เอกสารประกอบการเรยน

การหมนในระนาบ

(Plane Rotation)

ผศ.ดร.ธระพนธ สนตเทวกล

ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยศลปากร

2561

ค าน า

นานมาแลวเมอครงทผเขยนยงไมเกษยณอายราชการ ในการอบรมครฟสกสครงหนงไดมโอกาส

ถามครทานหนงวาสงสยเรองอะไรมากทสด ครทานนนตอบวาการหมน อานหลายรอบแลวกไมเขาใจ

ความเหนนคลายกบครอกหลายทาน บางคนถงกบบอกวาควรตดออกจากหลกสตรระดบมธยมปลายเพราะ

ยากเกนกวาทเดกนกเรยนจะเขาใจ สงทผเขยนรสกไมแนใจคอเนอหามนยากหรอวาครไมไดรบการอธบาย

ใหฟงอยางแจมแจง หรอทงสองอยางผสมกน อยางไรกตามผเขยนเชอวามครจ านวนมากเปนครทม

ศกยภาพ แตพวกเขาเหลานนไมเขาใจเพราะไมเคยฟงการอธบายในแบบทจะใหเขาใจ ดงนนเมอภาควชา

ฟสกสมหาวทยาลยศลปากรไดรวมกบคณะศกษาศาสตรเปดหลกสตรครฟสกสซงในขณะน(มนาคม 2562)

มนกศกษา 2 รน แมในหลกสตรปรบปรงใหม(2560) จะไมมเรองการหมนแตส าหรบครทตวคาย 1 ฟสกส

โอลมปกจะตองรเรองการหมน ผเขยนจงเรยบเรยงและเขยนเอกสารประกอบการเรยนเรอง “การหมนใน

ระนาบ” นขนมา นอกจากครฟสกสแลวยงหวงวาจะเปนประโยชนแกนกศกษา วท.บ ฟสกสและนกเรยน

มธยมทสนใจฟสกสอกดวย เพอใหหาอานไดงายจงลงไวในเวบไซตของภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยศลปากร

การหมนในระนาบเปนการหมนอยางงายทจดใดๆบนวตถจะเคลอนทในระนาบหนง หรอกคอทศ

ของของเรวเชงมมไมเปลยนแนวตลอดเวลาในการหมน การหมนแบบนเปนการหมนทเรยนในระดบ

มธยมศกษาและเรยนอกครงในชนปท 1 ของมหาวทยาลย วธหลกๆทใชแกปญหาของการหมนในระนาบ

จะม 3 วธคลายๆกบของการเคลอนทแบบเลอนทคอ ก)ใชกฎการเคลอนทขอทสองซงมสมการคอ I

ข)ใชงาน-พลงงาน รวมทงกฎการอนรกษพลงงาน ค) ใชการดลเชงมม-โมเมนตมเชงมม รวมทงกฎการ

อนรกษโมเมนตมเชงมม

หนงสอสวนใหญใชวธงายๆในการหาทมาของสมการ I คงเปนเพราะไมตองการใชวธท

ยดยาวและซบซอน แตความงายท าใหขาดความแจมแจง ตวอยางเชน

1. ไมรวาจดอางองทตนเองใชอยนนเปนจดทตดไปกบวตถหรออยนอกวตถ

2. ท าไมจงใชสมการ I กบการหมนของลกขางไมได

3. ท าไมในโจทยจงมกเปนวตถสม าเสมอ เชนทรงกระบอกสม าเสมอ ทรงกลมสม าเสมอ ถาไม

สม าเสมอจะเปนอยางไร

4. ท าไมจงมกเขยนรปวตถและแรงเปนรปแบนในระนาบของกระดาษทงทจรงๆแลววตถม 3 มตและ

แรงทกระท าตอวตถอาจกระจายตามต าแหนงของวตถ ตวอยางเชนทรงกระบอกกลงลงมาตามพนเอยง

แรงเสยดทานทพนเอยงกระท าตอทรงกระบอกกระจายตามผวสมผสททรงกระบอกแตะกบพนเอยง แต

เรารวมแรงเสยดทานทงหมดเปนแรงเดยวแลวเขยนแรงรวมนลงในกระดาษ และเขยนทรงกระบอก

เปนเพยงแคจานกลมในกระดาษ

5. ทศของโมเมนตมเชงมมชทศเดยวกบความเรวเชงมมเสมอไปหรอไม

6. ขนาดของโมเมนตมเชงมม IL เสมอไปหรอไม

ขอบกพรองอกอยางหนงทผเขยนเหนวาเปนเรองส าคญคอการใชวธงายๆในการหาทมาของสมการ

I ท าใหนกศกษาไมมพนฐานทจะน าไปสสมการการเคลอนทของออยเลอรซงเปนสมการหลกใน

การแกปญหาการหมนของวตถแขงเกรงของทงทางฟสกสและวศวกรรม ยงไปกวานนนกศกษาจะสบสน

กบความรเดมของวธงายๆเมอเขาเรมเรยนสมการการเคลอนทของออยเลอร เมอครงทผเขยนเขยนต ารา

“กลศาสตร”กเคยลงเลใจวาจะเลอกวธใดในการหาทมาของสมการ I และไดเลอกวธกลางๆไมให

ซบซอนนก แตภายหลงพบวาท งวธงายๆของหนงสอทวไปและวธกลางๆทเคยเลอก ไมนาเปนวธท

เหมาะสม ปจจบนผเขยนคดวาวธในการหาทมาของสมการ I ททงรดกมและใชเปนฐานความรได

คอวธการหาสมการการเคลอนทของออยเลอร โดยทวไปแลวหนงสอตางๆมกท าในรายละเอยดของ

คณตศาสตรแตไมบรรยายภาพทางฟสกสประกอบ ท าใหผอานรสกวามนเปนเรองยากกวาทควรจะเปน

ทงทอนทจรงแลวมนเปนเพยงแตการท าคณตศาสตรไปตรงๆ ขอแนะน าวาควรดในรายละเอยดในการท า

คณตศาสตรใหเขาใจสกครงกพอ โดยสวนส าคญทจะน าไปใชนนอยในสรป ในการสอนครควรเลอกสอน

ใหเหมาะกบนกเรยนและอาจขามรายละเอยดของคณตศาสตรเพราะใชเวลามาก ครไมจ าเปนตองสอนทก

อยางทตนเองรเพราะนกเรยนสวนใหญอาจฟงไมรเรอง อนง เอกสารนไมไดเนนแบบฝกหด ผอาน

สามารถใชแบบฝกหดจากหนงสอเลมอน

เพอประโยชนของนกเรยนนกศกษา ผอานทพบเหนขอผดพลาดสามารถใหค าแนะน าทถกตองหรอ

คดวาถกตองไดในเวบไซตของภาควชาฟสกส

ขอขอบคณ ดร.ดจดาว จารจตตพนธ ทไดชวยตรวจทานเอกสารเลมน

ผศ.ดร.ธระพนธ สนตเทวกล

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 1

การหมนในระนาบ

(Plane Rotation, ฉบบของอาจารยภาควชาฟสกส)

การหมนในระนาบเปนการหมนของวตถแขงเกรงทจดใดๆบนวตถจะเคลอนทในระนาบ หรอ

กลาวอกอยางหนงคอทศของความเรวเชงมมจะอยในแนวเดมตลอดเวลา ตวอยางเชนการหมนของคานรอบ

แกนตรง การกลงไปตรงๆแบบไมเลยวของทรงกระบอก หรอทรงกลม เปนตน สวนการหมนทไมใชการ

หมนในระนาบเชนการกลงของกรวย การหมนของลกขาง

ในเอกสารนอนพนธเทยบกบเวลาอาจเขยนสนๆโดยใชจ านวนจดบอกอนดบของอนพนธ

ตวอยางเชน td

Ld

เขยนสนๆเปน L หรอ

2

2

td

rd เขยนสนๆเปน r เปนตน เนองจากนกศกษาอาจไมคน

ชนกบสมบตบางประการของจดศนยกลางมวล(CM) และการใช summation จงจะกลาวถงพรอมยกตวอยาง

งายๆใหเหน อนทจรงแลวจดศนยกลางมวลมสมบตเฉพาะตวหลายอยาง แตเราจะกลาวเพยงบางอยางเพอ

จะน าไปใชในเอกสารน

ในการพจารณาวตถแขงเกรงบอยครงทเราเรมพจารณาจากระบบอนภาคเพราะมนเหนไดชดเจน

และจ าไดงายกวากรณวตถแขงเกรง เมอจะเปลยนเปนวตถแขงเกรงกเพยงแตเปลยนการรวมจาก summation

เปนการรวมดวยการอนทเกรต

สมมตมอนภาค N ตว คอตวท 1,2,…, N การจะกลาวถงอนภาคตวหนงโดยไมระบเจาะจงวา

เปนตวใดเรานยมหอยดวย i หรอ j หรออนๆในการบรรยาย ในทนเราจะใชอกษรกรก “นว” คอ เรา

เรยกอนภาคตวนวาอนภาคตวท “นว” มวลของอนภาคตวนเขยนเปน m เวกเตอรต าแหนงเขยนเปน r

เปนตน นกศกษาควรแยกใหออกระหวางอกษร “ว” v หรอ v กบ“นว” ซงมสวนคลายกน

ระบบอนภาคซงประกอบดวยอนภาค N ตว ใหแตละตวมมวล Nmmm ,...,, 21 มเวกเตอร

ต าแหนง(จดก าเนดอยทใดกได) Nrrr

,...,, 21 ตามล าดบ ต าแหนงของจดศนยกลางมวลเราบอกดวย

เวกเตอรต าแหนง CMr ซงนยามดงน

CMr

N

NN

mmm

rmrmrm

...

...

21

2211

(1)

สมการ 1 เขยนยอๆโดยใชเครองหมาย summation เปน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 2

CMr

N

N

m

rm

1

1

หรอ อาจเขยนเพยง

m

rm

(2)

เราจะใชสญลกษณ “prime” บอกอะไรกตามทอางองกบ CM ตวอยางเชนเวกเตอรต าแหนงและ

ความเรวของอนภาคตวท อางองกบ CM เขยนเปน r และ v

เปนตน

ในการเขยนรปถาเขยนอนภาคหลายๆตวอาจดสบสน เราอาจเขยนแคจดศนยกลางมวล และ

ตวแทนของอนภาคตวเดยวคอตวท กพอแลว รปท1 แสดงเวกเตอรต าแหนงของจดศนยกลางมวล คอ

CMr และของอนภาคตวท คอ r

จากรปจะเหนวา r CMrr

เมอคณดวย m จะได rm

)( CMrrm

เมอรวมของอนภาคทกตว คอ

rm )( CMrrm

(3)

จากสมการ 1 จะเหนวา )(...)()( 2211 CMNNCMCM rrmrrmrrm

0)( CMrrm

สมการ 3 จงเปน 0

rm (4)**

หาอนพนธสมการ 4 เทยบกบเวลา จะได 0

vm (5)**

CMr

r

CM

O

m

รปท 1

'

r

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 3

สมการ 4 และ 5 เปนสมการทตอไปเราจะน าไปใช สมการ 5 นนความหมายคอผลรวมของ

โมเมนตมเชงเสนของระบบอางองกบ CM จะเทากบศนยเสมอ

ในกรณของวตถแขงเกรงเราเปลยน summation เปนอนทเกรต สมการ(2) (4) และ(5) กจะ

กลายเปน

md

mdrrCM

, 0mdr

และ 0mdv

หมายเหต ถานกศกษาด summation ไมออก ใหกระจายดสก 3-4 พจน จะมองเหน ตวอยางเชน

}{...332211

vmrvrmvrmvrmvrm CMCMCMCMCM

ซงจะเทากบศนยเพราะ 0

vm

ตวอยางท1 อนภาค 2 ตวมวล 2 กโลกรมและ 4 กโลกรม เคลอนทในแนวเสนตรงเดยวกน ณ เวลาหนงอย

หางกน 3 เมตร ตวแรกเคลอนไปทางซายดวยความเรว 4 เมตรตอวนาท ตวทสองเคลอนไปทางขวาดวย

ความเรว 8 เมตรตอวนาท

ก)จงหาต าแหนงของจดศนยกลางมวล ข) จงแสดงวา 0

rm ค) จงแสดงวา 0

vm

วธท า ใหจดก าเนดอยตรงไหนกไดเวกเตอรต าแหนงของ CM อาจแตกตางกนเพราะเวกเตอรต าแหนง

ขนกบจดก าเนด แตต าแหนงของ CM จะเปนต าแหนงเดยวกน ในรป ต.ย.1 เราใหจดก าเนดและสรางพกด

ฉาก yx อยตรงต าแหนงทท าใหอนภาคตวแรกมพกด (1,2) เมตร อนภาคตวทสองมพกด (4,2) เมตร

x

y

sm /4 sm /8

O

(1,2) (4,2)

รป ต.ย.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 4

ก)จากนยามของ CMr ในสมการ 1 พกด x และ y ของ CM จะเปนดงน

3)4()2(

)4)(4()1)(2(

kgkg

mkgmkgxCM เมตร 2

)4()2(

)2)(4()2)(2(

kgkg

mkgmkgyCM เมตร

jirCMˆ2ˆ3

เมตร

คอต าแหนงของ CM อยบนแนวเสนตรงทเชอมมวลทงสอง โดยหางจากมวลกอนแรก 2 เมตร หาง

จากมวลกอนทสอง 1 เมตร ไมวาจดก าเนดของพกดฉากจะอยทใดต าแหนงของ CM จะอยทเดยวกน

ตวอยางเชนถาใหจดก าเนดทบกบมวล 2 กโลกรม จะได 2)4()2(

)3)(4()0)(2(

kgkg

mkgmkgxCM เมตร

และ 0)4()2(

)0)(4()0)(2(

kgkg

mkgmkgyCM เมตร ซง CM เปนจดเดมนนเอง

ข) ijijirrr CMˆ2)ˆ2ˆ3()ˆ2ˆ1(11

เมตร

ijijirrr CMˆ)ˆ2ˆ3()ˆ2ˆ4(22

เมตร

0)ˆ1)(4()ˆ2)(2( mikgmikgrm

ค) จากสมการ 1 CMr

21

2211

mm

rmrm

หาอนพนธเทยบกบเวลา จะได

21

2211

mm

vmvmvCM

เมอดในแตละองคประกอบจะได 4)4()2(

)/8)(4()/4)(2(,

kgkg

smkgsmkgv xCM เมตรตอวนาท

และได 0, yCMv ดงนน ivCMˆ4

เมตรตอวนาท

ismismivvv CMˆ8)/ˆ4()/ˆ4(11

เมตรตอวนาท

ismismivvv CMˆ4)/ˆ4()/ˆ8(22

เมตรตอวนาท

vm

0)/ˆ4)(4()/ˆ8)(2( smikgsmikg

ขณะนนกศกษาคงพอมองสมการ(4)และ(5) ออกแลว ตอไปนเราจะเรมจากการแนะน าปรมาณทใช

บรรยายการหมนในหวขอท1 หวขอท 2 เปนสมการการเคลอนทส าหรบการเคลอนทแบบหมนหรอเรยก

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 5

อกอยางหนงวากฎการเคลอนทขอทสองแบบหมน หวขอท3 เรองงาน-พลงงาน หวขอท 4 เรองการดล

เชงมม-โมเมนตมเชงมม และสดทายหวขอท 5 จะเปนตวอยาง

1.ปรมาณทใชบรรยายการเคลอนทแบบหมน

ปรมาณทควรรคอ1.ทอรก 2.ความเรวเชงมม 3.โมเมนตมเชงมม 4.moments of inertia (โมเมนต

ความเฉอย) และ products of inertia ทกปรมาณถาไมอางองเทยบกบจดกจะอางองเทยบกบแกน ดงนนถา

จดหรอแกนอางองเปลยนไป ปรมาณนนกจะเปลยนไป ยกเวนความเรวเชงมมของวตถแขงเกรงซงมสมบต

ไมขนกบแกน เพราะถาวตถหมนรอบแกนๆหนงเราอาจมองไดวาวตถนนหมนรอบแกนจ านวนนบไมถวน

แกนดวยความเรวเชงมมเดยวกน โดยแกนเหลานเปนแกนทตดไปกบวตถและขนานกบแกนหมนเดม

1.1 ทอรก (Torque)

1.1.1ทอรกทกระท าตออนภาคตวเดยว

สมมตมอนภาคตวเดยวมวล m ถกแรงF กระท า เรานยาม(ตกลงกน)วาทอรก ทกระท าตอ

อนภาค คอ cross product ระหวางเวกเตอรต าแหนงและแรง ดงน

Fr

(1.1.1)

เมอ r คอเวกเตอรต าแหนงของอนภาค แนนอนวามนขนกบจดอางอง(บางครงเรยกจดก าเนด)

เมอจดอางองเปลยนเวกเตอรต าแหนงกเปลยน ทอรกกจะเปลยนตามไปดวย จ างายๆวา ทอรกเปนปรมาณ

ทอางองเทยบกบจด เมอจดอางองเปลยน ทอรกกเปลยน

1.1.2ทอรกทกระท าตอระบบอนภาค

ระบบอนภาคคอระบบทประกอบดวยอนภาคตงแต 2 ตวขนไปซงอยหางกนไมไดเรยงชดตดกน

ระยะหางระหวางอนภาคจะคงทหรอไมกได

ในกรณของระบบอนภาคแรงทท าตออนภาคแตละตวจะมทงแรงภายนอกระบบและแรงภายใน

ระบบ แตในหวขอ 1.3 นกศกษาจะพบวาทอรกของแรงภายในระบบจะหกลางกนไปเหลอเฉพาะทอรกของ

แรงภายนอกระบบ เราจงจะสนใจเฉพาะทอรกของแรงภายนอกระบบ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 6

ใหอนภาคตวท มเวกเตอรต าแหนงคอ r อนภาคตวนถกแรงภายนอกระบบ extF

กระท า

ทอรกของแรงภายนอกระบบ ทกระท าตออนภาคตวท จะเปนดงน

extFr

เรานยาม ทอรก(ของแรงภายนอกระบบ) ทกระท าตอระบบอนภาควาเปนผลรวม(แบบเวกเตอร)

ของทอรกทกระท าตออนภาคแตละตว คอ

N

extFr1

(1.1.2)

โดยเวกเตอรต าแหนงของอนภาคแตละตว อางองเทยบกบจดอางองเดยวกน

1.2 ความเรวเชงมม

ปกตแลวถาพดถงความเรวเชงมมเราจะหมายถงความเรวเชงมมของวตถแขงเกรง แตในบางครงม

การใชความเรวเชงมมกบอนภาค จงจะกลาวถงทงสองกรณ

1.2.1 ความเรวเชงมมของอนภาค

ถาอนภาคเคลอนทเปนวงกลมรศม R โดยมอตราเรวเชงเสนในแนวตงฉากกบรศมเปน v

ความสมพนธระหวาง v กบอตราเรวเชงมม คอ Rv เราจะใชความรนหาอตราเรวเชงมมของ

อนภาคในกรณทอนภาคไมไดเคลอนทเปนวงกลม โดยหา v แลวหารดวยรศม R กจะได ของอนภาค

อยางไรกตามเรามกใชเฉพาะขนาดของมนจงไมนยมก าหนดทศใหกบมน คอไมสนใจวามนจะเปนเวกเตอร

หรอไม

พจารณาอนภาคเคลอนทเปนเสนตรงดวยอตราเรว v ในแนว BA สวน C และ D เปนจดใดๆ

ดงรป 1.2.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 7

สมมตเราจะหาอตราเรวเชงมมของอนภาคนอางองกบจด C จะเหนวารศมคอ Cr สวน

sinvv ดงนน C

Cr

v

sin

เมอพจารณาเชนเดยวกนนโดยอางองกบจด D จะเหนวา CD

และจะเหนวา 0 BA เพราะ 0v

1.2.2 ความเรวเชงมมของวตถแขงเกรง

ผอานสามารถอานพนฐานของเวกเตอรไดจาก “บางมมมองของเวกเตอร” ในเวบไซตของภาควชา

ฟสกส

เวกเตอรเปนปรมาณทมขนาดและทศทาง(หรอสามารถตกลงทศใหเปนทเขาใจตรงกนได) และ

ประพฤตตวตามกฎการบวกแบบสเหลยมดานขนาน ปรมาณทมขนาดและทศแตไมประพฤตตวตามกฎการ

บวกแบบสเหลยมดานขนานไมใชเวกเตอร ซงกคอจะไปใชประโยชนจากองคประกอบของเวกเตอร การ

แตกเวกเตอร และพชคณตของเวกเตอร ไมได

ผทเรมเรยนการหมนอาจสงสยวาความเรวเชงมมเปนเวกเตอรไดอยางไรเพราะมองหาทศของมนไม

เจอ เพอความเขาใจลองพจารณาเขมวนาทของนาฬกา เรารวาอตราการกวาดของเขมวนาทคอ 60

2

เรเดยน ตอวนาท คอมนมขนาด ถาเราก าหนดทศใหมน มนกจะมทงขนาดและทศทาง และถามน

ประพฤตตวตามการบวกแบบสเหลยมดานขนาน มนกเปนเวกเตอร

การก าหนดทศของความเรวเชงมมเราตกลงกนใหเปนไปตามกฎมอขวา โดยก ามอขวาใหนวทงส

(ยกเวนหวแมมอ)วนไปตามการหมน ทศทหวแมมอชตกลงกนใหเปนทศของความเรวเชงมม ดงนน

A B

C D

cr

v

รป 1.2.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 8

ความเรวเชงมมของเขมวนาทจงมทศพงตงฉากเขาไปในหนาปดนาฬกา อยางไรกตามบางครงในรปวาด

แทนทจะบอกทศของความเรวเชงมมแตกลบบอกทศของการหมนดวยลกศรโคงพรอมเขยน ก ากบไว

ดงรป 1.2.2

การแสดงวาความเรวเชงมมประพฤตตวตามการบวกแบบสเหลยมดานขนานนนท าไดดวยการ

พสจน โดยถาวตถหมนรอบแกนสองแกนพรอมๆกน ต าแหนงของจดตางๆบนวตถจะเทยบเทากบการ

หมนรอบแกนๆเดยวซงไดจากการบวกแบบสเหลยมดานขนานของการหมนรอบสองแกนแรก อยางไรก

ตามจะไมขอกลาวรายละเอยดในทน นกศกษาทสนใจหาอานไดโดยงายในเวบไซต 3D Rigid Body

Kinematics-MIT OpenCourseWare หรอในหนงสอกลศาสตรทไดแสดงการพสจนนไว

ขณะนเรารแลววาความเรวเชงมมเปนเวกเตอร แตเรายงไมไดพจารณาใหละเอยดวาทเรยกกนวา

“หมนหรอไมหมน” นนเปนอยางไร รวมทงยงไมไดกลาวถงสมบตทส าคญอยางหนงของความเรวเชงมม

ของวตถแขงเกรง คอถาวตถแขงเกรงหมนดวยความเรวเชงมม รอบแกนๆหนง อาจมองไดวาวตถน

หมนรอบแกนนบไมถวนแกนทตดไปกบวตถและขนานกบแกนเดม ดวยความเรวเชงมม อนเดยวกน

เพอใหเขาใจงายจะดวตถรปรางแบนทเคลอนทในระนาบ ดงรป 1.2.3 แนวAB เปนแนวตรงซงอย

นอกวตถ เราจะใชแนวนเปนแนวอางอง จด C,Dและ E เปนจดทตดอยบนวตถ เมอวตถเคลอนทไปถามม

ระหวางเสน CD (หรอ CE หรอ DE) ซงท ากบ AB เปลยนไปกแสดงวาวตถนมการหมน ถามมไมเปลยนก

ไมหมน ในรป 1.2.3 นมม BODBOD ˆˆ แสดงวาวตถนเคลอนทโดยไมมการหมน

รป 1.2.2 โคนเขมอยซายสดของเขม ลกศรโคงบอกทศของการหมนของเขมนาฬกา ทศของ

ความเรวเชงมมตกลงกนใหพงเขาไปในกระดาษ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 9

ตอไปสมมตวตถเคลอนทดงรป 1.2.4 โดย CD กวาดแบบทวนเขมนาฬกาท าใหมมระหวางเสน CD กบ AB

เพมขน (คอ )ˆˆ BODBOD พจารณาดจะเหนวามมทเสน CE ท ากบเสน AB เพมขน เชนกน

นอกจากนถามจดอนๆอกบนวตถ เชนจด F,G,… จะเหนวามมทเสน CF,CG,… ท ากบเสน AB กจะเพมขน

เชนกน นนคอวตถหมนรอบจด C ไปเปนมม ในทศทวนเขมนาฬกา

C

E D

C

E

D

A B O O

รปท 1.2.4 วตถหมนทวนเขมนาฬกา

C

E D

C

E D

A B O O

รป 1.2.3 เรมตนวตถอยซายมอ เคลอนทเฉยงๆไปทางขวาโดยไมหมน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 10

ขณะเดยวกนจะเหนวามมทเสน DC,DE,DF,DG,…ท ากบเสน AB (หรอแนวตรงอนๆนอกวตถ)

เพมขน ในทศทวนเขมนาฬกาเชนกน หรอกคอวตถหมนรอบจด D ไปเปนมม ในทศทวนเขมนาฬกา

และในท านองเดยวกนกมองไดวาวตถหมนรอบจด E,F,G,... ไปเปนมม ในทศทวนเขมนาฬกาเชนกน

ในตวอยางทกลาวมาเราดวตถรปรางแบนซงเปนกรณเฉพาะ ในกรณทวไปนนวตถจะมความหนา

ซงการหมนเปนการหมนรอบแกน(ไมใชรอบจด) จากทกลาวมาจะเหนวาเมอวตถหมนเรามองไดวามน

หมนรอบแกนนบไมถวนแกนเปนมมขนาดเทากนโดยแกนเหลานตดไปกบวตถ

ถาเราดในชวงเวลาสนๆ td วนาท ใหมมทวตถหมนรอบแกนเพมขน d เรเดยน ขนาดของ

ความเรวเชงมม จงหาไดจาก td

d สวนทศของความเรวเชงมมเราก าหนดใหเปนไปตามกฎมอขวา

ดงไดกลาวมาแลว ในรป 1.2.4 ทศของความเรวเชงมมจะพงออกและตงฉากกบกระดาษ

นนคอถาวตถแขงเกรงหมนในระนาบดวยความเรวเชงมม รอบแกนๆหนง อาจมองไดวาวตถน

หมนรอบแกนนบไมถวนแกนทตดไปกบวตถและขนานกบแกนเดม ดวยความเรวเชงมม เดยวกน คอ

เทากนทงขนาดและทศทาง

ท านองเดยวกนถาวตถแขงเกรงหมนในระนาบดวยความเรงเชงมม รอบแกนๆหนง อาจมองได

วาวตถนหมนรอบแกนนบไมถวนแกนทตดไปกบวตถและขนานกบแกนเดม ดวยความเรงเชงมม

เดยวกน

1.3 โมเมนตมเชงมม โมเมนตความเฉอย และ Product of Inertia

(Angular Momentum , Moment of Inertia and Product of Inertia )

1.3.1โมเมนตมเชงมมของอนภาคตวเดยว

โมเมนตมเชงมม L ของอนภาคตวเดยว นยามคอ

PrL

(1.3.1)

เมอ vmP

คอโมเมนตมเชงเสนของอนภาคน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 11

จะเหนวาโมเมนตมเชงมมเปนปรมาณทอางองเทยบกบจดเชนเดยวกบทอรก ถาจดอางองเปลยน

โมเมนตมเชงมมกจะเปลยนตาม

1.3.2โมเมนตมเชงมมของระบบอนภาค

คลายๆกบกรณของทอรก เรานยามโมเมนตมเชงมมของระบบ L วาเปนผลรวม(แบบเวกเตอร)

ของโมเมนตมเชงมมของอนภาคแตละตว คอ

N

PrL1

(1.3.2)

1.3.3โมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรง

ระบบอนภาคนนระยะหางระหวางสมาชกแตละตวอาจเปลยนไปไดเรอยๆ แตส าหรบวตถแขงเกรง

ระยะหางระหวางจด 2 จดใดๆบนวตถแขงเกรงเทาเดมเสมอ ดงนนการเคลอนทสมพทธกนจงเปนไปได

เฉพาะการเคลอนทแบบหมน เราจะใชความจรงนใหเปนประโยชน

1.3.3.1 ความเรวของจดใดๆบนวตถแขงเกรงเมออางองกบจดๆหนงบนวตถแขงเกรง เมอวตถแขงเกรงหมน

ดวยความเรวเชงมม คอ rv

เพอความเขาใจเราจะเรมจากวตถทไมมความหนา โดย เอาเขมวนาททกลาวมาแลวในหวขอ 1.2.2

เปนตวอยาง โคนเขมนาฬกา(เปนจดตรง)อยกลางหนาปดนาฬกา ให A และ B เปนจดบนเขมวนาท โดย

A อยหางจากโคนเขม 1 เซนตเมตร สวน B อยหางจากโคนเขม 2.5 เซนตเมตร ลองพจารณาดจะเหนวา

ความเรวของ A อางองกบจดตรงคอ )1(60

2 เซนตเมตรตอวนาท ทศตงฉากกบเขม(ตามเขมนาฬกา)

สวนความเรวของ B อางองกบจดตรงคอ )5.2(60

2 เซนตเมตรตอวนาท ทศตงฉากกบเขม(ตามเขม

นาฬกา) เนองจากความเรวเชงมมของเขมนาฬกาคอ 60

2 เรเดยนตอวนาท ทศพงเขาไปในหนาปดนาฬกา

ลองพจารณาดจะพบวาถาเราใหจดตรงบนโคนเขมเปนจดก าเนดของเวกเตอรต าแหนง r ความเรวของจด

ใดๆบนเขมอางองกบจดตรงบนโคนเขมหาไดจาก rv

ทกลาวมานนจดก าเนดของเวกเตอรต าแหนงเปนจดตรง แตแมไมใชจดตรงความสมพนธ

rv

กยงคงเปนจรง ตวอยางเชนถาจะหาความเรวของ B อางองกบ A เราเขยนเวกเตอรต าแหนงช

จาก Aไปยง B คอ BAr เมอ cross ดวยความเรวเชงมมจะไดวา ความเรวของ B อางองกบ A คอ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 12

BAv )5.1(60

2 เซนตเมตรตอวนาท ทศตงฉากกบเขม(ตามเขม) ถาจะหาความเรวของ A อางองกบ B

เรากเขยนเวกเตอรต าแหนงชจาก Bไปยง A คอ ABr เมอ cross ดวยความเรวเชงมมกจะไดวาความเรวของ A

อางองกบ B คอ ABv )5.1(60

2 เซนตเมตรตอวนาท ทศตงฉากกบเขม(ทวนเขม) ดงรป 1.3.1

คราวนลองดกรณทวตถมความหนา นกศกษาลองพจารณาดจะเหนวาความสมพนธ rv

ก

ยงคงเปนจรงเชนกน ซงกคอเมอวตถแขงเกรงหมนดวยความเรวเชงมม ความเรวของจดใดๆบนวตถ

อางองกบจดก าเนดซงตดไปกบวตถ หาไดจาก rv

เมอ r คอเวกเตอรต าแหนงของจดใดๆนน

1.3.3.2 โมเมนตมเชงมม ในพจนของโมเมนตความเฉอย products of inertia และความเรวเชงมม กรณ

ทวไป(องคประกอบของความเรวเชงมมมทงองคประกอบในแนวแกน yx , และ z )

เปนการสะดวกทจะเรมจากการพจารณาระบบอนภาคโดยก าหนดใหระยะหางระหวางอนภาคคงท

เมอจะพจารณาเปนวตถแขงเกรงกเพยงแตเปลยนการรวมจาก summation เปนการอนทเกรต

สมมตมระบบอนภาคทระยะหางระหวางอนภาคคงท และสมมตใหระบบนก าลงหมนดวยความเรว

เชงมม ความเรวของอนภาคใดๆสมพทธกบจดก าเนดทตดไปกบระบบ(จดก าเนดอยตรงไหนกได)หาได

จาก rv

ดงไดกลาวมาแลวในหวขอ 1.3.3.1

ดงนน โมเมนตมเชงมมของระบบ อางองกบจดก าเนดทตดไปกบระบบ

PrL

)(

rrmvmr

(1.3.3)

ส าหรบเวกเตอร BA

, และ C

ใดๆ จะมเอกลกษณวา )()()( BACCABCBA

รป 1.3.1 โคนเขมอยต าแหนงซายสดของเขม ทศของความเรวเชงมมพงเขาไปในกระดาษ

A

B

BAv

ABv ABr

BAr

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 13

(นกศกษาสามารถตรวจสอบไดโดยเขยน BA

, และ C

ใหอยในพกดฉาก ตวอยางเชน

kAjAiAA zyxˆˆˆ

จากนน cross และ dot ตรงจะเหนวา )( CBA

เทากบ

)()( BACCAB

)

พจารณา )()()( rrrrrr ซงเมอเขยน และ r

ในพกดฉาก จะได

))(ˆˆˆ())(ˆˆˆ( 222

zyxkzjyixzyxkji zyxzyx

จดพจนได izxyxzy zyxˆ})({ 22

jzyyxzx zxyˆ})({ 22

kzyzxyx yxzˆ})({ 22

ถาคณดวย m จะไดโมเมนตมเชงมมของอนภาคตวท อางองกบจดก าเนด จากนนรวม

โมเมนตมเชงมมของอนภาคทกตวกจะไดโมเมนตมเชงมมของระบบนตามสมการ 1.3.3 ซงถาเราดแตละ

องคประกอบ yx, และ z ของโมเมนตมเชงมม จะไดวา องคประกอบในแนวแกน x ของโมเมนตมเชงมม

zyxx zxmyxmzymL }{}{)}({ 22 (1.3.4a)

และ

zyxy zymzxmyxmL }{)}({}{ 22 (1.3.4b)

และ

zyxz yxmzymzxmL )}({}{}{ 22 (1.3.4c)

ขณะนเราไดโมเมนเมนตมเชงมมของระบบอนภาคดงในสมการ 1.3.4a-1.3.4c แลว เปนโมเมนตม

เชงมมอางองกบจดก าเนดซงตดไปกบระบบ (ระลกวาโมเมนตมเชงมมเปนปรมาณทอางองกบจด) ในกรณ

ของวตถแขงเกรงทเนอวตถเรยงชดตดกนเราเพยงแตเปลยนเปนการรวมดวยการอนทเกรต กจะไดวา

zyxx dmzxdmyxdmzyL }{}{})({ 22 (1.3.5a)

เราจะเขยนสนๆเปน zxzyxyxxxx IIIL (1.3.6a)

zyxy dmzydmzxdmyxL }{})({}{ 22 (1.3.5b)

เราจะเขยนสนๆเปน zyzyyyxyxy IIIL (1.3.6b)

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 14

และ zyxz dmyxdmzydmzxL })({}{}{ 22 (1.3.5c)

เราจะเขยนสนๆเปน zzzyzyxzxz IIIL (1.3.6c)

จากสมการ1.3.6 a,b,c จะเหนวาทศของโมเมนตมเชงมมและทศของความเรวเชงมมปกตแลวไมช

ทศเดยวกน เพราะถาชทศเดยวกนความสมพนธควรอยในรป

cL เมอ c เปนคาคงท ซงกคอควร

เปนวา zzyyxx cLcLcL ,, แตสมการ1.3.6 a,b,c ไมเปนเชนน

เพอความงายนกศกษาควรจ าสมการ 1.3.5 a,b,c ในรปของเมตรกซดงน

z

y

x

L

L

L

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

(1.3.7)**

เมตรกซแรกทางขวามอของสมการ 1.3.7 ซงเปนเมตรกซขนาด 33 คอ inertia tensor ซงเขยนใน

รปของเมตรกซ โดย dmzyI xx )( 22 , dmzxI yy )( 22 , dmyxI zz )( 22 พจนทง

สามนเรยกวาโมเมนตความเฉอย( moments of inertia) พงสงเกตวา )( 22 zy , )( 22 zx

และ )( 22 yx คอระยะทางตงฉากจากมวล md ไปยงแกน yx, และ z ตามล าดบยกก าลงสอง

ดงนน yyxx II , และ zzI จงเปนโมเมนตความเฉอยรอบแกน yx, และ z ตามล าดบ สวนอกหกพจน

คอ dmyxII yxxy , dmxzII zxzx , และ dmyzII zyzy เรยกวา products

of inertia

สมการ 1.3.7 เปนการบรรยายความสมพนธระหวางโมเมนตมเชงมม(อางองกบจดก าเนด)กบ

ความเรวเชงมม ส าหรบ แกน xyz ใดๆทตดไปกบวตถ โดยจดก าเนดอยทใดกไดไมจ าเปนตองเปนจดท

สอดคลองกบเงอนไขทงสามของสมการtd

Ld

และเนองจากเปนแกนทตดไปกบวตถ ดงนนเมอวตถ

หมนคาของ โมเมนตความเฉอยและ products of inertia จงไมขนกบเวลา

(รายละเอยดของคณตศาสตร นกศกษาดใหเขาใจสกครงกพอ จากนนกจ าสมการ 1.3.7 พรอมนยามของ

moments of inertia และ products of inertia )

1.3.3.3 โมเมนตมเชงมม ในพจนของโมเมนตความเฉอย products of inertia และความเรวเชงมม

กรณการหมนในระนาบ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 15

ในกรณการหมนในระนาบทศของความเรวเชงมมอยในแนวเดมตลอด ถาวตถหมนในระนาบดวย

ความเรวเชงมม เราจะใหแกน z อยในแนวของความเรวเชงมม ดงนน zyx ,0

สมการ 1.3.7 จะเปน

z

y

x

L

L

L

=

0

0

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

(1.3.8)**

ระลกวา xyz เปนแกนใดๆทตดไปกบวตถ ดงนนคาของ moments of inertia และ products of inertia จง

ไมขนกบเวลา ในสมการ 1.3.8 นจดก าเนดตดอยทใดของวตถกได เชนเดยวกบสมการ 1.3.7

สมการ 1.3.8 อาจเขยนเปนวา

kIjIiIL zzyzxzˆˆˆ

(1.3.9)**

(นกศกษาจ าแตสมการ 1.3.7 สมการ 1.3.8 และ 1.3.9 มนจะออกมาเอง)

จะเหนวา products of inertia และโมเมนตความเฉอยทมผลตอโมเมนตมเชงมมมเพยง yzxz II ,

และ zzI เทานน จากสมการ 1.3.9 จะเหนวา แมเปนการหมนในระนาบแตทศของโมเมนตมเชงมมและทศ

ของความเรวเชงมม ปกตแลวกไมไดอยในทศเดยวกน

พงสงเกตวาโมเมนตความเฉอย I ในหนงสอระดบมธยมหรอฟสกสทวไป 1 นนกคอ zzI ใน

สมการ 1.3.9 นนเอง ดงนนการเขยนวา

IL จงไมเปนความจรงเสมอไปแมวาเปนการหมนในระนาบ

จะเปนจรงเมอ xzI และ yzI เปนศนยเทานน การกลาววาโมเมนตมเชงมมเทากบ I นนถาจะใหรดกมควร

กลาววา “องคประกอบของโมเมนตมเชงมมในแนวของความเรวเชงมมเทากบ I ” ซงเปนจรงเสมอ

ส าหรบการหมนในระนาบ ดงเหนไดในสมการ 1.3.9 นอกจากนเมอนกศกษาเหนพจน I ควรระลกทนท

วาจดอางองทใชค านวณโมเมนตมเชงมมเปนจดทตดไปกบวตถ

2.สมการการเคลอนทส าหรบการเคลอนทแบบหมน

(กฎการเคลอนทขอทสองส าหรบการหมน)

2.1 สมการการเคลอนทส าหรบการเคลอนทแบบหมนในกรณทวไป )(td

Ld

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 16

ค าวากรณทวไปในหวขอนคอใชไดทงระบบอนภาคและวตถแขงเกรง และอนภาคแตละตวจะ

เคลอนทในระนาบหรอไมกได สวนการจะตความวาหมนหรอไมหมนนนแลวแตจะมองจากมมใด ถาดใน

สมการ 1.3.1 อนภาคทเคลอนทเปนเสนตรงกมโมเมนตมเชงมม โดยโมเมนตมเชงมมเปนปรมาณทเราใช

บรรยายการเคลอนทแบบหมน ชอของหวขอนมองจากมมดงกลาว

สมมตมระบบอนภาคซงประกอบดวยอนภาคจ านวน N ตว แตเพอความชดเจนในรป 2.1.1 จะ

เขยนเฉพาะอนภาค 2 ตวเทานน มวลของแตละตวคอ 1m และ 2m

ให O เปนจดอางองทไมมความเรง(เรามกใหเปนจดตรง คออยนง)

Q เปนจดใดๆทอาจมความเรงกได

extF1

, extF2

,…, ext

NF

เปนแรงภายนอกระบบทกระท าตออนภาคตวท 1, ตวท 2 ,…, ตวท N ซงม

มวล 1m , 2m ,..., Nm ตามล าดบ

12f

, 13f

,…, Nf1

เปนแรงภายในระบบทอนภาคตวท 2 ,ตวท 3 ,…, ตวท N ตามล าดบ กระท า

ตออนภาคตวท 1

21f

, 23f

,…, Nf 2

เปนแรงภายในระบบทอนภาคตวท 1,ตวท 3 ,…,ตวท N ตามล าดบ กระท าตอ

อนภาคตวท 2

...

ext1F

ext2F

21f

12f

1m 2m

2r

O

Q

Qr

1r

Q1r

Q2r

รป 2.1.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 17

1Nf

, 2Nf

,…, 1NNf

เปนแรงภายในระบบทอนภาคตวท 1 ,ตวท 2 ,…,ตวท 1N ตามล าดบ

กระท าตออนภาคตวท N

1r , 2r

,…, Nr เปนเวกเตอรต าแหนงของอนภาคตวท 1 ,ตวท 2 ,…, ตวท N ตามล าดบ อางองกบจด O

Qr1

, Qr2

,…, NQr เปนเวกเตอรต าแหนงของอนภาคตวท 1 ,ตวท 2 ,…, ตวท N ตามล าดบ อางองกบจด Q

จากรป 2.1.1 จะเหนวา QQ rrr

11 เมอหาอนพนธเทยบกบเวลาจะได QQ rrr 11

ท านองเดยวกนส าหรบอนภาคตวท2,ตวท 3 จนถงตวท N กจะไดคลายๆกน โดยของตวท N จะได

QNNQ rrr

, QNNQ rrr

เราลองมาดความหมายกนสกนด ตอไปนกศกษาจะไดดความหมายของพจนอนๆได จะยกตวอยาง

โดยดอนภาคตวท 1

Qr1 คอความเรวของอนภาคตวท 1 อางองกบจด Q

1r คอความเรวของอนภาคตวท 1 อางองกบกรอบอางองเฉอย

Qr คอความเรวของจด Q อางองกบกรอบอางองเฉอย

ตอไปเราจะหาโมเมนตมเชงมม จากสมการ 1.3.1 โมเมนตมเชงมมของอนภาคตวท 1 อางองกบจด Q คอ

QQQ rmrL 1111

)()( 111 QQ rrrrm

หาอนพนธเทยบกบเวลา จะได

)()()()( 1111111 QQQQQ rrrrmrrrrmL

พจนแรกทางขวามอของเครองหมายเทากบเปนศนยเพราะ )( 1 Qrr cross กบตวมนเอง ดงนน

QQQQQQ rrrmrmrrrrrrmL )()()()( 111111111 (2.1.1)

เนองจาก 1r เปนความเรงของอนภาคตวท 1 อางองกบกรอบอางองเฉอย จากกฎการเคลอนทขอทสองแบบ

เลอนท 11rm จงเทากบแรงทงหมดทกระท าตออนภาคตวท 1 คอ

N

ext fffFrm 11312111 ...

แทนลงใน(2.1.1) จะได

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 18

QQN

ext

QQ rrrmfffFrrL )()...()( 1111312111 (2.1.2)

ในท านองเดยวกน เราสามารถหา NQQQ LLL

,...,, 32 ได

เนองจากโมเมนตมเชงมมของระบบอางองกบจดQ คอ NQQQQ LLLL

...21 เมอหา

อนพนธเทยบกบเวลาจะได NQQQQ LLLL

...21 จากสมการ 2.1.2 จะได

NQQQQ LLLL

...21 QQN

ext

Q rrrmfffFrr )()...()( 111131211

QQN

ext

Q rrrmfffFrr )()...()( 222232122

QQNNNNNN

ext

NQN rrrmfffFrr )()...()(... 121 (2.1.3)

ลองกระจายพจน ...)()()...()( 121111131211 frrFrrfffFrr Q

ext

QN

ext

Q

และอกสกพจน ...)()()...()( 212222232122 frrFrrfffFrr Q

ext

QN

ext

Q

แลวดสงทเรากระจายออกมา จากรป2.1.1 จะเหนวา 121 )( frr Q

คอทอรกของแรงภายใน 12f

อางอง

กบจด Q สวน 212 )( frr Q

คอทอรกของแรงภายใน 21f

อางองกบจด Q

แตจากกฎการเคลอนทขอทสาม 12f

21f

ถาดในรป 2.1.1 แรงทงสองอยในแนวเสนตรงเดยวกน

ดงนนทอรกของแรงทงสองจงหกลางกนเปนศนย

ถาดทอรกของแรงภายในแรงอนก จะมทอรกมาหกลางกนเปนคๆเชนเดยวกน ดงนนทอรกของแรง

ภายในระบบจงเปนศนย เหลอแตทอรกของแรงภายนอกระบบ

สมการ 2.1.3 จงเปน QL

ext

Q Frr 11 ){( ext

Q Frr 22 )(

})(... ext

NQN Frr

QQ rrrm )({ 11 QQ rrrm

)( 22 })(... QQNN rrrm (2.1.4)

จากสมการ 1.1.2 เรานยาม ทอรก(ของแรงภายนอกระบบ) ทกระท าตอระบบอนภาควาเปนผลรวม

ของทอรกทกระท าตออนภาคแตละตว ดงนนวงเลบปกกาอนแรกในสมการ 2.1.4 คอทอรก Q ทท าตอ

ระบบ อางองเทยบกบจด Q สมการ 2.1.4 จงเขยนไดเปน

QQQQ rrrmL )({ 11

QQ rrrm )( 22 })(... QQNN rrrm

กระจายพจนในวงเลบปกกา แลวจดพจน จะได

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 19

QQL

QNN rrmrmrm

)...{( 2211 })...( 21 QQN rrmmm (2.1.5)

จากนยามของเวกเตอรต าแหนง CMr ศนยกลางมวล

N

NN

CMmmm

rmrmrmr

...

...

21

2211

ถาให NmmmM ...21 เปนมวลทงหมดของระบบอนภาคน ดงนน

QQL

QCM rrM

{ }QQ rrM Q

QQCM rrrM

)(

QLtd

d Q

QQCM rrrM )( (2.1.6)

เพอใหจ าไดงาย เราจะเขยนสมการ 2.1.6 ใหมเปน (วธจ าดหมายเหตขอ2)

QQLtd

d

)()( QQCM rMrr (2.1.6a)**

สมการ 2.1.6 มพจน QQCM rrrM )( ซงดพะรงพะรง ในทางปฏบตเราจะเลอกจด Q ทท าใหพจนน

เปนศนย ซงจด Q ตองเปนดงน

1.ไมมความเรง (เพราะ 0Qr )

2.มความเรงกไดถาเปนจดศนยกลางมวล (เพราะ 0 CMCMQCM rrrr )

3.ไมใชศนยกลางมวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานศนยกลางมวล

(เพราะ QCM rr

ชจากจด Q ไปศนยกลางมวล ดงนนถา cross กบ Qr ทมทศพงเขาหรอออกผาน

ศนยกลางมวล จะไดศนย)

สมการ 2.1.6 นยมเขยนสนๆ ดงทพบเหนในหนงสอทวไป ดงน

td

Ld

(2.1.7)**

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 20

คอทอรกเทากบอตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมม เมอเหนสมการนนกศกษาควรระลกถงเงอนไข 3

ขอ คอจดอางองทใชค านวณทอรกและโมเมนตมเชงมมนนจะตอง 1.ไมมความเรง หรอ 2.มความเรงกได

ถาเปนจดศนยกลางมวล หรอ 3.ไมใชศนยกลางมวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานศนยกลางมวล

สมการ 2.1.7 เปนสมการตงตนทเราจะน าไปตอยอดเปนสมการการเคลอนทของออยเลอรและ

สมการ I จะเหนวาเราท าคณตศาสตรไปเรอยๆกไดสมการนออกมา นกศกษาไมจ าเปนตองจ า

รายละเอยดในการท า ดใหเขาใจสกครงกพอแลว สงทนกศกษาตองจ าคอเมอเหนสมการนแลวตองระลกถง

เงอนไขทงสามขอทกลาวมาแลว

(นกศกษาควรจ าสมการ 2.1.7 พรอมเงอนไข 3 ขอควบคกน สวนวธจ าสมการ 2.1.6a นนดในขอ 2 ของ

หมายเหต)

{ อ.ในภาค ในหวขอ 2.2 น ผมน ามาจากหนงสอ Mechanics ของ Symmon แลวจดฟอรมเปนสมการ

2.1.6a เพอใหจ างาย }

หมายเหต 1. เราใชกฎการเคลอนทแบบเลอนทเพอหาสมการ 2.1.7 ตวอยางเชนในบรรทดเหนอสมการ

2.1.2 N

ext fffFrm 11312111 ...

แตกฎการเคลอนทแบบเลอนทจะเปนจรงนนตองอางองกบกรอบอางองเฉอย ดงนนอตราการเปลยนแปลง

โมเมนตมเชงมม td

Ld

ในสมการ 2.1.7 ตองอางองกบกรอบอางองเฉอย

2. วธจ าสมการ 2.1.6a ซงเปนกรณจดอางอง Q มความเรงเปน Qr ซงจะเปนอยางไรกได ท าไดโดยใสแรง

เทยม )( QrM ทจดศนยกลางมวลของระบบ )()( QQCM rMrr จะเปนทอรกของแรงเทยมนอางอง

กบจด Q ดงนน อตราการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมม QLtd

d เทากบทอรกจรง Q

บวกทอรก

เทยม )()( QQCM rMrr

2.2 สมการการเคลอนทส าหรบการเคลอนทของวตถแขงเกรงซงหมนในระนาบ

สมการ 2.1.7 ใชไดกบทงระบบอนภาคและวตถแขงเกรง ความจรงแลววตถแขงเกรงกคอระบบ

อนภาคทมอนภาคอยเรยงชดตดกนและรปรางไมเปลยนแปลงนนเอง อยางไรกตามสมการ 2.1.7 ไมเหมาะ

นกทจะใชกบวตถแขงเกรง เราจะหาสมการทเหมาะกวาน พงสงเกตวาในสมการ 2.1.7 นนไมไดกลาวถง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 21

ความเรวเชงมมเลย คอในการเคลอนทนนอนภาคแตละตวจะเคลอนทอยางไรกได ระยะหางระหวาง

อนภาคไมจ าเปนตองคงท

2.2.1 สมการการเคลอนทส าหรบวตถแขงเกรงรปทรงใดๆซงไมจ าเปนตองมสมมาตร

สมการ 1.3.8 บอกถงโมเมนตมเชงมม L อางองกบจดก าเนดของพกดฉากซงตดไปกบวตถ ถาเรา

เลอกจดก าเนด(จดอางอง Q ในหวขอ 2.1) ท 1.ไมมความเรง หรอ2.มความเรงกไดถาเปนศนยกลางมวล

หรอ3.ไมใชศนยกลางมวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานศนยกลางมวล เรากสามารถใชสมการ

td

Ld

ได พงสงเกตวาถาเราใชแกนตรงซงไมตดไปกบวตถคาโมเมนตความเฉอย และ products of

inertia จะเปลยนไปเมอวตถหมนซงท าใหเกดความยงยากในการค านวณหา td

Ld

เราจงจะใชแกน zyx ท

ตดไปกบวตถ

เนองจากแกน zyx ทตดไปกบวตถไมใชกรอบอางองเฉอยเพราะวตถหมน แต td

Ld

ตองอางอง

กบกรอบอางองเฉอยดงไดกลาวมาแลวในหมายเหตขอ 1 ของหวขอ 2.1 เราจะแกปญหานดวยการใช

สมการ (ก5) ในภาคผนวก ก. คอ ถาวตถหมนดวยความเรวเชงมม อตราการเปลยนแปลงของ

โมเมนตมเชงมมสงเกตโดยผสงเกตทอยนง(กรอบอางองเฉอย) fixed

td

Ld

หาไดจาก

fixed

td

Ld

rottd

Ld

L

เมอrot

td

Ld

คออตราการเปลยนแปลงของขนาดของ A เมอถอวา ji ˆ,ˆ และ k คงท (บางครง

เรยกวาอตราการเปลยนแปลงเมอสงเกตจากกรอบทหมน)

จากสมการ 1.3.8 ส าหรบการหมนในระนาบ kIjIiIL zzyzxzˆˆˆ

โดย

zyx ,0 ดงนน ผสงเกตทอยนง จะสงเกตเหนอตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมม เปน

fixedtd

Ld

)ˆˆˆ(ˆ kIjIiIktd

Ldzzyzxz

rot

(2.2.1)

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 22

อตราการเปลยนแปลงของขนาดของ L เมอถอวา ji ˆ,ˆ และ k คงท นน kjiIII zzyzxz

ˆ,ˆ,ˆ,,, จะ

คงท มเฉพาะอตราการเปลยนแปลงของ ซงเทากบความเรงเชงมม ดงนน

kIjIiItd

Ldzzyzxz

rot

ˆˆˆ

หลงจาก cross L

แลวจดพจน จะได

fixedtd

Ld

kIjIIiII zzxzyzyzxzˆˆ)(ˆ)( 22 (2.2.2)

แต

fixedtd

Ld

ดงนน เมอดในแตละองคประกอบ ,x y และ z จะได

)( 2 yzxzx II , )( 2 xzyzy II และ zzz I หรอเขยนเปน

zzz

xzyzy

yzxzx

I

II

II

2

2

(2.2.3)**

สมการ 2.2.3 เปนสมการทวไปส าหรบวตถรปทรงใดๆซงจะมหรอไมมสมมาตรกได โดยวตถน

หมนในระนาบและมความเรวเชงมมอยในแนวแกน z จดก าเนดของแกน zyx จะตองสอดคลองกบ

เงอนไข 3 ขอคอ 1.ไมมความเรง หรอ 2.มความเรงกไดถาเปนจดศนยกลางมวล หรอ 3.ไมใชศนยกลาง

มวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานศนยกลางมวล

พงสงเกตวาเราหาอตราการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมกอนแลวคอยดทละองคประกอบ ซง

แตละองคประกอบจะเทากบทอรกในองคประกอบนน ตวอยางเชน ktd

Ldz

ˆ

ไมใช

)ˆ( kLtd

dz

เพราะโดยทวไปแลว k

td

Ld ˆ

อาจไมเทากบ )ˆ( kLtd

d

(ถานกศกษามองไมเหนให

ด Lจากสมการ 1.3.7 ซงเปนกรณทวไป) เพยงแตในกรณการหมนในระนาบพจนทงสองเทากน

ตวอยางท2.2.1-2.2.4 ตอไปนแมเมอตอไปนกศกษาไปเปนครจะไมไดใชสอนนกเรยน แตจะชวย

ใหนกศกษามองเหนภาพกวางของการหมนในระนาบ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 23

ตวอยางท2.2.1 คานสม าเสมอพนทหนาตดนอยมากเมอเทยบกบความยาว คานมมวล M กโลกรม ยาว L

เมตร คานวางตวอยในแนวแกน x ของพกดฉาก zyx จงค านวณ yzxz II , และ zzI ถาเลอกจดก าเนดท

ตางกน 2 จด คอจดทท าใหพกดของปลายคานดานซายเปน ก) )0,0,0( ข) ),0,0( c

วธท า ในตวอยางนจะบรรยายการอนทเกรตละเอยดหนอย ตอไปจะพดเพยงสนๆ เพราะวธการจะ

คลายกน

ความหนาแนน(เชงความยาว)ของคานคอ L

M กโลกรมตอเมตร

ก) ใหปลายคานดานซายทบกบจดก าเนด ดงรป ต.ย.2.2.1ก. พกดของปลายคานคอ )0,0,0(

dmxzI zx

เนองจากความหมายของ xd คอระยะทางสนๆบนแกน x ดงนนเมอมองดคานจะเหนวาคาน

ประกอบไปดวยสวนยอยๆยาว xd เมตร เรยงตอกนเตมไปหมดตงแต 0x ถง Lx

ดชนเลกๆชนไหนกได มวล md ของชนนเทากบ xdL

M กโลกรม อยบนระนาบ 0y

และ 0z หรอกคอมพกด )0,0,(x เมตร นนเอง โดยมวลเลกๆนจะอยท x ถง xdx เมตร

ถาด dmxz ซงเขยนอกอยางไดเปน dmxz ความหมายของมน คอ ดมวลเลกๆของคาน

ชนหนงคอ md เอามวลชนน(กโลกรม) คณกบพกด x ของมน(เมตร) คณกบพกด z ของมน(เมตร)

แลวใสเครองหมายลบเขาไป จะได product of inertia ยอย เขยนเปนสญลกษณไดเปน xzId จากนนก

xd xd

x

y

O L

รป ต.ย.2.2.1ก. แกน z พงออกจากหนากระดาษ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 24

รวม xzId ของมวลเลกๆชนอนใหทวทงคาน สญลกษณของการรวมมเครองหมายคลายถวงอก เราเรยกวา

เครองหมายอนทเกรต

เนองจากมวลชนเลกๆไมวาจะอยทใดของคานมพกด 0z ดงนน 0 dmzxId xz เมอรวม

ใหทวทงคานกยงเปนศนย คอ zxI 0 dmxz

ท านองเดยวกน 0yzI เชนกน

คราวนด dmyxI zz )( 22

วธการจะเหมอนเดมคอ ดมวลชนเลกๆ md ชนไหนกได พกด y ของมวลนเปนศนย โมเมนต

ความเฉอยของมวลน xdL

MxmdxId zz

22 )0(

โมเมนตความเฉอย zzI ของคานทงอน ไดจากการรวมโมเมนตความเฉอยยอย zzId ตงแต

0x ถง Lx

คอ 2

0

3

0

2

3

1

3LM

x

L

Mxd

L

MxI

LL

zz

นนคอส าหรบพกดชดน 0zxI , 0yzI , 2

3

1LMI zz

ข) ใหปลายดานซายของคานอยทพกด ),0,0( c ดงรป ต.ย.2.2.1ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 25

ถาเราดมวลเลกๆทต าแหนงใดๆของคาน พกด z ของมวลนเทากบ c

2

0

cLMxd

L

MxcdmcxI

L

zx

ท านองเดยวกบขอ ก. จะได 0yzI และ 2

3

1LMI zz

นนคอส าหรบพกดชดน 2

cLMI zx , 0yzI , 2

3

1LMI zz

ตวอยางท2.2.2 คานในตวอยาง 2.2.1 ปลายดานซายตดกบบานพบทหมนไดคลองท าใหคานหมนในระนาบ

ดง ถาเลอกจดอางอง(ทใชค านวณทอรก และเปนจดก าเนดของแกนทใชค านวณ yzxz II , และ zzI ) ท

ตางกนคอ ก) จดก าเนดในรป ต.ย.2.2.1ก. ข) จดก าเนดในรป ต.ย.2.2.1ข.

ในแตละกรณจงเขยนสมการ 2.2.3 ในแตละองคประกอบ x , y และ z

วธท า ระลกวาสมการ2.2.3 นนจดอางองตองตดไปกบวตถ ในขอ ก) นนเหนโดยงายวาเปนจดอางองเปน

จดทตดไปกบคาน เพยงแตวาเมอคานหมนจดนจะอยทเดม(คอเปนทงจดทตดกบวตถและเปนทงจดตรง)

สวนในขอ ข)นนถาเราจนตนาการวามแทงเบาๆเชอมระหวางปลายคานกบจดอางอง แลวมองทงคานทง

แทงเบารวมกนเปนวตถ จดอางองกจะเปนจดทตดไปกบวตถเชนกน โดยเมอคานหมนจดนจะอยทเดมคอ

เปนจดตรงดวย

x

y

O

รป ต.ย.2.2.1ข. z

c

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 26

ก) ถาใชจดอางองเปนจดก าเนดในรป ต.ย.2.2.1ก. จากตวอยางท 2.2.1 จะได 0zxI , 0yzI ,

2

3

1LMI zz ดงนน สมการ 2.2.3 จงเปน

0x , 0y , 2

3

1LMz

ข)ถาใชจดอางองเปนจดก าเนดในรป ต.ย.2.2.1ข. จากตวอยางท 2.2.1 จะได 2

cLMI zx , 0yzI ,

2

3

1LMI zz ดงนน สมการ 2.2.3 จงเปน

2

MLcx , 2

2

MLcy , 2

3

1LMz

จะเหนวาเมอเปลยนจดอางองจากขอ ก) มาเปนขอ ข) x และ y เปลยนไป

ตวอยางท2.2.3 คานในตวอยาง 2.2.1 ปลายดานซายตดกบบานพบทหมนไดคลอง ให 1N และ 2N

เปนแรงทบานพบท าตอปลายคาน

ก)ขณะทคานท ามม กบแนวระดบ ดงรป ต.ย.2.2.3ก. ความเรงเชงมมของคานเปนเทาใด

ข)ถาเดมคานเกอบจะอยในแนวดง จากนนปลอยคานใหหมน ในขณะทคานอยในแนวระดบดงรป ต.ย.

2.2.3 ข. จงหาความเรวเชงมม และจงหา 1N และ 2N

ค)ถาเลอกจดอางองอยบนแกนทตงฉากกบปลายคาน โดยอยหางจากปลายคานเปนระยะ c

ดงรป ต.ย. 2.2.1ข ขณะทคานอยในแนวระดบ ดงรป ต.ย. 2.2.3ข. จงตรวจสอบวา 2 yzxzx II

และ 2 xzyzy II จรง

2N รปต.ย.2.2.3 ก.

1N

Mg

2N

1N

Mg

รป ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 27

วธท า ก) เราเลอกจดอางองทท าใหงายทสดคอปลายคานทบานพบตด ในรป 2.2.3ก. นนเรายงไมระบทศ

ของ 1N จงเขยนไปทาง x ไวกอน ทอรกของ 1N และ 2N เปนศนย มเฉพาะทอรกของน าหนก

gM จากรป ก.ทอรกนมคาเทากบ cos2

LgM ทศพงเขาไปในกระดาษ

ตามขอตกลงของเรา เราใหแกน z อยในแนวของความเรวเชงมม ดงนน z cos2

LgM

คอมขนาดเปน cos2

LgM ทศชไปทาง k

จาก 2

3

1LMz

จะได L

g

2

cos3 (1)

หมายเหต จากภาคผนวก ง. จะเหนวาเราเลอก มม ในรป ต.ย.2.2.3ก กบทศ z ในรป ต.ย.2.2.1ข. ให

สอดคลองกน

ข)เนองจาก CM เคลอนทเปนวงกลม ดงนนในรป ข. เรารวาความเรงของ CM มทศไปทาง x จงเขยน

1N ใหมทศไปทาง x

เนองจากความเรงเชงมมไมคงท คอขนกบ เราจงไมหาความเรวเชงมมจากความเรงเชงมม แตจะ

หาจากกฎการอนรกษพลงงานกลแทน โดยในขณะทคานหมนนนพลงงานกลคงท ใหระดบทผานจด

ก าเนดเปนระดบอางองพลงงานศกยโนมถวง ดงนน

22

3

1

2

1

2

ML

LgM

L

g32 (2)

จดศนยกลางมวลของคานมความเรงในแนวดงขนาดเปน 4

3

2

3

22

g

L

gLL

ทศ j (ชลงในแนวดง)

ดงนน เมอดในแนวดง 4

32

gMNMg

MgN4

12 ทศ j (3)

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 28

จดศนยกลางมวลของคานมความเรงในแนวระดบขนาดเปน 2

2 L ทศ i (ชไปทางซายมอ)

ดงนน เมอดในแนวระดบ 2

2

1

LMN ทศ i (แรงกบความเรงตองมทศเดยวกน)

แทน 2 จากสมการ 2 ลงไป จะได

MgN2

31 ทศ i (4)

ค)จากรป ข. จะเหนวา cMgcNcMgx4

32 (5)

ในสมการ 5 นน เราใชสมการ 3 ชวย

พจารณา 2 yzxz II จากตวอยางท3.1 เราได 2

cLMI zx , 0zyI , จากสมการ 1 เมอคานอยใน

แนวระดบ L

g

2

3

ดงนน MgcL

gMLcII yzxz

4

3

2

3

2

2

(6)

จากสมการ 5 และ 6 จะเหนวา 2 yzxzx II จรง

จากรป ข. จะเหนวา cNy 1 (คอขนาด cN1 ทศ j )

แทนสมการ 4 ลงไปจะได cMgy2

3 (7)

พจารณา และ MgcL

gMLcII xzyz

2

33

202

(8)

จากสมการ 7 และ 8 จะเปนวา 2 xzyzy II จรง

ตวอยางท 2.2.4 ในตวอยางท 2.2.1-2.2.3 ทผานมานนเปนการปพนฐานเกยวกบสมการ 2.2.3 ในตวอยางท

2.2.4 น จะเปนตวอยางทพบจรงในชวตประจ าวน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 29

สมมตมจานกลมสม าเสมอหนา b ตรงกลางจานมตลบลกปน(bearing) ท าใหหมนไดคลองรอบ

แกนทตงฉากและผานจดศนยกลางของจาน จานมมวล m ขนาดเทากนสองกอน ตดอยคนละดานของ

จาน แตหางจากแกนหมนเปนระยะ c เทากน ดงรป ต.ย.2.2.4

เพอความงายเราตงแกน zyx ใหจดก าเนดอยทจดศนยกลางจาน แกน z ตงฉากกบจาน พกดใน

แกน ,x y และ z ของมวลกอนแรกคอ )2

,,0(b

c ของกอนทสองคอ )2

,,0(b

c เราดจานและมวล

ทงสองรวมกนเปนวตถ

พจารณา dmxzI zx เนองจากตวจานมสมมาตร zxI เฉพาะของจานจงเปนศนย นอกจากน

มวลทงสองตางอยท 0x คอ zxI ของมวลทงสองกเปนศนยเชนกน ดงนน zxI ของวตถเทากบศนย

พจารณา dmyzI zy เนองจากตวจานมสมมาตร yzI เฉพาะของจานจงเปนศนย สวนของ

มวลกอนแรกจะเปน mb

c )2

)(( ของกอนทสองเปน mb

c )2

)(( ของทงสองกอนรวมกนเปน

mbc ดงนน zyI ของวตถเทากบ mbc ซงไมเทากบศนย

ในขณะทจานไมหมน ระบบจะอยในสมดล คอตลบลกปนจะรบน าหนกของจานและมวลสอง

กอนเทานน แตเมอจานหมน แมหมนดวยความเรวเชงมมคงท จากสมการ )( 2 yzxzx II จะม

z

x

y

c

ตลบลกปน

รปต.ย.2.2.4 ก. รปมองจากบนลงลาง แกน

z พงออกจากกระดาษ

แกนหมน

รป ข. รปดานขาง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 30

ทอรก x จากตลบลกปนกระท าตอจาน จานจะหมนไมเรยบมอาการสนๆ ตลบลกปนจะมอายการใชงาน

นอยลงเพราะไมไดรบน าหนกอยางเดยว นกศกษาอาจเคยเหนใบพดลมทบนมการหมนแบบสนๆ ทงน

เพราะใบพดไมสมมาตรแลว zxI และ yzI ไมเปนศนย

เพอใหเหนทมาของทอรกในแนวตงฉากกบความเรวเชงมม (คอ x , y ) พจารณามวลขนาดเทากน

สองกอนตดกบเพลาดวยกานยดแตตดเยองกนดงรปต.ย.2.2.4 ค.

เราจะพจารณาจาก 2 มมมอง มมมองแรกมองในกรอบอางองเฉอย ถาเราพจารณามวลหนงกอน

และกานยดเปนวตถ เมอเพลาหมนความเรวเชงมมของวตถมทศในแนวเพลา เราไมจ าเปนตองรต าแหนงท

แนนอนของจดศนยกลางมวลของวตถนแตเรารวาเมอเพลาหมนจดศนยกลางมวลของวตถแตละชนเคลอนท

เปนวงกลม สมมตเพลาหมนดวยความเรวเชงมมคงทดงนนความเรงของจดศนยกลางมวลของวตถแตละชน

มทศพงเขาหาเพลา นนคอตองมแรงในทศพงเขาหาเพลากระท าตอวตถแตละชน แรงนคอแรง Fในรป ค.

ทเพลาดงกานยดนนเอง จงมทอรกของแรงนในแนวตงฉากกบเพลา เนองจากขนาดแรงดงเทากนแตทศ

ตรงกนขาม จงเปนคควบ(couple) ขนาดเปน Fd มทศพงเขาไปในกระดาษตงฉากกบเพลา นนคอเพลา

ไมไดเพยงแครบน าหนกของมวลและกานยดแตตองออกแรงเพอใหเกดทอรก(คควบ)ในแนวตงฉากกบ

ความเรวเชงมมอกดวย

มมมองทสองมองจากกรอบอางองทตดไปกบมวลซงเปนกรอบอางองทมความเรงเนองจากการ

หมน ผสงเกตในกรอบอางองนจะบอกวาตวเองอยนงแตจะรสกวามแรงเทยมทเรยกวา “แรงหนศนยกลาง”

เหวยงเขาออกจากเพลา ดงนนถาเราพจารณามวลหนงกอนและกานยดเปนวตถ เมอมองจากกรอบอางองท

ตดไปกบวตถนจงมแรงสองแรงกระท าตอวตถ คอแรงจรง Fทเพลากระท าและ “แรงหนศนยกลาง” ขนาด

d

เพลา

กานยด

มวล

F

F

รป ต.ย.2.2.4ค. คควบมทศพงเขาไปในกระดาษตงฉากกบเพลา

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 31

เทากบแรง Fในรป ต.ย.2.2.4ค.แตทศตรงกนขาม(เพราะเขาคดวาเขาอยนง) แรงทเพลากระท าท าใหเกดค

ควบ Fd มทศพงเขาไปในกระดาษตงฉากกบเพลาเชนเดยวกบในมมมองแรก จะเหนวาไมวาจะมองจาก

กรอบอางองเฉอยหรอกรอบอางองทมความเรงผลจะออกมาตรงกน อยางไรกตามนกศกษาครไมควรสอน

แรงเทยมใหแกเดกนกเรยนเพราะจะท าใหเดกสบสน การใชแรงเทยมอาจท าใหการแกปญหาสะดวกขนแต

ผใชตองรวาตนเองก าลงท าอะไรอย ทน ามากลาวในทนเพราะตองการใหนกศกษาเขาใจเมอไปเหน

ค าอธบายในท านองน

หมายเหต ถาพจารณาค ากลาวทวา “สมดลตอการหมนเกดเมอวตถอยนงหรอหมนดวยความเรวเชงมมคงท

และจะไดวาโมเมนตทวนเขมนาฬกาเทากบโมเมนตตามเขมนาฬกา” จะเหนวาโมเมนตทวนโมเมนตตามใน

ทนหมายถง z เทานน ไมไดหมายถง x หรอ y

2.2.2 สมการส าหรบปญหาอยางงาย I และขอควรรบางอยาง

ในหวขอ 2.2.1 นนเปนการหมนในระนาบของวตถรปทรงใดๆซงอาจมหรอไมมสมมาตรกได แต

ในระดบมธยมปลายหรอฟสกสทวไป 1 รปรางของวตถมกมสมมาตร ตวอยางเชน ทรงกระบอกสม าเสมอ

ทรงกลมสม าเสมอ คานสม าเสมอ เปนตน จดอางอง(ซงตองสอดคลองกบเงอนไข 3 ขอ) มกเปนจดทท าให

xzI และ yzI เปนศนย ดงจะเหนไดในตวอยางท 2.2.5 และ 2.2.6

ตวอยางท 2.2.5 ทรงกระบอกสม าเสมอกลงบนพนราบหรอพนเอยง

จดอางองของสมการ 2.2.3 ทใชไดตลอดคอจดศนยกลางมวล ถาเปนการกลงโดยไมไถลจะม

จดอางองทใชไดเพมอกจดหนงคอจดบนทรงกระบอกตรงกลางเสนททรงกระบอกแตะพน จดนมความเรง

พงเขาหาจดศนยกลางมวล เราจะหา xzI และ yzI เมอจดก าเนดของพกด zyx อยทจดอางองแตละจด

ระลกวาแกน z อยในแนวของความเรวเชงมมซงกคอแนวของแกนทรงกระบอก

1. จดอางองอยทศนยกลางมวล

จนตนาการเสยบกระจกเงาระนาบทระนาบ zy พจารณาดมวลเลกๆ md ตรงไหนก

ไดในวตถซงอยหนากระจก จะเหนภาพของมวล md ในวตถทอยหลงกระจก ซงกคอท z คาหนง จะม x

สองคา ขนาดเทากน แตเครองหมายตางกน ดงนน 0 dmxzI zx

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 32

ในการพจารณา dmyzI zy จนตนาการเสยบกระจกเงาทระนาบ yx จะเหนวาท y คาหนง

จะม z สองคา ขนาดเทากน แตเครองหมายตางกน ดงนน 0zyI

2. จดอางองอยตรงกลางเสนททรงกระบอกแตะพน ดงรปต.ย.2.2.5ก. และ ข.

จนตนาการเสยบกระจกเงาคลายๆขอ ก) จะเหนวา 0 dmxzI zx และ 0 dmyzI zy

ตวอยางท 2.2.6 ทรงกลมสม าเสมอกลงบนพนราบหรอพนเอยง

จดอางองของสมการ 2.2.3 ทใชไดตลอดคอจดศนยกลางมวล ถาเปนการกลงโดยไมไถลจะม

จดอางองเพมอกจดหนงคอจดบนทรงกลมททรงกลมแตะพน เพราะมความเรงพงเขาหาจดศนยกลางมวล

พจารณาคลายกบตวอยางท 2.2.5 จะเหนวาจดอางองทงสอง 0zxI และ 0zyI

เมอยอนไปดสมการ 2.2.3 ถา 0zxI และ 0zyI จะไดวา 0x , 0y มเฉพาะ

zzz I นอกจากนในระดบมธยมและฟสกสทวไป1 นนเราไมสนใจสถานการณทตองใช x และ y

ใชเพยง z กไดค าตอบทตองการแลว (ตวอยางเชนการหมนรอบแกนตรงของ physical pendulum ซง zxI

และ zyI อาจไมเปนศนย ) ดงนนหนงสอทวไปมกเขยนเพยงวา

I (2.2.4)***

x

y

z

x

y

รปต.ย.2.2.5 ก. มองหนาตด

แกน z พงออกจากกระดาษ

รป ข. มองเอยง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 33

สมการ 2.2.4 เปนสมการหลกทเราจะใชบรรยายการหมนในระนาบ บางครงเรยกวากฎการ

เคลอนทขอทสองกรณการหมนในระนาบ สมการนมเงอนไขคอ

1. ใชไดเฉพาะการหมนในระนาบเทานน

2. จดอางองทใชค านวณทอรกและโมเมนตมเชงมมเปนจดทตดไปกบวตถและจะตอง ก.ไมมความเรง

หรอ ข.มความเรงกไดถาเปนจดศนยกลางมวล หรอ ค.ไมใชจดศนยกลางมวลกไดถามความเรงพง

เขาหรอออกผานศนยกลางมวล

3. ทอรก เปนองคประกอบของทอรกในแนวของความเรวเชงมม

4. โมเมนตความเฉอย I อางองเทยบกบแกนทอยในแนวของความเรวเชงมมและผานจดอางอง

2.2.2.1 รปฉายของวตถและแรง

ในการเขยนรปของการหมนในระนาบในระดบมธยมและฟสกสทวไป1 เราเขยนรปวตถและแรง

ทกระท าตอวตถลงบนระนาบของกระดาษ ทงทแรงอาจกระจายอยทต าแหนงตางๆบนวตถ เราจะมาดวา

ท าไมจงเปนเชนน

เราจะใชการกลงของทรงกระบอกเปนตวอยางในการพจารณา รป 2.2.1 ก. ทรงกระบอกรศม R

ก าลงกลง ตงแกน zyx ใหแกนทรงกระบอกอยในแนวแกน z ซงกคอในแนวของความเรวเชงมมดง

ขอตกลงของเราทแลวมา จดก าเนด O ของพกด zyx อยทใดกได ในทนเราจะสมมตใหอยบนแนวแกน

ทรงกระบอก มแรง NFFF

,...,, 21 ในแนวแกน x กระจายกนกระท าทผวสวนลางสดของทรงกระบอก

ถามองตามทศของแรงเขาไปจะเหนเวกเตอรต าแหนงของแรงเหลาน ดงรป 2.2.1ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 34

ทอรก ของแรง NFFF

,...,, 21 อางองกบจดก าเนด O หาไดจาก

= iFkzjR ˆ)ˆˆ( 11 ...ˆ)ˆˆ( 22 iFkzjR iFkzjR NN

ˆ)ˆˆ(

แตทเราสนใจคอองคประกอบของทอรกในแนวของความเรวเชงมม กคอ z โดย

z = iFjR ˆ)ˆ( 1 ...ˆ)ˆ( 2 iFjR iFjR Nˆˆ(

= iFFFjR Nˆ)...()ˆ( 21 = iFjR ˆ)ˆ(

o

2F

NF

z

1F

x y

รป2.2.1ก.

2

N

O z

y

1

kz ˆ

jR ˆ r

รป 2.2.1 ข. มองตามแกน x

ปป

ทรงกระบอกรศม R ถกแรง NFFF

,...,, 21 กระท าทผวดานลาง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 35

เมอ NFFFFiF

...ˆ21

จะเหนวาการกระจายต าแหนงของแรงในแนวของความเรวเชงมมนนไมมผลตอ z ดงนนแทนท

จะเขยนเปนรป 3 มต เราจงฉาย(project)ทงวตถทงแรงตามแนวความเรวเชงมมลงบนกระดาษ โดย

NFFFF

...21 ดงรป 2.2.2

นกศกษาจะเหนวารปฉายนเหมาะสมมากในการค านวณ z ดงนนการหมนในระนาบระดบมธยม

และฟสกส 1 รปทเขยนจงเปนรปแบนๆในกระดาษ ทศของความเรวเชงมมของวตถจะตงฉากกบระนาบ

ของกระดาษเสมอ

2.2.2.2 ขอพงระวงเกยวกบความเรงของจดทตดไปกบวตถ

จดบนวตถทอยนง(ชวขณะ) อาจมความเรงตางกบจดทอยนงนอกวตถ(จดตรง) ซงจะเหนไดจาก

ตวอยางตอไปน

1.มวลตดสปรงวางบนพนลน ปลายหนงของสปรงตดกบก าแพง มวลสนไปมาแบบซมเปลฮารมอนก

พจารณาขณะทมวลอยต าแหนงขวาสด(หรอซายสด) มวลอยนง(ชวขณะ) เทยบกบจดตรงบนพน แตมวลม

ความเรง(เพราะมแรงสปรงกระท า)ในขณะทจดตรงบนพนไมมความเรง

2.ทรงกลมกลงโดยไมไถลบนพนราบ(หรอพนเอยง) ให A เปนจดบนผวทรงกลม B เปนจดตรงทอยนง

บนพน ณ เวลาหนงจด A แตะทบกบ B ในขณะน A อยนง(ชวขณะ) เทยบกบ B ความเรงในแนวระดบ

(หรอในแนวพนเอยง)ของจด A เปนศนย แตเนองจากจด A เคลอนทแบบวงกลม จด A จงมความเรงใน

ทศทชเขาหาจดศนยกลางของทรงกลมซงเปนจดศนยกลางมวลของทรงกลม

F

รป 2.2.2 รปฉายของรป 2.2.1 แกน z พงออกจาก

กระดาษและตงฉากกบระนาบกระดาษ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 36

3.ทรงกระบอกกลงโดยไมไถลบนพนราบ(หรอพนเอยง) ให A เปนจดบนผวทรงกระบอกโดยอยท

ต าแหนงกงกลางของความสงของทรงกระบอก B เปนจดตรงทอยนงบนพน ณ เวลาหนงจด A แตะทบ

กบ B คลายๆกบขอ 2 จะเหนวาแมจด A อยนง(ชวขณะ) แตมความเรงในทศเขาหาจดกงกลางของแกน

ทรงกระบอกซงเปนจดศนยกลางมวลของทรงกระบอก

จากทกลาวมาท าใหเราตองระวงวาจดทอยนงไมไดหมายความวาจดนนจะไมมความเรง อาจมกได

2.2.2.3 ทฤษฎแกนขนานและทฤษฎแกนตงฉาก

ก)ทฤษฎแกนขนาน (parallel-axis theorem)

ทฤษฎแกนขนานใชไดกบวตถรปทรงใดๆกได ถาวตถมวล M มโมเมนตความเฉอยรอบแกนท

ผานจดศนยกลางมวลเปน CMI โมเมนตความเฉอย I ของวตถนรอบแกนใดๆซงขนานกบแกนทผานจด

ศนยกลางมวลและอยหางกนเปนระยะ h มคาเปน

2hMII CM

สมการขางบนนเรยกวาทฤษฎแกนขนาน

พสจน รป 2.2.3ก.แสดงแกนขนานสองแกนเมอมองจากดานขาง สวนรป 2.2.3 ข. นนมองจากดานบนลง

มา เราใหแกน x อยบนแนวเสนตรงทตงฉากกบแกนทงสอง

CM

z

h CM

md

x x

y

รป 2.2.3 ก. h

ข. มองยอนแกน z ลงมา

O

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 37

ในรป 2.2.3 ข. x คอพกดในแนวแกน x ของมวล md อางองกบ CM

เราจะหาโมเมนตความเฉอยรอบแกน z ระยะทางตงฉากจากมวล md มายงแกน z คอ 22)( yxh

mdyxxhhmdyxhI )2(}){( 22222

dmhdmxhdmyx 222 2)(

แตจากสมการ 4 หนา 2

0xm ซงกคอ 0mdx

ดงนน 2222 )( hMIdmhdmyxI CM

ข)ทฤษฎแกนตงฉาก

ทฤษฎแกนตงฉากใชไดกบวตถทเปนแผนบางในระนาบ โดยโมเมนตความเฉอยของวตถทเปนแผนบางๆ ในระนาบ รอบแกนทตงฉากกบระนาบของแผน จะมคาเทากบผลบวกของโมเมนตความเฉอยของแกนทงสองทตงฉากกนบนระนาบของแผนนน

จากรป 2.2.4 พจารณามวล md ซงอยหางจากแกน z เทากบ 22 yx โมเมนตความเฉอยรอบแกน z , dmydmxmdyxI z

2222 )(

md

x

y

z

รป 2.2.4 วตถเปนแผนบางอยในระนาบ yx

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 38

นนคอ yxz III 3.งาน-พลงงาน

3.1 พลงงานจลนของวตถแขงเกรงเมอวตถหมนในระนาบ

3.1.1 พลงงานจลนเมอวตถหมนรอบแกนตรง

สมมตวตถแขงเกรงหมนดวยความเรวเชงมม รอบแกนหมนตรง (แกนหมนทไมไดเคลอนท) ดง

รปท 3.1.1

โดย md เปนมวลเลกๆชนหนงอยหางจากแกนหมนเปนระยะทาง r

อตราเรวของมวล md อางองกบกรอบอางองเฉอยคอ rv

ดงนน พลงงานจลนของมวลเลกๆน เทากบ mdr 2)(2

1

พลงงานจลนของวตถทงกอนเนองจากการหมนหาไดจากการรวม(ดวยการอนทเกรต) คอ

mdrEk

2)(2

1

ขณะนเราอนทเกรตเทยบกบมวลเลกๆ md จะเหนวาไมวาจะเปนมวลเลกๆชนใดกตามตางกม

อตราเรวเชงมม เดยวกน ดงนน จงเปนคาคงทดงออกนอกเครองหมายอนทเกรตไดเปน

md

r

แกนหมนตรง รปท 3.1.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 39

mdrEk

22 )(2

1

สงเกตวาเมอเราใหแกน z ทบกบแกนหมน 2)( r กคอ 22 yx หรอ zzImdr

2)(2

1

นนเอง ซงเราเขยนสนๆเปน I ดงนน

2

2

1IEk (3.1.1)**

ระลกวาสมการนใชกบแกนหมนทอยนง จะเปนแกนทอยนงชวขณะกใชได ตวอยางเชน

ทรงกระบอกกลงโดยไมไถล ผวทรงกระบอกทแตะพนเปนแกนทอยนงชวขณะจงสามารถใชแกนนค านวณ

พลงงานจลนของทรงกระบอกตามสมการ 3.1.1 ได

3.1.2 พลงงานจลนเมอวตถหมนรอบแกนไมตรง ตวอยางของการหมนรอบแกนไมตรงเชนการกลงของทรงกระบอกไมวาจะไถลหรอไมกตาม ซง

มองไดวาทรงกระบอกหมนรอบแกนกลางโดยแกนนเคลอนทไปดวย

เพอความสะดวกจะพจารณาวตถแขงเกรงเปนระบบอนภาคทระยะหางระหวางอนภาคคงท รป

3.1.2 เปนระบบอนภาคแตเพอความชดเจนเราจงเขยนอนภาคเพยงแคตวเดยว คอตวท

ให O เปนจดก าเนด(ของเวกเตอรต าแหนง)ซงเปนจดตรง

พจารณาอนภาคตวท ซงมมวล m

CMr

r

CM

O

m

รป 3.1.2

'

r

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 40

r เปนเวกเตอรต าแหนงของมวลตวท

CMr เปนเวกเตอรต าแหนงของจดศนยกลางมวลของระบบเทยบกบจด O

r เปนเวกเตอรต าแหนงของอนภาคตวท เทยบกบจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

เพราะวา พลงงานจลนของระบบอนภาคคอผลรวมของพลงงานจลนอนภาคแตละตว ดงนน

พลงงานจลนของระบบ

2

2

1vmEk (3.1.2)

แต vvv2 ดงนน

vvmEk

2

1

จากรป 3.1.2 rrr CM หาอนพนธเทยบกบเวลา จะได

rrr CM

หรอ vvv CM (3.1.3)

เมอ CMv คอความเรวของจดศนยกลางมวลอางองกบจด O ทอยนง

คอความเรวของอนภาคตวท อางองกบจดศนยกลางมวล

หาผลคณเชงสเกลารของสมการ (3.1.3) จะไดวา

)()( vvvvvv CMCM

= vvvvvvvv CMCMCMCM

แต CMCM vvvv

ดงนน 222 )(2 vvvvv CMCM

(3.1.4)

แทนสมการ (3.1.4) ลงใน (3.1.2) จะได

22

2

1)(

2

1

vmvvmvmE CMCMk

22

2

1)(

2

1

vmvvmmv CMCM

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 41

22

2

1)(

2

1

vmvmvvM CMCM

(3.1.5)

แต

vm คอ โมเมนตมของระบบอางองกบจดศนยกลางมวล ซงมคาเปนศนย ดงนน

22

2

1

2

1

vmvME CMk (3.1.6)**

พจารณาสมการ (3.1.6) จะเหนวา พลงงานจลนของระบบประกอบดวย 2 สวน

สวนแรก เปนพลงงานจลนของการเลอนท โดยคดคลายกบวามวลทงหมดของระบบไปอดอยท

ศนยกลางมวล

สวนทสอง เปนพลงงานจลนของสมาชกอางองกบจดศนยกลางมวล

อนง สมการ (3.1.6) เปนจรงเสมอ ไมวาสมาชกแตละตวจะเคลอนทอยางไร คอ อาจเคลอนทเปน

แนวตรง แนวโคง หมน หรอสน กได

ในกรณวตถแขงเกรง เนองจากระยะหางระหวางสมาชกคงท การเคลอนทของสมาชกเทยบกบจด

ศนยกลางมวลจงเปนการหมนรอบจดศนยกลางมวล จากสมการ (3.1.6) จะไดวาพลงงานจลนของการ

หมนรอบแกนหมนทผานศนยกลางมวลเทากบ 2

2

1CMI ดงนน สมการ (3.1.6) จะเปน

22

2

1

2

1CMCMk IvME (3.1.7)**

นนคอ เมอวตถแขงเกรงหมนรอบแกนไมตรง พลงงานจลนหาไดจากผลรวมของพลงงานจลน

เนองจากการเลอนทของจดศนยกลางมวล กบพลงงานจลนเนองจากการหมนรอบแกนหมนทผานจด

ศนยกลางมวล

3.2 งาน-พลงงาน ในกรณแกนหมนตรง

สมมตมแรง(ลพธ)ภายนอก F

กระท าตอวตถแขงเกรงท าใหวตถหมนรอบแกนตรง การ

หมนรอบแกนตรงเปนการหมนในระนาบ เราจงใชสมการ I ไดดงไดกลาวมาแลว

td

dII

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 42

จากกฎลกโซจะไดวา

d

d

td

d

d

d

td

d

ดงนน

d

dI (3.2.1)

สมการ 3.2.1 เขยนบรรยายอกแบบ ไดเปน dId

อนทเกรตตงแตเรมตน จนถงสดทาย f

i

d kf

f

i

EIIdI 22

2

1

2

1

เราเรยก f

i

d วางาน W ดงนน

f

i

dW kif EII 22

2

1

2

1 (แกนหมนตรง) (3.2.2)**

โดยทอรกเปนทอรกของแรงภายนอก และ I เปนโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนตรง

3.3 งาน-พลงงาน ในกรณแกนหมนรอบแกนไมตรง

สมมตมแรง(ลพธ)ภายนอก F

กระท าตอวตถแขงเกรง โดยจดศนยกลางมวลของวตถน

เคลอนทแบบเลอนท และขณะเดยวกนวตถนกหมนรอบแกนทผานจดศนยกลางมวล

จากกฎการเคลอนทขอทสองแบบเลอนท td

vdMaMF CM

CM

น ามา dot กบการกระจดสนๆของจดศนยกลางมวล คอ CMrd จะได

CM

CM

CM rdtd

vdMrdF

อนทเกรตตงแตเรมตน จนถงสดทาย เปน

f

i

CMCM

f

i

CM rdvMtd

drdF

tdvtd

vdM CM

f

i

CM

CM

f

i

CM vvdM )( )(

2

1CM

f

i

CM vvdM 2

2

1CM

f

i

vdM

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 43

trans

CMkiCMfCM EvMvM ,

2

,

2

,2

1

2

1

เราเรยก

f

i

CMrdF

วา trans

CMW ดงนน

trans

CMW

f

i

CMrdF

trans

CMkiCMfCM EvMvM ,

2

,

2

,2

1

2

1 (3.3.1)

พงสงเกตวาแม

f

i

CMrdF

เปนพจนทคลายกบงาน แตไมใชงานทแรง F

ท าตอวตถ เพราะ

CMrd เปนการกระจดของจดศนยกลางมวล ซงไมจ าเปนตองเทากบการกระจดของแรง F

เมอดการเคลอนทแบบหมนซงเปนการหมนในระนาบ ในกรณนเราจะใชจดศนยกลางมวลเปน

จดอางองส าหรบสมการ I การท าคณตศาสตรจะคลายๆหวขอ 3.2 คอ

f

i

CM

f

i

CM

f

i

CM

rot

CMtd

ddIdI

td

ddW

rot

CMkiCMfCM

f

i

CM EIIdI ,

22

2

1

2

1)( (3.3.2)

แตจากสมการ 3.1.7 22

2

1

2

1CMCMk IvME

หรอกคอ }2

1{}

2

1{ 22 CMCMk IvME

ดงนน k

rot

CM

trans

CM EWW (3.3.3)**

นนคอพลงงานจลนของวตถทเปลยนไปจะตองคดวามาจากทงพจนทคลายงานจากการเลอนทของ

จดศนยกลางมวล และทงจากพจน f

i

CM d ทเราเรยกวา rot

CMW

อยางไรกตามเราไมนยมใชสมการ 3.3.3 แตทน ามากลาวในทนเพยงเพอใหนกศกษาไดรไว

4.การดลเชงมม-โมเมนตมเชงมม

ในหวขอ2.1 เราไดความสมพนธ td

Ld

ซงเขยนบรรยายใหมไดเปน Ldtd

เมอ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 44

อนทเกรตตงแตเรมตนจนถงสดทายจะได

f

i

if LLLtd

(4.1)

พจน f

i

td เรยกวาการดลเชงมม ดงนน

การดลเชงมม = โมเมนตมเชงมมทเปลยนไป (4.2)

เนองจากสมการ 4.1 ไดมาจากสมการ td

Ld

ซงเงอนไขของจดอางองซงม 3 จด คอ1.จดตรง 2.

จดศนยกลางมวล 3.จดทมความเรงพงเขาหรอออกผานจดศนยกลางมวล แตในกรณการดล-โมเมนตม

เชงมมน ในทางปฏบตเราจะใชจดอางองเพยง 2 จด คอ1.จดตรง 2.จดศนยกลางมวล

สมการ4.1 นน ทางซายมอคอ f

i

td เปนเวกเตอร ทางขวามอคอ L

กเปนเวกเตอร เนองจาก

เวกเตอรทงสองเทากนองคประกอบในแนวใดๆกจะเทากน แตไดกลาวมาแลววาการหมนในระนาบระดบ

มธยมและฟสกสทวไป 1 องคประกอบทตรงประเดนคอองคประกอบในแนวของความเรวเชงมม ซงเราให

แกน z อยในแนวน ดงนน

zz

f

i

Ltd

แต tdtd

f

i

z

z

f

i

ดงนน z

f

i

z Ltd (หมนในระนาบ) (4.3)**

กคอในแนวแกน z การดลเชงมม = โมเมนตมเชงมมทเปลยนไป

จากสมการ 1.3.8 ไมวาวตถจะมสมมาตรหรอไมกตาม เมอวตถหมนในระนาบโมเมนตมเชงมมใน

แนวของความเรวเชงมม(แนว z ) เทากบ I เสมอ ดงนนถา z เปนศนย โมเมนตมเชงมมในแนว z จะ

คงท ซงกคอ I คงทนนเอง (เรยกวากฎการอนรกษโมเมนตมเชงมมส าหรบระดบมธยมและฟสกส

ทวไป1)

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 45

5.ตวอยาง

ตวอยางตอไปนตองการใหนกศกษาเขาใจการหมนในระนาบอยางงายระดบมธยมและฟสกสทวไป

1 รวมทงเปนตวอยางในการวเคราะหปญหา เมอนกศกษาไปเปนครสงทไมควรท าคอการยกสมการมาใช

โดยไมมค าอธบายใหนกเรยนฟง ตวอยางเชนบอกนกเรยนแตเพยงวาจากกฎการอนรกษพลงงานกล จาก

กฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสน หรอจากกฎการอนรกษโมเมนตมเชงมม แลวกเขยนสมการใหนกเรยนด

แกสมการแลวกไดค าตอบออกมา แมการสอนจะมขอจ ากดเรองเวลาเรยนแตกควรมค าอธบายประกอบ

บาง

ตวอยางท 5.1 สมการ I ใชกบลกขางใชไมไดเพราะไมใชการหมนในระนาบ

รป ต.ย.5.1 แสดงลกขางทก าลงหมน การหมนของลกขางนนนอกจากจะหมนรอบแกนสมมาตร

ของลกขางแลว แกนสมมาตรนยงควงและอาจมการกระดกขนลงอกดวย ดจดใดกไดบนลกขาง จดนไมได

เคลอนทในระนาบ การหมนของลกขางจงไมใชการหมนในระนาบ ดงนนจงไมสามารถใชสมการ I

ตวอยางท 5.2 จดอางองของสมการ I ตองเปนจดทตดไปกบวตถและสอดคลองกบเงอนไข 3 ขอ

สมมตปลอยวตถมวล m ลงมาตรงๆโดยไมใหมการหมน ให A เปนจดทตดบนปลายดานซายวตถ

B เปนจดตรงนอกวตถ ณ ขณะหนง A ทบกบ B ดงในรป ต.ย.5.2

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 46

ถาเราเลอก A เปนจดอางอง มทอรกของน าหนก gm ขนาดเปน bgm เมอเราใชสมการ I

วตถ นาจะหมนเพราะมความเรงเชงมม แตจากประสบการณเรารวาวตถจะตกลงมาโดยไมหมน ทงนเพราะ

จด A ไมใชจดศนยกลางมวลแตจด A มความเรงและทศของความเรงซงลงมาในแนวดงไมไดผานจด

ศนยกลางมวล จงใชสมการ I ไมได ในมมกลบถาเราเลอกจดศนยกลางมวลเปนจดอางองทอรกจะ

เปนศนย ความเรงเชงมมของวตถกเปนศนยสอดคลองกบความเปนจรง

เพอเปนตวอยางเราจะใชจดตรง B เปนจดอางองบาง จากสมการ (ค4) ในภาคผนวก ค.

nipsorbitfixed LLL

จะได nipsMCBLvbmL ' เมอ MCv คอความเรวของจดศนยกลางมวล

สมมตวาเราปลอยวตถดวยความเรวตน u ในแนวดง จะได tguv MC

ดงนน nipsBLtgubmL )('

หาอนพนธเทยบกบเวลาจะได )('

CM

B

B Itd

dgbm

td

Ld

จาก td

Ld B

B

)( CM

B Itd

dgbm

td

Ldgbm

จะไดวา 0td

d คอ คงท เนองจากเมอเรมตนวตถไมหมน 0 ดงนนขณะทมนตกลง

มามนจงไมหมนเชนเดมสอดคลองกบความเปนจรง

ตวอยางท 5.3 ขอแตกตางบางอยางของจดอางองของสมการ I กบ td

Ld

อนภาคมวล m เคลอนทแนวตรงดวยอตราเรวคงท v ไมมแรงใดๆกระท าตออนภาคน ดงนน

ทอรกอางองกบจดใดๆเปนศนยทงนน ให O เปนจดตรงดงรป ต.ย.5.3 ทอรกรอบจด O เทากบศนย

gm

BA,

รป ต.ย.5.2

CM

b

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 47

.

จากหวขอ 1.2.1 เมออางองกบจด O อตราเรวเชงมม r

v

cos ดงนน 0

td

d ซงกคอ

สมการ I ไมเปนความจรง ดคลายกบเกดขอขดแยง

ถาเรามองวาเสนประ mO เปนแทงวสดแขงและเบามมวล m ตดอยทปลายดานหนง จะเหนวาจด

O ไมใชจดทตดไปกบวตถ เพราะถาเปนจดทตดไปกบวตถจด O ตองเคลอนทไปทางขวาดวยอตราเรว

v เทากบอตราเรวของมวล m เมอจดอางองไมไดตดไปกบวตถ สมการ I จงไมเปนจรง

ถาลองใชสมการ td

Ld

จะไดวา cossincos rvmrvmrvm

dt

d

dt

dL . ถา

แตก v ออกเปนองคประกอบในแนว r และแนวตงฉากกบ r จะได โดยใช plane polar coordinates จะได

rv sin และ rv cos . ดงนน จะได 0td

dL คอ td

Ld

เปนศนย สอดคลองกบความเปน

จรง นเปนตวอยางทแสดงวาในขณะทสมการ I มขอจ ากดวาจดอางองตองตดไปกบวตถ แตสมการ

td

Ld

ไมไดมขอจ ากดน

ตวอยางท5.4 ทรงกระบอกกลงโดยไมไถลลงมาตามพนเอยง

ทรงกระบอกสม าเสมอมวล M รศม R กลงโดยไมไถลลงมาตามพนเอยงดงรป ต.ย.5.4ก. เดม

ทรงกระบอกอยนงทความสง h จากพนราบ )2

1( 2RMICM

ก) เมอถงพนราบทรงกระบอกมความเรว(ความเรวของCM)เทาใด

ข) ใชเวลาเทาใดจงถงพนราบ

m

r

O

รป ต.ย.5.3

v

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 48

วธท า เราจะใชตวอยางนเปนตวแทนในการพจารณาโจทยขออนๆเรองการหมนในระนาบ จงจะกลาวโดยละเอยด

รป ต.ย.5.4ก. เปนรปฉายของวตถ แรงเสยดทาน และแรงปฏกรยาตงฉาก รปฉายเชนนนกศกษาไดเหนมามากมายตงแตเมอครงเรยนมธยม สงเกตวาความเรวเชงมมตงฉากกบระนาบของกระดาษเหมอนกบรปฉายของโจทยขออนๆทนกศกษาเคยท า ความจรงแลวทงแรงเสยดทานและแรงปฏกรยาตงฉากกระจายตามผวสมผสระหวางทรงกระบอกกบพนเอยง คอกระจายในแนวตงฉากกบกระดาษ แตเราเขยนเปน f แรงเดยว และ N แรงเดยวบนกระดาษ น าหนก Mg ซงคดไดคลายกบวากระท าทจดศนยกลางมวลกถกเขยนลงบนกระดาษ ณ เวลาหนง จด A เปนจดทตดกบผวทรงกระบอก ทต าแหนงครงหนงของความสงทรงกระบอก จดศนยกลางมวลกอยทความสงครงหนงของทรงกระบอกเชนกน เราฉาย(project) ทงแรงทงจดลงบนกระดาษ ทงนเพราะรปฉายบนกระดาษเหมาะในการค านวณองคประกอบของทอรกในแนวของความเรวเชงมม(แนวแกน z ) ดงไดกลาวมาแลวในหวขอ 2.2.2.1 ซงเปนองคประกอบทตรงประเดนกบปญหาอยางงายในระดบมธยมและฟสกสทวไป1 วธท 1 จะใชสมการ I หาความเรงเชงมม จดอางองเปนจดทตดไปกบวตถ

1.1)ใชจดศนยกลางมวลเปนจดอางอง CMCM I

2

2

1MRRf (1)

สมการ 1 มตวไมรคาสองตวคอ f และ จ านวนสมการยงไมพอ นกศกษาควรระลกวาการกลงโดย

ไมไถลแรงเสยดทานเปนแรงเสยดทานสถต ดงนนจะเขยนวา ใช Nf s ไมไดเพราะ Nf ss

ดในแนวพนเอยง CMaMfgM sin (2)

ส าหรบการกลงโดยไมไถล RaCM (3)

O

N

f

A

รป ต.ย.5.4ก.

Mg

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 49

จากสมการ 1ถง 3 จะได sin3

2gaCM

1.2)ใชจด A บนผวของทรงกระบอก ณ ต าแหนงททรงกระบอกแตะพน เปนจดอางอง

ขอกลาวอกวาจด A ในรป ต.ย.5.4 นน ความจรงแลวเปนจดทอยกงกลางของความสงของ

ทรงกระบอก เมอทรงกระบอกกลงโดยไมไถลจด A อยนงชวขณะแตมความเรงในทศทพงเขาหาจด

ศนยกลางมวล เราจงใชเปนจดอางองได เมอเราใชจด A เปนจดอางองทอรกของ f และ N เปนศนย ม

เฉพาะทอรกของ gM ซงจะไดวา

22

2

1sin MRMRIRgM A (4)

ความเรงเชงมมในสมการ 4 เปนคาเดยวกบในสมการ 1 ดงไดกลาวมาแลวในหวขอ 1.2.2

จากสมการ 3 และ 4 จะได sin3

2gaCM เทากนกบขอ ก. แตเราใชจ านวนสมการนอยกวา

วธท 2 .ใชจดตรงบนพนเอยงเปนจดอางอง

เลอกจดตรงอยตรงไหนกได เราจะเลอกใหอยบนพนเอยง คอจด C ดงในรป ต.ย.5.4ข. ใหจดน

เปนจดก าเนดของพกดฉาก แกน x ชลงตามพนเอยง แกน y ชลงตงฉากกบพนเอยง

ทอรกของ f อางองกบจด C เปนศนย เพราะแนวแรงผานจดอางอง จงมแตทอรกของ Mg และ N

โดย kRMgMgxjMgiMgjRixgMr CMCMCMMgˆ)sincos()ˆcosˆsin(ˆˆ

และ )ˆ()ˆ(ˆ kNxjNix NNN

C

y x

O

N

f

A

รป ต.ย.5.4ข. แกน z พงออกจากกระดาษ

Mg

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 50

เนองจากความเรงของ CM ทรงกระบอกในแนว y เปนศนย ดงนน NMg cos

และจากรป ต.ย.5.4ข. จะเหนวา NCM xx จงไดวา

kRMgNMgˆsin

(5)

kIvMrLLL CMCMCMspinorbitˆ

kIRMvkIivMjRix CMCMCMCMCMˆ)(ˆˆ)ˆˆ(

kIaRMtd

LdCMCM

ˆ)(

จาก kRMgtd

Ld ˆsin

kIaRM CMCMˆ)( (6)

แต 2

2

1MRICM และ

R

aCM

แทนในสมการ 6 จะได sin3

2gaCM

เมอได CMa แลว เนองจาก CMa คงทเราจงใชสมการส าหรบการเคลอนทแนวตรงดวยความเรง

คงทได

จาก

sin

sin3

2202 222 h

gvaSuv

hgvCM3

4 ค าตอบขอ ก.

จาก 22 sin3

2

2

10

sin2

1tg

htatuS

g

ht

3

sin

1

ค าตอบขอ ข.

หมายเหต ถานกศกษาเลอกจดตรง C บนพนเอยงใหทบกบจด A จะสะดวกกวาน ในตวอยางนเลอกจด

C แบบนเพอใหเหนแนวทางในการค านวณ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 51

วธท 3 จะใชกฎการอนรกษพลงงานกล

การจะใชกฎการอนรกษพลงงานกลนนเราตองมองใหออกวาพลงงานกลของระบบคงท พลงงาน

กลของระบบจะคงทถาระบบไมมการรบงานหรอท างานจากแรงไมอนรกษ และไมมการเปลยนพลงงานกล

ไปเปนพลงงานรปอน หรอเปลยนพลงงานรปอนไปเปนพลงงานกล การเปลยนพลงงานกลไปเปน

พลงงานรปอนท าใหเกดการสญเสยพลงงานกล ชองทางทท าใหเกดการสญเสยพลงงานกลเชน การเสยดส

(ไถล)ระหวางผวฝด การชนกน การกระตก

ระลกวาแรงตองเคลอนทจงจะมงาน มสถานการณมากมายทมแรงแตไมมงาน ตวอยางเชนลกบอล

ตกกระทบพนแลวกระเดงขน พนออกแรงกระท าตอลกบอลแตพนไมไดท างาน เพราะพนไมไดเคลอนท

คอแรงทพนท าไมไดตดไปกบลกบอล งานจงเปนศนย ถาดพนเอยงในรป ต.ย.5.4 พนเอยงอยนงๆไมได

ขยบ ดงนนพนเอยงไมไดท างาน(หรอรบงาน) ให(หรอจาก)ทรงกระบอก ผวทรงกระบอกในต าแหนงท

แตะพนเอยงนนอยนง(ชวขณะ)เมอเทยบกบพนเอยง ไมไดมการเสยดส อณหภมของทรงกระบอกและพน

เอยงกเทาเดม ไมมการสญเสยพลงงานกล แมจะมงานของแรงโนมถวงแตแรงโนมถวงเปนแรงอนรกษ

งานของมนเราคดในรปของพลงงานศกยโนมถวง ดงนนพลงงานกลของทรงกระบอกจงคงท

งานทมกสรางความสบสนใหกบนกศกษาในตวอยางนคองานเนองจากแรงเสยดทานสถต เราอาจ

มองวาแรงเสยดทานกระท าตอทรงกระบอก ณ ต าแหนงททรงกระบอกแตะพนซงเปนต าแหนงทอยนง

(ชวขณะ) ดงนนงานของแรงเสยดทานจงเปนศนย หรอเราอาจมองจาก rot

CM

trans

CMk WWE จะพบวา

ในกรณททรงกระบอกกลงโดยไมไถลน trans

CMW ของแรงเสยดทาน f คอ Sf เมอ S คอ

ระยะทางตามพนเอยงทจดศนยกลางมวลเคลอนท สวน rot

CMW ของแรงเสยดทาน f คอ

SfR

SfRRf ดงนน rot

CM

trans

CM WW ของแรงเสยดทานจงเปนศนย คอแรงเสยดทานไมม

ผลตอการเปลยนแปลงพลงงานจลนของทรงกระบอก

หลงจากทวเคราะหไดแลววาพลงงานกลของทรงกระบอกคงทขนตอไปกเปนการค านวณ

ใหระดบสง h เปนระดบอางองพลงงานศกยโนมถวง เมอเรมตนทรงกระบอกอยนงพลงงาน

จลนเปนศนย พลงงานศกยกเปนศนย ดงนน

22

2

1

2

10 CMCMkp IMvghMEE

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 52

ในกรณการกลงโดยไมไถล RvCM และ 2

2

1RMICM ดงนน

hgvCM3

4 ค าตอบขอ ก.

จาก t

ghh

tvu

S2

3

40

sin2

g

ht

3

sin

1

ค าตอบขอ ข.

ตวอยางท 5.5 ทรงกระบอกไมสม าเสมอ

ทรงกระบอกมวล M มมวล m ยดอยในทรงกระบอก กลงโดยไมไถลลงมาจากพนเอยงดงรป

ต.ย.5.5 จด A เปนจดบนทรงกระบอกขณะททรงกระบอกแตะพน เหมอนกบตวอยางท 5.4

ความเรงของจด A ยงคงพงเขาไปจดกงกลางทรงกระบอก (จดO )เหมอนกบตวอยางท 5.4

แตจด O ไมใชจดศนยกลางมวลแลว จงใชจด A เปนจดอางองของสมการ I ไมได ใชไดเพยงจด

ศนยกลางมวล

ถามวล m มคามากพอ เมอทรงกระบอกกลงลงมาดวยความเรวมากๆ ทรงกระบอกจะกระเดน

หลดจากพนเอยง แตปญหานเราไมสนใจในระดบมธยมหรอฟสกสทวไป1 เราสนใจเพยงทรงกระบอก

สม าเสมอซงจะกลงลงมาเรอยๆโดยไมกระเดนหลดจากพนเอยง

m

รป ต.ย.5.5

M

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 53

ตวอยางท 5.6 โยโย

โยโยท าจากทรงกระบอกรศม R พนดวยเชอกหลายๆรอบ เดมโยโยอยสงจากพน h จบปลายเชอก

C ไวนง แลวปลอยใหโยโยหมนลงมาโดยไมมการสาย(คอเปนการหมนในระนาบ) )2

1( 2MRICM

ก) เมอโยโยถงพน ความเรวของ CM ของโยโยมความเรวเทาใด

ข) ใชเวลาเทาใดโยโยจงจะถงพน

ค) ขณะโยโยก าลงจะถงพนพลงงานจลนของโยโยเปนเทาใด

วธท า ไมวาจะจบปลาย C ไวนง หรอดงขน หรอหยอนลง จด B ซงเปนจดบนเชอก ณ ต าแหนงทแตะกบ

ทรงกระบอกจะมความเรวและความเรงเทากบจด C และจะมเฉพาะความเรวและความเรงในแนวดงเทานน

จด A เปนจดบนทรงกระบอก ณ ต าแหนงทแตะกบเชอก คอแตะกบจด B ความเรวและความเรง

ในแนวดงของจด A จะเทากบของจด B แตเนองจากจด A เคลอนทแบบวงกลม มนจงมความเรงขนาด

R2 ในทศพงเขาหา CM เพมมาอก

ในขณะทโยโยมวนลงน ไมวาจะจบปลายเชอกนง หรอดง หรอหยอนปลายเชอก (เชอกยงตง

ไมใชหยอนจนเชอกไมตง) ความเรวและความเรงของ CM ในแนวดง เทยบกบจด A (กคอเทยบกบจดB

และ C ดวย) จะมทศลงเสมอ โดยมขนาดเปน R และ R ตามล าดบ

C

Mg

T

รป ต.ย.5.6 จบปลายเชอก C ไวนง A เปนจดบนทรงกระบอก B เปนจดบนเชอก

จด A และ B แตะกน. ทศของความเรวเชงมมพงออกจากกระดาษ

BA, CM

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 54

วธท 1 จะหาความเรงของ CM กอน โดยใชทอรก

1.1)ใช CM เปนจดอางอง

2

2

1MRRTI (1.1)

ดการเคลอนทแบบเลอนทบาง CM มความเรง R ทศลง เทยบกบผสงเกตบนกรอบอางองเฉอย

ดงนน RMTgM (1.2)

จาก 1.1 และ 1.2 จะได R

g

3

2

1.2) จะใชจด A เปนจดอางอง ส าหรบสมการ I เนองจากจด A เปนจดทตดไปกบวตถและม

ความเรงพงเขาหา CM จงใชเปนจดอางองได

R

gMRMRRMgI

3

2

2

1 22

เชนเดยวกบ วธ 1.1

ดงนน gRaCM3

2

จาก hgvaSuv

3

2202 222

3

2gh

vCM ค าตอบขอก.

จาก 22

3

2

2

10

2

1tghtatuS

g

ht

3 ค าตอบขอ ข.

พลงงานศกยลดลง hMg กลายไปเปนพลงงานจลน ดงนนพลงงานจลนเทากบ hMg ค าตอบขอ ค.

วธท 2 จะใชกฎการอนรกษพลงงานกล

เรามองทรงกระบอกรวมทงเชอก(รวมกนคอโยโย)เปนระบบ มอจบปลายเชอกไวนงดงนนมอไม

ท างานและกไมรบงาน (แรงจากมอเรามองวาไมใชแรงอนรกษ) แมจะมงานของแรงโนมถวงแตแรงโนม

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 55

ถวงเปนแรงอนรกษ งานของมนเราคดในรปของพลงงานศกยโนมถวง ไมมการเปลยนรปพลงงานกลไป

เปนพลงงานรปอนหรอพลงงานรปอนเปนพลงงานกล เพราะไมมการไถลระหวางผวฝด ไมมการชน ไมม

การกระตก พลงงานกลของโยโยจงคงท

ใหระดบของโยโยเมอเรมตนเปนระดบอางองพลงงานศกยโนมถวง เดมโยโยอยนงพลงงานกลจง

เปนศนย ซงเทากบพลงงานกลเมอจะกระทบพน คอ

22

2

1

2

10 CMCM IvMMgh

เมอแทน R

vCM และ 2

2

1MRICM ลงไปจะได

32

ghvCM ค าตอบขอก.

เนองจากความเรงของจดศนยกลางมวลคงท

จาก g

htt

gh

htvu

S3

2

3

40

2

ค าตอบขอข.

ตวอยางท 5.7 โยโย อก

เดมโยโยในตวอยางท 5.6 อยนง จากนนดงปลายเชอกของโยโยขนดวยความเรง Ca ท าใหโยโยหมนลงมา

เรอยๆ ในชวงเวลา t วนาท นบจากเรมดงปลายเชอก

ก)งานของมอเปนเทาใด ข)พลงงานศกยโนมถวงของโยโยเปลยนไปเทาใด

ค)พลงงานจลนของโยโยเพมขนเปนเทาใด ง)งานของมอเทากบพลงงานกลของโยโยทเปลยนไปหรอไม

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 56

วธท า วธท 1 จะหา กอนโดยใชจดอางองตางกน 2 จด

1.1)ใช CM เปนจดอางอง ( แนนอน ใชไดอยแลว )

2

2

1MRRTI (1.1)

ดการเคลอนทแบบเลอนทบาง CM มความเรง R ทศลง เทยบกบจด B (หรอ C) แตจด C แตจด C ม

ความเรง Ca ทศขน ดงนนผสงเกตบนกรอบอางองเฉอยจะเหน CM มความเรง RaC ทศขน หรอ

อาจเขยนเปน CaR ทศลง

ใหทศขนเปนบวก )( RaMMgT C (1.2)

ถาใหทศลงเปนบวก สมการจะเปน )( CaRMTMg

จาก 1.1 และ 1.2 จะได gaR

C 3

2

1.2) ทบทวนอกครงวา จด A เปนจดบนทรงกระบอก ณ ต าแหนงทแตะกบเชอก จด B คอจดบนเชอก ณ

ต าแหนงทแตะกบทรงกระบอก จด C คอจดทปลายเชอก จด B และ C มความเรงในแนวดงเทากนแตไม

มความเรงในแนวระดบ ความเรงในแนวดงของจด A และจด B เทากน แตจด A มความเรงในแนวระดบ

ขณะทจด B ไมม ความเรงของ CM ของโยโยเทยบกบจด A เทากบ R ทศลง

การใชจด A เปนจดอางองนน ปกตแลวเราไมท าเชนน เพราะจด A มความเรงและแนวของ

ความเรงไมผาน CM โดยจด A มความเรงในแนวระดบทศพงเขาหา CM และมความเรงในแนวดงเทากบ

Ca C

Mg

T

รป ต.ย.5.7ก. ดงปลายเชอก C ขนดวยความเรง Ca

BA, CM

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 57

จด B (และ C) คอเทากบ Ca ทศขน ในการหาทอรกเทยมเราใสแรงเทยม AaM

ท CM เฉพาะ

องคประกอบของแรงเทยมในแนวดงเทานน เพราะองคประกอบของแรงเทยมในแนวระดบมทศผานจด A

ทอรกรอบจด A จงเปนศนย แรงเทยมในแนวดงคอ CaM ทศชลงเสรมกบ gM ท CM ดงแสดงในรป

ต.ย.5.7ข.

ใช A เปนจดอางอง ทอรกของ T เปนศนย มแตทอรกของ gM และทอรกเทยมของ CaM

ทอรกทงคเสรมกน ดงนน

22

2

1)( MRMRIMaMg AC

จะได gaR

C 3

2 เทากบวธ1.1 แตใชเพยงสมการเดยวกไดค าตอบ

แทน ลงในสมการ 1.1 จะได )(32

1ga

MMRT C (1.3)

ในเวลา t วนาท มอเคลอนทไดระยะทาง 22

2

1

2

10 tataS CCC

จากกฎการเคลอนทขอทสาม แรงทมอดงเชอกเทากบแรงทเชอกดงมอ แตเชอกดงมอเทากบแรงตงเชอก

ดงนนงานของมอ = )(6

1

2

1)(

3

22 gatMatagaM

TS CCCCC

ค าตอบขอ ก.

เนองจาก CCM aRa จะได

3

2)(

3

2 C

CCCM

agagaa

ทศลง (1.4)

Ca

CMaMg

T

รป ต.ย.5.7ข. ใสแรงเทยม CaM ทศชลง ท CM เพอจะใชจด A เปนจดอางอง

BA, CM

C

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 58

ในเวลา t วนาท CM เคลอนทลงเปนระยะทาง 2

3

2

2

1t

agS c

CM

พลงงานศกยโนมถวงลดลง 2

3

2

2

1t

agMg c

หรอเขยนเปนสญลกษณวา )2(6

1 2

Cp agMgtE (1.5) ค าตอบขอ ข.

ในเวลา t วนาท ความเรวของศนยกลางมวล tag

v C

CM3

)2( (1.6)

ในเวลา t วนาท ความเรวเชงมมของโยโย t tgaR

C 3

2 (1.7)

พลงงานจลนของโยโย 22

2

1

2

1CMCMk IvME

แทน สมการ (1.6) (1.7) และ 2

2

1MRICM ลงไป ได

)2(6

1 222

Ck agtME

เนองจากเดมพลงงานจลนเปนศนย ดงนน )2(6

1 222

Ck agtME (1.8) ค าตอบขอ ค.

พลงงานกลทเปลยนไป )2(6

1)2(

6

1 2222

CCkp agtMagMgtEEE

)(6

1 2 gatMaE CC (1.9)

จะเหนวาเทากบงานของมอ กคอมอใหงานแกโยโยท าใหโยโยมพลงงานกลเพมขนเทากบงานทไดรบ

ค าตอบของ.

เพอใหนกศกษาเขาใจสมการ k

rot

CM

trans

CM EWW ในหวขอ3.3 เราจะค านวณ

kE ดวยสมการน แรงทท าตอโยโยม T ทศขน และ Mg ทศลง

ในเวลา t วนาท CM เคลอนทลงเปนระยะทาง 2

3

2

2

1t

agS c

CM

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 59

)2(

6

1)( 2

C

trans

CM agtTMgW

)2(

6

1)(

3

2

CC agtgaM

Mg

22)2(18

tagM

W trans

CM (1.10)

(แม Mg จะเคลอนทลงเปนระยะ CMS แต T เคลอนทเทากบ 2

2

1taS CC นกศกษาจะเหนอยางชดเจน

วา trans

CMW จงไมใชงานจรงๆ มนเปนเพยงพจนทคลายกบงานเทานน)

แรงทท าใหใหเกดทอรกรอบ CM คอ T โดย มม if ทโยโยหมนนบจากเรมตน หาได

จาก 222

0 )(3

1)(

3

2

2

10

2

1tga

Rtga

Rtt Cc

{หรอมองเปน R

SS CMC กไดเชนกน}

2)(3

1tgaTTRTRddW C

f

i

f

i

f

i

CM

rot

CM

แทนคา T จากสมการ 1.3 ลงไปได rot

CMW

2)(

3

1)(

3tgaga

MCC

คอ rot

CMW 22)(9

tgaM

C (1.11)

สมการ 1.10 + 1.11 ควรจะไดเทากบ kE

rot

CM

trans

CM WW 22)2(18

tagM

22)(9

tgaM

C

)2(6

1 222

CagtM

ซงจะเหนวาเทากบ kE ในสมการ 1.8 แตเราไมนยมทจะค านวณ kE จาก rot

CM

trans

CM WW เรานยม

หาจาก 22

2

1

2

1CMCMk IvME

ตวอยางท 5.8 โยโย อก

หยอนปลายเชอกของโยโยในตวอยางท 5.6 ลงดวยความเรง Ca ทไมมากนก ท าใหเชอกยงตง เราจะหา

ความเรงเชงมม โดยใชจด A เปนจดอางอง คราวนแรงเทยม CMa มทศชขนในแนวดง ดงรปรป ต.ย.5.8

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 60

ใช A เปนจดอางอง ทอรกของ T เปนศนย มแตทอรกของ gM และทอรกเทยมของ CaM

ดงนน

22

2

1)( MRMRIMaMg AC

จะได CagR

3

2

โดยความเรงของ CM CCM aRa ทศชลง

เราอาจค านวณหาสงทเราอยากรไดคลายๆกบตวอยางท 5.7 นกศกษาลองค านวณดจะเหนวางาน

ของมอตดลบ คอมอไมไดใหงานแกโยโยแตกลบรบงานจากโยโย โดยขนาดของงานทรบเทากบพลงงาน

กลของโยโยทลดลง

ตวอยางท 5.9 มวลและรอก

รอกมวล 2 กโลกรม มเชอกเบาคลองผานรอก โดยเชอกหอยมวล 3 กโลกรม และ 1 กโลกรม (ใชมอ)ดง

กานรอกขนดวยความเรง 1 เมตรตอวนาท2 ดงรป ต.ย.5.9ก. ถารอกหมนไดคลองและไมมการไถล

ระหวางเชอกกบผวรอก )2

1( 2MRICM

ก) แรงตงของเชอกแตละดานเปนกนวตน

ข) มอออกแรงดงรอกกนวตน

caM

Ca

Mg

T

รป ต.ย.5.8 ใสแรงเทยม CaM ทศชขน ท CM เพอจะใชจด A เปนจดอางอง

BA, CM

C

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 61

ค) ความเรงของมวลแตละกอนเปนเทาใด เมอเทยบกบกรอบอางองเฉอย

ง) จดศนยกลางมวลของระบบทประกอบดวยรอก เชอกและมวลทงสองกอน มความเรงเทาใด

จ) ถาเมอเรมตนรอกและมวลอยนง เมอเวลาผานไป 1 วนาท งานของมอเปนเทาใด

ฉ) เมอเวลาผานไป 1 วนาท พลงงานกลของระบบทประกอบดวยรอกและมวลทงสองน เพมขนหรอ

ลดลงเทาใด

วธท า การทไมมการไถลระหวางเชอกกบผวรอกแสดงวารอกเปนรอกผวฝด แมวาเชอกจะเปนเชอกเสน

เดยวกนและเปนเชอกเบา แตเมอพาดผานผวฝดแรงตงเชอกทงสองดานกไมเทากน

เนองจากมวล 3 กโลกรม และ 1 กโลกรมคลองดวยเชอก ขนาดของความเรงของมวลทงสอง

สมพทธกบรอกจงเทากน แตทศจะสวนทางกน ให ma คอขนาดของความเรงของมวลแตละกอน

สมพทธกบรอก

เทยบกบกรอบอางองเฉอย ความเรงของมวล 2 กโลกรม = ma1 2/ sm ทศชขน

(เพราะเราตง 1 2/ sm ซงมทศชขน ลบดวย ma ซงมทศชลง)

และความเรงของมวล 1 กโลกรม = ma1 2/ sm ทศชขน

ma ma 2T

g1 g3

g2 1T

2/1 sm

3 kg

1kg

2/1 sm

3 kg

1kg

รป ต.ย.5.9ก. ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 62

ดมวล 3 กโลกรม )1(3)8.9(31 maT (1)

ดมวล 1 กโลกรม )1(1)8.9(12 maT (2)

ดรอก 2

21 )2(2

1)( RIRTT CM (3)

แต R

am ดงนน maTT )( 21 (3)

สมการ 1,2 และ 4 เปนสมการเชงเสน 3 สมการ มตวไมรคา 3 ตว แกสมการออกมาได

32.4ma เมตรตอวนาท2

44.191 T นวตน 12.152 T นวตน ค าตอบขอก.

ให F เปนแรงทมอดงรอก ดรอกเปนระบบ ดในแนวดง

)/1)(2()12.15()44.19()/8.9)(2( 22 smkgNNsmkgF

16.56F นวตน ค าตอบขอ ข.

ความเรงเมอเทยบกบกรอบอางองเฉอยของมวล 3 กโลกรม คอ 3.32 เมตรตอวนาท2 ทศชลง

ของมวล 1 กโลกรม คอ 5.32 เมตรตอวนาท2 ทศชขน ค าตอบขอ ค.

นกศกษาคงจ าไดวานยามของจดศนยกลางมวล กรณระบบมมวล 3 กอนคอ

321

332211

mmm

rmrmrmrCM

หาอนพนธเทยบกบเวลาสองครง จะได

321

332211

mmm

amamamaCM

ดงนน 2222

/44.0)1()3()2(

)/32.5)(1()/32.3)(3()/1)(2(sm

kgkgkg

smkgsmkgsmkgaCM

คอมขนาด 0.44 เมตรตอวนาท2 ทศชลง ค าตอบขอ ง.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 63

เราจะตรวจค าตอบดสกหนอยวา ดทงระบบเลย จาก CM

ext aMF

โดย extF

คอแรงลพธของแรงภายนอกระบบ คราวนแรงทเชอกดงมวล มวลดงเชอก เชอกดงรอก

รอกดงเชอก เปนแรงภายในระบบ ไมตองน ามาคด แรงภายนอกระบบมแตแรงจากมอและแรงโนมถวง

ด NNsmkgsmkgsmkgF ext 64.2)16.56()/8.9)(1()/8.9)(3()/8.9)(2( 222

ทศ

ชลง

ด NsmkgaM CM 64.2)/44.0)(6( 2 ทศชลง เมอตรวจแลววาเทากนกอนใจหนอย

(แตกไมแน นกศกษาสามารถเรยนรการตรวจสอบแบบนดวยการลองเขยนสมการทผด เชนเขยนสมการ 3

เปน CMIRTT )( 12 แลวลองแกสมการ 1,2 และ 3 หาค าตอบแลวน ามาตรวจสอบ)

ในเวลา 1 วนาท มอเคลอนทขนเปนระยะทาง 0.5 เมตร ดงนนงานของมอเทากบ

)5.0)(16.56( mN 28.08 จล ค าตอบขอ จ.

เมอเวลาผานไป 1 วนาท จะหาวารอกและมวลทงสองกอน จะอยสงหรอต าจากเดมกเมตร โดยดจาก

2

2

1tatuS ซงไดวา

รอกสงจากเดม 0.5 เมตร มวล 3 กโลกรมอยต าจากเดม 1.66 เมตร มวล 1 กโลกรมอยสงจากเดม 2.66 เมตร

ดงนนพลงงานศกยเปลยนไป =

936.12)66.2)(/8.9)(1()66.1)(/8.9)(3()5.0)(/8.9)(2( 222 msmkgmsmkgmsmkg จล

คอพลงงานศกยลดลง 12.936 จล

เมอเวลาผานไป 1 วนาท จะหาวารอกและมวลทงสองกอน จะมอตราเรวเทาใด โดยดจาก

tauv ซงจะไดวา

อตราเรวของรอก 1 เมตรตอวนาท ของมวล 3 กโลกรมและ 1 กโลกรม 3.32 และ 5.32 เมตรตอวนาท

ความเรวเชงมมของรอกหาจาก 00 tR

tR

am 32.4 เรเดยนตอวนาท

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 64

เนองจากเดมรอกอยนง พลงงานจลนของรอกเพม 3312.1032.4

)2(2

1

2

1)1)(2(

2

12

22

RR จล

พลงงานจลนของมวล 3 กโลกรมเพม 5336.16)32.3)(3(2

1 2 จล

พลงงานจลนของมวล 1 กโลกรมเพม 1512.14)32.5)(1(2

1 2 จล

พลงงานกลเพมขน 10.3312+16.5336+14.1512 – 12.9360 = 28.08 จล ค าตอบขอ ฉ

พลงงานกลทเพมขนมาจากงานทมอท า

หมายเหต ถานกศกษาค านวณ kE ของรอกจาก rot

CM

trans

CM WW กจะได 10.3312 จล เชนกน

ตวอยางท 5.10 ทรงกลมไถลบนพนราบฝด

ทรงกลมตนมวล M รศม R ถกกระแทกในแนวระดบผานจดศนยกลางมวล ท าใหทรงกลม

เคลอนทไปบนพนระดบดวยความเรวเรมตน 0V ดงรป ต.ย.5.10ก. ก าหนดใหสมประสทธความเสยดทาน

จลนระหวางทรงกลมกบพนระดบเปน และทรงกลมมโมเมนตความเฉอยรอบจดศนยกลางมวล

2

5

2RMI MC

ก) จงหาระยะทางจากจดตงตนททรงกลมเคลอนทไปบนพนระดบ จนเรมกลงโดยไมไถล ข) จงหาอตราเรวเชงมมของทรงกลมขณะทกลงโดยไมไถล ค) จากเรมตนจนกลงโดยไมไถลพลงงานจลนเปลยนแปลงไปเทาใด

วธท า กอนอนตองดใหออกกอนวาเมอเรมตนทรงกลมยงไมหมน คอความเรวเชงมม 0 แต CM ม

ความเรวเชงเสนมากทสดคอ 0V

ในขณะทก าลงไถลแรงเสยดทานจะท าให มากขนเรอยๆ ในขณะท ความเรวเชงเสน ของ CM

คอ V ลดลงเรอยๆ ในชวงน RV

0V

รป ต.ย.5.10ก.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 65

จนเมอ RV ทรงกลมจะกลงโดยไมไถล ดงในรป ต.ย.5.10ข. แรงเสยดทานจะเปนศนยโดย

ทนท ในเชงอดมคตแลวทรงกลมจะกลงไปเรอยๆดวยความเรวคงท

ขณะทก าลงไถลอยนนแรงในแนวระดบทกระท าตอทรงกลมคอแรงเสยดทานจลน gmNf ทศ

ไปทางซาย

จากกฎขอทสองแบบเลอนท amgm

ดงนน ความเรง ga ทศไปทางซาย

เนองจากความเรงคงทเราใชสตร tauv ได

ใหทศไปทางขวาเปนบวก จะได tgVtV 0)( (1)

ใช CM เปนจดอางอง จากกฎขอทสองแบบหมนจะได MCIRgMRf

จะได R

g

2

5

เนองจากความเรงเชงมมคงทเราใชสตร t 0 จะได

tR

g

2

50

(2)

เมอไมไถล RV จากสมการ 1 และ 2 จะได

RtR

gtgV

2

50

g

Vt

7

2 0

V

f

0V

S รป ต.ย.5.10ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 66

ระยะทางทไถลหาไดจาก 2

02

1tatVS =

g

V

49

12 2

0 ค าตอบขอก.

ความเรวเชงมมเมอไมไถลหาไดจาก R

Vt

7

5 0 ค าตอบขอ ข.

พลงงานจลนเมอเรมตน 2

02

1MVEki

พลงงานจลนเมอไมไถล 2

07

5

2

1

VMEkf 2

0

2

02

14

5

7

5

5

2

2

1VM

R

VMR

2

014

5VMEk 2

0

2

07

1

2

1VMMV ค าตอบขอค.

หมายเหต นกศกษาอาจคดวา

g

VgMSfEk

49

12)(

2

0 2

049

12VM ซงไมถกตอง

เพราะจรงๆแลวจากสมการ 3.3.3 rot

CM

trans

CMk WWE

โดย

g

VgMSfrdFW

f

i

CM

trans

CM

49

12 2

02

049

12VM

f

i

f

i

f

i

CM

rot

CM gRMfRddW

มม if ททรงกลมหมนหาไดจาก Rg

V

g

V

R

gtt

49

5

7

2

2

5

2

10

2

12

0

2

02

0

2

049

5MVW rot

CM

2

0

2

0

2

07

1

49

5

49

12MVMVMVWWE rot

CM

trans

CMk เทากบค าตอบในขอ ค.

ถานกศกษาพจารณาการเคลอนทแบบเลอนททใชงาน-พลงงาน ในกรณทมแรงเสยดทานจลน ซง

มกกลาวกนวางานของแรงเสยดทานจลนเทากบพลงงานจลนทสญเสยไป ตวอยางเชนกลองไถลตามพน

ราบฝด ในการค านวณมกตงสมการใหงานของแรงเสยดทานจลนเทากบพลงงานจลนทสญเสยไปซงได

ค าตอบทถกตองออกมา สาเหตทถกเพราะกลองไมมการหมน พจน 0rot

CMW สวนพจน trans

CMW คอ

พจนทเรยกกนวางานของแรงเสยดทานจลน ดงนน kE จงเทากบ “งานของแรงเสยดทานจลน” ซง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 67

จรงๆแลว trans

CMW ไมใชงานของแรงเสยดทานจลน เพราะถาใชตองเทากบแรงเสยดทานจลน คณดวยการ

กระจดของแรงเสยดทานจลน แต trans

CMW มาจากการกระจดของ CM

ตวอยางท 5.11 หนเดนบนจาน

จานมวล M รศม R ตรงกลางใสตลบลกปนใหจานหมนไดคลองรอบแกนกลางซงเปนเพลา

หนตวหนงมวล m ยนอยบนขอบจาน ทงหนทงจานหมนดวยความเรวเชงมม i จากนนหนเดนจากขอบ

จานเขามาหางจากแกนกลาง r แลวหยดเดน ความเรวเชงมมของหนและจานเปน f

ก)จงหา f ในพจนของ i , mM , , R และ r

ข)พลงงานกลของระบบทประกอบไปดวยจานและหนคงทหรอไม เพราะเหตใด

วธท า อนทจรงแลวทอรกเนองจากน าหนก gm ของหน ท าใหตลบลกปนตองออกแรงท าใหเกดทอรกใน

แนวตงฉากกบแกนกลางเพอตานกบทอรกน นอกจากนเมอมองทงจานทงหนเปนวตถ วตถนไมสมมาตร

เพราะมหนแคตวเดยว(ดวาหนมความสงดวย) เมอใหจดก าเนดอยกลางจาน product of inertia จะไมเปน

ศนย ท าใหเมอจานหมนตลบลกปนตองออกแรงท าใหเกดทอรกในแนวตงฉากกบแกนกลางคลายกบใน

ตวอยางท2.2.4 ซงมผลตออายการใชงานของตลบลกปน

แตไดกลาวแลววาเราสนใจปญหางายๆ เราไมสนใจวาตลบลกปนจะมอายการใชงานสนหรอยาว

สนใจแควา f เปนเทาใด ซงทอรกทตรงประเดนคอทอรกในแนวของความเรวเชงมม หรอ z ทเราเคย

กลาวถงนนเอง โดยในตวอยางนแกน z จะทบกบเพลา

ตลบลกปน

เพลา

หน

รป ต.ย.5.11

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 68

เนองจากลกปนหมนไดคลองมนจงไมสามารถออกแรงท าใหเกดทอรกในแนว z ได ดงนน z

จงเปนศนย หรอกคอไมมการเปลยนแปลงขององคประกอบของโมเมนตมเชงมมในแนวของความเรว

เชงมม

กรณการหมนในระนาบเรารวา(จากสมการ 1.3.8) ไมวาวตถจะสมมาตรหรอไมกตาม องคประกอบ

ของความเรวเชงมมในแนวของความเรวเชงมมเทากบ I ดงนนถา z เปนศนย I ตองคงท

คอ fiffii rmMRRmMRII

2222

2

1

2

1

22

22

2

1

2

1

rmMR

mRMR i

f

ค าตอบขอ ก.

เนองจาก 22 rmmR ดงนน if

ถาสมมตวาพลงงานกลคงท(ซงผดจากความเปนจรง)สมการนาจะเปนดงน

222222

2

1

2

1

2

1

2

1fi rmMRRmMR

(1)

2

1

22

2

1

22

2

1

2

1

rmMR

mRMR i

f

ซงไมเทากบค าตอบในขอ ก.

เราไดเคยกลาวมาแลววาพลงงานกลจะอนรกษนนตองไมมงานจากแรงไมอนรกษ และไมมการ

เปลยนแปลงพลงงานกลไปเปนพลงงานรปอน หรอพลงงานรปอนไปเปนพลงงานกล ในตวอยางนม

พลงงานของหนซงไดจากการทหนกนอาหารเขาไปซงไมใชพลงงานกลมาเกยวของดวย คอมการเปลยน

พลงงานรปอนเปนพลงงานกล พลงงานกลจงไมคงท

ถาแทน f จากค าตอบขอ ก. ลงในสมการพลงงานจลนสดทาย คอ 222

2

1

2

1frmMR

จะเหนวาพลงงานจลนสดทายมากกวาพลงงานจลนเรมตน 222

2

1

2

1iRmMR

พลงงานจลนท

เพมขนนมาจากพลงงานของหน ค าตอบขอ ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 69

ถาหนเดนยอนกลบจาก r ไป R พลงงานกลลดลง แตพลงงานจะหายไปเฉยๆไมไดเพยงแต

เปลยนรปได พลงงานกลทลดลงนถาไมไปท าใหพลงงานภายในของจานเพมขนกตองไปท าใหพลงงาน

ภายในของหนเพมขน หรอทงสองอยาง จานอาจจะไมเหมอนเดมหรอหนอาจจะไมเหมอนเดม

ตวอยางเชนเสนเอนของหนอาจจะยดหนอยๆท าใหพลงงานศกยยดหยนของเสนเอนเพมขน ทกลาวมาน

ตองการใหนกศกษาไดคดวเคราะห จรงหรอไม ไมร

ตวอยางท 5.12 ดนน ามนชนตดกบคานซงหอยตดกบบานพบ

คานสม าเสมอยาว L มวล M ปลายหนงของคานตดบานพบซงหมนไดคลองทจด O เดมคานอยใน

แนวดง มดนน ามนมวล m ความเรว v ในแนวระดบวงเขาชนและตดกบปลายคาน ดงรป ต.ย.5.12

ทนทหลงชน(หลงชนเสรจ) จงหา (คาน 2

12

1MLICM )

ก) ความเรวเชงมมของคานและดนน ามน ข) พลงงานจลนเหลอเปนอตราสวนเทาใดเมอเทยบกบกอนชน

ค)โมเมนตมเชงเสนของคานและดนน ามน

วธท า หลงจากชนกนดนน ามนเปลยนรปรางเปนแบนๆ พลงงานกลสวนหนงถกใชไปเปลยนรปรางดน

น ามน หรออาจท าใหอณหภมของดนน ามนและของคานสงขน พลงงานภายในของดนน ามนเพมขน

พลงงานกลจงไมคงท เราจงใชกฎการอนรกษพลงงานกลไมได

O

v

รป ต.ย. 5.12ก.กอนชน

O

ข.ทนทหลงชน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 70

ถาดทงดนน ามนและคานเปนระบบ ขณะก าลงชนกนมแรงภายนอกระบบในแนวระดบกระท าตอ

ระบบ คอแรงในแนวระดบทบานพบท าตอคาน(ดในขอ ค.) โมเมนตมเชงเสนของระบบในแนวระดบจง

ไมคงท เราจงใชกฎการอนรกษโมเมนตมเชงเสนไมได

แรงภายนอกระบบในแนวดงกไมเปนศนย เพราะขณะชนกน CM มการเคลอนทเปนวงกลม

ความเรงของ CM มทศพงขนในแนวดงเขาหาบานพบ ดงนนบานพบจะออกแรงดงขนในแนวดงมากกวา

gmM )(

แตถาเราใชบานพบ(ซงเปนจดตรง)เปนจดอางอง ทอรกของแรงภายนอกระบบทงจากแรงบานพบ

และแรงโนมถวงเปนศนย โมเมนตมเชงมมอางองกบบานพบจงคงท

จะเหนวาแมแรงลพธภายนอกไมเปนศนย แตถาเลอกจดอางองใหเหมาะๆ(มกเปนจดตรง) ทอรก

ของแรงภายนอกกเปนศนยได

เมอวเคราะหไดแลว ตอไปกเปนการค านวณ

ไดกลาวมาแลววาปญหาระดบมธยมหรอฟสกสทวไป1 ทงทอรกและโมเมนตมเชงมม

องคประกอบทเราสนใจคอองคประกอบในแนวของความเรวเชงมม ซงกคอในแนวตงฉากกบกระดาษใน

รป ต.ย.5.12

กอนชน เราหาโมเมนตมเชงมมของดนน ามนอางองกบบานพบจากนยามพนฐานของโมเมนตมเชงมมคอ

vmrPrL

Lvm ทศพงออกจากกระดาษ

ทนทหลงชน ใหความเรวเชงมมของคานและดนน ามนเปน เนองจากโมเมนความเฉอยเฉพาะของคาน

รอบแกนทผานบานพบคอ 2

2

2

3

1

212

1ML

LMML

และโมเมนความเฉอยของดนน ามนคอ 2Lm

ดงนน หลงชน โมเมนตมเชงมมของคาน+ดนน ามน อางองกบบานพบ

22

3

1mLML ทศพง

ออกจากกระดาษ

โมเมนตมเชงมมกอนชนเทากบหลงชน Lvm

22

3

1mLML

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 71

mML

vm

3

1 ค าตอบขอ ก.

พลงงานจลนหลงชน

mM

mvmmLML

3

12

1

3

1

2

1 2222

คอเหลอ mM

m

3

1 ของกอนชน ค าตอบขอ ข.

โมเมนตมเชงเสนของคานเราจะค านวณโดยตรง โดยสมมตวาคานอยในแนวระดบ ตงแกน x ไป

ตามความยาวของคานใหจดก าเนดอยทบานพบ ดงรป ต.ย.5.12 ค.

เนองจากคานหมนดวยความเรวเชงมม พจารณาสวนยอยของคานซงยาว xd มวลของสวนยอย

นคอ xdL

M และความเรวคอ jx ˆ ดงนนโมเมนตมของสวนยอยน MPd

คอ

MPd

jxdL

Mx ˆ

เมอรวม(อนทเกรต) โมเมนตมยอย กจะไดโมเมนตมเชงเสนของคานทงชน คอ

MP

jxdL

Mx

L

ˆ

0

ในเชงเทคนคของการอนทเกรตเราจะดงเอาคาคงทออกนอกเครองหมายอนทเกรตกอน ขณะนเรา

อนทเกรตเทยบกบ x ถา x เปลยนแลวอะไรทไมเปลยน มนกจะเปนคาคงท โดย LM ,, นนเหนได

x

xd

x

y

รป ต.ย.5.12ค.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 72

ชดวาไมเปลยน สวน j นนไมวา x จะเปนทใดบนคาน j กยงคงมขนาดหนงหนวยและทศชขน(ในรป

ต.ย.5.12ค.)เหมอนเดม j จงเปนเวกเตอรคงท ดงออกนอกเครองหมายอนทเกรตได เปน

MP

jLMLMjxdxL

Mj

L

ˆ2

1

2

1ˆˆ

0

หลงชน โมเมนตมเชงเสนของดนน ามน jLmPmˆ

ดงนน โมเมนตมเชงเสนหลงชน jmLMLjLmjLMPPP mMfˆ

2

1ˆˆ2

1

แทนคา จากค าตอบขอ ก. ลงไป ได jvm

mM

mM

mML

mML

vmPf

ˆ

3

1

2

1

2

1

3

1

ค าตอบขอ ค.

โมเมนตมเชงเสนกอนชนคอ jvmPiˆ

เนองจาก 1

3

1

2

1

mM

mM

ดงนน โมเมนตมเชงเสนเพมขน แสดงวามแรงทบานพบท าตอ

คานในแนวระดบทศไปทางขวาของในรป ต.ย.5.12ก.

ถาเราเปลยนต าแหนงทดนน ามนชนคานใหใกลๆ กบบานพบ นกศกษาลองค านวณดจะพบวาแรง

ทบานพบท าตอคานมทศไปทางซายของในรป ต.ย.5.12ก.

ตวอยางท 5.13 การดลเชงมมกระท าตอดมเบลซงวางบนพนลน

ดมเบลประกอบดวยคานเบายาว L ปลายสองดานตดมวล M2 และ M วางนงบนพนระดบลน

ตอมามแรง F กระท าตอมวล M ในแนวตงฉากกบคานเปนเวลาสนๆ t ดงรปต.ย. 5.13ก.

ก) จดศนยกลางมวลของดมเบลมความเรวเทาใด

ข) ดมเบลหมนดวยความเรวเชงมมเทาใด

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 73

ค) เมอเวลาผานไป tF

ML

ดมเบลจะอยทไหนและเอยงอยอยางไร

ใหตอบในพจนของ FLM ,, และ t

วธท า สรางแกน yx ดงรป 5.13ก. CM จะอยบนแกน y โดย

62

222

L

MM

LM

LM

yCM

เมอค านวณต าแหนงไดแลว นกศกษาจนตนาการวาเอาสด าแตมคานเปนจดด าทต าแหนงน การ

เคลอนทของจดด ากคอการเคลอนทของ CM ของดมเบล

ก) จาก การดลเชงเสน = โมเมนตมเชงเสนทเปลยนไป

กอนจะมแรง F กระท า ดมเบลอยนง ดงนน

F

C

L3

2

6/L

M

2M

x

y

2/L

2/L

M

2M

y

3/L

C

รป ต.ย.5.13 ก. ข.

ค.ขยายเวลา t ใหมากเกนจรง จรงๆแลว

คานยงอยในแนวใกลเคยงกบแกน y

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 74

CMvMMitF

)2(ˆ

iM

tFvCM

ˆ3

ค าตอบขอก.

ข) เราจะท า 2 วธ วธแรกใชจดตรงเปนจดอาง วธทสองใช CM เปนจดอางอง

วธท1 ใหจด C เปนจดตรงบนพน เมอเรมตนมวล M ทบกบจด C แนวของแรง F ผานจด C

ทอรกของแรง F จงเปนศนย การดลเชงมมกเปนศนย โมเมนตมเชงมม(เทยบกบจด C ) กคงท

กอนมแรง F กระท า ดมเบลอยนง โมเมนตมเชงมมเปนศนย หลงมแรง F กระท าโมเมนตม

เชงมมกตองเปนศนยเชนเดม เพราะทอรกของแรง F เปนศนย เมออางองกบจด C

โมเมนตมเชงมมอางองกบจดตรงหาไดจากสมการ (ค4) ของภาคผนวก ค. คอ

nipsbitrofixed LLL

เมอ )ˆ(3

2ˆ3

3ˆ3

23, ktFLi

M

tFMjLvMrL CMCCMbitro

โมเมนความเฉอยของมวล M2 รอบแกนทผาน CM เทากบ 2

32

LM สวนของมวล M เทากบ

2

3

2

LM ดงนน

kMLkL

ML

ML nipsˆ

3

2ˆ3

2

32 2

22

แตโมเมนตมเชงมมเทากบศนย kMLktLF ˆ3

2)ˆ(

3

20 2

LM

tF

วธท 2 ใช CM เปนจดอางอง

(นกศกษาควรระลกไดวา จดอางองซงเปน CM น เปนจดทตดไปกบวตถ คอตดไปกบคานของดมเบล

นนเอง)

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 75

เมอใช CM เปนจดอางอง การดลเชงมมไมเปนศนย เรากใชความสมพนธ

การดลเชงมม= โมเมนตมเชงมมทเปลยนไป

โดยทงการดลเชงมมและโมเมนตมเชงมมนน ไดกลาวมาแลววาเปนองคประกอบในแนวความเรวเชงมม ก

คอในแนวตงฉากกบกระดาษ(แนว z ) นนเอง

tLF

3

2

22

3

2

32

LM

LM

LM

tF ค าตอบขอ ข.

เนองจาก iM

tFvCM

ˆ3

ดงนนเมอเวลาผานไป tF

ML

จดสด าทแตม(CM)ไวทคานจะเคลอนทไป

ทางขวาเปนระยะทาง L3

โดยดมเบลจะหมนทวนเขมนาฬกาเปนมม

tF

ML

ML

tF เรเดยน

ดมเบลจงอยดงในรป 5.13 ง. ค าตอบขอ ค.

M2

รป ต.ย.5.13 ง.

M

M2

M

แนวการเคลอนทของ CM

ซงจะเคลอนเปนแนวตรง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 76

ตวอยางท 5.14 มวลM พงเขาชนและเสยบตดกบคานซงวางบนพนลน

คานมมวล M ยาว L วางนงบนพนระดบลน ตอมามมวล M ขนาดเทากนกบมวลของคาน มวล

นมความเรว v ไถลไปตามพนพงชนปลายคานในแนวตงฉากกบคานแลวเสยบตดไปกบคาน ดงรปต.ย.5.14

ก)จดศนยกลางมวลของระบบ (คาน+มวล)มความเรวเทาใด

ข)ระบบหมนดวยความเรวเชงมมเทาใด

ค)เมอระบบหมนครบ1 รอบ CM อยหางจากเดมเทาใด

วธท า เมอมองดคานและมวลเปนระบบ แรงภายนอกระบบมแรงโนมถวงและแรง N ทพนท าตอคาน

แรงเหลานอยในแนว z ไมมแรงภายนอกระบบในแนว x ดงนนโมเมนตมเชงเสนของระบบในแนว x

คงท

2

2v

vvMvM CMCM ทศไปทางขวา ค าตอบขอก.

การชนกนแลวตดกนไปจะมการสญเสยพลงงานกล เราจงใชกฎการอนรกษพลงงานกลไมได

C

4/L

CM

v

x

M

y

2/L

2/L

C

รป ต.ย.5.14ก. ข. ทนทกอนชน

ค.ทนทหลงชน แตขยาย

เขยนใหเหนจดตรง C

M

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 77

ถาดทงมวลและคานเปนระบบ ขณะก าลงชนกนมแรงภายนอกระบบคอแรงโนมถวงและแรง N

แตแรงทงสองขนาดเทากน(เราตความวาหลงชนแลวระบบเคลอนทในระนาบ yx ความเรงของ CM ใน

แนว z เปนศนย ) กคอแรงลพธของแรงภายนอกระบบเปนศนย ทอรกของแรงภายนอกเปนศนยดวย ดงนน

โมเมนตมเชงมมจงคงท

เราจะท า 2 วธคอ ใชจด CM เปนจดอางอง และใชจดตรงเปนจดอางอง

วธท 1 ใช CM เปนจดอางอง

สรางแกน yx ดงรป ต.ย.5.14ก. เราจะดเหตการณทนทกอนชนดงรป ข. ซง CM จะอยบนแกน y โดย

4

20

L

MM

LMM

yCM

กอนชน โมเมนตมเชงมมของมวลอางองกบ CM 4

LvM ทศพงออกจากกระดาษ

ทนทหลงชน ใหความเรวเชงมมของคานและดนน ามนเปน โมเมนความเฉอยเฉพาะของคานรอบแกนท

ผาน CM ของระบบคอ 2

2

412

1

LMML และโมเมนความเฉอยของดนน ามนคอ

2

4

LM

ดงนน หลงชน โมเมนตมเชงมมของคาน+ดนน ามน อางองกบ CM

22

2

4412

1 LM

LMML ทศพงออกจากกระดาษ

4

LvM

22

2

4412

1 LM

LMML

L

v

5

6

วธท 2 ใหจด C เปนจดตรงบนพน เมอเรมตนปลายคานดานลางทบกบจด C เนองจากแรงภายนอก

ระบบเปนศนย ทอรกของแรงภายนอกระบบ(อางองกบจด C )กเปนศนยดวย โมเมนตมเชงมม(อางองกบ

จด C ) กคงท

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 78

เมอเรมตนคานอยนง โมเมนตมเชงมมของคาน(อางองกบจด C ) เปนศนย สวนมวลM ม

ความเรวผานจด C โมเมนตมเชงมมของมวลจงเปนศนยเชนกน กคอโมเมนตมเชงมมกอนชนเปนศนย

หลงชน โมเมนตมเชงมมอางองกบจดตรง C หาไดจากสมการ (ค4) ของภาคผนวก ค. คอ

nipsbitrofixed LLL

เมอ

2)2(

4)(

4

vM

LvMM

LL CMbitro

ทศพงเขาไปในกระดาษ

nipsL

22

2

4412

1 LM

LMML ทศพงออกจากกระดาษ

โมเมนตมเชงมมกอนชนเทากบหลงชน และใหทศพงออกจากกระดาษเปนบวก

40

LvM

22

2

4412

1 LM

LMML

L

v

5

6 ค าตอบขอ ข.

เนองจากเวลาในการหมน 1 รอบ คอ

2

ดงนน L

L

v

vvx CMCM

6

5

5

6

2

2

2

ค าตอบขอ ค.

ตวอยางท 5.15 กลองไถลตามพนเอยง

กลองหนก 50 นวตน ฐานกวาง 0.4 เมตร สง 0.5 เมตร ถกปลอยใหไถลลงมาตามพนเอยงลน ถาออกแรง N ดงผวกลองในแนวขนานกบพนเอยง ดงรปต.ย.5.15ก. แรงนมขนาดมากทสดกนวตนจงจะท าใหกลองไมลมคว าลงมา

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 79

วธท า เนองจากพนเอยงเปนพนลน มแตแรงตงฉาก N ของพนเอยงโดยไมมแรงเสยดทาน ในขณะทกลองก าลงจะลมคว านนแรง N จะกระท าทขอบลางของกลองดงรป ข. เราจะท า 3 วธ วธท1 ใช CM เปนจดอางอง เนองจากกลองไมมความเรงในแนวตงฉากกบพนเอยง ดงนน จะไดวา 037cos50 0 N (1)

จากสมการ I กลองไถลลงมาโดยไมมการหมนคอความเรงเชงมมเปนศนย ดงนนทอรก(อางองกบ

CM) ตองเปนศนย คอ

0)25.0()2.0( FN (2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได

F = 32 นวตน

วธท2 ใชขอบลางของกลองตรงทแรง N กระท าเปนจดอางอง เนองจากจดนมความเรงซงเทากบ

ความเรงของกลอง เราจงใสแรงเทยม ag

W ทศชขนตามพนเอยง ท CM ของกลอง ทอรกของทงแรงจรง

และแรงเทยม (อางองกบขอบลาง) เปนศนย

37o

F

รปต.ย.5.15ก

(ก)

37o

F

(ข)

W N

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 80

0)2.0(37cos)25.0()25.0(37sin)5.0( 00 Wag

WWF (3)

ดในแนวพนเอยง

ag

WWF 037sin

W

gWFa

)6.0( (4)

แทน 4 ใน 3 และแทน 50W นวตน จะได 32F นวตน

วธท3 ใชจดตรงเปนจดอางอง เลอกจดตรงบนพนเอยงททบกบขอบลาง จะไดท าใหทอรกของ N เปน

ศนย

โดยทอรกทงหมดเปน )2.0(37cos)25.0(37sin)5.0( 00 WWF ทศพงออกจากกระดาษ

สมมตใหกลองมความเรวตน u ดงนน ทเวลา t ใดๆ tauvCM ทศลงตามพนเอยง

ดงนน )()25.0( atug

WL bitro

ทศพงออกจากกระดาษ

กลองไมไดหมนดงนน nipsL

= 0

จาก nipsbitrofixed LLL

)()25.0( atug

W

ทศพงออกจากกระดาษ

รปต.ย.5.15ค

(ก)

ag

W

37o

F

W N

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 81

เนองจากความเรวตน u คงท จะได td

dLa

g

W

)25.0( ทศพงออกจากกระดาษ

td

Ld

ดงนน

)2.0(37cos)25.0(37sin)5.0( 00 WWF ag

W

)25.0( (5)

สมการ 5 เปนสมการเดยวกนกบสมการ 3 เมอแทน a จากสมการ 4 ลงไปกจะได 32F นวตน

ตวอยางท 5.16 โตะมลอดานเดยวไถลบนพนราบฝด

โตะมวล M กวาง w มจดศนยกลางมวล (CM) สงจากพน h ในแนวกงกลางโตะ ขาโตะดานหลงม

ลอเบาหมนไดโดยไมฝด ดานหนาไมมลอและมสมประสทธความเสยดทานกบพน

ถาโตะนก าลงเคลอนทดวยอตราเรวตน u ในแนวระดบไปทางขวา ดงรป ต.ย.5.16ก.

ก) โตะจะเคลอนทไปไดเปนระยะทางเทาใดจงจะหยด

ข) จงหาชวงของคา ทโตะสามารถเคลอนทไดโดยไมลมคว า

ค) หากโตะเคลอนทกลบกนโดยมลออยดานหนา ดวยอตราเรว u เทาเดม ระยะทางทเคลอนทไดจะ

เปน n เทาของระยะทางในขอ ก) จงหาคา ในรปของ wn, และ h

วธท า เมอดโจทยขอนนกศกษาควรระลกถงเมอรถเบรก ลอหนาจะรบน าหนกมากกวาลอหลง

w

u

h

CM

.

รป ต.ย.5.16ก. แผนภาพมองจากดานขาง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 82

ก) ความจรงแลวโตะม 2 ลอ ขาโตะทไมตดลอกม 2 ขาง แตเราเขยนรปฉายของทงโตะและแรงลงบน

กระดาษ ดงรป 5.16 ข. ดวยเหตผลทกลาวมาแลวในหวขอ 2.2.2.1

เนองจาก CM ไมมความเรงในแนวดง gMNN 21 (1)

โตะเคลอนทไปทางขวาและชาลงเรอยๆ CM จงมความเรง a ทศไปทางซาย

ดงนน aMN 1 (2)

สมการ (1) และ (2) เปนสมการเชงเสนสองสมการ (ไดมาจากการพจารณาการเคลอนทแบบเลอนท) ม

ตวไมรคา 3 ตว (สมมตวารคา ) คอ 21 , NN และ a สมการยงไมพอ เราจงจะพจารณาการหมน

บาง เราจะท า 3 วธโดยใชจดอางอง 3 จดคอ1. CM เปนจดอางอง 2. จดซงตดไปกบขาโตะดานขวา ณ

ต าแหนงทแตะพน 3.จดตรงบนพน ณ ต าแหนงทตดกบขาโตะ

วธท1 ใช CM เปนจดอางอง

hNw

Nw

NMC 12122

ทศพงออกจากหนากระดาษ

จากสมการ I โตะไถลโดยไมมการหมนคอความเรงเชงมมเปนศนย ดงนนทอรก(อางองกบCM)

ตองเปนศนย คอ

hNw

Nw

N 12122

0 (3)

gM

2N

1N

1N

u

h

.

w

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 83

สมการ (1) (2) และ (3) เปนสมการเชงเสนสามสมการ มตวไมรคาสามตวคอ 21 , NN และ a แกสมการ

หาคา a ได )(2 hw

gwa

วธท2 ใชจดอางองเปนจดทตดไปกบกงกลางของขาโตะดานขวาทงสองขาง ในรปฉายของ ต.ย.5.16ข. คอ

จดบนขาโตะดานขวา ณ ต าแหนงทแตะกบพน

เนองจากจดนมความเรง a ทศไปทางซาย เราจงตองใสแรงเทยม aM ทศไปทางขวาทต าแหนง

CM เนองจากโตะไถลโดยไมมการหมน ดงนนทอรกจรงและทอรกเทยม อางองกบจดน ตองเปนศนย

คอ

haMwNw

gM 22

0 (4)

จากสมการ (1) (2) และ (4) แกสมการหาคา a ไดเปน

)(2 hw

gwa

เทากบวธท1

วธท 3 ใชจดตรงบนพน ณ ต าแหนงทตดกบขาโตะเปนจดอางอง

โมเมนตมเชงมมเทยบกบจดนคอ nipsbitrofixed LLL

โดย htauML bitro )(

ทศพงเขาไปในกระดาษ และ เนองจากโตะไมหมน ดงนน 0nipsL

haMhtauMtd

dwgMwN )(

22

ซงเปนสมการเดยวกนกบสมการ(4) ดงนนจะได a เทากนกบวธอน คอ)(2 hw

gwa

เนองจาก a เปนคาคงท ดงนนใชสตร Sauv 222 ไดระยะทเคลอนไกลสด )(2

1 hwhgw

uS

ค าตอบขอ ก.

ข) จากสมการ (4) w

haM

gMN

22

โตะจะยงไมลมถา 02 N คอ 02

w

haM

gM

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 84

หรอ h

gwa

2

แตจากขอ ก) )(2 hw

gwa

ดงนน h

gw

hw

gw

2)(2

whhwh 2

หรอ h

w

2 ค าตอบขอ ข

ค) รปฉายเปนดงรป ต.ย.5.16ค.

เนองจาก CM ไมมความเรงในแนวดง gMNN 21 (5)

โตะเคลอนทไปทางซายและชาลงเรอยๆ CM จงมความเรง a ทศไปทางขวา

ดงนน aMN 1 (6)

สมการ (5) และ (6) มตวไมรคา 3 ตว สมการยงไมพอ จงตองพจารณาการเคลอนทแบบหมนเพมเตม

เราสามารถเลอกจดอางองไดหลายจด แตจะเลอกจดซงตดไปกบขาโตะดานขวาตรงทแตะกบพนในรปฉาย

ของ ต.ย.5.16ค. เปนจดอางอง (จดเดยวกบวธท 2 ในขอ ก.)

gM

2N

1N

1N

u

h

.

w

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 85

เนองจากจดนมความเรง a ทศไปทางขวา เราจงตองใสแรงเทยม aM ทศไปทางซายทต าแหนง

CM เนองจากโตะไถลโดยไมมการหมน ดงนนทอรกจรงและทอรกเทยม อางองกบจดน ตองเปนศนย

คอ

haMwNw

gM 22

0 (7)

จากสมการ (5) (6) และ (7) แกสมการหาคา a ไดเปน

)(2 hw

gwa

และจะ ไดระยะทเคลอนไกลสด )(

2

2 hwhgw

uS

จากโจท ย 12 SnS

ดงนน )(2

hwhgw

u )(

2

hwhgw

un

หรอ )1(

)1(

nh

nw ค าตอบขอ ค.

หมายเหต 1N เมอโตะเคลอนทไปทางขวาจะมากกวา 1N เมอโตะเคลอนทไปทางซาย ซงสอดคลองกบ

เมอรถยนตเบรกลอหนาจะรบน าหนกมากกวาลอหลง ในขอนเนองจากแรงเสยดทานเทากบ 1N ดงนน

แรงเสยดทานในขอ ก. จงมากกวาขอ ค. ระยะทางทเคลอนทไดในขอ ก จงนอยกวาในขอค.

ตวอยางท 5.17 การตกของมวลกบทอนไม

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 86

ระบบประกอบดวยทอนไมสม าเสมอมวล M ยาว L เอยงท ามม กบแนวระดบ ปลายทง

สองและจดศนยกลางมวลของทอนไมผกกบกอนมวล m 3 กอนดวยเชอกเบา โดยทมวลทง 3 กอนเรยงอย

ในแนวระดบเดยวกน และ mM ทงระบบ(ทอนไมและกอนมวล)ถกจบไวโดยใหเชอกไมตงและไม

หยอน ดงรปท 1 หลงจากนนปลอยใหระบบตกลงมาอยางอสระ

a)มวลแตละกอนมขนาดความเรงมากกวา เทากบ หรอนอยกวา g

ในค าถามตอไปน ใหพจารณาขณะทปลาย A แตะสมผสพนพอดโดยไมกระดอนขน และ

พนลน เราจะหาเงอนไขทท าใหเชอกทกเสนหยอน โดยพจารณาตามขนตอนตอไปน

b)ถาไมมมวลทงสามผกอย จด A,B และ C จะมความเรงในแนวดงเปนเทาใด ตอบในรปของ g และ

c)ถามมวลทงสามผกอย จงหาชวงของมม (เปนตวเลข) ทท าใหเชอกหยอนทงสามเสน

d)ในกรณท มคาอยนอกชวงในขอ c) จงหาความเรงของมวลแตละกอน

วธท า

a) ตอบไดเลยวาเทากบ g b) ขอเนนกอนวา จด A,B และ C เปนจดทตดไปกบทอนไม

ไมมแรงในแนวระดบท าตอทอนไม เนองจากพนลน แรงทพนท าตอปลาย A อยใน

m m m

A

B

C

พนระดบลน

รปท 1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 87

แนวดง แรงโนมถวงกอยในแนวดง ความเรงของจดศนยกลางมวล(จด B)จงอยในแนวดง หรอกคอจด B

จะเคลอนทลงมาในแนวเดม ปลาย A จะไถลไปบนพนโดยมความเรงในแนวราบ สวนความเรงในแนวดง

เปนศนย เรามองไดวาคานหมนดวยความเรงเชงมม

เนองจากปลาย A ไถลไปตามพน เราหาความเรงในแนวดงของจด B และ C ในพจนของ ได

ดงตอไปน

สรางแกน yx ดงรปท 2

จากรป sin2

LyB หาอนพนธเทยบกบเวลาจะได cos

2

LyB

หาอนพนธเทยบกบเวลาอกครง sin(cos2

2 L

yB

ขณะทปลาย A กระทบพนนน 0 แต 0 เพราะเดมทอนไมไมไดหมนแตก าลงเรมหมน(อยาลม

วาเราดในขณะทปลาย A ก าลงสมผสพนพอด)

ดงนน cos2

L

yB (1)

ท านองเดยวกน cos LyC (2)

ถาเราหาความเรงเชงมม ได กจะหา By และ Cy ได การหา เราจะหาโดยใชจดอางอง

ตางกน 3 จด คอ 1. CM(จดB) 2. จด A 3.จด C

Mg

N

O

y

A

B

C

รปท 2

x

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 88

1.ใช CM (ตดไปกบวตถ)เปนจดอางอง

จากภาคผนวก ง. เมอเราก าหนด เปนดงรปท 1 (หรอ2) ถาใหมม เพมมากขนการหมนเปนการ

หมนทวนเขมนาฬกา ทศทเปนบวกจงพงออกจากกระดาษ ทอรกทมทศพงออกจากกระดาษกเปนบวก

ทอรกทมทศพงเขาไปในกระดาษกเปนลบ

เมอใช CM เปนจดอางอง ทอรกของแรงโนมถวงเปนศนย มแตทอรกของ N ขนาด

cos

2

LN

ทศพงเขาไปในกระดาษ ดงนน

2

12

1cos

2MLI

LN CM

(3)

ดแบบเลอนทบาง ดในแนวดง (ดเพมเตมในภาคผนวก ง.)

ByCM yMaMgMN ,

แทน By ในสมการ (1) ลงไป จะได

cos

2

LMyMgMN B (4)

จาก (3) และ (4) จะได )cos31(

cos62

L

g (5)

คอขนาดเปน )cos31(

cos62

L

g ทศพงเขาไปในกระดาษ

2.ใชจด A (ตดไปกบวตถ)เปนจดอางอง

เนองจากจด A มความเรงในแนวแกน x โดยไมมความเรงในแนวแกน y เราจงใสแรงเทยม ใส แรงเทยม AxM ท CM ดงรป (พงสงเกต ความเรงของปลาย A จรงๆแลวไปทางซาย แตเราเขยนใน

รปทวไปคอ Ax ซงทศทเปนบวกทางขวา ดงนนเมอใสแรงเทยมท CM จงมทศไปทางซาย ดงในรป)

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 89

ความเรงของจด A ในแนวแกน x หาไดจากวา จด B อยในแนวของแกน y ตลออดเวลา ดงนน พกด

x ของจด A คอ Ax จงเปน

cos

2

LxA หาอนพนธเทยบกบเวลาได sin

2

LxA หา

อนพนธเทยบกบเวลาอกครง จะได cossin2

2 L

xA

แตขณะททอนไมสมผสพนพอดนน 0 ดงนน sin2

L

xA

ทอรกเทยมทอางองกบจด Aจงมขนาด

sin

2sin

2

LLM ทศพงออกจากกระดาษ

ทอรกของ gM มขนาดเปน

cos

2

LMg ทศพงเขาไปในกระดาษ

2

3

1cos

2sin

2sin

2LMI

LgM

LLM A

จะได )cos31(

cos6

)sin34(

cos622

L

g

L

g เชนเดยวกบสมการ(5)

3.ใชจด C (ตดไปกบวตถ)เปนจดอางอง

จด C มความเรงทงในแนวแกน x และแนวแกน y เราจงใสแรงเทยม ใส แรงเทยม CxM และ CyM ท CM ดงรป

AxM

Mg

N

O

y

A

B

C

x

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 90

ความเรงของจด C ในแนวแกน x หาไดจากวา

cos

2

LxC หาอนพนธเทยบกบเวลาได

sin2

LxA หาอนพนธเทยบกบเวลาอกครง จะได cossin

2

2 L

xC

แต 0 ดงนน sin2

L

xC

จากสมการ(2)ความเรงของจด C ในแนวแกน y คอ BC yLy 2cos

ทอรกเทยมทอางองกบจด C มขนาด sin2

LxM C ทศพงเขาไปในกระดาษ และ

cos2

LyM C ทศพงออกจากกระดาษ

2

3

1cossin

2cos

2LMINL

LxM

LyMMg CCC

แทน BC yy 2 และ ByMMgN

2

3

1cossin

2cos

22 LMLyMMg

LxM

LyMMg BCB

2

3

1sin

2cos

2LM

LxM

LMg C

แทน sin2

L

xC ; 222

3

1sin

4cos

2L

LLg

CxM

)( CygM

N

O

y

A

B

C

x

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 91

จะได )cos31(

cos6

)sin34(

cos622

L

g

L

g เชนเดยวกน

หมายเหต นกศกษาควรยดการใช CM เปนจดอางอง(วธท 1) เปนหลก เพราะเปนวธทมโอกาสผดพลาด

นอย

เมอร แลว ตอไปจะหาความเรงในแนวดงของจด A,B และ C

เนองจากปลายซายของทอนไมไถลไปตามพน ดงนนความเรงในแนวดงของจด A เปนศนย

ความเรงในแนวดงของจด B คอ cos2

L

yB )cos31(

cos32

2

g

คอขนาดเปน )cos31(

cos32

2

g ทศพงลง

จากสมการ(2) ความเรงในแนวดงของจด C คอ cos LyC )cos31(

cos62

2

g

คอขนาดเปน )cos31(

cos62

2

g ทศพงลง

c) จด C มความเรงมากทสด ดงนนเชอกทกเสนจะหยอน ถา gg

)cos31(

cos62

2

หรอ 3

1cos คอ 01 7.54

3

1cos

d) กรณ > 54.70 เชอกเสนแรกหยอน เสนกลางกหยอนเพราะ gg

)cos31(

cos32

2

มแตเสนขวา

สดทผกกบจด C จะตง ดงรปท 3

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 92

เมอพจารณาการหมนของทอนไม เราจะเลอก CM (จดB) เปนจดอางอง

ทอรกของแรงโนมถวงเปนศนย ทอรกของ N ขนาด

cos

2

LN ทศพงเขาไปในกระดาษ

ทอรกของแรงตงเชอกขนาด

cos

2

LT ทศพงออกจากกระดาษ ดงนน

2

12

1cos

2cos

2MLI

LT

LN CM

(7)

ดทอนไมแบบเลอนทบาง ดในแนวดง

ByCM yMaMgMTN ,

แทน By ในสมการ (1) ลงไป จะได

cos

2

LMyMgMTN B (8)

ดมวลกอนทสามบาง เนองจากเชอกตง ความเรงในแนวดงของมวลกอนทสามเทากบของจด C จะได

CymgmT แทน cos LyC จากสมการ (2) ลงไป ได

cosLmgmT (9)

จากสมการ(7) (8) และ(9) จะได

T

T

m

A

C

รปท 3

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 93

22 cos12cos31

cos216

M

m

M

m

L

g

แทนในสมการ(2) ได

22

2

cos12cos31

cos21

6

M

m

M

m

g

นนคอความเรงของมวลกอนขวามอสดมขนาดเปน

22

2

cos12cos31

cos21

6

M

m

M

m

g ทศชลง

สวนความเรงของมวลอกสองกอนขนาดเปน g ทศชลง

มองยอนดกวางๆกอนจะสรป

มปญหาบางประเภท ตวอยางเชนทรงกระบอกสม าเสมอกลงลงมาจากพนเอยง เมอถงพนราบ

ความเรวเปนเทาใด ปญหาแบบนไมสามารถทจะแกไดโดยใชเฉพาะกฎการเคลอนทแบบเลอนท ดงนนจง

ตองขยบขยายกฎการเคลอนทแบบเลอนทโดยใชเวกเตอรและแคลคลสเขาชวย เพอใหไดความสมพนธท

น ามาใชประโยชนได ตวอยางเชนเราไดวา td

Ld

เปนตน

ในการใชเวกเตอรนนเราใชองคประกอบของเวกเตอร การแตกเวกเตอร การแตกเวกเตอรใช

รวมกบพกดฉาก และพชคณตของเวกเตอร(1.การคณเวกเตอรดวยสเกลาร 2.การบวกเวกเตอร 3.dot product

4.cross product) สวนการใชแคลคลสนนกเปนแคแบบงายๆ แตมกจะตองดความหมายของมน

ตวอยางเชนหาอนพนธของเวกเตอรต าแหนงจะไดความเรว หาอนพนธของความเรวไดความเรง การ

อนทเกรตในความหมายของการรวมสวนยอย เปนตน ในเชงเทคนคนนการหาอนพนธมกไมเปนปญหา

เพราะมนงาย สวนเทคนคของการอนทเกรตนนเราใชเพยงเทคนคงายๆเปนเพยงเสยวเดยวของทนกศกษาได

เรยนในคณตศาสตร จรงหรอไมจรง นกศกษาลองยอนไปพจารณาเอกสารนทละหนาๆ เมอไปเปนครจะม

ขอจ ากดเรองเวลาในการสอนจะไดปรบการสอนใหตรงประเดนขน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 94

สรป

1.กฎการเคลอนทขอทสองแบบหมน

เรมจากการนยามทอรกทกระท าตออนภาค Fr

และนยามตอวาทอรกของแรงภายนอกระบบทกระท าตอระบบอนภาคคอผลรวมของทอรกของแรง

ภายนอกระบบทกระท าตออนภาคแตละตว คอ

N

extFr1

นยามโมเมนตมเชงมมของอนภาค PrL

โมเมนตมเมอ vmP

คอโมเมนตมเชงเสน

และนยามตอวาโมเมนตมเชงมมของระบบอนภาคคอผลรวมของโมเมนตมเชงมมของอนภาคแตละ

ตว คอ

N

PrL1

เมอใชพชคณตของเวกเตอรผสมกบแคลคลส และใชกฎการเคลอนทขอทสองแบบเลอนทดวย จะ

ไดความสมพนธวา ส าหรบจดอางอง Q ใดๆ จะมความเรงหรอไมกได

QQLtd

d

)()( QQCM rMrr (ส.1)**

คออตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมม เทากบทอรกจรง Q บวกทอรก

เทยม )()( QQCM rMrr

โดยทวไปแลวนยมเลอกจดอางองทท าใหทอรกเทยมเปนศนย คอ

td

Ld

(ส.2)**

สมการนมเงอนไขคอ จดอางองทใชค านวณทอรกและโมเมนตมเชงมม(เปนจดเดยวกน) จะตอง 1.

ไมมความเรง หรอ 2.มความเรงกไดถาเปนจดศนยกลางมวลของระบบอนภาค หรอ 3.ไมใชจดศนยกลาง

มวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานจดศนยกลางมวลของระบบอนภาค

สมการ(ส2) ใชไดทงกบวตถแขงเกรง ทงกบระบบอนภาค อยางไรกตามสมการ(ส.2)ไมเหมาะนก

ส าหรบวตถแขงเกรงจงตองหาสมการทเหมาะๆส าหรบวตถแขงเกรง

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 95

เมอวตถแขงเกรงหมนรอบแกนๆหนงดวยความเรวเชงมม อาจมองไดวาวตถนหมนรอบแกน

อนๆอกนบไมถวนทตดไปกบวตถและขนานกบแกนเดม โดยหมนดวยความเรวเชงมม เดยวกน ถาเรา

ก าหนดจดๆหนงบนวตถแขงเกรง(อยตรงไหนกได)และใหจดนเปนจดก าเนดของเวกเตอรต าแหนง จดอนๆ

บนวตถแขงเกรงซงมเวกเตอรต าแหนงเปน r จะมความเรวอางองกบจดก าเนดเปน rv

ดงนนมวล

เลกๆ md ทมเวกเตอรต าแหนง r จงมโมเมนตมเชงมมอางองกบจดก าเนดเปน

mdrrmdvr )()(

เมอรวม(ดวยการอนทเกรต)ใหทวทงกอนวตถกจะไดโมเมนตมเชงมมของ

วตถอางองกบจดก าเนด องคประกอบ x y, และ z ของโมเมนตมเชงมมเราจะจ าไดงายถาจ าในรปของ

เมตรกซดงน

z

y

x

L

L

L

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

(ส.3)

โดย dmzyI xx )( 22 , dmzxI yy )( 22 , dmyxI zz )( 22 พจนทงสามน

เรยกวา moments of inertia และอกหกพจนคอ dmyxII yxxy , dmxzII zxzx ,

และ dmyzII zyzy เรยกวา products of inertia

พงระลกวาโมเมนตมเชงมมในสมการ (ส3) นอางองกบจดก าเนดซงตดไปกบวตถ

ในกรณการหมนในระนาบทศของความเรวเชงมมอยในแนวเดมตลอด ถาเราใหทศนอยใน

แนวแกน z จะไมมองคประกอบของความเรวเชงมมในแนว x และ y สมการ (ส.3) จะเปน

z

y

x

L

L

L

=

0

0

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

(ส.4)**

หรอกคอ kIjIiIL zzyzxzˆˆˆ

ทศของโมเมนตมเชงมมกบทศของความเรวเชงมมอาจเปนคนละทศ ขนาดของโมเมนตมเชงมม

อาจไมเทากบ I แตองคประกอบของโมเมนตมเชงมมในแนวของความเรวเชงมม จะเทากบ I เสมอ

ถาเราใหจดก าเนดของพกด zyx ในสมการ(ส.4) เปนดงน คอ 1.ไมมความเรง หรอ 2.มความเรงก

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 96

ไดถาเปนจดศนยกลางมวลของวตถ หรอ 3.ไมใชจดศนยกลางมวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานจด

ศนยกลางมวลของวตถ เรากสามารถใชความสมพนธ td

Ld

ได ซงเมอดในแตละองคประกอบ จะไดวา

zzz

xzyzy

yzxzx

I

II

II

2

2

แตส าหรบปญหาอยางงายในระดบมธยมหรอฟสกสทวไป 1 ของมหาวทยาลย ปญหาจะเปนปญหา

ทใชเพยงแคสมการสดทาย zzz I กไดค าตอบแลว เรานยมเขยนสมการนสนๆเปน

I (ส.5)**

สมการนถอเปนสมการหลกทใชแกปญหาการหมนในระดบมธยมและฟสกสทวไป1 บางครง

เรยกวากฎการเคลอนทขอทสองแบบหมนในระนาบ มนใชไดเฉพาะการหมนในระนาบทจดใดๆบนวตถจะ

เคลอนทในระนาบหนง(หรอทศของความเรวเชงมมอยในแนวเดมตลอด) แกนอางองทใชค านวณโมเมนต

ความเฉอย I เปนแกนทอยในแนวของความเรวเชงมมและผานจดอางอง โดยจดอางองจะตองเปนจดทตด

ไปกบวตถ และ1.ไมมความเรง หรอ 2.มความเรงกไดถาเปนจดศนยกลางมวลของวตถ หรอ 3.ไมใชจด

ศนยกลางมวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานจดศนยกลางมวลของวตถ

ทอรก ในสมการ (ส5) นน เปนองคประกอบของทอรกในแนวความเรวเชงมม(แนวแกน z )

ซงเปนการเหมาะมากทเราจะฉาย (project) ทงวตถทงแรงลงบนระนาบของกระดาษเพอใชในการค านวณ

ทอรก

แทนทจะใชจดอางองทตดไปกบวตถ เราอาจใชจดอางองตรงตรงกได โมเมนตมเชงมมเมออางอง

กบจดอางองตรง คอ

nipsbitrofixed LLL

(ส6)

เมอใชจดอางองตรง เรากใชสมการ td

Ld

ไดโดยตรง

2 งาน-พลงงาน

ไมวาวตถจะหมนรอบแกนตรงหรอไมกตาม พลงงานจลนของมนเขยนไดเปน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 97

22

2

1

2

1CMCMk IvME (ส7)**

ถาวตถหมนรอบแกนตรง(หรอแกนทอยนงชวขณะ) พลงงานจลนของมนเขยนไดเปน

2

2

1IEk (ส8)**

ส าหรบการหมนรอบแกนตรง จะไดวา

f

i

dW kif EII 22

2

1

2

1 (ส9)**

ส าหรบการหมนรอบแกนไมตรง จะไดวา

k

rot

CM

trans

CM EWW (ส10)

3.การดลเชงมม-โมเมนตมเชงมม

ส าหรบจดอางองตรง หรอจดอางองทเปนจดศนยกลางมวล จาก การดลเชงมม = โมเมนตม

เชงมมทเปลยนไป ถาดในแนวของความเรวเชงมม จะไดวา

z

f

i

z Ltd (ส11)**

ถา z เปนศนย จะไดโมเมนตมเชงมมในแนว z คงท หรอกคอ I คงท นนเอง

ภาคผนวก ก.

ความสมพนธระหวางอตราการเปลยนแปลงของเวกเตอรสงเกตโดยผสงเกตทอยนงและผสงเกตทหมน

ใหพกด zyx เปนพกดทหมนดวยความเรวเชงมม เทยบกบพกด XYZ ทอยนง ดงรป ก.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 98

โดย KJI ˆ,ˆ,ˆ เปนเวกเตอรหนวยของพกด XYZ และ kji ˆ,ˆ,ˆ เปนเวกเตอรหนวยของพกด zyx

ให A เปนเวกเตอรใดๆ

เราสามารถเขยนเวกเตอร A ในองคประกอบของพกด XYZ หรอ zyx กไดไดเปน

kAjAiAKAJAIAA zyxZYXˆˆˆˆˆˆ

เมอ YX AA , และ ZA เปนองคประกอบของ A ในแนว JI ˆ,ˆ และ K ตามล าดบ

(นกศกษาสงเกตวาตวหอย YX , และZ นน เขยนดวยตวใหญ )

และ yx AA , และ zA เปนองคประกอบของ A ในแนว ji ˆ,ˆ และ k ตามล าดบ

(นกศกษาสงเกตวาตวหอย yx, และ z นน เขยนดวยตวเลก )

อนพนธเทยบกบเวลาของ A เขยนไดเปน

A KAJAIA ZYX

ˆˆˆ (ก.1)

หรอ kAjAiAA zyxˆˆˆ

+ kAjAiA zyx

ˆˆˆ (ก.2)

ทงนเพราะเวกเตอรหนวย JI ˆ,ˆ และ K คงท แต ji ˆ,ˆ และ k ไมคงท เพราะแมขนาดยงคง

เทากบหนงหนวยแตทศทางเปลยน จงไมใชเวกเตอรเดม

k j

i x

y z

X Y

Z

A

รป ก.1

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 99

ทงสมการ(ก.1) และ(ก.2) เปนอตราการเปลยนแปลงของ A สงเกตโดยผสงเกตทอยนง(กรอบ

อางองเฉอย) เราจะเขยนใหชดเจนวา fixedA แตสมการทเราสนใจคอสมการ(ก.2) ซงจะเขยนใหมเปน

fixedA

kAjAiA zyxˆˆˆ + kAjAiA zyx

ˆˆˆ (ก.3)

ทางขวามอของเครองหมายเทากบนนแบงไดเปน 2 กลม คอ kAjAiA zyxˆˆˆ และ

kAjAiA zyx

ˆˆˆ เราจะดความหมายของกลมแรกกอน

kAjAiA zyxˆˆˆ ซงเปนอตราการเปลยนแปลงของ A

เมอถอวาเวกเตอรหนวย kji ˆ,ˆ,ˆ คงท

เราอาจมองความหมายได 2 อยาง อยางแรกเปนอตราการเปลยนแปลงของ A สงเกตโดยผสงเกตทตดไป

กบพกด zyx ซงจะเหน kji ˆ,ˆ,ˆ คงท (มกเรยกวาอตราการเปลยนแปลงสงเกตโดยผสงเกตทหมน อยางไร

กตามในกรณอตราการเปลยนแปลงของความเรวเชงมม การเรยกเชนนอาจมปญหา นกศกษาอานเพมเตม

ไดใน Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab ในเวบ astro.caltech.edu เขยนโดย Sunil

Golwala ) อยางทสองอาจมองวาเปนอตราการเปลยนแปลงของขนาดของ A เมอถอวา ji ˆ,ˆ และ k คงท

เราจะเขยน kAjAiA zyxˆˆˆ วา rotA

คอ

rotA = kAjAiA zyx

ˆˆˆ (ก.4)

{อ.ในภาค ปกตแลวหนงสอตางๆมกมองกนวามนคออตราการเปลยนแปลงของ A สงเกตโดยผสงเกตท

หมน แตมนมปญหาตรงทถา A คอความเรวเชงมม

แลว ผสงเกตทหมนไมนาจะสงเกตเหน

เมอกอนผมกไมไดฉกคด กวาตามหนงสอทเคยอาน แตขณะทเขยนเอกสารนจวนจะเสรจกไดอาน Lecture

Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab ในเวบ astro.caltech.edu เขยนโดย Sunil Golwala (อาน

นดเดยว ไมใชทงเลม) เขาวจารณสมการ rotrotfixe

วาบอกวามนเปนเรองตลก

มากทหนงสอบอกวา ผสงเกตทหมนสงเกตเหน เหมอนกบผสงเกตทอยนง นกๆดซงมนกจรงของเขา

อยางไรกตามผมอานคณตศาสตรทเขาใชไมเขาใจ

ผมวาจะแปลความหมายอยางไรกแลวแต ทแนๆคอ kAjAiA zyxˆˆˆ คออตราการ

เปลยนแปลงเมอถอวา kji ˆ,ˆ,ˆ คงท

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 100

ถา A เปนเวกเตอรอนทไมใช

การมองวา kAjAiA zyx

ˆˆˆ เปนอตราการเปลยนแปลงท

สงเกตโดยผสงเกตทหมน จะไมมปญหาเรองความหมาย แตถา A เปน

แลวมนชกจะยง ผมจงใส

ความหมายทสองคออตราการเปลยนแปลงของขนาดของ A เขาไปดวย ซงความหมายนกเอามาจากคนอน

นนแหละ แตจ าไมไดวาเปนใคร ถาดจากความหมายนแลวผมคดวา rotfixe

นาจะไมมปญหา

หลงจากทไดฟงความเหนของ Sunil Golwala ท าใหผมกลบมาทบทวนการใชค าวา “ผสงเกต”

“สมพทธกบ” “อางองกบ” ทเมอกอนผมอาจใชสลบกนไปมาโดยไมไดคดอะไรมาก ค าวา “ผสงเกต”

นาจะใชกบการทสามารถวดได ตวอยางเชนนายด านงบนเกาอในรถไฟ สวนนายแดงก าลงเดนบนรถไฟ

นายด า “สงเกต” เหนนายแดงมความเรว 1 เมตร/วนาท คอถาใหตลบเมตร นาฬกาจบเวลา แกนายด า เขา

วดการกระจดของนายแดงได ค านวณความเรวไดจรงๆ

คราวนลองจนตนาการใหนายด าและนายแดงตวเลกๆ ทงคอยนงบนเขมวนาทของนาฬกา แตอย

ต าแหนงทตางกน เราซงอยนงนอกเขมนาฬกา รวาความเรวของคนทงสองไมเทากน แตนายด าไมสามารถ

วดความเรวของนายแดงได เขาบอกวานายแดงกอยนงเหมอนเขานนแหละ (ถาวดไดเราซงอยเชงเขากคงวด

ความเรวของยอดเขาได เพราะโลกหมน คนทอยนงนอกโลกเหนความเรวของยอดเขามากกวาของเชงเขา)

ดงนนในกรณนไมควรใชค าวา “สงเกต” แตควรใชค าวา “สมพทธกบ” หรอ “อางองกบ”

แตผมไมทบทวนกอนสงให อ.ดจดาวตรวจทาน เพราะถาแกค าพดไปแลวมนกงนๆแหละ ไมเหน

ความส าคญของมน ถาเลาใหฟงเหมอนเลานทานผมวามนท าใหสนกขน แตไดแกการใชค าพดหลงจากสง

ใหอาจารยดจดาวแลว

อกอยางคออยากจะบอกวามหลายครงทเรามองจากมมเดยว ไมเหนมมอน ถามคนสะกดเราสก

หนอย เรากจะไดคด }

คราวนมาดความหมายของกลมทสองคอ kAjAiA zyx

ˆˆˆ กนบาง จะเหนวามนคออตราการ

เปลยนแปลงทมาจากการหมนของแกน zyx

เราจะหา i ซงคอ อตราการเปลยนแปลงของเวกเตอร i สงเกตโดยผสงเกตทอยนง กนกอน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 101

จากรป ก.2 จากเดมทเวลา t เมอเวลาเพมขนเลกนอย dt เวกเตอรหนวย i จะเปลยนไปเลกนอย

คอ idˆ ในรป พจารณาดจะเหนวา

ขนาดของ idˆ = (รศมการกวาดรอบแกนหมน) คณ (ความเรวเชงมม) คณ (เวลาทเปลยนไป)

ถาให เปนมมระหวาง กบ i จะได

ขนาดของ idˆ = dti

sinˆ = dti

และเมอพจารณาดจากรปก.2 นกศกษาจะเหนวาทศของ idˆ อยในทศของ i

นนคอ dtiid ˆˆ

หรอ iidt

id ˆˆˆ

(ก.5a)

ท านองเดยวกน จะได jj ˆˆ (ก.5b)

และ kk ˆˆ (ก.5c)

จากสมการ ก.5 a,b และ c ดงนน

kAjAiA zyx

ˆˆˆ = )ˆˆˆ(ˆˆˆ kAjAiAkAjAiA zyxzyx

หรอ kAjAiA zyx

ˆˆˆ = A

(ก.6)

จากสมการ ก.4 และ ก.6 สมการ ก.3 จะกลายเปน

i ทเวลา t

x

i ทเวลา dtt

idˆ

รป ก.2

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 102

AAA rotfixed

(ก.7)**

สมการ ก.7 เปนสมการทเราจะน าไปใช สมการนบอกวา อตราการเปลยนแปลงของเวกเตอร A

ใดๆ สงเกตโดยผสงเกตทอย นง จะเทากบอตราการเปลยนแปลงของเวกเตอร A

สงเกตโดยผสงเกตท

หมน(หรออตราการเปลยนแปลงของขนาดของ A

เมอถอวา ji ˆ,ˆ และ k คงท ) บวกกบ A

(นกศกษาควรจ าทงรปของสมการ ก.7 และค าบรรยาย สวนการพสจนดใหเขาใจสกครงกพอ)

ภาคผนวก ข.

สมการการเคลอนทของออยเลอร

( Euler’s equations of motion หรอ Euler’s rotation equations)

นกศกษาทไมเรยนหลกสตร วท.บ ฟสกส หรอวศวกรรมศาสตร สามารถขามภาคผนวก ข.นได

สมการการเคลอนทของออยเลอรถอไดวาเปนสมการหลกทใชแกปญหาการหมนทงทางฟสกสและ

วศวกรรมศาสตร แมสมการนจะเกนขอบเขตการศกษาของนกศกษาคร แตแนวทางทเราใชหา

สมการ I สามารถหาสมการการเคลอนทของออยเลอรไดไมยาก ดงจะเหนในภาคผนวก ข. น

จากหวขอ 1.3.3.2 เราไดวาส าหรบแกน zyx ใดๆทตดไปกบวตถทหมนดวยความเรวเชงมม

ความเรวเชงมมอางองเทยบกบจดก าเนดของแกน zyx น สามารถเขยนในรปเมตรกซไดดงสมการ 1.3.7

คอ

z

y

x

L

L

L

=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

III

III

III

(1.3.7)

โดย ,xxI , yyI และ zzI เรยกวา moments of inertia

yxxy II , zxzx II , และ zyzy II เรยกวา products of inertia

จะเหนวามนดรงรง ตวอยางเชนเมอเราคณเมตรกซออกมาแลวดองคประกอบของโมเมนตมเชงมม

ในแนวแกน x จะได zxzyxyxxxx IIIL ถาด yL และ zL กจะคลายกน แกน zyx นจง

ไมเหมาะในการใชงาน ในทางปฏบตเราจะใชแกนท products of inertia ทงหกพจนมคาเปนศนย แกนทม

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 103

สมบตเชนนเรยกวา “แกนหลก” นอกจากนแลวแกนหลกยงมสมบตเฉพาะหลายอยางแตในทนเราจะไม

กลาวถงสมบตเหลาน

1.แกนหลกของวตถแขงเกรง (Principal Axes of a Rigid Body)

แกนหลกของวตถแขงเกรงคอแกน xyz ท products of inertia ทงหกพจนมคาเปนศนย มแต

moments of inertia การหาแกนหลกของวตถนนในเชงทฤษฎถาเราตรงจดก าเนดของพกด xyz ใหตดกบ

วตถทต าแหนงใดกได จากนนกเอยงแกนไปมาพรอมกบหมนแกนทางโนนทางนโดยใหจดก าเนดตรงอยท

เดม จะพบวาเมอแกนวางตวในลกษณะทพอเหมาะจะท าให products of inertia ทงหกพจนมคาเปนศนย

เหลอแต moments of inertia แตในทางปฏบตเรามกหาแกนหลกจากสมมาตรของรปรางวตถ ถาวตถม

สมมาตรเราจะเลอกใหระนาบอยางนอยสองระนาบ(จากสามระนาบ)ของแกนแบงวตถใหสมมาตร

ตวอยางเชนถาใหระนาบ xy แบงวตถออกเปน 2 สวนเทาๆกน อนทกรลทม z อยซงประกอบดวย

zxzx II , , zyzy II , จะเปนศนยทงหมด และถาใหระนาบ xz แบงวตถออกเปน 2 สวนเทาๆกน อนทกรลท

ม y อยซงประกอบดวย yxyx II , , zyzy II , จะเปนศนยทงหมด ดงนน products of inertia ทงหกพจนมคา

เปนศนย

เรานยมใชเลข 1, 2 และ3 เพอบงบอกวาเปนแกนหลก ดงนนเมอใชแกนหลกความสมพนธใน

สมการ 1.3.7 จะเปน

3

2

1

L

L

L

=

3

2

1

3

2

1

00

00

00

I

I

I

(ข.1)**

หรออาจเขยนเปน

333222111ˆˆˆ eIeIeIL

(ข.2)

เมอ 1e , 2e และ 3e คอเวกเตอรหนวยของแกน 1 , 2 และ 3 ตามล าดบ และ 1 , 2 และ 3

คอองคประกอบของความเรวเชงมม ในแนว 1 , 2 และ 3 ตามล าดบ

2. การหาสมการการเคลอนทของออยเลอร

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 104

จากหวขอ 2.1 เรารวา td

Ld

มเงอนไขคอ1.จดอางองตองไมมความเรง หรอ2.มความเรงกได

ถาเปนศนยกลางมวล หรอ3.ไมใชศนยกลางมวลกไดถามความเรงพงเขาหรอออกผานศนยกลางมวล

นอกจากนอตราการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมม td

Ld

ตองอางองกบกรอบอางองเฉอย

ดงนนเราจะเลอกจดก าเนดของแกน 123 ซงเปนแกนหลกใหสอดคลองกบเงอนไขทงสามขอ

เพอทจะใชสมการtd

Ld

ได แกนนเปนแกนทตดไปกบวตถเพอให moments of inertia ไมเปลยนแปลง

กบเวลาเมอวตถหมน และเพอใหอตราการเปลยนแปลงของโมเมนตมเชงมมอางองกบกรอบอางองเฉอย เรา

จะใชสมการ (ก7) ในภาคผนวก ก. คอ

fixed

td

Ld

= rot

td

Ld

L

(ข.3)

จากสมการ (ข.2) โมเมนตมเชงมมเขยนไดเปน 333222111ˆˆˆ eIeIeIL

ดงนน

rottd

Ld

333222111ˆˆˆ eIeIeI สวนพจน L

เมอเขยนเปนองคประกอบในแนว 1,2,3

คอ )ˆˆˆ( 332211 eee )ˆˆˆ( 333222111 eIeIeI หลงจากท cross แลวจดพจน สมการ(ข.3)

จะเปนดงน

fixedtd

Ld

1322311ˆ})({ eIII

2313122ˆ})({ eIII

3211233ˆ})({ eIII

แต

fixedtd

Ld ดงนนเมอดในแตละองคประกอบจงเขยนไดวา

2112333

3131222

3223111

)(

)(

)(

III

III

III

(ข.4)**

สมการข.4 เรยกวาสมการการเคลอนทของออยเลอร เปนสมการทบรรยายการหมนของวตถแขง

เกรง แมไมใชการหมนในระนาบสมการนกใชได สมการนเปนสมการทใชแกนทเรยกวาแกนหลก

( principal axes) ซงตดไปกบวตถ เนองจากสมการนไดมาจากสมการ td

Ld

จงตองมเงอนไขของ

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 105

จดอางอง(จดก าเนด)ทงสามขอตามมาดวย แตเรานยมเลอกเงอนไขเพยง 2 ขอแรกคอ 1.เปนจดตรง หรอ 2.

เปนจดศนยกลางมวล

ภาคผนวก ค.

โมเมนตมเชงมมของวตถแขงเกรงทหมนในระนาบ อางองกบจดตรงทอยภายนอกวตถ

เพอความสะดวกจะพจารณาวตถแขงเกรงเปนระบบอนภาคทระยะหางระหวางอนภาคคงท รป ค.

1 เปนระบบอนภาคแตเพอความชดเจนเราจงเขยนอนภาคเพยงแคตวเดยว คอตวท

ให O เปนจดก าเนดทอยนง (จดตรง)

พจารณาอนภาคตวท ซงมมวล m

r เปนเวกเตอรต าแหนงของมวลตวท

CMr เปนเวกเตอรต าแหนงของจดศนยกลางมวลของระบบอางองกบจด O ทอยนง

r เปนเวกเตอรต าแหนงของอนภาคตวท อางองกบจดศนยกลางมวลของระบบอนภาคน

จากรป rrr CM หาอนพนธเทยบกบเวลา จะได vvv CM

โมเมนตมเชงมมของอนภาคตวท อางองเทยบกบจด O vmr

)()( vvmrr CMCM

)( vrvrvrvrm CMCMCMCM

CMr

r

CM

O

m

รป ค. 1

'

r

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 106

ดงนน โมเมนตมเชงมมของระบบอนภาค อางองกบจด O ซงเปนจดตรง )(

vrvrvrvrmL CMCMCMCMfixed

CMCM vrm

vrm CM CMvrm

vrm

CMCM vMr

}{

vmrCM CMvrm

}{

vrm (ค.1)

เมอ

mM คอมวลทงหมดของระบบอนภาค

จากสมการ 4 และสมการ 5 (กอนจะขนหวขอ1 ) 0

rm และ 0

vm

ดงนน สมการ (ค.1) จะเหลอเพยง CMCMfixed vMrL

vrm (ค.2)**

จะเหนวาโมเมนตมเชงมมประกอบดวยสองสวน สวนทหนงคอ CMCM vMr

นนเปนโมเมนตม

เชงมมทคดไดคลายกบวามวลทงหมดไปอดทจดศนยกลางมวล สวนทสองคอ

vrm เปน

โมเมนตมเชงมมอางองกบจดศนยกลางมวล

ในกรณการหมนในระนาบอยางงายทเราสนใจ (คอ 0 yzxz II ) จะไดวา

vrm =

CMI ดงนน สมการ (ค.2) จะเปน

CMCMfixed vMrL

CMI (จดอางองตรง) (ค.3)

หรออาจเขยนเปน nipsbitrofixed LLL

(ค.4)**

เมอ CMCMorbit vMrL

เปนโมเมนตมเชงมมเนองจากวงโคจร สวน

CMspin IL เปน

โมเมนตมเชงมมเนองจากการหมนรอบตวเองรอบแกนทผานจดศนยกลางมวล

(นกศกษาควรจ าในรปของสมการ ค.4 เพราะมนลมยาก)

เนองจากเปนจดตรง เราจงใชสมการ td

Ld

ได จงเปนวธแกปญหาการหมนอกวธหนง (ด

ตวอยางในหวขอ 5) แตในระดบมธยมปลายหรอฟสกสทวไป1 มกไมกลาวถงวธน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 107

ภาคผนวก ง.

การใสเครองหมายบวกและลบของแรงและทอรกในการเขยนกฎการเคลอนทขอทสองเมอใชพกด

ชวยในการค านวณ

เราจะเรมจากการพจารณากฎการเคลอนทขอทสองแบบเลอนทกนกอน กฎการเคลอนทขอทสอง

เมอเขยนโดยใชเวกเตอร คอ MCext amF

การเขยนแบบนเปนการเขยนในเชงบรรยาย เมอเราจะท า

การลงมอค านวณนนอาจแบงวธการเขยนกฎการเคลอนทขอทสองออกไดเปน 2 วธ แมวาวธทงสองจะม

พนฐานเดยวกนแตการแบงนาจะท าใหนกศกษาเขาใจดขน

วธแรกเปนการค านวณระดบมธยมปลายหรอฟสกสทวไป 1 เราเขยนความเรงเปน a โดยไมเขยน

เปนอนพนธของพกดเทยบกบเวลา จากนนกดในแนวทเหมาะสมเชนแนวดง หรอแนวระดบ หรอแนวตาม

พนเอยง เปนตน ก าหนดทศทเปนบวกซงจะเปนทศใดกได ( แตนยมก าหนดทศทเปนบวกตามทศของ

ความเรงหรอองคประกอบของความเรง) แลวเขยนเครองหมายของแรงใหสอดคลองกบทศ ตวอยางเชนด

ในแนวของพนเอยง ถาก าหนดใหทศลงตามพนเอยงเปนบวก แรงทมทศชลงตามพนเอยงกจะมเครองหมาย

บวก แรงทมทศชขนตามพนเอยงกจะมเครองหมายลบ เปนตน วธนมกใชกบปญหางายๆ

วธทสองคอใชพกดในการชวยค านวณซงมกใชในปญหาทซบซอน เราเขยนความเรงเปน

อนพนธของพกดเทยบกบเวลา (มกเปนอนพนธอนดบสอง) ทศทเปนบวกจะถกก าหนดตามทศของเวกเตอร

หนวยของพกดซงก าหนดจากทศทพกดเพมขน เครองหมายของแรงจะถกเขยนใหสอดคลองกบทศทเปน

บวก เชนถาแรงมทศเดยวกบทศทเปนบวกเครองหมายกเปนบวก ถาสวนทศกมเครองหมายเปนลบ กฎ

การเคลอนทขอทสองทเขยนนบางทเรยกวาสมการการเคลอนท การเขยนสมการการเคลอนทไมจ าเปนตอง

เขยนจากกฎการเคลอนทขอทสองแตเพยงอยางเดยว ในวชากลศาสตรทสงขนอาจเขยนจากสมการของ

Lagrange หรออาจเขยนจากสมการของ Hamilton หรออนๆ สมการนเปนสมการเชงอนพนธของพกด

เทยบกบเวลา ในบางปญหาเรากหยดอยเพยงแคการเขยนสมการการเคลอนท แตในบางปญหากตองแก

สมการการเคลอนทโดยใชเงอนไขเรมตนทโจทยก าหนด เครองหมายของสมการการเคลอนทอาจแตกตาง

กนถาเราใชทศทเปนบวกของพกดตางกน แตเมอแกสมการโดยใชเงอนไขเรมตนแลว ค าตอบจะให

ความหมายทางฟสกสเหมอนกน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 108

เพอความเขาใจจะใชตวอยางงายๆ คอตวอยางท ง.1 กบ ง.2

ตวอยางท ง1. ขวางกอนหนมวล m ขน(หรอลง)ในแนวดงจากหนาผา จงเขยนกฎการเคลอนทขอทสองโดย

ใชพกด y ทมจดก าเนดทหนาผา เมอก าหนดให ก) y ทเพมขนมทศชขน ข) y ทเพมขนมทศชลง

วธท า ความเรงในรปทวไปคอ jy ˆ และไมวากอนหนจะอยทต าแหนงใด เคลอนทขนหรอลง เรวขน

หรอชาลง แรงทท าตอกอนหนคอแรงดงดดของโลกขนาดเปน gm ทศชลง

ก) y ทเพมขนมทศชขน เวกเตอรหนวย j มทศชขน ดงรป ต.ย.ง.1ก. เรามกกลาวอกอยางวาใหทศชขน

เปนบวก

จะได jymjgm ˆˆ

เรามกเขยนโดยละเวกเตอรหนวย เปน ymgm (ง.1.1)

ข) y ทเพมขนมทศชลง เวกเตอรหนวย j มทศชลง ดงรป ต.ย.ง.1ข. เรามกกลาวอกอยางวาใหทศลงเปน

บวก

จะได jymjgm ˆˆ

เรามกเขยนโดยละเวกเตอรหนวย เปน ymgm (ง.1.2)

O

O

y

y รป ต.ย.ง.1 ก. ข.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 109

สมการ(ง.1.1) และ(ง.1.2) คอสมการการเคลอนทของกอนหน

จะเหนวา สมการการเคลอนท(ง.1.1) และ(ง.1.2) คลายกนแตไมเหมอนกน(แตเทยบเทากน)

บางครงเรากหยดเพยงแคน คอหยดเพยงแคการเขยนสมการ แตบางครงเรากท าตอในขนตอนการแก

สมการ เพอใหนกศกษามองภาพออกจะใชตวอยางท ง.2 เพอใหเหนวธการแกสมการ โดยเปนวธการแก

สมการดวยวธอยางงายคอแกดวยการอนทเกรตโดยตรง ในหลายๆปญหาอาจใชวธนไมไดเพราะอนทเกรต

ไมออก กตองใชวธอนในการแกสมการ ตวอยางเชนใชวธการแกสมการเชงอนพนธ เปนตน

ตวอยางท ง2. จงใชพกดในขอ ก) และ ข) ในตวอยางท ง.1 เพอแสดงวาถาขวางกอนหนมวล m ขนใน

แนวดงจากหนาผาดวยอตราเรวตน 5 เมตร/วนาท เมอเวลาผานไป 1 วนาท ก) กอนหนอยทใด ข) ก าลง

เคลอนทขนหรอลงดวยอตราเรวเทาใด ค)ก าลงเคลอนทเรวขนหรอชาลง

วธท า 1. เมอเลอกทศชขนเปนบวก

tdgydgtd

ydgy

อนทเกรตทงสองขาง 1Ctgy

ท smCsmyt /5/50 1

5 tgtd

ydy

ท smyt /8.45)1(8.91

เมอเทยบกบพกดชขนเปนบวก ความเรวเปนลบคอก าลงเคลอนทลง โดยลงดวยอตราเรว 4.8 เมตร/วนาท

ค าตอบขอ ข.

ความเรงของกอนหนคอ 2/8.9 sm ทศของความเรวและความเรงอยในทศเดยวกน(เครองหมาย

เหมอนกน) ดงนนกอนหนก าลงเคลอนทเรวขน ค าตอบขอ ค.

tdtgydtgtd

ydy )5(5

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 110

อนทเกรตทงสองขาง 2

2 52

1Cttgy

ท 000 2 Cyt

ttgy 52

1 2

ท myt 1.0)1(5)1)(8.9(2

11 2

เมอเทยบกบพกดชขนเปนบวก y ทเปนบวกคออยเหนอหนาผา เปนระยะทาง 0.1 เมตร ค าตอบขอก.

2.เมอเลอกทศชลงเปนบวก

tdgydgtd

ydgy

อนทเกรตทงสองขาง 3Ctgy

ท smCsmyt /5/50 3

5 tgtd

ydy

ท smyt /8.45)1(8.91

เมอเทยบกบพกดชลงเปนบวก ความเรวเปนบวกคอก าลงเคลอนทลง โดยลงดวยอตราเรว 4.8 เมตร/วนาท

ค าตอบขอ ข.

ความเรงของกอนหนคอ 2/8.9 sm ทศของความเรวและความเรงอยในทศเดยวกน(เครองหมาย

เหมอนกน) ดงนนกอนหนก าลงเคลอนทเรวขน ค าตอบขอ ค.

tdtgydtgtd

ydy )5(5

อนทเกรตทงสองขาง 4

2 52

1Cttgy

ท 000 4 Cyt

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 111

ttgy 52

1 2

ท myt 1.0)1(5)1)(8.9(2

11 2

เมอเทยบกบพกดชลงเปนบวก y ทเปนลบคออยเหนอหนาผา เปนระยะทาง 0.1 เมตร ค าตอบขอก.

นกศกษาจะเหนวาไมวาเราจะเลอกพกดอยางไรฟสกส(อยเหนอหนาผาหรอต ากวาหนาผาเปนระยะ

เทาใด ก าลงเคลอนทขนหรอลงดวยอตราเรวเทาใด ก าลงเรวขนหรอชาลง)ยงคงเหมอนเดม เพยงแตเรา

จะตองแปลความหมายของเครองหมายบวกลบใหสอดคลองกบพกดทเราใช นกศกษาพงสนใจความหมาย

ของความเรงทมเครองหมายลบเปนพเศษ ควรระลกวาความเรงทตดลบไมไดแปลวาคอความหนวง

คราวนมาดกฎการเคลอนทขอทสองในกรณการหมนในระนาบบาง สมการเชงบรรยาย

คอ I ในการค านวณนนวธแรกส าหรบปญหางายๆระดบมธยมปลายหรอฟสกสทวไป 1 เราเขยน

ความเรงเชงมมเปน โดยไมเขยนเปนอนพนธของพกดเทยบกบเวลา เรามกดวาทอรกตามเขมนาฬกา(คอ

ทอรกทมทศทพงเขาไปในกระดาษ)กบทอรกทวนเขมนาฬกา(คอทอรกทมทศทพงออกจากกระดาษ)อน

ไหนมากกวากน อนไหนมากกวากใหอนนนเปนบวกอกอนกเปนลบ

วธทสองเปนวธทเราเขยนรปมมทวตถหมน(เทยบกบแนวอางองคงท) ความเรงเชงมมคออนพนธ

อนดบสองของมมเทยบกบเวลา เราสามารถพจารณามมทวตถหมนในระนาบเปนเวกเตอรได(ถาไมใชการ

หมนในระนาบ มมไมใชเวกเตอร เพราะไมประพฤตตวตามกฎการบวกแบบสเหลยมดานขนาน ยกเวนมม

ทเลกมากจนยางเขาสศนย) โดยขนาดของเวกเตอรคอขนาดของมม สวนทศ(ทเปนบวก)เราตกลงใหเปนไป

ตามกฎมอขวา คอก ามอขวาใหนวทงสไปตามเมอมมมากขน หวแมมอจะชทศทเปนบวก ทศทเปนบวก

จะเปนไปได 2 อยางเทานน คอพงออกจากกระดาษเปนบวก หรอไมกพงเขาไปในกระดาษเปนบวก ทเปน

เชนนเพราะในกรณการหมนในระนาบนนแนวทตรงประเดนในการบรรยายการหมนคอแนวของความเรว

เชงมม(ทผานมาเราใชแกน z ) เมอเขยนรปฉายของวตถแนวนจะตงฉากกบระนาบของกระดาษ เมอรทศท

เปนบวกจากกฎมอขวาแลวเครองหมายบวกหรอลบของทอรกเรากใสใหสอดคลองกบทศ

ตวอยางท ง.3 เปนตวอยางของการเขยนกฎการเคลอนทขอทสองแบบหมนในระนาบเมอเขยนรป

มมทหมน

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 112

ตวอยางท ง3. ลกตมนาฬกามวล m หอยดวยเชอกยาว L กบเพดาน ลกตมแกวงในระนาบดง จงเขยน

กฎการเคลอนทขอทสองแบบหมน (สมการการเคลอนท) ของลกตมน

วธท า มองทงลกตมและเชอกรวมกนเปนวตถ เสนเชอกกคอเสนตรงบนวตถ

ก)ให เปนมมทเชอกท ากบแนวดงดงรป 1 ดงรป ต.ย.ง.3ก แนวดงในทนคอแนวอางองคงท(อยนอก

วตถ) เมอมม มากขน การหมนของวตถเปนการหมนทวนเขมนาฬกา เมอก ามอขวาใหนวทงสไปตาม

การหมน หวแมมอจะชทศพงออกจากกระดาษ นนคอทศทเปนบวกคอทศพงออกจากกระดาษ

ทอรกของ gm เทยบกบจด O มขนาด sinLgm ทศพงเขาไปในกระดาษ

ดงนน 2sin LmILgm (ง.3.1) ตอบ

ข)ให เปนมมทเชอกท ากบแนวระดบดงรป ต.ย.ง.3ข แนวระดบในทนคอแนวอางองคงท(อยนอกวตถ)

เมอมม มากขน การหมนของวตถเปนการหมนตามเขมนาฬกา เมอก ามอขวาใหนวทงสไปตามการหมน

หวแมมอจะชทศพงเขาไปในกระดาษ นนคอทศทเปนบวกคอทศพงเขาไปในจากกระดาษ

O

m

รป ต.ย.ง 3 ก.

การหมนในระนาบ ภาควชาฟสกส คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 113

ทอรกของ gm เทยบกบจด O มขนาด cosLgm ทศพงเขาไปในกระดาษ

ดงนน 2cos LmILgm (ง.3.2) ตอบ

สมการ(ง.3.1) และ (ง.3.2) คอสมการการเคลอนทของลกตม เราจะหยดเพยงแคขนตอนของการ

เขยนสมการ โดยไมท าการแกสมการ

จะเหนวา(ง.3.1) และ(ง.3.2)เปนสมการเดยวกน เพราะ sincos900

เมอแทนลงในสมการ(ง.3.2) จะไดสมการ(ง.3.1)

หมายเหต การเขยนสมการการเคลอนทของการหมนในระนาบโดยใชหลกการดงในตวอยางท ง.3 น

ผเขยนไมแนใจวาเปนหลกการทวไปหรอไม แตผเขยนใชการมองแบบนในการเขยนสมการ คนอนอาจใช

การมองแบบอนในการเขยนสมการ

O

m

รป ต.ย.ง 3 ข.