Phuong Phai Giai Phuong Trinh Khong Mau Muc

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Họ và tên: Nguyễn Văn Hiến Đơn vị: THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên

Năm học 2012 - 2013

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn 2

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................................3

I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN ......................................................................................3

1. Cơ sở lí luận ...........................................................................................................3 2. Cơ sở thực tiễn .......................................................................................................3

II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. .............................................................................................................4

1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................4

2. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................................5 3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................5

B. NỘI DUNG ...................................................................................................................5 I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ ....... 5

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn........................................................................5 2. Hệ phương trình đối xứng loại một .........................................................................7

3. Hệ phương trình đối xứng loại hai ..........................................................................8 II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........9

1. Phương pháp biến đổi tương đương ........................................................................9 DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y. ................9

DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích. ................... 14 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ....................................................................................... 19

3. Phương pháp đánh giá .......................................................................................... 25 C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................................................... 29

I. GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM ............................................................................ 29 II. KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM ................. 35

1. Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm .......................................... 35 2. Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm ............................................. 36

3. So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm ......................................... 36 D. KẾT LUẬN ................................................................................................................ 37

I. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ ......................................................................... 37 II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM ..................................................................................... 38

III. KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ................................................... 39 IV. KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................. 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 41



A. MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN

1. Cơ sở lí luận

Kiến thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toàn của bậc học phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậc học này.

Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 học sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số”. Trong chương trình toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu căn. Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này là hệ phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ. 2. Cơ sở thực tiễn

Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các



phương pháp giải. Trong khi đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa và ngay cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở.

Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức của học sinh. Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên, đề thi khảo sát chất lượng học kì 2 môn toán 9 nhiều năm gần đây của Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối tượng học sinh. Không những vậy, trong nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn toán vòng 1, vòng 2 luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ không mẫu mực.

Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến chuyên đề này. Vì vậy, khi dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt qua bằng một số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực.

Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng kiến của mình là “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9”.

II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG

PHÁP NGHIÊN CỨU.

1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở.



Nhiệm vụ cần đạt:

- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực.

- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn.

- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho tứng phương pháp. 2. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này. 3. Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:

- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử.

- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học.

- Phương pháp phân tích tổng hợp.

- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.

- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế.

B. NỘI DUNG

I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI

CẦN NHỚ

1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:



(1)' ' ' (2)

ax by ca x b y c

trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, 2 2 0a b và 2 2' ' 0a b .

Nghiệm của hệ là cặp số ; x y thoả mãn đồng thời hai phương trình (1)

và (2) của hệ. Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ.

Cách giải:

Trong chương trình toán trung học cơ sở để giải hệ hai phương trình bậc

nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp:

- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế;

- Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số.

Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau:

Ví dụ. Giải hệ phương trình 3 2 4 (1)2 5 (2)x yx y

Lời giải:

Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế)

- Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có 5 2y x . Thay vào phương

trình (1) của hệ ta được: 3 2 5 2 4x x Hay 7 14x .

- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình

sau: 7 14 25 2 1

x xy x y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; 2; 1 .x y

Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)

- Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) vế

với vế ta được: 4 2 3 2 10 4x y x y Hay 7 14x .

- Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

phương trình sau: 7 14 22 5 1

x xx y y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; 2; 1 .x y



Nhận xét: Trong chương trình toán lớp 10 của cấp THPT học sinh mới bắt

đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình trên bằng phương pháp sử dụng

định thức cấp 2. Bằng phương pháp sử dụng định thức ta có thể giải hệ

phương trình trên như sau:

Hệ phương trình 3 2 42 5x yx y

có:

3 2 4 2 3 43.1 2.2 7 0; 4.1 5.2 14; 3.5 2.4 7

2 1 5 1 2 5x yD D D

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất:

14 277 17

x

y

DxDD

yD

2. Hệ phương trình đối xứng loại một

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối

xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y

(nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y

cho nhau).

Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của

hệ.

Cách giải thường dùng: Đặt S x y và P xy , với điều kiện 2S 4P 0 đưa

hệ đã cho về hệ đơn giản hơn đã biết cách giải.

Ví dụ. Giải hệ phương trình 2 2

113 28

x y xyx y x y

Lời giải:

Đặt S x y và P xy , khi đó hệ đã cho có dạng:

2

11 (1)2 3 28 (2)

S PS P S

Từ (1) suy ra 11P S , thay vào phương trình (2) ta được:

2 22 11 3 28 hay 5 50 0.S S S S S

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: 5; 10.S S



* Nếu 5S thì 6,P nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

2 25 6 0 2 3 0

3t

t t t tt

Suy ra ; 2; 3x y hoặc ; 3; 2 .x y

* Nếu 10S thì 21,P nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

3

10 21 0 3 7 07

tt t t t

t

Suy ra ; 3; 7x y hoặc ; 7; 3 .x y

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: 2; 3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3 .

3. Hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối

xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau

thì phương trình này trở thành phương trình kia.

Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của

hệ.

Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận

được phương trình tích dạng 0

.f , 0f , 0x y

x y x yx y

Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được.

Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: 3

3

1 2 (1)1 2 (2)

x yy x

Lời giải:

Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:

3 3

2 2

22 2 2

2

2 0

30 ( 2 2 0 , )2 4

.

x y y x

x y x xy y

yx y x xy y x y x y

y x

V ×

Thay y x vào phương trình (1) ta được:



3 2

12 1 0 1 1 0 1 5

2

xx x x x x

x

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

1 5 1 5 1 5 1 51; 1 ; ; ; ; .2 2 2 2

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

1. Phương pháp biến đổi tương đương

Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số. Cùng với đó ta cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…

Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi. Ta có thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực trong các tình huống sau. DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 2 2

2 1 01 0

x yx y xy

Lời giải:

Ta có:

2 2

2 2

2 1 0

1 0

2 1

2 1 2 1 1 0

2 15 1 0

2 1 10 0

2 1 11 1

x yx y xyx y

y y y y

x yy y

x y xy yx y xy y



Vậy hệ có hai nghiệm: 1; 0 ; 1; 1 .

Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên

ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ,

theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận

được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.

Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào

phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình

thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất

hiện mẫu số.

