Upload
vuongtuong
View
212
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
Ratna Listiyani
NIM : 023214017
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS
SKRIPSI
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain
the Sarjana Sains Degree In Physics
By:
Ratna Listiyani
NIM : 023214017
PHYSICS STUDY PROGRAM
PHYSICS DEPARTEMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
“ Live is a great big canvas and you should throw all the paint on it you can “ (Dany Kave)
PERSEMBAHAN : “Skripsi ini aku persembahkan untuk ayah dan ibuku, adik-adikku yudha, icha, dan surya yang selalu menyayangiku”
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM
ABSTRAK
Telah dilakukan penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Persamaan keadaan gas ideal dapat diperoleh dengan menganggap potensial gas berbentuk potensial osilator harmonik, sedangkan persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menggunakan potensial osilator harmonik terganggu.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS
ABSTRACT
The equations of state for both ideal and real gases have been performed using quantum mechanical concepts. The equation of state for an ideal gas can be obtained by assuming that the gas potential has an oscillator harmonic potential, meanwhile the equation of state for a real gas can be obtained using the perturbed oscillator harmonic potential.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala kasih dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi
ini berjudul : ”PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN
GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA
KUANTUM”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang
penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang
telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi,
memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.
2. Dr. Ign. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang
sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.
3. Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku kaprodi Fisika dan dosen yang
senantiasa memberikan kemudahan dalam memberikan materi kuliah.
4. Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang
telah meluangkan waktu untuk membaca dan mengkoreksi skripsi ini.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si. sebagai dosen yang telah memberikan
pengajaran saat penulis menempuh masa perkuliahan.
6. Ayah dan Ibuku serta adik-adikku tercinta yang tanpa henti
memberikan dukungan, dorongan, dan doanya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini.
7. Ken yang selalu berusaha memberikan perhatian, semangat, dan
seluruh kasih sayangnya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.
8. Manggar, Frida, mbak Ayuk, Sisca dan mbak Yuni yang telah menjadi
sahabat yang sangat baik dan selalu menyayangiku dengan tulus.
9. Mbak Yamidah dan mbak Tatik yang selalu sabar mengajariku ketika
menemui kesulitan dalam mengerjakan skripsi ini.
10. Mas Toro, mbak Lia, mas Yanto, mbak Prapti, mas Edi, mbak Sasti,
dan seluruh keluarga besar yang tidak pernah lelah memberikan
dukungannya.
11. Teman-teman fisika diantaranya Adet, Danang, Inke, Bambang, Iman,
Adit, Lius, Hari, Enzo, Minto, Ismeth, Mamat, Ridwan, Ade, Siska,
Sujad dan Dian yang telah memberikan kenangan manis saat
bersama-sama menempuh masa perkuliahan.
12. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan
pengajaran dan pendampingan.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh
karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun
dari berbagai pihak.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia
pendidikan dan khususnya pembaca.
Yogyakarta, September 2008
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………… i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………… ii
HALAMAN PENGESAHAN .….………………………………… iii
HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………………...………… iv
ABSTRAK ………………………………………………………… v
ABSTRACT ….…………………………………………………… vi
KATA PENGANTAR …..………………………………………… vii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………… x
DAFTAR ISI ………………………………………………………. xi
BAB I. PENDAHULUAN…………………………………………. 1
1.1. Latar Belakang …………………………………………… 1
1.2. Perumusan Masalah ……………………………………. 3
1.3. Batasan Masalah ……...…………………………………. 4
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ………………………… 4
1.4.1. Tujuan Penelitian …..……………………………… 4
1.4.2. Manfaat Penelitian .…...…………………………… 4
1.5. Sistematika Penulisan …...…………………....………… 5
BAB II. DASAR TEORI …...……………………………………… 6
2.1. Teori kinetik Gas ….….…………………………...……… 6
2.2. Osilator Harmonik ….......………………………………… 16
2.3. Osilator Harmonik yang Terganggu …......……..………… 22
Bab III. Metodologi Penelitian …...........................………………… 28
3.1. Jenis Penelitian …........…………………………………… 28
3.2. Sarana Penelitian ….........………………………………… 28
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3.3. Langkah-Langkah Penelitian ….......……………………… 28
Bab IV. Hasil dan Pembahasan …......……………………………… 29
4.1. Hasil Perhitungan ……………………………………….. 29
4.1.1. Persamaan Keadaan Gas Ideal…………...……….. 29
4.1.2. Persamaan Keadaan Gas Real ……….…………… 31
4.2. Pembahasan ……………………………………………… 33
BAB V. PENUTUP ……………………………………………… 35
5.1. Kesimpulan ….....………………………………………… 35
5.2. Saran …......…………………………………………….… 35
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………… 36
LAMPIRAN
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Secara fenomenologis dikenal tiga macam wujud zat, yaitu padat, cair, dan
gas. Masing-masing wujud zat tersebut memiliki sifat makroskopik yang berbeda.
Wujud zat padat memiliki kerapatan tinggi dan bentuk ruang yang tetap. Wujud
zat cair memiliki kerapatan yang lebih rendah dibanding zat padat dan bentuk
ruang mengikuti wadahnya. Wujud gas memiliki kerapatan paling rendah dan
bentuk ruang mengikuti wadahnya (Rahayu, 2001).
