Embed Size (px)
Citation preview
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
……………………………………
NGUYỄN TIẾN TUẤN
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC
……………………………………
NGUYỄN TIẾN TUẤN
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ ĐÌNH ĐỊNH
Hà Nội - 2015
1
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC 1
LỜI CẢM ƠN 2
MỞ ĐẦU 3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1. Dãy số, hàm lƣới và sai phân 7
1.2. Phƣơng trình sai phân tuyến tính 9
1.3. Một số phƣơng trình sai phân tuyến tính đơn giản 13
1.4. Phƣơng trình sai phân phi tuyến tính và tuyến tính hóa 23
1.5. Một số phƣơng trình sai phân phi tuyến tính thƣờng gặp 24
Chƣơng 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN 29
2.1. Giải hệ phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một 29
2.2. Chuyển đổi các đại lƣợng trung bình 31
2.3. Tìm giới hạn của dãy số 33
2.4. Giải các bài toán số học 41
2.5. Giải các bài toán về phƣơng trình hàm 52
2.6. Giải các bài toán về tích phân 56
BÀI TẬP THAM KHẢO 60
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
2
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn này của tác giả đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn trực tiếp
của Tiến sĩ Lê Đình Định – Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc
Gia Hà Nội.
Lời đầu tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến ngƣời thầy dạy
và cũng là ngƣời thầy hƣớng dẫn - Tiến sĩ Lê Đình Định. Thầy đã dành nhiều thời
gian để chỉ bảo, hƣớng dẫn tác giả với sự nhiệt tình, chu đáo, sâu sắc, đầy kinh
nghiệm trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành bản luận văn
này.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của tất cả mọi ngƣời đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Tác giả
3
LỜI MỞ ĐẦU
Rất nhiều hiện tƣợng khoa học kỹ thuật trong thực tiễn mà việc tìm hiểu nó
dẫn đến bài toán giải phƣơng trình sai phân. Phƣơng trình sai phân còn là một công
cụ giúp giải các bài toán vi phân, đạo hàm và các phƣơng trình đại số cấp cao.
Sự ra đời của phƣơng trình sai phân cũng xuất phát từ việc xác định mối quan
hệ thiết lập bởi một bên là một đại lƣợng biến thiên liên tục (đƣợc biểu diễn bởi
hàm, chẳng hạn f(x) ) với bên còn lại là độ biến thiên của đại lƣợng đó.
Đối với các hàm thông thƣờng nghiệm là một giá trị số (số thực, số phức,… ).
Còn trong phƣơng trình sai phân mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chƣa đƣợc
biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thƣờng nó sẽ là một họ các phƣơng
trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ đƣợc xác định chính xác khi
có thêm điều kiện xác định ban đầu hoặc điều kiện biên.
Trong các ứng dụng thực tế, không dễ dàng để tìm ra công thức của hàm
nghiệm. Với giá trị của thực tiễn khi ấy ngƣời ta chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại
các giá trị cụ thể của các biến độc lập.
Các phƣơng pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm đƣợc gọi là phân tích
định lƣợng. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng xác định đƣợc các giá trị thực, lúc
này ngƣời ta lại quan tâm đến các giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với
giá trị thực. Việc tìm các giá trị này đƣợc thực hiện thƣờng là bằng phƣơng pháp số
với công cụ là máy tính.
Phƣơng trình sai phân đƣợc nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy và
ứng dụng, vật lí và các ngành kỹ thuật.
Toán học thuần túy quan tâm đến việc tìm ra sự tồn tại và duy nhất của hàm
nghiệm.
Phƣơng trình sai phân đƣợc phân làm nhiều loại, luận văn trình bày nghiên cứu
về phƣơng trình sai phân trong đó có chứa các số hạng là đại số và sai phân.
Trong mỗi loại phƣơng trình sai phân lại đƣợc chia thành hai dạng tuyến tính
và phi tuyến tính. Việc giải các phƣơng trình sai phân tuyến tính có thể thực hiện
4
đƣợc nhƣng đối với phƣơng trình sai phân phi tuyến tính không có công thức chung
để giải, ngoại trừ chúng có tính đối xứng. Thay vào đó có thể dùng hàm tuyến tính
để xấp xỉ hàm phi tuyến với những điều kiện ràng buộc nhất định.
Ở trƣờng trung học phổ thông cũng nhƣ trong các kỳ thi học sinh giỏi toán
xuất hiện nhiều bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi,
phƣơng trình hàm, …. đƣợc cho dƣới dạng một phƣơng trình sai phân hay có sử
dụng phƣơng trình sai phân để giải. Chính vì vậy mà nhiệm vụ tìm hiểu những ứng
dụng của phƣơng trình sai phân trong các bài toán phổ thông là một yêu cầu cấp
thiết và quan trọng.
Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phƣơng trình sai phân có
phân loại các dạng phƣơng trình sai phân với sự tổng hợp các phƣơng pháp giải sẽ
đóng góp tốt hơn, có hiệu quả cao hơn cho việc định hƣớng nghiên cứu và phát triển
tƣ duy cho học sinh.
Luận văn đƣợc chia làm hai chƣơng.
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chƣơng này nhắc lại và xây dựng các kiến thức cơ bản mà nó đƣợc ứng dụng
rộng rãi ở chƣơng sau.
Phần đầu tiên của kiến thức chuẩn bị nhắc lại các định nghĩa về dãy số, hàm
lƣới, sai phân và các tính chất của sai phân.
Phần thứ hai của chƣơng trình bày các kiến thức về định nghĩa, phân dạng và
các phƣơng pháp giải dẫn đến các công thức nghiệm của phƣơng trình sai phân
tuyến tính.
Phần thứ ba của chƣơng giới thiệu một số dạng phƣơng trình sai phân tuyến
tính đơn giản, thƣờng gặp trong các bài toán phổ thông. Đó là các phƣơng trình sai
phân tuyến tính cấp một, hai, ba và các phƣơng pháp giải dẫn đến các công thức
nghiệm của phƣơng trình sai phân tuyến tính.
5
Phần thứ tƣ của chƣơng trình bày về phƣơng trình sai phân phi tuyến tính và
vấn đề tuyến tính hóa. Đặc biệt trong phần này đã nêu ra đƣợc phƣơng pháp để
tuyến tính hóa một số phƣơng trình sai phân dạng phi tuyến tính về dạng tuyến tính
giải đƣợc. Nhờ thế mà nó làm phong phú thêm ứng dụng của phƣơng trình sai phân.
Phần cuối của chƣơng giới thiệu một số dạng và các ví dụ về phƣơng trình sai
phân phi tuyến tính có thể tuyến tính hóa đƣợc.
Chƣơng 2: Một số ứng dụng của phƣơng trình sai phân
Chƣơng này nêu các ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong giải toán phổ
thông. Đặc biệt đã giới thiệu đƣợc một số bài toán trong các kì thi học sinh giỏi có
sử dụng phƣơng trình sai phân tuyến tính và phi tuyến tính để giải. Vấn đề tuyến
tính hóa cũng đƣợc thâm nhập sâu hơn và đa dạng hơn ở chƣơng này.
Phần một của chƣơng đã nêu rõ đƣợc phƣơng pháp giải tổng quát cho hệ hai
phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp một, bằng việc biến đổi có sử dụng phƣơng
trình sai phân tuyến tính cấp hai. Trong phần này cũng đƣa ra một số bài tập có lời
giải để học sinh có thể nắm bắt dạng toán và vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải.
Phần hai của chƣơng tổng quát đƣợc sáu dạng toán có lời giải về sự chuyển
đổi các đại lƣợng trung bình giữa đối số và hàm số nhờ việc biến đổi có sử dụng
phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp hai.
Phần ba của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải một số
bài tập về việc tìm giới hạn có liên quan đến dãy số đƣợc biết đến dƣới dạng: số
hạng tổng quát; phƣơng trình sai phân hay hệ phƣơng trình sai phân.
Phần bốn của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải một số
bài toán liên quan đến số học.
Phần năm của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải các
bài toán về phƣơng trình hàm.
Phần cuối của chƣơng nêu việc sử dụng phƣơng trình sai phân để giải một
số bài toán liên quan đến tích phân truy hồi.
6
Những kiến thức trình bày trong luận văn này ở phổ thông đƣợc dùng cho
các em học sinh ôn luyện tham gia các kì thi học sinh giỏi. Tất nhiên các kiến thức
đó đƣợc sắp xếp, trình bày một cách có hệ thống để tiện theo dõi. Ngƣời đọc từ đó
có thể nhận xét, đánh giá tổng quan để có thể bổ sung, mở rộng kiến thức hơn nữa
nhằm phát huy khả năng sáng tạo, sự say mê khám phá hứa hẹn nhiều kiến thức mới
thú vị, bổ ích và thiết thực.
7
( ) ( )
( )
* + ( )
( )
)
( )
)
( )
)
8
( )
* +
.
( )
( ) .
( ) ( ) ( ) .
* +
( )
.
( ) ( )
( )( )
( )
∑( )
(
( ) )
9
( ) ( )
)
)
)
∑
( )
∑
( )
(
) ( )
( ) ( )
( )
| |
( )
10
) ( )
) ( )
) ( )
( ) ( )
) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
) ( )
( )
( )
( )
( )
11
*
+ ( )
( )
( )
( )
( )
( )
∑
∑
( ) ( )
| | √
∑
(
)
( )
( )
( )
) ( ) ( )
) ( ) ( )
( ) ( )
) ( ) ( )
) ( ) ( )
( )
12
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
13
)
)
)
)
( )
) ( )
) ( )
( ) ( )
) ( )
14
) ( )
( )
( ), ( ) - ( )
( )
( )
( ) ( )
15
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
{
( )
[( )
∏
]
{
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
16
*(( )
) (
)
+
( ) *
(
)
+
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
*
(
)
+ ( )
(
∑
)
( .
/
) .
/
. /
.
/
.
/
. /
17
( )
( )
( ) ,( ) - , ( ) -
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
)
)
)
)
18
)
) ( )
) ( ) ( )
( )
) ( ) ( )
) ( )
) ( )
( ) ( )
) ( ) ( )
) ( )
) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )
) * +
)
( ) ( )
)
( ) ( )
19
( )
, ( ) ( ) - , ( ) ( ) - ( )
( )
{
{
20
( )
( ) ( )
( )
( )
, ( ) ( )- , ( ) ( )- ( )
{
{
( )
( )
( )
21
)
)
)
)
)
) ( )
) ( )
) ( )
( )
( )
22
) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
( )
)
) ( )
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
23
)
) √
( )
.
{
.
24
( )
{
( )
( )
{
.
/
0
{
{
{
( )
( )
25
{
.
/
( )
{
{
{
( )
( ) ( ( )) ( )
( )
( )
{
.
/
√
(√ ) ( √ )
(√ ) (√ ) (√ ) ( √ )
√
√
(√ )(√ )
( √ ) ( √ )
( √ )(√ ) √ ( √ )
26
( )
( )
{
{
{
( )
( )
{
{
( ) ( )
( )
27
√
√
√
√
√
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
√
√
√ [ ( √ ) ( √ ) ]
* + √
√
√
28
√
√
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ ) (√ √ ) (√ √ )
(
)
(√ √ ) (√ √ ) *(√ √ ) (√ √ )
+
)
)
29
{ ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
.
/
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{
(
)
* +
{
{
{
30
{
(
)
( )
{
( ) {
( )
( ) ( ) ( )
{
(
)
√
{
{
√
{
( )
31
{ (
)
( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) *( ) ( )
+
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ ( )
( ) {
( ) ( )
{ (
) √ ( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) (
) √ ( )
( )
( ) (
) √ ( ) ( )
( )
( ) (( ) ( )
) √ ( ) ( )
( ( ))
[ ( ( )) ( ( ))]
( ( ))
( )
32
( ) ( ( )) ( )
{
(
)
( )
( )
( ) ( ) (
)
( )
( ) ( )
( )
(
)
(
)
[
( )
( )]
( ) ( )
{
(
) √
( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) (
) √
( ) ( )
( ) ( ) √ (
) √
( ) ( )
(
)
( ) ( )
33
{ (√ )
( ) ( )
( ) ( ) ( √ )
(√ ) . /
( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) ( )
{
(√ ) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( √ )
( ) ( ) (√ ) (√ ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
* + ( )
( )
( )
* +
34
{ ( )
(
) ( )
( )
( )
) ( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{
| |
( ) | |
( )
* +
( )
( )
∑
35
,( ) -
( )
, ( )
-
( )
( )
( )
(
)
(
)
{
(
)
∑ ∑(
)
(
)
(
) ∑
(
)
∑
∑(
)
∑
(
)
* + * +
{
(
)
( )
36
√ ( )
√
(√ ) , -
√ , -
(√ ) , - ( )
. .√ /
/
* +
√
√ √
√ √ √
√
√
√ √ √ (
)
√ √ √
( )
√
* +
â ự ã ố * + ƣ ∑
ì
* +
37
(
) (
)
∑ (
)
(
)
(
)
* +
ì (
)
ó
(
) (
)
∑
∑ (
)
(
)
* +
(
)
* +
√ ì .
{
√
( ) (√ )
( ) (√ )
38
.(√ )
(√ )
/
(
)
.(√ )
(√ )
/
.
/
√
* + * +
∑
ì .
( √ ) ( √ )
√
√
√ ( √ )
√ ( √ )
∑(
)
√ ( √ )
( √ ) √
ậ ( √ )
* +
√ √
ì
.
* +
39
√ √
√
√
* +
√
√ √
( √ ) ( √ )
[( √ ) ( √ ) ]
√
* +
(
)
ì
{
√ ( √ ) ( √ )
( √ )
√ ( √ ) ( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
√
√ √
* +
| | ì
|
| ằ ƣơ á ạ á ọ
40
(
)
* + √ √ √
√
ứ
ớ ọ ì √
√
√ ớ √
√
ừ á á ị đầ
) ì
ê
ớ ọ
) ó √
.
/
|
| |
( ( )
|
ậ
41
( )
* +
)
)
) ƣơ ì đ ƣ ó √
( √
) (
√
)
√
√
√
√
√
√
√ [( √
)
( √
)
]
ó ƣớ ố
) (
√
)
( √
)
[( √
)
( √
)
]
( [( √
)
( √
)
]
ê )
42
* + * +
)
)
) ∑
) .
( )
√ √
√
√
( ) ( )
)
)
* +
* +
43
)
∑
) ( ) ( ) ( )
* +
* +
( )
* +
)
( )
( )
, ế
ế
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ê ( )
( ) ( )
44
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
* +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
* +
( ) * +
( )
45
( )
√
( ) ( )
√
( ) ( )
* +
ứ ằ
)
)
) √
( √ ) ( √ )
(
√ ) ( √ )
(
√ )
( √ )
(
√ ) ( √ )
(
√ )
( √ )
(
√ ) ( √ )
(
√ )
( √ )
)
( )
( )
46
* +
∑, -
( )
, - , -
(*
+ *
+) (*
+ *
+) (*
+ *
+)
(
)
* + √
√
( )
( √ )
( √ )( ) ( )
( ) ( √ )( )
47
* +
( )
ó
( )
* +
.
(∑
) (∑
)
( ) ( )
( √ )
√
√
48
* +
, -
( )
(
)
(
)
đƣợ (
)
( )( )
( )( )
( )
, -
* + .
) √
( √
) (
√
) .
49
√ *( √
) (
√
) +
(
)
* +
.
{
( )
√
( √
) (
√
)
( √
) (
√
)
( )
( ớ
√
)
( )
( )
( ( ) )
( )
( )
√
* + * +
50
, -
, -
* +
√
√ √
√
(
)
(
)
* + (
)
∑
. √ /
(
)
(
) (
) (
)
51
∑
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
. √ /
* +
( ) ( ) √ ( ) ( )
ó , ( ) - ( ) ( )
, ( ) - ( )
, ( ) - ( )
ứ ỏ à à ệ ủ ƣơ ì
, ( ) - ( )
đị é ó , ( ) -
ì đề à ố ự ê à ì ể ứ ê ế í ê
* +
ứ ằ ồ ạ ã
ố ê ƣơ * + * +
52
{
( ) ( )
ơ ữ ô ứ á đị đƣợ
á ã ố á à á đƣợ ì à ở ầ à đề đƣợ á đị ở
ƣơ ì â ệ ƣơ ì â ứ ó ớ ê ầ à á
đị á ế ố ố ọ ê đế ã ố đó ƣ ƣớ ố ố ê ố ố í
ƣơ ố ậ ƣơ í ế ấ đẳ ứ ố ê ầ ê
ệ ả á à á à ẫ ớ ả ƣơ ì â ế í
ế í Đ ề à à ủ ố ê ứ ụ ủ ƣơ ì â à
ấ đề ế í ó ạ đƣợ ị ẳ đị ò ủ ó
( ) (
)
* +
( ) ( ) ( )
{
( )
ừ ệ ê ó
√
53
( √
)
( √
)
(√ )
√
(√ )
√
ớ
√
√
√
√
√
ậ
[(√ ) ] (√ )
( √ ) √
ì ậ ồ ạ (√ )
√ √
à ê ụ ê ( ) ( ) ( ) ( √
)
à ầ ì à ( ) đó à ằ ố
∑
( )
∑ (
)
Đặ
ừ ả ế ớ
. .
/ / đó
ặ á ∑
( ) .
/
đó ( )
54
ế ì ( ) ( )
∑ (
)
∑ ( )
( ) ( ) (
)
( ) ( )
(
)
( ) *( ) ( )
+
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
55
( ) ( ) ( ) √ ( )
( )
( ) ( ) √ ( )
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ( ) ( ))
( )
( ) √ ( ) ( ) ( ) √ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) √ ( ) ( ) ( )
( ) ( √ )( √ )
( √ )( √ )
( )
56
∫
{
( )
( )
( )
( )
∫
* + ( )
(
)
ƣ ậ ( )
∫
∫
, ( ) ( ) -
∫ ( )
57
( )
(
)
∫ ( )
(
)
∫
( )
) ( )( )
( )
∫
|
( )
( )
( )
( )( ) ( )
)
( )
( )
( )
( )( ) ( )
58
) ( )
( )( ) ( )
∫
( )
( ) ( )
( )
∫
( )
∫ (
)
( ) ( ∑
( )
)
∫ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
∫
59
, - ∫( )
( )
∫( )
( )
í đƣợ
( )
( )
∫ ( )
( )
( )
( )( ) ( ) ∫
( )
60
.
/ (
) (
)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
61
( )
( )
( )
( )( )
( )( )( )( )
√
ớ à á ố à
ớ
62
ã ( ) ( ) á đ
ì á ổ á à
ã ( ) ( ) á đ
ì √ √
ã ( ) á đ
í
ã ( ) á đ
ì để á ố ạ ủ ã đô ộ á
ã ( ) á đ
ì
ã ( ) á đ
ì đ ề ệ ủ để ã ó ô ố ố ạ à ố ê
ã ( ) á đ
ứ ã ố à ô ị ặ í ớ ∑
63
( )
( )
( )
( )
à
( ) ( )
( ớ ƣớ )
ừ đó ô ứ ổ á ủ ã ố
ã á ự á ô ( ) á đ
ứ ằ ô ồ ạ ố ự ê để
( ) √ √
( √ )
( )
√ ( )
ã ( ) á đ
.
ì để ( ) à ã ố ê
64
KẾT LUẬN
Bản luận văn này nêu đƣợc các phƣơng pháp giải phƣơng trình sai phân tuyến
tính và một số dạng phƣơng trình sai phân phi tuyến tính có thể tuyến tính hóa
đƣợc. Từ những kiến thức đó đã nêu đƣợc các ứng dụng của phƣơng trình sai phân
trong việc giải các bài toán ở trƣờng trung học phổ thông.
Phƣơng pháp tuyến tính hóa cho ta những cách giải độc đáo khác nhau cho
các bài toán có dạng đặc th . Tuy nhiên với những bài toán lên quan đến phƣơng
trình sai phân thì chúng ta đều có thể khai thác phƣơng pháp tổng quát đã xây dựng
đƣợc để giải. Đây cũng là sự thành công về mặt định hƣớng cho phƣơng pháp giải
toán.
Với thời gian nghiên cứu và khả năng có hạn, chúng tôi hy vọng luận văn này
sẽ giúp ích phần nào cho các thầy, cô giáo và các em học sinh ở nhà trƣờng phổ
thông trong việc học tập môn toán. Luận văn này cũng hy vọng đóng góp một phần
nhỏ bé vào việc mở rộng ứng dụng của phƣơng trình sai phân trong việc rèn luyện
học sinh giỏi toán ở trung học phổ thông.
Cuối cùng tác giả cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến
Ban lãnh đạo, cùng các thầy cô Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu. Đặc biệt là sự hƣớng dẫn chỉ bảo tận tình, chu đáo, sâu sắc và đầy kinh
nghiệm của Tiến sỹ Lê Đình Định – Giảng viên của nhà trƣờng đã giúp tác giả hoàn
thành luận văn này.
65
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lê Đình Định – Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất bản Giáo dục 2011
2. Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp -
Phương trình sai phân và một số ứng dụng, Nhà xuất bản Giáo dục 2001
3. Lê Đình Thịnh , Lê Đình Định – Các phương pháp sai phân, Nhà xuất bản
ĐHQG Hà Nội - 2005
![Bài tập - Bài giải Kế toán tài chính i... · 2019. 4. 17. · Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Bài tập - Bài giải Kế toán tài](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/60965842b99e52362c541f6b/bi-tp-bi-gii-k-ton-ti-chnh-i-2019-4-17-h-tr.jpg)
