Univerzitet u Beogradu Matematiki fakultet

Seminarski rad

Pitagorejska kola

Plazini Vera 174/94

Beograd 1999

SADRAJ Pitagorejsko bratstvo ................................................................................ 3 Teorija muzike .......................................................................................... 5 Teorija brojeva .......................................................................................... 6Teorija parnih i neparnih ............................................................................................ 6 Savreni brojevi .......................................................................................................... 7 Prijateljski brojevi....................................................................................................... 8 Figuralni brojevi ......................................................................................................... 9Trougaoni brojevi...............................................................................................................9 Kvadratni i pravougaoni brojevi........................................................................................9 Poligonalni brojevi...........................................................................................................11

Teorija proporcija ..................................................................................................... 12 Iracionalni brojevi..................................................................................................... 13 Ivini i dijagonalni brojevi ....................................................................................... 13

Geometrija ............................................................................................... 15Suma uglova u trouglu je jednaka zbiru dva prava ugla .......................................... 15 Pitagorina teorema .................................................................................................... 15 Geometrijska algebra ................................................................................................ 18 Pet pravilnih tela ....................................................................................................... 21

Astronomija ............................................................................................. 23 Literatura ................................................................................................ 25

2

Pitagorejsko bratstvoO osnivau Pitagorejskog bratstva, Pitagori, pisani su mnogi spisi i iriile su se mnoge legende, ali su te prie bile meu sobom kontradiktorne. Tome je delom doprineo njegov misteriozan ivot, a takoe i injenica da su se u to vreme znanja usmeno prenosila. Smatra se da je Pitagora roen oko 540 g. p.n.e., na ostrvu Samosu, sa koga je jo u mladosti pobegao zbog Polikratesove tiranije. Put ga je odveo u Egipat, gde je imao priliku da se upozna sa geometrijom koja se tu odavno izuavala. Prilikom upada Persijskog osvajaa Kambisa, Pitagora je zarobljen i prebaen u Vavilon. Tu se Pitagora prikljuio mistinoj sekti u kojoj je, prema Jamblihu, proveo sedam godina, savlaujui teoriju brojeva, muzike, astronomiju... Posle proputovanja po istoku u kome je iao ak do Indije, Pitagora se nastanjuje na jugu Italije u gradu Krotonu. Kao osoba sa, za to vreme zavidnim znanjem i prirodnim vrlinama, Pitagora je odmah dobio mnogobrojne pristalice u Krotonu.Ve tada su se o njemu priale legende, a verovalo se i da je boanskog porekla. ak ga Jamblih, u svom delu Pitagorin ivot naziva boanskim ovekom i voom i ocem boanske filozofije. Za Pitagorejsku kolu se kae da je religiozna, mistina, filozofska sekta. Upravo je ta mistinost i pomalo asketski nain ivota izdvajaju od ostalih kola tog doba, dok sa druge strane, predmet izuavanja u bratstvu, matematika, harmonija i astronomija ine da je ne moemo nazvati klasinom sektom. Kako Diogen Leratje navodi, ivot u bratstvu bio je strogo odreen normama ponaanja. Jedno od tih pravila bilo je: da bi postali pripadnici bratstva morali su pet godina da ute. To je naravno bilo u skladu sa osnovnim pravilom bratstva, da se tajne njihovog uenja strogo uvaju. ak se verovalo da e onaj ko oda tajnu sigurno umreti. Potvrda toga im je bila Hipasova smrt, za koga se verovalo da je razljutio bogove otkrivi tajnu dodekaedra. Pitagora je na istoku prihvatio i verovanje u seobu due (palingenesiju) i na tome je zasnovao religiozne ideje drutva. Meutim Ksenofon 1 , u svojoj poemi pravi alu na raun te ideje, pripovedajui o tome kako je Pitagora ugledavi nekog oveka kako kanjava svog psa, ovome naredio da prestane, jer je u jaukanju psa prepoznao glas svog prijatelja. Postojale su dve grupe Pitagorejaca: ezoteriari i egzoteriari. Ovih drugih je bilo vie, i oni su znali samo neke tajne uenja. Ezoteriari su predstavljali jezgro bratstva i bili su upueni u sve tajne uenja. Upravo na njih se odnosio zavet o uvanju tajne. U okviru te grupe delili su se na akustiare i matematiare. Prvi su se bavili muzikom i bili su zadueni za mistinu atmosferu u bratstvu, dok je drugima osnovni zadatak bio mathema, odnosno istraivanje. Impresionirani znaajem brojeva, Pitagorejci su ostavili svojstven peat u filosofiji. Za njih, arhe svega nije bila voda (Tales), vazduh (Anaksimen) ili vatra (Heraklit), ve broj. Oni se ne zadovoljavaju injenicom da su sve stvari brojive, ili da se odnos izmeu dve stvari moe izraziti u numerikoj proporciji, ve objavljuju da stvari jesu brojevi. Ovo uenje je prihvatljivije ako znamo da su Pitagorejci brojeve shvatali prostorno. Jedan je taka, dva je linija, tri je povrina, etiri je vrsto telo. Rei da su sve stvari brojevi, znai isto to i rei da se sve stvari sastoje od taki ili jedinica u prostoru koje zajedno ine broj. Da su Pitagorejci na taj nain shvatali brojeve ukazuje tetraktis, figura koju su smatrali za svetu. Pitagorejski tetraktis je geometrijski predstavljao jednakostranini trougao, a aritmetiki tzv. trougaoni broj, 10 = 1+2+3+4.

