Physique Statistique des Processus Irreversibles

Ecole Normale Suprieure de LyonDEA de physique statistique et phnomnes non linaires DEA de physique thorique

PHYSIQUE STATISTIQUE DES PROCESSUS IRREVERSIBLES

Philippe A. Martin Institut de Physique Thorique cole Polytechnique Fdrale de Lausanne CH-1015 Lausanne EPFL, Suisse Cahier rdig par Franois Coppex

Automne 2001 Printemps 2004

IntroductionOn qualie de processus stochastique tout phnomne dvolution temporelle dont lanalyse peut tre soumise au calcul des probabilits. Du point de vue de lobservation, un processus stochastique est constitu par lensemble de ses ralisations. Une ralisation est obtenue par lexprience qui consiste enregistrer une suite dvnements au cours du temps. Le caractre alatoire de lvolution se montre par le fait que la rptition de lexprience conduit une autre squence temporelle. Les exemples sont innombrables, en physique ou ailleurs. -Le processus "pile ou face" consiste enregistrer la suite des "pile" ou "face" lorsquon lance une pice de monnaie. -Le processus brownien consiste suivre la position dune particule en suspension dans un uide. -Le processus de Poisson consiste compter le nombre de personnes dans une le dattente lorsque ces personnes y arrivent au hasard. -Un processus pidmiologique consiste dnombrer les individus infects par une maladie au cours du temps. -Un processus mtorologique peut consister relever le nombre dheure densoleillement par jour. -Un processus boursier consiste a relever le cours des titres chaque jour. La nature erratique et non reproductible des ralisations du processus tient au fait que leur volution est en gnral le rsultat de laction dun grand nombre dagents incontrlables, ou dont leet est mme inconnu. La particule brownienne se dplace sous leet de ses collisions avec les particules du uide : les lois dynamiques gouvernant ces dernires (classiques ou quantiques) sont connues. Dans ce cas on pourrait en principe tablir le lien entre le mouvement brownien et la dynamique microscopique sous-jacente, mais la complexit de la description de ces mouvements microscopiques de lanalyse. Dans le cas des uctuations boursires, on se rend bien compte quil est illusoire de faire remonter la thorie la description de ltat physico-chimique des cerveaux des oprateurs ! Le fait remarquable est quen dpit de ces multiples agents alatoires, la statistique du processus (valeur moyenne, cart quadratique etc...) obit de lois simples et reproductibles au cours du temps, pourvu quon lanalyse des chelles de temps appropries. La thorie des processus stochastiques sapplique donc formuler des modles dvolution o le manque dinformation est supple par des hypothses probabilistes adquates. La situation, bien que beaucoup plus riche dans son champ dapplication, est analogue celle de la mcanique statistique de lquilibre : lhypothse des ensembles statistiques (microcanonique, canonique etc...) permet de dcrire les observations macroscopiques de la thermodynamique qui sont, elles, parfaitement rgulires et reproductibles. Le cours sattache introduire les principales mthodes danalyse des processus stochastiques de faon que ltudiant acquire les outils conceptuels ncessaires, illustrs par i

ii un certain nombre dapplications. Il est clair que chaque chapitre pourrait faire lobjet de beaucoup plus longs dveloppements, ou mme de cours en soi. Bien que les mthodes soient de nature trs gnrale et vocations interdisciplinaires, on a utilis le langage et les exemples du physicien. Le niveau mathmatique reste lmentaire, mais esprons-le susamment prcis. On est cependant conscient que du point de vue mathmatique, la thorie des processus stochastique est un discipline part entire dont lapprentissage requiert un autre cours. Ce cours (ou des variantes) a t donn comme option de quatrime anne du diplme de physique lcole Polytechnique Fdrale de Lausanne sous le titre de "physique statistique avance" et au DEA de physique statistique et phnomnes non linaires de Lcole Normale Suprieure de Lyon. Je remercie vivement Franois Coppex pour la saisie et la mise en forme de mes notes ainsi que Sbastien Gyger pour son aide diverses tapes de llaboration de ce document.

Table des matires1 Mouvement brownien 1.1 Mouvement brownien au sens de Einstein . . . . . . . . . 1.1.1 lments historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 La marche alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Limite continue et quation de la diusion . . . . . 1.1.4 Relation de Einstein pour la constante de diusion 1.1.5 quation de Smoluchowski . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Chane molculaire alatoire et chemin brownien . 1.2 Mouvement brownien au sens de Langevin . . . . . . . . . 1.2.1 quation de Langevin et force alatoire . . . . . . 1.2.2 Fluctuations des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Fluctuations des positions . . . . . . . . . . . . . . 2 Processus stochastiques 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Probabilits absolues et conditionnelles . . . . . 2.1.2 Corrlations, cumulants et fonction gnratrice 2.2 Processus markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dnition et exemples . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 quation de Chapman-Kolmogorov . . . . . . . 2.2.3 Loi de semi-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Dnition, corrlations et fonction gnratrice . 2.3.2 Thorme de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Processus markoviens diusifs 3.1 quation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Processus de Wiener et dOrnstein-Uhlenbeck . . . . 3.2.1 Mouvement brownien (processus de Wiener) . 3.2.2 Processus dOrnstein-Uhlenbeck de la vitesse 3.3 Lien avec lquation de Langevin . . . . . . . . . . . 3.3.1 Bruit blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 quation de Fokker-Planck plusieurs variables . . . 3.4.1 quation de Kramers . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Application la mtastabilit . . . . . . . . . . . . . 3.6 Le laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Intgrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 5 8 11 14 16 16 18 20 21 21 21 24 27 27 32 33 35 35 39 43 43 46 46 47 48 49 52 52 54 57 61

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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iv

TABLE DES MATIRES 3.7.1 Mouvement brownien sans absorption . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Mouvement brownien avec absorption et formule de Feynman-Kac 3.7.3 Polymres comme chemins browniens . . . . . . . . . . . . . . . . . Processus loi large et diusion anormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Mouvement brownien et loi des grands nombres . . . . . . . . . . . 3.8.2 Processus de Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3 Vols de Lvy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 63 68 70 70 71 74 76

3.8

4 quations matresses 4.1 Drivation de lquation matresse . . . . . . . . . 4.1.1 Processus "birth and death" . . . . . . . . . 4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Lquilibre dtaill . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Algorithme de Monte-Carlo Metropolis . . . 4.3.2 Dynamique stochastique du modle dIsing 4.3.3 Rsolution par la thorie spectrale . . . . . 4.4 Le thorme "H" . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 . 81 . 84 . 84 . 93 . 94 . 95 . 98 . 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 109 111 113 113 117 121 121 122 123 123 124 126 129 129 131 132 132 133 134 139 139 142 142 143 143

5 La microrversibilit 5.1 Dmonstration de lquilibre dtaill . . . . . . . . . . . 5.1.1 Le processus des observables macroscopiques . . 5.1.2 Le renversement du temps et ses consquences . . 5.1.3 Lquilibre dtaill . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Fluctuations thermodynamiques et relations de Onsager 5.3 Exemple : eet thermo-lectrique . . . . . . . . . . . . .

6 Lquation de Boltzmann 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 volution des particules non couples . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Eet des interactions mutuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ordres de grandeurs et hypothses . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Description dune collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Bilan des collisions et quation de Boltzmann . . . . . . . . 6.4 Systme homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 La distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Le thorme "H" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Systme inhomogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Lois de conservation locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Entropie et production dentropie . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Lquilibre local et lapproximation du temps de relaxation 7 Thorie de la rponse linaire 7.1 Rponse des champs extrieurs . . 7.2 Proprits gnrales de la fonction de 7.2.1 Homognit dans le temps . 7.2.2 Causalit . . . . . . . . . . . 7.2.3 Ralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . rponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATIRES 7.2.4 Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5 Relation de la fonction de rponse avec la dissipation dnergie 7.2.6 Les relations de Kramers-Kronig . . . . . . . . . . . . . . . . . Expression microscopique de la fonction de rponse . . . . . . . . . . . Le thorme de uctuation-dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Exemple : thorie de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Microrversibilit et symtries de la fonction de rponse . . . . Formules de Kubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Exemple : la conductivit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v 144 144 146 148 150 155 157 159 160 163

7.3 7.4

7.5

Bibliographie

Chapitre 1

Mouvement brownien1.11.1.1

Mouvement brownien au sens de Einsteinlments historiques

Lobservation du mouvement brownien est bien antrieure Brown lui-mme. Parmi les prcurseurs, on peut citer le hollandais Ingenhousz (1785) qui observa le mouvement erratique de poussires de charbon dans de lalcool. Des observations similaires faites par Buon et dautres naturalistes montrent que des particules de toutes natures, organiques et inorganiques, en suspension dans un uide, montrent ce mouvement surprenant et dsordonn dont on ignore lorigine. On parle alors de particules irritables et on avance des thories vitalistes qui attribuent une autonomie propre ces petites particules (la nature molculaire du uide nest pas connue cette poque). Le terme mouvement brownien provient du botaniste cossais Brown (1773-1858) qui observe son tour le mouvement imprvisible de grains de pollen en suspension dans leau. Brown se livre des observations systmatiques de ce mouvement et ses conclusions, conrmes par dautres expriences soigneuses la n du 19 me sicle (en particulier par le physicien lyonnais Gouy) sont les suivantes. 1. Le mouvement est trs irrgulier et imprvisible, il nest pas possible dassigner des tangentes la trajectoire. 2. Le mouvement est indpendant de la nature de la particule. 3. Le mouvement est dautant plus erratique que la particule est petite, la temprature leve, la viscosit faible. 4. Le mouvement ne cesse jamais. Il est alors admis que le mouvement nest pas dorigine vitaliste, mais bien mcanique. Cependant, sa complexit et son caractre apparemment alatoire montrent quil ne peut tre sujet une explication simple. Dans un sicle domin par la mcanique de Newton et le dterminisme Laplacien, ces dplacements browniens imprvisibles, et dont les vitesses ne pouvaient tre dtermines, posaient des problmes dinterprtation tout fait nouveaux. Dans la mme priode se pose la question de la validit de lhypothse atomique et de sa conrmation exprimentale. Cest cette question qui motive le travail dEinstein : en admettant que le mouvement dune particule en suspension est d aux collisions avec celles 1

2

CHAPITRE 1. MOUVEMENT BROWNIEN

du uide, est-il possible dtablir un lien entre ce mouvement et la nature molculaire du uide ? Einstein dclare ne pas avoir eu connaissance des tudes antrieures du mouvement brownien lors de la rdaction de son travail de 1905. Einstein adopte un point de vue purement probabiliste pour la description des trajectoires browniennes, renonant tout concept faisant intervenir la vitesse et la mcanique. Cest l la clef de son succs. Dans un premier temps, introduisant la densit de probabilit P (x, t) de trouver la particule brownienne en x au temps t, il montre que cette probabilit obit lquation de la diusion (1.17) P (x, t) = DP (x, t). t (1.1)

Puis il relie la constante de diusion D aux grandeurs physiques par la clbre formule (voir lEq. (1.42)) kB T . (1.2) D= m Comme y gure kB = R/N (R tant la constante des gaz et N le nombre dAvogadro), le lien dsir est tabli : une mesure de D permet une dtermination de N et une confrontation de cette valeur celle obtenue par la stchiomtrie chimique. La mesure, eectu par Perrin en 1910 donne un accord de lordre de 20%, cependant susant lpoque pour conrmer lhypothse atomique. Comme D est reli lcart quadratique moyen du dplacement brownien (voir (1.23)), Einstein inaugure et montre limportance dune science nouvelle, la thorie des uctuations. Il laisse cependant ouvert le problme de la formulation dune thorie dynamique du mouvement brownien. Il faut rappeler les travaux parallles dans cette direction de Smoluchowski (indpendants de ceux dEinstein), mais il revient Langevin davoir rconcili le mouvement brownien avec la mcanique en introduisant la notion de force alatoire et ouvrant ainsi le chapitre de la thorie des quations direntielles stochastiques. Pour plus de dtails, voir [Ne] et [Ei].

1.1.2

La marche alatoire

Il est important de distinguer diverses chelles de temps, le temps moyen t c entre deux collisions de la particule brownienne avec celles du uide (temps microscopique de collision), la rsolution temporelle de lappareil de mesure, et t = n le temps dobservation, n , n 1. Dans les conditions dobservation habituelles on a tc t = n. (1.3)

Nous remplaons notre incapacit dcrire la trajectoire microscopique exactement par une hypothse probabiliste : Dans un milieu homogne isotrope et lchelle , les dplacements successifs de la particule sont indpendants et de directions quiprobables. Pour simplier, on peut supposer que la particule, lchelle , se meut sur un rseau cubique. Cette version discrtise du mouvement est appele marche alatoire en dimension 3 avec recoupement. La gure 1.3 la page 4 montre des simulations numriques de la trajectoire brownienne et de son tude sur un rseau.

1.1. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE EINSTEIN 0 = 0

3

PSfrag replacements 3

n = t 2 Fig. 1.1 Trajectoire brownienne aux direntes chelles de temps. La particule brownienne subit beaucoup de collisions pendant lintervalle de temps .

Fig. 1.2 Marche alatoire en dimension 2.

Marche alatoire une dimension Pour simplier le problme, considrons une marche alatoire une dimension. Nous dsirons tablir une quation pour la distribution de probabilit de prsence dune particule en un point un temps donn. La gnralisation en 3 dimensions sobtient facilement partir de ce rsultat. Considrons une particule qui se meut sur une ligne et occupe les sites 0, , 2, . . . (voir la gure 1.4). Supposons qu chaque intervalle de temps , la particule se dplace droite avec probabilit p, et gauche avec probabilit q, p + q = 1. Lorsque p = q = 1/2, on dit que la marche est symtrique ( chaque temps t = k on lance une pice de monnaie, et on va gauche ou droite selon quon obtient pile ou face). Dnissons P (0, 0|n, k ) comme tant la probabilit de trouver la particule en n au temps k , sachant quelle se trouvait en 0 au temps 0. On omettra dans la suite de noter la condition initiale (0, 0). Dans le cas gnral, soit #g et #d les nombres de sauts gauche et droite de lorigine respectivement. Supposons que la particule parvienne n en k mouvements, alors ceci a

4


Fig. 1.3 Simulations numriques dune trajectoire alatoire sur un rseau bidimensionnel carr (image du haut) et dun mouvement brownien dans le plan (image du bas). Si la maille du rseau de la marche alatoire devinent susamment petite, il devient dicile de distinguer le modle sur rseau dune simulation sans cette contrainte spatiale. pu se produire dek! #g!#d!

faons (voir la gure 1.5), et (1.4) (1.5) par consquent |n| k. (1.6)

#d + #g = k = #total de dplacements Des deux dernires quations, on tire que #g = P (n, k ) = p#d q #g #d #g = n = position aprs k dplacements.kn 2

et #d =

k+n 2 ,

k+n kn k! =p 2 q 2 #g!#d!

kn 2

k! , ! k+n ! 2

Dans le cas de la marche symtrique on a p = q = 1/2, donc P (n, k ) = 1 2kkn 2

k! . ! k+n ! 2k in

(1.7)

Il sera utile par la suite de considrer la reprsentation intgrale suivante de P (n, k ) P (n, k ) = 1 2

d pei + qei

e

.

(1.8)

PSfrag replacements 1.1. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE EINSTEIN 5

2

0

2

Fig. 1.4 Marche alatoire en dimension 1. 0 2 0 2P (, ) P (, ) = = p q q2 q3

frag replacements

k

2kp3

3k np2 q

p2

PSfrag replacements 2 pq p2 q pq q 2 p q2 p

k 2P (2,2 ) = = =

2 3

p q

p2 2pq q2

k=1

P (0,2 ) P (2,2 )

P (3,3 ) k=2 P (,3 ) P (,3 ) P (3,3 )

= = = =

3p2 q k=3 3q 2 p q3 p3

Fig. 1.5 Valeurs de la probabilit conditionnelle P (n, k ) (image de gauche) et une ralisation de lamarche alatoire (image de droite).

Pour le voir, on insre le dveloppement du binme pei + qei ainsi que lidentit 1 2 k k

=l=0

pl q kl

k! ei(2lk) (k l)! l!

(1.9)

d ei(2lk) ein = 2lk,n

(1.10)

dans lquation (1.8), on vrie aisment que lon obtient (1.7).

1.1.3

Limite continue et quation de la diusion

On dsire prsent examiner le comportement de cette distribution de probabilit P (n, k ) aprs un grand nombre de sauts. Pour cela, ralise la limite du continu partir de lquation (1.8). Posant x = n, t = k , on veut obtenir la limite de P (n, k ) lorsque 2 0 et 0 avec x, t et D = xs. D est appele constante de diusion, dont la 2 signication physique sera lucide dans la section 1.1.4. Il faut rester conscient que la limite du continu, qui simplie la description mathmatique, nest pas un retour la description microscopique, mais reprsente toujours lvolution de la particule lchelle de temps . Remarquons dabord que si f (n) est une observable de la particule brownienne, alors

6 sa valeur moyenne est P (n, k )f (n) = avec la dnition lim0 0 P (n,k )


n

n

= P (x, t). En fait, nous passons dune probabilit absolue1 2

P (n, k ) une densit de probabilit P (x, t) de dimension [x 1 ]. Nous considrons le cas symtrique p = q = = dans lquation (1.8). En utilisant 1 on obtient 1 i 2 (e

et posons k =k

+ ei )

=

Le dveloppement de Taylor de ln |cos( )| au second ordre donne 1 sin( ) ( )2 ln cos( ) = ln(1) + 2 cos( ) =0 cos2 ( )=0 =0 0 =1

P (n, k ) 1 (1.8) lim = P (x, t) = lim 0 2 2D 0 0

d e

i x 2D

2 , 2

de sorte qu en insrant (1.13) dans (1.12) et en eectuant la limite 0 on obtient P (x, t) = En utilisant la relation gnrale dx eax

1 2 2D

d e

i x t 2 2D 2

e

2 +bx+c

=

a

1/2

e

4ac+b2 4a

avec a, b, c

et Re a > 0, (1.14) devient nalementx2 1 P (x, t) = e 4Dt . 4Dt

On vrie alors facilement que P (x, t) obit lquation direntielle dite quation de diffusion 2 (1.17) P (x, t) = D 2 P (x, t), t x avec les proprits P (x, t) 0, dx P (x, t) = 1,t01

lim P (x, t) = (x).

Il ny a pas de restriction la gnralit choisir les valeurs de telles que k soit pair.

P (n, k ) f (n)

0 0

dx P (x, t)f (x),

(1.11)

t x , n = , D (cos )k = ek ln | cos | ,

=

2 2 ,

k pair,

e ln|cos(

t

)|

.

(1.12)

+O 3/2 =0

(1.13)

.

(1.14)

,

(1.15)

(1.16)

(1.18) (1.19) (1.20)

1.1. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE EINSTEIN En dimension 3, lquation de diusion est est le laplacien, et admet pour solution P (x, t) = 1 (4Dt) t P (x, t)

73 2 i=1 x2 i

= D P (x, t), o =

e 4Dt . 3/2

|x|2

(1.21)

Pour des raisons de symtries le premier moment est nul x(t) =

dx x P (x, t) = 0,

(1.22)

ce qui signie que la particule reste lorigine en moyenne. On a par contre (x(t))2 = x2 (t) x(t)2

= x2 (t) =

dx x2 P (x, t) = 2Dt,

(1.23)

ce qui montre que les uctuations x croissent selon t 1/2 . Une telle loi de puissance des uctuations est caractristique dun phnomne diusif, tandis que lorsque x t on est en prsence dun phnomne balistique. La gnralisation de la densit de probabilit P (x, t) solution de lquation (1.16) des conditions initiales x0 = 0 et t0 = 0 sobtient immdiatement grce lhomognit de lespace et du temps. Dans ce cas P (x0 , t0 |x, t) = 1 4D(t t0 ) e0 4D(tt (xx )2 0)

,

P (x0 , t0 |x, t)|t=t0 = (x x0 ),

(1.24)

quon appelle solution fondamentale de lquation de diusion. La condition initiale donne par x0 et t0 peut elle-mme tre sujette une distribution statistique W (x0 , t0 ). Dans ce cas, la densit de probabilit de trouver la particule en x au temps t sera P (x, t) =

dx0 W (x0 , t0 ) P (x0 , t0 |x, t),

(1.25)

qui satisfait encore (1.17) en vertu de la linarit de lquation de diusion, avec condition initiale P (x, t)|t=t0 = W (x, t0 ) . Il est instructif de comprendre comment raliser dans la pratique les moyennes x2 (t) et x(t) , dites moyennes empiriques. Soit x i (t) la ime ralisation dun chemin brownien au temps t, soient N expriences ou ralisations du processus, 1 i N . Bien entendu, le nombre de mesures ralises N est en pratique ni mais en principe aussi grand quon le dsire. Les valeurs moyennes considres sont alors donnes par 1 x(t1 ) = lim N N x2 (t1 ) = limN

xi (t1 ) = 0i=1 N

(1.26) (1.27) (1.28)

1 N N

x2 (t1 ) ii=1 N

1 x(t1 )x(t2 ) = lim N N

xi (t1 )xi (t2 ),i=1

8 x PSfrag replacements


x1 (t) x2 (t) x3 (t) t x4 (t) t1 t2

0

Fig. 1.6 Ralisations xi (t) du processus brownien et moyenne empirique aux temps t1 et t2 . ce qui justie ainsi la notation x(t 1 ) , x2 (t1 ) , . . . adopte en (1.22) et (1.23) pour les moments de la distribution de probabilit P (x, t) (voir chapitre 2). Lexpression (1.28) est appele corrlation du processus aux temps t 1 et t2 . Il existe une autre mthode, dite aux dirences nies, pour dterminer la distribution de probabilit P (x, t). En observant la ralisation du processus de la marche alatoire de la gure 1.5, on constate que P (n, k ) satisfait lquation aux dirences nies P (n, (k + 1) ) = pP ((n 1), k ) + qP ((n + 1), k ). (1.29)

En eet, si on observe une particule en n au temps (k + 1) , alors au pas de temps prcdent cette dernire tait soit en (n 1), soit en (n + 1). Dans le premier cas, la particule sest dplace vers la droite avec probabilit p, tandis que pour le second cas elle sest dplace vers la gauche avec probabilit q. tant donn que nous considrons le cas symtrique, alors p = q = 1 et en soustrayant P (n, k ) de chaque ct de lgalit (1.29) 2 on obtient P (n, (k+1) )P (n, k ) = En posant x = n, t = k on a P (x, t + ) P (x, t) 2 = 2=D

1 P ((n+1), k )2P (n, k )+P ((n1), k ) . (1.30) 2

P (x + , t) 2P (x, t) + P (x , t) 2

,

(1.31)

qui dans la limite 0 et 0 tend formellement vers lquation de diusion (1.17)

1.1.4

Relation de Einstein pour la constante de diusion

Dans cette section on donne linterprtation physique de la constante de diusion D. Supposons quon ait N particules browniennes indpendantes (ou en interaction susamment faible pour pouvoir tre nglige) dont la densit n(x, t) est donne par n(x, t) = N P (x, t), (1.32)

1.1. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE EINSTEIN

9

Fig. 1.7 Simulation numrique dun mouvement diusif en une dimension pour D = et D = 10 (courbe du bas).

