PLASMA DYNAMICS IN AN ARC FORMED.pdf

8/23/2019 PLASMA DYNAMICS IN AN ARC FORMED.pdf

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A p p l . s c i . R e s . S e c t i o n B , V o l . 8

P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C F O R M E D B YL O W - V O L T A G E S P A R K O V E R O F A L I Q U I DD I E L E C T R I C * )b y P . K . E C K M A N

J e t P r o p u l s i o n L a b o r a t o r y , C a l if o r n ia I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g yP a s a d e n a , C a l i f o r n i a , U . S . A .

a n d E . M . W I L L I A M SE l e c tr i ca l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , C a r n eg i e I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

P i t t s b u r g h , P e n n s y l v a n i a , U . S . A .

S u m m a r yA n a l g o r i t h m i s d e r i v e d f o r t h e p h y s i c a l c o n d i t i o n s i n a l o w - c u r r e n t

e l e c tr i c a l d i s c h a r g e i n i t i a t e d b y l o w - v o l t a g e s p a r k o v e r b e t w e e n p l a n ee l e c t r o d e s i m m e r s e d i n a l i q u i d d i e l ec t r i c . C a l c u l a t e d r e s u l t s a r e c o n c e r n e dw i t h c o l u m n - p r e s s u r e , t e m p e r a t u r e , v o l t a g e g r a d i e n t , e l e c t r o n d e n s i t y a n dc o l u m n r a d i u s f o r a d i s c h a r g e i n a l i q u i d n i t r o g e n d i e le c t ri c . O f t h e s e o n l yc o l u m n r a d i u s c a n b e s t u d i e d e x p e r i m e n t a l l y ; e x p e r i m e n t a l r e su l t s a r e s h o w nt o c o m p a r e r e a s o n a b l y w e l l w i t h p r e d i c t e d r e su l ts .

w 1 . I n t r o d u c t i o n . T h i s p a p e r is c o n c e r n e d w i t h t h e p h y s i c a 1p h e n o m e n a a c c o m p a n y i n g th e r a d i a l g r o w t h o f th e i o n iz e d g a sc o l u m n s o f e le c t ri c a r c s f o r m e d b y l o w - v o l ta g e s p a r k o v e r o f g a p sb e t w e e n c l o s e ly - s p a c e d e l e c t ro d e s i m m e r s e d i n a l i q u i d d i e le c tr ic .T h e p e r i o d o f i n t e r e s t i n t h i s w o r k i s t h e f ir s t m i c r o s e c o n d a f t e r a r cf o r m a t i o n . S o m e p r e v i o u s w o r k s 1 )2) h a v e d e a l t w i t h t h e r e s u lt s o fe x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f t h e e l e c t r o d e p h e n o m e n a a t t h e t e r m i n io f t h e d i s c h a r g e s ; th i s p a p e r d e a ls w i t h d e d u c t i o n s f ro m p h y s i c a lt h e o r y c o n c e r n i n g th e s t a te a n d d y n a m i c s of t h e i o n iz e d c o l u m ni tse l f .

* ) W o r k s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e N a t i o n a l S ci en c e F o u n d a t i o n , U . S .A . , u n d e r G r a n t sG 3 0 7 2 a n d G 1 05 20 . T h e w o r k d e s c r ib e d i s a b s t r a c t e d f r o m a d i s s e r t a ti o n s u b m i t t e d b yP . K . E e k m a n i n p a r t ia l f u l f il h n e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s f o r t h e d e g re e o f D o c t o r o fP h i l o s o p h y a t C a r n e g i e I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y .

- - 2 9 9 --


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3 00 P . K . E C K M A N A N D E . M . W I L L I A M SE l e c t r i c a l s p a r k o v e r b e t w e e n m e t a l l i c e l e c t r o d e s i m m e r s e d i n a

l i q u i d d i e l e c t r ic is f o l lo w e d b y a h i g h c u r r e n t d e n s i t y a r c d i s c h a r g e ,t h e r e m o v a l of e l e c t ro d e m a t e r i a l a n d t h e f o r m a t i o n o f w e l l - d e f in e da n d c h a r a c t e r i s t i c e l e c t ro d e c r a te r s . T h e a s s o c i a t e d p h e n o m e n ah a v e b e e n t h e s u b j e c t o f e x p e r i m e n t a l s t u d i e s 3 )4 ), o r i g in a l ly w i t he m p h a s i s o n t h e f o r m a t i o n o f c ol lo id a l s u sp e n s io n s o f t h e p a r t ic l e se r o d e d f ro m t h e e l e ct ro d e s , a n d , m o r e r e c e n t l y , i n c o n n e c t i o n w i t h' e l e c t ri c a l ' m a c h i n i n g 5) p r o c e s s e s in w h i c h t h e e l e c t r o d e - m a t e r i a lr e m o v a l is a d a p t e d f o r p u r p o s e s a n a l o g o u s t o t h o s e e n c o u n t e r e d inc o n v e n t i o n a l m a c h i n e to o ls . D e s p i te t h e d e v e l o p m e n t o f a n e x -t e n s i v e a r t in e le c t ri c a l m a c h i n i n g t h e p h y s i c a l p h e n o m e n a i n v o l v e dh a v e b e e n i n c o m p l e t e l y u n d e r s t o o d . M o r eo v e r , a l t h o u g h r e f in e de x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s 1) a r e a v a i l a b le f o r t h e s t u d y o f t h e e r o s io no f t h e e l e c t ro d e s , t h e r e i s v e r y l i tt l e p o s s i b i li t y o f a d i r e c t e x p e r i m e n t a li n v e s t i g a t i o n o f t h e d i s c h a r g e d y n a m i c s . T h e s e c o n s i d e r a t io n s h a v el e d t o t h e s t u d y , t h e r e s u l t s o f w h i c h a r e r e p o r t e d i n th i s p a p e r .

w 2 . R a t i o n a l e o / s o l u t io n . T h is s t u d y c o m m e n c e d w i t h t h es e l e c t i o n o f a m o d e l c o n f i g u r a t i o n f o r t h e e l e c t r o d e s , d i s c h a r g ep a t h , a n d d i e le c t ri c c h a n n e l s a s e n c o u n t e r e d u n d e r s i m p l i fi e dc i r c u m s t a n c e s i n t h e r e l e v a n t t e c h n o l o g y . T h i s c o n f i g u r a t io n ,s h o w n i n f i g . 1 , c o m p r i s e s t w o p l a n e - p a r a l l e l e l e c t r o d e s , s e p a r a t e db y a s m a l l s p a ci n g , w i t h a c y l i n d r i c a l d i s c h a r g e c o l u m n c e n t e r e d i nt h e s p a c e b e t w e e n t h e e l e ct ro d e s . T h e s e e l e m e n t s a re i m m e r s e d in al i q u i d d i e l e c t r i c .

T h e o b j e c t o f t h e m e t h e m a t i c a l a n a l y s i s i s t h e d e s c r i p t i o n o f t h es y s t e m a f t e r i n i t i a l s p a r k o v e r a n d f o r m a t i o n o f t h e d i s c h a r g ec o l u m n . T h e l iq u i d d i e le c t ri c s u r r o u n d i n g t h e d i s c h a r g e w a s a s s u m e dt o b e i m c o m p r e s s i b le . T h e a n a l y s i s p r o c e e d e d b y a p p l y i n g t h eN a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , w r i t t e n f o r a c y l in d r i c a l c o o r d i n a t es y s t e m , t o a g a s c o l u m n e x p a n d i n g r a d i a l ly f r o m t h e c e n t r e o f t h em o d e l c o n f i g u r a t i o n . C o n d i t i o n s o f t h e m a t e r i a l w i t h i n t h e g a sc o l u m n w e r e d e t e r m i n e d b y a p p r o x i m a t i n g a n e n e r g y b a l a n c eb e t w e e n t h e p o w e r d e l iv e r e d t o t h e g a p a n d p o w e r d i ss i p a te d f r o mt h e d i s c h a r g e c o l u m n . T h e e x p a n d i n g g a s c o l u m n i s c o n s i d e r e dt o b e o f h i g h e n o u g h te m p e r a t u r e , p r e ss u r e a n d d e n s i t y s o t h a ti t m a y b e t r e a t e d a s a p l a s m a . Q u a s i - e q u i li b r iu m e q u a t i o n s p e r m i tc a l c u l a t i o n o f t h e s t a t e o f t h e g a s - c o l u m n a s t h e e x p a n s i o nc o n t i n u e s .