1

H.Diels, Predsokratovci, Ksenofan, B7 3

Sl. 1

Otkrie tetraktisa se pripisuje Pitagori. Za lanove njegovog bratstva, magijsko znaenje tetraktisa je bilo vee od geometrijskog ili aritmetikog ; ak su i zakletve polagali nad tetraktisom : Ne, tako mi onoga koji je naoj glavi predao tetraktis, koji ima u sebi izvor, koren vene prirode. 2 Iako su mnogi uveni matematiari i filosofi podrugljivo gledali na Pitagorinu delatnost, kao to je to inio Heraklit 3 , nazivajui ga ovekom sa puno znanja bez inteligencije, ne moe se zanemariiti znaaj otkria nastalih u pitagorejskoj koli, a koja su upravo za osnovu imala znanja koja je Pitagora preneo sa istoka. Predmet iztraivanja u Pitagorejskoj koli su bile etiri oblasti: teorija muzike (harmonija), teorija brojeva (aritmetika), geometrija i astronomija.

2 3

H.Diels, Predsokratovci, Pitagorejska kola, str. 403 H.Diels, Predsokratovci, Heraklit, B 40 4

Teorija muzikeGrupa pitagorejaca, akustiari, su istraivajui mogunosti instrumenta monokorda, doli do fantastinog otkria da se odnosi tonova mogu numeriki izraziti. Kako samo ime kae, monokord je instrument koji se sastojao od jedne zategnute ice i rezonantne kutije, pri emu je ica bila oznakama podeljena na dvanaest delova. Kada bi skratio duinu ice sa 12 na 6 (u odnosu 2:1) ili sa 12 na 8 (u odnosu 3:2) ili sa 12 na 9 (u odnosu 4:3) dobio bi ton vii za oktavu, kvintu ili kvartu, respektivno. Za pitagorejce je bila od ogromnog znaaja injenica da se osnovni zvuni intervali mogu predstaviti pomou razmere brojeva 1,2,3 i 4, odnosno tetraktisa, to je jo jednom potvrdilo njihovu teoriju Sve je broj . Brojevi 6,8,9 i 12 se sreu kod skoro svih pitagorejaca koji su pisali o muzici. Oni su znali da su 9 i 8 aritmetika i harmonijska sredina brojeva 6 i 12. Obino je broj 12 pripisivan najviem tonu, a 6 najniem, pri emu su ovi brojevi bili obrnuto proporcionalni duini ice. ta je bio stvarni znaaj ovih brojeva ? Oigledno da pitagorejcima nije bilo vano da li oni predstavljaju duinu ica , njihovu zategnutost ili brzinu. Najvanija stvar je da su se javljali tani odnosi harmonijskih intervala, kao to su 12:9=8:6 za kvartu i 12:8=9:6 za kvintu.

PITAGORA MUZIAR Jedan od prvih portreta Pitagore kao muziara uraen u drvorezu iz Theorica Musice , F.Gafurius,Milan,1492

5

Teorija brojevaPre nego to je nastala teorija brojeva postojalo je izvesno znanje o brojevima koje je Pitagora preneo svojim uenicima. Kao i sve ostalo to je poteklo sa istoka i brojevi su bili obavijeni velom misterije. Za pitagorejce je 10 bio najidealniji broj ( svega je moralo da bude 10), parni brojevi su bili enski , neparni muki, a 5 je oznaavao brak kao zbir prvog mukog i enskog broja. Sedam je predstavljao dobru ansu, a zgraavali su se nad brojem sedamnaest. Ali uprkos ovim fantastinim elementima , ne moe se zanemariti znaaj pitagorejaca u matematici. Proklo 4 primeuje da su pitagorejci izdigli matematiku iznad svakodnevnih potreba i preradili je u deduktivni sistem, koji je u poetku bio veoma jednostavan.

Teorija parnih i neparnih` Za najstariju teoriju brojeva uzima se teorija parnih i neparnih koja je potekla iz pitagorejske kole.O znaaju te teorije govori i injenica da je ona nala mesto u IX knjizi Euklidovih elemenata. Stavovi te teorije su sledei : 21. Ako se sabere ma koliko parnih brojeva, bie i zbir paran broj. 22. Ako se sabere ma koliko neparnih brojeva, ali paran broj sabiraka, bie i zbir paran broj. 23. Ako se sabere ma koliko neparnih brojeva, ali neparan broj sabiraka, bie i celo neparan broj. 24. Ako se od parnog broja oduzme paran broj, bie ostatak paran broj. 25. Ako se od parnog broja oduzme neparan broj, bie ostatak neparan broj. 26. Ako se od neparnog broja oduzme neparan, bie ostatak paran broj. 27. Ako se od neparnog broja oduzme paran broj, bie ostatak neparan broj 28. Ako neparan broj pomnoen parnim brojem proizvodi neto, dobiveni broj je paran. 29. Ako neparan broj pomnoen neparnim brojem proizvodi neto, dobiveni broj je neparan. 30. Ako neparan broj meri paran, on e meriti i njegovu polovinu. 31. Ako je neparan broj sa nekim brojem uzajamno prost, bie on uzajamno prost i sa dvostrukim tim brojem. 32. Svaki od brojeva koji se dobijaju od dvojke neprekidnim udvostruavanjem, je samo parno-paran broj. 33. Ako broj ima neparnu polovinu, on je samo parno-neparan. 34. Ako broj ne pripada ni brojevima koji se dobijaju od dvojke neprekidnim udvostruavanjem, ni brojevima koji imaju neparnu polovinu, on je ili parno-paran ili parno-neparan. Za pitagorejce, parno i neparno nisu samo elementi broja, ve i osnovni principi prirode. Potvrdu takvog stava nalazimo kod Aristotela 5 : Pitagorejci smatraju da elementi broja jesu parno i neparno, a da je od njih parno neogranieno, a neparno ogranieno; broj jedan proizilazi iz obadva ( jer je ono i parno i neparno), a brojevi iz jedinice; a i itavo nebo kao to je reeno jeste broj. Pripadnici ove kole kau da postoji deset osnovnih naela koje oni svrstavaju u grupe :

4 5

F.Koplston, Grka i Rim, str. 170 H.Diels, Predsokratovci, Epiharm, B2 6

ogranieno-neogranieno neparno-parno muko-ensko jedno-mnotvo desno-levo

ono to miruje-ono to se kree ravno-savijeno svetlo-tama dobro-zlo kvadrat-pravougaonik

U komadu komiara Epiharma (oko 500 gpn.), za koga Jamblih kae da je bio jedan od sluaa ove kole, nalazimo zanimljivu aluziju na filozofiju pitagorejaca i njihovu teoriju parnih i neparnih:-Ako neko hoe pridodati kameni nekom neparnom broju , i parnom , ako hoe, ili mu oduzeti jedan, misli li da bi broj i tada bio isti?-Mislim da ne bi. -Ili ako bi neko meri od jednog lakta , hteo dodati jednu duinu ili odsei od prethodne , bi li to jo i tad bila ona mera ?- Svakako ne bi. -Gledaj sada i ljude. Jedan raste , drugi propada ; svi su sve vreme u promeni. Ono to se menja s obzirom na prirodu i nikad ne ostaje na istom, to e biti drugaije i od onog to se ve promenilo. I ti i ja smo drugaiji od jue, drugaiji sada, pa emo onda opet biti drugaiji , i po istom zakonu nikad isti.

Van der Waerdenovu 6 priu tumai na sledei nain : Jedna osoba je pozajmila novac od druge i sada eli filozofskim argumentima da ubedi svog zajmodavca da je pare ustvari pozajmila neka druga osoba. Uprkos ovakvim alama , ova teorija je imala primenu u zanaajnom dokazu o nesamerljivosti strane i dijagonale kvadrata.

Savreni brojeviIako su otkria Pitagorejske kole esto shvatane kao teorijske, mistine kombinacije sa brojevima, mnoge od njih su ipak nale mesto u Euklidovim elementima. Tako se u treoj knjizi Elemenata moe nai definicija savrenog broja: Savren (perfektan) je broj koji je jednak zbiru sviih svojih delova (koji se mere). Najjednostavniji primer takvog broja je 6=1+2+3. Osim njega Nikomah navodi jo i sledee savrene brojeve: 28, 496 i 8128, pri emu navodi i opte pravilo za nalaenje savrenih brojeva : Kada je zbir : 1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n = p prost broj, tada je 2n p savren broj. Na primer, 1+2+4=7 je prost broj, sledi da je: 27 = 28 savren broj. U dokazu se koristi formula za sumu geometrijske progresije :

1 + 2 + .... + 2 n 1 = 2 n 1.6

Van der Waerden, Science Awakening, str. 110 7

Sada prema formuli 2n (2n +1 1) Nikomahovi brojevi izglrdaju: 2 2 (2 2 1) = 6, 2 2 (2 3 1) = 28, 2 4 (2 5 1) = 496, Sledei savren broj je: 2126 (2127 1) 2 6 (2 7 1) = 8128.

Osim savrenig broja, Teon iz Smirne i Nikomah razlikuju jo dve vrste brojeva: 1) Defektan ili Subperfektan kad je broj manji od sume svojih delilaca. Primer: n = 12, 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 > 12. 2) Superperfektan Primer: n = 8, 4 + 2 + 1 = 7 < 8.

Prijateljski brojeviZa dva broja kaemo da su prijateljski, kada je svaki jednak sumi svih delilaca drugog. Primer za to su brojevi 284 i 220. Jamblih pripisuje otkrie ovih brojeva Pitagori, koji je na pitanje ta je prijatelj ? odgovorio Alter ego i naveo prijateljske brojeve 284 i 220.220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110.

8

Figuralni brojeviKao to nam Aristotel 7 kazuje, Eurit (uenik Filolajev) je za oznaavanje brojeva koristio kamenie. Jedan kameni je predstavljao jedinicu,dva kamenia predstavljaju dvojku i definiu pravu liniju, tri kamenia, pri emu se jedan ne nalazi na pravoj koju obrazuju druga dva, predstavljaju trojku i odreuju trougao,a etiri kamenia od kojih je jedan van ravni koju obrazuju preostala tri, predstavljaju etvorku i definiu prvo pravolinijsko vrsto telo, tetraedar. Od figuralnih brojeva pitagorejci su razlikovali brojeve u ravni: trougaone, kvadratne, pravougaone, petougaone itd., a takoe su razlikovali brojeve obliku kocke, piramide Ovom oblasti su se najvie bavili Nikomah i Teon iz Smirne.

Trougaoni brojeviTrougaoni brojevi su pomou kamenia predstavljani u obliku trougla. Pretpostavlja se da je Pitagora prvi otkrio da je suma proizvoljnog broja prirodnih brojeva trougaoni broj, odnosno da su brojevi oblika : 1 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 trougaoni brojevi strane n. Meu ovim brojevima se nalazi i tetraktis (Sl. 3).

Sl. 3

Kvadratni i pravougaoni brojeviPrema pitagorejskom nainu obeleavanja brojeva kvadrat dvojke (odnosno etvorku) moemo pomou kamenia prikazati u ubliku kvadrata (2 x 2). Kvadrat sledeeg broja (trojke) emo dobiti ako postavimo redove kamenia sa dve strane prvog kvadrata kao na slici 4. Broj tih kamenia je: 22 + 1

7

H.Diels, Predsokratovci, Eurit 3 9

Sl. 4

Sl. 5

Ako krenemo od 1, dodavanjem uzatopnih neparnih brojeva 3, 5, 7, , kao na slici 5, dobiemo uzastopne kvadratne brojeve 4, 9, 16, Na osnovu ovog metoda pitagorejci su izraunali i sumu prvih n neparnih brojeva, tj videli su da je ta suma kvadratni broj: 1 + 3 + ... + 2n 1 = n 2 Videli su da za proizvoljan kvadratni broj n 2 sledei kvadratni broj (n + 1) 2 dobiemo dodavanjem neparnog broja 2n + 1 . Neparne brojeve koji se dodaju na ovaj nain pitagorejci su zvali gnomonima. Osim ovde, termin gnomon sreemo i u antikoj astronomiji, gde on predstavlja spravu za odreivanje vremena pomou senke vertikalne ipke. Geometrijski gnomon ima oblik pravog ugla (Sl. 6).

Sl.6

Pitagorejci su znali da ako zaponemo reanje kamenia dvojkom i dodajemo parne brojeve dobiemo pravougaone brojeve (Sl. 7), gde se strane pravougaonka razlikuju za jedan. Analogno su izraunali sumu prvih n brojeva:

2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1).Sl. 7

Osim toga oni su uoili da se svaki pravougaoni broj moe predstaviti kao dva trougaona kao na slici 8.

Sl. 8

10

Teon iz je Smirne isto svojstvo uoio i kod kvadratnih brojeva, s tim to se stranice trougla 1 1 razlikuju za jedan (Sl. 9) i vai n (n 1) + n (n + 1) = n 2 . 2 2

Sl. 9

Poligonalni brojevi

Teon iz Smirne uoava pravilnost za izvoenje ostalih poligonalnih brojeva. Po njemu gnomoni su svi uzastopni brojevi ijim uzastopnim dodavanjem dobijamo trougaone, ili kvadratne, poligonalne brojeve. Sa slike vidimo da i kod petougaonih i kod estougaonih brojeva kreemo od jedan, pri emu kod petougaonih uzastopno dodajemo 4,7,10,... , a kod estougaonih 5,9,13,; odnosno dodajemo elemente aritmetikog niza koji se u prvom sluaju razlikuje za 3, a u drugom za 4. Generalno, Teon zakljuuje, da za se poligonalni broj od n strana, gnomoni razlikuju za n-2.

Sl. 10.

11

Teorija proporcijaIako su poznavali i koristili slinost, pitagorejci teoriju proporcija nisu razvili u goemetriji. Naime otkrie numerike zavisnosti muzikih intervala , je predstavljalo poetak razvoja torije proporcija u muzici i aritmetici. U Pitagorino vreme razlikovali su aritmetiku, geometrijsku i subkontrarnu sredinu koju je Arhit preimenovao u harmonijsku. U svom delu O muzici on ih je definisao na sledei nain : Aritmetika je sredina kada tri brojna pojma pokazuju uzastopnu razliku: koliko prvi premauje drugi , toliko drugi premauje trei. Kod te analogije dogaa se da je odnos meu veim brojnim pojmovima manji, a meu manjima vei. Geometrijska sredina je kad se prvi brojni pojam odnosi prema drugom, kao drugi prema treem. Tu vei brojni pojmovi imaju isti brojni odnos kao manji. Kod subkontrarne , odnosno harmonijske, sredine brojni pojmovi se odnose na sledei nain: za koliki deo vlastite veliine prvi pojam premauje drugi, za toliki deo treega, srednji pojam premauje trei. Za brojeve a>b>c ovo moemo zapisati na sledei nain: Aritmetika sredina :

a b a b c = = = bc a b c

ekvivalentno a + c = 2b ekvivalentno ac = b 2

Geometrijska sredina :

a b a b = = bc b c

1 1 2 a c a ab , to je ekvivalentno + = Harmonijska sredina : a = b + , b = c + , odnosno = n n c bc a c b Jamblih navodi i najsavreniju proporciju koju naziva muzikom. Ova proporcija se sastoji od etiri brojna pojma i moe se zapisati na sledei nain :

a:

2ab a+b = :b 2 a+b

Primer za nju je 12:9 = 8:6 odnosno kvarta.

12

Iracionalni brojeviZa pitagorejce se takoe vezuje otkrie, tada kriznog fenomena, o nesamerljivosti strane i dijagonale kvadrata, tj. da se taj odnos ne moe izraziti racionalnim brojem. Objavljivanje toga bi unitilo njihovu teoriju, koja je za osnovu svega uzimala broj, te je stoga to otkrie uvano kao posebna tajna. Prema Heath-u dokaz o nesamerljivosti strane i dijagonale kvadrata, odnosno o iracionalnosti broja 2 moemo pripisati nekome od ranih pitagorejaca, i u njemu je primenjena teorija parnih i neparnih: Pretpostavimo da je dijagonala kvadrata AC samerljiva sa stranom kvadrata AB i neka p:q predstavlja taj odnos, pri emu je NZD(p,q)=1. Oigledno je AC:AB = p:q , a poto je AC=2AB sledi p=2q. Odavde je p paran, pa je i p paran ( jer ako bi p bio neparan, prema stavu 29 teorije parnih i neparnih, p bi bio neparan). Poto je NZD(p,q)=1 znai q je neparan. Neka je p=2r, sledi 4r=2q odnosno 2r=q. Oigledno q je paran pa je na osnovu prethodnog razmatranja i q paran. Zakljuujemo da je broj q i paran i neparan, to je nemogue. Znai pretpostavka da moemo odrediti duinu dijagonale pomou strane je netana. Smatra se da su dokzi o iracionalnosti brojeva 3 , 5 ,..., 17 nastali neto kasnije i pripisuju se Teodoru iz Kirene (oko 430 gpn.). Otkrie iracionalnih brojeva nije sruilo pitagorejsku teoriju. Naprotiv, u njihovoj koli je nastao nain za priblino odreivanje vrednosti broja 2 .

Ivini i dijagonalni brojeviPitegorejski nain za nalaenje priblinih vrednosti broja svih reenja jednaine : 2x - y = 1 Reenja predstavljaju uzastopni parovi brojeva koje zovemo ivini i dijagonalni brojevi. Pravilo po kome se odreuju ovi brojevi dao je Teon iz Smirne: Kao poetak svih brojeva, mogue je da jedinica bude i ivica i dijagonala. Ako uzmemo dve jedinice, jednu kao ivinu, a drugu kao dijagonalnu, tada se nova ivica formira sabiranjem ivine i dijagonalne jedinice, a nova dijagonala sabiranjem dvostruke ivine jedinice i dijagonalne jedinice . Dakle, dobijamo ivini broj 2 i dijagonalni broj 3. Nastavimo li ovaj postupak sa novodobijenim brojevima dobiemo 2 + 3 = 5, itd. u skladu sa rekurzivnim formulama 2 2 + 3 = 7,2 je podrazumevao nalaenje

a n +1 = a n + d n ,

d n +1 = 2a n + d n

13

Imena ivini i dijagonalni brojevi dolazi otuda to je odnos a n : d n aproksimacija odnosa ivice i dijagonale kvadrata. Ovo sledi iz identiteta2 2 d n = 2a n 1

Koji je prema Proklovom komentaru, dokazan stavom II.10. koji se moe iskazati formulom: (2a + d) + d = 2a + 2(a + d) Ako je d = 2a 1,odnosno ako brojevi a i d zadovoljavaju jednu od dve jednaine, zamenom ove relacije u prethodnu dobijamo da je (2a + d) = 2(a + d) 1 odnosno sledea dva broja a+d i 2a+d , zadovoljavaju drugu od navedenih jednaina. Postavlja se pitanje kako su dobijene gornje rekurzivne formule ? Van der Waerden pretpostavlja da su dobijene na sledei nain : Grka matematika je znala za metod sukcesivnog oduzimanja kojim se odreuje najvea zajednika mera dveju samerljivih veliina a i b : manja, racimo a, oduzme se od vee ime su dobijene dve nove veliine a i b-a, od kojih se manja oduzme od vee itd. Ako postoji zajednika mera procesom se dolazi do dveju jednakih veliina c=d, traene zajednike mere. Primenjen na dve nesamerljive veliine ovaj proces traje ad infinitum.C

b b-aA D

a a

b

E a Sl. 11

B

Na primer, ako je a ivica, a d dijagonala kvadrata, tada, ako ivicu oduzmemo od dijagonale ostatak e biti d-a=AD=DE=EB=a'. Ostatak d-a moe se oduzeti od a = AB , da bi preostao ostatak d' = AE. Sada su a' i d' stranica i dijagonala manjeg kvadrata i iz formula: d' = a - a', sledi da je a = a' + d', d = 2a' + d'. a' = d a

Dobijene formule imaju isti oblik kao i rekurzivne formule. Nastavljanjem prethodnog procesa oduzimanja dobiemo novu, manju ivicu a i dijagonalu d. Prethodni postupak emo nastaviti dok razlika izmeu, recimo a i d, bude suvie mala da moemo da pretpostavimo da je a = d, tada, ako izaberemo da a bude jedinina du, a i d, zatim a i d , i na kraju a i b mogu biti izraeni gornjim formulama u obliku ivinih i dijagonalnih brojeva.

14

GeometrijaIz Jamblihovog dela ivot pitagorejaca saznajemo kako su pitagorejci objavili u javnosti svoja otkria iz geometrije, uprkos strogoj tajnosti njihove kole. Grekom jednog lana bratstva, pitagorejci su ostali bez novca. Zato su reili da mu dozvole da zaradi novac pomou geometrije. Tako je geometrija objavljena kao Pitagorino predanje. Obzirom da je u to vreme postojala e za znanjem, to saznajemo iz velike popularnosti sofista, vrlo je mogue da ova legenda sadri deo istine.

Suma uglova u trouglu je jednaka zbiru dva prava uglaTeoremu prema kojoj je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla, Eudemus pripisuje pitagorejcima. On takoe navodi i dokaz teoreme: Neka je ABC proizvoljan trougao. Konstruiemo kroz taku A pravu DE paralelnu sa BC. Poto su BC i DE paralelne, uglovi sa paralelnim kracima ABC i DAB su jednaki; takoe i uglovi ACB i EAC . Znai zbir uglova ABC i ACB jednak je zbiru uglova DAB i EAC . Dodajmo svakoj sumi ugao BAC ; sledi da je suma uglova ABC + ACB + BAC odnosno suma unutranjih uglova trougla, je jednaka sumi uglova DAB+BAC+CAE, odnosno sumi dva prava ugla (Sl. 12).D A E