Sifat gas yang ditinjau dari pandangan makroskopik ditekankan pada
kuantitas makroskopik yang berkaitan dengan keadaan internal sistem. Oleh sebab
itu, diperlukan penelitian untuk menentukan kuantitas makroskopik yang cukup
untuk mendeskripsikan keadaan internal tersebut. Kuantitas makroskopik yang
berkaitan dengan keadaan internal suatu sistem disebut koordinat termodinamik
(Zemansky dan Dittman, 1986). Koordinat termodinamik suatu gas ditentukan
oleh tekanan ( )p , volume , dan suhu ( )V ( )T . Hubungan koordinat termodinamik
dengan massa disebut persamaan keadaan ( )m
( ) 0,,, =mTVpf (1.1)
Jika didefinisikan sebagai volume jenis zat v ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
mVv , maka persamaan
(1.1) dapat dituliskan menjadi
( ) 0,, =Tvpf (1.2)
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Jika koordinat termodinamik pada suatu gas diukur nilainya serta dibuat
grafik hubungan antara nilai rasio T
vP dan tekanan pada tiga temperatur
, maka akan diperoleh grafik seperti terlihat pada Gambar 1.1 (Sears
dan Salinger, 1975)
( 321 ,, TTT )
Gambar 1.1 Grafik hubungan rasio T
vP dan tekanan
Dari Gambar 1.1 terlihat bahwa suatu gas yang mempunyai tekanan
mendekati nol akan memenuhi persamaan
RT
vP=
atau
TRvP = (1.3)
yang merupakan persamaan keadaan gas ideal. Jika relasi mVv = disubstitusikan
ke persamaan (1.3), maka persamaannya menjadi
TRmVP = (1.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Massa m sebanding dengan jumlah mol gas (n), sehingga persamaan (1.4) dapat
dituliskan
TRnVP = (1.5)
Gas ideal adalah gas yang tenaga ikat molekul-molekulnya dapat
diabaikan (Nainggolan, 1978). Jika tenaga ikat molekul-molekul gas tidak dapat
diabaikan maka persamaan keadaannya menjadi persamaan keadaan gas real
( ) TRbvvap =−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 2 (1.6)
Pengaruh dari tenaga ikat molekul-molekul gas yang tidak dapat diabaikan
menyebabkan timbulnya faktor koreksi tekanan 2va . Konstanta b merupakan
faktor koreksi volume yang besarnya sebanding dengan volume yang ditempati
molekul-molekul gas (Nainggolan, 1978). Jika volume gas sangat besar, maka 2va
dan dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan
gas ideal.
b
1.2. Perumusan masalah
Pada persamaan (1.5) telah diketahui persamaan keadaan gas ideal untuk
gas yang mempunyai tekanan mendekati nol. Pada persamaan (1.6) telah
diketahui persamaan keadaan gas real. Yang menjadi permasalahan adalah apakah
persamaan (1.5) dan (1.6) dapat diperoleh dengan konsep mekanika kuantum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1.3. Batasan Masalah
Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh
1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dijabarkan dengan konsep
mekanika kuantum.
2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.
3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1.4.1 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah
1. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan konsep
mekanika kuantum.
2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.
3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.
1.4.2 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk perkembangan ilmu pengetahuan
khususnya pengetahuan tentang persamaan keadaan, bahwa persamaan keadaan
gas ideal dan gas real dapat dijabarkan dengan konsep mekanika kuantum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1.5. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut :
BAB I. PENDAHULUAN
Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II. DASAR TEORI
Pada Bab II dijabarkan teori kinetik gas, potensial osilator harmonik, dan
potensial osilator harmonik yang terganggu.
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian,
dan langkah-langkah penelitian.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian dan pembahasannya.
