2 1 2 0 11

x k x kx k x xx

(1)

Đặt 1 1t x x t . Lúc đó pt (1) thành:

2 21 2 1 1 2 0 3 0k t k t k kt t (2) Để D cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị thì pt(1) phải có 2 nghiệm 1 2,x x thỏa 1 21 (2)x x pt có 2 nghiệm 1 2,t t thỏa

1 20 3 0 0(*)t t k k

Vì điểm A luôn nằm trong đoạn MN và 1 22 2 2 3AM AN AM AN x x

(3)

Theo Viet ta có:

1 2

1 2

2 1 4

2 5

kx xk

kx xk

. Từ (3) và (4) 2 11 2;k kx x

k k

Thay 1 2,x x vào pt (5) có:

2

2 1 2 23 2 03

k k k k kkk

Đối chiếu ĐK (*) có 23

k là giá trị cần tìm.

Phần bốn: Các bài toán về khoảng cách Để giaỉ quyết tốt các dạng bài tập trong phần này học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau:

*) Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ); ( ; )M M N NM x y N x y là 2 2N M N MMN x x y y

*) Khoảng cách từ điểm 0 0( ; )M x y đến đường thẳng : ax+by+c=0 là 0 0/ 2 2

axM

by cd

a b

Các trường hợp đặc biệt: + Nếu là đường thẳng x=a thì / 0Md x a

+ Nếu là đường thẳng y=b thì / 0Md y b

+ Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy là d= 0 0x y *) Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong Cho đường thẳng và đường cong ( C) . Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường cong ( C) và điểm N thuộc đường thẳng Khi đó ( /( )) minCd MN . Từ đó ta có cách tính khoảng cách từ đường thẳng : ax+by+c=0 đến đường cong ( C) y=f(x) như sau:

38

+ Cách 1: Lấy điểm M 0 0;x y bất kỳ thuộc ( C) 0 0( ; ( ))M x f x . Ta có 0 0/ 2 2

axM

by cd

a b

Sau đó tìm min d theo x0 + Cách 2: Viết phương trình tiếp tuyến t của đường cong ( C) và tiếp tuyến đó song song với . Sau đó tìm tiếp điểm M 0 0;x y của tiếp tuyến và đường cong. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong ( C) cũng bằng khoảng cách giữa M và đường thẳng là

0 0/ 2 2

axM

by cd

a b

Ví dụ 1) Cho đồ thị 2 1:1

xC yx

và điểm A(-2;5). Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2

điểm B, C sao choABC đều.

Giải: 2 11

xyx

: 1: 2

TCD xTCN y

phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận (1): 3y x

23 01

yx

hàm số nghịch biến

đồ thị (C) có dạng như hình vẽ. Do A(-2;5) (1) : 3y x là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng (D) cần tìm phải vuông góc với (1) và (D) có phương trình: y=x+m.

Xét phương trình: 22 1 3 1 01

x x m g x x m x mx

Ta có 2 23 4 1 1 12 0g m m m nên (D) luôn cắt (C) tại B, C phân biệt và do tính đối xứng ABC cân tại A.

Giả sử (1)D 2

23 3 7; 22 2 2

m m mI I AI

Gọi

2 21 1 1 1 21 2 1 2 1 2

2 22 2

,2 2 4

,

B x y y x mBC x x x x x x

y x mC x y

22 22 3 4 1 2 2 13BC m m m m

Ta có ABC đều 22 2 24 3 2 13 7BC AI m m m3

12

2

: 114 5 0

5 : 5

D y xmm m

m D y x

Ví dụ 2) Cho 3 5:2

xH yx

. Tìm M(H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của

(H) là nhỏ nhất.Giải: Ta có TCĐ: x=2 TCN: y=3

39

3 5 132 2

xyx x

Lấy 1;32

M m Hm

Tổng khoảng cách từ M đến các đường tiệm

cận là 12 3 2 22M M Md x y m

m

( Theo bất đẳng thức Cauchy)

1 (1;2)1min 2 23 (3;4)2

m Md m

m Mm

Ví dụ 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị 4 9:3

xC yx

các điểm cách M1,M2 để độ dài

1 2,M M là nhỏ nhất.

Giải: : 34 3 34 9 34: 43 3 3

TCD xxxyTCN yx x x

Gọi

1 1 1

2 2 2

,

,

M x y

M x y

(M1 thuộc nhánh trái của (C); M2 thuộc nhánh phải của (C))

Đặt 1 1

2

2

33 43

34, 0

x yx

y

2 221 2 2 1 2 1M M x x y y

=

222 2

2

93 3

cos22

2 2

9 9 91 2 1 4i

Mà

cos9 94 4 2 . 24

i

1 2

0min 24 2 6 39M M

toạ độ 1 23 3;4 3 , 3 3;4 3M M

Ví dụ 4) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số 2 1( )1

xy Hx

sao cho khoảng cách từ M đến

đường thẳng ( ): 4 8 0x y là nhỏ nhất Giải:

Ta có 2

1'1

yx

. Xét đường thẳng d là tiếp tuyến của (H) và d song song với ( )

40

Từ đó viết được 2 phương trình tiếp tuyến là 15:

4 4xd y và 2

13:4 4xd y

Hai tiếp điểm tương ứng là 1 23 51; ; 3;2 2

M M

Dễ dàng tính được 1 2/ /d M d M 1M là điểm cần tìm

Chú ý: Ngoài cách lập luận như trên ta có thể giải bài toán theo cách khác giả sử 2 1( ; )1

xM xx

Sau đó tính khoảng cách từ M đến . Và tìm min theo phương pháp hàm số với biến x

Cho hàm số 1

xyx

và điểm A(-1;1)

Ví dụ 5) Tìm m để đường thẳng 1y mx m cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho 2 2AM AN đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải: Xét phương trình tương giao: 2 2 1 0mx mx m . Để cắt tại hai điểm thì phương trình phải có

2 nghiệm phân biệt khác 1. 2

2 1 00

' 1 0m m m

mm m m m

Để ý thấy trung điểm MN là I và I(1;-1) cố định. Sử dụng chèn điểm ta có: 2 2 2 2 22AM AN AI IM IN (do 0IM IN

)

Ta có IA cố định, IM=IN. Ta thấy biểu thức đó min khi và chỉ khi MN minTính MN:

2 2 22 21 2 1 2 1 2

41 4 . 1 4NM x x m x x x x m mm

Do m<0 nên đặt ; 0t m t . 2 44 8MN tt

. Vậy m=-1

Ví dụ 6) Tìm m để đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) 21

xyx

tại 2 điểm phân biệt A,B sao

cho độ dài AB nhỏ nhất.Giải:

Đường thẳng y=mx-m+2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình 2 21

x mx mx

có 2

nghiệm phân biệt khác 1. 2( ) 2 2 0g x mx mx m có 2 nghiệm phân biệt khác 1 00

(1) 0

m

g

0m . Ta có

1 1 2 2( ; 2); ( ; 2A x mx m B x mx m ) 2 2 22 1 2 1 2 1; ( ) ( ) (1 )AB x x m x x AB x x m

22 21 2 1 24 ( 1)AB x x x x m Vì x1;x2 là 2 nghiệm của g(x)=0 nên ta có

1 2 1 222; mx x x x

m

2 18( ) 16 min 4 1AB m AB mm

41

Phần năm: Các bài tập về KSHS

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Phần một: CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐIỂM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU HÀM SỐ

Câu 1) Cho hàm số 131 23 mxmxxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là

nhỏ nhất

Câu 2) Cho hàm số 131 23 mxmxxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 21; xx thoả mãn 821 xx

Câu 3) Cho hàm số 3723 xmxxya) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8 b) Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với đường

thẳng y=3x-7

Câu 4) Cho hàm số )1()232()1(3 223 mmxmmxmxya) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với

đường thẳng 541

xy một góc 450

Câu 5) Cho hàm số mxmxxy 223 3a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0

5b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 22

1 xy

Câu 6) Cho hàm số 13)1(33 2223 mxmxxya) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.

Câu 7) Cho hàm số 12 224 xmxya) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông cân

Câu 8) Cho hàm số 11292 223 xmmxxy

42

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời CTCD xx 2

Câu 9) Cho hàm số 424 22 mmmxxy a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1 b) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu lập thành một tam giác đều

Phần hai: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN VÀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN

Câu 1) Cho hàm số 13 mmxxy (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm cuả (Cm) với trục Oy chắn trên hai trục toạ độ một tam

giác có diện tích bằng 8

Câu 2) Cho hàm số 13 23 mxxxy (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0 b) Tìm m để đường thẳng y=1 cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D,E và các tiếp tuyến

tại D và E của (Cm) vuông góc với nhau.

Câu 3) Cho hàm số xxy 33 (C ) và đường thẳng y=m(x+1)+2 (d) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (C ) tại một điểm cố định A. Tìm m để đường

thẳng (d) cắt (C ) tại 3 điểm A,M,N mà tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau\

Câu 4) Cho hàm số )(123 H

xxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với Ox góc 450 c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục toạ độ một tam giác

cân d) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M bất kỳ thuộc (H) cắt 2 tiệm cận tại

A,B. Chứng minh M là trung điểm AB e) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi f) Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Câu 5) Cho hàm số )(2

Hmx

mxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 3 b) Tìm m để từ A(1;2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB,AC đến (Hm) sao cho ABC là tam giác đều

(A,B là các tiếp điểm)

Câu 6) Cho hàm số )(32 Hmmx

mxy

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 2) Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số (Hm) cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam

giác có diện tích bằng 8

43

Câu 7) Cho hàm số )(112 H

xxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình đường thẳng cắt (H) tại B, C sao cho B, C cùng với điểm )5;2(A tạo

thành tam giác đều

Câu 8) Cho hàm số )(1

2 Hx

xy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M của (H) cắt 2 trục Ox, Oy tại A, B sao cho tam

giác OAB có diện tích bằng 41

Câu 9) Cho hàm số )(112 H

xxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận của (H). Tìm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến của (H)

tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Câu 10) Cho hàm số )(2

2 Hx

xy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị hàm số

(H) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Câu 11) Cho hàm số )(123 23 Cxxxy a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm hai điểm A,B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau và

độ dài AB nhỏ nhất

Câu 12) Viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm

4;1219A đến đồ thị hàm số

532 23 xxy

Câu 13) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 23 23 xxy mà qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị

Câu 14) Tìm những điểm thuộc đường thẳng y=2 mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồthị hs 23 3xxy

Câu 15) Tìm những điểm thuộc trục tung qua đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs 12 24 xxy

44

Câu 16) Tìm những điểm thuộc đường thẳng x=2 từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hs xxy 33

Câu 17) Tìm những điểm thuộc trục Oy qua đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến đến đồ thị hs

11

xxy

Câu 18) Cho hàm số 1

xmxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 b) Với giá trị nào của m đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=2x+1 tại 2 điểm phân biệt sao cho

các tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó song song với nhau.

Phần ba: CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 2 ĐỒ THỊ

Câu 1) Cho hàm số 2223 4)14(2 mxmmxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox

Câu 2) Cho hàm số 2324 2 mmmxxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1

b) Tìm m để đồ thị hs tiếp xúc với trục Ox tại 2 điểm phân biệt

Câu 3) Cho hàm số 253

22

4

xxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt mmxx 256 224

Câu 4) Cho hàm số mxmxxy 63 23

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1/4

b) Biện luận số nghiệm 04634 23 axxx

Câu 5) Cho hàm số xxy 34 3 (C )

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )

45

b) Tìm m để phương trình mmxx 4434 33 có 4 nghiệm phân biệt

Câu 6) Cho hàm số )1()1(33 2223 mxmmxxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1

b) Tìm m để hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

Câu 7) Cho hàm số )5(2)75()21(2 23 mxmxmxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 5/7

b) Tìm m để đồ thị hs cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.

Câu 8) Tìm m để đồ thị hs mmxmmmxxy 223 9)4(23 cắt trục Ox tại 3 điểm tạo thành 1 cấp số cộng

Câu 9) Tìm m để hàm số 8)45()13( 23 xmxmxy cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số nhân

Câu 10) Tìm m để hàm số 12)1(2 24 mxmxy Cắt Ox tại 4 điểm tạo thành cấp số cộng

Câu 11) Chứng minh rằng đồ thị hs 112

xxy có 2 trục đối xứng

Câu 12) Tìm m để hàm số 818)3(32 23 mxxmxy có đồ thị tiếp xúc với trục Ox

Câu 13) Cho hàm số 23 24 xxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hs

b) Biện luận số nghiệm phương trình mxx )1(2 22

Câu 14) Cho hàm số 33 23 xxxy

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình 12)3

3(12

mxx

Phần bốn: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH

Câu 1) Tìm M thuộc (H) 253

xxy để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của H là

nhỏ nhất

46

Câu 2) Tìm M thuộc (H) :11

xxy để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất

Câu 3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số (H): 394

xxy các điểm M1, M2 để 21MM nhỏ

nhất

Câu 4) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị hàm số 1

522

x

xxy các điểm M, N để độ dài MN

nhỏ nhất

Câu 5) Tìm trên đồ thị hàm số 1

222

x

xxy điểm M sao cho MI nhỏ nhất với I là giao điểm

2 đường tiệm cận

Câu 6) Tìm m để hàm số y=-x+m cắt đồ thị hàm số 212

xxy tại 2 điểm A,B mà độ dài AB

nhỏ nhất

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TỔNG HỢP KHÁC

Câu 1) Cho hàm số 4 22 1y x mx m (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m . 2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Câu 2) Cho hàm số 4 22 1y x mx m (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m . 2)Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Câu 3) Cho hàm số 4 2 22y x mx m m (1) , với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2m . 2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120 . Câu 4) Cho hàm số 4 22y x mx (1), với m là tham số thực. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m . 2)Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1. Câu 5) Cho hàm số 4 2 22 2 5 5y f x x m x m m 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1 2/ Tìm các giá trị của m để ®å thÞ hµm sè có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân.

Câu 6) Cho hàm số 3 21 2 33

y x x x (1)

47

1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) . 2)Gọi ,A B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2. Câu 7) Cho hàm số 3 26 9 4y x x x (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2)Xác định k sao cho tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) có cùng hệ số góc k . Gọi hai tiếp điểm là 1 2,M M . Viết phương trình đường thẳng qua 1M và 2M theo k . Câu 8) Cho hàm số 3 23 4y x x (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 2. Giả sử , ,A B C là ba điểm thẳng hàng thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến với (C) tại , ,A B C tương ứng cắt lại (C) tại ' ' ', ,A B C . Chứng minh rằng ba điểm ' ' ', ,A B C thẳng hàng. Câu 9) Cho hàm số 3 3 1y x x (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2)Đường thẳng ( ): 1y mx cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác 0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để góc ADB là góc vuông. Câu 10) Cho hàm số 3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m (1), với m là tham số thực. 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m . 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O . Câu 11) Cho hàm số 22 2 1y x x (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2.Tìm m để đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y mx . Giả sử ,M N là các tiếp điểm. Hãy chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MN là một điểm cố định (khi mbiến thiên) Câu 12) Cho hàm số 3 23 4y x x (1) 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2)Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm 1;0A với hệ số góc k k R . Tìm k để đường thẳng

kd cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm ,B C ( B và C khác A ) cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1. Câu 13) Cho hàm số 3 23 4y x x (1)

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2)Cho điểm 1;0I . Xác định giá trị của tham số thực m để đường thẳng :d y mx m cắt đồ

thị (C) tại ba điểm phân biệt , ,I A B sao cho 2 2AB . Câu 14) Cho hàm số: 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0 2.Tìm m để hàm số có cực trị , đồng thời các điểm cực trị 1 2;x x thoả mãn :

1 21 2

1 1 1 ( )2

x xx x

Câu 15) Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1.

48

2)Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT.

Câu 16 Cho hàm số 3 2y (m 2)x 3x mx 5 , m là tham số 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0 2)Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

Câu 17) Cho hàm số 2 12

xyx

(1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số (1) .

2.Chứng minh rằng đồ thị H có vô số cặp tiếp tuyến song song, đồng thời các đường thẳng nối tiếp điểm của các cặp tiếp tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 18) Cho hàm số x

xxf

1

12 ( H )

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số 2/ Gọi (∆) là tiếp tuyến tại điểm M( 0; 1 ) với đồ thị (H). Hãy tìm trên (H) những điểm có hoành độ x > 1 mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn nhất.

Câu 19) Cho hàm số 2

m xyx

(Hm). Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) tại 2 điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 38

Câu 20) Cho hàm số 2 32

xyx

. Tìm những điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại M cắt

hai tiệm cận tại A, B sao cho vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ nhất. Với I là giao điểm của hai đường tiệm cận Câu 21) Tìm m để hàm số 3 2y x mx cắt Ox tại một điểm duy nhất

Câu 22) Cho hàm số 2 12

xyx

(C). Tìm hai điểm M, N thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M, N

song song với nhau và khoảng cách giữa hai tiếp tuyến là lớn nhất

Câu 23) Cho hàm số 2 41xy

x

(H). Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k đi qua M(1;1). Tìm k

để d cắt (H) tại A, B mà 3 10AB Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 2y x mx m cắt trục Ox tại một điểm duy nhất

Câu 25) Cho hàm số: 21

xyx

(C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành Câu 26) Cho hàm số 3 3 2y x x (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) ở N mà 2 6MN

49

Câu 27) Cho hàm số 2 ( )m xy Hx m

và A(0;1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 2) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam giác IAB vuông cân tại A. Câu 28) Cho hàm số 4 22y x x (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2) Lấy trên đồ thị hai điểm A, B có hoành độ lần lươt là a, b.Tìm điều kiện a và b để tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

Câu 29) Cho hàm số 22 2xyx

(H)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (H). 2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

2 2 372

OA OB

Câu 30) Cho hàm số y 3 22 (1 )y x x m x m (1), m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3; ;x x x thoả mãn điều kiện 2 2 2

1 2 3 4x x x

Câu 31) Cho hàm số 2 11

xyx

Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân

biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3

Câu 32) Cho hàm số 123

xxy (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 32AB . Câu 33) Cho hàm số 3 23 3(1 ) 1 3y x x m x m (Cm). Tìm m để hàm số có cực đại cựctiểu đồng thời các điểm cực trị cùng với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4

Câu 34) Cho hàm số 3 1( )1

xy Hx

và đường thẳng ( 1) 2y m x m (d) Tìm m để đường

thẳng (d) cắt (H) tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 32

Câu 35) Cho hàm số 1 ( )1

xy Hx

. Tìm điểm M thuộc (H) để tổng khoảng cách từ M đến 2 trục

toạ độ là nhỏ nhất.

Câu 36) Cho hàm số y = 1

2xx (H)Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – m + 2 cắt đồ

thị ( H ) tại hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Câu 37) Cho hàm số 112

xxy viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với 2

trục tọa độ tam giác có diện tích bằng 8

50

Câu 38) Cho hàm số xmmxxy )3(21

31 223

1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và hoành độ CĐ, CT là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác

vuông có cạnh huyền bằng 25

Câu 39) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số 3 23 1y x x sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và 4 2AB Câu 40) Tìm m để hàm số 3 2 (2 1) 2y x mx m x m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương Câu 41) Tìm m để đường thẳng y=x+4 cắt đồ thị hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x tại 3 điểm phân biệt A, B,C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4. (Điểm B, C có hoành độ khác 0, M(1;3))