Phuong Phap Toa Do Voi Bai Toan Hinh Hoc Phang_HVA

8/3/2019 Phuong Phap Toa Do Voi Bai Toan Hinh Hoc Phang_HVA

http://slidepdf.com/reader/full/phuong-phap-toa-do-voi-bai-toan-hinh-hoc-phanghva 1/12

........G PHAp TOA DO V~I BAI ToAN• •

, ~

HINH HOC PHANG•

Ha Vii Anh •

Tnrong THPT Chuyen Vinh Phuc

T6m tAt nQi dung

Thong cac ky olimpic, bai toan hlnh hoc c6 di@n luon Ill,mot trong nhUng bai

toan hay. Cai hay eiia bai toan khong chi d d O kh6 ciia bai toan, rn a con inchtratrong k~t quA ciia bai toan, nhtrng dijc trung, tfnh chA t hlnh hoc diroc khai thac.

v~m~t nguyen t A c , bA t ky mO t b ill tOM hlnh hoc nao cung c6 th@ giai diroc bang

phirong phap toa d O (phuong phap d~ 86) . Thy nhien, nhi~u bAi toan hlnh hoc giai .

b A ng ph iron g phap tOng hop thong t huC1ng lai di d@ n k~t qua mot each kha nhanhchong, va dirong nhien le n giM eiing dep hon nhieu. Ciing vij,y, nhieu bai toan hlnh

hoc diroc giAi mot each nhanh c h6ng , gon gang, n@ u sic dung phtrong phap vecto,

C6 th@ n6i rAng, phuong phap toa d O 18.mot phtrong phap van nang, c6 th@ giAi

dircc moi bai toan hlnh hoc. Nhung viec giai nhanh hay cham, lai ph" thuQc rit

nhieu V80 phtrong phap, ky nang tinh toan cua chung ta, phu thuoc V80 viec chon

h~ true toa dQ Inc ban d A , u nhir th~ nao,

Cac boo toan diroc trlnh bay trong baa c o o nay, d~u dtroc giai bA ng phirong phap

toan dQ, mac du Cling c6 th@ dtlQc gi8,ibbg phtrong phap khac, Vi~c ti~p can , khaithac bai toan tit nhieu hirdng, nhieu khfa canh se dem lai nhfmg IfJi Ich ldn,

Do khuon k h O ciia bal vi@t, trong b a n baa c o o nay, cluing toi chi d~ c~p d~n

viec giru toa n h lnh hQC phbg trong he toa dQ Descartes vuong g6c , chii khong neu

phirong phap giai bA ng hlnh hoc af in, trong h~ toa d o af in. va chung toi Cling chi

trmh viec chon h e true toa dO nhir th~ nao khi ti~p c~ vdi moi bai tom hinh hoc

c6 di~n. Vi~c giAi toan hinh hoc bbg cong cu toa d O , khong chi don thudn la tfnh

toan tren cac bi@uthirc. Di~u quan trong nhit, cAn phai c hon dtrcc mot h e toa dQ

thich hop; ngoai ra, khai thac tO t cac tfnh c hA t , d~ trung hlnh hoc ciia bai toan se

giup cho qua trlnh toan don gian, hieu qua va nhanh gon hon.

?

36 Phtrong phap toa dQ giai toan htnh hoc phang

Khi dirng trirdc mot bai toan hlnh hoc, chung ta thirong xem xet, phan tfch ky canggia thi~t, k~t luan ciia bai toan, nham muc dich tim toi lbi giai cho bai toan. .

N~u cac y~u t6 cho trong bai toan nhu giao di~m, trung di~m, tfnh song song, tinh:

vuong g6c ... thl phirong phap toa dt) la mot hra ChQD tfit d~ giai hili toan. Thy nhien, n~u

trong bai toan co nhieu hon mot dirong tron, co dirong phan giac hay dien tfch cua hmh,

ta cfing c o th@ c hon m O t he toa dQ thfch hQP d~ giro.

VA n d~ d~t ra lit h~ toa de. d6 s e duoc chon nhir th~ nao? Chung ta hay cung tim hi~uvAn d~ nay thong qua mot s6 V I du sau.

