PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

BSc SzakdolgozatMatematika BSc elemzo szakirány

PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK

A NUMERIKUS MODELLEZÉSBEN

Készítette: Témavezeto :Gurubi Gina Dr. Csomós Petra

Matematika alapszak egyetemi adjunktus

elemzo szakirány Alkalmazott Analízis és

Számításmatematikai Tanszék

Budapest, 2016.

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretném megköszönni témavezetomnek, Dr. Csomós Petrának arengeteg idot és energiát, amit a szakdolgozatom elkészítése során rám szánt,hasznos tanácsaival és észrevételeivel rendszeresen segítette munkámat, amiértnagyon hálás vagyok. Továbbá szeretnék köszönetet mondani a családomnak,barátaimnak és munkatársaimnak azokért a támogató és biztató szavakért, amikkelfolyamatosan ösztönözték a munkámat. Valamint rendkívül hálás vagyok azoknaka tanároknak, oktatóknak, akik tudásukkal és szakértelmükkel éveken át segítettéktanulmányaimat.

Tartalomjegyzék

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Közönséges differenciálegyenletek 51.1. Megoldás létezése és egyértelmusége . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Egyensúlyi pont és stabilitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálata . . . . . . . . . . . . . 7

2. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása 112.1. Általános egylépéses módszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Explicit Euler módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Negyedrendu Runge-Kutta módszer . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Alkalmazások 203.1. Lorenz-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1. Lorenz egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2. Egyensúlyi helyzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Százszorszép-modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1. Változók, állandók és jelölések . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2. Lovelock egyenlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.3. Jacobi-mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4. Numerikus eredmények 314.1. „Pillangó” modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. „Százszorszép” modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Függelék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bevezetés

„A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott - a Világegyetemre gondolok. De akönyv nem értheto, ha elotte nem tanuljuk meg a nyelvet és nem moz-gunk otthonosan a betui között, amelyekkel megírták. A matematikanyelvén íródott, melynek betui a körök, háromszögek és más geomet-riai formák, amik nélkül lehetetlen akár csak egy képet is megérteni;ezek nélkül csak tévelygünk egy sötét labirintusban.”

(Galileo Galilei, 1623)

Mindig is lenyugöztek a természeti jelenségek, gyerekkorom óta érdekel acsillagászat és a meteorológia. Az Univerzum tanulmányozása mellett rendkívülfontosnak tartom, hogy megismerjük saját bolygónk muködését is, emiatt lénye-gesen nagyobb hangsúlyt fektetek a meteorológiai tudásom elmélyítésére. Úgygondolom, minden tudomány alapja a matematika, ezért egyértelmu volt, hogyegyetemi szinten szeretném tanulni.

A témaválasztásnál az volt az elsodleges szempontom, hogy a dolgozatomhuen tükrözze a kapcsolatot a matematika és a természeti jelenségek modelljeiközött. Tudniillik, hogy a matematika a természet nyelve. Remélem, ez az állítása munkám elolvasása közben direkt módon bebizonyosodik.

Kezdésként felépítem a modellezéshez szükséges matematikai tudásanya-got, majd konkrét modelleken keresztül bemutatom az alkalmazási területeket.Dolgozatom célja, hogy végighaladjak a modellalkotás lépésein, kezdve a meg-oldandó problémától egészen a numerikus és számítógépes modell felépítéséig,illetve megoldásáig. Az elso fejezetben a közönséges differenciálegyenletek anali-tikus megoldásával foglalkozunk, a következo fejezetben pedig a numerikus meg-oldási módszerekkel. Ezt követoen megismerkedünk a Pillangó, valamint a Száz-szorszép modellel és végezetül megvizsgáljuk ezek numerikus eredményeit.

4

1. fejezet

Közönséges differenciálegyenletek

Mivel ebben a dolgozatban több differenciálegyenlet-rendszerrel foglalkozunk,ezért kezdetben érdemes megismerkednünk a közönséges differenciálegyenleteknéhány alapveto tulajdonságaival. Induljunk ki az explicit alakból : y′(t) = f(t, y(t)), t > t0,

y(t0) = y0,(1.1)

ahol y0 ∈ Rn egy adott vektor. Az y : R → Rn az ismeretlen differenciálhatófüggvény, és T egy olyan tartomány, amelyre igaz, hogy f : T → Rn, T ⊂ Rn+1

adott folytonos függvény, ahol (t0, y0) ∈ T .

A továbbiakban áttekintjük a differenciálegyenletek megoldását. Ezt a fejeze-tet Simon L. Péter Differenciálegyenletek: Bevezetés az elméletbe és az alkalma-zásokba [1] címu muve segítségével dolgoztam ki.

1.1. Megoldás létezése és egyértelmusége

Mivel a késobbiekben szeretnénk megoldani ezeket az egyenleteket, fontos tud-nunk, hogy mikor létezik olyan megoldás, amit érdemes keresnünk.

1.1. Tétel. (Picard–Lindelöf-féle egzisztenciatétel) Tegyük fel, hogy teljesülneka következo feltételek:

• T ⊂ Rn+1 egy tartomány

• f : T → Rn, f ∈ C(T ), azaz f folytonos T -n

5

Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben

• f a második változójában eleget tesz a Lipschitz-feltételnek, azaz létezikolyan L ≥ 0 állandó, hogy minden (t, y1), (t, y2) ∈ T -re igaz, hogy

||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2||.

Ekkor a kezdeti feltételbeli t0 pontnak létezik olyan K(t0) környezete, hogy az(1.1) kezdetiérték-feladatnak létezik egyértelmu megoldása a K(t0) környezeté-ben.

Megjegyzés. Minden f Lipschitz függvény egyenletesen folytonos a T tartomá-nyon. Legyen ε > 0, ekkor a δ = ε

Lolyan érték, hogy ha ||y1 − y2|| < δ, akkor

||f(t, y1)− f(t, y2)|| ≤ L||y1 − y2|| < Lδ = ε.

1.2. Állítás. Ha az f ∈ D(T ) tartományon értelmezett differenciálható függvénykorlátos deriválttal rendelkezik, akkor f a második változójában egyenletesenfolytonos és Lipschitz-tulajdonságú az értelmezési tartományon.

|f ′(t)| ≤ L

1.2. Egyensúlyi pont és stabilitás

A differenciálegyenlet-rendszerek vizsgálatánál elso lépésként általában az egyen-súlyi pontokat határozzuk meg az f(y∗) = 0 algebrai egyenletrendszer megoldá-sával.

1.3. Definíció. Az y∗ ∈ Rn pontot egyensúlyi, vagy stacionárius pontnak nevez-zük, ha minden t ≥ t0, t ∈ R számra y(t) = 0, tehát y∗(t) = 0.

Ezekben a pontokban y′(t) = 0, ezért ezeket kiindulási pontként választvaa rendszer mindig abban a pontban marad, nem mozdul el. Ha viszont egy apróváltoztatás kicsit kimozdítja a rendszert ebbol a pontból, akkor a rendszer vagyvisszatér az eredeti állapotába, vagy nem. Ebbol következik, hogy második lépés-ként megvizsgáljuk az egyensúlyi pontok stabilitását.

1.4. Definíció. Az (1.1) egyenlet y∗ egyensúlyi pontját stabilnak nevezzük, haminden ε > 0 számhoz létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden (t, y0) ∈ T esetén,melyre ||y0−y∗|| < δ igaz, hogy ||y(t)−y∗|| < ε, ha t ≥ 0. Az egyensúlyi pontotinstabilnak mondjuk, ha nem stabil.

6


Vezessünk be néhány fogalmat. A dinamikai rendszerek elméletében alapve-to fogalom az állapottér, fázistér fogalma. A fázistér egy rendszert meghatározófüggetlen állapotváltozók (fázisváltozók) által kifeszített tér. A fázistér egy pontjaleírja a rendszer pillanatnyi állapotát. A rendszer állapotának változását követveez a pont elmozdul, és egy utat jár be. Ezt az utat trajektóriának nevezzük.