1 2

(courbe du haut)

avec la normalisation dx n(x, t) = N . Comme P (x, t) satisfait lquation de diusion 2 t P (x, t) = D x2 P (x, t), alors il en est de mme pour n(x, t). Le courant de particules d aux eets diusifs est dni par la loi de Fick jD (x, t) = D n(x, t), x (1.33)

de telle faon que lquation de continuit soit vrie n(x, t) + jD (x, t) = 0. t x (1.34)

Supposons prsent que les particules soient dans un champ constant, par exemple un champ gravique, et que ces particules se trouvent dans un uide visqueux donc subissent une friction proportionnelle leur vitesse v. Soit la constante damortissement de la vitesse, m le coecient de friction, alors lquation de Newton donne m d v(t) = mg mv(t). dt (1.35)

Le champ de force produit un courant de particules j g (x, t) dni par jg (x, t) = n(x, t)v(t). (1.36)

Remarquons que le recours lquation de Newton consiste en une description macroscopique, dterministe et non alatoire du phnomne. Par contre, la loi de Fick traduit un phnomne diusif, donc caractre non dterministe et alatoire.

10


Considrons prsent le rgime stationnaire, caractris par lquilibre thermique, dans d lequel dt v = 0. Par consquent, lquation de Newton (1.35) permet dobtenir lexpression g v = pour la vitesse dans ltat stationnaire. En substituant cette dernire expression dans la dnition (1.36) de jg (x, t), on obtient jg (x) = g n(x) . (1.37)

Dautre part, lquilibre thermique dans le champ extrieur, la physique statistique de Gibbs sapplique. Par consquent, n(x) est donn par la formule baromtrique n(x) = n(x0 )eV (xx0 ) kB T

= n(x0 )e

mg(xx0 ) kB T

,

(1.38)

avec kB la constante de Boltzmann et V (x) = mgx le potentiel gravique. En insrant (1.38) dans la dnition (1.33) du courant de diusion j D (x, t) on obtient jD (x) = D Le courant total j(x, t) = jg (x, t) + jD (x, t). (1.40) a deux composantes, lune due au champ de force g et lautre due au gradient de densit. Or, lquilibre correspond un courant total nul. Ainsi, en insrant (1.37) et (1.39) dans (1.40), on obtient g n(x) mg n(x) j(x) = +D = 0, (1.41) kB T ce qui mne nalement la relation de Einstein pour la constante de diusion D D= kB T . m (1.42) mg n(x) . kB T (1.39)

Remarques (i) La constante de diusion est indpendante du champ de gravitation g et plus gnralement, comme on le vriera plusieurs reprises, de la nature du champ de force agissant sur la particule brownienne. Lquation (1.42) est un exemple dune relation fondamentale qui existe entre les uctuations (reprsentes par le coecient D) et la dissipation (reprsente par le coecient ). Cest le germe de ce quon appelle une relation de uctuation-dissipation. De plus amples explications sont fournies dans la section 7.4 la page 150. R (ii) Comme kB = N , avec N le nombre dAvogadro et R la constante des gaz parfaits, alors N peut-tre mesur partir du mouvement brownien. Le physicien franais J. Perrin obtient en 1926 le prix Nobel de physique pour avoir dtermin le nombre dAvogadro de plusieurs manires direntes, dont celle se basant sur la relation de Einstein, apportant ainsi une preuve de la nature atomique de la matire (voir [Wa]).


11

1.1.5

quation de Smoluchowski

Comment dcrire le mouvement dune particule brownienne dans un champ de forces ? Ce dernier exerce un eet de drive que lon peut simuler par une marche alatoire asymtrique p = q. Supposons pour commencer que le champ de force est constant et posons p = 1 + , 2 1 q = 2 , avec une constante indpendante de la position. Drivons lquation laquelle satisfait la densit de probabilit P (x, t) dans la limite 0 et 0. Pour cela, reprenons lquation (1.29) en remplaant les valeurs de p et q. En soustrayant P (n, k ) de chaque ct de lgalit, on obtient P (n, (k + 1) ) P (n, k ) = 1 P ((n + 1), k ) 2P (n, k ) + P ((n 1), k ) 2 P ((n + 1), k ) P ((n 1), k ) . nouveau, en divisant par et en posant 0, on obtient lquation cherche2 2

(1.43)

= D pour ensuite faire la limite 0 et (1.44)

2 P (x, t) = 4D P (x, t) + D 2 P (x, t). t x x

Considrons maintenant un champ inhomogne, cest--dire = (n) dpend du site 1 n. Dans ce cas p(n) = 1 + (n), q(n) = 2 (n), et la densit de probabilit 2 P (x, t) obit lquation P (n, (k + 1) ) = p((n 1))P ((n 1), k ) + q((n + 1))P ((n + 1), k ), ce qui se rcrit sous la forme P (n, (k + 1) ) P (n, k ) = 1 P ((n + 1), k ) 2P (n, k ) + P ((n 1), k ) 2 (1.45)

((n + 1))P ((n + 1), k ) ((n 1))P ((n 1), k ) , (1.46) qui dans la limite 0 et 0 se rduit 2 (x)P (x, t) + D 2 P (x, t). P (x, t) = 4D t x x Ceci donne lide, pour des raisons de dimensions, de poser 4D (x) = force2 agissant sur la particule, et dcrire en gnral 2 1 F (x)P (x, t) + D 2 P (x, t). P (x, t) = t m x xF (x) m

(1.47) o F (x) est la

(1.48)

Cette dernire quation est dite quation de Smoluchowski, du nom de celui qui la tablie en 1906 pour dcrire la distribution de probabilit dune particule brownienne dans un milieu inhomogne.L Notons M pour une masse, L une longueur et T un temps. La dimension de D(x) est T , est une ML 1 constante de dimension T , si bien que [F (x)] = [mD(x)] = T 2 a les dimensions dune force. 2

12


Remarque Les quations (1.44) et (1.48) sont des cas particuliers de lquation de FokkerPlanck (voir les sections 3.1 la page 43 et 3.2.1 la page 46). Linterprtation de F (x) comme champ de force sera conrme par ltude de lquation de Kramers (voir la section 3.4.1). Nous dsirons donner la solution de lquation de Smoluchowski (1.48) avec une force de gravitation F (x) = mg, puis une force harmonique F (x) = x. Dans ces deux cas, on va encore trouver des solutions gaussiennes de la forme P (x, t) =(xa(t))2 1 e 2(t) , 2(t)

(1.49)

o la valeur moyenne x = a(t) et lcart-type (x a(t))2 = (t) dpendent du temps. Les moments de la gaussienne (1.49) sont x(t) =

dx x P (x, t) = a(t),2

(1.50) dx x2 P (x, t) dx x P (x, t) = (t). (1.51)

(x(t) a(t))2 = x2 (t) a2 (t) =

Pour dterminer a(t) et (t), il sut dcrire leur quation du mouvement. On a par intgration par parties d x(t) dt(1.50)

=

(1.48)

=

=

P (x, t) t 2 1 dx x F (x)P (x, t) + D dx x 2 P (x, t) m x x 1 1 x F (x) P (x, t)| dx F (x) P (x, t) m m dx x D

dx

P (x, t) +D x P (x, t) x x=0

=0

= P (x,t)| =0

en supposant que P (x, t) et sa drive sannule susamment rapidement linni (ce qui d est le cas pour la gaussienne (1.49)). On procde de faon similaire avec dt x2 (t) pour nalement obtenir les quations d 1 x(t) = F (x(t)) dt m d 2 2 x (t) = x(t)F (x(t)) + 2D. dt m (1.53) (1.54)

Les conditions initiales caractrisant une particule se trouvant en x 0 au temps t = 0 sont a(t = 0) = x0 et (t = 0) = 0. (i) Force de gravitation : F (x) = mg. Les quations du mouvement (1.53) et (1.54) deviennent g d x(t) = (1.55) dt 2g d 2 x (t) = x(t) + 2D, (1.56) dt

,

(1.52)

1.1. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE EINSTEIN ce qui, avec les conditions initiales x(0) = x 0 et x2 (0) = x2 , donne 0 x(t) = x0 x (t) =2

13

g t, 2

(1.57) + 2Dt, (1.58)

g x0 t

g do a(t) = x0 t et (t) = 2Dt, par consquent

1 (x x0 + gt/)2 P (x, t) = exp 4Dt 4Dt

(1.59)

dcrit une particule en translation uniforme dans le uide inniment tendu avec g une dispersion 2Dt autour de sa position moyenne x 0 t. Il ny a donc pas dtat stationnaire (contrairement au cas trait dans la section 1.1.4 o le uide tait suppos rsider dans le demi-espace x 0). (ii) Force harmonique : F (x) = x. Les quations du mouvement (1.53) et (1.54) deviennent d x(t) = x(t) , dt m d 2 2 x (t) = x2 (t) + 2D. dt m Avec condition initiale x(0) = x0 lquation (1.60) a pour solution x(t) = x0 e m t = a(t).2

(1.60) (1.61)

(1.62)

On vrie que la forme dessai x2 (t) = A(t)e m est solution de lquation (1.61) sous la condition 2 d t (1.63) A(t) = 2De m , dt do 2 Dm m t e + C, (1.64) A(t) = avec C une constante. En utilisant la condition initiale x2 (0) = x2 on dtermine 0 la constante C = x2 Dm , donc 0

t

x2 (t) =

2 2 Dm 1 e m t + x2 e m t . 0

(1.65)

Les quations (1.62) et (1.65) donnent (t) = x2 (t) x(t)2

=

2 Dm 1 e m t ,

(1.66)

et par consquent en insrant (1.66) et (1.62) dans la distribution de probabilit gnrale (1.49) on obtient t 2 x x0 e m exp (1.67) P (x, t) = . 2 2 m t m t 2Dm 1 e 2Dm 1 e

14

CHAPITRE 1. MOUVEMENT BROWNIEN On voit quun tat stationnaire est atteint pour des temps innist

lim P (x, t) =

exp x2 . 2Dm 2mD

(1.68)

Comme si D =

1 2 2 x kB T m

est lnergie potentielle de loscillateur harmonique, la distribution

(x) (1.68) sidentie la distribution thermique de loscillateur P (x, t) exp VB T k

, ce qui impose nouveau la relation de Einstein.

1.1.6

Chane molculaire alatoire et chemin brownien

Les chemins browniens sont susceptibles de recevoir beaucoup dinterprtations varies en physique. Voici un exemple. On considre une chane molculaire compose de N + 1 monomres, une extrmit de la chane tant xe lorigine, lautre se trouvant au point r 3 . On suppose

(i) Deux monomres conscutifs sont distance xe a, et la position r j du j me monomre ne dpend que ce celle du monomre prcdent en r j1 . (ii) Toutes les orientations dun monomre relativement au prcdent sont quiprobables, cest--dire P (rj1 |rj ) = P (|rj rj1 | a) = 1 (|rj rj1 | a), 4a2 (1.69)

o P (rj1 |rj ) dsigne la probabilit conditionnelle de trouver le j me monomre en rj , sachant que le prcdent est en rj1 . Cette dernire probabilit est normalise par rapport rj sur la surface de la sphre de rayon a centre en r j1 . rj1

PSfrag replacements

a

r1 r2

rj

r0 = 0

rN = r

rN 1

Fig. 1.8 Polymre form de N + 1 monomres espacs dune distance a. Nous dsirons trouver la distribution P N (r) qui donne la probabilit davoir une chane de longueur N se terminant en r. En vertu de lhypothse dindpendance (i), la probabilit dune conguration de la chane r0 = 0, r1 , r2 , . . . , rN = r est W (r1 , r2 , . . . , rN 1 , r) = P (r1 ) P (r1 |r2 ) . . . P (rN 2 |rN 1 ) P (rN 1 |r), (1.70)


15

avec P (rj1 |rj ) donn par (1.69). La distribution de probabilit P N (r) dune chane de longueur N a aboutissant en r sobtiendra de (1.70) en sommant sur toutes les positions des monomres 1 N 1 PN (r) =3(N 1)

d3 r1 . . . d3 rN 1 W (r1 , r2 , . . . , rN 1 , rN )

(1.70)

=

(1.69)

=

alors ri = i = 1, . . . , N , et on vrie que le jacobien de la transformation N 3 r . . . d3 r 3 3 3 , alors en utilisant r = d 1 N 1 = J d x1 . . . d xN 1 est J = 1. Soit k i=1 xi la transforme de Fourier PN (k) de PN (r) est PN (k) =3

Il sagit dun produit de convolution multiple qui se factorise dans la reprsentation de Fourier. Le dtail du calcul est comme suit. Soit le changement de variables qui permet de dcoupler les intgrales x1 r1 x2 r2 r 1 (1.72) . = , . . . . . xNi j=1 xi

d3 r PN (r) eikr d3 x1 (|x1 | a) ikx1 e ... 4a2

(1.71)

=

3

3

d3 xN 1

=3

d3 x

(|x| a) ikx e 4a2

N

,

ce qui donne par passage en coordonnes sphriques PN (k) =x= cos()

1 4a2 1 21 1

0

dr r 2 (r a)N

0

d sin()ei|k|r cos()0

=

dx ei|k|axN

=

Par transforme de Fourier inverse PN (r) = 1 (2)3

sin (|k|a) |k|a

.

d3 k3

En pratique un polymre est form de N 1 monomres, donc on va prendre le comportement asymptotique N de (1.75). Comme sin(x) < 1 pour tout x = 0, alors x

sin (|k|a) |k|a

...