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II DASAR TEORI
2.1 Teori Kinetik Gas
Gas adalah kumpulan molekul-molekul yang bergerak di dalam suatu
ruang dan saling bertumbukan antara satu dengan yang lain. Tumbukan antar
molekul ini mengakibatkan terjadinya perubahan besaran fisis pada molekul-
molekul yang saling bertumbukan. Jika ada sejumlah molekul dalam suatu
ruang dengan volume V , maka rapat molekul tiap satu satuan volume ( adalah
N
)n
VNn = . (2.1)
Kerapatan molekul dianggap sama sehingga dalam setiap sebarang bagian kecil
volume terdapat molekul dengan VΔ NΔ
VnN Δ=Δ (2.2)
Jika molekul dianggap terletak dalam ruang berbentuk bola dengan radius
r r φθ dan berada pada koordinat polar , , , maka molekul akan bergerak dari
pusat bola menuju permukaan kulit bola kemudian menumbuk luasan AΔ seperti
terlihat pada Gambar 2.1
Gambar 2.1 Pergerakan molekul dalam koordinat polar
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Jumlah vektor kecepatan sama dengan jumlah molekul yang ada (N), jadi
rapat arah kecepatan terhadap luasan kulit bola (A) dapat diberikan
ANq = (2.3)
Rapat arah kecepatan molekul adalah jumlah arah kecepatan molekul tiap satu
satuan luas yang tegak lurus terhadap arah tersebut. Luasan A adalah luas seluruh
permukaan kulit bola sehingga persamaan (2.3) menjadi
q
24 rNqπ
= (2.4)
rAΔLuas permukaan pada permukaan bola dengan radius dapat dituliskan
φθθ ΔΔ=Δ sin2rA (2.5)
Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara θ dan θθ Δ+ serta φ
dan φφ Δ+ , menurut persamaan (2.3) mempunyai jumlah molekul
AqN Δ=Δ θφ (2.6)
atau dengan menggabungkan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh
φθθθφ ΔΔ=Δ sin2rqN (2.7)
substitusi (2.4) ke (2.7) didapatkan
φθθπθφ ΔΔ=Δ sin
4NN (2.8)
kedua ruas persamaan (2.8) dibagi dengan volume V sehingga didapat
φθθπ
θφθφ ΔΔ=
Δ=Δ sin
4n
VN
n (2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume dengan kecepatan
yang mempunyai arah antara
θφNΔ
θ dan θθ Δ+ serta φ dan φφ Δ+ . Jika molekul
mempunyai kecepatan antara U dan UU Δ+ , maka persamaan (2.9) dapat
dituliskan kembali menjadi
φθθπθφ ΔΔΔ=Δ sin
41
UU nn (2.10)
Banyaknya molekul yang menumbuk elemen AΔ pada saat sama dengan
jumlah molekul dalam silinder yang bergerak pada arah
tΔ
θ dan φ dengan
kecepatan U . Seperti terlihat pada Gambar 2.2
AΔGambar 2.2 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen
( )tUΔSisi silinder pada arah θ dan φ , panjang silinder menyatakan jarak yang
ditempuh molekul dengan kecepatan U pada saat tΔ . Volume silinder pada
Gambar 2.2 diberikan
( ) ( )θcostUAV ΔΔ=Δ (2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
sehingga jumlah molekul dalam silinder didapat
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
ΔΔΔ=ΔΔ φθθθ
πθφ cossin4
UU
nUtAVn
tAnUN UU ΔΔΔΔΔ=Δ φθθθπθφ cossin
41 (2.12)
Flux molekul pada permukaan didefinisikan sebagai jumlah total
molekul yang sampai ke permukaan tiap satu satuan luas setiap satu satuan waktu
Φ
tANΔΔ
Δ=Φ (2.13)
Sehingga dengan substitusi persamaan (2.13) ke (2.12) dihasilkan
φθθθπ
θφθφ ΔΔΔ=
ΔΔ
Δ=ΔΦ cossin
41
UU
U nUtA
N (2.14)
φdφΔFlux didapat dengan mengganti UθΔΦ pada persamaan (2.14) dengan
kemudian mengintegralkannya terhadap φ dengan batas sampai 0 π2 , yang
akhirnya diperoleh
θθθθ ΔΔ=ΔΦ cossin21
UU nU (2.15)
Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan dengan permukaan
AΔ dapat dilihat pada Gambar 2.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Gambar 2.3 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan
Dengan mengasumsikan tumbukan antar molekul bersifat elastis sempurna, dapat
diketahui kecepatan molekul sebelum dan sesudah tumbukan tetap. Jika tumbukan
molekul dengan permukaan AΔ juga dianggap elastis maka molekul yang
menumbuk permukaan tersebut akan memantul dan mengakibatkan komponen
θcosU θcosU berubah , sehingga arahnya berbalik dari o180 menjadi
θcosU− .
Massa satu molekul adalah , sehingga perubahan momentum tiap
molekul sebelum dan sesudah tumbukan dapat dituliskan
m
( ) θθθ cos2coscos mUUmUm =−− (2.16)
Besarnya perubahan momentum tiap satu satuan luas pada molekul yang
bertumbukan dengan arah sudut θ dan mempunyai kecepatan U , atau tekanan
diberikan oleh (Sears dan Salinger, 1975) UPθΔ
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=Δ θθθθθ cossin
21cos2 UU nUmUP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
(2.17) θθθ ΔΔ= 22 cossinUnmU
Tekanan molekul yang bergerak dengan kecepatan U , untuk semua
nilai
UPΔ
θΔθ dapat ditentukan dengan mengganti pada persamaan (2.17) dengan
2πθd kemudian diintegralkan terhadap θ dengan batas dari sampai 0
∫Δ=Δ2
0
22 cossinπ
θ θθθ dnmUP UU
( )∫Δ−=2
0
22 coscosπ
θθ dnmU U
2
0
32 cos31 π
θUnmU Δ−=
( )°−°Δ−= 0cos90cos31 332
UnmU
( )332 1031
−Δ−= UnmU
UU nmUP Δ=Δ 2
31 (2.18)
Dengan menjumlahkan semua nilai U didapatkan tekanan total
UU nUmP ΔΣ=Δ 2
31 (2.19)
Molekul mempunyai kecepatan rata-rata yang didefinisikan sebagai nilai
rata-rata dari jumlah seluruh kecepatan molekul. Jika terdapat sejumlah molekul
yang memiliki kecepatan { NNNN ,...,, 21 } { }NUUU ,...,, 21 maka kecepatan rata-
ratanya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
N
NU
N
NUU
N
iii
N
ii
N
iii ∑
∑
∑=
=
= == 1
1
1 (2.20)
Kecepatan rata-rata molekul gas tidak memperhitungkan arah. Jika
ditinjau suatu arah tertentu sebagai arah positif, maka arah kecepatan yang
berlawanan dengan arah tersebut bertanda negatif. Nilai rata-rata dari kecepatan
kuadrat diberikan oleh
N
UU
N
ii∑
== 1
2
2 (2.21)
Jika terdapat sejumlah molekul gas yang mempunyai kecepatan U , maka
nilai rata-rata kecepatan kuadrat diberikan oleh
NΔ
NNU
U UΔΣ=
22 (2.22)
VNn =mengingat , persamaan (2.22) dapat dituliskan menjadi
nnU
U UΔΣ=
22
atau
22 UnnU U =ΔΣ (2.23)
m31Jika persamaan (2.23) dikalikan , maka didapat
22
31
31 UnmnUm U =ΔΣ (2.24)
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
2
31 UnmPU =Δ (2.25)
2
31 UnmKuantitas adalah dua pertiga dari seluruh tenaga kinetik molekul, yakni
)21(
32 2Unm . Sehingga persamaannya dapat dituliskan (Halliday dan Resnick,
1987)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 22
21
32
31 UnmUnm
)21(
32 2UnmPU =Δ (2.26)
Jika , maka dari persamaan (2.26) didapat energi kinetik gas nRTPU =Δ
kTNvm A23
21 2 = (2.27)
sebab . kNR A=Jika molekul mempunyai x komponen kecepatan antara sampai
, maka perubahan momentumnya diberikan dari persamaan (2.18) yang
dituliskan kembali menjadi
xU
xx UU Δ+
( xxx UnUmP Δ=Δ 2
31 ) (2.29)
dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi
. Perubahan momentum tersebut terjadi pada interval waktu
)( xUnΔ
xU
xUxt =Δ (2.30)
Perubahan gaya yang dihasilkan akibat terjadinya tumbukan adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
( )t
UnmU
tp
dFxxx
x Δ
Δ=
ΔΔ
=2
31
(2.31)
sehingga
(∫∞
ΔΔ
=0
2
31
xx
x Unt
UmF ) (2.32)
2xU diberikan oleh (Bradbury, 1984) Nilai
( )
( )
( )
VN
UnU
Un
UnUU
xx
x
xx
x /
20
22
2∫
∫
∫∞
∞+
∞−
+∞
∞−
Δ=
Δ
Δ= (2.33)
Persamaan (2.32) dan (2.33) digabungkan, dan diperoleh
VtUNm
F xx Δ=
6
2
(2.34)
sehingga tekanan P adalah
VtAUNm
AF
P xx
Δ==
6
2
(2.35)
Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga
memiliki energi potensial. Dengan substitusi persamaan (2.30) ke (2.31) diperoleh
relasi
xpU
dF xxx
Δ=
atau
xxx pUdFx Δ=
( )xxxx Udnt
xmUdFUt 2
2
31
Δ=Δ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
( )xx Udnt
xmdFt 2
2
31
Δ=Δ
sehingga
( )x
x
UdnmtdF
x3
1
32 Δ= (2.36)
2xMengingat nilai adalah
∫
∫∞+
∞−
+∞
∞−=)(
)(2
2
xdn
xdnxx (2.37)
Dengan menggabungkan persamaan (2.36) dan (2.37) diperoleh
VN
dFtm
VN
xdnxx
x∫∫∞∞
Δ== 0
3
0
2
2
6)(2 (2.38)
Mengacu pada persamaan (2.35) didapatkan
AdF
dP x= (2.39)
Kedua ruas persamaan (2.39) dikalikan dan dihasilkan x
xdFdPxA x=
xx UtdFdPxA Δ=
atau
xx dFtUdPV ∫ Δ= (2.40)
Persamaan (2.40) diintegralkan dan diperoleh
∫∞
Δ=0
xx dFtUVP (2.41)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Persamaan (2.41) disubstitusikan ke persamaan (2.38) menjadi
VN
tdFtmx
x2
02
6 Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
=∫∞
2
//6 tVNUPV
mx Δ=
226
xVt
UNmPV x
Δ=
226
xVt
UNmkTN x
A Δ=
226
xVNt
UNmkT
A
x
Δ=
atau
2262
121 x
VNtUNm
TkA
x
Δ= (2.42)
cVNt
UNm
A
x =Δ 26
Jika , maka persamaan (2.42) menjadi
2
21
21 xcTk = (2.43)
sehingga besarnya energi potensial sama dengan energi termal, yaitu Tk21 .