1.3. Dinamikai rendszerek stabilitásvizsgálata

A továbbiakban két különbözo esettel fogunk foglalkozni. Eloször megvizsgáljuka lineáris differenciálegyenlet-rendszer egyensúlyi pontjának stabilitását, mivel anemlineáris rendszerek stabilitásvizsgálatát is a lineáris rendszerekére vezethet-jük vissza, ha a differenciálegyenlet-rendszert linearizáljuk a egyensúlyi pontokkörnyezetében.

Ezt az alfejezetet a BME Fizika Tanszék által tartott Dinamikai Rendszerekcímu kurzusán kiadott jegyzet alapján dolgoztam fel.

Lineáris differenciálegyenlet-rendszer

Egy lineáris, autonom, állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszer általánosalakja:

y(n) + a1y(n−1) + . . .+ any = 0. (1.2)

Egydimenziós esetben az y′ = λy differenciálegyenlet y(0) = y0 kezdetiértékhez tartozó megoldását az eλt alakban keressük, ahol t ≥ 0 és λ konstans.Egyszeru belátni, hogy az ilyen alakú függvények kielégítik a fenti egyenletet.

1.5. Definíció. Az (1.2) differenciálegyenlet karakterisztikus egyenletén az n-edfokú

λn + a1λn−1 + . . .+ an = 0

algebrai egyenletet értjük.

1.6. Tétel. Az (1.2) differenciálegyenletnek akkor és csak akkor megoldása az eλt

függvény, ha λ gyöke a fenti karakterisztikus egyenletnek.

Az egyensúlyi helyzet, az y = 0 pont λ < 0 esetén stabil – ekkor az exponenciálistag idoben csökken, bármely y0 6= 0 pontból az origóba tart – és λ ≥ 0 eseténinstabil.

7


Magasabb dimenziós esetben a y′ = Ay,A ∈ Rd×d lineáris rendszer megoldá-sa a vieλit tagok lineáris kombinációjaként áll elo, ahol λi ∈ C (i = 1,2, . . . , d) azA mátrix i-edik sajátértéke, és a vi ∈ Rd pedig a hozzá tartozó sajátvektor. Tehátaz egyensúlyi pont típusának meghatározásához az A mátrix sajátértékeit kell ki-számolni. Akkor és csak akkor lesz ez a pont stabil, ha λi < 0 minden i-re. Ha asajátértékek komplex számok, akkor a valós részek elojelét kell megvizsgálni.

1.7. Tétel. Tegyük fel, hogy A diagonalizálható mátrix. Ekkor az (1.1)kezdetiérték-feladat y(t) = eλity0 megoldása

• pontosan akkor stabil, amikor az A mátrix mindegyik sajátértékének valósrésze nem pozitív, azaz Reλi ≤ 0 minden i = 1,2, . . . , d esetén;

• pontosan akkor aszimptotikusan stabil, amikor az A mátrix mindegyiksajátértékének valós része negatív, azaz Reλi < 0 minden i = 1,2, . . . , d

esetén;

• minden egyéb esetben instabil, azaz az A mátrixnak létezik pozitív valósrészu sajátértéke, vagyis létezik olyan i ∈ {1,2, . . . , d} index, amelyreReλi > 0.

Nézzünk meg részletesen egy kétdimenziós esetet (magasabb dimenziós line-áris rendszernél a stabilitásvizsgálat hasonló módszerrel történik) :

y′1 = a11y1 + a12y2

y′2 = a21y1 + a22y2

ahol aij ∈ R (i, j = 1,2). Az egyensúlyi pontja az origó, mint minden lineárisrendszeré. Az A mátrix sajátértékei a det(A − λI) = 0 egyenlet megoldásávalkapjuk meg, ahol I az identitás mátrixot (egységmátrixot) jelöli. Ezt az egyenletetkarakterisztikus egyenletnek nevezzük:

det(A− λI) =

∣∣∣∣∣ a11 − λ a12

a21 a22 − λ

∣∣∣∣∣ =

= λ2 − (a11 + a22)λ+ (a11a22 − a12a21).

Mivel a11a22 − a12a21 = detA és a11 + a22 = trA (vagyis az A mátrix nyoma),átírhatjuk a polinomot

λ2 − trAλ+ detA

8


alakba. Oldjuk meg ezt a másodfokú egyenletet :

λ1,2 =trA

2±√

tr2A

4− detA = 0.

A stabilitás szempontjából ezen λ-k valós értékének elojele a dönto. Vegyük észre,hogy az A sajátértékeinek kiszámolása nélkül is megtudhatjuk, milyen típusú azegyensúlyi helyzet, elég kiszámolni az A mátrix determinánsát és nyomát.

Sajátértékek A trA és detA kapcsolata Egyensúlyi pont típusaλ1λ2 < 0 detA < 0 nyereg

Reλ1 > 0 és Reλ2 > 0 detA > 0 és trA > 0 instabil

(csomó vagy fókusz)

Reλ1 < 0 és Reλ2 < 0 detA > 0 és trA < 0 stabil

(csomó vagy fókusz)

λ1,2 ∈ R detA < (trA)2

4csomó

(stabil vagy instabil)

λ1,2 ∈ C konjugált detA > (trA)2

4fókusz

(stabil vagy instabil)

λ1,2 ∈ R detA = 0 nyereg

és legalább az egyik zérus

λ1,2 ∈ C konjugált detA > 0 és trA = 0 centrum

és Re(λ1,2) = 0

λ1,2 ∈ R és λ1 = λ2 detA = (trA)2

4egytengelyu csomó

Nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer

Általában az y′ = f(y) differenciálegyenlet-rendszer nem megoldható, de az y0

egyensúlyi pontokat az f(y) = 0 algebrai egyenletrendszer megoldásával megtudjuk határozni. Írjuk fel az y0 egyensúlyi ponttól való eltérésre, t = y − y0-ra vonatkozó differenciálegyenlet-rendszert. Mivel y′0 = 0 ezért t′ = y′, azúj differenciálegyenlet-rendszer formailag megegyezik az eredetivel, vagyis aztmondhatjuk, hogy t′ = f(t).

9


Hasonlóképpen megegyezik az egyensúlyi pontjuk körüli Taylor-soruk is :

y′ = f(y) ≈ f(y0) + ∂f∂y

(y − y0) + . . .

t′ = f(t) ≈ f(t0) + ∂f∂tt+ . . .

Az t-re vonatkozó differenciálegyenlet-rendszer egyensúlyi pontja az origó.Mivel y0 egyensúlyi pont, ezért az elso tag zérus, és y0 környezetében jó közelítésa lineáris tag, a magasabb rendu tagokat pedig elhanyagolhatjuk. Az egyensúlyipont körüli linearizált egyenletrendszer alkalmas arra, hogy meghatározzuk azadott egyensúlyi pont stabilitását, típusát.

Egy vektorértéku függvény elsorendu parciális deriváltjait tartalmazó mátrixotJacobi-mátrixnak nevezünk. Nézzük meg egy n-dimenziós rendszer Jacobi-mátrixát.

1.8. Definíció. Legyen f : Rn → Rn differenciálható függvény, f ′(y) az f(y)

Jacobi-mátrixa, azaz

f ′(y) =∂f

∂y,

azaz

J =

∂f1

∂y1

∂f1

∂y2. . . ∂f1

∂yn∂f2

∂y1

∂f2

∂y2. . . ∂f2

∂yn...

... . . . ...∂fn∂y1

∂fn∂y2

. . . ∂fn∂yn

.

A J mátrixba sorra behelyettesítjük az egyensúlyi pontok koordinátáit, és a kapottmátrix alapján (a lineáris esethez hasonlóan) elvégezzük a stabilitásvizsgálatot.Jegyezzük meg, hogy ha J-nek van zérus valósrészu sajátértéke, akkor ez a vizs-gálat nem elegendo.

