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tianlu-wang
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§17.9 氢原子和角动量
1. 算符的引进
)()()(2
22
rErrVm
vvvh ψψ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+∇−
)(2
22
rVm
H vh+∇−=能量算符
∇−= hv ip动量算符
)( ∇−×= hvv
irL角动量算符
退出返回
球坐标系
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
∂∂
−= 2
2
222
sin1)(sin
sin1
ϕθθθ
θθhL
ϕ∂∂
−= hiLz
算符 作用在任意波函数 上时,其结果不一定是同一个
波函数 乘以一个常量,往往是另外一个函数。
F ΨΨ
只有在特殊的状态下,表示力学量 的算符 作用在波
函数 上时,才满足
F FnΨ
nnnF ψλψ =返回 退出
nnnF ψλψ =
(力学量F 的)算符 的本征值方程F
波函数 ψn 称为算符 的本征函数或本征态F
λn 称为算符 的本征值F
量子力学认为,凡是满足上述本征值方程的任何一个
λn 值,都可认为就是力学量F 的一个可能取值。
由力学量算符的本征值方程解出的全部本征值,就是
相应力学量的可能取值。
退出返回
如果用测量仪器测量这个力学量的取值,则只能测得
其本征值。
如果属于本征值 λn 的本征态不是一个,而是 个。nf
)21( nnnn f,,,F L== αψλψ αα
本征值λn是 重简并的nf
nf 简并度
退出返回
利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上是
一个能量算符的本征值问题。
)()( rErH rrΨΨ = 能量算符 的本征值方程H
能量算符的本征函数(本征态))(rr
Ψ
E 能量算符的本征值
为了使波函数单值、连续、有限,能量的取值受到了限制
同理,通过求解动量算符、角动量算符…的本征值方程可得到相应算符的本征函数和本征值。
退出返回
2. 氢原子和角动量
氢原子中的电子在原子核的库仑电场中运动
rerV
0
2
4)(
πε−= )( ϕθ ,,rP
θ r
ϕx
y
z
O)()()](
2[ 2
2
rErrVm
vvvh ψψ =+∇−
球坐标
2
2
2222
22
sin1)(sin
sin1)(1
ϕθθθ
θθ ∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∇rrr
rrr
退出返回
ψψπε
ψϕθθ
θθθ
Er
er
rrmr
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−0
2
2
2
22
2
2
4sin1)(sin
sin1)(
2h
)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕx
y
z
O
)(rR l,n 拉盖尔函数
)( ϕθ ,Ylm,l 球谐函数
…= 3 2 1 ,,,n 主量子数
)1( 2 1 0 −…= nl ,,,, 角量子数
lml ±±±= 2 1 0 ,,,, L 轨道磁量子数退出返回
)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =
)( ϕθ ,Ylm,l 球谐函数
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕx
y
z
Oπ
ϕθ41)(00 =,Y ,
θπ
ϕθ cos43)(01 =,Y ,
ϕθπ
ϕθ i, e,Y sin
83)(11 =
ϕθπ
ϕθ i, e,Y −− = sin
83)(11
……退出返回
)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕx
y
z
O
)(rR l,n 拉盖尔函数
02)1()( 23
001
ar
/, e
arR
−
=
02
0
23
002 )2()
21()( a
r/
, ear
arR
−
−=
02
0
23
012 3
)21()( a
r/
, ea
ra
rR−
=
……退出返回
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕx
y
z
O
)()()( ϕθϕθψ ,YrR,,rll m,ll,nm,l,n =
这个波函数是归一化的
∫∞ = 1d)(2