Vi d~ 1.Cho di~m A nam tren dirong tron (0) va goi (~) 18.ti~p tuyen tai A cua dirong

tron (0). Xet diem M trong mat phang c6 tfnh ch~t khoang each til M tdi (6.)

bang dQ dai ti~p tuyen MT ke tdi dirong tron (T E (0)).



1. Tim quy tfch M

2. Chirng minh r~ng dirong tron tam M, ban kinh MT luon ti~p xuc vdi mot dirong

tron c6 dinh ..

gidi. 1. Chon h~ true toa dQ A x y sao cho A ( O ; 0), O ( R ; 0) [va do do dirong th!ng ~ ,

c o phirong trlnh x 0 ) .Khi do, voi moi di~m M(x ; y) trong h~ true, ta coM H - d{M ; Ay) I x l v aMT2 /\402 OT2 (x - R)2 + y2 'R 2 . ·

M H MTLx2(x R)2 + y 2 R2Ly2 2 R x .

Suy ra M chay tren parabol P : y 2 2Rx.

NgllQC l~i, vdi m6i di~m M(frt; Y ) E P thi d ( M ; Ay) ¥ i va

y 22R-R

2 2

Y2 R

•

Do do MT d(M; Ay ) .

V~y, quy tich di~m M cA n tlm Iii dirong parabol, c6 dinh tai A, tieu di~m Ill,trung

di~m Icua A O

I

II

I

A 1 o

Hinh 1

2. GQi.£ la dirong chuan cua 'P , khi do l c o phirong trtnh x~. .

Tit gia thiet, suy ra, v(ji M(xo ; Y o ) , thl M I d(M; £) Xo + ~ , M T +~.V~y, duong tron tam M, ban kfnh MT luon ti~p xuc voi duong tron duong kfnh AO

c6 dinh .•

xet .•

(i) N~u b o gia thi~t ~ ti~p xtic vdi (0) thl quy tfch lit mot parabol, thu duoc parabol

d tren b~ng mot phep tinh ti~n theo phirong dirong thing qua 0 vuong g6c vdi tl.

(ii) D~ Y r~ng, dirong tron tam M, ban kinh MT true giao vdi duong tron (0). Do d o ,phep nghich dao C1]C 0, phuong tich R2 giu bA t bi~n hai dirong tron nay, bien ~



,thanh dirong tron dtrong kinh AO. Ttl do, do tinh baa giac va tinh d6i hQP cua phep

nghich dao, suy ra dirong tron t a m . M, ban kfnh MT luon ti~p XUC vdi dtrong tron

dirong kinh AO. K~t hQ P voi dinh nghia parabol, ta cung diroc quy tich cua M la? ?

parabol c6 dinh A, tieu diem 18.trung diem AO

Vi d1' 2. Cho di~m A 11[lTI tren dirong thing b,.. Xet B, C trong mat phang sao cho

AB -- b,AC c, ( b , c > 0 cho trudc) va dirong th!ng !la phan giac cua gae'

LBAC. GQi M la dinh thli tu cua hlnh blnh hanh dung tren hai canh AB va AG.

. Tim quy tfch M. .

LiJi gidi.· Trude het, tit gia thi~t ta nhan diroc B, C n~m v~ cimg mot phfa ciia dtrong

th~ng qua A, vuong g6c vdi tl. va cac dirong t hAng AB, AC d5i ximg nhau qua

dirong th!ng tl.. Chon h~ ·tr\1c toa dQ A xy sao cho B(b1; b2 t C Cl; C2) trong d6..--....~ ~

b~+ b~ v,ci + 4 c2, va b1Cl > 0, b2C2 < o . Khi do, do AM AB+AC nen

M(b 1 + Cl; b2 + C2)

+ Neu b1Cl · 0 thl M (O ; b 2 + C 2 ) E Ay

+ N~u b1Cl = I 0 thl Kh6ng m A t tfnh tfrnh quat, coi b2 - kb1, C2 -

k f 0,00.

Khi do tu gia thi~t suy ra

,-

B

A

Hlnh 2.