10

2. fejezet

Közönséges differenciálegyenleteknumerikus megoldása

Számos esetben elofordul, hogy olyan differenciálegyenlettel találkozunk,amelyet analitikus úton nem tudunk megoldani. Ilyenkor numerikus módszereksegítségével közelíto becslést kaphatunk. A következokben ezekkel a módszerek-kel ismerkedünk meg.

Ezt a fejezetet Faragó István Numerikus modellezés és közönséges differenci-álegyenletek numerikus megoldási módszerei [4], valamint Krebsz Anna Közönsé-ges differenciálegyenletek numerikus módszerei [5] címu írása alapján dolgoztamki.

2.1. Általános egylépéses módszerek

Legyen t > 0 rögzített. A differenciálegyenletek megoldását a t ∈ [0, t] interval-lumon fogjuk meghatározni, és az alábbi felosztását használjuk h lépésközzel :

t0 = 0, tn+1 = tn + h, (n = 0, . . . , N − 1), h = tN,

ahol N ∈ N.A továbbiakban a diszkrét numerikus megoldás értékeit yn-nel, a pontos meg-

oldás értékeit pedig y(tn)-nel fogjuk jelölni. Az egylépéses módszer általánosalakja:

yn+1 = yn + hΦ(tn, yn, h) n ∈ N (2.1)

11


ahol y0 = y(t0) és Φ(tn, yn, h) folytonos mindegyik argumentumában.

Például az explicit Euler-módszer esetén

Φ(tn, yn, h) = f(tn, yn).

Szeretnénk megvizsgálni az egylépéses numerikus módszerek stabilitását.Ehhez azonban eloször meg kell ismerkednünk néhány definícióval.

2.1. Definíció. A numerikus módszer konvergens a t ∈ [0; t] pontban, ha n, h ∈ Nolyan, hogy t = nh-ra teljesül, hogy

limn→∞

yn = y(t).

A módszer konvergens, ha az adott függvényosztály bármely f függvényére, bár-mely kezdeti feltétel mellett, bármely t ∈ [0; t] pontban konvergens. A numerikusmódszer p-ed rendben konvergál, ha n és h olyanok, hogy h = t

nbármely n-re és

létezik olyan M (h-tól és n-tol független), melyre

||y(t)− yn|| ≤Mhp. (2.2)

2.2. Definíció. A numerikus módszer globális hibájának nevezzük a pontos ésszámított érték különbségét, vagyis

g(tn, h) = gn = ||y(tn)− yn||

mennyiséget.

Megjegyzés. A konvergencia pontosan azt jelenti, hogy a globális hiba határértéke0, vagyis

limn→∞

gn = limn→∞

||y(tn)− yn|| = 0.

Ennek vizsgálatához szükségünk van az alábbi fogalmak bevezetésére.

2.3. Definíció. A numerikus módszer képlethibájának vagy lokális hibájának a

`(tn, h) = `n =

∣∣∣∣∣∣∣∣y(tn+1)− y(tn)

h− Φ(tn, y(tn), h)

∣∣∣∣∣∣∣∣mennyiséget nevezzük.

12


2.4. Definíció. A numerikus módszer p-ed rendben konzisztens, ha létezik olyanM > 0, p ∈ N és képlethibájára igaz, hogy

`n = Mhp+1, (n = 0, . . . , N − 1).

(Ekkor a módszer konzisztencia rendje p ≥ 1, ahol p ∈ N.)

Megjegyzés. Mivel Φ(tn, yn, h) és y′ is folytonos, ezért bármely t ∈ [0, t]-retn = nh, h→ 0-ra és limn→∞ tn = t esetén

limn→∞

`n = ||y′(t)− Φ(t, y(t),0)|| = 0.

2.5. Lemma. Ha egy egylépéses numerikus módszer a p-edfokú Taylor-polinomothasználja a közelítéshez, akkor a lokális hiba becslése

`n ≤Mp+1

(p+ 1)!hp, (n = 0, . . . , N − 1)

ahol Mp+1 = maxt∈[0,t]||y(p+1)(t)||.

Bizonyítás. A Taylor-formulát alkalmazva létezik olyan ξ ∈ [tn, tn+1], hogy

y(tn+1) = y(tn)+ y′(tn)h+y′′(tn)

2!h2 + · · ·+ y(p+1)(ξ)

(p+ 1)!hp+1

y(tn+1)− y(tn)

h= y′(tn) +

y′′(tn)

2!h+ · · ·+ y(p+1)(ξ)

(p+ 1)!hp.

Ha az egylépéses numerikus módszer a p-edfokú Taylor-polinomot használja aközelítéshez, akkor

Φ(tn, y(tn), h) = y′(tn) +y′′(tn)

2!h+ · · ·+ y(p)(tn)

p!hp−1.

Ebbol a lokális hiba így is felírható

`n =

∣∣∣∣∣∣∣∣y(tn+1)− y(tn)


∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣y(p+1)(ξ)

(p+ 1)!hp∣∣∣∣∣∣∣∣ ,

a becslése pedig

`n ≤Mp+1

(p+ 1)!hp.

Ezzel az állítást beláttuk. �

13


2.6. Definíció. A numerikus módszert abban az esetben nevezzük stabilnak, halétezik olyan K > 0, melyre teljesül, hogy

gn ≤ K

(|g0|+

n−1∑k=0

|`k|h

), (n = 1, . . . , N)

vagyis a globális hiba felülrol becsülheto a lokális hibák összegének konstans-szorosával.

A következo tétel azt mutatja meg, hogy mikor tudjuk garantálni egy egylépé-ses numerikus módszer stabilitását.

2.7. Tétel. A kezdetiérték-probléma megoldására tekintsük az általános egylépé-ses módszert y0 = y(t0)

yn+1 = yn + hΦ(tn, yn, h),(2.3)

ahol n = 0, . . . , N − 1 és tegyük fel, hogy a Φ függvény a D = {(t, y) | t ∈∈ [0, t]} halmazon, ||y− y0|| ≤ D a második változójában eleget tesz a Lipschitz-feltételnek:

||Φ(t, u, h)− Φ(t, v, h)|| ≤ LΦ||u− v||, (t, u), (t, v) ∈ D.

Ekkor a módszer stabil, azaz

gn ≤ eLΦ t

(|g0|+

n−1∑k=0

|`k|h

), (n = 1, . . . , N).

Bizonyítás. Induljunk ki a lokális hiba definíciójából :

`n =

∣∣∣∣∣∣∣∣y(tn+1)− y(tn)


∣∣∣∣∣∣∣∣ ,Átrendezzük:

y(tn+1) = y(tn) + hΦ(tn, y(tn), h) + `nh

yn+1 = yn + hΦ(tn, yn, h)

Ha kivonjuk a két sort egymásból, akkor megjelenik a globális hiba is :

y(tn+1)− yn+1 = y(tn)− yn + h(Φ(tn, y(tn), h)− Φ(tn, yn, h)) + `nh

gn+1 = gn − h(Φ(tn, y(tn), h)− Φ(tn, yn, h)) + `nh.

14


A következokben használjuk fel az a háromszög-egyenlotlenséget és a Lipschitz-feltételt úgy, hogy vesszük a módszer abszolút értékét.

|gn+1| ≤ |gn|+h |Φ(tn, y(tn), h)− Φ(tn, yn, h)|︸︷︷︸≤LΦ|y(tn)−yn|=LΦ|gn|

+|`n|h = (1 +LΦh)|gn|+ |`n|h.

Bontsuk ki a rekurziót :

|gn+1| ≤ (1 + LΦh)((1 + LΦh)|gn−1|+ |`n−1|h) + |`n|h =

= (1 + LΦh)2|gn−1|+ |`n|h+ (1 + LΦh)|`n−1|h ≤· · ·

≤ (1 + LΦh)n+1|g0|+n∑k=0

(1 + LΦh)n−k|`k|h ≤

≤ (1 + LΦh)n+1

|g0|+n∑k=0

(1 + LΦh)−(k+1)︸︷︷︸≤1

|`k|h

≤≤ (1 + LΦh)n+1

[|g0|+

n∑k=0

|`k|h

].