B

Sl. 12

C

Pitagorina teoremaPitagorina teorema glasi: Povrina kvadrata nad hipotenuzom pravouglog trougla jednaka je zbiru povrina kvadrata nad katetama. Iako se tradicionalno ova teorema pripisuje Pitagori, ne postoje vrsti dokazi da ju je on i dokazao. Neki pisci esto navode i legendu po kojoj je Pitagora rtvovao bika u znak zahvalnosti bogovima za takvo otkrie. Meutim, znajui da je u bratstvu bilo strogo zabranjeno maltretiranje ivotinja teko moemo poverovati u tu priu. Postavlja se pitanje kako je Pitagora (ili pitagorejci ) dokazao ovu teoremu ? Prema Heathu 8 Pitagora je dokaz naveo na jedan od tri naina: 1) U trouglu ABC sa pravim uglom kod temen A, uoimo normalu AD na stranicu BC8

T.L.Heath, A History of Greek Mathematics, vol. I, str. 148 15

(Sl.13.). Tada su oba trougla DBA i DAC slini trouglu ABC, odnosno vai:AB : BC = BD : AB i AC : BC = CD : AC , tj: AB 2 = BD BD i AC = CD BC .A

D Sl. 13

C

Iz ovih jednakosti sledi da je AB + AC = BC 2) Primetimo da u slinim trouglovima DBA, DAC i ABC, odgovarajue stranice naspram pravog ugla su BA, AC i BC. Povrine trouglova se odnose kao kvadrati stranica, jer u trouglu DBA je: BD AD P1 = , 2 a u trouglu ABC je: AB AC P2 = . 2 Iz slinosti DBA i ABC sledi da je: AB AD AD : BD = AC : AB BD = AC AB AD BD AD : AB AC = AD : AB AC AC BD AD : AB AC = AB AD 2 : AB AC 2 = AD 2 : AC 2Poto je povrina trougla ABC jednaka zbiru povrina trouglova ADC i DBA sledi da je:BA2 + AC 2 = BC 2

3) Kada se svaka kateta pravouglog trougla produi za onu drugu, dobiemo kvadrat u kome je taj trougao ucrtan. Sada moemo ucrtati jo tri podudarne kopije tog trougla (Sl. 14).

a

b b a16 Sl. 14

Sa slike 15 vidimo da je kvadrat C kvadrat nad hipotenuzom, dok su A i B kvadrati nad njegovim katetama.

B A C

Sl.15

Zatim ako iz tog kvadrata uklonimo po etiri kopije podudarnih trouglova na sledea dva naina:

2

1

1 2 3

3

4 Sl. 16

4

preostali delovi su iste povrine odnosno vai teorema.

17

Geometrijska algebra

Geometrijska algebra predstavlja geometrijski pristup algebri, odnosno geometrijsku formalizaciju i reenje algebarskih problema. U drugoj knjizi Euklidovih elemenata nailazimo na niz takvih stavova. Poznato algebarsko pravilo, kavdrat binoma (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , ima svoju geometrijsku interpretaciju u navedenoj knjizi: II 4. Ako se data du proizvoljno podeli, kvadrat na celoj dui jednak je zbiru kvadrata na odescima i dvostrukog pravougaonika obuhvaenog odsecima. Konstrukcijom odgovarajue slike tvrenje postaje oigledno (Sl. 17).b

a

a Sl. 17

b

Prema Plutarhu pitagorejci su se bavili fundamentalnim problemom u Grkoj geometriji: Konstruisati pravolinijsku sliku koja je slina datoj pravolinijskoj slici i jednaka drugoj datoj pravolinijskoj slici. Ovde se radi o konstrukciji paralelograma na datoj dui, koji je jednak datoj pravolinijskoj slici i slian datom paralelogramu. Meutim, kada kaemo konstruisati paralelogram na datoj dui to ne znai da e cela du predstavljati stranu paralelograma. Data du AB moe biti jednaka strani paralelograma, moe biti vea od nje (AB>AN) i tom sluaju paralelogram na preostalom delu dui NB nazivamo manjak ili dopuna. Konano data du moe biti manja od strane paralelograma (AB