PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ UÀtÂvÀ 8ktbs.kar.nic.in/new/website textbooks/class8/8th-kannada...(i) UÀtÂvÀ JAl£ÉÃ vÀgÀUÀw ¨sÁUÀ - 1 PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÅ¸ÀÛPÀ

(i)

UÀtÂvÀ

JAl£ÉÃ vÀgÀUÀw¨sÁUÀ - 1

PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÅ¸ÀÛPÀ ¸ÀAWÀ (j.)100 Cr ªÀvÀÄð® gÀ¸ÉÛ, §£À±ÀAPÀj 3£ÉÃ ºÀAvÀ,

¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ - 85

PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ

8

gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸ÀA±ÉÆÃzsÀ£É ªÀÄvÀÄÛ vÀgÀ¨ÉÃw ¸ÀA¸ÉÜ

²æÃ CgÀ©AzÉÆÃ ªÀiÁUÀð £ÀªÀzÉºÀ° 110016

(ii)

ForewordThe National Curriculum Framework, 2005, recommends that children’s life at school must be linked to their life outside the school. This principle marks a departure from the legacy of bookish learning which continues to shape our system and causes a gap between the school, home and community. The syllabi and textbooks developed on the basis of NCF signify an attempt to implement this basic idea. They also attempt to discourage rote learning and the maintenance of sharp boundaries between different subject areas. We hope these measures will take us significantly further in the direction of a child-centred system of education outlined in the National Policy on Education (1986).

The success of this effort depends on the steps that school principals and teachers will take to encourage children to reflect on their own learning and to pursue imaginative activities and questions. We must recognise that, given space, time and freedom, children generate new knowledge by engaging with the information passed on to them by adults. Treating the prescribed textbook as the sole basis of examination is one of the key reasons why other resources and sites of learning are ignored. Inculcating creativity and initiative is possible if we perceive and treat children as participants in learning, not as receivers of a fixed body of knowledge.

These aims imply considerable change in school routines and mode of functioning. Flexibility in the daily time-table is as necessary as rigour in implementing the annual calendar so that the required number of teaching days are actually devoted to teaching. The methods used for teaching and evaluation will also determine how effective this textbook proves for making children’s life at school a happy experience, rather than a source of stress or boredom. Syllabus designers have tried to address the problem of curricular burden by restructuring and reorienting knowledge at different stages with greater consideration for child psychology and the time available for teaching. The textbook attempts to enhance this endeavour by giving higher priority and space to opportunities for contemplation and wondering, discussion in small groups, and activities requiring hands-on experience.

NCERT appreciates the hard work done by the textbook development committee responsible for this book. We wish to thank the Chairperson of the advisory group in science and mathematics, Professor J.V. Narlikar and the Chief Advisor for this book, Dr H.K. Dewan for guiding the work of this committee. Several teachers contributed to the development of this textbook; we are grateful to their principals for making this possible. We are indebted to the institutions and organisations which have generously permitted us to draw upon their resources, material and personnel. As an organisation committed to systemic reform and continuous improvement in the quality of its products, NCERT welcomes comments and suggestions which will enable us to undertake further revision and refinement.

DirectorNational Council of Educational Research and Training

(iii)

PrefaceThis is the final book of the upper primary series. It has been an interesting journey to define mathematics learning in a different way. The attempt has been to retain the nature of mathematics, engage with the question why learn mathematics while making an attempt to create materials that would address the interest of the learners at this stage and provide sufficient and approachable challenge to them. There have been many views on the purpose of school mathematics. These range from the fully utilitarian to the entirely aesthetic perceptions. Both these end up not engaging with the concepts and enriching the apparatus available to the learner for participating in life. The NCF emphasises the need for developing the ability to mathematise ideas and perhaps experiences as well. An ability to explore the ideas and framework given by mathematics in the struggle to find a richer life and a more meaningful relationship with the world around.

This is not even easy to comprehend, far more difficult to operationalise. But NCF adds to this an even more difficult goal. The task is to involve everyone of that age group in the classroom or outside in doing mathematics. This is the aim we have been attempting to make in the series.

We have, therefore, provided space for children to engage in reflection, creating their own rules and definitions based on problems/tasks solved and following their ideas logically. The emphasis is not on remembering algorithms, doing complicated arithmetical problems or remembering proofs, but understanding how mathematics works and being able to identify the way of moving towards solving problems.

The important concern for us has also been to ensure that all students at this stage learn mathematics and begin to feel confident in relating mathematics. We have attempted to help children read the book and to stop and reflect at each step where a new idea has been presented. In order to make the book less formidable we have included illustrations and diagrams. These combined with the text help the child comprehend the idea. Throughout the series and also therefore in this book we have tried to avoid the use of technical words and complex formulations. We have left many things for the student to describe and write in her own words.

We have made an attempt to use child friendly language. To attract attention to some points blurbs have been used. The attempt has been to reduce the weight of long explanations by using these and the diagrams. The illustrations and fillers also attempt to break the monotony and provide contexts.

Class VIII is the bridge to Class IX where children will deal with more formal mathematics. The attempt here has been to introduce some ideas in a way that is moving towards becoming formal. The tasks included expect generalisation from the gradual use of such language by the child.

The team that developed this textbook consisted teachers with experience and appreciation of children learning mathematics. This team also included people with experience of research in mathematics teaching-learning and an experience of producing materials for children. The feedback on the textbooks for Classes VI and

(iv)

VII was kept in mind while developing this textbook. This process of development also included discussions with teachers during review workshop on the manuscript.

In the end, I would like to express the grateful thanks of our team to Professor Krishna Kumar, Director, NCERT, Professor G. Ravindra, Joint Director, NCERT and Professor Hukum Singh, Head, DESM, for giving us an opportunity to work on this task with freedom and with full support. I am also grateful to Professor J.V. Narlikar, Chairperson of the Advisory Group in Science and Mathematics for his suggestions. I am also grateful for the support of the team members from NCERT, Professor S.K. Singh Gautam, Dr V.P. Singh and in particular Dr Ashutosh K. Wazalwar who coordinated this work and made arrangements possible. In the end I must thank the Publication Department of NCERT for its support and advice and those from Vidya Bhawan who helped produce the book.

It need not be said but I cannot help mentioning that all the authors worked as a team and we accepted ideas and advice from each other. We stretched ourselves to the fullest and hope that we have done some justice to the challenge posed before us.

The process of developing materials is, however, a continuous one and we would hope to make this book better. Suggestions and comments on the book are most welcome.

H.K. Dewan

Chief Advisor Textbook Development Committee

(v)

A Note for the TeacherThis is the third and the last book of this series. It is a continuation of the processes initiated to help the learners in abstraction of ideas and principles of mathematics. Our students to be able to deal with mathematical ideas and use them need to have the logical foundations to abstract and use postulates and construct new formulations. The main points reflected in the NCF-2005 suggest relating mathematics to development of wider abilities in children, moving away from complex calculations and algorithm fol-lowing to understanding and constructing a framework of understanding. As you know, mathematical ideas do not develop by telling them. They also do not reach children by merely giving explanations. Children need their own framework of concepts and a classroom where they are discussing ideas, looking for solutions to problems, setting new problems and finding their own ways of solving problems and their own definitions.

As we have said before, it is important to help children to learn to read the textbook and other books related to mathematics with understanding. The reading of materials is clearly required to help the child learn further mathematics. In Class VIII please take stock of where the students have reached and give them more opportunities to read texts that use language with symbols and have brevity and terseness with no redundancy. For this if you can, please get them to read other texts as well. You could also have them relate the physics they learn and the equations they come across in chemistry to the ideas they have learnt in mathematics. These cross-disciplinary references would help them develop a framework and purpose for mathematics. They need to be able to reconstruct logical arguments and appreciate the need for keeping certain factors and constraints while they relate them to other areas as well. Class VIII children need to have opportunity for all this.

As we have already emphasised, mathematics at the Upper Primary Stage has to be close to the experience and environment of the child and be abstract at the same time. From the comfort of context and/or models linked to their experience they need to move towards working with ideas. Learning to abstract helps formulate and understand arguments. The capacity to see interrelations among concepts helps us deal with ideas in other subjects as well. It also helps us understand and make better patterns, maps, appreciate area and volume and see similarities between shapes and sizes. While this is regarding the relationship of other fields of knowledge to mathematics, its meaning in life and our environment needs to be re-emphasised.

Children should be able to identify the principles to be used in contextual situations, for solving problems sift through and choose the relevant information as the first impor-tant step. Once students do that they need to be able to find the way to use the knowledge they have and reach where the problem requires them to go. They need to identify and define a problem, select or design possible solutions and revise or redesign the steps, if required. As they go further there would be more to of this to be done. In Class VIII we have to get them to be conscious of the steps they follow. Helping children to develop the ability to construct appropriate models by breaking up the problems and

(vi)

evolving their own strategies and analysis of problems is extremely important. This is in the place of giving them prescriptive algorithms. to solve problems. Learning mathematics is not about remembering solutions or methods but knowing how to solve problems and being able to construct interesting situations to solve.

Cooperative learning, learning through conversations, desire and capacity to learn from each other and the recognition that conversation is not noise and consultation not cheating is an important part of change in attitude for you as a teacher and for the students as well. They should be asked to make presentations as a group with the inclusion of examples from the contexts of their own experiences. They should be encouraged to read the book in groups and formulate and express what they un-derstand from it. The assessment pattern has to recognise and appreciate this and the classroom groups should be such that all children enjoy being with each other and are contributing to the learning of the group. As you would have seen different groups use different strategies. Some of these are not as efficient as others as they reflect the modeling done and reflect the thinking used. All these are appropriate and need to be analysed with children. The exposure to a variety of strategies deepens the mathematical understanding. Each group moves from where it is and needs to be given an opportunity for that.

For conciseness we present the key ideas of mathematics learning that we would like you to remember in your classroom.

1. Enquiry to understand is one of the natural ways by which students acquire and construct knowledge. The process can use generation of observations to acquire knowledge. Students need to deal with different forms of questioning and challeng-ing investigations- explorative, open-ended, contextual and even error detection from geometry, arithmetic and generalising it to algebraic relations etc.

2. Children need to learn to provide and follow logical arguments, find loopholes in the arguments presented and understand the requirement of a proof. By now children have entered the formal stage. They need to be encouraged to exercise creativity and imagination and to communicate their mathematical reasoning both verbally and in writing.

3. The mathematics classroom should relate language to learning of mathematics. Children should talk about their ideas using their experiences and language. They should be encouraged to use their own words and language but also gradually shift to formal language and use of symbols.

4. The number system has been taken to the level of generalisation of rational num-bers and their properties and developing a framework that includes all previous systems as sub-sets of the generalised rational numbers. Generalisations are to be presented in mathematical language and children have to see that algebra and its language helps us express a lot of text in small symbolic forms.

5. As before children should be required to set and solve a lot of problems. We hope that as the nature of the problems set up by them becomes varied and more complex, they would become confident of the ideas they are dealing with.

(vii)

6. Class VIII book has attempted to bring together the different aspects of math-ematics and emphasise the commonality. Unitary method, Ratio and proportion, Interest and dividends are all part of one common logical framework. The idea of variable and equations is needed wherever we need to find an unknown quantity in any branch of mathematics.We hope that the book will help children learn to enjoy mathematics and be con-

fident in the concepts introduced. We want to recommend the creation of opportunity for thinking individually and collectively.

We look forward to your comments and suggestions regarding the book and hope that you will send interesting exercises, activities and tasks that you develop during the course of teaching, to be included in the future editions. This can only happen if you would find time to listen carefully to children and identify gaps and on the other hand also find the places where they can be given space to articulate their ideas and verbalise their thoughts.

(viii)

ªÀÄÄ£ÀÄßr

2005£ÉÃ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ DzsÀj¹ gÀavÀªÁzÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåªÀ¸ÀÄÛ«£ÀAvÉ gÀa¸À¯ÁVgÀÄªÀ

8£ÉÃ vÀgÀUÀw J£ï.¹.E.Dgï.n UÀtÂvÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀ£ÀÄß gÁdåzÀ°è 2020-21£ÉÃ ¸Á°¤AzÀ

eÁjUÉÆ½¸À¯ÁUÀÄwÛzÉ.

J£ï.¹.E.Dgï.n ¥ÀæPÀn¹gÀÄªÀ DAUÀè ªÀiÁzsÀåªÀÄzÀ UÀtÂvÀ ¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀ£ÀÄß gÁdåzÀ°è PÀ£ÀßqÀ,

ªÀÄgÁp, vÉ®ÄUÀÄ ªÀÄvÀÄÛ vÀ«Ä¼ÀÄ ªÀiÁzsÀåªÀÄUÀ½UÉ ¨sÁµÁAvÀj¸À¯ÁVzÉ. EAVèÃµï, »A¢ ªÀÄvÀÄÛ

GzÀÄð ªÀiÁzsÀåªÀÄzÀ ¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß J£ï.¹.E.Dgï.n ¬ÄAzÀ £ÉÃgÀªÁV ¥ÀqÉzÀÄ ¨sÁUÀ-1 ªÀÄvÀÄÛ

¨sÁUÀ-2 JA§ÄzÁV «¨sÁV¹ ªÀÄÄ¢æ¹ eÁjUÉÆ½¸À¯ÁVzÉ.

F ¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀÅ 2005 gÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄzÀ J¯Áè ªÉÊ²µÀÖöåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. 8£ÉÃ

vÀgÀUÀwAiÀÄ UÀtÂvÀ ¥ÀÄ¸ÀÛPÀzÀ°è CAvÀUÀðvÀ «zsÁ£À (Integrated Approach), gÀZÀ£ÁvÀäPÀ «zsÁ£À (Constructive Approach) ºÁUÀÆ ÀÄgÀÄ½AiÀiÁPÁgÀzÀ «zsÁ£À (Spiral Approach) UÀ¼À£ÀÄß C¼ÀªÀr¸À¯ÁVzÉ.

¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀzÀ «µÀAiÀÄ ºÁUÀÆ C¨sÁå¸ÀUÀ¼ÀÄ «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß aAvÀ£Á²Ã®gÀ£ÁßV ªÀiÁr,

ZÀlÄªÀnPÉUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ eÁÕ£À ºÁUÀÆ ¸ÁªÀÄxÀðåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀAvÉ ªÀiÁqÀÄªÀ ¥ÀæAiÀÄvÀß

ªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ. ¥ÀoÀå ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼ÉÆA¢UÉ CvÀåAvÀ CªÀ±ÀåPÀ fÃªÀ£À ªÀiË®åUÀ¼À£ÀÄß CAvÀUÀðvÀªÁV

§¼À¸À¯ÁVzÉ. F ¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀjÃPÁë zÀÈ¶Ö¬ÄAzÀ gÀavÀªÁV®è §zÀ¯ÁV «zÁåyðUÀ¼À

¸ÀªÁðAVÃt ªÀåQÛvÀé «PÀ¸À£ÀPÉÌ ¥ÀÆgÀPÀªÁVzÉ.

¤vÀåfÃªÀ£ÀzÀ°è UÀtÂvÀªÀÅ J¯Áè ºÀAvÀUÀ¼À®Æè CvÁåªÀ±ÀåPÀªÁVzÉ. gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ¥ÀoÀåPÀæªÀÄ-2005

gÀAvÉ UÀtÂvÀzÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À£ÀÄß CxÀðªÀiÁrPÉÆAqÀÄ ¹zÁÞAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¤gÀÆ¦¹, ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß

¸Á¢ü¹,¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀ eÉÆvÉUÉ UÀtÂvÀªÀ£ÀÄß fÃªÀ£ÀzÀ ¸ÀPÀ® PÉëÃvÀæUÀ¼À®Æè §¼À¸ÀÄªÀ

¸ÁªÀÄxÀåðªÀ£ÀÄß ¨É¼É¹PÉÆAqÀÄ fÃªÀ£ÀzÀ°è AiÀÄ±À¸ÀÄìUÀ½¸ÀÄªÀAvÉ ªÀiÁqÀ®Ä ¸ÀºÀPÁj PÀ°PÉUÉ

¥ÀÆgÀPÀªÁVzÉ.

¥ÁæaÃ£À sÁgÀvÀzÀ ±ÉæÃµÀ× UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçdÕgÀ PÉÆqÀÄUÉUÀ¼À£ÀÄß ÀÆPÀÛ ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

F ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼ÀÄ ±ÉÊPÀëtÂPÀªÁV ªÉÊ²µÀÖöå¥ÀÆtðªÁVªÉ. EvÀgÉ «µÀAiÀÄUÀ¼À ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼ÀAvÉ

F ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼ÀÄ «zÁåyðUÀ½UÉ ¸ÁªÀÄxÀåð ºÁUÀÆ PË±À®åUÀ¼À£ÀÄß ¨É¼É¹PÉÆ¼Àî®Ä ¸ÀºÁAiÀÄ

ªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.

gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ªÀÄlÖzÀ ±ÉÊPÀëtÂPÀ ¸ÀÄzsÁgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ£ÀzÀ°èj¹PÉÆAqÀÄ PÀ£ÁðlPÀ gÁdåzÀ

«zÁåyðUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ ªÀÄlÖzÀ ¸ÀàzsÁðvÀäPÀ ¥ÀjÃPÉëUÀ¼À°è AiÀÄ±À¸Àì£ÀÄß ¸Á¢ü¸À®Ä F ¥ÀÄ¸ÀÛPÀ

¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀ° JA§ÄzÉÃ ¸ÁªÀðd¤PÀ ²PÀët E¯ÁSÉAiÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR D±ÀAiÀÄªÁVzÉ.

(ix)

J£ï.¹.E.Dgï.n ¥ÀæPÀn¹gÀÄªÀ UÀtÂvÀ ¥ÀÄ¸ÀÛPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÀªÀÄä gÁdåzÀ°è ¥ÀæxÀªÀÄªÁV eÁjUÉ

vÀgÀ®Ä ¢lÖ ¤zsÁðgÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¸ÀºÀPÀj¹zÀ ¸ÀPÁðgÀ ªÀÄvÀÄÛ E¯ÁSÉAiÀÄ G£ÀßvÀ

C¢üPÁjUÀ½UÉ D¨sÁjAiÀiÁVzÉÝÃ£É. F ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀ£ÀÄß £ÀªÀÄä gÁdåzÀ°è eÁjUÉ vÀgÀ®Ä ÀPÁ®zÀ°è

C£ÀÄªÀÄw ¤Ãr ¸ÀºÀPÀj¹zÀ J£ï.¹.E.Dgï.n AiÀÄ ¥ÀæPÁ±À£À «¨sÁUÀ ºÁUÀÆ J£ï.¹.E.Dgï.n

¸ÀA¸ÉÜ J®è C¢üPÁj, ¹§âA¢UÀ½UÉ E¯ÁSÉ vÀ£Àß ºÀÈvÀÆàªÀðPÀ PÀÈvÀdÕvÉUÀ¼À£ÀÄß C¦ð¸ÀÄvÀÛzÉ.

gÁdåzÀ°è, F ¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀ£ÀÄß PÀ£ÀßqÀ, ªÀÄgÁp, vÉ®ÄUÀÄ ªÀÄvÀÄÛ vÀ«Ä¼ÀÄ ªÀiÁzsÀåªÀÄUÀ½UÉ

¨sÁµÁAvÀj¹zÀ J®è ¸ÀA¥À£ÀÆä® ªÀåQÛUÀ½UÉ, PÁAiÀÄðPÀæªÀÄ ¸ÀAAiÉÆÃd£É ªÀiÁrzÀ

PÁAiÀÄðPÀæªÀiÁ¢üPÁjUÉ, ÀÄAzÀgÀªÁV rn¦ PÁAiÀÄðªÀ£ÀÄß ¤ªÀð»¹gÀÄªÀ rn¦ D¥ÀgÉÃlgï UÀ¼ÀÄ

ºÁUÀÆ ¸ÀA¸ÉÜUÉ, ¥ÀÄ¸ÀÛPÀªÀ£ÀÄß CZÀÄÑPÀmÁÖV ªÀÄÄ¢æ¹ «vÀj¹gÀÄªÀ ªÀÄÄzÀæPÀgÀÄUÀ½UÉ F ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è

PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ ¸ÀAWÀªÀÅ ºÀÈvÀÆàªÀðPÀ PÀÈvÀdÕvÉUÀ¼À£ÀÄß C¦ð¸ÀÄvÀÛzÉ.

JA.¦. ªÀiÁzÉÃUËqÀ

ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ

PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ ¸ÀAWÀ (j)

¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ - 85

(x)

English Medium Textbook Development Committee (NCERT)

ChAirpersoN, Advisory Group iN sCieNCe ANd MAthemAtiCs

J.V. Narlikar, Emeritus Professor, Chairman, Advisory Committee, Inter University Centre for Astronomy and Astrophysics (IUCCA), Ganeshkhind, Pune University, Pune

Chief Advisor

H.K. Dewan, Vidya Bhawan Society, Udaipur, Rajasthan

Chief CoordiNAtor

Hukum Singh, Professor and Head, DESM, NCERT, New Delhi

Members

Anjali Gupte, Teacher, Vidya Bhawan Public School, Udaipur, Rajasthan Avantika Dam, TGT, CIE Experimental Basic School, Department of Education, DelhiB.C. Basti, Senior Lecturer, Regional Institute of Education, Mysore, KarnatakaH.C. Pradhan, Professor, Homi Bhabha Centre for Science Education, TIFR, Mumbai MaharashtraK.A.S.S.V. Kameshwar Rao, Lecturer, Regional Institute of Education, Shyamala Hills, Bhopal (M.P.)Mahendra Shankar, Lecturer (S.G.) (Retd.), NCERT, New DelhiMeena Shrimali, Teacher, Vidya Bhawan Senior Secondary School, Udaipur, RajasthanP. Bhaskar Kumar, PGT, Jawahar Navodaya Vidyalaya, Lepakshi, Distt. Anantpur (A.P.) R. Athmaraman, Mathematics Education Consultant, TI Matric Higher Secondary School and AMTI, Chennai, Tamil NaduRam Avtar, Professor (Retd.), NCERT, New DelhiShailesh Shirali, Rishi Valley School, Rishi Valley, Madanapalle (A.P.)S.K.S. Gautam, Professor, DEME, NCERT, New DelhiShradha Agarwal, Principal, Florets International School, Panki, Kanpur (U.P.)Srijata Das, Senior Lecturer in Mathematics, SCERT, New DelhiV.P. Singh, Reader, DESM, NCERT, New Delhi

Member-CoordiNAtor

Ashutosh K. Wazalwar, Professor, DESM, NCERT, New Delhi

¸À®ºÉ ªÀÄvÀÄÛ ªÀiÁUÀðzÀ±Àð£À

²æÃ JA.¦. ªÀiÁzÉÃUËqÀ, ªÀåªÀ¸ÁÜ¥ÀPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ ¸ÀAWÀ, (j.) §£À±ÀAPÀj 3£ÉÃ ºÀAvÀ,

¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ

²æÃ PÉ.f. gÀAUÀAiÀÄå, G¥À¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ ¸ÀAWÀ, (j.) §£À±ÀAPÀj 3£ÉÃ ºÀAvÀ, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ

PÁAiÀÄðPÀæªÀÄ ¸ÀAAiÀÉÆÃdPÀgÀÄ,

¸ÀºÁAiÀÄPÀ ¤zÉÃð±ÀPÀgÀÄ, PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÄ¸ÀÛPÀ ¸ÀAWÀ, (j.)

¤ªÀÈvÀÛ ¥ÁæzsÁå¥ÀPÀgÀÄ, J¯ï.©. PÁ¯ÉÃdÄ, ¸ÁUÀgÀ.

ªÀÄÄRå ²PÀëPÀgÀÄ, ±ÁgÀzÀ «¯Á¸À ¥ËæqsÀ±Á¯É, ªÀÄvÀÆÛgÀÄ, ²ªÀªÀÉÆUÀÎ vÁ®ÆèPÀÄ, ²ªÀªÀÉÆUÀÎ.

§£À±ÀAPÀj 3£ÉÃ ºÀAvÀ, ¨ÉAUÀ¼ÀÆgÀÄ

(xii)

WÀlPÀ¸ÀASÉå WÀlPÀ ¥ÀÅl¸ÀASÉå

1. ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 1 - 15

2. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 16 - 39

3. MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀÅ¼Àî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 40 - 57

4. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 58 - 84

5. ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 85 - 113

6 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 114 - 134

7. ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 135 - 148

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 149 - 160

¥Àj«r

¨sÁUÀ - 1

1.1 ¦ÃpPÉ

¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ ««zsÀ jÃwAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÆtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ,

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À §UÉÎ PÀ°wgÀÄ«j. CzÉÃ jÃw F ¸ÀASÉåUÀ¼À

§UÉÎ E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ D¸ÀQÛPÀgÀ «ZÁgÀUÀ¼À£ÀÆß w½¢¢ÝÃj. 6£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è £ÁªÀÅ C¥ÀªÀvÀð£À

ªÀÄvÀÄÛ C¥ÀªÀvÀåðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ºÁUÀÆ EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À §UÉÎ

CjwzÉÝÃªÉ.

F CzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼À §UÉÎ E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ «ªÀgÀUÀ¼À£ÀÄß w½AiÉÆÃt.

¨sÁdåvÉAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¸À®Ä F «ZÁgÀUÀ¼ÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀÄvÀÛªÉ.

1.2 ¸ÀASÉåUÀ¼À «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À.

¸ÀASÉå 52 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt. F jÃw §gÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ D ÀASÉåAiÀÄ ÁªÀiÁ£Àå

gÀÆ¥À. CzÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹ »ÃUÉ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

52 = 50 + 2

= 10 × 5 + 2 (EzÀÄ 52gÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À)

EzÉÃ jÃw 37 £ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ

37 = 10 × 3 + 7

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, a ªÀÄvÀÄÛ b CAQUÀ½AzÁzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀAQ ¸ÀASÉå ab AiÀÄ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

ab = 10 × a + b

= 10a + b

ºÁUÁzÀgÉ ba ? ba = 10 × b + a

= 10 b + a

E°è JAzÀgÉab

JAzÀ®è !a × b

CzsÁåAiÀÄ

1¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ

Dl

2 UÀtÂvÀ

FUÀ £ÁªÀÅ MAzÀÄ ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉå 351 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt. CzÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

351 = 300 + 50 + 1

= 100 × 3 + 10 × 5 + 1 × 1

CzÉÃ jÃw, 497 = 400 + 90 + 7

= 100 × 4 + 10 × 9 + 1 × 7

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ½AzÁzÀ ªÀÄÆgÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå abc AiÀÄ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À

abc = 100 × a + 10 × b + 1 × c

= 100a + 10b + c

CzÉÃ jÃw, cab = 100c + 10a + b

bca = 100b + 10c + a »ÃUÉ ªÀÄÄAzÀÄªÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹

1. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉ¬Äj.

(i) 25 (ii) 73

(iii) 129 (iv) 302 2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉ¬Äj.

(i) 10 × 5 + 6

(ii) 100 × 7 + 10 × 1 + 8

(iii) 100 × a + 10 × c + b

1.3 ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉUÉ Dl

(i) JgÀqÀAQ ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀÄ.

«ÄÃ£ÁQëAiÀÄÄ ÀÄAzÀgÀAUÉ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄ£À¹ì£À°è ElÄÖPÉÆ¼Àî®Ä

ºÉÃ¼ÀÄªÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ D ¸ÀASÉåUÉ CªÀ¼ÀÄ ºÉÃ½zÀAvÉAiÉÄÃ ªÀiÁqÀ®Ä w½¸ÀÄªÀ¼ÀÄ. CªÀj§âgÀ

£ÀqÀÄ«£À ¸ÀA¨sÁµÀuÉAiÀÄ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À avÀæzÀ°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ. NzÀÄªÀ ªÉÆzÀ®Ä avÀæªÀ£ÀÄß

¸ÀjAiÀiÁV UÀªÀÄ¤¹.

¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl 3

«ÄÃ£ÁQë ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÄAzÀgÀA £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA¨sÁµÀuÉ :

EzÀÄ DVzÀÄÝ ºÉÃUÉAzÀgÉ, ¸ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ ¸ÀASÉå 49. CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä

ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 94. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 49 + 94 = 143.

PÉÆ£ÉUÉ EzÀ£ÀÄß CªÀ£ÀÄ 11jAzÀ sÁV¹zÁUÀ 143 ÷ 11 = 13 sÁUÀ®§Þ ªÀÄvÀÄÛ 0 ±ÉÃµÀ §gÀÄvÀÛzÉ.

EzÀ£ÉßÃ «ÄÃ£ÁQë H»¹zÀÄÝ.

¸ÀÄAzÀgÀA PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Dj¹zÀÝgÉ GvÀÛgÀ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹.

(1) 27 (2) 39 (3) 64 (4) 17


4 UÀtÂvÀ

FUÀ £ÁªÀÅ «ÄÃ£ÁQë G¥ÀAiÉÆÃV¹zÀ “vÀAvÀæ” ªÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÉÆÃt.

¸ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå ab DVgÀ°. EzÀgÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À 10 × a + b.CAQ CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå ba. EzÀgÀ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À 10 × b + a.F JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ,

(10 × a + b) + (10 × b + a) = 11 a + 11b = 11(a + b)

»ÃUÉ ªÉÆvÀÛªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ «ÄÃ£ÁQëAiÀÄ ¥Àæw¥ÁzÀ£ÉAiÀÄAvÉ 11 gÀ UÀÄtPÀªÉÃ DVgÀÄvÀÛzÉ.

E°è E£ÉÆßAzÀÄ CA±ÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¸À§ºÀÄzÀÄ. £ÁªÀÅ F ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß 11 jAzÀ ¨sÁV¹zÀÝgÉ ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ a + b, ªÀÄvÀÄÛ EzÀÄ £ÁªÀÅ Dj¹PÉÆAqÀ ¸ÀASÉå ab AiÀÄ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ DVzÉ.

¤ÃªÀÅ EzÀ£ÀÄß ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À ÀASÉå vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.

«ÄÃ£ÁQë ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÄAzÀgÀA £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉV£À Dl ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ!

«ÄÃ£ÁQë : FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ JgÀqÀAQ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄ£À¹£À°è ElÄÖPÉÆÃ DzÀgÉ £À£ÀUÉ ºÉÃ¼À¨ÉÃqÀ.

¸ÀÄAzÀgÀA : ¸Àj..

«ÄÃ£ÁQë : FUÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁr zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼É.

¸ÀÄAzÀgÀA : PÀ¼ÉzÉ....ªÀÄÄAzÉÃ£ÀÄ?

«ÄÃ£ÁQë : FUÀ ¤Ã£ÀÄ ¥ÀqÉzÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß 9jAzÀ ¨sÁV¸ÀÄ. £Á£ÀÄ RArvÀªÁV ºÉÃ¼À§¯Éè, C°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ±ÉÃµÀ G½¢®è !

¸ÀÄAzÀgÀA : CgÉ!..ºËzÀÄ, AiÀiÁªÀÅzÉÃ ±ÉÃµÀ G½AiÀÄ°®è. ¤Ã£ÀÄ EµÉÆÖAzÀÄ zÀÈqsÀªÁV ºÉÃ½zÀÄÝ ºÉÃUÉ?

¤dªÁV, ¸ÀÄAzÀgÀA AiÉÆÃa¹zÀ ¸ÀASÉå 29. CzÀgÀ ¯ÉPÁÌZÁgÀ »ÃVzÉ:

CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä§zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §AzÀ ¸ÀASÉå 92; £ÀAvÀgÀ ¥ÀqÉzÀzÀÄÝ 92-29 = 63; PÉÆ£ÉUÉ CªÀ£ÀÄ 63 ÷ 9 ªÀiÁrzÁUÀ ¥ÀqÉzÀ ¨sÁUÀ®§Þ 7 ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀ K£ÀÆ G½AiÀÄ°®è!


(1) 17 (2) 21 (3) 96 (4) 37


FUÀ ¸ÀÄAzÀgÀA, «ÄÃ£ÁQëAiÀÄ JgÀqÀ£ÉÃ vÀAvÀæªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ «ªÀj¸ÀÄvÁÛ£É JAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt.


(FUÀ ¸ÀÄAzÀgÀA EzÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÀÄªÀµÀÄÖ DvÀä«±Áé¸À UÀ½¹zÁÝ£É!)

¸ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå ab DVzÀÝgÉ, ab = 10 × a + b.CAQ CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå ba = 10 × b + a.FUÀ zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ,

• 10 gÀ ¸ÁÜ£ÀªÀÅ ©r ¸ÁÜ£ÀQÌAvÀ zÉÆqÀØzÁVzÁÝUÀ (CAzÀgÉ a > b) (10 × a + b) – (10 × b + a ) = 10 a + b – 10 b – a. = 9a – 9b = 9(a – b) • ©r¸ÁÜ£ÀªÀÅ 10gÀ ¸ÁÜ£ÀQÌAvÀ zÉÆqÀØzÁVzÁÝUÀ (CAzÀgÉ b > a) (10 × b + a ) – (10 × a + b) = 9(b – a) • a = b DzÁUÀ CªÀ£ÀÄ ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ 0.

¥Àæw ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°èAiÀÄÆ GvÀÛgÀªÀÅ 9 jAzÀ ¨sÁV¸À®àqÀÄvÀÛzÉ DzÀÝjAzÀ ±ÉÃµÀ 0. MAzÉÆªÉÄä £ÁªÀÅ 9jAzÀ sÁV¹zÀgÉ, a > b CxÀªÁ a < b JA§ÄzÀgÀ DzsÁgÀzÀ°è sÁUÀ®§ÞªÀÅ a – b CxÀªÁ b – a DVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸À§ºÀÄzÀÄ. ¤ÃªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉÃ 2 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.

(ii) ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è (reversing) §gÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

FUÀ PÉ®ªÀÅ vÀAvÀæUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀÄªÀ ¸ÀgÀ¢ ¸ÀÄAzÀgÀAzÀÄ!

ÀÄAzÀgÀA : 3 CAQUÀ¼À MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÉÆÃa¸ÀÄ DzÀgÉ AiÀiÁªÀÅzÉAzÀÄ £À£ÀUÉ ºÉÃ¼À¨ÉÃqÀ.

«ÄÃ£ÁQë : ¸Àj..

¸ÀÄAzÀgÀA : FUÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå ¥ÀqÉ ªÀÄvÀÄÛ zÉÆqÀØ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ aPÀÌ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼É.

«ÄÃ£ÁQë : ¸Àj, PÀ¼ÉzÁ¬ÄvÀÄ. ªÀÄÄAzÉÃ£ÀÄ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ?

¸ÀÄAzÀgÀA : ¤Ã£ÀÄ ¥ÀqÉzÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß 99jAzÀ ¨sÁV¸ÀÄ, RArvÀ ºÉÃ¼À§¯Éè, C°è AiÀiÁªÀ ±ÉÃµÀªÀÇ G½AiÀÄzÀÄ!

¤dªÁV «ÄÃ£ÁQë Dj¹zÀ ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉå 349. DUÀ CªÀ¼À ¯ÉPÁÌZÁgÀ »ÃVgÀÄvÀÛzÉ.

• «gÀÄzÀÞPÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 943

• PÀ¼ÉzÁUÀ zÉÆgÉvÀ ¸ÀASÉå 943 - 349 = 594

• ¨sÁV¹zÁUÀ, 594 ÷ 99 = 6, ±ÉÃµÀ G½¢®è.

6 UÀtÂvÀ

«ÄÃ£ÁQë PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Dj¹zÀÝgÉ GvÀÛgÀ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹. ¥Àæw ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è zÉÆgÉvÀ ¨sÁUÀ®§ÞUÀ¼À£ÀÄß zÁR°¹PÉÆ½î.

(1) 132 (2) 469 (3) 737 (4) 901


£ÁªÀÅ F vÀAvÀæ ºÉÃUÉ PÉ®¸À ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀÄ JAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt.

«ÄÃ£ÁQë Dj¹zÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå abc DVzÀÝgÉ, abc = 100a + 10b + c CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÁUÀ CªÀ¼ÀÄ ¥ÀqÉzÀ ¸ÀASÉå;

cba = 100c + 10b + aEªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ:

• a > c DVzÀÝgÉ, DUÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ

(100a + 10b + c) – ( 100c + 10b + a) = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99a – 99c = 99(a – c) • c > a DVzÀÝgÉ, DUÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ

(100c + 10b + a) – (100a + 10b + c) = 99c – 99a = 99(c – a) • a = c DVzÀÝgÉ, ªÀåvÁå¸À 0 DUÀÄªÀÅzÀÄ.

¥Àæw ÀAzÀ¨sÀðzÀ°èAiÀÄÆ ¥sÀ°vÀ ÀASÉåAiÀÄÄ 99 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ ±ÉÃµÀ 0 DUÀÄvÀÛzÉ. E°è ¨sÁUÀ®§ÞªÀÅ (a – c) CxÀªÁ (c – a) DVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸À§ºÀÄzÀÄ. ¤ÃªÀÅ, ¨ÉÃgÉ 3-CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ½UÉ EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.

(iii) PÉÆlÖ ªÀÄÆgÀÄ CAQUÀ½AzÀ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå gÀa¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

FUÀ ¥ÀÄ£ÀB «ÄÃ£ÁQëAiÀÄ ¸ÀgÀ¢.

«ÄÃ£ÁQë : AiÀiÁªÀÅzÉÃ 3-CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå AiÉÆÃa¸ÀÄ.

¸ÀÄAzÀgÀA : ¸Àj.

«ÄÃ£ÁQë : FUÀ F 3 CAQUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ ªÀÄvÉÛ JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À¨ÉÃPÀÄ. ºÉÃUÉAzÀgÉ, ¤Ã£ÀÄ Dj¹zÀ ¸ÀASÉå abc DVzÀÝgÉ CAQUÀ¼À£ÀÄß ZÀQæÃAiÀÄªÁV §zÀ°¹ cab ªÀÄvÀÄÛ bca ¥ÀqÉAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. F ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß 37 jAzÀ ¨sÁV¸ÀÄ. £Á£ÀÄ RavÀªÁV ºÉÃ¼À§¯Éè, C°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ±ÉÃµÀ G½AiÀÄÄªÀÅ¢®è!

¸ÀÄAzÀgÀA : ºËzÀÄ! ¤Ã£ÀÄ ºÉÃ½zÀÄÝ ¸ÀjAiÀiÁVzÉ.


¤dªÁV, ÀÄAzÀgÀA Dj¹zÀ 3-CAQAiÀÄ ÀASÉå 237. «ÄÃ£ÁQë ºÉÃ½zÀAvÉ ªÀiÁrzÀ £ÀAvÀgÀ CªÀ£ÀÄ ¥ÀqÉzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 723 ªÀÄvÀÄÛ 372. CzÀgÀAvÉ ªÀiÁrzÁUÀ,

237

+ 723

+ 372

2, 3 ªÀÄvÀÄÛ 7 CAQUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ ¸ÁzsÀå«gÀÄªÀ JˉÁèªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

ªÉÆvÀÛªÀÅ 37jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÉÃ ¥ÀjÃQë¹. EzÀÄ ¸ÀASÉå AiÀÄ°è£Àabc

CAQ ªÀÄvÀÄÛ UÀ½AzÀ gÀavÀªÁzÀ JˉÁè ¸ÀASÉåUÀ¼Àa, b c

ªÉÆvÀÛPÀÆÌ ¤dªÁVgÀÄªÀÅzÉÃ? 1332

ªÉÆvÀÛ 1332 £ÀÄß CªÀ£ÀÄ 37 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ,

1332 ÷ 37 = 36 ºÁUÀÆ ±ÉÃµÀ G½¢®è.


(1) 417 (2) 632 (3) 117 (4) 937


F vÀAvÀæ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¥sÀ°¸ÀÄªÀÅzÉÃ? £ÉÆÃqÉÆÃt.

abc = 100a + 10b + c cab = 100c + 10a + b bca = 100b + 10c + a abc + cab + bca = 111(a + b + c) = 37 × 3(a + b + c), EzÀÄ 37 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

1.4 CAQUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀzÀ°è CPÀëgÀUÀ¼ÀÄ

FUÀ £ÁªÀÅ CAQUÀ¼À ¸ÁÜ£ÀzÀ°è CPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß (Alphabets) ºÁQzÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. EzÀÄ MAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ¸ÀAPÉÃvÁPÀëgÀUÀ¼À CxÀðªÀ£ÀÄß ¨sÉÃ¢¹zÀAvÉ! ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ EAvÀºÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ CPÀëgÀ AiÀiÁªÀ CAQAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ £ÀªÀÄä UÀÄj.

EAvÀºÀ ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÁUÀ £ÁªÀÅ PÉ¼ÀV£À JgÀqÀÄ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß C£ÀÄ¸Àj¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

1. ¸ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄ°èègÀÄªÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CPÀëgÀªÀÅ MAzÀÄ CAQAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸À¨ÉÃPÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CAQAiÀÄ£ÀÆß MAzÀÄ CPÀëgÀ ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸À¨ÉÃPÀÄ.

2. ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÉÆzÀ°£À CAQ ¸ÉÆ£Éß DVgÀ¨ÁgÀzÀÄ. CAzÀgÉ “CgÀªÀvÀÆägÀÄ” JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 63 JAzÀÄ §gÉAiÀÄ¨ÉÃPÉÃ «£ÀB 063 CxÀªÁ 0063 JAzÀÄ §gÉAiÀÄPÀÆqÀzÀÄ.

F ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÉ MAzÀÄ GvÀÛgÀ ªÀiÁvÀæ EzÉ JAzÀÄ w½AiÀÄ¨ÉÃPÀÄ.

8 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 1 : PÉ¼ÀV£À ªÉÆvÀÛzÀ°è Q ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3 1 Q+ 1 Q 3 5 0 1

¥ÀjºÁgÀ : E°è £ÁªÀÅ Q JA§ MAzÀÄ CPÀëgÀzÀ É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÁVzÉ.

FUÀ, ªÉÄÃ°£À ªÉÆvÀÛzÀ°è ©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹zÁUÀ Q + 3 JA§ÄzÀgÀ ªÉÆvÀÛ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 £ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÀÄ.

EzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀ®Ä Q ¨É¯É 8 DVgÀ¨ÉÃPÀÄ. »ÃUÉ £ÁªÀÅ F ¸ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄ£ÀÄß PÉ¼ÀV£ÀAvÉ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.

3 1 8+ 1 8 3 5 0 1

CAzÀgÉ Q = 8GzÁºÀgÀuÉ 2 : PÉ¼ÀV£À ªÉÆvÀÛzÀ°è A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

A+ A+ A B A

¥ÀjºÁgÀ : E°è A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ CPÀëgÀUÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÁVzÉ. ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹: ªÀÄÆgÀÄ A UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è A AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ. CAzÀgÉ JgÀqÀÄ A UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ A = 0 ªÀÄvÀÄÛ A = 5 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀå. A = 0 DzÁUÀ 0 + 0 + 0 = 0, DUÀ B = 0 DUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ CAQAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ CPÀëgÀ ªÀiÁvÀæ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ EzÀÄ ¸ÁzsÀå«®è. DzÀÝjAzÀ A = 5

FUÀÀ MUÀl£ÀÄß PÉ¼ÀV£ÀAvÉ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.

5+ 5+ 5 15

CAzÀgÉ A = 5 ªÀÄvÀÄÛ B = 1


GzÁºÀgÀuÉ 3 : A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

B A× B 3 5 7 A

¥ÀjºÁgÀ : E°è PÀÆqÀ £ÁªÀÅ A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ JgÀqÀÄ CPÀëgÀUÀ¼À É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÁVzÉ.

E°è ©r¸ÁÜ£À 3 × A UÀ¼À UÀÄt®§Þ A AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀÄªÀÅzÀjAzÀ A = 0 CxÀªÁ A = 5 DVgÀ¨ÉÃPÀÄ.

FUÀ B AiÀÄ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸ÉÆÃt.

B = 1 DzÁUÀ BA × B3 JA§ÄzÀÄ UÀjµÀ× 19 × 13 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀgÀ UÀÄt®§Þ 247 DUÀÄvÀÛzÉ. DzÀgÉ GvÀÛgÀ 5 7 A DUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ EzÀÄ 500 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ. DzÀÝjAzÀ B = 1 ¸ÁzsÀå«®è.

B = 3 DzÁUÀ B A × B 3 JA§ÄzÀÄ PÀ¤µÀ× 30 × 33 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀgÀ UÀÄt®§Þ 990 DUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ 5 7 A VAvÀ vÀÄA¨Á ºÉZÀÄÑ. CAzÀgÉ B ¨É¯É 3 DUÀ¯ÁgÀzÀÄ. F JgÀqÀÄ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß MnÖUÉ UÀªÀÄ¤¹zÁUÀ B = 2 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ UÀÄt®§ÞªÀÅ 20 × 23 CxÀªÁ 25 × 23.

ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀÄ ¸ÁzsÀå«®è. KPÉAzÀgÉ, 20 × 23 = 460 JgÀqÀ£ÉAiÀÄzÀÄ zÀvÀÛ GvÀÛgÀPÉÌ ¸Àj ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ. KPÉAzÀgÉ, 25 × 23 = 575

DzÀÝjAzÀ GvÀÛgÀ A = 5 , B = 2. 2 5× 2 3 5 7 5

EzÀ£ÀÄß ªÀiÁr

JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå ab §gÉ¬Äj. CzÀgÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß «gÀÄzÀÞ PÀæªÀÄzÀ°è §gÉzÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄÄªÀ ¸ÀASÉå ba. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹zÁUÀ zÉÆgÉAiÀÄÄªÀ ªÉÆvÀÛªÀÅ 3 CAQUÀ¼À ¸ÀASÉå dad DVgÀ°.CAzÀgÉ, ab + ba = dad (10a + b) + (10b + a) = dad 11(a + b) = dad a+b UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 18 QÌAvÀ ºÉZÁÑUÀÄªÀÅ¢®è. ( KPÉ? )

dad AiÀÄÄ 11 gÀ UÀÄtPÀªÁVgÀÄªÀÅzÉÃ?

dad AiÀÄÄ 198 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀÅzÉÃ? 198 gÀªÀgÉV£À 11 gÀ UÀÄtPÀUÀ¼ÁVgÀÄªÀ 3 CAQUÀ¼À J¯Áè ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj ºÁUÀÆ a ªÀÄvÀÄÛ d UÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

10 UÀtÂvÀ

C¨sÁå¸À 1.1

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è EAVèµï CPÀëgÀUÀ½AzÀ ¸ÀÆavÀªÁzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CPÀëgÀzÀÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. PÁgÀt¸À»vÀ «ªÀgÀuÉ ¤Ãr.

1. 3 A 2. 4 A 3. 1 A+ 2 5 + 9 8 × A B 2 C B 3 9 A

4. A B 5. A B 6. A B+ 3 7 × 3 × 5 6 A C A B C A B

7. A B 8. A 1 9. 2 A B × 6 + 1 B + A B 1B B B B 0 B 1 8

10. 1 2 A+ 6 A B A O 9

1.5 ¨sÁdåvÉAiÀÄ ¥ÀjÃPÉëUÀ¼ÀÄ.

¤ÃªÀÅ 6£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 10,5,2,3,6,4,8,9,11 ªÀÄÄAvÁzÀ ¨sÁdPÀUÀ½AzÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÀÄªÀÅzÀÄ ºÉÃUÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀ°wgÀÄ«j. F ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼ÀÄ ºÉÃUÉ PÉ®¸À ªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀgÀ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ D±ÀÑAiÀÄðUÉÆArgÀ§ºÀÄzÀÄ. £ÁªÀÅ F CzsÁåAiÀÄzÀ°è CzÀgÀ §UÉÎ w½AiÉÆÃt.

1.5.1 10 jAzÀ ¨sÁdåvÉ.

EzÀÄ J¯Áè ¥ÀjÃPÉëUÀ½VAvÀ®Æ ¸ÀÄ®¨sÀªÁzÀzÀÄÝ. 10 gÀ PÉ®ªÀÅ UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

10, 20, 30, 40, 50, 60, ........

10 gÀ UÀÄtPÀUÀ¼À®èzÀ PÉ®ªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. 13, 27, 32, 48, 55, 69,.. F ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¹zÁUÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10 gÀ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ. DzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10gÀ UÀÄtPÀUÀ¼À®è. »ÃUÉ £ÁªÀÅ 10jAzÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ w½zÉªÀÅ.

£ÁªÀÅ EzÀ£ÀÄß ¸ÀÄªÀÄä£É F jÃw ºÉÃ¼ÀzÉ, EzÀÄ ºÉÃUÉ PÉ®¸À ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß «ªÀj¸À¨ÉÃPÀÄ. EzÉÃ£ÀÄ PÀµÀÖªÀ®è. £ÀªÀÄUÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÁÜ£À¨É¯É ¤AiÀÄªÀÄ w½¢zÀÝgÉ ¸ÁPÀÄ.


FUÀ ........cba ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt. EzÀgÀ «¸ÀÛøvÀgÀÆ¥À

..........+ 100c + 10b + a JAzÁUÀÄªÀÅzÀÄ. E°è a AiÀÄÄ ©r¸ÁÜ£À, b AiÀÄÄ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£À, c AiÀÄÄ £ÀÆgÀgÀ ¸ÁÜ£À, EvÁå¢. E°è ZÀÄQÌUÀ¼ÀÄ c AiÀÄ JqÀ§¢AiÀÄ°è E£ÀÆß ºÉaÑ£À CAQUÀ½gÀÄªÀ ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.

10, 100, ªÀÄÄAvÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ 10b, 100c UÀ¼ÀÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ. FUÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ a AiÀÄÄ 10 jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ a = 0 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.

»ÃUÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£À 0 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ CzÀÄ 10 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.


5 gÀ PÉ®ªÀÅ UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr.

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, .... F ¸ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹zÁUÀ C°è 5 ªÀÄvÀÄÛ 0 UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÁåAiÀÄªÁV §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ ºÉÆgÀvÁV AiÀiÁªÀÅzÉÃ CAQUÀ¼ÀÄ §gÀÄªÀÅ¢®è. CAzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0 CxÀªÁ 5 §AzÁUÀ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 5jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

£ÁªÀÅ F ¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß «ªÀj¸ÉÆÃt.

AiÀiÁªÀÅzÉÃ ÀASÉå........cba AiÀÄ£ÀÄß .......... + 100c + 10b + a JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

10, 100 ªÀÄÄAvÁzÀ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ 10b, 100c UÀ¼ÀÄ 10jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ. EªÀÅ 5 jAzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ KPÉAzÀgÉ 10 = 2 × 5. E£ÀÄß ©r¸ÁÜ£ÀzÀ a AiÀÄÄ 5 jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 5 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ a = 0 CxÀªÁ a = 5 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.

»ÃUÉ, MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£À 0 CxÀªÁ 5 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ CzÀÄ 5 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

(ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀ£ÀÄß ¤ªÀÄUÁV ªÀiÁrzÉ)

1. N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 3 £ÀÄß G½¹zÀgÉÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

(©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß 5 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ ±ÉÃµÀ 3£ÀÄß G½¹zÀgÉÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀ¼ÀÄ 3 CxÀªÁ 8 DVgÀ¨ÉÃPÀÄ).

2. N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 1 £ÀÄß G½¹zÀgÉÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

3. N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 4 £ÀÄß G½¹zÀgÉÉÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?


12 UÀtÂvÀ


¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,.....

¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,......

MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQ 2, 4, 6, 8 CxÀªÁ 0 EzÀÝgÉ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ¸ÀASÉå, ©r¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀ¼ÀÄ 1, 3, 5, 7 CxÀªÁ 9 EzÀÝgÉ CzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ.

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£À 0, 2, 4, 6 CxÀªÁ 8 DzÀgÉÉ D ¸ÀASÉå 2jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÀÄ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ 6£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°wgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ½î. EzÀgÀ «ªÀgÀuÉ PÉ¼ÀV£ÀAwzÉ.

AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸ÀASÉå cba AiÀÄ£ÀÄß 100c + 10b + a JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. ªÉÆzÀ® JgÀqÀÄ ¥ÀzÀ 100c ªÀÄvÀÄÛ 10b UÀ¼ÀÄ 2 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ AiÀiÁPÉAzÀgÉ 100 ªÀÄvÀÄÛ 10, 2jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛªÉ. E£ÀÄß ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ a AiÀÄÄ 2 jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ a = 0, 2, 4, 6 CxÀªÁ 8 DzÁUÀ ªÀiÁvÀæ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ.

»ÃUÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀªÀÅ 0, 2, 4, 6 CxÀªÁ 8 DzÁUÀ CzÀÄ 2jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

(ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀ£ÀÄß ¤ªÀÄUÁV ªÀiÁrzÉ)

1. N ÷ 2 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 1 £ÀÄß G½¹zÀgÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

(2 jAzÀ N £ÀÄß ¨sÁV¹zÁUÀ ±ÉÃµÀ 1 G½zÀgÉ CzÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉå. DzÀÝjAzÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀ¨ÉÃPÁzÀ CAQUÀ¼ÀÄ 1, 3, 5, 7 CxÀªÁ 9.)

2. N ÷ 2 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 0 £ÀÄß ¤ÃrzÀgÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

3. MAzÉÆªÉÄä N ÷ 5 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 4£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ N ÷ 2 gÀ ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ±ÉÃµÀ 1 £ÀÄß G½¹zÀgÉ N £À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?


1.5.4 9 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ ¨sÁdåvÉ.

£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ 10, 5 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ ¥ÀjÃPÉë ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃrzÉÝÃªÉ. EªÀÅUÀ¼À°è£À ¸ÁªÀiÁ£Àå CA±ÀªÉAzÀgÉ ¨sÁdåvÉAiÀÄÄ PÉÃªÀ® ©r¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß CªÀ®A©¹gÀÄªÀÅzÀÄ. UÀªÀÄ¤¸À¨ÉÃPÁzÀ E£ÉÆßAzÀÄ CA±ÀªÉAzÀgÉ 10, 5, 2 UÀ¼ÀÄ 10 gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁVgÀÄªÀÅzÀÄ. 10 JA§ÄzÀÄ ¸ÁÜ£À¨É¯É ¤zsÀðj¸ÀÄªÀ°è ªÀÄÄRåªÁzÀ ¸ÀASÉå.


DzÀgÉ 9 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÀÄªÀ°è EzÀÄ G¥ÀAiÉÆÃUÀPÉÌ §gÀÄªÀÅ¢®è. £ÁªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀASÉå 3573£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt. EzÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¹zÀ gÀÆ¥ÀªÀÅ:

3573 = 3 × 1000 + 5 × 100 + 7 × 10 + 3 = 3 × (999 + 1) + 5 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 3 = 3 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 + (3 + 5 + 7 + 3) ... (1)

FUÀ £ÁªÀÅ 3573 JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ

(3 + 5 + 7 + 3) JA§ÄzÀÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÁt§ºÀÄzÀÄ. E°è 3 + 5 + 7 + 3 = 18 JA§ÄzÀÄ 9 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 ªÀÄvÀÄÛ 3 JgÀqÀjAzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå 3576 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt. ªÉÄÃ°£ÀAvÉ «¸ÀÛj¹zÁUÀ

3576 = 3 × 999 + 5 × 99 + 7 × 9 + (3 + 5 + 7 + 6) ...(2)E°è 3 + 5 + 7 + 6 = 21 JA§ÄzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è DzÀgÉ 3 jAzÀ

¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, (1) MAzÀÄ ¸ÀASÉå N JA§ÄzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CzÀgÀ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. E®èªÁzÀ°è CzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è.

(2) MAzÀÄ ¸ÀASÉå N JA§ÄzÀÄ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CzÀgÀ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. E®èªÁzÀ°è CzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è.

EzÀ£ÀÄß PÉ¼ÀV£ÀAvÉ «ªÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.

zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ cba DVzÀÝ°è, cba = 100c + 10b + a = 99c +9b + (a + b + c) = 9(11c + b) + (a + b + c)

E°è 9(11c + b) JA§ÄzÀÄ 3 ªÀÄvÀÄÛ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. CzÀÝjAzÀ zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ (a + b + c) AiÀÄÄ 9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉ 4 : 9 jAzÀ 21436587 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

¥ÀjºÁgÀ : zÀvÀÛ ¸ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 2 + 1 + 4 + 3 + 6 + 5 + 8 + 7= 36. EzÀÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ (36 ÷ 9 = 4). DzÀÝjAzÀ 21436587 JA§

¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. £ÁªÀÅ EzÀ£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃqÀ§ºÀÄzÀÄ.

21436587

9= 2381843

GzÁºÀgÀuÉ 5 : 9jAzÀ 152875 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

¥ÀjºÁgÀ : zÀvÀÛ ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 1 + 5 + 2 + 8 + 7 + 5 = 28. EzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ 152875 JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è.

14 UÀtÂvÀ

9 jAzÀ PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

(1) 108 (2) 616 (3) 294 (4) 432

(5) 927


GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ ªÀÄÆgÀAQ ¸ÀASÉå 24x JA§ÄzÀÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ x ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 24x JA§ÄzÀÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ EzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ

2 + 4 + x PÀÆqÀ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ 6 + x JA§ÄzÀÄ 9jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ ÁzsÀåªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ 6 + x = 9 CxÀªÁ 18,....... DzÀgÉ x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ CAQAiÀiÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ 6 + x = 9. CAzÀgÉ, x = 3.

AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gÉ¬Äj 1. 450 JA§ ÀASÉåAiÀÄÄ 10 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. CzÉÃ jÃw EzÀÄ 10

gÀ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁzÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 jAzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. »ÃUÉAiÉÄÃ 135 JA§ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 9 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. CzÉÃ jÃw EzÀÄ 9gÀ C¥ÀªÀvÀð£À 3 jAzÀ®Æ sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ, MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸ÀASÉå m ¤AzÀ ¨sÁUÀªÁzÀgÉ CzÀÄ m £À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ½AzÀ®Æ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ?

2. (i) 3-CAQAiÀÄ MAzÀÄ ÀASÉå abcAiÀÄ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

abc = 100a + 10b + c = 99a + 11b + (a – b + c) = 11( 9a + b ) + (a – b + c) abc AiÀÄÄ 11 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÁzÀgÉ (a – b + c)AiÀÄ §UÉÎ K£ÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ?

(a + c – b) AiÀÄÄ 11jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÀÄ CªÀ±ÀåªÉÃ? (ii) 4-CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉå abcd «¸ÀÛj¹zÁUÀ abcd = 1000a + 100b + 10c + d = (1001a + 99b + 11c) – (a – b + c – d) = 11(91a + 9b + c) + [(b + d) – (a + c)] FUÀ abcd AiÀÄÄ 11 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÁzÀgÉ [(b + d) – (a + c)] AiÀÄ §UÉÎ

K£ÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ?

(iii) ªÉÄÃ°£À JgÀqÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹zÀgÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 11 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CzÀgÀ ¨É¸À¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ 11jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÉÃ?


GzÁºÀgÀuÉ 7 : 3 jAzÀ 2146587 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

¥ÀjºÁgÀ : 2146587 ¸ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ

2 + 1 + 4 + 6 + 5 + 8 + 7 = 33. EzÀÄ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. 33 ÷ 3 = 11. DzÀÝjAzÀ 2146587 EzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.GzÁºÀgÀuÉ 8 : 3 jAzÀ 15287 gÀ ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

¥ÀjºÁgÀ : 15287 ¸ÀASÉåAiÀÄ J¯Áè CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 1 + 5 + 2 + 8 + 7 = 23. EzÀÄ 3 jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ 15287 PÀÆqÀ 3jAzÀ sÁUÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è.

3 jAzÀ PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ¨sÁdåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

(1) 108 (2) 616 (3) 294 (4) 432

(5) 927


C¨sÁå¸À 1.2

1. 21y5 JA§ÄzÀÄ 9gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ y MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ y ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

2. 31z5 JA§ÄzÀÄ 9gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ z MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ z ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. 24x JA§ÄzÀÄ 3gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ x MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ x ¨É¯É K£ÁVgÀÄvÀÛzÉ? (24x JA§ÄzÀÄ 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ EzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 2 + 4 + x

PÀÆqÀ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ 6 + x JA§ÄzÀÄ 3jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ 6 + x = 3,6,9,12,15,18....... DzÀgÉ x JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ CAQAiÀiÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ x £À ¨É¯ÉAiÀÄÄ 0 ¬ÄAzÀ 9gÀ ªÀgÉUÉ EgÀ§ºÀÄzÀÄ. CAzÀgÉ E°è 6 + x = 6 CxÀªÁ 9 CxÀªÁ12 CxÀªÁ 15 DUÀ§ºÀÄzÀÄ. »ÃUÉ x = 0 CxÀªÁ 3 CxÀªÁ 6 CxÀªÁ 9 JAzÀÄ wÃªÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÀÄ.)

4. 31z5 JA§ÄzÀÄ 3gÀ UÀÄtPÀªÁVzÀÄÝ z MAzÀÄ CAQ DVzÀÝgÉ z ¨É¯É K£ÁVgÀÄvÀÛzÉ?

¸ÁgÁA±À

1. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. JgÀqÀÄ CAQUÀ¼À MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥À ab = 10a + b.

2. ¸ÀASÉåUÀ¼À DlUÀ¼À°è CxÀªÁ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀ°è ¸ÀASÉåUÀ¼À «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀªÀÅ ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁVzÉ.

3. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß «¸ÀÛøvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉzÁUÀ 10,5,2,9 CxÀªÁ 3 jAzÀ ¨sÁdåvÉUÉ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß w½AiÀÄ§ºÀÄzÁVzÉ.

2.1 ¦ÃpPÉ

UÀtÂvÀzÀ°è £ÁªÀÅ ¥ÀzÉÃ ¥ÀzÉÃ ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ : x + 2 = 13 ... (1)

F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀ x = 11 JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå.

E£ÉÆßAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

x + 5 = 5 ... (2)

F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÁzÀ x = 0 ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ®è. ¸ÉÆ£Éß CxÀªÁ

±ÀÆ£ÀåzÀ PÀ®à£ÉAiÀÄÄAmÁzÀ £ÀAvÀgÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À eÉÆvÉ ¸ÉÃj EªÉ®èªÀ£ÀÆß ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄ¯Á¬ÄvÀÄ.

DzÀgÉ, F ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ¯ÉÃ J®è ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÆß ©r¸À¯ÁUÀÄªÀÅ¢®è.

GzÁºÀgÀuÉUÉ : x + 18 = 5 ... (3)

F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÁzÀ x = – 13 ªÉÄÃ¯É ºÉÃ½zÀ AiÀiÁªÀ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÀÄÆ

C®è. IÄt ¸ÀASÉåAiÀÄ PÀ®à£É¬ÄAzÁV ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼À PÀ®à£É «¸ÁÛgÀUÉÆAqÀÄ ¸ÉÆ£Éß, zsÀ£À ¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ IÄt ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼É®èªÀÇ ÉÃj ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁzÀªÀÅ. FUÀ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛgÀÄªÀ

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ½AzÀ J®è ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ ¤ÃªÀÅ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÀÄ.

DzÀgÉ F PÉ¼ÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

2x = 3 ... (4)

CxÀªÁ 5x + 7 = 0 ... (5)

F jÃwAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ¥ÀÇuÁðAPÀ ¥ÀjºÁgÀ«zÉAiÉÄÃ ? (¤ÃªÉÃ ¥ÀjÃQë¹). E®è.

KPÉAzÀgÉ, EªÀÅUÀ¼À ¥ÀjºÁgÀ 3

2× = CxÀªÁ

7

5−

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À®è. EªÀÅUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ.

£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÄÃ°£À ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À£ÀÄß w½¢zÉÝÃªÉ. F ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÅ£ÀB £É£À¦¹PÉÆ¼ÉÆîÃt.

CzsÁåAiÀÄ

2¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 17

2.2 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ

2.2.1 DªÀÈvÀÛvÉ

(i) ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ J®è ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À°èAiÀÄÆ DªÀÈvÀÛªÁVªÉAiÉÄÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸ÉÆÃt.

ªÀÄÆ® QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt n¥ÀàtÂ

¸ÀAPÀ®£À 0 + 5 = 5. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå

4 + 7 = .... EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÄ?

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

a + b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇtð¸ÀASÉå

¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.

ªÀåªÀPÀ®£À 5 – 7 = - 2 EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå C®è. ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.

UÀÄuÁPÁgÀ 0 × 3 = 0. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå.

3 × 7 = … EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÄ ?

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

a × b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇtð¸ÀASÉå

¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.

¨sÁUÁPÁgÀ 55 8

8÷ = EzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå C®è.

¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ F J®è ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉAiÉÄÃ? ¥ÀjÃQë¹.

(ii) ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ

FUÀ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀ ªÀÄÆ® QæAiÉÄUÀ¼À°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

ªÀÄÆ® QæAiÉÄ

¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt

n¥ÀàtÂ

¸ÀAPÀ®£À - 6 + 5 = - 1. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.

-7 + (-5) ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ ?

8 + 5 ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ ?

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

a + b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.

ªÀåªÀPÀ®£À 7– 5 = 2 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.

5 - 7 ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ ?

-6 - 8 = -14 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.

-6 - (-8) = 2 EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.

18 UÀtÂvÀ

8 - (-6) ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ ?


a – b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ

b – a ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ ¥ÀjÃQë¹

UÀÄuÁPÁgÀ 5 × 8 = 40. EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.

-5 × 8 ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ?

-5 × (-8) EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ.


a × b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.

¨sÁUÁPÁgÀ 55 8

8÷ = . EzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ C®è.

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.

ªÉÄÃ®ÌAqÀ «µÀAiÀÄUÀ½AzÀ w½zÀÄ§gÀÄªÀÅzÉÃ£ÉAzÀgÉ, ¥ÀÇtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À ºÁUÀÆ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À ºÁUÀÆ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ DªÀÈvÀÛªÁVªÉ. DzÀgÉ, ¥ÀÇtð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ªÀåªÀPÀ®£À ºÁUÀÆ ¨sÁUÁPÁgÀUÀ¼À°èAiÀÄÆ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁV®è.

(iii) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

p ªÀÄvÀÄÛ q (q ≠ 0) UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVgÀÄªÀ ªÀÄvÀÄÛ p

qgÀÆ¥ÀzÀ°è ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÁzÀ

¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄAzÀÄ £ÁªÀÅ F ªÉÆzÀ¯ÉÃ w½¢zÉÝÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ, 2 6 9, ,

3 7 5−

−,UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. ºÁUÉAiÉÄÃ 0, -2, 4 UÀ¼À£ÀÄß

p

q

gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÁzÀÝjAzÀ CªÀÅUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ. (¥ÀjÃQë¹)

(a) JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÁUÀ¯ÉÃ PÀ°w¢ÝÃj.

3 ( 5) 21 ( 40) 19

8 7 56 56

− + − −+ = = EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå

( )43 15 ( 32)...............

8 5 40

−− − + −+ = = (MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ ?)

4 6.........

7 11+ = (MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ ?)

JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÇ ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄAzÀÄ £ÁªÀÅ EªÀÅUÀ½AzÀ w½AiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.


sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a + b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(b) JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀÇ ÀºÀ MAzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÉÄÃ ? £ÉÆÃqÉÆÃt.

5 2 5 3 2 7 29

7 3 21 21

− − × − × −− = = EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

5 4 25 32

..................8 5 40

−− = = MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ ?

3 8

..............7 5

− − = MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ ?

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÁtÄvÉÛÃªÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a – b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.û

(c) FUÀ JgÀqÀÄ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

2 4 8 3 2 6;

3 5 15 7 5 35

− −× = × = JgÀqÀÆ ¸ÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ.

4 6..............

5 11− × = EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÄÃ ?

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÞUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹. EzÀjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVgÀÄªÀÅªÉAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × b ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

(d) 5 2 25

3 5 6

− −÷ = EzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. EzÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå.

2 5............

7 3÷ = ªÀÄvÀÄÛ 3 2

..........8 9

− −÷ = EªÉgÀqÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÃ?

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉAiÉÄAzÀÄ ºÉÃ¼À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

a ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, a ÷ 0 ªÁåSÁå£ÀªÁV®è. DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀªÁV®è.

DzÀgÉ, J®è ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAUÀæºÀ¢AzÀ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄºÁQzÀgÉ G½zÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¨sÁUÁPÁgÀzÀ°è DªÀÈvÀÛªÁVªÉ.

20 UÀtÂvÀ

PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è SÁ° EgÀÄªÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©j.

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀÛªÁVªÉ

¸ÀAPÀ®£À ªÀåªÀPÀ®£À UÀÄuÁPÁgÀ ¨sÁUÁPÁgÀ

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ºËzÀÄ ºËzÀÄ .... E®è

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ .... ºËzÀÄ .... E®è

¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... ....

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... ....


2.2.2 ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ


PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è SÁ° EgÀÄªÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©¸ÀÄªÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ««zsÀ

ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÉÃ CxÀªÁ E®èªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß

£É£À¦¹PÉÆ¼ÉÆîÃt.

ªÀÄÆ®QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt

n¥ÀàtÂ

¸ÀAPÀ®£À 0+ 7 = 7 + 0 = 7

2 + 3 = … + … = ….

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå UÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a + b = b + a

¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

ªÀåªÀPÀ®£À ....... ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è

UÀÄuÁPÁgÀ ....... UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

¨sÁUÁPÁgÀ ....... ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À°èAiÀÄÆ ¸ÀºÀ F ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃr.



PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©¹ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°è ««zsÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.s

ªÀÄÆ®QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt n¥ÀàtÂ

¸ÀAPÀ®£À ….. ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

ªÀåªÀPÀ®£À 5 – (-3) = -3 -5 ? ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

UÀÄuÁPÁgÀ …… UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

¨sÁUÁPÁgÀ …… ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

(iii) ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

(a) ¸ÀAPÀ®£À

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÁUÀ¯ÉÃ PÀ°w¢ÝÃj.

2 5 1

3 7 21

−+ = ªÀÄvÀÄÛ

5 2 1

7 3 21

− + =

DzÀÝjAzÀ 2 5 5 2

3 7 7 3

− − + = +

C®èzÉ, 6 8

5 3............

− − + =

ªÀÄvÀÄÛ 8 6

3 3..........

− − + =

ºÁUÁzÀgÉ, 6 8

5 3

− − + =

8 6

3 3

− − + ?

ªÀÄvÀÄÛ CzÉÃ jÃw 3 1 1 3

8 7 7 8

− − + = + EªÉgÀqÀÆ ¸ÀjAiÉÄÃ ?

EzÀjAzÀ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁªÀ PÀæªÀÄzÀ°èAiÀiÁzÀgÀÆ PÀÆqÀ§ºÀÄzÉAzÀÄ

w½AiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß

ºÉÆA¢zÉAiÉÄAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ. CAzÀgÉ, a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a + b = b + a. EzÀPÉÌ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ÀAPÀ®£ÀzÀ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

22 UÀtÂvÀ

(b) ªÀåªÀPÀ®£À

2 5 5 2

3 4 4 3− = − ªÀÄvÀÄÛ 1 3 3 1

2 5 5 2− = − EªÉgÀqÀÆ ¸ÀjAiÉÄÃ ?

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®èªÉAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À°è ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è. ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀÄzÀjAzÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

(c) UÀÄuÁPÁgÀ

FUÀ 7 6 42 6 7

3 5 15 5 3

− − − × = = ×

8 4 4 8

9 7 7 9

− − − − × = ×

E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ F vÀgÀºÀzÀ UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjÃQë¹. EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ?

DUÀ, ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÉAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × b = b × a. EzÀPÉÌ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

(d) ¨sÁUÁPÁgÀ

5 3 3 5

4 7 7 4

− − ÷ = ÷ EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ ?

F vÀgÀºÀzÀ GQÛUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ PÀqÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀÄ£ÁV®è.

DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è SÁ° EgÀÄªÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA©j.



¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ºËzÀÄ .... .... ....¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ .... E®è .... ....¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... ºËzÀÄ ....¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... E®è



2.2.3 ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ


¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ««zsÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À°è ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÉÇÃ CxÀªÁ E®èªÉÇÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀ¢AzÀ £É£À¦¹PÉÆ¼ÉÆîÃt. SÁ° EgÀÄªÀ eÁUÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j.

ªÀÄÆ®QæAiÉÄ ¸ÀASÁå GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt

n¥ÀàtÂ

¸ÀAPÀ®£À .... ¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

ªÀåªÀPÀ®£À .... ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è

UÀÄuÁPÁgÀ 7 × (2 × 5) = (7 × 2) × 5 ?4 × (6 × 0) = (4 × 6) × 0 ?a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇtð

¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ

a × (b × c) = (a × b) × c

UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

¨sÁUÁPÁgÀ ...... ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è J®è ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.


PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀ¢AzÀ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°è £Á®ÆÌ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼À ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

ªÀÄÆ®QæAiÉÄ GzÁºÀgÀuÉ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀgÀt n¥ÀàtÂ

¸ÀAPÀ®£À (-2) + [3 + (-4)] = [(-2) + 3] + (-4)?

[(-6) + [(-4) + (-5)] = [(6) +(-4)] + (-5)?

a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ

a+(b+c)=(a+b)+c

¸ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

ªÀåªÀPÀ®£À 5-(7-3) = (5-7)-3 ? ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è

UÀÄuÁPÁgÀ 5 × [(–7) × (–8)] = [5 × (–7)] × (–8) ?(– 4) × [(– 8) × (–5) = [(–4) × (–8)] × (-5) ?a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × (b × c) = (a × b) × c

UÀÄuÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ.

¨sÁUÁPÁgÀ [(–10)÷2]÷ (-5) = (–10)÷[2÷(–5)]? ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

24 UÀtÂvÀ

(iii) ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

(a) ¸ÀAPÀ®£À

2 3 5 2 7 27 9

3 5 6 3 30 30 10

− − − − − − + + = + = =

2 3 5 1 5 27 9

3 5 6 15 6 30 10

− − − − − − + + = + = =

DzÀÝjAzÀ 2 3 5

3 5 6

− − + + =

2 3 5

3 5 6

− − + +

1 3 4

2 7 3

− − + + ªÀÄvÀÄÛ

1 3 4

2 7 3

− − + + EªÉgÀqÀÆ ¸ÀªÀÄªÁVªÉAiÉÄÃ ¥ÀjÃQë¹.

EzÉÃ jÃw E£ÀÆß ÉÃgÉ ÉÃgÉ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÉÃ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃr. sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À ÀAPÀ®£ÀªÀÅ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÉAzÀÄ ¤ÃªÉÃ w½AiÀÄÄ«j. CAzÀgÉ a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ,

a + (b + c) = (a + b) + c EzÀPÉÌ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

(b) ªÀåªÀPÀ®£À

2 4 1 2 4 1

3 5 2 3 5 2

− − − − − − = − − EzÀÄ ¤dªÉÃ ?

¤ÃªÉÃ ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃr. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ªÀåªÀPÀ®£ÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®è.

(c) UÀÄuÁPÁgÀ

7 5 2 7 10 70 35

3 4 9 3 36 108 54

− − − − × × = × = =

7 5 2

3 4 9.........

− × × = (¸ÀÄ®©üÃPÀj¹)

7 5 2

3 4 9

− × × =

7 5 2

3 4 9

− × × JAzÀÄ w½AiÀÄÄ«j.

FUÀ 2 6 4 2 6 4

3 7 5 3 7 5

− − × × = × × ¤dªÉ ?

EzÉÃ jÃw E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ UÀÄuÁ-PÁgÀzÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹ £ÉÆÃrzÀgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÉAzÀÄ ¤ÃªÉÃ w½AiÀÄÄ«j. CAzÀgÉ, a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ


¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a × (b × c) = (a × b) × c EzÀPÉÌ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

(d) ¨sÁUÁPÁgÀ

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À°è sÁUÁPÁgÀªÀÅ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®èªÉA§ÄzÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ½î. ºÁUÁzÀgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è EzÀÄ ºÉÃUÉ?

1 1 2 1 1 2

2 3 5 2 3 5

− − ÷ ÷ = ÷ ÷ EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ JAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt.

1 1 2

2 3 5

− ÷ ÷ = =

1 1 5

2 3 2

− ÷ × (2

5 gÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄªÀÅ

5

2)

= 1 5

2 6

− ÷ = ....

1 1 2

2 3 5

− ÷ ÷ = 1 3 2

2 1 5

− × ÷ =

3 2

2 5........

−÷ =

EzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¨sÁUÁPÁgÀªÀÅ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄªÀ®èªÉAzÀÄ w½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

F PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ºËzÀÄ CxÀªÁ E®è JAzÀÄ UÀÄgÀÄw¹j.



¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... .... .... E®è

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ .... .... ºËzÀÄ ....¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ºËzÀÄ .... .... ....¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ .... E®è .... ....


GzÁºÀgÀuÉ 1 : EzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj 3 6 8 5

7 11 21 22

− − + + +

¥ÀjºÁgÀ : 3 6 8 5

7 11 21 22

− − + + +

= 198 252 176 105

462 462 462 462

− − + + + [UÀªÀÄ¤¹ : 7, 11, 21 ªÀÄvÀÄÛ 22 gÀ ®. ¸Á. C. 462]

26 UÀtÂvÀ

= 198 252 176 105

462

− − + = 125

462

−

EzÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.

3 6 8 5

7 11 21 22

− − + + + = 3 8 6 5

7 21 11 22

− − + + +

(UÀªÀÄ¤¹: ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆ¼Àî¯ÁVzÉ.)

= 9 (-8)

21

+ +

12 5

22

− + (7 ªÀÄvÀÄÛ 21 gÀ ®.¸Á.C. 21; 11 ªÀÄvÀÄÛ 22gÀ ®.¸Á.C. 22]

= 1 7

21 22

−+ =

22 147

462

− =

22 147 125

462 462

− −=

GzÁºÀgÀuÉ 2 : EzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj 4 3 15 14

5 7 16 9

− − × × ×

¥ÀjºÁgÀ : 4 3 15 14

5 7 16 9

− − × × ×

=4 3 15 14

5 7 16 9

( )× × − − × × ×

= 12 35

35 24

− − × =(-12)×(-35)

35×24=

1

2

EzÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.

4 3 15 14

5 7 16 9

− − × × ×

= 4 15 3 14

5 16 7 9

− − × × ×

(UÀªÀÄ¤¹: ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆ¼Àî ÁVzÉ.)

= 3 2

4 3

− − × = 1

22.2.4 ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ ¥ÁvÀæ PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹

2 + 0 = 0 + 2 = 2 (¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÉ 0 AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀÅzÀÄ)

-5 + 0 = ... + ... = -5 (¥ÀÇuÁðAPÀPÉÌ 0 AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀÅzÀÄ)

2

7....

−+ = 0 +

2

7

−

= 2

7

− (¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÉ 0 AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀÅzÀÄ)


F jÃw PÀÆqÀÄªÀ ¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß EzÀPÉÌ ªÀÄÄAZÉ ªÀiÁr¢ÝÃj. E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ F vÀgÀºÀzÀ PÀÆqÀÄªÀ ¯ÉPÀÌUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁr.

»ÃUÉ ªÀiÁrzÁUÀ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ UÀªÀÄ¤¹¢j ? ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀPÉÌ ¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ªÉÆvÀÛªÀÇ ÀºÀ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ÀASÉåAiÉÄAzÀÄ w½AiÀÄÄ«gÀ®èªÉÃ ? ¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ¸ÉÆ£Éß ¸ÉÃj¹zÁUÀ®Æ EzÉÃ jÃw DUÀÄvÀÛzÉ.

MnÖ£À°è,

a ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, a + 0 = 0 + a = a

b ¥ÀÇuÁðAPÀªÁVzÀÝgÉ, b + 0 = 0 + b = b

c ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, c + 0 = 0 + c = c

¸ÉÆ£ÉßAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. CzÀÄ ¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½UÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÁVzÉ.

2.2.5 ¸ÀASÉå 1 gÀ ¥ÁvÀæ

5 × 1 = 1 × 5 = 5 (¥ÀÇtð ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ UÀÄuÁPÁgÀ)

2

17

−× = .... × .... =

2

7

−

3

8 × .... = 1 × 3

8 =

3

8

¤ÃªÀÅ K£ÀÄ w½AiÀÄÄ«j ?

AiÀiÁªÀÅzÉÃ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 1 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ §gÀÄªÀ UÀÄt®§ÞªÀÇ ¸ÀºÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ. E£ÀÆß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀjÃQë¹. ºÁUÉ ªÀiÁrzÁUÀ a AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÀÆ

a × 1 = 1 × a = a JAzÀÄ w½AiÀÄÄ«j.

¸ÀASÉå 1£ÀÄß ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÉAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.

¥ÀÇuÁðAPÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½UÀÆ ¸ÀASÉå 1 UÀÄuÁPÁgÀzÀ C£À£ÀåvÁA±ÀªÉÃ ?

AiÉÆÃa¹, ZÀað¹ ªÀÄvÀÄÛ §gÉ¬Äj

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ¹AzsÀÄªÁzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ UÀÄtªÀÅ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½UÀÆ ¹AzsÀÄªÁUÀÄªÀÅzÉ ? ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ? AiÀiÁªÀ UÀÄtUÀ¼ÀÄ ¹AzsÀÄ ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀ UÀÄtUÀ¼ÀÄ ¹AzsÀÄªÀ®è ?

28 UÀtÂvÀ

2.2.6. ¸ÀASÉåUÀ¼À IÄuÁvÀäPÀUÀ¼ÀÄ

¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß C¨sÀå¹¸ÀÄªÁUÀ ¤ÃªÀÅ CªÀÅUÀ¼À IÄuÁvÀäPÀUÀ¼À£ÀÄß w½¢¢ÝÃj.

1 gÀ IÄuÁvÀäPÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ ? CzÀÄ -1 KPÉAzÀgÉ, 1 + (-1) = (-1) + 1 = 0 DzÀÝjAzÀ (-1)gÀ IÄuÁvÀäPÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ? CzÀÄ 1. FUÀ, 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 DzÀÝjAzÀ -2 gÀ IÄuÁvÀäPÀ CxÀªÁ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À 2 ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ ¥ÀæwAiÀiÁV 2 gÀ IÄuÁvÀäPÀ CxÀªÁ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À -2

EzÀ£ÀÄß ¸ÁªÀiÁ¤åÃPÀj¹zÁUÀ a + (–a) = (-a) + a = 0. DzÀÝjAzÀ - a £À IÄuÁvÀäPÀ a ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ ¥ÀæwAiÀiÁV a «£À IÄuÁvÀäPÀ – a.

FUÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå 2

3 vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt.

2 2 2 (-2)

03 3 3

+ + − = =

ªÀÄvÀÄÛ 2 2

03 3

− + = (ºÉÃUÉ?)

EzÉÃ jÃw 8 8

09 9

... ...− − + = + =

11 11

07 7

... ...− − + = + =

a

b ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, 0

a a a a

b b b b + − = − + =

DzÀÝjAzÀ - a

b AiÀÄÄ

a

b AiÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À ªÀÄvÀÄÛ

a

b AiÀÄÄ -a

b AiÀÄ

¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À JAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.

2.2.7 ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ

8

21 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ 1 §gÀÄvÀÛzÉ ?

21

8 JAzÀÄ

ÀÄ®¨sÀªÁV ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ. KPÉAzÀgÉ, 8

21 × 21

8 = 1

EzÉÃ jÃwAiÀÄ°è, 5

7

− £ÀÄß 7

5− ¤AzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ 1 §gÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ 21

8 £ÀÄß 8

21gÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄªÉAzÀÆ

7

5− £ÀÄß

5

7

−gÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄªÉAzÀÆ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.


¸ÉÆ£ÉßAiÀi ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ K£ÉAzÀÄ ºÉÃ¼À§°ègÁ ? CAzÀgÉ, 0 AiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ 1 §gÀÄvÀÛzÉ ? ¸ÉÆ£ÉßUÉ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ«®è.

1a c

b d× = DzÀgÉ, DUÀ c

d ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ

a

b JA§ E£ÉÆßAzÀÄ ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ CxÀªÁ UÀÄuÁPÁgÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

2.2.8. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À «vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ

¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 3 2

4 3,

− ªÀÄvÀÄÛ 5

6

− UÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt

( ) ( )4 53 2 5 3

4 3 6 4 6

+ −− − − × + = ×

3 1 3 1

4 6 24 8

− − = × = =

3 2 3 2 6 1

4 3 4 3 12 2

− − × − −× = = =

×

ªÀÄvÀÄÛ 3 5 5

4 6 8

− −× =

DzÀÝjAzÀ 3 2 3 5 1 5 1

4 3 4 6 2 8 8

− − − − × + × = + =

3 2 5 3 2 3 5

4 3 6 4 3 4 6

− − − − − × + = × + ×


«vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß §¼À¹ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 7 3 7 5

5 12 5 12

− × + × (ii) 9 4 9 3

16 12 16 9

− × + ×

GzÁºÀgÀuÉ 3 : PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß

§gÉ¬Äj:

(i) 7

19

− (ii)

21

112

«vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ: a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ

a (b + c) = ab + ac

a (b – c) = ab – ac

«vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄªÀ£ÀÄß §¼À¸ÀÄªÁUÀ MAzÀÄ UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß

JgÀqÀÄ UÀÄt®§ÞUÀ¼À ªÉÆvÀÛ CxÀªÁ ªÀvÁå¸ÀªÀ£ÁßV

§gÉAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ

30 UÀtÂvÀ

¥ÀjºÁgÀ : (i) 7

19

− £À ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±À 7

19 KPÉAzÀgÉ,

7 7 7 7 0

019 19 19 19

− − ++ = = =

(ii) 21

112 £À ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±À

21

112

− (¥ÀjÃQë¹)

GzÁºÀgÀuÉ 4 : -(-x) = x JAzÀÄ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è IÄdÄªÁvÀÄ ¥Àr¹j.

(i) x = 13

17 (ii) x =

21

31

−

¥ÀjºÁgÀ : (i) x = 13

17

x = 13

17 £À ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±À -x = 13

17

− KPÉAzÀgÉ, 13

17 + 13

17

− = 0

13

17 + 13

17

− = 0. EzÀjAzÀ 13

17

− gÀ ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±À

13

17 JAzÀÆ

w½AiÀÄÄvÀÛzÉ CxÀªÁ – 13

17

− =

13

17 CAzÀgÉ, -(-x) = x.

GzÁºÀgÀuÉ 5 : ¸ÀAPÉëÃ¦¹ 2 3 1 3 3

5 7 14 7 5× − − ×

2 3 1 3 3 2 3 3 3 1

5 7 14 7 5 5 7 7 5 14

− −× − − × = × − × − (¥ÀjªÀvÀð£Á ¤AiÀÄªÀÄ¢AzÀ)

2 3 3 3 1

5 7 7 5 14

− − = × + × −

3 2 3 1

7 5 5 14

− = + − («vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ¢AzÀ)

3 1 6 1 1

17 14 14 2

− − − −= × − = =


C¨sÁå¸À 2.1

1. ÀÆPÀÛ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(i) 2 3 5 3 1

3 5 2 5 6− × + − × (ii)

2 3 1 3 1 2

5 7 6 2 14 5 × − − × + ×

2. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 2

8 (ii)

5

9

− (iii)

6

5

−−

(iv) 2

9− (v)

19

6− 3. –(-x) = x JAzÀÄ zÀÈrüÃPÀj¹.

(i) 11

15x = (ii) 13

17x = −

4. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) – 13 (ii) 13

19

− (iii) 1

5 (iv)

5 3

8 7

− −×

(v) -1 × 2

5

− (vi) -1

5. EªÀÅUÀ¼À°è §¼À¸À¯ÁVgÀÄªÀ UÀÄuÁPÁgÀzÀ UÀÄt®PÀëtªÀ£ÀÄß ºÉ¸Àj¹.

(i) 4 4 41 1

5 5 5

− −× = × = − (ii)

13 2 2 13

17 7 7 17

− − −− × = ×

(iii) 19 291

29 19

−× =−

6. 6

13 £ÀÄß

7

16

− gÀ ªÀÅåvÀÌçªÀÄ¢AzÀ UÀÄtÂ¹j.

7. 1 46

3 3 × ×

£ÀÄß 1 4

63 3

× × JAzÀÄ §gÉAiÀÄ®Ä AiÀiÁªÀ UÀÄt®PÀët¢AzÀ

¸ÁzsÀåªÁVzÉ ?

8. 1

18

− £À UÀÄuÁPÁgÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À 8

9 ºËzÉÃ ? ºËzÀÄ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß

PÁgÀt ¸À»vÀ w½¹.

9. 1

33 £À UÀÄuÁPÁgÀzÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À 0.3 ºËzÉÃ ? ºËzÀÄ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß

PÁgÀt ¸À»vÀ w½¹.

32 UÀtÂvÀ

10. PÉÃ½gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß §gÉ¬Äj

(i) ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ«®èzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå

(ii) vÀªÀÄä ªÀÅöåvÀÌçªÀÄPÉÌ vÁªÉÃ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

(iii) vÀ£Àß IÄuÁvÀäPÀPÉÌ vÁ£ÉÃ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå

11. SÁ° eÁUÀUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j

(i) ¸ÉÆ£ÉßUÉ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ ____ (ii) ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ ___ ªÀÄvÀÄÛ ___ UÀ½UÉ vÁªÉÃ ªÀÅìvÀÌçªÀÄUÀ¼ÀÄ

(iii) -5 gÀÀ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄªÀÅ ___

(iv) 1

x (x ≠ 0) £À ªÀÅöåvÀÌçªÀÄªÀÅ ………

(v) JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ………

(vi) zsÀ£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄªÀÅ ………

2.3 ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÇtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ w½¢¢ÝÃj. CzÀ£ÀÄß E°è ªÀÄvÉÛ £É£À¦¹PÉÆ¼ÉÆîÃt.

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

(i)

¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

(ii)

¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ

(iii)


¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

(iv) gÉÃSÉ JgÀqÀÆ PÀqÉ C¤¢üðµÀÖªÁVzÉ DzÀgÉ -1, 0; 0, 1 ªÉÆzÀ¯ÁzÀªÀÅUÀ¼À

£ÀqÀÄªÉ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ.

(v)

ÀASÁå gÉÃSÉ (iv) gÀ ªÉÄÃ¯É 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ £ÀqÀÄªÀt ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ«UÉ 1

2 JAzÀÄ

ºÉ¸Àj¸À¯ÁVzÉ. ºÁUÉAiÉÄÃ ¸ÀASÁå gÉÃSÉ (v) gÀ ªÉÄÃ¯É 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ £ÀqÀÄªÀt gÉÃSÁ RAqÀªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ ÀªÀÄ¨sÁUÀUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À¯ÁVzÉ. F ©AzÀÄUÀ¼À°è

ªÉÆzÀ®£ÉAiÀÄzÀ£ÀÄß 1

3 JAzÀÄ ºÉ¸Àj¸À¯ÁVzÉ. ºÁUÁzÀgÉ JgÀqÀ£ÉAiÀÄ ©AzÀÄªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ºÉÃUÉ

ºÉ¸Àj¸ÀÄwÛÃj ?

¤ÃªÀÅ ºÉ¸Àj¸À¨ÉÃPÁzÀ ©AzÀÄªÀÅ 0 ¬ÄAzÀ 1

3 EgÀÄªÀ zÀÆgÀzÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ (

1

3 × 2)

zÀÆgÀzÀ°èzÉ. CAzÀgÉ, 2

3 . »ÃUÉÃ ªÀÄÄAzÀÄªÀjzÀÄ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄªÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß

ºÉ¸Àj¸À§ºÀÄzÀÄ. ªÀÄÄA¢£À ©AzÀÄªÀ£ÀÄß 1 JAzÀÄ ºÉ¸Àj¸À¨ÉÃPÁUÀÄªÀÅzÀÄ. 1 = 3

3 . £ÀAvÀgÀzÀ

©AzÀÄUÀ¼ÀÄ 4 5 6

3 3 3, , CxÀªÁ 2,

7

3 ªÀÄÄAvÁzÀªÀÅ (¸ÀASÁågÉÃSÉ vi £ÉÆÃr).

(vi)

EzÉÃ jÃw, ¸ÀASÉå 1

8 £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À avÀæzÀ°è

vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ JAlÄ ¸ÀªÀÄ¨sÁUÀUÀ¼À£ÁßV «¨sÀf¸À¨ÉÃPÀÄ.

F jÃw «¨sÀd£ÉAiÀÄ ªÉÆzÀ® ©AzÀÄ«UÉ 1

8 , JgÀqÀ£É ©AzÀÄ«UÉ

2

8, ªÀÄÆgÀ£É

©AzÀÄ«UÉ 3

8 JAvÀ®Æ ¸ÀASÁågÉÃSÉ (vii) gÀ°è PÁtÂ¹zÀ ºÁUÉ ºÉ¸Àj¸À¯ÁUÀÄªÀÅzÀÄ.

34 UÀtÂvÀ

(vii)

F «zsÁ£ÀzÀ°è J®è sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÆß ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ. ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ°è 0 ªÀÄvÀÄÛ1 gÀ £ÀqÀÄªÀt RAqÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÁzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ bÉÃzÀzÀ°ègÀÄªÀ ¥ÀÇuÁðAPÀzÀµÀÄÖ ¸ÀªÀÄ¨sÁUÀUÀ¼À£ÁßV «¨sÀf¸À¨ÉÃPÀÄ. FUÀ D ¸ÀASÉåAiÀÄ CA±ÀzÀ°ègÀÄªÀ ¥ÀÇuÁðAPÀªÀÅ F ¸ÀªÀÄ¨sÁUÀUÀ¼À°è JµÀÄÖ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ¼Àî¨ÉÃPÉAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, 0 AiÀÄ §®UÀqÉ ªÀiÁqÀ¯ÁUÀÄªÀ MA¨sÀvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼À°è £Á®ÄÌ

¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ 4

9 DUÀÄvÀÛzÉ. (¸ÀASÁågÉÃSÉ viii £ÉÆÃr) EzÉÃ jÃw 0 ¬ÄAzÀ JqÀUÀqÉ MAzÀÄ

©AzÀÄ«¤AzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀPÉÌ 1

4 gÀµÀÄÖ zÀÆgÀ EgÀÄªÀAvÉ ªÀiÁqÀÄªÀ UÀÄgÀÄvÀÄUÀ¼À°è 7 £É UÀÄgÀÄvÀÄ

7

4− DUÀÄvÀÛzÉ. (¸ÀASÁågÉÃSÉ ix £ÉÆÃr)

(viii)

(ix)

CPÀëgÀ¢AzÀ ºÉ¸Àj¹gÀÄªÀ ¥Àæw©AzÀÄªÀÇ ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄªÀ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß §gÉ¬Äj.


(i)

(ii)

2.4 JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

1 ªÀÄvÀÄÛ 5 gÀ £ÀqÀÄªÀt ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß÷ºÉÃ¼À§°ègÁ ? CªÀÅ 2, 3 ªÀÄvÀÄÛ 4. 7 ªÀÄvÀÄÛ 9 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ ? MAzÉÃ MAzÀÄ. CzÀÄ 8, 10 ªÀÄvÀÄÛ 11 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ ? AiÀiÁªÀÅzÀÆ E®è. -5 ªÀÄvÀÄÛ 4 gÀ £ÀqÀÄªÀt ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À ¥ÀnÖ ªÀiÁr.CªÀÅ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. -1 ªÀÄvÀÄÛ 1gÀ £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½ªÉ ? -9 ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀ £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ½ªÉ ?


AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ w½AiÀÄÄ«j.

3

10 ªÀÄvÀÄÛ

7

10 gÀ £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ ?

4 5

10 10, ªÀÄvÀÄÛ

6

10 F ªÀÄÆgÀÄ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ «ZÁgÀ ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀÄ

¸ÀºÀd.

DzÀgÉ, 3

10 £ÀÄß

30

100 JAzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ

7

10 £ÀÄß

70

100 JAzÀÆ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

FUÀ 31 32 33 68 69

100 100 100 100 100, , ,.. , ¸ÀASÉåUÀ¼É®èªÀÇ

3

10 ªÀÄvÀÄÛ

7

10 gÀ £ÀqÀÄªÉ EzÀÄÝ

EªÀÅUÀ¼ÀÄ 39 EªÉ. C®èzÉ, 3

10£ÀÄß

3000

10000 ªÀÄvÀÄÛ

7

10£ÀÄß

7000


3001 3002 6998 6999 3

10000 10000 10000 10000 10, ,.... , U¼À ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ

7

10gÀ £ÀqÀÄªÉ EªÉ. EªÀÅUÀ¼ÀÄ 3999 EªÉ.

F jÃw E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ ºÉZÀÄÑ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß 3

10 ªÀÄvÀÄÛ

7

10 gÀ £ÀqÀÄªÉ

§gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ, ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÇuÁðAPÀUÀ¼À°ègÀÄªÀAvÉ, JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¤¢ðµÀÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½®è. E£ÉÆßAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

1

10

− ªÀÄvÀÄÛ

3

10 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ ?

ÀÄ®¨sÀªÁV 0 1

10 10, ,ªÀÄvÀÄÛ

2

10 UÀ¼ÉAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.

1

10

− £ÀÄß

10000

100000

− JAzÀÆ

3

10 £ÀÄß

30000

100000 JAzÀÆ §gÉzÀgÉ,

1

10

− ªÀÄvÀÄÛ

3

10 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ E°è PÁtÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¹UÀÄvÀÛªÉ.

9999 9998 29998 29999

100000 100000 100000 100000, ,,....... ,

− − −

DzÀÝjAzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JtÂ¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

36 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 6 : -2 ªÀÄvÀÄÛ 0 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ 3 sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : -2 £ÀÄß 20

10

− JAzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ 0 AiÀÄ£ÀÄß 0


19 18 17 16 15 1

10 10 10 10 10 10, , , , ,....

− − − − − − UÀ¼ÀÄ -2 ªÀÄvÀÄÛ 0 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.

EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ªÀÄÆgÀ£ÀÄß Dj¹PÉÆ¼Àî§ºÀÄzÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉ 7 : 5

6

− ªÀÄvÀÄÛ

5

8 EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ºÀvÀÄÛ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : ªÉÆzÀ®Ä 5

6

− ªÀÄvÀÄÛ

5

8F JgÀqÀ£ÀÆß ¸ÀªÀÄbÉÃzÀUÀ¼À£ÀÄß¼Àî ¨sÁUÀ®§Þ

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÁßV §gÉAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ.

5 4 20

6 4 24

− × −=

× ªÀÄvÀÄÛ

5 3 15

8 3 24

×=

× DzÀÝjAzÀ

5

6

− ªÀÄvÀÄÛ

5

8 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ

19 18 17 14

24 24 24 24, , ,....

− − − EªÉ.

EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ ºÀvÀÛ£ÀÄß Dj¹PÉÆ¼Àî§ºÀÄzÀÄ.

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À : 1 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÉÆÃt.

EªÀÅUÀ¼À ¸ÀgÁ¸Àj 1.5 CxÀªÁ 3

2 EzÀÄ 1 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è

MAzÀÄ. ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ §UÉÎ C¨sÀå¹¹¢ÝÃj.

PÉÆlÖ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ¥ÀÇuÁðAPÀªÉÃ EgÀ¨ÉÃPÉA¢®è. DzÀgÉ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ EzÉÝÃ EgÀÄvÀÛzÉ.

£ÁªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ PÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆ¼Àî§ºÀÄzÀÄ.


4 ªÀÄvÀÄÛ

1

2 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : PÉÆlÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

1 1 1 2 3 1 32 2

4 2 4 4 2 8

+ + ÷ = ÷ = × =

1

4 ªÀÄvÀÄÛ

1

2UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ

3

8 EzÉ. EzÀ£ÀÄß ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ°èAiÀÄÆ PÁt§ºÀÄzÀÄ.


AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ C AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. EzÀÄ 1 1 3

24 2 8

+ + =

¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. 1 3 1

4 8 2< < JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼ÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼ÁzÀgÉ 2

a b+ ÀºÀ MAzÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ

a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ a < 2

a b+ < b

EzÀjAzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JtÂ¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ EªÉ JAzÀÄ UÉÆvÁÛUÀÄvÀÛzÉ.


4 ªÀÄvÀÄÛ

1

2 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : PÉÆlÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉ¬ÄAzÀ F ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄÄ 3

8 ªÀÄvÀÄÛ

1 3 1

4 8 2< <

FUÀ 1

4 ªÀÄvÀÄÛ

3

8 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. EzÀPÁÌV £ÁªÀÅ CªÀÅUÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

CAzÀgÉ, 1 3 5 1 5

24 8 8 2 16

+ ÷ = × =

1 5 3 1

4 16 8 2< < <

FUÀ 3

8 ªÀÄvÀÄÛ

1

2 UÀ¼À ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

38 UÀtÂvÀ

3 1 7 1 7

28 2 8 2 16

+ ÷ = × = EzÀÄ CªÀÅUÀ¼À ªÀiÁzsÀå.

1 5 3 7 1

4 16 8 16 2< < < <

DzÀÝjAzÀ 1

4 ªÀÄvÀÄÛ

1

2 UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

5 3

16 8, ªÀÄvÀÄÛ

7

16 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÀÄ®¨sÀªÁV UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ.

EzÉÃ jÃwAiÀÄ°è PÉÆlÖ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ÉÃPÁzÀgÀÆ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JtÂ¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉAiÉÄAzÀÄ ¤ÃªÀÅ UÀªÀÄ¤¹¢ÝÃj.

C¨sÁå¸À 2.2

1. F ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹. (i) 7

4 (ii)

5

6

−

2. 2 5

11 11

− −, ªÀÄvÀÄÛ

9

11

− EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¹

3. 2 QÌAvÀ ¸ÀtÚzÁzÀ LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

4. 2

5

− ªÀÄvÀÄÛ 1

2 gÀ £ÀqÀÄ«£À ºÀvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

5. F PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ ¥Àæw eÉÆÃr ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(i) 2

3 ªÀÄvÀÄÛ

4

5 (ii)

3

2

− ªÀÄvÀÄÛ

5

3 (iii) 1

4 ªÀÄvÀÄÛ

1

2

6. – 2 QÌAvÀ zÉÆqÀØzÁzÀ LzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

7. 3

5 ªÀÄvÀÄÛ

3

4 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ºÀvÀÄÛ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.


¸ÁgÁA±À

1. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£À, ªÀåªÀPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼À°è DªÀÈvÀ ªÁVªÉ.

2. ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀUÀ¼ÀÄ

(i) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.

(ii) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è ¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.

3. ¸ÉÆ£Éß (0) ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À C£À£ÀåvÁA±À.

4. 1 ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ C£À£ÀåvÁA±À.

5. ¨sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a

,b

− sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a

b AiÀÄ ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±À ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ

¥ÀæwAiÀiÁV, sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a

,b

sÁUÀ®§Þ ÀASÉå a

b− AiÀÄ ÀAPÀ®£À «¯ÉÆÃªÀiÁA±À.

6. a c

b d× = 1 DzÀgÉ,

c

d AiÀÄÄ

a

b AiÀÄ ªÀÅöåvÀÌçªÀÄ CxÀªÁ UÀÄuÁPÁgÀ «¯ÉÆÃªÀiÁA±À.

7. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À «vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ : a, b ªÀÄvÀÄÛ c UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÝgÉ, a (b + c) = ab + ac ªÀÄvÀÄÛ a (b - c) = ab – ac.

8. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É UÀÄgÀÄw¸À§ºÀÄzÀÄ.

9. AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JtÂ¸À¯ÁgÀzÀµÀÄÖ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ½ªÉ. ¸ÀgÁ¸ÀjAiÀÄ PÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ JgÀqÀÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

3.1 ¦ÃpPÉ

©ÃdUÀtÂvÀzÀ ºÀ®ªÀÅ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ »A¢£À

vÀgÀUÀwUÀ¼À°è C¨sÀå¹¹¢ÝÃj.

F jÃw ZÀað¹zÀ ©Ãd¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ PÉ¼ÀPÀAqÀAwªÉ.

5x, 2x - 3, 3x + y, 2xy + 5, xyz + x + y + z, x2 + 1, y + y2

EzÉÃ jÃw £ÁªÀÅ ZÀað¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ PÉ¼ÀPÀAqÀAwªÉ.

5x = 25, 2x - 3= 9, 5 372 ,

2 2y + = 6z + 10 = -2

¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è ªÀiÁvÀæ ÀªÀÄvÉAiÀÄ aºÉß (=)AiÀÄ£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉAiÉÄÃ «£ÀB ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è

§¼À¸ÀÄªÀÅ¢®è.

ªÉÄÃ¯É w½¹zÀ ©Ãd¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è MAzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À ZÀgÁPÀëgÀUÀ½AzÀ PÀÆrzÀ

¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÆ EªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ 2xy + 5gÀ°è JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½ªÉ.

C®èzÉ, F jÃw §¼À¸ÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ. CAzÀgÉ CAvÀºÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°ègÀÄªÀ

ZÀgÁPÀëgÀzÀ Cw ºÉaÑ£À WÁvÀªÀÅ MAzÀÄ. EAvÀºÀ gÉÃSÁvÀäPÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

PÉ¼ÀPÀAqÀAwªÉ.

2x, 2x + 1, 3y - 7 12 - 5z, 5( 4) 10

4x − +

PÉ¼ÀPÀAqÀ jÃwAiÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀªÀ®è.

x2 + 1, y + y2, 1 + z + z2 + z3

EªÀÅUÀ¼À°ègÀÄªÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ MAzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À WÁvÀUÀ¼À°èªÉ.

E°è £ÁªÀÅ ZÀað¸ÀÄªÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è MAzÉÃ MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ gÉÃSÁvÀäPÀ

©Ãd¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ¥ÀjUÀtÂ¸ÀÄvÉÛÃªÉ. CAvÀºÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀÅ¼Àî

gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÉAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ. FUÁUÀ¯ÉÃ C¨sÀå¹¹zÀ ¸ÀgÀ¼À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼É®èªÀÇ F

jÃwAiÀÄªÀÅUÀ¼ÁVªÉ.

CzsÁåAiÀÄ

3MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀÅ¼Àî

gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ

MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀÅ¼Àî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 41

£ÁªÀÅ E°èAiÀÄªÀgÉUÉ w½¢zÀÝ£ÀÄß ¸ÀAQë¥ÀÛªÁV ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¸ÉÆÃt.

(a) ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÉAzÀgÉ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß w½¸ÀÄªÀ MAzÀÄ GQÛ. CzÀgÀ°è ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ aºÉß¬ÄzÉ. F aºÉßAiÀÄ JqÀzÀ°ègÀÄªÀÅzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ §®zÀ°ègÀÄªÀÅzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ.

(b) MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°ègÀÄªÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ½UÉ PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ ªÀiÁvÀæ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ §®¨sÁUÀUÀ¼À°ègÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ. CAvÀºÀ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀUÀ¼ÉAzÀÄ ºÉ¸ÀgÀÄ.

2x - 3 = 7 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è x = 5 ºÁQzÀgÉ

JqÀ¨sÁUÀ = 2 × 5 - 3 = 7 = §®¨sÁUÀ.

DzÀÝjAzÀ F À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ x = 5 ¥ÀjºÁgÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

DzÀgÉ x = 10 ºÁQzÀgÉ JqÀ¨sÁUÀ 2 × 10 - 3 = 17 DUÀÄªÀÅzÀÄ. DzÀgÉ EzÀÄ §®¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁV®è. DzÀÝjAzÀ x = 10 F ¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¥ÀjºÁgÀªÀ®è.

(c) MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ºÉÃUÉAzÀÄ £ÉÆÃqÉÆÃt. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVzÉAiÉÄAzÀÄ H»¹PÉÆ¼ÀÄîvÉÛÃªÉ. C£ÀAvÀgÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß G½¹PÉÆ¼Àî®Ä JqÀUÀqÉ ªÀiÁqÀÄªÀ CAPÀUÀtÂvÀzÀ ªÀÄÆ®QæAiÉÄAiÀÄ£ÉßÃ §®UÀqÉAiÀÄ°èAiÀÄÆ ªÀiÁvÀÄvÉÛÃªÉ. F jÃw PÉ®ªÀÅ ¸À® ªÀiÁrzÁUÀ ¥ÀjºÁgÀ ¹UÀÄvÀÛzÉ.

3.2 MAzÀÄ PÀqÉ gÉÃSÁvÀäPÀ ¥ÀzÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆßAzÀÄ PÀqÉ ¸ÀASÉåUÀ½gÀÄªÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀÅzÀÄ :PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß

£É£À¦¹PÉÆ¼ÉÆîÃt. ¥ÀjºÁgÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉ 1 : ©r¹j 2x - 3 = 7¥ÀjºÁgÀ ºÀAvÀ 1: JgÀqÀÆ PÀqÉ 3£ÀÄß ¸ÉÃj¹

2x - 3 + 3 = 7 + 3 (JgÀqÀÄ PÀqÉ ªÀåvÀåAiÀÄªÁV®è)

2x = 10

ºÀAvÀ 2: JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹ 2 10

2 2

x= = 2 10

2 2

x=

x = 5 (¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀjºÁgÀ)

42 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 2 : ©r¹j 2y + 9 = 4¥ÀjºÁgÀ : 9 £ÀÄß §®¨sÁUÀPÉÌ vÀAzÀgÉ

2y = 4 –9 2y = –5

JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹j 5

2y = −

F GvÀÛgÀªÀÅ ¸Àj¬ÄzÉAiÉÄÃ £ÉÆÃqÉÆÃt F ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è y UÉ

PÉÆmÁÖUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ5

2 9 5 9 42

− = + = − + =

= ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ

F ¥ÀjºÁgÀ É¯ÉAiÀÄÄ sÁUÀ®§Þ ÀASÉåAiÉÄA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹. »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ ©r¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ½UÉ F jÃwAiÀÄ ¥ÀjºÁgÀ«gÀ°®è.

GzÁºÀgÀuÉ 3 : ©r¹j 5 3

3 2 2

x+ =−

¥ÀjºÁgÀ : 5

2ªÀ£ÀÄß §®¨sÁUÀPÉÌ vÀAzÀgÉ

3 5 8

3 2 2 2

x −= − = −

43

x= −

JgÀqÀÆ PÀqÉ 3 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ x = –4 × 3 = –12 EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ

12 5 54

3 2 2= − + = − +

8 5 3

2 2

− + −= =

= ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ

[¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À UÀÄuÁAPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÉÃ DVgÀ¨ÉÃQ®è JAzÀÄ F GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è w½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ]

GzÁºÀgÀuÉ 4 : ©r¹j 15

7 94

x− =

¥ÀjºÁgÀ : 15

7 94

x− = = 9


15

4 £ÀÄß §®UÀqÉUÉ ªÀUÁð¬Ä¹zÀgÉ

-7x = 9 -157 9

4x− = −

-7x =217

4x− =

JgÀqÀÄ PÀqÉ -7 jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ 21

4 ( 7)x = −

× −

3 7

4 7x

×= −

×

3

4x = −

FUÀ F ¨É¯ÉAiÀÄ ¥ÀjÃPÉë : JqÀ ¨sÁUÀ 15 3 15 21

74 4 4 4

− = − = +

= 36

94

= = = §®¨sÁUÀ

C¨sÁå¸À 3.1

PÉ¼ÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹j:

1 x – 2 = 7 2. y + 3 = 10

3. 6 = z +2 4. 3 17

7 7x+ =

5. 6x = 12 6. 105

t=

7. 218

3

x= 8. 1.6

1.5

y=

9. 7x - 9 = 16 10. 14y – 8 = 13

11. 17 + 6p = 9 12. 71

3 15

x+ =

44 UÀtÂvÀ

3.3 PÉ®ªÀÅ C£ÀéAiÀÄUÀ¼ÀÄ:

£ÁªÀÅ MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÉÆA¢UÉ DgÀA©ü¸ÉÆÃt

JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74. CªÀÅUÀ¼À°è MAzÀÄ E£ÉÆßAzÀQÌAvÀ 10 ºÉZÀÄÑ EzÉ. ºÁUÁzÀgÉ D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅªÀÅ?

F ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄ°è £ÀªÀÄUÉ D JgÀqÀÄ ÀASÉåUÀ¼ÀÆ UÉÆwÛ®è, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. £ÀªÀÄUÉ JgÀqÀÄ µÀgÀvÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÉÆnÖzÉ.

(i) MAzÀÄ ¸ÀASÉå E£ÉÆßAzÀQÌAvÀ 10 ºÉaÑzÉ.

(ii) CªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74.£ÁªÁUÀ¯ÉÃ »A¢£À vÀgÀUÀwAiÀÄ°è F ¸ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉÃUÉ ©r¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ w½¢zÉÝÃªÉ.

¸ÀtÚ ¸ÀASÉå x EgÀ°. E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå EzÀQÌAvÀ 10 ºÉZÀÄÑ CAzÀgÉ x + 10 DUÀÄvÀÛÀzÉ.FUÀ EªÀÅUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74.

DzÀÝjAzÀ x + (x+10) = 74 2x + 10 = 74 2x = 74 - 10 2x = 64 x = 32 EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀASÉå.

E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉå x + 10 = 32 + 10 = 42DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 32 ªÀÄvÀÄÛ 42.

F «zsÁ£ÀªÀÅ JµÀÄÖ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÉA§ÄzÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÛ PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ w½zÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 5 : ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå 7

3

− gÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÉ AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

¸ÉÃj¹zÀgÉ 3

7 DUÀÄvÀÛzÉ?

¥ÀjºÁgÀ : 7

3

−gÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ JAzÀgÉ

7 142 .

3 3

− −× = EzÀPÉÌ x ¸ÉÃj¹zÀgÉ 3

7 DUÀÄvÀÛzÉ

JAzÀÄ H»¸ÉÆÃt.

\ 7 32

3 7x

−× + =+ x = 7 32

3 7x

−× + = CAzÀgÉ,

14 3

3 7x

−+ =

14

3£ÀÄß §®UÀqÉ vÀAzÀgÉ

3 14 (3 3) (14 7) 9 98 107

7 3 21 21 21x

× + × += + = = =

DzÀÝjAzÀ × PÉÌ 107

21 £ÀÄß ¸ÉÃj¹zÀgÉ 3

7 DUÀÄvÀÛzÉ.


GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ DAiÀÄvÀzÀ ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ 13 ÉA. «ÄÃ. CzÀgÀ CUÀ®ªÀÅ 3

24 ÉA.«ÄÃ.

ºÁUÁzÀgÉ CzÀgÀ GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ x ¸ÉA. «ÄÃ. EgÀ°. CzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 2x (GzÀÝ + CUÀ®)

=3 11

2 2 24 4

x x × + = +

= 3 11

2 2 24 4

x x × + = +

DAiÀÄvÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = 13 ¸ÉA. «ÄÃ.

DzÀÝjAzÀ 11

24

x + =

= 13

JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ ¨sÁV¹zÀgÉ,

11 13

4 2x+ = =

11 13

4 2x+ =

x =13 11

2 4x = −

= 26 11 15 3

34 4 4 4

= − = =

DzÀÝjAzÀ DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ 3

34 ¸ÉA. «ÄÃ.

GzÁºÀgÀuÉ 7 : ¸Á»¯ï£À vÁ¬ÄAiÀÄ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì Á»¯ï£À FV£À ªÀAiÀÄ¹ì£À ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀj§âgÀ ªÀAiÀÄ¹ì£À ªÉÆvÀÛ 66 ªÀµÀðUÀ¼ÁUÀÄªÀªÀÅ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : ¸Á»¯ï£À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì x EgÀ°.

F ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄ£ÀÄß ÉÃgÉÆAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ ¥ÀjºÀj¸À§ºÀÄzÀÄ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀzÀ ¸Á»¯ï£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì x JAzÀÄ H»¹PÉÆAqÀÄ EzÉÃ jÃw ªÀÄÄAzÀÄªÀjAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. F jÃwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ ¥ÀæAiÀÄwß¹.

¸Á»¯ï vÁ¬Ä ªÉÆvÀÛ

5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ

FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì x

x + 5

3x

3x + 5 4x + 10

F ªÉÆvÀÛªÀÅ 66 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.

\4x + 10 = 66

46 UÀtÂvÀ

10£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®UÀqÉUÉ vÀAzÀgÉ

4x = 66 – 10

x = 5614

4x = =

DzÀÝjAzÀ ¸Á»¯ï£À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 14 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. vÁ¬ÄAiÀÄ ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 3 ×14=42ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. (5 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀj§âgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 66 ªÀµÀðUÀ¼ÉAzÀÄ ¤ÃªÀÅ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV ¥ÀjÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ.)

GzÁºÀgÀuÉ 8 : §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼ÉµÀÄÖ EgÀÄªÀÅzÉÆÃ CzÀgÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À MlÄÖ ªÀiË®å 77 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀ£À ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼ÉµÀÄÖ? 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼ÉµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ : §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À ÀASÉå x EgÀ°. CzÀgÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ CAzÀgÉ 3x £ÀµÀÄÖ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½ªÉ.

DzÀÝjAzÀ §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ MlÄÖ ºÀt :

(i) 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ½AzÀ 5x gÀÆ. UÀ¼ÀÄ (ii) 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½AzÀ 2 ×3x = 6x gÀÆ.CªÀ£À ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ MlÄÖ ºÀt = 5x + 6x = 11xCªÀ£À ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ MlÄÖ ºÀt 77 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ.

\11x = 77 CxÀªÁ x = 7

\5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À ¸ÀASÉå = x = 7 ªÀÄvÀÄÛ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À ¸ÀASÉå = 3x = 21(FUÀ EzÀjAzÀ §¤ìAiÀÄ ºÀwÛgÀ JµÀÄÖ ºÀt EzÉAiÉÄA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ)

GzÁºÀgÀuÉ 9 : 11gÀ ªÀÄÆgÀÄ C£ÀÄPÀæªÀÄ UÀÄtPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 363. F UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 11gÀ MAzÀÄ UÀÄtPÀ x EgÀ°. CzÀgÀ ªÀÄÄA¢£À JgÀqÀÄ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ x + 11 ªÀÄvÀÄÛ x + 22

¨ÉÃPÁVgÀÄªÀ 11 gÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ UÀÄtPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 363. EzÀÄ PÉ¼ÀPÀAqÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ. x + (x + 11) + (x + 22) = 363 x + x + 11 + x + 22 = 363 3x + 33 = 363 3x = 363 - 33 3x = 330

EzÉÃ ¸ÀªÀÄ¸ÉåAiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°èAiÀÄÆ §UÉºÀj¸À§ºÀÄzÀÄ. 11 gÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ UÀÄtPÀUÀ¼À°è ªÀÄzsÀåzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ x EgÀ°. DUÀ F ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ x - 11, ªÀÄvÀÄÛ x + 11\ (x – 11) + x + (x + 11) = 363 3x = 363


x = 330110

3x = =

= 110

DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ UÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ 110, 121 ªÀÄvÀÄÛ 132.

x = 363121

3x = =

= 121

DzÀÝjAzÀ D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ x - 11 = 110, x = 121 ªÀÄvÀÄÛ x + 11£À = 132.

GzÁºÀgÀuÉ 10 : JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 66 ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ 2 : 5. D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅªÀÅ?

¥ÀjºÁgÀ : JgÀqÀÆ ÀASÉåUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ 2 : 5. DzÀÝjAzÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß 2x ªÀÄvÀÄÛ 5x JAzÀÄ H»¹PÉÆ¼Àî§ºÀÄzÀÄ. (UÀªÀÄ¤¹ : 2x : 5x ªÀÄvÀÄÛ 2 : 5 JgÀqÀÆ MAzÉÃ)

EªÀÅUÀ¼À ªÀåvÁå¸À 66 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.

DzÀÝjAzÀ, 5x – 2x = 66 3x = 66 x = 22

DzÀÝjAzÀ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2x = 44 ªÀÄvÀÄÛ 5x = 110

(110 - 44 = 66 EzÀÄ £ÁªÀÅ EaÒ¹zÀ ªÀåvÁå¸ÀªÉÃ DVzÉ.)

GzÁºÀgÀuÉ 11 : zÉÃªÉÃ²AiÀÄ ºÀwÛgÀ gÀÆ 50, gÀÆ 20 ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀÆ. ªÀiË®åUÀ¼À MlÄÖ 590 gÀÆ¥Á¬Ä ¨É¯ÉAiÀÄ £ÉÆÃlÄUÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À°è 50 gÀÆ. 20 gÀÆ. UÀ¼À ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 3 : 5 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. CªÀ¼À §½ MlÄÖ 25 £ÉÆÃlÄUÀ½zÀÝgÉ ¥Àæw ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ JµÀÄÖ EªÉ?

¥ÀjºÁgÀ : 50ªÀÄvÀÄÛ 20 gÀÆ. ªÀiË®åUÀ¼À £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ PÀæªÀÄªÁV 3x ªÀÄvÀÄÛ 5x JAzÀÄ H»¹PÉÆ¼ÉÆîÃt.

CªÀ¼À ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ ºÀt MlÄÖ 25 £ÉÆÃlÄUÀ½ªÉ. DUÀ 10 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ÀASÉå

= 25 - (3x + 5x)

= 25 - 8x FUÀ CªÀ¼À ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ ºÀt :

50 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¨É¯É 3x × 50 = 150x 20 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¨É¯É 5x × 20 = 100x 10 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼À ¨É¯É (25 - 8x) × 10 = 250 - 80x

\CªÀ¼À ºÀwÛgÀ EgÀÄªÀ MlÄÖ ºÀt = 150x + 100x + (250 - 80x) = 170x + 250

48 UÀtÂvÀ

\ 170x + 250 = 590 170x = 590 - 250 = 340

340

2170

x = =

50 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ = 3x = 3 × 2=620 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ = 5x = 5 × 2=1010 gÀÆ. £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ = 25 - 8x

= 25 - (8 × 2) = 25 - 16 = 9

C¨sÁå¸À 3.2

1. MAzÀÄ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ 1

2£ÀÄß PÀ¼ÉzÀÄ §AzÀ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß

1

2¢AzÀ

UÀÄtÂ¹zÀgÉ 1

8§gÀÄªÀÅzÀÄ. D ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

2. DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ FdÄPÉÆ¼ÀªÉÇAzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 154 «ÄÃlgï. CzÀgÀ GzÀÝªÀÅ CUÀ®zÀ JgÀqÀgÀµÀÖQÌAvÀ 2 «ÄÃlgï eÁ¹Û EzÉ. ºÁUÁzÀgÉ CzÀgÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÉÇAzÀgÀ ¥ÁzÀªÀÅ 4

3¸ÉA. «ÄÃ. EzÉ. wæ¨sÀÄdzÀ

¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ 2

415

¸ÉA. «ÄÃ. EzÉ. G½zÀ ¸ÀªÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À°è

AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀgÀ GzÀÝªÉµÀÄÖ?

4. JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 95. MAzÀÄ E£ÉÆßAzÀQÌAvÀ 15 ºÉZÁÑVzÀÝgÉ D ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 5 : 3 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. CªÉgÀqÀgÀ ªÀåvÁå¸À 18 DzÀgÉ, D ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅªÀÅ?

6. ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 51. D ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ?

7. 8 gÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ UÀÄtPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 888. D UÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

8. KjPÉ PÀæªÀÄzÀ°ègÀÄªÀ ªÀÄÆgÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV 2,3 ªÀÄvÀÄÛ 4 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 74. D ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅªÀÅ?


9. gÁºÀÄ¯ï ªÀÄvÀÄÛ ºÀgÀÆ£ï EªÀj§âgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼ÀÄ 5 : 7 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. £Á®ÄÌ ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 56 DUÀÄvÀÛzÉ. CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

10. vÀgÀUÀwAiÉÆAzÀgÀ°è ¨Á®PÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 7:5gÀ C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ¨Á®QAiÀÄgÀ ¸ÀASÉåVAvÀ ¨Á®PÀgÀ ¸ÀASÉå 8 eÁ¹Û DVzÉ. ºÁUÁzÀgÉ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÀÄÖ?

11. ¨ÉÊZÀÄAUÀ£À C¥Àà ¨ÉÊZÀÄAUÀ£À CdÓ¤VAvÀ 26 ªÀµÀð aPÀÌªÀ£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨ÉÊZÀÄAUÀ¤VAvÀ 29 ªÀµÀð zÉÆqÀØªÀ£ÀÄ. ªÀÄÆªÀgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 135 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ ¥ÀæwAiÉÆ§âgÀ ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

12. FV¤AzÀ 15 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ gÀ«AiÀÄ ªÀAiÀÄ¸ÀÄì CªÀ£À EA¢£À ªÀAiÀÄ¹ì£À 4 gÀµÁÖUÀÄªÀÅzÀÄ. gÀ«AiÀÄ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

13. MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 5

2jAzÀ UÀÄtÂ¹ §AzÀ UÀÄt®§ÞPÉÌ

2

3£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÀgÉ

712

- DUÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ D ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

14. ®Qëöä ¨ÁåAPÉÆAzÀgÀ°è £ÀUÀzÀÄ UÀÄªÀiÁ¸ÀÛ¼ÁVzÁÝ¼É. CªÀ¼À §½ 100 gÀÆ., 50 gÀÆ. ªÀÄvÀÄÛ 10 gÀÆ. ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ½ªÉ. EªÀÅUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2 : 3 : 5 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ®QëöäAiÀÄ §½ EgÀÄªÀ ºÀtzÀ MlÄÖ ªÀiË®å 4,00,000 gÀÆ. UÀ¼ÁzÀgÉ ¥Àæw ªÀiË®åzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ CªÀ¼À §½ JµÀÄÖ EªÉ?

15. £À£Àß §½ EgÀÄªÀ 1,2 ªÀÄvÀÄÛ 5 gÀÆ.UÀ¼À £ÁtåUÀ¼À MlÄÖ ªÀiË®å 300 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ. 5 gÀÆ. £ÁtåUÀ¼À 3 ¥ÀlÄÖ 2 gÀÆ. £ÁtåUÀ½ªÉ. J®è £ÁtåUÀ¼À MlÄÖ ÀASÉå 160. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÆ ªÀiË®åzÀ £ÁtåUÀ¼É¶ÖªÉ?

16. ¥Àæ§AzsÀ ¸ÀàzsÉðAiÉÆAzÀgÀ°è UÉzÀÝªÀ¤UÉ 100 gÀÆ. §ºÀÄªÀiÁ£À ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è ÉÆÃvÀªÀjUÉ 25 gÀÆ. §ºÀÄªÀiÁ£ÀªÉAzÀÄ ¤zsÀðj¹zÁÝgÉ. ºÀAazÀ §ºÀÄªÀiÁ£ÀzÀ MlÄÖ ºÀt 3,000 gÀÆ. UÀ¼ÀÄ ¸ÀàzsÉðAiÀÄ°è MlÄÖ 63 d£À ¨sÁUÀªÀ»¹zÀÝgÉ, UÉzÀÝªÀgÉµÀÄÖ d£À?

3.4 JgÀqÀÆ PÀqÉ ZÀgÁPÀëgÀ«gÀÄªÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀ «zsÁ£À

MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ JgÀqÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÃ¼ÀÄvÀÛzÉ. 2x-3 = 7 ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è EgÀÄªÀ JgÀqÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÉAzÀgÉ 2x-3 ªÀÄvÀÄÛ 7. £ÁªÀÅ EzÀÄªÀgÉUÉ ¥ÀjUÀtÂ¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À §®UÀqÉ PÉÃªÀ® ÀASÉåUÀ½zÀÝªÀÅ. DzÀgÉ EzÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ »ÃUÉAiÉÄÃ EgÀ¨ÉÃPÁV®è. ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ EgÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ EgÀ§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀuÉUÉ 2x-3 = x+2. F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è JgÀqÀÆ PÀqÉ EgÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À°è ZÀgÁPÀëgÀ«zÉ. JqÀUÀqÉ EgÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛ 2x-3 ªÀÄvÀÄÛ §®UÀqÉ EgÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛ x+2.

FUÀ F jÃw JgÀqÀÆ PÀqÉ ZÀgÁPÀëgÀ«gÀÄªÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ZÀað¸ÉÆÃt.

50 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 12 : ©r¹j 2x - 3 = x + 2¥ÀjºÁgÀ : 2x - 3 = x + 2 2x = x + 2 + 3 2x - x = x + 5 - x (JgÀqÀÆ PÀqÉ¬ÄAzÀ x PÀ¼É¢zÉ) x = 5

E°è ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ¬ÄAzÀ ZÀgÁPÀë«gÀÄªÀ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß PÀ¼É¢zÉÝÃªÉ. PÉÃªÀ® ¸ÀASÉåAiÀÄ£Àß®è. KPÉAzÀgÉ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ÀºÀ ÀASÉåUÀ¼ÉÃ. C®èzÉ, À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ¬ÄAzÀ x £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ x £ÀÄß JqÀUÀqÉUÉ ªÀUÁð¬Ä¸ÀÄªÀÅzÀÆ MAzÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.


5 142 2

x x+ = −

¥ÀjºÁgÀ : F ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ 2 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ

7 32 5 2 14

2 2x x

× + = × − =

7 32 5 2 14

2 2x x

× + = × −

( ) ( )7 32 5 2 2 2 14

2 2x x

× + × = × − × = ( ) ( )7 3

2 5 2 2 2 142 2

x x × + × = × − ×

10x + 7 = 3x - 28 3x £ÀÄß JqÀ¨ÁUÀPÉÌ vÀAzÀgÉ 10x - 3x + 7 = - 28 7x + 7 = - 28 7x = - 28 - 7 7x = - 35

x = 35

7x

−= CxÀªÁ x = -5

C¨sÁå¸À 3.3

PÉ¼ÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹ ¤ªÀÄä GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹j.

1. 3x = 2x + 18 2. 5t – 3 = 3t – 5

3. 5x + 9 = 5 + 3x 4. 4z + 3 = 6 + 2z

5. 2x – 1 = 14 – x 6. 8x + 4 = 3 (x – 1) + 7

7. 4( 10)

5x x= + 8. 2 7

1 33 15

x x+ = +

9. 5 262

3 3y y+ = − 10.

83 5

5m m= −


3.5 ºÉaÑ£À C£ÀéAiÀÄUÀ¼ÀÄ

GzÁºÀgÀuÉ 14 : 2-CAQ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀªÀÅ 3. F CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆzÀ°£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 143. ºÁUÁzÀgÉ ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå K£ÀÄ?

¥ÀjºÁgÀ : GzÁºÀgÀuÉUÉ ÀASÉå 56 £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ CzÀ£ÀÄß (10 x 5) + 6 JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. EzÉÃ ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÀgÉ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉå 65 = (10 × 6) + 5

FUÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQ b EgÀ°. ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQUÀÆ ªÀÄvÀÄÛ b UÀÆ 3 ªÀåvÁå¸À«zÉAiÉÄAzÀÄ PÉÆnÖzÉ. DzÀÝjAzÀ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQAiÀÄÄ b + 3. DzÀÝjAzÀ D JgÀqÀÄ CAQAiÀÄ ¸ÀASÉå = 10(b + 3) + b

= 10b + 30 + b = 11b + 30 F ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä

ªÀiÁrzÀgÉ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉå = 10b + (b + 3)

= 11b + 3 EªÉgÀqÀÆ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = (11b + 30) +

(11b + 3) = 22b + 33 =

143

\ 22b = 143 – 33 = 110

1105.

22b∴ = =

\ F ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQ 5 ªÀÄvÀÄÛ ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è 8 EgÀÄvÀÛzÉ.

\ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 85.

GvÀÛgÀzÀ ¥ÀjÃPÉë : F ¸ÀASÉåAiÀÄ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÀgÉ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉå 58. ªÀÄvÀÄÛ 85 + 58 = 143.

GzÁºÀgÀuÉ 15 : CdÄð£À£ÀÄ ²æAiÀiÁ¼À JgÀqÀgÀµÀÄÖ zÉÆqÀØªÀ£ÀÄ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ CdÄð£À£ÀÄ ²æAiÀiÁ¼À ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ zÉÆqÀØªÀ¤zÀÝ£ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ : ²æAiÀiÁ¼À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì EgÀ°. CdÄð£À£À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 2x DUÀÄªÀÅzÀÄ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ EªÀgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄì PÀæªÀÄªÁV x - 5 ªÀÄvÀÄÛ 2x - 5 DVvÀÄÛ. 5 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ CdÄð£À£ÀÄ ²æAiÀiÁ½VAvÀ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ zÉÆqÀØªÀ¤zÀÝ£ÉAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.

ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ CAQAiÀÄÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è£À CAQVAvÀ 3 ºÉZÀÄÑ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ F ¥ÀjºÁgÀ §A¢zÉAiÉÄA§ÄzÀÄ £É£À¦gÀ°. ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ

CAQAiÀÄ£ÀÄß (b-3) JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ K£ÁUÀÄvÀÛzÉ?

F GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ GQÛAiÀÄÄ 58 ªÀÄvÀÄÛ 85 JgÀqÀÆ

¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ ¸ÀjAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀjAiÀiÁzÀ GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

ºÀvÀÛgÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è (b-3)AiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼Àî§ºÀÄzÉÃ? EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ ¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃrj.

52 UÀtÂvÀ

\ 2x - 5 = 3 (x- 5) = 3x - 15 15 - 5 = 3x - 2x 10 = x DzÀÝjAzÀ ²æAiÀiÁ¼À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 10 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CdÄð£À£À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì

= 2x = 2 × 10 = 20 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 3.4

1. C«ÄÃ£Á¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß H»¹PÉÆAqÀÄCzÀgÀ°è5

2£ÀÄß

PÀ¼ÉzÀgÉ §AzÀ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß 8 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ §AzÀ UÀÄt®§Þ H»¹zÀ ÀASÉåAiÀÄ 3 gÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ. H»¹zÀ ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

2. zsÀ£À¸ÀASÉåAiÉÆAzÀÄ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ 5 gÀ¶ÖzÉ. JgÀqÀÆ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ 21 ¸ÉÃj¹zÁUÀ JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è MAzÀÄ E£ÉÆßAzÀgÀ JgÀqÀgÀµÁÖUÀÄvÀÛzÉ. D ¸ÀASÉåUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ?

3. JgÀqÀÄ CAQAiÀÄ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ CAQUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 9. D CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÁUÀ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåVAvÀ 27 eÁ¹Û¬ÄzÉ. D ¸ÀASÉåUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ?

4. 2-CAQAiÀÄ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ°è MAzÀÄ CAQAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀgÀ ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. CzÀgÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß CzÀ®Ä §zÀ®Ä ªÀiÁrzÀgÉ §gÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄÆ® ¸ÀASÉåUÉ ¸ÉÃj¹zÀ ªÉÆvÀÛ 88. ªÀÄÆ® ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

5. ±ÉÆÃ¨ÉÆÃ«£À vÁ¬ÄAiÀÄ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì ±ÉÆÃ¨ÉÆ«£À ªÀAiÀÄ¹ì£À 6 gÀ¶ÖzÉ. 5 ªÀµÀðzÀ £ÀAvÀgÀ ±ÉÆÃ¨ÉÆÃ«£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì CªÀ£À vÁ¬ÄAiÀÄ ªÀAiÀÄ¹ì£À ªÀÄÆgÀ£É MAzÀgÀµÁÖUÀÄvÀÛzÉ. CªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

6. ªÀiÁºÀÄ° UÁæªÀÄzÀ°è ±Á¯ÉAiÉÆAzÀPÁÌV MAzÀÄ ÀtÚ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ eÁUÀ«zÉ. CzÀgÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼ÀÄ 11 : 4 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. MAzÀÄ «ÄÃljUÉ 100 gÀÆ. UÀ¼ÀAvÉ CzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ®Æ ¨ÉÃ° ºÁQ¸À®Ä Hj£À ¥ÀAZÁ¬ÄwUÉ 75000 gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼ÀµÀÄÖ RZÁðUÀÄªÀÅzÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ eÁUÀzÀ DAiÀiÁªÀÄUÀ¼ÉµÀÄÖ?

7. ºÀ¸À£ï ±Á¯Á ªÀÄPÀÌ½UÁV JgÀqÀÄ jÃwAiÀÄ §mÉÖUÀ¼À£ÀÄß RjÃ¢¸ÀÄvÁÛ£É. µÀgÀn£À §mÉÖUÉ «ÄÃljUÉ 50 gÀÆ. UÀ¼ÀÆ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁåAn£À §mÉÖ «ÄÃljUÉ 90 gÀÆ. UÀ¼ÀÆ vÀUÀÄ®ÄvÀÛªÉ. CªÀ£ÀÄ RjÃ¢¸ÀÄªÀ ¥Àæw 3 «ÄÃlgï µÀgÀn£À §mÉÖAiÀÄ eÉÆvÉ 2 «ÄÃlgï ¥ÁåAn£À §mÉÖ RjÃ¢¸ÀÄvÁÛ£É. D£ÀAvÀgÀ PÀæªÀÄªÁV 12% ªÀÄvÀÄÛ 10% ¯Á¨sÀzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀiÁgÀÄvÁÛ£É. CªÀ£À MlÄÖ ªÀiÁgÁlzÀ É¯É 36600 gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼ÁzÀgÉ ºÀ¸À£ï RjÃ¢¹zÀ ¥ÁåAn£À §mÉÖ JµÀÄÖ?


8. fAPÉUÀ¼À UÀÄA¥ÉÆAzÀgÀ°è CzsÀðzÀµÀÄÖ fAPÉUÀ¼ÀÄ ªÉÄÊzÁ£ÀzÀ°è ªÉÄÃAiÀÄÄwÛªÉ. G½zÀ fAPÉUÀ¼À°è £Á®Ì£ÉÃ ªÀÄÆgÀgÀµÀÄÖ ºÀwÛgÀzÀ°è Dl DqÀÄwÛªÉ. G½zÀ 9 fAPÉUÀ¼ÀÄ PÉÆ¼ÀzÀ°è ¤ÃgÀÄ PÀÄrAiÀÄÄwÛªÉ. UÀÄA¦£À°ègÀÄªÀ fAPÉUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

9. M§â CdÓ£ÀÄ vÀ£Àß ªÉÆªÉÆäUÀ¼À ºÀvÀÛgÀµÀÄÖ zÉÆqÀØªÀ£ÀÄ. CªÀ½VAvÀ CªÀ£ÀÄ 54 ªÀµÀð zÉÆqÀØªÀ£ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼ÉµÀÄÖ?

10. CªÀÄ£ï£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì CªÀ£À ªÀÄUÀ£À ªÀAiÀÄ¹ìVAvÀ ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. 10 ªÀµÀðUÀ¼À »AzÉ CªÀ£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì CªÀ£À ªÀÄUÀ£À ªÀAiÀÄ¹ìVAvÀ LzÀgÀ¶ÖvÀÄÛ. CªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼ÉµÀÄÖ?

3.6 ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀÄªÀÅzÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉ 16 : ©r¹j 6 1 3

13 6

x x+ −+ =

¥ÀjºÁgÀ : À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ 6 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ

( ) ( )6 6 1 6 3

6 13 6

x x+ −+ × =

2(6x + 1) + 6 = x – 3 12x + 2 + 6 = x – 3 12x + 8 = x – 3 12x – x + 8 = –3 11x + 8 = –3 11x = –3 – 8 11x = –11 x = -1 FUÀ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt

À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = ( )6 1 1 6 1 2

1 13 3 3

× − + − ++ = + = −

À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ = ( )1 3 4 2

6 6 3

− − − −= =

DzÀÝjAzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVªÉ

6 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÀÄÝ KPÉ? CzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉAiÀÄ bÉÃzÀUÀ¼À ®.¸Á.C.

54 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 17 : ©r¹j 5x – 2 (2x – 7) = 2 (3x – 1) + 7

2

¥ÀjºÁgÀ : DªÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹zÀgÉ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ

= 5x – 4x + 14 = x + 14

¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ 7 4 7 3

6 2 6 62 2 2 2

x x x− + = − + = +

FUÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ 3

14 62

x x+ = +

314 6

2x x= − +

3

14 52

x= +

314 5

2x− =

28 3

52

x−

=

25

52

x=

25 1 5 5 5

2 5 2 5 2x

×= × = =

×

DzÀÝjAzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀÅ 5

2x =

FUÀ F ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ ºÁQ ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt

¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = 5 5

5 2 2 72 2

× − × −

( ) ( )25 252 5 7 2 2

2 225 25 8 33

42 2 2

= − − = − −

+= + = =

( ) ( )25 252 5 7 2 2

2 225 25 8 33

42 2 2

= − − = − −

+= + = =

PÉÆlÖ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß

¸ÀÄ®¨sÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀAzÀ

«zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹


¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §®¨sÁUÀ 5 7

2 3 12 2

15 2 7 2 13 72

2 2 2 2 2

= × − +

× = − + = +

26 7 33

2 2

+= =

\ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = CzÀgÀ §®¨sÁUÀ

C¨sÁå¸À 3.5

PÉ¼ÀV£À gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹j.

1. 1 1

2 5 3 4

x x− = + 2. 3 5

212 4 6

n n n− + =

3. 8 17 57

3 6 2

x xx + − = − 4. 5 3

3 5

− −=

x x

5. 3 2 2 3 2

4 3 3

t tt

− +− = − 6. 1 2

2 3

m m− −− = −

PÉ¼ÀV£À gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAPÉëÃ¦¹ ©r¹j.

7. 3(t – 3) = 5(2t + 1) 8. 15(y – 4) –2 (y – 9) + 5(y + 6) = 0 9. 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17 10. 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9)

3.7 gÉÃSÁvÀäPÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ vÀgÀ§ºÀÄzÁzÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ;


2 3 8

x

x

+=

+

¥ÀjºÁgÀ : F ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ gÉÃSÁvÀäPÀªÀ®è. KPÉAzÀgÉ, CzÀgÀ JqÀ¨sÁUÀªÀÅ gÉÃSÁvÀäPÀ C®è. DzÀgÉ JgÀqÀÆ PÀqÉ (2x + 3) ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹ CzÀ£ÀÄß gÉÃSÁvÀäPÀ gÀÆ¥ÀPÉÌ gÀÆ¥ÁAvÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.

JgÀqÀÆ PÀqÉ (2x + 3) ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ

( ) ( )1 32 3 2 3

2 3 8

xx x

x

+× + = × + +

( )3 2 31

8

xx

++ =

2x + 3 ≠ 0 (KPÉ?)

56 UÀtÂvÀ

JgÀqÀÆ PÀqÉ 8 jAzÀ UÀÄtÂ¹zÀgÉ

8 (x + 1) = 3 (2x + 3) 8x + 8 = 6x + 9 8x = 6x + 9 – 8 8x = 6x + 1 8x – 6x = 1 2x = 1

1

2x =

FUÀ F GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt

JqÀ¨sÁUÀzÀ CA±À = 1 1 2 3

12 2 2

++ = =

JqÀ¨sÁUÀzÀ bÉÃzÀ = 1

2 3 2 3 1 3 4.2

x + = × + = + =

DzÀÝjAzÀ JqÀ¨sÁUÀ = 3 3 1 3

42 2 4 8÷ = × =

\ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JqÀ¨sÁUÀ = §®¨sÁUÀ.

GzÁºÀgÀuÉ 19 : C£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÁeï£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼ÀÄ 4 : 5 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èzÉ. 8 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀgÀ ªÀAiÀÄ¹ì£À C£ÀÄ¥ÁvÀ 5 : 6 DzÀgÉ CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ : C£ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ gÁeï EªÀj§âgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì PÀæªÀÄªÁV 4x ªÀÄvÀÄÛ 5x EgÀ°.

8 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ C£ÀÄ ªÀAiÀÄ¸ÀÄì = 4x + 8 gÁeï ªÀAiÀÄ¸ÀÄì = 5x + 8

DzÀÝjAzÀ 8 ªÀµÀðUÀ¼À £ÀAvÀgÀ CªÀgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄìUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀ = 4 8

5 8

x

x

++

F C£ÀÄ¥ÁvÀªÀÅ 5 : 6 JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.

4 8 5

5 8 6

x

x

+∴ =

+

CqÀØ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁrzÀgÉ

6(4x + 8) = 5 (5x + 8) 24x + 48 = 25x + 40 24x + 48 – 40 = 25x 8 = 25x – 24x 8 = x C£ÀÄ«£À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì = 4x = 4 × 8 = 32 ªÀµÀð gÁeï£À FV£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì = 5x = 5 × 8 = 40 ªÀµÀð

CqÀØ UÀÄuÁPÁgÀ¢AzÀ®Æ ¸ÀºÀ EzÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ

1 3

2 3 8

x

x

++


C¨sÁå¸À 3.6

PÉ¼ÀV£À ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¹j:

1. 8 3

23

x

x

−= 2.

915

7 6

x

x=

− 3.

4

15 9

z

z=

+

4. 3 4 2

2 6 5

y

y

+ −=

− 5.

7 4 4

2 3

y

y

+ −=

+

6. ºÀj ªÀÄvÀÄÛ ºÁåj EªÀgÀ ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 5 : 7 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èzÉ. £Á®ÄÌ ªÀµÀðzÀ £ÀAvÀgÀ F C£ÀÄ¥ÁvÀ 3 : 4 DUÀÄvÀÛzÉ. CªÀgÀ FV£À ªÀAiÀÄ¸ÉìµÀÄÖ?

7. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåAiÉÆAzÀgÀ bÉÃzÀªÀÅ CzÀgÀ CA±ÀQÌAvÀ 8 ºÉaÑzÉ. FUÀ CA±ÀPÉÌ 17 ¸ÉÃj¹

bÉÃzÀ¢AzÀ 1 PÀ¼ÉzÀgÉ 3

2 §gÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ D ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉå AiÀiÁªÀÅzÀÄ?

¸ÁgÁA±À

1. ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¸ÀªÀÄvÉAiÉÄÃ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀt. ¸ÀªÀÄ aºÉßAiÀÄ MAzÀÄ PÀqÉ EgÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀÄ PÀqÉAiÀÄ ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯ÉUÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅzÉAzÀÄ CzÀÄ w½¸ÀÄvÀÛzÉ.

2. 6 ªÀÄvÀÄÛ 7 £ÉÃ vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÁªÀÅ C¨sÀå¹¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ. CªÀÅUÀ¼À°è PÉÃªÀ® MAzÉÃ MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀ«gÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½zÀÄÝ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÁVgÀÄªÀÅªÀÅ. CAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À°è£À ZÀgÁPÀëgÀzÀ CvÀåAvÀ ºÉaÑ£À WÁvÀ 1 DVgÀÄªÀÅzÀÄ.

3. MAzÀÄ gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ ¥ÀjºÁgÀªÀÅ MAzÀÄ ¨sÁUÀ®§ÞªÁVgÀ§ºÀÄzÀÄ.

4. gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ gÉÃSÁvÀäPÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ. 6 ªÀÄvÀÄÛ 7£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ C¨sÀå¹¹zÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À°è MAzÀÄ PÀqÉ PÉÃªÀ® MAzÀÄ ¸ÀASÉå EvÀÄÛ.

5. ¸ÀASÉåUÀ¼ÀAvÉAiÉÄÃ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀºÀ MAzÀÄ PÀqÉ¬ÄAzÀ E£ÉÆßAzÀÄ PÀqÉUÉ ªÀUÁð¬Ä¸À§ºÀÄzÀÄ.

6. ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß ©r¸ÀÄªÀÅzÀPÉÌ ªÀÄÄ£Àß CzÀgÀ°ègÀÄªÀ ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÉ®ªÀÅ À® £ÁªÀÅ JA¢£À «zsÁ£ÀUÀ¼À°èAiÉÄÃ ÀÄ®©üÃPÀj¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. PÉ®ªÀÅ À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ DgÀA¨sÀzÀ°è gÉÃSÁvÀäPÀªÁV PÁt¢zÀÝgÀÆ CªÀÅUÀ¼À JgÀqÀÆ PÀqÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ gÉÃSÁvÀäPÀªÀ£ÁßV gÀÆ¥ÁAvÀgÀ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.

7. ««zsÀ C£ÀéAiÀÄUÀ¼À°è gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À G¥ÀAiÉÆÃUÀ ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ, DPÁgÀUÀ¼À ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ, ºÀtzÀ £ÉÆÃlÄUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ««zsÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ©r¸À®Ä £ÁªÀÅ F G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

4.1 ¦ÃpPÉ

PÁUÀzÀªÀÅ "¸ÀªÀÄvÀ® ªÉÄÃ¯ÉäöÊ"UÉ ªÀiÁzÀj JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ w½¢¢ÝÃj. ¹Ã¸ÀzÀ PÀrØAiÀÄ£ÀÄß ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ°¤AzÀ JvÀÛzÉ, ºÀ®ªÁgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ (ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹ AiÀiÁªÀÅzÉÃ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÉÛ ZÀ°¸ÀzÀAvÉ) MAzÀÄ "ªÀPÀægÉÃSÉ"AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j.

»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ £ÉÆÃrgÀÄªÀ ««zsÀ jÃwAiÀÄ ªÀPÀægÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ¼Àî®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢¹ §gÉ¬Äj : (JZÀÑjPÉ! MAzÀÄ CPÀÈwAiÀÄÄ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ «zsÀUÀ½UÉ ºÉÆA¢PÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ.)

DPÀÈw «zsÀ

(1) (a) ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ DªÀÈvÀ ªÀPÀægÉÃSÉ

(2) (b) ¸ÀgÀ¼ÀªÀ®èzÀ DªÀÈvÀ ªÀPÀægÉÃSÉ

(3) (c) DªÀÈvÀªÀ®èzÀ ¸ÀgÀ¼À ªÀPÀægÉÃSÉ

(4) (d) ¸ÀgÀ¼ÀªÀ®èzÀ ªÀPÀægÉÃSÉ

¤ªÀÄä ¸ÉßÃ»vÀgÀ GvÀÛgÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ºÉÆÃ°¹ £ÉÆÃr. MAzÉÃ jÃw EªÉAiÉÄÃ?

4.2 §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ

gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À ¸ÉÃj¸ÀÄ«PÉ¬ÄAzÀ GAmÁzÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ DªÀÈvÀ ªÀPÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß "§ºÀÄ¨sÀÄd" J£ÀÄßªÀgÀÄ.

§ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÁVgÀÄªÀ ªÀPÁæPÀÈwUÀ¼ÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÁV®èzÀ ªÀPÁæPÀÈwUÀ¼ÀÄ

CzsÁåAiÀÄ

4ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À

¥ÀjZÀAiÀÄ

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ 59

§ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÁVgÀÄªÀ ªÀÄvÀÄÛ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÁV®èzÀ ªÀPÁæPÀÈwUÀ½UÉ PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.

MAzÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ PÀZÁÑavÀæªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

4.2.1 §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À ªÀVðÃPÀgÀt

£ÁªÀÅ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß CªÀÅ ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå (CxÀªÁ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå) DzsÁgÀ¢AzÀ ªÀVðÃPÀj¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå CxÀªÁ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

ªÀVðÃPÀgÀt ªÀiÁzÀj avÀæ

3 wæ¨sÀÄd

4 ZÀvÀÄ¨sÀÄðd

5 ¥ÀAZÀ¨sÀÄd

6 µÀqÀÄãd

7 ¸À¥ÀÛ¨sÀÄd

8 CµÀÖ¨sÀÄd

9 £ÀªÀ¨sÀÄd

10 zÀ±À¨sÀÄd

: : :

n n - ¨sÀÄd

60 UÀtÂvÀ

4.2.2 PÀtðUÀ¼ÀÄ

MAzÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀªÀ®èzÀ ±ÀÈAUÀ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß "PÀtð" J£ÀÄßªÀgÀÄ.

avÀæ 4.1

ªÉÄÃ°£À avÀæ 4.1 gÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ°è PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¸À§°ègÁ?

PQ MAzÀÄ PÀtðªÉÃ? LN K£ÁUÀÄªÀÅzÀÄ?

M¼ÀªÀ®AiÀÄ ºÉÆgÀªÀ®AiÀÄ

avÀæ 4.2

M¼ÀªÀ®AiÀÄªÀÅ MAzÀÄ ¹ÃªÉÄ(UÀr)AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. ºÉÆgÀªÀ®AiÀÄªÀÅ ¹ÃªÉÄAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? ¸ÉßÃ»vÀgÉÆA¢UÉ ZÀað¹.

4.2.3 §»ªÀðPÀæ ªÀÄvÀÄÛ CAvÀªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ :

E°è PÉ®ªÀÅ §»ªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉ®ªÀÅ CAvÀªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ EªÉ. (avÀæ. 4.3)

§ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ §»ªÀðPÀæ ¤AiÀÄ«ÄvÀªÀ®èzÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ CAvÀªÀðPÀæ

avÀæ 4.3


ªÉÄÃ°£À F §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ºÉÃUÉ «©ü£ÀßªÁVªÉ JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ UÀÄgÀÄw¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? AiÀiÁªÀÅzÉÃ §»ªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ°è PÀtðzÀ AiÀiÁªÀ ¨sÁUÀªÀÅ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ ºÉÆgÀUÉ EgÀÄªÀÅ¢®è. §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ M¼ÀVgÀÄªÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ «©ü£Àß ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀÄªÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ ¥ÀÆtðªÁV CzÀgÉÆ¼ÀUÉ EgÀÄvÀÛzÉ. CAvÀªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À°èAiÀÄÆ EzÀÄ ¤dªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? PÉÆnÖgÀÄªÀ avÀæUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr £ÀAvÀgÀ §»ªÀðPÀæ ªÀÄvÀÄÛ CAvÀªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ¤ªÀÄä ¸ÀéAvÀ ªÁPÀåzÀ°è «ªÀj¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ «zsÀPÀÆÌ JgÀqÀÄ PÀZÁÑ DPÀÈwUÀ¼À£ÀÄß ©r¹.

F vÀgÀUÀwAiÀÄ°è £ÁªÀÅ §»ªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À §UÉÎ ªÀiÁvÀæ PÀ°AiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

4.2.4 ¤AiÀÄ«ÄvÀ ªÀÄvÀÄÛ C¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ :

¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, MAzÀÄ ZËPÀªÀÅ ¸ÀªÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ CzÀ£ÀÄß ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄd J£ÀÄßvÉÛÃªÉ.

DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄªÁVgÀÄvÀÛzÉ DzÀgÉ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ DPÀÈwAiÀiÁV®è. CAiÀÄvÀªÀÅ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÉÃ? ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdªÀÅ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÉÃ? KPÉ?

¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ¤AiÀÄ«ÄvÀªÀ®èzÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ

(¸ÀÆZÀ£É : CxÀªÁ EªÀÅ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ JAzÀÄ EªÀÅ ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.)

»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è, ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÁVzÀÄÝ DzÀgÉ ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄUÀ¼ÁVgÀzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À §UÉÎ w½¢¢ÝÃgÁ? ¤ªÀÄä »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÉÆÃrgÀÄªÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß £É£À¥ÀÄ ªÀiÁrPÉÆ½î - DAiÀÄvÀ, ZËPÀ, ªÀeÁæPÀÈw EvÁå¢.

¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄªÀ®èzÀ ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd EzÉAiÉÄÃ?

4.2.5 PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ UÀÄt :

¤ªÀÄUÉ wæ¨sÀÄdzÀ°è PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ ®PÀët £É£À¦£À°èzÉAiÉÄÃ? wæ¨sÀÄdzÀ°è ªÀÄÆgÀÄ M¼ÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180° EgÀÄvÀÛzÉ. F ¸ÀAUÀwAiÀÄ£ÀÄß ¤ªÀÄUÉ ªÀÄ£À¹ì£À°è ªÀÄÆr¸À®Ä £ÁªÀÅ C£ÀÄ¸Àj¹zÀ «zsÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ½î. FUÀ £ÁªÀÅ CzÉÃ «ZÁgÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdPÉÌ «¸ÀÛj¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

62 UÀtÂvÀ

ªÀiÁr £ÉÆÃr

1. AiÀiÁªÀÅzÉÃ MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß

¥ÀjUÀtÂ¹. ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD DVgÀ°. (avÀæ.4.4). CzÀgÀ°è MAzÀÄ

PÀtðªÀ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ

JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¹. 1,2,3,4,5

ªÀÄvÀÄÛ 6 JA§ DgÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛªÉ.

FUÀ wæ¨sÀÄdzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß §¼À¹ ∠A, ∠B, ∠C ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 180° + 180° = 360° UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁUÀÄªÀÅzÀÄ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

2. avÀæzÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ, gÀnÖ¤AzÀ vÀAiÀiÁj¹zÀ £Á®ÄÌ

¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î avÀæ. 4.5(i) ªÀÄvÀÄÛ (ii) gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ ∠1, ∠2, ∠3,∠4 ¸ÀA¢ü¸ÀÄªÀAvÉ eÉÆÃr¹.

F DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®ÄC£ÀÄgÀÆ¥À CAZÀÄUÀ¼À£ÀÄßºÉÆA¢¹ eÉÆÃr¸À¨ÉÃPÀÄ.

(i) (ii)avÀæ.4.5

∠1, ∠2, ∠3 ªÀÄvÀÄÛ ∠4 F PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ

ºÉÃ¼ÀÄ«j?

(¸ÀÆZÀ£É : £ÁªÀÅ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ∠1, ∠2, ∠3 EvÁå¢ JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ. ªÀÄvÀÄÛ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß m∠1, m∠2, m∠3 JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛÃªÉ.)

MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ £Á®ÄÌ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ _______

¤ÃªÀÅ E£ÀÆß ºÀ®ªÀÅ «zsÁ£ÀUÀ½AzÀ F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß

¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

avÀæ.4.4


3. »A¢£À GzÁgÀºÀuÉAiÀÄ°è EgÀÄªÀAvÉAiÉÄÃ, ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹

(avÀæ 4.6). P AiÀÄÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ M¼ÀV£À MAzÀÄ ©AzÀÄ DVgÀ°.

A,B,C ªÀÄvÀÄÛ D ±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß P £ÉÆA¢UÉ ÉÃj¹.

avÀæzÀ°è ∆PAB AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ x m m= ° − ∠ − ∠180 2 3 ; ºÁUÉAiÉÄÃ

∆PBC ¤AzÀ y m m= ° − ∠ − ∠180 4 5 ;

∆PCD ¤AzÀ z m m= ° − ∠ − ∠180 6 7

ªÀÄvÀÄÛ ∆PDA ¤AzÀ w m m= ° − ∠ − ∠180 8 1 JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß m m m∠ ∠ ∠1 2 8, ...... UÀ¼À MlÄÖ ªÉÆvÀÛ w½AiÀÄ®Ä

§¼À¹. EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁVgÀÄªÀ ¥sÀ°vÁA±À ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÀºÁAiÀÄPÀªÁUÀÄªÀÅzÉÃ? E°è∠ +∠ +∠ +∠ = °x y z w 360 JA§ÄzÀ£ÀÄß £É£À¦r.

4. ªÉÄÃ°£À ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ §»ªÀðPÀæªÁVzÀÝªÀÅ.

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ CAvÀªÀðPÀæªÁzÁUÀ K£ÁUÀ§ºÀÄzÀÄ?

ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹ CzÀ£ÀÄß PÀtðzÀ

¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÀf¹. £ÀAvÀgÀ

M¼ÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

avÀæ 4.6

avÀæ 4.7

C¨sÁå¸À 4.1

1. E°è PÉ®ªÀÅ avÀæUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

PÉ¼ÀV£À CA±ÀUÀ¼À DzsÁgÀ¢AzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀ£ÀÄß ªÀVðÃPÀj¹.

(a) ¸ÀgÀ¼À ªÀPÀægÉÃSÉ. (b) ¸ÀgÀ¼À DªÀÈvÀ ªÀPÀægÉÃSÉ (c) §ºÀÄ¨sÀÄd

(d) §»ªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄd (e) CAvÀªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄd

64 UÀtÂvÀ

2. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ JµÀÄÖ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ?

(a) MAzÀÄ §»ªÀðPÀæ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd (b) MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ µÀqÀÄãd (c) MAzÀÄ wæ¨sÀÄd 3. MAzÀÄ §»ªÀðPÀæ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ M¼ÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÉµÀÄÖ? ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ

CAvÀªÀðPÀæªÁV®è¢zÀÝgÀÆ F UÀÄt®PÀëtªÀÅ ¤dªÁUÀÄªÀÅzÉÃ? (§»ªÀðPÀæªÀ®èzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß J¼ÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ¥ÀæAiÀÄwß¹)

4. PÉÆnÖgÀÄªÀ PÉÆÃµÀÖPÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. (¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ avÀæªÀ£ÀÄß wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÁßV «¨sÁV¹zÉ. CzÀjAzÀ M¼ÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ¤gÀÆ¦¹.)

DPÀÈw

¨ÁºÀÄ 3 4 5 6

PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ

1 × 180° 2 × 180° = (4–2) × 180°

3 × 180° = (5–2) × 180°

4 × 180° = (6–2) × 180°

PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ ÀASÉåAiÀÄ ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ §»ªÀðPÀæ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À M¼ÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ §UÉÎ K£ÀÄ ºÉÃ¼ÀÄ«j?

(a) 7 (b) 8 (c) 10 (d) n5. ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄd JAzÀgÉÃ£ÀÄ? F PÉ¼ÀV£À ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ

¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¹

(a) 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (b) 4 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (c) 6 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

6. PÉ¼ÀV£À DPÀÈwUÀ¼À°è x £À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(a) (b)

(c) (d)


7.

(a) x + y + z £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (b) x + y + z + w £ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

4.3. MAzÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ J¯Áè ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ :

ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À §UÉV£À eÁÕ£ÀªÀÅ C£ÉÃPÀ ¸À¤ßªÉÃ±ÀUÀ¼À°è M¼ÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ®PÀëtUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ¨É¼ÀPÀÄ ZÉ®ÄèvÀÛzÉ.

ªÀiÁr £ÉÆÃr

£É®zÀ ªÉÄÃ¯É, ¹ÃªÉÄ ÀÄtÚzÀ ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ MAzÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæzÀ°è ABCDE MAzÀÄ ¥ÀAZÀ¨sÀÄd) (avÀæ.4.8) £ÁªÀÅ FUÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À MlÄÖ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß w½AiÀÄ¨ÉÃPÁVzÉ.

CAzÀgÉm m m m m∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠1 2 3 4 5 . A ¤AzÀ DgÀA©ü¹ AB AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ £ÀqÉ¬Äj. B AiÀÄ£ÀÄß vÀ®Ä¦zÀ £ÀAvÀgÀ BC AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ £ÀqÉAiÀÄ®Ä ¤ÃªÀÅ m∠1 gÀµÀÄÖ wgÀÄUÀ¨ÉÃPÀÄ. ¤ÃªÀÅ C AiÀÄ£ÀÄß vÀ®Ä¦zÁUÀ CD AiÀÄ GzÀÝPÉÌ ZÀ°¸À®Ä m∠2, gÀµÀÄÖ wgÀÄUÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÉÃ jÃwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ ZÀ°¸ÀÄvÁÛ, AB AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ ZÀ°¸À®Ä wgÀÄUÀÄªÀªÀgÉUÀÆ ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉ¹. ¤dªÁUÀ®Æ FUÀ ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀA¥ÀÆtð ¸ÀÄvÀÛ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉÆ½¹¢j. DzÀÝjAzÀ, m m m m m∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = °1 2 3 4 5 360 DUÀÄvÀÛzÉ.

F CA±ÀªÀÅ, §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ°è ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå JµÉÖÃ DVzÀÝgÀÆ ¤dªÁVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ, "AiÀiÁªÀÅzÉÃ MAzÀÄ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ J¯Áè ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ 360°UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ."

avÀæ.4.8

GzÁºÀgÀuÉ 1 : avÀæ 4.9 gÀ°è x £À C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : x + 90° + 50° + 110° = 360°..........(KPÉ?) x + 250° = 360° x = 110°

avÀæ 4.9

66 UÀtÂvÀ

MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ µÀqÀÄãdªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î (avÀæ 4.10)

1. ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁzÀ x,y,z,p,q,r UÀ¼À ªÉÆvÀÛªÉÃ£ÀÄ? 2. x = y = z = p = q = r DVzÉAiÉÄÃ? KPÉ? 3. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀgÀ C¼ÀvÉ JµÀÄÖ?

(a) ºÉÆgÀPÉÆÃ£À (b) M¼ÀPÉÆÃ£À 4. F ZÀlÄªÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß PÉ¼ÀV£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ½UÉ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹.

(a) ¤AiÀÄ«ÄvÀ CµÀÖ¨sÀÄd (b) ¤AiÀÄ«ÄvÀ «A±Àw¨sÀÄd.


avÀæ 4.10

GzÁºÀgÀuÉ 2 : 2 ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ 45° EgÀÄªÀ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : J¯Áè ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ = 360° ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ = 45°

DzÀÝjAzÀ MlÄÖ ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå = 360

458

°°=

∴ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ°è EgÀÄªÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = 8.

C¨sÁå¸À 4.2

1. PÉ¼ÀV£À avÀæUÀ¼À°è x £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(a) (b)

PÉ¼ÀUÉ w½¹gÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À°è;

2. ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdUÀ¼À°è ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 9 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (ii) 15 ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

3. MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ 24° EzÁÝUÀ CzÀÄ ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

4. MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdzÀ ¥Àæw M¼ÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ 165° EzÁÝUÀ CzÀÄ ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.


5. ¥Àæw ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ 22° EgÀÄªÀAvÉ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? E®è¢zÀÝgÉ CzÀÄ M¼ÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉAiÀiÁVgÀÄªÀ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÁUÀ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? KPÉ?

6. (a) MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÀÅ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÁzÀ PÀ¤µÀÖ M¼ÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ JµÀÄÖ? KPÉ?

(b) MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÀÅ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÁzÀ UÀjµÀÖ ºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ JµÀÄÖ?

4.4. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ :

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è£À ¨ÁºÀÄUÀ¼À CxÀªÁ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ¸Àé¨sÁªÀzÀ DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ¯É CzÀÄ «±ÉÃµÀ ºÉ¸ÀgÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

4.4.1 vÁæ¦då :

MAzÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÉ vÁæ¦då.

EªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ EªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼À®è.

ªÉÄÃ°£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr. £ÀAvÀgÀ CªÀÅUÀ¼À°è PÉ®ªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÛ PÉ®ªÀÅ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ C®è¢gÀÄªÀ PÁgÀtzÀ §UÉÎ ¤ªÀÄä ¸ÉßÃ»vÀgÉÆA¢UÉ ZÀað¹.

(¸ÀÆZÀ£É : ¨ÁtzÀ UÀÄgÀÄvÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ.)

EzÀ£ÀÄß ªÀiÁr £ÉÆÃr

1. wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉ 3 ¸É.«ÄÃ, 4 ¸É.«ÄÃ ªÀÄvÀÄÛ 5 ¸É.«ÄÃ EgÀÄªÀ ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß qÁæ¬ÄAUï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É gÀa¹ PÀvÀÛj¹, CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß avÀæ 4.11 gÀ°ègÀÄªÀAvÉ eÉÆÃr¹. ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ vÁæ¦dåªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j. (¥ÀjÃQë¹).

avÀæ 4.11

68 UÀtÂvÀ

E°è ÀªÀiÁAvÀgÀ ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅªÀÅ? ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄªÁVgÀ¨ÉÃPÉ? EzÉÃ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ E£ÀÄß JgÀqÀÄ vÁæ¦dåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ CªÀÅUÀ¼À DPÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ZÀað¹.

2. ¤ªÀÄä ¸ÉßÃ»vÀgÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ G¥ÀPÀgÀt ¥ÉnÖUÉ¬ÄAzÀ £Á®ÄÌ ªÀÄÆ¯ÉªÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è CPÀÌ¥ÀPÀÌ eÉÆÃr¸ÀÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ ««zsÀ vÁæ¦dåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉ¬Äj.

vÁæ¦dåzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀgÉ CzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦då J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ¤ªÀÄä eÉÆÃqÀuÉUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ vÁæ¦dåªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¢gÀÄ«gÁ?

4.4.2. ¥ÀvÀAUÀ :

¥ÀvÀAUÀªÀÅ MAzÀÄ «±ÉÃµÀ jÃwAiÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ avÀæzÀ°è MAzÉÃ jÃwAiÀÄ UÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁrgÀÄªÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ AB = AD ªÀÄvÀÄÛ BC = CD.

EªÀÅ ¥ÀvÀAUÀUÀ¼ÀÄ EªÀÅ ¥ÀvÀAUÀUÀ¼À®è.

ªÉÄÃ°£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁå¸À ªÀiÁr ¥ÀvÀAUÀ JAzÀgÉÃ£ÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß «ªÀj¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹ EªÀÅUÀ¼À°è UÀªÀÄ¤¸À¨ÉÃPÁzÀzÀÄÝ :

1. MAzÀÄ ¥ÀvÀAUÀªÀÅ 4 ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ [CzÀÄ MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd].

2. ¥ÀvÀAUÀzÀ°è ¤¢ðµÀÖªÁV JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ°è ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

ªÀiÁr £ÉÆÃr

MAzÀÄ zÀ¥Àà ©½ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¨Áj ªÀÄr¹.

avÀæ 4.12gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ JgÀqÀÄ ¨ÉÃgÉ ÉÃgÉ GzÀÝzÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj.

ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß AB ªÀÄvÀÄÛ BC ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝPÀÆÌ PÀvÀÛj¹ ªÀÄvÀÄÛ ©r¹.

� ABC ªÀÄvÀÄÛ

� ADC UÀ¼ÀÄ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ JAzÀÄvÉÆÃj¹.EzÀjAzÀ £ÁªÀÅK£ÉAzÀÄ wÃªÀiÁð-¤¸À§ºÀÄzÀÄ?

avÀæ 4.12


FUÀ ¥ÀvÀAUÀzÀ DPÀÈw zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. (avÀæ 4.13) ¥ÀvÀAUÀªÀÅ gÉÃSÁ ¸ÀªÀÄ«ÄwAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉAiÉÄÃ?

¥ÀvÀAUÀªÀ£ÀÄß CzÀgÀ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀÄr¹. ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁV PÀvÀÛj¸ÀÄªÀÅzÉÃ? ¥ÀjÃQë¹.

PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVªÉAiÉÄÃ?

ºÁ¼ÉAiÀÄ DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄr¸ÀÄªÀ CxÀªÁ C¼ÀvÉ ªÀiÁqÀÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄªÀÅzÉ?

¥ÀvÀAUÀzÀ MAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀzÀ ªÉÄÃ¯É ºÉÆAzÀÄªÀAvÉ ªÀÄr¸ÀÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVªÉAiÉÄ JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹.

PÀtðUÀ¼À ªÉÄÃ°£À ªÀÄrPÉAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹; D PÀtðUÀ¼ÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß C¢üð¸ÀÄªÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉAiÉÄ?

¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ»rzÀ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß EvÀgÀgÉÆA¢UÉ ºÀAaPÉÆ½î ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁr. F ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À ¸ÁgÁA±ÀªÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä ¥ÀgÁªÀÄ±ÉðUÁV F CzsÁåAiÀÄzÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀÜ¼ÀzÀ°è PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

avÀæ 4.13

4.4.3 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd CzÀgÀ ºÉ¸ÀgÉÃ ºÉÃ¼ÀÄªÀAvÉ, CzÀgÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀæªÀÄÄR ¥ÁvÀæ ªÀ»¹ªÉ.

AB || DC

AD || BCAB || CD

PQ || SR

QR || PS

R

S

P

LM || PN

LP || MN

AB || ED

BC || FE

EªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ EªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À®è

F ªÉÄÃ°£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁrzÀ £ÀAvÀgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ CxÀðªÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä ¸ÀéAvÀ ªÁPÀåzÀ°è «ªÀj¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¤ªÀÄä «ÃPÀëuÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉßÃ»vÀgÉÆA¢UÉ ºÀAaPÉÆ½î. DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÉÃ? ¥ÀjÃQë¹.

70 UÀtÂvÀ

EzÀ£ÀÄß ªÀiÁr

¨ÉÃgÉ ÉÃgÉ CUÀ®UÀ¼ÀÄ¼Àî DAiÀÄvÀPÁgÀzÀ gÀnÖ£À JgÀqÀÄ ¥ÀnÖUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î (avÀæ 4.14)

¥ÀnÖ - 1 ¥ÀnÖ - 2

avÀæ 4.14

MAzÀÄ ¥ÀnÖAiÀÄ£ÀÄß CqÀØ¯ÁVlÄÖ CzÀgÀ CAZÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. (avÀæ 4.15) FUÀ EzÉÃ gÉÃSÉUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ¸Àé®à NgÉAiÀiÁV E£ÉÆßAzÀÄ ¥ÀnÖAiÀÄ¤ßlÄÖ CzÀgÀ CAZÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. (avÀæ 4.16).

F £Á®ÄÌ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ DªÀÈvÀªÁV MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß GAlÄªÀiÁqÀÄvÀÛªÉ. F ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ½AzÀ GAmÁVzÉ. (avÀæ. 4.17)

avÀæ 4.15

avÀæ 4.16 avÀæ 4.17

EzÀÄ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ. "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ, C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄªÀ MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

4.4.4 MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ CA±ÀUÀ¼ÀÄ :

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ £Á®ÄÌ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ EªÉ. CzÀgÀ°è PÉ®ªÀÅ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. F CA±ÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ºÉÆA¢PÉÆArgÀÄªÀ, £ÁªÀÅ £É£À¦£À°è ElÄÖPÉÆ¼Àî¯ÉÃ¨ÉÃPÁzÀ, PÉ®ªÀÅ CA±ÀUÀ½ªÉ.

PÉÆnÖgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD (avÀæ 4.18) AiÀÄ°è,

AB ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼ÀÄ "C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ". AD ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ eÉÆvÉ "C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ"UÀ¼ÁVªÉ.

avÀæ 4.18


∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠C UÀ¼ÀÄ MAzÀÄ eÉÆvÉ "C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ" ; ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ eÉÆvÉ "C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£À"UÀ¼ÁVªÉ.

AB ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼ÀÄ "¥Á±Àéð¨ÁºÀÄ"UÀ¼ÀÄ. CAzÀgÉ MAzÀÄ ÁºÀÄ«£À CAvÀå©AzÀÄ«¤AzÀ

ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨ÁºÀÄ DgÀA¨sÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. BC ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼ÀÄ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼É? E£ÀÆß JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¥Á±Àéð¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀvÉÛ ªÀiÁqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.

∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠B, UÀ¼ÀÄ ¥Á±ÀéðPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ. CªÀÅ MAzÀÄ ÁºÀÄ«£À CAvÀå©AzÀÄUÀ¼À°ègÀÄªÀ JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ. ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠CUÀ¼ÀÆ ÀºÀ ¥Á±ÀéðPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ. ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°ègÀÄªÀ, G½¢gÀÄªÀ ¥Á±ÀéðPÉÆÃ£ÀUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

ªÀiÁr £ÉÆÃr

ABCD ªÀÄvÀÄÛ A'B'C'D' UÀ¼ÉA§ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À gÀnÖ£À ªÀiÁzÀjUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î (avÀæ 4.19)

avÀæ. 4.19

E°è AB AiÀÄÄ A B’ ’ UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉ. ºÉ¸ÀgÀÄ ªÀiÁvÀæ ¨ÉÃgÉ DVzÉ. ºÁUÉAiÉÄÃ, ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼À eÉÆvÉAiÀÄÆ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉ.

A B’ ’ C£ÀÄß DC ªÉÄÃ¯É Er. CªÀÅ LPÀåUÉÆ¼ÀÄîvÀÛªÉAiÉÄÃ? FUÀ ¤ÃªÀÅ AB ªÀÄvÀÄÛ

DC UÀ¼À GzÀÝUÀ¼À §UÉÎ K£ÀÄ w½AiÀÄÄ«j?

ºÁUÉAiÉÄÃ AD ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼À GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß PÁtÄ«j?

FUÀ ¤ÃªÀÅ AB ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À£ÀÄß C¼ÉAiÀÄÄªÀ ªÀÄÆ®PÀªÀÇ EzÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.

®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ."

PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ 30°– 60°– 90° EgÀÄªÀ JgÀqÀÄ MAzÉÃ jÃwAiÀÄ ªÀÄÆ¯ÉªÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß (set squares) vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß CPÀÌ¥ÀPÀÌzÀ°è avÀæ 4.20gÀ°è vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ

eÉÆÃr¹. EzÀÄ ¤ªÀÄUÉ ªÉÄÃ°£À ®PÀëtªÀ£ÀÄß vÁ¼É £ÉÆÃqÀ®Ä

¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀÄªÀÅzÉÃ?


avÀæ. 4.20

72 UÀtÂvÀ

¤ÃªÀÅ F D¯ÉÆÃZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀªÀÄAd¸ÀªÁzÀ vÀPÀð¢AzÀ zÀÈrüÃPÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD (avÀæ. 4.21) AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ

PÀtðªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (EzÀÄ AC DVgÀ°)

PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß «ÃQë¹,

∠1 = ∠2 ªÀÄvÀÄÛ ∠3 = ∠4......(KPÉ?)

∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ADC UÀ¼À°è,

∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4

ªÀÄvÀÄÛ AC AiÀÄÄ G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå DzÀÝjAzÀ, PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. (ASA) ¹zÁÞAvÀzÀ ¥ÀæPÁgÀ

∆ ≅ ∆ABC ADC (E°è PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ.ªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ §¼À¹zÉ?)

EzÀjAzÀ, AB DC= ªÀÄvÀÄÛ BC AD=

GzÁºÀgÀuÉ 3 : avÀæ 4.22 gÀ°è, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd PQRS £À ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è, C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

∴ PQ = SR = 12 ¸ÉA.«ÄÃ ªÀÄvÀÄÛ

QR = PS = 7 ¸ÉA.«ÄÃ

DzÀÝjAzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉ = PQ + QR + RS + SP

= 12 ÉA.«ÄÃ + 7 ÉA.«ÄÃ + 12 ÉA.«ÄÃ + 7 ÉA.«ÄÃ

= 38 ¸ÉA.«ÄÃ.

4.4.5 ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ :

£ÁªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ MAzÀÄ ®PÀëtªÀ£ÀÄß

PÀ°wzÉÝÃªÉ. PÉÆÃ£ÀUÀ¼À §UÉÎ £ÁªÀÅ K£ÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.?

avÀæ. 4.21

avÀæ 4.22


ªÀiÁr £ÉÆÃr

ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ

ZÀvÀÄ¨sÀÄðd DVgÀ°. (avÀæ 4.23).

EzÀ£ÀÄß MAzÀÄ mÉæÃ¹AUï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É

¥ÀæwAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉ¬Äj. F ¥ÀæwAiÀÄ£ÀÄß

A'B'C'D' JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹. A'B'C'D' C£ÀÄß ABCD AiÀÄ ªÉÄÃ¯É Er.

PÀtðUÀ¼ÀÄ ÀA¢ü¸ÀÄªÀ ©AzÀÄ«£À°è JgÀqÀÄ

avÀæUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ ¸ÀÆf¬ÄAzÀ §A¢ü¹.

FUÀ mÉæÃ¹AUï ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß 180° AiÀÄ°è wgÀÄV¹. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÉÛ ¸ÀªÀiÁUÀvÀUÉÆ¼ÀÄîvÀÛªÉ; DzÀgÉ A' ¸ÀjAiÀiÁV C ©AzÀÄ«£À ªÉÄÃ°gÀÄvÀÛzÉ.

ºÁUÉAiÉÄÃ B' ¸ÀjAiÀiÁV D ©AzÀÄ«£À ªÉÄÃ°gÀÄvÀÛzÉ. F UÀÄtªÀÅ

«¥ÀAiÀÄðAiÀÄªÁVAiÀÄÆ EgÀÄªÀÅzÀÄ.

avÀæ 4.23

EzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁzÀ A ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À §UÉÎ K£ÁzÀgÀÆ w½AiÀÄÄvÀÛzÉAiÉÄ? ºÁUÉAiÉÄÃ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁzÀ B ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼À §UÉÎAiÀÄÆ ¥ÀjÃQë¹.

®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ."

PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ 30° – 60° – 90° EgÀÄªÀ MAzÉÃ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ JgÀqÀÄ ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ »A¢£ÀAvÉAiÉÄÃ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ªÀÄÆr¹. FUÀ ¥ÀqÉ¢gÀÄªÀ eÉÆÃqÀuÉ¬ÄAzÀ ªÉÄÃ°£À ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À®Ä ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁUÀÄªÀÅzÉÃ?


F ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄAd¸ÀªÁzÀ vÀPÀð¢AzÀ®Æ ¤gÀÆ¦¸À§ºÀÄzÀÄ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD AiÀÄ°è (avÀæ 4.24).

AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ

∠1 = ∠2 ªÀÄvÀÄÛ ∠3 = ∠4 (KPÉ?)

avÀæ 4.24

∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ADC UÀ¼À£ÀÄß (avÀæ 4.25) ¥ÀævÉåÃPÀªÁV CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀjAzÀ,

PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¤§AzsÀ£ÉAiÀÄÄ F CA±À w½AiÀÄ®Ä ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.

∆ ≅ ∆ABC ACD (ºÉÃUÉ?)

74 UÀtÂvÀ

avÀæ 4.25

EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.EzÉÃ jÃwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ m∠A = m∠C JAzÀÄ ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

¥ÀAiÀiÁðAiÀÄªÁV ∠1 = ∠2 ªÀÄvÀÄÛ ∠3 = ∠4 DzÀÝjAzÀ m∠A = ∠1 + ∠4 =∠2 + ∠CGzÁºÀgÀuÉ 4 : avÀæ 4.26 gÀ°è BEST MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd x, y ªÀÄvÀÄÛ z

¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : S, B UÉ C©üªÀÄÄRªÁVzÉ.

DzÀÝjAzÀ, x = 100° .......(C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀzÀ UÀÄt)

y = 100° .......(x £À C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆÃ£À) z = 80° .......(KPÉAzÀgÉ∠y ªÀÄvÀÄÛ ∠z UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä) FUÀ £ÀªÀÄä UÀªÀÄ£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ

¥Á±ÀéðPÉÆÃ£ÀUÀ¼À PÀqÉUÉ wgÀÄV¹zÁUÀ,

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD AiÀÄ°è (avÀæ 4.27) ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠D UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆÃ£À ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÀÄ

KPÉAzÀgÉ DC AB|| ªÀÄvÀÄÛ DA bÉÃzÀPÀ, F

JgÀqÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁVªÉ.

∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠B UÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆÃ£À ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVªÉ. KPÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼À§°ègÁ? AD || BC ªÀÄvÀÄÛ BA bÉÃzÀPÀ, EzÀjAzÀ ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠B UÀ¼ÀÄ CAvÀgÁ©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁVªÉ.

avÀæ¢AzÀ, E£ÀÆß JgÀqÀÄ eÉÆvÉ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆÃ£À ¥ÀÆgÀPÀPÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

avÀæ 4.26

avÀæ 4.27

®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ¥Á±Àéð PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆÃ£À ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ"

GzÁºÀgÀuÉ 5 : ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd RING zÀ°è (avÀæ.4.28). m∠R = 70° G½zÀ J¯Áè PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : m∠R = 70° DzÀÝjAzÀ m∠N = 70° avÀæ.4.28


KPÉAzÀgÉ, ∠R ªÀÄvÀÄÛ ∠N UÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄRPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ.

∠R ªÀÄvÀÄÛ ∠I UÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀPÉÆÃ£À ¥ÀÆgÀPÀUÀ¼ÁVªÉ, m∠I = 180° – 70° = 110°

ºÁUÀÆ, m∠G = 110° KPÉAzÀgÉ ∠G AiÀÄÄ ∠I UÉ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£À

DzÀÝjAzÀ, m∠R = m∠N = 70° ªÀÄvÀÄÛ m∠I = m∠G = 110°


m∠R = m∠N = 70° JAzÀÄ vÉÆÃj¹zÀ £ÀAvÀgÀ m∠I ªÀÄvÀÄÛ m∠G UÀ¼À£ÀÄß ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÉ?

4.4.6. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ :

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅ¢®è. (EzÀ£ÀÄß ¤ªÀÄä »A¢£À ZÀlÄªÀnPÉUÀ¼À°è UÀªÀÄ¤¹¢ÝÃgÁ?). DzÀgÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

ªÀiÁr £ÉÆÃr

PÁUÀzÀ¢AzÀ PÀvÀÛj¹ vÀAiÀiÁj¹zÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. CzÀÄ ABCD DVgÀ°. CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÁzÀ AC ªÀÄvÀÄÛ BD

UÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À° (avÀæ. 4.29)C ©AzÀÄªÀÅ A ©AzÀÄ«£À ªÉÄÃ°gÀÄªÀAvÉ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄr¹

AC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. CzÀÄ 'O' ©AzÀÄªÉÃ DVzÉAiÉÄÃ?

F CA±ÀªÀÅ PÀtð DB AiÀÄÄ PÀtð AC AiÀÄ£ÀÄß 'O' ©AzÀÄ«£À°è C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀÄªÀÅzÉÃ? ¤ªÀÄä ¸ÉßÃ»vÀgÉÆA¢UÉ EzÀ£ÀÄß ZÀað¹. ªÉÄ°£À ZÀlÄªÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹ DB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.

avÀæ 4.29

®PÀët : "¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ". (CzÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ bÉÃ¢¸ÀÄªÀ ©AzÀÄ«£À°èAiÉÄÃ EgÀÄvÀÛzÉ!)

76 UÀtÂvÀ

F ®PÀëtªÀ£ÀÄß ZÀað¹ ¸ÀªÀÄyð¸ÀÄªÀÅzÀÄ vÀÄA¨Á PÀµÀÖPÀgÀªÉÃ¤®è. avÀæ 4.30 gÀ°è PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ. ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß C£Àé¬Ä¹ £ÉÆÃqÀ®Ä §ºÀ¼À ¸ÀÄ®¨sÀªÁVzÉ.

∆ ≅ ∆AOB COD (E°è PÉÆÃ.¨Á.PÉÆÃ.

ªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ §¼À¹zÉ?)

EzÀjAzÀ AO = CO ªÀÄvÀÄÛ BO = DO JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

avÀæ 4.30

GzÁºÀgÀuÉ 6 : avÀæ 4.31 gÀ°è HELP MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd. (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.£À°èªÉ) OE = 4 ªÀÄvÀÄÛ HL, PE VAvÀ 5 ºÉZÁÑVzÉ.

OH £À GzÀÝ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : OE = 4 ∴ OP = 4 (KPÉ?) ºÁUÁV, PE = 8 (KPÉ?) DzÀÝjAzÀ HL = 8 + 5 = 13

OH = ×12

13

= 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

avÀæ 4.31

C¨sÁå¸À 4.3

1. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD AiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

PÉ¼ÀV£À ºÉÃ½PÉUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ªÁåSÉå CxÀªÁ UÀÄtªÀ£ÀÄß §¼À¹ ¥ÀÆtðUÉÆ½¹.

(i) AD = .........

(ii) ∠DCB = ........

(iii) OC = .........

(iv) m∠DAB + m∠CDA = .......


2. PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À°è, CªÀåPÀÛ¥ÀzÀUÀ¼ÁzÀ x, y, z UÀ¼À ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (ii)

30

(iii) (iv)

(v) 3. ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD AiÀÄ°è PÉ¼ÀV£ÀAvÉ DzÁUÀ CzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁUÀ§ºÀÄzÉÃ?

(i) ∠D + ∠B = 180° (ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4 cm ªÀÄvÀÄÛ BC = 4.4 cm (iii) ∠A = 70° ªÀÄvÀÄÛ ∠C = 65° 4. JgÀqÀÄ C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ®èzÀ MAzÀÄ

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ PÀZÁÑ avÀæªÀ£ÀÄß §gÉ¬Äj.

5. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è JgÀqÀÄ ¥Á±ÀéðPÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ 3:2 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

6. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è JgÀqÀÄ ¥Á±ÀéðPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. ¥ÀPÀÌzÀ°è PÉÆnÖgÀÄªÀ avÀæ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd HOPE DVzÉ. PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÁzÀ x, y, ªÀÄvÀÄÛ z£À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä §¼À¹zÀ UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß w½¹.

78 UÀtÂvÀ

8. PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ avÀæUÀ¼ÁzÀ GUNS ªÀÄvÀÄÛ RUNS ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÁVªÉ. x ªÀÄvÀÄÛ y UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.£À°èªÉ)

(i) (ii)

9.

ªÉÄÃ°£À avÀæzÀ°è, RISK ªÀÄvÀÄÛ CLUE ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ, x£À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

10. PÉ¼ÀV£À avÀæ ºÉÃUÉ vÁæ¦dåªÁUÀÄvÀÛzÉ? «ªÀj¹. AiÀiÁªÀ MAzÀÄ eÉÆvÉ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVªÉ? (avÀæ. 4.32)

avÀæ. 4.32

11. avÀæ 4.33 gÀ°è, AB DC|| DzÀgÉ m∠C AiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

avÀæ. 4.33

12. avÀæ 4.34 gÀ°è, SP RQ|| DzÀgÉ ∠P ªÀÄvÀÄÛ ∠S UÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (m∠R £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»rzÀ £ÀAvÀgÀ m∠P PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ «zsÁ£ÀUÀ¼ÀÄ EªÉAiÉÄÃ?)

avÀæ. 4.34

4.5 PÉ®ªÀÅ «±ÉÃµÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ.

4.5.1. ªÀeÁæPÀÈw

¥ÀvÀAUÀzÀ (¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁV®è¢gÀÄªÀÅzÀÄ) MAzÀÄ «±ÉÃµÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è PÁgÀt¢AzÀ £ÁªÀÅ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. (MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd)


ªÀiÁr £ÉÆÃr

PÁUÀzÀzÀ PÀvÀÛj¸ÀÄ«PÉ¬ÄAzÀ vÀAiÀiÁj¹zÀ ¥ÀvÀAUÀªÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ½î.

¥ÀvÀAUÀzÀ PÀvÀÛj¸ÀÄ«PÉ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀvÀÛj¸ÀÄ«PÉABC AiÀÄ GzÀÝPÀÆÌ PÀvÀÛj¹zÁUÀ ¤ªÀÄUÉ "¥ÀvÀAUÀ" zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. E°è AB ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼ÀÄ «©ü£Àß C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.

AB = BC EgÀÄªÀAvÉ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀÄ PÀvÀÛj¹zÁUÀ "ªÀeÁæPÀÈw" JA§ «±ÉÃµÀ ¥ÀvÀAUÀ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹; EzÀÄ ¥ÀvÀAUÀzÀ «µÀAiÀÄzÀ°è ªÀiÁvÀæ DUÀÄªÀÅ¢®è.

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄÄ J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVzÉ.

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÇ DVzÉ. DzÀÝjAzÀ "MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀvÀAUÀzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ". CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. £ÀAvÀgÀ ¤ÃªÀÅ F UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß EzÉÃ CzsÁåAiÀÄzÀ°è F ªÉÆzÀ®Ä ¥ÀqÉzÀ C©ü¥ÁæAiÀÄUÀ¼ÉÆA¢UÉ vÁ¼É £ÉÆÃr. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è PÀtðUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ UÀÄtªÉÃ CvÀåAvÀ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ.

¥ÀvÀAUÀ ªÀeÁæPÀÈw

®PÀët : "ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ."

ªÀiÁr £ÉÆÃr

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß PÁUÀzÀzÀ°è PÀvÀÛj¹ vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. CzÀ£ÀÄß ªÀÄr¸ÀÄªÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀtðUÀ¼À bÉÃzÀPÀ ©AzÀÄªÉÃ ¥Àæw PÀtðzÀ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹. ªÀÄÆ¯ÉªÀÄlÖªÀ£ÀÄß §¼À¹ CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆÃ£ÀzÀ°è C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÆ UÀªÀÄ¤¸À§ºÀÄzÀÄ.

80 UÀtÂvÀ

F UÀÄtªÀ£ÀÄß ¤dªÉAzÀÄ vÀPÀðzÀ ªÀÄÆ®PÀ ¸ÀªÀÄyð¸À¯ÁVzÉ.

ABCD MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw (avÀæ 4.35) CzÀÝjAzÀ¯ÉÃ CzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÇ DVzÉ.

PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ,

OA = OC ªÀÄvÀÄÛ OB = OD DUÀÄvÀÛzÉ.FUÀ m∠AOD = m∠COD = 90° JAzÀÄ vÉÆÃj¸À¨ÉÃPÀÄ. wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄt¢AzÀ,

∆ ≅ ∆AOD COD avÀæ 4.35

DzÀÝjAzÀ, m∠AOD = m∠COD ∠AOD ªÀÄvÀÄÛ ∠COD UÀ¼ÀÄ

¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀäUÀ¼ÁVªÉ.

∴ m∠AOD = m∠COD = 90°

KPÉAzÀgÉ AO = CO KPÉ? AD = CD KPÉ? OD = OD

GzÁºÀgÀuÉ 7 : RICE MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw (avÀæ. 4.36), x, y, z UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ¤ªÀÄä GvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¹.

¥ÀjºÁgÀ : x = OE = OI .......(PÀtðUÀ¼ÀÄ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.)

= 5 y = OR = OC (PÀtðUÀ¼ÀÄ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.)

= 12

z = ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ ¨ÁºÀÄ

= 13 (J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ) avÀæ 4.36

4.5.2. DAiÀÄvÀ

J¯Áè PÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß "DAiÀÄvÀ" J£ÀÄßªÀgÀÄ.

F ªÁåSÉåAiÀÄ ¸ÀA¥ÀÆtð CxÀðªÉÃ£ÀÄ? ¤ªÀÄä ¸ÉßÃ»vÀgÉÆA¢UÉ ZÀað¹.

DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄªÁVgÀ®Ä ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ J¶ÖgÀ¨ÉÃPÀÄ?

DAiÀÄvÀzÀ ¥Àæw PÉÆÃ£ÀzÀ C¼ÀvÉ = x°ºÁUÁzÀgÉ, 4x° = 360°.......(KPÉ?)DzÀÝjAzÀ x° = 90°

avÀæ 4.37

CAzÀgÉ, DAiÀÄvÀzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀÅ ®A§PÉÆÃ£ÀªÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ, DAiÀÄvÀªÀÅ, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀÅ ®A§PÉÆÃ£ÀªÁVgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.


DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÄÝ. CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ «©ü£Àß GzÀÝzÀ°ègÀ§ºÀÄzÀÄ. (EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹); DzÀgÉ D±ÀÑAiÀÄðªÉAzÀgÉ, DAiÀÄvÀªÀÅ (MAzÀÄ «±ÉÃµÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðªÁzÀ PÁgÀt) ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ.

®PÀët : "DAiÀÄvÀzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ."

avÀæ 4.38 avÀæ 4.39 avÀæ 4.40

EzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄyð¸ÀÄªÀÅzÀÄ §ºÀ¼À ¸ÀÄ®¨sÀ. ABCD AiÀÄÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁzÀgÉ, (avÀæ 4.38), ∆ABCD ªÀÄvÀÄÛ ∆ABD wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV UÀªÀÄ¤¹zÁUÀ, [(avÀæ. 4.39) ªÀÄvÀÄÛ (avÀæ 4.40) PÀæªÀÄªÁV]

∆ ≅ ∆ABC ABD JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.

EzÀÄ ºÉÃUÉAzÀgÉ, AB = AB ......(G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå)

BC = AD ......(KPÉ?)

m∠B = m∠A = 90° .......(KPÉ?) EzÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ ¨Á.PÉÆÃ.¨Á ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄtzÀ C£ÀÄ¸ÁgÀªÁV

∆ ≅ ∆ABC ABD

CAzÀgÉ AC = BD

"DAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀÅzÀgÀ eÉÆvÉUÉ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ." (KPÉ?)

GzÁºÀgÀuÉ 8 : avÀæ 4.41 gÀ°è RENT MAzÀÄ DAiÀÄvÀ CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ 'O' ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¹ªÉ. OR = 2x + 4 ªÀÄvÀÄÛ OT = 3x + 1 DzÀgÉ x £À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : OT ¨ÁºÀÄªÀÅ TE AiÀÄ CzsÀðzÀ¶ÖzÉ.

OR ¨ÁºÀÄªÀÅ RN £À CzsÀðzÀ¶ÖzÉ.

DAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ. (KPÉ?)

CAzÀgÉ PÀtðzÀ CzsÀðUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

DzÀÝjAzÀ, 3x + 1 = 2x + 4 CxÀªÁ x = 3 avÀæ 4.41

A

D

BA

C

B

82 UÀtÂvÀ

4.5.3. ZËPÀ (SQUARE)J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÆ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ DAiÀÄvÀªÉÃ 'ZËPÀ'. ZËPÀªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÄÝ CzÀgÉÆA¢UÉ J¯Áè ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ£ÁVªÉ JA§ CªÀ±ÀåPÀ «±ÉÃµÀ UÀÄtªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

ZËPÀªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ°è EgÀÄªÀAvÉAiÉÄÃ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ.

DAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ®A§ªÁVgÀÄªÀÅzÀÄ CªÀ±ÀåPÀªÁV®è. (EzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹)

ZËPÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ,

(i) ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.....(ZËPÀªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd)

(ii) ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.....(ZËPÀªÀÅ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVzÉ) ªÀÄvÀÄÛ

(iii) ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉ.

DzÀÝjAzÀ F PÉ¼ÀV£À ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

®PÀët : "ZËPÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ."

ªÀiÁr £ÉÆÃr

MAzÀÄ ZËPÁPÁgÀzÀ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. (avÀæ. 4.42) CzÀÄ PQRS CzÀ£ÀÄß PÀtðUÀ¼À ªÉÄÃ¯É ªÀÄr¹. JgÀqÀÆ PÀtðUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ MAzÉÃ DVzÉAiÉÄÃ?

'O' ©AzÀÄ«£À°è PÉÆÃ£ÀªÀÅ 90° UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉAiÉÄÃ JAzÀÄ ªÀÄÆ¯É ªÀÄlÖ¢AzÀ ¥ÀjÃQë¹.

»ÃUÉ ªÉÄÃ¯É ºÉÃ½gÀÄªÀ UÀÄtªÀÅ ¸ÀªÀÄyð¸À®àqÀÄvÀÛzÉ.

avÀæ. 4.42

F ®PÀëtªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄAd¸ÀªÁzÀ vÀPÀð¢AzÀ ZÀZÉðAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀªÀÇ ¸ÀªÀÄyð¸À§ºÀÄzÀÄ.

ABCD ZËPÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ 'O' ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄwÛªÉ. (avÀæ 4.43)

OA = OC....(KPÉAzÀgÉ ZËPÀªÀÅ MAzÀÄ ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd)

wæ¨sÀÄdUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¨Á.¨Á.¨Á. ¤zsÁðgÀPÀ UÀÄt¢AzÀ∆ ≅ ∆AOD COD JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ (ºÉÃUÉ)

CAzÀgÉ, m∠AOD = m∠CODDzÀgÉ F PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀäUÀ¼ÁVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ ¥Àæw

PÉÆÃ£ÀªÀÅ 90° UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.

BELT MAzÀÄ ZËPÀªÁVzÉ, BE = EL = LT = TB.∠B = ∠E = ∠L = ∠T EªÀÅ ®A§PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ.

BL = ET ªÀÄvÀÄÛ BL ET⊥

OB = OL ªÀÄvÀÄÛ OE = OT

avÀæ 4.43


C¨sÁå¸À 4.4

1. PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ ºÉÃ½PÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀjAiÉÄÃ, vÀ¥ÉàÃ w½¹.

(a) J¯Áè DAiÀÄvÀUÀ¼ÀÆ ZËPÀUÀ¼ÁVªÉ. (b) J¯Áè ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÄ. (c) J¯Áè ZËPÀUÀ¼ÀÄ, ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÀÆ ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄvÀUÀ¼ÉÃ DVgÀÄvÀÛªÉ. (d) J¯Áè ZËPÀUÀ¼ÀÄ, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À®è. (e) J¯Áè ¥ÀvÀAUÀUÀ¼ÀÄ ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (f) J¯Áè ªÀeÁæPÀÈwUÀ¼ÀÆ ¥ÀvÀAUÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ. (g) J¯Áè ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼ÀÆ vÁæ¦dåUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. (h) J¯Áè ZËPÀUÀ¼ÀÆ vÁæ¦dåUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. 2. PÉ¼ÀV£ÀAvÉ CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

(a) ¸ÀªÀÄªÁzÀ £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ (b) £Á®ÄÌ ®A§PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ

3. ZËPÀªÀÅ AiÀiÁªÁUÀ F PÉ¼ÀV£À DPÀÈwAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ? «ªÀj¹.

(i) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd (ii) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd (iii) ªÀeÁæPÀÈw (iv) DAiÀÄvÀ 4. PÉ¼ÀV£À ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¹.

(a) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ. (b) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

(c) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.

5. DAiÀÄvÀªÀÅ MAzÀÄ §»ªÀðPÀæ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁVgÀ®Ä PÁgÀtªÀ£ÀÄß «ªÀj¹.

6. ABC AiÀÄÄ MAzÀÄ ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdªÁVzÀÄÝ, 'O' ©AzÀÄªÀÅ ®A§PÉÆÃ£ÀPÉÌ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄ«£À ªÀÄzsÀå©AzÀÄªÁVzÉ. 'O' ©AzÀÄªÀÅ A,B ªÀÄvÀÄÛ C ©AzÀÄUÀ½AzÀ ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°èzÉ KPÉ? «ªÀj¹. (¤ªÀÄUÉ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀ®Ä ZÀÄPÉÌ UÉgÉUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ¯ÁVzÉ.)


1. M§â UÁgÉ PÉ®¸ÀzÀªÀ£ÀÄ ºÁ¸ÀÄUÀ®è£ÀÄß PÁAQæÃmï¤AzÀ vÀAiÀiÁj¹zÁÝ£É. CªÀ¤UÉ CzÀÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVgÀ¨ÉÃQzÉ. CªÀ£ÀÄ AiÀiÁªÀ AiÀiÁªÀ «zsÁ£ÀUÀ½AzÀ CzÀÄ DAiÀÄvÀªÉAzÀÄ zsÀÈqsÀ¥Àr¹PÉÆ¼Àî§ºÀÄzÀÄ?

2. ZËPÀªÀ£ÀÄß J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ DAiÀÄvÀªÉAzÀÄ ªÁåSÁå¤¹zÉ. CzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄPÉÆÃ¤ÃAiÀÄªÁVgÀÄªÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÉÄAzÀÄ ªÁåSÁå¤¸À§ºÀÄzÉÃ? F AiÉÆÃZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß D«µÀÌj¹.

3. MAzÀÄ vÁæ¦dåªÀÅ vÀ£Àß J¯Áè PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀAvÉ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÉ? CzÀÄ vÀ£Àß J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄªÀAvÉ ºÉÆAzÀ§ºÀÄzÉ? «ªÀj¹.

84 UÀtÂvÀ

¸ÁgÁA±À

ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ®PÀëtUÀ¼ÀÄ

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd: C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ Àª À iÁAv Àg ÀªÁVg À Äª À ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

1. C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.

2. C©üªÀÄÄR PÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.

3. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

ªÀeÁæPÀÈw : J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

1. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼ÀÄ.

2. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV EgÀÄvÀÛªÉ.

DAiÀÄvÀ : MAzÀÄ PÉÆÃ£À ®A§PÉÆÃ£ÀªÁVgÀÄª À ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

1. ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ J¯Áè UÀÄtUÀ¼ÀÄ.

2. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀÅ 90° UÉ ¸ÀªÀÄ.

3. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.

ZËPÀ : J¯Áè ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ DAiÀÄvÀ.

¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd, ªÀeÁæPÀÈw ªÀÄvÀÄÛ DAiÀÄvÀUÀ¼À J¯Áè UÀÄtUÀ¼ÀÄ

¥ÀvÀAUÀ : JgÀqÉÃ JgÀqÀÄ eÉÆvÉ C£ÀÄPÀæªÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

1. PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV EgÀÄvÀÛªÉ.

2. MAzÀÄ PÀtðªÀÅ ªÀiÁvÀæ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.

3. (avÀæzÀ°è) m∠B = m∠D ªÀÄvÀÄÛ m∠A ≠ m∠C

5.1 ¦ÃpPÉ

¤ªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀAvÉ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð = ¨ÁºÀÄ × ¨ÁºÀÄ (E°è `¨ÁºÀÄ' JAzÀgÉ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ) PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀªÀ£ÀÄß C¨sÀå¹¹.

ZËPÀzÀ ¨ÁºÀÄ (¸ÉA.«ÄÃ) ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð (ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ)

1 1 × 1 = 1 = 12

2 2 × 2 = 4 = 22

3 3 × 3 = 9 = 32

5 5 × 5 = 25 = 52

8 8 × 8 = 64 = 82

a a × a = a2

4, 9, 25, 64 ªÀÄvÀÄÛ EAvÀºÀ EvÀgÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À «±ÉÃµÀvÉ K£ÀÄ?

4 £ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ 2 × 2 = 22, 9£ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ, 3 × 3 = 32. MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß CzÉÃ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹ F jÃwAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

1, 4, 9, 16, 25 ...... F jÃwAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄªÀgÀÄ.

¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÉgÀqÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ m £ÀÄß n2 JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÁzÀgÉ m MAzÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

32 MAzÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÉÄÃ?

£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀAvÉ 52 = 25 ªÀÄvÀÄÛ 62 = 36. MAzÀÄ ªÉÃ¼É 32 ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀiÁVzÁÝgÉ EzÀÄ 5 ªÀÄvÀÄÛ 6gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÁVgÀ¯ÉÃ¨ÉÃPÀÄ. DzÀgÉ 5 ªÀÄvÀÄÛ 6 gÀ £ÀqÀÄªÉ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸Á¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå EgÀÄªÀÅ¢®è.

DzÀÝjAzÀ 32 MAzÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ®è.

CzsÁåAiÀÄ

5ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ

86 UÀtÂvÀ

PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

¸ÀASÉå ªÀUÀð

1 1 × 1 = 12 2 × 2 = 43 3 × 3 = 94 4 × 4 = 165 5 × 5 = 256 -------------7 -------------8 -------------9 -------------10 -------------

F ªÉÄÃ°£À PÉÆÃµÀÖPÀ¢AzÀ £ÁªÀÅ 1 ªÀÄvÀÄÛ 100 gÀ £ÀqÀÄ«£À ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÉÃ? 100 gÀªÀgÉV£À AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸Áé¨sÁ«PÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ©lÄÖ ºÉÆÃVªÉAiÉÄÃ?

¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄªÀÅzÉÃ£ÉAzÀgÉ, G½zÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÁV®è. 1, 4, 9, 16........ F ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ. EAvÀºÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼ÉAzÀÄ ¸ÀºÀ PÀgÉAiÀÄÄªÀgÀÄ.


F ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 30 ªÀÄvÀÄÛ 40 (ii) 50 ªÀÄvÀÄÛ 60

5.2 ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÀÄ

PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°è 1 jAzÀ 20gÀªÀgÉV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÉÆqÀ¯ÁVzÉ.

¸ÀASÉå ªÀUÀð ¸ÀASÉå ªÀUÀð

1 1 11 1212 4 12 1443 9 13 1694 16 14 1965 25 15 2256 36 16 2567 49 17 2898 64 18 3249 81 19 36110 100 20 400

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 87ªÉÄÃ°£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°ègÀÄªÀ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß C¨sÀå¹¹ D ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À°è CAvÀåzÀ°ègÀÄªÀ (CAzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ) CAQUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ? D J®è ªÀUÀð ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0, 1, 4, 5, 6 CxÀªÁ 9 EªÉ. AiÀiÁªÀÅzÉÃ ªÀUÀð ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2, 3, 7, CxÀªÁ 8 £ÀÄß ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è ºÉÆA¢®è.

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0, 1, 4, 5 6 CxÀªÁ 9 EzÀÝgÉ D ¸ÀASÉåAiÀÄÄ PÀqÁØAiÀÄªÁV ªÀUÀðªÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ? EzÀgÀ §UÉÎ AiÉÆÃa¹.

1. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVªÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ? £ÀªÀÄUÉ ºÉÃUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ?

(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222 (v) 1069 (vi) 2061

©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr CªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À®è JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÁzÀ LzÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

2. ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr CªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ DVªÉ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀzÉÃ EgÀÄªÀ LzÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

F PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀzÀ°ègÀÄªÀ PÉ®ªÀÅ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß C¨sÀå¹¹ ªÀÄvÀÄÛ CªÉgÀqÀgÀ°è£À ©r¸ÁÜ£ÀUÀ¼À£ÀÄß £ÉÆÃr.

PÉÆÃµÀÖPÀ 1

¸ÀASÉå ªÀUÀð ¸ÀASÉå ªÀUÀð ¸ÀASÉå ªÀUÀð

1 1 11 121 21 441

2 4 12 144 22 484

3 9 13 169 23 529

4 16 14 196 24 576

5 25 15 225 25 625

6 36 16 256 30 900

7 49 17 289 35 1225

8 64 18 324 40 1600

9 81 19 361 45 2025

10 100 20 400 50 2500


88 UÀtÂvÀ

F PÉ¼ÀV£À ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 £ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ.

ªÀUÀð ¸ÀASÉå EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 1232, 772, 822, 1612, 1092 EªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀ ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 EgÀÄªÀÅzÀÄ?

1 1

81 9

121 11

361 19

441 21

©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ªÀÄÄA¢£À JgÀqÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

FUÀ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄªÀÅzÉÃ£ÉAzÀgÉ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 CxÀªÁ 9 ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 1 EgÀÄvÀÛzÉ.

FUÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

ªÀUÀð ¸ÀASÉå EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹

F PÉ¼ÀV£À AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ (i) 192 (ii) 242 (iii) 262

(iv) 362 (v) 342

16 4

36 6

196 14

256 16

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðzÀ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 6 EzÀÝgÉ. D ¸ÀASÉåAiÀÄ ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 4 CxÀªÁ 6 EgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

PÉÆÃµÀÖPÀ 1£ÀÄß £ÉÆÃr, EzÉÃ jÃwAiÀÄ E£ÀÄß ºÀ®ªÁgÀÄ ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§°ègÁ?

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À°è ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 89 F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄÄ 3 ÉÆ£ÉßUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, CzÀgÀ ªÀUÀðzÀ°è JµÀÄÖ ÉÆ£ÉßUÀ½gÀÄvÀÛªÉ?

MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ CAvÀåzÀ°ègÀÄªÀ ÉÆ£ÉßUÀ¼À ÀASÉå ºÁUÀÆ CzÀgÀ ªÀUÀðzÀ CAvÀåzÀ°ègÀÄªÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ wÃªÀiÁð¤¸ÀÄ«j?

ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ CAvÀåzÀ°ègÀÄªÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÁUÀ®Æ ¸ÀªÀÄ¸ÀASÉåAiÀÄ°èAiÉÄÃ EgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ?

PÉÆÃµÀÖPÀ 1gÀ°ègÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

¸ÀªÀÄ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À §UÉÎ ¤ÃªÀÅ K£ÀÄ ºÉÃ¼À§AiÀÄ¸ÀÄ«j?


1. F PÉ¼ÀV£À AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉå / ¸ÀªÀÄ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVgÀÄvÀÛªÉ? KPÉ?

(i) 727 (ii) 158 (iii) 269 (iv) 1980 2. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À°ègÀÄªÀ ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼À ¸ÀASÉå w½¹.

(i) 60 (ii) 400

5.3 E£ÀÄß PÉ®ªÀÅ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ

1.wæPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ¸ÀASÉåUÀ¼À¸ÀAPÀ®£À

¤ªÀÄUÉ wæPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ £É£À¦ªÉAiÉÄÃ (wæ¨sÀÄeÁPÁgÀzÀ°è eÉÆÃr¸À§ºÀ§ÄzÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ZÀÄPÉÌ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ)?

90 UÀtÂvÀ

AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ wæPÉÆÃ¤ÃAiÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ, MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ

2. ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ PÉ®ªÀÅ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÉÃ JAzÀÄ FUÀ £ÉÆÃqÉÆÃt.

12 (=1) ªÀÄvÀÄÛ 22 (=4)gÀ £ÀqÀÄ«£À JgÀqÀÄ (CAzÀgÉ 2 × 1) ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 2, 3

22 (=4) ªÀÄvÀÄÛ 32 (=9)gÀ £ÀqÀÄ«£À £Á®ÄÌ (CAzÀgÉ 2 × 2) ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 5, 6, 7, 8

FUÀ 32 = 9, 42 = 16

DzÀÝjAzÀ 42 - 32 = 16 - 9 = 7

9 (=32) ªÀÄvÀÄÛ 16 (=42) gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 10, 11, 12, 13, 14, 15 CAzÀgÉ

MlÄÖ DgÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ. EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄªÀÅzÉÃ£ÉAzÀgÉ JgÀqÀÄ

ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀQÌAvÀ 1 PÀrªÉÄ EgÀÄªÀÅzÀÄ CzÉÃ jÃwAiÀiÁV 42 = 16 ªÀÄvÀÄÛ 52 = 25

DzÀÝjAzÀ 52 - 42 = 9

16 (=42) ªÀÄvÀÄÛ 25 (=52)gÀ £ÀqÀÄ«£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ 17 18, ..........24 CAzÀgÉ MlÄÖ

JAlÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ. EzÀÄ PÀÆqÀ JgÀqÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀåvÁå¸ÀQÌAvÀ 1

PÀrªÉÄ EgÀÄªÀÅzÀÄ.

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 91FUÀ 62 ªÀÄvÀÄÛ 72 UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ JAzÀÄ w½AiÀÄ§ºÀÄzÉÃ?

n AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ

(n +1)2 – n2 = (n2 + 2n + 1) – n2 = 2n+ 1

n2 ªÀÄvÀÄÛ (n + 1)2 gÀ £ÀqÀÄªÉ 2n gÀµÀÄÖ ÀASÉåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ. CAzÀgÉ JgÀqÀÄ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À

ªÀåvÁå¸ÀQÌAvÀ 1 PÀrªÉÄ EgÀÄvÀÛzÉ.

»ÃUÁV, ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV n ªÀÄvÀÄÛ (n + 1) gÀ ªÀUÀðUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ 2n gÀµÀÄÖ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.

n = 5, n = 6 E¤ßvÀgÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ½UÉ vÁ¼É £ÉÆÃr.

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ 1. (i) 92 ªÀÄvÀÄÛ 102 (ii) 112 ªÀÄvÀÄÛ 122 EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ

¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ?

2. F PÉ¼ÀV£À eÉÆÃr ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄªÀ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÉµÀÄÖ?.


(iii) 10002 ªÀÄvÀÄÛ 10012

3. ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À

F PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹

1 [MAzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå] = 1 = 12

1 + 3 [ªÉÆzÀ® JgÀqÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ] = 4 = 22

1 + 3 + 5 [ªÉÆzÀ® ªÀÄÆgÀÄ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ] = 9 = 32

1 + 3 + 5 + 7 [.............] = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 + 9 [................] = 25 = 52

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 [...............] = 36 = 62

DzÀÝjAzÀ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ, ªÉÆzÀ® n ¨É¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ n2 UÉ ¸ÀªÀÄªÁVgÀÄvÀÛzÉ

EzÀ£ÉßÃ E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ, MAzÀÄ ¸ÀASÉå ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ, CzÀÄ 1 jAzÀ ¥ÁægÀA¨sÀªÁVgÀÄªÀ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®èzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 2, 3, 5, 6 ............... EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¨É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛUÀ¼À£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

EAvÀºÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ.

92 UÀtÂvÀ

¸ÀASÉå 25£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹ 25jAzÀ 1, 3, 5, 7, 9 ............. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀªÁV PÀ¼ÉAiÉÆÃt

(i) 25 - 1 = 24 (ii) 24 - 3 = 21 (iii) 21 - 5 = 16 (iv) 16 - 7 = 9 (v) 9 - 9 = 0

EzÀgÀ CxÀð 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 CAzÀgÉ 25 MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉAzÀÄ w½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

¸ÀASÉå 38£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ ªÉÄÃ°£À jÃwAiÀÄ°è ªÀiÁrzÁUÀ

(i) 38 - 1 = 37 (ii) 37 - 3 = 34 (iii) 34 - 5 = 29

(iv) 29 - 7 = 22 (v) 22 - 9 = 13 (vi) 13 - 11 = 2 (vii) 2 - 13 = -11


F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼ÉÃ CxÀªÁ E®èªÉÃ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½¹.

(i) 12 (ii) 55 (iii) 81 (iv) 49 (v) 69

EzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄªÀÅzÉÃ£ÉAzÀgÉ 38£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀÄªÀÅ¢®è CAzÀgÉ 38 ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÁV®è.

DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ Áé¨sÁ«PÀ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ É¸À¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀ¢zÀÝgÉ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVgÀÄªÀÅ¢®è

£ÁªÀÅ, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVzÉAiÉÆÃ CxÀªÁ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß §¼À¸À§ºÀÄzÀÄ.

4. PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛ

PÉ¼ÀV£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

ªÉÆzÀ®£É ¸ÀASÉå

3 - 12

2

JgÀqÀ£ÉÃ ¸ÀASÉå

3 + 12

2

ªÁªï! £ÁªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉÃ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄPÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼ÀªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ

3 = 9 = 4 + 52

5 = 25 = 12 + 132

7 = 49 = 24 + 252

9 = 81 = 40 + 412

11 = 121 = 60 + 612

15 = 225 = 112 + 1132

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 93


1. F PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¹.

(i) 212 (ii) 132 (iii) 112 (iv) 192

2. ªÉÄÃ°£À ¤AiÀÄªÀÄzÀ «gÀÄzÀÞ ºÉÃ½PÉ ¤dªÉÃ CAzÀgÉ, AiÀiÁªÀÅzÉÃ JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ zsÀ£À ¥ÀÆuÁðAPÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉÃ? GzÁºÀgÀuÉAiÉÆA¢UÉ w½¹.

5. JgÀqÀÄ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ ¨É¸À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄt®§Þ

11 × 13 = 143 = 122 - 1

CzÉÃ jÃwAiÀiÁV 11 × 13 = (12-1) × (12 + 1) DzÀÝjAzÀ 11 × 13 = (12 - 1) × (12 + 1) = 122 - 1

ºÁUÉAiÉÄÃ 13 × 15 = (14 - 1) × (14 + 1) = 142 - 1

29 × 31 = (30 - 1) × (30 + 1) = 302 - 1

44 × 46 = (45 - 1) × (45 + 1) = 452 - 1 DzÀÝjAzÀ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ (a + 1) × (a – 1) = a2 – 1

6. E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ

1, 11, 111, ............... ªÀÄÄAvÁzÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß «ÃQë¹. CªÀÅ ¸ÀÄAzÀgÀªÁzÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ°è PÁtÄvÀÛªÉ.

12 1

112 1 2 1

1112 1 2 3 2 1

11112 1 2 3 4 3 2 1

111112 1 2 3 4 5 4 3 2 1

111111112 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1

E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ ªÀiÁzÀj

72 = 49 EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹

ªÉÄÃ°£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ EªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 1111112 (ii) 11111112

672 = 4489

6672 = 444889

66672 = 4444889

666672 = 4444488889

6666672 = 444444888889

94 UÀtÂvÀ

F jÃwAiÀiÁzÀ ªÀiÁzÀj ºÉÃUÉ §gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ MAzÀÄ «zsÀzÀ «£ÉÆÃzÀªÁVzÉ. EAvÀºÀ ¥Àæ±ÉßUÀ½UÉ GvÀÛgÀ zÉÆgÀPÀ®Ä PÉ®ªÀÅ ªÀµÀðUÀ¼ÉÃ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ, CªÀÅUÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¸ÀÄªÀÅzÀÄ ¸ÁégÀ¸ÀåPÀgÀ.

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹ªÉÄÃ°£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÉÃ?

(i) 66666672 (ii) 666666672

C¨sÁå¸À 5.1

1. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ?

(i) 81 (ii) 272 (iii) 799 (iv) 3853

(v) 1234 (vi) 26387 (vii) 52698 (viii) 99880

(ix) 12796 (x) 55555

2. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁV ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®è. PÁgÀt PÉÆr.

(i) 1057 (ii) 23453 (iii) 7928 (iv) 222222

(v) 64000 (vi) 89722 (vii) 222000 (viii) 505050

3. F PÉ¼ÀV£À AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ¨É¸ÀASÉåUÀ¼ÁVªÉ?

(i) 431 (ii) 2826 (iii) 7779 (iv) 82004

4. PÉ¼ÀV£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹ ©lÖ CAQUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j.

112 = 121

1012 = 10201

10012 = 1002001

1000012 = 1........................2......................1

100000012 = ....................................................

5. PÉ¼ÀV£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹ SÁ°¬ÄgÀÄªÀ ¸ÀÜ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ ¸ÀASÉåUÀ½AzÀ vÀÄA©j.

112 = 121

1012 = 10201

101012 = 102030201

10101012 = ..............................................

................2 = 10203040504030201

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 95 6. PÉÆnÖgÀÄªÀ ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ, ©nÖgÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß vÀÄA©j

12 + 22 + 22 = 32 ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä

ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ MAzÀ£ÉÃ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀ£ÉÃ ¸ÀASÉåUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÉ. ºÉÃUÉ? £Á®Ì£ÉÃ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÉ. ºÉÃUÉ?

22 + 32 + 62 = 72

32 + 42 + 122 = 132

42 + 52 + _2 = 212

52 + _2 + 302 = 312

62 + 72 + _2 = _2

7. ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀzÉÃ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9

(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23

8. (i) 49 £ÀÄß 7 ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¹.

(ii) 121 £ÀÄß 11 ¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¹.

9. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JµÀÄÖ ¸ÀASÉåUÀ½ªÉ?


(iii) 99 ªÀÄvÀÄÛ 100

5.4 ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ

3, 4, 5, 6, 7 ............. ªÀÄÄAvÁzÀ aPÀÌ ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ÀÄ®¨sÀªÁV PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÀÀÄ.

DzÀgÉ 23 gÀ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ²ÃWÀæªÁV PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÉÃ?

EzÀgÀ GvÀÛgÀ CµÉÆÖAzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀªÀ®è ªÀÄvÀÄÛ £ÁªÀÅ 23 £ÀÄß 23 jAzÀ UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÀÄ

23 × 23 F jÃw UÀÄtÂ¸ÀzÉÃ E£ÉÆßAzÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ

£ÁªÀÅ w½¢gÀÄªÀAvÉ 23 = 20 + 3

DzÀÝjAzÀ 232 = (20 + 3)2 = 20(20 + 3) + 3 (20 + 3)

= 202 + 20 × 3 + 3 × 20 + 32 = 400 + 60 + 60 + 9

= 529

96 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 1 : UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀzÉAiÉÄÃ F PÉ¼ÀV£À ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 39 (ii) 42¥ÀjºÁgÀ : (i) 392 = (30 + 9)2

= 30 (30 + 9) + 9 (30 + 9)

= 302 + 30 × 9 + 9 × 30 + 92

= 900 + 270 + 270 + 81

= 1521

(ii) 422 = (40 + 2)2

= 40 (40 + 2) + 2 (40 + 2)

= 402 + 40 × 2 + 2 × 40 + 22

= 1600 + 80 + 80 + 4

= 1764

5.4.1 ªÀUÀðUÀ¼À°ègÀÄªÀ EvÀgÉ ªÀiÁzÀjUÀ¼ÀÄ

PÉ¼ÀV£À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹

252 = 625 = (2 × 3) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25 ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 5 EgÀÄªÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹, CAzÀgÉ a5(a5)2 = (10a + 5)2

= 10a (10a + 5)+5(10a +5) = 100a2 + 50a +50a + 25 = 100a (a+1) + 25 = a (a + 1) £ÀÆgÀÄ + 25

352 = 1225 = (3 × 4) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25

752 = 5625 = (7 × 8) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25

1252 = 15625 = (12 × 13) £ÀÆgÀÄUÀ¼ÀÄ + 25

FUÀ ¤ÃªÀÅ 95gÀ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ?


1. ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è CAQ 5 EgÀÄªÀ PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 15 (ii) 95 (iii) 105 (iv) 205


5.4.2 ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼ÀÄ

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

3, 4 ªÀÄvÀÄÛ 5, EAvÀºÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄA¥À£ÀÄß ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼É£ÀÄßªÀgÀÄ. 6, 8, 10 EªÀÅUÀ¼ÀÄ PÀÆqÀ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ. KPÉAzÀgÉ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132. ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 5, 12, 13 EzÉÃ jÃwAiÀÄ wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ.

EzÉÃ jÃwAiÀÄ E£ÀÄß ºÀ®ªÁgÀÄ wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§°ègÁ?

AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉå m > 1 EzÀÝgÉ

(2m)2 + (m2 - 1)2 = (m2 + 1)2. DzÀÝjAzÀ 2m , m2 - 1 ªÀÄvÀÄÛ (m2 + 1) UÀ¼ÀÄ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß gÀÆ¦¸ÀÄvÀÛªÉ.

EzÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ E£ÀÄß ºÉZÀÄÑ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹

GzÁºÀgÀtÂ 2 : aPÀÌ ¸ÀASÉå 8 £ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ¥sÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : ªÉÄÃ¯É ºÉÃ½zÀ 2m, m2- 1, m2 + 1 jÃwAiÀÄ°è £ÁªÀÅ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

ªÉÆzÀ°UÉ m2 – 1 = 8 DUÀ m2 = 8 + 1 = 9 DzÀÝjAzÀ m = 3 DzÀÝjAzÀ 2m = 6 ªÀÄvÀÄÛ m2 + 1= 10 FUÀ ¹UÀÄªÀ wæªÀ½UÀ¼ÉAzÀgÉ 6, 8, 10. DzÀgÉ EªÀÅUÀ¼À°è aPÀÌ¸ÀASÉå 8 DV®è. DzÀÝjAzÀ

E£ÉÆßªÉÄä ¥ÀæAiÀÄwß¸ÉÆÃt 2m = 8

DUÀ m = 4 m2 - 1 = 16 - 1 = 15

ªÀÄvÀÄÛ m2 + 1 = 16 + 1 = 17

wæªÀ½UÀ¼ÀÄ 8, 15, 17 DUÀÄvÀÛªÉ. EzÀgÀ°è 8 aPÀÌ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÉ.

GzÁºÀgÀtÂ 3 : MAzÀÄ ¸ÀASÉå 12 EgÀÄªÀ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : m2 – 1 = 12 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ DUÀ m2 = 12 + 1 = 13

98 UÀtÂvÀ

DUÀ m £À ¨É¯É MAzÀÄ ¥ÀÆuÁAPÀªÁUÀ®è

DzÀÝjAzÀ m2 + 1 = 12 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ ªÀÄvÉÛ m2 = 11 EzÀgÀ°èAiÀÄÆ m £À É¯É ¥ÀÆuÁðAPÀªÁUÀÄªÀÅ¢®è

DzÀÝjAzÀ 2m = 12 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt

DUÀ m = 6 ºÁUÉAiÉÄÃ m2 – 1 = 36 – 1 = 35 ªÀÄvÀÄÛ m2 + 1 = 36 + 1 = 37

DzÀÝjAzÀ 12, 35, 37 UÀ¼ÀÄ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ

¸ÀÆZÀ£É : J¯Áè ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß F ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥À¢AzÀ ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀ¢gÀ§ºÀÄzÀÄ. GzÁºÀgÀtÂUÉ 5, 12, 13 UÀ¼ÀÄ ¸ÀºÀ ¸ÀASÉå 12£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ wæªÀ½UÀ¼ÁVªÉ.

C¨sÁå¸À 5.2

1. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 32 (ii) 35 (iii) 86 (iv) 93 (v) 71 (vi) 46 2. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï£À wæªÀ½UÀ¼À£ÀÄß

§gÉ¬Äj.

(i) 6 (ii) 14 (iii) 16 (iv) 18

5.5. ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ

PÉ¼ÀV£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr

(a) MAzÀÄ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð 144 ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ EzÀÝgÉ CzÀgÀ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝªÉÃ£ÀÄ?

£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀAvÉ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð = ¨ÁºÀÄ2

¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ à' JAzÀÄ PÉÆAqÁUÀ, 144 = a2

D ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ PÀÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä, AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 144 DVzÉ JAzÀÄ ªÉÆzÀ®Ä PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀ CªÀ±ÀåPÀvÉ EzÉ.

(b) avÀæ 5.1gÀ°è ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ 8 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀ ZËPÀzÀ°è£À PÀtðzÀ GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. EzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ ¥ÀjºÀj¸À§ºÀÄzÉÃ?

£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀAvÉ AB2 + BC2 = AC2

CAzÀgÉ 82 + 82 = AC2

CxÀªÁ 64 + 64 = AC2 128 = AC2

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 99 ªÀÄvÉÛ AC AiÀÄ C¼ÀvÉ ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä AiÀiÁªÀ ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 128 DVzÉ JAzÀÄ AiÉÆÃa¸À¨ÉÃPÀÄ

(c) ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ°è «PÀtð ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ PÀæªÀÄªÁV 5 ¸ÉA.«ÄÃ ªÀÄvÀÄÛ 3 ¸ÉA.«ÄÃ EªÉ (avÀæ 5.2) ¤ÃªÀÅ ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ÁºÀÄ«£À GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ?

ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝ x DVgÀ°

¥ÉÊxÁUÉÆÃgÀ¸ï ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¥ÀæPÁgÀ

52 = x2 + 32

25 = x2 + 9 25 – 9 = x2

16 = x2

x £À É¯É PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä, AiÀiÁªÀ ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 16 DVzÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. F ªÉÄÃ°£À J¯Áè ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è £ÁªÀÅ ªÀUÀð UÉÆwÛgÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. »ÃUÉ ªÀUÀð w½¢gÀÄªÀ ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÉÃ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÁVzÉ

5.5..1 ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ

¸ÀAPÀ®£À QæAiÉÄAiÀÄ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ ªÀåªÀPÀ®£À QææAiÉÄAiÀiÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀÄuÁPÁgÀ QæAiÉÄAiÀÄ «¯ÉÆÃªÀÄªÀÅ ¨sÁUÁPÁgÀªÁVzÉ. CzÉÃ jÃwAiÀiÁV ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀ «zsÁ£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀÄªÁVzÉ.

£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀAvÉ

12 = 1, DzÀÝjAzÀ 1 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® 1 EzÀjAzÀ 92 = 81

ªÀÄvÀÄÛ (-9)2 = 81

81gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 9 ªÀÄvÀÄÛ -9 JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼ÀÄvÉÛÃªÉ.

22 = 4, DzÀÝjAzÀ 4 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® 2

32 = 9, DzÀÝjAzÀ 9 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® 3


(i) 112 = 121, DzÁUÀ 121 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÉÃ£ÀÄ?

(ii) 142 = 196, DzÁUÀ 196 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÉÃ£ÀÄ?


(-1)2 = 1. 1 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® -1 DUÀÄªÀÅzÉÃ?



100 UÀtÂvÀ

ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ, MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ JgÀqÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ. F CzsÁåAiÀÄzÀ°è £ÁªÀÅ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÉÛÃªÉ.

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß aºÉß¬ÄAzÀ UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀgÀÄ.

GzÁºÀgÀtÂUÉ 4 = 2 (-2 C®è); 9 = 3 (-3 C®è) EvÁå¢

ºÉÃ½PÉ wÃªÀiÁð£À ºÉÃ½PÉ wÃªÀiÁð£À

12 = 1 1 = 1 62 = 36 36 = 6

22 = 4 4 = 2 72 = 49 49 = 7

32 = 9 9 = 3 82 = 64 64 = 8

42 = 16 16 = 4 92 = 81 81= 9

52 = 25 25 = 5 102 = 100 100 = 10

5.5.2 ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ

ªÉÆzÀ® n ¨É¸À¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ n2 DVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ £É£À¦zÉAiÀiÁ? CAzÀgÉ ¥Àæw ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸À ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀ£ÁßV ªÀåPÀÛ¥Àr¸À§ºÀÄzÀÄ

81£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹ DUÀ

(i) 81 - 1 = 80 (ii) 80 - 3 = 77 (iii) 77 - 5 = 72

(iv) 72 - 7 = 65 (v) 65 - 9 = 56 (vi) 56 - 11 = 45

(vii) 45 - 13 = 32 (viii) 32 - 15 = 17 (ix) 17 - 17 = 0


¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ ªÀåªÀPÀ®£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ É¸À ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀjAzÀ PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼ÁVªÉ CxÀªÁ E®è JAzÀÄ ¥ÀjÃQë¹. PÉÆnÖgÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 121 (ii) 55 (iii) 36 (iv) 49 (v) 90

81 gÀ°è 1 jAzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ PÀæªÀiÁ£ÀÄUÀvÀ ¨É¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄvÁÛ ºÉÆÃzÁUÀ 9£ÉÃ ºÀAvÀzÀ°è 0AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ¯Á¬ÄvÀÄ.

DzÀÝjAzÀ 81= 9

729 gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÁ? ºËzÀÄ, DzÀgÉ EzÀÄ ºÉZÀÄÑ ¸ÀªÀÄAiÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîvÀÛzÉ. CzÀPÁÌV £ÁªÀÅ ¨ÉÃgÉÆAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¸ÉÆÃt.


5.5.3 C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ

F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

¸ÀASÉåAiÀÄ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À EªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À

6 = 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 8 = 2 × 2 × 2 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 12 = 2 × 2 × 3 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3

15 = 3 × 5 225 = 3 × 3 × 5 × 5

6 gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À°è 2 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ? MAzÀÄ ¸À® EzÉ. 36gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À°è 2 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ? JgÀqÀÄ ¸À® EzÉ. CzÉÃ jÃwAiÀiÁV 6 ªÀÄvÀÄÛ 36 gÀ°è 3 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ JAzÀÄ UÀªÀÄ¤¹. ºÁUÉAiÉÄÃ 8 ªÀÄvÀÄÛ 64 gÀ°è 2 JµÀÄÖ ¸À® EzÉ UÀªÀÄ¤¹

EzÀjAzÀ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄªÀÅzÉÃ£ÉAzÀgÉ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ JµÀÄÖ À® EgÀÄvÀÛzÉAiÉÆÃ, CzÀgÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ ¸À® D ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðzÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À°è EgÀÄvÀÛzÉ. FUÀ 324gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß F «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt 324gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ

32421622813273933

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr ªÀiÁrzÁUÀ

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 = 22 × 32 × 32

= (2 × 3 × 3)2

DzÀÝjAzÀ 324 = 2 × 3 × 3 = 18CzÉÃ jÃwAiÀiÁV 256 gÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄ«gÁ? 256 gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ

2562128264232216282422

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃr ªÀiÁrzÁUÀ

256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

= (2 × 2 × 2 × 2)2

DzÀÝjAzÀ 256 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

102 UÀtÂvÀ

48 ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÉÄÃ?

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

E°è J®è C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ eÉÆÃrAiÀiÁV®è. DzÀÝjAzÀ 48 MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è.

48gÀ C¥ÀªÀvÀðåUÀ¼À°è PÀ¤µÀ×ªÁzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

EzÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ®Ä 48 £ÀÄß PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ? 48gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃrUÀ¼ÁV ªÀiÁrzÁUÀ 3 ªÀiÁvÀæ eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®è JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ CzÀ£ÀÄß eÉÆÃrAiÀiÁV¸À®Ä 3 jAzÀ UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ

DUÀ 48 × 3 = 144 MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ

48£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ ¨sÁV¸À¨ÉÃPÀÄ JAzÀÄ ºÉÃ¼ÀÄ«gÁ?

C¥ÀªÀvÀð£À 3 eÉÆÃrAiÀiÁV®è, DzÀÝjAzÀ 48£ÀÄß 3 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

48 ÷ 3 = 16 = 2 × 2 × 2 × 2 ªÀÄvÀÄÛ 16 MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÁVzÉÀ

64002320021600280024002200210025022555

GzÁºÀgÀtÂ 4 : 6400gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5

DzÀÝjAzÀ 6400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 80

GzÁºÀgÀtÂ 5 : 90 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉÃ?

¥ÀjºÁgÀ : 90 = 2 × 3 × 3 × 5C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÁzÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®è.

DzÀÝjAzÀ 90 ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ®è.

90gÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è MAzÉÃ ÉÆ£Éß EgÀÄªÀÅzÀjAzÀ ÀºÀ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è JAzÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.

GzÁºÀgÀtÂ 6 : 2352 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉÃ? E®èªÁzÀgÉ CzÀgÀ C¥ÀªÀvÀåðUÀ¼À°è PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtð ªÀUÀð ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7

C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À 3 eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢®è DzÀÝjAzÀ 2352 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è

23522117625882294214734977

9024531535

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 103 3 eÉÆÃrAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉzÁUÀ zÀvÀÛ ÀASÉåAiÀÄÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ 2352 £ÀÄß

3 jAzÀ UÀÄtÂ¹

2352 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7

FUÀ J®è C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ eÉÆÃrAiÀiÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ 2352× 3 = 7056 EzÀÄ

¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVzÉ. EzÉÃ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀðªÉA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

ªÀÄvÀÄÛ 7056 = 2 × 2 × 3 × 7 = 84

GzÁºÀgÀtÂ 7 : 9408 £ÀÄß PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ÀASÉå¬ÄAzÀ sÁV¹zÀgÉ ÀASÉåAiÀÄ sÁUÀ®§Þ MAzÀÄ

¥ÀÆtð ªÀUÀðªÁUÀÄªÀÅzÀÄ? D ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : £ÀªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀAvÉ 9408 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 × 7£ÁªÀÅ 9408 £ÀÄß 3 jAzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ

9408 ÷ 3 = 3136 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 EzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁVzÉ

(KPÉ?)

DzÀÝjAzÀ, ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉå 3 DVzÉ.

ªÀÄvÀÄÛ 3136 = 2 × 2 × 2 × 7 = 56

GzÁºÀgÀtÂ 8 : 6,9 ªÀÄvÀÄÛ 15 jAzÀ ¨sÁUÀÀªÁUÀÄªÀ PÀ¤µÀ× ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : EzÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ºÀAvÀUÀ¼À°è ©r¸À§ºÀÄzÀÄ. ªÉÆzÀ® ªÀÄÆgÀÄ

¸ÀASÉåUÀ¼À Cw aPÀÌ ¸ÁªÀiÁ£Àå C¥ÀªÀvÀåð (®.¸Á.C)ªÀ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ ªÀÄvÀÄÛ FUÀ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ. 6,9 ªÀÄvÀÄÛ 15 gÀ ®.¸Á.C

2 × 3 × 3 × 5 = 90 DUÀÄªÀÅzÀÄ

90gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀÅ

90 = 2 × 3 × 3 × 5

EªÀÅUÀ¼À°è 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 eÉÆÃrAiÀiÁV®è. DzÀÝjAzÀ 90 ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ®è 90£ÀÄß

¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä, 90gÀ J¯Áè C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃrUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.

DzÀÝjAzÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5 ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß eÉÆÃrUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ.

DzÀÝjAzÀ 90 £ÀÄß 2 × 5 jAzÀ UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÉ 10. DUÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ªÀUÀð

¸ÀASÉå 90 × 10 = 900 DUÀÄvÀÛzÉ.

6,9,1523,9,1531,3,531,1,551,1,1

104 UÀtÂvÀ

C¨sÁå¸À 5.3

1. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è EgÀ§ºÀÄzÁzÀ CAQUÀ¼ÁªÀÅªÀÅ?

(i) 9801 (ii) 99856 (iii) 998001 (iv) 657666025 2. AiÀiÁªÀÅzÉÃ jÃwAiÀÄ ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀzÉÃ F PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À®è

JAzÀÄ w½¹.

(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441 3. ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwðvÀ ªÀåªÀPÀ®£À «zsÁ£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ 100 ªÀÄvÀÄÛ 169gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

4. C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À «zsÁ£À¢AzÀ F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 729 (ii) 400 (iii) 1764 (iv) 4096 (v) 7744 (vi) 9604 (vii) 5929 (viii) 9216 (ix) 529 (x) 8100 5. PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä PÀ¤µÀ× AiÀiÁªÀ ¥ÀÆtð

¸ÀASÉå¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ PÀAqÀÄ»r¬Äj. ºÁUÉ ¥ÀqÉzÀ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß ¸ÀºÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 252 (ii) 180 (iii) 1008 (iv) 2028 (v) 1458 (vi) 768 6. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä PÀ¤µÀ×

AiÀiÁªÀ ¥ÀÆtð¸ÀASÉå¬ÄAzÀ ¨sÁV¸À¨ÉÃPÉAzÀÄ PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ £ÀAvÀgÀ ¥ÀqÉzÀ ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 252 (ii) 2925 (iii) 396 (iv) 2645 (v) 2800 (vi) 1620 7. MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ 8£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥ÀæzsÁ£À ªÀÄAwæAiÀÄªÀgÀ gÁ¶ÖçÃAiÀÄ

¥ÀjºÁgÀ ¤¢üUÉ MlÄÖ 2401 zÁ£À ¤ÃrzÀgÀÄ. D vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀÄªÀ MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄµÀÄÖ gÀÆ¥Á¬ÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæwAiÉÆ§â «zÁåyðAiÀÄÆ zÁ£À ªÀiÁrzÀ£ÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ D vÀgÀUÀwAiÀÄ°ègÀÄªÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

8. MAzÀÄ GzÁå£ÀªÀ£ÀzÀ°è 2025 ¸À¹UÀ¼À£ÀÄß, CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå J¶ÖªÉAiÉÆÃ CµÉÖÃ ¸À¹UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CqÀØ¸Á°£À°è EgÀÄªÀAvÉ £ÉqÀ¨ÉÃPÀÄ. ºÁUÁzÀgÉ CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CqÀØ¸Á°£À°ègÀÄªÀ ¸À¹UÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»r¬Äj.


9. 4, 9, ªÀÄvÀÄÛ 10 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀ PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

10. 8, 15 ªÀÄvÀÄÛ 20 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀÄªÀ PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5.5.4 ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ §ºÀ¼ÀµÀÄÖ zÉÆqÀØ¢zÁÝUÀ, C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À «zsÁ£À¢AzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ vÀÄA¨Á PÀptªÁUÀÄªÀÅzÀÄ. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ ¢ÃWÀð sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

EzÀPÁÌV ªÀUÀð ªÀÄÆ®UÀ¼À°è JµÀÄÖ CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¤zsÀðj¸À¨ÉÃPÀÄ.

PÉ¼ÀV£À PÉÆÃµÀÖPÀªÀ£ÀÄß £ÉÆÃr.

¸ÀASÉå ªÀUÀð10 100 3 - CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå31 961 3 - CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå32 1024 4 - CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå99 9801 4 - CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ªÀUÀð¸ÀASÉå

DzÀÝjAzÀ 3 CxÀªÁ 4 - CAQUÀ¼ÀÄ¼Àî ¥ÀÆtðªÀUÀðUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ §UÉÎ £ÁªÀÅ K£ÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ? ¥ÀÆtðªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ°è 3 CxÀªÁ 4 CAQUÀ¼ÀÄ EzÀÝgÉ CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è 2 - CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.

MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð¸ÀASÉåAiÀÄ°è 5 CxÀªÁ 6 CAQUÀ¼ÀÄ EzÀÝgÉ CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è JµÀÄÖ CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ ºÉÃ¼À§°ègÁ?

3-CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtð ªÀUÀð ÀASÉåAiÀÄÄ 100, EzÀÄ 10gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀjµÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 961, EzÀÄ 31gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ. 4 CAQUÀ¼À PÀ¤µÀ× ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÀÅ 1024, 32 gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ UÀjµÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀÅ 9801, EzÀÄ 99gÀ ªÀUÀðªÁVzÉ.


MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ°è n - CAQUÀ½zÀÄÝ, n ¸ÀªÀÄ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ

CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀÅ 2

nCAQUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ, n ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÝgÉ

1

2

n + CAQUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÉÃ?

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð ªÀÄÆ®zÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ.

529gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä PÉ¼ÀV£À ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. EzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ CAzÁf¸À§°ègÁ?

106 UÀtÂvÀ

ºÀAvÀ 1 : ©r ¸ÁÜ£À¢AzÀ DgÀA©ü¹ JqÀUÀqÉUÉ ZÀ°¹ JgÀqÉgÀqÀÄ CAQUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄªÀiÁr CAQUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁQ. CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ ¨É¸À¸ÀASÉåAiÀÄ°èzÀÝgÉ MAzÉÃ CAQAiÀÄÄ PÉÆ£ÉAiÀÄ°è G½AiÀÄÄªÀÅzÀÄ. CzÀPÀÆÌ PÀÆqÀ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁPÀÄªÀÅzÀÄ.

»ÃUÁV 529

ºÀAvÀ 2 : JqÀvÀÄ¢AiÀÄ°ègÀÄªÀ UÀÄA¦£À ¸ÀASÉåUÉ (5) ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ UÀjµÀ× ªÀUÀðªÀÅ¼Àî ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÉÆÃa¹. (22 < 5 < 32) E°è D ¸ÀASÉå 2 FUÀ 5£ÀÄß 2jAzÀ ¨sÁV¹ §®UÀqÉ vÉÆÃj¹gÀÄªÀAvÉ ¨sÁUÀ®§Þ 2£ÀÄß ªÉÄÃ®ÄUÀqÉ §gÉzÀÄ ±ÉÃµÀ 1£ÀÄß ¥ÀqÉ¬Äj.

22

5 29-4

1

ºÀAvÀ 3 : ªÀÄÄA¢£À CqÀØUÉgÉ J¼ÉÀzÀ UÀÄA¥À£ÀÄß PÉ¼ÀUÉ ±ÉÃµÀzÀ §® ¨sÁUÀPÉÌ vÉUÉzÀÄPÉÆ½î (E°è 29£ÀÄß PÉ¼ÀUÉ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ) DzÀÝ-jAzÀ FUÀ ºÉÆ¸À ¨sÁdå 129 DVzÉ.

ºÀAvÀ 4 : ¨sÁdPÀ 2£ÀÄß ¢éUÀÄtUÉÆ½¸ÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ §®UÀqÉ ªÀÄÄA¢£À CAQUÁV SÁ° eÁUÀ ©qÀ¨ÉÃPÀÄ.

ºÀAvÀ 5 : ¨sÁdPÀ ¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀ SÁ° eÁUÀªÀ£ÀÄß F PÉ¼ÀPÀAqÀAvÉ vÀÄA© ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. F jÃw vÀÄA§ÄªÀ CAQAiÉÄÃ ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ªÀÄÄA¢£À CAQAiÀiÁUÀÄªÀÅzÀÄ. CµÉÖÃ C®èzÉÃ CzÀjAzÀ ¨sÁUÀ®§ÞªÀ£ÀÄß UÀÄtÂ¹zÁUÀ §gÀÄªÀ UÀÄt®§ÞªÀÅ ºÉÆ¸À ¨sÁdåPÉÌ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ PÀrªÉÄAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ. F jÃwAiÀÄ UÀjµÀ× CAQ¬ÄAzÀ SÁ° eÁUÀªÀ£ÀÄß vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ.

E°è 42 × 2 = 84

43 × 3 = 129 DUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ 3£ÀÄß ºÉÆ¸À CAQAiÀÄ£ÁßV DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ

ºÀAvÀ 6 : EzÀjAzÀ ±ÉÃµÀ 0 DUÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆnÖgÀÄªÀ ÀASÉåAiÀÄ°è E£ÀÄß CAQUÀ¼ÀÄ G½¢gÀÄªÀÅ¢®è DzÀÝjAzÀ 529 = 23

FUÀ 4096 ¥ÀjUÀtÂ¹

ºÀAvÀ 1 : ©r ¸ÁÜ£À¢AzÀ DgÀA©ü¹ JgÀqÉgÀqÀÄ CAQUÀ¼À UÀÄA¥ÀÄ ªÀiÁr. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ CAQUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß

ºÁQ ( )40 96

22

-41 29

5 29

2

2

5 29-4

1 294-

2

23

5 29-4

1 29431 29

0-

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 107 ºÀAvÀ 2 : JqÀ vÀÄ¢AiÀÄ°ègÀÄªÀ UÀÄA¦£À ¸ÀASÉåUÉ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ

PÀrªÉÄ EgÀÄªÀ UÀjµÀ× ªÀUÀðªÀÅ¼Àî ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj (62 < 40 < 72) F ¸ÀASÉå (6) AiÀÄÄ ¨sÁdPÀªÁUÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JqÀvÀÄ¢AiÀÄ°ègÀÄªÀ UÀÄA¦£À ÀASÉå (40) sÁdåªÁUÀÄªÀÅzÀÄ F ¨sÁdåªÀ£ÀÄß ¨sÁdPÀ¢AzÀ ¨sÁV¹ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¬Äj. F GzÁºÀgÀtÂAiÀÄ°è ±ÉÃµÀªÀÅ 4

ºÀAvÀ 3 : ªÀÄÄA¢£À UÉgÉ J¼ÉzÀ UÀÄA¥À£ÀÄß (CAzÀgÉ 96) PÉ¼ÀUÉ ±ÉÃµÀzÀ §®UÀqÉ vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÀÄîªÀÅzÀÄ

FUÀ ºÉÆ¸À ¨sÁdå 496 DVzÉ.

ºÀAvÀ 4 : ¨sÁdPÀªÀ£ÀÄß ¢éUÀÄtUÉÆ½¸ÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ §®UÀqÉ ªÀÄÄA¢£À CAQUÁV SÁ° eÁUÀ ©lÄÖ §gÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ.

ºÀAvÀ 5 : D SÁ° eÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ªÀÄÄA¢£À CAQAiÀÄ£ÀÄß MAzÉÃ zÉÆqÀØ CAQ¬ÄAzÀ vÀÄA§¨ÉÃPÀÄ. ªÀÄÄA¢£À CAQAiÀÄÄ ºÉÃVgÀ¨ÉÃPÉAzÀgÉ, SÁ° eÁUÀzÀ°è vÀÄA©zÀ £ÀAvÀgÀ zÉÆgÀPÀÄªÀ ¸ÀASÉåUÉ, ¨sÁUÀ®§ÞzÀ°ègÀÄªÀ ªÀÄÄA¢£À CAQ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ ºÉÆ¸À ¨sÁdåPÉÌ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀ¨ÉÃPÀÄ.

E°è 124 × 4 = 496 DUÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§ÞzÀ ºÉÆ¸À CAQ 4

ºÀAvÀ 6 :: EzÀjAzÀ ±ÉÃµÀ 0 §gÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÄA¢£À UÀÄA¥ÀÄ EgÀÄªÀÅ¢®è.

DzÀÝjAzÀ 4096 = 64

¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß CAzÁf¸ÀÄªÀÅzÀÄ

¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è EgÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

5 29 = 23 ªÀÄvÀÄÛ 40 96 = 64

529 ªÀÄvÀÄÛ 4096, F JgÀqÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À°è JgÀqÀÄ CqÀØUÉgÉUÀ½ªÉ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 2 DVzÉ.

CzÉÃ jÃwAiÀiÁV 14400gÀ ªÀUÀð ªÀÄÆ®zÀ°è EgÀÄªÀ CAQUÀ¼À ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ºÉÃ¼ÀÄ«gÁ?

F ÀASÉåAiÀÄ ªÉÄÃ¯É CqÀØUÉgÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁPÉÆÃt 1 44 00 E°è 3 CqÀØ UÉgÉUÀ½gÀÄªÀÅzÀjAzÀ

ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°è 3 CAQUÀ¼ÀÄ EgÀÄvÀÛªÉ.

6

6

40 9636

496

-

12

6

6

4036

496

-

124

0-496

96

4

108 UÀtÂvÀ


ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄzÉÃ F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À°è JµÀÄÖ CAQUÀ½gÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 25600 (ii) 100000000 (iii) 36864

GzÁºÀgÀtÂ 9 : EªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj (i) 729 (ii) 1296 ¥ÀjºÁgÀ : (i)

6

27

7 294

329-

47

0-329

(ii)

DzÀÝjAzÀ 729 = 27 DzÀÝjAzÀ 1296 = 36

GzÁºÀgÀtÂ 10 : 5607£ÀÄß ¥ÀÆtð ªÀUÀðªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä F ¸ÀASÉå¬ÄAzÀ PÀ¼ÉAiÀÄ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 5607 £ÀÄß ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä

¥ÀæAiÀÄwß¸ÉÆÃt £ÁªÀÅ ±ÉÃµÀ 131£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

742, 5607QÌAvÀ 131 PÀrªÉÄAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ EzÀjAzÀ UÉÆvÁÛUÀÄªÀÅzÀÄ

EzÀgÀ CxÀð K£ÉAzÀgÉ, PÉÆnÖgÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ CzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÁUÀÄvÀÛzÉ

DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀð 5607 - 131 = 5476 ªÀÄvÀÄÛ 5476 = 74

GzÁºÀgÀtÂ 11 : 4 CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj

¥ÀjºÁgÀ : 4 CAQUÀ¼À UÀjµÀ× ¸ÀASÉå = 9999

9999 £ÀÄß ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt

±ÉÃµÀ 198 DVzÉ. 992, 9999 QÌAvÀ 198 PÀrªÉÄAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ UÉÆvÁÛUÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ CxÀð K£ÉAzÀgÉ, PÉÆnÖgÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ°è ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß PÀ¼ÉzÁUÀ £ÁªÀÅ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ.

DzÀÝjAzÀ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ¥ÀÆtðªÀUÀðªÀÅ 9999 - 198 = 9801 ªÀÄvÀÄÛ 9801= 99

ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ 109GzÁºÀgÀtÂ 12 : 1300£ÀÄß ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä CzÀPÉÌ

PÀÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÆtð ªÀUÀðzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 1300 £ÀÄß £ÁªÀÅ ¢ÃWÀð ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ

PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt ±ÉÃµÀ 4 §gÀÄvÀÛzÉ.

362 < 1300 JAzÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ ªÀÄÄA¢£À ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 372 = 1369 EzÀjAzÀ 1300 PÉÌ PÀÆqÀ¨ÉÃPÁzÀ ÀASÉå

372 - 1300 = 1369 - 1300 = 69

5.6 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ

17.64 £ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹

ºÀAvÀ 1 : zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÁUÀ ¥ÀÆtð ÀASÁå sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É JA¢£À jÃwAiÀÄ°è CqÀØUÉgÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁPÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¨sÁUÀÀzÀ°è (64) DgÀA©üPÀ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÁÜ£À¢AzÀ ¥Àæw CAQUÀ¼À eÉÆÃrUÀÆ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁPÀÄªÀÅzÀÄ

£ÀªÀÄUÉ 17. 64 zÉÆgÀPÀÄvÀÛzÉ.

ºÀAvÀ 2 : FUÀ EzÉÃ jÃw ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉ¬Äj ¸ÀASÉå 17 gÀ ªÉÄÃ¯É JqÀ§¢AiÀÄ CqÀØUÉgÉ EzÉ ªÀÄvÀÄÛ 42 < 17 < 52 F ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁdPÀ ªÀÄvÀÄÛ JqÀ§¢AiÀÄ CqÀØUÉgÉAiÀÄ PÉ¼ÀUÉ EgÀÄªÀ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¨sÁdåªÀ£ÁßV vÉUÉzÀÄPÉÆ½î CAzÀgÉ 17 ¨sÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¬Äj.

ºÀAvÀ 3 : ±ÉÃµÀ 1 §gÀÄvÀÛzÉ ±ÉÃµÀzÀ §®UÀqÉ ªÀÄÄA¢£À CqÀØUÉgÉAiÀÄ PÉ¼ÀUÉ EgÀÄªÀ ¸ÀASÉå (64)AiÀÄ£ÀÄß §gÉ¬Äj. DUÀ 164 DUÀÄªÀÅzÀÄ.

ºÀAvÀ 4 : ¨sÁdPÀªÀ£ÀÄß ¢éUÀÄtUÉÆ½¹ ªÀÄvÀÄÛ §®UÀqÉ SÁ° eÁUÀ ©lÄÖ §gÉ¬Äj 64 zÀ±ÀªÀiÁA±À ¨sÁUÀzÀ°ègÀÄªÀ ¸ÀASÉå DzÀÝjAzÀ ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÁÜ£ÀzÀ°è ©AzÀÄªÀ£ÀÄß EqÀÄªÀÅzÀÄ

ºÀAvÀ 5 : 82 × 2 = 164 JAzÀÄ UÉÆwÛzÉ

DzÀÝjAzÀ ºÉÆ¸À CAQ 2 DVzÉ ¨sÁV¹ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÃµÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ¬Äj.

ºÀAvÀ 6 : ±ÉÃµÀªÀÅ 0 DVzÉ ªÀÄvÀÄÛ E£ÀÆß CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ G½¢®è DzÀÝjAzÀ 17. 64 = 4.2

4

4.2

17.6416

164-

82

0-164

110 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀtÂ 13 : 12.25gÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 3

3.5

12.259

325-

65

0-325

DzÀÝjAzÀ 12. 25 = 3.5

CqÀØUÉgÉ ºÁPÀÄªÀ jÃw

176.341 ¥ÀjUÀtÂ¹. ¥ÀÆtð ¸ÀASÁå ¨sÁUÀ ªÀÄvÀÄÛ zÀ±ÀªÀiÁA±À ¨sÁUÀPÉÌ CqÀØUÉgÉUÀ¼À£ÀÄß ºÁQj.

zÀ±ÀªÀiÁA±À sÁUÀÀPÉÌ ºÁPÀÄªÀ CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ, ¥ÀÆtð ÀASÁå sÁUÀPÉÌ ºÁPÀÄªÀ CqÀØUÉgÉVAvÀ AiÀiÁªÀ

jÃwAiÀÄ°è ¨ÉÃgÉAiÀiÁVzÉ? 176£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹. zÀ±ÀªÀiÁA±ÀPÉÌ ºÀwÛgÀ«gÀÄªÀ ©r¸ÁÜ£À¢AzÀ £ÁªÀÅ

¥ÁægÀA©ü¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ JqÀUÀqÉ ZÀ°¸ÀÄvÉÛÃªÉ. ªÉÆzÀ®£ÉÃ CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ 76 gÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ

JgÀqÀ£É CqÀØUÉgÉ 1gÀ ªÉÄÃ¯É §gÀÄªÀÅzÀÄ. 341gÀ°è £ÁªÀÅ zÀ±ÀªÀiÁA±À¢AzÀ ¥ÁægÀA©ü¹ §®UÀqÉ

ZÀ°¸ÀÄvÉÛÃªÉ. ªÉÆzÀ®£É CqÀØUÉgÉAiÀÄÄ 34gÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ 1gÀ £ÀAvÀgÀ 0 ElÄÖ CªÉgÀqÀgÀ ªÉÄÃ¯É JgÀqÀ£ÉÃ CqÀØUÉgÉAiÀÄ£ÀÄß ºÁPÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ .34 10 ªÀ£ÁßV ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀÄ

GzÁºÀgÀtÂ 14 : MAzÀÄ ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ «¹ÛÃtð 2304 ZÀ.«ÄÃ EzÉ D

ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ ¨ÁºÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj

¥ÀjºÁgÀ : ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀÀzÀ «¹ÛÃtð = 2304 ZÀ.«ÄÃ

DzÀÝjAzÀ ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ ¨ÁºÀÄ = 2304 «ÄÃ

2304 = 48«ÄÃ

DzÀÝjAzÀ ZËPÁPÁgÀzÀ eÁUÀzÀ ¨ÁºÀÄ 48 «ÄÃ. DUÀÄªÀÅzÀÄ.

GzÁºÀgÀtÂ 15 : MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è 2401 «zÁåyðUÀ½zÁÝgÉ. D «zÁåyðUÀ¼À£ÀÄß CqÀØ¸Á®Ä

ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À°è ¤°è¸À®Ä zÉÊ»PÀ ²PÀëPÀgÀÄ §AiÀÄ¹zÁÝgÉ ªÀÄvÀÄÛ

CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ÀASÉå, PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ÀASÉåUÉ ÀªÀÄ«gÀÄªÀAvÉ ¤°è¸À¨ÉÃPÁVzÉ.

ºÁUÁzÀgÉ CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå x DVgÀ° DzÀÝjAzÀ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = xDUÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå = x × x = x2

EzÀjAzÀ x2 = 2401, x = 2401 = 49

CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = 49

4

49

240116

801-

89

0-801


5.7 ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß CAzÁf¸ÀÄªÀÅzÀÄ

PÉ¼ÀV£À ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹.

1. zÉÃªÉÃ² ºÀwÛgÀ 125 ZÀ.¸ÉA.«ÄÃ. «¹ÛÃtðªÀÅ¼Àî ZËPÁPÁgÀzÀ §mÉÖ EzÉ. EzÀ£ÀÄß CªÀ¼ÀÄ 15

¸ÉA.«ÄÃ. ÁºÀÄªÀÅ¼Àî PÉÊ ªÀ¸ÀÛçªÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÉÃ? EzÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä §AiÀÄ¹zÁÝ¼É. CzÀÄ

¸ÁzsÀåªÁUÀ¢zÀÝgÉ F §mÉÖ¬ÄAzÀ UÀjµÀ× JµÀÄÖ ¨ÁºÀÄªÀÅ¼Àî PÉÊªÀ¸ÀÛçªÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ?

2. «ÄÃ£Á ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÆÃ¨sÁ MAzÀÄ DlªÀ£ÀÄß DrzÀgÀÄ. M§âgÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉÃ½zÀgÀÄ

ªÀÄvÀÄÛ E£ÉÆß§âgÀÄ CzÀgÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß ºÉÃ½zÀgÀÄ. «ÄÃ£Á ªÉÆzÀ®Ä ¥ÁægÀA©ü¹zÀ¼ÀÄ.

CªÀ¼ÀÄ 25 ºÉÃ½zÁUÀ ±ÉÆÃ¨sÁ ²ÃWÀæzÀ°èAiÉÄÃ 5 JAzÀÄ GvÀÛj¹zÀ¼ÀÄ. DUÀ ±ÉÆÃ¨sÁ 81£ÀÄß

ºÉÃ½zÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «ÄÃ£Á 9 JAzÀÄ GvÀÛj¹zÀ¼ÀÄ. »ÃUÉAiÉÄÃ ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉ¬ÄvÀÄ. MAzÀÄ

ºÀAvÀzÀ°è «ÄÃ£Á ÀASÉå 250£ÀÄß ºÉÃ½zÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ±ÉÆÃ¨sÁ CzÀPÉÌ GvÀÛj¸À®Ä ÁzsÀå«®è.

DUÀ «ÄÃ£Á MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀð 250 PÉÌ ¸À«ÄÃ¥À«gÀÄªÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßzÀgÀÆ ºÉÃ¼ÀÄ

JAzÀÄ ±ÉÆÃ¨sÁ½UÉ ºÉÃ½zÀ¼ÀÄ

F J®è ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è £ÁªÀÅ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß CAzÁf¸ÀÄªÀÅzÀÄ CªÀ±ÀåPÀªÁVzÉ.

£ÀªÀÄUÉ w½¢gÀÄªÀ ºÁUÉ 100 < 250 < 400 ªÀÄvÀÄÛ 100 =10, 400 = 20

DzÀÝjAzÀ 10 < 250 < 20

DzÀgÉ £ÁªÀÅ ªÀUÀð¸ÀASÉåUÉ E£ÀÆß ºÀwÛgÀ«®è

152 = 225 ªÀÄvÀÄÛ 162 = 256 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛzÉ

DzÀÝjAzÀ 15 < 250 < 16 ªÀÄvÀÄÛ 250 ¸ÀASÉåAiÀÄÄ 225 QÌAvÀ 256 PÉÌ vÀÄA¨Á

ºÀwÛgÀ«zÉ.

DzÀÝjAzÀ 250 ¸Àj¸ÀÄªÀiÁgÀÄ 16 DVzÉ.


1. PÉ¼ÀV£À ªÀiË®åªÀ£ÀÄß ¸À«ÄÃ¥ÀzÀ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ½UÉ CAzÁdÄ ªÀiÁr

(i) 80 (ii) 1000

(iii) 350 (iv) 500

112 UÀtÂvÀ

C¨sÁå¸À 5.4

1. F PÉ¼ÀV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼À£ÀÄß ¨sÁUÁPÁgÀ «zsÁ£À¢AzÀ PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 2304 (ii) 4489 (iii) 3481

(iv) 529 (v) 3249 (vi) 1369

(vii) 5776 (viii) 7921 (ix) 576

(x) 1024 (xi) 3136 (xii) 900

2. F PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÀUÀðªÀÄÆ®zÀ°ègÀÄªÀ CAQUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj (AiÀiÁªÀÅzÉÃ jÃwAiÀÄ ¯ÉPÀÌ ªÀiÁqÀzÉÃ)

(i) 64 (ii) 144 (iii) 4489

(iv) 27225 (v) 390625

3. PÉ¼ÀV£À zÀ±ÀªÀiÁA±À ¸ÀASÉåUÀ¼À ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj

(i) 2.56 (ii) 7.29 (iii) 51.84

(iv) 42.25 (v) 31.36

4. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtðªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä CzÀjAzÀ PÀ¼ÉAiÀÄ¨ÉÃPÁzÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ D jÃw ¥ÀqÉzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀðzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 402 (ii) 1989 (iii) 3250

(iv) 825 (v) 4000

5. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÁßV ªÀiÁqÀ®Ä CªÀÅUÀ½UÉ PÀÆqÀ¨ÉÃPÁVgÀÄªÀ PÀ¤µÀ× ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. ªÀÄvÀÄÛ D jÃw ¥ÀqÉzÀ ¥ÀÆtð ªÀUÀðzÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 525 (ii) 1750 (iii) 252

(iv) 1825 (v) 6412

6. MAzÀÄ ZËPÀzÀ «¹ÛÃtð 441 ZÀ.«ÄÃ. EzÀÝgÉ ¨ÁºÀÄ«£À GzÀÝªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. ABC ®A§PÉÆÃ£À wæ¨sÀÄdzÀ°è, B = 90°

(a) AB = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 8 ¸ÉA.«ÄÃ. EzÀÝgÉ AC PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(b) AC = 13 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. EzÀÝgÉ AB PÀAqÀÄ»r¬Äj.


8. M§â vÉÆÃlUÁgÀ£À §½ 1000 ¸À¹UÀ½ªÉ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸ÀªÀÄ«gÀÄªÀAvÉ £ÉqÀ®Ä EaÒ¹zÁÝ£É. F jÃw ªÀiÁqÀ®Ä CªÀ¤UÉ E£ÀÄß PÀ¤µÀ× JµÀÄÖ ¸À¹UÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛªÉ?

9. MAzÀÄ ±Á¯ÉAiÀÄ°è 500 ªÀÄPÀÌ½zÁÝgÉ. CªÀgÀÄ PÀªÁAiÀÄvÀ ªÀiÁqÀ®Ä CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀA-SÉåUÉ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉå ¸ÀªÀÄ«gÀÄªÀAvÉ ¤®è¨ÉÃPÁVzÉ ºÁUÉ ¤AvÀ £ÀAvÀgÀ JµÀÄÖ ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ F ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀÄ ºÉÆgÀUÉ G½AiÀÄÄvÁÛgÉ?

¸ÁgÁA±À

1. m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÉgÀqÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÁVzÀÄÝ m £ÀÄß n2 JAzÀÄ §gÉAiÀÄ§ºÀÄzÁzÀgÉ m MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

2. J®è ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À ©r¸ÁÜ£ÀzÀ°è 0, 1, 4, 5, 6 CxÀªÁ 9 EgÀÄvÀÛªÉ.

3. ªÀUÀð¸ÀASÉåUÀ¼À CAvÀåzÀ°è ¸ÉÆ£ÉßUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ¸ÀASÉåAiÀÄ°ègÀÄvÀÛªÉ.

4. ªÀUÀðªÀÄÆ® PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀÅzÀÄ, ªÀUÀð PÀAqÀÄ»rAiÀÄÄªÀ «zsÁ£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀÄªÁVzÉ.

5. MAzÀÄ ¥ÀÆtð ªÀUÀð ¸ÀASÉåUÉ JgÀqÀÄ ¥ÀÆuÁðAPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ½gÀÄvÀÛªÉ. zsÀ£ÁvÀäPÀ ªÀUÀðªÀÄÆ®ªÀ£ÀÄß aºÉß¬ÄAzÀ UÀÄgÀÄw¸À¯ÁUÀÄvÀÛzÉ. GzÁºÀgÀtÂUÉ 32 = 9

EzÀjAzÀ 9 = 3.

6.1 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ JAzÀgÉÃ£ÀÄ?

£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ JAzÀgÉÃ£ÀÄ JA§ÄzÀgÀ §UÉÎ CjwzÉÝÃªÉ. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ:

x + 3, 2y – 5, 3x2, 4xy + 7 EvÁå¢.

ZÀgÁPÀëgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¹ÜgÁAPÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ ©ÃeÉÆÃQÛ gÀa¸ÀÄªÀÅzÀ£ÀÀÄß w½¢gÀÄªÀÅzÀjAzÀÀ E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼£ÀÀÄß ¤ÃªÀÅ gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ. ©ÃeÉÆÃQÛ 2y – 5 £ÀÄß ZÀgÁPÀëgÀ y ºÁUÀÆ ¹ÜgÁAPÀ 2 ªÀÄvÀÄÛ 5£ÀÄß §¼À¹ gÀa¹zÉ. ©ÃeÉÆÃQÛ 4xy + 7 JA§ÄzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀ x ªÀÄvÀÄÛ y ºÁUÀÆ ¹ÜgÁAPÀ 4 ªÀÄvÀÄÛ 7 jAzÀ gÀavÀªÁVzÉ.

2y – 5 JA§ ©ÃeÉÆÃQAÛiÀÄ°è y ¨É¯É K£ÀÄ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ DUÀ§ºÀÄzÀÄ. EzÀÄ 2, 5, –3,

0, 5 7,

2 3

− ....... EAvÀºÀ ÇÀASÁåvÀ É¯ÉUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ É¯ÉAiÀiÁUÀ§ºÀÄzÀÄ. ZÀgÁPÀëgÀ

y UÉ ¤ÃrzÀ ¨É¯ÉAiÀÄ DzsÁgÀzÀ°è ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯É §zÀ¯ÁUÀÄvÀÛzÉ.

y = 2 DzÁUÀ 2y – 5 = 2(2) – 5 = –1; y = 0 DzÁUÀ 2y – 5 = 2 × 0 –5 = –5. EzÉÃ jÃw y £À EvÀgÀ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ©ÃeÉÆÃQÛ 2y – 5gÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ »r¬Äj.

©ÃeÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀASÁågÉÃSÉ:

©ÃeÉÆÃQÛ x + 5 £ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. ZÀgÁPÀëgÀ x £À ¸ÁÜ£ÀªÀÅ ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É X DVgÀ°.

X ©AzÀÄªÀÅ ¸ÀASÁå gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É J°è ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ EgÀ°. EzÀgÀ §®UÀqÉ 5 KPÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°è P ©AzÀÄªÀÅ x + 5 gÀ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ. EzÉÃ jÃw x – 4 JA§ÄzÀÄ X £À JqÀUÀqÉ 4 KPÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°è EgÀÄvÀÛzÉ. 4x ªÀÄvÀÄÛ 4x + 5gÀ ¸ÁÜ£À K¤gÀ§ºÀÄzÀÄ?

x x x

E°è 4x £À ¸ÁÜ£ÀªÀÅ C ©AzÀÄ DVzÉ. ªÀÄÆ®©AzÀÄ«¤AzÀ C ©AzÀÄ«VgÀÄªÀ CAvÀgÀ ªÀÄÆ®©AzÀÄ«¤AzÀ X ©AzÀÄ«VgÀÄªÀ CAvÀgÀzÀ 4 gÀµÁÖVzÉ. 4x + 5gÀ ¸ÁÜ£À D DVzÀÄÝ EzÀÄ C ©AzÀÄ«¤AzÀ §®PÉÌ 5 KPÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.

CzsÁåAiÀÄ

6©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ

©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ 115

(1) MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀÅ¼Àî ©ÃeÉÆÃQÛUÀ½UÉ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ¼Àî ©ÃeÉÆÃQÛUÀ½UÉ LzÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãr.

(2) x, x – 4, 2x + 1, 3x – 2UÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÁå gÉÃSÉ ªÉÄÃ¯É vÉÆÃj¹.


6.2 ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ, C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ

©ÃeÉÆÃQÛ 4x + 5£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. F ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ 4x ªÀÄvÀÄÛ 5 JA§ JgÀqÀÄ ¥ÀzÀUÀ½AzÀ

GAmÁVzÉ. ©Ãd¥ÀzÀUÀÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ. C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À

UÀÄt®§Þ¢AzÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ GAmÁVªÉ. 4x JA§ ¥ÀzÀªÀÅ 4 ªÀÄvÀÄÛ x JA§ EzÀgÀ

JgÀqÀÄ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVzÉ. 5 JA§

¥ÀzÀªÀÅ PÉÃªÀ® MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À 5 jAzÀ DVzÉ.

7xy – 5x ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ 7xy ªÀÄvÀÄÛ –5x JA§

¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß ºÉÆA¢zÉ. 7xy JA§ ¥ÀzÀªÀÅ 7, x ªÀÄvÀÄÛ y JA§ C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVzÉ. MAzÀÄ

¥ÀzÀzÀ°ègÀÄªÀ ¸ÀASÁå C¥ÀªÀvÀð£ÀªÀ£ÀÄß ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ CxÀªÁ ¸ÀgÀ¼ÀªÁV ¸ÀºÀUÀÄtPÀ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ©Ãd¥ÀzÀ 7xy £À°è ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ 7

ªÀÄvÀÄÛ – 5x £À°è ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ –5.

6.3 KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ

MAzÉÃ MAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. JgÀqÀÄ

¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¢é¥ÀzÀÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄÄ ªÀÄÆgÀÄ

¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ D ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß wæ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ªÀÄvÀÄÛ EzÀÄ »ÃUÉÃ

ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ºÉÆA¢gÀÄªÀ, IÄuÁvÀäPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ WÁvÀ¸ÀÆa ºÉÆA¢gÀÄªÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ½AzÁzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄÄ MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ

ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀ§ºÀÄzÀÄ.

KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: 4x2, 3xy, –7z, 5xy2, 10y, –9, 82mnp. EvÁå¢.

¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: a + b, 4l + 5m, a + 4, 5 –3xy, z2 – 4y2. EvÁå¢.

wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: a + b + c, 2x + 3y – 5, x2y – xy2 + y2. EvÁå¢.

§ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ½UÉ GzÁºÀgÀuÉ: a + b + c + d, 3xy, 7xyz – 10, 2x + 3y + 7z. EvÁå¢.

x2y2 – 10x2y + 5xy2 – 20. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀzÀ ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.


116 UÀtÂvÀ

(1) PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÁV «AUÀr¹.

– z + 5, x + y + z, y + z + 100, ab – ac, 17 (2) gÀa¹. (a) x ZÀgÁPÀëgÀ ªÀiÁvÀæ ºÉÆA¢gÀÄªÀ 3 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ; (b) x ªÀÄvÀÄÛ y ZÀgÁPÀëgÀ ºÉÆA¢gÀÄªÀ 3 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ; (c) x ªÀÄvÀÄÛ y ZÀgÁPÀëgÀ ºÉÆA¢gÀÄªÀ 3 KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ; (d) 4 CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ 2 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ.


6.4 ¸ÀeÁw ªÀÄvÀÄÛ «eÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ

PÉ¼ÀV£À ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÀÄß UÀªÀÄ¤¹: 7x, 14x, –13x, 5x2, 7y, 7xy, –9y2, –9x2, –5yx EªÀÅUÀ¼À°è: (i) 7x, 14x, –13x UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ. (ii) 5x2 ªÀÄvÀÄÛ –9x2 UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ. (iii) 7xy ªÀÄvÀÄÛ –5yx UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ. 7x ªÀÄvÀÄÛ 7y AiÀiÁPÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À®è ? 7x ªÀÄvÀÄÛ 7xy AiÀiÁPÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À®è ? 7x ªÀÄvÀÄÛ 5x2 AiÀiÁPÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À®è ?

(1) PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀPÀÆÌ JgÀqÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß §gÉ¬Äj.

(i) 7xy (ii) 4mn2 (iii) 2l


6.5 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ¸ÀAPÀ®£À ªÀÄvÀÄÛ ªÀåªÀPÀ®£À

»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è £ÁªÀÅ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀgÀ §UÉÎ PÀ°wzÉÝÃªÉ. GzÁºÀgÀuÉUÉ, 7x2 – 4x + 5 ªÀÄvÀÄÛ 9x – 10 UÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀ®Ä £ÁªÀÅ »ÃUÉ ªÀiÁqÀÄvÉÛÃªÉ.

2

2

7 4 5

9 10

7 5 5

x x

x

x x

− ++ −

+ −


E°è £ÁªÀÅ PÀÆqÀ¨ÀÉÃPÁzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀ CqÀØ ¸Á®ÄUÀ¼À°è §gÉ¢zÉÝÃªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹. »ÃUÉ ªÀiÁqÀÄªÁUÀ ¸ÀeÁwAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ MAzÀgÀ PÉ¼ÀUÉ MAzÀÄ §gÀÄªÀAvÉ §gÉzÀÄ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÉÝÃªÉ. DzÀÝjAzÀ 5 + (–10) = 5 –10 = –5. EzÉÃ jÃw – 4x + 9x = (– 4 + 9)x = 5x. £ÁªÀÅ E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 1 : 7xy + 5yz – 3zx, 4yz + 9zx – 4y, –3xz + 5x – 2xy UÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¹. ¥ÀjºÁgÀ : ªÀÄÆgÀÆ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ MAzÀgÀ PÉ¼ÀUÉ MAzÀÄ §gÀÄªÀAvÉ

¥ÀævÉåÃPÀ CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À°è §gÉzÁUÀ,

(xz ªÀÄvÀÄÛ zx MAzÉÃ DVªÉ)

7 5 3

4 9 4

2 3 5

5 9 3 5 4

xy yz zx

yz zx y

xy zx x

xy yz zx x y

+ −+ + −+ − − +

+ + + −

»ÃUÉ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÀÅ 5xy + 9yz + 3zx + 5x – 4y. JgÀqÀ£ÉÃ ©ÃeÉÆÃQAÛiÀÄ°è – 4y ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°è 5x UÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢®èzÉÃ EgÀÄªÀÅzÀjAzÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ºÁUÉÃ G½¹PÉÆ¼Àî¯ÁVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2 : 5x2 – 4y2 + 6y – 3£ÀÄß 7x2 – 4xy + 8y2 + 5x – 3y ¤AzÀ PÀ¼ÀÉ¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 2 2

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

7 4 8 5 3

5 4 6 3

2 4 12 5 9 3

x xy y x y

x y y

x xy y x y

− + − +

− + + −

− + −

− + + − +

MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ «¯ÉÆÃªÀÄªÀ£ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀÄ JgÀqÀÆ MAzÉÃ DVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸À¨ÉÃPÀÄ. DzÀÝjAzÀ -3 £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ +3 £ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀÄ JgÀqÀÆ MAzÉÃ DVzÉ. CzÉÃ jÃw 6y £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ -6y £ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀÄ MAzÉÃ DVzÉ. –4y2 £ÀÄß PÀ¼ÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ 4y2 £ÀÄß PÀÆqÀÄªÀÅzÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ EzÉÃ jÃw ªÀÄÄAzÀÄªÀgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. JgÀqÀ£ÉÃ ¸Á°£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀzÀ PÉ¼ÀUÉ ªÀÄÆgÀ£ÉÃ ¸Á°£À°è §zÀ¯ÁzÀ aºÉßUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀÄÄªÀÅzÀÄ £ÁªÀÅ AiÀiÁªÀ QæAiÉÄ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ JA§ÄzÀPÉÌ ¸ÀºÁAiÀÄ ªÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.

C¨sÁå¸À 6.1

1. PÉ¼ÀV£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ°è ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ÀASÁå ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹.

(i) 5xyz2 – 3zy (ii) 1 + x + x2 (iii) 4x2y2 – 4x2y2z2 + z2

(iv) 3 – pq + qr – rp (v) 2 2

x yxy+ − (vi) 0.3a – 0.6ab + 0.5b

118 UÀtÂvÀ

2. PÉ¼ÀV£À §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ, wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÁV «AUÀr¹. F ªÀÄÆgÀÄ UÀÄA¥ÀÄUÀ½UÉ ¸ÉÃgÀzÀ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀªÀÅ?

x + y, 1000, x + x2 + x3 + x4, 7 + y + 5x, 2y – 3y2, 2y – 3y2 + 4y3, 5x – 4y + 3xy, 4z – 15z2, ab + bc + cd + da, pqr, p2q + pq2, 2p + 2q 3. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrj.

(i) ab – bc, bc – ca, ca – ab (ii) a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac (iii) 2p2q2 – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p2q2

(iv) l2 + m2, m2 + n2, n2 + l2, 2lm + 2mn + 2nl 4. (a) 4a – 7ab + 3b + 12 £ÀÄß 12a – 9ab + 5b – 3 jAzÀ PÀ¼É¬Äj.

(b) 3xy + 5yz – 7zx £ÀÄß 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz ¤AzÀ PÀ¼É¬Äj.

(c) 4p2q – 3pq + 5pq2 – 8p + 7q – 10£ÀÄß 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq2 + 5p2q ¤AzÀ PÀ¼É¬Äj.

6.6 ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ; ¥ÀjZÀAiÀÄ

(i) PÉ¼ÀV£À ZÀÄPÉÌUÀ¼À ªÀiÁzÀjAiÀÄ£ÀÄß £ÉÆÃr.

ZÀÄPÉÌUÀ¼À ªÀiÁzÀj ZÀÄPÉÌUÀ¼À MlÆÖ ¸ÀASÉå «ªÀgÀuÉ

4 × 9 -

5 × 7 -

m × n

ZÀÄPÉÌUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

w½¸ÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß w½¸ÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÉÆA¢UÉ UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÀÄ.

(m + 2) × (n + 3)E° èCqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 2 ºÉaÑ¹zÉ. CAzÀgÉ, m+2. ªÀÄvÀÄÛ PÀA§¸Á®ÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß 3

ºÉaÑ¹zÉ. CAzÀgÉ, n+3.


(ii) FUÀ ¤ÃªÀÅ EzÉÃ jÃw JgÀqÀÄ ©ÃeÉÆÃQUÛÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀ ¨ÉÃgÉ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÉÃ? C«ÄÃ£Á JzÀÄÝ ¤AvÀÄ ºÉÃ½zÀ¼ÀÄ. “£ÁªÀÅ DAiÀÄvÀzÀ «¹ÃÛtðzÀ §UÉÎ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÀÄ”. DAiÀÄvÀzÀ «¹ÃÛtð l × b, E°è l – GzÀÝ, b–CUÀ®. DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝªÀ£ÀÄß 5 KPÀªÀiÁ£À ºÉa¹ÑzÀgÉ (l + 5) KPÀªÀiÁ£À, ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®ªÀ£ÀÄß 3 KPÀªÀiÁ£À PÀrªÉÄ ªÀiÁrzÀgÉ (b – 3) KPÀªÀiÁ£À. DUÀ ºÉÆ¸À DAiÀÄvÀzÀ «¹ÃÛtðªÀÅ (l + 5) × (b – 3) ZÀzÀgÀ ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÀÄ.

DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä £ÁªÀÅ l × b CxÀªÁ (l + 5)×(b – 3) jÃwAiÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.

(iii) UÁvÀæ (WÀ£À¥sÀ®)zÀ §UÉÎ ¤ÃªÀÅ AiÉÆÃa¹gÀÄ«gÁ? MAzÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ UÁvÀæªÀÅ CzÀgÀ GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

(iv) £ÁªÀÅ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß PÉÆ¼ÀÄîªÁUÀ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸ÀjvÁ ¸ÀÆa¹zÀ¼ÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ;

MAzÀÄ qÀd£ï ¨Á¼É ºÀtÂÚ£À ¨É¯É = ` p ±Á¯ÉAiÀÄ ¦Pï¤PïUÁV ¨ÉÃPÁUÀÄªÀ ¨Á¼É ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ = z qÀd£ï. DUÀ £ÁªÀÅ ¥ÁªÀw¸À¨ÉÉÃPÁzÀ ºÀt = ` p × z MAzÀÄ ªÉÃ¼É Á¼É ºÀtÄÚUÀ¼À É¯É 2 PÀrªÉÄ DV ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ 4 qÀd£ï PÀrªÉÄ ÉÃPÁzÀgÉ DUÀ,

¥Àæw qÀd£ï ¨Á¼É ºÀtÂÚ£À ¨É¯É = ` (p – 2) ªÀÄvÀÄÛ ¨ÉÃPÁUÀÄªÀ ¨Á¼É ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ = (z – 4) qÀd£ï. DzÀÝjAzÀ £ÁªÀÅ ¥ÁªÀw¸À¨ÀÉÃPÁzÀ ºÀt = ` (p – 2) × (z – 4)


• ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀ EzÉÃ jÃwAiÀÄ ÉÃgÉ JgÀqÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¸À§ºÀÄzÉÃ?

(¸ÀÄ½ªÀÅ : * dªÀ ªÀÄvÀÄÛ PÁ®UÀ¼À §UÉÎ AiÉÆÃa¹.

* ÀgÀ¼À§rØzÀgÀ ªÀÄvÀÄÛ ÇÀ®ÄUÀ½UÉ C£ÀÄUÀÄtªÁV ¸ÀgÀ¼À§rØ ¥ÁªÀw¸ÀÄªÀ ¸ÀAzÀ¨sÀð AiÉÆÃa¹).

ªÉÄÃ°£À J¯Áè GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À°è £ÁªÀÅ JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄ Ñ ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼À£ÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. MAzÀÄ ªÉÃ¼É F ¥ÀjªÀiÁtUÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVzÀÝgÉ £ÁªÀÅ CªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »rAiÀÄ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. CAzÀgÉ £ÁªÀÅ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§Þ ¥ÀqÉAiÀÄÄªÀÅzÀ£ÀÄß w½¢gÀ¨ÉÃPÀÄ. EzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ ªÀåªÀ¹ÜvÀªÁV ªÀiÁqÉÆÃt. ªÉÆzÀ°UÉ £ÁªÀÅ JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

120 UÀtÂvÀ

6.7 KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ 6.7.1 JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

£ÁªÀÅ FUÁUÀ¯ÉÃ 4 × x = x + x + x + x = 4x JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃrzÉÝÃªÉ. EzÉÃ jÃw, 4 × (3x) = 3x + 3x + 3x + 3x = 12x.

FUÀ PÉ¼ÀV£À UÀÄt®§ÞUÀ¼£ÀÀÄß CªÀ¯ÉÆÃQ¹.

(i) x × 3y = x × 3 × y = 3 × x × y = 3xy (ii) 5x × 3y = 5 × x × 3 × y = 5 × 3 × x × y = 15xy (iii) 5x × (–3y) = 5 × x × (–3) × y = 5 × (–3) × x × y = –15xy

E£ÀÆß PÉ®ªÀÅ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ PÉ¼ÀV£ÀAwªÉ.

(iv) 5x × 4x2 = (5 × 4) × ( x × x2)

UÀªÀÄ¤¹: 5 × 4 = 20 CAzÀgÉ, UÀÄt®§ÞzÀ ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀ = ªÉÆzÀ® KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀ × JgÀqÀ£ÉÃ KP¥ÀÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀ;

ªÀÄvÀÄÛ x × x2 = x3. CAzÀgÉ, UÀÄt®§ÞzÀ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À = ªÉÆzÀ® KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À × JgÀqÀ£ÉÃ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ©ÃdUÀtÂwÃAiÀÄ C¥ÀªÀvÀð£À.

= 20 × x3 = 20x3

(v) 5x × (– 4xyz) = 5 × (– 4) × (x × xyz) = –20 × (x × x × yz) = –20x2yz. JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§ÞzÀ°ègÀÄªÀ ZÀgÁPÀëgÀ ¨sÁUÀzÀ ««zsÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À

WÁvÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀåPÀÛ¥Àr¸ÀÄªÁUÀ WÁvÁAPÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ WÁvÀUÀ¼À ¤AiÀÄªÀÄUÀ¼À£ÀÄß §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

6.7.2 ªÀÄÆgÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÀÄß CªÀ¯ÉÆÃQ¹.

(i) 2x × 5y × 7z = (2x × 5y) × 7z = 10xy × 7z = 70xyz (ii) 4xy × 5x2y2 × 6x3y3 = (4xy × 5x2y2) × 6x3y3 = 20x3 y3 × 6x3 y3 = 120x3y3 × x3y3 = 120 (x3 × x3) × (y3 × y3) = 120x6 × y6 = 120x6y6. E°è £ÁªÀÅ ªÉÆzÀ®Ä JgÀqÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¹ §AzÀ UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀ£ÉÃ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸À¨ÀÉÃPÀÄ JA§ÄzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁUÀÄvÀÛzÉ. F «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ JµÀÄÖ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄt®§ÞPÉÌ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ «¸ÀÛj¸À§ºÀÄzÀÄ.

KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀÄÆgÀÆ UÀÄt®§ÞUÀ¼ÀÄ 3xy ,15xy, –15xy KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÁVªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß

UÀªÀÄ¤¹.


£ÁªÀÅ ¨ÉÃgÉ «zsÁ£ÀzÀ°AèiÀÄÆ UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »rAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. 4xy × 5x2 y2 × 6x3 y3 = (4 × 5 × 6) × (x × x2 × x3) × (y × y2 × y3) = 120 x6y6

4x × 5y × 7z UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

ªÉÆzÀ®Ä 4x × 5y PÀAqÀÄ»rzÀÄ £ÀAvÀgÀ 7z ¤AzÀ UÀÄtÂ¹. CxÀªÁ

ªÉÆzÀ®Ä 5y × 7z PÀAqÀÄ»rzÀÄ £ÀAvÀgÀ 4x ¤AzÀ UÀÄtÂ¹. GvÀÛgÀ MAzÉÃ DVzÉAiÉÄÃ? ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸ÀÄ«j? ¥ÀzÀUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀÄªÁUÀ CªÀÅUÀ¼À PÀæªÀÄªÀÅ ªÀÄÄRåªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ?


GzÁºÀgÀuÉ 3 : PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼À DAiÀÄvÀzÀÀ «¹ÛÃtðzÀ PÉÆÃµÖÀPÀ ¥ÀÆtðUÉÆ½¹.

¥ÀjºÁgÀ : :

GzÀÝ CUÀ® «¹ÛÃtð

3x 5y 3x × 5y = 15xy9y 4y2 ..................

4ab 5bc ..................212m 31m2 ..................

GzÁºÀgÀuÉ 4 : PÉ¼ÀUÉ ¤ÃrzÀ GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ UÁvÀæ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

GzÀÝ CUÀ® JvÀÛgÀ

(i) 2ax 3by 5cz(ii) m2n n2p p2m(iii) 2q 4q2 8q3

¥ÀjºÁgÀ : UÁvÀæ (WÀ£À¥sÀ®) = GzÀÝ × CUÀ® × JvÀÛgÀ

DzÀÝjAzÀ, (i) UÁvÀæ = (2ax) × (3by) × (5cz) = 2 × 3 × 5 × (ax) × (by) × (cz) = 30abcxyz

(ii) UÁvÀæ = m2n × n2p × p2m = (m2 × m) × (n × n2) × (p × p2) = m3n3p3

(iii) UÁvÀæ = 2q × 4q2 × 8q3 = 2 × 4 × 8 × q × q2 × q3 = 64q6

122 UÀtÂvÀ

C¨sÁå¸À 6.2

1. PÉ¼ÀV£À KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(i) 4, 7p (ii) – 4p, 7p (iii) – 4p, 7pq (iv) 4p3, – 3p (v) 4p, 0 2. PÉ¼ÀV£À KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CUÀ®UÀ¼ÁV ºÉÆA¢gÀÄªÀ

DAiÀÄvÀUÀÀ¼À «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»r¬Äj

(p, q); (10m, 5n); (20x2, 5y2); (4x, 3x2); (3mn, 4np). 3. PÉ¼ÀV£À UÀÄt®§ÞUÀ¼À PÉÆÃµÖÀPÀ ¥ÀÆtðUÉÆ½¹.

ªÉÆzÀ® KPÀ¥ÀzÀ →JgÀqÀ£ÉÃ KPÀ¥ÀzÀ ↓ 2x –5y 3x2 –4xy 7x2y –9x2y2

2x 4x2 ... ... ... ... ...–5y ... ... –15x2y ... ... ...3x2 ... ... ... ... ... ...

–4xy ... ... ... ... ... ...7x2y ... ... ... ... ... ...

–9x2y2 ... ... ... ... ... ...

4. PÉ¼ÀV£À GzÀÝ, CUÀ® ªÀÄvÀÄÛ JvÀÛgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ ¥ÉnÖUÉUÀ¼À UÁvÀæ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 5a, 3a2, 7a4 (ii) 2p, 4q, 8r (iii) xy, 2x2y, 2xy2 (iv) a, 2b, 3c. 5. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(i) xy, yz, zx (ii) a, –a2, a3 (iii) 2, 4y, 8y2, 16y3 (iv) a, 2b, 3c, 6abc (v) m, –mn, mnp

6.8 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

6.8.1 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ.

£ÁªÀÅ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ 3x £ÀÄß ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ 5y + 2 jAzÀ UÀÄtÂ¸ÉÆÃt. CAzÀgÉ, 3x × (5y + 2) = ? 3x ªÀÄvÀÄÛ (5y + 2)UÀ¼ÀÄ ¸ÀASåÉUÀ¼À£ÀÀÄß ¥Àæw¤¢ü¸ÀÄvÀÛªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ½î. DzÀÝjAzÀ «vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¹, 3x × (5y + 2) = (3x × 5y) + (3x × 2)

= 15xy + 6x.


£ÁªÀÅ ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV ¯ÉPÁÌZÁgÀUÀ¼À°è «vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ: 7 × 106 = 7 × (100 + 6) = 7 × 100 + 7 × 6 («vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¹zÉ)

= 700 + 42 = 742 ªÀÄvÀÄÛ 7 × 38 = 7 × (40 – 2) = 7 × 40 – 7 × 2 («vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¹zÉ)

= 280 – 14 = 266

CzÉÃ jÃw, (–3x) × (–5y + 2) = (–3x) × (–5y) + (–3x) × (2) = 15xy – 6x ªÀÄvÀÄÛ 5xy × (y2 + 3) = (5xy × y2) + (5xy × 3) = 5xy3 + 15xy. ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ × KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ §UÉÎ K£ÀÄ ºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ? GzÁºÀgÀuÉUÉ, (5y + 2) × 3x = ? £ÁªÀÅ ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄ ¤AiÀÄªÀÄ »ÃUÉ §¼À¸ÀÄvÉÛÃªÉ. 7 × 3 = 3 × 7 ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, a × b = b × a CzÉÃ jÃw, FUÁUÀ¯ÉÃ £ÉÆÃrgÀÄªÀAvÉ, (5y + 2) × 3x = 3x × (5y + 2) = 15xy + 6x.

UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(i) 2x (3x + 5xy) (ii) a2 (2ab – 5c)


6.8.2 wæ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ3p × (4p2 + 5p + 7) £ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. F ªÉÆzÀ°£À GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀAvÉ £ÁªÀÅ «vÀgÀuÁ

¤AiÀÄªÀÄ §¼À¸ÉÆÃt.

3p × (4p2 + 5p + 7) = (3p × 4p2) + (3p × 5p) + (3p × 7) = 12p3 + 15p2 + 21p

KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄtÂ¹ UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÀÄß

PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ.


UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(4p2 + 5p + 7) × 3p

«vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¹ ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄt®§Þ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

124 UÀtÂvÀ

GzÁºÀgÀuÉ 5 : ©ÃeÉÆÃQUÛÀ¼À£ÀÄß ¸ÀAPÉëÃ¦¹ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀÆa¹zÀ ¥ÀæPÁgÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) x = 1 DzÁUÀ x (x – 3) + 2 (ii) y = –2 DzÁUÀ 3y (2y – 7) – 3 (y – 4) – 63 ¥ÀjºÁgÀ : (i) x (x – 3) + 2 = x2 – 3x + 2 x = 1 DzÀgÉ x2 – 3x + 2 = (1)2 – 3 (1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 3 – 3 = 0 (ii) 3y (2y – 7) – 3 (y – 4) – 63 = 6y2 – 21y – 3y + 12 – 63 = 6y2 – 24y – 51 y = –2 DzÀgÉ, 6y2 – 24y – 51 = 6 (–2)2 – 24(–2) – 51 = 6 × 4 + 24 × 2 – 51 = 24 + 48 – 51 = 72 – 51 = 21 GzÁºÀgÀuÉ 6 : PÀÆr¹:

(i) 5m (3 – m) ªÀÄvÀÄÛ 6m2 – 13m (ii) 4y (3y2 + 5y – 7) ªÀÄvÀÄÛ 2(y3 – 4y2 + 5)¥ÀjºÁgÀ : (i) ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ ¸ÀAPÉëÃ¦¹zÁUÀ, 5m (3 – m) = (5m × 3) – (5m × m) = 15m – 5m2

EzÀPÉÌ JgÀqÀ£ÉÃ ©ÃeÉÆÃQÛ PÀÆrzÁUÀ, 15m – 5m2 + 6m2 – 13m = m2 + 2m (ii) ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ ¸ÀAPÉëÃ¦¹zÁUÀ, 4y (3y2 + 5y – 7) = (4y × 3y2) + (4y × 5y) + [(4y × (–7)] = 12y3 + 20y2 – 28y JgÀqÀ£ÉÃ ©ÃeÉÆÃQÛ ¸ÀAPÉëÃ¦¹zÁUÀ, 2(y3 – 4y2 + 5) = 2y3 + 2 × (– 4y2) + 2 × 5 = 2y3 – 8y2 + 10 FUÀ JgÀqÀÆ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ,

3 2

3 2

3 2

12 20 28

2 8 10

14 12 28 10

y y y

y y

y y y

+ −

+ − +

+ − +


GzÁºÀgÀuÉ 7 : 3pq (p – q) £ÀÄß 2pq (p + q) jAzÀ PÀ¼É¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : FUÀ, 3pq (p – q) = 3p2q – 3pq2 ªÀÄvÀÄÛ 2pq (p + q) = 2p2q + 2pq2 PÀ¼ÉzÁUÀ,

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

3 3

···· ·

···· 5

p q pq

p q pq

p q pq

+

−

− +

− +

C¨sÁå¸À 6.3

1. PÉ¼ÀV£À ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À eÉÆÃrUÀ¼À£ÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁr.

(i) 4p, q + r (ii) ab, a – b (iii) a + b, 7a2b2

(iv) a2 – 9, 4a (v) pq + qr + rp, 0 2. PÉÆÃµÀÖPÀ ¥ÀÆtðUÉÆ½¹.

ªÉÆzÀ® ©ÃeÉÆÃQÛ JgÀqÀ£ÉÃ ©ÃeÉÆÃQÛ UÀÄt®§Þ

(i) a b + c + d ...(ii) x + y – 5 5xy ...(iii) p 6p2 – 7p + 5 ...(iv) 4p2q2 p2 – q2 ...(v) a + b + c abc ...

3. UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (a2) × (2a22) × (4a26) (ii) 2 22 9

3 10xy x y

− ×

(iii) 3 310 6

3 5pq p q

− × (iv) x × x2 × x3 × x4

4. (a) 3x (4x – 5) + 3 ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀAPÉëÃ¦¹. x UÉ PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ ¨É¯ÉUÀ½UÉ

CzÀgÀ ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) x = 3 (ii) 1

2x=

(b) a (a2 + a + 1) + 5. ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ÀAPÉëÃ¦¹ ªÀÄvÀÄÛ aUÉ PÉ¼ÀUÉ PÉÆnÖgÀÄªÀ É¯ÉUÀ½UÉ CzÀgÀ É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) a = 0, (ii) a = 1 (iii) a = – 1. 5. (a) PÀÆr¹: p (p – q), q(q – r) ªÀÄvÀÄÛ r(r – p) (b) PÀÆr¹: 2x (z – x – y) ªÀÄvÀÄÛ 2y (z – y – x) (c) PÀ¼É¬Äj: 3l (l – 4 m + 5 n)£ÀÄß 4l (10 n – 3 m + 2l) jAzÀ (d) PÀ¼É¬Äj: 3a (a + b + c) – 2 b (a – b + c) AiÀÄ£ÀÄß 4c (– a + b + c) ¬ÄAzÀ.

126 UÀtÂvÀ

6.9 §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ

6.9.1 ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ

£ÁªÀÅ MAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ (2a + 3b) AiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ (3a + 4b) ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸ÉÆÃt. EzÀ£ÀÄß F »A¢£ÀAvÉ UÀÄtPÁgÀzÀ «vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¹ ºÀAvÀ ºÀAvÀªÁV ©r¸À§ºÀÄzÀÄ.

(3a + 4b) × (2a + 3b) = 3a × (2a + 3b) + 4b × (2a + 3b)

= (3a × 2a) + (3a × 3b) + (4b × 2a) + (4b × 3b)

= 6a2 + 9ab + 8ba + 12b2

= 6a2 + 17ab + 12b2 (ba = ab)

£ÁªÀÅ E°è ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀÄªÀÅzÀjAzÀ UÀÄt®§ÞzÀ°è 2 × 2 = 4 ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¤jÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ E°è JgÀqÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ½zÀÄÝ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸ÀÄªÀÅzÀjAzÀ MlÄÖ

ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛÃªÉ. §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è £ÁªÀÅ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß

UÀªÀÄ¤¸À¨ÉÃPÀÄ. MAzÉÆªÉÄä EzÀÝgÉ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆr¸À¨ÉÃPÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉ 8 : UÀÄtÂ¹.

(i) (x – 4) ªÀÄvÀÄÛ (2x + 3) (ii) (x – y) ªÀÄvÀÄÛ (3x + 5y).¥ÀjºÁgÀ : (i) (x – 4) × (2x + 3) = x × (2x + 3) – 4 × (2x + 3) = (x × 2x) + (x × 3) – (4 × 2x) – (4 × 3) = 2x2 + 3x – 8x – 12 = 2x2 – 5x – 12 (¸ÀeÁw ¥ÀzÀ PÀÆrzÉ)

(ii) (x – y) × (3x + 5y) = x × (3x + 5y) – y × (3x + 5y) = (x × 3x) + (x × 5y) – (y × 3x) – (y × 5y) = 3x2 + 5xy – 3yx – 5y2

= 3x2 + 2xy – 5y2 (¸ÀeÁw ¥ÀzÀ PÀÆrzÉ)

GzÁºÀgÀuÉ 9 : UÀÄtÂ¹.

(i) (a + 7) ªÀÄvÀÄÛ (b – 5) (ii) (a2 + 2b2) ªÀÄvÀÄÛ (5a – 3b) ¥ÀjºÁgÀ : (i) (a + 7) × (b – 5) = a × (b – 5) + 7 × (b – 5) = ab – 5a + 7b – 35 E°è AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ E®è JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

(ii) (a2 + 2b2) × (5a – 3b) = a2 (5a – 3b) + 2b2 × (5a – 3b) = 5a3 – 3a2b + 10ab2 – 6b3

MAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀzÉÆA¢UÉ UÀÄtÂ¹gÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.


6.9.2 wæ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀÄ

E°è £ÁªÀÅ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀ¢AzÀ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß UÀÄtÂ¸À¨ÀÉÃPÀÄ. DUÀ 3 × 2 = 6 ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¤jÃQë¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄuÁPÁgÀzÀ°è ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉvÀgÉ DUÀ ¥ÀzÀUÀ¼À ÀASåÉ 5 CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ PÀrªÉÄ DUÀ§ºÀÄzÀÄ. PÉ¼ÀV£À UÀÄuÁPÁgÀªÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹.

2( + 7) ( 3 5)a a a× + + = a × (a2 + 3a + 5) + 7 × (a2 + 3a + 5)¢é¥ÀzÉÆÃQÛ wæ¥ÀzÉÆÃQÛ «vÀgÀuÁ ¤AiÀÄªÀÄ §¼À¹zÉ

= a3 + 3a2 + 5a + 7a2 + 21a + 35

= a3 + (3a2 + 7a2) + (5a + 21a) + 35

= a3 + 10a2 + 26a + 35 (CAwªÀÄ GvÀÛgÀzÀ°è 4 ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ EgÀ®Ä PÁgÀt K£ÀÄ?)

GzÁºÀgÀuÉ 10 : ¸ÀAPÉëÃ¦¹ (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c ¥ÀjºÁgÀ : (a + b) (2a – 3b + c) = a (2a – 3b + c) + b (2a – 3b + c) = 2a2 – 3ab + ac + 2ab – 3b2 + bc = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac (–3ab, 2ab UÀ¼ÀÄ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ)

ªÀÄvÀÄÛ (2a – 3b) c = 2ac – 3bc DzÀÝjAzÀ, (a + b) (2a – 3b + c) – (2a – 3b) c = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac – (2ac – 3bc) = 2a2 – ab – 3b2 + bc + ac – 2ac + 3bc = 2a2 – ab – 3b2 + (bc + 3bc) + (ac – 2ac) = 2a2 – 3b2 – ab + 4bc – ac.

C¨sÁå¸À 6.4

1. ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¹.

(i) (2x + 5) ªÀÄvÀÄÛ (4x – 3) (ii) (y – 8) ªÀÄvÀÄÛ (3y – 4) (iii) (2.5l – 0.5m) ªÀÄvÀÄÛ (2.5l + 0.5m) (iv) (a + 3b) ªÀÄvÀÄÛ (x + 5)

(v) (2pq + 3q2) ªÀÄvÀÄÛ (3pq – 2q2) (vi) ªÀÄvÀÄÛ2 2 2 23 23 4

4 3a b a b

+ − 2. UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (5 – 2x) (3 + x) (ii) (x + 7y) (7x – y) (iii) (a2 + b) (a + b2) (iv) (p2 – q2) (2p + q)

128 UÀtÂvÀ

3. ¸ÀAPÉëÃ¦¹.

(i) (x2 – 5) (x + 5) + 25 (ii) (a2 + 5) (b3 + 3) + 5 (iii) (t + s2) (t2 – s) (iv) (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd) (v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y) (vi) (x + y) (x2 – xy + y2) (vii) (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y (viii) (a + b + c) (a + b – c)

6.10 ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt JAzÀgÉÃ£ÀÄ?

(a + 1) (a +2) = a2 + 3a + 2 ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀtÂ¹. £ÁªÀÅ JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ°è a UÉ PÉ®ªÀÅ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãr ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

a = 10 DVgÀ°. DUÀ, LHS = (a + 1) (a + 2) = (10 + 1) (10 + 2) = 11 × 12 = 132 RHS = a2 + 3a + 2 = 102 + 3 × 10 + 2 = 100 + 30 + 2 = 132

∴ a = 10 DzÁUÀ, ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ ¨É¯É ¸ÀªÀÄªÁVzÉ.

a = –5 JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ, LHS = (a + 1) (a + 2) = (–5 + 1) (–5 + 2) = (– 4) × (–3) = 12 RHS = a2 + 3a + 2 = (–5)2 + 3 (–5) + 2 = 25 – 15 + 2 = 10 + 2 = 12 DzÀÝjAzÀ a = –5 DzÁUÀ PÀÆqÀ, LHS = RHS.


a AiÀÄ AiÀiÁªÀÅzÉÃ É¯ÉUÉ LHS = RHS DUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÁt§ºÀÄzÀÄ. »ÃUÉ ZÀgÁPÀëgÀzÀ J¯Áè ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¸ÀvÀåªÁVgÀÄªÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. DzÀÝjAzÀ, (a + 1) (a + 2) = a2 + 3a + 2 MAzÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÁVzÉ. DzÀgÉ, MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ ZÀgÁPÀëgÀzÀ PÉ®ªÀÅ ¤¢ðµÀÖ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ªÀiÁvÀæ ¸ÀvÀåªÁVgÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ J®è ¨É¯ÉUÀ½UÀÆ ¸ÀvÀåªÁVgÀÄªÀÅ¢®è. GzÁºÀgÀuÉUÉ, a2 + 3a + 2 = 132 ¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀtÂ¹. EzÀÄ ªÉÄÃ¯É £ÉÆÃrgÀÄªÀAvÉ a = 10 DzÁUÀ ¸Àj ºÉÆAzÀÄvÀÛzÉ. a = –5 CxÀªÁ a = 0 DzÁUÀ EzÀÄ ¸Àj ºÉÆAzÀÄªÀÅ¢®è.

¥ÀæAiÀÄwß¹: a2 + 3a + 2 = 132 JA§ÄzÀÄ a = –5 CxÀªÁ a = 0 DzÁUÀ ¸Àj ºÉÆAzÀÄªÀÅ¢®è JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

6.11 ªÀiÁ£ÀPÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀÀtUÀ¼ÀÄ (Standard Identities)£ÁªÀÅ FUÀ CvÀÄå¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÁzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÀ£ÀÄß C¨sÀå¹¸ÉÆÃt. F ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄªÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

ªÉÆzÀ°UÉ (a + b) (a + b) CxÀªÁ (a + b)2 ¥ÀjUÀtÂ¸ÉÆÃt.

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a(a + b) + b (a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 (ab = ba DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ) »ÃUÉ, 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + ...............(I) ¸ÀàµÀÖªÁV EzÉÆAzÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt. KPÉAzÀgÉ JqÀ¨sÁUÀzÀ (LHS) ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß

AiÀÄxÁªÀvÁÛV UÀÄtÂ¹ §®¨sÁUÀzÀ (RHS) ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÀÄß ¥ÀqÉ¢zÉÝÃªÉ. a ªÀÄvÀÄÛ b UÀ½UÉ AiÀiÁªÀÅzÉÃ ¨É¯ÉUÀ¼À£ÀÄß ¤Ãr JgÀqÀÆ §¢AiÀÄ ¨É¯ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß AiÀiÁgÀÄ ¨ÉÃPÁzÀgÀÆ ¥ÀjÃQ¸ëÀ§ºÀÄzÀÄ.

• EzÉÃ jÃw, (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a (a – b) – b (a – b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2 (ab = ba DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ)

( )2 2 22a b a ab b− = − + ..............(II) • PÉÆ£ÉAiÀÄzÁV (a + b) (a – b) UÀÄt®§ÞªÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt.

(a + b) (a – b) = a (a – b) + b (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2 (ab = ba DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ) ( ) ( ) 2 2a b a b a b+ − = − ..............(III) I, II ªÀÄvÀÄÛ III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ªÀiÁ£ÀPÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÉAzÀÄ ¥ÀjUÀtÂvÀªÁVªÉ.

130 UÀtÂvÀ

• I £ÉÃ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ°è b AiÀÄ §zÀ°UÉ – b ºÁQzÀgÉ ¤ÃªÀÅ II £ÉÃ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀqÉAiÀÄÄ«gÁ?

EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹

£ÁªÀÅ FUÀ E£ÉÆßAzÀÄ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÀ£ÀÄß ©r¸ÉÆÃt.

(x + a) (x + b) = x (x + b) + a (x + b)

= x2 + bx + ax + ab

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab ..............(IV)

1. a = 2, b = 3, x = 5 UÀ½UÉ IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥Àj²Ã°¹.

2. a = b DVgÀÄªÀ «±ÉÃµÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀtÂ¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? EzÀÄ I ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉAiÉÄÃ?

3. a = – c ªÀÄvÀÄÛ b = – c DVgÀÄªÀ «±ÉÃµÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀtÂ¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? EzÀÄ II ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉAiÉÄÃ?

4. b = – a DVgÀÄªÀ «±ÉÃµÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt ¥ÀjUÀtÂ¹. ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j? EzÀÄ III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉAiÉÄÃ?


IV ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ G½zÀ ªÀÄÆgÀÄ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£Àå gÀÆ¥ÀªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ PÁt§ºÀÄzÀÄ.

6.12 ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À C£ÀéAiÀÄ.

¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀ ºÁUÀÆ ¸ÀASÉåUÀ¼À UÀÄuÁPÁgÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ C£ÉÃPÀ ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼À£ÀÄß ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£À¢AzÀ ºÉÃUÉ ©r¸À§ºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß w½AiÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 10 : I ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (2x + 3y)2 (ii) 1032

¥ÀjºÁgÀ : (i) (2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x) (3y) + (3y)2 [¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt (I) §¼À¹zÉ]

= 4x2 + 12xy + 9y2

(2x + 3y)2 £ÀÄß £ÁªÀÅ £ÉÃgÀªÁVAiÀÄÆ PÀAqÀÄ»rAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.


(2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y) = (2x) (2x) + (2x) (3y) + (3y) (2x) + (3y) (3y) = 4x2 + 6xy + 6 yx + 9y2 (xy = yx DVgÀÄªÀÅzÀjAzÀ) = 4x2 + 12xy + 9y2 (2x + 3y) £ÀÄß ªÀUÀð ªÀiÁqÀ®Ä ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt I ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß MzÀV¹zÉ.

£ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀªÀÅ PÀrªÉÄ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß PÁt§ºÀÄzÀÄ. (2x + 3y)VAvÀ ¸ÀAQÃtðªÁzÀ ¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß ªÀUÀðUÉÆ½¸ÀÄªÁUÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀzÀ ¸ÀgÀ¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ CjAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

(ii) (103)2 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 × 100 × 3 + 32 (¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt I jAzÀ) = 10000 + 600 + 9

= 10609

£ÁªÀÅ 103£ÀÄß 103 jAzÀ £ÉÃgÀªÁV UÀÄtÂ¹ GvÀÛgÀ ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ. 103 £ÀÄß ªÀUÀðUÉÆ½¸À®Ä ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt I, £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ®Æ ¸ÀÄ®¨sÀ ¥ÀjºÁgÀ MzÀV¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß £ÉÆÃr¢gÁ? 1013 £ÀÄß ªÀUÀðUÉÆ½¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. UÀÄuÁPÁgÀzÀ £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ®Æ

¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀªÀÅ DPÀµÀðPÀªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ªÀÄ£ÀUÁtÄ«j.

GzÁºÀgÀuÉ 12 : II ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (4p – 3q)2 (ii) (4.9)2 ¥ÀjºÁgÀ : (i) (4p – 3q)2 = (4p)2 – 2 (4p) (3q) + (3q)2 [II ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt¢AzÀ]

= 16p2 – 24pq + 9q2 (4p – 3q)2 PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt «zsÁ£ÀªÀÅ ¸ÀÄ®¨sÀ

JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ M¥ÀÄà«gÁ?

(ii) (4.9)2 = (5.0 – 0.1)2 = (5.0)2 – 2 (5.0) (0.1) + (0.1)2 = 25.00 – 1.00 + 0.01 = 24.01 4.9 gÀ ªÀUÀð PÀAqÀÄ »rAiÀÄ®Ä ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt II gÀ §¼ÀPÉAiÀÄÄ £ÉÃgÀ «zsÁ£ÀQÌAvÀ®Æ

¸ÀÄ®¨sÀ C®èªÉÃ?

GzÁºÀgÀuÉ 13 : III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 3 2 3 2

2 3 2 3m n m n

+ − (ii) 9832 – 172

(iii) 194 × 206

¥ÀjºÁgÀ : (i) 2 2

3 2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 3m n m n m n

+ − = −

= 2 29 4

4 9m n−

132 UÀtÂvÀ

EzÀ£ÀÄß £ÉÃgÀªÁV UÀÄtÂ¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.III ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtzÀ §¼ÀPÉAiÀÄÄ EzÀ£ÀÄß JµÀÄÖ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV¹zÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ªÀÄ£ÀUÁtÄ«j

(ii) 9832 – 172 = (983 + 17) (983 – 17)

[E°è a = 983, b =17 ªÀÄvÀÄÛ

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

DzÀÝjAzÀ, 9832 – 172 = 1000 × 966

= 966000

(iii) 194 × 206 = (200 – 6) × (200 + 6) = 2002 – 62 = 40000 – 36 = 39964.GzÁºÀgÀuÉ 14 : (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹

PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

(i) 501 × 502 (ii) 95 × 103. ¥ÀjºÁgÀ : (i) 501 × 502 = (500 + 1) × (500 + 2) = 5002 + (1 + 2) × 500 + 1 × 2 = 250000 + 1500 + 2 = 251502 (ii) 95 × 103 = (100 – 5) × (100 + 3) = 1002 + (–5 + 3) × 100 + (–5) × 3 = 10000 + (– 2) × 100 – 15 = 10000 – 200 – 15 = 9785.

C¨sÁå¸À 6.5

1. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (x + 3) (x + 3) (ii) (2y + 5) (2y + 5)

(iii) (2a – 7) (2a – 7) (iv) 1 1

3 32 2

a a − −

(v) (1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4) (vi) (a2 + b2) (– a2 + b2)

(vii) (6x – 7) (6x + 7) (viii) (– a + c) (– a + c)

(ix) 3 3

2 4 2 4

x y x y + + (x) (7a – 9b) (7a – 9b)


2. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À UÀÄt®§Þ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (x + 3) (x + 7) (ii) (4x + 5) (4x + 1) (iii) (4x – 5) (4x – 1) (iv) (4x + 5) (4x – 1) (v) (2x + 5y) (2x + 3y) (vi) (2a2 + 9) (2a2 + 5)

(vii) (xyz – 4) (xyz – 2) 3. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) (b – 7)2 (ii) (xy + 3z)2 (iii) (6x2 – 5y)2

(iv) 2

2 3

3 2

m n + (v) (0.4p – 0.5q)2 (vi) (2xy + 5y)2

4. ¸ÀAPëÉÃ¦¹. (i) (a2 – b2)2 (ii) (2x + 5)2 – (2x – 5)2

(iii) (7m – 8n)2 + (7m + 8n)2 (iv) (4m + 5n)2 + (5m + 4n)2 (v) (2.5p – 1.5q)2 – (1.5p – 2.5q)2 (vi) (ab + bc)2 – 2ab2c (vii) (m2 – n2m)2 + 2m3n2 5. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¸Á¢ü¹.

(i) (3x + 7)2 – 84x = (3x – 7)2 (ii) (9p – 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2

(iii) 2

2 24 3 16 92

3 4 9 16

m nmn m n − + = +

(iv) (4pq + 3q)2 – (4pq – 3q)2 = 48pq2 (v) (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a) = 0 6. ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 712 (ii) 992 (iii) 1022 (iv) 9982 (v) 5.22 (vi) 297 × 303 (vii) 78 × 82 (viii) 8.92 (ix) 10.5 × 9.5 7. a2 – b2 = (a + b) (a – b) ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀt §¼À¹ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À ¨É¯É PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) 512 – 492 (ii) (1.02)2 – (0.98)2 (iii) 1532 – 1472 (iv) 12.12 – 7.92 8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab §¼À¹PÉÆAqÀÄ PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (i) 103 × 104 (ii) 5.1 × 5.2 (iii) 103 × 98 (iv) 9.7 × 9.8

134 UÀtÂvÀ

¸ÁgÁA±À

1. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ, ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¹ÜgÁAPÀUÀ½AzÀ GAmÁVªÉ.

2. ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀAPÀ®£ÀzÀ ªÀÄÆ®PÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVªÉ. C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À UÀÄt®§Þ¢AzÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ GAmÁUÀÄvÀÛªÉ.

3. MAzÀÄ, JgÀqÀÄ ªÀÄvÀÄ Û ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄªÀ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀÄªÁV KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ, ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ ªÀÄvÀÄÛ wæ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßªÀgÀÄ. ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, ±ÀÆ£ÀåªÀ®èzÀ ¸ÀºÀUÀÄtPÀ ºÉÆA¢gÀÄªÀ, IÄuÁvÀäPÀªÀ®èzÀ ¥ÀÆuÁðAPÀ WÁvÀ¸ÀÆa ºÉÆA¢gÀÄªÀ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À£ÀÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¥ÀzÀUÀ½AzÁzÀ ©ÃeÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛ J£ÀÄßªÀgÀÄ.

4. ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À WÁvÀ¸ÀÆaUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄªÀ ©Ãd¥ÀzÀUÀ½UÉ ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛÃªÉ. ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À ¸ÀASÁå¸ÀºÀUÀÄtPÀ MAzÉÃ DVgÀ¨ÉÃPÉA¢®è.

5. §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀÄªÁUÀ CxÀªÁ PÀ¼ÉAiÀÄÄªÁUÀ ªÉÆzÀ®Ä ¸ÀeÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀ¨ÀÉÃPÀÄ CxÀªÁ PÀ¼ÉAiÀÄ¨ÉÃPÀÄ. £ÀAvÀgÀ «eÁw ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀÄ¤¸À¨ÉÃPÀÄ.

6. £ÁªÀÅ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À£ÀÀÄß UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁzÀ C£ÉÃPÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À£ÀÄß PÁtÄvÉÛÃªÉ. GzÁ: MAzÀÄ DAiÀÄvÀzÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛÛ CUÀ®UÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÁVzÀÝgÉ CzÀgÀ «¹ÃÛtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÁzÁUÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß UÀÄtÂ¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

7. MAzÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀÄ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¹zÁUÀ §gÀÄªÀ UÀÄt®§ÞªÀÇ ¸ÀºÀ KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ.

8. £ÁªÀÅ MAzÀÄ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸ÀÄªÁUÀ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÆß KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

9. §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ£ÀÄß ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ CxÀªÁ wæ¥ÀzÉÆÃQÛ¬ÄAzÀ UÀÄtÂ¸ÀÄªÁUÀ ¥ÀzÀªÁgÀÄ UÀÄuÁPÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. CAzÀgÀÉ §ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß ¢é¥ÀzÉÆÃQÛ CxÀªÁ wæ¥ÀzÉÆÃQÛAiÀÄ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀ¢AzÀ UÀÄtÂ¸À¨ÉÃPÀÄ. F jÃw §AzÀ UÀÄt®§ÞUÀ¼À°è ¸ÀeÁwÃAiÀÄ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ EzÀÝgÉ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆqÀ¨ÀÉÃPÀÄ.

10. ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÉAiÀiÁVzÀÄÝ EzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀzÀ J¯Áè ¨É¯ÉUÀ½UÉ ¤dªÁVgÀÄvÀÛzÉ. E£ÉÆßAzÀÄ «zsÀzÀ°è ºÉÃ¼ÀÄªÀÅzÁzÀgÉ ZÀgÁPÀëgÀUÀ¼À PÉ®ªÀÅ ¤¢ðµÀÖ ¨É¯ÉUÀ½UÉ ªÀiÁvÀæ ¤dªÁVgÀÄªÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtªÀÅ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÁUÀÄªÀÅ¢®è.

11. PÉ¼ÀV£ÀªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀiÁ£ÀPÀ ¤vÀå¸À«ÄÃPgÀÀtUÀ¼ÁVªÉ.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .........(I) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ........(II) (a + b) (a – b) = a2 – b2 ....... (III) 12. E£ÉÆßAzÀÄ G¥ÀAiÀÄÄPÀÛ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtªÉAzÀgÉ,

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab .......(IV) 13. ªÉÄÃ°£À £Á®ÄÌ ¤vÀå¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼À ªÀUÀð ªÀÄvÀÄÛ UÀÄt®§ÞUÀ¼À£ÀÄß

PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä G¥ÀAiÀÄÄPÀÛªÁVªÉ. EªÀÅ ¸ÀASåÉUÀ¼À UÀÄt®§Þ EvÁå¢UÀ¼À£ÀÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Æ ¸ÀºÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ ¥ÀgÁåAiÀÄ «zsÁ£ÀUÀ¼ÁVªÉ.

7.1 ¦ÃpPÉ :

K¼À£ÉÃ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è wæ¨sÀÄd gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀ°w¢ÝÃj. MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ ¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÀÄÆgÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃPÀÄ.

ªÀÄÆgÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ wæ¨sÀÄd gÀZÀ£ÉUÉ ¸ÁPÁUÀÄªÀÅzÀjAzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä £Á®ÄÌ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÉÃ ? JA§ ¸ÀºÀd ¥Àæ±Éß £ÀªÀÄä°è K¼ÀÄvÀÛzÉ.

ªÀiÁr £ÉÆÃr

10 ¸ÉA. «ÄÃ. GzÀÝ«gÀÄªÀ 2 ºÁUÀÆ 8 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ 2 PÀrØUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆ½î. 10 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ 8 ÉA.«ÄÃ. CUÀ®«gÀÄªÀ DAiÀÄvÁPÁgÀzÀ°è F £Á®ÆÌ PÀrØUÀ¼À£ÀÄß §A¢ü¹r. (avÀæ 7.1)

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

8 ¸ÉA.«ÄÃ. 8 ¸ÉA.«ÄÃ.

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

A

B C

D

avÀæ 7.1

PÉÆlÖ 4 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ F DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß gÀa¸À¯ÁVzÉ. FUÀ, F PÀrØ DPÀÈwAiÀÄ CUÀ®ªÀ£ÀÄß »rzÀÄ §®UÀqÉUÉ vÀ½îj. (avÀæ 7.2) FUÀ DAiÀÄvÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁUÀÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀÄ¤¹. PÀrØUÀ¼À£ÀÄß §zÀ¯Á¬Ä¹¢ÝgÁ? E®è. CªÀÅUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÉAiÉÄÃ G½¢ªÉ.

A

B

D

C

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

8 ¸ÉA.«ÄÃ. 8 ¸ÉA.«ÄÃ.

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

avÀæ 7.2

EzÉÃ jÃw F ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ªÀÄUÀÄÎ°UÉ vÀ½îj. (avÀæ 7.3) FUÀ avÀæ 7.2 gÀ°ègÀÄªÀÅzÀQÌAvÀ ÉÃgÉÆAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄwÛÃj. FUÀ®Æ ¸ÀºÀ £Á®ÆÌ C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ºÁUÉAiÉÄÃ G½¢ªÉ.

B

A D

C

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

8 ¸ÉA.«ÄÃ. 8 ¸ÉA.«ÄÃ.

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

avÀæ 7.3

CzsÁåAiÀÄ

7¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ

136 UÀtÂvÀ

¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÉÇAzÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä PÉÃªÀ® 4 C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÁPÁUÀÄªÀÅ¢®èªÉA§ÄzÀÄ EzÀjAzÀ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. 5 C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÁUÀÄªÀÅzÉ ? EzÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä ªÀÄvÉÛ ªÉÆzÀ°£À ZÀlÄªÀnPÉAiÀÄ£ÉßÃ ¥Àj²Ã°¸ÉÆÃt.

4 PÀrØUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ 10 ÉA.«ÄÃ. GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ 8 ÉA.«ÄÃ. CUÀ®«gÀÄªÀ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß gÀa¹¢ÝÃj. FUÀ CzÀgÀ PÀtð BD AiÀÄ GzÀÝzÀµÀÄÖ PÀrØAiÀÄ£ÀÄß CzÉÃ PÀtðzÀ ªÉÄÃ¯É ElÄÖ PÀnÖj. (avÀæ 7.4)

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

10 ¸ÉA.«ÄÃ.

8¸ÉA.«ÄÃ. 8

¸ÉA.«ÄÃ.

avÀæ 7.4

F jÃw 5£ÉÃ PÀrØAiÀÄ£ÀÄß eÉÆÃr¹zÀ £ÀAvÀgÀ ªÉÆzÀ°£ÀAvÉ ¤ÃªÀÅ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß vÀ¼Àî®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹. ¸ÁzsÀåªÁ¬ÄvÉÃ ? E®è. CAzÀgÉ. F 5 PÀrØUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ (E°è DAiÀÄvÀ) gÀZÀ£É ¸ÁzsÀåªÁ¬ÄvÀÄ. F jÃwAiÀÄ PÀrØUÀ¼À eÉÆÃqÀuÉ¬ÄAzÀ ¨ÉÃgÉ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd gÀZÀ£É ¸ÁzsÀå«®è.

DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ gÀa¸À®Ä ÁzsÀåªÉA§ÄzÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ UÀªÀÄ¤¹zÉªÀÅ. DzÀgÉ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄvÀÄÛ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À AiÀiÁªÀÅzÉÃ 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ EzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀÄªÀÅzÉÃ ?


ABCD ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ 5 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß CµÀðzÀ¤UÉ PÉÆnÖzÉ. CªÀÅUÀ¼ÀÄ F jÃw

EªÉ, AB = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., �A = °50 , AC = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., BD = 5 ¸ÉA.«ÄÃ.,

ªÀÄvÀÄÛ AD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., EªÀÅUÀ½AzÀ CªÀ£ÀÄ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉ? PÁgÀt ¸À»vÀ GvÀÛgÀ ¤Ãr.

7.2 ZÀvÀÄ¨sÀÄðd gÀZÀ£É :

PÉ¼ÀV£À C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀÄªÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß PÀ°AiÉÆÃt.

• 4 ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 1 PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ

• 2 PÀtðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ

• 2 ¥Á±Àéð ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ • 3 ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 2 £ÀqÀÄ«£À PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ • EvÀgÉ «±ÉÃµÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ

EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß MAzÉÆAzÁV vÉUÉzÀÄPÉÆ¼ÉÆîÃt.

¥ÁæAiÉÆÃVPÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀ 137

7.2.1 £Á®ÄÌ ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ

MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ F gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß «ªÀj¸ÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 1 : PQ = 4 ÉA.«ÄÃ, QR = 6 ÉA.«ÄÃ, RS = 5 ¸ÉA.«ÄÃ, PS = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ ªÀÄvÀÄÛ PR = 7 ¸ÉA.«ÄÃ EgÀÄªÀAvÉ PQRS ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ : [¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß awæ¹PÉÆ¼Àî®Ä £ÀªÀÄUÉ MAzÀÄ PÀZÁÑ avÀæªÀÅ £ÉgÀªÀÅ ¤ÃqÀÄvÀÛzÉ. ªÉÆzÀ®Ä EzÀ£ÀÄß J¼ÉzÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁqÀÄvÉÛÃªÉ. (avÀæ 7.5)]

4¸ÉA

.«ÄÃ.

Q

6¸ÉA.«ÄÃ.

5¸ÉA.«ÄÃ.5.5

¸ÉA.«ÄÃ.

7 ¸ÉA.«ÄÃ.P R

S

avÀæ 7.5 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)

ºÀAvÀ 1 : PÀZÁÑ avÀæ¢AzÀ DPQR£ÀÄß Á. Á. ¨Á. ¤§AzsÀ£É¬ÄAzÀ gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ. DPQR£ÀÄß gÀa¹. (avÀæ 7.6)

6¸ÉA.«ÄÃ.

7 ¸ÉA.«ÄÃ.

4¸ÉA

.«ÄÃ.

Q

P R


ºÀAvÀ 2 : FUÀ £ÁªÀÅ 4 £ÉÃ ©AzÀÄ S £ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À¨ÉÃPÀÄ. F ©AzÀÄ S, PR £À MAzÀÄ §¢AiÀÄ°ègÀÄªÀ Q ©AzÀÄ«£À «gÀÄzÀÞ ¢QÌ£À°ègÀÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä £ÀªÀÄUÉ 2 C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ w½¢ªÉ. S ©AzÀÄ P ©AzÀÄ«¤AzÀ 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ zÀÆgÀzÀ°èzÉ. DzÀÝjAzÀ P ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßV¹ 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀ£ÁßV¹ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (S ©AzÀÄªÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ°zÉ)

6¸ÉA.«ÄÃ.

7 ¸ÉA.«ÄÃ.

4¸ÉA

.«ÄÃ.

Q

P R


138 UÀtÂvÀ

ºÀAvÀ 3 : S ©AzÀÄ R ©AzÀÄ«¤AzÀ 5 ¸ÉA.«ÄÃ zÀÆgÀzÀ°èzÉ. DzÀÝjAzÀ R ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßV¹ 5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀ£ÁßV¹ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (S ©AzÀÄªÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ®Æ EzÉ.) (avÀæ 7.8)

6¸ÉA.«ÄÃ.

4¸ÉA

.«ÄÃ.

7 ¸ÉA.«ÄÃ.P R

Q


ºÀAvÀ 4 : S ªÉÄÃ¯É J¼ÉzÀ JgÀqÀÆ PÀA¸ÀUÀ¼À ªÉÄÃ°gÀÄªÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ CªÉgÀqÀgÀ bÉÃzÀ£À ©AzÀÄªÉÃ DVgÀ¨ÉÃPÀÄ. S £ÀÄß UÀÄgÀÄvÀÄªÀiÁr PQRS £ÀÄß ¸ÀA¥ÀÇtðUÉÆ½¹. FUÀ PQRS £ÀªÀÄUÉ ÉÃPÁzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd. (avÀæ 7.9)

5.5¸ÉA.«ÄÃ. 5

¸ÉA.«ÄÃ.

6¸ÉA.«ÄÃ.

4¸ÉA

.«ÄÃ.

P

Q

R

S

7 ¸ÉA.«ÄÃ.



1. 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ £ÁªÀÅ w½zÉªÀÅ. AiÀiÁªÀÅzÉÃ 5 C¼ÀvÉUÀ½AzÀ F jÃw MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

2. BA = 5 ÉA.«ÄÃ, AT = 6 ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ AS = 6.5 ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀAvÉ BATS ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? PÁgÀt w½¹.

3. ZE = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ PÀtð EL = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., EgÀÄªÀ ZEAL ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ ? PÁgÀt w½¹.

4. M§â «zÁåyðAiÀÄÄ PL = 3 ÉA.«ÄÃ., LA = 4 ÉA.«ÄÃ., AY = 4.5 ÉA.«ÄÃ., PY = 2 ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ LY = 6 ÉA.«ÄÃ EgÀÄªÀAvÉ PLAY ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß J¼ÉAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹zÀ£ÀÄ. DzÀgÉ CzÀÄ ¸ÁzsÀåªÁUÀ°®è. PÁgÀtªÉÃ£ÀÄ?

[¸ÀÆZÀ£É : PÀZÁÑ avÀæzÉÆA¢UÉ ZÀað¹.]


C¨sÁå¸À 7.1

1. PÉ¼ÀV£À ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ :

(i) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd ABCD (ii) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd JUMP AB = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. JU = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ. BC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. UM = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. CD = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. MP = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. AD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. PJ = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. AC = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. PU = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ. (iii) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd MORE (iv) ªÀeÁæPÀÈw BEST OR = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. BE = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. RE = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ET = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. EO = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

7.2.2 JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ

£Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ ªÉÆzÀ®Ä MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹ D£ÀAvÀgÀ £Á®Ì£É ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹zÉªÀÅ. CzÉÃ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß E°èAiÀÄÆ C£ÀÄ¸Àj¸ÀÄvÉÛÃªÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2 : BC = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ., AD = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ., CD = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., PÀtð AC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ PÀtð BD = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀ ABCD wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹

¥ÀjºÁgÀ : E°ègÀÄªÀ PÀZÁÑ avÀæzÀ°è ZÀvÀÄ¨sÀÄðd (avÀæ 7.10) ABCD EzÉ. EzÀjAzÀ DACD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉAzÀÄ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV w½AiÀÄ§ºÀÄzÀÄ (ºÉÃUÉ?)

5¸ÉA.«ÄÃ.

7 ¸ÉA.«ÄÃ.

5.5¸ÉA.«ÄÃ.

5.5

¸ÉA.«ÄÃ.

4.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

avÀæ 7.10 (C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)

ºÀAvÀ 1 : ¨Á. ¨Á. ¨Á. gÀZÀ£Á «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß §¼À¹ DACD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹ (avÀæ 7.11). FUÀ C ©AzÀÄ«¤AzÀ 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ D ©AzÀÄ«¤AzÀ 7 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀUÀ¼À°ègÀÄªÀ B ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ¨ÉÃPÁVzÉ. 5.

5 ¸ÉA.«ÄÃ.

5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

5¸ÉA.«

ÄÃ.

A C

D


140 UÀtÂvÀ

ºÀAvÀ 2 : D ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVj¹ 7 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀÅ¼Àî MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæ 7.12) B ©AzÀÄªÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ°zÉ.

5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

5¸ÉA.«

ÄÃ.D

A C


ºÀAvÀ 3 : C ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÁVj¹ 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. wædåªÀÅ¼Àî MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæ 7.13) B ©AzÀÄªÀÅ F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ®Æ EzÉ.

5.5¸ÉA.«ÄÃ.

5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

5¸ÉA.«

ÄÃ.

D

A C


ºÀAvÀ 4 : B ©AzÀÄªÀÅ ªÉÄÃ¯É J¼ÉzÀ JgÀqÀÆ PÀA¸ÀUÀ¼À ªÉÄÃ°gÀÄªÀÅzÀjAzÀ CzÀÄ CªÉgÀqÀgÀ bÉÃzÀ£À ©AzÀÄªÉÃ DVgÀ¨ÉÃPÀÄ. B ©AzÀÄªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄvÀÄªÀiÁr ABCD £ÀÄß ¸ÀA¥ÀÇtðUÉÆ½¹. FUÀ ABCD £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd. (avÀæ 7.14)

4¸ÉA.«ÄÃ.

D

A C

B

5.5¸ÉA.«ÄÃ. 5

¸ÉA.«ÄÃ.

5.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

7¸ÉA.«ÄÃ.




1. ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉ¬ÄAzÀ ªÉÆzÀ®Ä DABD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹ D£ÀAvÀgÀ C ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ?

2. PQ = 3 ¸ÉA.«ÄÃ., RS = 3 ¸ÉA.«ÄÃ., PS = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ., PR = 8 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ SQ = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀ PQRS ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? PÁgÀt ¸À»vÀ GvÀÛj¹.

C¨sÁå¸À 7.2


(i) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd LIFT (ii) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd GOLD LI = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. OL = 7.5 ¸ÉA.«ÄÃ. IF = 3 ¸ÉA.«ÄÃ. GL = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. TL = 2.5 ¸ÉA.«ÄÃ. GD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. LF = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. LD = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. IT = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. OD = 10 ¸ÉA.«ÄÃ.

(iii) ªÀeÁæPÀÈw BEND BN = 5.6 ¸ÉA.«ÄÃ. DE = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

7.2.3 JgÀqÀÄ ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ :

ªÉÆzÀ°£ÀAvÉ, E°èAiÀÄÆ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß gÀa¹ D£ÀAvÀgÀ £Á®Ì£É ©AzÀÄªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ¥ÀÇtðUÉÆ½¸ÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 3 : MI = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ., IS = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ., M 75= °

�. I 105= °�

ªÀÄvÀÄÛ S 120= °�

EgÀÄªÀ MIST ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ : F gÀZÀ£ÉUÁV £ÁªÀÅ ««zsÀ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¤zsÀðj¸À®Ä F PÀZÁÑ avÀæªÀÅ ¸ÀºÁAiÀÄPÀªÁUÀÄªÀÅzÀÄ. (avÀæ 7.15) PÉ¼ÀUÉ F ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆa¸À¯ÁVzÉ.

S

I

M

T

3.5

¸ÉA.«ÄÃ.

6.5 ¸ÉA.«ÄÃ.120°

105°

75°

(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)

avÀæ 7.15

142 UÀtÂvÀ

ºÀAvÀ 1 : ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÃUÉ UÀÄgÀÄw¸ÀÄ«j? AiÀiÁªÀÅzÀ£ÀÄß ¥ÁzÀªÀ£ÁßV Dj¸ÀÄwÛÃj ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆzÀ® ºÀAvÀzÀ gÀZÀ£É J£ÀÄ? (avÀæ 7.16)

M

X

S

6.5

¸ÉA.«ÄÃ.

3.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

105°

I


avÀæ 7.16

ºÀAvÀ 2 : S ©AzÀÄ«£À°è ISY 120= °�

PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. (avÀæ 7.17)

Y

X

S

IM3.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

6.5

¸ÉA.«ÄÃ.

120°

105°


avÀæ 7.17


ºÀAvÀ 3 : M £À°è IMZ 75= °�

PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. (SY ªÀÄvÀÄÛ MZ UÀ¼ÀÄ J°è bÉÃ¢¸ÀÄvÀÛªÉ ?) F bÉÃzÀ£À ©AzÀÄªÀ£ÀÄß T JAzÀÄ UÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁrzÀgÉ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀÅ zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. (avÀæ 7.18)

Y

Z

T

X

S

IM 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ.

6.5

¸ÉA.«ÄÃ.

120°

75°105°


avÀæ 7.18


1. 75° §zÀ®Ä ∠M = 100° DzÀgÉ ªÉÄÃ°£À ZÀvÀÄ¨sÀÄðd MIST AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉ?

2. PL = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., LA = 9.5 ¸ÉA.«ÄÃ., ∠P = 75°, ∠L =150° ªÀÄvÀÄÛ ∠A = 140°? EgÀÄªÀAvÉ PLAN JA§ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ? (¸ÀÆZÀ£É : PÉÆÃ£ÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ PÀÄjvÁzÀ ®PÀëtªÀ£ÀÄß £É£À¦¹PÉÆ½î)

3. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÉÇAzÀgÀ°è ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼À GzÀÝUÀ¼ÀÄ w½¢ªÉ. DzÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄAvÉ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÆ ¸ÀºÀ w½¢gÀ¨ÉÃPÉ?

C¨sÁå¸À 7.3


(i) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd MORE (ii) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd PLAN MO = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. PL = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. OR = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. LA = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ∠M = 60° ∠P = 90° ∠O = 105° ∠A = 110° ∠R = 105° ∠N = 85°

144 UÀtÂvÀ

(iii) ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd HEAR (iv) DAiÀÄvÀ OKAY HE = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. OK = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. EA = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. KA = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. ∠R = 85°

7.2.4 ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ £ÀqÀÄ«£À PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆmÁÖUÀ :

F jÃwAiÀÄ gÀZÀ£ÉAiÀÄ°è ªÉÆzÀ®Ä J¼ÉAiÀÄÄªÀ PÀZÁÑÑ avÀæzÀ°è £ÀqÀÄ«£À PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß JZÀÑjPÉ ¬ÄAzÀ UÀªÀÄ¤¹.

GzÁºÀgÀuÉ 4 : AB = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 5 ¸ÉA.«ÄÃ.,

CD = 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ., B 105= °�

ªÀÄvÀÄÛ

C 80= °�

EgÀÄªÀ ABCD ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß

gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ : »A¢£ÀAvÉ MAzÀÄ PÀZÁÑ avÀæªÀ£ÀÄß §gÉzÀÄ

ºÉÃUÉ DgÀA¨sÀ ªÀiÁqÀÄvÉÛÃªÉ. D£ÀAvÀgÀ 4

©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸À®Ä C£ÀÄ¸Àj¸À¨ÉÃPÁzÀ

PÀæªÀÄªÀ£ÀÄß gÀÆ¦¹PÉÆ¼ÀÄîvÉÛÃªÉ. (avÀæ 7.19) avÀæ 7.19 (¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¸ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)

ºÀAvÀ 1 : B ¤AzÀ 5 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ BC gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. 105° C¼ÀvÉAiÀÄ CBX�

PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß ¤«Äð¹. BX ªÉÄÃ¯É B ¤AzÀ 4 ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°è A

©AzÀÄªÀ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¹. FUÀ £ÀªÀÄUÉ B, C, ªÀÄvÀÄÛ A ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ zÉÆgÉwªÉ.

(avÀæ 7.20)


avÀæ 7.20


ºÀAvÀ 2 : £Á®Ì£ÉÃ ©AzÀÄªÁzÀ D, BC UÉ 80° PÉÆÃ£À DUÀÄªÀ ºÁUÉ EgÀÄªÀ CY

ªÉÄÃ°zÉ. (avÀæ 7.21) DzÀÝjAzÀ BC ªÉÄÃ¯É C ©AzÀÄ«£À°è 80° C¼ÀvÉAiÀÄ BCY PÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.


avÀæ 7.21

ºÀAvÀ 3 : CY ªÉÄÃ¯É C ¤AzÀ 6.5 ¸ÉA.«ÄÃ. zÀÆgÀzÀ°è D ©AzÀÄ«zÉ. DzÀÝjAzÀ

C AiÀÄ£ÀÄß PÉÃAzÀæªÀ£ÁßVj¹ 6.5 ÉA.«ÄÃ. wædåzÀ MAzÀÄ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj.

CzÀÄ CY £ÀÄß D £À°è bÉÃ¢¸À° (avÀæ 7.22)


avÀæ 7.22

146 UÀtÂvÀ

ºÀAvÀ 4 : FUÀ ABCD ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ¥ÀÇtðUÉÆ½¹. EzÀÄªÉÃ £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd. (avÀæ 7.23)


avÀæ 7.23


1. ªÉÄÃ°£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è ªÉÆzÀ®Ä BC AiÀÄ£ÀÄß J¼ÉzÉªÀÅ.

EzÀgÀ §zÀ®Ä ¨ÉÃgÉ ©AzÀÄ«¤AzÀ DgÀA©ü¹zÀÝgÉ K£ÁUÀÄwÛvÀÄÛ?

2. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ gÀZÀ£ÉUÁV £ÁªÀÅ F ªÀgÉUÉ 5 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß

§¼À¹zÉªÀÅ. ¨ÉÃgÉ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ LzÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß

G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ £ÁªÀÅ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÉ?

F ¥Àæ±ÉßAiÀÄ£ÀÄß GvÀÛj¸À®Ä PÉ¼ÀV£À ¸ÀªÀÄ¸ÉåUÀ¼ÀÄ ¹gÀªÁUÀ§ºÀÄzÀÄ.

(i) AB = 5 ¸ÉA.«ÄÃ., BC = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ., CD = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., AD = 6 ¸ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ ∠B = 80°. EgÀÄªÀ ABCD ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

(ii) PQ = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ., ∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 80° ªÀÄvÀÄÛ ∠S = 110° EgÀÄªÀ PQRS ZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä PÉÆlÖ ªÀiÁ»wAiÀÄÄ ¸ÁPÉÃ CxÀªÁ

E®èªÉÃ JAzÀÄ w½AiÀÄ®Ä ¤ªÀÄäzÉÃ PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß

vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ £ÉÆÃrj.


C¨sÁå¸À 7.4


(i) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd DEAR (ii) ZÀvÀÄ¨sÀÄðd TRUE DE = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. TR = 3.5 ¸ÉA.«ÄÃ. EA = 5 ¸ÉA.«ÄÃ. RU = 3 ¸ÉA.«ÄÃ. AR = 4.5 ¸ÉA.«ÄÃ. UE = 4 ¸ÉA.«ÄÃ. ∠E = 60° ∠R = 75° ∠A = 90° ∠U = 120°

7.3 PÉ®ªÀÅ «±ÉÃµÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼ÀÄ :

MAzÀÄ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À®Ä FªÀgÉUÉ £ÁªÀÅ 5 C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹zÉªÀÅ. 5 QÌAvÀ PÀrªÉÄ C¼ÀvÉUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ AiÀÄªÀÅzÁzÀgÀÆ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß £ÁªÀÅ gÀa¸À§ºÀÄzÉ ? PÉ¼ÀV£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ CAvÀºÀ PÉ®ªÀÅ «±ÉÃµÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸ÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 5 : 4.5 ÉA. «ÄÃ. GzÀÝzÀ ZËPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.

¥ÀjºÁgÀ : vÉÆÃjPÉAiÀÄ°è £ÀªÀÄUÉ MAzÉÃ MAzÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆnÖgÀÄªÀAvÉ PÁtÄvÀÛzÉ. DzÀgÉ ¤dªÁV, £ÀªÀÄUÉ E£ÀÆß ºÉaÑ£À «ªÀgÀUÀ¼ÀÄ w½AiÀÄÄvÀÛªÉ. KPÉAzÀgÉ, £ÀªÀÄUÉ ¨ÉÃPÁzÀ DPÀÈwAiÀÄÄ MAzÀÄ «±ÉÃµÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÁzÀ ZËPÀ. EzÀgÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆÃ£ÀªÀÇ ®A§PÉÆÃ£ÀªÉAzÀÄ w½¢zÉ. (PÀZÁÑ avÀæ 7.24 £ÀÄß £ÉÆÃr.)J¼É¬Äj.

PÀZÁÑ avÀæ


avÀæ 7.24

EzÀjAzÀ ¨Á.PÉÆÃ.¨Á ¤§AzsÀ£É¬ÄAzÀ ABC∆ gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÁUÀÄvÀÛzÉ. D£ÀAvÀgÀ £Á®Ì£ÉÃ ©AzÀÄ D AiÀÄ£ÀÄß UÀÄgÀÄw¸ÀÄªÀÅzÀÄ ÀÄ®¨sÀ. FUÀ PÉÃ½zÀ ZËPÀªÀ£ÀÄß ¤ÃªÉÃ gÀa¸À®Ä ¥ÀæAiÀÄwß¹.

GzÁºÀgÀuÉ 6 : AC = 6 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ BD = 7 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀ ªÀeÁæPÀÈw ABCD AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À®Ä ¸ÁzsÀåªÉÃ ? PÁgÀt ¸À»vÀ GvÀÛgÀ ¤Ãr.

¥ÀjºÁgÀ : ¨ÉÃPÁzÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ JgÀqÀÄ PÀtðUÀ¼À C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁvÀæ PÉÆnÖzÉ. DzÀgÉ CzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁzÀÝjAzÀ CzÀgÀ UÀÄt®PÀëtUÀ½AzÀ ºÉaÑ£À ¸ÀºÁAiÀÄ ¥ÀqÉAiÀÄ§ºÀÄzÀÄ.

PÀZÁÑ avÀæ

(¨ÁºÀÄUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ÉA.«ÄÃ.UÀ¼À°è)

avÀæ 7.25

148 UÀtÂvÀ

ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.

DzÀÝjAzÀ ªÉÆzÀ®Ä 7 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ AC AiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. FUÀ CzÀgÀ ®A¨ÁzsÀðPÀªÀ£ÀÄß gÀa¹. CªÉgÀqÀÆ O ©AzÀÄ«£À°è ¸ÀA¢ü¸À°. F ®A¨ÁzsÀðPÀzÀ JgÀqÀÆ PÀqÉ 3 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝPÉÌ PÀvÀÛj¹. FUÀ B ªÀÄvÀÄÛ D ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j. FUÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ªÉÄÃ¯É w½¹zÀAvÉ J¼É¬Äj. (avÀæ 7.25)

1. PQ ªÀÄvÀÄÛ QR UÀ¼À GzÀÝUÀ¼ÀÄ ªÀiÁvÀæ w½¢zÀÝgÉ, PQRS ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ gÀa¸ÀÄ«j?

2. AY = 8 ¸ÉA.«ÄÃ., EY = 4 ¸ÉA.«ÄÃ., ªÀÄvÀÄÛ SY = 6 ¸ÉA.,«ÄÃ. EgÀÄªÀAvÉ EASY ¥ÀvÀAUÀªÀ£ÀÄß gÀa¹j. (avÀæ 7.26)

ªÀiÁr £ÉÆÃr

avÀæ 7.26

F «zsÁ£ÀzÀ°è ¤ÃªÀÅ §¼À¹zÀ ¥ÀvÀAUÀzÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼ÁªÀªÀÅ.

C¨sÁå¸À 7.5

PÉ¼ÀV£À ZÀvÀÄ¨sÀÄðd gÀa¹j

1. RE = 5.1 ¸ÉA.«ÄÃ EgÀÄªÀ ZËPÀ READ.

2. 6.4 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ 5.2 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ¼Àî ªÀeÁæPÀÈw.

3. ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ 5 ¸ÉA.«ÄÃ ªÀÄvÀÄÛ 4 ¸ÉA.«ÄÃ. GzÀÝ«gÀÄªÀ DAiÀÄvÀ.

4. OK = 5.5 ¸ÉA.«ÄÃ. ªÀÄvÀÄÛ KA = 4.2 ¸ÉA.«ÄÃ. EgÀÄªÀAvÉ OKAY ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀÄ¨sÀÄðd. EzÀÄ C£À£ÀåªÉÃ ?

¸ÁgÁA±À

1. LzÀÄ C¼ÀvÉUÀ½AzÀ MAzÀÄ C£À£Àå ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

2. £Á®ÄÌ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ PÀtðªÀ£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

3. JgÀqÀÄ PÀtð ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

4. JgÀqÀÄ ¥Á±Àéð ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀÄ PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

5. ªÀÄÆgÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ £ÀqÀÄ«£À PÉÆÃ£ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆlÖgÉ MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ZÀvÀÄ¨sÀÄðdªÀ£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ.

1. ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢UÉ Dl

C¨sÁå¸À 1.1

1. A = 7, B = 6 2. A = 5, B = 4, C = 1

3. A = 6 4. A = 2, B = 5

5. A = 5, B = 0, C = 1 6. A = 5, B = 0, C = 2

7. A = 7, B = 4 8. A = 7, B = 9

9. A = 4, B = 7 10. A = 8, B = 1

C¨sÁå¸À 1.2

1. y = 1 2. z = 0 CxÀªÁ 9

3. z = 0 , 3 , 6 CxÀªÁ 9 4. 0, 3, 6 CxÀªÁ 9

2. ¨sÁUÀ®§Þ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 2.1

1. (i) 2 (ii) −1128

2. (i) −28

(ii) 59

(iii) −65

(iv) 29

(v) 196

4. (i) −113

(ii) −1913

(iii) 5 (iv) 5615

(v) 52

(vi) –1

5. (i) 1 UÀÄtPÁgÀzÀ C£À£ÀåvÁA±À (ii) ¥ÀjªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ(iii) UÀÄtPÁgÀzÀ«¯ÉÆÃªÀiÁA±À

6. −9691

7.¸ÀºÀªÀvÀð¤ÃAiÀÄvÉ 8. E®è,KPÉAzÀgÉ,UÀÄt®§ÞªÀÅ1C®è.

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

150 UÀtÂvÀ

9.ºËzÀÄ,KPÉAzÀgÉ0 3 313

310

103

1. × = × =

10. (i) 0 (ii) 1 ªÀÄvÀÄÛ (–1) (iii) 0

11. (i) E®è (ii) 1, –1 (iii) −15

(iv) x (v) ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉå (vi) zsÀ£ÁvÀäPÀ

C¨sÁå¸À 2.2

1. (i) 0

1

014

24

34

44

54

64

74

014

24

34

44

54

64

74

014

24

34

44

54

64

74

014

24

34

44

54

64

74

014

24

34

44

54

64

74

014

24

34

44

54

64

74

014

24

34

44

54

64

74

(ii) –1

− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − −66

56

46

36

26

16

0

2. –1

− − − − − −66

56

46

36

26

16

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0− − − − − − − − − − −1111

1011

911

811

711

611

511

411

311

211

111

0

3.EªÀÅUÀ¼À°èPÉ®ªÀÅ1, 12, 0, –1, −1

2

4. − − − − − − −720

620

520

420

320

220

120

0120

220

, , , , , ,...., ,

(E£ÀÆßFjÃwAiÀÄC£ÉÃPÀ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ)

5. (i) 4160

4260

4360

4460

4560

, , , , (ii) − −86

76

016

26

, , , ,

(iii) 932

1032

1132

1232

1332

, , , ,


6. − −−3

21

1

20

1

2, , , , (E£ÀÆßFjÃwAiÀÄC£ÉÃPÀ¨sÁUÀ®§Þ¸ÀASÉåUÀ½gÀ§ºÀÄzÀÄ)

7. 97

16098

16099

160100160

101160

102160

103160

104160

10516

, , , , , , , ,00

106160

,


GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ 151

3. MAzÀÄ ZÀgÁPÀëgÀªÀÅ¼Àî gÉÃSÁvÀäPÀ ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 3.1

1. x = 9 2. v = 7 3. z = 4 4. x = 2

5. x = 2, 6. t = 50 7. x = 27, 8. y = 2.4

9. x =257

10. y =32

11. p = −43

12. x = −85

C¨sÁå¸À 3.2

1. 34 2.GzÀÝ=52«ÄÃ,CUÀ®=25«ÄÃ.

3. 125

¸ÉA.«ÄÃ. 4. 40 ªÀÄvÀÄÛ 55

5. 45,27 6. 16,17,18 7. 288,296 ªÀÄvÀÄÛ 304 8. 7,8,9

9. gÁºÀÄ®£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì20ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ:ºÀgÀÆ£À£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì28ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.

10.48«zÁåyðUÀ¼ÀÄ

11.¨ÉÊZÀÄAUÀ£À ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 17 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ ; ¨ÉÊZÀÄAUÀ£À vÀAzÉAiÀÄ ªÀAiÀÄ¸ÀÄì 46 ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ

¨ÉÊZÀÄAUÀ£ÀCdÓ£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì72ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.

12.5ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ 13. −12

14. ` 100 → 2000£ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ;` 50 → 3000£ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ;

` 10 → 5000£ÉÆÃlÄUÀ¼ÀÄ.

15. ` 1£ÁtåUÀ¼ÀÄ=80;` 2£ÁtåUÀ¼ÀÄ=60;` 5£ÁtåUÀ¼ÀÄ=20.

16.19.

C¨sÁå¸À 3.3

1. x = 18 2. t = –1 3. x = –2 4. z =32

152 UÀtÂvÀ

5. x = 5, 6. x = 0 7. x = 40, 8. x = 10

9. y =73

10. m =45

C¨sÁå¸À 3.4

1.4 2.7,35 3.36 4.26(CxÀªÁ62)

5.±ÉÆÃ¨ÉÆÃ«£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì5ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;CªÀ£ÀvÁ¬ÄAiÀÄªÀAiÀÄ¸ÀÄì30ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ

6.GzÀÝ=275«ÄÃ;CUÀ®=100«ÄÃ. 7.200m 8.72

9.ªÉÆªÉÆäUÀ¼ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì6ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;CdÓ£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì60ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.

10.CªÀÄ£ï£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì60ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;CªÀ£ÀªÀÄUÀ£ÀªÀAiÀÄ¸ÀÄì20ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ.

C¨sÁå¸À 3.5

1. x =2710

2. n = 36 3. x = –5 4. x = 8 5. t = 2

6. m =75

7. t = –2, 8. y =23

9. z = 2 10. f = 0.6

C¨sÁå¸À 3.6

1. x =32

2. x =3533

3. z = 12 4. y = –8 5. y = −45

6. ºÀjAiÀÄªÀAiÀÄ¸ÀÄì20ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ;ºÁåjAiÀÄªÀAiÀÄ¸ÀÄì28ªÀµÀðUÀ¼ÀÄ. 7. 1321

4. ZÀvÀÄ¨sÀÄðdUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ

C¨sÁå¸À 4.1

1. (a) 1,2,5,6,7. (b) 1,2,5,6,7 (c) 1,2 (d) 2

2. (a) 2 (b) 9 (c) 0

3. 360° ; ºËzÀÄ.

4. (a) 900° (b) 1080° (c) 1440° (d) (n – 2) 180°


5. ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄªÀÄvÀÄÛ¸ÀªÀÄPÉÆÃ£ÀUÀ½gÀÄªÀMAzÀÄ§ºÀÄ¨sÀÄd.

(i) ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄwæ¨sÀÄd (ii) ªÀUÀð

(iii) ¤AiÀÄ«ÄvÀµÀqÀÄãd.

6. (a) 60° (b) 140° (c) 140° (d) 108°

7. (a) x + y + z = 360° (b) x + y + z + w = 360°

C¨sÁå¸À 4.2

1. (a) 360° – 250° = 110° (b) 360° – 310° = 50°

2. (i) 3609

40°= ° (ii)

360

1524

° = °

3. 36024

15°°= ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ.

4. ¨ÁºÀÄUÀ¼À¸ÀASÉå=24

5. (i) E®è;(KPÉAzÀgÉ,22,360°gÀ¨sÁdPÀªÁV®è)

(ii) E®è;(KPÉAzÀgÉ¥ÀæwºÉÆgÀPÉÆÃ£À=180° – 22°=158°,EzÀÄ360° EzÀgÀ ¨sÁdPÀªÁV®è)

6. (a) ¸ÀªÀÄ¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¤AiÀÄ«ÄvÀ §ºÀÄ¨sÀÄdªÁVzÀÄÝ 3 ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß

ºÉÆA¢zÉ.CzÀgÀCvÀåAvÀaPÀÌM¼ÀPÉÆÃ£ÀzÀC¼ÀvÉ=60°DVzÉ

(b) (a) ¤AzÀCvÀåAvÀzÉÆqÀØºÉÆgÀPÉÆÃ£ÀzÀC¼ÀvÉ120°JAzÀÄºÉÃ¼À§ºÀÄzÀÄ.

C¨sÁå¸À 4.3

1. (i) BC (C©üªÀÄÄR¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ¸ÀªÀÄ)

(ii) ∠DAB(C©üªÀÄÄRPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ¸ÀªÀÄ)

(iii) OA(PÀtðUÀ¼ÀÄ¥ÀgÀ¸ÀàgÀC¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ)

(iv) 180°(M¼ÀC©üªÀÄÄRPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ,KPÉAzÀgÉAB DC||

2. (i) x = 80° ; y = 100° ; z = 80°

(ii) x = 130° ; y = 130° ; z = 130°

(iii) x = 90° ; y = 60° ; z = 60°

154 UÀtÂvÀ

(iv) x = 100° ; y = 80° ; z = 80°

(v) x = 112° ; y = 28° ; z = 28°

3. (i) DUÀ§ºÀÄzÀÄ,DzÀgÉDUÀ¯ÉÃ¨ÉÃPÉA¢®è.

(ii) E®è(¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è,C©üªÀÄÄR ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ;DzÀgÉAD ≠ BC)

(iii) E®è;(¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðdzÀ°è,C©üªÀÄÄRPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀÄ ÀªÀÄ;DzÀgÉ∠A ≠ ∠C)

4. GzÁºÀgÀuÉUÉMAzÀÄ¥ÀvÀAUÀ.

5.108°;72°

6.¥ÀæwPÉÆÃ£ÀªÀÅ®A§PÉÆÃ£ÀªÁVzÉ.

7. x = 110° ; y = 40° ; z = 30°

8.(i) x = 6 ; y = 9 (ii) x = 3 ; y = 13

9. x = 50° 10. NM KL|| (M¼ÀC©üªÀÄÄRPÉÆÃ£ÀUÀ¼ÀªÉÆvÀÛ180°EgÀÄvÀÛzÉ).DzÀÝjAzÀKLMN

MAzÀÄvÁæ¦då.

11. 60° 12. ∠P = 50° ; ∠S = 90°

C¨sÁå¸À 4.4

1. (b), (c), (f), (g), (h) UÀ¼ÀÄ¸Àj;G½zÀªÀÅvÀ¥ÀÄà.

2. (a) ªÀeÁæPÀÈw;ªÀUÀð (b) ªÀUÀð;DAiÀÄvÀ

3. (i) MAzÀÄªÀUÀðªÀÅ£Á®ÄÌ¨ÁºÀÄUÀ½gÀÄªÀDPÀÈw;DzÀÝjAzÀCzÀÄZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

(ii) ªÀUÀðªÀÅ¸ÀªÀÄ£ÁzÀC©üªÀÄÄR¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVºÉÆA¢zÉ.DzÀÝjAzÀCzÀÄMAzÀÄ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðd.

(iii) ªÀUÀðªÀÅvÀ£Àß£Á®ÄÌ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß¸ÀªÀÄ£ÁVºÉÆA¢gÀÄªÀ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðd;DzÀÝjAzÀCzÀÄMAzÀÄªÀeÁæPÀÈw.

(iv) ªÀUÀðªÀÅvÀ£Àß¥ÀæwAiÉÆAzÀÄPÉÆÃ£ÀªÀ£ÀÄß®A§PÉÆÃ£ÀªÁVºÉÆA¢gÀÄªÀ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðd;DzÀÝjAzÀCzÀÄMAzÀÄDAiÀÄvÀ.

4. (i) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðd;ªÀeÁæPÀÈw;ªÀUÀð;DAiÀÄvÀ.

(ii) ªÀeÁæPÀÈw;ªÀUÀð (iii) ªÀUÀð;DAiÀÄvÀ.


5. JgÀqÀÄPÀtðUÀ¼ÀÄ§ºÀÄ¨sÀÄdzÀM¼À¨sÁUÀzÀ°èªÉ.

6.AD BC AB DC|| ; || DzÀÝjAzÀ ÀªÀiÁAvÀgÀZÀvÀÄ¨sÀÄðdABCDAiÀÄ°è,PÀtðAC

AiÀÄªÀÄzsÀå©AzÀÄ'O'

5. ªÀUÀðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀUÀðªÀÄÆ®UÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 5.1

1. (i) 1 (ii) 4 (iii) 1 (iv) 9 (v) 6 (vi) 9 (vii) 4 (viii) 0 (ix) 6 (x) 5 2. F¸ÀASÉåUÀ¼À°è©r¸ÁÜ£ÀzÀ°ègÀÄªÀCAQUÀ¼ÀÄ.

(i) 7 (ii) 3 (iii) 8 (iv) 2 (v) 0 (vi) 2 (vii) 0 (viii) 0 3. (i), (iii) 4. 10000200001, 100000020000001 5. 1020304030201, 1010101012

6.20,6,42,43

7. (i) 25 (ii) 100 (iii) 144 8. (i) 1+3+5+7+9+11+13 (ii) 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21

9. (i) 24 (ii) 50 (iii) 198

C¨sÁå¸À 5.2

1. (i) 1024 (ii) 1225 (iii) 7396 (iv) 8649 (v) 5041 (vi) 2116

2. (i) 6,8,10 (ii) 14,48,50 (iii) 16,63,65 (iv) 18,80,82

C¨sÁå¸À 5.3

1. (i) 1,9 (ii) 4,6 (iii) 1,9 (iv) 5

2. (i), (ii), (iii)

3. 10, 13

4. (i) 27 (ii) 20 (iii) 42 (iv) 64 (v) 88 (vi) 98

(vii) 77 (viii) 96 (ix) 23 (x) 90

156 UÀtÂvÀ

5. (i) 7,42 (ii) 5,30 (iii) 7,84 (iv) 3,78 (v) 2,54 (vi) 3,48

6. (i) 7,6 (ii) 13,15 (iii) 11,6 (iv) 5,23 (v) 7,20 (vi) 5,18

7. 49

8. CqÀØ¸Á®ÄUÀ¼À¸ÀASÉå=45,¥ÀæwCqÀØ¸Á°£À°ègÀÄªÀ¸À¹UÀ¼À¸ÀASÉå=45

9. 900 10. 3600

C¨sÁå¸À 5.4

1. (i) 48 (ii) 67 (iii) 59 (iv) 23 (v) 57

(vi) 37 (vii) 76 (viii) 89 (ix) 24 (x) 32

(xi) 56 (xii) 30

2. (i) 1 (ii) 2 (iii) 2 (iv) 3 (v) 3

3. (i) 1.6 (ii) 2.7 (iii) 7.2 (iv) 6.5 (v) 5.6

4. (i) 2,20 (ii) 53,44 (iii) 1,57 (iv) 41,28 (v) 31,63

5. (i) 4,23 (ii) 14,42 (iii) 4,16 (iv) 24,43 (v) 149,81

6.21«ÄÃ.

7. (a) 10¸ÉA.«ÄÃ. (b) 12¸ÉA.«ÄÃ.

8.24¸À¹UÀ¼ÀÄ

9.16ªÀÄPÀÌ¼ÀÄ

6. ©ÃeÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¤vÀå ¸À«ÄÃPÀgÀtUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå¸À 6.1

PÀæ.¸ÀA. ©Ãd¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀASÁå ¸ÀºÀUÀÄtPÀUÀ¼ÀÄ

(i) 5xyz2

– 3zy

5–3

(ii) 1x

x2

111


(iii) 4x2y2

– 4x2y2z2

z2

4–41

(iv) 3–pq

qr

–rp

3–11–1

(v) x

2y

2–xy

1212–1

(vi) 0.3a

–0.6ab

0.5b

0.3–0.60.5

2. KPÀ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:1000,pqr

¢é¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:x + y, 2y – 3y2, 4z – 15z2,

p2q + pq2, 2p + 2q

wæ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:7 + y + 5x, 2y – 3y2 + 4y3,

5x – 4y + 3xy .

FUÀÄA¥ÀÄUÀ½UÉ¸ÉÃgÀzÀ§ºÀÄ¥ÀzÉÆÃQÛUÀ¼ÀÄ:x + x2 + x3 + x4, ab + bc + cd + da

3. (i) 0 (ii) ab + bc + ac

(iii) –p2q2 + 4pq + 9 (iv) 2(l2 + m2 + n2 + lm + mn + nl)

4. (a) 8a – 2ab + 2b – 15 (b) 2xy – 7yz + 5zx + 10xyz

(c) p2q – 7pq2 + 8pq – 18q +5p + 28

C¨sÁå¸À 6.2

1. (i) 28p (ii) –28p2 (iii) –28p2q (iv) –12p4 (v) 0 2. pq ; 50 mn ; 100 x2y2 ; 12x3 ; 12mn2p

158 UÀtÂvÀ

3. ªÉÆzÀ®KPÀ¥ÀzÀ →JgÀqÀ£ÉÃKPÀ¥ÀzÀ ↓

2x –5y 3x2 –4xy 7x2y –9x2y2

2x 4x2 –10xy 6x3 –8x2y 14x3y –18x3y2

–5y –10xy 25y2 –15x2y 20xy2 –35x2y2 45x2y3

3x2 6x3 –15x2y 9x4 –12x3y 21x4y –27x4y2

–4xy –8x2y 20xy2 –12x3y 16x2y2 –28x3y2 36x3y3

7x2y 14x3y –35x2y2 21x4y –28x3y2 49x4y2 –63x4y3

–9x2y2 –18x3y2 45x2y3 –27x4y2 36x3y3 –63x4y3 81x4y4

4. (i) 105a7 (ii) 64pqr (iii) 4x4y4 (iv) 6abc

5. (i) x2 y2 z2 (ii) –a6 (iii) 1024y6 (iv) 36a2 b2 c2 (v) –m3 n2 p

C¨sÁå¸À 6.3

1. (i) 4pq + 4pr (ii) a2b – a2b (iii) 7a3b2 + 7a2b3

(iv) 4a3 – 36a (v) 0

2. (i) ab + ac + ad (ii) 5x2y + 5xy2 – 25xy

(iii) 6p3 – 7p2 + 5p (iv) 4p4q2 – 4p2q4

(v) a2bc + ab2c + abc2

3. (i) 8a50 (ii) −35

3 3x y (iii) –4p4q4 (iv) x10

4. (a) 12x2 – 15x + 3 (i) 66 (ii) −32

(b) a3 + a2 + a + 5 (i) 5 (ii) 8 (iii) 4

5. (a) p2 + q2 + r2 – pq – qr – pr

(b) – 2x2 – 2y2 – 4xy + 2yz + 2zx

(c) 5l2 + 25ln

(d) – 3a2 – 2b2 + 4c2 – ab + 6bc – 7ac


C¨sÁå¸À 6.4

1. (i) 8x2 + 14x – 15 (ii) 3y2 – 8y + 32

(iii) 6.25l2 – 0.25m2 (iv) ax + 5a + 3bx + 15b

(v) 6p2q2 + 5pq3 – 6q4 (vi) 3a4 + 10a2b2 – 8b4

2. (i) 15 – x – 2x2 (ii) 7x2 + 48xy – 7y2

(iii) a3 + a2b2 + ab + b3 (iv) 2p3 + p2q – 2pq2 – q3

3. (i) x3 + 5x2 – 5x (ii) a2b3 + 3a2 + 5b3 + 20

(iii) t3 – st + s2t2 – s3 (iv) 4ac

(v) 3x2 + 4xy – y2 (vi) x3 + y3

(vii) 2.25x2 – 16y2 (viii) a2 + b2 – c2 + 2ab

C¨sÁå¸À 6.5

1. (i) x2 + 6x + 9 (ii) 4y2 + 20y + 25

(iii) 4a2 – 28a + 49 (iv) 9a2 – 3a + 14

(v) 1.21m2 – 0.16 (vi) b4 – a4

(vii) 36x2 – 49 (viii) a2 – 2ac + c2

(ix) x xy y2 2

434

916

+ + (x) 49a2 – 126ab + 81b2

2. (i) x2 + 10x + 21 (ii) 16x2 + 24x + 5

(iii) 16x2 – 24x + 5 (iv) 16x2 + 16x – 5

(v) 4x2 + 16xy + 15y2 (vi) 4a4 + 28a2 + 45

(vii) x2 y2 z2 – 6xyz + 8

3. (i) b2 – 14b + 49 (ii) x2 y2 + 6xyz + 9z2

(iii) 36x4 – 60x2 y + 25y2 (iv) 49

294

2 2m mn n+ +

(v) 0.16p2 + 0.04pq + 0.25q2 (vi) 4x2y2 + 20xy2 + 25y2

160 UÀtÂvÀ

4. (i) a4 – 2a2b2 + b4 (ii) 40x

(iii) 98m2 + 128n2 (iv) 41m2 + 80mn + 41n2

(v) 4p2 – 4q2 (vi) a2b2 + b2c2

(vii) m4 + n4m2

6. (i) 5041 (ii) 9801 (iii) 10404

(iv) 996004 (v) 27.04 (vi) 89991

(vii) 6396 (viii) 79.21 (ix) 9.975

7. (i) 200 (ii) 0.08

(iii) 1800 (iv) 84

8. (i) 10712 (ii) 26.52

(iii) 10094 (iv) 95.06

Documents

PÀ£ÁðlPÀ ¸ÀPÁðgÀ UÀtÂvÀ 8ktbs.kar.nic.in/new/website textbooks/class8/8th-kannada...(i) UÀtÂvÀ JAl£ÉÃ vÀgÀUÀw ¨sÁUÀ - 1 PÀ£ÁðlPÀ ¥ÀoÀå¥ÀÅ¸ÀÛPÀ