Mivel h(n+ 1) = tn+1 és az alábbi becslésbol

(1 + LΦh)n+1 =

(1 + LΦ

tn+1

n+ 1

)n+1

≤ eLΦtn+1 ≤ eLΦ t,

az következik, hogy

|gn+1| ≤ eLΦ t

[|g0|+

n∑k=0

|`k|h

],

amivel pontosan a módszer stabilitását láttuk be. �

2.8. Tétel. Tekintsük a (2.3)-es egyenletet az n = 0, . . . , N − 1 intervallumon,mely p-edrendben konzisztens (p ≥ 1), azaz létezik olyan K > 0, hogy

`n ≤ Khp+1, (n = 0, . . . , N − 1),

és stabil, azaz

gn ≤ eLΦ t

(|g0|+

n−1∑k=0

|`k|h

).

15


Ekkorgn ≤ eLΦ tKhp, (n = 0, . . . , N)

vagyis a numerikus módszer p-edrendben konvergens.

Bizonyítás. A konvergencia bizonyításához tegyük fel, hogy y(t0) = y0, tehátpontos kezdeti feltételbol induljunk ki (g0 = 0). Ezután használjuk fel a stabilitásés a p-edrendu konzisztencia fogalmát.

gn ≤ eLΦ t

|g0|︸︷︷︸=0

+n−1∑k=0

|`k|h

≤ eLΦ t

[n−1∑k=0

Khp+1

]≤ eLΦ tnKhp+1 ≤ eLΦ t (nh)︸︷︷︸

≤1

Khp ≤ eLΦ tKhp, (n = 1, . . . , N).

Ha t ∈ [0, t] tetszoleges és n és h olyan, hogy h = tn

, akkor

|y(tn)− yn| = |gn| ≤ (eLΦ tK)hp,

ahol eLΦ tK független h-tól és n-tol. Ezzel beláttuk a p-edrendu konvergenciát. �

Megjegyzés. A (2.8) tétel tulajdonképpen a Lax-féle ekvivalencia tétel egyikiránya, ami a gyakorlat szempontjából releváns. A tételt az idén 90 éves Lax Pétermondta ki Richtmyer segítségével [6], amellyel a közelíto megoldások konver-genciáját lehet igazolni.

A továbbiakban megnézünk két konkrét módszert, amit a dolgozat során hasz-nálni fogunk.

2.2. Explicit Euler módszer

Induljunk ki az (1.1)-es egyenletbol. Felírjuk a derivált definícióját :

f(t, y(t)) = y′(t) = limh→0

y(t+ h)− y(t)

h.

Ha választunk egy nagyon kicsi h értéket, akkor közelíteni tudjuk a derivált pontosértékét. Így felírhatjuk, hogy

f(t, y(t)) ≈ y(t+ h)− y(t)

h

16


Átrendezve az egyenletet kapjuk, hogy

y(t+ h) ≈ y(t) + hf(t, y(t))

yn ≈ y(nh)

amely a módszer közelítését adja meg. Ha visszaemlékszünk a (2.1) általánosalakra, akkor kapjuk, hogy

yn+1 = yn + hf(nh, yn).

ahol nh = tn, és visszaírva az egyenletbe az explicit Euler-módszert kapjuk. y0 = y(t0)

yn+1 = yn + hf(tn, yn), n ∈ N.(2.4)

Ellenorizzük, hogy konvergens-e a módszer és ha igen, nézzük meg milyenrendben konvergens. Eloször is vegyük az Euler eljárás lokális approximációshibáját :

`n = −yn+1 − ynh

+ f(tn, yn).

2.9. Definíció. A (2.4)-es definíciót felhasználva azt mondhatjuk, hogy az explicitEuler-módszert konzisztensnek nevezzük, ha

limh→0

`n = 0.

A lokális hiba egyenletébol azt kapjuk, hogy

`n = −y(tn+1)− y(tn)

h+ f(tn, y(tn)).

Ha átírjuk y(tn+1)-et y(tn + h)-ra és Taylor-sorba fejtjük a y(tn + h) kifejezést atn pont körül, akkor azt kapjuk, hogy

−u(tn + h)− y(tn)

h= −

y(tn) + hy′(tn) + h2

2y′′(tn) +Mh3 − y(tn)

h.

Helyettesítsük be az f(t, y(t)) helyére y′(t), majd átrendezve kapjuk, hogy

`n = −h2y′′(tn) +Mh2.

Ezzel megkaptuk, hogy az explicit Euler-módszer konzisztens és rendje egy,vagyis p = 1.

2.10. Tétel. Ha az explicit Euler-módszer konzisztens és stabil, akkor konvergensis, és a konvergencia rendje egybeesik a konzisztencia rendjével.

17


2.3. Negyedrendu Runge-Kutta módszer

A differenciálegyenletek numerikus analízisének széles körben alkalmazott köze-líto eljárása a Runge–Kutta-módszerek családja.

A Runge–Kutta negyedrendu tagja annyira elterjedten használatos, hogy egy-szeruen csak „a Runge–Kutta-módszer”-ként hivatkozunk rá. Ez a módszer az(1.1) kezdetiérték-probléma egy negyedrendu közelíto megoldását adja meg, azaztetszolegesen rögzített valós, kicsi h > 0 lépésköz esetén az n-edik lépésben akezdetiérték-probléma y(t) megoldásának egy olyan y(tn) ≈ yn közelítését ad-ja a tn = nh helyen, amely közelítési hibája negyedrendu, vagyis p = 4. Ezt a(2.1)-es definíció alapján könnyen beláthatjuk.

A h lépésköz rögzítése után az alábbi, n-szerinti rekurziós lépésekkel kapjukaz y(t) megoldásfüggvény közelítését.

yn+1 = yn + hk1 + 2k2 + 2k3 + k4

6(2.5)

ahol

k1 = f(tn, yn),

k2 = f(tn + h2, yn + h

2k1),

k3 = f(tn + h2, yn + h

2k2),

k4 = f(tn + h, yn + hk3).

Így a tn+1 helyhez tartozó yn+1 közelítoérték egyenlo a tn helyhez tartozóyn közelítoérték, plusz a becsült meredekség szorozva az intervallum h hosszá-val. A meredekség becslése súlyozott középértéke az alábbi négy meredekségibecslésnek:

k1 = f(tn, yn) ≈ f(tn, y(tn))

= y′(tn),

k2 = f(tn + h2, yn + h

2k1) ≈ f(tn + h

2, y(tn) + h

2y′(tn))

≈ f(tn + h2, y(tn + h

2))

= y′(tn + h2),

18


k3 = f(tn + h2, yn + h

2k2) ≈ f(tn + h

2, y(tn) + h

2y′(tn + h

2))

≈ f(tn + h2, y(tn + h

2))

= y′(tn + h2),

k4 = f(tn + h, yn + hk3) ≈ f(tn + h, y(tn) + hy′(tn + h2))

≈ f(tn + h, y(tn + h))

= y′(tn + h).

E négy közelítés átlagolásánál a tn és tn+1 szélekhez képest a tn + h2

felezonéldupla súlyt alkalmazunk:

átlagos meredekség ≈y′(tn) + 2y′(tn + h

2) + 2y′(tn + h

2) + y′(tn + h)

6

≈ k1 + 2k2 + 2k3 + k4

6.

Mivel a megoldásfüggvény felvett értékeire csak additív muveleteket és a skalár-ral való szorzás muveletét alkalmazzuk, ezért a módszer nem csak skalár értékumegoldásfüggvények, hanem vektor értékuek esetén is alkalmazható. A követke-zo fejezetben pontosan ilyen vektor értéku függvényeket fogunk vizsgálni.

19

3. fejezet

Alkalmazások

A differenciálegyenleteknek mindig is nagy jelentoségük volt a természettudo-mányokban, foleg a meteorológiában. A légkör és az éghajlati rendszer egyikalapveto jellemzoje a kaotikus viselkedés, ezért a meteorológiai elorejelzésnagyon érzékeny a kezdeti feltételekre. Két meteorológiai modellen szeretnémbemutatni a differenciálegyenletek gyakorlati alkalmazását. Ebben a fejezetbenkicsit módosítunk a korábbi fejezetekben használt jelöléseken, y helyett y, fhelyett pedig f jelölést fogjuk alkalmazni.

3.1. Lorenz-modell

Edward Norton Lorenz 1917. május 23-án West Hartford-ban született és 2008.április 16-án halt meg Cambridge-ben. Matematikusként és meteorológuskénttevékenykedett, valamint olyan felfedezést tett, amely alapvetoen megváltoz-tatta a világunkról alkotott képet. Éveken át tartó tanulmányozás eredménye-ként rádöbbent arra, hogy az idojárási rendszerek gyakran nem az elvárásoknakmegfeleloen változnak, azaz a kezdeti feltételek apró változtatásai is rendkívülieltéréseket okoznak a numerikus idojárási modellekben. 1963-ban az amerikaiMassachusetts Institute of Technology (MIT) meteorológus professzoraként meg-jelentette tanulmányát, miszerint a determinisztikus rendszerek, valamint a magasdimenziójú differenciálegyenletek is tanúsíthatnak elore nem látható, véletlen-szeru viselkedést. Pár évvel késobb ezekre már kaotikus rendszerekként utaltak,illetve egy amerikai matematikus, James A. Yorke pedig a káosz elnevezést adtaa jelenségnek. Lorenz kezdetben azzal a hasonlattal utalt a különös viselkedésre,

20


hogy egy sirály szárnycsapása meroben megváltoztatná az idojárás folyamatát. Atanulmány késobb pillangó-hatás néven vált közismertté.

Cikkeiben Lorenz a kaotikus viselkedés szemléltetéséhez a Rayleigh–Benardkonvekció egyszerusített modelljének egyenleteit használta fel. Ez a modell kétmerev lap közötti folyadékrétegben az alsó lapról indított hoközlés és a gravitációhatására létrejövo mozgást írja le.

Ezt a fejezetet Edward N. Lorenz Deterministic Nonperiodic Flow [7] és ThairY. Thanoon, Saad F. AL-Azzawi Stability of Lorenz Differential System By para-meters [8] címu cikke alapján dolgoztam ki.

3.1.1. Lorenz egyenlete

Tekintsük a modellt leíró egyenletet, ahol x, y, z : R+0 → R folytonosan differen-

ciálható függvények:

y =

x

y

z

: R+0 → R3,

f(y) =

σ(y − x)

x(%− z)− yxy − βz

, (3.1)

ahol σ > 0, % > 0 és β > 0 konstans tagok. Lorenz úgy választotta meg ezenparaméterek értékét, hogy az egyenletrendszer megoldása megfeleloen mutassa akaotikus viselkedést.

Az egyenletrendszerben szereplo függvények a következok: x a konvektívmozgás intenzitásával arányos mennyiséggel egyenlo, y a fel-, és leáramlásiágak közötti homérséklet különbséggel arányos, z pedig a lineáris vertikálishomérsékleti profiltól vett eltéréssel arányos.

Tekintsük az f : R3 → R3-ba képezo vektormezot

f(x, y, z) = (σy − σx, %x− y − xz, xy − βz) ,

ahol az egyensúlyi helyzethez pontosan az kell, hogy ez a vektormezo nullalegyen. Tehát a (3.1)-es modell egyensúlyi helyzetben van, ha

f(x, y, z) = (0,0,0).

21


Oldjuk meg az egyenletrendszert :

σy − σx = 0

%x− y − xz = 0

xy − βz = 0

Induljunk ki az elso egyenletbol :

σ(y − x) = 0

y = x.

Majd ha a második egyenletben y helyére x-et írunk, azt kapjuk, hogy

%x− x− xz = 0

x(%− 1− z) = 0

z = %− 1.

A harmadik egyenletbol pedig az jön ki, hogy

xy − βz = 0

xx− β(%− 1) = 0

x2 = β(%− 1).

Tehát a egyenlet megoldásai :

x = ±√β(%− 1)

y = ±√β(%− 1)

z = %− 1

Ebbol azt kapjuk, hogy a (3.1) az alábbi három egyensúlyi helyzettelrendelkezik:

y∗0 = (0,0,0)

y∗1 = (√β(%− 1),

√β(%− 1), %− 1)

y∗2 = (−√β(%− 1),−

√β(%− 1), %− 1)

Ezeken kívül szinte lehetetlen más megoldást találni, ezért numerikus módszersegítségével próbálunk egyéb, közelíto megoldásokat keresni.

22


3.1.2. Egyensúlyi helyzetek

Ha szeretnénk megérteni az egyensúlyi helyzetek természetét, célszerulinearizálni az egyenletrendszert. Gondoljunk vissza az 1.3-as fejezet Nemline-áris differenciálegyenlet-rendszer alfejezetére. Írjuk fel a (3.1) egyenlet Jacobi-mátrixát mindhárom esetben. Legyen

y′(t) = f(t,y(t)) y(t) :=

x(t)

y(t)

z(t)

,

ahol f : R3 → R3 képezo függvény. Ekkor

f(y) =

σ(y − x)

x(%− z)− yxy − βz

.

Számoljuk ki a deriváltakat, hogy megkapjuk a Jacobi-mátrixot.

f ′(y) =∂f

∂y=

∂f1

∂x∂f1

∂y∂f1

∂z∂f2

∂x∂f2

∂y∂f2

∂z∂f3

∂x∂f3

∂y∂f3

∂z

=

−σ σ 0

%− z −1 −xy x −β

= J(x, y, z)

Ha beírjuk az egyensúlyi helyzetek koordinátáit, akkor az alábbi Jacobi-mátrixokat kapjuk. Az origóban, vagyis y∗0 = (0,0,0) esetén:

J0 =

−σ σ 0

% −1 0

0 0 −β

. (3.2)

Írjuk fel a mátrix karakterisztikus polinomját :

det(J0 − λI) =

∣∣∣∣∣∣∣−σ − λ σ 0

% −1− λ 0

0 0 −β − λ

∣∣∣∣∣∣∣ =

= (σ − λ)(−1− λ)(−β − λ)− σ(%(−β − λ)) =

= (σ − σλ+ λ+ λ2)(−β − λ) + σ%β + λσ% =

= −βσ + λβσ − λβ − λ2β − λσ + λ2σ − λ2 − λ3 + σ%β + λσ% = 0

23


Átrendezve:

λ3 + (σ + β + 1)λ2 + (β(σ + 1) + σ(%− 1))λ+ σβ(%− 1) = 0

Számítsuk ki ennek a harmadfokú polinomnak a sajátértékeit. A J0 mátrix jobbalsó sarkában lévo eleme egyben az elso sajátérték is, ezért csak a

(−σ − λ)(−1− λ)− σ% = 0

σ + λ+ σλ+ λ2 − σ% = 0

λ2 + (σ + 1)λ− σ(%− 1) = 0

másodfokú egyenlet gyökeit kell meghatározni. Tehát a (3.2) Jacobi mátrixhoztartozó sajátértékek:

λ1 = −β

λ2,3 =−(σ + 1)±

√(σ + 1)2 + 4σ(%− 1)

2.

A másik két egyensúlyi helyzethez, vagyis az y∗1,2 = (±√β(%− 1),±

±√β(%− 1), %− 1) tartozó Jacobi mátrix:

J1,2 =

−σ σ 0

1 −1 −√β(%− 1)√

β(%− 1)√β(%− 1) −β

. (3.3)

Nézzük meg ennek is a karakterisztikus polinomját :

det(J1,2 − λI) =

∣∣∣∣∣∣∣−σ − λ σ 0

1 −1− λ −√β(%− 1)√

β(%− 1)√β(%− 1) −β − λ

∣∣∣∣∣∣∣ =

= (−σ − λ) ((−1− λ)(−β − λ) + β(%− 1))− σ (−β − λ+ β(%− 1)) =

= (−σ − λ)(β + λ+ λβ + λ2 + β%− β)− σ(−β − λ+ β%− β) =

= −λ3 − λ2σ − λ2 − λ2β − λσβ − λβ%+ 2σβ − 2σβ% = 0

Átrendezve:

λ3 + (σ + β + 1)λ2 − (β(σ + %))λ+ 2σβ(%− 1) = 0

24


Számítsuk ki ezen polinom gyökeinek pontos értékét. Használjuk fel Lorenzpéldáját :

σ = 10, % = 28, β = 83.

Helyettesítsük be a (3.1) egyenletbe a Lorenz által meghatározott konstansokat :x′ = 10(y − x)

y′ = x(28− z)− yz′ = xy − 8

3z

(3.4)

ami meghatározza az f : R3 → R3-ba képezo vektormezot,

f(x, y, z) =(10y − 10x, 28x− y − xz,−8

3z + xy

).

Írjuk be a konstansokat a (3.3) mátrixhoz tartozó karakterisztikus polinomba, szá-moljuk ki a sajátértékeket, és vizsgáljuk meg a sajátértékek valós részét :

λ3 + (σ + β + 1)λ2 − (β(σ + %))λ+ 2σβ(%− 1) = 0

λ3 + (10 + 83

+ 1)λ2 − (83(10 + 28))λ+ 2 · 10 · 8

3(28− 1) = 0

λ3 + 413λ2 − 304

3λ+ 1440 = 0.

Használjuk fel a harmadfokú egyenlet megoldóképletét, a Cardano-formulát.Vegyük a következo általános alakját egy harmadfokú egyenletnek:

ax3 + bx2 + cx+ d = 0, a 6= 0

Nézzük meg, hogyan jönnek ki a gyökök az együtthatók segítségével :

x1 = S + T − b

3a

x2,3 = −S + T

2− b

3a± i√

3

2(S − T ),

aholS =

3

√R +

√Q3 +R2, T =

3

√R−

√Q3 +R2,

és ahol

Q =3ac− b2

9a2, R =

9abc− 27a2d− 2b3

54a3.

Esetünkben a következo értékeket kapjuk:

S = −108

25, T = −366

29, Q = −1745

32, R = −14635

14

25


Behelyettesítjük az imént kapott értékeket x1,2,3-ba és megkapjuk a (3.3) mátrix-hoz tartozó harmadfokú egyenletünk gyökeit :

λ1 ≈ −21,497

λ2,3 ≈ 3,9150± 7,1875i

Mivel van olyan gyökünk, melynek valós része pozitív, ezért az (1.7)-es tételalapján azt mondhatjuk, hogy a Lorenz-modell y∗1,2 = (±280

33,±280

33, 8

3) egyensúlyi

helyzetei instabilak.

Vizsgáljuk meg y∗0 = (0,0,0) esetén is. Ekkor a sajátértékek, melyeketkorábban kiszámoltunk, az alábbiak voltak:

λ1 = −β

λ2,3 =−(σ + 1)±

√(σ + 1)2 + 4σ(%− 1)

2.

Behelyettesítve Lorenz konstansait, azt kapjuk, hogy

λ1 = −8

3, λ2 = −662

29, λ3 =

343

29

Itt is ugyanaz a helyzet, mint az elozo sajátértékek esetében. Mivel a sajátértékekközött van pozitív valós értéku, a rendszer ezen egyensúlyi helyzete is instabilezekre a paraméter értékekre.

A modell numerikus vizsgálatát a 4. fejezetben mutatom be.

3.2. Százszorszép-modell

Hosszú múltra tekint vissza az az elképzelés, miszerint a Föld egy élo szervezet,vagyis az összes élo és élettelen része szorosan összefüggo, homeosztatikus rend-szert alkot, ami azt jelenti, hogy tág határok közt képes fenntartani létezésénekfeltételeit. James Lovelock, az amerikai urkutatási hivatal munkatársa 1965-benkezdett foglalkozni az élovilág evolúciója által befolyásolt, önszabályozó Földgondolatával. A NASA megbízásából a marsi élet lehetoségét tanulmányozta aViking-program vezetojeként. Amikor a Mars és a többi bolygó légkörét összeha-sonlította a Földével, mély benyomást tett rá az az egyszeru felismerés, mely sze-rint bolygónk atmoszférájának összetétele teljesen valószínutlen. Ennek kapcsán a

26


tudós kidolgozott egy elméletet az 1970-es években, melyet a görög mitológiábólismert Föld istennojérol, Gaia-ról nevezett el. A Gaia-elmélet Lovelock definíciójaszerint a Föld bioszféráját, atmoszféráját, vizeit és földjeit magába foglaló komp-lex egység, amely kialakítja, illetve fenntartja a földi élethez szükséges optimálisfizikai és kémiai környezetet. Kezdetben sok kritikával illették elméletét, mivelteleologikusnak és a természetes szelekció elveinek ellentmondónak gondolták.

1983-ban James Lovelock és Andrew J. Watson (brit tudós) az elmélet illuszt-rálására megalkották a Százszorszép Világ (Daisyworld) elnevezésu számítógépenszimulált egyszeru éghajlati modellt, mely egy felhok nélküli homogén felszínubolygón élo sötét és világos százszorszépek térhódítását, valamint éghajlat ala-kító szerepét írja le. A szimulációban lévo huvös bolygón a sötét színu virágokszaporodtak el, elnyelték a napfényt, ezáltal visszatartották a hot, és kedvezobbéletfeltételeket teremtettek. Azonban ahogy egyre melegebb lett környezetük, avilágos virágok vették át a helyüket, és a ho egy részét visszasugározták a világ-urbe, ezzel hutve a levegot. A százszorszépeknek hosszú idore sikerült egyensúly-ba hozniuk az adott bolygó homérsékletét. A Százszorszép-modell a végletekigleegyszerusíti a bonyolult folyamatokat, de alkalmas arra, hogy szemléltesse a kö-vetkezot : mindaddig, amíg két organizmus egyensúlyban tud élni, ideális környe-zet tartható fent mindkettejük számára, de amint eltunik bármelyikük, már kisebbváltozások is elpusztítják a teljes szervezetet, például a Földet.

Ezt a fejezetet Andrew J. Watson és James E. Lovelock Biological homeostasisof the global environment: the parable of Daisyworld [10] címu cikke segítségéveldolgoztam fel.

3.2.1. Változók, állandók és jelölések

A modell egy közönséges differenciálegyenlet-rendszer, melynek ismeretlenfüggvényei a világos és a sötét százszorszépek által befedett területek:

A1, A2 : R+0 → [0,1].

27


JelöljeA0(t) a talaj felszínét a t ≥ 0 idopillanatban és skálázzuk úgy, hogy a teljesfelszín

A0(t) + A1(t) + A2(t) = 1, ∀t ≥ 0

legyen.A probléma megoldásához szükségünk van a következo fogalom megismeré-

sére. A Földet eléro sugárzás visszaverodése nem egyenletes a teljes felszínen.A fényvisszavero képességet albedónak hívjuk. Az albedó értéke adja meg, hogya visszavert sugárzás hány százaléka a beesonek. Minél kisebb egy táj albedó-ja, a talaj annál kevesebb napsugarat ver vissza a légkörbe, így az adott területennagyobb melegedésre számíthatunk.

A modellben a különbözo felszínek albedó értékét α0, α1, α2-vel jelöljük.Ezek mind állandók és α0, α1, α2 ∈ [0,1]. Legyenek például :

talaj : α0 = 0.5,

világos virág : α1 = 0.75,

sötét virág : α2 = 0.25.

A modell bemutatása elott vezessük be az alábbi jelöléseket :

Jelölés Érték Leírás

σ 5,67 · 10−8 Wm2K4 Stefan–Boltzmann-állandó

S 1368 Wm2 napállandó (a Nap általi besugárzás)

k 0,003265 a százszorszépek növekedési rátájában

szereplo konstans

γ 0,3 a százszorszépek halálozási rátája

Topt 22,5 növények optimális homérséklete

28


3.2.2. Lovelock egyenlete

Most pedig lássuk a modellt leíró egyenletrendszert t ≥ 0 esetén:

A0(t) = 1− A1(t)− A2(t)

α(t) = α0A0(t) + α1A1(t) + α2A2(t)

L (t) =1

50t+

1

2

q(t) =L (t)S

5σ

T 4e (t) =

SL (1− α)

4σ

Tj(t) = (q(α(t)− αj) + T 4e (t))1/4, j = 0,1,2

β(T ) =

1− k(T − Topt)2, ha 1− k(T − Topt)

2 > 0

0 különbenddtAj(t) = Aj(t)(A0(t)β(Tj(t))− γ), j = 1,2

(3.5)

ahol a T0(t), T1(t) a világos és sötét százszorszépek lokális homérsékletét, L (t)

a homérsékleti luminozitást, q(t) pedig a horizontális hotranszportot jelentik a tidopillanatban.

3.2.3. Jacobi-mátrix

Ez a differenciálegyenlet-rendszer lényegesen bonyolultabb a Lorenz-modellnél,de felírjuk a Jacobi mátrixát, majd a MATLAB segítségével szemléltetjük amodell viselkedését.

Nézzük meg a megoldandó differenciálegyenlet-rendszert. Legyen

y′(t) = f(y(t))

y =

(A1

A2

),

ahold

dt

(A1

A2

)=(Aj(A0β(Tj)− γ)

), j = 1,2

29


és

f1(A1, A2) → d

dtA1 = A1(A0β(T1)− γ),

f2(A1, A2) → d

dtA2 = A2(A0β(T2)− γ).

Számoljuk ki a deriváltakat, hogy megkapjuk a Jacobi-mátrixot.

f ′(y) =∂f

∂y= J(A1, A2) =

(∂f1

∂A1

∂f1

∂A2∂f2

∂A1

∂f2

∂A2

)(3.6)

Vegyük ennek a Jacobi-mátrixnak a bal felso elemét, számoljuk ki annak a deri-váltjait részekre bontva:

∂f1

∂A1

= A0β(T1)− γ + A1A0∂β

∂A1

∂β

∂A1

= −2k(T1 − Topt)∂T1

∂A1

∂T1

∂A1

=1

4

(q(α− α1) + T 4

e

)−3/4 ·(q∂α

∂A1

+∂T 4

e

∂A1

)∂α

∂A1

= α1

∂T 4e

∂A1

= −SL4σα1

Összegezve:

∂f1

∂A1

= A0β(T1)−γ−A1A0 ·2k(T1−Topt) · 14

(q(α−α1) +T 4

e

)−3/4 ·α1(q− SL4σ

)

Ezek alapján a (3.6) másik három eleme a következo :

∂f2

∂A2

= A0β(T2)− γ − A2A0 · 2k(T2 − Topt) · 14

(q(α− α2) + T 4

e

)−3/4 · α2(q − SL4σ

)

∂f1

∂A2

= A0β(T1)− γ − A1A0 · 2k(T1 − Topt) · 14

(q(α− α1) + T 4

e

)−3/4 · α2(q − SL4σ

)

∂f2

∂A1

= A0β(T2)− γ − A2A0 · 2k(T2 − Topt) · 14

(q(α− α2) + T 4

e

)−3/4 · α1(q − SL4σ

)

A következo fejezetben elvégezzük a modellek numerikus vizsgálatát.

30

4. fejezet

Numerikus eredmények

Mivel a numerikus számítások egyik elterjedt eszköze a MATLAB, ezért enneka programnak a segítségével fogjuk tesztelni a korábban említett éghajlati model-leket, különbözo kezdeti értékek esetén. A MATLAB programok forráskódja aFüggelék fejezetben található.

4.1. „Pillangó” modell

A pillangó modellt explicit Euler módszerrel oldottuk meg. A 4.1. ábrán azt szem-léltetjük, hogy két különbözo kezdeti értékbol indítva a rendszert, hogyan visel-kedik a modell. A vizsgálatkor a kezdeti értékek az alábbiak voltak:

y1 = (2; 5; 10)

y2 = (2,2; 5,2; 10,2).

Láthatjuk, hogy két közeli pontból indítjuk a rendszert. A két trajektóriaegy ideig együtt halad, egymás közelében maradnak, majd külön válnak és egypillangó formát rajzolnak ki. Ezzel az ábrával tudjuk szemléltetni a meteorológiaimodellek kaotikus viselkedését. Egy apró változtatás a rendszerben teljesen másvégeredményt eredményez. Rendkívül érzékeny a kezdeti feltételekre, és sohasemismerjük pontosan az adott rendszer (pl. légkör) aktuális kezdeti állapotát.

31


z

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

2520151050-5-10

x-15-20-25

-20y

0

20

30

20

10

0

50

40

z

4.1. ábra. A pillangó modell síkban és térben.Két különbözo kezdeti értékbol indítva.

32


Nézzük meg a 4.2. ábrán a differenciálegyenlet-rendszer megoldását az idofüggvényében. Észrevehetünk némi szabályszeruséget a mintában, azonban akaotikus viselkedést a 4.1. ábra jobban szemlélteti.

0 5 10 15

x, y

, z

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

4.2. ábra. Lorenz modell megoldása az ido függvényében.

33


4.2. „Százszorszép” modell

A százszorszép modellt negyedrendu Runge–Kutta módszerrel oldottuk meg.Vizsgáljuk meg a 4.3. ábrán, hogy az optimális homérséklethez képest, hogyan

alakul a bolygó homérséklete százszorszépekkel és anélkül.

Topt = 22,5 ◦C

A világos és sötét százszorszépek területi befedettségének aránya a program fut-tatása során:

A1 = 0,2 és A2 = 0,4

Élet nélkül ezek a fenti értékek:

A1 = 0 és A2 = 0

Azt láthatjuk, hogy élet nélkül folyamatosan none a bolygó homérséklete, azon-ban ha százszorszépeket telepítünk, akkor a ido elorehaladtával megpróbálják be-állítani a fennmaradásukhoz szükséges optimális homérsékletet.

4.3. ábra. A százszorszépek hatása a homérsékletre.

34


Vegyük észre, hogy a 4.3. ábra is azt mutatja, hogy milyen érzékeny ez a modellis a kezdeti feltételekre.

A 4.4. ábrán szeretnénk a világos és sötét százszorszépek területének növeke-dését ábrázolni az ido függvényében. A különbözo virágokat különbözo aránybantelepítjük. Azt is ábrázoljuk, hogy hogyan alakul a talaj befedettsége.

0 20 40 60 80 100

Bef

edet

t ter

ület

ek

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1világossötéttalaj

4.4. ábra. A százszorszépek által fedett területek változása.

Azt kapjuk, hogy a sötét százszorszépek viszonylag hamar kihalnak, de elotte mégmegemelik annyira a bolygó homérsékletét, hogy a világos százszorszépek növe-kedésnek induljanak. Miután a világos százszorszépek elszaporodtak, a homér-séklet nem tudott tovább növekedni a sötét virágok nélkül, így a világos társaik iskihaltak, és csak a puszta talaj maradt.

