Pilares Esbeltos

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.19, p.25-35, Maio, 2012

Pilares esbeltos de concreto armado Parte 2: Verificao dos mtodos simplificados da NBR-6118

Reinforced concrete slender columns

Part 2: Verification of the simplified methods of NBR-6118

Jos Milton de Arajo Escola de Engenharia - FURG - Rio Grande, RS

RESUMO: Nesta segunda parte deste estudo, apresentam-se os procedimentos simplificados da NBR-6118 para o projeto dos pilares de concreto armado. A preciso desses procedimentos simplificados verificada por comparao com o modelo no linear que foi apresentado e validado na parte 1 do estudo. ABSTRACT: In this second part of this study, we present the simplified procedures of NBR-6118 for the design of reinforced concrete columns. The accuracy of these simplified procedures is verified by comparison with the nonlinear model that was presented and validated in Part 1 of the study. 1. INTRODUO

Este artigo faz parte de um amplo estudo sobre os procedimentos de projeto dos pilares de concreto armado.

Na primeira parte desse estudo, foi apresentado o modelo no linear para anlise e dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado [1]. Esse modelo foi implementado no software JMPILAR [2] e teve sua preciso confirmada atravs da anlise de 124 pilares ensaiados em flexo-compresso normal e oblqua por diversos autores.

Devido complexidade da anlise e do dimensionamento de pilares de concreto armado, considerando as no linearidades presentes [1], as normas de projeto permitem a adoo de processos simplificados para uso em projeto. Esses processos simplificados somente so permitidos at certo limite de esbeltez, ou seja, para os denominados pilares moderadamente esbeltos.

Os ndices de esbeltez limites, bem como a formulao dos processos simplificados, variam conforme a norma de projeto [3,4].

O objetivo deste trabalho avaliar a preciso de dois processos simplificados adotados na NBR-6118[5] para a considerao dos efeitos de segunda ordem nos pilares. Na norma, esses processos so denominados de Mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada e Mtodo do

pilar-padro com rigidez aproximada, sendo permitidos para pilares com ndices de esbeltez

90 . No mtodo do pilar-padro com curvatura

aproximada, os efeitos de segunda ordem so considerados atravs da incluso de uma excentricidade de segunda ordem 2e . A seo crtica do pilar deve ser dimensionada flexo-compresso com a excentricidade total

21 eeetot += , onde 1e a excentricidade de primeira ordem. Os esforos para o dimensionamento so o esforo normal dd FN = e o momento fletor ( )21 eeFM dd += , onde dF a carga de clculo do pilar.

Para o mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada, a NBR-6118 fornece a expresso do momento total totdd eFM = , de onde se podem deduzir as expresses de tote e de 12 eee tot = .

Alm disso, para incluir os efeitos da fluncia do concreto, considera-se uma excentricidade adicional ce , a qual vem sendo sugerida desde o CEB/78[6] e tambm foi incorporada NBR-6118.

Para verificar a preciso desses procedimentos simplificados de projeto, compara-se a armadura obtida no dimensionamento com aquela derivada do processo rigoroso, o qual foi apresentado na Parte 1 deste estudo [1].


26

2. MTODO DO PILAR-PADRO COM CURVATURA APROXIMADA Na fig. 1, apresenta-se um pilar birrotulado, submetido a uma fora normal de clculo dF com uma excentricidade de primeira ordem 1e . A princpio, considera-se o caso de flexo normal.

Fig. 1 Excentricidades de primeira e de segunda

ordens A excentricidade de primeira ordem j inclui os efeitos das imperfeies geomtricas do eixo do pilar e respeita a excentricidade mnima exigida na NBR-6118, como mostrado no Volume 3 da ref. [3]. Imediatamente aps a aplicao do carregamento, o pilar sobre uma deflexo cujo valor mximo vale 2e . De acordo com a NBR-6118, a excentricidade de segunda ordem pode ser avaliada como

( )hl

eo

e5,0

005,010

22 += (1)

onde

5,0=cdc

do fA

F (2) sendo el , h e cA o comprimento de flambagem, a altura da seo transversal na direo considerada e a rea da seo do pilar, respectivamente. A resistncia compresso de clculo do concreto, cdf , dada por

c

ckcd

ff = (3)

onde ckf a resistncia caracterstica compresso e 4,1=c um coeficiente parcial de segurana. Determinada a excentricidade total