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P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C 3 0 1

I

~ coumn( o )

d i e l e c t r i c [z_2

I t

( b )F i g . I . ( a) C o n f i g u r a t i o n s e l e c t e d a s a m o d e l of a d i s c h a r g e c o l u m n f o r m e di n a l i q u id d i e l e c t r i c b y s p a r k o v e r b e t w e e n c l o s e l y -s p a c e d p l a n e - p a r a l l e le l e c t r o d e s , (b) c o o r d i n a t e s u s e d i n a n a ly s i s . T h e r a d i u s o f t h e d i s c h a r g ec o l u m n is r , a n d v i a n d a~ r e p r e s e n t t h e v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t io n , r e s p e c t i v e l y ,o f t h e b o u n d a r y o f t h i s c o lu m n , v(r) a n d a(r) r e p r e s e n t t h e v e l o c i t y a n da c c e l e ra t i o n , r e s p e c t i v e l y , o f t h e f l u i d o u t s i d e t h e d i s c h a r g e c o l u m n a t a

r a d i u s r f r o m t h e c e n t e r o f t h e c o l u m n .

w 3 . D e t a i l s o / s o l u t i o n . T h e g e n e r a l e x p r e s s i o n o f t h e s i m p l i f i e dN a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n f o r i m c o m p r e s s i b le - f l u i d f lo w is g iv e n a s 6)

dp ~ - ( ~ o) = F - - g r a d p + # V 2 t o , ( 1)i n w h i c h

p = m a s s d e n s i t y ,# = v i s c o s i t yp = p r e s s u r e ,t o = - v e l o c i t y ( g e n e r a l i z e d } ,F = b o d y fo r c e s ( g e n e r a l i z e d ) .


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3 0 2 P . K . E C K M A N A N D E . M . W I L L I A M ST h e c o n t i n u i t y e x p r e s s i o n

d iv o = 0 , (2)i s a l s o u s e d .

F o r t h e c o n f i g u r a ti o n e m p l o y e d , c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s a r e m o s ts u i t a b l e , a n d r , 0, a n d z w i ll d e n o t e t h e r a d i a l , a n g u l a r , a n d a x i a lc o o r d i n a t e s , r e s p e c t i v e l y . I f w e a s s u m e (a ) r a d i a l f l o w o n l y , (b)z e r o v i s c o s i t y a n d ( c ) n o b o d y f o r c e s , t h e n

0 p 0 p~o0 , r o z = 0 , 00 ' 0z - - 0 '

a n d w e o b t a in# = O , F r , F O , F z = O ,

( ~ O r ~ O )r ~ - - O p rP \ O t + C ~ , ] - - O r (3 )

a n dOgo (D- - - + = o . ( 4 )O r r

U s i n g t h e d i m e n s i o n s o f f ig . 1.O v( r ) O v( r ) - ] _ - - O p ( r )

O k ~t + v ( r ) O r _J O r ( 5 )a n d , s i n c e

Yiv ( r ) ~ v i - - ,r

( 4 ) b e c o m e sO r ( r ) V # " i

O r r 2 ' ( 6 )i n w h i c h v i, r , a r e n o t f u n c t i o n s o f r b u t o n l y o f t. T h u s (5) b e c o m e s

I Ov( r ) v i2r i2 I O p(r )P 0t r 3 - - 0r (7)

S i n c eO r(r) Ov i r , v i Or ia (r ) - - - - + - - - -Ot Ot r r Ot


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PLASMA DYNAMICS IN AN ARC 303a n d

3 v c ~ r c-- ai, -- VC,S t S t

( 7 ) m a y b e w r i t t e nac re + v e 2 v p re 2 ) O p(r ) (8 )

P r r r ~ - - ~ rI n t e g r a t i o n o f (8 ) f r o m r = re t o r = r0 y i e l d s

P e - - P o ( r@ ~ ) [ ( r @ l ) rc 2 ]P - - a c r e l n + v c 2 I n + 2 r o ~ - - - 8 9 . (9 )S o l v i n g f o r ac w e f i n d

Pe - - Po v e 2 l n ( r ~ + v p ( r o 2 - - r c ~ )p ~-1 2ro 2ae - - , (10)

r e l n ( r ~ ~\ ye I

i n w h i c h ro , p a n d P 0 a r e f i x e d , Pc v a r i e s a s re, a n d re a n d ve v a r yw i t h a c .

w 4 . C o m p u t a t i o n m e t h o d s . R e s u l t s h a v e b e e n c a l c u l a t e d w i t h a nI B M - 6 5 0 D a t a - P r o c e s s in g S y s t e m . T h e c o m p u t a t io n p r o c e du r e h asi n v o l v e d a s y s t e m a t i c s t u d y o f t h e e f f e c ts of v a r i o u s p a r a m e t e r su p o n d i s c h a r g e c o l u m n g r o w t h .

U s i n g (1 0) a n d a s s u m i n g t h a t (re )0 a n d v e (0 ) a r e s p e c i f i e d , w e c a nf i n d rc a n d ve a t a n y t i m e t > 0 b y a p u r e l y i t e r a t i v e p r o c e s s , t a k i n gi n c r e m e n t s o f t s m a l l e n o u g h s o t h a t n o n e o f t h e s i g n i f ic a n t p a r a -m e t e r s o f t h e p r o b l e m c h a n g e s b y m o r e t h a n a fe w p e r c e n t w i t h e a c hi t e ra t i o n . F o r m o s t o f t h e c o m p u t a t i o n (V c)o is a s s u m e d t o b e z e r o( s a m p l e c a l c u l a t i o n s h a v e s h o w n t h a t t h e i n i t i a l c h o i c e o f (v e)0 a n d(re )0 h a v e a n e g l i g i b l e e f f e c t o n t h e s o l u t i o n f o r t > 1 0 - s s e c o n d s ) .

T h e m a j o r p r o b l e m i s t o r e l a t e Pc t o t h e s iz e o f t h e g a s c o l u m n .T o d o t h is , t h r e e q u i t e g e n e r a l e q u a t i o n s a r e u s e d : (a) th e i o n i z a t i o ne q u a t i o n , (b) t h e r e s i s t i v i t y e q u a t i o n , (c) t h e t o t a l - r a d i a t i o ne q u a t i o n . W i t h t h e e x t r e m e s o f c u r r e n t - d e n s i t y a n d p r e s su r e o f t h isp r o b l e m , t h r e e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s i n t h e s e e q u a t i o n s e n a b l e u st o d e s c r i b e t h e d i s c h a r g e c o n d i ti o n s . T h i s i s i n m a r k e d c o n t r a s t t o


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3 0 4 P . K . E C K M A N A N D E . M . W I L L I A M St h e c o m p l e x i t i e s e n c o u n t e r e d u n d e r o t h e r d i s c h a r g e c o n d i t i o n s .A s d e v e l o p e d i n t h e A p p e n d i x , t h e s e e q u a t i o n s a r e f o r (a) , (b) a n d( c ) r e s p e c t i v e l y

/ eV~\N e 2 - - 2 .43 1 0 2 1 T e ~ e x p ~ e ] , (11)N ~E 221 ( 6 .2 5 104 ) ( 12 )j - - T e a l o g l o \ - ~ V ~ '

g ' J = 1 .42 l O - 4 ~ 89 (13)E = e l e c tr i c -f i e ld i n t e n s i t y a n d I E I = V d 2 s ,J = c u r r e n t d e n s i t y , a n d [J[ = I /~r r i 2 ,2 s = l e n g t h o f e l e c t r o d e g a p ,V g = t h e p o s i t i v e - c o l u m n g a p v o l t a g e ,I = t h e t o t a l d i s c h a r g e c u r r e n t ,K = B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t ,N e = t h e d e n s i t y o f e l e c t r o n s i n t h e d i s c h a r g e c o lu m n ,N n = t h e d e n s i t y o f n e u t r a l a t o m s ,T e = t h e e l e c t ro n t e m p e r a t u r e ,e = t h e e l e c t r o n i c c h a r g e ,V ~ = t h e i o n i z a t i o n p o t e n t i a l o f t h e d i e l e c t r ic m a t e r i a l .W e a l so h a v e t h e c o n t i n u i t y r e l a ti o n s

a n dN o = N e + N n (14)

(No ) t = (No)o ( r t )o2/( r i ) t 2 , (15)i n w h i c h N o = t h e t o t a l d e n s i t y o f t h e p a r t ic l e s i n t h e d i e l e ct ri c .

I t i s a s s u m e d , a t t h e s t a r t , t h a t t = 0 is t h e i n s t a n t a t w h i c hb r e a k d o w n h a s o c c u r re d . T h a t is , c o n d u c t i o n is p r e s e n t a n d t h ec u r r e n t f lo w i n g is d e t e r m i n e d b y t h e p r o p e r t i e s o f t h e e n e r g y s o u r c e ,c i rc u i t, a n d t h e a r c d r o p . T h e f o r m a t i v e p e r i o d 1) o f t h e s p a r k h a sp a s s e d ( 2 5 - 5 0 1 0 9 s e c o n d s ) .

I f w e s t a r t b y s p e c i f y i n g t h e i n i t i a l v o l t a g e a c r o s s t h e g a p a n da s s u m e t h a t t h e i n i ti a l p a r t ic l e d e n s i t y (N 0)0 i s t h e s a m e a s t h a t o ft h e l i q u id p r io r t o b r e a k d o w n , t h e s i m u l t a n e o u s s o l u t i o n o f (I 1)th r o u g h ( 14 ) w i l l y i e ld ( ri )o , ( J ) o , ( N e ) o , ( T e ) o a n d (P ~)o . A s s u m i n gt h a t (v d o = 0 , i t fo l l o w s f r o m (1 0) t h a t a t = / ( p , , v i , r d a n d t h e


7/22

PLASMA DYNAMICS IN AN ARC 305g r o w t h o f t h e d i s c h a r g e i n t e r f a c e c a n b e c a l c u l a t e d b y c h o o s i n gs m a l l i n c r e m e n t s o f t im e d t a n d l e t t in g

r j+ l = r j + v j ~ t + l a j( A t ) 2a n d

Vj+l : V j + a jA t .A t t h e e n d o f e a c h A t i n t e r v a l (1 I) t h r o u g h ( 1 4 ) a r e a g a i n s o l v e d ,a n d n e w v a l u es o f J , Xe, Te , p* , a n d a n e w V g a r e fo u n d . F r o m (1 0)a n e w a , is fo u n d , a n d s i m i la r s u cc e s s iv e it e r a t io n s p e r m i t d e t e r m i -n a t i o n o f r i a s a c o n t i n u i n g f u n c t i o n o f t i m e .

M o s t o f t h e c a l c u l a t i o n s o f t h i s w o r k w e r e c a r r i e d o u t f o r a l iq u i d -n i t r o g e n d i e l ec t ri c . L i q u i d n i t r o g e n w a s a d v a n t a g e o u s f o r u s e inb o t h t h e t h e o r e t ic a l a n d e x p e r i m e n t a l w o r k o f t h is s t u d y b e c a u s ei t s i o n i z a t i o n p o t e n t i a l ( 1 5 . 4 v o l t s ) a n d i n i t i a l p a r t i c l e - d e n s i t y(3.49 1028 m - 3 ) a r e m o r e a c c u r a t e l y k n o w n t h a n t h o s e of t h eh y d r o c a r b o n - m i x t u r e d i e l e c t r i c s c o m m o n l y e m p l o y e d i n e l e c t r i c -s p a r k m a c h i n i n g .

w 5 . D i s c u s s i o n o / a p p r o x i m a t io n s e m p l o ye d .A . A s s u m p t i o n o f n o n - v i s c o u s f l o w . T h e f lu id -f lo w p ro b le mh a s b e e n t r e a t e d w i t h t h e a s s u m p t i o n o f z e ro v is c o s it y . T h e v a l i d i t yo f t h i s a s s u m p t i o n c a n b e t e s t e d b y c a l c u l a t i n g t h e p r e s s u r e d r o pa c r os s th e f lu i d d u e t o v i sc o u s f lo w (in t h e s t e a d y s t a t e ) a n d c o m p a r -i n g t h i s w i t h t h e p r e s s u r e d r o p f o u n d i n t h e n o n - v i s c o u s s o l u t i o n .S u c h c o n s i d e r a t i o n s s h o w t h a t t h e p r e s s u r e d r o p a c r o s s t h e l i q u i db e t w e e n t h e e l e c t r o d e g a p ( s e e f i g . 1 ) i s

3 r i v , r oP l - - P 0 - - s2 # l n - - , (16)r iw h i l e a c o n t i n u o u s c h e c k o f t h e q u a n t i t y P i - - P 0 d u r i n g t h e v a r i o u ss t a g e s o f t h e p r o b l e m - s o l u t i o n h a s s h o w n t h a t t h e v i s c o u s p r e s s u r en e v e r e x c e e d s 1 ~ o o f t h e c o l u m n p r e s s u r e f o r t h e d i e l e c t r i c a n dc o n f i g u ra t io n e m p l o y e d .

B . A s s u m p t i o n o f s y m m e t r y i n t h e d i s c h a r g e c o n f i g u -r a t i o n . I n t h e m o d e l c h o s en i t w a s a s s u m e d th a t t h e d is c h a rg eo c c u r s a l o n g t h e a x i s o f s y m m e t r y . A l t h o u g h d i s c h a r g e s s e l d o mo c c u r a t t h e e x a c t c e n t r e o f t h e c o n f i g u r a t i o n , it is cl e a r t h a t i f t h ed i s c h a r g e c o l u m n d i a m e t e r i s s m a l l c o m p a r e d w i t h t h e e l e c t r o d ed i a m e t e r , t h e e l e c tr o d e c o n f i g u ra t io n a p p r o x i m a t e s t h a t o f t w oi n f in i t e p l a n e s in a n y c a s e , s y m m e t r i c a l o r a s y m m e t r i c a l .


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3 0 6 P. K. ECKMAN AND E. M. WILLIAMSC . Z e r o a r c - f o r m a t i o n i n t e r v a l . T h i s w o r k is c o n fi n ed t o

t h e p h e n o m e n a e n c o u n t e r e d a f t e r t h e a r c is e s t a b l i s h e d ; i t is i m p l i -c i t l y a s s u m e d t h a t t h e f o r m a t i v e t i m e o f t h e a r c is z e ro . T h e s o l u t i o ni s t h u s u n r e a l i s t i c i n t h e v i c i n i t y o f t ---- 0 ; h o w e v e r , s i n c e t h e f o r m a -t i v e t i m e i s v e r y m u c h s m a l le r t h a n t h e t i m e i n t e rv a l u n d e r s t u d y ,t h e s o l u t i o n b e c o m e s m o r e r e a li s ti c , i n s o f a r as th i s a s s u m p t i o n i sc o n c e r n e d , a s t i m e i n c r e a s e s .

D . P o t e n t i a l d i s t r i b u t i o n b e t w e e n t h e a n o d e a n dc a t h o d e . T h e p o t e n t i a l d i ff e re n c e b e t w e e n e l e c tr o d e s c o m p r i s e st h r e e r a t h e r d i s t i n c t p a r t s , t h e c a t h o d e d r o p Vc, t h e a n o d e d r o p Vaa n d t h e d i s c h a r g e c o l u m n d r o p V g, w h i c h is n e c e s s a r y t o m a i n t a i na n e l e c tr ic f ie l d i n si d e t h e p l a s m a o r io n i z e d g a s b e t w e e n t h e a n o d ea n d c a t h o d e .

T h e v o l t a g e - d r o p Vc o c c u r s o v e r a d i s ta n c e o f a n e l e c t r o n m e a n -f r e e - p a t h f r o m t h e c a t h o d e s u r f a c e ( c o r r e s p o n d i n g t o t h e v e r y h i g hg r a d i e n t n e c e s s a r y t o a c c o u n t f o r t h e e x t r e m e l y h ig h c u r r e n t -d e n s i t i e s m e a s u r e d i n t y p i c a l i n s t a n c e s ) l) 7 )s ), w h i l e t h e v o l t a g e d r o pVa c o v e r s a d i s t a n c e o f s e v e r a l m e a n f re e p a t h s f r o m t h e a n o d es u r f a c e . B o t h Vc a n d Va a r e o f t h e o r d e r o f 6 t o 8 V , g e n e r a l l y o ft h e s a m e o r d e r a s t h e i o n i z a ti o n p o t e n t i a l o f t h e e l e c t r o d e m a t e r i a l ,a n d r e m a i n r e l a t i v e l y c o n s t a n t d u r i n g a d i s c h ar g e .

T h e m a j o r c o m p o n e n t o f t h e g a p - v o l t a g e d r o p V g o c c u r s a c ro s s t h e' p o s i t i v e c o l u m n ' o f t h e d i s c h a r g e . T h i s v o l t a g e i s e x p e c t e d t o v a r yw i t h t i m e , d e p e n d i n g u p o n t h e i n i t i a l o v e r - v o l t a g e a c r o s s t h e g a p ,t h e d i e l e c t r i c p a r t i c l e d e n s i t y , c u r r e n t d e n s i t y a n d t h e r a d i a l e x -p a n s i o n o f t h e d i s c h a r g e c o l u m n .

E . C o n d i t i o n s i n t h e p l a s m a . I n t h e d is ch a r ge c o lu m n t h eE f ie l d is r e l a t i v e l y u n i f o r m o v e r t h e e n t i r e l e n g t h . T h e p o w e rd e v e l o p e d i n t h e c o l u m n i s

~TeE . J = Brad + ~XeK St ' (17)i n w h i c h Prac~ = " f r e e - f r e e " r a d i a t i o n ( fr o m a p l a s m a ) .

A u n i f o r m c u r r e n t d e n s i t y w i t h i n t h e a r c c h a n n e l is a s s u m e d .F u r t h e r m o r e , b y a s s u m i n g z e ro v i s c o s it y a n d i n f in i te t h e r m a lc o n d u c t i v i t y ( i n t h e p l a s m a ) , i t h a s b e e n i m p l i e d t h a t p a r t i c l ed e n s i t y ( a n d d r i ft v e l o c i t y a l o n g t h e d i s c h a rg e a x i s) i s c o n s t a n ta c r o s s t h e d i s c h a r g e c r o s s - s e c t i o n .

S o m e q u e s t i o n m i g h t a r i s e a s t o w h e t h e r t h e r e i s t e m p e r a t u r e


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PLASMA DYNAMICS IN AN ARC 3 0 7e q u i l i b r i u m i n t h e c l a s s i c a l s e n s e . I n l o w - p r e s s u r e d i s c h a r g e s , i t i so f t e n t r u e t h a t e q u i l i b r iu m d o e s n o t e x i s t b e t w e e n t h e e l e c tr o n s ,i o n s a n d g a s m o l e c u le s . H o w e v e r , a t h i g h e r a n d h i g h e r p r e s s u r e s t h ee l e c t r o n t e m p e r a t u r e a n d g a s t e m p e r a t u r e a p p r o a c h t h e s a m e v a l u e .S p i t z e r 9) c o n s id e r s a n e l e c t r o n - p r o t o n g a s, t h e v e l o c i t y a n dd i s t r i b u t i o n o f w h i c h i s a r b i t r a r i l y a l t e r e d ( p e r h a p s b y s u d d e nc h a n g e s i n t h e E f ie ld , d e n s i t y a n d / o r t e m p e r a t u r e ) a n d s h o w s t h a te q u i p a r t i t i o n w i l l b e e s t a b l i s h e d b e t w e e n e l e c t r o n s a n d p r o t o n si n a t i m e

5 .9 X 10aTe ~ i n w h i c h f 2 = 3 ( K 3 T e a ) 89Tee. = Ne I n f 2 ' 2 e 3 - ~NeC a l c u la t io n o f t h e e q u i p a r t i t io n t im e s t h r o u g h o u t t h e p r o b l e m h a ss h o w n t h a t t h e s e t i m e s a r e of r o u g h l y t h e s a m e t i m e s c a l e a s t h et im e i n c r e m e n t s u s e d i n t h e c o m p u t a t i o n . A s lo n g as

O E A t ~ E , S N e A t O N e a n d S T e A t ~ T eSt S t S ta n d t h e i n c r e m e n t A t i s a s g r e a t o r g r e a t e r t h a n ter w e m a y a p p lyt h e t h e rm a l - i o n iz a t io n e q u a t i o n w i t h r e a s o n a bl e a c c u r a c y . R e c e n t l yB r a g i n s k i 1~ h a s a p p l i e d su c h e q u il ib r iu m c o n d i ti o n s t o t h eg r o w t h o f s p a r k s i n a h i g h - d e n s i t y g a s a n d f o u n d e x c e ll e n t a g r e e m e n tw i t h e x p e r i m e n t .

F . H e a t l o s s e s . I n t h e s im p l e c y li n d ri c al m o d e l c h o se n , h e a tl os s w i ll o c c u r b y c o n d u c t i o n i n t o t h e e l e c t ro d e s a t t h e e n d s o f t h ec o lu m n a n d b y c o n d u c t io n a n d m i x in g a t t h e b o u n d a r y b e t w e e nt h e p l a s m a a n d t h e s u r r o u n d i n g f lu id . B o t h p h e n o m e n a a c t t o re -t a r d c o l u m n g r o w t h .

I t h a s b e e n a s s u m e d t h a t t h e r a t e o f h e a t l os s t o t h e e l e c t r o d e i so f t h e f o r m

Q1 = h l A O , (18)i n w h i c hh i = a h e a t c o n d u c t i o n c o e f fi c ie n t a t t h e e l e c t ro d e ,A = c r o s s - s e c t i o n a l a r e a o f t h e d i s c h a r g e c o l u m n ,0 = t e m p e r a t u r e d i ff e re n c e b e t w e e n t h e c o l u m n a n d t h e e l e c tr o d es u r f a c e .V a l u e s o f h i m a y b e o b t a i n e d b y c o n s id e r i n g t h e h e a t f lo w in t o as e m i - i n f i n i t e s l a b a t a p o i n t o n i t s s u r f a c e . I t c a n b e s h o w n 8 ) t h a ti f a s t e a d y h e a t f l o w Q 1 i s b e g u n a t t = 0 , t h e n a t a n y l a t e r t i m e t ,


10/22

3 0 8 P . K. ECKMAN AND E. M. WILLIAMSa t a d i s t a n c e r fr o m t h e s o u rc e , t h e t e m p e r a t u r e o f t h e s l a b isi n c re a s e d b y a n a m o u n t

( ~1 V1 e r f (_~ _) ~ ,r (19)I r t li n w h i c h

2he~a n dp = d e n s i t y ,c = e l e c t r o d e t h e r m a l c a p a c i t y ,h c = e l e c tr o d e t h e r m a l c o n d u c t i v i ty .

S i n c e t h e r e is l i tt l e e v i d e n c e 1)2 ) o f e l e c t r o d e m e l t i n g ( e x c e p t f o re l e c t ro d e s w i t h m e l t i n g p o i n t s b e l o w a b o u t 7 00~ w e c a n p l a c ea n u p p e r b o u n d o n Q1 a t a n y t i m e b y m e a n s o f (19) a n d a n u p p e rb o u n d o n h i b y (1 8). F o r s h o r t - d u r a t i o n d i s c h a r g es , v a lu e s o f h i a sh i g h a s 1 104 J / m 2 s ~ m a y o c c u r .

A t t h e i n t e r fa c e b e t w e e n t h e d i sc h a r ge c o l u m n a n d t h e l i q ui dd i e l e c tr i c c o n d i t i o n s a r e q u i t e o b s c u r e . C e r t a i n l y t h e r e a r e t u r b u l e n ta n d m i x i n g e f fe c ts a n d o t h e r p h e n o m e n a o c c u rr in g . A n e s t i m a t ef o r h e a t l o s s h e r e h a s b e e n m a d e i n t h e f o r m

Q2 = h2(2 ~r l ) (2a) T e , (20)i n w h i c h h a i s a n i n t e r f a c e h e a t c o n d u c t i o n c o e f f i c i e n t . S u c h ac o r r e c t i o n h a s b e e n a p p l i e d t o t h e c a l c u l a t i o n o f r a d i a l g r o w t h .

G . S i n g l e - m u l t i p l e i o n i z a t i o n . A ll c a l c u la tio n s a re b a s edo n a n a s s u m e d s i n g le i o n iz a t i o n o f t h e d i e le c t ri c m a t e r i a l . T h ee x t e n t o f a n y m u l t i p l e i o n i z a t i o n v a r i e s d u r i n g t h e d i s c h a r g e a n dd e p e n d s u p o n t h e t e m p e r a t u r e , e l e c t r o n d e n s i t y a n d p a r t i t i o nf u n c t i o n o f a s t a g e o f i o n i z a t i o n ( w h i c h i t s e l f i s t e m p e r a t u r e -d e p e n d e n t ) a n d m a y b e c a l c u l a te d b y u s e o f t h e g e n e r a l S a h ai o n i z a ti o n e q u a t i o n . H o w e v e r , t h e c o m p l e t e c a l c u l a t io n i n c re a s e st h e n u m b e r o f i n d iv i d u a l c o m p u t a t i o n s b y a t l e a st a n o r d e r o fm a g n i t u d e . T h i s r e f i n e m e n t w o u l d n o t b e j u s t if i e d in v i e w o f t h em a n y o t h e r a p p r o x i m a t i o n s a n d u n c e r t a i n t i e s i n h e r e n t i n t h es i m p l e c o n f i g u r a t i o n a n d a n a l y s i s e m p l o y e d .

H . P i n c h e f f e c t . T h e m a t e r i a l p r e s su r e P i i n t h e d i sc h a rg e -c o l u m n i s m o d i f ie d b y a c e r t a in a m o u n t b e c a u s e o f t h e " p i n c h


11/22

P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C 3 0 9

e f f e c t " 11). T h e m a g n e t i c p r e s s u r e P m i s a d i r e c t r e s u l t o f t h e i n t e r -a c t i o n o f t h e c u r r e n t i n t h e p l a s m a w i t h t h e m a g n e t i c f i e l d c a u s e db y t h a t c u r r e n t . T h e p i n c h p r e s s u r e i n t h e p l a s m a i s

V m = B / 8 ~ # (21 )a n d

B = 2 # I / r . (22 )0 . 3 6

/" 0 . 2 8 I = 3 0 ( ~ o m p sE [ = 1 7 fo r.E 0. 24 "~

0 . 2 0

o o 1 6 /t.o hgo 0 .12 '~

" ; 0 . 0 8Ul:3 0 . 0 4on-

O

he,Oaz.,: o _r , . ~ _ . . h -"_ i . ~

~ ' ~ k " " ~ ' a t , e r g r o w t h )0 0 . 3 0 , 6 0 , 9 1 .2 1 .5

T i m e ( m i c r o s e c o n d s )F i g . 2 . C u r v e s s h o w i n g t h e d e p e n d e n c e o f th e c o m p u t e d d i s c h a r g e -r a d i u su p o n t h e d u r a t i o n o f t h e d i s c h a r g e f o r v a r i o u s c u r r e n t s a n d h e a t - t r a n s f e rc o n s t a n t s a n d a c u r v e o f m e a s u r e d c r a t e r r a d iu s . T h e a d d i t i o n a l c u r v e o fm e a s u r e d d a t a i s f o r a k e r o s e n e ( K ) d ie l e ct ri c . R o u g h e s t i m a t e s o f h e a t -t r a n s f e r f o r c o p p e r e le c t r o d e s s u g g e s t t h a t a r e a s o n a b l e v a l u e o f h i i s i n t h eran ge 1 l 0 s < h i < 1 10a . N o v e r y s a t i s f a c t o r y b a s i s h a s b e e n f o u n df o r e s t i m a t i n g h 2 . A l l d a t a e x c e p t t h e s i n g l e c u r v e f o r k e r o s e n e , a r e f o r al i q u i d - n i t r o g e n d i e l e c t r i c .H e n c e t h e m a g n e t i c p r e s s u r e a t t h e i n t e r f a c e i s g i v e n b y

P m = / ~ I 2 / 2 ~ r 2. ( 2 3 )I n t h e c a l c u l a t i o n p e r f o r m e d , P m h a s b e e n f o u n d t o b e n e g l ig i b l ec o m p a r e d t o P l t h r o u g h o u t t h e d u r a t i o n o f t h e d i s c h a r g e s o n s i d e r e d .


12/22

3 1 0 P . K . E C K M A N A N D E . M . W I L L I A M Sw 6 . R e s u l t s . F i g . 2 s h o w s c o m p u t e d c u r v e s o f d i s c h a rg e r a d i u s

a s a f u n c t i o n o f d i s c h a r g e d u r a t i o n f o r c a s e s i n w h i c h n e g l i g i b let h e r m a l l os s es a r e a s s u m e d a n d c a s e s i n w h i c h m o r e ' re a l is t ic ' v a l u e so f t h e r m a l lo ss h a v e b e e n t a k e n i n to a c c o u n t , t o g e t h e r w i t h c u r v e so f m e a s u r e d d i s c h a rg e r a d i u s. S o m e o f t h e d i s c r e p a n c i es b e t w e e nm e a s u r e d a n d c o m p u t e d v a l u e s m a y b e a c c o u n t e d fo r b y t h e e x -p e r i m e n t a l s i t u a ti o n , a s d i s c u s s e d b e l o w . T h e t h e o r e t i c a l w o r k o ft h i s s t u d y s u g g e s t s n o e x p l a n a t i o n f o r t h e m a r k e d l y s m a l le r d is c h a r g e

9 5 x l O 5inL,,

j o, \ , \ \ \ h, -oE 0 5 I = l O o l

, , - x , , ~ l = i 0 ~

b. I

O 0 0 .1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6T i m e ( m i c r o s e c o n d s }

h~.O

Fig. 3 . Calculated t ime -var iat ion of electron tem pera ture w ith t im e, in adischarge in a liquid-nitrogen dielectric, for tw o values of cu rren t an d tw oconditions of heat-transfer.c o l u m n r a d i u s e n c o u n t e r e d i n t h e h y d r o c a r b o n d i e l e c t r i c , w h i c hi s r e g a r d e d a s t o o c h e m i c a l l y c o m p l i c a t e d t o b e a n a l y z e d b y t h em e t h o d s o f t h is p a p e r . C a l c u la t io n s h a v e i n d i c a t e d t h a t i n it ia lp a r t i c l e d e n s i t y w i ll h a v e r e l a t i v e l y s m a l l e f f e c t s o n d i s c h a r g e r a d i u s ,f o r i n s ta n c e . A l t h o u g h o n e e x p e c t s h i g h e r p a r t i c l e d e n s i t i e s t or e s u l t i n h i g h e r v a l u e s o f p , , t h e ' t e m p e r a t u r e ' i n t h e d i s c h a r g e i sl e ss , s o t h a t h i g h e r p a r t i c l e d e n s i t i e s r e s u l t i n o n l y s l ig h t i n c r e a s e si n c o l u m n r a d i u s .


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P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C 311C u r v e s o f c u r r e n t d e n s i t y v e r s u s d i s c h a r g e d u r a t i o n a r e n o t

s h o w n , s i nc e c u r r e n t d e n s i t y c a n b e c a l c u l a te d d i r e c t ly f r o m c u r r e n ta n d d i s c h a r g e r a d i u s. A d i s c h a r g e c o l u m n o f 10 A a n d 0 .0 4 m mr a d i u s c o r r e s p o n d s to a c u r r e n t d e n s i t y o f a p p r o x i m a t e l y 2 109A / m 2, fo r e x a m p l e .

F i g s . 3, 4, 5 a n d 6 a r e c o n c e r n e d w i t h v a r i o u s c o n d i t i o n s w i t h i nt h e d i s c h a r g e . I n c o m p u t i n g t h e s e d a t a , h e a t t r a n s f e r h a s b e e ne i t h e r n e g l e c t e d o r t r e a t e d s o m e w h a t le ss t h o r o u g h l y t h a n i n t h e

I 0 2 9

( D0EQ.

C0L_CDqJ

z"

g, ; i ,

1025

I 0 2 4 0

~ I = IOC amp so m p s ~ ~

0.I 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6T ime ( m ic r o s e co n ds )

F i g . 4 . C a l c u l a t e d t i m e - v a r i a t i o n o f e l e c t r o n - d e n s i t y i n a d i s c h a r g e i n al i q u i d - n i t r o g e n d i e l e c tr i c . H e a t t r a n s f e r h a s b e e n n e g l e c t e d i n t h i s e x a m p l e .

d a t a o f fig . 2 , s in c e t h e a u t h o r s w e r e c o n c e r n e d p r i m a r i l y w i t ho r d e r s o f m a g n i t u d e .

T h e v a r i a t i o n o f e l e c t r o n t e m p e r a t u r e w i t h t i m e s u g g e s t s s o m el i m i t a t i o n s o f t h e a n a l y s i s e m p l o y e d . S t a r t i n g w i t h v a l u e s o f T e o ft h e o r d e r o f 3 105 ~ (fig . 3 ) t h e t e m p e r a t u r e f a ll s a s t h e d i s c h a r g ec o l u m n e x p a n d s a n d e l e c t r o n d e n s i t ie s ( fig . 4 ) d r o p r a p i d l y . T h e" f r e e - f r e e " r a d i a t i o n e q u a t i o n (1 3) is n o t a c c u r a t e a t t e m p e r a t u r e sb e l o w 4 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 ~ s in c e S t e f a n - B o l t z m a n n (b l a c k - b o d y ) r a d i -


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3 1 2 P . K . ECKMAN AND E . M. WILLIAMSa t i o n b e c o m e s fi r st a s i g n if ic a n t f a c t o r a s t h e t e m p e r a t u r e is r e d u c e da n d , s u b s e q u e n t l y , a d o m i n a n t f a c t o r . T h u s t h e v a l i d i t y o f s o l u t i o n ss h o w n h e r e is o p e n t o q u e s t i o n a f t e r t h e t i m e a t w h i c h s u c h l o wt e m p e r a t u r e s a r e r e a c h e d .

B y th e t im e t h a t t h e t e m p e r a t u r e h a s d r o p p e d t o 3 00 0 0 ~ t h ep e r c e n t a g e o f i o n i z a ti o n i s d o w n t o 9 5 % a n d i s f al li n g ra p i d l y . T h i si s c l e a r f r o m t h e p o i n t s o f i n f l e c t io n i n t h e N c v s t a n d E v s t c u r v e s( f ig s 4 a n d 5 ) .

"2I DE )e ~

10

I~ \ !I= o~ ~ ' ' ~ h~o10 ~ / / ~ a m o s

~ u m p sh,= 0 'uJ 10 0 O .I 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 , 6

Time (microseconds)F i g . 5 . C a l c u la t e d t i m e - v a r i a t i o n o f p o t e n t i a l g r a d i e n t i n t h e d i s c h a rg e -

c o l u m n d r o p - r e g io n i n a l i q u i d - n i t r o g e n d i e le c t r ic .

F i g . 6 s h o w s th e m a t e r i a l p r e s s u r e P i d u r i n g t y p i c a l d i s c h a r g e s .T h e p r e s s u r e P i b e g i n s a t h ig h v a l u e s , a b o u t 106 a t m o s p h e r e s ,g r a d u a l l y f a l l in g ( a s b o t h T e a n d N e a r e r e d u c e d ) t o v a l u e s i n t h er a n g e o f 1 t o 10 a t m o s p h e r e s f o r m i c r o s e c o n d p u l s es . T h e p i n c hp r e s s u r e , w h i l e l a r g e f o r s m a l l v a l u e s o f t , n e v e r b e c o m e s a n a p -p r e c i a b l e f r a c t io n o f P i , a n d i t s e f fe c t o n c o l u m n g r o w t h i s n e g li g ib l ef o r t h e r a n g e o f c u r r e n t s c o n s i d e r e d h e re . I t w o u l d a p p e a r t h a t f o r


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PLASMA DYNAMICS IN AN ARC 313h i g h c u r r e n t s ( I > 1 00 0 A ) a n d l o n g e r p u l s e s t h e e f f e c t s o f p i n c hp r e s s u r e s h o u l d b e i n c l u d e d i n f i n d i n g t h e n e t c o l u m n p r e s s u r e .

w 7 . E x p er i m en t a l i nvest iga t ion . E x p e r i m e n t a l t e s t s w e r e c o n -d u c t e d t o s t u d y t h e e f f e c ts o f s in g le , u n i d i r e c ti o n a l c u r r e n t d i s c h a r -g e s i n a l i q u i d - n it r o g e n d i e le c tr ic . T h e m a g n i t u d e s a n d d u r a t i o n s o ft h e p u l s e s e m p l o y e d h a v e b e e n li m i t e d t o a r a n g e i n w h i c h e l e c t r o d em e l t in g w i ll b e n e g li g ib l e a n d i n w h i c h t h e c o l u m n t e m p e r a t u r e w i llr e m a i n h i g h .

I n t h e p r o c e d u r e u s e d , s p a r k o v e r w a s i n i t i a t e d i n a l iq u i d d i e l e c tr i cb e t w e e n p o l i s h e d , p l a n e - p a r a l l e l , c y l i n d r i c a l e l e c t r o d e s o f 1 .2 7 c md i a m e t e r , a n d t h e a p p l i e d v o l ta g e w a s a d j u s t e d o v e r t h e r a n g e f r o m

r

E

O,i,=3=.=

:3Q

I 0 IC

I 0 9

N = IOO a107 \ \

I 0 6

0

r ip s) \0 aml~ ~N0. 2 0.4 0. 6 0.8 1.0 1.2

T i m e ( m i c r o s e c o n d s )Fig. 6. Calculated t ime-varia tio n of the discharge-column pressure in a

liquid-nitrogen dielectric. Heat transfer has been neglected.5 0 t o 3 0 0 0 v o l t . T h e c i r c u i t w a s a r r a n g e d t o d e l i v e r , f o l lo w i n gs p a r k o v e r , a s in g le c u r r e n t p u l s e o f s u b s t a n t i a l l y c o n s t a n t a m p l i t u d ea n d o f a d j u s t a b l e d u r a t i o n f r o m .0 1 5 t o 1.50 m i c r o s e c o n d s . A" p r e s s u r e h e a d " f r o m 1.2 5 t o 7 .5 0 c m o f d i e le c t ri c w a s m a i n t a i n e d


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3 1 4 P. K. ECKMAN AND E. M. WILLIAMSa b o v e t h e g a p l e v e l (s e e f ig . 1). T h e a p p a r a t u s u t i l iz e d h a s b e e nd e sc r i be d p re v io u s l y b y S m i t h a n d W i l l i a m s 1 )2) w h o w e r ec o n c e r n e d w i t h a k e r o s e n e d i e l e c t r i c .

F o l l o w i n g e a c h d i s c h ar g e , t h e d i a m e t e r o f t h e e l e c t r o d e c r a t e r sf o r m e d b y t h e d i s c ha r g e w a s m e a s u r e d . I t i s u s u a l l y a s s u m e d t h a tt h e c r a t e r d i a m e t e r i s e q u a l to t h e m a x i m u m d i sc h a rg e d i a m e t e r .T h e r e is , o f c o u r s e, n o a s s u r a n c e t h a t t h e r m a l p r o c e s s e s s u c h a sm e l t i n g ( a n d s u b s e q u e n t s o l i d i f i c a t i o n ) d o n o t t a k e p l a c e a f t e r t h ed i s c h a r g e i t se l f h a s c e a s e d . H o w e v e r , it s e e m s e v e n m o r e l i k e ly t h a tt h e g r o w t h o f c r a t e r a r e a m a y l ag t h e g r o w t h of t h e d i s ch a r g ec o l u m n . I n f a c t, a c l e a r l y d e f in e d a r e a o f s u r f a c e d i s c o l o r a ti o nc o m m o n l y s u r r o u n d s t h e c r a t e r a n d is p e r h a p s o f tw i c e t h e d i a m e t e ro f t h e c r a t e r s t h e m s e l v e s . W h e t h e r t h i s d i sc o l o re d a r e a is d u e t ot h e r m a l p r o c e s s e s i n t h e e l e c t r o d e i ts e lf o r to a c o l u m n d i a m e t e r o fl a r g e r si ze i s n o t k n o w n . I t s e e m s m o s t r e a s o n a b l e t h a t a t a n y i n s t a n td u r i n g t h e d i s c h a r g e t h e c r a t e r a r e a w i ll b e l es s t h a n t h e a c t u a la r e a o f t h e d i s c h a r g e c o lu m n . I t h a s b e e n o b s e r v e d t h a t t h e e l e c t r o d eg a p , i .e . d i s c h a r g e l e n g t h , h a s n o e f f e c t o n e l e c t r o d e c r a t e r - a r e aw i t h i n t h e r a n g e o f e l e c t r o d e g a p s s t u d i e d . T h e o n l y e x p e r i m e n t a ld i f f i c u l t y e n c o u n t e r e d w a s i n k e e p i n g t h e p o l i s h e d e l e c t r o d es u r f a c e s f r e e f r o m f r o s t d u r i n g i m m e r s i o n i n t h e n i t r o g e n .

w 8 . C o n c l u s i o n s . I t i s c l e a r fr o m t h e c o m p a r i s o n o f c a l c u l a t e da n d m e a s u r e d v a l u e s o f d i s ch a r g e c o l u m n r a d i u s t h a t t h e a n a l y t i c a lr e s u lt s a re a c c u r a t e t o b e t t e r t h a n a n o r d e r of m a g n i t u d e . I t m a yb e i n f e r re d t h a t o t h e r r e s u l t s , s u c h a s c a l c u l a t e d p r e s s u r e s , t e m p e -r a t u r e s , a n d e l e c t ri c f i el d i n t e n s i t ie s , f o r w h i c h d i r e c t e x p e r i m e n t a lm e a s u r e m e n t s a r e n o t f e a s ib l e , a r e of c o m p a r a b l e a c c u r a c y . I t i se x p e c t e d t h a t t h e r e s u lt s p r e s e n t e d c a n b e u s e d to i m p r o v e u n d e r -s t a n d i n g o f t h e p e r p l e x i n g p r o c e s s o f e l e c t r o d e e ro s io n i n t h e s h o r t -d u r a t i o n l o w - c u r r e n t e l e c tr i ca l d is c h a r g e w h i c h is i n i t i a t e d b ys p a r k o v e r o f a l iq u i d d i e l e c t r i c . A l s o, t h e r e a s o n a b l e s u c c e s s o f t h ea n a l y t i c a l s t u d y , a s d e m o n s t r a t e d e x p e r i m e n t a l l y , m a y c o n t r i b u t et o t h e g r o w i n g d e v e l o p m e n t o f a n a l y t i c a l m e t h o d s in t h e f ie ld ofp l a s m a d y n a m i c s .


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P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C 3 1 5A P P E N D I X

A . I o n i z a t i o n e q u a t i o n . T h e i o n i z in g e f f e c t s o f t h e m o l e c u l a rc o l li s io n s , ra d i a t i o n , a n d e l e c t r o n c o l li s io n s w h i c h o c c u r i n g a s e s a th i g h t e m p e r a t u r e a r e g e n e r a l ly c l a s s e d a s ' t h e r m a l i o n i z a ti o n '. I ft h e g a s i s c o n s i d e r e d a s b e i n g in a s t a t e o f d y n a m i c e q u i l i b r iu mw i t h " c h e m i c a l " c h a n g e s o c c u r r i n g i n t w o d i f f e r e n t d i r e c t i o n s , w em a y u s e a t h e r m o d y n a m i c t r e a t m e n t t o d e t e r m i n e t h e r e l a ti v en u m b e r o f e l e c t r o n s ( a n d io n s) a n d e x c i t e d a t o m s f o r a g iv e n g a sa s a f u n c t i o n o f i t s a b s o l u t e t e m p e r a t u r e a n d p r e s s u re . S a h a 12)f ir st d e v e l o p e d s u c h a t r e a t m e n t i n w h i c h t h e t e m p e r a t u r e a n d t h ei o n i z a ti o n p o t e n t i a l o f t h e m a t e r i a l a r e u s e d to c h a r a c t e r iz e t h es t a t e o f t h e g a s w h i c h ' d i s s o c i a te s " i n t o e l e c t r o n s a n d i on s . T h er e s u l ts h a v e a n i m p o r t a n t b e a r in g , n o t o n l y o n d i s c h a rg e p r o b l e m s 13)b u t a l s o i n t h e f i e l d o f a s t r o p h y s i c s 1 4 ) 1 5 ) .

I n i ts m o s t g e n e ra l fo r m , t h e re l a ti o n s h ip f o u n d b y S a h a a n dl a t e r d e r i v e d m o r e r i g o r o u sl y b y M e n z e 1 1 6 ) i s. . . . [ 2 B q + l ( T e } 7 (24)Nq+INq P e = 3 " 3 5 l O - e T e l E e x p ( - - 5 04 0T eg q+ l ~ k B q ( Y e ) - J 'i n w h i c h P e = k N e T e (25)N q ---- d e n s i t y o f p a r t i c l e s i n t h e q t h s t a g e o f io n i z a t i o nV q ---- t h e i o n i z a t i o n - p o t e n t i a l o f p a r t i c l e s i n t h e q t h s t a g e .T h e c o r r e c t i o n t e r m 2Bq+l(Te)

B q ( T e )i s a f u n c t i o n o f t e m p e r a t u r e f o r a n y g i v e n a t o m , d e p e n d i n g o n t h en u m b e r a n d t y p e o f e n e r gy s ta te s . T h e t e r m m a y b e c o m p u t e d f r o ma t o m i c t h e o r y , a n d p u b l i s h e d t a b l e s 9 )15) a r e a v a i l a b l e w h i c h g i v et h is c o r r e c t i o n f a c to r . I n p r a c t i c a l c a l c u l a t io n s t h e c o r r e c t io n i sf r e q u e n t l y o m i t t e d 13)1 7). I f w e w r i t e t h e i o n i z a ti o n e q u a t i o n a s

N 1 P e 3 . 3 5 l O - 2 T e ' e x p ( - 5 0 4 0 V 1 ) (26)N o T ea n d s u b s t i t u t e (2 5) i n ( 26 ), w e o b t a i n

( - - 5 0 4 0 V 1 )N e 2 - - 2.43 X 10~lTe ~ ex p - . (27)N o T e


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316 P . K . E C K M A N A N D E . M . W I L L I A M SThis assumes that N1 = N e (single ionization only) and is the formof the ionization equation actually used in this paper.

It is important to keep in mind the limitations imposed by theassumptions made in deriving the equation. The gas is assumedto be homogeneous. Walls, turbulence and o ther factors are assumednot to interfere with the ideal thermal equilibrium. Ample indirectevidence from investigation of arcs is) seems to jus tify the thermo-dynamic treatment, even in cases where, instead of pure thermalequilibrium, a small energy flow is present in the gas.

B . R e s i s t i v i t y e qu a ti o n . The resist ivity of a gas supporting a high-current discharge is of the form:/ T e a \E _ K 1 l n I K 2 - - ' . ( 2 8 )J Te a \ N e l l

From the definition of ~, we may use= j / F , ( 2 9 )

We shall determine a in an electron gas as follows.The force on one electron due to an electric field is e E ; this causes

an electron to move parallel to the E field with an average drift-velocity yD. The electron loses a certain momentum every time itcollides with an ion; the ions are considered stationary because oftheir much larger mass and limited mobility, and the averagemomentum lost per collision is m e v D . If there are/5 such collisionsper unit time, then the average retarding (viscous) force is given by/ s m c v D . The drift-velocity vo adjust s itself, so tha t the force owingto the E field and that owing to viscosity are equal,

e E : / smeVD orme~5VD - - E . (30)e

In their random motion, the electrons have an average or mean freepa th 2e and an average thermal veloc ity ~7. The number of collisionsper unit time/5 is given by

15 = rJ/2e, ( 3 1 )e2eEUD - - t z e E , (32)mev

so that we can find


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PLASMA DYNAMICS IN AN ARC 3 1 7i n w h i c h fie i s d e f i n e d a s t h e m o b i l i t y o f th e e l e c t r o n s a n d

# e = e 2e /m e ~ . (33)N o w , k n o w i n g t h e d r i ft v e l o c i t y a n d t h e c h a r g e d e n s i t y e N e , w e

c a n o b t a i n t h e c u r r e n t d e n s i t yJ = v h ( e N e ) = e N e # e E . (84)

A d e f i n i t i o n= e N e f e (35)

i s c o n s i s t e n t w i t h t h e u s u a l d e f i n i t i o n o f ~ . S i n c e(r = e 2 N e 2 e /m e ~ , (36)

t h e p r o b l e m n o w i s t o f i n d ~7 a n d 2e. F r o m k i n e t i c t h e o r y= , v / 3 k T / m e , (37)

a n d i t c a n e a s i l y b e s h o w n (1 9) t h a te = 1 /( N o Q o + N + Q + ) , ( 3 8 )i n w h i c h N + = d e n s i t y o f p o s i t i v e i o ns , Q + i s t h e e f f e c t i v e c ro s s -

s e c t i o n f o r e l e c t r o n - p o s i t i v e i o n c o l li s io n s a n d Q o i s t h e e f f e c t i v ec r o s s -s e c t io n f o r e l e c t r o n - a t o m c o ll is io n s. T h u s , t h e c o n d u c t i v i t yi s g i v e n a s

e 2 N e{~ = (3 9)~ / 3 m e k T ( N o Q o + N + Q + )I f a p l a s m a i s a c t u a l l y p r e s e n t , N o ~ N + , a n d

2 e - = 1 / N + Q + (40)T h u s , f o r a p l a s m a

e 2 N e= (41)~ f 3 r n e k T N + Q +V a r i o u s a u t h o r s 2 0 ) 2 1 ) h a v e d e r i v e d e x p r e s s io n s f o r Q+ b y c a l c u -

l a t i n g t h e d e f l e c t i o n o f e l e c t r o n s a s a r e s u l t o f t h e C o u l o m b f o r c e so f t h e p o s i t iv e i on s . O n t h e a v e r a g e , i n a h o m o g e n e o u s , u n i f o r m ,p o s i t i v e c o l u m n t h e e l e c t ri c fi e ld s of s e p a r a t e e l e c t ro n s a n d p o s i t i v ei o ns w i ll n e u t r a l iz e e a c h o t h e r a n d t h e a v e r a g e s p a c e c h a r g e i se q u a l t o z e ro . B u t a t d i s t a n c e s o f t h e o r d e r o f m a g n i t u d e o f t h e


20/22

318 P . K . ECKMAN AND E . M. WILLIAMSa v e r a g e i n t e r v a l b e t w e e n i o n s , t h e s e f i e l d s a r e s t i l l n o t i c e a b l e . I ns u c h c a l c u l a t i o n s it i s n e c e s s a r y t o a s s u m e a f i n i te d i s t a n c e a t w h i c ht h e f i e l d o f a s i n g l e p o s i t i v e i o n i s n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e o t h e rn e a r b y io n s i n o r d e r t h a t t h e r e s u l t in g i n te g r a l s c o n v e r g e . T h u s ,t h e r e s u l ts o f s u c h c a l c u l a t i o n s v a r y i n t h e i r n u m e r i c a l co e f fi c ie n t s ,b u t a g r e e in g e n e r a l f o r m a n d o r d e r o f m a g n i t u d e .

F o r p u r p o s e s o f n u m e r i c a l c o m p u t a t i o n t h e r e l a t i o n s h i p o r ig i n a l lyp ro p o se d b y G v o s d o v e r z~) h a s b e en re ta in e d . G v o s d o v e r r ea s on st h a t i f N + p o s i t iv e io n s a r e i n a u n i t v o l u m e , t h e n t h e g r e a t e s td i s t a n c e d o v e r w h i c h t h e f ie l d o f t h e i o n is s p r e a d is

d- - - - (N+)- t .W h e n d i s ta n c e s a re s m a l le r t h a n d , w e c a n a s s u m e t h a t t h e i n t e r a c -t i o n o f i o n s a n d e l e c t ro n s t a k e p l a c e a c c o r d i n g t o C o u l o m b ' s l a w .B y c h o o s i n g d as th e " c u t - o f f " d i s t a n c e r a t h e r t h a n t h e c l a ss ic a lD e b y e - H t i c k e l s h i e ld i n g d is t a n c e , h e a r r i v e s a t t h e v a l u e

i n w h i c h7 - - - - - - I n

4

U s i n g t h i s v a l u e , w e o b t a i n1

Q+ = 7 e 4 / ( kT ) 2 (42)

kr , (43)e ~ N f l / "

7 e ~ / 3 m e e 2 [ k T e \- - I n - - (44)

I n t h i s d e r i v a t i o n i t h a s b e e n i m p l i c i t l y a s s u m e d t h a t t h e r e i s :S i n g l e i o n i z a t i o n o f a g a s w i t h o u t b o u n d a r i e s ,2 . N o ~ N e , a n d h e n c e N e ~ N + ,

3 . A u n i f o r m c u r r e n t ( a n d h e n c e io n ) d i s t ri b u t io n .I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e e x p r e s s i o n g i v e n h e r e f o r r e s i s t i v i t yd e p e n d s p r i m a r i l y on T e a n d N e , a n d n e i t h e r t h e k i n d o f g a s n o r t h ec o n f i g u r a t i o n a p p e a r s e x p l i c i t ly in t h e e q u a t i o n . T h i s e x p r e s s io nf o r r e s i s t i v i t y t h e n h o l d s , p r o v i d i n g ) a ) T e is s u f f i c i e n t l y h i g h t oy i e l d a n i o n i z a t io n o f a b o u t 3 0 % o r m o r e a n d (b ) t h e p o w e r in -p u t i s a s s u m e d e q u a l t o t h a t d i s s i p a t e d ( q u a s i - e q u i l i b r i u m ) .

C . R a d i a t i o n e q u a t i o n . T h e d i s s i p a ti o n o f e n e r g y i n t h e c o l u m ni s a s s u m e d t o b e

f ~ 2 ~ z rB N e 2T e 8 9 r (45)


21/22

P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C 319i n W / u n i t l e n g t h . T h i s f ol lo w s f r o m a n e x p r e s s io n b y C i l l i e 23) f o rt h e p o w e r r a d i a t e d p e r u n i t - v o l u m e i n a h i g h - t e m p e r a t u r e p l as m a .T h e v a l u e o f t h e c o n s t a n t is B = 1 .4 x 10 - 4~ i f N e is e l e c t r o n s / m aa n d T e is i n d e g r e e s K e l v i n . T h i s e x p r e s s io n b e g i n s to b r e a k d o w nf o r t e m p e r a t u r e b e l o w t h e r a n g e o f 1 0 5 ~

T h e e x p r e s s i o n i s o f t h i s f o r m b e c a u s e a t h i g h e r t e m p e r a t u r e sr e c o m b i n a t io n r a d i a t i o n ( el ec tr o ns b e c o m i n g c a p t u r e d , t h u se m i t t i n g r a d i a ti o n ) is n e g li g ib l e c o m p a r e d t o b r e m s s t r a h l u n g ( fr ee -f r e e t r a n s i t i o n - r a d i a t i o n ) . A s s u m i n g a M a x w e l l i a n v e l o c i t y d i s t r i -b u t i o n , t h e t o t a l a m o u n t o f e n e r g y r a d i a t e d p e r u n i t v o l u m e is

N e N + ~ 2 5 e6 ( 2 ~ k T e ) ~ (46)- - 3 h m e c 3 m e

I f w e h a v e o n l y s i n g l e i o n i z a t i o n , t h e n N e ---- N +a n d

= 1.42 x l O - 2 7 N e Z T e 2 T e8 9 r g s / c m Z so r th e p o w e r r a d i a t e d is

P = 1.42 l O - 4 ~ 8 9W / m .T h i s i s b a s e d o n t h e B o r n a p p r o x i m a t i o n 24)25).R e c e i v e d 2 0 t h A p r i l , 1 9 6 0

R E F E R E N C E S1) W i l l i a m s , E . M . a n d R . E . S m i t h , T r a n s . A m e r . I n s t . E l ec t. E n g r s 7 4 p t 1 (1 95 5)

164.2) W i l l i a m s , E . M . a n d R . E . S m i t h , T r a n s . A m e r . I n s t . E l ec t . E n g r s 7 6 p t 1 (1957)

9 3 .3 ) B r e d i g , G . , Z . a n g e w . C h e n f i e I ( 1 8 9 8) 9 51 .4) B e n e n d i c k s , C ., A r k . M a t . A s tr . F y s . B ( 19 1 2) .5) W i l l i a m s , E . M ., J . B. W o o d f o r d , J r . a n d R . E . S m i t h , T r a n s . A m e r . I n s t.

E l e c t E n g r s 7 3 p t 2 ( 1 9 5 4 ) 8 3 .6) S c h l i c h t i n g , H . , B o u n d a r y L a y e r T h e o r y , M c G r a w - H i l l 1955.7 ) F r o m m e , K . D . , P r o c . S o c . B 6 2 (1 9 49 ) 8 0 5 .8) G e r m e r , L . H . a n d F . E . H a y w o r t h , J . A p p l . P h y s . 2 0 (1 94 9) 1085.9) S p i t z e r , J r . L . , P h y s i c s o f F u l l y I o n i z e d G a s e s , I n t e r s c i e n c e , L o n d o n 1 95 6.

1 0) B r a g i n s k i , S . I . , S o v i e t P h y s i c s ( J E T P ) 3 4 (19 58 ) 1 06 8.1 1) P o s t , R . F . , R e v . M o d . P h y s . 2 8 ( 19 56 ) 33 8 .1 2) S a h a , M . N . , P h i .1 M a g . 4 0 ( 1 9 20 ) 47 2 .


22/22

320 P L A S M A D Y N A M I C S I N A N A R C1 3) C o b i n e , J . D . , G a s e o u s C o n d u c t o r s , D o v e r P u b l i c a t i o n s 1 95 3.1 4) H y n e k , J . A ., A s t r o p h y s i c s , M c G r a w - H i l l (1 9 51 ).15) A l l e r , L . H ., A s t r o p h y s i c s - T h e A t m o s p h e r e o f t h e S u n a n d S t a rs , R o n a l d P r e s s ,

N e w Y o r k 1 95 3.1 6) M e n z e l , D . M . , P r o c . N a t . A c a d . S ci . 1 9 ( 1 93 3 ) 4 0 .1 7) S u i t s , C . G . , G en . E l ec . Rev . 3 9 (1 9 3 6 ) 19 4.1 8) K i n g , R . B . , A s t r o p h y s . J . 1 0 8 ( 19 48 ) 4 29 .I 9 ) S p r o u l l , R . L . , M o d e r n P h y s i c s , J o h n W i l e y 19 56 .2 3) C h a p m a n , S . a n d T . G. C o w l i n g , T h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f N o n - U n i f o r m

G a s e s , U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e 1 9 5 3 .2 1) M a e c k e r , H . , Z . P h y s . 1 4 0 ( 19 55 ) 11 9.2 2) G v o s d o v e r , S . D . , P h y s i k Z . S o w j e t u n i o n 1 2 (1 93 7) 1 64 .2 3 ) C i l l i e , C . , M o n . N o t . R o y . A s t r . S o c . 9 - (1 93 1) 8 2 0.2 4) B e t h e , H . , H a n d b u c h d e r P h y s i k X X I V / 1 , 1933.2 5) H e i t l e r , W . , Q u a n t u m T h e o r y o f R a d i a t i o n , O x f o r d P r e ss , N e w Y o r k 1 9 54 .

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