V,,rlm,l,n ϕθψ
ϕθθ ddsindd 2 rrV =
∫∞∗ = 1ddsind)()( 2 ϕθθϕθψϕθψ rr,,r,,r
ll m,l,nm,l,n
∫ ∫ =∗π πϕθθϕθϕθ
0
2
01dd)sin()( ,Y,Y
ll m,lm,l
ϕθθΩ ddsind =∫∞ ∗ =
0
2 1d)()( rrrRrR l,nl,n退出返回
ϕθθϕθϕθψ dddsin)()(d)( 222rr,YrRV,,r
ll m,ll,nm,l,n =
在空间一点 附近体积元
内找到量子态为 (n、l、ml) 的电子的概率)( ϕθ ,,r ϕθθ dddsind 2 rrV =
rrrR l,n d)( 22在 r 到 r + dr壳层内发现电子的概率
ϕθθϕθΩϕθ ddsin)(d)(22
,Y,Yll m,lm,l =
在 附近的立体角 内发现电子的概率ϕθθΩ ddsind =)( ϕθ ,
退出返回
氢原子的电子云
001 === lmln ,,
002 === lmln ,, 返回 退出
012 === lmln ,,
112 −=== lmln ,, 退出返回
003 === lmln ,,
123 === lmln ,, 退出返回
023 === lmln ,,
113 === lmln ,, 退出返回
ϕθθϕθϕθψ dddsin)()(d)( 222rr,YrRV,,r
ll m,ll,nm,l,n =
在各种 值的量子态中,概率密度分布与 角
无关,所以它们是绕 z轴旋转对称的。lmln 、、 ϕ
)( ϕθ ,,rP
θ r
ϕx
y
z
O
退出返回
(1)氢原子的能量本征值
) 3 2 1 ( 12)4( 222
0
4
…=−= ,,,nn
meEnhπε
主量子数n能量是量子化的
当 时, 连续值∞→n →nE
与玻尔的氢原子理论得到的能级公式相同
退出返回
(2)电子轨道角动量的量子化
) 1 3 2 1 0 ( −= n,,,,,l Lh)1( += llL
s, p, d, f, …角量子数l
注意:玻尔理论 hnL =
(3)电子轨道角动量空间取向的量子化
) 2 1 0 ( l,,,,mmL llz ±±±== Lh
轨道磁量子数lm退出返回
角动量空间取向量子化是指角动量在空间一个确定方
向(例如 z 方向)上的投影是量子化的,它适合于所有角动量。
0
h2h
h-h2-
Bzr
2=l
hh 6)12(2 =+=L
hlz mL =
21 0 ±±= ,,lm
塞曼效应证明了角动量空间取向的量子化
塞曼效应的发现和研究获1902年诺贝尔物理学奖退出返回
1896年,荷兰物理学家塞曼(P. Zeeman)和他的学生发现磁场中的原子发光时光
谱线将发生分裂。
这种现象后人称为塞曼效应
当镉放在强磁场中时就分裂成三条谱线
镉灯不受磁场作用时发射一条 643.847nm 谱线 P. Zeeman
例如:
一条和原谱线相同,另一条频率增大,第三条频率减小,
增大和减小的量值相等,且与外磁场的 有关。Br
强磁场引起的这种谱线一分为三的现象 正常塞曼效应
在强磁场作用下一条谱线分裂成三条谱线以上的分裂现象
反常塞曼效应退出返回
返回 退出
BMErr
⋅−= BM z−=
meBπ
νν4
−=− meBπ
νν4
+=+
−ν +νν
Br
加
0=lm1=lm
1−=lm
ν
1 2 == l,n
0 1 == l,n
LmeM
rr
2−=
Bmeh
2
Bmeh
2−
0=
1=lmzz L
meM
2−=
BLme
z2= 0=lm
1=l 1−=lm
) 1 0 ( ±== ,mmL llz h
ϕ∂∂
−= hiLz
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
∂∂
−= 2
2
222
sin1)(sin
sin1
ϕθθθ
θθhL
球坐标系
角动量算符的本征值问题
)()1()( 22 ϕθϕθ ,Yll,YLlm,llm,l h+= 22 )1( h+= llL
h)1( += llLL210 ,,,l =
)()( ϕθϕθ ,Ym,YLlm,lllm,lz h= hlz mL =
l,,,,ml ±±±= 210 L退出返回
主量子数 n …= 3 2 1 ,,,n
角量子数 l )1( 2 1 0 −…= nl ,,,,
轨道磁量子数 ml lml ±±±= 2 1 0 ,,,, L
对于确定的主量子数n , l 可取n个值
对于确定的角量子数l , ml可取(2l+1)个值
一个能级对应一个以上的波函数 简并
属于任一能级 的量子态 的数目nE )( ϕθψ ,,rlm,l,n
∑−
=
=+=1
0
2)12(n
ln nlf 氢原子能级的简并度
退出返回