21 eeetot += , dimensiona-se a seo transversal do pilar com os esforos dd FN = e

totdd eFM = em flexo-compresso normal. Nos exemplos apresentados a seguir, comparam-se as reas de ao obtidas com os processos simplificados e com o software JMPILAR[2]. Os dimensionamentos flexo-compresso normal, necessrios nos processos simplificados, so realizados com o software PACON[8]. Nesses exemplos, consideram-se pilares de seo retangular constante ao longo da altura, possuindo duas camadas de armaduras simtricas. Nas figuras 2 a 5, apresentam-se as relaes entre as reas de ao obtidas com o mtodo da curvatura aproximada e as reas obtidas com o software JMPILAR. Apenas os casos que resultaram uma rea de ao (obtida com o software) maior ou igual armadura mnima exigida na NBR-6118 so plotados. Do mesmo modo, os casos que resultaram uma taxa de armadura superior a 8% no foram considerados. Por isso, algumas curvas possuem mais pontos do que outras.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Excentricidade relativa e1/h

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =20(curvatura aproximada)

o=0,75o=1,00

Fig. 2 Mtodo da curvatura aproximada - =20


27


0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50


o=0,75o=1,00



0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50


o=0,75o=1,00


Conforme se observa, esse processo simplificado fica contrrio segurana para pilares com excentricidade relativa de primeira ordem,

he1 , mais elevadas. Para pilares com 40 , esse erro menor que 5%, o que desprezvel em termos prticos. Logo, pode-se afirmar que esse mtodo totalmente satisfatrio para a maioria dos pilares dos edifcios residenciais e de escritrios.

Por outro lado, o erro aumenta com o ndice de esbeltez. Para pilares com 60= , o erro mximo detectado (contrrio segurana) foi de 13%. Para

80= , foram encontrados erros de at 21% contra a segurana.


0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50


o=0,75o=1,00


O erro, contrrio segurana, maior para os

pilares mais esbeltos e com maiores valores de he1 . Logo, o processo simplificado pode se

tornar inseguro para pilares com 60> , quando submetidos a momentos iniciais grandes (devidos ao do vento, por exemplo). A considerao dos pilares como birrotulados, desprezando-se as ligaes com as vigas para efeito de clculo do comprimento de flambagem, uma medida prudente para minimizar esses erros contra a segurana do processo simplificado.

3. MTODO DO PILAR-PADRO COM RIGIDEZ APROXIMADA Para esse mtodo, a NBR-6118 fornece a expresso do momento total totdd eFM = . Conforme foi mostrado pelo Autor [4,8], a excentricidade total pode ser obtida por

hheBBetot

++= 12 2,0 (4) onde

1,05,038400

12

+=heB (5)

A excentricidade de segunda ordem dada por

12 eee tot = (6) com tote obtida da equao (4).


28

Observa-se que, neste mtodo, a excentricidade de segunda ordem no depende do esforo normal reduzido o , como no mtodo da curvatura aproximada. Por outro lado, a excentricidade de segunda ordem depende de he1 , o que no ocorre no mtodo da curvatura aproximada. Nas figuras 6 a 9, apresentam-se as relaes entre as reas de ao obtidas com o mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada e as reas obtidas com o software JMPILAR. Os pilares possuem seo retangular constante ao longo da altura com duas camadas de armaduras simtricas.


0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =20(rigidez aproximada)

o=0,75o=1,00

Fig. 6 Mtodo da rigidez aproximada - =20


0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50


o=0,75o=1,00



0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50


o=0,75o=1,00



0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2R

ela

o A

s,N

BR/A

s,JM

PIL

AR

o=0,50


o=0,75o=1,00


Conforme se observa, esse mtodo ficou

contrrio segurana em quase todos os casos. Nesse mtodo, o erro maior para os pilares com excentricidade relativa de primeira ordem he1 mais baixa, como o caso dos pilares contraventados dos edifcios. Alm disso, o erro maior do que no mtodo da curvatura aproximada. Para 40= , foi detectado um erro mximo de 35% contra a segurana (para 50,0=o e

20,01 =he ). Mesmo para 00,1=o , obteve-se um erro de 20% quando 10,01 =he . Ou seja, em geral o erro desse mtodo inaceitvel para boa parte dos pilares dos edifcios residenciais e de escritrios.


29

Nas figuras 10 e 11, comparam-se as excentricidades relativas de segunda ordem, he2 , obtidas com os dois mtodos simplificados.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Relao e1/h

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Rel

ao

e2/h

Rigidez aproximada

o=0,50

o=0,75o=1,00

Pilares com =60

Fig. 10 Excentricidades de segunda ordem

=60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Relao e1/h

0.16

0.18

0.2

0.22

0.24

0.26

0.28

0.3

Rel

ao

e2/h

Rigidez aproximada

o=0,50

o=0,75

o=1,00

Pilares com =80

Fig. 11 Excentricidades de segunda ordem

=80 Conforme se observa nas figuras 10 e 11, o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada sempre fornece uma excentricidade de segunda ordem maior que a do mtodo com rigidez aproximada, para valores baixos de he1 . O mtodo da rigidez equivalente s fornece 2e maior do que o mtodo da curvatura aproximada para

pilares com grandes excentricidades iniciais e altos valores do esforo normal reduzido o . Apesar de os dois mtodos aproximados fornecerem solues contrrias segurana, os resultados tornam claro que, na falta de um mtodo mais preciso, prefervel optar pelo mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada. Os erros detectados neste trabalho so superiores aos erros indicados na ref.[4]. No modelo no linear da ref.[4], as deformaes do eixo do pilar so obtidas considerando-se o diagrama parbola-retngulo com tenso mxima de ckf85,0 . No modelo no linear implementado no software JMPILAR, considera-se a tenso mxima de cdf10,1 , conforme recomendaes da NBR-6118. Considerando 4,1ckcd ff = , resulta a relao 92,0

85,010,1 =

ck

cdff

. Logo, os deslocamentos

obtidos com JMPILAR so maiores, o que resulta numa maior rea de ao e, consequentemente, em um erro maior dos mtodos simplificados. 4. CONSIDERAO DA FLUNCIA DO CONCRETO Os efeitos da fluncia do concreto podem ser introduzidos, acrescentando-se a excentricidade

ce , dada por

= 1exp1 geg

c FPF

ee

(7)

onde o coeficiente de fluncia, gF a fora normal de longa durao e eP a carga de flambagem de Euler do pilar. Em geral, pode-se considerar que kg FF = , sendo kF a fora normal de servio que atua no pilar. A carga de Euler dada por

2

2

e

ccse

lIE

P= (8)

onde cI o momento de inrcia da seo de concreto simples e csE o mdulo secante do concreto. De acordo com o CEB/90[9], tem-se


30

31

108

2150085,0

+= ckcs fxE , MPa (9) com ckf em MPa. Para os pilares com 50 , pode-se desprezar a excentricidade de fluncia. Determinada a excentricidade total

ceeee ++= 211 , dimensiona-se a seo transversal do pilar com os esforos dd FN = e

totdd eFM = em flexo-compresso normal. Nos exemplos a seguir, considera-se apenas o clculo de 2e de acordo com o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada. Em todos os exemplos, adota-se 0,2= e 20=ckf MPa. Nas figuras 12 e 13, apresentam-se as relaes entre as reas de ao obtidas com o processo simplificado (mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada mais a incluso da fluncia atravs da equao (7)) e as reas obtidas com o software JMPILAR Os pilares possuem seo retangular constante ao longo da altura com duas camadas de armaduras simtricas.


0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =60(curvatura aproximada; =2)

o=0,75o=1,00

Fig. 12 Pilares com =60 e =2,0


0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =80(curvatura aproximada; =2)

o=0,75o=1,00

Fig. 13 Pilares com =80 e =2,0

Conforme se observa nas figuras 12 e 13, ao incluir a fluncia do concreto atravs da equao (7), o processo simplificado tende a ficar a favor da segurana na maioria dos casos. Isto ocorreu porque a excentricidade adicional ce tende a superestimar os efeitos da fluncia do concreto. Com isso, h uma compensao do erro do mtodo da curvatura aproximada, melhorando os resultados. Nos casos em que a soluo ficou contra a segurana, o erro foi menor do que 5%. Alm disso, quando o processo fica a favor da segurana, o erro no passa de 15%, ou seja, no h desperdcio de armadura. Nas figuras 14 e 15, apresentam-se as relaes entre as reas de ao obtidas com o processo simplificado com e sem incluso da fluncia do concreto.


31


0.80.85

0.90.95

11.05

1.11.15

1.21.25

1.31.35

1.41.45

1.51.55

1.6

Rel

ao

As,=

2/A s

,=0

o=0,50


o=0,75o=1,00

Fig. 14 Pilares com =60 (processo

simplificado)


0.80.85

0.90.95

11.05

1.11.15

1.21.25

1.31.35

1.41.45

1.51.55

1.6

Rel

ao

As,=

2/A s

,=0

o=0,50


o=0,75o=1,00

Fig. 15 Pilares com =80 (processo

simplificado) Comparando as figuras 14 e 15, verifica-se que a fluncia torna-se mais importante medida que aumenta o ndice de esbeltez do pilar. Para

60= , o aumento mdio da rea de ao foi de 25%, o que no pode ser desprezado em projeto. Conclui-se ser imprudente qualquer recomendao de se desprezar os efeitos da fluncia do concreto at 90= , quando os efeitos de segunda ordem forem includos atravs do mtodo da curvatura aproximada. A rigor, s se deve permitir desprezar os efeitos da fluncia quando 50 , critrio que tem sido adotado pelo

Autor [3]. Isto particularmente importante, considerando que o mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada pode ficar contrrio segurana. A considerao da fluncia atravs da excentricidade adicional ce tende a corrigir os erros do mtodo. 5. EMPREGO DO MTODO DA CURVATURA APROXIMADA PARA PILARES DE SEO CIRCULAR O mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada tambm foi utilizado para o dimensionamento de pilares de seo circular macia. Os pilares possuem 8 barras e seo constante ao longo da altura. Nas figuras 16 e 17, apresentam-se as relaes entre as reas de ao para pilares com ndice de esbeltez 70= .

Conforme se observa na fig. 16, o comportamento o mesmo verificado para os pilares de seo retangular. O erro mximo, contrrio segurana, foi de 25% para 00,1=o . Quando a excentricidade de fluncia includa, o erro diminui, como se verifica na fig. 17.


0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =70(seo circular - =0,0)

o=0,75o=1,00

Fig. 16 Pilares de seo circular com 0,0=


32


0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =70(seo circular - =2,0)

o=0,75o=1,00

Fig. 17 Pilares de seo circular com 0,2=

6. MTODO DA CURVATURA APROXIMADA EM FLEXO OBLQUA Neste exemplo considera-se o caso de pilares de seo quadrada, com flexo inicial segundo a diagonal do quadrado. Apesar de haver duas componentes das excentricidades de primeira ordem, a situao de projeto de flexo-compresso normal, j que a diagonal um eixo de simetria da seo transversal. Entretanto, os dimensionamentos so feitos flexo-compresso oblqua, empregando-se as componentes das excentricidades. Na fig. 18, apresentam-se a seo transversal do pilar e a situao de projeto.

h

Fig. 18 Situao de projeto pilar de seo

quadrada A altura da seo transversal, medida segundo a diagonal do quadrado, 2xhh = . A excentricidade de primeira ordem 1e decomposta

nas componentes 2111 eee yx == . Observa-se que yyxx hehehe 111 == nesse problema.

Para o software JMPILAR, deve-se fornecer apenas a situao de projeto, ou seja, os momentos de primeira ordem xdxdyd eFMM 111 == , j que os efeitos de segunda ordem e da fluncia so considerados no processo de anlise e dimensionamento.

Na fig. 19, apresenta-se a situao de clculo segundo a direo da diagonal do quadrado.

Fig. 19 Situao de clculo segundo a diagonal

A excentricidade de segunda ordem 2e obtida da equao (1), considerando a altura h segundo a diagonal da seo transversal do pilar. Essa excentricidade se decompe nas componentes

2222 eee yx == . As componentes cycx ee = da excentricidade de

fluncia so dadas por

= 1exp1 gexg

xcx FPF

ee

(10)

2

2

e

cxcsex

lIE

P= (11)

As excentricidades totais para o dimensionamento pelo processo simplificado so

ytotxtot ee = , onde

cxxxxtot eeee ++= 21 (12)


33

O dimensionamento flexo-compresso oblqua feito com os esforos dd FN = ,

xtotdxd eFM = e ytotdyd eFM = , empregando-se o software PACON. Nas figuras 20 e 21, apresentam-se os resultados obtidos considerando a situao de clculo segundo a direo da diagonal do quadrado. Conforme se observa, a preciso da mesma ordem de grandeza encontrada para os casos de flexo-compresso normal, o que indica que o mtodo da curvatura aproximada tambm pode ser empregado nos casos de flexo-compresso oblqua.

0 0.1 0.2 0.3 0.4Excentricidade relativa e1/h

0.70.750.8

0.850.9

0.951

1.051.1

1.151.2

1.251.3

1.351.4

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50

Pilares com =60 ; =0,00

o=0,75o=1,00

(Oblqua segundo a diagonal)

Fig. 20 Pilares com 60= e 00,0= (situao de clculo segundo a diagonal)


0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

Rel

ao

As,

NBR

/As,

JMP

ILA

R

o=0,50


o=0,75o=1,00

(Oblqua segundo a diagonal)

Fig. 21 Pilares com 60= e 00,2= (situao de clculo segundo a diagonal)

Em vez de considerar a situao de clculo da fig. 19, pode-se considerar a situao de clculo da fig. 22. Essa a situao de clculo usual, conforme apresentado na ref.[3].