2.2 Osilator Harmonik
Energi potensial molekul gas dianggap mengikuti potensial osilator
harmonik. Energi potensial osilator harmonik diberikan (Rae, 1985)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
( ) 2
21 kxxV = (2.44)
dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki
frekuensi anguler 21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
mk
cω , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran
persamaan (13) menjadi
Euuxmxu
m c =+∂∂
− 222
22
21
2ωh (2.45)
Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke dengan y
xm
y c2
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
h
ω (2.46)
dan didefinisikan suatu konstanta
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
c
Eω
αh
2 (2.47)
sehingga persamaan (2.45) menjadi
( ) Euuyyu
=−+∂∂ 2
2
2
α (2.48)
Jika nilai sangat besar dibandingkan y α maka persamaan (2.48) dapat didekati
dengan bentuk
022
2
≈−∂∂ uyyu (2.49)
Kemudian persamaan (2.49) diselesaikan dengan fungsi
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= 2exp
2yyu n (2.50)
Turunan kedua u terhadap dihasilkan y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++−−=
∂∂ +−
2exp1212
222
2 yyynynnyu nnn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−≈ +
2exp2
2 yy n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= 2exp
22 yyy n
uy 2= (2.51)
Pada persamaan (2.51) terlihat bahwa persamaan (2.50) memenuhi (2.49),
sehingga persamaan (2.50) dapat dituliskan kembali menjadi
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= 2exp
2yHu yy (2.52)
dengan adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan (2.52) ke
(2.48) menghasilkan
( )yH
( ) 012 =−+′−′′ HHyH α (2.53)
H dapat dituliskan dalam deret pangkat
∑∞
=
=0n
nn yaH (2.54)
∑∞
=
−=′0
1
n
nn nyaH (2.55)
( )∑∞
=
−−=′′0
21n
nn ynnaH
( )∑∞
=
−−=2
21n
nn ynna (2.56)
Ruas kanan persamaan pertama dari persamaan (2.56) sama dengan nol, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
( )( )∑∞
=+ ++=′′
02 12
n
nn ynnaH (2.57)
Dengan menggabungkan persamaan (2.54), (2.55), (2.57) dan (2.53) diperoleh
( )( ) ( )[ 012210
2 =−+−++∑∞
=+
n
nnn yanann α ] (2.58)
Jika koefisien seluruh pangkat dari sama dengan nol, maka deret (2.58) dapat
dituliskan
y
( )( )( )21
122
++−+
=+
nnn
aa
n
n α (2.59)
( )2exp yUntuk nilai n sangat besar, deret (2.54) identik dengan deret
menghasilkan ( ) ( ) ∑∑∑∞
=
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0
22
!21
!exp
n
nn
n
genapnn
n
yaynn
yy . Jika
mendekati tak berhingga dengan seperti deret
( )yH
( )2exp yy maka akan
konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan
kata lain merupakan polinom.
( )yu
( )yH
n
n
aa 2+Berdasarkan persamaan (2.59), jika limit mendekati tak berhingga,
maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada
partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik
12 += nα dengan ,...2,1,0=n
10 =a 00 =a jika n ganjil dan jika genap (2.60) n
Dengan substitusi persamaan pertama (2.60) ke persamaan (2.47) diperoleh energi
total dari sistem yang terkuantisasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
ωh⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
21
0 nE n (2.61)
π2h
=hdengan ω frekuensi osilator harmonik, .
Polinom dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada
persamaan (2.59) didapatkan 4 tingkat energi terendah
( )yH
10 =H
yH 21 =
24 22 −= yH
yyH 128 33 −= (2.62)
( )2
21exp y−Fungsi gelombang didapat dari perkalian dengan faktor ( )xnu ( )ynH
dan disubstitusikan ke persamaan (2.46) kemudian dinormalisasi 12
=∫∞
∞−
dxu ,
sehingga diperoleh
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 24
1
0 2exp x
mmu cc
nhh
ωπω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 24
341
1 2exp4 x
mmu cc
hh
ωωπ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 224
1
2 2exp12
4x
mx
mmu ccc
hhh
ωωπω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 224
341
3 2exp32
91 x
mx
mmu ccc
hhh
ωωωπ
(2.63)
Tenaga rata-rata osilator harmonik diberikan oleh (Omar, 1975)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∑
∑∞
=
−
∞
=
−
=
0
/
0
/
n
kTE
n
kTEn
n
n
e
eEE (2.64)
kT1
=β , maka persamaan (2.64) dapat dituliskan Jika diberikan
∑
∑∞
=
−
∞
=
−
=
0
0
n
E
n
En
n
n
e
eEE
β
β
(2.65)
Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.65) digunakan substitusi
∑∞
=
−=0n
EneZ β (2.66)
yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, tenaga rata-
rata pada persamaan (2.65) menjadi
( ZZZ
E ln1ββ ∂
)∂−=
∂∂
−= (2.67)
Persamaan (2.61) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.66) dan dihasilkan
∑∞
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=0
21
n
neZ
ωβh
∑∞
=
−−=0
2/
n
nee ωβωβ hh
( )......1 322/ ++++= −−−− ωβωβωβωβ hhhh eeee (2.68)
Jika 0>ωβh , maka , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.67)
dapat dituliskan menjadi
1<<− ωβhe
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
ωβωβωβωβ
h
hhh
−−−−
−=++++
eeee
11...1 32
dan fungsi partisi dapat dituliskan
ωβ
ωβ
h
h
−
−
−=
eeZ
1
2/
(2.69)
Dengan substitusi persamaan (2.69) ke dalam persamaan (2.67)
diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar
( )ZE lnβ∂∂
−=
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
∂∂
−= ωβωββ
hh e1ln21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=1
121
ωβωh
he
(2.70)
2.3 Osilator Harmonik yang Terganggu
Potensial osilator harmonik dengan massa yang mengalami gangguan
dapat dituliskan
m
4xδ
422
21 xxmV δω += (2.71)
sehingga persamaan Schrödingernya menjadi
Euxuxmxu
m c =++∂∂
− 4222
22
21
2δωh (2.72)
δdengan adalah tetapan yang bernilai sangat kecil sehingga dapat digunakan
teori gangguan untuk menentukan tingkat energi dasar dari potensial harmonik
yang mengalami gangguan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
HTeori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian
menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan
dituliskan sebagai
HHH ′+= ˆˆˆ0 (2.73)
222
0 21
2ˆ xm
mpH ω+=dengan adalah hamiltonian tak terganggu dan
sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen dan fungsi eigen dari
diketahui mengacu pada persamaan (2.61) dan (2.63).
4ˆ xH δ=′
0HnE0 nu0
Nilai eigen dan fungsi eigen diasumsikan berbentuk deret orde
0,1,2,… dalam gangguan
nE0 nu0
H ′ˆ . Sehingga persamaan (2.73) dapat dituliskan
kembali menjadi
HHH ′+= ˆˆˆ0 β (2.74)
dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen dan fungsi eigen dapat
dituliskan sebagai
nE0 nu0
...22
10 +++= nnnn EEEE ββ (2.75)
...22
10 +++= nnnn uuuu ββ (2.76)
Pada persamaan (2.75) dan (2.76) dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai
eigen dan fungsi eigen tidak tergantung pada nE0 nu0 β . Persamaan energi nilai
eigen diberikan (Rae, 1985)
nnn uEuH =ˆ (2.77)
Substitusi persamaan (2.75) dan (2.76) ke persamaan (2.77) menghasilkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
( )( ) =+++′+ ...ˆˆ2
2100 nnn uuuHH βββ
( )( )...... 22
1022
10 ++++++ nnnnnn uuuEEE ββββ
( )...ˆ2
2100 +++ nnn uuuH ββ ( ) =+++′+ ...2
210 nnn uuuH βββ
( )...22
100 +++ nnnn uuuE ββ ( )...22
101 ++++ nnnn uuuE βββ
( ) ......22
1022 +++++ nnnn uuuE βββ
( )( ) =′+′+′+++ nnnnnn uHuHuHuHuHuH 22
1022
01000 ...ˆˆˆ βββββββ
( )...22
01000 +++ nnnnnn uEuEuE ββ
( )...22
11101 ++++ nnnnnn uEuEuE βββββ
( ) ......22
22
122
022 +++++ nnnnnn uEuEuE βββββ (2.78)
Persamaan (2.78) dapat dituliskan menjadi
(2.79) nnn uEuH 0000ˆ =
nnnnnn uEuEuHuH 0110100ˆˆ +=+′ (2.80)
(2.81) nnnnnnnn uEuEuEuHuH 021120201ˆˆ ++=+′
Orde pertama dan orde kedua pada persamaan (2.79), (2.80), dan (2.81) adalah
faktor koreksi tingkat-tingkat energi dan fungsi eigen. Jika persamaan (2.79)
Faktor koreksi orde pertama persamaan (2.80) didapat dengan menunjukkan
bahwa adalah kombinasi linier dari fungsi eigen yang tidak terganggu nu1 nu0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
(2.82) knkkn uau 01 Σ=
substitusi persamaan (2.82) ke (2.80) menghasilkan
knknkknknkkn uEuaEuaHuH 0100000ˆˆ +Σ=Σ+′ (2.83)
dengan menggunakan relasi (2.79) persamaan (2.83) menjadi
( ) ( ) nknnkknn uEEauEH 00001ˆ −Σ=−′ (2.84)
Persamaan (2.84) dikalikan dengan dan diintegralkan dengan diketahui
bahwa adalah orthonormal, sehingga dihasilkan
nu 0∗
ku0
nnn HE ′= ˆ1 (2.85)
dengan
τduHuH nnnn 00ˆˆ ∫ ∗=′ (2.86)
Substitusi persamaan (2.61) dan (2.63) ke (2.86) dihasilkan tingkat energi
dasar dari potensial harmonik yang terganggu
dxxmmHxmmE ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ 24
1
241
10 2expˆ
2exp
hhhh
ωπωω
πω
dxxmHxmm⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫ 222
1
2expˆ
2exp
hhh
ωωπω (2.87)
Hdengan operator hamiltonian pada osilator harmonik yang terganggu adalah
4222
22
21
2ˆ xxm
xmH δω ++
∂∂
−=h . (2.88)
Substitusi persamaan (2.88) ke (2.87) menghasilkan
dxxmxmE ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫
∞
∞−
2421
10 exphh
ωδπω (2.89)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Persamaan (2.89) dapat dituliskan menjadi
dxxmxmE ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫
∞2
0
421
10 exp2hh
ωδπω . (2.90)
2αω=
h
m dengan , maka persamaan (2.90) menjadi 222 xy α=Jika dituliskan
( )dxyxmE 2
0
421
10 exp2 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∫
∞
δπωh
(2.91)
( )24
4
hωmyx =Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan dan
( ) dym
dx 21
1
hω
= kemudian disubstitusikan ke persamaan (2.91) sehingga
menghasilkan
( ) ( ) ( ) dymm
yymE 212
4
0
221
101exp2hh
h ωωδ
πω
∫∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
( ) dyyym
4
0
222
221
exp12 ∫∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= δ
ωπh (2.92)
PdPdy
2=Jika dan 24 Py = maka persamaan (2.92) menjadi
( )p
dPPPm
E2
exp12 2
022
221
10 ∫∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= δ
ωπh
( ) dPPPPm
212
022
221
exp1∫∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= δ
ωπh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
( ) dPPPm
23
022
221
exp1∫∞
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= δ
ωπh (2.93)
Bagian integral persamaan (2.93) didefinisikan sebagai fungsi Gamma, dengan
π43
23
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ sehingga didapat persamaan tingkat energi dasar untuk osilator
harmonik yang terganggu
δω 22
2
10 43m
E h= (2.94)
Persamaan (2.61) dan (2.94) dijumlahkan, sehingga didapatkan energi total
δω
ω 22
2
43
21
mnEn
hh +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += (2.95)
Substitusi persamaan (2.95) ke persamaan (2.64) menghasilkan