35

Függelék

„Pillangó” programok forráskódja

%Egy kezdeti értékből indítva:

function[x y z]=pillango1(tmax,N)

h=tmax/N; %időlépcső

t(1)=0; %az idő kezdetben

y(:,1)=[2;5;10]; %kezdeti érték ([2;5;10])

t=h*[0:N];

for n=1:N %az idő ciklus

%Differenciálegyenlet megoldása explicit Euler-módszerrel

y(:,n+1) = y(:,n)+h*F(y(:,n));

end %az idő ciklus vége

%Kirajzoltatás:

plot(t,y(1,:),t,y(2,:),t,y(3,:))

axis([0 tmax -30 50])

xlabel('Time'), ylabel('x, y, z')

end

function dYdt=F(y)

sigma=10; %Prandtl szám

rho=28; %Rayleigh szám

beta=8/3; %Béta paraméter

36


dYdt(1)=sigma*(y(2)-y(1));

dYdt(2)=y(1)*(rho-y(3))-y(2);

dYdt(3)=y(1)*y(2)-beta*y(3);

end

%Két különböző kezdeti értékből indítva:

function [x y z]=pillango2(tmax,N)

y1(:,1)=[2;5;10]; %kezdeti érték ([2;5;10])

y2(:,1)=[2.2;5.2;10.2]; %kezdeti érték ([2.2;5.2;10.2])

h=tmax/N; %időlépcső

t=h*[0:N];


%Differenciálegyenlet megoldása explicit Euler-módszerrel

y1(:,n+1) = y1(:,n)+h*F(y1(:,n));

y2(:,n+1) = y2(:,n)+h*F(y2(:,n));

%Kirajzoltatás:

plot3(y1(1,:),y1(2,:),y1(3,:),y2(1,:),y2(2,:),y2(3,:))

axis([-25 25 -25 25 5 55])

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

pause(0.01)


end

function dYdt=F(y)

sigma=10; %Prandtl szám

rho=28; %Rayleigh szám

beta=8/3; %Béta paraméter

37


dYdt=zeros(3,1);

dYdt(1)=sigma*(y(2)-y(1));

dYdt(2)=y(1)*(rho-y(3))-y(2);

dYdt(3)=y(1)*y(2)-beta*y(3);

end

„Százszorszép” program forráskódja

function [y t A]=szazszorszep(tmax,N)

global k Topt

h=tmax/N; %időbeli lépésköz

t=h*[0:N]; %idő

%Paraméterek:

alfa=[0.75,0.25,0.5]; %albedo értékek (világos, sötét, talaj)

A(1)=0.2; %világos százszorszép (kezdeti feltétel)

A(2)=0.4; %sötét százszorszép (kezdeti feltétel)

gamma=0.3; %virágok halálozási rátája

sigma=5.67*10^(-8); %Stefan-Boltzmann-állandó [W/(m^2*K^4)]

Topt=273+22.5; %virágok optimális hőmérséklete

%[Kelvin=273+Celsius]

S=917; %napállandó [W/(m^2)]

k=0.003265; %virágok növekedési rátájában levő konstans

%tolerancia (plusz-mínusz 17,5 C fok)

if A(1)+A(2)>1

disp(sprintf('A sötét és világos felszínek összege

nem lehet nagyobb 1-nél.'));

return

end

%csak a kirajzoláshoz

A1=A(1);

A2=A(2);

38


A3=1-A(1)-A(2);

albedo=alfa(1)*A(1)+alfa(2)*A(2)+alfa(3)*(1-A(1)-A(2));

L=0.5+0.02*t;

q=0.2*L*S/sigma;

Teff4=S*L*(1-albedo)/sigma;

Teff=0;

x=0:h:tmax;

z=0:h:tmax;

Y=zeros(length(x),2);

Y(1,:) = A(:);


albedo=alfa(1)*A(1)+alfa(2)*A(2)+alfa(3)*(1-A(1)-A(2));

L=0.5+0.02*t(n); %hőmérsékleti luminozitás

q=0.2*L*S/sigma; %horizontális hőtranszport

Teff4=S*L*(1-albedo)/sigma;

T=(q*(albedo-alfa)+Teff4).^0.25;

F_xy = @(t,A) [A.*((1-A(1)-A(2)).*beta(T)-gamma)];

%Differenciálegyenlet megoldása RK4-gyel

y = Y(n,:);

k_1 = F_xy(x(n),y);

k_2 = F_xy(x(n)+0.5*h,y+0.5*h*k_1);

k_3 = F_xy((x(n)+0.5*h),(y+0.5*h*k_2));

k_4 = F_xy((x(n)+h),(y+k_3*h));

Y(n+1,:) = y + (1/6)*(k_1+2*k_2+2*k_3+k_4)*h;

%csak a kirajzoláshoz

A1=[A1 Y(n+1,1)];

A2=[A2 Y(n+1,2)];

A3=[A3 1-Y(n+1,1)-Y(n+1,2)];

Teff=[Teff Teff4.^0.25];

ido=x(1:n+1);

39


%Kirajzoltatás:

plot(ido,A1,ido,A2,ido,A3,':','Linewidth',3)

axis([0 tmax 0 1])

xlabel('Idő'), ylabel('Befedett területek')

legend('világos','sötét','talaj','Location','northeast')

pause(0.01)


%Kirajzoltatás:

hold on

plot(ido,Teff-273,'linewidth',3)

axis([1.1 tmax -40 120])

xlabel('Idő'), ylabel('A bolygó hőmérséklete')

legend('élet nélkül','szászszorszépekkel','Location','southeast')

pause(0.01)

hold off

end

function y=beta(T)

global k Topt

virag=k*(T(1)-Topt).^2;

if (virag<1), y(1)=1.0-virag;

else y(1)=0.0; end

virag=k*(T(2)-Topt).^2;

if (virag<1), y(2)=1.0-virag;

else y(2)=0.0; end

end

function dAdt=felszin(A,T,gamma)

dAdt=zeros(2,1);

dAdt=A.*((1-A(1)-A(2)).*beta(T)-gamma);

end

40

Irodalomjegyzék

[1] Simon L. P., Tóth J., Differenciálegyenletek: Bevezetés az elméletbe és azalkalmazásokba. Typotex (2005)

[2] Simon L. P., Közönséges differenciálegyenletek. Typotex (2007)

[3] Faragó I., Horváth R., Numerikus módszerek. Typotex (2011)

[4] Faragó I., Numerikus modellezés és közönséges differenciálegyenleteknumerikus megoldási módszerei. Egyetemi könyv (2013)

[5] Krebsz A., Közönséges differenciálegyenletek numerikus módszerei.Egyetemi jegyzet (2014)

[6] P. D. Lax, R. D. Richtmyer, Survey of the stability of linear finite differenceequations. Communications on pure and applied Mathematics 9 (1956),267–293.

[7] E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow. Journal of the atmosphericsciences 20 (1963), 130–141.

[8] T. Y. Thanoon, S. F. AL-Azzawi, Stability of Lorenz Differential System Byparameters. Tikrit Journal of Pure Science 15 (2010), 118–222.

[9] Götz G., A pillangó-effektus – a káosz felfedezése a meteorológiában. FizikaiSzemle 12 (1993), 487.

[10] A. J. Watson, J. E. Lovelock, Biological homeostasis of the global envi-ronment: the parable of Daisyworld. Tellus B. International MeteorologicalInstitute 35B (1983), 286–289.

[11] J. E. Lovelock, Healing Gaia: Practical Medicine for the Planet. HarmonyBooks (1991)

41

Nyilatkozat

Név: Gurubi Gina

ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika BSc

NEPTUN azonosító: M0YFQV

Szakdolgozat címe: Pillangók és százszorszépek a numerikus modellezésben

A szakdolgozat szerzojeként fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogya dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivat-kozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások általírt részeket a megfelelo idézés nélkül nem használtam fel.

Budapest, 2016. december 30.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a hallgató aláírása

Documents

PILLANGÓK ÉS SZÁZSZORSZÉPEK N M - · „A bölcselkedés meg van írva abban a nagy könyvben, amely állan-dóan nyitva áll a szemünk elott˝ - a Világegyetemre gondolok