Fig. 22 Situao de clculo usual segundo a

direo x Para a situao de clculo da fig. 22, a excentricidade de segunda ordem xxe2 calculada com a equao (1), adotando a dimenso xh no lugar de h . Observa-se que essa excentricidade

xxe2 igual ao dobro da componente xe2 empregada na fig. 19. As excentricidades totais para o dimensionamento flexo-compresso oblqua so

yytot ee 1= e cxxxxxtot eeee ++= 21 . Para uma seo retangular, haveria a necessidade de considerar outra situao de clculo, deslocando-se a fora paralelamente ao eixo y, como na ref. [3]. As reas de ao obtidas com as situaes de clculo das figuras 19 e 22 so comparadas na fig. 23. Nessa figura, 1sA representa a rea de ao obtida na situao de clculo da fig. 19 e 2sA a rea de ao obtida para a situao de clculo da fig. 22. Neste caso, emprega-se sempre o processo da curvatura aproximada.


34


0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7R

ela

o A

s2/A

s1

o=0,50


o=0,75o=1,00

(Duas situaes de clculo)

Fig. 23 Comparao entre as duas situaes de

clculo Conforme se observa na fig. 23, a situao de clculo da fig. 22 fica sempre a favor da segurana em relao situao de clculo da fig. 19. Conclui-se que no h necessidade de considerar a situao de clculo oblqua da fig. 19. Nesse problema, basta considerar a situao da fig. 22, como feito na ref. [3]. 7. CONCLUSES Neste trabalho foi verificada a preciso do mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada e do mtodo do pilar-padro com rigidez aproximada, ambos permitidos pela NBR-6118 para a considerao dos efeitos de segunda ordem nos pilares moderadamente esbeltos. Os resultados obtidos com esses dois mtodos simplificados foram comparados com aqueles obtidos atravs do modelo no linear, descrito na primeira parte deste estudo.

Em funo dos resultados obtidos, conclui-se que ambos os mtodos podem fornecer solues contrrias segurana. Entretanto, na falta de um mtodo mais preciso, prefervel optar pelo mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada. Este mtodo, apesar de ficar contra a segurana em algumas situaes, o que possui o menor erro.

A considerao dos pilares como birrotulados, desprezando-se as ligaes com as vigas para efeito de clculo do comprimento de flambagem,

uma medida prudente para minimizar esses erros contra a segurana do processo simplificado.

A incluso dos efeitos da fluncia do concreto atravs da excentricidade adicional ce fornece bons resultados, inclusive melhorando o desempenho do mtodo da curvatura aproximada.

Os efeitos da fluncia do concreto podem ser importantes para pilares com 50> , no fazendo sentido desprez-los para pilares com ndice de esbeltez at 90, quando os efeitos de segunda ordem forem considerados atravs do mtodo da curvatura aproximada. O limite recomendvel para que se possa desprezar a fluncia do concreto, para simplificar os clculos manuais, deve ser 50= .

O mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada tambm pode ser utilizado para o caso de flexo-compresso oblqua, com boa aproximao. REFERNCIAS 1. Arajo, J. M. Pilares esbeltos de concreto

armado. Parte 1: Um modelo no linear para anlise e dimensionamento. Revista Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n. 18, p.81-93, nov. 2011.

2. Arajo, J. M. JMPILAR Software para anlise e dimensionamento de pilares esbeltos de concreto armado. 2009. Informaes disponveis em www.editoradunas.com.br.

3. Arajo, J. M. Curso de Concreto Armado. 4 vol. Rio Grande: Editora Dunas, 3. ed., 2010.

4. Arajo, J. M. Mtodos simplificados para considerao dos efeitos de segunda ordem no projeto de pilares de concreto armado. Revista do IBRACON, n.27, p.3-12, So Paulo, nov./dez. 2001. (disponvel em www.editoradunas.com.br/publicacoes.html).

5. Associao Brasileira de Normas Tcnicas: NBR-6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2003.

6. Comit Euro-International du Bton. Code-modle CEB/FIP pour les Structures en Bton. Bulletin dInformation 124/125, Paris, 1978.

7. Arajo, J. M. PACON 2010: Programa auxiliar para projeto de estruturas de concreto. Site: www.editoradunas.com.br.

8. Arajo, J.M. Projeto Estrutural de Edifcios de Concreto Armado. Rio Grande. Editora Dunas, 2. ed. 2009.


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9. Comit Euro-International du Bton. CEB-FIP Model Code 1990. Published by Thomas Telford, London, 1993

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