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

2 2

2

1 1 3 4 1 (1)

1 (2)

x y x y x x

xy x x

Lời giải:

Nhận thấy 0x không thoả mãn phương trình (1) của hệ nên hệ không có

nghiệm 0; y .

Khi 0x từ phương trình (2) ta có 2 11 xyx

thay vào phương trình (1) ta

được:

2 22 2

2

2 2

2

2

22

1 1 3 4 1

11

1 2 1 1 3 1

11

11

12 1 2 02

211 11 52

x xx x x xx x

xyx

x x x x

xyx

xx

yx x x xxxy xyx yx

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 51; 1 ; 2; .2



Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên

ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên

việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét 0; y

không là nghiệm của hệ để từ đó với 0x ta có thể tính 2 11 xyx

và hệ

nhận được tương đương với hệ đã cho.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 2 2

2 2

10 0

4 2 20 0

x y x

x y x y

Lời giải:

Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được 7 10y x .

Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

2 2

22

2

10 0

7 10

7 10 10 0

7 10

3 2 0

7 10

11

172

27 10

24

x y x

y x

x x x

y x

x x

y x

xx

yx

xy x

y

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 1; 17 ; 2; 24 .

Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào

là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc

cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình

là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.


3 4

x y xy x y xy

x y xy x y xy

Lời giải:



*) Dễ thấy 0x y là nghiệm của hệ.

*) Các cặp số x y víi y 0 hay ; x 0; x 0; y 0 đều không là nghiệm.

*) Với xy 0. Chia cả hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho xy 0 ta

được:

x yx y

x yx y

1 12 5

1 13 4

Suy ra x y x y x yx y

1 1

5 2 4 3 2 1

Thay 2 1x y vào phương trình thứ 2 của hệ ban đầu ta được:

23 2

2 1

2 1 2 1 3 2 1 4 2 1

2 12 1

1 10 9 1 010 19 10 1 0

2 1

41 1 41 111 10 10 hoÆc hoÆc 9 411 9 4120

209 41

20

x y

y y y y y y y y

x yx y

y y yy y y

x y

y x xx

y yy y

y

9 41

20

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:

41 1 9 41 41 1 9 410; 0 ; 1; 1 ; ; ; ; .10 20 10 20

Nhận xét: Để giải hệ trên ta có thể biến đổi ngay từ hệ ban đầu nhờ quy tắc

cộng đại số như sau:

2 5

3 4

3 2 4 5

3 4

x y xy x y xy

x y xy x y xy

x y xy x y x y xy x y xy xy

x y xy x y xy



2 1 0

3 4

0

3 4

0

3 4

2 1

3 4

xy x y

x y xy x y xy

x

x y xy x y xy

y

x y xy x y xy

x y

x y xy x y xy

Đến đây việc giải hệ ban đầu được đưa về việc giải 3 hệ phương trình

đơn giản hơn. Cách biến đổi này khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu,

đặc biệt là học sinh lớp 9.


2 2

92 4

x yx y x y

(Thi häc k × 2 líp 9 n¨m häc 2011- 2012 Së Hng Yª n)

Lời giải:

3 33 3

2 22 2

3 3 3 3 2 2

2 2 2 2

3 3

2 22 2

993 2 3 42 4

9 3 3 6 12 93 3 6 12 9 9 2 4

1 21 22 42 4

x yx yx y x yx y x y

x y x y x x y yx x y y x y x y

x yx yx y x yx y x y

2 22

3 33 2 03 2 3 4

21

12

x y x yy yy y y y

xyxy


Nhận xét: Rõ ràng với ví dụ 5 này việc tìm ra được cách biến đổi để giải

được hệ phương trình trên như trên là khá khó đối với học sinh, đặc biệt là

học sinh lớp 9. Với ví dụ này, đòi hỏi học sinh phải nhận xét hết sức tinh tế



các hệ số của từng hạng tử trong mỗi phương trình và học sinh đã được tiếp

cận với cách biến đổi tương tự như trên.

BÀI TẬP.

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau

3 3

22 2

3 3 3 3

3 3 2 2 5 5 2 2 2 2

3 3

2

42 1 031) 2) 3)

1 4 21 01

1 1 354) 5) 6)

2 3 4 9

97)

x yx yx y x y

x y xy yx y xyx y

x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

x y

x

2

2 3 2 2

5 9 8)

2 4 3 2 6 18

x x y

y x y x x y xy x

Bài 2: Cho hệ phương trình

2 2 2

1 (m là tham sè)

2 3

x y m

x y xy m m

a) Giải hệ phương trình khi m = 3.

b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá

trị của m.

DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau 2 2

2 2

5 6 0

2 1

x xy y

x y

Lời giải:

2 2

2 2

2 2

2 22 2 2

22 2 22

5 6 0

2 1

2 3 0

2 1

22 2

2 2 12 1 9 1

33 3

2 1 19 12 3 1

2 2

3 3 hoÆc 1 1

3

x xy y

x y

x y x y

x y

x yx y x y

y yx y y

x yx y x y

x y yy y

x x

y y

3 19 3 19

19 19 hoÆc hoÆc 19 19

3 19 19

x x

y y



Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:

2 1 2 1 3 19 19 3 19 19; ; ; ; ; ; ; .

3 3 3 3 19 19 19 19

Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là

phương trình đẳng cấp bậc hai, tuy nhiên đối với học sinh lớp 9 không nên

giải bằng cách đặt x = ky vì với cách giải này học sinh rất khó hiểu tại sao lại

nghĩ ra cách đặt đó. Chính vì vậy, khi dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh

hãy phân tích phương trình thứ nhất về dạng tích và biến đổi tiếp như cách

giải trên.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau: 2 2

2 2

2 5 2 0 (1) (TS Chuyên Toán H 2011 2012)

4 0 (2)x y xy y x

x y x y

ng Yª n

Lời giải:

Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương

trình (1) về dạng tích.

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 1 02 5 2 0

4 0 4 0

2 0 (a)

4 0

2 1 0 (b)

4 0

x y x yx y xy y xx y x y x y x y

x yx y x y

x yx y x y

Giải hệ (a):

22 2 22

22 0 2 114 0 2 1 02 2 4 0

y xx y y x xyx y x y x xx x x x

Giải hệ (b):

2 2

2 22

2 1 0

4 0

11

2 1 2 1 45 4 02 1 2 1 4 0 5

135

x yx y x y

xy

y x y xxx xx x x x

y



Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 4 131; 1 ; ; 5 5

.

Nhận xét:

- Ta có thể xem phương trình (1) của hệ là phương trình bậc 2 đối với ẩn x

còn ẩn y là tham số và tiến hành giải như sau:

2 2

22

2

(1) 2 5 2 0

9 18 9 3 35 3 3 1 5 3 3; 2

4 2 41*) Khi 2 1 thay vào (2) ta có :

24 5 4 0 1;

5

x

x y x y y

y y yy y y y yx x y

yx y x

x x x

ph¬ng tr × nh ®îc

Khi ®

2

4 13; 1; 1 ; ; .5 5

*) Khi 2 2 thay vào (2) ta có : 2 2 1 0 1

; 1; 1 .

; 1; 1

x y

x y y x x x x

x y

x y

ã ta ®îc nghiÖm cña hÖ l

Khi ®ã ta ®îc nghiÖm cña hÖ l

VËy tËp nghiÖm cña hÖ ®· cho là 4 13; ; .

5 5

- Việc phân tích đa thức vế trái của phương trình thứ nhất của hệ, giáo

viên khi dạy nên hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để

tiến hành biến đổi vì đây là đa thức bậc hai đối với hai ẩn.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau

2 2

2

2 1 (1) (Thi 2011 2012)

(2)

xyx yx y

x y x y

HSG tØnh Hng Yª n n¨m häc

Lời giải:

2 2 22 2

22 2 2 2

*) : 0

(1) 1

0

x y

x y x yx y

x y

x y x y x y x y x yx y

§K

Ta cã



2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 0

1 1 0

1 0 ( 0 1 0)

11 2 0 1

x y x y x y x yx y

x yx yx y

x yx y x yx y

x yx x x x x

V × nª n

Thay vµo pt (2) ta ®îc : 1 h

2.

; 1; 0 ; 2; 3 .

x

x y

oÆc

Tõ ®ã suy ra hÖ ®· cho cã 2 nghiÖm

Nhận xét:

- Với hệ có chứa dấu căn, khi dạy giáo viên cần rèn cho học sinh thói

quen phải đặt điều kiện để các căn thức cùng có nghĩa, trong thực tế

học sinh thường quên điều này.

- Để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng tích, ta cũng có thể

biến đổi như sau:

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 1

22 1 2 0

11 2 1 0

1 1 2 1 0

1 1 2 0

1 0

1 0 Do 0 nên 0

xyx yx y

xyx y xy xyx y

x y xyx y

x y x y x y xy x y

x y x y x y xy

x y x y x y

x y x y x y x y

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau 2 24 5

4 2 7

x y

xy x y

Lời giải:

Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta được:

2 2

2

4 4 2 12

2 2 12 0

x xy y x y

x y x y



2 4 2 3 0

2 4 hoÆc 2 3

x y x y

x y x y

Do đó ta có:

2 2

2 4 ( )

4 2 74 5

4 2 7 2 3 ( )

4 2 7

x ya

xy x yx y

xy x y x yb

xy x y

Giải hệ (a):

2

2 4 2 42 4

4 2 4 2 4 2 74 2 7 8 16 11 0

x y x yx y

y y y yxy x y y y

Vì phương trình 28 16 11 0y y có ' 24 0 nên vô nghiệm. Do vậy hệ (a)

vô nghiệm.

Giải hệ (b):

2

3 22 3

4 3 2 3 2 2 74 2 7

3 2 13 2 1 2

2 3 1 0 1 1

2 2

x yx y

y y y yxy x y

x y x yx y y xy y

y y

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 11; 1 ; 2; .2

Nhận xét: Trong hệ trên chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa ngay về

dạng tích, tuy nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo

quy tắc cộng đại số ta nhận được một hệ mới, trong hệ mới này có một

phương trình đưa được về dạng tích.

BÀI TẬP.

Giải các hệ phương trình sau:

3 2 2 3 336 9 4 01) 2)

2 3

yx y xx x y xy yx

x y x y x y x x



2 2 2 2

3 3

2 22

2 2

2 13) 4)

2 1 2 2 1

3 2 4 165) 6)

1 5(1 )2 8

27)

4 5(2 )

xy x y x y x y x y x yx y y x x y x y

x y xy x y y xy xx y

x y

x y x y xy

2 2

2 2 2

2 2

2

2

3 ( 1) ( 3) 4 8)

2 1

2 2 2 5 4 49) 10)

1 2 5 4 16 8 16 0

2 2 511)

5 7

x x y y y xx xy y

x xy y y x y x x

y x y x x y xy x y

x xy yy xy x

2 2

2 2

3 3

2 23

2 2

12) 3

1 17 7

13) 14) 2 2 1

415)

1 1 2

x x y yx y x y

x yx x y y x yx y x y y x

x y x yx x y y y

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

* Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ra ẩn phụ

; ; ; u f x y v g x y ngay trong từng phương trình của hệ hoặc sau một số

phép biến đổi hệ đã cho.

* Thông thường việc biến đổi hệ chỉ xoay quanh việc cộng, trừ 2 phương trình

của hệ theo vế hoặc chia cả hai vế của một phương trình hay cả hai phương

trình của hệ cho một đại lượng khác 0 nào đó đã chỉ ra trong các phương

trình, nhờ đó nhận ra việc phải chọn ẩn phụ như thế nào cho hợp lí.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2

1 4

2 7 2

x y xy y

x y x y

(1) (Thi HSG tØnh Hng Yªn n¨m häc 2010-2011)

y (2)

Lời giải:

* Nhận thấy mọi cặp số ;x y với y = 0 đều không phải là nghiệm của hệ.

* Khi y 0 , chia cả hai vế của (1) và (2) cho y ta được hệ:



2

22

1 4

12. 7

x x yy

xx yy

Đặt 2 1xuy

v x y

, khi đó hệ trên trở thành: 2

42. 7

u vv u

Giải hệ phương trình:

22 2

44 4 1 93 52 4 72. 7 2 15 0

u vu v u v u uv vv vv u v v

hoÆc

* Với 13

uv

thay vào cách đặt ẩn phụ ta được:

22 21 1 1 21 2 0

2 53 33

x x xy x x xy

y yy x y xx y

hoÆc

* Với 95

uv

thay vào cách đặt ẩn phụ ta được:

22 21 9 9 1 9 46 0

5 55

xy x x x

yy x y x

x y

Hệ này vô nghiệm vì phương trình 2 9 46 0x x có 103 0 nên vô

nghiệm.


Nhận xét:

- Với hệ phương trình trên việc vận dụng các phép biến đổi tương đương một hệ

gặp khó khăn vì không thể sử dụng được quy tắc thế hay quy tắc cộng đại số.

- Để có thể làm xuất hiện những yếu tố được lặp đi lặp lại trong các phương

trình của hệ, nhờ đó ta đặt được ẩn phụ thì cần chia cả hai vế của từng

phương trình cho 0y .




02220964

22

224

yxyxyyxx

.

Lời giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 2) ( 3) 4 ( 2) ( 3) 4( 2) 22 0 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0x y x yx y x x y x

Đặt 2 2

3x uy v

, khi đó hệ phương trình trên trở thành:

2 2 4. 4( ) 8

u vu v u v

Giải hệ trên ta được 20

uv

hoặc 0

2uv

.

Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:

23

xy

; 2

3xy

; 2

5xy

; 2

5xy

.

Nhận xét:

- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt

ẩn phụ khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương

trình thứ nhất của hệ.

- Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo

x từ phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy

nhiên theo cách này sẽ xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải.


2 2

234 4 7

12 3

xy x yx y

xx y

Lời giải:

* ĐK: 0.x y

* Hệ đã cho được viết lại dưới dạng sau:

22

34 4 2 7

1 3

xy x y xyx y

x y x yx y



22

2 22

34 4 7

1 3

13 7

1 3

x y xyx y

x y x yx y

x y x yx y

x y x yx y

* Đặt 1 ; 2u x y u

x yv x y

, khi đó hệ đã cho trở thành: 2 23 2 7

3

u v

u v

* Giải hệ với ẩn phụ u, v ta có: 2 2 2 23 2 7 23 13133

u v uu vvu vu v

* Thay vào cách đặt ta được: 1 2 1 1

1 01

x y x y xx y

x y yx y

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: 1.

0xy

Nhận xét: Việc biến đổi hệ trong ví dụ này nhận thấy ngay phải sử dụng hằng

đẳng thức đáng nhớ để nhằm xuất hiện 2x y , đó chính là cơ sở để thực

hiện cách biến đổi hệ tạo điều kiện thuận lợi cho việc đặt ẩn phụ.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình sau: 2 3 2

4 2

54

5(1 2 )4

x y x y xy xy

x y xy x

(§Ò tuyÓn sinh §¹i häc khèi A n¨m 2008)

Lời giải:

Hệ đã cho tương đương với

2 2

2 2

5( )4

5( )4

x y xy x y xy

x y xy

.

Đặt 2x y a

xy b

, khi đó ta được hệ mới

2

54

54

a ab b

a b



Giải hệ phương trình mới nhận được ta có: 2

2 3 2

3 2

2

5 54 4

5 5 5 54 4 4 4

50 0; 4 4

5 1 3; 4 2 2

a ab b b a

a b a a a a

aa a a b

b a a b

* Với 0

54

a

b

, ta được

32 2

3 3

100

25 5

1004 4

4

xx y y x

xy xy

* Với

1232

a

b

, ta được:

22

3

1 1 12 2 33

2 3 0 22

xx y y xyxy x x

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : 3 310 100 3; ; 1; .

2 4 2

Nhận xét:

Qua ví dụ này cho thấy với kiến thức lớp 9, học sinh hoàn toàn có thể tiếp

cận được đến việc giải các hệ không mẫu mực ngay cả trong đề thi vào các

trường Đại học. Rõ ràng với phương pháp đặt ẩn phụ giúp chúng ta giải được

nhiều hệ tương đối phức tạp bằng cách đưa về việc giải các hệ đơn giản hơn.

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau: 21 1 4 3.

322

x y x y x y

x y

Lời giải: * ĐK: 0x y * Đặt ; 0.t x y t Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :

1 2 2 1 2 11 3

11 2 2 1 01 3

1 1 (Do 0 nên 2 1 0).2 1 3

t t tt t

t tt t

t t tt t



Do đó hệ đã cho trở thành

2132

3 122 6

xx y

x y y

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất: 2 1; 3 6

.

Nhận xét: - Trong ví dụ trên việc đặt ẩn phụ lại không tiến hành theo lối thông

thường, là biến đổi hệ để xuất hiện biểu thức đặt ẩn phụ mà việc đặt ẩn phụ chỉ tiến hành ở phương trình thứ nhất của hệ nhằm đưa phương trình thứ nhất về dạng đơn giản, nhờ đó mà ta giải được hệ phương trình.

- Như vậy có thể nói, việc đặt ẩn phụ đòi hỏi người giải toán phải hết sức linh hoạt trong việc chọn giải pháp biến đổi hệ đã cho nhằm xuất hiện bộ phận cần đặt ẩn phụ. Cũng có khi việc đặt ẩn phụ chỉ nhằm mục đích biến đổi một phương trình của hệ thành phương trình mới tương đương với với phương trình ban đầu nhưng ở dạng đơn giản hơn, chính vì vậy giúp ta có thể giải được hệ phương trình đề toán đặt ra.

BÀI TẬP.


2

2

2

2 222 2

2 2

2 2

11 51 41) 2)

1 2 1 4

15 2 43) 4) 1 1 3

85

3 2.1

5)

x yx y y x y xyx y x y xy

xy

x y x y x y y x xyy xx

x y x xy yx yy x

yx y x

2

2 2 2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2

2 2

22 2

1 12 26)

4. 22 2 2

121 27) 8)

1 12

39)

7

x xy

xx y y y x yy

x y x yx y x y xyx x y xy y xy y x y

x xy y x y

x xy y x y

2

23

2 3

1 11 410)

1 4

x xy y

x x xy y y



3 3 3 2 2

2 2 3 3

2 22 2

2 22 2

2

8 27 7 2 111) 12)

4 6 2 2

3 2 1 13113) 14)

254 22

( 1)( 1)( 2) 615)

x y y y xx y x y x y y x

yx y x yx y x

x x y x yx yy

x y x yx

2 2

2 4 2 2

4 3 2 2

3 2

2 2

2 3 15 016)

2 2 3 0 2 4 5 0

12 1 117) 18)

13 2 4

1 219) 2

( 1)( 2) 6

x y x yy x y x y x y

x x y x yx y x yx y x xyx y

x yx y

xy x y x y

21 1 4 3.20) 32

2

x y x y x y

x y

3. Phương pháp đánh giá

Với phương pháp này đòi hỏi người làm toán phải tiến hành đánh giá giá trị hai vế của một hoặc hai phương trình trong hệ. Nhờ đó ta có thể thu hẹp được miền giá trị của các ẩn, tạo điều kiện cho ta chỉ ra nghiệm của hệ hoặc chứng minh hệ đã cho vô nghiệm.

Tuy nhiên với phương pháp này, đòi hỏi người làm toán cần nắm rất vững kiến thức về bất đẳng thức, các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Dưới đây là một số ví dụ có tính chất minh hoạ cho phương pháp này.


1

3 2 8

zx y

z x

Lời giải:

Xét phương trình thứ nhất của hệ ta có:

2 22

10 1 1 1 4 1 31

x y x y z zx y

Mặt khác từ phương trình thứ hai của hệ ta có: 3 0 3z z .

Do vậy ta suy ra 3z và 2 8 4x x .



Thay 4, 3x z vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4.y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ; ; 4; 4; 3 .x y z

Nhận xét:

- Đối với các hệ phương trình mà số ẩn nhiều hơn số phương trình có

trong hệ, thì ta thường tìm cách đánh giá giá trị của một ẩn nào đó.

- Ta cũng có thể giải hệ trên bằng cách đánh giá như sau:

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có:

2 2

8 2 0 43 8 2

3 8 2 4 8 2 1 1

x xz x

z x z x

Do đó từ phương trình thứ nhất của hệ ta có:

2

21 1 0 .

1x y x y

x y

Thay x y vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3z . Thay 3z

vào phương trình thứ hai ta được 4.x y

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: ; ; 4; 4; 3 .x y z

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau 2

2

2 2

11 1

2

y x zy

x y y

Lời giải:

ĐK: 1y .

Đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất của hệ ta có:

22

11 1 1y x zy

Suy ra:

22

22

1 1 1

11 1 1

1 ( 1)

y x zy

y x zy

x zy y

Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

Thay 1y vào phương trình thứ hai của hệ ta có 2 1 1x x .



Với 1 1,x z với 1 1.x z

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 1; 1; 1 ; 1; 1; 1.

Nhận xét:

- Cũng như ví dụ 1, trong hệ phương trình trên có số ẩn nhiều hơn số

phương trình của hệ,do đó ta cũng phải tìm cách đánh giá giá trị các

vế của phương trình từ đó xác định được giá trị của một trong các ẩn.

- Ta cũng có thể giải hệ trên bằng các cách đánh giá theo các cách biến

đổi khác nhau, xuất phát từ các phương trình cũng như từ những đặc

điểm riêng khác nhau.


2 2

69781

3 4 4 0

x y

x y xy x y

Lời giải:

Phương trình thứ hai của hệ được viết lại như sau:

2 23 4 4 0x y x y y

Phương trình trên là phương trình bậc hai với ẩn x có 2 23 4 2x y y

Để phương trình có nghiệm thì 70 13x y .

Tương tự coi phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai với ẩn y ta

cũng có: 40 .3

x

Từ đó suy ra: 4 2

4 2 4 7 697 4 7. ; 3 3 81 3 3

x y x y

.

Thay 4 7; 3 3

x y vào hệ ban đầu thấy không thoả mãn. Vậy hệ đã cho vô

nghiệm.

Nhận xét:

Trong ví dụ thứ 3 này, chúng ta đã sử dụng điều kiện có nghiệm của

phương trình bậc hai để xác định miền giá trị của hai ẩn x và y, từ đó tiến

hành đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất rồi suy ra giá trị của x



và y phải nhận.Tuy nhiên, phép biến đổi như trên là không tương đương nên

ta phải đem cặp giá trị (x; y) tìm được thay vào hệ ban đầu để kiểm tra xem

chúng có đúng là nghiệm của hệ hay không.


2 2

1 3 5 1 3 5

80

x x x y y y

x y x y

Lời giải:

ĐK: 15.

xy

Nhận thấy nếu thay 6x y vào phương trình thứ nhất của hệ thì vế trái bằng

vế phải. Do đó ta xét các trường hợp sau:

* Nếu 6x y thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

1 3 5 5 3 1VT x x x y y y VP

Do vậy hệ không có nghiệm khi 6x y .

* Nếu 6x y thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:

1 3 5 5 3 1VT x x x y y y VP

Do vậy hệ không có nghiệm khi 6x y .

Do đó hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:

22 2 2

2 2

66

80 6 6 80

6 6

2 11 50 0 5 25 0

7 5 5 7 5 52 2

5 5 5 5 5 5 .2 2

x yx yx y x y y y y y

x y x yy y y y

x x

y y

hoÆc

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 7 5 5 5 5 5 7 5 5 5 5 5; ; ; .2 2 2 2

BÀI TÂP.




2 2

33

9 2 1 44 2 6

4 2 61) 2)

9 5 . 5 1 3

32 6 23) 4)

1 1 1 12 3 2

5)

x y x y x y x yy x y x

y x y x

y x y y x y x y x

x x y zy x yy

x y z xyzx x y x y

x y

2

2

2

22

2

2

22 2 2

22 2 2

2

21

2 2 6) 12 42

11 23

7) 8) 1 29

1

x yx

z y zyxy z

z xz

x y zx y zy z xx y z

y z x z x y

2

C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

I. GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM

Dưới đây tôi xin giới thiệu một giáo án của một tiết triển khai sáng kiến sau khi học sinh lớp 9 đã được học xong công thức nghiệm của phương trình bậc hai tại lớp 9B trường THCS Đoàn Thị Điểm năm học 2012 - 2013. A - MỤC TIÊU:

Sau khi học xong tiết học này:

- Học sinh nằm được một số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao, như phương pháp thế, phương pháp đưa về phương trình tích.

- Học sinh biết vận dụng phương pháp trên để tiến hành giải một số bài tập cụ thể thuộc kiểu bài lên lớp của tiết học. B - CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH:

GV: Giáo viên chuẩn bị hệ thống kiến thức có liên quan đến chủ đề, các ví dụ và bài tập điển hình nhằm nêu bật được nội dung phương pháp.



HS: Nằm vững về phân tích đa thức thành nhân tử, các phép biến đổi tương đương một hệ phương trình (phương pháp thế, phương pháp cộng đại số). C - TIẾN TRÌNH DẠY - HỌC:

HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ

Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ

GV:

- Nêu quy tắc thế để giải hệ

phương trình?

- Áp dụng giải hệ phương trình

sau: 2 3 73 14

x yx y

.

GV: Gọi HS nhận xét câu trả lời

và bài làm của HS1 trên bảng.

GV:

- Nêu quy tắc cộng đại số để giải

hệ phương trình?

- Áp dụng giải hệ phương trình

sau: 3 2 45 2 12

x yx y

.

GV: Gọi HS nhận xét câu trả lời

và bài làm của HS2 trên bảng.

GV: Quy tắc thế và quy tắc cộng

đại số mà các em đã được học để

giải hệ hai phương trình bậc nhất

hai ẩn.

Với việc vận dụng hai quy tắc trên

HS1: Phát biểu quy tắc thế gồm 2

bước như SGK.

Áp dụng:

2 3 3 14 72 3 7

3 14 3 14

7 35 53 14 1.

x xx yx y y xx x

y x y

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

5; 1 .

HS2: Phát biểu quy tắc cộng đại số

gồm 2 bước như SGK.

Áp dụng:

3 2 4

5 2 12

3 2 5 2 4 123 2 4

8 16 23 2 4 1

x yx y

x y x yx yx xx y y

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

2; 1 .



còn giúp các em giải được nhiều

loại hệ phương trình khác nữa.

Bài học hôm nay, thày và các em

cùng đi tìm cách vận dụng các

quy tắc trên để giải một số hệ

phương trình không phải là hệ hai

phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hoạt động 2: Vận dụng quy tắc thế để giải hệ

Dạng 1: Vận dụng quy tắc thế

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

2 2 6 153

x y x yx y

GV: Với hệ phương trình trên các

em nhận thấy ta không thể sử

dụng quy tắc cộng đại số được.

Tuy nhiên, ở phương trình thứ hai

của hệ là phương trình bậc nhất

đối với ẩn x, bậc nhất đối với ẩn

y. Do đó, ta có thể vận dụng quy

tắc thế để tính x theo y (hoặc tính

y theo x) rồi thế vào phương trình

thứ nhất ta nhận được phương

trình chỉ là một ẩn, vì thế ta có thể

tìm được giá trị của các ấn.

GV: Gọi một HS lên bảng giải hệ

trên.

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

Lời giải:

2 2

2 2

2

6 15

3

(3 ) 6(3 ) 153

2 11 12 03

34 2

3

34 2

1 32

x y x yx y

x x x xy x

x xy x

x x

y x

xxy y

hoÆc

hoÆc

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:

3 34; 1 ; ; .2 2

HS:



2 2

4 2 2

2 3 15 02 4 5 0

x y x yx y x y

GV: Trong hệ phương trình trên

chúng ta nhận thấy phương trình

thứ nhất của hệ là bậc nhất với ẩn

y, nên ta có thể sử dụng phương

pháp thế.

GV: Gọi 1 HS lên bảng tiến hành

giải hệ, HS dưới lớp làm bài vào

vở.

GV: Như vậy, qua ví dụ này các

em thấy nếu ở một phương trình

của hệ là bậc nhất với một ẩn nào

đó thì việc vận dụng quy tắc thế

có thể giải được hệ. Tuy nhiên,

khi sử dụng quy tắc này thường

dẫn đến một phương trình bậc

cao, mà việc giải chúng đòi hỏi

các em phải nhẩm được một vài

nghiệm hữu tỉ của nó rồi tiến

hành đưa phương trình về dạng

tích.

2 2

4 2 2

2

2

22 24 2

2 2

2

2

8 6 4 2

2 3 15 0

2 4 5 0

15 23

15 2 15 22 4 5 03 3

15 2 (1)3

4 4 144 0 (2)

x y x yx y x y

xyx

x xx xx x

xyx

x x x x

* Giải phương trình (2):

8 6 4 2

2 6 4 2

2 4 2

4 4 144 0

4 4 144 0

2 2 8 32 0

02

2

x x x x

x x x x

x x x x x

xxx

Từ đó ta tìm được các nghiệm của

hệ:

(2; 1), ( 2; 1), (0; 5).

Hoạt động 3:

Đưa một phương trình về dạng tích rồi vận dụng quy tắc thế để giải

hệ


Lời giải:



124)3()1(3 22

yxyxxyyyxx

GV: Với hệ trong trường hợp này

ta không thể áp dụng ngay quy tắc

thế vì cả hai phương trình của hệ

đều không là bậc nhất với ẩn x

hay ẩn y. Tuy nhiên ta có thể biến

đổi phương trình thứ nhất của hệ

về dạng tích và sau đó ta tiếp tục

vận dụng quy tắc thế cho các hệ

mới nhận được.

GV: Trình bầy mẫu với hệ trong

ví dụ.

GV: Như vậy, chúng ta thấy

phương pháp thế vẫn được sử

dụng trong ví dụ này. Sau khi thế

ta nhận được một phương trình

của hệ là phương trình bậc hai với

ẩn x, ta có thể sử dụng công thức

nghiệm để giải.

2 2

2

3 ( 1) ( 3) 4

2 1

3 4 02 1

1 4 02 1

1 02 1

4 02 1

x x y y y xx xy y

x y x yx xy y

x y x yx xy y

x yx xy yx yx xy y

* Giải hệ: 1 02 1

x yx xy y

2

1 0

2 1

11 2 1 1

1 1; 01; 21

x yx xy yy xx x x x

y x x yx yx

* Giải hệ: 4 02 1

x yx xy y

2

4 0

2 1

44 2 4 1

45 9 0

x yx xy yy xx x x x

y xx x

Hệ này vô nghiệm vì phương trình 2 5 9 0x x vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

1; 0 , 1; 2 .




2 2

2 5 2 0 (1)4 0 (2)

x y xy y xx y x y

(Đề thi tuyển sinh THPT chuyên

Hưng Yên năm 2012)

GV: Các em hãy tìm cách phân

tích phương trình thứ nhất của hệ

đưa về dạng tích rồi từ đó giải hai

hệ phương trình nhận được.

GV: Gọi 1 HS lên bảng biến đổi

và giải hệ đã cho.

GV: Gọi học sinh dưới lớp nhận

xét bài làm của bạn trên bảng.

Lời giải:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 5 2 0

4 0

2 2 1 0

4 0

2 0 (a)

4 0

2 1 0 (b)

4 0

x y xy y xx y x y

x y x y

x y x y

x yx y x y

x yx y x y

* Giải hệ (a):

2 2

22

2

2 0

4 0

2

2 2 4 0

2 112 1 0

x yx y x yy x

x x x x

y x xyx x

* Giải hệ (b):

2 2

22

2

2 1 0

4 0

2 1

2 1 2 1 4 0

2 15 4 0

11

45135

x yx y x yy x

x x x x

y xx x

xy

x

y

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:

4 131; 1 ; ; 5 5

.



Hoạt động 3: Hướng dẫn học tập ở nhà

- Xem lại các ví dụ.

- Làm các bài tập sau:

22 2

2

2 2 3 3

2 2 2 2

2 2

2 2 53 ( 1) ( 3) 41) 2)

2 1 5 7

7 73) 4)

3 2

45)

1 1 2

x xy yx x y y y xx xy y y xy x

x x y y x x y yx y x y x y x y

x y x yx x y y y

II. KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM

1. Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm

Để có kết quả đối chứng trước khi tiến hành dạy thực nghiệm đối với học sinh, tôi đã tiến hành cho 32 học sinh lớp 9B trường THCS Đoàn Thị Điểm năm học 2012-2013 làm bài kiểm tra tiền thực nghiệm với nội dung đề bài như sau:

ĐỀ BÀI:

Giải các hệ phương trình sau: 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 3 2 3 0) )

2 9 5 3 6 0

2 13) )

5 4 2 11 7 13 6 18

x y x y xy x ya b

x y x y x y x y

x y x y xyc d

x xy y x x y

BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TIỀN THỰC NGHIỆM

Điểm 0 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10

Dưới

trung

bình

Trên

trung

bình

Số lương (32 hs) 14 12 6 0 0 26 6

Tỉ lệ % 44% 38% 18% 0% 0% 82% 18%



2. Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm

Sau khi tiến hành triển khai nội dung của sáng kiến với chuyên đề “Giải hệ phương trình không mẫu mực” đối với 32 học sinh lớp 9B trong nhóm thực nghiệm tại trường THCS Đoàn Thị Điểm năm học 2012-2013, tôi tiến hành cho nhóm học sinh làm bài kiểm tra hậu thực nghiệm với nội dung đề như sau:

ĐỀ BÀI:

Giải các hệ phương trình sau: 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

3 2 2 3 6 3 0) )

3 2 3 4 3 3

5 2 0 2 4 0) )

5 2 0 2 3 0

x y x y xy x ya b

x y x y x y x y

x xy x x y xy xc d

y xy y x xy x y

BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ HẬU THỰC NGHIỆM

Điểm 0 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10

Dưới

trung

bình

Trên

trung

bình

Số lương (32 hs) 0 4 5 11 12 4 28

Tỉ lệ % 0% 12% 16% 34% 38% 12% 88%

3. So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm

05

1015202530354045

Điểm0-2

Điểm3-4

Điểm5-6

Điểm7-8

Điểm9-10

Trước thực nghiệmSau thực nghiệm

BIỂU ĐỒ SO SÁNH KẾT QUẢ TRƯỚC VÀ SAU TIẾN HÀNH DẠY THỰC NGHIỆM



Nhận xét.

Nhìn vào biểu đồ ta có thể nhận thấy:

- Kết quả khảo sát trước khi tiến hành dạy thực nghiệm cho thấy, học sinh hầu như chưa có kỹ năng vận dụng các phương pháp thế, phương pháp cộng đại số vào việc giải các hệ phương trình không mẫu mực thuộc kiểu bậc hai khá đơn giản. Kết quả là 82% học sinh chỉ đạt điểm dưới 5, hơn thế nữa kết quả học sinh đạt điểm trên trung bình chỉ ở mức 5-6 điểm.

- Kết quả khảo sát sau khi tiến hành dạy thực nghiệm đã thể hiện rất rõ mức độ nắm vững kiến thức cả về phương pháp và kỹ năng vận dụng các phương pháp đó vào việc giải các hệ phương trình cụ thể. Không có học sinh đạt điểm 0, số học sinh điểm dưới trung bình chỉ là 4 học sinh; điểm trên trung bình chủ yếu là điểm từ 7 đến 10.

D. KẾT LUẬN

I. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ

- Do vấn đề hạn chế về mặt kiến thức toán, phương pháp giải toán của học sinh THCS, nên trong sáng kiến kinh nghiệm này mới chỉ đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực phù hợp với trình độ năng lực của đối tượng là học sinh lớp 9 của bậc học trung học cơ sở. Trong thực tế, để giải các hệ loại này ta có thể sử dụng các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức như bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, … để tiến hành đánh giá.

- Trong sáng kiến này tôi cũng không đề cập đến một loại hệ phương trình cũng thường gặp, đó là hệ phương trình hoán vị vòng quanh, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp, vì đây là những loại hệ về cơ bản đã có hướng giải quyết chung cho chúng.

- Kết quả thực nghiệm của sáng kiến này chỉ mới tiến hành trên một số lượng học sinh là 32 em, với đối tượng và chủ yếu là học sinh khá, học sinh giỏi mà chưa tiến hành thực nghiệm trên các đối tượng học sinh trung bình, học sinh ở các đơn vị trường học khác. Vì vậy, kết quả thực nghiệm có thể



chưa thực sự chuẩn xác và có tính thực tiễn cao đối với các đối tượng học sinh trung bình trở xuống.

- Hệ thống bài tập luyện tập tác giả đã cố gắng lựa chọn và sắp xếp nhằm mục đích làm tài liệu để học sinh có thể luyện tập, giáo viên có thể lấy làm bài tập tham khảo. Tuy nhiên, do thời gian tiến hành nghiên cứu và hoàn thiện sáng kiến còn ít nên các bài tập đưa ra có thể chưa phong phú, chưa phát huy được hết khả năng tư duy của học sinh trong quá trình học tập. II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Khi thực hiện áp dụng sáng kiến của mình vào thực tế giảng dạy tại trường THCS Đoàn Thị Điểm, bản thân tôi đã nhận thấy một số bài học kinh nghiệm cân được nêu ra để các đồng nghiệp nghiên cứu và vận dụng vào công tác giảng dạy bộ môn Toán nói chung và đặc biệt là nội dung “Giải hệ phương trình không mẫu mực” nói riêng đạt kết quả tốt hơn đó là:

1. Chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực là một chuyên đề khó đối với học sinh, đặc biệt là đối với học sinh THCS. Tuy nhiên nội dung này thường được đưa vào các đề tuyển sinh vào các trường chuyên, lớp chọn và các đề thi học sinh giỏi. Vì vậy, việc giảng dạy chuyên đề này cho đối tượng là học sinh THCS đòi hỏi giáo viên cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức cho học sinh, nhất là các nội dung:

- Các phương pháp giải phương trình đại số như: phương pháp đưa về phương trình tích; phương pháp đưa về dạng tổng các bình phương; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp sử dụng tính đối nghịch (phương pháp đánh giá giá trị hai vế của phương trình); phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của một đa thức; … Tất cả các nội dung này giáo viên cần chuẩn bị chu đáo cho học sinh ngay từ giữa học kì II của lớp 8.

- Các quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình: quy tắc thế và quy tắc cộng đại số, học sinh được học ở chương III. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình Đại số 9.

2. Thực tế qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân của tác giả nhận thấy, tuy là một chuyên đề khó đối với học sinh nhưng nếu giáo viên tận tâm,



nhiệt tình thì việc giúp học sinh tiếp thu nội dung kiến thức của chuyên đề này không quá khó khăn.

3. Với mỗi hệ phương trình không mẫu mực thường có khá nhiều cách giải khác nhau, do đó khi giảng dạy giáo viên cần phát huy tính sáng tạo của học sinh. Giáo viên nên hướng dẫn học sinh tiếp cận đến cách giải hệ cần rất linh hoạt, tuỳ vào đặc tính riêng của từng hệ, cố gắng cho học sinh giải các hệ đưa ra bằng các phương pháp khác nhau, đặc biệt là các phương pháp mà học sinh đã được tiếp cận trước đó.

4. Do mức độ tư duy của học sinh THCS còn hạn chế, nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên cần hết sức bình tĩnh, từng bước hướng dẫn các em phân tích đặc điểm riêng biệt của từng hệ trên cơ sở phân dạng theo đường lối chúng. III. KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

- Như đã trình bầy trong nội dung lí do chọn sáng kiến, sáng kiến kinh nghiệm này được viết nhằm mục đích phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đối với học sinh lớp 9 của cấp THCS và ôn tập thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT.

- Những nội dung trong sáng kiến cũng có thể làm tài liệu cho học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn tập thi vào các trường Đại học, Cao đẳng, làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp bộ môn Toán của bậc THCS và THPT.

- Để có thể triển khai nội dung của sáng kiến này đạt kết quả tốt đối với học sinh, đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị cho học sinh các kiến thức về: các phương pháp giải phương trình đại số; phương pháp giải hệ đối xứng, hệ đẳng cấp; các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức.

- Đối với học sinh lớp 9 của bậc THCS, ta chỉ nên áp dụng sáng kiến này khi học sinh đã được học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai, tốt nhất là khi học sinh đã hoàn thành chương trình toán của bậc THCS và chuẩn bị ôn thi học sinh giỏi vào cuối năm, ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT.



IV. KẾT LUẬN CHUNG

Giải hệ phương trình không mẫu mực luôn là một yêu cầu khó trong các đề thi, để kiểm tra. Để giải được những hệ loại này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về phương trình và hệ phương trình, học sinh phải rất linh hoạt về cách giải cho từng hệ khác nhau. Với đặc điểm này mà ta có thể đánh giá được tính mềm dẻo, tính linh hoạt trong tư duy của học sinh, khả năng phát hiện tình huống có vấn đề tốt của người học. Đây chính là lí do mà nội dung các đề thi chọn học sinh giỏi của bậc THCS cũng như của bậc THPT và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng hiện nay hầu như không thể thiếu được yêu cầu này.

Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp huyện, cấp tỉnh và đặc biệt là ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các trường chuyên, lớp chọn trong và ngoài tỉnh. Tác giả hy vọng sáng kiến kinh nghiệm của mình có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp giảng dạy toán, góp phần giúp cho nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi bậc trung học.

Yên Mỹ, ngày 12 tháng 3 năm 2013

Người viết sáng kiến

Nguyễn Văn Hiến



TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Một số vấn đề phát triển đại số 9 – Vũ Hữu Bình (NXBGD); 2/ 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng (NXBGD); 3/ Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS phần “Đại số” – Nguyễn Vũ Thanh (NXBGD); 4/ Toán nâng cao và các chuyên đề “Đại số 9”

- Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (NXBGD); 5/ Tuyển tập 30 năm Toán học và tuổi trẻ – (NXBGD) 6/ Đại số 10 – Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh

Hùng, Nguyễn Tiến Tài (NXBGD) 7/ Phương trình bậc hai và một số ứng dụng – Nguyễn Đức Tấn, Vũ Đức

Đoàn, Trần Đức Long, Nguyễn Anh Hoàng, … (NXBGD)

Documents

Phuong Phai Giai Phuong Trinh Khong Mau Muc