3

d3 r1

1 1 d3 r2 (|r1 | a) (|r2 r1 | a) . . . 4a2 4a2 3 1 1 d3 rN 1 (|rN 1 rN 2 | a) (|r rN 1 | a). (1.71) 4a2 4a2 3

3

d3 r1 P (r1 )

3

d3 r2 P (r1 |r2 ) . . .

3

d3 rN 1 P (rN 2 |rN 1 ) P (rN 1 |r)

r rN 1

(|xN 1 | a) ikxN 1 e 4a2 (|xN | a) ikxN e d3 xN 4a2 3 (1.73)

2

N

d

(1.74)

N

eikr .

(1.75)

16N


limN sin(x) = 0, et donc la contribution dominante de lintgrand pour N grand x provient du voisinage |k| = 0 ce qui permet dcrire (|k|a)2 sin (|k|a) =1 + O |k|4 . |k|a 6 (1.76)

Ngligeant le reste dordre |k|4 , en insrant (1.76) dans (1.75) et en utilisant ln(1 + x) = x + O x2 on obtient PN (r) =(1.76)

1 (2)3 1 (2)3 1 (2)33

d3 k e3

N ln

sin(|k|a) |k|a (|k|a)2 6

eikr eikr

d ke3

3

N ln 1

d3 k eN3

|k|2 a2 6

eikr , 1 (1.78)2

=j=1

qui en utilisant la relation gnrale (1.15) devient nalement pour N PN (r) = 3 2N a23/2

En comparant (1.78) et (1.21) on en dduit que la constante de diusion est D = a alors 6 a2 que le "temps" est t t0 = N , et r2 = N3 traduit un comportement diusif. Lcart quadratique moyen se comporte donc comme N a, et non comme la longueur de la chane N a. Ainsi, dans la limite continue, la chane peut tre assimile un chemin brownien trois dimensions. Cette analogie sera reprise dans la section 3.7.3.

1.21.2.1

Mouvement brownien au sens de Langevinquation de Langevin et force alatoire

La thorie de Einstein nest pas dynamique au sens de Newton (il ny a pas de notion de vitesse et dacclration) et le concept de force est introduit par Smoluchowski de faon ad hoc, dans un contexte probabiliste. Lide principale de Langevin est que les quations de la mcanique restent valables en moyenne. Ainsi, pour une particule dans un milieu avec coecient de friction , on crit d v(t) = v(t) , dt (1.79)

d avec v(t) = dt x(t) . La moyenne est une moyenne ralise sur toutes les trajectoires possibles dune particule, soumise un champ de force alatoire f (t). Lquation qui gouverne la trajectoire de la particule soumise une ralisation de la force f (t) est alors

m

d v(t) = m v(t) + f (t), dt

1 2

dk e

N a2 6

k 2 +ikrj

(1.77)

e 2N a2 |r| .

3

2

(1.80)

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE LANGEVIN

17

On choisit la force f (t) agissant sur la particule de faon modliser leet des collisions microscopiques. Il sagit donc dune force inconnue, complique et non reproductible que lon va traiter de faon alatoire. Supposons avoir N 1 ralisations de la force f (t), notes f1 (t), f2 (t), . . ., fN (t), alors lquation (1.80) fournira les N solutions v 1 (t), v2 (t), . . ., vN (t), ce qui permet de raliser les moyennes en question. Quelles sont les proprits statistiques de f (t) ? Hypothse 1.1 tant donn que la friction est dj prise en compte dans (1.80) et que f (t) ninclut que les eets alatoires dus aux collisions dans un espace isotrope et homogne, alors sa moyenne doit tre nulle f (t) = 1 NN

fi (t) = 0.i=1

(1.81)

PSfrag replacements

f (t) f1 (t) f2 (t) f3 (t) t f (t) f4 (t) t1 t2

0

Fig. 1.9 N

1 ralisations de la force f1 (t), f2 (t), . . ., fN (t), et force moyenne nulle f (t) (courbe paisse confondue avec labscisse).

En eet, en exploitant cette hypothse on obtient bien (1.79) de (1.80). Par consquent, en moyenne leet des collisions simul par f (t) est nul, et la seule force systmatique que ressent la particule est la friction. Ainsi v(t) = v0 et , et avec la condition initiale x0 = 0 la position moyenne estt

(1.82)

x(t) avec v(0) = v0 .

v0

=0

d v( ) = v0

1 et ,

(1.83)

La corrlation de la force entre les temps t 1 et t2 est dnie par 1 f (t1 )f (t2 ) = NN

fi (t1 )fi (t2 )i=1

(1.84)

et son temps de corrlation tc est lintervalle de temps pendant lequel cette quantit est non nulle.

18


Hypothse 1.2 Comme f (t) varie lchelle du temps de collision microscopique, son temps de corrlation tc est beaucoup plus petit que le temps de relaxation de la vitesse 1 , tc 1 ; (1.85)

cest--dire que f (t1 ) et f (t2 ) sont des variables alatoires indpendantes ds que |t 1 t2 | > tc . On idalise cette situation en postulant que la corrlation entre f (t 1 ) et f (t2 ) est nulle si t1 = t2 , cest--dire que la corrlation est instantane f (t1 )f (t2 ) = C (t1 t2 ),

(1.86)

avec C

une constante.

tant donn que le problme des valeurs moyennes est rsolu par les quations (1.82) et (1.83), tudions les uctuations de vitesse.

1.2.2

Fluctuations des vitesses

La solution de (1.80) avec v(0) = v0 est v(t) = v0 et + 1 mt 0

ds e(ts) f (s).

(1.87)

Ainsi, en tenant compte de lhypothse 1.1 assurant f (t) = 0 on a v(t1 )v(t2 )v0

=

1 m2

t1

t2

ds10 0

2 ds2 e(t1 s1 ) e(t2 s2 ) f (s1 )f (s2 ) +v0 e(t1 +t2 ) .(1.86)

= C(s1 s2 )

(1.88)

On calculet1 t2

ds10 0

ds2 e(s1 +s2 ) (s1 s2 ) =0

ds10

ds2 e(s1 +s2 ) (t1 s1 )(t2 s2 )(s1 s2 )

=0

ds1 e2s1 (t1 s1 )(t2 s1 )=(min(t1 ,t2 )s1 )

min(t1 ,t2 )

=0

ds1 e2s1 (1.89)

=

1 e2 min(t1 ,t2 ) 1 . 2

En insrant (1.89) dans (1.88) on obtient en utilisant t 1 + t2 2 min(t1 , t2 ) = |t1 t2 | v(t1 )v(t2 )v0

=

C 2 e|t1 t2 | e(t1 +t2 ) + v0 e(t1 +t2 ) . 2m2

(1.90)

En particulier pour t1 = t2 = t on a v 2 (t)v0

=

C 2 1 e2t + v0 e2t . 2m2

(1.91)

1.2. MOUVEMENT BROWNIEN AU SENS DE LANGEVIN Lindice v0 rappelle que la vitesse initiale nest pas alatoire, mais xe v 0 .

19

Pour dterminer C, on pose que la particule approche lquilibre thermique pour t , par consquent lquipartition de lnergie donne 1 1 m v 2 (t) = kB T. t 2 2 lim Dautre part, on tire de lquation (1.91) lim C 1 m v 2 (t) = . 2 4m (1.93) (1.92)

t

En galant (1.92) et (1.93) on tire la constante C C = 2mkB T. (1.94)

v22(2)kB T m 2 = 1 < v0 = 2

1.5kB T m 2 = 1 =v0

(1)

1

0.5

(3)

PSfrag replacements

kB T m

2 = 1 > v0 =

1 5

t0.5 1 1.5 2

(t) pour une temprature xe kB T = v 2 = 1 (droite m (1)), v < = 2 (courbe (2)) et v > = (courbe (3)). La droite (1) reprsente le cas o la vitesse initiale v0 est exactement la vitesse dquilibre. La courbe (2) reprsente le cas o la vitesse v0 est suprieure la vitesse dquilibre, tandis que pour (3) v0 y est infrieure. Ce dernier cas correspond une vitesse v0 tellement faible que les uctuations thermiques acclrent la particule.v0 2 2 v0 2 2 v0 1 5

Fig. 1.10 Reprsentation adimensionelle de v 2

Avec la valeur de C trouve, lquation de Langevin devient d v(t) = v(t) + dt 2kB T f (t), m (1.95)

avec f (t1 )f (t2 ) = (t1 t2 ). Le processus de Langevin dcrit la thermalisation dune particule de vitesse initiale v0 .

20


1.2.3

Fluctuations des positions

On sintresse maintenant la uctuation des positions, et plus spciquement, supposant x0 = 0, lcart quadratique moyen x2 v0 (t). Notons = (kB T )1 , alors en utilisant (1.94) et (1.90) on a x2 (t)t v0 t

=0 (1.90)

dt1 1 m0 t

dt2 v(t1 )v(t2 )t

v0 t 2

=

dt10 =2t 0

dt2 e0t1 0

|t1 t2 |

dt1 e0

t1

+

2 v0

t

2

dt1 e0

t1

dt1

dt2 e(t1 t2 )

= =

1 2 m

t et 1 + 2

1 t e 1

2 2 + v0

1 t e 1 2

2

1 2 2 t+ 4et e2t 3 + v0 m m 2

1 t e 1

,

(1.96)

En dveloppant les deux premiers termes de (1.96) pour t petit, on voit quils ne contribuent pas jusqu lordre t3 , ainsi x2 (t) et pour les temps longs, x2 (t)t v0 t0 v0

qui dcrit lcart quadratique moyen de la position dune particule de conditions initiales {x0 = 0, v0 } dans un uide lquilibre thermique.

(v0 t)2 ,

(1.97) (1.98)

2 t = 2Dt. m

Pour t 0, on trouve la loi du mouvement balistique x(t) v 0 t car si le temps t est susamment petit (t < tc ), il ny a pas encore eu de collisions. Pour t , le temps est susamment grand pour quil y ait eu beaucoup de collisions et on retrouve la loi de diusion de Einstein (1.23). En particulier, (1.98) montre que la 1 constante de diusion D = m prend nouveau la valeur prdite par Einstein. La thorie de Langevin interpole donc entre le comportement balistique et diusif. Dans cette analyse, nous avons attribu la particule une vitesse initiale v 0 bien dtermine. Si ce nest pas le cas, la particule tant tout instant immerge dans le uide 2 lquilibre, il est naturel de remplacer v 0 par sa moyenne thermique 1/(m). Les relations (1.90), (1.91) et (1.96) deviennent alors compte tenu de (1.94) (supprimant alors lindice v0 ) v(t1 )v(t2 ) m 2 v (t) 2 x2 (t) = = = 1 |t2 t1 | e m 1 2 2 t + et 1 m 2 (1.99) (1.100) (1.101)

On voit que la corrlation des vitesses tend exponentiellement vite vers zro et que lnergie cintique moyenne reste stationnaire au cours du temps.

Chapitre 2

Processus stochastiques2.1 Introduction

Tout processus dont lvolution temporelle peut tre analyse en termes de probabilit est dit processus stochastique. La notion de processus stochastique est donc trs gnrale. Le processus peut tre vectoriel, valeurs discrtes ou continues. Il se manifeste par lobservation dune grandeur x(t) variable au cours du temps t. Par exemple, x(t) peut tre la coordonne dune particule brownienne, la position dun piston soumis au choc des molcules dun gaz, la concentration dune substance chimique, le nombre de photons absorbs ou mis par un atome, les valeurs boursires, ou encore le nombre de personnes attendant au bas dune le de tlski. Il sagit souvent dune observable macroscopique soumise aux eets dun grand nombre de variables microscopiques. Comment analyser en pratique un processus stochastique ? Nous traitons par la suite le cas dun processus scalaire continu. 1 On rpte une succession de N expriences avec la mme condition initiale x(t0 ) = x0 . On obtient ainsi N ralisations du processus. tant donn que nous dcrivons le processus en termes de probabilit, il faut trouver un moyen de construire les distributions de probabilit partir de lexprience. Pour ce faire, considrons une squence de temps t0 , t1 , . . ., tn . Lide est alors de prendre au temps t j un petit intervalle Ij = [xj , xj + dxj ], et de regarder le nombre de ralisations qui passent dans cet intervalle au temps tj . La probabilit quune ralisation prenne une valeur entre x j et xj + dxj sobtiendra alors naturellement comme le nombre de ralisations passant par I j divis par le nombre total de ralisations. Ceci conduit aux dnitions suivantes.

2.1.1

Probabilits absolues et conditionnelles

Soient n intervalles Ij = [xj , xj + dxj ], j = 1, . . . , n, n = 1, 2, . . .. Nous dnissons les distributions de probabilit jointes du processus par W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) dx1 . . . dxn = probabilit de trouver {x(t1 ) I1 , . . . , x(tn ) In } nb. de ralisation qui passent dans I 1 , . . . , In , (2.1) = nb. total de ralisations avec ti = tj i = j et i, j n, n = 1, 2, . . ..1

Les dnitions se gnralisent aisment aux processus vectoriels ou valeur discrte.

21

22 x(t) xk x2 x0 x1 I1

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES

Ik I2 x1 (t) x2 (t) x3 (t)

t0

t1

t2

tk

xN (t) t

Fig. 2.1 Construction de distributions de probabilit partir de N 1 ralisations dun processus stochastique. Contrairement la dnition des Ij = [xj , xj + dxj ], ce schma reprsente des intervalles Ij symtriques autour de xj . Dnition 2.1 (Probabilits absolues) Les fonctions W (x 1 , t1 ; . . . ; xn , tn ), t1 = t2 = . . . = tn , sont appeles probabilits absolues du processus, 2 et doivent satisfaire aux conditions naturelles suivantes. (i) W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) 0 (ii) k dx1 . . . dxn W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = 1 {x1 , t1 ; . . . ; xn , tn } (iii) W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) est une fonction symtrique sous les permutations des arguments {x1 , t1 ; . . . ; xn , tn }. dxn W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = W (x1 , t1 ; . . . ; . . . ; xn1 , tn1 ) (iv) La condition (iii) tient la logique commutative de formulation de la probabilit jointe de plusieurs vnements. La condition (iv) est vidente car la somme sur tous les vnements possibles au temps tn rduit la distribution celle des vnements aux temps t 1 , . . . , tn1 . Cest une relation de compatibilit entre les distributions n et n 1 arguments. Si tn tn1 , on pose lim W (x1 , t1 ; . . . ; xn1 , tn1 ; xn , tn ) = W (x1 , t1 ; . . . ; xn1 , tn1 ) (xn xn1 ) (2.2)

tn tn1

puisqualors les variables xn et xn1 doivent tre identies. Dnition 2.2 (Processus stochastique) Un processus stochastique est dni par la donne de lensemble des probabilits absolues {W (x 1 , t1 ; . . . ; xn , tn )}n1 satisfaisant aux conditions (i)-(iv). Dnition 2.3 (Processus stationnaire) Un processus stochastique est dit stationnaire si W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = W (x1 , t1 + ; . . . ; xn , tn + ) , n 1. En particulier (i) W (x1 , t1 ; x2 , t2 ) = W (x1 , 0; x2 , t2 t1 )Par brivet de langage et si cela ne prte pas confusion, on qualie W de probabilit alors quil sagit dune densit de probabilit si x est une variable continue.2

2.1. INTRODUCTION (ii) W (x1 , t1 ) = W (x1 ) est indpendant du temps.

23

Dans lexemple de la gure 2.1 o la condition initiale est xe, la distribution un temps est telle que limtt0 W (x, t0 ) = (x x0 ). Si les conditions initiales sont alatoires, W (x0 , t0 ) dcrit leur distribution. Parfois, on ne dispose que dune seule (longue) squence temporelle sans quil soit possible de gnrer plusieurs ralisations (par exemple une variable mtorologique, la luminosit dune toile, etc.). Si le processus est stationnaire, on peut scinder la squence en N partitions de dure T dont on fera la statistique. x(t) x2 (t) xN (t)

PSfrag replacements x1 (t)

t T 2T NT

Fig. 2.2 Construction de distributions de probabilit partir dune seule squence temporelle dun processus stationnaire x(t). Bien souvent, il est utile de travailler avec les probabilits conditionnelles. Dnition 2.4 (Probabilits conditionnelles) Soient t 1 t2 . . . tk , on dnit alors la probabilit conditionnelle P (x 1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) dxk+1 . . . dxn par P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) dxk+1 . . . dxn = et

probabilit de trouver {x(tk+1 ) Ik+1 , . . . , x(tn ) In } sachant que {x(t1 ) I1 , . . . , x(tk ) Ik } , W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) . W (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk )

(2.3)

P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) =

(2.4)

Ces distributions jouissent des proprits (i) P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) 0 (ii) nk dxk+1 . . . dxn P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) = 1 (iii) P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) est symtrique sous les permutations des arguments {x1 , t1 ; . . . ; xk , tk } et {xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn }. (iv) dxn P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn , tn ) = P (x1 , t1 ; . . . ; xk , tk |xk+1 , tk+1 ; . . . ; xn1 , tn1 ) qui suivent immdiatement de la dnition 2.1. Il dcoule en particulier de (2.2) que

t2 t1

lim P (x1 , t1 |x2 , t2 ) = (x1 x2 ).

(2.5)

24


Pour allger lcriture, nous notons souvent les couples {x i , ti } par leur indice i. La donne des P (1, . . . , k|k + 1) avec W (1) est quivalente celle des W . En eet, par la dnition (2.4) qui dit que P (1, . . . , k|k + 1, . . . , n) = W (1,...,n) , on a W (1,...,k) W (1, 2) = W (1)P (1|2) W (1, 2, 3) = W (1, 2)P (1, 2|3) = W (1)P (1|2)P (1, 2|3)(2.4) (2.7) (2.4) (2.6) (2.4)

(2.6) (2.7)

W (1, 2, 3, 4) = W (1, 2, 3)P (1, 2, 3|4) = W (1)P (1|2)P (1, 2|3)P (1, 2, 3|4) (2.8) . . . W (1, 2, 3, . . . , k) = W (1)P (1|2)P (1, 2|3) . . . P (1, 2, 3, . . . , k 1|k), (2.9)

ce qui donne lexpression des probabilits absolues W connaissant les probabilits conditionnelles P . Un processus stochastique peut donc aussi bien tre dni par la donne de ses probabilits absolues que celle de ses probabilits conditionnelles. Remarque On peut avoir deux points de vue sur le processus x(t). (i) Le processus consiste dans lensemble {x(t, )} de ses ralisations. Les diverses ralisations x(t, ) sont distingues par un indice appartenant un ensemble appropri (par exemple les conditions initiales et lespace de phase ). Souvent on adopte la mme notation x(t) pour dsigner le processus dans son ensemble, ou une de ses ralisations particulire. (ii) Pour chaque t x, x(t) est une variable alatoire usuelle. On peut alors considrer le processus comme la collection (innie) {x(t)} t de toutes ces variables alatoires dont les distributions jointes sont donnes par la hirarchie des fonctions W .

2.1.2

Corrlations, cumulants et fonction gnratrice

Dnition 2.5 (Fonction de corrlation) La fonction de corrlation dordre n du processus, note C(t1 , . . . , tn ), est dnie pour t1 = . . . = tn par C(t1 , . . . , tn ) x(t1 ) . . . x(tn ) =

n

dx1 . . . dxn x1 . . . xn W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ).

(2.10)

Si deux temps concident, on utilise (2.2), par exemple lim C(t1 , t2 ) =

=

dx1 x2 W (x1 , t1 ) 1 (2.11)

= x2 (t1 ) ,

et ainsi de suite. Les fonctions de corrlation gnralisent pour le processus stochastique la notion de moment dune distribution de probabilit.

t2 t1

dx1

dx2 x1 x2 lim W (x1 , t1 ; x2 , t2 )t2 t1 =W (x1 ,t1 ) (x1 x2 )

2.1. INTRODUCTION

25

Une question importante est de savoir sur quelle chelle de temps les variables x(t 1 ) et x(t2 ) ont des corrlations non triviales. Cette information est donne par le comportement de la fonction dautocorrlation. Dnition 2.6 (Fonction dautocorrlation) La fonction dautocorrlation du processus K(t1 , t2 ) est dnie par3 K(t1 , t2 ) = x(t1 ) x(t1 ) x(t2 ) x(t2 ) = C(t1 , t2 ) C(t1 ) C(t2 ). (2.12)

Pour un processus stationnaire K(t 1 , t2 ) = K(|t1 t2 |). Si K(|t1 t2 |) 0 lorsque |t1 t2 | > tc , alors tc est appel temps de corrlation. Ainsi, lorsque |t 1 t2 | > tc , on peut considrer que les variables alatoires x(t 1 ) et x(t2 ) sont pratiquement indpendantes. Une notion importante est celle de fonction gnratrice. Pour une variable alatoire ordinaire, la fonction gnratrice permet dobtenir les moments de la distribution par drivation. Rappelons-en la dnition. Dnition 2.7 (Fonction gnratrice des moments) Soit une variable alatoire x de dx xn P (x), alors on dnit la fonction distribution P (x) dont les moments sont x n = gnratrice des moments G(z) par G(z) = in n n x z = n! n=0

telle que les moments sobtiennent par drivation dn G(z) dz n = in xn .z=0

G(z) est donc la transforme de Fourier de P (x). Cette dernire dnition montre que linformation contenue dans lensemble des moments est quivalente celle de la distribution de probabilit P (x). En eet, connaissant tous les moments (et sous des hypothses de rgularit des fonctions), il est possible de calculer P (x). Cette dnition se gnralise comme suit pour un processus stochastique. Dnition 2.8 (Fonction gnratrice des corrlations) Soit f (t) une fonction test, alors on dnit la fonction gnratrice des corrlations G(f ) par G(f ) = n=0

= =

n=0

in

n!

ei

dt x(t)f (t)

3 Dans la littrature, on trouve souvent le terme fonction de corrlation tronque pour dsigner la fonction dautocorrlation, tandis que la fonction de corrlation est le moment dordre 2. Nanmoins, ces dnominations sont sujettes confusion, et certains auteurs emploient le terme de fonction de corrlation pour dcrire la fonction de corrlation tronque.

in n!

n

dt1 . . . dtn f (t1 ) . . . f (tn ) x(t1 ) . . . x(tn )=C(t1 ,...,tn ) n

dt x(t)f (t) , (2.15)

(izx)n n! n=0

= eizx =

dx eizx P (x),

(2.13)

(2.14)

26


telle que les fonctions de corrlation sobtiennent par drivation fonctionnelle n G(f ) f (t1 ) . . . f (tn ) est = in x(t1 ) . . . x(tn ) .f =0

(2.16)

La relation (2.16) fait apparatre loprateur de drivation fonctionnelle, dont le symbole f (t) . Sa proprit formelle essentielle est f (t) = (t t ), f (t ) (2.17)

do lon tablit facilement (2.16) partir de (2.15). Dnition 2.9 (Cumulants) Les cumulants K(t 1 , . . . , tn ) sont dnis par K(f ) = ln(G(f )) = in n! n=1

n

dt1 . . . dtn f (t1 ) . . . f (tn ) K(t1 , . . . , tn ).

(2.18)

On peut exprimer les corrlations en termes des cumulants, et vice-versa. Par exemple, on a C(t1 ) C(t1 , t2 ) = = K(t1 ) K(t1 )K(t2 ) + K(t1 , t2 ) K(t1 )K(t2 , t3 ) + K(t2 )K(t1 , t3 ) + K(t3 )K(t1 , t2 ) + K(t1 )K(t2 )K(t3 ) + K(t1 , t2 , t3 ) . . . Pour montrer (2.19) (2.21), posons Kn = i n de sorte que K(f ) = ln(G(f )) =

(2.19) (2.20) (2.21)

C(t1 , t2 , t3 ) =

n

dt1 . . . dtn f (t1 ) . . . f (tn ) K(t1 , . . . , tn ), n=1

(2.22)

Kn . n!

(2.23)

Pour trouver les corrlations, nous devons tablir une expression pour G(f ) en fonction des Kn connaissant celle de ln(G(f )), puis identier cette srie avec celle (2.15) dnissant les corrlations. Ainsi, en dveloppant jusquau troisime ordre G(f ) =(2.23)

eln(G(f ))1 1

eK1 + 2! K2 + 3! K3 +... 2 1 1 1 1 1 3 = K 1 + K2 + K3 + K1 + K2 + K1 + . . . 2! 3! 2! 2! 3! 1 1 2 3 = K1 + (K2 + K1 ) + K3 + 3K1 K2 + K1 + . . . 2! 3! i2 (2.22) dt1 f (t1 )K(t1 ) + dt1 dt2 f (t1 )f (t2 ) (K(t1 , t2 ) + K(t1 )K(t2 )) = i 2! 2 i3 + dt1 dt2 dt3 f (t1 )f (t2 )f (t3 ) K(t1 , t2 , t3 ) + 3K(t1 )K(t2 , t3 ) 3! 3 +K(t1 )K(t2 )K(t3 ) = +...

(2.24)

2.2. PROCESSUS MARKOVIEN

27

Le rsultat suit de lidentication terme terme de cette srie (2.24) avec celle (2.15) qui dnit G(f ). On tient galement compte du fait que les fonctions C(t 1 , . . . , tn ) et K(t1 , . . . , tn ) sont symtriques sous lchange de leurs arguments. On peut inverser les relations entre corrlations et cumulants. Par exemple, on voit de (2.19) et (2.20) que K(t 1 , t2 ) nest rien dautre que la fonction dautocorrlation du processus. Les cumulants gnralisent donc cette notion aux corrlations dordre suprieur. Les cumulants sont parfois appels fonctions de corrlation tronques. Lemme 2.1 (Corrlations en fonction des cumulants) La rgle gnrale qui donne lexpression de la fonction de corrlation dordre n en termes des cumulants dordre k n est la suivante. (i) Diviser {t1 , . . . , tn } de toutes les faons possibles en union de sous-ensembles non vides (partitions). (ii) Associer une fonction K chaque sous-ensemble. (iii) Pour chaque partition, prendre le produit des fonctions K. (iv) Sommer sur toutes les partitions possibles. Ceci se formalise de la faon suivante. Soit = {t 1 , . . . , tn }, soit p le nombre de partitions (i) de , soit (i) = ki Aj la dcomposition de selon la ime partition comportant ki n j=1 sous-ensembles nots Aj et indics par j, alors C() =(i) p ki n i=1 j=1

K Aj

(i)

.

(2.25)

2.22.2.1

Processus markovienDnition et exemples

La classe des processus stochastiques dnie par les seules conditions (i)-(iv) de la dnition 2.1 des probabilits absolues est trs vaste. Pour que le concept de processus stochastique soit utile, il est ncessaire de spcier des conditions supplmentaires. Dnition 2.10 (Processus de Markov) Le processus est dit de Markov 4 (ou markovien) si les probabilits conditionnelles ont t 1 < t2 < . . . < tn la proprit P (x1 , t1 ; x2 , t2 ; . . . ; xn1 , tn1 |xn , tn ) = P (xn1 , tn1 |xn , tn ). (2.26)

Une telle dnition quivaut dire que lvnement {x n , tn } ne dpend que du prcdent {xn1 , tn1 }. On dit de faon image que le futur est indpendant de lhistoire du systme, ou encore que le processus est sans mmoire. En fait, le caractre markovien (ou approximativement markovien) dun processus physique est une question dlicate, comme nous le verrons dans lexemple du mouvement brownien et dans dautres situations. Lemme 2.2 La seule donne de W (x, t) et de la probabilit de transition de Markov P (x1 , t1 |x2 , t2 ) dtermine entirement le processus stochastique de Markov.4 Du nom du mathmaticien russe Andre Andreevitch Markov (1856-1922). Il a notamment dmontr les ingalits de Tchebychev, et an la preuve du thorme limite central. Pour tudier la loi des grands nombres, il introduit les chanes ou processus de Markov.

28


Preuve De la dnition 2.2 on sait que le processus stochastique est dni par la donne des fonctions W . De plus, nous avons montr la n de la section 2.1.1 que les W taient entirement dtermins par la donne de W (x 1 , t1 ) et des probabilits conditionnelles P . En appliquant la dnition du processus de Markov sur lquation (2.9) on a W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = W (x1 , t1 )P (x1 , t1 |x2 , t2 )P (x2 , t2 |x3 , t3 ) . . . P (xn1 , tn1 |xn , tn ), (2.27) ce qui achve la preuve car on constate que les deux fonctions W (x, t) et P (x 1 , t1 |x2 , t2 ) dterminent tous les W . Rciproquement, si les W sont de la forme (2.27), on voit de la dnition (2.4) que la proprit de Markov est vrie.

Montrons que tout mouvement dterministe jouit de la proprit de Markov. Exemple 1 (quation dterministe) Considrons lquation direntielle de premier ordre x(t) = F (x(t)).5 Soit (x0 , t t0 ) le ot de lquation donnant la trajectoire x(t) = (x0 , t t0 ) correspondant la condition initiale x(t 0 ) = x0 . Choisissons des points de cette trajectoire, par exemple {x0 , t0 ; x1 , t1 ; x2 , t2 ; . . . ; xn , tn }. tant donn que la condition initiale dtermine compltement la solution, on a x1 = (x0 , t1 t0 ), PSfrag replacements (2.28) (2.29) (2.30)

x2 = (x0 , t2 t0 ) = (x1 , t2 t1 ), . . .

xn = (x0 , tn t0 ) = (xn1 , tn tn1 ). t1 t0 x0 x1 t2 x2

tn xn

Fig. 2.3 Trajectoire dterministe et points xi = x(ti ),i = 1, . . . , n. Puisque la particule partant de {x0 , t0 } doit passer avec certitude par tous les points {xi , ti }n on a par dnition i=1 W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = (x1 (x0 , t1 t0 )) (x2 (x0 , t2 t0 )) En utilisant (2.28) (2.30) dans (2.31) on a W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = (x1 (x0 , t1 t0 )) (x2 (x1 , t2 t1 )) 5

(x3 (x0 , t3 t0 )) . . . (xn (x0 , tn t0 )) . (2.31)

(x3 (x2 , t3 t2 )) . . . (xn (xn1 , tn tn1 )) . (2.32)

Il ny a pas de restriction la gnralit car toute quation direntielle dordre suprieur peut se rduire un systme direntiel de premier ordre (x(t) est alors un processus vectoriel).

2.2. PROCESSUS MARKOVIEN Si lon dnit P (x1 , t1 |x2 , t2 ) = (x2 (x1 , t2 t1 )) , W (x1 , t1 ) = (x1 (x0 , t1 t0 )) , alors en insrant (2.33) et (2.34) dans (2.32) on obtient

29

(2.33) (2.34)

W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = W (x1 , t1 )P (x1 , t1 |x2 , t2 )P (x2 , t2 |x3 , t3 ) . . . P (xn1 , tn1 |xn , tn ), (2.35) ce qui est lquation (2.27) et le processus est entirement dtermin par la donne de W (x1 , t1 ) et de P (x1 , t1 |x2 , t2 ), par consquent le processus est de Markov. La mcanique est donc un processus de Markov vectoriel en considrant le couple {q(t), p(t)} solution des quations canoniques H(q, p), p p(t) = H(q, p), q q(t) =

(2.36) (2.37)

avec conditions initiales q(0) = q0 et q(0) = v0 . Si lon ne considre que le processus q(t) sans tenir compte de p(t), le processus mcanique perd la proprit de Markov car la seule donne de la position ne dtermine plus la trajectoire. Dune manire gnrale, il se peut quun processus devienne markovien en adjoignant des variables, ou quil perde cette proprit en supprimant des variables. Il est donc important de prciser pour quelles variables la proprit de Markov est valable. De plus, si les conditions initiales q 0 et v0 sont statistiquement distribues, le mouvement devient authentiquement alatoire et la proprit de Markov est galement perdue, voir lexemple 2.

Exemple 2 (Mouvement brownien) Supposons un mouvement brownien sans champ de force. On considre les dplacements successifs (x k xk1 ) de la particule et on observe lchelle de temps de rsolution des mesures que ces dplacements sont indpendants lorsquon en fait la statistique. La probabilit conditionnelle dune succession de dplacements dbutant en {x1 , t1 } est alors de la forme P (x1 , t1 |x2 , t2 ; . . . ; xn , tn ) = W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) W (x1 , t1 ) = F (x2 x1 , t2 t1 ; x3 x2 , t3 t2 ; . . . ; xn xn1 , tn tn1 )n1 i=1

=

F (xi+1 xi , ti+1 ti ).

(2.38)

La seconde ligne exprime linvariance de P (x 1 , t1 |x2 , t2 ; . . . ; xn , tn ) sous les translations despace et de temps. La factorisation (2.38) rsulte de lindpendance statistique de ces dplacements pour des intervalles de temps susamment grands (t i+1 ti ), et montre que W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) est prcisment de la forme (2.27). lchelle de rsolution , le processus peut donc tre considr comme markovien. Un tel processus est dit incrments indpendants. Remarquons encore que la proprit de Markov ne peut pas tre rigoureusement satisfaite dans une chelle de temps microscopique, en particulier cause du phnomne de

30 {x1 , t1 }

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES {xn1 , tn1 }

PSfrag replacements

{x2 , t2 } {xn , tn }

{x3 , t3 }

Fig. 2.4 Mouvement brownien et chelle de temps microscopique (trait n) et macroscopique (trait pais). Sur des temps susamment longs, la probabilit de dplacement de la particule situe en {xk , tk } ne dpend pas des dplacements antrieurs, ce qui valide les hypothses de Markov. recollision. Les chocs que subit une particule donne dpendent de toute son histoire antrieure. En eet, supposons quen t 0 la particule a entre en collision avec la particule b. Cette dernire est alors dvie de sa trajectoire et subit par exemple un choc en t 1 avec une particule c. Au temps t2 , la particule b entre nouveau en collision avec la particule a, et donc ce dernier choc subit par a est la consquence directe dune collision qui sest passe avec b en t0 , soit deux pas de temps avant cette dernire collision. Par consquent, la proprit de Markov nest pas vrie pour le mouvement de la particule a. x

PSfrag replacements

a

b

c t tn2 tn1 tn

0

Fig. 2.5 Phnomne de recollision qui montre que la proprit de Markov nest formellement pas vrie pour le mouvement brownien. En eet, la particule a subit une seconde collision avec b qui est la consquence directe de sa trajectoire plusieurs pas de temps auparavant. Par contre, le mouvement brownien peut approximativement hriter de la proprit de Markov si lon considre des collisions "fraches", cest--dire toujours avec des nouvelles particules qui nont pas t aectes par la trajectoire antrieure de la particule test. Ceci est par exemple le cas pour des uides susamment homognes et dilus.


31

Analyse du mouvement brownien du point de vue de la mcanique et relation avec le concept de processus stochastique. Supposons N particules de masse m en interaction avec une particule de masse M (la particule brownienne), de coordonnes y i (t), i = 1, . . . , N et X(t) respectivement. Donne une condition initiale0 yi (t0 ) = yi , 0 yi (t0 ) = vi ,

X(t0 ) = X 0 ,

X(t0 ) = V 0 ,

les quations de Newton permettent en principe de calculer la position de la particule 0 0 brownienne X(t) = X t, yi , vi ; X 0 , V 0 comme fonction des conditions initiales. Si ces dernires ne sont pas prcisment connues, lide est danalyser X(t) comme processus stochastique : les motivations sont doubles. 0 0 (i) Mme si les conditions initiales taient connues, la trajectoire X t, yi , vi ; X 0 , V 0 apparat comme trs erratique, bien que dterministe. On a avantage la dcrire par des outils probabilistes. (ii) Lincertitude sur les conditions initiales donne un caractre probabiliste authentique X(t). Cet exemple montre que le processus peut tre considr comme dpendant dune variable 0 0 alatoire sous-jacente = yi , vi ; X 0 , V 0 (les conditions initiales), cest--dire que les direntes ralisations du processus brownien sont indexes par les valeurs de , et on les notera X(t, ). Supposons que lon connaisse exactement la condition initiale de toutes les particules, alors, comme dans lexemple 1, les distributions jointes sont W (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) = (x1 X(t1 , )) . . . (xn X(tn , )) . (2.39)

Mais comme nous lavons vu, la connaissance parfaite des conditions initiales nest pas possible, donc il est ncessaire dintroduire la distribution de conditions initiales (). Les distributions jointes du processus avec conditions initiales alatoires sont obtenues en pondrant (2.39) avec () W (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) =(2.39)

d ()W (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) d () (x1 X(t1 , )) . . . (xn X(tn , )) . (2.40)

=

On vrie que W (x1 , t1 ; . . . , xn , tn ) dni par (2.40) satisfait aux points (i) (iv) de la dnition 2.1 page 22 des les probabilits absolues, et donc leur donne dnit un processus stochastique, mais ce processus, maintenant dcrit lchelle de temps t c des collisions microscopiques, ne jouit plus de la proprit de Markov. Un thorme gnral d Kolmogorov assure que toute famille de probabilits absolues satisfaisant les points (i) (iv) de la dnition 2.1 peut se mettre sous la forme (2.40) laide dune indexation adquate des ralisations. Toutefois, lespace des vnements est alors abstrait, et na pas toujours une interprtation aise. Les exemples prcdents montrent que lattribution de la proprit de Markov un processus est dlicate. Elle dpend du choix des variables stochastiques et de lchelle des temps dobservation. Dans les exemples proposs dans la suite du cours, on admettra que la proprit de Markov conduit une description acceptable du phnomne physique considr. Ce point reste toujours sujet caution et peut tre invalid par des observations plus nes.

32


2.2.2

quation de Chapman-Kolmogorov

Dnition 2.11 (quation de Chapman-Kolmogorov) Soit un processus stochastique de Markov, alors la probabilit de transition P (x 1 , t1 |x2 , t2 ) et la distribution W (x, t) satisfont P (x1 , t1 |x3 , t3 ) = W (x2 , t2 ) = dx2 P (x1 , t1 |x2 , t2 ) P (x2 , t2 |x3 , t3 ) dx1 W (x1 , t1 ) P (x1 , t1 |x2 , t2 ). (2.41) (2.42)

Lquation (2.41) est appele quation de Chapman-Kolmogorov. Preuve (i) Preuve de lquation (2.41). Soit un processus de Markov, alors En intgrant (2.43) sur x2 on a W (x1 , t1 ; x2 , t2 ; x3 , t3 ) = W (x1 , t1 )P (x1 , t1 |x2 , t2 )P (x2 , t2 |x3 , t3 ). (2.43)

dx2 W (x1 , t1 ; x2 , t2 ; x3 , t3 ) = W (x1 , t1 )=W (x1 ,t1 ;x3 ,t3 ) =W (x1 ,t1 )P (x1 ,t1 |x3 ,t3 )

dx2 P (x1 , t1 |x2 , t2 )P (x2 , t2 |x3 , t3 ). (2.44)

En simpliant les deux cts de (2.44) par W (x 1 , t1 ), on obtient (2.41). (ii) Preuve de lquation (2.42). Soit un processus de Markov, alors En intgrant (2.45) sur x1 on a W (x1 , t1 ; x2 , t2 ) = W (x1 , t1 )P (x1 , t1 |x2 , t2 ). dx1 W (x1 , t1 )P (x1 , t1 |x2 , t2 ), (2.45)

dx1 W (x1 , t1 ; x2 , t2 ) ==W (x2 ,t2 )

(2.46)

ce qui est bien lquation (2.42).

Lquation de Chapman-Kolmogorov (2.41) sinterprte de faon intuitive comme suit. Le processus initi en {x1 , t1 } atteint ltat {x3 , t3 } en passant par lun quelconque des tats x2 en t2 . Ainsi, lintgration sur x2 reprsente la somme sur toutes les faons possibles au temps t2 pour atteindre x3 au temps t3 . Tout processus de Markov livre deux fonctions P (x 1 , t1 |x2 , t2 ) et W (x, t) satisfaisant (2.41) et (2.42). Rciproquement, toute paire de telles fonctions normalises, cest--dire satisfaisant dx W (x, t) = 1 et dx2 P (x1 , t1 |x2 , t2 ) = 1, dnit par lintermdiaire de (2.27) un processus stochastique de Markov. Dans la pratique, le physicien dit quune volution a un caractre markovien ds quil est capable de la dcrire par une probabilit de transition satisfaisant lquation de ChapmanKolmogorov. Cela ne sut pas pour dire que le processus est markovien au sens mathmatique : pour cela il faut encore vrier lquation (2.26) pour tous les n. Une telle vrication nest en gnral pas possible exprimentalement.


33

Dnition 2.12 (Processus de Markov homogne) Un processus stochastique de Markov est dit homogne (dans le temps) si (i) P (x1 , t1 |x2 , t2 ) = P (x, 0|x2 , t2 t1 ). Dnition 2.13 (Processus de Markov stationnaire) Un processus stochastique de Markov est dit stationnaire si (i) P (x1 , t1 |x2 , t2 ) = P (x, 0|x2 , t2 t1 ) (ii) W (x, t) = W (x). Il est clair quun processus stationnaire est homogne, mais la rciproque nest pas vraie.

2.2.3

Loi de semi-groupe

Pour un processus de Markov homogne, il est commode de considrer P (x1 |x2 , t) = x1 |Tt |x2 (2.47)

comme les "lments de matrice" dun certain oprateur T qui agit sur les distributions de probabilit p(x). Lquation de Chapman-Kolmogorov (2.41) devient en tenant compte de la proprit de homognit P (x1 |x3 , t3 t1 ) = dx2 P (x1 |x2 , t2 t1 ) P (x2 |x3 , t3 t2 ). (2.48)

En posant t2 t1 = 1 et t3 t2 = 2 , (2.48) devient P (x1 |x3 , 1 + 2 ) = dx2 P (x1 |x2 , 1 ) P (x2 |x3 , 2 ). (2.49)

Ceci se rcrit en adoptant la notation opratorielle (2.47) x1 |T1 +2 |x3 = ou encore pour les oprateurs

dx2 x1 |T1 |x2 x2 |T2 |x3 ,

(2.50)

T1 +2 = T1 T2 ,

1 0, 2 0, T0 =

(2.51)

ce quon appelle loi de semi-groupe car on a une reprsentation de laddition = 1 + 2 sur laxe positif uniquement. La relation de normalisation scrit dx2 x1 |T |x2 = 1. (2.52)

Si le processus est stationnaire, alors dans cette notation lquation (2.42) donne bien videmment dx1 W (x1 ) x1 |T |x2 = W (x2 ), (2.53) cest--dire (x) = 1 et W (x) sont des vecteurs propres de T droite et gauche respectivement T (x) = 1, W (x)T = W (x), (2.54)

34


pour un processus de Markov stationnaire. On introduit encore le gnrateur du semi-groupe de Markov par

=

G = lim

0

T T0

,

(2.55)

et en utilisant eG = G + O 2 et la loi de semi-groupe (2.51) on obtient T = lim T /N T /N = limN

N

I

G N

N

= eG ,

(2.56)

qui satisfait d T = GT . d En particulier on retrouve partir de (2.57) lquation de diusion (1.17) en posant G = D d2 , dx2 (2.58) (2.57)

qui est le gnrateur du semi-groupe de diusion. Analogie avec lquation de Schrdinger. Loprateur dvolution dun systme quantique est Ut = ei o H est lhamiltonien du systme. Il satisfait i Pour une particule libre H = H0 = d2 . 2m dx22t

H

,

(2.59)

d Ut = HUt . dt

(2.60)

(2.61)

La forme mathmatique des lois (2.56) et (2.59) est la mme si on identie G H/ et it. Nanmoins, la dirence fondamentale provient du facteur purement imaginaire i de lquation de Schrdinger (2.60), ce qui a comme consquence que loprateur dvolution Ut dni par (2.59) satisfait la proprit de groupe par rapport laddition des temps positifs et ngatifs (et non plus la proprit de semi-groupe seulement). Les dirences entre la mcanique quantique et ce formalisme des processus stochastiques markoviens faiblement stationnaires peut tre exprime comme suit. T rgit lvolution irrversible de la distribution de probabilit dune quantit macroscopique. Ut rgit lvolution rversible de lamplitude de probabilit dun objet microscopique.

2.3. PROCESSUS GAUSSIEN

35

2.32.3.1

Processus gaussienDnition, corrlations et fonction gnratrice

est dit proDnition 2.14 (Processus gaussien) Un processus stochastique x(t) cessus gaussien de moyenne nulle si tous les W (x 1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) sont des distributions gaussiennes normalises en les x1 , . . . , xn pour chaque choix de t1 , . . . , tn , cest--dire W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) =

1 (2)n/2

(det A)1/2 e 2

1

n i,j=1

xi Aij xj

(2.62)

avec A Mn ( ) une matrice n n relle Aij , symtrique Aij = Aji , inversible det A = 0, strictement dnie positive n i,j=1 xi Aij xj > 0. Une consquence des proprits de A donnes dans la dnition 2.14 est que A est diagonalisable avec toutes ses valeurs propres i strictement positives. A dpend du choix des temps t1 , . . . , tn . Nous allons expliciter cette dpendance. Lemme 2.3 (Transforme de Fourier de W) La transforme de Fourier des probabilits absolues W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) est donne par W (k1 , t1 ; . . . ; kn , tn ) = e Preuve Notons k|x = alorsn i=1 ki xi1 2 n i,j=1

ki (A1 )ij kj

.

(2.63)n i,j=1 xi Aij xj ,

le produit scalaire usuel, et x|A|x =

W (k1 , t1 ; . . . ; kn , xn )

=n

dx1 . . . dxn ei

k|x

W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn )k|x

(2.64) . (2.65)

(2.62)

=

On sait que toute matrice symtrique relle peut tre diagonalise par un changement de base x = O y o O est une matrice orthogonale O 1 = O t , det(O) = 1. Soit D = O 1 A O = {i i,j }n i,j=1 la diagonalisation de A de valeurs propres i > 0. Avec le changement de variables x = O y (le Jacobien tant J = 1), lquation (2.65) devient (det A)1/2 W (k1 , t1 ; . . . ; kn , xn ) = (2)n/2 (det A)1/2 = (2)n/2

n

dy1 . . . dyn ei dy ei(Ot

n j=1

En utilisant la relation gnrale (1.15) de la page 6, lquation (2.66) devient (det A)1/2 W (k1 , t1 ; . . . ; kn , xn ) = (2)n/2n j=1

(det A)1/2 (2)n/2

n

dx1 . . . dxn ei

e 2

1

x|A|x

k|Oy

e 2 .

1

y|O t AO|y

k)j y 1 j y 2 2

e

(2.66)

(2)1/21/2 j

e

1 2

(O t k)2 j j

.

(2.67)

36

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUESn j=1 j ,

En utilisant linvariance par similitude du dterminant det A = ment W (k1 , t1 ; . . . ; kn , xn ) = e 2 = e 2 = e 21 1 1

on obtient nale-

n 1 t t j=1 (O k)j j (O k)j

k|OD1 Ot |k k|A1 |k

,

(2.68)

ce qui est la mme quation que (2.63), et donc achve la preuve.

Lemme 2.4 (Corrlations dun processus gaussien) Les corrlations dun processus sobtiennent par x(t1 ) . . . x(tn ) = 1 ... W (k1 , t1 ; . . . ; kn , tn ) n k i kn 1 . (2.69)

ki =0 i

Preuve (Lemme 2.4) Il sut de constater que x(t1 ) . . . x(tn ) = =

n

dx1 . . . dxn x1 . . . xn W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) dx1 . . . dxn ei k|x W (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn )(2.64)

ce qui est bien la mme quation que (2.69), et par consquent achve la preuve. Dans le cas dun processus gaussien (de moyenne nulle), on appelle covariance du processus sa corrlation deux temps C(t 1 , t2 ), et on a C(ti , tj ) = x(ti ) x(tj ) = A1ij

Lexpression de la covariance C(ti , tj ) = x(ti ) x(tj ) = A1 partir du lemme 2.4. En eet, de (2.69) et (2.63) on a x(ti ) x(tj ) = = 1 e 2 ki kj 1 1 e 2 2 kin l,m=1 nn l,m=1

n l,m=1

kl ( A

= +

1 2 1 2

A1 A1

lm

(j,l i,m + i,l j,m ) e (j,l km + kl j,m )

lm

l,m=1 n

A1l ,m =1

lm

1 ... n k i kn 1

n

ki =0 i

, (2.70)

= W (k1 ,t1 ;...;kn ,xn )

.

(2.71) sobtient aisment

ij

kl (A1 )lm km k=01

)lm km

n

A1l,m=1 1 2

lm

n l,m=1

(j,l km + kl j,m )kl ( A1

k=0

)lm km

k=0

i,l km + kl i,m

e 2

1

n l,m=1

kl (A1 )lm km k=0

.(2.72)

2.3. PROCESSUS GAUSSIEN En posant k = 0, seul le premier terme de (2.72) est non nul, donc 1 x(ti ) x(tj ) = 2 = 1 2n

37

A1l,m=1

lm

(j,l i,m + i,l j,m )

A1

ji

+ A1

ij

=(A1 )ij

= A1

ij

.

(2.73)

Ce rsultat montre que la covariance dtermine tous les lments de matrice A 1 , et donc A. Ainsi, le processus est entirement dtermin par sa covariance. Par consquent, on conclut que la covariance dtermine galement toutes les corrlations suprieures 2. Le rsultat est donn par le thorme suivant. Thorme 2.1 Soit un processus gaussien, alors x(tp1 ) x(tp2 ) . . . x(tpn1 ) x(tpn ) , n pair,P(n)

x(t1 ) . . . x(tn ) =

(2.74)

0,

n impair.

La somme stend sur toutes les partitions P(n) de 1, . . . , n en k = n/2 paires. Il y a (2k 1)!! = 1 3 5 . . . (2k 1) = (2k)! termes. k!2k Nous ne procdons pas la preuve gnrale du thorme 2.1, mais plutt une vrication. Par exemple, pour la corrlation dordre 4, on applique lquation (2.69) et en reprenant le passage intermdiaire (2.72) on trouve aprs quelques calculs x(t1 )x(t2 )x(t3 )x(t4 ) = x(t1 )x(t2 ) x(t3 )x(t4 ) + x(t1 )x(t3 ) x(t2 )x(t4 ) + x(t1 )x(t4 ) x(t2 )x(t3 ) . (2.75)

Remarque Les corrlations des champs libres quantiques obissent aux mmes relations (2.74), quon appelle dans ce cas thorme de Wick.

Lemme 2.5 (Fonction gnratrice dun processus gaussien) La fonction gnratrice G(f ) dun processus gaussien est G(f ) = e 2

1

2

dt1 dt2 f (t1 ) f (t2 ) C(t1 ,t2 )

.

(2.76)

Preuve (Lemme 2.5) En insrant la valeur des moments donne par (2.74) dans la fonction gnratrice (voir la dnition 2.8 page 25), et en se souvenant que les moments

38


impairs sont nuls donc n = 2k, k = 0, 1, . . ., on obtient G(f ) = = in n! n=0 k=0

n

dt1 . . . dtn f (t1 ) . . . f (tn ) x(t1 ) . . . x(tn ) dt1 . . . dt2k f (t1 ) . . . f (t2k )P(2k)

=

k=0

P(2k) =(2k)! k!2k

=

k=0

= e

Lemme 2.6 (Cumulants dun processus gaussien) Les cumulants dun processus gaussien de moyenne nulle sont donns par K(t1 , . . . , tn ) = C(t1 , t2 ), 0, n = 2, n = 2. (2.78)

Preuve (Lemme 2.6) Par la dnition (2.18) des cumulants on a K(f ) = ln(G(f )) =(2.76) n=1

=

Par comparaison de (2.79) et (2.80) on en tire que seul le cumulant K(t 1 , t2 ) = C(t1 , t2 ) est non nul. Les relations (2.74), (2.76) ou (2.78) sont des caractrisations quivalentes dun processus gaussien. Lemme 2.7 (Transformation linaire) Un processus obtenu par transformation linaire dun processus gaussien est encore gaussien. Preuve (Lemme 2.7) En eet si par exemple y(t) = ds L(t, s)x(s) o x(t) est gaussien et L(t, s) un noyau intgral, tous les cumulants dordre 3 et suprieur du processus y(t) sont des combinaisons linaires des cumulants du processus x(t) dordre 3 et suprieur, donc tous nuls.

1 2

2

dt1 dt2 f (t1 ) f (t2 ) C(t1 , t2 ).

1 2

2

dt1 dt2 f (t1 ) f (t2 ) C(t1 ,t2 )

(1)k 2k k!

2

dt1 dt2 f (t1 ) f (t2 ) C(t1 , t2 ) . (2.77)

i2k (2k!)

i2k (2k!)

2k

C(tp1 , tp2 ) . . . C(tp2k1 , tp2k )k

2

dt1 dt2 f (t1 ) f (t2 ) C(t1 , t2 )

k

in n!

n

dt1 . . . dtn f (t1 ) . . . f (tn ) K(t1 , . . . , tn )

(2.79) (2.80)

2.3. PROCESSUS GAUSSIEN

39

Dnition 2.15 (Processus gaussien stationnaire) Pour un processus gaussien stationnaire x(t1 )x(t2 ) = C(t2 t1 ) ne dpend que de la dirence des temps. Un tel processus est donc entirement dni par la donne dune fonction C(t) dnie positive. Nous laissons le lecteur gnraliser les formules aux processus gaussiens de moyenne non nulle. Si x(t) = 0, on envisage alors x(t) x(t) qui est gaussien de moyenne nulle, la covariance sidentie la fonction dautocorrlation K(t 1 , t2 ). Nous avons dni deux classes importantes : processus markoviens et processus gaussiens. Le thorme de Doob caractrise la classe des processus (stationnaires) qui jouissent simultanment de ces deux proprits. Nous le dmontrons dans le cas scalaire par un calcul lmentaire. Il reste vrai quand le processus est vectoriel.

2.3.2

Thorme de Doob

Thorme 2.2 (Doob) Un processus gaussien stationnaire est markovien si et seulement si sa fonction dautocorrlation est exponentielle. Preuve La distribution stationnaire W (x) est gaussienne 6 W (x) = 1 e 2 x . 2 =) Puisque le processus est gaussien stationnaire, la probabilit de transition a ncessairement une forme gaussienne, que lon peut crire en gnral comme P (x, 0|y, ) = d e(ax2 2bxy+cy 2 ) 1 2

,

(2.81) dy P (x, 0|y, ) =

o a, b, c, d sont des fonctions de . La condition de normalisation 1 implique dy P (x, 0|y, )

=(1.15)

d eax d 1

2 + (bx) c

2

dy ec(y c )2

bx 2

=

= do a= b2 , c

x2 e c x, d=

a bc

(2.82) c .

(2.83)

(1.15)

=

=

=W (y)

Pour la simplicit, on prend ici sa covariance gale 1 et on suppose que le processus est de moyenne nulle.

6

1 2

dx e 2 x P (x, 0|y, )

1

2

(2.81)

=

et la condition de stationnarit (2.42)

dx W (x)P (x, 0|y, ) = W (y) implique2 2 d dx e((a+1/2)x 2bxy+cy ) 2 b2 1 y 2 c a+1/2 d e a + 1/2 2 1 2 1 e 2 y , (2.84) 2

40 do c=


b2 1 + , a + 1/2 2

d=

a + 1/2 .

(2.85)

En rsolvant (2.83) et (2.85) par rapport c on trouve c .

a = c 1/2,

b=

c(c 1/2),

d=

(2.86)

Ceci conduit aprs insertion de (2.86) dans (2.81)c1/2 x c

P (x, 0|y, ) = =

c c e 1

y

2(1 2 )

e

(yx)2 2(1 2 )

,

(2.87)

o on a encore pos = c 1/2 , c c= 1 . 2(1 2 ) (2.88)

Lcart quadratique moyen est donc = 1 2 . Il reste donner la signication de . Pour ceci, considrons la fonction dautocorrlation pour un processus de moyenne nulle. x(0)x( ) =2

dx dy x y W (x)P (x, 0|y, )2 2 d dx dy x y e((a+1/2)x 2bxy+cy ) 2 2 2 2 d 1 dx dy e((a+1/2)x 2bxy+cy ) 2 2 b 2

= = = =(2.86)

2 d 1 2 2 b (a + 1/2)c b2 d b 2 2 ((a + 1/2)c b2 )3/2 c 1/2 c

=

(2.88)

=

.

( ) est donc la fonction dautocorrlation du processus. Utilisant les relations de Chapman-Kolmogorov dans le cas homogne, nous avons

1/2

(2.89)

2.3. PROCESSUS GAUSSIEN pour 1 , 2 0 (1 + 2 )(2.89)

41

=

2

dx dy x y W (x)P (x, 0|y, 1 + 2 ) dx dy x y W (x)

(2.41)

=

2

dz P (x, 0|z, 1 )P (z, 0|y, 2 ) dy y P (z, 0|y, 2 )

=2

dx dz x W (x)P (x, 0|z, 1 )

=(2.89)

1

(2 )

2

dx dz x z W (x)P (x, 0|z, 1 ) (2.90)

=

(1 )(2 ).

Lgalit 1 rsulte de y =

Seule la fonction exponentielle possde la proprit (2.90), il existe donc un nombre C tel que x(0)x( ) = ( ) = eC . C est positif pour que P (x, 0|y, ) atteigne la distribution dquilibre W (y) lorsque . =) Rciproquement, si le processus gaussien stationnaire avec fonction dautocorrlation (covariance) exponentielle, il est identique ( une transformation dchelle prs) au processus dOrnstein-Uhlenbeck, lequel possde la proprit de Markov (voir la section 3.2.2).

1 (2.87) dy y P (z, 0|y, 2 ) = 2

dy y e

(y z)2 2

= z.

(2.91)

Chapitre 3

Processus markoviens diusifs3.1 quation de Fokker-Planck

Nous allons prsenter des spcialisations de lquation de Chapman-Kolmogorov pour des processus markoviens homognes qui sont trs utiles pour dcrire diverses situations physiques. Dans ce qui suit, on considre les processus de Markov continus. Ils sont dits diusifs, dans le sens o la t

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Physique Statistique des Processus Irreversibles