Tit do, vdi M(x; y ) thi x b1+ Cl, Y b2 + C2. Suy ra

x b1 +.Cl x2 - b~+ c~+ 2b1Cl Do (I) x2

y 2

y-

Vi v~y,M chay tren duong elip co phirong trlnh cho d (*)

Vi dy, 3. Cho ba di~m A, B va C thiing hang theo thu tl1, goi tl,. la dtrong th!ng vuong

goc v oi dirong thAng AC tai B. V{Ji moi di~m S E /)"" goi D Iii giao di~m cuaduong thang qua B vuong g6e vdi se vdi dtrong th!ng SA. TIm {D }

Lai giai. Chon h~ toa dQ Bxy sao cho A ( - a; 0), C(c; O)(a , c > 0),8(0, s ) , s = I O.Khi d6.

(S A ) : = + ¥ _ 1, isc». - = + ¥ _ 1 } > (B D ): ~ ~ 0a s c sse



Til d6, toa dQ cua D la nghiem cua h~

-: + I I 1a 8

~ 1 1 . 0s c

,

Innh3•

Khii s til h e , ta thu diroc x : +~ x

Hay( X + ~ ) 2 y 2

a2 ac =1 (*)2 2

V~y, khi S chay tren khg,p true tung, thl D cha y tren duong hyperbol (*)

Nh(i,nzit. DB i vdi c a c V I d\11,2 thl chiing ta khong c6 nh ieu s111 11achon trong viec chon

h~ true toa dO . Nhung d6i v d i vi du 3, tA t .nhien true hoanh se v a n I l L dtrong th!ng

AC, nhimg g6c toa dO hoan toan c6 t h @ chon 18.mot trong ba di~m A, B hay Choac mot di~m bA t Icy n a n d6 tren duong thang. Viec 111a chon g6c toa d(>tai B

khien cho viec tfnh toan c6 v e don g iAn hon (vi~t phirong trlnh cac duong thAng,

giai h~ tirong giao, ... )

Vi d" 4. (APMO 1998) Cho tam giac ABC vdi dirong cao AD, J la mO t dirong thing

di qua D. LAy E~F E s , kha c D, sao cho AE ..l BE, AF ..l CF. GQ i M, N thea...

thli tu la trung di@m c ua cac doan thing BC~EF. Chung minh rAng AN .L MN

Lili gitii.

..

N

•

F

Innh4

Chon A lam g6c toa dC),true hoanh chua d l 1 C 1 n g thing qua A song song v(Jj 6 .

Giit sa D(d; a ), E(e; a) , F ( f ; a) = > N(~; a ). .

Khi do, dirong thAng AE c o phirong trlnh ax e y 0,

duong thbg AD c6 phuong trlnh ax dy 0,

duong th!ng AF c o phirong trlnh ax - fy O.



Tit do, do BE j_ EA nen BE c o phuong trlnh ex + ay " . e2 a2 0 ,

do CF j_ AF nen CF c6 phirong trlnh fx + ay /2 a2. 0,

do Be .L AD nen Be c o phirong trlnh dx + ay -- d2 a2 0

Tit do tim diroc B(d + e·a d e ) C(d + f· a §..). Suy ra M (d + e-tl· a d (e + :/) ), · 'a ' 'a 2 ' 2a

. - . . i I I I i a . : } M 1 ' 1 , _ - ( -d : d(e+f» ) = = " > MN ·A N d · e+[ + a · d(e+f) 0 di~u phai chirng& , 2a 2. 2a

minh.

Nh~n ~et. Viec chon h e toa dQ sao cho B, C tren true hoanh, A, D tren true tung li t

hoan toan hQ P l Y e Thy nhien, cluing ta se g~p kh 6 khan khi tim toa dQ E, F .•

Cting v~y, n~u chon A lam g6c, true hoanh song song vdi Be, thl phirong trlnh

cua AE, AF da c o th~ tim dtroc ngay, nhimg con kho khan khi xac dinh 8\1 thing

h ang cua E, D , F. B di v~y; viec chon h~ toa dQ nhu trong Ib i giai neu tren lit thfch

hop nhA t ."Vi d", 5. Cho tam giac ABC can tai A. x« D tren .canh AB v a diem E tren canh Be

sao cho hinh chieu cua DE tren Be c o d(>dai b~ng B2C.

Chirng minh r~ng duong thAng vuong g6c voi DE tai E luon di qua mot di~m c6

dinh..

u« giai.

B

o

•

I

•I

H E C

Hlnh 5 '

GQi0 lit trung di~m Be, chon h~ toa dQ sao cho A(O; a ), B( b; 0), C(b; 0) (hlnh 5).

Khi do cac dirong th!ng AB, AC I A n hrot c o phirong trlnh

(AB) : -=+!t -.1b a

•

x y(A C ) :.b + ~= 1

GQ i H la hlnh chieu ciia D tren Be. D o EH B2C nen E E [O C ] , H E [ O B ] .

V~y, n~u E(xo; 0),0 < Xo < b thl H(xo b; 0) va do d6 D(xo b; ~ O ) .+

GQi ~ lit dirong thbg qua E vuong g6c voi DE. Suy ra Ll nhan DE ( b ; ~g) lam

mot vecto phap tuyen, vi v~y ~ : b 2x axoY b2xo 0Phuong trlnh nay tuong dirong vdj - ( b 2 + ay)xo + b 2x -- 0

Suy ra ~ Iuon di qua diem (0; -- b :) c6 dinh,

Vi d1J , 6. (Poland 1992) Thong m a t ph a ng c ho trudc hai di~m A, B. Xet di~m C thay

d6i tren mot mra mat phang be AB. Dung ra ngoai cua tam giac ABC cac hmhI



vuong ACED va BCFG. Chung minh r~ng dirong th!ng DG luon di qua mot

di~m c6 dinh khi C thay d6i.

LfJ i gidi. Chon h~ true toa dQ Axy sao c h o A ( O; 0), B(b; 0) v a C(xo; Y o ) , vdi Y o > O . K h i)-

d6 D( Y o ; x o ) , G(b+yo; b xo)· V~y DG (b+2yo; b 2xo) va do do dirong t hAng

DG c6 phirong trlnh

x + Y o Y Xob+ 2yo b 2 xo

~

hay (b ~ 2x )xo + ( b - 2y)yo + b (x y ) - 0

o

y ..

G'

A B x

Hlnh 6

Til d6 duong tha,ng DG luon di qua diem I(~;~) c6 dinh,

Vi dl' 7. Trong mat phang cho hai di~m A,B. T Im_quy t f ch tA t e a nh Ung di~m M sa o

c h oILMAB LMBAI - 90

0

u« gidi.

D~t LMAB Q, LM BA (3 (0° < ~,(3 < 90°). Khi d6, V I 8\1 t6n tai di~m M

nen e x + { 3 = ! 1800

N~u C t 0° thl { 3 90° va M A. N~u ( 3 0° thl 0: 90° va M B. V~y, chi c§,n

xet a, f3 = ! 0°, 90°, ~

Khong mat t inh tfrnh quat , co the coi AB 2. Chon h~ t rue toa de?Oxy sao cho

A ( l ;O),B(l;O)

Do 1 0 : 1 3 1 90° nen Q { 3 + 90° hoac a ( 3 - 90°. Di~u nay tirong dtrong vditan a cot f3 hay tfch h~ 86 g6e cua cac dtrong th!ng MA ,MB bang 1. V~y,

toa dQ cua M 18. nghiem cua he

y k(x+l)

ky (x 1 )

Khu k til he, thu diroc x2 y2 1



-1

y M

. . . .

A o Bx

Hlnh 7

Vij,y, quy tfch M la hyperbol vuong co hai d inh thuc la hai di~m A, B da cho.

Nhan xet. ·•

9 , ~

1. Chung ta hoan toan co the chon he true toa dQ mot each tuy y, g6c d vi trf bat

k Y . Nhirng viec chon h e toa d(j sao cho A, B nhm tren true hanh da giiip ta ti~t

kiem thai gian tfnh toan va giai hili toan di rA t nhieu. Vdi each chon toa dQ nhu:, ,

vay, chiing ta se c o ngay h~ 86 g6c cua M A bang tan a va he 85 g6c cua M B bang- tan{3.

2. D~ tranh viec phai phan chia truong hop a ---0° hay = f 0° (tirong aug (3 - - 900 hay

:f 90°), c o th~ d~ Y den ILMAB LMBAt gooL I cos LMABI .._ I sin LABMI,chung ta cling thu dl1QC k~t qua nhir tren,

3. Viec coi AB 2 la hoan toan t v nhien, bdi V I n~u AB a > 0 thl b~g phep vi t\t

tam 0, t y 86 ~ ta thu diroc ngay AB 2. ·

Vi d~ 8. (CRUX 2003) 'Thong mat phang cho tam giac ABC c6 hai dinh B,C c6dinh, con dinh A thay d6i. TIm quy tfch di~m A sao cho tam dirong tron Ole cua

tam giac ABC nA m tren Be.

Lui gitii. GQi I, J, K theo thu tl1la trung di~m cac canh Be,CA, AB va 0,H , E la tam

dirong tron ngoai ti~p, true tam, tam dirong tron Ole cua tam giac ABC. Khi do

E 1 8 . tam dirong tron (I JK) va cling 1 A trung di~m 0H .

Khong m A t tinh tfrnh quat c6 th~ c oi Be '_2. Chon h ~ true toa dQ /xy, sao cho

B( 1 ; 0), C(I; 0), A(xo; Y o), vdi Y o = f O . Khi d6 /(0; 0), J(~jJ:l; 1 I f ) , K(~O;l; 1 I f ) . Vi

E la tam duong tron (I J K), nen E n a m tren trung true ciia doan JK. Tir do, va

do E E Be, suy ra E(~; O).Vi E la tam dirong tron (I JK) nen EI EJ .. EK.

Y .

A

B

o

..

..

x

•

•I

...

.. ....

..•

• •..

..

•

H

, Hlnh 8



Tu do ta diroc"

x2 1 y2_0 _ + _0 =}x2 _ y 2 1

4 4 4

Ngtroc lai, vdi A moi di~m A(xo; Y o ) E 'H : x2 y2 1, bo di hai di~m B, C thi

c o di~m E(,; 0) E Be each d~u I, J, K, do do tam duong tron Ole cua tam giac

ABC nam tren BO.

V~y, quy t fch dinh A cua tam giac Ill,dirong hyperbol 1 - £ : x2

y2 1, b i) di hai dinhB, C.' · ·

Nhiim. zet.•

. . .

1. D~ Y r~ng "Vdi moi tam giac ABC, tam dirong tron Ole cua tam giac nAm tren

dirong thing BC khi va chi khi lLABC LACBI 900n, nen bai toan 8 cling c oth~ diroc giai nhu d · ·ba i toan 7.

2. Ta cling co th~ s u dung nhan xet E la trung di~m OH d~ giai quyet bai toan, tuy

nhien, viec tinh toan, tim toa dQ ciia E s e ttrong d6i v!t v a .

Vi d"" 9. (IMO 2000) Cho hai dirong tron (01), (02) ciit nhau tai hai di~m phan biet

M , N . Ti~-p tuyen chung (g§,n M hon) ti~p xuc vdi (Oi) tai Ai. Duong th!ng qua

M, song song vdi AIA2' c~t lai dirong tron (Oi) (J di~m B « . Cac dtrong th!ng AiBi

c~t nhau tai C, cac dirong th!ng AiN c~t dirong th!ng BIB2 d D, E. Chung minh

ra,ng CD CE

LiJi gitii. Chon h~ true toa dQ A1xy sao cho A1(O ; 0), A2(a ; 0),01(0; Tl), 02(a; T2). Gia

sa trong h~ true toa dQ M (s; t), khi d6 B1( s; t) , B2(2 a s; t) . 'I'ir do BIB2 -

2a 2 A I A 2 ' d~ Y r~ng A I A 2 I I B1B2, suy ra A I, A 2 thea thti t 111a trung di~m____,) & ~

BIG, B2C, do do C(s; t) . V~y cu --(0; 2t), BIB2 (2a; 0) suy ra ci« 1 .. BIB2hay ct« j_ DE (1 )

GQ i K la giao di~m cua MN voi A1A2. Ta c6

'Tl KA12 KM KN ~ KA22rK/(Ol) · r:K/(02)

Suy ra K 18. trung di~m A1A2 . Tit do, do AIA2 I I B1B2 nen M IIItrung di~m DE

(2)

1

C

Hlnh 9

Tu (1),(2) suy ra eM la trung true - eua DE. dpcm

Nhan xet. '•

195



1. Trong V I du nay, clning ta hoan toan c o th~ chon h~ true toa d{) sao CllO true hoanh

chua duong th!ng 010 , tuy nhien, khi do viec tlm phuong trlnh cua B1B2 (va do

d6 toa dt) cua Bl,B2) khong don gian.Viec chon h~ true toa d9 nhu trong loi giiii

d tren la viec la m khan ngoan, vi toa de) etta Ai, M , B, tim diroc mot each kha d edang.

2. Thong Ibi giai neu tren, viec vi~t phirong trlnh cua hai dirong tron, giai he phtrong?

trlnh tirong giao d~ tim toa dQ M, N la khong c§,n thiet. 0tren, chiing ta chi S 1 1

dung d~n dac di~m OiA i la trung true cua doan M Bi, va do d6 viec tim toa dt) cua

cac di~m Bi de dang hon rA t nhieu so vdi viec di vi~tphuong trlnh cac dirong tron,

3. Thong loi giai tren, dElk~t hop gitta phtrong phap toa dQ va phtrong phap tang hop

(chi ra K la trung di~m A I A 2 ) . Di~u do giup cho lbi giai ngan gon va dep hon.

Vi d~1. Trong mat phang cho trirdc duong th!ng Llva mot di~m A f / . b.. Xet B,C E ~

sao cho Be b> 0 cho trirdc. 'lim quy tich tam duong tron ngoai ti~p tam giac;

ABC

•

r

Lili gidi. GQi 0 Iil hmh chieu cua A tren !: 1 va d~t a - d(A ; ~). Chon he true tea dQ

O xy sao cho A(a; 0), 0(0; 0) (ttic lIt true hoanh chira ~, true tung chtr OA ) .

y

A

B

••

••

H 0

Hlnh 10

Giii 8 1 1 trong he true nay B(xo; 0), C(xo + b;0) (VI de; dai Be b). GQ i H 18.trung

di~m Be, khi do H(xo + ~;0) va HB He - ~.GQ i I(x; y ) lit tam dirong tron

ngoai ti~p tam giac ABC. Khi do x X o + ~va I A I B suy ra

2ay -- (x o + ~ ) 2 " ~ hay y ~: ~: (*)V~y khi doan Be trirot tren Ox thl tam I cua dirong tron ngoai ti~p tam giac

ABC nam tren parabol P c o phirong trinh (*) .

Ngiroc lai, vdi moi di~m I E 'P , d e dang ki~m tra duoc d { I ;Ox ) < lA , do d6 duong

tron tam I,.ban kinh I A eAt Ox tai hai di~m B, C. D e dang kiem tra dl1(JC Be ... b.

V~y quy tich tam duong tron ngoai ti~p tam giac ABC la parbol c o phirong trmh cho

d (*).

Vi d" 11. (APMO 2000) Cho tam giac ABC. GQ i M lit trung di~m canh Be va N.,

la chan dirong phan giac cua g6c LBAC. Duong thang vuong g6c vdi NA tai N

ciit cac dirong th!ng AB, AM tai P,Q thea thir tu d6. GQi 0 18,giao diem cuaduong thiing vuong goc vdi AB tai P vdi AN, chirng minh rAng OQ .L Be.

Liti gidi. Chon h~ true toa dQ Nxy sao cho A,O .nam tren true hoanh, Giii sit AB

c o phuong trlnh y ax + b, khi do A ( ~; 0), P (O ; b) va AC c o phuong trlnh

y ax b (do A thuoc true hoanh, AB, AC d6i xirng nhau qua true hoanh).



y

..

B cM

Hlnh 11

_Do PO .L AB nen PO c o phuong trlnh y ~x + b va O(ab; 0) Do Be qua g6c toa

do N, nen Be co phtrong trlnh y ex. Suy ra B( b • _be ) C( ..b. b e ) do.. c-a' c-a ' c+a ' c+a

)

doM(c 2~a2 ; c t~~~ ) = > AM a(cf:a 2) ( c ; a2). Ttl do, dirong th!ng AM c6 phtrong

trlnh y a:. X + a : suy ra Q(O ; a : ) . V~y dirong thAng QO c6 phirong trmh

X + cy - ab -- o . Suy ra dtrong thAng OQ, Be vuong g6c vdi nhau.

Nh~nzit. Trongbai toan tren, n~u chon he toa dQ r n a AN khong n~m tren true hoanh,

thl viec viet phirong trlnh phan giac AN lE i rA t kho. Khi chon h~ toa d Q nhu vay,

giup cho ta tranh diroc viec phai xac dinh toa dQ cac dinh, phirong trlnh cac canh,

cac dirong trong tam giac,

Vi d"_,,12. Cho duong tron (0; R) v a di~m A chuyen dong tren dirong tron, Xet di~m

B chuyen dong tren dirong tron (A; R') vdi R' # R. Biet r~ng A, B chuyen dong

vdi cling van t6c g6c, nhirng ngircc htrdng, hie ban dAu 0, A, B t hAng hang thea?

thii t\l; tlm quy tfch diem B.)

Lili giai. Chon he toa de> Oxy sao cho a v i tr f ban d~u A, B E Ox. Khi d6 OA ~- - - - . . ~ ) + ~

(Reos t;Rsin t) va AB . (R' cos t; R' sin t) . VI OB - : s . OA + AB nen vdi B(x; y )

th... x (R + R ') cos t1 Y _ (R .R') sin t

•

Khjr t tit h e thu duoc• •

J

V~y quy tfch c§.n tim la elip c o plnrong trlnh (*)

y

A. . . i . • • . . . • . . I . I . .

oil

x

Hinh 12

BAng each lam tuong tl1nhu tren, cac ban va cac em hay tu giai ID9t s6 bai t~p sau



1. Thong mat phang cho tam giac ABC co B, C c 6 dinh, A thay d6i. GQ i G va H thea

thti tu Iii trong tam va true tam cua ~ABC. Tim quy tich dinh A, bi~t r~ng trung

di~m GH l1Am tren BG.

,J

iI

I

JI

I

~

\

(Vi~t Nam 2007)

?

2 . Cho hai diem D, E tirong ung tren hai canh AB, AC cua tam giac ABC sao cho

DE I I BG. GQ i P la mot diem tuy y n~m ben trong tam giac, F, G Ia giao di~m cuacac dirong t hAng BP, CP vdi DE. GQ i 01,O2 th eo th tc tu 18,tam duong tron ngoai

ti~p cac tam giac PG D , P E F, chirng minh rAng A P j_ 01O2

(Iran 1996)

3. Trong mat phang cho ~, di~m A ¢~.Cho trtroc s6 thuc a > 0, tim quy tfch nhtrng

di~m M sao cho tang khoang each til M d~n A va ~ bang a.

4. Gia s ' i t ABeD Ia mot tu giac 16 i c o A, B c5 d inh , C, D thay d5 i sao cho AB ' I CD.

Bi~t rAng CD .. b,AD + Be c vdi b,c 18.c a c dQ dai cho trirdc; tim quy tich giaodi~m hai duong cheo cua ttt giac. .

5. Cho b a di~_m A, B va C thang hang thea tlnr tu, V~cimg mot phfa cua dirong th!ng,

dung cac tia Am,Cn..l. AG. Xet M E Am,N E e n sao cho LMBN 90°. Chang

minh rAng dtrong thAng MN luon t i~p xiic v di mot dirong cong c 5 dinh,

6. Cho tam giac ABC. Mot dirong th!ng cA t cac canh Be, CA va AB cua tam giac

ABC tai D, E va F tirong irng. Chirng minh rAng true tam cac tam giac ABC, CDF

va DEB th!ng hang.

7. Cho trirdc g6c vuong xOy, xet M EOx, N E Oy sao cho MN a -const. TIm quy

tich trung di~m MN.

8. Cho di~m A nAm ngoai dtrong tron (0). Tim quy tich tam nhtrng dirong tron di qua

A va ti~p xtic ngoai vdi (0).

9. Cho hai dirong tron C1, C2 co cling tam 0, hai dirong th!ng ~1' ~2 vuong g6c tai

O. MQt tia at quay quanh 0, cAtC1, C2 tai A I, A2 theo th-a tl1 d6. Qua A i ve dirong

th!ng ~~ I ) ~i' tim quy tich giao di~m cua ~~ va ~~.

10. Cho tam giac ABC can tai A. GQ i D la trung di~m.BC, E la hm h chieu cua D tren

CA va F la trung diem DE. Chung minh rAng AF j_ BE

11. Cho hlnh chftnhat ABeD. Xac dinh quy tfch cac di~m M cua m~t phang sao c h o

dirong tron ngoai tiep cac tam giac MAB, MCD eo cung ban kinh .

"12. Cho A, B, C va D thang hang thea thu tu do. Cac duong tron WI, W2 vdi dirong kinh

AC, BD clit nhau tai hai di~m phan biet X , Y. LAy Z E (XY), khong trimg v di

XYnAD. CZ cA t lai WI tai M v a BZ cA t lai W2 tai N. Chimg minh r~ng AM, DNva XY dang quy

(IMO 1995)



13. Cho di~m P d trong ta giac 16i ABC D. Duong phan giac cua cac g6c LAP B,

LBPC, LCP D va LDP A cAt cac canh AB, Be, CD va DA tai K, L, M va N thea

thir t\l do. Xac dinh vi trf cua P sao cho tu giac K LM N la mot hinh blnh hanh.

(Tournament of Towns 1995)..

14. Cho tam giac ABC c o AC > AB. L§ ,y di~m X tren tia d6i cua tia AB, di~mY tren '

tia d6i ciia tia AC sao cho BX CA, CY AB. GQ i P 1a giao di~m cua dirong

thAng XY vdi dirong trung trtrc ciia Be. Chung minh r[ng LBPC+LBAC 180°.

(BMO 2006 Round 2)

15. Cho hinh vuong ABeD, dung cac tam giac d~u ABK, BeL, CDM v a DAN v~phfa

trong cua hlnh vuong. Chung minh rAng trung di~m cac doan t hAng KL, LM, MN, NK?

va trung diem cua cac doan AK, BK, BL, CL, cu.DM, DN, AN li t dinh cua mot

thap nhi dien d~u.

(IMO 1977)

16. Cho hai dirong tron (C 1), (C 2) nAm ben trong va ti~p xuc trong vdi dircng tron (C )

tai M, N thea thir tud6 va (C 1) 3 C 2- Tr~c dAng phuong eua (C 1), (C 2) cIit (C ) tai

A, B. Cae dircng thing M A , M B cA t lai dirong tron (C ) C J E, F. Chung minh r~ng

EF ti~p xuc voi (C2).

(IMO 1999)..

17. Cho hlnh vuong ABeD va g6c nhon mAn (vdi cac tia AM,An nam giua cac tia

AB, AD). GQ i B1, B2 la h inh chieu cua B tren Am, An va D1, D2 18.hinh chieu cuaD tren Am, An thea thtr tudo. Chimg minh r~ng BIB2 .L DID2

,Ket luan

•..

Qua cac bai toan d tren, tA t nhien chua dud~th§,y h~t nlnrng IDl di~m, nhuoc diem

cua phtrong phap toa dQ. Thy nhien, cling la vita d u d~ clning ta c o th~ th!y viec"chon h~ toa dQ nhu the nao lit thich hop,

Muon giai mot bai toan bang phirong phap toa dO , ta cA n phai chon h~ true toa dQsao cho hinh ve ciia chung ta dl1QC quan sat tbt nh~t tren he true d6, viec tinh

toan cling don gian nhat. D~ chon diroc mot h~ true toa dQ t6t, cluing ta cAn phai

can cl1 vao cac y~u tb c6 dinh bai toan dA cho, chu y d~n tinh d6i xirng cua hinh.

Thy nhien, khi da chon duoc mot h e true toa dQ tbt r6i, cling cAn phai c o phirong

phap tfnh va ky nang tinh tat, thl viec giai mot bai toan hlnh h9C bang phirong ·

phap toa dt) mdi trd len dep de, ng~n gon,

Thong qua bai vi~t nay, chung toi muon trao d5i vdi cac em hoc sinh va cac ban dang

nghiep mot di~u r~ng "khong phai phirong phap toa dQ lam m§,t di v e dep cua

hlnh hoc, rna phirong phap toa dQ lam tang them ve quyen rii cua hlnh hoc."

Documents

Phuong Phap Toa Do Voi Bai Toan Hinh Hoc Phang_HVA