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++= −
−
143
21
22 ωβ
ωβ
ωδω
h
hhh
ee
mE (2.96)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah
penelitian studi pustaka.
3.2. Sarana Penelitian
Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku
yang berhubungan dengan termodinamika, mekanika kuantum, dan teori kinetik
gas yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.
3.3. Langkah-langkah penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan keadaan gas ideal,
persamaan keadaan gas real dan mekanika kuantum.
2. Menentukan energi rata-rata molekul gas yang dianggap
mengikuti potensial osilator harmonik dan potensial osilator
harmonik yang terganggu.
3. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real.
4. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah
dilakukan.
28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Perhitungan
4.1.1 Persamaan Keadaan Gas Ideal
Sebagaimana dituliskan pada persamaan (2.70) bahwa energi rata-rata
osilator harmonik telah diketahui. Jika dituliskan kT1
=β maka persamaan (2.70)
menjadi
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
1
121
kTeE ωω
hh (4.1)
Deret kTeωh
pada persamaan (4.1) diekspansikan menjadi
...211 22
22
+++=TkkT
e kT ωωω hhh
(4.2)
Pada suhu tinggi ( )ωh>>kT deret kTeωh
pada persamaan (4.1) dapat didekati
dengan
kTe kT ωω hh
+≈ 1
sehingga persamaan (4.1) dapat dituliskan menjadi
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+=11
121
kT
Eω
ωh
h
29
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
+=1
121
kTkT ω
ωh
h
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+=
kTω
ωh
h1
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
ωω
hh
kT21
kT+=2ωh (4.3)
Persamaan (4.3) dikalikan dan didapat AN
kTNNEN AAA +=2ωh
atau
2ωh
AA NENTR −=
ANE ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2ωh (4.4)
sebab . RkN A =
Bilangan Avogadro sebanding dengan volume , atau ( AN ) ( )V
VKVKmN A ==≈ρρ
ρ, sehingga persamaan (4.4) dapat dituliskan
VKETR ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2ωh (4.5)
Jika didefinisikan PKE =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
2ωh , maka persamaan (4.5) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
TRVP = (4.6)
yang merupakan persamaan gas ideal.
4.1.2 Persamaan Keadaan Gas Real
Energi rata-rata dari potensial osilator harmonik yang terganggu telah
diperoleh dan dituliskan pada persamaan (2.96). Pada suhu tinggi ( )ωh>>kT ,
deret 1−−
−
ωβ
ωβ
h
h
ee pada persamaan tersebut menjadi
...21
...211
1 222
222
++−
++−=
−−
−
βωωβ
βωωβωβ
ωβ
hh
hh
h
h
ee
11+−≈
ωβh
ωhkT
−≈ 1 (4.7)
Substitusi persamaan (4.7) ke (2.96) menghasilkan
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++=
ωωδω
h
hh
kTm
E 143
21
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
ωωδω
h
hh
kTm 224
323
kTm
−+=ωδω 2
2
43
23 hh (4.8)
persamaan (4.8) dikalikan dan diperoleh AN
kTNNm
NEN AAAA −+=ωδω 2
2
43
23 hh
atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
RTNm
NEN AAA −+=ωδω 2
2
43
23 hh
AA Nm
NERTωδω 2
2
43
23 hh +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= (4.9)
Diketahui vm
=ρ dan 222
11vm ρ
= sehingga persamaan (4.9) dapat dituliskan
AAA Nv
NENRTωρδω 22
2
43
23 hh +−=
VKv
E ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 222
2
43
23
ωρδω h
h (4.10)
Untuk memudahkan perhitungan, dituliskan xE =−ωh23 dan y=22
2
43
ωρδh ,
sehingga persamaan (4.10) menjadi
VKvyxRT ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2
VvKyKx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2 (4.11)
Jika dan , maka diperoleh pKx = aKy =
VvapRT ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2
atau
vvapRTn ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2 (4.12)
sebab nVv = .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Untuk persamaan (4.12) menjadi persamaan gas real pada saat 1=n 0=b
vvapRT ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2 (4.13)
4.2 Pembahasan
Sebagaimana yang telah dituliskan dalam buku-buku teks (Halliday dan
Resnick,1987 ; Sears dan Salinger, 1975 ; Nainggolan, 1978) persamaan keadaan
gas ideal adalah . Dengan menggunakan pendekatan teori kinetik gas
dan menganggap potensial atom mengikuti potensial osilator harmonik dapat
dihasilkan persamaan gas ideal.
nRTPV =
Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial
atom gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu. Dari persamaan
(4.13) terlihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan gas van der waals
untuk keadaan . Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas real disajikan
pada Tabel 4.1.
0=b
Tabel 4.1 Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas
real (Sears dan Salinger, 1975)
Gas
a
(J m3 kilomol-2)
b
(m3 kilomol-1)
He 31044.3 × 0234.0
H2 3108.24 × 0266.0
O2 310138× 0318.0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
CO2 310366× 0429.0
H2O 310580× 0319.0
Hg 310292× 0055.0
Persamaan (4.13) berlaku untuk gas real pada saat p dan v sangat besar dengan b
sangat kecil, seperti yang terlihat dari data Tabel 4.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian
ini dapat diperoleh kesimpulan bahwa
1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dapat diperoleh dengan
menggunakan konsep mekanika kuantum.
2. Persamaan gas ideal diperoleh dengan menganggap potensial molekul gas
mengikuti potensial osilator harmonik.
3. Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.
5.2 Saran
Persamaan gas real yang dihasilkan pada penelitian ini menggunakan
anggapan bahwa potensial molekul gas berbentuk potensial osilator harmonik
terganggu dengan menambah faktor pada potensial molekul gas. Perlu
dilakukan penelitian lebih lanjut pada faktor gangguan potensial yang ordenya
lebih tinggi untuk mengetahui pengaruhnya terhadap persamaaan gas real.
4xδ
35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in
the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing
Company.
Halliday, D., dan Resnick, R., 1987, Fisika Edisi ketiga Jilid I, Jakarta : Erlangga.
Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons.
Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico.
Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison–
Wesley Publishing Company.
Rae, I. M. A., 1985, Quantum Mechanics, British : ELBS.
Rahayu, S. I., 2001, Teori Kinetik Gas, Jakarta : Departemen Pendidikan
Nasional.
Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and
Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley
Publishing Company.
Zemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New
York : McGraw-Hill Book Company.
36
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
Persamaan Schrödinger
L.1 Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu
De Broglie mengatakan, partikel bermassa yang bergerak dengan laju
akan mempunyai panjang gelombang
m
v
ph
=λ (1)
dengan adalah konstanta Planck dan adalah momentum linier partikel. h p
Pada kasus partikel bebas non relativistik, hubungan antara energi dan
momentumnya diberikan oleh
mpE2
2
= (2)
Untuk partikel yang bergerak dan memiliki potensial ( )txV , , energi totalnya sama
dengan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. Secara umum persamaan
(2) menjadi
Vm
pE +=2
2
(3)
Energi sistem fisis menurut mekenika kuantum diberikan oleh
Ψ=Ψ HE ˆ (4)
dengan E adalah nilai eigen, H adalah operator hamiltonian, dan adalah
fungsi eigen. Jika operator energi, momentum, dan posisi diberikan oleh
Ψ
tiE
∂∂
≡ h
∇−≡ hip
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xipx ∂
∂−≡ h (5)
sehingga persamaan (3) dapat dituliskan
Ψ+∂Ψ∂
−=∂Ψ∂ V
xmti 2
22
2h
h (6)
yang disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu
L.2 Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu
Operator hamiltonian H merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi
potensial
VKH ˆˆˆ += (7)
dengan K adalah operator energi kinetik dan V adalah operator energi potensial.
Jadi persamaan (3) dapat dituliskan menjadi
ˆ
Vm
pH ˆ2ˆˆ
2
+= (8)
Substitusi persamaan (8) ke (5) yang telah dikenakan pada fungsi gelombang
menghasilkan
Ψ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂Ψ∂ V
mp
ti
2
2
h (9)
Kedua ruas persamaan (9) merupakan energi sehingga untuk menentukan
persamaan Schrödinger dilakukan teknik pemisahan variabel
( ) ( ) ( )tTxutx =Ψ , (10)
Dengan substitusi persamaan (6) ke (10) dan dibagi dengan Ψ dihasilkan
Vxu
mutT
Ti +
∂∂
−=∂∂
2
22
211 h
h (11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ruas kanan persamaan (11) hanya bergantung pada posisi, sedangkan ruas kirinya
hanya bergantung waktu. Dengan demikian kedua ruas dapat dikatakan sebagai
tetapan. Jika tetapan ini disebut E , maka akan didapatkan persamaan yang saling
bebas
ETtTi =∂∂
h (12)
dan
( ) EuuxVxu
m=+
∂∂
− 2
22
2h (13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI