PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX I. LÝ THUYẾT

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:

DẠNG:

a sin u bcos u c

a sin u bcos u c

a cos u bsin u c

Điều kiện để phương trình có nghiệm là : 2 2 2a b c

Giả sử giải phương trình: a sin u bcos u c *

Cách giải chia hai vế của (*) cho 2 2a b

Ta được : 2 2 2 2 2 2

a b csin u cos u

a b a b a b

Đặt 2 2 2 2

a bcos sin

a b a b

.

2 2

csin u.cos sin .cos u

a b

2 2

csin u

a b

(**)

Đặt 2 2

csin

a b

.

(**) sin u sin . Giải phương trình cơ bản.

II. BÀI TẬP MẪU

Câu 1: Giải các phương trình sau:

1). cos x 3 sin x 2 2). 3sin x 4cos x 5

3). 3 sin x cos x 2 4). sin x cos x 1

5). 6

sin x cos x2

6). 5sin 2x 12cos 2x 13



7). sin 8x cos6x 3 sin 6x cos 8x 8). sin x cos x 2 2 sin x.cos x

9). 22 sin x 3 sin 2x 3 10). 2

3cos x 4sin x 33cos x 4sin x 6

11). 3 2

2sin x sin x4 4 2

LỜI GIẢI

1). cos x 3 sin x 2 (1)

Ta có 2 2a 1,b 3 ,c 2 a b 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:

1 3 2

1 cos x sin x2 2 2

2

cos x.cos sin x.sin3 3 2

cos x cos3 4

7x k2 x k2

3 4 12 , k

x k2 x k23 4 12

Kết luận nghiệm của phương trình: 7x k2 ,x k2 , k

12 12

2). 3sin x 4cos x 5 1 . Ta có 2 2a 3,b 4,c 5 a b 5 . Chia hai vế của (1) cho 5 được:

3 4

1 sin x cos x 15 5

. Đặt 3 4

cos sin5 5

sin x.cos cos x.sin 1 sin x 1 x k2 x k22 2

Vậy nghiệm

của phương trình: x k2 , k2

3). 3 sin x cos x 2 1 .

Ta có 2 2a 3 ,b 1,c 2 a b 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:

3 1 2

1 sin x cos x2 2 2

2

sin x.cos cos x.sin6 6 2



sin x sin6 4

5x k2 x k2

6 4 12 , k11

x k2 x k26 4 12

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 5 11x k2 ,x k2 , k

12 12

4). sin x cos x 1 (1)

Ta có 2 2a 1,b 1,c 1 a b 2 . Chia hai vế của (1) cho 2 được:

1 1 11 sin x cos x

2 2 2

1sin x.cos cos x.sin

4 4 2

sin x sin4 4

x k2x k24 4 , k2x k2x k2

4 4

Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k2

5). 6

sin x cos x (1)2

Ta có 2 26a 1,b 1,c a b 2

2 . Chia hai vế của (1) cho 2

được: 1 1 3

1 sin x cos x22 2

3

sin x.cos cos x.sin4 4 2

sin x sin4 3

x k2 x k24 3 12 , k

5x k2 x k2

4 3 12

Vậy nghiệm của phương trình: 5x k2 ,x k2 , k

12 12

6). 5sin 2x 12cos 2x 13 (1) .Ta có 2 2a 5,b 12,c 13 a b 13 . Chia hai vế của (1) cho 13

được: 5 12

1 sin 2x cos 2x 113 13

. Đặt 5 12

cos sin13 13

.

sin 2x cos sin cos 2x 1 sin 2x 1 2x k2 x k2 2 4

.

Vậy nghiệm của phương trình: x k , k2 4



7). sin 8x cos 6x 3 sin 6x cos8x 1

1 sin 8x 3 cos 8x 3 sin 6x cos 6x

1 3 3 1sin 8x cos 8x sin 6x cos 6x

2 2 2 2

sin 8x.cos cos 8x.sin sin 6x.cos cos 6x.sin3 3 6 6

sin 8x sin 6x3 6

8x 6x k2 x k3 6 4

k8x 6x k2 x

3 6 12 7

8). sin x cos x 2 2 sin x.cos x (1)

1 sin x cos x 2 sin 2x 1 1

sin x cos x sin 2x2 2

sin x.cos cos x.sin sin 2x4 4

2x x k2 x k2

4 4sin x sin 2x , kk24

2x x k2 x4 4 3

Vậy nghiệm của phương trình: k2

x k2 ,x , k4 4 3

9). 22 sin x 3 sin 2x 3 1 cos 2x 3 sin 2x 3 3 sin 2x cos 2x 2

3 1sin 2x cos 2x 1

2 2 sin 2x.cos cos 2x.sin 1

6 6

sin 2x 16

2x k2 x k

6 2 3

Vậy nghiệm của phương trình: x k , k3

10). 2

3cos x 4sin x 3 13cos x 4sin x 6



Đặt t 3cos x 4sin x 6 3cos x 4sin x t 6

2 t 121 t 6 3 t 3t 2 0

t 2t

Với t 1 3cos x 4sin x 5 3 4

cos x sin x 15 5

. Đặt 3 4

cos sin5 5

.

cos x.cos sin x.sin 1

cos x 1 x k2 x k22 2

.

Với 3 4 4

t 2 3cos x 4sin x 4 cos x sin x5 5 5

. Đặt 3 4

cos sin5 5

.

cos x.cos sin x.sin sin cos x sin

cos x cos2

x k2 x 2 k22 2 , k

x k2 x k22 2

.

Nghiệm phương trình: x k22

, x 2 k2 ,x k2 , k

2 2

11). 3 2

2sin x sin x4 4 2

.

sin x cos x sin x cos x 3 22. 3sin x cos x 3

22 2

3 1 3

sin x cos x10 10 10

. Đặt 3 1

cos sin10 10

sin x.cos cos x.sin cos sin x sin2

x k2 x 2 k2

2 2 , k

x k2 x k22 2

Nghiệm phương trình: x 2 k2 ,x k2 , k2 2




1). 3 3 cos 2x

cos x2sin x

. 2). 2 x

tan .sin x 2cos 27 2

3). 4 42 cos x sin x sin x cos x

4). 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 26

5). 3 sin 7x cos7x 2sin 5x6

6). sin 2x 3 sin 2x 2

2

7). cos x 3 sin x 2cos 2x 03

8). 2cos 2x 1 3 cos x sin x

9). 3 1 sin x 3 1 cos x 1 3 . 10). 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x

LỜI GIẢI

1). 3 3 cos 2x

cos x 12sin x

. Điều kiện sin x 0 x k

1 3 3 cos 2x 2sin xcos x 3 cos 2x sin 2x 3

3 1 3cos 2x sin 2x

2 2 2

3cos 2x.cos sin 2x.sin

6 6 2

2x k2

x k6 6cos 2x cos , k66 6

x k2x k26 6

So với điều kiện thì nghiệm x k loại.

Vậy nghiệm phương trình: x k , k6



2). 2 xtan .sin x 2cos 2

7 2

tan .sin x 1 cos x 2

7

sin7 sin x cos x 1

cos7

sin sin x cos cos x cos7 7 7

cos x cos

7 7

2x k2x k27 7

7x k2x k2

7 7

Nghiệm phương trình: 2x k2 ,x k2 , k

7

3). 4 42 cos x sin x sin x cos x

2 2 2 22 cos x sin x cos x sin x sin x cos x

2 cos 2x 2 cos x4

x k22x x k2

44cos 2x cos x , kk24

x2x x k212 34

Nghiệm của phương trình: k2

x k2 ,x , k4 12 3

4). 3 cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 26

3 1cos 2x sin 2x sin 2x 2

2 2 6

cos 2x.cos sin 2x.sin sin 2x 26 6 6

cos 2x sin 2x 26 6

1 1cos 2x sin 2x 1

6 62 2

cos 2x .cos sin 2x sin 16 4 6 4



cos 2x 16 4

52x k2 x k

6 4 24

.

Nghiệm của phương trình: 5

x k24

.

5). 3 sin 7x cos7x 2sin 5x6

3 1sin7x cos7x sin 5x

2 2 6

sin7xcos cos7x sin sin 5x sin 7x sin 5x6 6 6 6 6

7x 5x k2 x k6 6

kx7x 5x k2 9 66 6

6). sin 2x 3 sin 2x 22

cos 2x 3 sin 2x 2

1 3cos 2x sin 2x 1

2 2

cos 2x.cos sin 2x.sin 13 3

cos 2x 1

3

2x k2 x k , k3 6

7). cos x 3 sin x 2cos 2x 03

1 3cos x sin x cos 2x

2 2 3

cos xcos sin xsin cos 2x

3 3 3

4cos x cos 2x

3 3

4 52x x k2 x k23 3 3

4 k22x x k2 x

3 3 3

8). 2cos 2x 1 3 cos x sin x

2 22 cos x sin x 1 3 cos x sin x



2 cos x sin x cos x sin x 1 3 cos x sin x

cos x sin x 2 cos x sin x 1 3 0

2 cos x 0 cos x 0 1cos x sin x 0 4 4

2 cos x sin x 1 3 0 1 3 1 32 cos x cos x 2

4 2 4 2 2

Giải (1): x k x k4 2 4

.

Giải (2): x k2x k2

34 12cos x cos4 12

x k2 x k24 12 6

Vậy nghiệm của phương trình: x k4

, x k2

3

, x k2 , k

6

9). 3 1 sin x 3 1 cos x 1 3 .

Ta có 2 2a 3 1,b 3 1,c 1 3 a b 2 2

3 1 3 1 1 3 5 5 1 3sin x cos x sin x.cos cos x.sin

12 122 2 2 2 2 2 2 2

5x k2x k2

5 312 12sin x sin5 312 12

x k2 x k212 12 2

Vậy nghiệm của phương trình: 3

x k2 ,x k2 , k3 2

10). 33sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x

33sin 3x 4sin 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos 9x 1

1 3 1sin 9x cos9x

2 2 2

1sin 9x.cos cos9x.sin

3 3 2



sin 9x sin3 6

k29x k2 x

3 6 18 97 k2

9x k2 x3 6 54 9

Vậy nghiệm của phương trình: k2 7 k2

x ,x , k18 9 54 9


1). 2cos 2x 4sin xcos x 1 06

2). 4sin x 2cos x 3 2 04 4

3). 8sin x sin 2x 6sin x cos 2x 5 7 cos x4 4

4). 22 3 sin x cos x 2cos x 3 18 8 8

5). 2

1 cos x cos 2x cos 3x 23 3 sin x

32cos x cos x 1

6). 3 1

8sin xcos x sin x

7). 3 3 2 22cos x 2sin x 2sin xcos x 2cos xsin x 2 0

8). 5 cos x sin x sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x

LỜI GIẢI

1). 2cos 2x 4sin xcos x 1 06

2 cos 2x cos sin 2xsin 2sin 2x 1 06 6

3 cos 2x sin 2x 1

3 1 1 1cos 2x sin 2x cos 2xcos sin 2x sin

2 2 2 6 6 2



2x k2 x k

6 3 4cos 2x cos , k6 3

2x k2 x k6 3 12

Vậy nghiệm của phương trình: x k ,x k , k4 12

2). 4 sin x 2cos x 3 2 04 4

sin x cos x sin x cos x4. 2. 3 2

2 2

sin x cos x 1 2 sin x 1

4

1sin x

4 2

x k2x k24 4

x k2x k2 2

4 4

Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,x k2 , k2

3). 8 sin x sin 2x 6sin x cos 2x 5 7 cos x4 4

4 cos x cos 3x 3 sin 3x sin x 5 7 cos x2

4 cos x cos 3x 3 sin 3x cos x 5 7 cos x 3sin 3x 4cos 3x 5

3 4

sin 3x cos 3x 1 sin 3x.cos cos 3x.sin 1 sin 3x 15 5

k23x k2 x

2 3 6 3

. (Với

3 4cos , sin

5 5 )

Vậy nghiệm của phương trình:k2

x3 6 3

4). 22 3 sin x cos x 2sin x 3 18 8 8



Áp dụng công thức nhân đôi: 2sin x cos x sin 2x8 8 4

, và hạ bậc

22 sin x 1 cos 2x8 4

ta được:

3 sin 2x 1 cos 2x 3 14 4

3 sin 2x cos 2x 34 4

3 1 3sin 2x cos 2x

2 4 2 4 2

3sin 2x cos cos 2x sin

4 6 4 6 2

32x k2 x k

4 6 3 8sin 2x sin134 6 3

2x k2 x k4 6 3 24

Vậy nghiệm của phương trình: 3 13

x k ,x k , k8 24

5). 2

1 cos x cos 2x cos 3x 23 3 sin x *

32cos x cos x 1

. Điều kiện 22cos x cos x 1 0

2

1 cos 2x cos 3x cos x 23 3 sin x

32cos x 1 cos x

22cos x 2cos 2x.cos x 2

3 3 sin xcos 2x cos x 3

2cos x cos 2x cos x 2

3 3 sin xcos 2x cos x 3

22cos x 3 3 sin x

3 3 cos x sin x 3

3 1 3cos x sin x

2 2 2

3cos x.cos sin xsin

6 6 2



cos x cos6 6

x k2x k26 6

3x k2x k2

6 6

Thay hai họ nghiệm của x vào điều kiện ta thấy thỏa.

Vậy nghiệm của phương trình: x k23

, x k2 .

6). 3 1

8sin xcos x sin x

. Điều kiện sin x 0

cos x 0

Quy đồng mẫu được: 28sin xcos x 3 sin x cos x

Hạ bậc 2sin x được: 4 1 cos 2x cos x 3 sin x cos x

4cos x 4 cos 2xcos x 3 sin x cos x

4cos x 2 cos x cos 3x 3 sin x cos x

cos x 3 sin x 2cos 3x 1 3

cos x sin x cos 3x2 2

cos x.cos sin x.sin cos 3x3 3

3x x k2 x k3 6cos x cos 3x

k33x x k2 x

3 12 2

So với điều kiện nghiệm của phương trình: x k6

,

kx

12 2

.

7). 3 3 2 22cos x 2sin x 2sin xcos x 2cos xsin x 2 0

2 22 cos x sin x sin x sin x cos x cos x 2sin x cos x sin x cos x 2 0

2 cos x sin x 1 sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x 2 0

2 cos x sin x 2 2 2 cos x 24

1cos x

4 2



cos x cos4 3

7x k2 x k2

4 3 12

x k2 x k24 3 12

So với điều kiện nghiệm của phương trình: 7x k2 ,x k2 , k

12 12

8). 5 cos x sin x sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x

3 35 cos x sin x 3sin x 4sin x 4cos x 3cos x 2 2 2 sin 2x

3 38 cos x sin x 4 sin x cos x 2 2 2 sin 2x

8 cos x sin x 4 sin x cos x 1 sin xcos x 2 2 2 sin 2x

4 sin x cos x 2 1 sin x cos x 2 2 2 sin 2x

14 sin x cos x 1 sin 2x 2 2 2 sin 2x

2

2 sin x cos x 2 sin 2x 2 2 2 sin 2x

sin x cos x 2 ( vì 2 sin 2x 0 ).

2 sin x 2 sin x 1 x k2 x k24 4 4 2 4


1). sin x sin 2x 3 cos x cox2x [Dự bị 1 ĐH A04]

2). 2 sin 2x 4sin x 1 06

[Dự bị 2 ĐH A06]

3). 2

x xsin cos 3 cos x 2

2 2

[ĐH D07]

4). 22cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x) [Dự bị 2 ĐH A07]

5). 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin x cos x [ĐH B08]

6). sin 3x 3 cos 3x 2sin 2x [CĐ 08]



7). 1

2sin x sin 2x3 6 2

[Dự bị 1 ĐH B08]

8).

1 2sin x cos x3 1

1 2sin x 1 sin x

[ĐH A09]

9). 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0 [ĐH D09]

LỜI GIẢI

1). sin x sin 2x 3 cos x cox2x [Dự bị 1 ĐH A04]

LỜI GIẢI

sin x sin 2x 3 cos x 3 cos 2x sin x 3 cos x 3 cos 2x sin 2x

1 3 3 1sin x cos x cos 2x sin 2x

2 2 2 2 sin x cos 2x

3 6

sin x sin 2x sin x sin 2x3 2 6 3 3

x 2x k2 2 k2

x3 3, k9 3

x 2x k2 x k23 3

2). 2 sin 2x 4sin x 1 06

[Dự bị 2 ĐH A06]

LỜI GIẢI

2 sin 2x cos cos 2xsin 4sin x 1 06 6

3 sin 2x cos 2x 4sin x 1 0 3 sin 2x 1 cos 2x 4sin x 0

22 3 sin x cos x 2sin x 4sin x 0 2sin x 3 cos x sin x 2 0



x k x ksin x 0

, k7cos x 1 x k23 cos x sin x 2 0

6 6

Kết luận nghiệm của phương trình: x k , 7

x k26

k

3). 2

x xsin cos 3 cos x 2

2 2

[ĐH D07]

LỜI GIẢI

1 3 11 sin x 3 cos x 2 sin x 3 cos x 1 sin x cos x

2 2 2

x k2 x k2

1 3 6 6sin x sin , k53 2 6

x k2 x k23 6 2

Kết luận nghiệm của phương trình x k26

, x k2

2

, k

4). 22cos x 2 3 sin x cos x 1 3(sin x 3 cos x) [Dự bị 2 ĐH A07]

LỜI GIẢI

1 cos 2x 3 sin 2x 1 3(sin x 3 cos x)

cos 2x 3 sin 2x 2 3(sin x 3 cos x)

1 3 1 3cos 2x sin 2x 1 3 sin x cos x

2 2 2 2

cos 2x 1 3cos x3 6

cos 2 x 1 3cos x

6 6

22cos x 3cos x 06 6

cos x 2cos x 3 0

6 6

3cos x 0 cos x

6 6 2

(loại)



Với 2cos x 0 x k x k , k

6 6 2 3

Kết luận nghiệm của phương trình 2

x k , k3

5). 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin x cos x [ĐH B08]

LỜI GIẢI

2 2 2 2sin x(cos x sin x) 3 cos x(cos x sin x) 0 cos 2x(sin x 3 cos x) 0

kcos 2x 0 xcos 2x 0 4 2 , ksin x 0sin x 3 cos x 0

x k33

6). sin 3x 3 cos 3x 2sin 2x [CĐ 08]

LỜI GIẢI

1 3sin 3x cos 3x sin 2x

2 2

3x 2x k2 x k2

3 3sin 3x sin 2x , k4 k23

3x 2x k2 x3 15 5

7). 1

2sin x sin 2x3 6 2

[Dự bị 1 ĐH B08]

LỜI GIẢI

3 1 1sin x 3 cos x sin 2x cos 2x

2 2 2

21 2sin x 1sin x 3 cos x 3 sin x cos x

2 2

3 cos x 1 sin x sin x 1 sin x 0 (1 sin x)( 3 cos x sin x) 0



x k2 x ksin x 1 2 3 , k

3 cos x sin x 0 sin x 0 x k23 2

Kết luận nghiệm của phương trình x k3

, x k2 , k

2

8).

1 2sin x cos x3 1

1 2sin x 1 sin x

[ĐH A09]

LỜI GIẢI

Điều kiện : sin x 1

1sin x

2

(1) 1 2sin x cos x 3(1 sin 2x)(1 sin x)

2cos x sin 2x 3 1 sin x 2sin x cos x sin 2x 3 cos 2x sin x

cos x 3 sin x sin 2x 3 cos 2x

1 3 1 3cos x sin x sin 2x cos 2x

2 2 2 2

2x x k2 x k2

6 3 2cos x cos 2x , kk23 6

x2x x k218 36 3

So với điều kiện nghiệm x k22

loại.

Kết luận nghiệm của phương trình: k2

x , k18 3

9). 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0 [ĐH D09]

LỜI GIẢI

3 cos 5x sin 5x sin x sin x 0

3 13 cos 5x sin 5x 2sin x cos 5x sin 5x sin x

2 2



kx 5x k2 x

3 18 3sin 5x sin x , k2 k3

x 5x k2 x3 6 2

Kết luận nghiệm của phương trình: k k

x ,x , k18 3 6 2

Documents

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX